Magistarski Rad Manuela Muzika Dizdarevic

March 17, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A

Short Description

Download Magistarski Rad Manuela Muzika Dizdarevic...

Description

UNIVERZITET U BEOGRADU ˇ FAKULTET MATEMATICKI

DIVIZORI NA TORUSNIM VARIJETETIMA -magistarski rad-

Manuel Ma nuelaa Muzika Muzika Dizdar Diz darev evi´ ić

Beograd, 2010.

1 ˇ Zahvaljujem se prof. dr. Radetu Zivaljevi´ ccu u za kontinuiran kontinuiranoo ohra ohrabrivanje brivanje i motivisanje u sticanju znanja tokom proteklih mjeseci i za sve ideje koje su doprinijele da ovaj rad izgleda bolje. Zahv Zah valj aljuje ujem m se svom men mentoru toru prof prof.. dr. Ale Aleksan ksandru dru Lipk Lipkov ovsk skom om na svi svim m korisnim primjedbama i ˇssto to me i p pored ored p pauza auza ko koje je sam tokom studija pravila nikada nik ada nije zaboravi zaboravio. o. Posebno se zahv zahvaljujem aljujem svom suprugu Damiru na strpljenju i p podrˇ odrˇsssci sci ko koju ju mi pruˇzzaa b bez ez obzira na geogr geografsko afsko po podneblje dneblje na kojem uprkos svemu i u inat svima opstajemo opsta jemo i narav naravno, no, svojim ro roditelj diteljima ima bez ˇccije ije bi ljuba ljubavi vi sve bilo drug dr ugaˇ aˇcije ci je..

Sadrˇ za j 1 Torusni varijeteti

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.5

5

Algebarski skupov povi i varijeteti . Afini torusni varijeteti . . . . . Proje ojektivni torusni varijeteti . . Osnove konveksne geometrije . . Kon onu usi i afi afin ni toru torussni vari arijeteti teti .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. 5 . 8 . 13 . 18 . 26

1..76 A Polit ol proje to ar. ijet 11.6 psitop tropi aki tinpr i tojekt oruktiv snivni i ni vartoru ijerusn tesni tii v. arij . etet . eti . i . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 32 39 2 Divizori na torusnim varijetetima

2.1 2.22 2. 2.3 2.3 2.4 2.4

44

Divizori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teor eorema ema o oorbi rbital talnoj noj dek dekom ompozi pozici ciji ji tor torusn usnog og vari arije jetet tetaa Weilo eilovi vi di div vizor izorii na toru torusn sniim vari arijete jeteti tima ma . . . . . . . . Ca Cart rtie iero rovi vi di divi vizo zori ri na toru torusn snim im var arij ijet etet etim imaa . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3 Politopi i torusni varijeteti

3.1 3.1 3.2 3.3 3.4

44 49 56 59 67

Divizor zor tor torus usn nog vari arijeteta teta po pollito top pa Pramen divizora . . . . . . . . . . . Ehrhartov p olinom . . . . . . . . . Kushnirenkova teorema . . . . . . .

2

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

67 71 74 76

ˇ SADR ZAJ

3

REZIME

Teorija torusni torusnih h varijeteta nastala je u ranim 70-im godinama pro proˇˇslog slog stoljećcaa i leˇzi zi na presjeku algebarske geometrije i kombinatorik kombinatorike. e. Uzajamno Uza jamno djelovanje tih dvaju oblasti u kontekstu torusnih varijeteta dovelo je do bro jnih rezultata. Neki od primjera primjene algebarsko-geometrijskih tehnika na kombinator kombinatorne ne probl probleme eme ukljuˇccuje uje preb prebro rojavanje javanje taˇcaka caka reˇssetke etke unutar konveksnih politopa i odredivanje volumena konveksnih tijela kojih smo se u ovom radu dotakli. Motivacija za pisanje rada inicijalno je bila lijepa i znaˇccajna ajn a BKK (Bernstein, Kushnirenko, Khovanskii) teorema u kojoj se divizori na torusnim varijetetima ne pojavljuju u samoj formulaciji ali su esencijalni za njene dokaze. Sam rad je logiˇccki ki p podijeljen odijeljen na dva dijela. U prvom, ko koji ji obuhvata prve dvije glave, g lave, izloˇzzene ene su osnove teorije torusnih varijeteta, a u drugom dijelu (glava 3) pokazane su neke od primjena torusnih varijeteta, medu kojima je na najznaˇ jznaˇcajnija ca jnija upravo primjena na dokaz BKK teoreme. Prva glava poˇ p oˇccinje inje po podsje´ dsjećcanjem anje m na osnovne pojmove po jmove al algebar gebarske ske ge geometr ometrije, ije, a zatim se prelazi pre lazi na definisanje to torusnog rusnog varijeteta. Nav Navedene edene su ˇccetiri etiri definicije, a zatim je pokazano da su medusobno ekvivalentne. Najljepˇssii i na najprirodniji, jprirodniji, a i sa istorijskog aspekta asp ekta najr najranije anije upoznat, naˇcin cin konstruisanja torusnog varijeteta za polaznu osnovu ima objekte konveksne geometrije kao ˇssto to su konusi i politopi, zbog ˇccega ega je dat i kra kratak tak uvid u konveksnu geometriju u kojem su pomenuti objekti definisani i navedene njihove osnovne osnov ne osobine. Tako su stvo stvoreni reni preduslovi za rasvjetl rasvjetljav javanje anje dva pro procesa, cesa, od kojih je prvi stvaranje afinog torusnog varijeteta polazećcii ood d konveksnog konusa σ posmatranog unutar vektorskog prostora N R prid pr idru ruˇˇzzeno e nogg reˇssetk e tkii torusnog usnog varijeteta p polaze´ olazećcii od politopa sa N , N , a drugi stvaranje pro jektivnog tor vrhovima unutarposmatranog reˇssetke etke metodom sljepljiv sljepljivanja familije konusa dobivenih iz normalne lepeze politopa. U anja p posljed osljednjem njem poglavlju prv prvee glave pokazano je kak kakoo se konstruiˇssee torusni varijetet varijetet   X Σ lepeze Σ (koja viˇ viˇse se ne mora biti normalna lepeza politopa P politopa P )) iz kombinatornih podataka koje nam da daju ju konusi lep lepeze eze Σ, a ko koji ji oodreduju dreduju naˇccin in lijepljenja familije torusnih varijeteta u objekat koji zovemo apstraktni torusni varijetet. U drugo j glavi su na poˇccetku etku navedene osnovne ˇccinjenice inje nice koj kojee se tiˇccu u divizora i njihovih klasa na algebarskim skupovima, nakon ˇccega ega smo se vrat vratili ili torusnim varijetetima dokazuju dokazuju´ći ci teoremu o djelov djelovanju anju torusa torusa T T N N  na torusni varijetet   X Σ u kojoj se tvrdi da postoji bijektivna korespondencija izmedu varijetet konusa lepeze Σ i T N N orbita varijeteta X Σ , a koja predstavlja podlogu za prouˇccavanje avanje divi divizora zora na ttorusn orusnim im varije varijetetim tetima. a.

ˇ SADR ZAJ

4

U tre´ tr ećcem em i ˇccetvrtom etvr tom pog poglavlju lavlju druge glave ra razmotr zmotreni eni su Weilovi i Cart Cartierovi ierovi divizori na normalnim torusnim varijetetima, p pokazano okazano je kak kakoo se raˇcunaju cuna ju njihove klase i dokazana je teorema koja pokazuje pod kojim se uslovoma te dvije klase divizora podudaraju. U tre´ t rećoj co j glav glavi, i, kao ˇssto to je već reˇcceno, en o, govor govorii se s e o nek nekim im pri primje mjenam namaa ttoru orussnih va varijeteta rijeteta.. Pozna Poznato to je da se algebars algebarsk ka geometri geometrija ja poˇccela ela razvijat razvijatii prije oko 2000 godina iz problema rjeˇssavanja avanja polinomialnih jednaˇccina ina i njihovih sistema, ali i danas klasiˇccne ne knjige iz ove oblasti rijetko sadrˇze ze bilo kakv kakvee algoritme za njihovo rjeˇssavanje. avanje. Ipak, p posto ostoje je i rezltati medu kojima je i BKK teorema koja u terminima konveksne geometrije daje odgovor na pitanje o broju bro ju rjeˇssenja enja sistem sistemaa Laur Laurentovih entovih pol polinomia inomialnih lnih jednaˇccina, ina, a medu ˇccijim ijim se dokazima nude i efektivne metode za rjeˇssavanje avanje pomenutih sistema. U prvom pr vom pog poglavlju lavlju trećcee gglave lave data je de definicija finicija d divizora ivizora ttorusnog orusnog varijeteta politopa, razmotrene su njegove osnovne osobine i naveden je primjer lepeze koja nije normalna lepeza niti jednog politopa reˇssetke. etke. Nako Nakon n toga je dat kratak prikaz pramena divizora torusnom varijetetu i dokazana je propozicija koja daje veoma zgodan opisna globalnih sekcija pramena T N N −invarijantnog divizora na na torusnom varijetetu varijetetu X Σ . U trećcem em je poglavlju definisan Ehrhartov polinom pridruˇzen zen konv konveksnom eksnom politopu reˇssetke etke koji daje vezu izmedu vol volumena umena politopa i broja taˇ caka caka reˇssetke etke ko koje je ta j p polito olitop p sad sadrˇ rˇzzii i prez prezentiran entiranaa je skica dokaza eegzist gzistencij encijee ovog polinoma koristeći ci kohomologiju linijskih raslojenja rasloje nja na torusnom varijetetu X PP  . Rad zavr zavrˇˇssava ava razmatran razmatranjem jem uloge divizo divizora ra na torusni torusnim m varijeteti arijetetima ma u dok dokazu azu Kushni Kushnirenko renkove ve teoreme ko koja ja daje gornji prag broja rje rjeˇˇssenja enja sistema Laure Laurentovih ntovih pol polinomia inomialnih lnih jednaˇccina ina u sluˇccaju a ju kada jednaˇccine ine ima imaju ju isti Newtonov politop. U ovom prikazu p rikazu tteorij eorijee to torusni rusnih h varije varijeteta teta primar primarno no ssu u koriˇssteni teni sadrˇzzaji a ji prepr edavanja dav anja o ttorusnim orusnim varijetetima koja je David Cox drˇzzao ao tokom juna 2009. godine na” D. MSRI (Mathematical Sciences s Research te knjiga ”T ”Toric oric Varie arieties ties” Co Coxa xa ,J. Little Littleaa i Science H. Sch Schenc enck ka koja Institute) treb trebaa da bude obja ob javlj vljena ena tokom jeseni 2010. godine.

