Makalah Kelompok II Tugas Matdas I

Pendahuluan Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena dengan hidayah-Nya lah kami dapat menyelesaikan makalah Matematika Dasar 1 mengenai fungsi dan grafiknya, operasi fungsi, fungsi komposisi, fungsi trigonometri, pendahuluan limit, teorema limit dan kekontiniuan fungsi. Makalah ini kami kerjakan semaksimal mungkin dan dengan

bantuan

berbagai

pihak,

sehingga

dapat

memperlancar

pembuatan makalah ini. Untuk itu tidak lupa kami sampaikan banyak terima kasih kepada pihak yang telah membantu kami dalam pembuatan makalah ini, khususnya kepada Bapak Pada Oloan Siregar, S.Kom., M.T.I selaku Dosen mata kuliah Matematika Dasar I yang telah memberikan tugas ini kepada kami. Kami sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta pengetahuan kita. Kami juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam tugas ini terdapat banyak kekurangan dan  jauh dari apa yang kami harapkan. Untuk itu, kami berharap adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan di masa yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang membangun.

Jambi, 23 Januari 2015

Penyusun,

i

Daftar Isi

Kata Pengantar ................................................................................... i Daftar Isi ............................................................................................. ii BAB I FUNGSI DAN GRAFIKNYA ..................................................... 1 1.2. Pengertian ................................................................................ 1 BAB II OPERASI FUNGSI ................................................................ 4 2.1. Pengertian Operasi Fungsi ....................................................... 4 2.2. Jumlah, Selisih, Hasil Kali dan Bagi, Pangkat .......................... ............. ............... 4 BAB III FUNGSI KOMPOSISI ............................................................ 6 3.1. Pengertian ................................................................................ 6 3.2. Contoh Soal dan Penyelesaian .......................... ............. .......................... ....................... .......... 7 BAB IV FUNGSI TRIGONOMETRI .................................................... 9 4.1. Pengertian Fungsi Trigonometri ......................... ............ .......................... ....................... .......... 9 4.2. Nilai Fungsi Trigonometri ........................................................ 10 4.3. Fungsi – Fungsi Trigonometri ................................................. 12 4.3.1. Fungsi Sinus ..................................................................... 12 4.3.2. Fungsi Cosinus ................................................................. 12 4.3.3. Fungsi Tangen .................................................................. 13 4.4. Fungsi Invers Trigonometri ..................................................... 14 BAB V PENDAHULUAN LIMIT ........................................................ 16 5.1. Definisi Limit ........................................................................... 16 5.2. Limit Kanan dan Kiri (Limit Sepihak) ....................................... 17 5.2.1. Definisi Limit Kanan .......................................................... 18 5.2.2. Definisi Limit Kiri ............................................................... 18 BAB VI TEOREMA LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI ............... ............ ... 22 6.1. Teorema Limit ......................................................................... 22 6.1.1. Teorema Limit Utama ....................................................... 22 6.1.2. Teorema Substitusi ........................................................... 24 6.1.3. Teorema Apit .................................................................... 24 6.2. Kekontinuan Fungsi ................................................................ 25

ii

Daftar Isi

Kata Pengantar ................................................................................... i Daftar Isi ............................................................................................. ii BAB I FUNGSI DAN GRAFIKNYA ..................................................... 1 1.2. Pengertian ................................................................................ 1 BAB II OPERASI FUNGSI ................................................................ 4 2.1. Pengertian Operasi Fungsi ....................................................... 4 2.2. Jumlah, Selisih, Hasil Kali dan Bagi, Pangkat .......................... ............. ............... 4 BAB III FUNGSI KOMPOSISI ............................................................ 6 3.1. Pengertian ................................................................................ 6 3.2. Contoh Soal dan Penyelesaian .......................... ............. .......................... ....................... .......... 7 BAB IV FUNGSI TRIGONOMETRI .................................................... 9 4.1. Pengertian Fungsi Trigonometri ......................... ............ .......................... ....................... .......... 9 4.2. Nilai Fungsi Trigonometri ........................................................ 10 4.3. Fungsi – Fungsi Trigonometri ................................................. 12 4.3.1. Fungsi Sinus ..................................................................... 12 4.3.2. Fungsi Cosinus ................................................................. 12 4.3.3. Fungsi Tangen .................................................................. 13 4.4. Fungsi Invers Trigonometri ..................................................... 14 BAB V PENDAHULUAN LIMIT ........................................................ 16 5.1. Definisi Limit ........................................................................... 16 5.2. Limit Kanan dan Kiri (Limit Sepihak) ....................................... 17 5.2.1. Definisi Limit Kanan .......................................................... 18 5.2.2. Definisi Limit Kiri ............................................................... 18 BAB VI TEOREMA LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI ............... ............ ... 22 6.1. Teorema Limit ......................................................................... 22 6.1.1. Teorema Limit Utama ....................................................... 22 6.1.2. Teorema Substitusi ........................................................... 24 6.1.3. Teorema Apit .................................................................... 24 6.2. Kekontinuan Fungsi ................................................................ 25

