Mala Skola Elektrotehnike

Mala škola elektrotehnike

[email protected]

I GODINA Matematika 1 DE MORGANOVI ZAKONI x ∨y =x ∧y , x ∧y =x ∨y . KOMBINATORIKA Pernutacije: Pn =n! VIETOVE FORMULE P( x ) = a0 + +an x n

Regularna – ako postoji inverzna matrica. Singularna – ako nema inverznu matricu. Rang je red najveće regularne submatrice. Matematika 2 INTEGRALI Racionalne funkcije







(

)

,..., x

x1 x2 + x1 x3 + + xn−1 xn =

angde −1 je R racionalna f-ja, tada se smenom 1/ q x = t , q = NZS ( q1 ,..., qk ) an



an Ako je podintegral funkcija oblika   f ( x ) =Rx, 



ax

2

smenom

 + bx + c  



y ( x) = e



∫x

m

( a +bx n ) p dx

m n , p ∈Q , m = 1 , n = 1 , Q( x) = an ( x + p1x + q1 + pk x + qkm ) rk, n m2 n2 rk +1 rm ( x − xk +1 ) ( x − xm ) p, p= 1 , k m p pi2 − 4qi < 0, 2 ri + ri = n 2 naziva se integral binomnog diferencijala. Ovaj i =1 i =k +1 integral može da se izrazi pomoću elementarnih m ri funkcija Ai , j (i to svođenjem na integrale P( x ) k ri M i , j x + N i , j racionalnih funkcija) samo u tri slučaja: = + Q ( x ) i =1 j =1 ( x 2 + pi x + qi ) j i =k +1 j =1 (▫xp−ceoxibroj: ) j Smena x =t k , gde je

∑ ∑

k = NZS(m2 , n2 )

MATRICE

▫

Proizvod: aij

bij

m ,n

=cik

n, p

m, p

,

cik = ∑aij b jk j =1

.

Transponovana: aij

T n ,n

= a ji

n,n

∑

=

j1, j2 ,..., jn

( −1) j aij1  anjn

. Kofaktor:

aij → Aij =( −1)

i +j

T

Inverzna matrica:

A −1 =

adjA . det A

Lagrangeova jednačina

(1) y = xf ( y ' ) +ϕ( y ' ) rešava se smenom y ' = p i diferenciranjem, pri čemu se dobija linearna jednačina: (2)

p = f ( p ) + ( xf ' ( p ) +ϕ' ( p ))

Dij , Dij je



x =t Uvek: tg 2



Ako je

jedan dobijamo y = y ( p ) , što daje rešenje u parametarskom obliku. Dif. jed. drugog reda



Riccatijeva jednačina

y ' =P ( x ) y 2 +Q ( x ) y +R ( x ) . U opštem slučaju ova jednačina nema rešenja pomoću kvadratura. Ako je poznato jedno partikularno rešenje

, Aij je kofaktor.



cos x = t

pomoću smene

y = y1 +

1 , dobija z

linearna dif. jed. Ako su poznata dva partikularna rešenja

y1 , y2 Riccatijeve

jed., opšte rešenje y se dobija direktno iz

.

Ako je

P ( x )( y1 − y 2 ) dx y − y1 . = Ce ∫ y = y2

Linearne diferencijalne jednačine višeg reda Diferencijalna jednačina oblika (1)

R (sin x,−cos x ) = −R (sin x, cos x ) y

smena:

y1 ove jednačine, tada

se uvođenjem nove zavisne promenljive z

.

R ( −sin x, cos x ) = −R (sin x, cos x ) smena:

dp dx

. Iz (2) se dobija x = x ( p ) ; zamenom u

∫ R (sin x, cos x )dx

determinanta kada se izostavi i-ta vrsta i j-ta kolona. Adjungovana matrica: adjA = Aij



Trigonometrijske funkcije:

Determinanta:

det aij

.

m +1 ceo broj: Smena n

ax −n + b = t p2

n ,n

P ( x ) dx

smenom z = y1−a , gde je z nova f'ja, svodi se na linearnu jed.

a + bx n = t p2 . m +1 ▫ + p ceo broj: Smena n

n

∫

, a ∈R, a ≠ 0, a ≠1

∑

, ( M i , j , N i , j , Ai , j ∈R ) .

 C + Q ( x )e ∫  

1

) r1 ( x 2

∑∑

∫

y ' ( x ) +P ( x ) y ( x ) =Q ( x ) y a ( x )

x1 , x2 ∈R ,

Integral oblika

RAZLAGANJE POLINIOMA

− P ( x ) dx 

t (Bernoullijeva jednačina = x −x )

pričemu se u prve dve formule može uzimati ili znak + ili znak -.

