Makalah Stepping Stone Method (Batu Loncatan)

BAB I PENDAHULUAN

Riset operasi merupakan ilmu yang mempelajari operasi dari suatu sistem dengan tujuan untuk dapat mengendalikan, meramalkan hasil, dan menilai hasil dari suatu operasi. Pengambilan keputusan yang melibatkan operasi dari suatu sistem sistem organi organisasi sasi memerl memerluka ukan n pendek pendekata atan-p n-pend endeka ekatan tan yang yang menggu menggunak nakan an  pendekatan operasional.(Rangkuti, 2002) Pendek Pendekatan atan khusus khusus ini bertuj bertujuan uan memben membentuk tuk suatu suatu model model ilmiah ilmiah dari dari sistem sistem mengga menggabun bungka gkan n ukuran ukuran-uk -ukura uran n faktor faktor-fak -faktor tor sepert sepertii kesempa kesempatan tan dan risik risiko, o, untu untuk k meram meramal alka kan n dan dan memb memban andi ding ngka kan n hasil hasil-h -hasi asill dari dari bebe bebera rapa pa keputusan, keputusan, strategi atau pengawasan. pengawasan. Tujuannya Tujuannya adalah membantu pengambil pengambil keputusan menentukan kebijasanaan dan tindakannya secara ilmiah ( Operational   Research Society of Great  Britain)  Britain) Metode ini didasarkan pada teori aplikatif yang terkait dengan metode matema matematis, tis, member memberii gambar gambaran an pemode pemodelan lan matema matematis, tis, karakt karakteris eristik tik persoa persoalan lan line linear ar,, peme pemeca caha han n masa masala lah h prog progra ram m lini liniea earr seca secara ra graf grafis is,, sert sertaa masa masala lah h transportasi transportasi (metode sudut barat laut), metode  stepping stone, stone, metode metode pestubasi, pestubasi, metode least cost , metode danzing, dan metode vogel). Secara sepintas dijelaskan  bahawa kompleksitas suatu sistem nyata muncul sebagai akibat banyaknya elemen atau variabel yang mempengaruhi atau menegndalikannya, sehingga metode yang dapat digunakan untuk memecahkan persoalan yang muncul pada suatu organisasi  bertujuan untuk memperoleh solusi yang optimal dengan mempertimbangkan  berbagai kendala yang ada.(Rangkuti, 2002) 2002) Metode transportasi merupakan yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk, ke tempat yang membutuhkan secara optimal. Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa, karena terdapat  perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber ke suatu tempat tujuan yang  berbeda-beda, dan dari beberapa sumber ke suatu tempat tujuan juga yang  berbeda-beda.(Subagyo, 1983)

1

Di samp sampin ing g itu, itu, meto metode de tran transp spor orta tasi si juga juga dapa dapatt digu diguna naka kan n untu untuk  k  memecah memecahkan kan masalah masalah-mas -masalah alah dunia dunia usaha usaha (bisni (bisnis) s) lainny lainnya, a, seperti seperti masala masalahhmasalah yang meliputi pengiklanan, pembelanjaan modal ( capital financing ) dan alokasi alokasi dana untuk investasi, analisis lokasi, keseimbangan keseimbangan lini perakitan dan  perencanaan serta scheduling produksi. Ada beberapa macam metode transportasi, yang yang semua semuany nyaa terar terarah ah pada pada peny penyele elesai saian an opti optima mall dari dari masal masalah ah-m -masa asala lah h transportasi yang terjadi. (Subagyo, 1983) Salah Salah satu metode metode transpo transporta rtasi si yaitu yaitu Metode Metode Batu Batu Loncat Loncatan an (Stepping  Stone) Stone) yang yang diguna digunakan kan untuk untuk mengha menghasilk silkan an pemecah pemecahan an layak layak bagi bagi masalah masalah transportasi transportasi dengan biaya-biaya biaya-biaya operasi (biaya (biaya pabrik pabrik dan biaya transportasi transportasi)) sehingga mendapatkan biaya pengiriman relatif 

2

BAB II DASAR TEORI

 LangkahPenyelesaian  LangkahPenyelesaian



Pemecah Pemecahan an fisibel fisibel yang yang pertam pertamaa dengan dengan menggu menggunak nakan an Metode Metode Sudut Sudut Barat Laut

Kotak    Kotak

yang terisi kita sebut kotak basis, nilainya kita beri tanda kurung

 buka dan tutup seperti (xij), i melambangkan baris dan j dan j untuk kolom. 

Kotak yang tidak terisi kita sebut se but kotak bukan basis (nonbasis cell). S emua emua kotak memuat biaya angkut per unit barang sebesar  cij dimana 1 unit  barang diangkut dari tempat asal A asal A ke tempat tujuan T.



S. = Suplai atau persediaan barang di A. d = d = Permintaan barang dari T   Z = ΣCijXij = jumlah = jumlah biaya angkut yang harus dibuat dibuat minimum.



