Magnitudes Proporcionales

ARITMÉTICA

Nace Gerolamo Cardano en Parrá Italia.

1501

Publica la obra Practica arithmetica et mensurandi singulares Gobierna el Tahuantisuyo el Inca Huayna Capac.

1539

1542 Publica Ars magna, su obra más importante.

1545 Escribe Liber de ludo aleae.

1560 Fallece Gerolamo Cardano.

Se crea el Virreynato del Perú.

Blasco Núñez de Vela, primer virrey del Perú.

Es virrey del Perú Andrés Hurtado de Mendoza, primer marqués de Cañete.

1576 Francisco de Toledo es virrey del Perú. En su gobierno se instaló la Santa Inquisición en el Perú.

69

ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010

Magnitudes Proporcionales Dos magnitudes son proporcionales si al variar el valor de una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud varía proporcionalmente. 1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (D.P.) Sean A y B dos magnitudes cuyos valores correspondientes se observan en la tabla: A

a1

a2

a3

... a n

B

b1 b2 b3

... bn

x2

A 24 48 72 36 B 16 32 48 24 x2

÷2

24 48 72 36 = = = 16 32 48 24 Ejemplo 1:

Gráficamente:

A 18 x B 12 10

b3

Resolución:

b1

8 a Del gráfico:

b

c

x

8 12 16 b = = = a b c x

Sumando antecedentes y consecuentes tenemos:

Se cumple

Luego 18 15+6 Þ z=14 = 12 z

b2

b 16

9 x+y y z

18 x 9 x+y = = = Þ x=15; y =6 12 10 y z

B

Se conoce la gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales. Si a+b+c = 72, encuentra el valor de x-a.

12

Halla x + y + z si A y B son directamente proporcionales.

a1 a a a = 2 = 3 =...= n b2 b2 b3 bn

Ejemplo 3:

Se cumple:

Si A es directamente proporcional a B (A D. P. B) se cumple:

8 12 16 b 8+12+16 36 1 = = = = = = a b c x a+b+c 72 2 72 Þ a = 16, b = 24, c = 32

Se pide x+y+z=15+6+14=35 a1

a2

a3

A

Dadas dos magnitudes directamente proporcionales, si el valor de una de ellas se duplica, el valor correspondiente de la otra magnitud también se duplica; si se reduce a su mitad una de ellas, la otra también se reduce a su mitad; así sucesivamente.

Ejemplo 2: Sabiendo que A es directamente proporcional a B; encuentra el valor de A, para B = 81, sabiendo que cuando A es 24, B es 36. Resolución: A D.P. B

Ejemplo: La tabla muestra los valores de dos magnitudes directamente proporcionales. 70

÷2

Þ

A 24 x : = Þx=36 B 36 81

Luego x = 48. Piden hallar x - a= 48 - 16 = 32

ARITMÉTICA 2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P.) Sean M y N dos magnitudes cuyos valores correspondientes se observan en la tabla: M m 1 m 2 m 3 ... m k N n 1 n2 n 3 ... nk

Resolución: Se cumple ax20 = (a-10)x30 = (a+20)xb Resolviendo 2a = 3a - 30 Þ a = 30 Reemplazando: 30 x 20 = 20 x 30 = 50 x b Se obtiene b = 12 Luego a + b = 30 + 12 = 42 Ejemplo 2:

Si M es inversamente proporcional a N, se cumple m 1n1=m2n2=m3n 3=...m knk Gráficamente: N

n1

D o s m a g n it ud e s in v er s a m en t e proporcionales A y B son tales que A es 24, cuando B es 15. ¿Qué valor le corresponde a la magnitud A, cuando B aumenta 3 unidades. ¿Y qué valor cuando B disminuye 3 unidades? Resolución:

n2 n3 m1 m2 m3

M

Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales, si el valor de una de ellas se duplica, el valor correspondiente de la otra magnitud se reduce a su mitad; si se triplica una de ellas la otra se reduce a su tercera parte, así sucesivamente.