ii

6.2.1. Sifat – Sifat Fungsi Kontinu .......................... ............. .......................... ..................... ........ 26 6.2.2. Kekontinuan Pada Selang ................................................ 28 KESIMPULAN .................................................................................. 29 DAFTAR PUSTAKA ......................................................................... 30

iii

BAB I FUNGSI DAN GRAFIKNYA 1.2 Pengertian Fungsi

adalah

suatu

aturan

korespodensi

(padanan)

yang

menghubungkan setiap objek x dalam himpunan yang disebut daerah asal. Dengan sebuah nilai f(x) dari setiap himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi.  Apabila sebuah fungsi g mengambil suatu bilangan ril x lalu mengkuadradkan

nya

x².

dan

mendapatkan

sebuah

rumus yang

memberikan pada aturan padanan. g(x)=x² maka dapat dibuat sebuah diagram skematis untuk fungsi ini. Daerah asal

daerah hasil

-2

4

-1

3

0

2

1

1

2

0 Daerah asal disebut juga domain. Sedangkan daerah hasil disebut

 juga kodomain.misalnya jika f adalah fungsi dengan aturan f(x) = x² +1 dan jika daerah asal dirinci sebagai (-1, 0, 1, 2,3) maka daerah hasilnya adalah (1,2,5,10). Daerah asal dan aturan menentukan daerah hasil tersebut. Daerah asal

f(x) = x²+1

daerah hasil

3

10

2

5

1

2

1

2

0

1

-1 Ketika fungsi daerah asal nya tidak dirinci, kita slalu menganggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan terear bilangan real sedemikian rupa sehingga aturan fungsi ada maknanya dan memberikan bilangan real. Ini disebut daerah asal alami. Bilangan bilangan yang harus anda ingat untuk ditiadakan dari daerah asal alami adalah nilai nilai yang menyebkan munculnya pembagian dengan nol atau akar kuadrat bilangan negatif. Notasi fungsi dilambangkan dengan huruf tunggal seperti f   (atau g

atau F). maka f(x) dibaca “f dari x” atau “f pada x”. menunjukkan nilai yang diberikan oleh f terhadap x. jadi jika f(x)=x³-4. Maka F(2)= 2³-4 = 4 F(-1)=(-1)³-4 = -5 F(a)=a³-4 Bilamana aturan fungsi diberikan sebuah persamaan y=f(x), x disebut peubah bebas dan y disebut peubah tak bebas. Sebarang nilai boleh dipilih sebagai nilai dari peubah bebas x, sedangkan nilai y bergantung pada pilihan x. Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan himpunan bilangan real, kita tentu dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafik pada bidang koordinat. Dan grafik fungsif adalah grafik dari persamaan y=f(x) Selain itu fungsi genap dan ganjil juga menentukan bentuk grafik. Seringkali

kita

memperkirakan

kesimetrisan

suatu

fungsi

dengan

3

memeriksa rumus fungsi tersebut. Jika f(-x)=f(x) untuk semua x, maka grafik simetris terhadap sumbu y. fungsi demikian disebut fungsi genap, barangkali karna fungsi menentukan f(x) sebagai jumlah dari pangkat pangkat genap x adalah genap. Fungsi f(x)= x²-4. Demikian juga f(x) =

36  2 11 5,

  , dan f(x) = (−) (+ ) 

=

 f(x) =

 y  6

4

2

-4

2

-2

4

 x 

-2

-4

Sedangkan fungsi ganjil adalah fungsi yang memiliki grafik simetris terhadap titik asal. Fungsi yang memberikan f(x) sebagai jumlah dari pangkat pangkat ganjil x adalah ganjil. Dengan persamaan f(-x) = -f(x). Jadi g(x) =

  2

.

