Makalah Efficient Frontier-final

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Latar Belaka Belakang ng Dewasa ini dengan adanya prinsip pasar bebas, investasi dalam bentuk 

kepemilikan aset finansial mulai diminati oleh masyarakat di Indonesia. Investasi  pada saham menawarkan tingkat pertumbuhan keuntungan yang cepat dengan risiko yang juga sebanding. sebanding. Untuk memperoleh memperoleh tingkat tingkat return yang tinggi, maka investo investorr harus harus berani berani menang menanggun gung g risiko risiko yang yang tinggi tinggi juga. juga. Oleh Oleh karena karena itu, itu,  pemodal harus berhati-hati dalam menentukan saham mana yang akan dipilihnya untuk berinvestasi. ebelum memutuskan untuk berinvestasi, hendaknya seorang investor melakukan analisis terhadap semua saham-saham yang ada dan kemudian memili memilih h yang yang diangga dianggap p aman aman serta serta mampu mampu mengha menghasil silkan kan keuntu keuntunga ngan n yang yang diha diharap rapka kan. n. ala alah h satu satu cara cara untu untuk k memin meminim imum umka kan n risik risiko o adala adalah h deng dengan an mela melaku kuka kan n

dive diversi rsifik fikasi asi atau atau

meny menyeb ebar ar inve investa stasin sinya ya deng dengan an memb memben entu tuk  k 

 portofolio yang terdiri dari beberapa saham. !eori dasar pemilihan portofolio pertama kali dicetuskan oleh "arry #. #ark #arkow owit it$$ %&'( %&'()* )*.. +emi +emilih lihan an port portof ofol olio io memb membah ahas as tenta tentang ng perm permas asala alaha han n  bagaimana mengalokasikan penanaman modal agar dapat membawa keuntungan terb terbany anyak ak namu namun n deng dengan an resik resiko o yang yang terke terkecil cil.. +emb +emben entu tuka kan n

porto portofol folio io

menyangkut identikasi saham- saham mana yang akan dipilih dan berapa proporsi dana dana yang yang akan akan ditana ditanamka mkan n pada pada masing masing-ma -masin sing g saham saham tersebu tersebut. t. +emilih +emilihan an  portofolio dari banyak sekuritas dimaksudkan untuk mengurangi resiko yang ditanggung ditanggung.. !eori !eori optimisasi optimisasi sangat aplikatif aplikatif pada permasalahan-p permasalahan-permasala ermasalahan han yang yang meny menyan angk gkut ut peng pengop optim timal alan an.. any anyak ak meto metode de-m -meto etode de optim optimas asii yang yang  berkembang digunakan untuk merumuskan berbagai masalah misalnya dalam transportasi, manufaktur, penjadwalan kru maskapai penerbangan dan investa si. Dala Dalam m mem membent bentuk uk suat suatu u port portof ofol olio io,, akan akan timb timbul ul suat suatu u masa masala lah. h. +ermasalahan +ermasalahannya nya adalah terdapat banyak banyak sekali kemungkinan kemungkinan portofolio portofolio yang dapat dibentuk dibentuk dari kombinasi aktiva berisiko yang tersedia tersedia di pasar. pasar. ombinasi

1

ini dapat mencpai jumlah yang tidak terbatas. ombinasi ini juga memasukkan aktiva bebas resiko dalam pembentukan portofolio. ika terdapat kemungkinan  portofolio yang jumlahnya tidak terbatas maka akan timbul pertanyaan portofolio mana yang akan dipilih oleh investor. ika investor adalah rasional, maka mereka akan memilih portofolio yang optimal. +ortofolio optimal dapat ditentukan dengan model #arkowit$ atau dengan model Indeks !unggal. Untuk menentukan porofolio yang optimal dengan modelmodel model ini yang yang pertam pertamaa kali kali dibutu dibutuhka hkan n adalah adalah menent menentuka ukan n portof portofoli olio o yang yang efisien. Untuk model-model ini semua portofolio yang optimal adalah portofolio yang efisien, karena tiap-tiap investor mempunyai kurva berbeda yang tidak sama,  portofolio optimal akan berbeda untuk masing-masing investor. Investor yang lebih menyukai resiko akan memilih portofolio dengan return yang lebih tinggi dengan membayar resiko yang juga lebih tinggi dibandingkan dengan investor  yang kurang menyukai resiko. ika aktiva tidak berisiko dipertimbangkan, aktiva ini dapat merubah portofolio optimal yang mungkin sudah dipilih investor. +ortofolio yang efisien (efficient portfolio) didefinisikan portfolio) didefinisikan sebagai portofolio yang memberikan return ekspektasi terbesar dengan resiko yang sudah tertentu atau memberi memberikan kan resiko resiko yang yang terkeci terkecill dengan dengan return return ekspek ekspektasi tasi yang yang sudah sudah tertentu. +ortofolio yang efisien ini dapat ditentukan dengan memilih tingkat return ekspektasi tertentu dan kemudian meminimumkan resikonya atau menentukan tingka tingkatt resiko resiko tertent tertentu u dan kemudi kemudian an memaksi memaksimum mumkan kan return return ekspek ekspektasi tasinya nya.. Investor yang rasional akan memilih portofolio yang efisien ini karena merupakan  portofolio yang dibentuk dengan mengoptimalkan satu dari dua dimensi, yaitu return ekspektasi atau resiko portofolio. Investor Investor dapat memilih memilih kombinasi kombinasi dari aktiva-aktiv aktiva-aktivaa untuk untuk membentuk  membentuk   portofolionya. eluruh set yang memberikan kemungkinan porofolio yang dapat dibentuk dibentuk dari kombinasi n-aktiva n-aktiva yang tersedia disebut dengan opportunity set  atau attain attainabl ablee set . emua titik di attain attainabl ablee set  menyed menyediak iakan an semua semua kemungkinan portofolio baik yang efisien maupun yang tidak efisien yang dapat dipili dipilih h oleh oleh investo investor. r. /kan /kan tetapi tetapi investo investorr yang yang rasiona rasionall tidak tidak akan akan memilih memilih

