Makalah 1 ukuran dispersi

MAKALAH STATISTIKA DASAR

Statistik Deskriptif “Ukuran Dispersi”

Oleh: Kelompok 1 Dwireta Ramadanti Aliv Vito Palox Arif Rahman Hakim Asrar Halim Desi Anggraini Eki Maruci

Hary Sentosa Monalisa Muhammad Irvand Rahmat Hidayat Randi Sepniko Yogi Dwi Putra.S

Dosen Pembimbing: Adree Octova,S.Si.M.T

TEKNIK PERTAMBANGAN

UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2013

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melilmpahkan rahmat dan hidayah Nya sehingga kami dapat menyelesaikan laporan pratikum ini. Makalah Statistika Dasar yang berjudul “Ukuran Dispersi” ini ditujukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Statistika Dasar dan sebagai kesimpulan dari hasil diskusi yang telah dilakukan sebelumnya. Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada bapak Adree Octova yang telah membimbing kami sampai menyelesaikan pratikum kami ini. Kami menyadari dalam penulisan makalah ini terdapat banyak kekurangan, untuk itu kami sangat berharap masukan dan saran, serta bimbingannya agar makalah selanjutnya semakin baik. Demikian laporan ini kami buat semoga bermanfaat bagi kita semua. Wassalam

Padang,November 2013 Penyusun

Kelompok 1

DAFTAR ISI

A. PENGERTIAN DISPERSI B. JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI a. Jangkauan (Range, R) b. Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil c. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata) d. Varians e. Simpangan Baku (Standar Deviasi) C. KOEFISIEN VARIASI a. Koefisien Variasi (KV) b. Variasi Jangkauan (VR) c. Variasi Simpangan Rata-Rata (VSR) d. Variasi Quartil (VQ) D. KEMENCENGAN ATAU KECONDONGAN a. Koefisien Kemencengan Pearson b. Koefisien Kemencengan Bowley c. Koefisien Kemencengan Persentil d. Koefisien Kemencengan Momen E. KERUNCINGAN (KURTOSIS) a. Koefisien Keruncingan b. Koefisien Kurtosis Persentil F. BILANGAN Z (Z SCORE) REFERENSI

Ukuran Dispersi

A. PENGERTIAN DISPERSI Ukuran dispersi atau ukuran variasi adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh nilai-nilai data yang berbeda dari nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dari ukuran pusatnya. Ukuran dispersi pada dasarnya merupakan pelengkap dari ukuran pusat dalam menggambarkan sekumpulan data. Dengan ukuran dispersi, penggambaran data akan lebih tepat dan jelas. Fungsi ukuran dispersi: 

Menunjukkan tinggi rendahnya penimpangan antar data.



Mengeahui derajat perbedaan antar data.

B. JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI a. Jangkauan (Range, R) Range adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil dari data yang telah disusun berurutan. Cara mencari jangkauan dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok. 1. Jangkauan data tunggal

Contoh Range: IQ lima orang anggota keluarga adalah; 108, 112, 127, 118, dan 113. Tentukan rentangnya! Jawab: Rentangdari 5 IQ tersebut adalah:

-108 = 19

2. Jangkauan data berkelompok Pada data berkelompok, ditentukan dari selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah ataupun dengan selisih titik tengah kelas tertinggi dan titik tengah kelas terendah.

b. Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil

Jangkauan semi interkuartil aau simpangan kuartil adalah setengah dari selisih dari selisih kuartil atas Q3 dengan kuartl bawah Q1. Dirumuskan:

Rumus-rumus di atas berlaku untuk data tunggal dan kelompok.

Contoh soal: Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil distribusi frekuensi berikut:

TABEL 5.2 NILAI STATISTIK 80 MAHASISWA UNIVERSITAS BOROBUDUR, SEMESTER II, JURUSAN MANAJEMEN, 1994 Nilai

Frekuensi (f)

30 – 39

2

40 – 49

3

50 – 59

5

60 – 69

14

70 – 79

24

80 – 89

20

90 – 99

12

Jumlah

80

Penyelesaian:

Jangkauan antarkuartil dapat digunakan untuk menemukan adanya data pencilan, yaitu data yang dianggap salah catat atau salah ukur atau berasal dari kasus yang menyimpang,