Agar Agar label label tida tidak k ruwe ruwet, t, nila nilaii yang yang menu menunj njuk ukka kan n biay biayaa angk angkut ut tida tidak  k  dicantumkan dalam tabel.



Dibuat loop tertutup bagi setiap variabel non basis dimana loop tersebut  berawal dan berakhir pada variabel non basis, dan setiap titik sudut loop tersebut tersebut harus merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel  basis dalam tabel transportasi.



Dihitu Dihitung ng Zij-Ci Zij-Cijj = jumlah jumlah Cij pada pada loop loop dengan dengan koefisien koefisien (+) dan (-) secara bergantian



Mene Menent ntuk ukan an vari variab abel el yang yang masu masuk k menj menjad adii basi basiss (entering entering variable variable)) dengan cara memilih nilai Zij-Cij yang terbesar atau Max{ ZijCij}.



Menentukan variabel yang keluar dari basis, caranya : a. Dibuat loop yang memuat Zij-Cij yang terbesar   b. Diadakan pengamatan para Cij dalam loop yang mempunyai koefisien (+).

3

c. Variabel Xij yang keluar basis bila dan hanya bila Xij minimum dari  jalur loop 

Menentukan harga variabel basis (yang berada di dalam loop yang baru) di mana mana

nilai nilai untuk untuk variabel variabel yang baru masuk masuk basis basis diambil diambil dari nilai nilai

variabel minimum dalam loop 

Sedangkan untuk variabel-variabel basis yang lain yang juga berada dalam loop. Xaijbaru) = Xij lama - Xminimum Xij(baru) = Xij lama + Xminimum



Untuk variabel-variabel basis yang lain di luar loop harganya tetap. Hitung kembali nilai Zij-Cij untuk variable non basis



Diperoleh tabel optimal jika semua Zij semua Zij – Cij ≤ 0 ≤ 0



Jika masih ada nilai Zij-Cij > 0, maka dapat ditentukan kembali Entering Variable dan Leaving (variabel yang masuk dan yang keluar)

4

BAB III PEMBAHASAN

 METODE BATU LONCATAN  LONCATAN 

SOAL 1

Semen diangkut dari 3 pabrik yang berlokasi di  A1 ,A  ,A2 dan  A3 ke 4 lokasi proyek  yang yang mema memang ng memb membut utuh uhka kan n seme semen. n. Pabr Pabrik ik 1, 2, dan dan 3 masi masing ng-m -mas asin ing g menghasilkan semen sebanyak 6 ribu ton, 8 ribu ton, dan 10 ribu ton. Lokasi  proyek 1, 2, 3 dan 4 masing-masing minta semen sebanyak 4 ribu ton, 6 ribu ton, 8 ribu ton, dan 6 ribu ton. Biaya angkut ( cost ) dalam ratusan ribu rupiah dapat dilihat dalam tabel berikut:

Tabel 1 Cost Table

T

T1

T2

T3

T4

S

A1

1

2

3

4

6

A2

4

3

2

0

8

A3

0

2

2

1

10

D

4

6

8

6

24

A

LANGKAH PENYELESAIAN

5

  Pemecahan Pemecahan fisibel yang pertama dengan menggunakan Metode Sudut Barat Laut, hasilnya adalah sebagai berikut :

Tabel 2

T

A A1

T1

T2

(4)

(2)

A2

(4)

A3 D

4

6

T3

T4

S 6

(4)

8

(4)

(6)

10

8

6

24

Permintaan T 1 sebesar 4 unit, dipenuhi oleh  A1 yang tersedia 6 unit, jadi masih sisa 2 unit. T 1, sudah terpenuhi x 11 = (4). Permintaan T 2 sebesar 6 unit, dipenuhi dipenuhi sisa dari  A1 sebesar 2 unit x 12 = (2). Suplai  A1 sudah habis. Permintaan T2, masih kurang 4 diambil dari A 2, yang tersedia 8 unit. Jadi x22 = (4). T2, sudah dipenuhi. dipenuhi. Permintaan Permintaan T 3 sebesar 8 unit, dipenuhi oleh sisa dari  A2 sebanyak 4 unit, x 23 = (4). Persediaan di  A2 sudah habis. Permintaan di T3 masih kurang 4 unit, dipenuhi dari  A3 yang 1. tersedi tersediaa 10 unit unit,, jadi jadi x33 = (4). T 3 sudah dipenuhi. 2. Di A Di A3 masih ada sisa sebanyak 6 unit dan ini untuk memenuhi T 4 , jadi  , jadi x34 = 6. Pemecahan 3. fisibel fisibel yang pertama pertama sudah diperol diperoleh eh dengan dengan nilai x11, = 4, x 12 = 2, x 22 = 4, x 23 = 4, x 33 = 4 4. dan x34 = 6. Kita dapat melihat bahwa terdapat kotak yang bertanda () sebanyak  m+n-l = m+n-l = 3+4-1 = 6 kotak 

6

Sehingga jumlah biaya transportasi yang akan dikeluarkan adalah :  Z 

=

c11 x11

+

c12 x12

+

c 22 x 22

+

c 23 x 23

+

c33 x33

=

1( 4) + 2(2) + 3(4) + 2(4) + 2(4) +1(6)

=

4 + 4 +12 +8 + 8 + 6

=

+

c34 x34

42

Apakah Z  Apakah Z 1 sudah minimum?

