Makalah Kelompok 3 - Distribusi Maxwell

 

FISIKA STATISTIKA “DISTRIBUSI MAXWELL dan KERAPATAN MOLEKUL GAS”

DOSEN PENGAMPU: Dr. Rai Sujanem, M.Si. I Gede Arjana, S.Pd, M.Sc. RWTH Dr. Nurfarisha, S.Si., M.Sc OLEH: M. Syahrizal Aldi

1813021003/ 6A

Aisyah Luthfi Wardani

1813021010/ 1813021010/ 6 A

Rindi Novita Sari

1813021012/ 6 A

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN FISIKA DAN PENGAJARAN IPA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA SINGARAJA 2021

i

 

KATA PENGANTAR 

Puji syukur kami panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan den gan rahmat rahmat-Ny -Nya, a, kami kami selaku selaku penuli penuliss dapat dapat menyel menyelesai esaikan kan makalah makalah yang yang  berjudul “Distribusi Maxwell dan Kerapatan Molekul Gas” ini dengan baik. Tidak  lupa kami mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah ikut andil dalam pembuatan makalah ini. Khususnya kepada dosen dan semua orang yang telah memberi bantuan moriil maupun materiil. Kami menyadari keterbatasan keterbatasan pengetahuan, pengetahuan, wawasan wawasan dan kemampuan kemampuan kami menyebabkan makalah ini memiliki banyak kekurangan dan kelemahan,  baik dalam isi maupun sistematikanya. Oleh karena itu, kami sangat mengha men gharap rapkan kan adanya adanya kritik kritik dan saran saran untuk untuk menyem menyempur purnak nakan an makala makalah h ini. ini. Harapan kami, semoga makalah ini bisa bermanfaat bagi para pembaca.

Denpasar, 28 Februari 2021

ii

 

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.............................. PENGANTAR.................................................... ............................................ ......................................... ...................ii ii DAFTAR ISI............................................ ISI.................................................................. .............................................................. ........................................iii iii BAB I PENDAHULUAN............................ PENDAHULUAN.................................................. ............................................ ......................................1 ................1 1.1

Latar Belakang.. Belakang....... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... ............... ................... ..............1 .....1

1.2

Rumusan Rumusan Masalah..... Masalah.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... .......... ............... ................... ...........2 .2

1.3

Tujuan... Tujuan........ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... ........2 ...2

1.4

Manfaat.... Manfaat......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .....2 2

BAB II PEMBAHASAN........................... PEMBAHASAN................................................. ............................................ ..................................... ..................3 ...3 2.1

Jumlah Jumlah Molek Molekul ul Berke Berkecep cepata atan n pada Sum Sumbu bu x, y, y, z...... z......... ....... ........ ........ ........ ........ ........ .....3 .3

2.1.1 2.1 .1

Jumlah Jumlah Molek Molekul ul Berkec Berkecepa epatan tan ke Satu Satu Arah Arah... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... .......3 ...3

2.1.2 2.1 .2

Jumlah Jumlah Moleku Molekull Berke Berkecep cepata atan n ke Dua Arah.. Arah..... ...... ...... ...... ....... ........ ........ ........ ........ .......5 ...5

2.1.3 2.1 .3

Jumlah Jumlah Molek Molekul ul Berkec Berkecepa epatan tan ke Tiga Tiga Arah.. Arah..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .....6 ..6

2.1 Kerapatan Kerapatan Molekul Molekul Gas........ Gas............. .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........7 .....7 2.3 Distribusi Kecepatan dan Kelajuan Molekul.................................................9 2.3.1 2.3 .1

Distri Distribus busii Kecepa Kecepatan tan Moleku Molekul.. l..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ........ ........ ........ ........ .......9 ...9

2.3.2

Distribusi Kelajuan Molekul...................................... Molekul............................................................14 ......................14

BAB III PENUTUP................................. PENUTUP....................................................... .............................................................. ........................................17 17 3.1

Kesimpulan Kesimpulan..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... .......... ......17 17

3.2

Saran..... Saran.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. ..........17 ..17

DAFTAR PUSTAKA

iii

 

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Latar Belakan Belakang g

Teori kinetik adalah teori yang menjelaskan perilaku sistem –sistem fisiss dengan fisi dengan mengan mengangga ggap p bahwa bahwa sistemsistem-sist sistem em fisis fisis ter terseb sebut ut terdiri terdiri atas atas sejumlah besar molekul sejumlah molekul yang bergerak bergerak sangat cepat. Teori kinetik gas (juga dikena dik enall sebaga sebagaii teori teori molek molekul ul kineti kinetik) k) adalah adalah hukum hukum yang yang menjela menjelaska skan n  perilaku gas ideal. Menurut teori ini, gas yang terdiri dari partikel-partikel kecil secara acak, gerak garis lurus. Mereka bergerak cepat dan terus menerus dan membuat tabrakan dengan satu sama lain dan dinding. Ini adalah teori  pertama untuk menggambarkan tekanan gas dalam hal tabrakan dengan dinding wadah, bukan dari kekuatan statis yang mendorong molekul terpisah. Teori kinetik juga menjelaskan bagaimana ukuran yang berbeda dari partikel dalam gas dapat memberi mereka berbeda, kecepatan individu. Dengan teori kinetik gas, dapat digunakan untuk memperkirakan besar  kecepatan atom-atom gas tersebut, dan dapat pula diperluaskan nanti untuk  menjelaskan keadaan fisika ion-ion di dalam plasma. Dalam bahasan kali ini, kita akan memulai dari atom gas ideal di dalam suatu bejana. Tentu kita sepakat bahwa energi kinetik (energi gerak) suatu atom gas ideal akan sebanding dengan suhu gas tersebut. Misalnya suatu kaleng kosong  bekas yang tertutup rapat, apabila terbakar ditempat sampah, tentu sering menimbulkan ledakan bukan? Semakin tinggi suhunya, maka semakin aktif  atom-atom gas dalam bejana tersebut bergerak yang akan mendorong tutup  bejana agar terbuka atau memecah dinding bejana yang akhirnya menimbulkan suara ledakan. Di dalam berbagai sistem, keberadaan partikel-partikel akan memiliki  berbagai variasi besar energi. Untuk gas, dapat diperlihatkan melalui diagram yang disebut dengan distribusi Maxwell-Boltzmann dimana setiap kumpulan  beberapa partikel memiliki energinya masing-masing. Berdasarkan paparan di atas, ata s, maka maka dirasa dirasa pentin penting g untuk untuk mengan mengangka gkatt judul judul “ Distribusi Maxwell” dalam penulisan makalah ini.