BAB II OPERASI FUNGSI 2.1. Pengertian Operasi Fungsi Fungsi bukanlah bilangan. Akan tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b. dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b. demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan fungsi baru f + g. Jumlahan f + g , selisih f - g , hasil kali skalar a. f , hasil kali f .g , dan hasil bagi f /g masing-masing didefinisikan sebagai berikut: 1. (f+g)(x)= f(x) + g(x) 2. (f-g)(x)=f(x) - g(x) 3. (af)(x) = a f(x) 4. (f.g)(x)= f(x)g(x) 5. (f/g)(x)= f(x)/g(x), g(x)≠0 2.2. Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, Pangkat. Jumlah fungsi f dan g dengan rumus rumus

 ()= 32 ,()=√ Kita dapat membuat sebuah fungsi baru f+g dengan

cara

memberikan pada x nilai (x-3)/2+√x yakni

(  )() =() () = 32 √ Dengan catatan daerah asal f+g adalah irisan (bagian bersama) dari daerah asal f dan g. Fungsi fungsi f-g, f◦g, dan f/g diperkenalkan dengan cara yang analog. Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal alami.

4

5

Jika f  dan g  masing-masing:

Maka tentukan: f + g , f – g  ,f . g  ,dan f/g beserta domainnya. Penyelesaian:

Karena masing mempunyai domain:

, maka f + g , f – g  ,f . g  ,dan f/g masing-

BAB III FUNGSI KOMPOSISI 3.1. Pengertian Fungsi komposisi merupakan sebuah fungsi gabungan dari fungsi satu ke fungsi lainnya. Penggabungan suatu fungsi selalu menggunakan metode subtitusi. Seperti contoh, fungsi f dan fungsi g yang didefinisikan oleh: F(x) = x2 dan g(x) = 2x + 1 Pilihlah sembarangan bilangan di dalam domain fungsi g, misalkan x = -2, maka: g(x) = 2x + 1 g(-2) = 2(-2) + 1 g(-2) = -3 Hasil -3 dari g di proses lagi menjadi masukan untuk fungsi f, diperoleh : f(x) = x2 f(-3) = (-3)2 f(-3) = 9 Penjelasan tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut : 1. Mulai dengan memasukan nilai x dan hitunglah g(x) 2. Pergunakan hasil g(x) sebagai suatu masukan untuk formula fungsi dan hitunglah f(g(x)) Hasil f(g(x)) sering dinotasikan sebagai ( f o g )(x) dibaca : 1. f bunderan g terhadap x 2. f noktah g terhadap x

6

7

3. f komposisi g terhadap x Dari kesimpulan tersebut dapat ditarik definisi untuk komposisi fungsi ( f o g ) yaitu : 1. diberikan dua fungsi f dan g, fungsi ( f o g )(x) ditentukan oleh formula ( f o g )(x) = f(g(x))



2. Domain dari ( f o g )(x) terdiri atas masukan x (x  domain g) dan g(x) domain f. Sifat – sifat komposisi fungsi 1. Pada umumnya tidak komutatif (g o f)(x)

≠

 (f o g)(x)

2. Operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif (f o (g o h))(x) = ((f o g)o h)(x) 3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x (f o I)(x) = (I o f)(x) = x

3.2.

Contoh Soal dan Penyelesaian Diketahui : fungsi f(x) = x – 1;g(x) = x + 2; h(x) = x2 – 1 maka (f o g)(x) = f(g(x))

(g o f)(x)

= g(f(x))

= f(x + 2)

= g(x – 1)

= (x + 2) – 1

= (x – 1) + 2 = x – 1

(f o g)(x) = x + 1

(g o f)(x)

(g o h o f)(x) = g(h(f(x)))

(h o f o g)(x)

= h(f(g(x))

= g(h(x – 1))

= h(f(x + 2))

= g((x – 1)2 – 1)

= h((x + 2) – 1)

= g(x2 – 2x)

= h(x + 1)2 – 1



8

= (x2 – 2x) + 2

= (x + 1)2 – 1

(g o h o f)(x) = x2 – 2x + 2

= (x2 + 2x + 1) – 1 (h o f o g)(x)