2

 portofolio yang tidak efisien. 0asional investor hanya tertarik tertari k dengan portofolio yang yang efisien efisien.. umpul umpulan an %set* %set* dari dari portof portofolio olio yang yang efisien efisien ini disebu disebutt dengan dengan efficient set  atau  atau efficient frontier . /da 1 persoalan portofolio yang akan menentukan titik optimal pada efficient set  atau  atau efficient frontier , yaitu 2 a. hort hort sale diboleh dibolehkan kan,, 3ending 3ending dan orrow orrowing ing rate pada pada tingkat tingkat bunga bunga  bebas resiko tersedia.  b. hort sale dibolehkan, tetapi 3ending dan orrowing pada tingkat bunga  bebas resiko tidak tersedia. c. hor hortt sale sale tida tidak k dibo diboleh lehka kan, n, tetap tetapii 3end 3endin ing g dan dan orr orrow owin ing g rate rate pada pada tingkat bunga bebas resiko tersedia. d. hort hort sale, 3endin 3ending g dan orrowin orrowing g rate pada tingkat tingkat bunga bunga bebas bebas resiko tidak dibolehkan. e. +engga +enggabun bungan gan kendal kendalaa tambah tambahan. an. onsep mengenai keputusan investasi %memilih portofolio /, , 4 atau D* terdiri dari dua tugas yang terpisah yang dikenal sebagai  separation theorem, theorem, yaitu 2 &. #embu #embuat at porto portofo folio lio risky assets yang optimal. ). #eng #engalo aloka kasik sikan an dan danaa diant diantara ara risk risk free free dan risky assets sehingga didapatkan satu titik kombinasi antara risiko dan return yang sesuai untuk setiap investor. etiap investor dapat mencapai tujuan investasinya %risiko dan return) melalui dan borrowing. trade-off antara lending dan borrowing. 1.2. Rumusan Masalah &. agai agaima mana naka kah h mene menent ntuk ukan an pemi pemilih lihan an porto portofo foli lio o

yang yang effi effisie sien n

dan dan

). 7.

 portofolio optimal 5 efficient frontier 6 agaimanakah teknik mencari titik portofolio optimal pada efficient set 6 agaimanakah agaimanakah hort sale diboleh dibolehkan kan dengan dengan 3endin 3ending g dan dan orrowi orrowing ng rate rate

1.

 pada tingkat bunga bebas resiko tersedia 6 agaimanakah agaimanakah hort hort sale dibolehkan dibolehkan,, tetapi tetapi 3endin 3ending g dan dan orrowin orrowing g pada pada

(.

tingkat bunga bebas resiko tidak tersedia 6 agai agaima mana naka kah h hort hort sale sale tida tidak k dibol diboleh ehka kan, n, tetap tetapii 3endin 3ending g dan orro orrowi wing ng

8.

rate pada tingkat tingkat bunga bebas resiko tersedia 6 agaim agaimana anakah kah jika jika tidak tidak dibol dibolehk ehkan an hor hortt sale, sale, 3endi 3ending ng dan dan orro orrowin wing g rate rate  pada tingkat bunga bebas resiko tidak tersedia6

3

9.

agai agaima mana naka kah h pen pengg ggab abun unga gan n ken kenda dala la tamba tambaha han n6

1.3. Tujuan &. Untuk Untuk mengetah mengetahui ui bagaiman bagaimanaa menent menentuka ukan n pemilihan pemilihan portofo portofolio lio yang

).

effisien dan portofolio optimal 5 efficient frontier . Untuk mengetahui mengetahui bagaiman bagaimanaa teknik mencari mencari titik titik portofolio portofolio optimal optimal pada pada

7.

efficient set. Untu Untuk k meng menget etah ahui ui baga bagaim iman anaa hor hortt sale sale dibo dibole lehk hkan an,, 3end 3endin ing g dan dan

1.

orrowing rate pada tingkat bunga bebas resiko tersedia. Untuk mengetahui mengetahui bagaimana bagaimana hort sale dibolehkan dibolehkan,, tetapi tetapi 3ending 3ending dan dan

(.

orrowing pada tingkat bunga bebas resiko tidak tersedia. Untu Untuk k menget mengetah ahui ui bagai bagaima mana na hort hort sale tida tidak k dibol diboleh ehka kan, n, tetap tetapii 3endin 3ending g

8.

dan orrowing rate pada tingkat bunga bebas resiko tersedia. Untuk Untuk meng mengetah etahui ui baga bagaiman imanaa jika jika tidak tidak dibo diboleh lehkan kan hort hort sale, sale, 3endin 3ending g dan dan

9.

orrowing rate pada tingkat bunga bebas resiko tidak tersedia. Untuk Untuk menget mengetahu ahuii bagaim bagaimana ana pengga penggabun bungan gan kendal kendalaa tamb tambaha ahan. n.

BAB II PEMBAHAAN

2. 1 PEMILIHAN P!RT!"!LI!

Dala Dalam m mem membent bentuk uk suat suatu u port portof ofol olio io,, akan akan timb timbul ul suat suatu u masa masala lah. h. +ermasalahan +ermasalahannya nya adalah terdapat banyak banyak sekali kemungkinan kemungkinan portofolio portofolio yang dapat dibentuk dibentuk dari kombinasi aktiva berisiko yang tersedia tersedia di pasar. pasar. ombinasi ini dapat mencapai jumlah yang tidak terbatas. ombinasi ini juga memasukkan aktiva bebas resiko dalam pembentukan portofolio.

