MAKALAH Aljabar Linier Elementer - Vektor

MAKALAH

Aljabar Linier Elementer “VEKTOR”

Di Susun Oleh:

Aditya Patria Prasadani I’lam Nahar Taufiq Miladin Ashfa Deden Hendra Permana Tasminto Awwaliya Nur Fithriya Florenta Melia rostriana Winda Listya Ningrum Tika Restianti Abdul Rahman Nurmansyah

JURUSAN MATEMATIKA FAKUTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2009 1

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan YME yang telah melimpahkan rahmat serta taufik dan hidayahnya kepada kami, sehingga kami dapat menyusun Makalah Aljabar Linier Elementer Elementer yang berjudul berjudul “VEKTOR” ini dengan baik dan benar. Adapun tujuan penyusunan makalah Aljabar Linier Elementer ini adalah disusun untuk melengkapi tugas mata kuliah Aljabar Linier Elementer pada semester I Dengan telah selesainya makalah ini, kami ingin mengucapkan terima kasih kepada teman-teman yang sudah membantu dalam penyusunan makalah ini. ini. Kami menyadari bahwa dalam menyusun makalah ini masih terdapat kekurangan, oleh karena itu itu dengan senang hati kami menerima kritik dan saran dari para pembaca yang yang berguna demi penyusunan makalah lain mendatang.

Semarang, 9 September 2009

Penyusun

2

DAFTAR ISI

Kata Pengantar Daftar Isi

………………………………………………………. ……………………………………………………….

2 3

Pengertian Vektor

………………………………………………………

4

Operasi-operasi Aljabar pada Vektor ………………………………………

5

Panjang Panjang vektor / modulus modulus vektor ..................................................................

7

Proyeksi Proyeksi vektor

....................................... ............................................

7

Perbandingan Perbandingan vektor ......................................................................... ..........

8

Vektor basis dalam ruang R

3

.......................................................................

9

Penutup

………………………………………………………

11

Daftar Pustaka

………………………………………………………

12

3

Pengertian Vektor Skalar dan Vektor Skalar adalah besaran (kuantitas) yang hanya mempunyai besar (nilai saja). Vektor adalah besaran yang memiliki besar (panjang vector) dan arah (arah vector). Sebuah vector dapat di lukiskan sebagai suatu segmen garis berarah, dimana panjang segmen menyatakan besar (panjang) vector dan arahnya menunjukan arah vector. Pandang gambar berikut ini :

(Penulisan vektor ) a

B



A

titik ujung vektor

titik pangkal vektor

A-B adalahGaris pembawa

A B

Dua vector A dan B adalah sama jika kedua vector itu mempunyai besar dan arah yang sama tanpa melihat titik  – titik titik pangkalnya. Jadi A=B.

A -A

Sebuah vector yang panjangnya sama dengan vector A tetapi arahnya berlawanan di tunjukkan oleh vector –  vector  – A. A.

4

Operasi-operasi Operasi- operasi Aljabar pada pada Vektor Vektor (R2) a.

Penjumlahan Vektor Penjumlahan antara dua vector (dalam bentuk gambar) dapat dilakukan dengan cara :

1. Cara Segitiga

b a

Letakkan titik awal salah satu vector (misalkan b) pada titik ujung vector yang lain (dalam hal ini a), maka vector c=a+b, yaitu vector hasil (resultan) pertemusn titil awal vector a dan titik ujung vector b. 2. Cara Jajaran Genjang

Misal kita akan menjumlahkan dua vector a dan b. metode ini dilakukan dengan cara menempatkan titik awal a dan b berimpitan. Resultan dari a + b adalah diagonal jajaran genjang yang dibentuk oleh a dan b.

Sifat-sifat : MIsalkan a,b dan c adalah vector-vektor, maka berlaku : 1). a + b = b + c sifat komutatif  2). (a + b) + c = a + (b + c ) sifat asosiatif  3). a + 0 = a, dengan 0 adalah vector nol.

5

3. Cara polygon Metode ini merupakan pengembangan dari cara segitiga, digunakan untuk  menjumlahkan lebih dari dua vector. 