→ p | a0 , q | a n .

y ' ( x ) + P ( x ) y ( x ) =Q ( x )

.

ax +bx +c = a ( x −x1 )( x −x2 )

( ai ∈Z , i =0, n,an ≠0) . Ako je

Linearna jednačina prvog reda

= xt ± c , ako je

2

, ako je

y , gde je z nova funkcija, x

ima opšte rešenje dato sa

c >0 ,

POGAĐANJE KORENA ☺ P( x ) = a0 + +an x n ,

z=

svodi se na jednačinu koja razdvaja promenljive.

a >0 ,

a x1 x2  xn = ( −1) n ax02 +bx +c an

∑

Homogena jednačina

dy y = f  dx x

mogu se primeniti Eulerove formule pomoću k an k se−integral svodi na integral racionalne x1 x2  xk + + xn−k +1 xn−k +2  xn = ( −1)kojih funkcije. an Nova promenljiva t se uvodi pomoću ax 2 +bx +c =±x a +t , ako je

2

f ( x ) dx + g ( y ) dy = 0

integral se svodi na integral racionalne funkcije an−1po t.



p x= , (p i q su uzajamno prosti celi brojevi) q

Jednačina koja razdvaja promenljive Ova jednačina se rešava direktnom integracijom.

pi ,qi∈Z ,i =1,...,k

x1 + x2 + + xn = −

R (−sin x,−cos x ) = R (sin x, cos x ) smena je: tgx = t .

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Rešavanje nekih dif. jed. prvog reda

Ako je podintegralna f-ja oblika pk / qk , p1 / q1

Rx

Ako je

sin x = t .

1

( n)

+ f1 ( x ) y ( n −1) +... + f n −1 ( x ) y '+ f n

je linearna diferancijalna jednačina reda n. Pretpostavićemo da su funkcije

f1 ,..., f n

Mala škola elektrotehnike neprekidne u oblasti u kojoj tražimo rešenje ove dif. jed. Funk. F je slobodni član dif. jed. (1). Ako je F ( x ) ≡ 0 , tada je ova jednačina homogena, i protivnom je nehomogena. Svakoj nehomogenoj jednačini (1) može se pridružiti homogena jed. (2)

[email protected]

C1' y1 C1' y1'

+ C2' y2 + C2' y2'

+ + Cn' yn + + Cn' yn'

rešenje y p nehomogene jed., njeno opšte =0 rešenje je =0

y = yh + y p , gde je y h opšte

rešenje homogene jednačine. Za neke  = 0 specifične oblike slobodnog člana F, partikularno rešenje nehomogene jed. može se ' ( n −2 ) ' ( n −2 ) ' ( n −2 ) C1 y1 + C2 y2 + + Cn yn =0 odrediti metodom neodređenih koeficijenata, po y ( n ) + f1 ( x ) y ( n −1) +... + f n −1 ( x ) y '+f n ( x ) y' = 0 sledećem pravilu: ( n −1) ' ( n −1) ' ( n −1) C1 y1 + C2 y2 + + Cn yn =F ( x)je F(x) polinom stepena m i ako je 0 nije ● Ako . koren karakteristične jed., tada se partikularno Iz ovog sistema se dobijaju f-je  Homogena jednačina (2) uvek ima rešenje reš. traži u obliku polinoma istog stepena, čiji C1' ,..., Cn' , pa se zatim funkcije y ≡0 . se koeficijenti nalaze metodom neodređenih koeficijenata iz jednačine (4). Ako je 0 koren C ,..., C 1 n nalaze integracijom.  Neka su y1 ,..., yn rešenja hom. jed. ) reda k karak. jed., tada se partikularno rešenje ž(2). Funkcije y1 ,..., y n su linearno  Pored metoda varijacije konstanti, opšte rešenje traži u obliku y p =x k Q ( x ) , gde je Q nehomogene jednačine može se naći i ako se nezavisne ako i samo ako je deterninanta polinom stepena m. y y1 ( x ) y2 ( x ) ... poznaje yn (jedno x ) partikularno rešenj p te ● Ak oje F ( x ) =eαx P ( x ) , gde je P jednačine i opšte rešenje (3) hom. jed. Tada je polinom stepena m i ako α nije koren y1' ( x ) y2' ( x ) ... opšte yn'rešenje ( x ) nehom. jed. dato sa karakteristične jednačine, tada je W ( x) =





y1( n −1) ( x )



y2( n −1) ( x )

različita od nule u bar jednoj tački x. Determinanta W se naziva Wronskijanom jednačine (2). Ako je W ( x ) = 0 za neko x iz oblasti u kojoj su funkcije