A I.P. B Þ Valores de A x Valores de B = constante Þ 24 x 15 = a1 (15 + 3) = a2 (15 -3) Ejemplo 3: De acuerdo a la gráfica de dos magnitudes inversamente proporcionales mostradas, encuentra a + b.

x2 x2

36 6

b

6

b+11

÷2 ÷2

Resolución:

Se cumple: 10x60 = 20x30 = 40x15 = 8x75 Ejemplo 1: Halla a + b si las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. A a a-10 a+20 B 20 30 b

2. Si A I. P. B Þ A D. P. 1/B 3. Si A D.P. B Þ A n D.P. Bn A I.P. B Þ A n I.P. Bn 4. Si A D.P. B Þ (cuando C es constante) y A D.P. C Þ (cuando B es constante) Se obtiene A D.P. B x C Ejemplo 1: A es D.P. a B y C, además cuando A es 24, B es 10 y C es 8. Calcula el valor de B si A es 15 y C es 12. Resolución: A D.P. B A D.P. C Se cumple

}A D.P. BxC

A = constante BxC

Ejemplo 2:

a

M 10 20 40 8 N 60 30 15 75

1. Si A D.P. B Þ B D.P. A A I. P. B Þ B I. P. A

24 15 Þ X = 25 = 10 x 8 X x 2

Ejemplo: La tabla muestra dos magnitudes inversamente proporcionales.

3. PROPIEDADES DE MAGNITUDES PROPORCIONALES

En el gráfico se cumple: 36 x b = 6 x 6 = a x (b + 11) 36 36 =a (1 + 11) Se obtiene b = 1, donde a = 3. Se desea hallar a + b = 3 + 1 = 4.

A es directamente proporcional a B 2 y a C. Si cuando A es 24, B es 2 y C es 3. Halla A cuando B sea 3 y C sea 2. Resolución: A D.P. B 2 A D.P. C

}A D.P. B x C Þ

Luego

24 22x3

2

A = constante B2 x C =

X Þ X = 36 32x2

71

ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010

Ejemplo 3: Una magnitud M es directamente proporcional a N y N es inversamente proporcional a Q3. Si cuando M es 4, N es 16 y Q es 3, halla Q cuando N y M sean respectivamente 2 y 4. Resolución: Si M D.P. N Þ N D.P. M 2 (según propiedades) Luego

N D.P. M2 N I. P. Q3

}

Nx Q3 = cte. Þ M2

16 x 33 2x X3 Luego: = 2 Þ X=6 42 4

2) Un superpanetón en forma de paralelepípedo pesa 2160 g. El peso en gramos de un minipanetón de igual forma, pero con sus dimensiones reducidas a la tercera parte es: a) 40 g d) 70 g

b) 50 g e) 80 g

c)60 g

Resolución: El peso es D.P. al volumen P =k V 3b

3c

3a

a

P1 = 2160 g

b c

4) Se sabe que la producción de un cierto artículo es proporcional al número de horas diarias destinadas a dicha producción e inversamente proporcional a la cantidad de productos x que pueden sustituir el artículo indicado. Si en un inicio se trabaja 8 horas diarias, haciendo en el mercado 5000 productos x; pero al incrementarse en 4375 unidades los productos x, se aumenta el número de horas diarias de modo que la producción actual y anterior se encuentren en la relación de 2 a 3. ¿Cuántas horas diarias se ha aumentado? Resolución:

P 2 = ??

Producción x # Prodx = cte. #horas diarias

P2 2160 = (3a)(3b)(3c) abc P2 =80 g Rpta.: e 1) El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de ejemplares que se imprimen. Se editarán 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas costando S/. 6.00 el ejemplar. ¿Cuánto costará editar un ejemplar si se mandaron a imprimir 1800 libros de 360 páginas? a) S/.500 b) S/.800 c)S/.400 d) S/.700 e) S/.600

3) La rapidez de A es igual a 3 veces la rapidez de B y a su vez esto es 4 veces la rapidez de C. Si A hace un triángulo en 9 min y 15 s, ¿en cuánto tiempo lo hará C? a) 1h 40' b) 1h 41' 15" c) 1h 51'

d) 2h e) N.A.