1

 

1.2 Rumusan Rumusan Masalah Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, dapat dirumuskan

 beberapa permasalahan yang akan dibahas dalam penulisan makalah ini. Adapun permasalahan yang dimaksud adalah sebagai berikut. 1) Baga Bagaim iman anaa dist distri ribu busi si Maxw Maxwel elll da dala lam m meng mengka kaji ji ka kasu suss-ka kasu suss ya yang ng  berkaitan dengan jumlah molekul dengan suatu rentang kecepatan dan kelajuan tertentu? 2) Bagaimana Bagaimana cara menentuk menentukan an konstanta-k konstanta-konstan onstanta ta dalam fungsi fungsi distribu distribusi si kecepatan Maxwell dan fungsi laju molekul maxwell? 3) Bagaimanaka Bagaimanakah h pembuktian pembuktian distribu distribusi si kecepatan kecepatan maxwell maxwell bila berdasark berdasarkan an  percobaan? 1.3 Tujuan Tujuan Berdasa Ber dasarka rkan n rumusa rumusan n masala masalah h di atas, atas, adapun adapun tujuan tujuan dari dari penuli penulisan san

makalah ini adalah sebagai berikut. 1) Untuk Untuk mengetah mengetahui ui distri distribus busii Maxwel Maxwelll dalam dalam mengka mengkaji ji kasus-k kasus-kasu asuss yang yang  berkaitan dengan jumlah molekul dengan suatu rentang kecepatan dan kelajuan tertentu. 2) Untuk Untuk menget mengetahu ahuii cara cara menent menentuka ukan n konsta konstanta nta-kon -konstan stanta ta dalam dalam fungsi fungsi distribusi kecepatan Maxwell dan fungsi laju molekul Maxwell. 3) Untu Untuk k meng menget etah ahui ui pemb pembuk ukti tian an di dist stri ribu busi si ke kece cepa pata tan n Maxw Maxwel elll bi bila la  berdasarkan percobaan. 1.4 Manfa Manfaat at

Adap Ad apun un manf manfaat aat ya yang ng dipe dipero role leh h da dari ri pe penu nuli lisan san maka makala lah h in inii ad adal alah ah sebagai berikut. 1) Dapat Dapat menget mengetahu ahuii distrib distribusi usi Maxwell Maxwell dalam mengkaji mengkaji kasus-kas kasus-kasus us yang yang  berkaitan dengan jumlah molekul dengan suatu rentang kecepatan dan kelajuan tertentu. 2

 

2) Dapat Dapat menget mengetahu ahuii cara cara menent menentuka ukan n konsta konstanta nta-ko -konst nstant antaa dalam dalam fungsi fungsi distribusi kecepatan Maxwell dan fungsi laju molekul Maxwell. 3) Dapa Dapatt meng menget etah ahui ui pemb pembuk ukti tian an di dist stri ribu busi si ke kece cepa pata tan n

Maxw Maxwel elll

bi bila la

 berdasarkan percobaan.

3

 

BAB II PEMBAHASAN 2.1 Jumlah Molekul Molekul Berkecepatan Berkecepatan pada Sumbu x, y, z

(a)

Sumber:

(b)

Gambar 1. (a) James Clerk Maxwell, (b) Ludwig Boltzman

https://physicsworld.com Distribusi Distrib usi Maxwell-Bolt Maxwell-Boltzman zman menggambark menggambarkan an kecepatan kecepatan molekul molekul dalam gas, dimana dimana molekul gas dapat bergerak bebas dan bertumbukan kecil satu sama lain, tetapi tidak memliki interaksi [ CITATION Wik202 \l 1033 ] . Menurut [ CITATION Ikh13 \l 1033 ]   menyatakan bahwa  beberapa gas dapat bergerak dengan sangat cepat dan yang lainnya dapat bergerak lambat. Dengan demikian, ada sebaran jumlah molekul mulai dari kecepatan nol hingga kecepatan yang sangat besar.  Pada materi sebelumnya juga sudah dijelaskan bahwa molekul gas dapat  bergerak bebas menumbuk dinding wadah dengan suatu kecepatan tertentu. Kecepatan molekul bergerak ini tidaklah sama, lalu bagaimana kecepatan molekul-molekul itu bekerja?. Pada tahun 1859 James Clerk Maxwell melakukan penentuan fungsi distribusi kecepatan moleku mol ekull yag kemudi kemudian an dikaji dikaji oleh oleh Ludwig Ludwig Boltzm Boltzman an dengan dengan mekani mekanika ka statist statistik. ik. Pada Pada [ CITATION Sir12 \l 1033 ]  dituliskan bahwa Ludwig Boltzmann (1844–1906) menyumbangkan

hubung hub ungan an mendas mendasar ar dalam dalam kineti kinetika ka dan memper memperken kenalk alkan an rumusan rumusan entrop entropi. i. Sebelu Sebelum m melangkah pada materi distribusi kecepatan dan kelajuan maxwell-boltzman, terlebih dahulu kita akan bahas tentang jumlah molekul berkecepatan pada sumbu x, y, dan z.