Untuk Untuk menjaw menjawab ab ini harus harus kita kita hitung hitung semua nilai nilai Zij-Cij Zij-Cij sebaga sebagaii uji optimalitas untuk cell  untuk  cell atau atau kotak bukan basis, kalau ternyata semua nilai  Zij – Cij ≤ 0, ≤  0, maka pemecahan sudah minimum, kalau tidak maka pemecahan dilanjutkan sampai semua Zij semua Zij - Cij ≤ 0. ≤ 0.  Nilai Zij - Cij merupakan besarnya  penurunan biaya angkut  yang terjadi kalau kalau ada ada 1 unit unit bara barang ng dian diangk gkut ut dari dari  Ai ke Tj disebu disebutt indeks indeks perbai perbaikan kan (improvement index). Cara menghitung  Zij - Cij kita harus membuat jalur atau lintasan tertutup (closed loop) mulai dari kotak nonbasis yang akan dihitung nilai (zij cij)-nya. Penarikan garis lurus bisa menurut baris (horizontal) atau menurut kolom (vertikal). Menurut baris, bisa bergerak ke kiri atau ke kanan, sedangkan kalau menurut kolom bisa bergerak ke bergerak ke atas atau ke bawah. Di dalam proses penarikan garis lurus dilakukan penjumlahan (+) dan  pengurangan (-) biaya dari cell  yang yang dilalu dilaluii garis garis lurus, lurus, dimula dimulaii dengan dengan (+) diakhiri dengan (-) lihat contoh Z 31-C31. Dari suatu kotak nonbasis (i,  j) ditarik garis lurus ke kotak basis yang terdekat (dari baris atau kolom yang sama), dengan syarat bahwa kotak yang dihubungi mempunyai pasangan (partner) di kolom (baris) yang sama, kalau tidak  haru haruss dilew dilewati ati atau atau dilo dilonc ncati ati,, maks maksud udny nyaa agar agar garis garis bisa bisa teru teruss disam disambu bung ng,, kemudian dapat kembali ke tempat asal atau semula dengan meninggalkan cell   basis terdekat. Misalnya akan dihitung Z31-C31, lihat Tabel 3

7

  Dari Dari kotak (3,1), kita menuju ke kotak (3,3), terus ke kotak (2,3), dalam kolom yang sama, kemudian menuju ke kotak (2,2) dari baris yang sama, terus menghubungi kotak (1,2), dalam kolom yang sama, melanjutkan ke kotak (1,1) dan akhirnya kembali ke tempat asal yaitu kotak (3,1).   z31-c31 =c33 - c23 + c22 –c12 + c11 - c31, dimulai dengan tanda (+) kemudian (-) dan seterusnya berganti-ganti dari (+) ke (-). Kemudian kita masukkan nilainya. z31-c31 = 2 - 2 + 3 - 2 + 1 - 0 = 2. Nilai ini kita masukan ke kotak (3,1) lihat tanda bintang(*) pada Tabel 3. Kalau tadi bergerak ke kanan dalam baris yang sama, kita juga bisa bergerak ke atas dalam kolom yang sama dan hasilnya akan sama. z31-c31 =c11 – c12 + c22 – c23 + c33 -c31 = 1 - 2 + 3 - 2 + 2 – 0 = 2

Dengan Dengan jalan jalan yang yang sama, sama, semua semua nilai nilai  zij - cij. kita hitung, hitung, kemudian kemudian nilainya kita masukkan dalam tabel. ( lihat tabel 3)

 z 32

c32

−

c33

=

=

 z 21

c 21

−

=

 z 24

−

c 24

=

 z 13

−

c13

=

c12 =

 z 14

−

c14

=

−

c12 =

−

c 32

c12

+

c11

−

c 21

3 − 2 +1 − 4 = −2

c 23 =

c 22

+

2 −3 + 3 − 2 =1

c 22

=

c 23

−

−

c33

+

c 34

−

c 24

2 − 2 +1 − 0 = 1 −

c 22

+

c 23

−

c13

2 − 3 + 2 − 3 = −2 −

c 22

+

c 23

−

c33

+

c34

−

c14

2 − 3 + 2 − 2 +1 − 4 = −4

8

Tabel 3

T T1

T2

T3

T4

S

A1

(4)

(2)

-2

-4

6

A2

-2

(4)

(4)

1

8

A

10 A3

2*

1

(4)

(6)

D

4

6

8

6

24

Ternyata Ternyata tidak semua nilai  zij - cij ≤ 0, ≤  0, masih ada yang positif dan lebih  besar dari nol, jadi pemecahan belum optimum. Nilai  z 1  belum minimum masih  bisa diperkecil lagi. Untuk itu kita harus memilih kotak yang harus masuk basis sehingga terisi (memuat nilai). Kriterianya sebagai berikut: 

Kotak dengan nilai zij nilai  zij - cij. positif terbesar harus terbesar harus masuk basis.



