MAKALAH MATEMATIKA KELIPATAN DAN FAKTOR BILANGAN

KELIPATAN DAN FAKTOR BILANGAN 1.1 Bilangan Ganjil dan Genap Kita telah mengenal operasi hitung penjumlahan dan perkalian bilangan. Operasioperasi hitung tersebut harus benar-benar kamu pahami karena akan kita gunakan dalam mempelajari kelipatan dan faktor bilangan. Selain itu juga kita harus menguasai sifat dari bilangan genap dan bilangan ganjil serta bagaimana cara mengenalkannya pada anak didik. 1.

Bilangan ganjil dan bilangan genap

Definisi : •

Bilangan asli yang tidak habis dibagi dua disebut bilangan ganjil.

•

Bilangan asli yang habis dibagi dua disebut bilangan genap.

Contoh a. 3, 5, 7, 9, 11, … adalah bilangan ganjil, sebab tidak habis dibagi dua, karena jika dibagi dua menghasilkan sisa satu. b. 4, 6, 8, 10, 12, …adalah bilangan genap, sebab habis dibagi dua, atau jika dibagi dua hasilnya nol Dari keadaan di atas kita dapat menyimpulkan bahwa: I.

Bilangan ganjil adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk 2k+1,dimana k adalah bilangan cacah.

II.

Bilangan genap adalah bilangan yang dapat di tulis dalam bentuk 2k, dimana k adalah bilangan cacah. Contoh a) 5= 2x2+1 jadi 5 adalah bilangan ganjil. b) 7= 2x3+1 jadi 7 adalah bilangan ganjil. c) 19= 2x9+1 jadi 19 adalah bilangan ganjil. d) 2= 2x1

jadi 2 adalah bilangan genap.

e) 8= 2x4

jadi 8 adalah bilanhan genap.

f) 26= 2x13

jadi 16 adalah bilangan genap.

2. Sifat bilangan ganjil Setelah mengenalkan kepada siswa tentang jenis bilangan ganjil dan genap, selanjutnya anda dapat mengenal beberapa sifat dari bilangan tersebut. Perhatikan penjumlahan tersebut: 3 + 7 = 10 1+5=6 13 + 25 = 38 17 + 13 = 30

Bilangan – bilangan apakah yang terletak di ruas kiri (di sebelah kiri tanda sama dengan) dan bilangan- bilangan apakah yang terletak di ruas kanan (di sebelah kanan tanda sama dengan)? Kepada siswa anda dapat menjelaskan secara induktif dengan beberapa contoh seperti diatas dan kemudian menyimpulkan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.

Teorema 5.1 Jumlah dua bilangan ganjil adalah genap.

Bukti: Misalkan p dan q masing masing bilangan ganjil, akan dibuktikan bahwa p+q merupakan bilangan genap. Karena p dan q bilangan ganjil maka terdapat bilangan cacah k dan h sehingga,,

p = 2k + 1 q = 2h + 1 jadi, p+q = (2k + 1) +(2h + 1) = 2k + 2h + 2 = 2 (k + h + 1) Karena k, h, dan 1 bilangan cacah maka k + h + 1 juga bilangn cacah, sehingga p+q merupakan kelipatan dua dari satu bilangan cacah. Jadi, p+q merupakan bilangan genap.

Teorema 5.2 Hasil kali dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.

Bukti : Misal p bilangan ganjil maka ada bilangan asli k sehingga p = 2k + 1, dan misal q bilangan ganjil maka ada bilangan asli h sehingga q = 2h + 1. Sehingga pxq= (2k + 1)(2h + 1) = 4kh + 2k + 2h + 1 = 2 (2kh + k + h) + 1 Karena 2(2kh + k + h) bilangan genap (mengapa??), maka 2(2kh + k + h) + 1 merupakan bilangan ganjil. Dengan demikian teorema terbukti. 1.2 Kelipatan Suatu Bilangan Perhatikan garis bilangan berikut.