4

 

2. 2.1. 1.1 1

Juml Jumla ah Mole olekul kul Berk rkeece cep patan atan ke Sat atu u Ara Arah

Ketika dalam suatu wadah terdapat gas yang kemudian dipanaskan hingga membu mem buat at moleku molekul-mo l-molek lekul ul gas tersebu tersebutt berger bergerak ak ke segala segala arah. arah. Perger Pergeraka akan n gas dalam wadah ini tentu dengan kecepatan yang berbeda dan dengan arah yang berbeda. Dalam [ CIT ITAT ATIO ION N Sur1 Sur11 1 \l 1033 1033 ]  ditu dituli lisk skan an ba bahw hwaa ke kecep cepat atan an setia setiap p mole moleku kull dinyatakan sebagai vektor dengan titik tangkap pada pusat koordinat maka vektorvektorr ini akan tampak vekto tampak sebagai sebagai kumpulan kumpulan anak panah yang menembus menembus permukaan khayal tertentu. Setiap vektor dapat diwakili oleh ujung vektor berupa titik. Titik-titik  ini ini ak akan an memb memben entu tuk k sebua sebuah h ru ruan ang g ya yang ng ki kita ta sebut sebut sebag sebagai ai ru ruan ang g ke kecep cepat atan an.. Perhatikan gambar diagram ruang kecepatan dibawah ini.

Sumbu  x, y, z   menyat menyataka akan n kompon komponen en kecepa kecepatan tan.. Kita Kita dapat dapat tulisk tuliskan an uantita titass v ko komp mpon onen en ke kece cepa pata tan n pa pada da masin masing-m g-masi asing ng sumb sumbu u ad adal alah ah v x , v y , v z. Kuan menyatakan besarnya kecepatan. Sehingga, dapat dituliskan bahwa: 2

2

2

2

......................................... ............................................ ............................(1.1) ......(1.1) v = v x + v y + v z................... Dalam sumbu koordinat koordinat ini setiap vektor kecepatan dapat ditentukan ditentukan dengan koordinat titik ujung vektornya. Karena itu, untuk membicarakan distribusi kecepatan molekul molek ul cukup diperhitungk diperhitungkan an destribusi destribusi titik representatif representatif yang merupakan titik  ujung uju ng masing masing-ma -masin sing g vektor vektor kecepa kecepatan tan.. Selanj Selanjutn utnya ya kita kita akan akan membah membahas as jumlah jumlah mole mo leku kull berk berkec ecep epat atan an ke sa satu tu ar arah ah.. Di Diti tinj njau au su suat atu u da daer erah ah ke kece cepa pata tan n ya yang ng digambarkan pada gambar diatas dan daerah kecepatan ini meliputi elemen volume

d v x , d v y , d v z   harus mengandung mengandung titik representatif representatif yang jumlahnya jumlahnya banyak sekali

5

 

tetapi cukup kecil bila dibandingkan dengan seluruh titik representatif . Terdiri dari molekul yang mempunyai komponen kecepatan terletak di antara

v xsampai v x + d v x  .......................................... ................................................................ ...........................(1.2) .....(1.2) v ysampai v y + d v y ........................................... ................................................................. ..........................(1.3) ....(1.3) v zsampai v z + d v z ............................................ .................................................................. ..........................(1.4) ....(1.4) Misalnya N  Misalnya  N   adalah adalah jumlah seluruh molekul, maka untuk komponen kecepatan

v x  samp sampai ai v x + d v x   terdapat terdapat sejuml sejumlah ah d N v   molekul. molekul. Kemudian, Kemudian, untuk untuk komponen komponen  x

kecepa kec epatan tan v y  sampa sampaii v y + d v y  terdap terdapat at sejuml sejumlah ah d N v   dan komponen komponen kecepatan kecepatan v y  y

sampai v y + d v y terdapat sejumlah d N v .  y

Selanjutnya, kita dapat tentukan berapa jumlah molekul dengan komponen

v v +d v  x . Jumlah molekul dengan komponen ke kece cepa pata tan n ar arah ah  x   diant diantar araa  x  sampa sampaii  x kecepatan arah  x  diantara v x sampai v x + d v x  mempunya fraksi molekul d N v

 x

 N 

……………….......................................... ……………….................... ............................................ ............................(1.5) ......(1.5)

Fraksi molekul tersebut bergantung pada dua faktor, yaitu ketebalan lempeng

d v x dan letak lempeng v x  pada ruang kecepatan, sehingga fraksi molekul dinyatakan sebagai

d N v

 x

 N    =f  ( v x ) d v x ……………….................................................(1.6) f  ( ( v x ) merupakan fungsi probabilitas densitas atau fungsi distribusi. Terdapat  juga f  ( ( v y )dan f  ( ( v z ). Pada setiap arah dengan kecepatan yang berbeda-beda, terdapat  jumlah molekul yang berbeda-beda pula, sehingga jumlah molekul dengan komponen kecepatan ke tiap arah merupakan fungsi dari kecepatan yang bersangkutan. Sehingga  persamaan (1.6) dapat kita tuliskan kembali menjadi:

d N v = Nf   (( v x ) d v x……………….................................................(1.7)  x

6

 

Hal serupa juga berlaku untuk jumlah molekul dengan komponen kecepatan ke arah arah  y   dan  z . Sehingga, untuk masing-masing komponen kecepatan didapatkan  jumlah molekulnya dengan menggunakan menggunakan perumusan dibawah ini

d N v = Nf   (( v x ) d v x……………….................................................(1.8-1)  x

d N v = Nf  ( v y ) d v y……………….................................................(1.8-2)  y

d N v = Nf   (( v z ) d v z……………….................................................(1.8-3)  z

