Makalah 2 (metode sMetode Penyelesaian Akar-akar Persamaan Kuadratelain Iterasi).docx

METODE PENYELESAIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN A. Metode Setengah interval (BISECTION) Langkah – langkah penyelesaian akar – akar persamaan mengguanakan metode setengah interval adalah : 1. Tentukan nilai xn dan x(n+1) sehingga nilai f(xn) dan f(x(n+1)) berlawanan tanda 2. Tentukan nilai xt yang merupakan rata-rata dari xn dan x(n+1) yaitu 3. Buat evaluasi berikut untuk menentukan didalam sub interval mana akar persamaan berada: a. Jika f(xn) X f(xt) < 0, akar persamaan berada pada sub interval pertama, kemudian nilai x(n+1) pada hitungan selanjutnya = xt b. Jika f(xn) X f(xt) > 0, akar persamaan berada pada sub interval kedua, kemudian nilai xn pada hitungan selanjutnya = xt c. Jika f(xn) X f(xt) = 0, akar persamaan adalah xt dan penghitungan selesai. 4. Buat nilai xt baru dari akar dengan cara : 5. Apabila nilai xt yang baru sudah sangat kecil setidaknya sudah mendekati 0,00001, penghitungan selesai dan nilai akar persamaannya yang dicari adalah xt Contoh Soal Hitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut: F(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0 Penyelesaian 1. Kita pilih nilai xn = x1 = 1 dan xn+1 = x2 = 2 F(xn) = f(x1) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = -4 F(xn+1) = f(x2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3 Mengingat fungsi adalah kontinyu, berarti perubahan tanda dari fungsi antara x=1 dan x=2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. Titik perpotongan antara sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persaman. 2. Buatlah tabel hitungan seperti dibawah ini

n

xn

x(n+1)

xt ke-n

f(xn)

f(x(n+1))

f(xt)

Evaluasi pada baris ke-n

1

1,00000

2,00000

1,50000

-4,00000

3,00000

-1,87500

2

1,50000

2,00000

1,75000

-1,87500

3,00000

0,17188

3

1,50000

1,75000

1,62500

-1,87500

0,17188

-0,94336

4

1,62500

1,75000

1,68750

-0,94336

0,17188

-0,40942

5

1,68750

1,75000

1,71875

-0,40942

0,17188

-0,12479

6

1,71875

1,75000

1,73438

-0,12479

0,17188

0,02203

karena f(xn) X f(xt) > 0, maka x(n) = xt karena f(xn) X f(xt) < 0, maka x(n+1) = xt karena f(xn) X f(xt) > 0, maka x(n) = xt karena f(xn) X f(xt) > 0, maka x(n) = xt karena f(xn) X f(xt) > 0, maka x(n) = xt -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

12

1,73193

1,73242

1,73218

-0,00114

0,00349

0,00118

13

1,73193

1,73218

1,73206

-0,00114

0,00122

0,00004

14

1,73193

1,73206

1,73200

-0,00114

0,00009

-0,00053

karena f(xn) X f(xt) < 0, maka x(n+1) = xt Xt pada baris ini merupakan nilai akar persamaan yg dicari karena nilai f(xt) mendekati 0,00001 Penghitungan ini merupakan tanda pemberhentian perhitungan karena nilai f(xt)nya