0 … 1 … 2 … 3 … 4 … 5 … 6 … 7… 8 … 9 … 10 … 11 … 12 … Kita melompat tiga-tiga sebanyak empat kali dari 0 sampai 12, dengan masingmasing lompatan sejauh tiga satuan. Ini berarti 12 = 4 x 3 , oleh karena itu dikatakan bahwa 12 adalah kelipatan dari 3. Demikian juga dari 0 kita dapat melompat tiga-tiga sbanyak 5 kali untuk dapat sampai ke-15. Jadi, 15 = 3 x 5, yang berarti 15 adalah kelipatan dari 3. Tetapi, 6 jua kelipatan tiga , sebab dari 0 kita dapat melompat tiga-tiga sebanyak dua kali untuk sampai di 6, yang berarti 6 = 2 x 3 Ini berarti kelipatan 3 itu tidak tunggal, melainkan sangat banyak dan tak terbatas. Definisi 1.1 Misal a bilangan asli. Bilangan asli c disebut kelipatan dari a, jika terdapat terdapat bilangan asli k sedemikian hingga c =ka Contoh 12 adalah kelipatan dari 3, sebab 12 = 4 x 3 12 adalah kelipatan dari 6, sebab 12 = 2 x 6 15 adalah kelipatan dari 5, sebab 15 = 3 x 5 15 adalah kelipatan dari 3, sebab 15 = 5 x 3 Definisi diatas dapat juga dirumuskan dalam bentuk lain, yaitu : Definisi 1.2 Bilangan asli c disebut kelipatan dari bilangan asli a, jika a membagi habis c. Contoh 12 adalah kelipatan 3 sebab 12 : 3 = 4 ( jadi 12 habis dibagi 3 ) 18 adalah kelipatan dari 9 sebab 18 : 9 = 2 ( jadi habis dibagi 9 ) Catatan : Yang dimaksud dengan habis dibagi disini adalah jiaka suatu bilangan dibagi dengan bilangan lain hasilnya adalah bilangan asli dan sisanya nol , misalnya 12 : 6 = 2. Hal ini berarti 12 habis dibagi 6, atau 6 habis membagi 12. Sebaliknya jika kita akan mencari kelipatan suatu bilangan maka kita cukup mengalikan bilangan tersebut dengan suatu bilangan asli. Misalnya :

Kelipatan dari 7 adalah : 7 x 2 =14 7 x 3 = 21 7 x 4 = 28 7 x 11 = 77 Dan sebagainya Jadi, 14,21,28,77 adalah kelipatan 7. Untuk menanamkan konsep bilangan ini, anda dapat menggunakan garis bilangan seperti contoh diatas, tetapi anda juga dapat menggunakan lidi atau kelereng atau benda laian yang mudah didapat. Misalnya, siswa ditugasi mengambil kelereng sebanyak 14 butir. Kemudian mereka diminta untuk mengelompokan kelerengnya, misalnya menjadi kelompok dua-dua. Ternyata 14 kelereng tersebut dapat dibuat menjadi 7 kelompok dua-dua. Ini berarti 14 merupakan kelipatan 2. Dengan cara seperti itu anda dapat menguasai siswa sehingga siswa dapat menemukan bahwa suatu bilangan yang ditentukan merupakan kelipatan dari bilangan yang lain. Setelah itu ajak siswa anda untuk berpikir secara abstrak, yaitu tanpa menggunakan alat

peraga

siswa

diminta

mencari

suatu

bilangan

yang

kelipatannya

merupakanbilangan yang telah diketahui , yaitu menggunakan sifat perkalian dasar bilangan. Misalnya, siswa diminta menuliskan perkalian dua bilangan yang hasil kalinya 24 untuk menyelesaikan soal seperti : 24 merupakan kelipatan dari … Kemudian kalimat perkalian dua bilangan yang terjadi dikaitakan dengan pengertia kelipatan suatu bilangan yang sedang dipelajari siswa dan dinyatakan sebagai berikut. 24= 4 x 6, jadi 24 adalah kelipatan dari 6 24= 6 x 4, jadi 24 adalah kelipatan dari 4 24= 3 x 8, jadi 24 adalah kelipatan dari 8 Dan seterusnya Jangan lupa bahwa suatu bilangan merupakan kelipatan dari dirinya sendiri , misalnya : 8 adalah kelipatan dari 8 , sebab 8 = 1 x 8 7 adalah kelipatan dari 7 , sebab 7 = 1 x 7