2. 2.1. 1.2 2

Juml Jumla ah Mole olekul kul Berk rkeece cep patan atan ke Dua Ara Arah

Selanjutnya, fraksi molekul dengan komponen kecepatan ke arah  x  diantara v x sampa sam paii v x + d v x , pada waktu yang sama memungkinkan untuk memiliki komponen kecepa kec epatan tan ke arah arah  y  diant  diantara ara v y  sampai v y + d v y. Jumla Jumlah h molekul molekul yang mempunyai mempunyai kompon kom ponen en kecepa kecepatan tan ke dua arah, misalkan misalkan arah arah  x   d daan  y   pada daerah kecepatan serta v y  sam sampai v x + d v x   se antara v x  sa dapat ditent ditentuka ukan n dengan dengan sampai v y + d v y  dapat mema me mand ndan ang g mole moleku kull d v x  ya yang ng sekali sekaligu guss memp mempun unya yaii ko komp mpon onen en pa pada da da daera erah h kecepatan d v y . Karena fraksi molekul dipandang memliki dua komponen kecepatan, maka haruslah diberikan oleh fungsi v x  dan v y. Kita ketahui bahwa persaman fraksi molekul untuk komponen arah  x  dan komponen arah  y  diberikan oleh persmaan (1.81) da dan n (1.8 (1.8-2 -2). ). Maka Maka kita kita da dapa patk tkan an fraks fraksii ju juml mlah ah mole moleku kull de deng ngan an ko komp mpon onen en yang memili memiliki ki kompone komponen n arah  y   dian dianta tara ra v y  samp sampai ai v y + d v y  sama ke kece cepa pata tan n v x  yang dengan fraksi jumlah total yang memiliki komponen arah  y  di dalam rentang yang sama. Sehingga persamaan untuk fraksi molekul yang memiliki komponen kecepatan arah  x  dan arah  y  adalah: 2

d  N v v

 x  y

d N v

……………….................................................(1.9)

 x

Kemudi Kem udian, an, fraksi dari jumlah jumlah total total den dengan gan komponen komponen arah  y   dian dianta tara ra v y samp sampai ai v y + d v y  diberikan oleh persamaan (1.8-2). Sehingga apabila kita kerjakan secara matematis antara persamaan (1.9) dan persamaan (1.8-2), sebagai berikut: 2

d  N v

v

 x  y

d N v

 x

=

d N v

 y

 N  7

 

Substitusikan, pers. (1.8-2) kedalam persamaan diatas, maka 2

d  N v

 x

v y

d N v

= f   (( v y ) d v y

 x

d  N v v =d N v f   (( v y ) d v  y 2

 x

 x

 y

Kemudian, substitusikan pers (1.8-1) kedalam persamaan diatas, maka

d  N v v = Nf   (( v x ) f   (( v y ) d v y d v x………………...........................(1.10) 2

 x

 y

Hal serupa juga berlaku untuk jumlah molekul dengan komponen kecepatan arah  y  dan arah  z , komponen kecepatan arah  z  dan arah  x . Dengan persamaan sebagai  berikut:

d  N v v = Nf   (( v x ) f   (( v y ) d v x d v y………………...........................(1.11-1) 2

 x

 y

d  N v v = Nf   (( v  y ) f   (( v z ) d v y d v z………………...........................(1.11-2) 2

 y  z

d  N v v = Nf   (( v z ) f   (( v x ) d v z d v x………………............................(1.11-3) 2

 z

2. 2.1. 1.3 3

 x

Juml Jumla ah Mole olekul kul Berk rkeece cep patan atan ke Tig iga a Ara Arah

Seperti keadaan sebelumnya untuk kecepatan dua arah, dari jumlah molekul yang mempunyai mempunyai komponen komponen kecepatan pada daerah kecepatan kecepatan d v x  d daan d v y   dapat ditentukan bagian jumlah molekul komponen kecepatan yang sekaligus pada ketiga 2 yang sekali sekaligus gus Bagian an terse tersebu butt ya yait itu u da dari ri d  N v v   yang daerah kecepatan kecepatand v x , d v y , d v z . Bagi  x

 y

2  berkomponen kecepatan pada daerah kecepatan d v z dan dari d  N v v  yang sekaligus  x

 y

mempunyai komponen kecepatan pada daerah kecepatan  d v y . Bagian jumlah molekul untuk yang berkomponen pada tiga arah masing-masing yaitu,

d  N v v v =d  N v v f   (( v z ) d v z………………............................(1.12-1) 2

3

 x

 y

 y

=d  N v v f   (( v x ) d v x ………………............................(1.12-2) 2

3

d  N v

 x

 z

v v x

 y  z

 y  z

d  N v v v =d  N v v f   (( v y ) d v y ………………............................(1.12-3) 2

3

 z

 x

 y

 z

 x

8

 

Apabila Apabi la persamaan persamaan (1.11-1), (1.11-1), (1.11-2), (1.11-2), (1.11-3) (1.11-3) disubstitusi disubstitusikan, kan, maka akan menjadi seperti dibawah ini 3

d  N v

 x

3

d  N v

v v x

 y  z

v  y v z

= Nf   (( v x ) f   (( v y ) d v x d v y f   (( v z ) d v z

= Nf  ( ( v y ) f   (( v z ) d v y d v z f   (( v x ) d v x

3

d  N v

 z

v x v  y

= Nf  ( ( v z ) f   (( v x ) d v z d v x f   (( v  y ) d v  y Apabila Apabi la diperhatik diperhatikan an ketiga ketiga persamaan persamaan diatas ternyata memiliki pola yang

sama. Sehingga kita dapatkan persamaan:

d  N v v v = Nf   (( v x ) f   (( v y ) f   (( v z ) d v x d v y d v z …….................(1.13) 3

 x

 y  z

Pada Pada pe pemb mbah ahasa asan n se sebe belu lumn mnya ya dike diketa tahu huii ba bahw hwaa f = f  ( ( v x ) f  ( ( v y ) f  ( ( v z ) , maka maka  persamaan (1.13) dapat disederhanakan menjadi, 3

d  N v

 x

v  y v z

= Nfd v x d v y d v z………………......….................(1.14)

Persamaan (1.14) adalah persamaan untuk fraksi molekul dengan komponen arah  x , arah  y , dan arah  z . 2.1 Kerapata Kerapatan n Molekul Gas

Titik-titik ujung vektor kecepetan disebut titik representatif yaitu yang Mewakili molekul. Karena, itu dapat dihitung ula jumlah titik representatif pr satu-satuan volume adalah ρ dan dapat ditulis,