Kalau ada lebih dari satu kotak pilih saja salah satu, sembarangan.



Dalam soal ini, kotak (3,1) harus masuk basis sebab z 31 - c31 terbesar terbesar dan  positif. Selain itu, itu, terdapat kotak yang yang harus keluar atau mening meninggalkan galkan basis. basis.

  Cara Cara menentukan kotak yang harus keluar basis, yaitu : 

Tulis kembali cara memperoleh nilai z  nilai  z 31 31 – c31 = c33-c23 + c22 – c12 + c11-c31



Perhatikan biaya dengan tanda plus (+), yaitu c 33, c 22, c11 ,  , dengan variabel x33, x22 ,  x11. Dari variabel variabel ini kita cari yang nilainya terkecil. Kotak dengan dengan nilai variabel terkecil ini yang harus keluar dari basis. Min (x33, x 22 ,  x11 )  ) = min (4, 4, 4). Karena semua nilainya sama, kita pilih salah satu, misalnya x misalnya x11 = 4 = minimum. Kotak yang masuk basis ialah kotak (3,

9

1), dengan variabel x 31. Nilai variabel ini sama dengan nilai minimum yang baru saja kita pilih, dalam hal ini,  x3l  = x11 = 4, di mana x3l = nilai x31 yang baru untuk diisikan dalam kotak tabel berikutnya. 

 Nilai variabel dari cell  lain lainny nyaa yang yang terl terlib ibat at dala dalam m pemb pemben entu tuka kan n  jalur/lintas (loop) diperoleh dengan aturan berikut: Jika Jika tand tandaa biay biayaa +, nila nilaii vari variab abel el baru baru = nila nilaii varia variabe bell lama lama - nila nilaii

1.

minimum. 2.

Jika Jika tanda tanda biaya biaya -, nilai nilai variab variabel el baru = nilai nilai varia variabe bell lama lama + nila nilaii

minimum. Jadi, '

 x 33 =  x33

−

nilai min imum = 4 − 4 = 0

 x ' 23 =  x 23

+

nilai min imum = 4 + 4 = 8

 x ' 22 =  x 22

−

nilai min imum = 4 − 4 = 0

 x '12 =  x12

+

nilai min imum = 2 + 4 = 6

 x '11 =  x11

−

nilai min imum = 4 − 4 = 0, keluar basis tidak  perlu ditulis



 Nilai variabel dalam kotak basis di luar lintasan atau yang tidak terlibat dalam pembentukan lintasan tidak mengalami perubahan misalnya x’  misalnya x’ 34 34 = x34 = 6 . Tabel 4

T

A

T1

T2

A1

(6)

A2

(0)

A3

(4)

D

4

6

T3

T4

S 6

(8)

8

(0)

(6)

10

8

6

24

Catatan: Angka nol untuk nilai variabel dalam kotak basis harus ditulis.

10

Selanjutnya adalah mengevaluasi variabel non basis dengan menghitung nilai zij-cij :  z 11

− c11 = =

 z 13

 z 21

−

c 21

= =

 z 24

−

c 214

−

c32

c33

+

c 23

c 23

−

c33

+

c 33

−

c 23

+

−

2 − 3 + 2 − 3 = −2 c12

− c 22 + c 23 − c33 + c34 − c14

2 − 3 + 2 − 2 +1 − 4 = −4

c 21 ( kotak  2, 2 diloncati , langsung  ke kotak  2,1 4

−

c 24

1

=

c 22

2 − 2 +3 − 2

− c 22 + c 23 − c13

=−

c 34

2 − 2 +1 − 0

= =

−

0 −2 +2 −4

=

=

 z 32

c31

c12

− c14 = =

− c33 + c 23 − c 22 + c12 − c11

0 − 2 + 2 − 3 + 2 −1 = −2

− c13 = =

 z 14

c31

=

−

c32

1

Selanjutnya, nilai tersebut dimasukkan ke dalam tabel (lihat tabel 5) Tabel 5

T T1

T2

T3

T4

S

A1

-2

(6)

-2

-4

6

A2

-4

(0)

(8)

*1

8

A3

(4)

1

(0)

(6)

10

D

4

6

8

6

24

A

Catatan: Angka nol untuk nilai variabel dalam kotak basis harus ditulis.