Keterangan: L = satu langkah PD = pagar dalam PL =pagar luar

Contoh soal : Selidikilah apakah terdapat data pencilandari data di bawah ini! 15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97 Penyelesaian: Q1

= 50 dan Q3 = 68

JK

= 68-50 =18

L

= 1,5x18 = 27

PD

= 50-27= 23

PL

= 68+27 =95 Pada data diatas terdapat data 15 dan 97 yang brarti kurang dari pagar dalam (23) dan

pagar luar (95). Dengan demikian data 15 dan 97 termasuk kedalam data pecilan karena itu perlu diteliti ulang.

c. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata) Deviasi rata-rata yaitu nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangansimpangannya. Cara mencari deviasi rata-rata ada 2, data tunggal dan data berkelompok.

1. Deviasi rata-rata data tunggal | Contoh soal:

|

Tentukan deviasi rata-rata dari 2,3,6,8,11 Penyelesaian: Rata-rata hitung= |

DR =

|

|

|

|

|

=

= 2,8

|

|

|

|

|

|

|

|

2. Deviasi rata-rata untuk data berkelompok |

|

Contoh soal: Tentukan deviasi rata-rata dari distribusi frekuensi pada Tabel 5.1 ! Penyelesaian: Dari tabel 5.1 didapat

= 157,7. Dengan nilai itu, dapat dibuat tabel

Tinggi Badan (cm)

X

f

140 – 144

142

2

15,7

31,4

145 – 149

147

4

10,7

42,8

150 – 154

152

10

5,7

57

155 – 159

157

14

0,7

9,8

160 – 164

162

12

4,3

51,6

165 – 169

167

5

9,3

46,5

170 - 174

172

3

14,3

42,9

Jumlah

-

50

-

282

f

|

|

d. Varians Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat. Untuk varians sampel disimbolkan

. Untuk populasi di simbolkan

(baca sigma).

1. Varians data tunggal  Untuk sampel besar 30 (n>30) ̅

atau (

)

 Untuk sampel kecil (n≤30) ̅

atau

Contoh soal: Tentukan varians dari data 2,3,6,8,11 Penyelesaian ( 2

-4

16

4

3

-3

9

9

6

0

0

36

8

2

4

64

11

5

25

121

54

234

30

=

-

(

)

(

)

)

= -

= 13,5 (

= 13,5

)

2. Varians Untuk data berkelompok : Ada 3 metode yang digunakan, yaitu  Metode biasa a) Untuk sampel besar (n 30) ̅ b) Untuk sampel kecil (n

) ̅

 Metode angka kasar a) Untuk sampel besar (n 30) ( b) Untuk sampel besar (n

)

 Metode coding a) Untuk sampel besar (n 30)

b) Untuk sampel besar (n

)

Keterangan: C = Panjang interval kelas u = = M = rata-rata hitung sementara

)

Contoh soal : Tentukan varians dari distribusi frekuensi berikut

TABEL 5.3 PENGUKURAN DIAMETER PIPA Diameter (mm)

Frekuensi

65 -67

2

68 -70

5

71 -73

13

74 -76

14

77 -79

4

80 -82

2

Jumlah

40

Penyelesaian : (1) Dengan Metode biasa ̅

73,425 Diameter (mm)

X

f

̅

65 -67

66

2

-7,425

55,131

110,262

68 -70

69

5

-4,425

19,581

97,905

71 -73

72

13

-1,425

2,031

26,403

74 -76

75

14

1,575

2,481

34,734

77 -79

78

4

4,575

20,931

83,724

80 -82

81

2

7,575

57,381

114,762

Jumlah

-

40

-

-

114,790

4356

132

8712

̅

̅

̅

(2) Dengan Metode Angka Kasar Diameter

X

f

65 -67

66

2

68 -70

69

5

4761

345

23805

71 -73

72

13

5184

936

67392

74 -76

75

14

5625

1050

78750

77 -79

78

4

6084

312

24336

80 -82

81

2

6561

162

13122

Jumlah

-

40

-

2937

216117

(

(

)

)

(3) Dengan Metode coding Diameter

X

f

65 -67

66

2

-3

9

-6

18

68 -70

69

5

-2

4

-10

20

71 -73

72

13

-1

1

-13

13

74 -76

75

14

0

0

0

0

77 -79

78

4

1

1

4

4

80 -82

81

2

2

4

4

8

Jumlah

-

40

-

-

-21

63

3. Varians gabungan Misalkan, terdapat

Jika subsampel-subsampel digabung menjadi

sebuah sampel berukuran n1+ n2 + … nk= n maka varians gabungannya adalah :

