Makalah Integral Lipat 3

BAB I

PEMBAHASAN

1. In Integ tegra rall Lip Lipat at Ti Tiga ga Sama seperti kita mendefinisikan integral tunggal untuk fungsi suatu variable dan integral lipat dua variable, kita dapat mendefinisikan integral lipatiga untuk fungsi tiga variable. Pertama-tama marilah kita menangani kasus paling sederhana di mana

f   didefinisikan pada kotak segiempat  B= { ( x, y, z ) ∣ ɑ  ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s }

1

!angkah

pertama

adalah

membag membagii B men"ad men"adii kotakkotak-kot kotak  ak   bagian. #ita lakukan ini dengan memb membag agii selan selang g l  

i 1

[r ,s]

  men" men"ad adii

n

i

∆ x , memb membag agii m   selang-

  me men"adi

 bagian berlebar sama memb membag agii

  men"adi

[ x x − , x ]

sel selang-bagian

 berlebar sama

[c,d]

[ a , b]

selang selang-ba -bagia gian n berleb berlebar ar sama

∆y

dan

∆ z . Bidang-

 bidang $ang melalui titik u"ung selangbagian-selangbagian ini $ang se"a"ar  terhadap terhadap bidang-bidang bidang-bidang kordinat kordinat membagi kotak  bagian.

B ijk = [ x  x i −1 , x i ] × [ y j− 1 , y  j ] × [ z  z k − 1 , y k ]

B   men"ad men"adii

lmn   kotak-

%ang diperlihatkan dalam &ambar '. Masing-masing kotak bagian mempun$ai volume

∆ V = ∆ x ∆ y ∆ z

#emudian kita bentuk  jumlah Riemann rangkap-tiga rangkap-tiga

l

m

n

f  ( ∑ ∑ ∑  ( x ¿ = = =

¿

ijk 

2

¿

, y ijk , zijk  ) ∆ V 

i 1  j 1 k  1

deng dengan an titik titik sampe sampell

¿ ¿ ¿ , yijk , z ijk ) ( x x ijk 

B ijk  . Berdasarkan

terle terletak tak pad padaa

( 16.1.5 ) , kita definisikan integral

analog analogii dengan dengan defini definisi si integr integral al lipat-d lipat-dua ua

lipat-tiga sebagai limit dari "umlah (iemann rangkap-tiga dalam

f   pada kotak

Defnisi Integral lipat-tiga lipat-tiga dari  dari 3

( 2) .

B  adalah

∭ f  ( ( x , y , z ) dV = B

l

m

n

f  ( ∑ ∑ ∑  ( x ¿ = = =

lim

ijk 

l , m , n → ∞ i 1  j 1 k  1

¿

¿

, y ijk , z ijk ) ∆ V 

f    kontinu. #ita dapat

Sekali Sekali lagi, integral integral lipat-tig lipat-tigaa selalu selalu ada "ika "ika

memilih titik sampel sebagai sebarang titik di dalam kotak-bagian, tetapi "ika kita

memilih titik sampel ini sebagai titik

 x ( ¿ ¿ i , y  j , z k )  kita peroleh ekspresi $ang

¿

kelihatan lebih sederhana untuk integral lipat-tiga 

∭ f  ( ( x , y , z ) dV = B

l

lim

m

n

∑ ∑ ∑ f  ( ( x , y

l , m , n → ∞ i=1  j=1 k = 1

i

 j

, z k ) ∆ V 

%ang diperlihatkan dalam &ambar '. Masing-masing kotak bagian mempun$ai volume

∆ V = ∆ x ∆ y ∆ z

#emudian kita bentuk  jumlah Riemann rangkap-tiga rangkap-tiga

l

m

n

f  ( ∑ ∑ ∑  ( x ¿ = = =

¿

ijk 

2

¿

, y ijk , zijk  ) ∆ V 

i 1  j 1 k  1

deng dengan an titik titik sampe sampell

¿ ¿ ¿ , yijk , z ijk ) ( x x ijk 

B ijk  . Berdasarkan

terle terletak tak pad padaa

( 16.1.5 ) , kita definisikan integral

analog analogii dengan dengan defini definisi si integr integral al lipat-d lipat-dua ua

lipat-tiga sebagai limit dari "umlah (iemann rangkap-tiga dalam

f   pada kotak

Defnisi Integral lipat-tiga lipat-tiga dari  dari 3

( 2) .