Glava 1 Torusni varijeteti Osnovni zadatak ove glave je da damo definicije afinog i projektivnog torusnog varijeteta, razmot razmotrimo rimo neke njihove osnovne oosobine sobine i u uka kaˇˇzzemo emo na vezu izmedu konusa i afinih torusnih varijeteta, te politopa i projektivnih torusnih varijeteta.

1.1 1. 1

Alge Algeba bars rski ki sku skupo povi vi i var varij ijet etet etii

cno C ozn oznaˇ aˇcava cava polje pol je kompleAfini vari varijetet jeteti. i. Neka nam kao i obiˇcno ksnih brojeva i neka je je n prirodan broj. Pod n Pod n-dimen -dimenzionaln zionalnim im afinim prostorom smatramo skup uredenih uredenih n-torki kompleksnih brojeva Cn zajedno sa uobiˇccajenim a jenim ooper peracija acijama ma sabi sabiranja ranja n-to -torki rki i mnoˇzzenja en ja   n-torke kompleksnim n brojem. Prem Premaa tome C je vektorski prostor nad poljem C. U alg algebar ebarsk skoj oj n se geometriji vektorskom prostoru C dodjeljuje i struktura koju ˇccine ine algen n barske ili regularne ili regularne  funkcije funkcije na C . Regularn Regularnee fun funkc kcije ije na C su konstante, n

projekcije projekcije   T i :

koordinatne koordina tne funkci funkcije, je, tj. je T i (x1 , . . . , xn ) = xi C → C gdje je i funkcije koje se iz njih mogu dobiti primjenom elementarnih algebarskih operacij ope racijaa sa sabiran biranja ja i mnoˇzzenja. enja . Algebarskom jednaˇccinom inom zovemo izraz oblika oblika   f  = f  = 0, gdje je je f   f   polinom u promjenljivim promjenljivim x1 , x2 , . . . xn sa koeficijentima iz C. Za datu fam famil ilij iju u pol poliinoma F noma F    = (f α )α∈R famili fa milija ja jed jednaˇ naˇccina in a (f α = 0)α∈R zove se sistem algebarskih jednaˇccina. ina. Rjeˇssenje enje ovog sistema je svak svakaa taˇcka cka x ∈ Cn za koju vrijedi f α (x) = 0 ∀α ∈ R. Skup svih rjeˇssenja enja siste sistema ma jednaˇccina ina F F    oz oznaˇ naˇcavamo cavamo sa V V ((F F )) i zovemo algebarskim zovemo algebarskim skupom . Razliˇcciti iti sistem sistemii algeb algebarskih arskih jednaˇccina ina mogu imati isti skup rje rjeˇˇssenja. enja. Zbog toga uvodimo relacij relaciju u ekviv ekvivalencij alencijee u ′ skup sistema algebarskih jednaˇccina ina tako ˇssto to dva sistema F F    i F smatramo

5

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

6

ekvivalentnim ako se svaki ˇcclan ekvivalentnim lan iz F   F   moˇze ze izraz izraziti iti preko ˇcclanova lanova iz F ′ i obratno. Nara Naravno, vno, ekviv ekvivalen alentni tni sistemi jednaˇccina ina odreduju isti algebars algebarski ki skup. Osim toga, toga, F   F   i F ′ su ekvivalen ekvivalentni tni sistemi ako i samo ako ggeneriˇ eneriˇssu u isti ideal u prstenu [x , x , . . . , x ]. Iz poznate Hil Hilberto bertove ve teoreme teoreme o bazi sli sli-n 1 2 C jedi da je sv svaki aki sistem algebarskih jednaˇccina ina ekvivalen ekvivalentan tan nekom konaˇcnom cnom sistemu sis temu jed jednaˇ naˇccina. in a. Deˇssava ava se da i neekvivalen neekvivalentni tni sistemi jednaˇccina ina odreduju isti algebarski skup. sku p. Na prim primjer, jer,   V V ((f ) = V V ((f 2 ) = V V ((f 3 ) = . . .. Zbog toga u skup si sistem stemaa algebarskih jednaˇccina ina uvodimo relaciju slabe ekvivalencije  t akoo ˇssto t o kaˇzemo em o ekvivalencije  tak ′ da su sistemi F sistemi F    i F slab slaboo eekvivalentni kvivalentni ako se za svaku je jednaˇ dnaˇccinu f inu f  sistema sistema F F ′ neka njena po potenci tencija ja moˇze ze izraz izraziti iti preko ˇcclanova lanova siste sistema ma F F i obratno. Slabo ekvivalentni ekvivalen tni sistemi ima imaju ju isti skup rjeˇssenja, enja, tj. odreduju isti algebarski skup, a vaˇ vaˇzi zi i obrnuto ˇssto to je tvrdnja dobro poznatog Hilbertovog Nullstellensatza: I  ideal ideal prstena C[x1 , x2 , . . . , xn ]. Teorema 1.1.1. (Nullstellensatz:) Neka je   I Ako se polinom   f f    poniˇsstava ta va u svi svim m taˇcckama ka ma sku skupa pa   V V ((I ) ⊂ C n onda postoji n

cio broj   n ≥ 0 takav da je   f ∈ I . Za algebarski skup V skup V ,, sa I sa I (V V )) ćemo ce mo oznaˇ oz naˇcavati cavat i n naa jveći ci idea id eall ko koji ji odr dred eduj ujee V V ,, a to je upravo id ideal eal ssaˇ aˇccinjen injen od svih rregula egularnih rnih funkcija koj kojee se pon poniˇ iˇsstavaju tavaju u svi svim m taˇcckama kama iz iz V V .. Neka su sada V   ∈ Cn i W   ∈ Cm dv dvaa algebarsk algebarskaa skupa. Presli Preslik kav avanje anje f f    : V → W W    zov zovemo emo regu regularn larnim im pres preslik likav avanje anjem m ak akoo je defin definisa isano no sa mregularnih funkcija funkcija f 1 , f 2 , . . . , fm ∈ C [x1 , x2 , . . . , xn ]. Kompozici Kompozicija ja dva regularna preslika preslikavanja vanja je opet regularno preslika preslikavanje vanje i identiˇccno no preslika preslikav vanje je regularno preslika preslikavanje vanje pa prema tome, algebarski skupovi zaje zajedno dno sa regularnim ularn im presl preslikav ikavanjima anjima ˇccine ine kategorij kategoriju, u, ˇccije ije objekte ob jekte zovemo zovemo afini afini algebarski varijeteti . Skup C[V V ]] regularnih funkcija na algebarskom skupu skupu V V    zajedno sa operacijama sabiranja funkcija, mnoˇzzenja enja funkcija i mnoˇzzenja enja funkcije element ntom om pol polja ja im imaa stru struktu kturu ru C-alge -algebre bre koj kojaa je izomor izomorfna fna koliˇccniˇ niˇcckoj ko j algeb algebri ri C[x1 , x2 , . . . , xn]/I (V V )) koju zovemo i koordinatni i koordinatni prsten . Preslik Preslikav avanje anje algebarskih skupova f skupova f    : V   → W  je je regularno ako i samo ako je za svaku regularnu funkciju g funkciju g ∈ C[W W ]] funkcija f funkcija f ∗ (g ) = g ◦ f  regularna regularna na skupu V skupu V .. Na ta tajj n naˇ aˇcin cin algebarski skup V skup V  zajedno zajedno sa strukturom C- algebre C[V V ]] regularnih funkcija na na   V V  postaje postaje algebarski varijetet. C- algebra regularnih funkcija na algebarskom skupu skupu V V    ima i ma dv dvij ijee vaˇzzne ne karakteri arakteristik stike, e, kona konaˇˇccno no je generis generisana ana i nema nenul nenultih tih nilpoten nilpotentnih tnih elemenata. Iz Hilbertovog Nullstellensatza slijedi da je p preslika reslikavanje vanje izmedu taˇcaka caka x ∈ V V    i maksimalnih ideala ideala I (V V )) = f   ∈ C[V V ]], f (x) = 0 bijektivno preslikavanje izmedu izmedu V V    i SpecmC[V V ], ], skupa svih maksimalnih ideala prstena C [V V ]. ].