Contoh penjumlahan empat vector ( a



 

b

c

d  )





b

b





a



a

c



d   



a

c

b.

b

 

c

d 



d 

Pengurangan Vector pengurangan vector merupakan proses penjumlahan vector dengan vector negative 



(invers penjumlahan). Vector negative dari b yaitu (- b ) adalah sebuah vector yang 

 jumlahnya sama tetapi arahnya berllawanan dengan vector b 



pengurangan vector a dengan b atau a - b 





-b  



b

b

a



a -b 

c.



a

Perkalian Titik Vektor

Perkalian Vektor dengan Skalar : Vector k  a adalah vector yang diperoleh dengan mengalikan setiap komponen a dengan scalar k. 



Sifat-sifat : 1. k(a+b) = ka + kb 2. (k+I)a = ka + Ia contoh :

1 2



b



b

6

Perkalian vector dengan vector 

Bila a



a2  j dan b

a1i



b2  j untuk 

b1i



a

0

dan b

0 dan

= sudut



antara vektor a dan b , maka berlaku rumus sebagai berikut. 





a . b = a1b1 



a 2 b2





a . b = a b cos 



Panjang vector /modulus /modulus vektor Besar vector a adalah 



a

 x

2

 y

2

 z

2

Proyeksi vektor 

Bila c adalah vector proyeksi a pada b maka berlaku rumus sebagai berikut : 





a



O

b



c



Proyeksi scalar orthogonal (panjang proyeksi) vector a pada vector b adalah 

 



c



a

a.b

cos



b



Proyeksi vector orthogonal (vector proyeksi) vector a pada vector b adalah 



c=

a .b 

b









.

b 



a.b



atau c





b .b

b



b

Sifat-sifat perkalian scalar dua vector : 



1.

komutatif 

a .b =b . a

2.

distributive

a .( b + c )= a . b + a . c





 

 







7

Perbandingan vektor A

m



a



 p

P 

b

n

B

Perhatikan gambar diatas :



Jika a adalah vector posisi titik A, b vector posisi titik B,  p vector posisi dari titik P yang 



membagi garis AB dengan perbandingan perbandingan AP:PB=m:n , maka maka : 



n AP = m PB

n ( p - a )= m ( b - p ) 





 p = 

m.b m

n.a



n

catatan : 1.  jika titik P pada ruas garis AB, maka m atau n positif  2.  jika titik P ada diperpanjangan AB, maka salah satu m atau n negative

8

Vektor basis dalam ruang (R3) 1 

i

z

0 0

0 

 j

1 0

0 

k 

0 1

Operasi pada pada vector di R3 1.

penjumlahan a1

b1 

a

a2



b

a

b2

a3 2.

a1

b1

a1

b1

a2

b2

a2

b2

a3

b3

a3

b3

 

b3

b

pengurangan a1

b1

a1

b1

a2

b2

a2

b2

a3

b3

a3

b3

 

a

3.

b

perkalian vector dengan scalar



k a

a1

ka1

k  a 2

ka 2

a3

ka3

9

Panjang Velktor / modulus 

a

a1

2

a2

2

a3

2

Perkalian scalar dua vektor a1

b1 



a

a2

b

b2

a3

b3









a.b

a .b

cos

 

a.b

a1 .b1

a 2 .b2

a3 .b3

Sudut antara 2 vektor 

 

a . b = a . b cos 



a .b 

a1.b1

a2b2

a3b3



a1 .b1



cos

a.b ab

cos

a1

2

a2

2

a 2 .b2 a3

2

.

a 3 .b3 b1

2

b2

2

b3

2

10

PENUTUP Demikianlah makalah yang singkat dan dituliskan beberapa lembar ini kami susun sebaik-baiknya agar dapat bermanfaat bagi para pembaca. Kami sebagai penyusun mohon maaf bila ada kesalahan. Atas segala dukungan dan partisipasi teman-teman yang sudah membantu dalam penyusunan makalah Aljabar Linier Elementer ini kami ucapkan terima kasih.

11

Daftar Pustaka Sobirin.2007. Kumpulan Lengkap Rumus Matematika SMA.Jakarta:Puspa Swara Simangunsong, Wilson.2005. PKS Matematika.Jakarta:Gematama

12