Magnétotellurique : Rappels sur les équations de Maxwell et diffusion des ondes EM

COURS DE PROSPECTION MAGNETOTELLURIQUE ET ELECTROMAGNETIQUE Chapitre III

Magnétotellurique : Rappels sur les équations de Maxwell et diffusion des ondes EM - Rappels sur les mathématiques utilisées en MT et EM - Rappels sur l’Electromagnétisme - Propagation du champ électromagnétique - Equations de diffusion - Equations d’un champ monochromatique - Potentiel électrodynamique - Polarisation elliptique By Djeddi Mabrouk

By

Ce cours «cours de prospection électromagnétique et Magnétotellurique » dispensé en licence et Master de Géophysique au département de Géophysique de la FHC n'est pas encore entièrement achevé, il peut également subsister des fautes (erreurs) dans le texte et des références absentes. Si vous utilisez des données de ce travail, vous devez citer la référence en bibliographie de la façon suivante : Djeddi Mabrouk. Cours de prospection électromagnétique et Magnétotellurique, Département de Géophysique (FHC), Université M’Hamed Bougara de Boumerdes. Algérie. 2015

1

I - RAPPELS SUR LES MATHEMATIQUES INTRODUCTION Nous rappelons très succinctement les operateurs scalaires et vectoriels car, ils sont utilisés pour expliquer un champ géophysique .ils permettent de simplifier l’analyse des problèmes géophysiques considérés. Notion de scalaire Un scalaire

est

déterminé par sa magnitude et

il

n’est pas associé à une

direction (ex : masse, le champ de température ou de pression, le potentiel électrique…). Notion de vecteur Un vecteur a une magnitude et une direction (ex : vitesse, force). On décrit un

⃗⃗ dans un système de coordonnées données (cartésien, cylindrique, 𝑨

vecteur

sphérique, etc...).Dans l’espace cartésien orthonormé on a :

⃗𝑨 ⃗ = 𝑨. ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒙 + 𝑨. ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒚 + 𝑨. ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒛 , ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝑨 =

⃗𝑨 ⃗ ⃗⃗ ⎜ ⎜𝑨

Avec

( ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒙 , ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒚 , ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒛 ) sont des vecteurs unitaires

⃗⃗ ⎜ = √𝑨𝟐𝒙 + 𝑨𝟐𝒚 + 𝑨𝟐𝒛 ⎜𝑨

⃗ : la norme du vecteur ⃗𝑨

⃗ et ⃗𝑩 ⃗ Produit scalaire de deux vecteurs ⃗𝑨 ⃗𝑨 ⃗ . ⃗𝑩 ⃗ = ⃗𝑩 ⃗ . ⃗𝑨 ⃗ = ⎜𝑨 ⃗⃗ ⎜. ⎜𝑩 ⃗⃗ ⎜. 𝐜𝐨𝐬 ∅ - Lorsque les deux vecteurs sont perpendiculaires, leur produit scalaire est nul - Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif et le résultat de ce produit scalaire est un scalaire.

2

Produit vectoriel de deux vecteurs

⃗𝑨 ⃗ × ⃗𝑩 ⃗ = ⎜𝑨 ⃗⃗ ⎜. ⎜𝑩 ⃗⃗ ⎜. 𝐬𝐢𝐧 ∅ ⃗⃗⃗⃗ .𝒏 ⃗⃗⃗ ,𝑩 ⃗⃗ ). ⃗ le vecteur unitaire normal à la surface délimitée par le plan (𝑨 𝒏 Le produit vectoriel de deux vecteurs est aussi un vecteur. Définition d’un champ Lorsque dans une région de l’espace, on a affecté à tout point une grandeur scalaire

𝑪(𝒙 , 𝒕) ou vectorielle ⃗𝑪 (𝒙 , 𝒕) , on a défini ce qu’on désigne par un

champ respectivement scalaire ou vectoriel.

Fig1. Champ magnétique terrestre est une grandeur vectorielle

⃗ , magnétique ⃗⃗ (𝒙, 𝒕) , électrostatique ⃗𝑬 A titre d’exemple : les champs de gravité 𝒈 ⃗⃗ (𝒙, 𝒕) , champ de vitesses (écoulement de fluides) sont des champs terrestre 𝑩 vectoriels fig.1 Le potentiel gravitationnel, la température, la pression, le potentiel électrostatique, champ d’altitude (météo) sont des champs scalaires.

3

Gradient scalaire Soit une grandeur scalaire 𝐌, son gradient scalaire est défini par : 𝝏𝑴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴 = 𝛁 ⃗ 𝑴 = 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕 ⃗ = ( 𝝏 , Avec 𝛁

𝝏

𝝏𝒙

𝝏𝒚

,

𝝏 𝝏𝒛

𝝏𝒙

⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒙

+

𝝏𝑴 𝝏𝒚

⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒚

+

𝝏𝑴 𝝏𝒛

⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒛

)

Le gradient évalue les changements de la fonction scalaire selon les 3 coordonnées 𝒙, 𝒚, 𝒛. Il détermine les changements et la direction vers laquelle se font les variations maximales. Divergence vectoriel Soit un vecteur

⃗𝑨 ⃗ ( 𝑨𝒙 , 𝑨𝒚 , 𝑨𝒛 ) .La divergence du vecteur en coordonnées

cartésiennes est par définition :

⃗ =𝛁 ⃗ . ⃗𝑨 ⃗ = 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑨

𝝏𝑨𝒙 𝝏𝒙

+

𝝏𝑨𝒚 𝝏𝒚

+

𝝏𝑨𝒛 𝝏𝒛

Le résultat de la divergence d’un vecteur est un scalaire. Elle caractérise comment un champ évolue dans sa propre direction

étant donné que

l’opérateur fait

intervenir des dérivées partielles. -

⃗ ≠ 𝟎 alors on dit que le champ détient une source ou un puits de Si 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑨 champ, il est dit à flux non – conservatif.

-

⃗⃗ = 𝟎 Le flux est dit à champ conservatif Si 𝒅𝒊𝒗 𝑨

-

La divergence d'un vecteur est un nombre.

4

Rotationnel d’un vecteur On définit le rotationnel par l’expression suivante :

⃗⃗ = 𝛁 ⃗ ×𝑨 ⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨 𝒓𝒐𝒕

𝝏𝑨𝒛 𝝏𝒚

-

𝝏𝑨𝒚 𝝏𝒛

) . ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒙 + (

𝝏𝑨𝒙 𝝏𝒛

-

𝝏𝑨𝒛 𝝏𝒙

) . ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒚 + (

𝝏𝒚 𝝏𝒙

-

𝝏𝑨𝒙 𝝏𝒚

) . ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒛

Le résultat du rotationnel d’un vecteur est aussi un vecteur. Il fait intervenir les dérivées partielles croisées d’un champ de vecteur. Il définit le cisaillement d’un champ de vecteur. Laplacien Le laplacien d’un champ scalaire est défini par :

⃗ .( ⃗𝛁𝑼 ) = ∆𝑼 = 𝛁 𝟐 𝑼 = 𝛁

𝝏𝟐 𝑼 𝝏𝒙𝟐

𝝏𝟐 𝑼

+

𝝏𝒚𝟐

+

𝝏𝟐 𝑼 𝝏𝒛𝟐

Flux du champ de vecteurs.