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

7

Zbog toga moˇzzemo emo pisati V V    = Specm( Specm(C[V V ]), ]), a ˇccesto esto ćcemo emo i sam skup V zv zvati ati algebars algebarskim kim varijetet arijetetom, om, ne gubeći ci pri tome iz vida sv svarnu arnu struktur strukturu u algebarskog varijeteta. Afinccna algebarski varijetet varijetet V V    snabdjev snabdjeven en nom je sa topologijom dvije topologije, od njih n je klasiˇ na topologija inducirana uobiˇccajenom aje na Cjedna , a druga je topologija Zariskog. U topologiji zariskog zatvoreni skupovi su podvarijeteti ¯ od V otvoren orenii skupov skupovii nji njiho hovi vi komp komplem lement enti. i. Za p podsku odskup p S   ⊆ V V ,, a otv V    sa S ćemo cemo oznaˇccavati avati najmanj na jmanjii po podvarijete dvarijetett od V V    ko koji ji sa sadrˇ drˇzi zi S  i i zvati ga zariski zatvorenjem zatvo renjem skupa skupa   S . Primjer 1.1.1 Neka je   C∗ =

C\{0}. Tada je   (C∗ )n = Cn \V V ((x1 x2 . . . xn ) ⊂

Cn otvoren podskup u topologiji zariskog. Kaˇzzemo emo da je afin varijetet varijetet V V    iredu ireducibilan cibilan ako ga ne moˇzzemo emo napisa napisati ti kao uniju dva prav pravaa podvari podvarijeteta. jeteta. Ireduci Ireducibilnim bilnim afinim varijetet arijetetima ima odgov odgovaraju araju prosti ideali i obratno. Za afin varijetet varijetet V V    kaˇzemo ze mo da je normalan je normalan  ako ako je njegov koordinatni prsten C[V V ]] cij cijelo elo zatv zatvoren oren u sv svom om polju razlom razlomak akaa tj. u slu sluˇˇccaju aju kada je nje njegov gov koordinatni koordina tni prsten C [V V ]] normalan prsten. Posmatr matraa jućcii samo aafine fine varijet varijetete ete ne d dobija obijamo mo Projektivni varijeteti. Pos Projektivni kompletnu sliku stvarnog varijeteta jer zapravo posmatramo samo jedan njegov dio bez be z mogućcnosti nost i da vidimo ˇssta ta se deˇssava ava ””u u bes beskonaˇ konaˇcnosti”. cnost i”. To je jedan od razloga ˇssto to sa afinog prostora prelazimo u pro projektivni jektivni prostor P n . Projektivni Pro jektivni pr prostor ostor moˇzzemo emo p posmatrati osmatrati kao skup svih pravih u vektorskom n+1 prostoru C gdje je svaka prava prava L kao jednodimenzionalan vektorski pod(x0 , x1 , . . . , xn ) ∈ C n+1 do na prostor od Cn+1 odredena nenultim vektorom (x mnoˇzzenje en je kons konstant tantom om λ λ ∈ C∗ . Prema tome P n mo moˇˇzzemo e mo sm smat atra rati ti ko koliliˇˇcniˇ niˇcckim k im Koordinatne tne funkcij funkcijee T 0 , T 1 , . . . , Tn zovemo hoprostorom (Cn+1 \{0})/C∗ . Koordina n mogenim koordinatama na P . emo smatrati prostorom klasa ekviv ekvivalenalenDrugim Drugi m rijeˇccima, ima, prost prostor or Pn moˇzzemo n+1 (0, 0, . . . , 0)} pr prii ˇcemu cemu su dv dvij ijee taˇcke cke P P    = (x0 , . . . , xn ) i P ′ = cije od C \{(0, (x′0 , . . . , x′n ) ekvivalentne ako i samo ako postoji λ ∈ C i λ̸ = 0 za koje je P   P = λP ′ . U ovom ovom sluˇ ccaju aju klasu ekviv ekvivalencij alencijee kojoj pripada taˇccka ka P oz oznaˇ naˇccavamo avamo sa (x0 : x 1 : . : . . . : x : x n ). Primjetimo Primjeti mo da T i kao ni bilo koji nekonstantni polinom u promjenljivim T 0 , T 1 , . . . , Tn ne odreduje funkci funkciju ju na prostoru Pn . Izraze T Izraze T  j /T i mo moˇˇzzemo e mo sm smaatrati funkcijama ali ne na ˇccitavom itavom prost prostoru oru P n nego samo na podskupovima

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

8

oblika U i = Pn \H i gdje je H i = {(x0 , x1 , . . . , xn ) : xi = 0} ttjj. na po poddn+1 skupovima koji se sastoje od svih pravih L ⊂ C koje se izomorfno pro(i) jektuju na i-tu koordin koordinatn atnu u osu. Za fiksno fiksno   i funkcije ξ  j = T  j T i−1 za j = 0 1 definiˇssu u bijektivnu korespondenciju izmedu i afinog podprosn , , T . .i. = , n1 od C +1 . S obzirom na ovu korespondenciju H U i i se sastoji od svih tora T tora korespondenciju H pravih   L koj pravih kojee leˇze ze u hipre hipreravni ravni T i = 0 i moˇze ze se poistovjetiti sa Pn−1 . Na ovajj na ova naˇˇcin, ci n, P n dobiven je iz afinog prostora U prostora U i ∼ = Cn dodavanjem hiprreravni u be beskon skonaˇ aˇccnosti no sti H i ∼ = Pn−1 . Skupovi U i formiraju for miraju pokrivaˇc prostora Pn i svaki od njih ima prirodnu strukturu afinog varijeteta , a te se strukture na presjecima U i ∩ U  j podudaraju. Prem Premaa tome, P n lok lokalno alno izgleda kao afin varijetet pa se tako koncept topologije Zariskog, algebarskih podvarijeteta itd. prirodno prenose na prostor P n . Zatvoren podskup projektivnog prostora zovemo projektivan zovemo projektivan varijetet . Razmotrimo sada opˇssti ti meto metod d za dobivanje takvih varijeteta. Posmatrajmo n+1 C kao vekt vektorski orski prostor nad poljem C. Konus u prostoru Cn+1 de defin finiˇ iˇssemo e mo kao algebars algebarski ki om podvari podvarijetet jetet C kojiuˇzzujemo je inv invarijan arijantan tan mnoˇ zzenje enje skalarom. Svak Svakom konusu konusu C   C   C   pridruˇ pridr uj emo podsk po dskup up uP(odnosu C ) ⊂ P nnasvih pravih L ⊂ C . Skup P(C ) je zatvoren u Pn . Ako Ako sad sadaa U i identifikujemo sa afinim n+1 podprostorom (x (xi = 1) ⊂ C , onda skup P (C ) ⊂ U i moˇzzemo e mo ident id entifi ifikovat kovatii sa presjekom presjekom C  ∩ ∩ (xi = 1) koji je oˇccigledno igledno zatvoren u xi = 1. n+1 U koordinatama T 0 , T 1 , . . . , Tn u C konus C  je je odr odreden eden homogenim homog enim jednaˇccinama inama f  j (T 0 , . . . Tn ) = 0 za j ∈ J , ˇsto st o zn znaˇ aˇccii da je P(C ) ∩ U i odrede odr eden n jed jednaˇ naˇcinama cin ama f  j (T 0 /T i , . . . , Tn /T i ) = 0, j ∈ J   J   koje ko je zovemo h homogenim omogenim jednaˇccinama inama od P(C ). ). Lako se moˇ zzee p pok okazati azati da vrijedi i obrnuto tj. da je svaki projektivni konus C   ⊂ Cn+1 . varijetet   X   ⊂ Pn oblika P (C ) za neki konus varijetet

1.2 1. 2

Afini Afini toru torusn snii varij arijet etet etii

Mogli bi re´ Mogli ci ci da je afin toru torusni sni vari arijete jetett podvari podvarijete jetett od Cn definisan idealom   I   ⊆ C[x1 , x2 , . . . xn ] koji je prost i gene idealom generisa risan n bin binomi omima. ma. Medu Medutim tim,, takva definicija bi nam otkrila samo dio misterije torusnog varijeteta. Zbog toga to ga ćcemo e mo nave navest stii ˇceti ce tiri ri razl ra zliˇ iˇccite i te de defin finic icij ijee naˇsseg eg ob obje jekt ktaa ist istraˇ raˇzivanj zi vanjaa pr prii ˇccemu e mu ga svaka od njih osvjetljava iz drugog ugla, a zatim ćcemo emo p pokazati okazati da su sve one medusobno ekvivalentne. Navedimo sada neke pojmove po jmove ko koji ji će ce nam ubuduće ce treb trebati. ati. Reˇsetko kom m  nazivamo nazivamo konaˇccno no generisanu slobodnu Abelovu grupu. Reˇsetka setka n ranga   n je izomorfna grupi Z . Svako j taˇccki ranga k i reˇssetke etke moˇzzemo e mo pr prid idruˇ ruˇziti zi ti dva n vaˇ zzna na ob jekta jekta.. Svako Svako   m = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Z odreduje homomorfizam

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

9

χm : (C∗ )n → C∗ definisan sa: χm (x1 , x2 , . . . , xn ) = x a11 · xa22 . . . xann koji zovemo karakterom zovemo karakterom . Svako   n = (b1, b2 , . . . , bn ) ∈ Zn odreduje jednoparamatarsku podgrupu Svako λn : C∗ → (C∗ )n definisanu sa : λn (x) = (xb1 , xb2 , . . . , xbn ) struktur kturu u grupe s obzi obzirom rom na mno mnoˇˇzzenje. enje. Svaki Svaki Afin varijetet (C∗ )n ima stru ∗ n afin varijetet koji je izomorfan sa ( C ) i grupnu strukturu naslijeduje preko izomorfizma zovemo algebarskim zovemo algebarskim torusom  i i oz oznaˇ naˇcavamo cavamo sa sa   T . T . Za svaki torus T  skup skup svih njegovih karaktera ima strukturu slobodne Abelove grupee koj grup koju u oznaˇccavamo avamo sa M sa M ,, a i skup jednoparametarskih podgrupa takode ima strukturu slobo slobodne dne Abelove grupe koju ćcemo emo oznaˇccavati avati sa sa   N . N . Gr Grupe upe M    i N  imaju M N  imaju rang jednak dimenziji torusa torusa T . T . Postoji prirodna bilinearna funkcija ⟨, ⟩ : M   × N → Z definisana na slij sl ijed ede´ eći ci naˇcin in:: Za dati karakter karakter χm i jednoparametarsku podgrupu podgrupu λn , pr prii ˇccemu e mu je m m = (a1 , a2, . . . , an ) i n = (b1 , b2 , . . . , bn ) kompozicija χ ◦ λn : C∗ → C∗ predstavlja predsta vlja karakter od C ∗ dat sa t sa t → tl gdje je n

l = ⟨m, n⟩ =



ai bi

i=1

. Navedimo sada klasiˇccnu nu definiciju afinog torusnog varijeteta. V  koj ojii ssad adrˇ rˇzzi i Definicija 1.2.1 Afin torusni varijetet je ireducibilan varijetet   V  k ∗ n

torus   T N

≃ (C ) kao Zariski otvoren podskup tako da se djelovanje torusa T N sebe be produ produˇˇzzava ava do djelov djelovanja anja torusa torusa    T N V .. N   na samog se N  na cijeli varijetet   V Neka je je T N torus rus sa reˇssetkom etkom karakter karakteraa M i jednoparametarskih podgrupa M  i N  to N . N . Ne Nek ka je A = {m1 , m2 , . . . , ms } ⊆ M . Svak Svakoo mi ∈ A odreduje karakter mi s ∗ χ : T N ssimo imo pres preslikav likavanje anje ΦA : T N N   → C sa: N   → C . Definiˇ ΦA (t) = (χm1 (t), χm2 (t), . . . , χms (t)) emo oznaˇccavati avati Zarisk Zariskii zatvor zatvorenje enje slike presl preslikav ikavanja anja ΦA . Sa Sa Y A ⊆ Cs ćcemo Neka je sada ΦA preslikavanje koje standardnu bazu e bazu e 1 , e2, . . . , es od Zs slika u m1 , m2 . . . , ms . Jezgr Jezgroo ovog presli preslikav kavanja anja oznaˇccimo imo sa sa L L.. Niz