= x2 + 2x

BAB IV FUNGSI TRIGONOMETRI

4.1 Pengertian Fungsi Trigonometri

Jika kita perhatikan gambar di samping, Y

perbandingan

y ϴ

O

x

untuk

sudut

masing-masing adalah:

P r

trigonometri

P1

X

sin=  cos=  tan= 

Karena untuk setiap sudut θ mengakibatkan hanya ada satu nilai sin θ, cos θ dan tan θ maka terdapat pemetaan dari himpunan real (R ) ke himpunan bilangan real (R ). Pemetaan-pemetaan atau fungsi-fungsi sin, cos dan tan merupakan pemetaan dari himpunan sudut ke bilangan real. Hal ini dapat digambarkan sebagai berikut :

R 

R 

R 

 f  

R 

B

 f  

R   f  

•

•

•

•

•

•

θ

sin θ

θ

cos θ

θ

tan θ

Gambar a

Gambar b

Gambar c

a. Gambar (a) fungsi sinus didefenisikan f : sin  ,  R , dengan f

   sin 

9

10

b. Gambar (b) fungsi kosinus didefenisikan f : cos  ,  R , dengan  f

   cos  c. Gambar (c ) fungsi tangen didefenisikan f : tan  ,  B, dengan f

   tan 

Untuk B = R \

…,  ,  ,  ,  ,…} …,  ,  ,  ,  ,…}

artinya semua anggota himpunan

bilangan real selain

Fungsi f    sin  , f    cos  f    tan   disebut sebagai fungsi trigonometri. Adapun nilai sin, cos, dan tan suatu sudut dapat bernilai positif, nol atau negatif tergantung letak sudut di kuadrannya.

4.2 Nilai fungsi trigonometri Menentukan nilai fungsi trigonometri sama dengan cara menentukan fungsi linier, fungsi kuadrat yang sudah kita pelajar, yakni dengan cara mensubtitusikan nilai variabel yang diberikan kedalam fungsi.

Contoh: 1. Tentukan nilai fungsi dari f(x) = 2 sin x, jika nilai x = 45o Penyelesaian f(x) = 2 sin x; x = 45o f(45 o ) = 2 sin 45o

 √ 2 √ 2

f(45 o ) = 2 f(45 o ) =

2. Tentukan nilai fungsi f(x) = Penyelesaian

+− + 

; jika x =

 

11

    + −   . +  √ +−(√ ) √ +() √ −+8   √ −8−8 = √  √  −√ + = −6  = −6 √ 

f 

 =

=

f 

 √ 2

3. Jika  f ( x) = k .cos x + (k + 4)sin x + 3 dan f 

Penyelesaian f  x   k .cos x  k  4sin x  3 f  x   k .cos x  k.sin x + 4 sin x  3 f  x   k (cos x + sin x) + 4 sin x + 3

 cossin4sin3 √ 2 12 √ 2  12 √ 2 12 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 3) √ 2 √ 2

f 

= k 

3+

 =

3+

 = k 

k 

 = (3 +

k 

 = -

k = -1

 + 4

 + 2

)  –  (2

 + 3

 + 3

 = 3 +

 maka nilai k adalah...

12

4.3 Fungsi – Fungsi Trigonometri 4.3.1. Fungsi Sinus Bentuk Umum Bentuk umum fungsi sinus adalah f(x) = sin x, dengan x adalah satuan ukuran sudut. Grafik fungsi sinus dapat diperoleh dengan membuat tabel nilai sinus dari sudut - sudut yang berada dalam daerah definisi. Dibawah ini fungsi sinus untuk daerah definisi [0o, 360o]. xo Sin x xo Sin x

0 0

30 0,5

210 -0,5

60 0,86

240 -0,86

90 1

270 -1

120 0,86

150 0,5

300 -0,86

330 -0,5

180 0

360 1

Grafik Fungsi Sinus

Jika daerah definisi diperluas untuk x

 R maka dapat diamati bahwa f(x)

= sin x adalah fungsi periodik dengan periode 360o atau 2

 

 radian.

4.3.2. Fungsi Cosinus Bentuk Umum Bentuk umum fungsi cosinus adalah f(x) = cos x, dengan x adalah satuan ukuran sudut.