B  adalah

∭ f  ( ( x , y , z ) dV = B

l

m

n

f  ( ∑ ∑ ∑  ( x ¿ = = =

lim

ijk 

l , m , n → ∞ i 1  j 1 k  1

¿

¿

, y ijk , z ijk ) ∆ V 

f    kontinu. #ita dapat

Sekali Sekali lagi, integral integral lipat-tig lipat-tigaa selalu selalu ada "ika "ika

memilih titik sampel sebagai sebarang titik di dalam kotak-bagian, tetapi "ika kita

memilih titik sampel ini sebagai titik

 x ( ¿ ¿ i , y  j , z k )  kita peroleh ekspresi $ang

¿

kelihatan lebih sederhana untuk integral lipat-tiga 

∭ f  ( ( x , y , z ) dV = B

l

lim

m

n

∑ ∑ ∑ f  ( ( x , y

l , m , n → ∞ i=1  j=1 k = 1

i

 j

, z k ) ∆ V 

Sama seperti untuk integral lipat-dua, metode praktis untuk penghitungan integr integral al lipat-t lipat-tiga iga adalah adalah men$at men$ataka akann$ nn$aa sebagai sebagai integr integral al berula berulang ng sebagai sebagai  berikut.

Teorema Fubini untuk Integral Lipat-Tiga  jika

4

kontinu pada kotak

B =  a , b × b , c × r , s b

s

f 

, maka

d

∭ f  ( ( x , y , z ) dV =∫∫∫ f  ( ( x , y , z ) dy dz dx )ntegral berulang pada ruas kanan *eorema +ubini bermakna baha pertama  x   dengan dengan mempertahank mempertahankan an

kita kita mengin menginteg tegralk ralkan an terhad terhadap ap

tetap, tetap, kemudian kemudian kita integralkan integralkan terhadap

 y

 y   da dan

 z

dengan dengan mempertahankan mempertahankan

 z

tetap, dan akhirn$a kita integralkan terhadap  z . *erdapat lima kemungkinan urut urutan an lain lain $ang $ang dapa dapatt kita kita laku lakuka kan n dala dalam m meng mengin inte tegr gral alka kan, n, semu semuan an$ $a memberikan nilai sama. Misaln$a, "ika kita integralkan terhadap

 y , kemudian

 z , dan kemudian  x , kita mempun$ai b

s

d

a

r

c

dydz dx ∭ f  ( ( x , y , z ) dV =∫∫∫ f  ( ( x , y , z ) dydz B

CONTOH 1

∭ xyz dV  2

Hitunglah integral lipat-tiga $ang diberikan oleh

B ={ ( x , y , z ) ∣ 0 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3 } PENYELEAIAN

B

, dengan

B  adalah kotak segiempat

#ita dapat menggunakan salah satu dari enam urutan pengintegralan $ang mungkin. /ika kita memilih untuk mengintegralkan terhadap

 x , kemudian

 y , dan kemudian  z , kita peroleh 3

2

1

∭ xyz dV =∫∫ ∫ xyz dxdy dz 2

B

2

0

−1

0

3

2

¿∫ ∫ 0

−1

3

2

¿∫ ∫

2

 yz 2

  dydz

−1

3

[ ]

0

3

¿∫

2

y  z

2  y =2

4

3 z 4

0

dy dz

 x = 0

2

0

¿∫

=1 2  x

[ ] 2

 x  yz

dz

 y =−1

2

dz

3 3

 z ¿ 4

]

0

¿ 27 4

Sekarang kita definisikan integral lipat-tiga pada daerah umum terbatas

 E  dalam ruang tiga dimensi benda pe"al dengan prosedur $ang hampir sama seperti $ang kita gunakan untuk integral lipat-dua. #ita lingkupi sebuah kotak

B

definisikan fungsi

 E   dalam

$ang ber"enis sama seperti persamaan '. #emudian kita  F 

agar fungsi ini sesuai dengan

 bernilai 0 untuk titik-titik pada

f    pada

 E   tetapi

B  $ang diluar  E . Menurut definisi,

∭ f  ( x , y , z ) dV =∭ F ( x , y , z ) dV   E

B

)ntegral ini ada "ika

f   kontinu dan perbatasan

 E  adalah 1dapat

dikatakan mulus2. )ntegral lipat-tiga mempun$ai sifat $ang pada dasarn$a sama seperti integral lipat-dua