4

ika terdapat kemungkinan portofolio yang jumlahnya tidak terbatas maka akan timbul pertanyaan portofolio mana yng akan dipilih oleh investor. ika investor adalah rasional, maka mereka akan memilih portofolio yang optimal. +ortofolio optimal dapat ditentukan dengan model #arkowit$ atau dengan model Indeks !unggal. Untuk menentukan porofolio yang optimal dengan modelmodel ini yang pertama kali dibutuhkan adalah menentukan portofolio yang efisien. Untuk model-model ini semua portofolio yang optimal adalah portofolio yang efisien, karena tiap-tiap investor mempunyai kurva berbeda yang tidak sama,  portofolio optimal akan berbeda untuk masing-masing investor. Investor yang lebih menyukai resiko akan memilih portofolio dengan return yang lebih tinggi dengan membayar resiko yang juga lebih tinggi dibandingkan dengan investor  yang kurang menyukai resiko. ika aktiva tidak berisiko dipertimbangkan, aktiva ini dapat merubah portofolio optimal yang mungkin sudah dipilih investor. 2.1.1  Konsep Return dan Risiko

!ujuan investor dalam berinvestasi adalah memaksimalkan return, tanpa melupakan faktor resiko investasi yang harus dihadapinya. 0eturn merupakan salah satu faktor yang memotivasi investor berinvestasi dan merupakan imbalan atas keberanian investor menanggunnng resiko investasi yang dilakukan. "ubungan tingkat resiko dan return yang diharapkan merupakan hubungan yang bersifat searah dan linier. /rtinya semakin besar  resiko suatu aset, semakin besar pula return yang diharapkan atas aset tersebut, demikian sebaliknya. :ambar ).&.& berikut ini menunjukkan hubungan antara return yang diharapkan dan resiko pada berbagai jenis aset yang mungkin bisa dijadikan alternatif investasi. #am$ar 2.1.1 Hu$ungan r%s%k& 'an return (ang '%hara)kan

5

:aris vertikal dalam gambar di atas menunjukkan besarnya tingkat return yang diharapkan dari masing-masing jenis aset, sedangkan garis horisontal memperlihatkan resiko yang ditanggung investor. !itik 0; % risk   free* pada gambar di atas menunjukkan tingkat return bebas resiko % risk free rate* yang berarti satu pilihan investasi yang menawarkan tingkat return yang diharapkan sebesar 0; dengan resiko sebesar nol. esimpulan yang ditarik  dari pola hubungan antara resiko dan return yang diharapkan adalah bahwa resiko dan return yang diharapkan mempunyai hubungan yang searah dan linier. /rtinya semakin tinggi resiko suatu aset, semakin tinggi pula tingkat return yang diharapkan, demikian juga sebaliknya.

2.1.2  Menentukan Portofolio Efisien

+ortofolio yang efisien (efficient portfolio) didefinisikan sebagai  portofolio yang memberikan return ekspektasi terbesar dengan resiko yang sudah tertentu atau memberikan resiko yang terkecil dengan return ekspektasi yang sudah tertentu.

6

+ortofolio yang efisien ini dapat ditentukan dengan memilih tingkat return ekspektasi tertentu dan kemudian meminimumkan resikonya atau menentukan tingkat resiko tertentu dan kemudian memaksimumkan return ekspektasinya. Investor yang rasional akan memilih portofolio yang efisien ini karena merupakan portofolio yang dibentuk dengan mengoptimalkan satu dari dua dimensi, yaitu return ekspektasi atau resiko portofolio. Investor dapat memilih kombinasi dari aktiva-aktiva untuk membentuk   portofolionya. eluruh set yang memberikan kemungkinan porofolio yang dapat dibentuk dari kombinasi n-aktiva yang tersedia disebut dengan opportunity set atau attainable set. emua titik di attainable set menyediakan semua kemungkinan portofolio baik yang efisien maupun yang tidak efisien yang dapat dipilih oleh investor. /kan tetapi investor yang rasional tidak akan memilih portofolio yang tidak efisien. 0asional investor hanya tertari dengan  porofolio yang efisien. umpulan %set* dari portofolio yang efisien ini disebut dengan efficient set atau efficient frontier. Dua aktiva yang membentuk portofolio dapat berkorelasi antara lain 2 a. orelasi +ositif empurna 2 Dua buah aktiva / dan , yaitu < =&  b. !idak /da orelasi /ntara ekuritas 2 Dua /ktiva / dan , yaitu < > c. orelasi ?egatif empurna 2 Dua uah /ktiva / dan , yaitu < -&

2.1.3  Menentukan Efficient Frontier / P&rt&*&l%& !)t%mal  Portofolio Optimal Berdasarkan Preferensi Investor 

#odel #arkowit$ memberikan nilai portofolio dengan resiko terkecil untuk return ekspektasi tertentu. adangkala investor lebih memilih resiko yang lebih besar dengan kompensasi return ekspektasi yang lebih besar juga.  Portofolio Optimal Dengan Model Markowit 

#odel #arkowit$ menggunakan asumsi-asumsi sebagai berikut 2 a. @aktu yang digunakan hanya satu periode  b. !idak ada biaya transaksi

7

c. +referensi Investor hanya didasarkan pada return ekspektasi dan resiko dari portofolio. d. !idak ada pinjaman dan simpanan bebas resiko. /sumsi bahwa preferensi investor hanya didasarkan pada return ekspektasi dan resiko dari porofolio secara implisit menganggap bahwa investor  mempunyai fungsi utiliti yang sama. enyataannya tiap-tiap investor  mempunyai fungsi utiliti yang berbeda. ika preferensi investor terhadap portofolio berbeda karena mereka mempunyai fungsi utiliti yang berbeda, optimal portofolio untuk masingmasing investor akann dapat berbeda. Demikian juga jika tersedia pinjaman dan simpanan bebas resiko, maka optimal porofolio akan dapat berbeda seandainya pinjaman dan simpanan bebas risiko ini tersedia.

 Portofolio optimal dengan adan!a "impanan dan Pin#aman Be$as Risiko

#odel #arkowit$ menggunakan kombinasi aktiva-aktiva yang  berisiko. Dengan adanya aktiva yang bebas risiko investor mempunyai pilihan untuk memasukkan aktiva ini ke portofolionya. uatu aktiva bebas risiko dapat didefinisikan sebagai aktiva yang mempunyai return ekspektasi tertentu dengan varian return %resiko* yang sama dengan nol. Investor dapat memasukkan aktiva bebas risiko ke dalam portofolio efisien aktiva berisiko dalam bentuk simpanan atau pinjaman. Dalam bentuk  simpanan berarti membeli aktiva bebas risiko dan memasukkannya ke dalam  portofolio efisien aktiva berisiko. Dalam bentuk pinjaman berarti meminjam sejumlah dana dengan tingkat bunga bebas risikodan menggunakan dana ini untuk menambah proporsi di portofolio efisien aktiva berisiko.  Model %tilitas !ang Di&arapkan