⃗⃗ à travers une surface dont le vecteur Par définition, le flux du champ de vecteur 𝑨 ⃗ est: unitaire normal à la surface s’écrit 𝒏 ⃗ . ⃗⃗⃗⃗ ⃗.𝒏 ⃗ . 𝒅𝒔 ∅ = ∬ ⃗𝑨 𝒅𝒔 = ∬ ⃗𝑨

⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝒅𝒔 𝒅𝒔 = 𝒏

avec

Théorème de Green-Ostrogradsky Soit un champ vectoriel ⃗𝑨 défini dans un espace donné. On veut calculer le flux ∅

⃗ à travers une surface fermée. du vecteur ⃗𝑨 Le Théorème de Green-Ostrogradsky en coordonnées cartésiennes est :

⃗ 𝒅 𝑽 = ∯ ⃗𝑨 ⃗ . ⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒔 ∭ 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑨

5

Ainsi, la divergence d’un vecteur est le flux extérieur d’un champ de vecteurs par unité de volume. Ce théorème, largement utilisé permet de passer d’une intégrale volumique à une intégrale

surfacique .Cette

formule est appelée "théorème

d'Ostrogradsky" ou "théorème de Gauss-Ostrogradsky" ou encore "théorème de la divergence". Théorème de Stokes Le Théorème de Stokes en coordonnées cartésiennes est :

⃗⃗⃗⃗ = ∬ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 𝒅𝒍 ⃗⃗ . 𝒅𝒔 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨 ∫𝑨 ⃗⃗ sur un parcours fermé 𝑳 est égale au flux de 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗ à ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨 La circulation du vecteur 𝑨 travers une surface quelconque s’appuyant sur 𝑳. Ce théorème permet de faire le passage d’une intégrale simple à une intégrale surfacique. Théorème (simplifié) de décomposition de Helmholtz. ⃗⃗ peut se décomposer en : Tout champ vectoriel 𝑨

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∅ + 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗ = 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝚿 𝑨 ∅ : est appelé par définition le potentiel scalaire. ⃗⃗⃗⃗ 𝚿 : Le potentiel vecteur. On choisit en général 𝜳 tel que 𝒅𝒊𝒗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝚿 = 𝟎 ⃗ = 0 . Dans On dit qu’un champ est solénoïdal ou à flux conservatif lorsque 𝑑𝑖𝑣 ⃗⃗𝑨

⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ )= 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑨 cette décomposition, on peut alors écrire ⃗𝑨 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗ Ψ car 𝑑𝑖𝑣 (𝒓𝒐𝒕 0n dit qu’un champ est irrotationnel lorsque

⃗ = 0 .Dans la décomposition ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑨 𝒓𝒐𝒕

de Helmholtz, on peut alors écrire

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∅ ⃗⃗⃗ 𝑨 = 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∅) = 𝟎 , ∀∅. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 (𝒈𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕

car,

6

⃗⃗ ∀𝑨

Principales formules de base

⃗ . (𝛁 ⃗ U) = 𝛁 ⃗ 𝟐U 𝛁

soit

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ U) = ∆U 𝒅𝒊𝒗 (𝒈𝒓𝒂𝒅

⃗ ×( 𝛁 ⃗ U) = 𝟎 𝛁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ U) = 𝟎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒓𝒐𝒕

⃗ .( 𝛁 ⃗ × 𝒂 ⃗⃗⃗ ) = 𝟎 𝛁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒂 ⃗)= 𝟎 𝒅𝒊𝒗 (𝒓𝒐𝒕

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒅𝒊𝒗 𝒂 ⃗ ×(𝛁 ⃗ ×𝒂 ⃗( 𝛁 ⃗ .𝒂 ⃗ 𝟐𝒂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒂 ⃗ )=𝛁 ⃗ ) −𝛁 ⃗ soit 𝒓𝒐𝒕 ⃗ ) = 𝒈𝒓𝒂𝒅 ⃗ ) − ∆𝒂 ⃗ 𝛁

II - RAPPELS SUR L’ELECTROMAGNETISME 1- Équations des états stationnaires Equations locales. Les équations locales

relient en chaque point les expressions des champs, des

charges et des courants. Forme différentielle ①

⃗ = 𝟎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬

⇨

⃗ × ⃗𝑬 ⃗ = 𝟎 𝛁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑽) ⃗ dérive d’un potentiel scalaire ( 𝑬 ⃗⃗ = − 𝒈𝒓𝒂𝒅 Le champ électrique 𝐸 ②

⃗⃗ = 𝝆 ⇨ 𝒅𝒊𝒗 𝑫

⃗ .𝑫 ⃗⃗ = 𝝆 soit 𝛁

𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑬 =

𝝆 𝜺𝟎

⇨ ⃗𝛁. ⃗𝑬 =

C’est le théorème de Gauss, qui relie le champ aux sources.

7

𝝆 𝜺𝟎

③

⃗ =𝟎 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑩

⃗ . ⃗𝑩 ⃗ = 𝟎 ⇨ 𝛁 ⃗⃗ est à flux conservatif : il n’y a pas de charges Cela signifie que 𝑩 magnétiques

④

⃗⃗⃗ = 𝒋 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑯 𝒓𝒐𝒕

⃗ ×𝑯 ⃗⃗⃗ = 𝒋 = 𝝈 . 𝑬 ⃗⃗ 𝛁 ⃗ (la loi d’ohm) Théorème d’Ampère avec 𝒋 = 𝝈 . ⃗𝑬 ⇨

Forme intégrale

①

⃗ . ⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒍 =0 ∮ ⃗𝑬

②

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 𝒅𝑺 ∬𝑫

=

𝑸

= ∭ 𝝆 . 𝒅𝑽

𝑸 : charge totale contenue à l’intérieur de la surface, 𝝆 densité volumique. ③ ④

⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝑺 = 𝟎 ∬ ⃗𝑩 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒍 ∫ 𝑯.

= 𝑰 = ∬ 𝒋 . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝑺

Ces équations sont complétées par les relations du milieu : - Dans le vide (en l’absence de sources externes).

⃗𝑫 ⃗ = 𝜺𝟎 . ⃗𝑬 ⃗

et

⃗𝑩 ⃗ = 𝝁𝟎 . ⃗𝑯 ⃗⃗

-Dans un diélectrique parfait.