1.3 Kelipatan Persekutuan Dua Bilangan Pada kegiatan belajar 1 anda telah mengenal konsep kelipatan dari suatu bilangan. Pada kegiatan belajar 2 ini anda diminta mengidentifikasikan menentukan kelipatan persekutuan dari dua bilangan. Langkah yang dapat dilakukan adalah : • Tentukan kelipatan bilangan yang pertama secara berurutan mulai dari kelipatan yang paling kecil. • Tentukan kelipatan bilangan yang kedua juga secara berurutan, dan mulai dari paling kecil. • Pilih bilangan yang sama dari kedua kelompok kelipatan tadi, dan urytkan dari yang paling kecil Contoh a.Tentukan kelipatan persekutuan dari bilangan 3 dan 4 Penyelesaian Kelipatan dari 3 adalah : 3,6,9,12,15,18,21,24,27, … Kelipatan dari 4 adalah : 4,8,12,16,20,24,28,32,36, … Jadi, kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah: 12,24, … Karena banyaknya kelipatan dari suatu bilangan itu banyak sekali maka sebaiknya anda menentukan berapa banyak kelipatan suatu bilangan yang harus dicari sehingga dapat menjawab pertanyaan yang diajukan. b.Tentukan kelipatan persekutuan dar 4 dan 6 dengan lebih dahulu menentukan kelipatan dari 4 dan 6 masing-masing sebanyak 10 buah. Penyelesaian : Kelipatan dari 4 adalah : 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40 Kelipatan dari 6 adalah :6,12,18,24,30,36,42,48,54,60 Jadi kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12,24,36, … Setelah melakukan hal serupa untuk beberapa pasang bilangan , anda dappat memperhatikan pola urutan bilangan kelipatan persekutuan yang didapat sehingga anda dapat menentukan bilangan urutan berikutnya.

Misal dari pola kelipatan persekutuan bilangan 4 dan 6 yang didapat diatas, yaitu 12,24,36, … Coba perhatikan selisih antara dua bilangan yang berdekatan. Selisihnya adalah 12 sehingga urutan berikutnya adalah 48, 60 dan seterusnya bertambah 12. Dengan demikian kelipatan persekutuan 4 dan 6 adalah 12,24,36,48,60,72, … c. tentukan kelipatan persekutuan dari 3 dan 5 sebanyak 5 buah. Penyelesaian: Kelipatan dari 3 adalah : 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36 Kelipatan dari 5 adalah :5,10,15,20,25,30,35 Kelipatan persekutuan dari 5 dan 3 adalah 15,30,45,60,75 Penjelasan Karena pada mulanya sudah didapat kelipatan persekutuannya 15 dan 30, sedang yang diminta sebanyak 5 buah maka tinggal melengkapinya dengan memperhatikan selisih dua bilangan yang telah didapat itu. Langkah serupa dapat dilakukan jika kita diminta untuk menentukan kelipatan persekutuan dari tiga bilangan atau lebih. d. tentukan kelipatan persekutuan dari 3,4, dan 6. Kelipatan dari 3 adalah : 3,6,9,12,15,18,21,24,27, … Kelipatan dari 4 adalah : 4,8,12,16,20,24,28, … Kelipatan dari 6 adalah :6,12,18,24,30,36, … Jadi , kelipatan persekutuan dari 3,4 , dan 6 adalah :12,24,36,48,60, … Penjelasan Karena kelipatan persekutuan yang didapat adalah 12 dan 24 yang mempunyai selisih 12, maka pastilah urutan berikutnya adalah 36,48 dan seterusnya. e.Tentukan keliptan persekutuan dari 6,8,12. Penyelesaian Kelipatan dari 6 adalah :6,12,18,24,30,36,42,48,… Kelipatan dari 8 adalah 8,16,24,32,40,48, … Kelipatan 12 adalah 12,24,48,60, … Jadi kelipatan persekutuan dari 6,8, dan 12 adalah 24,48,72,96,120, …

Dari beberapa contoh diatas terlihat bahwa jika dua bilangan yang akan dicari kelipatan persekutuannya , yang satu merupakan kelipatan dari yang lain, ternyata bilangan kelipatan dari bilangan yang lebih besar juga merupakan kelipatan dari bilangan yang lebih kecil. Yaitu jika a,c dan k bilangan asli dan c = ka maka keliptan dari c juga merupakan kelipatan dari a Misalnya: Kelipatan dari 6 juga merupakan kelipatan dari 3 Kelipatan dari 8 juga merupakan kelipatan dari 4 Kelipatan dari 12 juga merupakan kelipatan dari 6 Tetapi tidak berlaku sebaliknya Kelipatan dari 6 belum tentu merupakn kelipatan dari 12 Kelipatan dari 4 belum tentu merupakan kelipatan dari 8 Misalnya: 18 merupakan kelipatan dari 6 , tetapi bukan kelipatan dari 12 28 merupakan kelipatan dari 4 , tetapi bukan kelipata dari 8. 1.4 Faktor Suatu Bilangan Selain kelipatan, setiap bilangan juga mempunyai faktor. Apakah yang disebut faktor? Bagaimana cara menentukannya? Mari kita pelajari bersama. 1. Menentukan Suatu Faktor Bilangan Bila suatu bilangan asli A habis dibagi bilangan asli B dan hasilnya adalah C, maka B disebut faktor dari A, sebab A = C x B. Karena perkalian memenuhi sifat komutatif, maka A = B x C atau A : C = B. Dengan demikian C juga merupakan faktor dari A. Jadi jika A = B x C, maka B dan C adalah faktor dari A. Mari kita perhatikan pembagian di bawah ini. 6:1=6 6:2=3 6:3=2 6:6=1 Ternyata bilangan 6 habis dibagi oleh bilangan-bilangan 1, 2, 3, dan 6.