Resolución:

Resolución:

(3P)x5000 (2P)(5000+4375) = 8 (8+x)

Þ

Anterior

Rpta.: 2

5) Un pastelero prepara una porción de turrón de Doña Pepa de 60 cm x 40 cm, de cuya venta se propone obtener S/. 48.00. Si se vende una porción de 30 cm x 30 cm por S/. 15.00. ¿A cuánto debe vender cada porción de 5 cm x 5 cm para obtener lo que esperaba en un principio? a) S/. 0.22 b) S/. 0.55 c) S/. 0.88

Rapidez: r y tiempo: t cxn 6 x 2000 c2 x 1800 =kÞ = p 400 360 c2 = S/. 6.00

rA t A = r C tC ; rA = 3rB rB = 4r C Þ r A = 12r C Þ 12 r C (9 + 0,25)=rC x tC tC = 111'

Rpta.: e

30 Rpta.: c

72

d) S/. 0.33 e) S/. 0.44

Resolución: 10

t C = 1h' 51'

Actual

Resolviendo: x = 2

30

40

30 30

ARITMÉTICA El área total es: 60 x 40 = 2400 cm2 Vende: 30 x 30 = 900 cm2 Queda: 2400 - 900 = 1500 cm 2 Ya vendió por S/. 15, el resto debe vender en 48 - 15 = S/. 33.00 Cada porción tiene 5 x 5 = 25 cm2 de área. De los que queda salen 1500 ÷ 25 = 60 porciones. Cada porción debe venderse en:

3) Si A es D.P. a B y cuando A = 6; B = 4. ¿Cuánto valdra A cuando B = 9? a) 6

b) 3 2 e) 9

d) 18

Rpta.: b

12 a

4) Si A es D.P. a B y cuando A = 48; B = 2. Calcula A cuando B =3. b) 9 e) 243

b) 20 e) 45

c)30

6) Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales representados mediante el siguiente gráfico, halla "x".

1) Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales representadas mediante el siguiente gráfico: A 16 a b

A a 40 16

20 x b) 30 e) 50

4 a) 10 d) 15 1 4 16 B

Calcula "a + b". a) 3 b) 5 d) 7 e) 4

c)2

2) Si "P" y "Q" son magnitudes proporcionales representadas mediante el siguiente gráfico: P

6 2 4

x y

Halla "y - x". a) 12 b) 36 d) 20 e) 30

Q c)24

b) 32 e) 20

c c)41

B c)40

9) "x" varía en razón directa a "y" e inversa al cuadrado de "z". Cuando x = 10, entonces y = 4, z = 14. Halla "x" cuando y = 16 y z = 7. a) 180 d) 140

b) 160 e) 120

c)154

10) Se sabe que A es D.P. a B e I.P. a 3 C . Además cuando A es 14 entonces B = 64 y C = B. Halla A cuando B sea 4 y C sea el doble de B. a) 7 d) 5

b) 2 e) 6

c) 4

11) Se tienen tres magnitudes "A", "B" y "C" tales que "A" es D.P. a "C" e I.P. a B. Halla "A" cuando B = C 2, sabiendo que si A = 10, B = 144 y C = 15. Entonces

7) Del gráfico, halla "a + b". a) 4 d) 16

B 20 a 4 3 a) 30 d) 27

18

AxB =k

A =k B

a) 27 d) 18

20

c)81

5) P varía inversamente proporcional a T Cuando P = 125, entonces T = 48. Halla T cuando P = 300. a) 25 d) 40

Nivel I

15

4

a) 27 d) 162

33 = S/.0.55 60

c)9

8) Del gráfico, calcula "a + c".

9 b) 12 e) 35

b

A c)28

b) 8 e) 15

c) 12

12) Sabiendo que "A" es D.P. a "B 2" y que las variaciones de las magnitudes "A" y "B" se muestran en el siguiente cuadro. Halla "a + d". A 27 75 d 192 B a 5 4 8 a) 48 d) 47

b) 51 e) 54

c) 50

73

ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010

13) La velocidad del sonido en el aire es D.P. a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. Si a 16°C la velocidad del sonido en el aire es de 340m/s, ¿cuál será la velocidad del sonido en el aire cuando la temperatura sea de 88°C? a) 380m/s b) 350m/s c) 300m/s

d) 180m/s e) 220m/s

14) En una empresa el sueldo es D.P. a la edad y a los años de servicio del empleado e I.P. al cuadrado de la categoría. Juan empleado de 2a. categoría con 10 años de servicios en la empresa y de 56 años de edad gana S/. 2000, José que entró a la empresa 3 años después que Juan, gana S/. 500 y es empleado de 3a . categoría. Halla la diferencia de edades de ambos a) 8años d) 9años

b) 7años c) 11años e) N.A.