⃗𝑫 ⃗ = 𝜺. ⃗𝑬 ⃗

⃗ = 𝝁.⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗𝑩 𝑯

𝝁 ∶ perméabilité magnétique d’un milieu isotrope (en absence de moment magnétique permanent) .Elle correspond à l’énergie stockée ou perdue dans un milieu suite aux phénomènes d’induction magnétique

8

-Dans un conducteur

⃗ .𝐣 = 𝟎 𝐝𝐢𝐯 𝐣 = 𝟎 ⇨ 𝛁 ⃗ et 𝒋 = 𝝈 . ⃗𝑬

Elle définit le principe de conservation de la charge

2- Equations des états quasi-stationnaires Les principales équations des états quasi – stationnaires sont : ⃗⃗ 𝝏𝑩

⃗ =− ① ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬

𝝏𝒕

⃗ = 𝝆 ② 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑫

⃗ × ⃗𝑬 ⃗ ⇨ 𝛁

= −

⃗ . ⃗𝑫 ⃗ ⇨ 𝛁

= 𝝆

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

: c’est la relation de Faraday.

soit

𝒅𝒊𝒗 ⃗⃗⃗ 𝑬 =

𝝆 𝜺𝟎

⃗ . ⃗𝑬 ⃗ = ⇨𝛁

𝝆 𝜺𝟎

:

C’est le théorème de Gauss, qui relie le champ aux sources.

⃗ = 𝟎 ⃗ . ⃗𝑩 ⃗ = 𝟎 ③ 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑩 ⇨ 𝛁 ⃗⃗⃗ 𝑩 est à flux conservatif : il n’y a pas de charges magnétiques. ⃗⃗ = 𝒋 ④ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑯

⃗ × ⃗𝑯 ⃗⃗ = 𝒋 ⇨ 𝛁

Théorème d’Ampère.

Remarque Les relations du milieu sont

identiques qu’en régime stationnaire. En régime

quasi-stationnaire, il suffira de changer les équations des champs stationnaires de façon

à

prendre en considération les effets

des phénomènes d’induction

magnétique.

𝒅𝒊𝒗 𝒋

= 𝟎

⃗ .𝒋 = 𝟎 ⇨ 𝛁

représente le

principe de conservation de la

charge. En régime quasi - stationnaire 𝑗 est évidemment analogue.

9

⃗ est considéré comme En régime quasi stationnaire le champ électrique total ⃗𝑬 étant la somme d’un champ électrostatique d’induction ⃗⃗⃗ 𝑬i avec

⃗𝑬 ⃗ 𝒔 et d’un champ électromoteur

⃗𝑬 ⃗ = ⃗𝑬 ⃗ 𝒔 + ⃗𝑬 ⃗i

⃗i Le champ électromoteur d’induction ⃗𝑬

est donné par la loi de l’induction

magnétique. Dans un circuit (c) la force électromotrice induite par une modification de flux

⃗⃗ i , soit : est égale à la circulation du champ 𝑬 𝒆=−

𝐝∅ 𝐝𝐭

⃗⃗⃗⃗ 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 𝒆 = − ⃗⃗ . 𝐝𝐒 = ∫ ⃗⃗⃗⃗ 𝐄𝐢 . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐝𝐥 comme ∅ = ∬ 𝐁

⃗⃗⃗⃗ = − ∬ 𝛛𝐁⃗ . 𝐝𝐒 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 𝐝𝐒 𝐁 ∬ 𝛛𝐭 𝛛𝐭 𝛛

⃗ i est L’utilisation du théorème de Stokes permet d’écrire que la circulation de ⃗𝑬 égal au flux de son rotationnel :

𝒆 = ∫ ⃗⃗⃗⃗ 𝑬𝒊 . ⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒍

⃗ i. ⃗⃗⃗⃗⃗ = ∬ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬 𝒅𝑺

⃗ Étant donné que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬 ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑬 𝒓𝒐𝒕

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

d’où

⃗𝒊 = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬

⃗ 𝒔 +⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑬 = 𝒓𝒐𝒕 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗𝑬i et que ⃗ ×𝑬 ⃗⃗ 𝛁

⇨

= −

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

⃗𝒔 = 𝟎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑬 𝒓𝒐𝒕

d’où

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

Le champ électromoteur d’induction peut se formuler en fonction d’un potentiel

⃗⃗ vectoriel 𝑨

soit

⃗⃗ 𝒊 = − 𝑬

⃗⃗ 𝝏𝑨 𝝏𝒕

.

10

3 - équations en régime variable Quand le régime est variable l’intensité du courant n’est plus constante le long du circuit et il y a généralement des circuits ouverts. Il s’en suit que : Par suite de la

modification d’intensité du courant électrique, il pourra y avoir

accumulation de charges en certains points du circuit, et l’équation de conservation de la charge 𝒅𝒊𝒗 𝒋 = 𝟎 ne sera plus valable. Lorsque le circuit est

ouvert, il n’est plus possible d’appliquer le théorème

⃗⃗⃗ = 𝒋. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑯 d’Ampère qui a permis d’écrire 𝒓𝒐𝒕 Dans tous les cas, la charge 𝝈(𝒕) à la surface du conducteur sera variable, produisant un champ électrique variable dont les conséquences ne pourront être négligées. Maxwell est le premier à mettre en évidence l’importance de ce champ et a découvert qu’il avait des propriétés magnétiques identiques qu’un courant fictif appelé depuis le courant de déplacement de Maxwell. C’est ce courant de déplacement

qui

sera

responsable

de

la

propagation

du

champ

électromagnétique. Dans le cas ou la charge 𝒒 intérieure à la surface ( 𝑺 ) change au cours du temps l’intensité totale à travers (𝑺) représente la charge qui sort par unité de temps. Elle est égale à ;

𝒊 = −

𝒅𝒒 𝒅𝒕

Dans cette formule,

𝒅𝒒 𝒅𝒕

représente la modification de charge intérieure, et

l’intensité sortante.

𝒊 est positive si

𝒅𝒒 𝒅𝒕

est négative c’est-à-dire si la charge intérieure diminue.

Etant donné que 𝒒 = ∭𝑽 𝝆 . 𝒅𝑽 , il vient

i = ∬𝒔 𝒋 . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝑺 = − soit, ∬𝒔 𝒋 . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝑺

𝒅𝒒 𝒅𝒕

= − ∭𝑽

= ∭𝑽 𝒅𝒊𝒗𝒋 . 𝒅𝑽

𝝏𝝆 𝝏𝒕

. 𝒅𝑽 ⇨ 𝒅𝒊𝒗𝒋 +

𝝏𝝆 𝝏𝒕

= 𝟎

Cette équation décrit la conservation de l’électricité pour les régimes variables.

11

Equation de Maxwell-Ampère A partir de l’équation précédente

𝒅𝒊𝒗 𝒋 +

𝝏𝝆 𝝏𝒕

= 𝟎 et le théorème de Gauss

⃗ =𝝆 . 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑫 La dérivation par rapport au temps de cette dernière donne : 𝝏𝝆 𝝏𝒕

⃗⃗ 𝝏𝑫

= 𝒅𝒊𝒗

et l’équation de la conservation de l’électricité pour les régimes

𝝏𝒕

variables s’écrit.

𝒅𝒊𝒗 𝒋 + 𝒅𝒊𝒗

⃗⃗ 𝝏𝑫 𝝏𝒕

= 𝒅𝒊𝒗 ( 𝒋 +

⃗⃗ 𝝏𝑫 𝝏𝒕

) = 𝟎

Cette relation exprime la conservation du flux total.