Dengan cara lain dapat dituliskan sebagai berikut. 6=1×6 6=2×3 6=3×2 6=6×1 Karena 6 diperoleh dari hasil kali 1x6, 2x3, 3x2, dan 6x1, maka faktor dari 6 adalah 1,2,3, dan 6. Bila ditulis dalam bentuk himpunan, maka himpunan faktor dari 6 adalah {1,2,3, 6}. Menentukan faktor dari suatu bilangan dapat dilakukan dengan beberapa cara. Cara berikut adalah dengan menggunakan kotak perkalian/ petak perkalian. Sepasang bilangan pada petak-petak yang berpasangan hasil kalinya adalah bilangan yang akan ditentukan faktornya. Berikut di bawah ini. Bilangan-bilangan 1, 2, 3, dan 6 disebut faktor dari bilangan 6. 2 adalah faktor dari 6, sebab 2 habis membagi 6. Dari pembahasan di atas, Kalian dapat menyimpulkan pengertian faktor dari suatu bilangan. Faktor adalah pembagi dari suatu bilangan, yaitu bilangan-bilangan yang membagi habis bilangan tersebut. Oleh karena itu, untuk mencari faktor dari semua bilangan, dan suatu bilangan adalah faktor dari dirinya sendiri. Contoh : Tentukan faktor dari bilangan 8 dan 9

Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, 8 Faktor dari 9 adalah 1, 3, 9

Berdasarkan contoh diatas, bahwa 8, merupakan kelipatan dari 1, 2, 4, dan 8. Hal ini berarti1, 2, 4, dan 8 adalah faktor dari 8. Secara umum dapat dkatakan bila x merupakan kelipatan dari A, B, C, dan D, maka himpunan faktor dari x adalah {A, B, C, D}.

1.5 Faktor Persekutuan Dua Bilangan Seperti yang telah kita ketahui Faktor suatu bilangan adalah sebuah bilangan yang dapat membagi habis bilangan tersebut. Jadi, Faktor persekutuan dari dua bilangan adalah bilangan-bilangan yang merupakan faktor dari kedua bilangan tersebut atau dengan kata lain Faktor persekutuan merupakan faktor yang sama dari 2 bilangan atau lebih. sebagai contoh : •

Tentukan faktor persekutuan dari 5 dan 10 ! Jawab :

-

Faktor dari 5 adalah 1, 5.

-

Faktor dari 10 adalah 1, 2, 5, 10.

-

Terdapat bilangan-bilangan yang sama di antara faktor-faktor dari 5 dan 10, yaitu 5.

- Dikatakan bahwa 5 adalah faktor persekutuan dari 5 dan 10. - Jadi, faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5.

•

Tentukan faktor persekutan dari 6 dan 15 ! Jawab : - Faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, 6.

- Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15. - Terdapat bilangan-bilangan yang sama di antara faktor-faktor dari 6

dan 15, yaitu 1 dan 3. - Dikatakan bahwa 1 dan 3 adalah faktor persekutuan dari 6 dan 15. - Jadi, faktor persekutuan dari 6 dan 15 adalah 1 dan 3.

• Tentukan faktor persekutuan dari 12 dan 20 ! Jawab : - Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12. - Faktor dari 20 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 20.

- Terdapat bilangan-bilangan yang sama di antara faktor-faktor dari 12 dan 20, yaitu 1, 2 dan 4. - Dikatakan bahwa 1, 2 dan 4 adalah faktor persekutuan dari 12 dan 20. - Jadi, faktor persekutuan dari 12 dan 20 adalah 1, 2, dan 4.