#odel utilitas yang diharapkan menyatakan bahwa para pemodal akan memilih suatu kesempatan investasi yang diharapkan yang tertinggi. Utilitas yang diharapkan yang tertinggi tidak selalu sama dengan tingkat keuntungan yang diharapkan yang tertinggi. erdasarkan model ini dipergunakan beberapa

8

aksioma tentang perilaku pemodal dalam pengambilan keputusan investasi. /ksioma-aksioma tersebut adalah 2 a. +ara pemodal mampu memilih berbagai alternative dengan menyusun  peringkat

dari

alternatif-alternatif

tersebut

sehingga

bisa

diambil

keputusan.  b. etiap peringkat alternatif-alternatif tersebut bersifat transitif. /rtinya kalau investasi / lebih disukai daripada  dan  lebih disukai 4, maka / tentu lebih disukai daripada 4. c. +ara pemodal akan memperhatikan resiko alternatif yang dipertimbangkan dan tidak memperhatikan sifat alternatif-alternatif tersebut. d. +ara pemodal mampu menentukan certainty eAuivalent dari setiap investasi

yang

tidak

pasti.

4ertainty

BAuivalent

suatu

investasi

menunjukkan nilai pasti yang ekuivalen dengan nilai pengharapan dari investasi tersebut. #odel utilitas yang diharapkan ini menggunakan asumsi terhadap sikap pemodal terhadap risiko. ikap-sikap tersebut dikelompokkan menjadi tiga, yaitu 2 a* risk averse %tidak menyukai risiko*  b* risk neutral %netral terhadap risiko* c* risk seeker %menyukai risiko*

Manajemen P&rt&*&l%&

#anajemen +ortofolio merupakan suatu proses bagaimana dana yang dipercayakan kepada manajer investasi dikelola. +engelolaan tersebut dapat dilakukan secara aktif maupun pasif, menggunakan prosedur eksplisit maupun implicit, relatip terkontrol atau tidak terkontrol.

9

/rah perkembangannya nampaknya adalah bahwa operasi manajemen  portofolio menjadi semakin terkontrol, sesuai dengan pendapat bahwa pasar  modal secara relatip dapat dikatakan efisien. #eskipun demikian setiap  pengelolaan investasi dapat dilakukan dengan style yang berbeda-beda, demikian juga pendekatan yang digunakan. erbagai lembaga mungkin membentuk portofolio sekutitas dalam menanamkan dana yang mereka miliki. erbagai yayasan dana pensiun,  perusahaan asuransi, disamping menginvestasikan dana mereka pada berbagai aktiva riil juga menanamkan dana mereka pada berbagai sekuritas. Dengan kata lain disampig mereka melakukan diversifikasi investasi pada real dan financial assets, untuk financial assets pun mereka membentuk portofolio.

2.2

TE+NI+

MEN,ARI

TITI+

P!RT!"!LI!

!PTIMAL

PADA

E""I,IENT ET.

/da 1 persoalan portofolio yang akan dalam menentukan titik optimal  pada effisien set, yaitu 2 a. hort sale dibolehkan, 3ending dan orrowing rate pada tingkat bunga  bebas resiko tersedia.  b. hort sale dibolehkan, tetapi 3ending dan orrowing pada tingkat bunga  bebas resiko tidak tersedia. c. hort sale tidak dibolehkan, tetapi 3ending dan orrowing rate pada tingkat bunga bebas resiko tersedia. d. hort sale, 3ending dan orrowing rate pada tingkat bunga bebas resiko tidak dibolehkan. e. +enggabungan kendala tambahan. !eknik-teknik mencari titik portofolio optimal pada effisien set yang  perlu dipahami yaitu sebagai berikut. ika ada portofolio /, , 4 dan D terletak   pada suatu minimum standard deviation set, maka pilihan investasi yang dapat diambil oleh investor adalah seperti dalam #am$ar -.1. /da investor yang memilih portofolio /, , atau 4 dan dikombinasikan dengan asset bebas resiko. Investor yang lebih toleran terhadap risiko akan memilih portofolio di sepanjang

10

garis 4D %semua dananya ditempatkan dalam portofolio asset berisiko*. Investor  yang memilih portofolio / dan  kurang toleran terhadap risiko dibandingkan dengan yang memilih portofolio 4 dan D. +ortofolio 4 merupakan pilihan optimal  bagi semua investor terlepas dari preferensi investor yang bersangkutan terhadap return dan risiko. onsep mengenai keputusan investasi %memilih portofolio /, , 4 atau D* terdiri dari dua tugas yang terpisah yang dikenal sebagai  separation theorem, yaitu 2 &.

#embuat portofolio risky assets yang optimal.

). #engalokasikan dana diantara risk free dan risky assets sehingga didapatkan satu titik kombinasi antara risiko dan return yang sesuai untuk setiap investor. etiap investor dapat mencapai tujuan investasinya %risiko dan return) melalui trade-off antara lending dan borrowing. Investor yang lebih konservatif terhadap risiko akan memilih kombinasi  portofolio risky assets dan meminjamkan %lending) atau menabung sebagian uangnya dalam deposito dan 5 atau obligasi pemerintah. +ortofolio tersebut akan terletak antara titik 0 f dan 4, misalnya portofolio +. edangkan investor  yang lebih berani terhadap risiko akan memilih portofolio risky assets dimana sebagian dana yang digunakan untuk investasi dalam portofolio tersebut dipinjam %borrowing) dari pihak lain atau diperoleh melalui short sale. +ortofolio risky assets dan borrowing  pihak lain atau diperoleh melalui  short sale. +ortofolio risky assets dan borrowing   akan terletak di sebelah kanan atas titik 4, misalnya portofolio B. adi pilihan investasi portofolio  berisiko dan risk free asset  bila tingkat bunga lending sama dengan tingkat  bunga borrowing, yaitu sebesar tingkat bunga bebas risiko akan terletak di sepanjang garis 0 f C. #am$ar -.1 +ortofolio /sset erisiko dan ebas 0isiko