 ρ =

  d 3 N  = Nf   (( v x ) f  ( v y ) f ( v z )  d v x v y v z

(2.1)

Kemudian Kemud ian kalau sebaran ke kecepatan kecepatan adalah isotropik maka c adalah sama untuk  daerah yang memiliki jarak dari 0 sampai v. Berlaku formulasi: 2

2

2

2

v = v  x + v y + v z

Dengan kata lain  ρ  besarnya sama dalam satu shell  satu shell  yaitu  yaitu bola berongga tipis dengan  jari-jari v dari 0 dan tebal dv dv..

dv

9

 

 dari 0 dan Tebal dv Gambar 3. Bola Berongga Tipis dengan Jari-Jari V  dari

Sekarang Sekar ang di analisis analisis kalau pindah pindah dari elemen volume volume 1 ke elemen volume II pada umum um umny nyaa  ρ   berubah. berubah. Perubahan Perubahan ρ   ya yang ng terja terjadi di ka kare rena na pe peru ruba baha han n v x , v y , v z . Se Secar caraa matematik matema tik dapat ditulis sebagai turunan turunan parsial dari  ρ   ke d v x, ke d v y dan ked v z  dan dapat ditulis dengan,

dρ =

 ∂ ρ  ∂ ρ  ∂ ρ dv d v y + d v x + ∂ v z  z ∂ v y ∂ v x

 (2.2)

Untuk f ( v x )ad adal alah ah fu fung ngsi si da dari ri v x dan f ( v y )dan f ( v y )  tidak tergantug dari v x, maka dapat ditulis persamaan:

]

[

 d ∂ρ f   (( v x ) f   (( v y ) f   (( v z ) = N  d v x ∂ v x

¿ Nf ' ( v x ) f ( v y ) f  ( v z )

(2.3)

Dengan cara yang sama dapat pula ditentukan

∂ ρ = N f ' ( v ) f  ( v ) f  ( v )  y  x  z ∂ v y ∂ρ  ¿ N f ' ( v z ) f  ( v x ) f  ( v  y ) ∂ v z Kasus khusus bisa ditinjau, yaitu elemen volume yang berada pada jarak yang yang sama dari  pusat, yaitu

, maka

akibatnya:

 ∂ ρ  ∂ ρ  ∂ ρ dv d v y + d v x + dρ = ∂ v z  z ∂ v  y  ρ v x

10

 

 

Maka dapat ditentukan,

 ∂ ρ  ∂ ρ  ∂ ρ dv d v y + d v x + dρ = ∂ v z  z ∂ v  y  ρ v x 0

= Nf ' ( v x ) f ( v y ) f   (( v z) d v x + Nf   (( v x ) f ' (v y ) f  ( v z ) d v y + Nf  (  ( v x ) f ( v y ) f ' ( v z ) d v z

Masing-masing ruas dari persamaan ini dibagi dengan f  ( v x ) f  ( v y ) f  ( v z ), sehingga didapat  persamaan berikut:

f ' ( v z)  f ' ( v y ) f ' ( v x )   d v z =0    d v y +   d v x + f  ( v z) f  ( v y ) f  ( v x )

(2.4)

Dalam daerah isotropik, nilai v konstan, sehingga: 2

2

2

2

v =v x + v y + v y = konstan Yang berarti,

0

=2 v x d v x + 2 v y d v y + 2 v z d v z

⇔

0

=v x d v x + v y d v y +v z d v z

..................................................(2.5) diferensial Persamaan ini menunjukkan bahwa di dalam kulit yang sama ( dρ =0 ¿, diferensial

d v x , d v y , dand dand v z   di dalam dalam persam persamaan aan (2.4) (2.4) tidak tidak saling saling bebas, bebas, karena karena tidak tidak dapat dapat diberikan diberi kan nilai nilai sembar sembarang ang,, namun namun harus harus memenu memenuhi hi persam persamaan aan (2.5) (2.5) yang yang disebu disebutt dalam persam persamaan aan (2.4) (2.4) saling saling  persamaan syarat . Dala Dalam m hal hal ini, ini, d v x , d v y ,dandv z di dalam  bebas (independen independen)) hanya dengan cara membuat koefisien sama dengan nol. Misalkan

d v x , d v y ,dandv z independent , dalam artian sebarang nilai dapat diberikan. Kemudian dapat diambild v x =d v y = 0 dan d v z ≠ 0. 2.3 Distribusi Kecepatan dan Kelajuan Molekul

2.3.1

Distribusi Kecepatan Molekul

Dari sudut ekperimental, seringkali lebih mudah untuk mengukur distribusi kecepatan dari pada distribusi energi. Jadi mari kita gunakan distribusi MaxwellBoltzmann untuk distribusi energi kinetik dalam gas untuk mendapatkan distribusi 11

⇔

v x d v

 

kecepatan molekul, yang kemudian dapat diuji di laboratorium. Artinya , kita ingin mendapatkan persamaan jumlah molekul dengan kecepatan dengan jumlah interval dv dv   pada v  (antara v  dan v  + dv dv), ), diwakili diwakili oleh dN   =  N(v)dv  N(v)dv.. Jumlah molekul dN  dalam interval adalah sama, apakah apakah itu tentang menghitungny menghitungnyaa dalam energi atau 1

2

kecepatan, dan dN  = N(E)dE   = N(E)dE  = N(v)dv  = N(v)dv,, atau N(v) atau N(v) =  = N(E)/dv  N(E)/dv.. Dengan  E = m v  dan 2

dE/dv = dE/dv  = mv mv,, kita dapatkan dN  = N(v)dv  = N(v)dv dengan

 N  ( ( v )= N  ( ( E  E )

 dE  = dv

 √ )

  2 N 

3

π ( kT  √ π 

2

2

 m v 2

(  ) mv = N  − mv

e

2

2 kT 

√  (

 )

3

(  )

 m 2 2 v e π  kT 

2

− mv

2

2 kT 

 

( 3.1 ) (Krane, 2011) Maka

√(

(−  ) dv …………………………………………(3.2) 2

)

3

 m 2 2 v e dN = N  π  kT  2

Pe Pers rsam amaa aan n

ini ini

mv 2 kT 

yang yang

dike dikena nall

deng dengan an

di dist stri ribu busi si

ke kece cepa pata tan n

Max Maxwell well,,

digambarkan pada gambar 1. Bagian yang diarsir menunjukkan jumlah dN  dalam   dalam interval dv dv hingga  hingga v. kecepatan yang mungkin terjadi pada nilai v p = (2kT/m)1/2.