𝒋𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒋𝑫 =

𝒋 +

⃗⃗ 𝝏𝑫 𝝏𝒕

:

⃗⃗ 𝝏𝑫 𝝏𝒕

est appelé courant de déplacement de Maxwell.

Elle montre qu’un champ électrique variable produit un champ magnétique,

𝒋𝑫 possède toutes les propriétés magnétiques d’un courant de conduction et permet d’étendre le théorème d’Ampère au courant total, d’où l’équation de Maxwell- Ampère.

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑯 𝒓𝒐𝒕

= 𝒋𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 =

𝒋 +

⃗⃗ 𝝏𝑫 𝝏𝒕

En l’absence de courant de conduction 𝒋 , on a :

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑯 𝒓𝒐𝒕

=

⃗⃗ 𝝏𝑫 𝝏𝒕

Ce qui explique qu’un champ électrique variable produit un

champ magnétique. En quelque sorte, cette équation est l’équation de production du champ magnétique.

12

4- Les équations de Maxwell Forme générale

⃗⃗ = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑬 ① 𝒓𝒐𝒕 C’est

⃗⃗ 𝝏𝑩

⇨

𝝏𝒕

⃗ ×𝑬 ⃗⃗ = − 𝛁

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

la relation de Faraday .Elle relie le champ électrostatique au champ

électromoteur d’induction

⃗ =𝝆 ② 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑫

⇨

⃗ . ⃗𝑫 ⃗ = 𝝆 𝛁

soit

⃗ = 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑬

𝝆 𝜺𝟎

⃗ . ⃗𝑬 ⃗ = ⇨ 𝛁

𝝆 𝜺𝟎

C’est le théorème de Gauss qui relie le champ aux sources.

⃗ = 𝟎 ③ 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑩

⃗ . ⃗𝑩 ⃗ = 𝟎 ⇨ 𝛁

⃗𝑩 ⃗ est à flux conservatif : il n’y a pas de

charges magnétiques.

⃗⃗ ④ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑯

= 𝒋𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 =

𝒋 +

⃗⃗ 𝝏𝑫 𝝏𝒕

: C’est l’équation de Maxwell- Ampère.

Relation de milieu - Dans le vide.

⃗𝑫 ⃗ = 𝜺𝟎 . ⃗𝑬 ⃗ ⃗⃗ = 𝝁𝟎 . 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝑩 -Pour le cas d’un milieu matériel parfait du point de vue diélectrique et magnétique.

⃗𝑫 ⃗ = 𝜺. ⃗𝑬 ⃗ ⃗𝑩 ⃗ = 𝝁. ⃗𝑯 ⃗⃗ -Dans un milieu conducteur.

𝒅𝒊𝒗𝒋 +

𝝏𝝆 𝝏𝒕

= 𝟎

13

En présence de charge et de courants En présence de charges et de courants dans le vide, les équations de maxwell sont :

⃗ = − ① ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬 ⃗ = ② 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑬

𝝆 𝜺𝟎

⃗⃗ 𝝏𝑩

⇨

𝝏𝒕

⃗ . ⃗𝑬 ⃗ = ⇨ 𝛁

⃗ × ⃗𝑬 ⃗ = 𝛁 𝝆

−

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

,

𝜺𝟎

avec 𝝆 ∶ densité de charges par unité de volume(C/m3)

⃗⃗ = 𝟎 ③ 𝒅𝒊𝒗 𝑩 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑩 ④ 𝒓𝒐𝒕 avec

⃗ .𝑩 ⃗⃗ = 𝟎 ⇨ 𝛁

= 𝝁𝟎 𝒋 + 𝜺𝟎 𝝁𝟎

⃗ 𝝏𝑬 𝝏𝒕

,

⃗ : densité de courant de conduction (A/m2) 𝒋 = 𝝈. ⃗𝑬

En absence de charges et de courants En l’absence de charges et de courants dans le vide, les équations de maxwell sont :

⃗ = − ① ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬

⃗⃗ 𝝏𝑩

⇨

𝝏𝒕

⃗ × ⃗𝑬 ⃗ = − 𝛁

⃗ =𝟎 ② 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑬

⇨

⃗ . ⃗𝑬 ⃗ = 𝟎 𝛁

⃗ = 𝟎 ③ 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑩

⇨

⃗ . ⃗𝑩 ⃗ = 𝟎 𝛁

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

⃗

⃗ = 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 . 𝝏𝑬 ④ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑩 𝝏𝒕

Ces équations montrent que la modification de l’un des champs entraine l’apparition de l’autre et, par conséquent, la propagation de ce champ.

14

III - Propagation du champ électromagnétique L’équation de propagation du champ électromagnétique se déduit des équations de Maxwell examinées ci-dessus. Établissons le rotationnel de l’équation

⃗ = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

Le rotationnel ne contenant que des dérivées par rapport aux variables d’espace x,

y, z et

𝝏 𝝏𝒕

est une dérivation par rapport au temps t, on peut donc écrire : ⃗⃗

𝝏

𝝏𝒕

𝝏𝒕

𝝏𝑩 ⃗ = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬 𝒓𝒐𝒕( ) = −

𝝏

⃗ = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑩

𝝏𝒕

( 𝜺𝟎 𝝁𝟎

⃗ 𝝏𝑬 𝝏𝒕

) = − 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 .

𝝏𝟐 𝑬 𝝏𝟐 𝒕

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑬 ⃗ = 𝒈𝒓𝒂𝒅 ⃗ − 𝛁 𝟐 ⃗𝑬 ⃗ Correspond à l’application de la formule ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬 ⃗ = 𝟎 d’où Dont 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑬 ⃗ = − 𝛁𝟐 ⃗𝑬 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑬 𝒓𝒐𝒕 ⃗ Par élimination de ⃗𝑬 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑩 𝒓𝒐𝒕

⇨

⃗ − 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 . 𝛁 𝟐 ⃗𝑬

𝝏𝟐 𝑬 𝝏𝟐 𝒕

= 𝟎

⃗ en prenant le rotationnel. , on trouverait de même pour ⃗𝑩

= 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 .

⃗ 𝝏𝑬 𝝏𝒕

⇨

⃗⃗ − 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 . 𝛁𝟐𝑩

⃗⃗ 𝝏𝟐 𝑩

et

⃗ − 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 . 𝛁 𝟐 ⃗𝑩

⃗⃗ 𝝏𝟐 𝑩

= 𝟎

⇨

𝝏𝟐 𝒕

= 𝟎

D’où finalement

⃗ − 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 . 𝛁 𝟐 ⃗𝑬 Soit

⃗ 𝝏𝟐 𝑬 𝝏𝟐 𝒕

= 𝟎

⃗⃗ − 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 . 𝛁𝟐𝑼

⃗⃗ 𝝏𝟐 𝑼 𝝏𝟐 𝒕

𝝏𝟐 𝒕

⃗⃗ − 𝑽−𝟐 𝛁𝟐𝑼

= 𝟎 ⃗⃗ 𝝏𝟐 𝑼 𝝏𝟐 𝒕

⃗ représente soit le champ électrique, soit le champ magnétique. Ou ⃗𝑼

⃗ et ⃗𝑩 ⃗ Ce sont les équations de propagation des deux grandeurs vectorielles ⃗𝑬

15

.