= Contoh soal : Hasil pengamatan terhadap 20 objek mendapatkan s=4. Pengamatan terhadap 30 objek mendapatkan s=5. Berapakah varians gabungannya? Penyelesaian:

e. Simpangan Baku (Standar Deviasi) Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau akar simpangan rata-rata kuadrat, atau simpangan baku adalah suatu nilai yang menunjukkan tingkat (derajat) variasi atau kelompok data atau ukuran standar penyimpangan dari meannya. s=√

Cara mencari simpangan baku dibedakan menjadi 2: 1. Simpangan baku data tunggal  Metode biasa a) Untuk sampel besar (

) √

b) Untuk sampel kecil (

̅

) √

̅

 Metode angka kasar ( a) Untuk sampel besar (

) ) √

b) Untuk sampel kecil (

(

)

) √

Contoh soal: Tentukan simpangan baku dari data 2, 3, 6, 8, 11 Penyelesaian: Dari perhitungan diperoleh varians (s2)=13,5 Dengan demikian, simpangan bakunya adalah s=√ √

2. Simpangan baku data berkelompok  Metode biasa a) Untuk sampel besar (

) √

b) Untuk sampel kecil (

) √

 Metode Angka kasar a) Untuk sampel besar (

) √

(

)

b) Untuk sampel kecil (

) √

 Metode Coding a) Untuk sampel besar (

) √

b) Untuk sampel kecil (

) √

Keterangan: C = Panjang interval kelas u = = M = rata-rata hitung sementara Contoh soal: Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi berikut (gunakan ketiga rumus)! TABEL BERAT BADAN 100 MAHASISWA UNIVERSITAS” X” TAHUN 2013 Berat Badan (kg)

Frekuensi (f)

40-44

8

45-59

12

50-54

19

55-59

31

60-64

20

65-69

6

70-74

4

Jumlah

100

Penyelesaian: (a) Dengan metode biasa Berat Badan 40-44

42

8

336

-13,85

191,8225

1.534,58

45-59

47

12

564

-8,85

78,3225

939,87

50-54

52

19

988

-3,85

14,8225

281,63

55-59

57

31

1.767

1,15

1,3225

40,99

60-64

62

20

1.240

6,15

37,8225

756,45

65-69

67

6

402

11,15

124,3225

745,94

70-74

72

4

288

16,15

260,8225

1.043,29

100

5.585

Jumlah

5.342,75

√

√

(b) Dengan metode angka kasar Berat Badan 40-44

42

8

336

1.764

14.112

45-59

47

12

564

2.209

26.508

50-54

52

19

988

2.704

51.376

55-59

57

31

1.767

3.249

100.719

60-64

62

20

1.240

3.844

76.880

65-69

67

6

402

4.489

16.934

70-74

72

4

288

5.184

20.736

100

5.585

Jumlah

√

(

)

317.265

√

(

)

(c) Dengan metode coding Berat Badan 40-44

42

8

-3

9

-24

72

45-59

47

12

-2

4

-24

48

50-54

52

19

-1

1

-19

19

55-59

57

31

0

0

0

0

60-64

62

20

1

1

20

20

65-69

67

6

2

4

12

24

70-74

72

4

3

9

12

36

-23

219

Jumlah

100

√

√

3. Simpangan baku gabungan Dengan cara menarik akar dari variasi gabungan. √ Dalam bentuk rumus, simpangan baku gabungan dituliskan : ( (

Contoh soal: jika diketahui:

) )

Tentukan sgab! Penyelesaian:

C. KOEFISIEN VARIASI Jenis Ukuran dispersi yang telah dijelaskan merupakan dispersi absolut,yang hanya dapat melihat penyimpangan pada satu kumpulan data saja. Maka untuk membandingkan penyimpangan pada beberapa kumpulan data, digunakanlah dispersi relatif yaitu perbandingan dispersi absolut dan rata-ratanya.

a. Koefisien Variasi (KV) Jika dispersi absolut digantikan dengan simpangan bakunya maka dispersi relatifnyadisebut koefisien variasi (KV). ̅