(1) u kojoj su funkcije

fi

y

Ako su y1 ,..., y n linearno nezavisna rešenja hom. jed., tada je njeno opšte rešenje dato sa

y1 partikularno rešenje homogene

(6)

,

tada je

y2 ( x ) = y1 ( x )

∫y

1

2 1 ( x)

e

∫ f1 ( x ) dx dx

−

takodje partikularno rešenje date jednačine, linearno nezavisno od partikularno rešenje se drugo rešenje

y1 . Ako je jedno

+ +an −1 y '+an y = F (, x ) gde su

y2 , linearno nezavisno od

C1 y1 +C2 y 2 . Prema tome, u ovom

e

Metod varijacije konstanti za rešavanje nehomogene jednačine. Ako je poznato opšte rešenje hom. jed. (2), u obliku (3), tada je opšte rešenje odgovarajuće nehomogene jed. (1) dato sa

cos βx, xe

cos βx,..., x

gde su C1 ,..., Cn funkcije koje se određuju iz sistema jednačina

. ● Ako se f-ja F može predstaviti kao zbir

F1 + F2 + + Fk , gde svaka od funkc0ije Fi ima jedan od navedenih oblika, tada se metod neodređenih koeficijenata primenjuje posebno na svaku funkciju Fi i uzima zbir tako nađenih partikularnih rešenja. Eulerova diferencijalna jednačina Dif, jed. (1)

x n y ( n ) +a1 x n −1 y ( n −1) + +an −1 xy '+an y rešava se smenom x =e t . Uvođenjem ove smene, jednačina se transformiše u linearnu jednačinu sa konstantnim koeficijentima, koja se rešava na uobičajen način.

k −1 αx

e

Primetimo da smena x =e t važi samo za

cos , . Međutim, rešenje koje se dobije ovim x > 0βx

eαx sin βx, xeαx sin βx,..., x k −1eαx sin βx važi za svako x. Naime, za x < 0 postupkom

partikularna rešenja homogene jed. (5). Opšte rešenje homogene jed. (5) dobija se kao linearna konbinacija partikularnih ređšenja y =C1 ( x) y1 +C2 ( x ) y2 + +Cn ( x) ynnađenih po izloženom postupku.

,

. Ako je α + iβ

y p = x k eαx (Q1 ( x ) cos β +Q2 ( x ) sin βx

tada je y =e λx jedno part. reš. hom. dif. jed (5). ● Ako je λ realan koren reda k kar. jed., tada su

αx

Q1 ,Q2 polinomi stepena

m = max(m1 , m2 )

Ova algebarska jednačina ima n korena i svakom korenu odgovara jedno partikularno rešenje dif. jed. (5), po sledećem pravilu: ● Ako je λ realan prost koren karak. jed. (6),

αx

,

koren reda k kar. jed., tada se uzima da je

λn + a1λn −1 + + an = 0 .

● Ako su λ = α + iβ i λ=α−iβ kompleksni koreni reda k jed. (6), tada su

y p =eαx (Q1 ( x ) cos βx +Q2 ( x ) sin βx ) gde su

eαx cos βx, eαx sin βx .

slučaju je dovoljno poznavati samo jedno partikularno rešenje da bi se dobilo opšte rešenje.

P1 , P2 polinomi stepena

koren kar. jed., tada se y p traži u obliku

koren jed. (6), tada je i λ=α−iβ takođe koren ove jednačine, i ovom paru korena odgovaraju dva partikularna reš. dif. jed. (5):

i time se dobija opšte rešenje

( P1 ( x) cos βx + P2 ( x) sin β

m1 , m2 respektivno, i ako α + iβ nije

e λx , xe λx , x 2 e λx ,..., x k −1e λx partikularna rešenja hom. jed. ● Ako je λ = α + iβ prost kompleksan

y1 date jednačine, tada

y1 , može naći primenom navedene formule,



+ a1 y

F ( x) =e

( n −1)

obliku y =e λx . konstanta λ se određuje zmenom u (5), pri čemu se dobija karakteristična jednačina diferencijalne jed. (5):

dif. jed. drugog reda



(n)

. može se rešiti ako se njeno rešenje potraži u

Liouvilleova formula za dif. jed. drugog reda.

y ' '+f1 ( x) y '+f 2 ( x ) y =0

● U najopštijem slučaju, ako je αx

y ( n ) + a1 y ( n −1) + + an −1 y '+an y = 0

gde su C1 ,..., Cn proizvoljne konstante.