Il en résulte que le champ EM se propage avec la vitesse :

𝑪 =

𝟏 √ 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎

⇨ 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 . 𝑪𝟐 = 𝟏

(vitesse dans le vide)

𝝁𝟎 = 4𝝅 . 𝟏𝟎−𝟕 𝑯. 𝒎−𝟏

(perméabilité du vide)

𝜺𝟎 = 𝟏/𝟑𝟔. 𝝅. 𝟏𝟎𝟗 𝑭. 𝒎−𝟏

(Permittivité du vide)

De ce fait, une onde électromagnétique est définie entièrement l’espace et à tout moment à l’aide de

en tout point de

quatre grandeurs vectorielles champ

⃗⃗ ) , induction électrique ( ⃗𝑫 ⃗ ), induction magnétique, (𝑩 ⃗⃗ ) et le champ électrique(𝑬 ⃗⃗⃗ ). magnétique (𝑯

16

IV - Équations de diffusion En régime quasi stationnaire, l’équation d’une onde monochromatique sinusoïdale sera :

⃗⃗ = 𝒋 = 𝝈 . ⃗𝑬 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑯 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑬 𝒓𝒐𝒕

⃗⃗⃗ = 𝐢. 𝛚. 𝛍 . 𝑯

Le rotationnel de ces deux équations est :

⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑯 𝒓𝒐𝒕 𝒋 = 𝝈 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑬 𝒓𝒐𝒕

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑯 = 𝐢. 𝛚. 𝛍 . 𝒓𝒐𝒕

D’où

⃗⃗ = 𝐢. 𝛚. 𝛍 . 𝝈. ⃗𝑯 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑯 𝒓𝒐𝒕 et

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕⃗𝑬 Comme

⃗ = 𝐢. 𝛚. 𝛍 . 𝝈. ⃗𝑬 ⃗⃗⃗ = 𝟎 𝒅𝒊𝒗𝑯

⃗⃗ = 𝟎 𝒅𝒊𝒗𝑬

et

L’application de l’expression vectorielle

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭 𝒓𝒐𝒕

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒊𝒗 𝑭 ⃗ − 𝛁𝟐𝑭 ⃗ = 𝒈𝒓𝒂𝒅

⃗⃗⃗ + 𝐢. 𝛚. 𝛍. 𝝈. ⃗𝑯 ⃗⃗ = 𝟎 ∆𝑯

et

donne

⃗⃗ + 𝐢. 𝛚. 𝛍. 𝝈. ⃗𝑬 ⃗ =𝟎 ∆𝑬

Comme la magnétotellurique utilise les basses fréquences c’est-à-dire

𝝎𝟐 . 𝛍. 𝛆 ≪ 𝛚. 𝛍. 𝝈

ou

𝝎≪

𝝈 𝛆

17

Alors ces équations sont appelées équations de diffusion. Posons.

𝐤 𝟐 = 𝐢. 𝛚. 𝛍. 𝝈

𝝅

ou

⃗⃗⃗ + 𝐤 𝟐 . ⃗𝑯 ⃗⃗ = 𝟎 ∆𝑯

𝛚.𝛍.𝝈

𝒌 = √𝛚. 𝛍. 𝝈 √𝒊 = √𝛚. 𝛍. 𝝈 𝒆𝒊𝟒 = (𝒊 + 𝟏) √

𝟐

⃗⃗ + 𝐤 𝟐 . ⃗𝑬 ⃗ =𝟎 ∆𝑬

et

⃗⃗ = 𝟎 Etant appelée équation de diffusion pour l’induction ⃗𝑩⃗ (ou ⃗𝑯 ⃗⃗ ) (∆ −𝐢. 𝛚. 𝛍. 𝝈)𝑩 ⃗⃗ = 𝟎 Est l’équation de diffusion pour le champ électrique 𝑬 ⃗⃗ . (∆ −𝐢. 𝛚. 𝛍. 𝝈)𝑬 Dans le cas d’une onde plane qui se propage avec la profondeur z, la solution est de la forme :

𝑩 = 𝑩𝟎 𝒆−𝒌𝒛 + 𝑩𝟏 𝒆+𝒌𝒛 𝑬 = 𝑬𝟎 𝒆−𝒌𝒛 +𝑬𝟏 𝒆+𝒌𝒛 𝐤 = √𝐢. 𝛚. 𝛍. 𝝈 = √𝛚. 𝛍. 𝝈 . √𝐢 𝝅

est appelé nombre d’onde

𝝅

𝝅 𝒊( ) 𝒊( ) √𝐢 = √𝒆 𝟐 = ± 𝒆 𝟒 = ± [ 𝐜𝐨𝐬 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟒

Pour Re k > 𝟎

et

Im > 0

𝝅 𝟒

]=±

𝟏+𝒊 √𝟐

alors

𝝅

𝒌 = 𝒆𝒊( 𝟒 ) √𝛚. 𝛍. 𝝈 = (𝟏 + 𝒊)√𝛚. 𝛍. 𝝈/𝟐 Désignons

√𝛚. 𝛍. 𝝈/𝟐 =

Comme 𝛚 = 𝟐𝝅𝒇 = 𝟐𝝅/𝑻 On obtient

𝟐𝝅 𝝀

,

alors

𝒌 = (𝟏 + 𝒊)

𝟐𝝅 𝝀

𝝈 = 𝟏/𝝆 et si on suppose que 𝛍 = 𝛍𝟎 = 𝟒𝝅. 𝟏𝟎−𝟕

𝝀 = √𝟏𝟎𝟕 . 𝝆. 𝑻

18

𝝆 : En ohm. Mètre 𝛍𝟎 ∶ En ohm. s/m,

𝑻 : période en seconde,

𝒇 : fréquence en Hz

𝝀 ∶ longueur d’onde en mètre

V - Equations d’un champ monochromatique Dans de nombreux problèmes en magnétotellurique

on utilise des champs

harmoniques et variables dans le temps .Pour simplifier le problème utilisons le ⃗⃗⃗ champ magnétique 𝑯

⃗ 𝒙 + 𝐇𝒚 (𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝛂𝒚 )𝒅 ⃗ 𝒚 + 𝐇𝒛 (𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝛂𝒛 )𝒅 ⃗𝒛 ⃗𝑯 ⃗⃗ (𝒕) = 𝐇𝒙 (𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝛂𝒙 )𝒅 H𝑥 , H𝑦 , H𝑧 , α𝑥 , α𝑦 𝑒𝑡 α𝑧 sont les amplitudes et les phases correspondantes. Comme 𝒆−𝒊(𝝎𝒕−𝜶) = 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝜶 ) − 𝒊 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 − 𝜶) On peut écrire alors

𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝜶 ) = 𝑹𝒆 [ 𝒆−𝒊(𝝎𝒕−𝜶) ] ⃗ 𝒙 + 𝐇𝒚 . 𝑹𝒆 [ 𝒆−𝒊(𝝎𝒕−𝛂𝒚) ]𝒅 ⃗ 𝒚+ ⃗⃗ (𝒕) = 𝐇𝒙 . 𝑹𝒆 [ 𝒆−𝒊(𝝎𝒕−𝛂𝒙) ]𝒅 D’où ⃗𝑯 ⃗ 𝒛 = 𝑹𝒆 {[ 𝐇𝒙 𝒆𝒊𝛂𝒙 ⃗𝒅𝒙 ] + 𝑹𝒆 [ 𝐇𝒚 𝒆𝒊𝛂𝒚 ⃗𝒅𝒚 ] + 𝐇𝒛 . 𝑹𝒆 [ 𝒆−𝒊(𝝎𝒕−𝛂𝒛) ]𝒅 [ 𝐇𝒛 𝒆𝒊𝛂𝒛 ⃗𝒅𝒛 ]𝒆−𝒊𝝎𝒕 } ̌ = 𝐇𝒙 𝒆𝒊𝛂𝒙 ⃗𝒅𝒙 + 𝐇𝒚 𝒆𝒊𝛂𝒚 ⃗𝒅𝒚 + 𝐇𝒛 𝒆𝒊𝛂𝒛 ⃗𝒅𝒛 Désignons par ⃗⃗⃗ 𝑯 d’où

⃗ 𝒙 ] + 𝑹𝒆 [ 𝐇𝒚 𝒆𝒊𝛂𝒚 𝒅 ⃗ 𝒚 ] + [ 𝐇𝒛 𝒆𝒊𝛂𝒛 𝒅 ⃗ 𝒛 ]𝒆−𝒊𝝎𝒕 } ⃗⃗⃗ (𝒕) = 𝑹𝒆 {[ 𝑯𝒙 𝒆𝒊𝛂𝒙 𝒅 𝑯

réduit à

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (𝒕) = 𝑹𝒆 [ ⃗⃗⃗ ̌ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] 𝑯 𝑯

19

se

Les grandeurs complexes

⃗𝑩 ⃗ , ⃗⃗𝑫 ̌⃗ , ⃗𝑬 ̌ ̌

̌ ( densité de charges électriques) et 𝝆

peuvent s’écrire par analogie comme suit :

⃗𝑩 ̌⃗ = 𝑩𝒙 𝒆𝒊𝜷𝒙 ⃗𝒅𝒙 + 𝐁𝒚 𝒆𝒊𝜷𝒚 ⃗𝒅𝒚 + 𝐁𝒛 𝒆𝒊𝜷𝒛 ⃗𝒅𝒛

⃗𝑩 ⃗ = 𝑹𝒆 [ ⃗𝑩 ̌⃗ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ]

⃗𝑬 ⃗ = 𝐄 𝒆𝒊𝝋𝒙 ⃗𝒅 + 𝐄 𝒆𝒊𝝋𝒚 ⃗𝒅 + 𝑬 𝒆𝒊𝝋𝒛 ⃗𝒅 ̌ 𝒙 𝒙 𝒚 𝒚 𝒛 𝒛

⃗ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] ⃗𝑬 ⃗ = 𝑹𝒆 [ ⃗𝑬 ̌

⃗⃗𝑫 ̌ = 𝐃𝒙 𝒆𝒊∅𝒙 ⃗𝒅𝒙 + 𝑫𝒚 𝒆𝒊∅𝒚 ⃗𝒅𝒚 + 𝐃𝒛 𝒆𝒊∅𝒛 ⃗𝒅𝒛

⃗𝑫 ⃗ = 𝑹𝒆 [ ⃗⃗𝑫 ̌ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ]

̌ = 𝝆 𝒆𝒊 𝜽 𝝆

𝝆 = 𝑹𝒆 [ 𝝆̌ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ]

𝐁𝒙(𝒚,𝒛) , 𝜷𝒙(𝒚,𝒛) , 𝐄𝒙(𝒚,𝒛) , 𝝋𝒙(𝒚,𝒛) , 𝐃𝒙(𝒚,𝒛) , ∅𝒙(𝒚,𝒛) , 𝝆 , 𝜽 sont les amplitudes et les ⃗ , ⃗𝑬 ⃗ , ⃗𝑫 ⃗ et de la densité de charge 𝝆. phases des composantes vectorielles de ⃗𝑩

⃗⃗⃗ , 𝑩 ⃗⃗ , 𝑬 ⃗⃗ , 𝑫 ⃗⃗ , 𝝆 dans les équations En substituant les expressions de 𝑯 ⃗⃗ = 𝒋𝒄 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑯 ⃗⃗ = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑬 𝒓𝒐𝒕 avec

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

⃗⃗ 𝝏𝑫 𝝏𝒕

= 𝒋𝒄 +𝒋𝒅 = 𝒋

avec

𝒅𝒊𝒗 𝒋𝒄 = − et

⃗⃗ = 𝝆 , 𝒅𝒊𝒗 𝑫

𝝏𝝆 𝝏𝒕

⃗⃗ = 𝟎 𝒅𝒊𝒗 𝑩

𝝆 ∶ densité de charges par unité de volume(C/m3) .A ne pas confondre avec

le même terme utilisé pour designer la résistivité des matériaux. On obtient :

⃗ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] + 𝑹 [ ⃗⃗𝑫 ̌ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] = 𝑹𝒆 [ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗ ̌ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] = 𝑹𝒆 [𝝈 ⃗𝑬 ̌ ̌ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑹𝒆 [ ⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 𝑯 𝑯 𝒆 ⃗ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] = − 𝑹 [ ⃗𝑩 ̌ ̌⃗ 𝑹𝒆 [ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬 𝒆

𝝏 −𝒊𝝎𝒕 𝒆 ] 𝝏𝒕

̌⃗ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] = 𝟎 𝑹𝒆 [𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑩

20

𝝏 −𝒊𝝎𝒕 𝒆 ] 𝝏𝒕

̌ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] = 𝑹𝒆 ( 𝝆̌ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ) 𝑹𝒆 [𝒅𝒊𝒗 ⃗⃗𝑫 On obtient respectivement :

⃗ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 − 𝒊. 𝝎. ⃗⃗𝑫 ̌ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 = 𝝈 ⃗𝑬 ̌ ̌ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗ 𝑯 ⃗ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 = 𝒊. 𝝎. ⃗𝑩 ̌ ̌⃗ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬 ̌⃗ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 = 𝟎 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑩 ̌ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 = 𝝆̌ 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝒅𝒊𝒗 ⃗⃗𝑫 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ̌ ̌ ⃗𝑩 ̌⃗ et ⃗⃗𝑫 ̌ satisfont aux En conclusion : si les vecteurs complexes des champs ⃗𝑯, 𝑬, équations précédentes, alors les vecteurs réels

⃗𝑯 ⃗⃗ , ⃗𝑩 ⃗ ,𝑬 ⃗⃗ et ⃗𝑫 ⃗ satisfont

automatiquement les équations de Maxwell.