11

2.2.1 h&rt ale D%$&lehkan Len'%ng 'an B&rr&/%ng Rate Pa'a T%ngkat Bunga Be$as Res%k& Terse'%a. Derivasi dari efisien set ketika hort sale dibolehkan, 3ending dan

orrowing rate pada tingkat bunga bebas resiko tersedia yaitu pada titik . +ortofolio ini menghubungkan aset tanpa risiko dan portofolio berisiko yang terletak terjauh dalam arah berlawanan . ebagai contoh, di :ambar 8.&,  portofolio pada garis 0 ; -  lebih disukai untuk semua portofolio lain diantara aktiva berisiko. +erbatasan yang efisien adalah seluruh garis panjang yang memperluas melalui 0 ; dan . erbagai titik sepanjang garis 0 ; -  merupakan jumlah yang berbeda dari borrowing   dan 5 atau lending dalam kombinasi dengan portofolio optimal aset berisiko . BAuivalen

mengidentifikasi

garis

0 ;

-



adalah

garis

yang

menghubungkan aset tanpa risiko dan portofolio berisiko adalah hasil yang diharapkan dari portofolio dikurangi tingkat bebas risiko dibagi dengan standar deviasi dari return on portofolio. ehingga efisien set ditentukan dengan menemukan bahwa portofolio dengan rasio terbesar excess return %diharapkan tingkat bebas risiko kembali minus* untuk standar deviasi yang memenuhi kendala bahwa jumlah proporsi yang diinvestasikan dalam aset sama dengan &. Dalam bentuk persamaan kita telah merumukan sebagai  berikut untuk memaksimalkan fungsi tujuan.

12

3intner telah menganjurkan definisi alternatif  short sale yang lebih realistis. Dia mengasumsikan benar bahwa ketika investor short sale, kas tidak  diterima melainkan diadakan sebagai jaminan. elain itu, investor harus memasang sejumlah tambahan uang tunai sama dengan jumlah saham yang dia short sale. Investor umumnya tidak menerima kompensasi %bunga* dari dana tersebut. ?amun, jika investor adalah broker-dealer ,bunga dapat diperoleh pada kedua uang memasang dan uang yang diterima dari  short sale. +ersamaan diatas ke kendala E F iE < & dan semua persamaan lainnya tidak   berubah .

Ini adalah masalah maksimalisasi dibatasi. /da teknik solusi standar  yang tersedia untuk memecahkan itu . ebagai contoh , hal itu dapat diatasi dengan metode pengganda 3agrangian. /da alternatif . kendala bisa diganti ke dalam fungsi tujuan dan fungsi tujuan dimaksimalkan seperti dalam masalah tak terbatas. +rosedur terakhir ini akan diikuti selanjutnya . ita dapat menulis 0; sebagai kali 0; &. Dengan demikian kita memiliki

(∑ )  N 

 R F =1 R F =

 N 

 X i  R f  =∑ ( X i R F )

i =1

i= 1

#embuat substitusi ini dalam fungsi tujuan dan menyatakan kembalinya diharapkan dan standar deviasi pengembalian dalam bentuk umum.

#asalah yang dinyatakan sebelumnya adalah masalah maksimalisasi sangat sederhana dan seperti dapat diselesaikan dengan menggunakan metode

13

standar kalkulus dasar. Dalam kalkulus itu menunjukkan bahwa untuk  menemukan maksimum dari fungsi, anda mengambil derivatif sehubungan dengan masing-masing variabel dan mengaturnya sama dengan $ero. Demikian solusi untuk masalah maksimisasi hanya disajikan melibatkan temuan solusi untuk sistem berikut persamaan simultan2 &.

dθ =0 dX 1 dθ

=0

).

dX 2

7.

dθ =0 dX 3

2  ?.

dθ =0 dXN 

0umus 2

2

 λ X 1 σ 1 i + λ X 2 σ 2 i + λ X 3 σ 3 i + … . + λ X i σ i + … .. dƟ =−¿ d X i  N −¿1 i + λ X  N  σ ¿ σ  + λ X  N −1 ¿+ R´ i − R F =0

 olving masalah tanpa menghambat solusi dengan

 N 

∑  Xi =1 i=1

14

imbol G adalah constant. ebuah trik matematika memungkinkan modifikasi berguna derivatif. +erhatikan bahwa setiap Fk  dikalikan dengan konstan G #endefinisikan sebuah variabel baru H k  J dan standar  deviasi dari return &(J. elain itu, menganggap bahwa koefisien korelasi antara olonel #otors dan !erpisah Bdison >.( , antara olonel #otors dan #inyak  unik adalah >,) , dan antara !erpisah Bdison dan #inyak unik adalah >,1 . /khirnya, menganggap bahwa tanpa risiko kredit dan pinjaman rate (J . +ersamaan % 8.& * selama tiga sekuritas adalah ´ 1− R = Z  σ  + Z  σ  + Z  σ   R 1 1 2 12 3 13  F  2

´ 2− R = Z  σ  + Z  σ  + Z  σ   R 1 12 2 2 3 23  F  2

´ 3− R =Z  σ  + Z  σ  + Z  σ   R 1 13 2 23 3 3  F  2

#engganti dalam nilai-nilai diasumsikan, kita mendapatkan sistem berikut  persamaan simultan 2 &1 L ( < 78H & = %>,(*%8*%7*H) = %>,)*%8*%&(*H7 K L ( < %>,(*%8*%7*H & = 'H) = %>,1*%7*%&(*H7 )> L ( < %>,)*%8*%&(*H & = %>,1*%7*%&(*H ) = ))(H7

7

onstan samadengan %

( R´ p − Rf  )

dibagi dengan M) p.

#enyederhanakan, ' < 78H& = 'H) = &KH7 7 < 'H& = 'H) = &KH 7 &( < &KH& = &KH) = ))(H7 +enyederhana lebih lanjut,

16

olusi untuk sistem ini persamaan simultan adalah 0umus2

+embaca dapat memverifikasi solusi ini dengan menggantikan nilai-nilai ini dari Hk   ke dalam persamaan tersebut. +roporsi untuk berinvestasi di setiap keamanan mudah untuk menentukan . ita tahu bahwa setiap H k   sebanding dengan Fk . /kibatnya, semua yang kita lakukan untuk menentukan F k   adalah untuk skala yang H k sehingga mereka menambah &. Untuk masalah tersebut di atas, 0umus 2

ehingga proporsi untuk berinvestasi di setiap keamanan. 0umus 2

"asil yang diharapkan dari portofolio adalah 2 0umus 2

arians dari pengambilan portofolio adalah, 0umus 2

Ta$el -.2 Bffisien et dengan 3ending dan orrowing bebas res iko

17

Bfisien set adalah garis lurus dengan mencegat di tingkat bebas risiko dari (J dan lereng sama dengan rasio kelebihan kembali ke standar deviasi %lihat :ambar 8.)*.