Ako je

y p =x k eαx Q (x ) .

f1 ,..., f n

. naziva se linearna diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima. Odgovarajuća homogena jednačina (5)

(3) y h = C1 y1 +C2 y 2 + +C n yn ,



stepena m. Ako je α koren reda k karakteristične jed., tada je

konstante, tj. (4)

neprekidne, tada je W ( x ) = 0 u svakoj tački te oblasti.



y = yh + y p = C1 y1 +C2 y 2 + +Cn y n + y p y p =eαx Q ( x ) , gde je Q polinom

. ( n −1) yn ( x) Linearna diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima. Jednačina oblika



Rešavanje nehomogene jednačine sa konstantnim koeficijentima. Ako je poznato opšte rešenje homogene jed. (5), opšte rešenje nehomogene jed. (4) može se naći metodom varijacije konstanti. Alternativno, ako je poznato jedno partikularno

2

možemo da uvedemo smenu x =−e t i tako dobijemo istu linearnu dif. jednačinu sa konstantnim koeficijentima kao i u prethodnom slučaju. Fizika OET METODA POTENCIJALA ČVOROVA Za svaki čvor (sem za nulti) treba napisati prvi Kirhofov Zakon. METODA KONTURNIH STRUJA

Mala škola elektrotehnike

[email protected]

Z = Z*

ORT

II GODINA

1 − βAks 1 − βAov

, Z * je otpornost pri

γ=

βA =0 .

Arhitektura računara Fizika materijala Električna merenja Matematika 3 LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

iD

∫

σ+jω

st

ds

an =

1

n

∫

Protivfazni signali:

0

2π

Osnovi telekomunikacija Programski jezici i metode Engleski 1 SAU Elektromagnetika

∫

f ( x ) sin( nx ) dx

0

→ ,

Z1 =

Z 1−

1 k

,

Z2 =

Z . k −1

III GODINA Arhitektura i organizacija računara Strukture podataka Elektronika 2 TEOREMA DODATNOG ELEMENTA

Za struje:

I k= 1 I2



, Z1 = Z 1 +



Z 2 = Z ( k +1)

1 , k

.

RAČUNANJE POJAČANJA PO βA KRUGU

a= a* - pojačanje kada je

a* 1 −βa

βa =0

Računaje βa : 1. Ukinu se svi nezavisni generatori. 2. Uoči se petlja i smer toka signala 3. Na proizvoljnom mestu raskinuti petlju

ili

Z (s) 1+ N Vi ( s) Z (s) = A( s) = A( s) Z ( s )→ ∞ ⋅ Z (s) Vg ( s ) 1+ D Z (s)

4. U smeru toka signala na jednom kraju prekida vezati vt ili it .

5. Na drugom kraju prekida vezati impedansu koju vidi vt .

βa =

  vDS  −  V   P

−

Za napone:

V1 V2

 vDS  −  V P 

vr vt

BLACKMAN-OVA FORMULA

t

v (t ) = v (∞) +(v (0) −v (∞) )e τ

Matematika 4 Verovatnoća i statistika TEK Programski jezici Elektronika 1 MILEROVA TEOREMA

k=

2

  (1 + λvDS ) ,  

IDE

f ( x ) cos(nx ) dx

π

)

.

cos nx +bn sin nx )

n= 1

2π

1

π

bn =

∞

∑(a

1 a0 + 2

(

  v  iD = I DSS  2 1 − GS VP    

−j

FURIJEOVA TRANSFORMACIJA f ( x) =

B ( vGS −VT )2 (1 + λvDS ) , 2 B 2 . = 2( vGS −VT )vDS − vDS 2

 vGS iD = I DSS  1 − V P 

0

F ( s )e ∫ σ ω

,

JFET

st f (t )e − dt

1 1 f (t ) =L− {F ( s )} = 2π j

Cox

iD =

BISEKCIONA TEOREMA Važi za kola sa osnom simetrijom. Simetrični signali:

+ ∞

F ( s ) =L{ f (t )} =

2qε Si N a

. MOSFET  VT =VT 0 +γ  2φF +VBS − 2φF   

,

3

2

   

   

Mala škola elektrotehnike

[email protected]

4