Contoh soal: Dari hasil penelitian terhadap kualitas timah putih di Pulau A dan Pulau B diperoleh data sebagai berikut: ̅ ̅ a) Tentukan koefisien Variasi masing-masing! b) Di Pulau manakah timah yang paling bagus kualitasnya? Penyelesaian: a) KVA =

̅

x 100% =

x 100% = 0,05 %

KVB =

̅

x 100% =

x 100% = 0,047%

b) Jadi, variasi kualitas timah yang paling bagus adalah di Pulau A

b. Variasi Jangkauan (VR) Dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan jangkauan. ̅ c. Variasi Simpangan Rata-Rata (VSR) Dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan simpangan rata –rata ̅

d. Variasi Quartil (VQ) Dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan kuartil. ̇

Contoh soal: Dua perusahaan, yaitu MAKMUR dan SEJAHTERA memiliki 50 karyawan. Untuk keperluan penelitian mengenai variasi gaji karyawan, diambil sampel sebanyak 7 orang setiap perusahaan dengan gaji masing-masing (dalam ribuan rupiah): 300, 250, 350, 400, 600, 500, 550 dan 200, 450, 250, 300, 350, 750, 500. a) Tentukan dispersi relatif perusahaan tersebut! b) Perusahaan mana yang memiliki variasi gaji lebih baik?

Penyelesaian: Misalkan perusahaan Makmur= X dan Perusahaan SEJAHTERA= Y. a) ̅ ̅̅̅̅ 2 = 1.347.500 √

√

̅ ̅̅̅̅

2

= 1.330.000

√

b) Variasi gaji di perusahaan B lebih baik dari variasi gaji di perusahaan A.

D. KEMENCENGAN ATAU KECONDONGAN Merupakan kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata ,median ,dan modus yang tidak sama ( ̅

). Sehingga

distribusi akan terdistribusi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang kekanan daripada kekiri maka distribusi tersebut akan menceng ke kanan ( kemencengan positif) ,jika ekor distribusi lebih panjang kekiri daripada ke kanan maka distribusi tersebut akan menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif. Data yang baik adalah data yang memliliki kemencengan simetri, karena data tersebut lebih mudah untuk diolah. Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data : 1) Jika nilai ketiganya sama maka kurvanya berbentuk simetri. 2) Jika Mean > Med > Mod, maka kurva miring ke kanan. 3) Jika Mean < Med < Mod, maka kurva miringke kiri.

Untuk mengetahui sebuah distribusi menceng ke kanan atau kekiri digunakan beberapa metode-metode berikut. a. Koefisien Kemencengan Pearson Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Dirumuskan:

Keterangan: = Koefisien Kemencengan Pearson Secara empiris didapatkan hubungan antara nilai pusat sebagai:

Maka,rumus kemencengan di atas dapat dirubah menjadi:

Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva, maka: 1) sk

0

kurva berbentuk simetris

2) sk

kurva menceng ke kanan

3) sk

kurva menceng ke kiri

Contoh soal: Diberikan data tinggi badan mahasiswa,Tentukan besarnya kemencengan kurva dari data berikut:

Ukuran data dari tabel frekuensi tersebut adalah Mean = 109,6 Median =108 Modus = 105 Deviasi standar = 9,26 Ukuran kemencengan Pearson adalah=109,6105 = 4,6. Koefisien kemencengan (CK) adalah : 4,6:9,26= 0,5

Contoh soal 2: Koefisien kemiringan kurva distribusi frekuensi dari hasil penjualan suatu barang yang mempunyai nilai rata-rata =Rp 516.000,00, modus = Rp 435.000,00dan standar deviasi = Rp 150.000,00adalah.. Penyelesaian:

Contoh soal 3:

b. Koefisien Kemencengan Bowley skb =

Q 3 + 2Q 2  Q 1 Q 3 - Q1

Keterangan: Skb= Koefisien Kemencengan Bowley Q1 = kuartil pertama Q2 = kuartil kedua Q3= kuartil ketiga 1. Jika Q3 - Q2 = Q2 - Q1atau Q3 + Q1 - 2Q2 = 0 maka α = 0 dan distribusi datanya simetri 2. Jika Q1 = Q2 maka α = 1 dan distribusi datanya miring ke kanan 3. Jika Q2 = Q3maka α = -1 dan distribusi datanya miring ke kirI