15) El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de páginas e inversamente proporcional al número de ejemplares que se impriman. Se editaron 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas y cuesta $6 por ejemplar. ¿Cuánto costará editar un ejemplar si se mandaron a imprimir 1800 libros de 360 páginas? a) $6 d) $7

b) $8 e) $5

c) $4

Nivel II 16) E l p r ec i o d e u n a ca s a e s directamente proporcional al área e inversamente proporcional a la distancia que lo separa de Lima. Si una casa ubicada a75 km cuesta S/.45000, ¿cuánto costará una casa del mismo material si su área es el doble y se encuentra a 150 km de distancia? a) S/.45 000 b) S/.22 500 c) S/.11 250

d) S/.90 000 e) S/.180 000

17) Se sabe que (x + 2) varía proporcionalmente con (y - 3). Si cuando x = 10, entonces y =19. Halla el valor de "x" si y = 31. a) 21 d) 19

b) 23 e) 18

c) 20

18) El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años, ¿dentro de cuántos tiempo cuadruplicará su sueldo? a) 20años b) 25años c) 36años d) 18años e) 10años 19) La ley de Boyle dice que: «La presión que soporta un gas es I.P. al volumen que ocupa; manteniendo la temperatura constante». Si la presión disminuye en 6 atmósferas, el volumen varía en 1/5 de su valor. Halla la presión a que está sometido dicho gas (en atmósferas). a) 30 d) 54

b) 42 e) 36

c) 24

20) El área cubierta por la pintura es proporcional al número de galones de pintura que se compra. Si para pintar 200 m2 se necesitan 25 galones, ¿qué área se pintará con 15 galones? a) 80m 2 b) 100m2 c) 120m2 d) 150m2 e) 180m2 74

21) El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/.600 y su rendimiento es como 5 y faltó 4 días, entonces, ¿cuál es el sueldo de Carlos si su rendimiento es como 8 y faltó 3 dias? a) S/.960 b) S/.1 080 c) S/.1 280

d) S/.1 440 e) S/.980

22) La eficiencia de un trabajo se mide en puntos y es D.P. a los años de trabajo e I.P. a la raíz cuadrada de la edad del trabajador. La eficiencia de Raúl es 2 puntos cuando tiene un año de trabajo y 25 años de edad. ¿Cuál será su eficiencia a los 36 años? a) 18 ptos. b) 25 ptos. c) 28 ptos.

d) 20 ptos. e) 22 ptos.

23) El precio de un televisor a color varía en forma D.P. al cuadrado de su tamaño e I.P. a la raíz cuadrada de la energía que consume. Si cuando su tamaño es de 14 pulgadas y consume «E» de energía, su precio es de $360. ¿Cuánto costará un televisor cuyo tamaño es de 21 pulgadas y consume E/4 de energía? a) $520 b) $720 c) $640

d) $1 620 e) $3 240

ARITMÉTICA

24) Dos ruedas de 24 y 25 dientes están concatenadas. En el transcurso de 4 minutos, una da 70 vueltas más que la otra. Halla la velocidad menor en rev/min. a) 38,5 d) 12,5

b) 20 e) 22,5

c) 37,5

25) Se sabe que "A" es D.P. con "B" y que "B" es D.P. con "C". Si cuando "A" aumenta en 15 unidades "B" varía en 20%. ¿Qué pasa con "C" cuando "A" disminuye 50 unidades? a) Se duplica b) Se reduce a la mitad c) Se triplica d) Se reduce a su tercera parte e) N.A. 26) Si el precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso, ¿cuánto se ganará o perderá en un diamante que vale S/.720 que se parte en dos pedazos, uno el doble del otro? a) No se gana ni se pierde b) Se gana S/.240 c) Se gana S/.320 d) Se pierde S/.240 e) Se pierde S/.320 27) La fuerza de gravedad que la tierra ejerce sobre un cuerpo, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del objeto al centro de la tierra. Si un objeto pesa 100 kg sobre la superficie de la tierra, ¿cuánto pesaría a 1600 km por encima de la superficie terrestre? Considera que la radio de la tierra es 6400 km. a) 90 kg d) 72 kg

b) 81 kg e) 49 kg

c) 64 kg

28) La distancia que recorre un objeto al caer es proporcional al cuadrado del tiempo trascurrido desde que fue soltado. Si en el segundo minuto recorre 48 m, ¿cuánto recorrerá en el quinto minuto? a) 120 m b) 150 m c) 200 m d) 240 m e) 300 m