⃗⃗ = 𝜺. 𝑬 ⃗⃗ Comme 𝑫

et

⃗ − 𝜺. 𝒊. 𝝎. ⃗𝑬 ⃗ ̌ = 𝝈 ⃗𝑬 ̌ ̌ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗ 𝑯 ⃗⃗⃗̌ ) = 𝟎 𝒅𝒊𝒗 (𝝁𝑯

⃗⃗ = 𝝁. 𝑯 ⃗⃗⃗ , il s’en suit que 𝑩 ⃗ = 𝒊. 𝝎. 𝝁. ⃗⃗⃗ ̌ ̌ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬 𝑯

et

⃗̌ ⃗ ) = 𝝆̌ 𝒅𝒊𝒗 (𝜺𝑬

⃗⃗ , ⃗𝑩 ⃗ , ⃗𝑬 ⃗ , ⃗𝑫 ⃗ et 𝝆 Habituellement, on écrit ⃗𝑯

21

⃗̌ ⃗ , ⃗⃗𝑫 ̌ ⃗⃗⃗ ̌𝐁 ̌ et 𝝆̌ à la place de ⃗⃗⃗ 𝐇, 𝐄,

VI- Potentiel électrodynamique A partir des équations :

⃗⃗ = 𝒋𝒄 = 𝝈 . ⃗𝑬 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑯 ⃗ = 𝐢. 𝛚. 𝛍 . ⃗𝑯 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬 Et sachant que

⃗⃗⃗ = 𝟎 et 𝒅𝒊𝒗𝑬 ⃗⃗ = 𝟎 𝒅𝒊𝒗𝑯

Alors le champ magnétique peut être exprimé par la relation

⃗⃗⃗ = 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨 𝑯

⃗⃗ ou 𝑨

désigne le potentiel électrodynamique vectoriel

⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ dans ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐢. 𝛚. 𝛍 . ⃗𝑯 ⃗⃗ En substituant ⃗𝑯 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑨 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬 ⃗ = 𝐢. 𝛚. 𝛍 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑬 𝒓𝒐𝒕 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑨

on obtient

⃗ − 𝐢. 𝛚. 𝛍 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ =𝟎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑬 𝒓𝒐𝒕 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑨

soit

ou

⃗⃗ − 𝐢. 𝛚. 𝛍 . ⃗𝑨 ⃗ )=𝟎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 (𝑬 Et ainsi

⃗𝑬 ⃗ − 𝐢. 𝛚. 𝛍 . ⃗𝑨 ⃗ = − 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑼

⃗𝑬 ⃗ − 𝐢. 𝛚. 𝛍 . ⃗𝑨 ⃗ dont le rotationnel est nul dérive d’une fonction scalaire appelée le potentiel électrodynamique scalaire.

⃗⃗ = 𝐢. 𝛚. 𝛍 . 𝑨 ⃗⃗ − 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑼 𝑬 Ecrivons l’’équation de Maxwell

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑯

⃗ = 𝝈 . ⃗𝑬

électrodynamique .On obtient :

⃗ = 𝐢. 𝛚. 𝛍 . 𝝈 . ⃗𝑨 ⃗ − 𝝈 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑼 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑨 Comme 𝐤 𝟐 = 𝐢. 𝛚. 𝛍. 𝝈

et en appliquant la relation

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑭 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑭 − 𝛁 𝟐 ⃗𝑭 on obtient ⃗⃗ + 𝐤 𝟐 . 𝑨 ⃗ = 𝒈𝒓𝒂𝒅(𝒅𝒊𝒗 𝑨 ⃗ + 𝝈𝑼) ∆𝑨

22

en fonction du potentiel

⃗⃗ = 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑨 , il en resulte que Comme ⃗𝑯 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑨 = − 𝝈 𝑼 ⃗⃗ + 𝐤 𝟐 . ⃗𝑨 ⃗ =0 Et ∆𝑨 En introduisant ⃗𝑬 = 𝐢. 𝛚. 𝛍 . ⃗𝑨 − 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑼 dans On déduit que pour les deux champs

⃗⃗⃗ = 𝟎 ⃗⃗ = 𝟎 et 𝒅𝒊𝒗𝑯 𝒅𝒊𝒗𝑬

∆𝐔 + 𝐤 𝟐 𝐔 = 0

ψ

23

VII - Polarisation elliptique On dit qu’une onde est polarisée elliptiquement lorsque l’extrémité de son

⃗ retrace vecteur du champ électrique ⃗𝑬

dans le plan d’onde (plan de

⃗ du champ electrique a pour origine le vibration) une ellipse. Le vecteur ⃗𝑬 centre de l’ellipse. (fig.2)

Fig.2

Ou 𝐭𝐚𝐧 𝝍 =

𝒃 𝒂

est l’ellipticité, 𝒂 et 𝒃 sont les axes de l’ellipse.

En prospection electromagnétique, il arrive que l’ on mesure le champ electromagnetique resultant composé du champ

⃗⃗⃗ 𝒔 champ secondaire 𝑯

primaire

dont la fréquence ne change mais

⃗𝑯 ⃗⃗ 𝒑

et du

ils se different

par leur orientation spatiale et par leur phase. Par conséquent la composante horizontale et la composante verticale du champ resultant

⃗𝑯 ⃗⃗ 𝑹

peuvent

avoir des phases differentes. Lorsque

𝑶𝑿 et 𝑶𝒀 sont les

axes de l’ellipse dans le plan d’onde, les

⃗⃗ ont pour coordonnées 𝑿 et 𝒀 . Elles ont extremités du champ électrique 𝑬 pour coordonnées fig 2

24

𝑿 = 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕

et

𝒀 = 𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕

avec (après élimination du temps)

𝑿𝟐 𝒀𝟐 + =𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐

Fig 3

⃗⃗ est confondu avec 𝑶𝑨 , car pour 𝒕 = 𝟎 on obtient Le vecteur 𝑬 0,

on a au point 𝑨 ,

𝒅𝒚 𝒅𝒕

= 𝒃.𝝎 , ici 𝒃.𝝎 > 𝟎

𝑿 = 𝒂 et 𝑌 =

(Ellipse gauche car 𝒀 croit).On

peut procéder la même analyse pour tous les autres cas. Fig.3 Quand un champ électromagnétique

primaire

⃗𝑯 ⃗⃗ 𝒑 interagit

avec un matériau

⃗⃗⃗ 𝒔 se créait avec un conducteur, alors un champ électromagnétique secondaire 𝑯 déphasage de

𝝅 𝟐

⃗𝑝. + 𝝋 par rapport à 𝐻

25

Dans

un plan (𝒙, 𝒛)

⃗⃗⃗ 𝒑 𝑒𝑡 ⃗𝑯 ⃗⃗ 𝒔 qui contient les deux vecteurs 𝑯

, on peut

décomposer chacun de ces vecteurs en deux composantes spatiales suivants des coordonnées rectangulaires 𝒙 et 𝒛