#ita batasi perhatian kita pada fungsi kontinu

f    dan pada "enis

daerah sederhana $ang tertentu. 3aerah pe"al  E  dikatakan sebagai !erjeni" 1 "ika daerah ini terletak diantara grafik dua fungsi kontinu

 x   dan

 y ,

dengan kata lain 5

dengan

 E = { ( x , y , z ) ∣ ( x , y ) ∈ D , u1 ( x , y ) ≤ z≤ u2 ( x , y ) }

 D   adalah pro$eksi

 E  pada bidang- xy   seperti diperlihatkan

dalam &ambar 4. Perhatikan baha perbatasan atas benda pe"al  E   adalah  permukaan dengan persamaan adalah permukaan  z =u1 ( x , y ) .

 z =u2 ( x , y ) , sedangkan perbatasan baah

Berdasarkan "enis argumentasi $ang sama $ang menghasilkan , dapat diperlihatkan baha "ika

 E

adalah daerah "enis ) $ang diberikan oleh

 persamaan 5, maka

6

[

u2( x, y )

∭ f  ( x , y , z ) dV =∬ ∫  E

 D

]

f  ( x , y , z ) dz dA

u1( x , y )

Makna dari integral sebelah dalam pada ruas kanan persamaan 6 adalah

 x   dan

 baha

u2 ( x , y )

 y

dipegang tetap, dan karenan$a

dipandang sebagai konstanta, selama

u1 ( x , y )

dan

f  ( x , y , z )   diintegralkan

terhadap  z . #hususn$a, "ika pro$eksi

 D   dari  E  pada bidang- xy  adalah daerha

 bidang "enis ' seperti dalam gambar 7

Maka,

 E= { ( x , y , z ) ∨a ≤ x ≤ b , g 1 ( x ) ≤ y≤ g2 ( x ) , u1 ( x , y ) ≤ z≤ u2 ( x , y ) } dan persamaan 6 men"adi b g2 ( x ) u2( x, y )

7

∭ f  ( x , y , z ) dV =∫ ∫ ∫ f  ( x , y , z ) dzdydx  E

a g1 ( x ) u1( x, y )

Sebalikn$a, "ika  D  adalah daerah bidang )) seperti dalam gambar 8

Maka,

 E= { ( x , y , z ) ∨c ≤ y ≤ d , 1 ( y ) ≤ x≤ 2 ( y ) , u1 ( x , y ) ≤ z≤ u2 ( x , y ) } dan persamaan 6 men"adi

d 2(  y ) u2( x, y )

8

∭ f  ( x , y , z ) dV =∫ ∫ ∫ f  ( x , y , z ) dzdxdy  E

c 1(  y ) u1( x, y )

CONTOH #

Hitunglah

∭ z dV ,d!ngan E  E

adalah bidang empat tetrahedron pe"al $ang

dibatasi oleh empat bidang  x =0, y =0, z =0, dan x +  y + z =¿

PENYELEAIAN

#etika kita men$usun integral lipat-tiga adalah bi"aksana untuk menggambar dua diagram $aitu satu berupa daerah pe"al  E  lihat gambar 5 dan ' adalah pro$eksi

 D  pada bidang- xy  lihat gambar 6. Batas baah bidang-empat adalah bidang  z =0

gunakan

dan batas atasn$a bidang

u1 ( x , y )=0   dan

 bidang-bidang

+ y + z =1   atau

( z =1− x − y ) , sehingga kita

u2 ( x , y )=1− x − y  dalam rumus 9. Perhatikan baha

 x +  y + z =1   dan

 z =0   berpotongan pada garis

 x +  y =1   atau

( y =1− x )   di bidang- xy . Sehingga pro$eksi  E   adalah daerh segitiga $ang diperlihatkan dalam gambar 6, dan kita mempun$ai

 E= { ( x , y , z ) ∨ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x , 0 ≤ z ≤ 1− x − y }