Dari tabel tersebut di atas, masih ada 2 kotak yang nilainya positif, yaitu kotak (3,2) dan (2,4) di mana z 32 – c 32 = z 24 - c 24 = 1. Maka, kita kembali memilih salah satu kotak yang harus masuk basis. Kita pilih kotak (2,4) yang harus masuk 

11

 basis. Perhatikan bahwa jalur 

 z 

24

− c 24 = c 23 − c33 + c34 − c 24

dan variabel dari cij

 positif yang minimum ditetapkan sebagai kotak yang harus keluar basis. Min (x.23, x34) = min min (8, (8, 6) = 6. Sehi Sehing ngga ga dite diteta tapk pkan an bahw bahwaa kota kotak k (3,4 (3,4)) yang yang memberikan memberikan nilai minimum minimum dan harus keluar keluar basis kemudian nilainya nilainya diisi pada kotak yang masuk menjadi basis yaitu kotak (2,4)=6 Selanjutnya untuk variabel lainnya x’24 = x34 = 6;  x’ 23 23 = x23 – nilai minimum = 8 - 6 = 2 x’33 = x33 + nilai minimum = 0 + 6 = 6 . Nilai Nilai dari dari kotak kotak lainny lainnyaa yang yang tidak tidak terliba terlibatt dalam dalam pemben pembentuk tukan an jalur, jalur, tetap.(lihat tabel 6) Tabel 6

T T1

A

T2

A1

(6)

A2

(0)

A3

(4)

D

4

T3

T4

S 6

(8)

*(6)

(0) 6

8

8 10

6

24

Dengan cara yang sama, kita kembali mengevaluasi variabel non basis dengan menghitung z ij-cij dan untuk selanjutnya dimasukkan ke dalam tabel (lihat tabel 7)  z 11

− c11 = =

 z 13

− c13 = =

 z 14

− c14 = =

 z 21

− c 21 = =

c31

− c 33 + c 23 − c 22 + c12 − c11

0 − 2 + 2 − 3 + 2 −1 = −2 c12

− c 22 + c 23 − c13

2 − 3 + 2 − 3 = −2 c12

− c 22 + c34 − c14

2 −3 + 0 − 4 c31

= −5

− c33 + c 23 − c 21

0 −2 +2 −4

= −4

12

 z 32

− c32 = =

 z 34

− c 23 + c 22 − c32

2 − 2 + 3 − 2 =1

− c34 = =

c33 c24

− c 23 + c33 − c34

0 − 2 + 2 −1 = −1

Tabel 7

T

T1

T2

T3

T4

S

A1

-2

(6)

-2

-5

6

A2

-4

(0)

(8)

(6)

8

A3

(4)

*1

(6)

-1

10

D

4

6

8

6

24

A

Ternyata masih ada satu kotak dengan nilai zij-cij nilai  zij-cij positif,  positif, yaitu kotak (3,2),  z 32 Kotak k ini ini haru haruss masu masuk k basis basis.. Perh Perhat atik ikan an bahw bahwaa pada pada jalu jalur  r  32 – c32 = 1. Kota  z 

32

− c 32 = c 33 − c 23 + c 22 − c 32

. Vari Variab abel el xij posi positi tiff dari dari cij diambi diambill yang yang paling paling

minimum minimum untuk untuk basis yang yang keluar. keluar. Min (x 33, x22) = min (6,0) = 0, berarti kotak  (2,2) harus keluar basis dan yang harus masuk adalah kotak (3,2) = 0 (diambil dari nilai variabel minimum). Variabel yang lainnya adalah x’32= x22 = 0 x’33=x33- nilai minimum = x 33 =6 x’23= x23+nilai minimum =2 Tabel 8

T T1

A A1

T2

T3

T4

(6)

A2

S 6

(2)

A3

(4)

(0)

(6)

D

4

6

8

(6)

8 10

6

24

13

 z 

− c11 = c31 − c 32 + c12 − c11 =

0 − 2 + 2 − 1 = −1

 z 

− c13 = c12 − c32 + c33 − c13 =

2 − 2 + 2 − 3 = −1

 z 

− c14 = c12 − c32 + c 33 − c 23 + c 24 − c14 =

 z 

− c 21 = c31 − c33 + c 23 − c 21 =

 z 

− c 22 = c32 − c33 + c 23 − c 22 =

2 − 2 + 2 − 3 = −1

 z 

− c34 = c 24 − c 23 + c33 − c 34 =

0 − 2 + 2 − 1 = −1

11

13

14

21

22

34

2 − 2 + 2 − 2 + 0 − 4 = −4

0 − 2 + 2 − 4 = −4

 Nilai tersebut diatas dimasukkan ke dalam tabel 9 Tabel 9

T T1

T2

T3

T4

S

A1

-1

(6)