0 → L → Zs → M

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

je egzaktan. Za l = (l1 , l2 , . . . , ls ) ∈ L stavimo da je l+ = Jasno, sada je je l = l = l + − l−.

10

∑

li >0 li ei i l− =

∑

li 0 mi li = li 0 takvi da je   ⟨mi , u⟩ = k za   i = 1, . . . , s s . t o je I ( I (X A ) = I ( I (X X  A ) i I (Y A ) = I L jasno je da Dokaz: (a) ⇔ (b) Poˇssto I L = I = I ((X A ) vrijedi ako i samo ako je je Y A je afin konus X X  A od od   X A . (b) ⇒ (c) Ideal Ideal I L = ⟨xα − xβ | α − β   ∈ L⟩, gdje je je L jezgro preslikavanja s Z → M M    koje koje ei → mi , je oˇccigledno igledno homogen jer je generisa generisan n homogeni homogenim m polinomima. (c) ⇒ (d) Pretpostavimo da je I L homogen ideal i neka je xα − x β ∈ I L prizvo priz voljn ljno. o. Ak Akoo xα i xβ ne bi bili istog stepena onda bi zbog xα − x β ∈ I (Y A ) i (1, (1, 1, . . . , 1) ∈ Y A imali da je (x (xα − xβ )(1 )(1,, 1, . . . , 1) = 0, ˇssto to bi bila α β kontradik kon tradikcija cija sa pretposta pretpostavko vkom. m. Dakle, monomi monomi x x i x imaju isti stepen, a





GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

15

to znaˇccii d daa je j e zzaa p prozvolj rozvoljno no   α − β   = l ∈ L, l · (1 (1,, 1, . . . , 1) = 0. Tenzoriˇ Tenzor iˇssimo imo egz egzakt aktni ni niz 0 −→ L −→ Zs −→ M sa Q , a zatim posmatrajno dualni niz. Imamo da je N Q −→ −→ Qs −→ H omQ (LQ , Q) −→ 0 iz H omQ (LQ , Q), pa postoji Sada vidimo da se (1, (1, 1, . . . , 1) ∈ Qs slika u nulu iz H neko u neko u ′ ∈ NQ za koje vrijedi: ⟨mi , u′ ⟩ = 1 za i za i = = 1, . . . , s. s. Mn Mnoˇ oˇzze´ eći ci pr pret etho hodn dnu u ′ jednakost nazivnicima iz u dob dobija ijamo mo traˇzzene en e u ∈ N i k ∈ N za ko koje je vaˇzi zi (d) zaista vrijedi. ⟨mi , u⟩ = k, k , pa (d (d) ⇒ (b ( b) Pretpostavimo da vrijedi (d (d). Kako je je I L = I I ((Y A ), da bi pokazali da vrijedi (b (b) dovolj dovoljno no će ce bit bitii da po pokaˇ kaˇzzemo em o da je: X A ∩ (C∗ )s ⊆ Y A ∗ s





Neka je p je p ∈ X XA ∩ (C ) proizvoljno. Kako je X varijeteta X A , je X A ∩ T Ps 1 torus varijeteta X imamo da −

p = p = µ µ · (χm1 (t), . . . , χms (t)) vrijedi za neko µ ∈ C∗ i t ∈ T N . Pr Prir iroda odan n broj broj   u za koje je ⟨mi , u⟩ = k za za i = 1, . . . , s odreduje ccemo e mo s odreduje jednoparametarsku podgrupu torusa T N N  ko ju ´ oz ozna naˇˇciti ci ti sa se λ u (τ )t ∈ T N u q  ∈ za τ   ∈ C∗ . Sada se λ ∈ Y A za koje je τ ) za τ   → λu (τ ) N  slika u q   = (χm1 (λu (τ ) τ )t), . . . , χms (λu (τ )t)) = (τ (τ ⟨m1 ,u⟩ χm1 (t), . . . , τ ⟨ ms ,u⟩ χms (t)) Kako je ⟨ mi , u⟩ = k za za i = 1, . . . , s ,iz s ,iz posljednje jednakosti imamo da je q  = τ = τ k · (χm1 , . . . , χms ) Kako je k je k > 0 moˇzzemo em o od odabr abrati ati τ  tako τ  tako da je p je p = = q q  ∈ ∈ Y A , ˇccime im e smo dokaz dokazali ali da vrijedi (b (b). Ovim je dokaz teor teoreme eme zavrˇssen. en. Uslov ⟨mi , u⟩ = k za za i = 1, . . . , s za s za neko neko u ∈ N i k > 0 zn znaˇ aˇccii da A le leˇzi u hiperravni koja ne sadrˇzi zi koordinatni poˇccetak, etak, a ako A posmatramo kao matricu A matricu A,, ov ovaj aj uslov za zapravo pravo znaˇci ci da vrsta (1 (1,, 1, . . . , 1) pripada matrici A matrici A.. Recimo sada joˇs neˇssto to o polugrupama pro projektivnog jektivnog torusnog varijeteta. s−1 Afin otvoreni podskup podskup U i = P \V V ((xi ) sad sadrˇ rˇzi zi tor torus us   T Ps 1 , pa je −

T X X = X A ∩ T Ps 1 ⊆ X A ∩ U i A

−

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

16

s−1 Kako je je X A Zariski zatvorenje od T od T X , X A ∩ U i je Zariski zatvorenje X u P s−1 od od T X . Dakle, Dakle, X A ∩ U i je afin torusni varijetet. X u U i ≃ C Neka je sada A = {m1, . . . , ms } ∈ M R . Odredimo Odred imo afinu po polugru lugrupu pu pridr pridruˇ uˇzzenu enu A

A

s−1

X A

∩

U i .

izomorfizam U i izomorfizam

dat sa ≃ C (x1 , . . . , xs ) → (xi /xi , . . . , xi−1 /xi , xi+1 /xi . . . , xs /xi )

Znamo da je

Imaj ući Imaju´ ci u vidu da je je χmj /χmi = χmj −mi i preslikavanje (1. (1.1) zakljuˇ zak ljuˇccujemo uj emo da je je X A ∩ U i Zariski zatvorenje slike preslikavanja s−1 T N N   → C Koje je dato sa t → (χm1 −mi (t), . . . , χmi

−1

−mi

(t), χmi+1 −mi (t), . . . , χms −mi (t))

Ako stavimo da je A i = A − mi = {m j − mi | j̸ = i } onda imamo da vrijedi X A ∩ U i = X Ai = Spec Spec((C[S i ]) gdje smo sa sa S i = N Ai oznaˇccili ili afinu polugrupu generisanu sa Ai . Tako smo dokazali slijed slijede´ ećcu u prop propozici oziciju: ju:

A = {m1 , . . . , ms } ∈ M R i  X X A ⊆ Propozicija 1.3.2. Neka je  A

Ps−1 . Tada je

X A ∩ U i afin torusni varijetet za koji vrijedi Spec((C[S i ]) ]),, X A ∩ U i = X Ai = Spec Gdje je   Ai = A − mi i   S i = NAi . Stavimo da je je P   P   = Conv Conv((A) ⊆ M R . P P    je politop. Razmotri Razmotrimo mo ukratk ukratkoo u kakvoj je vezi politop P   P   sa varijete arijetetom tom X A . Dime Dimenzi nzija ja pol polit itopa opa   P P    je dimenzija najmanjeg afinog podprostora od M od M R ko koji ji sa sadrˇ drˇzi P zi P  ˇ ˇssto to je za zapr pravo avo na najmanji jmanji pod podprostor prostor koji sadrˇzi zi skup A , pa je prema tome: dimX A = dimP = dimP Pokrivaˇc afinim skup skupovima ovima varijetet varijetetaa X A , odreden je vrhovima politopa politopa P ˇssto to se vidi iz slijed slijede´ eće ce prop propozicij ozicije: e: P    = Conv Conv((A) ⊆ Propozicija 1.3.3. Neka je   A = { m1 , m2 , . . . , ms } ⊆ M , P M R i neka je   J   = { j ∈ {1, . . . , s} | m j je vrh politopa P }. Tada je   X A = j ∈J  X A ∩ U  j .