9 Pendeskripsian  E  sebagai daerah "enis ' ini membuat kita bisa menghitung integral sebagai berikut  1 1− x 1− x − y

∫∫ ∫ ∭¿

 z dV =¿

0

0

 z dz dy dx

0

 E

1 1 − x

¿∫ ∫ 0

0

2  z= 1− x − y

[ ]  z

2

 z= 0

dy dx

¿1 2

1 1− x

∫ ∫ ( 1− x − y ) dy dx 2

0

0

1 − x − y −¿

¿

 y =1− x

−( ¿3 ¿ ¿ 3 ] y =0 dx ¿ ¿ 1 ¿ 2

 1 ¿ 6

¿

¿

 1 6

1

∫¿ 0

1

∫ ( 1− x ) dx 3

0

[

−(1 − x )4 4

]

1

0

1 24

3aerah pe"al  E  adalah "enis 4 "ika berbentuk

 E = {( x , y , z ) ∨( y , z ) ∈ D ,u 1 ( y , z ) ≤ x ≤ u 2 ( y , z ) }

kali ini dengan

 D   adalah pro$eksi

Permukaan belakang adalah

 E   pada bidang- yz   lihat gambar 9.

 x =u1 ( y , z )  dan permukaan depan adalah

u2 ( y , z )

dan kita mempun$ai

1

[

u2(  y , z)

∭ f  ( x , y , z ) dV =∬ ∫  E

 D

u2(  y , z)

]

f  ( x , y , z ) dA

Akhirn$a daerah jeni" $ berbentuk

 E= { ( x , y , z ) ∨( x , z ) ∈ D , u1 ( x , z ) ≤ x≤ u2 ( x , z ) }

dengan

 D

adalah pro$eksi

 permukaan kiri dan

 y =u2 ( y , z )

 E

pada bidang- xz ,

adalah permukaan kanan lihat gambar :. ;ntuk 

daerah "enis ini kita mempun$ai

1

[

u2 ( x , z )

∭ f  ( x , y , z )=∬ ∫  E

 y =u1 ( y , z )   adalah

 D

u1 ( x , z )

]

f  ( x , y , z ) dy dA

3alam masing- masing persamaan '0 dan '' boleh "adi terdapat dua ekspresi  D   daerah bidang

$ang mungkin untuk integral tersebut tergantung pada apakah

 ber"enis ' atau "enis 4 dan berpadanan terhadap persamaan 9 dan :. CONTOH $

∭ √  x + z 2

Hitung 2

2

dV ,

dengan  E  adalah daerah $ang dibatasi oleh paraboloid

 E

 y = x + z

2

 y = 4

 dan bidang

PENYELEAIAN %

 E diperlihatkan dalam gambar ara $ang berbeda dalam situasi fisis $ang

 berlainan, tergantung pada penafsiran fisis dari  x , y , z  dan

f  ( x , y , z ) .

Marilah kita mulai dengan kasus khusus di mana

f  ( x , y , z )=1  untuk semua

titik dalam  E . Maka integral lipat-tiga memang en$atakan volume  E

∭ dV 

V  ( E )=

 E

1

Sebagai >ontoh, anda dapat melihat ini pada kasus daerah "enis ' dengan meletakkan

f  ( x , y , z )= 1  dalam rumus 6

[ ] u2 ( x, y )

∭ 1 dV =∬ ∫  E

 D

∬ [ u ( x , y )−u ( x , y ) ] dA

dz dA =

u1 ( x, y )

2

1

 D

dan dari materi sebelumn$a kita mengetahui baha ini men$atakan volume $ang terletak di antara permukaan-permukaan  z =u1 ( x , y )  dan  z =u2 ( x , y ) . CONTOH &

&unakan integral lipat-tiga untuk men>ari volume bidang@empat

&   $ang dibatasi

oleh bidang-bidang  x + 2 y + 2 z =2 ,  x =2  y , x =0 , dan  z =0 .