-

Selon l’axe des 𝑿 on a :

⃗⃗⃗ 𝒙𝒑 𝒎𝒂𝒙 |. 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 |𝑯

et

𝝅

⃗⃗⃗ 𝒙𝒔 𝒎𝒂𝒙 |. 𝐬𝐢𝐧 ( 𝝎𝒕 – |𝑯

𝟐

− 𝝋)

⃗𝑯 ⃗⃗ 𝒙𝑹 = |𝑯 ⃗⃗⃗ 𝒙𝒑 𝒎𝒂𝒙 |. 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 − |𝑯 ⃗⃗⃗ 𝒙𝒔 𝒎𝒂𝒙 |. 𝐜𝐨𝐬( 𝝎𝒕 – 𝝋) Selon l’axe des 𝒛 on a :

⃗⃗⃗ 𝒛𝒑 𝒎𝒂𝒙 |. 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 |𝑯

et

⃗⃗⃗ 𝒛𝒔 𝒎𝒂𝒙 |. 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 − |𝑯

𝝅 𝟐

− 𝝋)

⃗⃗⃗ 𝒛𝑹 = |𝑯 ⃗⃗⃗ 𝒛𝒑 𝒎𝒂𝒙 |. 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 − |𝑯 ⃗⃗⃗ 𝒛𝒔 𝒎𝒂𝒙 |. 𝐜𝐨𝐬( 𝝎𝒕 – 𝝋) 𝑯 Comme

𝐜𝐨𝐬( 𝝎𝒕 – 𝝋) = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 . 𝒄𝒐𝒔 𝝋 + 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 . 𝒔𝒊𝒏 𝝋

On obtient : ⃗𝑯 ⃗⃗ 𝒙𝑹 = ⎜𝑯 ⃗⃗⃗ 𝒙𝒑 𝒎𝒂𝒙 ⎜. 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 - ⎜𝑯 ⃗⃗⃗ 𝒙𝒔 𝒎𝒂𝒙 ⎜.𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 . 𝒄𝒐𝒔 𝝋 - ⎜𝑯 ⃗⃗⃗ 𝒙𝒔 𝒎𝒂𝒙 ⎜𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 . 𝒔𝒊𝒏 𝝋 ⃗⃗⃗ 𝒙𝒑 𝒎𝒂𝒙 ⎜ − ⎜𝑯 ⃗⃗⃗ 𝒙𝒔 𝒎𝒂𝒙 ⎜ . 𝒔𝒊𝒏 𝝋 ) . 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 − ( ⎜ 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝒙𝒔 𝒎𝒂𝒙 ⎜ . 𝒄𝒐𝒔 𝝋 ) . 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 = ( ⎜𝑯 ⃗⃗ 𝒙𝑹 suivant l’axe 𝐗 peut se mettre sous la forme Le champ résultant ⃗𝑯

⃗𝑯 ⃗⃗ 𝒙𝑹 = ⃗𝑨 ⃗ . 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 + ⃗𝑩 ⃗ . 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕

⃗⃗ 𝒛𝑹 suivant l'axe 𝐙 peut se mettre sous la forme. Le champ résultant ⃗𝑯 26

⃗ . 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 + 𝑫 ⃗⃗⃗ 𝒛𝑹 = 𝑪 ⃗⃗ . 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝑹 peut se mettre sous la forme qui suit. D’ou 𝑯 ⃗⃗ . 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 ⃗⃗⃗ 𝑹 = 𝑭 ⃗ . 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 + 𝑮 𝑯 ⃗⃗ .sont déphasés de ⃗ et 𝑮 On remarque que les vecteurs 𝑭

𝝅 𝟐

. Cela indique que le

⃗⃗⃗ 𝑹 se déplace dans un plan et que son extrémité retrace une ellipse. vecteur 𝑯 De manière mathématique

⃗ + 𝒈 ⃗ 𝒎𝒂𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 + 𝒈 ⃗⃗⃗ 𝑹 = 𝒇 ⃗⃗ = 𝒇 ⃗⃗ 𝒎𝒂𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝑯 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 =

⃗𝒇

𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =

⃗𝒇𝒎𝒂𝒙

Comme

⃗⃗ 𝒈 ⃗⃗ 𝒎𝒂𝒙 𝒈

𝐬𝐢𝐧𝟐 𝝎𝒕 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝝎𝒕 = 𝟏

On a alors :

(⃗

⃗ 𝒇

𝒇𝒎𝒂𝒙

)² + (

⃗⃗ 𝒈 ⃗⃗ 𝒎𝒂𝒙 𝒈

)²

= 𝟏.

Elle représente l’équation d’une l’ellipse La force électromotrice induite dans le matériau conducteur est (loi de Faraday) :

𝒆= − comme

𝒅∅ 𝒅𝒕

= ∮ ⃗⃗⃗ 𝑬. ⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒍 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝒅𝒔 ∅ = ∫𝒔 𝑩.

et

⃗⃗⃗ = 𝝁. 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝑩.

27

On obtient :

𝒆= −

𝒅 𝒅𝒕

⃗⃗⃗ 𝑺 ) = −𝝁. 𝑺. 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝒑 ( 𝑩.

Si on désigne par

𝒅 𝒅𝒕

⃗⃗⃗ 𝒑 . 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 ( 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕) = −𝝁. 𝑺 . 𝝎. 𝑯

⃗⃗ 𝒑 on obtient 𝒆𝒐 = −𝝁. 𝑺 . 𝝎. ⃗𝑯

𝒆 = 𝒆𝒐 . 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 S : étant la surface de la boucle L’anomalie conductrice de résistance 𝑹 et d’inductance 𝑳 que l’on peut calculer à l’aide de la loi de Kirchhoff :

𝒆 = 𝑹𝑰 + 𝑳

𝒅𝑰 𝒅𝒕

La solution de cette équation différentielle est :

fig 4

28

produit des courants

𝒆 = 𝑼𝑹 + 𝑼𝑳 𝑼𝑹 = 𝑹. 𝑰 𝑼𝑳 = 𝑳

𝒅𝑰

𝑠𝑜𝑖𝑡 𝒆 = 𝑹𝑰 + 𝑳

𝒅𝒕

𝒅𝑰 𝒅𝒕

1- La solution générale (sans second membre) est :

𝑹𝑰+𝑳

𝒅𝑰 𝒅𝒕

= 𝟎

𝑰(𝒕) = 𝑨. 𝒆−𝒕/𝝉

et

𝝉=

𝑹 𝑳

2- La solution particulière est : 𝒅𝑰(𝒕) 𝒅𝒕

𝒆 = 𝑹. 𝑰(𝒕) , 𝑰(𝒕) =

= 𝟎 ce qui donne

𝒆 𝑹

3- la solution de l’équation differentielle sera :

𝑰(𝒕) =

𝒆 𝑹

{𝟏 − 𝒆

𝒕 𝝉

(− )

}

NB.La liste des références bibliographiques sera reportée à la fin du cours (dernier chapitre)

29

30