∪

emo da jjee za za p proizvolj roizvoljno no i i ∈ {1, . . . , s}, X A ∩ U i ⊆ X A ∩ U  j , Dokaz: Pokazat ćcemo za neko j neko j ∈ J . Za dato i dato i ∈ {1, . . . , s}, m1 ∈ P ∩M   je Q−linearna kombinacija

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

vrhova politopa politopa P , P , tj. mi =

∑

j ∈J  k j m j gdje je

∑

j ∈J  k j =

17

1 i k j ≥ 0 ∈ Q

Mnoˇzze´ eći ci pos posljednj ljednju u jedna jednakost kost nazivn nazivnicima icima od k j dobijamo : km i =

∑

∑

j ∈J  k j m j i

∑

j ∈J  k j = k

je mi − m j ∈ S i za za   k j > 0. Sada je j ∈J  k j (m j − mi ) = 0, pa je Za takvo j je χmj −mi ∈ C[S i ], invertibilno pa je C[S i ]χmj mi = C[S i ], ˇsto znaˇ zn aˇci ci da je X A ∩ U i ∩ U  j = Spec Spec((C[S i ]) = X A ∩ U i −

a odavde imamo da je zaista X A ∩ U i ⊆ X A ∩ U  j . ˇcime ci me je dokaz do kaz zavrˇ zavrˇsen. se n. ze mo da je projektivno normalan   ako Za ireducibilan varijetet varijetet V   ∈ P n kaˇzemo n+1 normalan. Projektivno normalan varijetet je je njegov afin konus V   ⊆ C



uvijek normalan ali obrnuto ne mora da vrijedi ˇssto to nam pokazuje slijedeći ci primjer:

A ⊆ Z2 i neka  A A ˇcine cine kolone matrice kkoje oje nam daju Primjer 1.3.1 Neka je  A Loranove monome   s4 , s3 t,st3 , t4 . Politop   P  u Politop P  u ovom je sluˇccaju aju linijs linijski ki segment koji spaja taˇccke   ke   (0 (0,, 4) 4)   i   (4 (4,, 0)

Slika 1.1: koje odgovaraju monomima   monomima   s4 i   i   t4 . Afin po podsku dskupp koj kojii odgovar dgovaraa vrh vrhu u   (0 (0,, 4) ima koordinatni prsten 3

3

4

4

4

C[ ss t , sts , st ] = C[ st , ( st )3 , ( st )4 ] = C[ st ] koji je kao prsten polinoma, normalan 4

prsten.. Na isti naˇ prsten ccin in bi zaklju zakljuˇˇccili ili da je i ko koor ordinatn dinatnii prsten od   X A ∩ U 4

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

18

koji odgovara vrhu   (0, (0, 4) jednak prstenu   C[ st ] i takode takode je norm normala alan. n. Pr Prema ema prethodnoj propoziciji  X X A ∩U 1 i  X X A ∩U 4 ˇcine po pokkrivaˇc od od  X X A , pa zak z aklju ljuˇˇcujemo cuj emo da je   X A normalan normalan varijet varijetet. et. Ip Ipak, ak,   X A nije projektivn projektivnoo normal normalan. an. Pr Prema ema

 

teoremi   1.3.1. imamo da je X teoremi   X A = Y A = Spec( Spec(C[NA]) ]).. NA nije nij e za zasi´ sićcena e na polugrupa jer je npr. (1, (1, 3) + (3, (3, 1) = (4, (4, 4) = 2(2, 2(2, 2) ∈ N A ali   (2 (2,, 2)̸∈ ̸ ∈ N A, ˇsto st o zn znaˇ aˇci ci da va vari rije jetet tet X X  A nije normalan, pa   X A nije projektivno normalan.



1.4

Osno Osnove konv onveksne eksne geomet geometrij rije e

U ovom ćcemo emo pog poglavlju lavlju navesti osnovne ˇccinjenice inje nice o poli poliedral edralnim nim konusima i politopim politopimaa koje ćcee nam trebati u daljem razmatranju torusnih varijeteta. varijeteta. Većcinu inu ttvrdnj vrdnjii ćcemo emo navesti bez dokaza, a iz izostavlje ostavljeni ni dokazi i deta detalji lji se mogu naći ci u [12] [12] Neka su su N R i M R dua dualni lni vektorski prostori, pri ˇccemu emu su su   M M    i N   N   reˇsetke ke..

∑

u∈S  λ u u | λ u ≥ 0 } pr i ˇcemu pri ce mu je je    S S  k konaˇ onaˇccan an podskup od od    N R zovemo konveksni poliedralni konus generisan skupom   S . Definiˇ Defi niˇssemo emo da je  Cone je  Cone((∅) = {0}

Definicija 1.4.1 Skup Skup σ ⊆ N R oblika   σ = Cone Cone((S ) = {

Poˇssto to ćcemo em o raz razmat matrat ratii iskl iskljuˇ juˇccivo ivo konvek konveksne sne polied po liedral ralne ne konuse konus e zvat ćcemo em o ih kraćcee po poliedra liedralni lni konusi. Skup P   ⊆ N R oblika Definicija 1.4.2 Skup



P   P   = Conv Conv((S ) = {

u∈S

λu u | λu ≥ 0



λu = 1}

u∈S

prii ˇcemu pr ce mu je je    S  konaˇ konaˇcan can podsk podskup up od   N R zovemo politop. Kaˇze ze se joˇs da je   je   P   P   konveksno zatvorenje skupa   S . Konu se moˇzzemo Konuse em o dob dobiti iti iz polito po litopa pa na slij slijede´ edećcii naˇcin: cin : Pretpostavimo da je je P  politop P  politop iz iz N R . Tada je σ = {λ(u, 1) ∈ N R × R | u ∈ P, λ ≥ 0} konus u u N R × R. Ako je politop politop P   P   = Conv Conv((S ) onda je je σ = Cone = Cone((S × {1}). Dimenzijom poliedralnog konusa σ konusa σ zovemo zovemo dimenziju najmanjeg podprostora W    = Span W Span((σ ) od od N R ko koji ji sadrˇ sa drˇzzi i σ i ozn oznaˇ aˇccavamo avamo je sa sa dimσ dimσ Za nas je posebno vaˇ vaˇzzan an po pojam jam dualnog konusa.

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

19

Definicija 1.4.3 Za dati poliedralni konus   σ ⊆ N R njegov dualni konus

σ ∨ ⊆ M R de defin finiˇ iˇsemo se mo sa: sa : ∨

σ = {m ∈ M R | ⟨m, u⟩ ≥ 0, za sve u ∈ σ } Vrijedi Vrije di ssli lije jede´ deće: ce : σ ⊆ N R poliedralni konus. Tada je  σ σ ∨ poliedralni Propozicija 1.4.1. Neka je  σ konus u   M R i vrijedi: (σ ∨ )∨ = σ Neka je je m̸= 0 iz M iz M R . Skupom: H m = {u ∈ N R | ⟨m, n⟩ = 0} ⊆ N R je odredena hiperravan, a sa: +

H m = {u ∈ N R | ⟨m, n⟩ ≥ 0} ⊆ N R zatvoreni poluprostor od N od N R . Za H m kaˇzemo Za zemo da je nos je nose´ ećcaa hiperra hi perrava van n  poliedralnog poliedralnog konusa konusa σ ⊆ N R ako + + je je σ σ ⊆ H m , a za H za H m u tom to m sl sluˇ uˇcaju ca ju kaˇzemo ze mo da je nos je nose´ ećcii polu polupros prostor tor . H m je nose´ n osećcaa hip hiperravan erravan p poliedr oliedralnog alnog konusa konusa σ σ ako i samo ako m ako m ∈ σ ∨ \{0}. Prema tome, ako m ako m 1 , m2 , . . . , ms gen geneeriˇsu σ∨ onda je: + + + ∩ . . . ∩ H m ∩ H m σ = H = H m s 2 1

Dakle, svaki poliedralni konus je pr presjek esjek konaˇccno no mno mnogo go zzatvorenih atvorenih poluprosp oluprostora. Iskoristimo Iskorist imo sada nosećcu u hip hiperravan erravan i noseći ci polu poluprost prostor or da definiˇssemo emo stran stranee i stranice poliedralnog konusa. Definicija 1.4.4 Neka je   σ poliedralni konus i neka je   m ∈ σ ∨ .

τ   τ   = H m ∩ σ zovemo stranicom konusa   konusa   σ . Strani Stranicce   τ ̸ = σ zovemo pravim stranicama konusa   σ Stranice Stra nice pol poliedra iedralnih lnih konusa ima imaju ju slijed slijede´ ećcee vaˇ zzne ne osobin osobine: e: (a) Svak Svakaa stranica p poliedra oliedralnog lnog konu konusa sa je i sama poliedraln poliedralnii konus. (b) Presjek proizv proizvoljne oljne dvije stranice kon konusa usa   σ je opet stranica od od σ . (c) Stranica stra stranice nice kon konusa usa   σ je stranica konusa konusa σ.

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

20

(d) Ako je je τ   τ   stranica konusa konusa σ i ako za za u, v ∈ σ,onda iz iz u + v + v ∈ τ   τ   slijedi da da   u, v ∈ τ . τ . Stranicu τ   τ   konusa konusa σ kodimenzije 1, tj dimenzije jednake dimσ jednake dimσ − 1, zovemo stranom konusa   σ , a stranicu dimenzije 1 zovemo ivicom konusa. Vrijedi Vrije di ssli lije jede´ deće: ce : Propozicija 1.4.2. Neka je   σ ⊆ N R ≃

Rn poliedralni konus.