PENYELEAIAN

Bidang-empat

&   dan pro$eksin$a  D  pada bidang  xy  diperlihatkan dalam

gambar '4 dan '7. Perbatasan baah

&   adalah bidang  z =0  dan perbatasan atas

adalah bidang  x + 2 y + 2 z =2 , $aitu  z =2− x − 2 y . #arena itu, kita mempun$ai

∭ dV 

V  ( & ) =

& 

1

¿∫ 0

 x 1− 2 2− x −2 y

∫ ∫  x 2

dzdydx

0

 x

1

¿∫ 0

1−

2

∫ ( 2− x −2 y ) dy dx  x 2

¿

1 3

Perhatikan baha kita tidak perlu menggunakanintegral lipat-tiga untuk  menghitung volume. )ntegral ini han$alah metode alternatif untuk pen$usunan  perhitungan Semua penerapan integral lipat-dua dapat langsung dipeluas ke integral lipattiga. Misaln$a, "ika fungsi kerapatan dari benda pe"al $ang menempati daerah  E adalah

 ' ( x , y , z ) , dalam satuan massa tiap satuan volume, di sembarang titik 

( x , y , z )  $ang diberikan, maka massa-n$a adalah

∭ ' ( x , y , z ) dV 

m=

1

 E

3an momen-n$a terhadap tiga bidang koordinat adalah

1

∭ x' ( x , y , z ) dV (  =∭ y' ( x , y , z ) dV   xz

 E

 E

∭ z' ( x , y , z ) dV 

 (  xy =

 E

Pusat massan$a terletak di titik

( x´ , ´ y , z´ ) , dengan

 (yz  x´ = m

1

 y´ =

 (  xz

 z´ =

m

 (  xy m

/ika kerapatann$a konstan, pusat massa benda pe"al disebut sentroid dari

 E .

Momen inersia terhadap tiga bidang koordinat adalah

 )  x = ⨌ E

1

( y 2 + z 2) ' ( x , y , z ) dV   )  y = ⨌ E

( x 2+ z 2 ) ' ( x , y , z ) dV   )  z= ⨌ E

( x +  y ) ' ( x , y , z ) dV  2

2

Muatan listrik total pada suatu benda pe"al $ang menempati daerah E dan mempun$ai kerapatan muatan

* ( x , y , z )  adalah

∭ * ( x , y , z ) dV 

/=

 E

/ika kita mempun$ai tiga variabel a>ak kontinu ,%,dan  , fungsi kerapatan  bersama mereka adalah fungsi tiga variabel sedemikian rupa sehingga peluang baha , %,  terletak dalam E adalah

 x f  (¿ , y , z ) dV 

∭¿

 + ( (  ,- ,  ) ∈ E )=

 E

#hususn$a, b

d

s

a

c

r

∫∫∫ f  ( x , y , z ) dz dy dx

 + ( a ≤  ≤ b , c ≤ - ≤ d , r ≤  ≤ s) =

+ungsi kerapatan bersaman$a memenuhi

∞

∞

∞

∫ ∫ ∫ f  ( x , y , z ) dz dy dx =1

f  ( x , y , z ) % 0

−∞ − ∞ −∞

CONTOH '

Carilah pusat massa dari sebuah benda pe"al  berkerapatan konstan $ang dibatasi oleh silinder parabolik  x = y

2

 dan bidang bidang

 x = z , z = 0 danx =1 PENYELEAIAN

Benda pe"al E dan pro$eksin$a pada bidang-D$ diperlihatkan dalam &ambar '8. Permukaan  baah dan atas dari E adalah bidang bidang  z =0   dan  z = x , sehingga kita katakan

 E sebagai daerah "enis '

{

 E= ( x , y , z ) |−1 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1,0 ≤ z ≤ x 2

}

Maka, "ika kerapatan adalah  ' ( x , y , z )= ' , massan$a adalah 1

1

 x

−1  y2

0

∭ ' dV =∫∫∫ ' dz dx dy

m=

 E

1

1

1

¿ ' ∫∫ x dx dy = ' ∫ −1  y2

¿

−1

1

 '

2  x= 1

[ ]  x

2

 x= y

2

1

dy 

∫ ( 1− y ) dy= '∫ ( 1− y ) dy 2 4

4

−1

[

0

5 1

 y ¿ '  y − 5

]