12

 

Gambar 1. Distribusi kecepatan maxwell untuk molekul gas. Bagian yang diarsir 

merepresentasikan jumah molekul dengan kecepatan antara v dan v + dv (sumber: Krane, 2011)

Contoh percobaan untuk mengukur distribusi kecepatan molekul ditunjukkan  pada gambar 2. Sebuah lubang kecil di sisi oven memungkinkan aliran molekul ke kelu luar ar - kita kita meng mengan angg ggap ap lu luba bang ng terseb tersebut ut cu cuku kup p ke keci cill se sehi hing ngga ga di dist stri ribu busi si kecepatan di dalam oven tidak berubah.

Gambar 2. Peralatan untuk mengukur distribusi kecepatan molekul

(sumber: Krane, 2011 )

Berkas moleku Berkas molekull dibuat dibuat melewa melewati ti celah celah dalam dalam cakram cakram yang yang dipasan dipasang g pada pada  poros yang berputar dengan kecepatan sudut ω . Di ujung lain sumbu terdapat cakram berlubang kedua, tetapi celah dipindahkan dari yang pertama dengan sudut θ . Agar molekul dapat melewati kedua celah dan menabrak detektor, ia harus menempuh panjang poros L poros L masuk  masuk pada saat yang sama dibutuhkan poros untuk   berputar sesuai sudut θ , dan dengan demikian L/v demikian  L/v = θ/ ω  ω.  Dengan mempertahankan  L   L  da dan θ   tet tetap, ap, kita dapat dapat memvar memvariasi iasikan kan menabrak detektor untuk setiap nilai

; men menguk gukur ur jumlah jumlah moleku molekull yang yang

ω 

  yang berbeda memungkinkan kita untuk  untuk 

ω 

mengukur distribusi kecepatan Maxwell. Sekumpulan hasil eksperimen seperti itu ditunjukkan pada Gambar 3, dan kesepakatan antara distribusi kecepatan yang

13

 

diukur dan yang diprediksi sesuai dan kesepakatan antara distribusi kecepatan yang diukur dan yang diprediksi menurut Persamaan (1) atau (2) sangat mengesankan.

Gambar 3. Hasil pengukuran dari distribusi kecepatan atom uap thallium. Garis

tebal diperoleh dari kecepatan distribusi maxwell untuk suhu oven 870 K  (Sumber: Krane, 2011)

Dari contoh ini Anda juga dapat melihat pentingnya interval dv dv.. Apa yang kita ukurr selalu uku selalu merupa merupakan kan hasil hasil kali kali  N(v)dv  N(v)dv,, dan dalam hal ini kisaran kecepatan ditentukan terutama oleh lebar celah pada cakram. Untuk membuat dv dv sangat  sangat kecil dan dengan dengan demiki demikian an menguk mengukur ur v  "denga "dengan n tepat", tepat", kita perlu perlu membua membuatt celahcelahcelahnya sangat kecil, sehingga sangat sedikit molekul yang dapat melewatinya. Untuk percobaan yang sempurna, kita membuat dv => 0 dengan membuat lebar  celah sama dengan 0, dan tidak ada molekul yang melewati peralatan.

 

Langkah Dalam Mendapatkan Persamaan Kecepatan Distribusi Maxwell

Sebelumnya kita menyatakan distribusi dalam jumlah penempatan rata-rata tingkat tingk at makro yang termasuk interval interval energi antara ε  j  dan ε  j + ∆ ε j   . Misalkan N merupakan jumlah total molekul dengan energi ke atas dan termasuk energi ε  j:

14

 

 N  dN  j=   e Z 

(−  ) dg    Ei k T 

…………………………………………………………(3.3)

a. Menca Mencari ri fung fungsi si degene degeneras rasii (dg  (dg )

Besarnya fungsi degenerasi: Fungsi degenerasi dari jumlah keadaan yang energinya antara Ek dan Ek + ΔEk 

dg =

 1

dg =

3

h

∭∭ dxdydzd p d p  x

V 

dp ∭ h 3

 x

 y

∭ dxdydz  …(3.4a)

d p z → Volume ( V  ) )=

d p  y d p z  

Dari persamaan di Atas  p= mv (momentum), sehingga dp =mdv

dg =

V  3

h

∭ md v

3

 x

m V  dg = 3 h

  ∭d v

md v y md v z 

 x

d v  y d v z 

d v x d v y d v z dalam elemen kecil volume bola yaitu v 2 dvsinθdθd ∅  

15

 

Gambar 4. Koordinat Bola dimana koordinat v dalam 3 dimensi (x, y, z). Pada

gambar di atas jika r  diubah  diubah ke dalam bentuk v dan dan  jika  jika diambil elemen kecil volume bola akan membentuk v 2 dvsinθdθd ∅ ) (Sumber: Boas, 2006)

Kemudi Kem udian an elemen elemen volume volume bola bola tersebu tersebutt diinte diintegra gralka lkan n sehing sehingga ga dipero diperoleh leh  persamaan seperti berikut: 3

m V  dg = 3 h

  ∭ v dvsinθdθd 2

π 

3

m V  2 dg = 3   v dv h θ= 0

 ∅

 

2 π 

∫ ∫ sinθdθd ∅

m V  2 sinθdθ dg = 3   v dv h = θ 0

∫

3

 

=0

π 

3

∅

2 π 

∫d ∅

∅

 