29) El sueldo diario de un empleado varía proporcionalmente al cuadrado del número de horas trabajadas. Si su sueldo mensual asciende a S/. 450, ¿cuánto dejaría de ganar si sólo trabaja 3/5 del número de horas normales? a) S/. 144 b) S/. 162 c) S/. 180

d) S/. 288 e) S/. 360

a 24 m m m+10 2 a) 50 d) 60

b) 750 e) 1500

c) 900

Nivel III

A 24 B y C

a) S/. 12480 b) S/. 11520 c) S/. 10800

d) S/. 9600 e) S/. 8200

c) 58

9

x 96 3 4 6 z b) 5 e) 8

2 1 3 c) 6

34) Dadas dos magnitudes A y B se observa que A es directamente proporcional a B para valores de A menores o iguales a 24 y B es inversamente proporcional a A cuando los valores de A son mayores o iguales a 24. Si cuando A = 6, entonces B = 14, calcula el valor de B cuando A es 168. a) 6 d) 15

31) El precio de una joya varía pr opo rcio na lm en te con el cuadrado de su peso. Una joya de este tipo que cuesta S/. 24000 se rompe en dos pedazos que están en la relación de 2 a 3. ¿Cuál es la pérdida sufrida al romperse dicha joya?

b) 54 e) 64

33) Se sabe que A es directamente proporcional a B2 y B es inversamente proporcional a C. Halla x+y+z de la tabla mostrada

a) 3 d) 7

30) Una rueda A de 64 dientes engrana con otra B de 72 dientes y ésta con otra C de 48 dientes. Si entre las tres dan 580 vueltas en un minuto, ¿cuántas vueltas dará A en 5 minutos? a) 600 d) 1200

32) Del gráfico, halla a + m.

b) 8 e) 16

c) 12

35) Conocida la gráfica, halla a + b. 2a a 12 a a) 50 d) 80

b) 60 e) 96

b c) 72

75

ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010

39) Dado el siguiente gráfico, halla a + n. 24 n a-2 a 36) Dado el siguiente gráfico, halla x + y +z. x

6 9 18 b) 60 e) 96

c) 72

b) 15 e) 40

c) 20

38) La seg unda L ey de Kepler señala: "El cuadrado del período de rotación de un planeta alrededor del Sol es directamente proporcional al cubo del radio medio del planeta al Sol". ¿Qué tiempo demora un planeta en dar una vuelta alrededor del Sol si se encuentra a una distancia equivalente a 4 veces la distancia de la Tierra al Sol. a) 2años b) 4años d) 8años e) 16años

76

c) 14

3 2 4 5 B 81 24 x 375

A

M

37) En un proceso de producción se determinó que la producción es proporcional a la raíz cuadrada del número de trabajadores e inversamente proporcional a la antigüedad de las máquinas usadas en este proceso. Cuando se obtuvo una producción de 12 mil unidades, trabajaron 324 trabajadores, utilizando máquinas de 8 años de antigüedad. ¿Qué producción se obtendría si se renuevan todas las máquinas por otras de 2 años de antigüedad y se reduce el número de trabajadores en 99? (Indica en miles de unidades) a) 10 d) 25

b) 12 e) 18

40) Dada el siguiente relación de proporcionalidad:

y z 4 a) 50 d) 80

halla x. a) 10 d) 16

N

2a

c) 5años

halla x a) 120 d) 180

b) 148 e) 195

c) 162

41) Se tiene una rueda A 1 que engrana con A2 , la cual está unida mediante un eje con A 3. ¿Cuántas vueltas da esta última si entre las ruedas A 1 y A 2 han dado 280 vueltas y el número de dientes de la rueda Ak está dado por Dk = (10k + 5)x2? a) 120 d) 155

b) 125 e) 105

43) Dadas las magnitudes A, B y C si A D.P. B (cuando "C" permanece constante); A I.P. C 2 (cuando "B" permanece constante). Si en un determinado momento el valor de B se duplica y el valor de C aumenta en su doble, el valor de A varía en 35 unidades. ¿Cuál era el valor inicial de A? a) 10 d) 35

a)

2m

B

m C

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

%

d)

100 % n+1

e)

100 % n-1

c) 100(n + 1) % n 45) Las magnitudes A, B y C guardan las siguientes relaciones: * Con C constante: A

a

8a

27a

64a

B b 0,5b 0,3b 0,25b

A

b

100n % n+1

b) 100 n

c) 150

42) Enlasiguientegráficaquerelaciona magnitudes proporcionales; A y B son rectas y C es una hipérbola. Determina "m" si a+b+c+m= 60.

a

c) 45

44) Se sabe que el valor de una joya varía en forma D.P. con el cuadrado de su peso. Si una joya se divide en "n" partes iguales, ¿a qué porcentaje de su valor inicial queda reducido el valor de la joya?

