Makalah Simpson

 

TUGAS PRAKTIK DSP INTEGRAL SIMPSON Integral Numerik  Integral suatu fungsi adalah operator matematik yang dipresentasikan dalam bentuk:  b

 I    a  f  ( x) dx

(1.1)

dan merupakan integral suatu fungsi f fungsi  f ( x)  x) terhadap variabel x variabel x dengan  dengan batas-batas integrasi ad adal alah ah da dari ri  x =  a  samp sampai ai  x =  b. Seperti pada Gambar 1.1 dan persamaan (1.1) yang dimaksud dengan integral adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f fungsi  f (  x) x) dan sumbu- x  x serta antara batas x batas  x = a dan  a  dan x  x = b.  b . !alam integral analitis persamaan (1.1) dapat diselesaikan men"adi:  b

 

  b   f  ( x) dx   F (  x) a   F (b )  F (a )

a

dengan F ( x) dengan F  x) adalah integral dari f  dari f   (( x)  x) sedemikian sehingga F sehingga F # (  x) x) = f (  x). x). Sebagai $ontoh: '

 1   ' 1 ' 1 '    x dx     x    (')  (&)   %. ' &  '  & ' '



Gambar 1.1. Integral suatu ungsi

Integral numerik dilakukan apabila: 1) Integral Integral tidak tidak dapat dapat (sukar) (sukar) diselesai diselesaikan kan se$ara se$ara analisis. analisis. ) ungsi ungsi yang diintegra diintegralkan lkan tidak tidak diberikan diberikan dalam bentuk bentuk analitis analitis tetapi tetapi se$ara numerik  numerik  dalam bentuk angka (tabel). *etode *et ode integr integral al numer numerik ik merup merupaka akan n integr integral al tert tertent entu u yang yang didasar didasarkan kan pada pada hitung hitungan an  perkiraan. +itungan perkiraan tersebut dilakukan dengan ffungsi ungsi polinomial yang diperoleh  berdasar data tersedia. ,entuk paling sederhana s ederhana adalah apabila tersedia dua titik data yang dapat dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier).

 

Seperti pada Gambar 1.a akan dihitung:  b

 I      f  ( x) dx a

yang merupakan luasan antara kurve f kurve f ( x)  x) dan sumbu- x  x serta  serta antara x antara x   = a  dan x dan x =  b bila nilai f nilai  f (a) dan f dan f (b) diketahui maka dapat dibentuk fungsi polinomial order satu f  satu f 1(  x). x). !alam gambar tersebut fungsi f fungsi f ( x) oleh f 1(  x) x) sehingga integralnya dalam luasan  x) didekati oleh f  antara ant ara garis  f 1( x)  x) dan sumbu- x serta  x serta antara antara  x   x  = a  dan x dan  x   = b. ,idang tersebut merupakan  bentuk trapesium yang luasannya dapat dihitung dihitung dengan rumus geometri yaitu:

   f    (a)   f  (b)

 I   ( b  a )



!alam integral numerik pendekatan tersebut dikenal dengan metode trapesium. !engan  pendekatan ini integral suatu fungsi adalah sama dengan luasan bidang yang diarsir  (Gambar 1.) sedang kesalahannya adalah sama dengan luas bidang yang tidak diarsir. pabila hanya terdapat dua data f data  f (a) dan f dan  f (b) maka hanya hanya bisa dibentuk dibentuk satu trapesium dan $ara ini dikenal dengan metode trapesium satu pias. ika tersedia lebih dari dua data maka dapat dilakukan dilakukan pendekatan pendekatan dengan lebih dari satu trapesium trapesium dan luas total adalah  "umlah dari trapesium-trapesium yang terbentuk. /ara ini dikenal dengan metode trapesium banyak pias. Seperti pada Gambar 1.b dengan tiga data dapat dibentuk dua trapesium dan luas kedua trapesium (bidang yang diarsir) adalah pendekatan dari integral fungsi. +asil pendekatan ini lebih baik dari pada pendekatan dengan satu pias. pabila digunakan lebih banyak trapesium hasilnya akan lebih baik. ungsi yang diintegralkan dapat pula didekati oleh fungsi polinomial dengan order lebih tinggi sehingga kurve yang terbentuk tidak lagi linier seperti dalam metode trapesium tetapi kurve lengkung. Seperti pada Gambar 1.$ tiga data yang ada dapat digunakan untuk membentuk polinomial order tiga. *etode Simpson merupakan metode integral numerik yang menggunakan fungsi polinomial dengan order lebih tinggi. *etode Simpson 10' menggunakan tiga titik data (polinomial order dua) dan Simpson '0 menggunakan empat titik data (polinomial order tiga). arak antara titik data tersebut adalah sama.