1.6 Bilangan Prima Bilangan prima adalah bilangan asli lebih dari 1 yang mempunyai tepat dua faktor positif yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. 1. Cara Mengidentifikasi Bilangan Prima

Pada abad II sebelum Masehi, seorang matematisi bangsa Greek yang bernama Erastothenes, menemukan cara untuk menemukan bilangan prima. Cara yang ditemukan itu selanjutnya dusebut saringan Eristothenes, yang bentuknya sebagai berikut. 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Susunlah bilangan asli dari 1 sampai dengan 100 menjadi bentuk persegi Dari susunan bilangan diatas, kemudian : a. Coretlah bilangan 1; b. Coretlah semua bilangan kelipatan 2, kecuali 2; c. Coretlah semua bilangan kelipatan 3, kecuali 3; d. Dari langkah b dan c, semua bilangan yang merupakan kelipatan 4,6,8, dan 9 dengan sendirinya sudah ikut tercoret. e. Coretlah semua bilangan kelipatan 5, kecuali 5; f. Coretlah semua bilangan kelipatan 7, kecuali 7. Langkah ini diteruskan, sampai semua bilangan yang mempunyai pembagi selain dirinya dan 1 tercoret semuanya. Maka, bilangan yang tidak tercoret merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 100, yaitu : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …, 97

2. Cara mengidentifikasi Bilangan Prima Secara Umum Misal diketahui bilangan p kurang dari 100. Untuk mengetahui apakah p merupakan bilangan prima atau bukan, secara umum dapat diidentifikasi sebagai berikut. a. p adalah bilangan ganjil, kecuali 2 b. p tidak merupakan angka kembar, misalnya 33, 77, 55, 99, bukan bilangan prima c. jumlah angka-angka yang membentuk p bukan kelipatan 3, misalnya 21, 27, 63, 273, bukan bilangan prima d. angka terakhir dari p bukan 5, misalnya 35, 75, 95, 365 buakn bilangan prima e. bukan bilangan kuadrat, misalnya 25, 49, 81 bukan bilangan prima. Contoh : 37 adalah bilangan prima, sebab memenuhi kriteria di atas 25 bukan bilangan prima, sebab angka terakhirnya 5 99 bukan bilangan prima, sebab merupakan bilangan kembar 73 bilangan prima, sebab memenuhi kriteria diatas 69 bukan bilangan prima, sebab 6 + 9 = kelipatan 3 49 bukan bilangan prima, sebab bilangan kuadrat Tetapi kita perlu berhati-hati dengan cara identifikasi di atas, sebab bilangan 91 walaupun memenuhi kriteria di atas tetapi 91 bukan bilangan prima.

Pada tahun 1963 ditemukan bilangan prima terbesar sampai saat itu, yaitu 211213_1, dan tahun 1971 ditemukan lagi bilangan prima yang lebih besar, yaitu 219937_1.

Bilangan prima terakhir ini merupakan bilangan prima terbesar sampai saat ini. Beberapa pakar matematika telah menemukan rumus fungsi untuk menentukan bilangan prima, namun rumus tersebut hanya berlaku untuk nilai bilangan asli n yang terbatas. f(n) = n2 - n + 41 menentukan bilangan prima untuk setiap bilangan asli n <

a.

41, yaitu : f(1) = 1 – 1 + 41 = 41 f(6) = 36 – 6 + 41 = 71 f(15) = 225 – 15 + 41 = 251 Rumus ini tidak berlaku untuk n > 40. f(n) = n2 – 79n + 1601 juga merupakan rumus untuk mendapatkan bilangan

b. prima;

Pembelajaran Untuk mencari bilangan prima yang lebih kecil dari 100, kita dapat menggunakan saringan Erastothenhes. Saringan ini, dapat kita modifikasi, agar anak lebih tertarik, bila kita lihat pada Standar Kompetensi sesuai dengan kurikulum saat ini yaitu KTSP, pembelajaran faktor bilangan dan kelipatan dipelajari di kelas IV sekolah

dasar, dalam karakteristik perkembangan siswa di kelas ini, proses kehidupan tumbuhan dan binatang menarik bagi mereka. Kita dapat membuat alat peraga seperti dibawah :