= 0

4 ' 5

#arena kesimetrisan E dan  '  terhadap bidang- xz  , kita segera dapat mengatakan baha  (  xz = 0,  dan karena itu,

 y =0 . Momen lainn$a

adalah 1

 (  yz =⨌ E x' dV =

1  x

∫∫∫ x' dz dx dy −1  y2 0

1

1

1

¿ ' ∫∫ x dx dy = ' ∫ 2

−1  y

−1

2

¿ 2 ' 3

1

∫ 0

¿ ' ∫∫ −1  y2

¿

 '

dy

 x = y

2

7 1

 [

 (  xy =⨌ E z'dV =

1

3

( 1 − y ) dy = 2 '  y − y 3 7 6

1

1

=1 3  x

[ ]  x

 x

−1  y2

0

2

0

4 ' 7

∫∫∫ z' dz dx dy

2  z= x

[ ]  z

1

]=

dx dy=

 z= 0

 '

1

1

∫∫ x 2

2

dxdy

−1  y2

1

( 1− y ) dy = 2 ' ∫ 3 7 6

0

#arena itu, pusat massan$a adalah

(

( x´ , ´ y , z´ ) =

 ) (

 (  yz  (  xz  (  xy = 5 , 0, 5 , , m m m 7 14

)

#. Integral Lipat Tiga (alam )**r(inat ilin(er (an )**r(inat B*la a. )**r(inat ilin(er

(r , # , z ) , dengan r ,#  dan  z

#oordinat silinder dari titik P adalah diperlihatkan dalam gambar '. Andaikan  pro$eksin$a

 D

pada bidang- xy

 E adalah daerah "enis ' $ang

digambarkan dengan mudah dalam

koordinat polar lihat &ambar 4. #hususn$a , andaikan baha

f   kontinu dan

 E={( x , y , z )∨ ( x , y ) ∈ D ,u 1 ( x , y ) ≤ z ≤ u 2 ( x , y ) } 3engan  D diberikan dalam koordinat polar oleh

 D={ ( r ,# )∨( x , y ) 0 ≤ # ≤ 1 , 1 (# ) ≤ r ≤  2( # )}

#ita mengetahui baha

[

u2( x, y )

∭ f  ( x , y , z ) dV =∬ D ∫

1

 E

u1 ( x , y )

*etapi kita "uga mengetahui bagaimana koordinat polar dalam materi sebelumn$a

2

∬ E f  ( x , y , z ) dV  # r cos # , r sin ¿

¿

]

f  ( x , y , z ) dA

menghitung integral lipat-dua dalam

(umus 4 adalah rumus untuk pengintegralan lipat-tiga dalam koordinat silinder. (umus ini mengatakan baha kita mengalaihkan integral lipat-tiga dari koordinat

siku-siku

ke

koordinat

 x =r c2s#, y = r sin # ,   membiarkan

 z

silinder

dV    oleh

menuliskan

apa adan$a, dengan mengunakan

limit-limit pengintegralan $ang sesuai untuk menggantikan

dengan

 z , r   dan

# , serta dengan

rdzdrd#.  &ambar 7 memperlihatkan bagaimana

menghafalkan ini. Adalah menguntungkan untuk menggunakan rumus ini ketika

 E   adalah daerah pe"al $ang se>ara mudah dideskripsikan dalam koordinat f  ( x , y , z ) melibatkan ekpresi  x 2+ y 2 .

silnder, dan tertuma ketika fungsi

CONTOH 1 2 2 Benda pe"al  E  terletak didalam silinder  x + y =1 , dibaah bidang  z =4

,dan di atas paraboloid

2

 z =1− x − y

2

lihat gambar 8. #erapatan disebarang

titik sebanding terhadap "arakn$a dari sumbu silinder. Carilah massa  E .

PENYELEAIAN

3alam koordinat silinder, persamaan silinder adalah adalah  z =1−r

2

r =1  dan paraboloid

, sehingga kita dapat menuliskan

 E={( r ,# ,. )∨0 ≤ #≤ 2 $ , 0 ≤ r ≤ 1, 1−r ≤ z ≤ 4 } 2

( x , y , z )  sebanding terhadap "arak dari sumbu- z , maka

#arena kerapatan

fungsi kerapatan adalah

f  ( x , y , z )= 3  √  x + y = 3r 2

2

dengan # adalah konstanta kesebandingan. #arena itu, dari (um '6.9.'7, massa E adalah