(a) Ako je  dimσ dimσ = m i ako su   τ i = H mi ∩ σ , mi ∈ σ ∨ , i = 1, . . . , s strane s strane + + + konusa  σ onda σ onda je  σ σ = H m ∩H m . . .∩H m i  σ σ ∨ = Cone Cone((m1, m2 , . . . , ms ); s 1 2 (b) Svaka prava prava str stranic anica a    τ   τ   od   σ je presjek strana konusa   konusa   σ koje ko je sa sadrˇ drˇze ze stranicu    τ stranicu Neka je je τ  stranica konusa σ ⊆ N R . Stavimo da je : τ  stranica poliedralnog konusa τ ⊥ = {m ∈ M R | ⟨m, u⟩ = 0 ∀u ∈ τ } τ ∗ = {m ∈ σ∨ | ⟨m, u⟩ = 0 ∀u ∈ τ } = σ ∨ ∩ τ ⊥ Stranicu τ ∗ zovemo zovemo dualnom dualnom stranic stranicom om  stranice stranice τ   ˇssto t o op oprav ravdavam davamoo slije sl ijede´ dećcom om propozicijom: Propozicija 1.4.3. Neka je   τ   τ   stranica poliedralnog konusa   konusa   σ i neka je

τ ∗ = σ ∨ ∩ τ ⊥. Vrijedi sli slijede´ jedećce: e: (a) τ ∗ je stranica stranica konusa   σ∨ ; (b) Pr Preslika eslikavanje vanje   τ   → τ ∗ je bijektivna koresp korespondencija ondencija izmedu stranic stranica a konusa   σ i stranica konusa   σ∨ ; (c) dimτ  + + dim τ ∗ = n. n . nam (vna σ) oznaˇ ccava avssnjost anjna najmanji jmanji vektorski podprostor dprostor prostora prostora N N R koji sNeka adrˇzinam Span σ . Span( Relati Relativna unut unutraˇ raˇ ost  konusa konusa σ , kojupo obiljeˇ zzavamo avamo sa sa Relint Relint( (σ ), je unutraˇssnjost njost prostora prostora Span Span((σ ) i odredena je sa: u ∈ Relint Relint((σ) ⇔ ⟨m, u⟩ > 0 ∀m ∈ σ ∨ \σ ⊥ Ako je je τ   τ   stranica konusa konusa σ i τ ∗ = σ ∨ ∩ τ ⊥ njena dualna stranica u konusu σ ∨ , onda za za m ∈ σ ∨ vrijedi: m ∈ τ ∗ ⇐⇒ τ   ⊆ H m ∩ σ m ∈ Relint Relint((τ ∗ ) ⇐⇒ τ   = H m ∩ σ Prema tome tome,, rrelativ elativna na u unutraˇ nutraˇssnjost njos t Relint Relint((τ ∗ ) nam odreduje koje hiperravni konusa   σ isjecaju stranicu τ konusa stranicu τ ..

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

21

Posebno će ce nas interesov interesovati ati konusi ˇccija ija je jedna od stranica koordinatni poˇccetak etak i koja predsta predstavlja vlja vrh posmatranog konusa. Takv akvee kon konuse use zov zovemo emo strogo konveksnim . n

Ako je je σ ⊆ N R ≃ R poliedralni konus, slijedeći ci uslovi su ekvivalen ekvivalentni: tni: • σ je strogo konveksan poliedralni konus;

• {0} je stranica konusa konusa σ; zi pozitivno-dimenzionalan po podprostor dprostor od od N • σ ne sadrˇzi N R ;

• σ ∩ (−σ ) = {0} • dimσ ∨ = n Navedimo sada tvrdn tvrdnju ju koj kojaa će ce za nas biti od pos posebno ebnogg zznaˇ naˇccaja, a ja, a ko koju ju ćcemo emo zvati lema zvati lema o separaciji  i i iz koje slijedi da dva konusa koji se sijeku po stranici svakog od od n njih jih moˇzzemo emo razdvo razdvojiti. jiti. i   σ2 poliedralni konusi u prostoru   prostoru   N R takvi da je Lema 1.4.4. Neka su   σ1 i   τ   = σ 1 ∩ σ2 stranica svakog od njih. Tada je: τ   = H m ∩ σ1 = H m ∩ σ2 , za svako svako m ∈ Relint Relint((σ1∨ ∩ σ2∨ ) zzimo imo najprij na jprijee da je je σ1∨ ∩ (−σ2∨ ) = (σ1 − σ2 )∨ . Imamo: Dokaz: Pokaˇ m ∈ σ1∨ ∩ (−σ2∨ ) ⇐⇒ ⟨m, u⟩ ≥ 0 ∀u ∈ σ1 i ⟨m, u′ ⟩ ≥ 0 ∀u′ ∈ σ2 ⇐⇒ ⟨m, u − u′ ⟩ ≥ 0 ∀u − u′ ∈ σ1 − σ2 ⇐⇒ m ∈ (σ1 − σ2 )∨ Uzmimo sada proizvoljno m ∈ Relint( Relint(σ1∨ ∩ σ 2∨ ). Zbog prethodno reˇ cenog cenog ∨ imamo da m ∈ (σ1 −σ2 ) To znaˇ znaˇci ci da po polu lurava ravan n H m isjeca minimalnu stranicu od od σ1 − σ2 , pa je: H m ∩ (σ1 − σ2 ) = (σ1 − σ2 ) ∩ (−(σ1 − σ2)) = (σ (σ1 − σ2) ∩ (σ2 − σ1 ) Pokaˇ zzimo imo sada da je (σ1 − σ2 ) ∩ (σ2 − σ1 ) = τ   − τ . τ . Inkluzija τ Inkluzija τ  − τ   ⊆ (σ1 − σ2 ) ∩ (σ2 − σ1 ) je oˇccigled ig ledna. na. Neka je sada x ∈ (σ1 − σ 2 ) ∩ (σ ( σ2 − σ 1 ) proizv proizvoljno. oljno. To znaˇ ci ci da postoje a1 , a2 ∈ σ 1 i b1 , b2 ∈ σ 2 takvi da je je x = a = a 1 − b1 = b 2 − a2 . Tada je je a1 + a + a2 = b1 + b 2 ∈ σ1 ∩ σ2 = τ , τ , a odatle imamo da a1 , a2, b1 , b2 ∈ τ  ˇ τ  ˇssto t o zn znaˇ aˇci ci da je x ∈ τ  − − τ , ˇccime ime je gornja jednakost dokazana.

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

22

Sada imamo da vrijedi: H m ∩ (σ1 − σ2 ) = τ  − − τ Uzmimo presjek posljednje jednakosti sa sa σ1. Imamo da je H m ∩ (σ1 − σ2 ) ∩ σ1 = H = H m ∩ σ1 , a vrijedi i (τ (τ   − τ ) τ ) ∩ σ1 = τ . τ . Naime, 1 1 2 Neka je znaˇ iime d daa p posto ostoje je t t 1 , t2 ∈da τ  takvi takvi daτ ) je ∈ t(τ 2 − Tada je x je x je x + t + =τ t)1∩ ∈σ τ , τ ., T xo ∈zn τ , τ aˇ , cci ˇccime smo pokazali je (τ   − τ je x ) x = ∩ = t σ1 t ⊆− τ , τ ,t a. kako je obrnut obrnutaa inkluz inkluzija ija oˇccigledna igled na naˇssaa jedna jednakost kost vrije vrijedi. di. Iz svega reˇccenog enog zakljuˇccujemo ujem o da je H m ∩ σ1 = τ , τ , a na sliˇccan an naˇcin cin bi po posma smatra tra jući ci (−σ2 ) umjesto σ1 zak zakljuˇ ljuˇccili ili da je i H m ∩ (−σ2 ) = τ , τ , ˇcime ci me je dokaz leme kompletiran. Definiˇssimo imo sa sada da i p pojam ojam racionalnog poliedralnog konusa:

zzemo emo da je poliedralni konus konus    σ ⊂ N R racionalan ako je Definicija 1.4.5 Kaˇ σ = Cone = Cone((S ) pri pri ˇccemu e mu je je    S  konaˇ konaˇcan can podsk podskup up od   N Ako je σ je σ = Cone = Cone((S ) pr prii ˇcemu ce mu je S je S  konaˇ konaˇccan an podsk po dskup up od od N N ,, i N Q = N onda je: σ ∩ N Q = { λu u | λu ≥ 0 u Q}

⊗

Z Q,



u∈S

Za takve konuse skup kanonskih gener generatora atora konstru konstruiˇ iˇssee se na slijed slijede´ eći ci naˇcin: cin: Neka je ρ ivica konusa σ . Poˇssto to je σ strogo konveksan, ρ je poluprava, a kako je ρ je ρ racionalno, racionalno, polugrup p olugrupaa ρ ∩ N  je je generisana jedinstvenim elementom u ∈ ρ ∩ N  koji N  koji zovemo generator zovemo generator zrake   ρ. Generato Generatore re zraka ivica ivica konus konusaa σ zvat ćcemo e mo minimalni generatori  strogo strogo kon konveks veksnog nog racional racionalnog nog poliedraln poliedralnog og konusa. Prema tome, strogo konveksni racionalni poliedralni konus generisan je generatorima zraka svojih ivica. Za racionalni poliedralni konus konus σ maksimalne dimenzije postoje jedinstveno odredene normale na strane jednake generatorima zraka ivica dualnog konusa σ ∨ koji je takode strogo konveksan konus. Za strogo konveksni racionalni poliedralni konus konus σ ⊆ N R kaˇzzemo e mo da je reguje regularan ili gladak  ako ako njegovi minimalni generatori ˇccine ine podskup Z-baze u u N , a da je simplicijalan je simplicijalan  ako ako minimalni generatori ˇccine ine linearno nezavisan skup nad poljem R . Politop smo definisali kao konveksno zatvorenje konaˇ ccnog nog skupa skupa S S  ⊆ M R tj. P   Dimenzi enzijom jom pol politop itopaa P P   = Conv( Conv (S )).. Dim P    zovemo dimenziju najmanjeg afinog podprostora od M od M R ko koji ji sadr sa drˇˇzi P zi P .. Svaka stranica politopa P politopa P  je je i sama politop. Posebno vaˇ zzni ni tip tipovi ovi stranica politopa su vrhovi (st (stranice ranice dimenzije 0), ivice (stranice dimenzije 1) i strane (stranice kodimenzije 1). Sliˇccno no kao i kod poliedralnih konusa i za stranice politopa vaˇ vaˇze ze slijedećcee tvrdnje: (a) Po Polit litop op   P   P   je konveksno zatvorenje svojih vrhova;