-1

-4

6

A2

-4

-1

(2)

(6)

8

A3

(4)

(0)

(6)

-1

10

D

4

6

8

6

24

A

Karena semua nilai zij nilai  zij - cij < 0, maka pemecahan sudah optimum berarti jumlah  biaya angkutan sudah minimum  Z min

=

 z 4

=

c12 x12

+

c 23 x 23

+

c24 x 24

+

c31 x31

=

2(6) + 2( 2) + 0(6) + 0(4) + 2(0) + 2(6)

=

12 + 4 + 0 + 0 + 0 +12

=

+

c32 x32

+

c33 x33

28

Jumlah biaya angkutan (transport) yang minimum Rp 28 ratusan ribu rupiah (= Rp 2.800.000). Suplai  A1 sebanyak 6 ribu ton untuk memenuhi T 2, suplai  A2 sebanyak 8 ribu ton untuk memenuhi T 2, sebanyak 2 ribu ton dan T 4 sebanyak 6 ribu ton, suplai  A3 sebanyak sebanyak 10 ton, untuk memenuhi memenuhi T 1 sebanyak 4 ribu ton, T 3 sebanyak 6 ribu ton. Nilai nol pada kotak (3,2) hanya mempunyai nilai matematis teoretis akan tetapi tidak mempunyai arti secara praktis. Pemecahan ini memerlukan 3 tabel, berarti ada 4 alternatif pemecahan, akan tetapi hanya tabel yang ke-4 merupakan pemecahan optimum. Kalau kita perhatikan setiap tabel memberikan nilai z = fungsi objektif yang semakin menurun sehingga tercapai nilai z yang minimum

14

Tabel 2  Z 1

=

c11 x11

+

c12 x12

+

c 22 x 22

+

c 23 x 23

+

c33 x33

=

1( 4) + 2(2) + 3(4) + 2(4) + 2(4) +1(6)

=

4 + 4 +12 +8 +8 + 6

=

+

c34 x34

42 (alternatif  1)

Tabel 5  Z 2

=

c12 x12

+

c 22 x 22

+

c 23 x 23

+

c33 x 33

+

c34 x 34

=

2(6) + 3(0) + 2(8) + 0(4) + 2(0) +1(6)

=

12 + 0 +16 + 0 + 0 + 6

=

34 (alternatif   2)

Tabel 7  z 3

=

c12 x12

+

c 23 x 23

+

c 24 x 24

+

c 31 x 31

+

c 22 x 22

=

2(6) + 2(8) + 0(6) + 0(4) + 2(0) + 0(0)

=

12 +16 + 0 + 0 + 0 + 0

=

+

c 33 x33

+

c33 x33

28

Tabel 9  z 3

=

c12 x12

+

c 23 x 23

+

c 24 x 24

+

c31 x31

+

c32 x32

=

2(6) + 2(2) + 0(6) + 0(4) + 2(0) + 2(6)

=

12 + 4 + 0 + 0 + 0 +12

=

28

Secara keseluruhan  z 1 ≥z 2 ≥ z 3 ≥ z 4 apabila ada k tabel, k tabel, maka hasilnya akan seperti  berikut:  z 1 ≥ z 2 ≥ z 3 … zk, yang terakhir  zk  zk = z min, nilainya terkecil (minimum).

Soal 2

(Sumber : Robert J. Thierauf, An Intoductory Approach to Operation Research.  New York.Halaman 244 no 1)

15

The Aome Aome Corporation Corporation mempunyai mempunyai tiga tiga pabrik pabrik yaitu di Orlando Orlando (O), Riedville Riedville (R) dan New Orleand (N). Barang Barang produksi produksi akan didistribu didistribusikan sikan ke 4 gudang gudang yaitu di Houston Houston (H), Seattle Seattle (S), San Fransisco Fransisco (F) dan Denver Denver (D). Kapasitas produksi pabrik O, R dan N masing-masing adalah 2000,1700 dan keperluan di H, S, D, dan F masing-masing masing-masing adalah 1000, 1400 unit . Sedangkan keperluan 800, 2100 dan 1200 unit. Ongkos angkut per unit produk adalah (dalam mata uang

dollar) Cost Table

Tujuan

Houston

Seattle

San

Denver 

(H)

(S)

Fransisco(F)

(D)

4

8

7

5

2000

3

8

8

4

1700

Reidsville(R)

4

9

7

4

1400

D

1000

800

2100

1200

5100

Pabrik  Orlando (O)  New Orleans(N)

S

Langkah Penyeleasaian Penyeleasaian

Pemecahan fisibel yang pertama dengan menggunakan Metode Sudut Barat Laut, hasilnya adalah sebagai berikut :

Tabel 1

Tujuan

Houston

Seattle

San

Denver 

(H)

(S)

Fransisco(F)

(D)

S

16

Pabrik  Orlando (O)

(1000)

(800)

 New Orleans(N) Reidsville(R) D

1000

800

(200)

2000

(1700)

1700

(200)

(1200)

1400

2100

1200

5100

Permintaan di H dipenuhi oleh O sebanyak 1000 unit di x 11 . Jadi masih terdapat 1000 unit yang bersisa di O. Permintaan sebesar 800 unit di S dipenuhi dari sisa di O.(x 12=800) Sisanya lagi diisi di x 13=200. Sehingga masih terdapat 1900 unit yang dibutuhkan di F. Selanjutnya suplai di N dihabiskan di x

=1700.