2.2.2

h&rt ale D%$&lehkan Teta)% Len'%ng 'an B&rr&/%ng Pa'a T%ngkat Bunga Be$as Res%k& T%'ak Terse'%a.

etika investor tidak ingin membuat asumsi bahwa ia dapat borrowing  dan lending   pada tingkat bunga tanpa risiko, solusi yang dikembangkan di  bagian

terakhir

harus

diubah.

?amun,

banyak

analisis

masih

bisa

dimanfaatkan. +ertimbangkan :ambar 8.7. Borrowing  tanpa risiko dan tingkat suku bunga pinjaman dari (J menyebabkan pemilihan portofolio . ika lending

tanpa risiko dan tingkat borrowing   menjadi 1J, investor akan

 berinvestasi di portofolio /. ika pinjaman investor dan tingkat suku bunga borrowing   adalah 8J, investor akan memilih portofolio 4. +engamatan ini menyarankan prosedur berikut. /sumsikan bahwa tanpa risiko kredit dan  pinjaman tingkat ada dan menemukan portofolio yang optimal. emudian  berasumsi bahwa lending tanpa risiko yang berbeda dan borrowing   tingkat suku bunga tersedia dan menemukan portofolio optimal yang sesuai dengan tingkat suku bunga kedua ini. !erus mengubah tingkat suku bunga tanpa risiko diasumsikan sampai perbatasan yang efisien penuh dipengaruhinya. ami menunjukkan bahwa optimal +roporsi untuk berinvestasi dalam keamanan apapun hanyalah sebuah fungsi linear dari 0 ;. elanjutnya, karena

18

seluruh perbatasan yang efisien dapat dibangun sebagai kombinasi dari dua  portofolio yang berbaring sepanjang itu, identifikasi karakteristik portofolio optimal untuk setiap dua nilai-nilai sewenang-wenang 0 ; cukup untuk  menelusuri perbatasan yang efisien keseluruhan. Ta$el -.3 +ortofolio Optimum dengan tingkat suku bunga bebas resiko

 berbeda-beda.

2.2.3 h&rt ale T%'ak D%$&lehkan Teta)% Len'%ng 'an B&rr&/%ng Rate Pa'a T%ngkat Bunga Be$as Res%k& Terse'%a. hort sale tidak dibolehkan, tetapi 3ending dan orrowing rate pada

tingkat bunga bebas resiko tersedia adalah salah satu menentukan portofolio optimal.

alah

satu

yang

memaksimalkan

kemiringan

garis

yang

menghubungkan aset tanpa risiko dan portofolio berisiko. ?amun, portofolio set yang tersedia untuk menggabungkan dengan lending dan borrowing   berbeda karena kendala baru telah ditambahkan. Investor tidak bisa menahan sekuritas dalam jumlah negatif. 0umus 2

ubject to

19

endala %&* dan %)* yang linear kendala. #asalahnya adalah bahwa fungsi tujuan %ekspresi kita memaksimalkan* tidak linearN M mengandung istilah yang melibatkan F )i dan FiF j. 2.2.0 T%'ak D%$&lehkan h&rt ale Len'%ng 'an B&rr&/%ng Rate Pa'a T%ngkat Bunga Be$as Res%k& T%'ak Terse'%a.

Ingat bahwa efisien set ditentukan oleh meminimalkan risiko untuk  setiap tingkat yang diharapkan kembali. ika kita tentukan kembali di  beberapa tingkat dan meminimalkan risiko, kita memiliki satu titik tepat pada  batas efisien. Dengan demikian, untuk mendapatkan satu titik di perbatasan yang efisien, kita meminimalkan subjek risiko untuk kembali menjadi  beberapa tingkat ditambah pembatasan bahwa jumlah proporsi yang diinvestasikandi setiap keamanan & dan bahwa semua sekuritas memiliki  positif atau nol investasi. Ini menghasilkan rumusan sebagai berikut 2 0umus 2

ubject !o

ervariasi 0 + antara pengembalian portofolio varians minimum dan kembali pada return portofolio maksimum jejak keluar efisien set. ekali lagi, masalahnya adalah kuadrat pemrograman masalah karena kehadiran istilah seperti F)i dan FiF j %kuadrat dan istilah cross- produk*. ?amun, ada paket standar yang tersedia yang memecahkan ini masalah.

20

2.2. Pengga$ungan +en'ala Tam$ahan

+engenaan kendala  short sale merupakan teknik solusi yang rumit, memaksa kita menggunakan pemrograman kuadratik. ebagai contoh,  beberapa manajer ingin memilih portofolio optimal mengingat bahwa dividen yield pada portofolio optimal setidaknya beberapa nomor %misalnya, )J*. ika kita membiarkan D berdiri untuk dividend yield target dan di berdiri untuk  dividend yield pada saham d i, maka kita bisa memaksakan persyaratan ini dengan menambahkan kendala keempat untuk masalah yang dijelaskan dibagian sebelumnya 2

0umus 2

ika kita menginginkan kendala dividen tetapi ingin  short sale dibolehkan, kita hanya menghilangkan kendala ketiga, 0umus 2

dari masalah . +erhatikan bahwa sekali kita memaksakan kendala ketimpangan seperti yang dijelaskan untuk dividen, kita harus memecahkan masalah pemrograman kuadratik bukan sistem simultan persamaan, bahkan jika short sale dibolehkan. enis lain dari kendala yang sering digunakan dalam memecahkan masalah portofolio. #ungkin kendala yang paling sering adalah mereka yang menempatkan batas atas variabel portofolio yang dapat diinvestasikan dalam saham apapun. batas atas pada jumlah yang dapat diinvestasikan dalam satu saham sering bagian dari piagam reksa dana. uga, batas atas %dan batas kadang-kadang lebih rendah * sering ditempatkan pada variabel portofolio

21

yang dapat diinvestasikan dalam industri apapun. /khirnya, adalah mungkin untuk membangun kendala pada jumlah omset dalam portofolio dan untuk  memungkinkan pertimbangan biaya transaksi dalam menghitung return.