∭ 3 √  x + y 2

m=

2

dV 

 E

2 $  1

¿ ∫∫ 0

4

∫ ( 3r ) rdzdrd#

0 1−r 2

2 $  1

¿ ∫∫ 3 r 2 [ 4 −( 1−r 2)] dr d# 0

0

2 $ 

1

0

0

¿ 3 ∫ d#∫ ( 3 r 2 +r 4 ) dr

5 1

[ ]

r ¿ 2 $3  r + 5 3

¿

0

12 $3  5

CONTOH # 2

√ 4− x

2

2

∫ ∫ ∫ ( x + y ) dzdydx 2

Hitunglah

2

−2 −√ 4− x 2 √  x 2+  y2

PENYELEAIAN

)ntegral berulang ini adalah integral lipat tiga pada daerah pe"al

{

 E= ( x , y , z ) ∨−2 ≤ x ≤ 2,−√ 4 − x ≤ y ≤ √ 4 − x , √  x + y ≤ z ≤ 2 2

dan pro$eksi E pada bidang E adalah keru>ut  z =√  x

2

2

2

2

}

− xy  adalah >akram  x 2+ y 2 ≤ 4 . Permukaan baah

+ y 2 dan permukaan atasn$a adalah bidang  z =2  lihat

gambar 5. 3aerah ini mempun$ai pen"abaran $ang "auh lebih sederhana dalam koordinat silinder

 E= { ( r , # , z )∨0 ≤ # ≤2 $ ,0 ≤ r ≤2, r ≤ z ≤2 } #arena itu, kita mempun$ai 2

√ 4− x

2

2

∫ ∫ ∫ ( x + y ) dz dy dx =∭ ( x + y ) dV  2

−2 −√ 4− x 2 √  x 2+ y2

2

2

2

 E

2 $  2

2

¿ ∫∫ ∫ r 2 rdzdrd# 0

0

r

2 $ 

2

0

0

¿ ∫ d#∫ r 3 (2 −r ) dr

[

¿ 2 $ 

 1 2

4

1

r − r 5

]

2

5

0

=

16 $  5

!. )**r(inat B*la

3efinisikan koordinat bola

( ' , # , ϕ )  dari sebuah titik lihat gambar 6 dan kita melihat kaitan  berikut antara koordinat siku-siku dan koordinat bola 

3

x = ' sin ϕ cos # y = ' sin ϕ cos # z = ' cos ϕ

3alam s$stem koordinat ini mitra dari kotak persegi pan"ang adalah ba"i  bola (spherical wedge)  E= { ( ' ,# , ϕ ) ∨ a ≤ ' ≤ b , 0 ≤ # ≤ 1 , c ≤ ϕ ≤ d }

a % 0, 1 − 0 ≤ 2 $,dand −c ≤ $  .

dengan

=alaupun kita definisikan integral dengan membagi benda pe"al kotak-kotak ke>il, dapat diperlihatkan baha pembagian pe"al men"adi ba"i-ba"i bola ke>il memberikan hasil sama. Sehingga E men"adi ba"i bola $ang lebih

lipat tiga men"adi  benda selalu kita bagi

Eijk   dengan menggunakan bola

ke>il  ber"arak

sama

#=# j ,

 ' = ' i , setengah bidang

dan setengah

∆ ' , 'i ∆ ϕ

∆ ϕ¿ ,

busur lingkaran dengan "ari-"ari

 ' i sin ϕ k  ∆ #

dan

ϕ = ϕ k  .

 Eijk   hampir berupa kotak persegi pan"ang

&ambar 9 memperlihatkan baha dengan ukuran

keru>ut

busur

lingkaran

dengan

 'i sin ϕ k  ,sudu4∆# ¿ . Sehingga hampiran terhadap volume

 'i , sudut "ari-"ari

 Eijk    diberikan

oleh

{

∆ V ijk = ( ∆ ' ) ( 'i ∆ ϕ )( ' i sin ϕ k ∆ # )= 'i sin ϕ k  ∆ ' ∆ # ∆ ϕ 2

}

+aktan$a, dapat diperlihatkan dengan bantuan *eorema Nilai (ata-rata soal latihan 7ara eksak diberikan oleh

~ sin ϕ ∆ ' ∆ # ∆ ϕ ∆ V ijk = ' i k  ~

2

dengan

~ # ,ϕ ) ( 5 , ~ ~

i

( x ¿ijk , y ijk ¿ , z ¿ijk , )

 j

k 

suatu

titik

di

dalam

 Eijk  .