=0

(

 )

m V  2 π  2 π  dg = 3   v dv − cosθ| φ|   0 0 h 3

m V  2 dg = 3   v dv ( 2)( 2 π )   h dg =

4πm

3

3

V  2   v dv  …………………………………………………….(3.4b)

h

b. Menc Mencar arii Fungs Fungsii Parti Partisi si

Fungsi partisi partikel dapat dicari dengan memasukkan fungsi degenerasi ke dalam fungsi partisi E  partisi  E   yang merupakan besarnya energi kinetik partikel yaitu

Z =

mv

2

:

2

(e −  )dg ………………………………………………………..(3.5a)  Ei kT 

∫ 16

 

∫

Z =

(e −  ) 4 π m V   v dv    Ei kT 

2

h

3

Z =

3

4πm 3

h

V 

 ∫

3

− (  ) vdv  ve  E i kT 

Misal kita kembali ke kalkulus tentang integral substitusi:

u=

m v2 2 kT 

du =

mv   dv kT 

vdv=

kT    du m

(  )

v=

2 ukT 

1 2

m

Sehingga fungsi partisi menjadi: 3

Z =

4πm

1

2 ukT 

m

  ∫( 0

3

4πm 3

2

2πm

V 

3

2 kT 

2 kT 

  du

 ) ∫( )

2

3

( −u)  kT 

m

1

∞

1

  kT  ( −u ) u 2 e du m 0 ∞

1

u 2e

2

m

h

e

  (  )   (  ) ∫ ( ) V 

m

h

3

Z =

∞

3

h Z =

V 

( − u)

du

0

Solusi Sol usi dari dari integr integral al ini dapat dapat disele diselesaik saikan an dengan dengan menggu menggunak nakan an fungsi fungsi gamma, yaitu: ∞

1

∫(u )

2

e

(− u )

du→n−1 =

0

1 2

n= 3

2

() ( ) () 3

 Γ ( n ) = Γ 

2

= Γ  1 +

1 2

1

1

2

2

=  Γ 

1

π  = √ π  2

Sehingga 3

Z =

2πm 3

h

  (  )

V 

2 kT 

m

3 2

 1 2

π   √ π 

3

V  Z = 3 ( 2 πmkT ) 2  ………………………………………………(3.5b) h

17

 

Bany Ba nyak akn nya  N v me menu nunj njuk ukka kan n ju juml mlah ah ra ratata-ra rata ta mole moleku kull de deng ngan an semua semua kece kecepa pata tan n dan dan term termas asu uk v, dan dN v  ad adal alah ah ju juml mlah ah ratarata-rat rataa de deng ngan an kecepatan antara v dan v + Δv Δv. Berdasarkan besaran yang telah kita peroleh di atas, maka kita dapat substitusikan persamaan (4b) dan (5b) ke persamaan (3)

( −  )dg  ……………………………………………….(3.6a)  Ei kT 

 N  dN v =   e Z 

(e −  ) 4 π m V   v dv 2

dN v =

 

mv 2 kT 

N  3

V  (2 πmkT ) 2 3 h

3

2

3

h

(e −  ) dv

 

2

3

dN v =

  4πm

 N 

3

3

( 2 π ) ( mkT ) 2

dN v =

 (  )

4 N 

 m π  2 kT  √ π 

3 2

v

2

mv 2 kT 

 

2

− (  ) dv  ………………………………….(3.6b) v e 2

mv 2 kT 

2

Atau

dN v = N 

2.3.2

(e −  ) dv  ……………………………….(3.6c) 2

√(

 )

3

 m 2 2 v π  kT  2

mv 2 kT 

Distribusi Kelajuan Molekul

Molekul

yang

memiliki

laju

dari

v  

sampai sa

representatifnya akan terletak pada lapisan bola yang jari-jarinya

( v + dv )

,

titik 

v  dan tebalnya

dv . Adapun Adapun cara cara termud termudah ah untuk untuk menghi menghitun tung g jumlah jumlah moleku molekull dengan dengan laj laju u antara

v   sam sampai

( v + dv )

  adalah adalah dengan dengan mengasu mengasumsi msikan kan kerapa kerapatan tannya nya

seragam,, sehingga seragam sehingga  ρ dalam volume ini akan sama pada lapisan  ρ  bola yang  berjari-jari v. Oleh karena itu, volume lapisan bola ini yaitu: 2

V   = 4 π v dv ………………………………………… (3.7)

Persamaan kerapatan pada jarak v dari pusat bola yaitu: 3

 ρ =  Nα  e

[− β v ] 2

2

………………………………………(3.8)

18

 

Jumlah molekul yang memiliki laju v sampai v+dv dv dinyatakan  dinyatakan dengan dN v dN v =  ρ .

4π

3

2

v dv ⇔  dN v =   Nα  e

[− β v ] 2

, yaitu :

2

.4 π

2

v dv

⇔ dN v = 4 π N v2 α 3 e[− β v ] dv 2

⇔

 dN v

2

] [   = 4   π N v2 α 3 e − β v 2 2

dv

….

(3.9)

dN v dv

Rasio

  disebu disebutt fungsi fungsi distri distribus busii laj laju u moleku molekull dari dari

Maxwell

dN v dv

2

3

  =   4   π N v α  e

[− β v ] 2

2

…………………………(3.10)

Fungsi distribusi laju ini tidak sama dengan distribusi kecepatan, di mana fungsi distribusi laju ini tidak menyatakan jumlah molekul per satuan volume, tetapi jumlah molekul molekul per satuan rentangan rentangan laju

dv . Jika digambarkan dalam

dN v  bentuk grafik, fungsi distribusi laju molekul

dv

terlihat seperti gambar 4.

Area dNv

v0

Gambar 5. Grafik fungsi distribusi kelajuan Maxwell Boltzmann fungsi ekponensial

Dari grafik dapat diperoleh: 1)

Luas Luas di ba bawa wah h graf grafik ik meya meyata taka kan n jum jumla lah h mol molek ekul ul

2)

Pada v = 0 jumlah 0 jumlah molekul persatuan kecepatan juga nol 19

 

3)

∞

Pada v =

 jumlah molekul persatuan kecepatan juga nol

dN v dv

 yang maksimum.