*

4

b) 25 e) 40

c c) 3

Con B constante: A

a

2a

3a

4a

B 0,25c c 2,25c 4c Si A=4, entonces B=9 y C=16. Halla A cuando B = 3 y C = 4. a) 36 d) 54

b) 42 e) 60

c) 48

ARITMÉTICA

46) La magnitud A es igual a la suma de dos cantidades, de las cuales una varía directamente con B y la otra inversamente con B2. Si cuando A es 19, B es 2 ó 3, halla el valor de A cuando B es 6. a) 30 d) 33

b) 31 e) 34

c) 32

47) La eficiencia de un hombre es inversamente proporcional al número de horas por día que trabaja y también inversamente proporcional al número de días trabajados. Si dicho hombre hace una obra en 24 días trabajando 6 horas por día, ¿en qué tiempo hará el cuádruplo de la obra si trabaja nueve horas por día? a) 30 d) 70

b) 32 e) 72

50) Si A, B, C y D son magnitudes proporcionales, además: A2 D.P. B (C; D son constantes) A I.P. 3 C (B; D son constantes) D2 D.P. A (B; C son constantes) Si cuando: A = 2; B = 9; C = 125; D = 2. ¿Cuál es el valor de C cuando A = B = 121 y D = 6? a) 30 d) 900

b) 270 e) 27000

c) 2700

c) 64

48) La p r es ió n a la c ua l es t á sometido un gas es directamente proporcional al volumen que ocupa. Si el volumen se reduce a su tercera parte, entonces la presión: a) Aumenta en su doble b) Aumenta en su triple c) Aumenta en su cuádruplo d) Aumenta una vez su valor e) No varía 49) Si: a + b + c + x = 215, Halla: b - c + 5a - 4x

Promedios El origen de la palabra promedio se remonta a la época en que los viajes por mar implicaban gran riesgo. Era frecuente que los barcos, durante una tormenta, tirasen una parte de la carga. Se reconoció que aquéllos cuyos bienes se sacrificaban podían reclamar con justicia una indemnización a expensas de aquéllos que no habían sufrido disminución en sus bienes. El valor de los bienes perdidos se pagaba mediante un acuerdo entre todos los que tenían mercaderías en el mismo buque. El daño causado por el mar se conocía como «Havaria» y la palabra llegó a aplicarse naturalmente al dinero que cada individuo tenía que pagar como compensación por el riesgo. De esta palabra latina se deriva la moderna palabra average (promedio). La idea de un promedio tiene por raíces en los primitivos seguros.

3k 2k k 7 a) 22 d) 12

a

b

b) 32 e) 10

c c) 43

77

ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010

1) La velocidad del sonido en el aire es D.P. a la raíz cuadrada a la temperatura absoluta. Si la velocidad del sonido es 380 m/s a 88°C, ¿cuál sera la velocidad (en m/s) del sonido a 127°C? a) 395 d) 410

b) 380 e) 400

2) Sabiendo que A es I.P. a B, además cuando B aumenta en su triple, A varía en 30 unidades. Halla el valor de A. a) 20 d) 60

c) 390

3) Si A 3 varía en forma directamente proporcional a B2 y al mismo tiempo en forma inversamente proporcional con C, cuando A = 6, B = 3 y C = 4. Halla el valor de B cuando: A=3 9 ^ C=6 a) 2 d) 1/6

b) 3 e) 3/4

a) 2000 d) 4000

5) A es D.P. a B y B es D.P. a D e I.P. a C. Si A es 12, D es 40. ¿Cuánto será A si D es 90?

78

c) 80

4) A varía directamente proporcional a B y C; además C varía directamente proporcional a F 3. Cuando A es 160, B es 5 y F es 2. Si B es 8 y F es 5, ¿cuánto sería A?

c) 1/2

a) 27 d) 16

b) 40 e) 90

b) 42 e) 28

c) 35

b) 3000 e) 1000

c) 5000