Gambar 1.!. Met"#e integral numerik 

 

Met"#e Sim$s"n *etode simpson adalah metode numerik untuk mendapatkan perkiraan yang lebih teliti menggu men ggunak nakan an polino polinomia miall order order lebih lebih tinggi tinggi untuk untuk menghu menghubun bungka gkan n titiktitik-tit titik ik data. data. *isalnya *isaln ya apabila terdapat satu titik tambahan di antara f antara  f (a) dan dan  f (b) maka ketiga titik  dapat dap at dihubu dihubungk ngkan an dengan dengan fungsi fungsi parabo parabola la (Gam (Gambar bar 1.'a). 1.'a). pabil pabilaa terdapa terdapatt dua titik  titik  tambahan dengan "arak yang sama antara f antara  f (a) dan f dan f (b) maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga (Gambar 1.'b). 2umus yang dihasilkan oleh integral di ba3ah polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan) Simpson.

Gambar 1.%. Aturan Sim$s"n 1&  Aturan Simpson 1'%

!i da dala lam m atur aturan an Simp Simpson son 10' 10' digu diguna naka kan n po poli lino nomi mial al or orde derr du duaa (p (pers ersam amaa aan n  parabola) yang melalui titik  f ( x  xi  – 1) ,  , f (  xxi) dan f dan  f (  xxi 4 1) untuk mendekati fungsi. 2umus Simpson dapat diturunkan berdasarkan deret 5aylor. 6ntuk itu dipandang  bentuk integral berikut ini. 7

 I ( x)     f  ( x) dx

(1.)

a

pabila bentuk tersebut didiferensialkan terhadap x terhadap  x akan men"adi: dI ( x)  I # ( x)         f  ( x) dx

(1.')

!engan memperhatikan Gambar 1.8. dan persamaan (1.') maka persamaan deret 5aylor adalah: : x ' : x   I ( xi  1 )   I ( xi  : x )   I  ( xi  )  : x  f     ( xi )    f  # ( xi )    f  # # ( xi ) '9 9

 

: x 8   f  # # # ( xi )  O ( : x ; ) 89

(1.8)

: x ' : x   I ( xi  1 )   I ( xi  : x )   I  ( xi )   : x  f     ( xi )    f  # ( xi )    f  # # ( xi ) '9 9

 

: x 8   f  # # # ( xi  )  O ( : x ; )   89

(1.;)

fungsi  f (  x) )

Gambar 1.( Penurunan met"#e Sim$s"n

 ?ilai  f   ##( ##( x  xi) ditulis dalam bentuk diferensial terpusat:   f  # # ( xi ) 

  f  ( xi  1 )    f   ( x )   f  ( xi  1 )      i   O ( :x  ) : x

@emudi @emu dian an be bent ntuk uk diat diatas as disu disubs bsti titu tusi sika kan n ke da dala lam m pe persa rsama maan an (1 (1.> .>). ). 6ntu 6ntuk  k  memudahkan memud ahkan penulisan penulisan selan"u selan"utnya tnya notasi f notasi  f (  xxi) ditulis dalam dalam bentuk  f i sehingga sehingga  persamaan (1.>) men"adi: : x ' : x    Ai   : x  f  i  O ( : x  )  O ( : x ; ) (  f     i    f  i  1 )    i  1    f   ' '

atau  Ai 

: x '

(  f  i  1    8  f     i     f  i  1 )  O ( : x ; )

(1.A)



 f (a )  8f ($)  f ( b)

8& D (8(&) '  8(&)  8)  8 (8() '  8( )  8)  (8(8) '  8(8)  8)C > 1A88



@esalahan terhadap nilai eksak: 1>'>  1A88     1&& E   >> E. t  1>'>

5erlihat bah3a pada pemakaian satu pias metode Simpson 10' memberikan hasil lebih baik dari rumus trapesium.

 

!&  Aturan Simpson 1'% dengan banyak pias  pias 

Sepe Sepert rtii da dala lam m meto metode de trape trapesi sium um meto metode de Simp Simpso son n da dapa patt di dipe perb rbaik aikii de deng ngan an membagi luasan dalam se"umlah pias dengan pan"ang interval yang sama (Gambar  1.;):  b  a  x  n dengan n adalah "umlah pias.

Gambar 1.+. Met"#e Sim$s"n #engan ban)ak $ias

Fuas total diperoleh dengan men"umlahkan semua pias seperti pada Gambar 1.;.  b

  1    A  '    f  ( x) dx   A   ...  An  1

(1.%)

a

!alam metode Simpson ini "umlah interval adalah genap. pabila persamaan (1.A) disubstitusikan ke dalam persamaan (1.%) akan diperoleh:  b : x : x : x ( f  &  8 f  1    f   )  ( f  1   8   f     f   ( f  n    8 f  n  1  f  n )   ' )  ...    f  ( x) dx  ' ' ' a atau  b

  f  ( x) dx  a

: x 

n 1

n

' 

i 1

i

 

   f  ( xi )  f  (a )   f  (b   )  8   f  ( xi )   

(1.1&)

Seperti pada Gambar (1.;) dalam penggunaan metode Simpson dengan banyak   pias ini "umlah interval adalah genap.