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

23

(b) Ako je je P   P   = Conv Conv((S ) onda svaki vrh od P od P  pripada pripada skupu skupu S ; (c) Stranica sstranice tranice poli politopa topa   P  je P  je stranica politopa politopa P P ;; (d) Svak Svakaa prav pravaa stranica stranica   Q od P   P   je presjek svih strana politopa P P    koje sadrˇ sad rˇze ze str strani anicu cu   Q. Reći ci ćcemo e mo da po polit litop op P   ⊆ M R ima ima maksimalnu maksimalnu dimenziju  ukoliko ukoliko je dim((P ) dim P ) = dimM R Takv akvii poli politopi topi imaju prez prezen entaci taciju ju u obl obliku iku pres presjek jekaa zatv zatvoren orenih ih polup poluprosrostora jer za svaku stranu posto postoji ji jedinstvena nosećcaa afina hiperravan i noseći ci zatvoreni poluprostor koje redom oznaˇccavamo avamo sa:

Slika 1.2: H FF    = {m ∈ M R | ⟨m, uF ⟩ = −aF } i H F + = {m ∈ M R | ⟨m, uF ⟩ ≥ −aF } pri pr i ˇccemu e mu je uF prema unutra usmjerena normala na stranu F F    politopa P P .. Prema tome, P   =



H F + = {m ∈ M R | ⟨m, uF ⟩ ≥ −aF  za sve strane F od P }

F strana od P

gdje su su uF   i aF  jednoz j ednoznaˇ naˇccno no odr odredeni edeni do na mnoˇzzenje enje nenulto nenultom mp poziti ozitivnom vnom konstantom. Definiˇ Defi niˇssimo imo sad sadaa neke vaˇzzne ne kla klase se po polito litopa: pa: Definicija 1.4.6 Neka je   P   ⊆ M R politop dimenzije   d

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

24

(a) Pol Polito itopp P  je P  je simpleks ili   d−simpleks ukoliko ima   d + 1 vrhova; (b) P  je P  je simplicijalan politop ako je svaka strana od   P P    simpleks; (c) P  je P  je prost politop ako je svaki vrh od   od   P P    pres presje jekk taˇcno cn o d strana. Primjere simpl simpleksa, eksa, simpl simplicijal icijalnog nog i prostog politopa imamo na slijed slijede´ ećcoj oj slici:

Slika 1.3: Neka su sada M sada M    i N  d N  dual ualne ne reˇssetke et ke i M R i N R pr pridruˇ idruˇzzeni eni vektors vektorski ki prospoli top p reˇ setk se tke e  ako je tori. Kaˇzzemo emo da je je P   ⊆ M R polito je P P    konveksno zatvorenje konaˇ kon aˇcnog cn og sku skupa pa   S   ⊆ M M .. Moˇzzee se pokazat pokazatii da je je P  p P  politop olitop reˇssetke etke ako i sa samo mo ako svi njegovi vrhovi leˇzzee unu unuta tarr te reˇsetke setke.. Ako je P   P   politop reˇssetke etke i ako ima maksi maksimaln malnu u dimenzi dimenziju ju onda je njegov njegovaa prezentacija u obliku presjeka nosećcih ih poluprostor poluprostoraa posebno vaˇ vaˇzzna. na. Naime, ako je je F F    strana od od P   P   onda prema unutra usmjerena normala na F F    leˇ leˇzi na zraki iz N iz N R. Ako sa u sa u F   oznaˇccimo imo je jedinstveni dinstveni generat generator or te zrake, z rake, onda je i a F cio broj jer je ⟨m, uF ⟩ = −aF , pri ˇccemu emu je m vrh strane strane F F .. Tako dola dolazimo zimo do jedinstvene prezentacije politopa reˇssetke etke P P  u u obliku: P   P   = { m ∈ M R | ⟨m, uF ⟩ ≥ −aF  za svaku stranu F od P } Vidjet ćcemo emo kasnije kako se poli politopim topimaa pr pridruˇ idruˇzzuju uju torus torusni ni varijeteti. varije teti. Ponekad se, medutim moˇze ze desiti da je skup skup   P   ∩ M M    pre previˇ viˇssee mal malii da bi sad sadrˇ rˇzzavao avao dovoljno volj no podataka koji bi taj torusni vari varijetet jetet oodredili dredili.. Postoje dv dvaa naˇ cina cina da ka kaˇˇzzemo emo da je posmatrani politop ” dovoljno veliki” da bi potpuno p otpuno okarakterisao torusni varijetet i oba ćcemo emo sada ukratko rrazmotriti. azmotriti. politop P   kaˇ zemo zemo da je normalan normalan ako za sve   k ∈ N Definicija 1.4.7 Za politop vrijedi:

kP )) ∩ M + P   ∩ M + P   ∩ M P   ∩ M  + P  + . . . + P  = (kP k puta

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

25

Svaki politop reˇsetke setke dimenzije 1 je normalan politop. Standardni simpleks ∆n ⊆ Rn je, takode normalan ali kak kakoo ćcemo emo vidjeti u slijedećcem em primjeru, ˇcak cak ni svaki simpleks n nee mora biti normalan politop. P   = Conv Conv(0 (0,, e1, e2 , e1 + e2 + 3e3 ) ⊆ Primjer 1.4.1 Neka je   P

R3 . Jedine Jedi ne taˇccke ke

reˇ reˇsetke   Zn koje su zajedni zajedniˇˇccke ke sa ovim politop politopom om su njegovi vrhovi. P P    nije normalan politop jer imamo linearnu kombinaciju taˇccaka aka iz iz    P P ,, tj, njegovih vrhova vrh ova koj kojaa nij nijee taˇccka ka reˇssetke etk e od   P : P : 1 1 + e2 + e + e3 = 6 (0) + 3 (2e (2e1 ) + 13 (2e (2e2 ) + 16 (2 (2ee1 + 2e 2 e2 + 6e 6 e3 ) ∈ 2P   ∩ M e1 + e

Slika 1.4: Navedim Nave dimoo sad sadaa (bez dok dokaza) aza) teor teorem emu u i njen njenu u poslj posljedic edicu u koje ćcee nam biti korisne kasnije: Teorema 1.4.5. Ako je   P  politop P  politop re reˇˇssetke etke koji ima maksima maksimalnu lnu ddimenzij imenziju u   n

i ako je   n ≥ 2 onda je   kP kP  normalan normalan politop za sve   k ≥ n − 1. Svaki aki poligon re reˇˇssetke etke je normal normalan an politop. Posljedica 1.4.6. Sv Norma lnost poli Normalnost politopa topa moˇzzemo emo interpr interpretira etirati ti i u te terminim rminimaa konusa na sl slijede´ ijedeći ci naˇcin: Za svaki politop P   P   moˇzzemo emo pos posmatra matrati ti konus C (P P )) = Cone( Cone(P   × {1}) ⊆ M R × R. Moˇzzee se pokazati da ako je P  p P  politop olitop reˇssetke etke onda je je P P    normalan ako i samo ako (P (P ∩M )×1 gene g eneriˇ riˇssee p polu olugru grupu pu C C (P P ))∩(M ×Z) Defi D efiniˇ niˇssimo im o sad s adaa ˇssta ta znaˇci ci da je po politop litop veoma sadrˇzajan za jan i po podsjet dsjetimo imo se definic definicije ije zasićcene ene polugrupe.

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

26

M  kaˇ kaˇzemo zemo da je zasi´ zas ićena cena ili sat sat-Definicija 1.4.8 Za afinu polugrupu   S   ⊆ M urirana ako za svako svako k ∈ N\{0} i   m ∈ M M    iz   km ∈ S  slijedi slijedi da je i   m ∈ S . Primjer zasićcene ene afine polugrup polugrupee je S je S σ ∩ M , gdje je σ je σ ⊆ N strogo racionalan poliedralni konus. politopp reˇssetke etk e   P   ⊆ M R kaˇzemo ze mo da je veoma veom a sa sadrˇ drˇzzaja a jan n Definicija 1.4.9 Za polito ako je za svaki njegov vrh   m polugrupa   S P,m ∩ M − m) generisana sa P,m = N(P  ∩ P   ∩ M  − − m = {m′ − m | m′ ∈ P   ∩ M } saturirana u M. Vrijedi Vrije di ssli lije jede´ deće: ce : normalan lan politop re reˇˇssetke etke je veoma sadrˇzajan zajan poliPropozicija 1.4.7. Svaki norma top. P   proizvoljan vrh i neka je m ∈ M M    takvo da je Dokaz: Neka je m0 ∈ P   km ∈ S P,m broj k ≥ 1. P,m0 za neki cio broj km = km =

′

m′ ∈P ∩M  a m (m

∑

Neka je sada sada d ∈ N takvo da je je kd ≥ km + km + kdm kdm 0 =

′

′

′

∑

− m0 ), ),   a′m ∈ N ′

m′ ∈P ∩M  a m .

(kd − am m + (kd

m′ ∈P ∩M



Sada je : a′m )m0 ∈ kdP

m′ ∈P ∩M

Dijeljenjem sa Dijeljenjem sa k sada dobijamo da je je m + dm + dm0 ∈ dP dP ,, a kako je je P P    normalan d gdje m i ∈ P   ∩ M M  za za sve sve i, pa je politop m politop m + + dm dm0 = i=1 mi , gdje m d m = i=1 (mi − m) ∈ S P,m sto st o zn znaˇ aˇccii da je S P,m zas asi´ ićcena e na,, ˇcime ci me je do dokaz kaz P,m0 ˇ P,m0 z zavrˇ av rˇssen e n. Iz posljednje propozicije i teoreme 1. 1 .4.5 dobija d obijamo mo slijed slijede´ ećcu u posljedic pos ljedicu: u:

∑

∑

reˇˇssetke etke maksim maksimalne alne diPosljedica 1.4.8. Neka je   P   ⊆ M R ≃ Rn politop re menzije jednake   n. Tada vvrij rijedi edi sslij lijede´ edećce: e: (a) Ak Akoo je  dim( dim (P ) P ) ≥ 2 onda je  kP k P  veom veomaa sa sadrˇ drˇzajan zaj an pol polito itopp za sve  k k ≥ n − 1 (b) Ako je  dimP   dimP   = 2 onda je   P   P   veoma veom a sad sadrˇ rˇzzajan aj an polit politop. op.