Ta$el -.0 Input data untuk alokasi data

,&nt&h

ab ini telah menyajikan teknik untuk memperoleh perbatasan yang efisien ketika ada sejumlah besar aset untuk memilih dari. !abel 8.1 menunjukkan data untuk alokasi aset masalah kami akan memeriksa. #anajer  sedang mempertimbangkan alokasi di tiga kategori /

dan saham

internasional. !iga kategori / adalah saham besar, saham kecil, dan obligasi. aham besar diwakili oleh indeks tandard dan +oor termasuk dividen, obligasi dengan indeks 4redit +emerintah arclays, dan saham kecil oleh +usat +enelitian di "arga eamanan %40+* saham kecil indeP. Data internasional yang diperoleh dengan menggunakan pengembalian reksa dana

22

saham internasional. +ortofolio internasional dipilih untuk membagi dunia menjadi sebanyak segmen non over lapping mungkin. Demikian ada dana anada, dana Bropa, dana epang, dana +asifik, dan muncul pasar modal. /da  beberapa tumpang tindih. Dana +asifik dan dana epang memiliki saham di epang kesamaan. Demikian pula, pasar dan +asifik dana berkembang memiliki beberapa negara bersama. +engaruh tumpang tindih dapat dilihat dengan memeriksa koefisien korelasi. Itu korelasi antara dana epang dan dana +acific >.97, yang merupakan korelasi tertinggi antara epang dan setiap dana lainnya. +asar yang muncul adalah menarik. sebelum memeriksa data, orang akan berharap bahwa korelasi akan sangat rendah dengan besar negara.  ?amun, korelasi yang tinggi dengan pasar utama, menyiratkan bahwa kinerja dari pasar negara berkembang sangat dipengaruhi oleh apa yang terjadi di  pasar utama. orelasi matriks awalnya dihitung dengan menggunakan data pulang lebih sebelum limatahun dan dihitung untuk pengembalian dinyatakan dalam dolar /. emudian, analis keamanan di perusahaan investasi perbankan  besar dibandingkan korelasi dihitung dengan menggunakan hasil dari paling  periode lima tahun terakhir dengan periode lima tahun sebelumnya. #enggunakan data ini dan penilaian mereka, analis diubah beberapa nomor   bersejarah untuk mendapatkan estimasi terbaik mereka tentang korelasi yang mungkin terjadi di masa depan. tandar deviasi disajikan dalam return tahunan. #ereka juga dihitung lebih lima tahun sebelumnya. ekali lagi, bagaimanapun, analis dimodifikasi mereka sedikit memanfaatkan kedua data dari periode sebelumnya dan  pengalaman mereka untuk mendapatkan perkiraan subjektif terbaik mereka untuk masa depan. #ean return adalah perkiraan dari perantara keuangan  besar yang bersangkutan dengan keputusan alokasi dianalisis di sini. +ada saat ini mereka cukup pesimis pasar obligasi /, saham anada, dan saham Bropa, dan ini tercermin dalam mereka memperkirakan. Input akhir yang dibutuhkan adalah tingkat tanpa risiko bunga, yang diperkirakan (J bagi investor / selama bertahun-tahun berikutnya.

23

 Effisien frontier atau portofolio optimal tanpa lending   dan borrowing   bebas resiko namun dengan short sales adalah angka melengkung yang ditunjukkan pada :ambar 8.1. etiap kelas aset sebagai investasi yang terpisah diwakili oleh sebuah titik pada :ambar 8.1. +ortofolio minimum variance global yang memiliki return rata-rata 8,1&J dan standar deviasi 7,'&J. +erhatikan bahwa obligasi yang jauh adalah adalah asset yang paling  berisiko. ?amun, portofolio aset kurang berisiko daripada obligasi, meskipun setidaknya berikutnya aset berisiko memiliki standar deviasi lebih dari 7 kali lebih besar dari obligasi. alau tidak, portofolio optimal dengan risiko yang sama seperti obligasi memiliki return rata-rata K.1)J, atau &,')J lebih dari obligasi. Ini adalah sebuah ilustrasi dari kekuatan diversifikasi. +erhatikan  bahwa semua aset yang diadakan baik panjang atau pendek. elanjutnya,  perhatikan bahwa untuk keuntungan yang lebih tinggi %di atas portofolio )*,  short sale  yang terlibat substansial dan akan melibatkan  short selling   lebih dari persyaratan margin akan memungkinkan. adi efficient frontier akan mengakhiri setelah portofolio ). +ada risiko rendah, pembelian panjang utama adalah obligasi. eperti yang diharapkan kembali adalah meningkat,  Q +, saham kecil, dan dana +acific semua diadakan panjang dalam substansial jumlah, dengan epang diadakan panjang dalam proporsi yang lebih kecil. Ini semua adalah relatif portofolio dengan keuntungan yang tinggi. +erhatikan, bagaimanapun, bahwa pasar negara  berkembang, yang lain tinggi berarti return portofolio, tidak masuk ke dalam optimal. "al ini karena memiliki sangat tinggi korelasi dengan negara-negara lain dan dengan demikian tidak memberikan kontribusi banyak untuk  diversifikasi .Bropa dan obligasi yang dijual singkat untuk portofolio dengan hasil rata-rata yang lebih tinggi. Ini keduanya aset dengan keuntungan rendah. elain itu, Bropa memiliki keunggulan yang relatif sangat berkorelasi dengan aset yang dimiliki panjang. etika aset short sale, jangka kovarians dengan aset yang panjang adalah negatif, sehingga mengurangi risiko. Oleh karena itu diinginkan untuk aset short sale sangat berkorelasi dengan aset yang dimiliki lama.

24

Ta$el. -. E**%s%ent *r&nt%er dengan lending   dan borrowing   bebas

resiko dan short sales

Ta$el.