4)

Di antara ke kedua harga v ini terdapat harga

5)

Ju Juml mlah ah molek olekul ul den dengan gan kec kecep epat atan an v sampai v+dv v+dv dinyatakan  dinyatakan dengan luas daerah yang diarsir.

Jumlah molekul dengan kecepatan lebih kecil dari v0 dinyatakan dengan luas daerah di sebelah kiri v0 dan luas daerah yang lebih besar dari v0 dinyatakan dengan luas daerah di sebelah kanan  kanan  v0.Selanjutnya akan ditentukan jumlah molekul yang memiliki kecepatan dengan komponen kecepatan pada sumbu X  sumbu  X  dari  dari v x sampai v x +

d v x . Ju Juml mlah ah mole moleku kull ini ini diny dinyat atak akan an de deng ngan an

dNv x

yang besarnya besarnya dirumuskan dirumuskan

seperti berikut.dan

dNv x = Nf   (( v x ) dv x ………………………………………(3.11)  Nilai

 f  (v x )

f   (( v x ) =  αe

adalah sebagai berikut : (− β 2 v 2 )  x

………………………………………..(3.12)

Jika persamaan (3.12) disubstitusikan ke persamaan (3.11), maka didapatkan hasil, yaitu :   dNvv x  N   dN e  (  





 

2

 2 v x   )

dv x …………………………………(3.13)

Berdasarkan persamaan (3.13), maka akan didapat jumlah molekul per satuan komponen kecepatan pada sumbu X seperti berikut

dNv x dv x

= Nαe

(− β 2 v 2)  x

………………………….……(3.14)

20

 

v 0 Gambar 6. Grafik Fungsi Distribusi Kecepatan Maxwell Boltzmann

Berdas Ber dasark arkan an persam persamaan aan (3.13) (3.13),, maka maka akan akan dapat dapat ditent ditentuka ukan n pula pula jumlah jumlah molekul per satuan komponen kecepatan pada sumbu Y dan sumbu Z, yaitu :

dNv z

= Nαe

dv z

dNv y dv y

(− β 2 v 2 )  z

…………………………(3.15) (− β 2 v 2 )

= Nαe

 y

…………………………….(3.16) BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpula Kesimpulan n

Jumlah molekul dengan komponen kecepatan ke arah  x , atau

1.

arah  y , atau arah  z

d N v = Nf  ( v x ) d v x  x

d N v = Nf  ( ( v y ) d v y  y

d N v = Nf  ( ( v z ) d v z  z

Jumlah molekul dengan komponen kecepatan ke dua arah

2.

d  N v v = Nf  ( ( v x ) f   (( v y ) d v x d v y 2

 x

 y

d  N v v = Nf  ( ( v  y ) f   (( v z ) d v y d v z 2

 y  z

21

 

d  N v v = Nf  ( ( v z ) f   (( v x ) d v z d v x 2

 z

 x

Jumlah molekul dengan komponen kecepatan ke tiga arah

3. 3

d  N v

 x

v  y v z

= Nfd v x d v y d v z Kerapatan molekul gas diperoleh sebagai berikut:

4.

]

[

]

[

[

]

dρ = N    d f   (( v x ) f   (( v x ) f   (( v z ) +   d f   (( v y ) f   (( v y ) f  ( ( v x ) +   d f  ( ( v z ) f  ( ( v x ) f  ( ( v y ) d v z d v y d v x

Jumlah rata-rata dengan kecepatan antara v dan v + Δv Δv adalah

5.

√(

( −  ) dv 2

 )

3

 m 2 2 v e dN v = N  π  kT  2

mv 2 kT 

Jumlah molekul per satuan komponen kecepatan pada sumbu Y

6.

dan sumbu Z, yaitu :

dNv z dv z

= Nαe

(− β 2 v 2 )  z

dan

dNv y dv y

(− β 2 v 2 )

= Nαe

 y

3.2 3. 2 Sara Saran n

Adapun saran yang dapat penulis penulis berikan adalah, bagi bagi mahasiswa agar memperdalam memperdalam  pengetahuan fisika dasar, kalkulus, fismat, mekanika, dan statistika sehingga nantinya dapat memudahkan dalam memahami fisika statistik.

DAFTAR PUSTAKA

Ikhsan, J. (2013). (2013). Modul  Modul 1 Pembelajaran Kinematika Kimia: Teori Kinetik Gas. Yogyakarta: Gas. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta. Siregar, R. E. (2012). Fisika (2012). Fisika Statistik. Jatinangor: Statistik. Jatinangor: UNPAD Press.

22

 

Sujanem, R. (n.d.). Handout (n.d.). Handout Fisika Statistik. Singaraja: Statistik. Singaraja: Undiksha. Surungan, T. (2011). Diktat (2011). Diktat Kuliah Fisika Statistik. Makassar: Statistik. Makassar: Universitas Hasanuddin. Wikipe Wik ipedia, dia, K. (2020) (2020)..  Distribusi Maxwell-Boltzmann. Maxwell-Boltzmann. Retrieved Februari 28, 2021, from https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_MaxwellBoltzmann&oldid=16731624 Boas, Mary L. 2006. Mathematical 2006.  Mathematical Methods In The Physical Sciences. Sciences. DePaul University: United States of America

Krane, Kenneth. 2011. Modern 2011. Modern Physics Third Edition. Edition . United States of America: Department of Physics Oregon State University

Sari, Desi Elina, Elina, dkk. 2018. Aplikasi Statistik Statistik Maxwell-Bolt Maxwell-Boltzman zman (Distribusi Kecepatan Molekul). Padang: Universitas Negeri Padang

Purcell, E.J, Varberg, D., Rigdon, S.E. 2004. Kalkulus Jilid 1 Edisi Delapan. Jakarta: Penerbit Airlangga

23