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

a. Petik daun berangka 1 dari pohon. b. Petik semua daun bilangan kelipatan 2, kecuali 2 c. Petik semua daun bilangan kelipatan 3, kecuali 3 d. Petik semua daun bilangan kelipatan 5, kecuali 5 e. Petik semua daun bilangan kelipatan 7, kecuali 7 f. Petik semua daun bilangan kelipatan 11, kecuali 11 g. Dan seterusnya, kelipatan 13, 17, 19, … Bilangan yang tidak terpetik adalah bilangan prima. Selanjutnya tanyakan kepada siswa, mengapa pada langkah nomor 4, kita tidak memetik bilangan kelipatan 4?, dengan harapan siswa dapat memberi jawaban bahwa bilangan kelipatan 4 atau 6, telah terpetik pada saat kita memetik semua bilangan kelipatan 2.Demikian juga kelipatan 10 atau 15 telah terpetik pada saat kita memetik kelipatan 5. Kitapun perlu menjelaskan kepada siswa bahwa bilangan yang tidak terpetik tadi adalah bilangan prima, sedangkan semua bilangan yang terpetik selain 1 adalah

bilangan komposit, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari dua bilangan asli yang berbeda dengan dirinya. 1.7 Menentukan Faktor Prima Suatu Bilangan Cara untuk menentukan faktor prima dari suatu bilangan adalah dengan diagram pohon (pohon faktor). Aturan untuk menentukan pohon faktor dari suatu bilangan adalah kita menentukan sepasang bilangan yang hasil kalinya sama dengan bilangan yang akan dicari faktornya. Karena 1 merupakan faktor dari setiap bilangan maka tidak dituliskan dalam diagram pohon tersebut. Contoh : 1. Tentukan faktor prima dari 30 Karena 30=2x15 dan 15=3x5, maka pohon faktor dari 30 adalah 30

15

2

3

5

Kita perhatikan 2, 3, 5 pada ujung pohon faktor di atas dan bilangan-bilangan ini adalah bilanagn prima. Jadi faktor prima dari 30 adalah {2,3,5} Untuk menentukan faktor dari 30 dapat pula ditentukan sebagai berikut. Karena 30 = 5x6 dan 6=2x3, maka pohon faktornya adalah

30

6

5

2

3

Jadi faktor prima dari 30 adalah {2,3,5} Bila dibandingkan antara keduanya

terletak pada saaat menentukan pasangan

bilangan yang hasil kalinya sama dengan 30. Sebenarnya masih banyak kemungkinan untuk pohon faktor di atas. 2. Faktor prima dari 12. Karena 12 = 2 x 6 dan 6 = 2 x 3, maka pohon faktornya adalah : 30

6

5

2

3

Jadi faktor prima dari 12 adalah 2, 2 dan 3 pada contoh di atas angka 2 ditulis 2 kali, sebab angka 2 muncul dua kali pada ujung pohon tersebut. Untuk selanjutnya bila faktor suatu bilangan diperoleh bilangan yang sam, maka faktornya akan ditulis sebagai bilangan berpangkat. Jadi untuk 2 faktor prima dari 12 pada contoh di atas menjadi 22 dan 3. Bila di tulis dalam himpunan adalah {22, 3}

Hubungan yang perlu kita ketahui dari faktor prima suatu bilangan dengan bilangannya adalah hasil kali faktor-faktor primanya merupakan bilangan itu sendiri. Untuk contoh di atas : 30 = 2 x 3 x 5

KESIMPULAN Secara singkat yang dibahas dalam makalah ini adalah hasil kali, faktor dan bilangan prima. Bila bilangan N merupakan kelipatan A, B, C, dan D, maka faktor dari N adalah {A, B, C, D}. {A, B, C, D} disebut faktor prima jika { A, B, C, D } merupakan himpunan bilangan prima (bilangan yang tepat memiliki dua faktor yaitu bilangan itu sendiri dan satu). Pohon faktor atau diagram pohon dapat digunakan untuk menentukan faktor prima dari suatu bilangan. Faktor prima pada diagram pohon adalah bilangan prima yang terdapat pada ujung pohon faktor tersebut. Jika (A, B, C, D) merupakan faktor prima dari bilangan N, maka pemfaktoran {faktorisasi} dari N adalah A x B x C x D.

DAFTAR PUSTAKA

Darhim. 1992. Materi Pokok Pendidikan Matematika 2.Jakarta : Universitas Terbuka, Depdikbud. Mustaqim, Burhan dan Astuty, Ary. 2008. Ayo Belajar Matematika. Jakarta : Aneka Ilmu.