-.-

E**%s%ent *r&nt%er !anpa lending   dan borrowing   bebas

resiko dan short sales tidak dibolehkan.

ekarang

mempertimbangkan

solusi

ketika

 short

sale 

tidak 

diperbolehkan dan tidak ada lending  dan  borrowing   tanpa risiko.  Efficient   rontier adalah wilayah melengkung pada :ambar 8.8 . omposisi untuk  sejumlah portofolio dapat dilihat pada !abel 8.1. asus di mana  short sale tidak dibolehkan mungkin kasus yang realistis untuk mempertimbangkan untuk pengelola dana pensiun yang merupakan masalah untuk menganalisis. eperti terlihat pada !abel 8.1, portofolio varians global minimum memiliki keuntungan yang diharapkan 8,K'J dan standar deviasi 1,K9J. "al ini tentu saja sebuah deviasi standar yang lebih tinggi daripada jika  short sale

25

dibolehkan. +erbandingan angka dalam tabel 8.1 dan 8.9 menunjukkan bahwa efficient frontier   dengan  short sale diperbolehkan berarti menawarkan keuntungan lebih tinggi untuk risiko tertentu %baik dengan atau tanpa lending  dan borrowing tanpa risiko* ."al ini karena short sale menawarkan peluang investasi tambahan yang digunakan.

Ta$el -. +roporsi Investasi etika !hort sales tidak dibolehkan.

eperti terlihat pada !abel 8.9, portofolio minimum berisiko terutama investasi di obligasi. !anpa  short sales,risiko minimum hanya sedikit kurang dari risiko obligasi sendiri -1,K9J dibandingkan dengan (J- dan hasil yang diharapkan hanya >,7'J lebih tinggi. #eningkatkan risiko pada portofolio,  persentase investasi di obligasi turun, dan kami mulai berinvestasi terutama  pada saham-saham kecil dan +asifik. ebuah jumlah yang kecil di investasikan dalam epang. #ean return portofolio tertinggi tentu saja &>>J dalam aset tertinggi kembali, obligasi +acific . etika lending dan borrowing  tanpa risiko, ef   f icient frontier adalah garis lurus ditunjukkan pada :ambar 8.( dan 8.8. +ersamaan garis lurus yang jelas,

26

0umus 2

ef   f icient frontier   dengan  short sale  memungkinkan lebih curam. +ortofolio singgung untuk  short sale tidak diperbolehkan memiliki kembali rata-rata &&,(&J. euntungan yang lebih tinggi melibatkan borrowing  pada tingkat suku bunga tidak beresiko. Untuk mengelola dana pensiun yang masalah sedang dianalisis, ini mungkin tidak layak . Untuk mengelola ini, ef   f icient   frontier   mungkin menjadi garis lurus segmen dari 0 ;  ke titik singgung dan  bentuk melengkung dari sana ke kanan. #engingat keuntungan rendah dari  portofolio singgung, pilihan kemungkinan akan berbaring di kurva ke kanan dari portofolio singgung. "al ini akan melibatkan obligasi, saham kecil , +acific , dan sedikit diinvestasikan di epang. Ini akan menjadi penting untuk   beragam

masukan

dalam

kisaran

yang

wajar

untuk

melihat

 bagaimanaomposisi ini akan berubah diberikan perubahan yang waja r dalam input .

27

BAB III +EIMPULAN

+engurangan risiko karena pemodal melakukan diversifikasi tergantung  pada koefisien korelasi antar tingkat keuntungan dari sekuritas-sekuritas yang membentuk portofolio tersebut. emakin kecil koefisien korelasinya, semakin efektif

pengurangan

resikonya.

ecara

teoritis

dimungkinkan

untuk 

menghilangkan risiko suatu portofolio apabila koefisien korelasi yang membentuk   portofolio tersebut negative sempurna. arena umumnya koefisien korelasi yang  bergerak antara -& dan =&, maka pembentukan portofolio akan menghasilkan kurva yang concave. +emodal selalu lebih menyukai portofolio yang diharapkan memberikan tingkat keuntungan yang lebih besar dengan risiko yang sama %atau risiko yang lebih kecil dengan tingkat keuntungan yang sama*, maka mereka akan berupaya mencari efficient frontier berbagai kombinasi atau portofolio yang mungkin dibentuk.

28

umpulan %set* dari portofolio yang efisien ini disebut dengan efficient set  atau efficient frontier . /da 1 persoalan portofolio yang akan menentukan titik  optimal pada efficient set  atau efficient frontier , yaitu 2 a. !hort sale  dibolehkan, 3ending dan  Borrowing rate  pada tingkat bunga  bebas resiko tersedia.  b. !hort sale dibolehkan, tetapi "ending   dan Borrowing   pada tingkat bunga  bebas resiko tidak tersedia. c. !hort sale tidak dibolehkan, tetapi  "ending dan  Borrowing rate  pada tingkat bunga bebas resiko tersedia. d. !hort sale, "ending dan Borrowing rate pada tingkat bunga bebas resiko tidak dibolehkan. e. +enggabungan kendala tambahan.  +ada saat diintrodusir adanya risk free lending Q borrowing rate, ternyata akan didapatkan hanya satu portofolio yang terdiri dari risky asset   yang efisien. +ortofolio

yang

optimal

ini

dapat

ditentukan

dengan

memilih

tingkat return ekspektasi tertentu dan kemudian meminimumkan risikonya, atau menentukan

tingkat

risiko

yang

tertentu

dan

kemudian

memaksimumkan return ekspektasinya. Investor yang rasional akan memilih portofolio optimal ini karena merupakan portofolio yang dibentuk dengan mengoptimalkan satu dari dua dimensi, yaitu return ekspektasi atau risiko portofolio. Dalam memilih portofolio yang optimal ada beberapa pendekatan yaitu2 &* )* 7* 1*

+ortofolio optimal berdasarkan preferensi investor  +ortofolio optimal berdasarkan model #arkowit$ +ortofolio optimal dengan adanya simpanan dan pinjaman bebas risiko. +ortofolio optimal berdasarkan model Indeks !unggal

29

PR!BLEM !LIN#

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40