 adalah koordinat siku-siku dari titik ini. Maka 

∭ f ( x , y , z ) dV =  E

adalah

l

lim

m

n

¿ f  ( x ∑ ∑ ∑ = = =

l , m , n → ∞ i 1  j 1 k  1

ijk 

¿

¿

, y ijk  , z ijk  , ) ∆ V ijk 

Misalkan

~

~

 5i , sin ϕ k  cos # j ,  5i l

¿

lim

m

n

∑ ∑ ∑ f  ¿

l , m , n → ∞ i =1  j =1 k = 1

~

~

~

~

~ sin ϕ ∆ ' ∆ # ∆ ϕ sin ϕ k  sin # j , 5 i cos ϕ k ¿ ' i k  i  j k  ~

2

*etapi "umlah ini adalah "umlah (iemann untuk fungsi

#  ' sin ϕ cos # , ' sin ϕ sin # , ' cos ¿ 2  F ( ' , # , ϕ )= ' sin ϕf  ¿ Akibatn$a, kita sampai pada rumus untuk pengintegralan lipat tiga dalam koordinat bola

4

ϕ 2  ' sin ϕ cos # , ' sin ϕ sin # , ' cos ¿ ' sin ϕ d'd#dϕ

¿ ¿ f  ¿ b

∫¿ a  1

∫¿ 0  d

∫

f  ( x , y , z ) dV = ¿

(umus 8 mengatakan baha kita mengkonversi integral lipat tiga dari koordinat sikusiku ke koordinat bola dengan >ara menuliskan ϕ cos # y =¿ ' sin ϕ sin # z = ' cos ϕ  x = ' sin ¿

dengan

limit

pengintegralan

$ang

sesuai,

dan

mengganti

dV    dengan

2

 ' sin ϕ d'd#dϕ . )ni diilustrasikan dalam gambar :

(umus ini dapat diperluas untuk men>akup daerah bola $ang lebih umum seperti   E= { ( ' ,# , ∅ )|0 ≤ # ≤ 1 , c ≤ ∅ ≤ d , g1 (# , ∅ ) ≤ ' ≤ g2 ( # , ∅ ) } 3alam kasus ini rumus sama seperti dalam 8 ke>uali baha limit pengintergralan

g1 ( # , ∅ )  dan

untuk  '  adalah

g2 ( # , ∅ ) .

Biasan$a koordinat bola digunakan dalam integral lipat F tiga ketika permukaan seperti keru>ut dan bola membentuk perbatasan dari daerah pengintegralan. CONTOH $ 3

⨌B !

Hitung

( x + y + z ) 2

2

2 2

dV  , dengan B adalah bola satuan

B ={ ( x , y , z )| x + y + z ≤ 1 } 2

2

2

PENYELEAIAN

#arena perbatasan B adalah bola, kita gunakan koordinat bola

B ={ ( ' , # , ∅ )|0 ≤ ' ≤ 1,0 ≤ # ≤ 2 $ , 0 ≤ ∅ ≤ $ } Sebagai tambahan, koordinat bola adalah tepat karena 2

2

2

 x + y + z = '

2

/adi, 8 memberikan

∭!

3 2 2

( x + y + z ) 2

2

$  2 $  1

∫ ∫∫ !

dV =

B

0

0

3 2 2

( ' )

2

 ' sin ∅ d'd# d ∅

0

2 $ 

$ 

1

@

∫ sin

@

[ −cos ∅ ]0 ( 2 $ ) 1 ! ' 3

∅

d∅

0

2

0

$ 

¿

∫ d# ∫ ' !

 '

3

d'

0

[ ]

1

3

0

 4 $  ( ! −1) 3

CATATAN

Akan sangat "anggal untuk menghitung integral dalam Contoh 7 tanpa koordinat bola. 3alam koordinat siku-siku integral berulang ini mungkin akan berupa 1

√ 1− x √ 1− x − y 2

2

∫ ∫

2

∫

− 1 −√ 1− x − √ 1− x − y 2

2

!

3 2 2

( x + y + z ) 2

2

2

CONTOH &

&unakan koordinat bola untuk men>ari volume benda pe"al $ang terletak di atas keru>ut

 z =√  x + y 2

2

 dan di baah bola  x

2

+ y 2 + z 2= z . !ihat &ambar