Penyelesaian: Q1= 102,71 Q2= 108 Q3= 116

Karena skb positif, maka kurva menceng ke kanan dengan kemencengan yang tidak berarti.

c. Koefisien Kemencengan Persentil Koefisien kemencengan persentil didasarkan atas hubungan antarpersentil (P90, P50, P10) dari sebuah distribusi . Koefesien ini dirumuskan:

Keterangan: = Koefisien kemencengan persentil P= persentil d. Koefisien kemencengan momen Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3 dengan pangkat 3 simpangan baku. Koefisien ini dilambangkan dengan  3 . Koefisien Kemencengan Momen disebut juga kemencengan relatif. 1. α3= 0, maka distribusi datanya simetri

2. α3 < 0, maka distribusi datanya miring ke kiri 3. α3 > 0, maka distribusi datanya miring ke kanan 4. menurut Karl Pearson, distribusi dengan α3

± 0,50 adalah distribusi sangat

menceng. 5. Menurut Kenney and Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2bagi distribusi yang sangat menceng. Untul mencari α3 dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok: 1. Untuk data tunggal (

)

= koefisien kemencengan M3= momen ketiga, mengukur kemencengan S = simpangan baku n = banyaknya data pengamatan Xi= data frekuensi ke-i 2. Untuk data berkelompok (

)

Atau (

(

)(

)

(

) )

E. KERUNCINGAN (KURTOSIS) Keruncingan adalah tingkat kepuncakan dari suatu distribusi yang diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Kurtosis terdiri dari: 1. Leptokurtis, puncak kurva relatif tinggi 2. Mesokurtis, puncak kurva normal 3. Platikurtis, puncak kurva rendah

a. Koefisien Keruncingan Dilambangkan dengan

. Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh:

1. Jika α4> 3, maka bentuk kurva leptokurtis (meruncing) 2. Jika α4= 3, maka bentuk kurva mesokurtis (normal) 3. Jika α4< 3, maka bentuk kurva platikurtis(mendatar)

Untuk mencari nilai atau koefisien keruncingan dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

1. Untuk data tunggal (

)

(

)

2. Untuk data berkelompok

Atau (

(

)(

)

(

)(

)

(

) )

b. Koefisien Kurtosis Persentil Koefisien Kurtosis Persentil dilambangkan dengan K(kappa). Untuk distribusi normal, nilai K=0,263. Koefisien ini dirumuskan:

Keterangan: Jika

nilai k> 0,263 kurva leptokursis Nilai k 80): Atau dibulatkan menjadi 341 orang yang mendapatkan nilai > 80 (lihat model grafik diatas)

Dari Σ400 orang mahasiswa yang mendapat nilai tertinggi, dengan menggunakan table zscore dan perhitungan diatas, maka nilai tertendah dari mereka adalah 82.8. Perhitungannya dari orang, maka peluangnya (lihat table z-score) mendekati 0.3997 dari 1000 populasi yang ada dan diketahui nilai z-nya = 1.28 Maka, jika z dirumuskan dengan zi = (xi – x)/s maka didapatkan xi – x = z dikali dengan s. (lihat cara hitung diatas)

Dari 300 orang yang nilainya terendah, untuk mengetahui nilai tertinggi dari mereka dapat menggunakan table z-score dan dari Σ300 orang, maka peluangnya (lihat table z-score) mendekati 0.2996 dari 1000 populasi yang ada dan diketahui nilai z-nya = -0.84 Nilai (-) diberikan karena posisinya berada disebelah kiri dari nilai rata-rata (mean). Dengan demikian (lihat perhitungan diatas) maka dari 300 mahasiswa yang nilainya terendah, maka nilai tertinggi mereka adalah 61.6.

Contoh soal 2: Suatu kelompok data mempunyai nilai rata-rata 43. Dengan simpangan baku 5,39. Jika salah satu datanyabernilai 50. nyatakan dalam nilai standar! Penyelesaian: Xi = 50 = 43 s = 5,39

Referensi Hasan.Iqbal.2001.Pokok-Pokok Materi Statistik 1.Jakarta:Bumi Aksara. http://id.scribd.com/doc/93612143/Soal-Pearson http://www.stkip-ktb.ac.id/download/file/fid/437