23

Permin Permintaa taan n di F dipenu dipenuhi hi diamb diambil il 200 dari suplai suplai R. x 33=200. =200. Permin Permintaa taan n F terpenuhi. Terakhir adalah memenuhi permintaan di D sebesar 1200 unit di x 34. (x34=1200 unit) Jadi, biaya transportasi yang dikeluarkan adalah

Z=c11x11 + c12x12 + c13x13 + c23x23+ c33x33 + c34x34 = 4 (1000) + 8(800) + 7(200) + 8(1700) +7(200 + 4(1200) = 4000 + 6400 + 1400 +13600 + 1400 + 4800. (dalam dollar) = 31.600

Kemudian, kita hitung semua nilai Zij-Cij sebagai uji optimalitas untuk  cell atau cell atau kotak bukan basis.  z 

− c14 = c 34 − c 33 + c13 − c14 =

4−7

+

7

−

5=

 z 

−c

8−7

+

4

−

3=2

 z 

− c 22 = c 23 − c13 + c12 − c 22 =

8−7

 z 

− c 24 = c 34 − c 33 + c 23 − c 24 =

4

 z 

−c

 z 

− c 32 = c 33 − c13 + c12 − c 32 =

14

21

22

24

31

32

21

31

=c

=c

23

33

−c

13

−c

13

+c

11

+ c

11

−c

−c

21

31

=

=

7 7

−

− −

7 7

8 − 8 =1

+

7

+

+ +

−1

8−4

4

−

=1

4=0

8−9

= −1

Ternyata tidak semua nilai zij nilai zij - cij ≤ 0, ≤ 0, masih ada yang positif dan lebih  besar dari nol, jadi pemecahan belum optimum. Nilai z  Nilai z 1 belum minimum masih  bisa diperkecil lagi

17

Maka, kita harus memilih salah satu kotak yang harus masuk basis. Kita  pilih nilai positif terbesar, yaitu kotak (2,1) yang harus masuk basis. Perhatikan  bahwa jalur   z 21

=

c23 − c13 + c11 − c21 dan variabel dari c ij positif yang minimum

ditetapkan sebagai kotak yang harus keluar keluar basis. Sehingga Sehingga Min (x.23, x 11) = min (1700, (1700,100 1000) 0) = 1000, 1000, kotak kotak (1,1) (1,1) yang yang member memberika ikan n nilai nilai minimu minimum m dan harus harus keluar keluar basis basis kemudi kemudian an nilain nilainya ya diisi diisi pada pada kotak kotak yang yang masuk masuk menjad menjadii basis basis sehingga kotak (2,1)=1000 Variabel yang terlibat dalam jalur z21 yaitu x11=keluar basis

x13=variabellama + nilaiminimum=200+1000=120 nilaiminimum=200+1000=1200 0

x21=1000

x 23=variabel lama-nilai minimum=1700-1000=700

 Nilai-nilainya dimasukkan ke dalam tabel 2 Tabel 2

Tujuan

Pabrik 

Houston

Seattle

San

Denver 

(H)

(S)

Fransisco(F)

(D)

(800)

(1200)

2000

(700)

1700

Orlando (O)  New Orleans(N)

(1000)

Reidsville(R) D

1000

800

S

(200)

(1200)

1400

2100

1200

5100

Jadi, biaya yang dikeluarkan yaitu Z2=c12x12 + c13x13 + c21x21 + c23x23 +c33x33+c34x34 =(800)8+(1200)7+(1000)3+(700)8+(200)7+(1200)4=29600 Kemudian, kita hitung semua nilai Zij-Cij sebagai uji optimalitas untuk  cell atau cell atau kotak bukan basis.

18

3 − 8 + 7 − 4 = −2

 z 

− c11 = c 21 − c 23 + c13 − c11 =

 z 

− c14 = c 34 − c 33 + c13 − c14 =

 z 

− c 22 = c 23 − c13 + c12 − c 22 = 8 −

 z 

− c 24 = c 34 − c 33 + c 23 − c 24 =

 z 

− c31 = c 33 − c 23 + c 31 − c14 =

7 − 8 + 3 − 4 = −2

 z 

− c 32 = c 33 − c13 + c12 − c 32 =

7 − 7 + 8 − 9 = −1

11

14

22

24

31

32

4 − 7 + 7 − 5 = −1 7 + 8 − 8 =1

4 − 7 + 8 − 4 =1

Ternyata tidak semua nilai zij nilai zij - cij ≤ 0, ≤ 0, masih ada yang positif dan lebih  besar dari nol, yaitu z22-c22 dan z24-c24, jadi  jadi pemecahan belum optimum. Nilai z  Nilai z   belum minimum masih bisa diperkecil lagi. Maka, kita harus memilih salah satu kotak yang harus masuk basis. Kita  pilih nilai positif terbesar. Karena ada dua z ij-cij yang bernilai positif z22-c22dan z24c24, maka kita memilih salah satunya saja dan yang kita pilih yaitu kotak (2,4) yang harus masuk basis. Perhatikan bahwa jalur   z 24

=

c34

−

c33 + c23 − c24 dan

variabel dari cij positif yang minimum ditetapkan sebagai kotak yang harus keluar   basis. Sehingga Min (x.34, x23) = min min (120 (1200, 0,70 700) 0) = 700, 700, kota kotak k (2,3 (2,3)) yang yang memberikan memberikan nilai minimum minimum dan harus keluar keluar basis kemudian nilainya nilainya diisi pada kotak yang masuk menjadi basis sehingga kotak (2,4)=700 Variabel yang terlibat dalam jalur z24 yaitu x23=keluar basis

x33=variabel lama + nilai minimum=200+700=900

x24=700

x34=variabel lama-nilai minimum=1200-700=50 minimum=1200-700=500 0

 Nilai-nilainya dimasukkan ke dalam tabel 3 Tabel 3

Tujuan

Pabrik 

Houston

Seattle

San

Denver 

(H)

(S)

Fransisco(F)

(D)

(800)

(1200)

Orlando (O)  New Orleans(N)

(1000)

Reidsville(R) D

1000

800

S 2000

(700)

1700

(900)

(500)

1400

2100

1200

5100

19

Kemudian, kita hitung semua nilai Zij-Cij sebagai uji optimalitas untuk  cell atau cell atau kotak bukan basis. 7

− c11 = c13 − c33 + c34 − c 24 + c 21 − c11 =

 z 

− c14 = c34 − c 33 + c13 − c14 =

 z 

− c 22 = c12 − c13 + c 33 − c 34 + c 24 − c 22 = 8 −

 z 

− c 31 = c34 − c 24 + c 21 − c 31 =

4−4+3−4=

−1

 z 

− c 23 = c33 − c34 + c 24 − c 23 =

7

−

4+ 4−8=

−1

 z 

− c 32 = c33 − c13 + c12 − c 32 =

7

−

7

−1

11

14

22

31

23

32

4−7+7

+

−

−

7

 z 

5=

8−9=

+

4−4+3−4=

−1

−1

7+7

−

4+ 4−8=0

Ternyata dari hasil uji zij-cij semuanya lebih kecil atau sama dengan nol. Sehingga dapat dikatakan bahwa biaya yang dikeluarkan telah minimum. Jadi, biaya yang dikeluarkan adalah  z  = 8(800) + 7(1200) + 3(1000) + 4(700) + 7(900) + 4(500) =

6400 +8400 + 3000 + 2800 + 6300 + 2000

=

=

28900

Bila dibandingkan dengan metode yang digunakan sebelumnya (metode  barat laut) maka dapat dilihat bahwa biaya yang dikeluarkan metode stepping stone jauh lebih minimum

20

BAB IV KESIMPULAN

Dari Dari cont contoh oh prob problem lem yang yang telah telah disel diselesa esaik ikan an deng dengan an Meto Metode de Batu Batu Loncatan, dapat disimpulkan : 1. Metode Metode Batu Loncatan Loncatan merupakan salah satu satu metode yang digunakan digunakan untuk  untuk  memperoleh nilai transportasi terkecil atau dengan kata lain  zij - cij ≤  0. Apabila belum terdapat nilai  zij - cij ≤  0 maka harus diselesaikan dengan menggunakan arah loop 2. Diband Dibanding ingkan kan dengan dengan metode metode barat laut, metode metode batu batu loncata loncatan n ( stepping   stone)  stone) dapat menghasilkan biaya yang lebih minimum dalam pendistribusian  barang.

21

DAFTAR PUSTAKA

Hamdy A. Taha.1996.  Riset Operasi Suatu Pengantar . Edisi Edisi Kelim Kelima. a. Jili Jilid d I. Binarupa. Jakarta Pangestu, Subagyo.dkk.1983.  Dasar-Dasar Operation Research. Research. Edisi 2. BPFEYogyakarta Thiera Thierauf, uf, Robert Robert J.  An Introductory Approach Wiley and Sons, Inc. New York 

to Operation Research. Research . John

22