1.5 1. 5

Kon Konusi usi i afini afini tor torus usni ni var varij ijet etet etii

Neka je je σ ⊆ N R rac racion ionaln alnii poli p oliedr edraln alnii konus. ko nus. Taˇ ccke ke reˇssetke et ke S σ = σ ∨ ∩ M   ⊆ M formira ju polugrupu, a prema slijedećoj formiraju co j lemi, ta je polugrupa konaˇ cno cno generisana.

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

27

Lema 1.5.1. Ako je   σ ⊆ N R racionalni poliedralni konus onda je

S σ = σ ∨ ∩ M M  afina afina polugrupa. postoji ji konaˇ ccan an podskup pod skup Dokaz: σ ∨ je racionalni poliedralni konus pa posto

∑

T   ⊆ M M  takav takav da je σ je σ ∨ = Cone Cone((T ). T ). Skup Skup K   = { m∈T  δ m m | 0 ≤ δ m 1 i m ∈ M M .. Tada je k je km m = m = m 1 − m2 ∨ ∨ ∨ za m za m1 , m2 ∈ S σ = σ ∩ M a σ je konveksan skup imamo Poˇsto m1 , m2 ∈ σ , a σ M .. Poˇ da je m + m2 = k1 m1 + k−k 1 m2 ∈ σ ∨ Odatle slijedi da je : m = (m + m + m2 ) − m2 ∈ ZS σ

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

28

pa je je M/ ZS σ bez torzije. Prema tome, torusU torus U σ je je T N N   ⇔ Z S σ = M   ⇔ rang ZS σ = n σ je strogo konveksno ako i samo ako je dimσ ∨ = n, a dimenzija afinog torusnog varijeteta jednaka je dimenziji nje njegovog govog torusa, ˇssto to je jednako rangu reˇssetke etke karaktera, p paa sada imamo da je: dimU σ = n ⇔ rangZS σ = n ⇔ dimσ ∨ = n ˇ e je dokaz zavrˇssen. Cime Cim en . V   = Spec Spec((C[S ]]) afin ) afin torusni varijetet afine poluPropozicija 1.5.3. Ako je   V   grupe   S , onda postoji bijektivna korespondencija izmedu: (a (a)) Taˇcaka ca ka    p ∈ V V ;; (b) Maksim Maksimalnih alnih ide ideala ala   m ⊆ C[S ]; (c) Homomorfizama polugrup polugrupa a   S S  −→ −→ C, gdje C smatramo multiplikativnom polugrupom. Ekvivalencij alencijaa (a) ⇔ (b) je pozna poznata ta ˇcinjeni cinjenica ca iz alg algebar ebarsk skee geDokaz: Ekviv ometrije, dok ekvivalencija (a (a) ⇔ (c) vaˇzi zi sam samoo u sluˇccaju a ju tor torusn usnih ih varij varijete eteta. ta. Dokaˇzzimo imo najprij na jprijee da (a) ⇒ (c) Neka je p je p ∈ V proizvoljno. Kako je C[S ] = C[V ], moˇzzemo emo defini definisati sati presl preslikaikaV  proizvoljno. V ], vanje   ϕ : S vanje : S  → → C sa sa ϕ(m) = χ m ( p) p) ∈ C. Jasno, ϕ p (m1 + m + m2 ) = χ m1 +m2 ( p) p) = χ m1 ( p) p)χm2 ( p) p) pa je je ϕ p homomorfizam polugrupa. (c) ⇒ (a). Neka je je γ   : S   → C homomorfizam polugrupa i neka A = {m1 , m2 , . . . , ms } ge gener ne riˇse se S S    tako da je V V    = Y A ⊆ Cs . St Staavimo vimo d daa s je p = (γ (m ), . . . , γ ( m )) ∈ i pokaˇ po kaˇzzimo im o da p ∈ V V .. Pr Prem emaa te teor orem emii s 1 α β C zzemo 1.2.1. (c) dovoljno će ce biti da pokaˇ emo da se se   x − x p on oniˇ iˇsstava t ava u p za sve s α = (a1 , . . . , as ) i β   β   = (b1 , . . . , bs ) za ko koje je vaˇzi zi i=1 ai mi = si=1 bi mi . Kako je je γ γ  homomorfizam homomorfizam polugrupa imamo da je

∑

∑

s

 i=1

s

ai



γ (mi ) = γ (

s



ai mi ) = γ (

i=1

i=1

s

bi mi ) =



γ (mi )bi

i=1

ˇsto znaˇci da p ∈ V V    ˇcime ci me je do dokaz kaz zavrˇ zavrˇsen. se n. Razmotrit ćcemo emo sada djelov djelovanje anje torusa T N V    i dok dokazat azatii N na varijetet V propoziciju koja ćcee nam trebati kasnije u dokazu teore teoreme me o orbitalno orbitalnojj dekom∗ s s poziciji torusnog varijeteta. Djelovanje torusa ( C ) na C inducira djelov djelovanje anje

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

29

torusa T N torusa na   Y A . Opiˇssimo imo to djelov djelovanje anje u terminima h homomorfizama omomorfizama poluN   na grupa   S   i C . grupa Fiksirajmo   t ∈ T N Fiksirajmo V    i sa sa ϕ p ozn oznaˇ aˇccimo imo homomo homomorfizam rfizam sa S   S   u C koji N i p ∈ V odg dgovar ovaraa taˇccki k i p. Tada je p = p = (ϕ p (m1 ), . . . , ϕ p (ms )) i t = (χm1 (t), . . . , χms (t)) (χm1 (t)ϕ p (m1 ), . . . , χms (t)ϕ p (ms )) t· p = p = (χm1 (t), . . . , χms (t))·(ϕ p (m1 ), . . . , ϕ p (ms )) = (χ Pokaˇzzimo im o da je i m → χm ϕ p (m) homomorfizam polugrupa polugrupa S   i C . Zaista, za za m1 , m2 ∈ S   je χm1 +m2 (t)ϕ p (m1 + m + m2 ) = (χm1 (t)ϕ p (m1 ))( ))(χ χm2 (t)ϕ p (m2)) Ov o znaˇ Ovo naˇci ci da taˇ taˇccka ka t · p odgovara p odgovara homomorfizmu homomorfizmu χm (t)ϕ p (m), ˇssto to nam da daje je zgodan opis djelovanja torusa na torusni varijetet. Za afinu pol polugrup ugrupu u kaˇzzemo emo da je ta je taˇˇcka kassta ta  ako ako je je S ∩ (−S ) = {0} V    torusn torusnii va varijetet rijetet.. vrijedi slijedećce: e: Propozicija 1.5.4. Neka je   V (a) Ako je   V V    = Spec Spec((C[S ]]) onda ) onda djelovanje torusa ima fiksnu taˇccku ku ako i samo ako je   S  taˇ taˇcckasta kasta polugrupa i u tom je sluˇcaju caju jedinstvena fiksna taˇccka ka odredena homomo homomorfizmom rfizmom polugrupa   S   −→ C datim sa: m →



1, m = 0 0, m̸= 0

(1)

(b) Ako je   V V    = Y A ⊆ Cs za   A ⊆ S \{ \{0} onda djelovanje torusa ima fiksnu taˇccku ku ako i samo ako 0 ∈ Y A i u tom je sluˇcaju caj u fiksna fiks na taˇccka ka uprav upravoo 0. Dokaz:

(a) Neka je je p ∈ V V    proizvoljno i neka je ϕ p : S   → C homomorfizam kojim je taˇccka ka p odredena. p je fiksna taˇccka ka torusnog djelov djelovanja anja ako i samo ako je m N Oˇ χ (t)ϕ p (mzadovoljena ) = ϕ p (m) iza to m za =sve m je S S   (0) i t ∈ ccigledno igledno ∈    ϕ jednakost za 0 jer je = T 1, a. ako je m̸ =je0 posljednja je onda za t p za koje je χ je χ m (t)̸= 0 imamo da je ϕ je ϕ p (m) = 0, pa ako fiksna taˇcka cka posto ji ona je jedinstvena i data je sa (1), a (1) je homomorfizam grupa ako i samo ako je je S S  taˇ taˇcckasta kast a polug po lugrup rupa. a. (b) Pretpostavimo da V da V    = Y A ⊆ Cs ima fiks fiksnu nu taˇccku. ku . U to tom m je sluˇccaju a ju p polu olu-grupa S   = NA taˇ taˇcckasta kas ta i jjed edin inst stven venaa fi fiks ksna na taˇcka p cka p data je sa (1). A ⊆ S \{ \{0}, s a iz tvrdnje tv rdnje po pod d (a) zaklj zakljuˇ uˇccujemo ujem o da je je p p koo koordi rdinat natni ni poˇ p oˇccetak et ak u C pa 0 ∈ Y A . s Obrnutaa tvr Obrnut tvrdnja dnja sslijedi lijedi iz ˇccinjenice inje nice d daa je 0 ∈ C fiks fiksna na taˇcka cka djel d jelovanja ovanja (C∗ )s , ∗ s ccime i me je do dokaz kaz zav zavrˇ rˇsen. sen. a T N N   ⊆ (C ) , ˇ Za V Za V    = U σ pre pretho thodnu dnu pro propo pozic ziciju iju moˇzzemo em o iiskaza skazati ti na slij slijede´ edeći ci naˇcin: cin :

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

30

Posljedica 1.5.5. Neka je   σ ⊆ N R strogo konveksan racionalni poliedralni

konus. Djelovanje torusa na   U σ ima fiksnu taˇccku ku aako ko i samo ako je  dimσ = dimσ = dimN R i u tom je sluˇ ccaju aju fiksna taˇccka ka jedinstvena i odr odredena edena maksimalnim idealom

⟨χm | m ∈ S σ \{0}⟩ ⊆ C[S σ ]

gdje je   S σ = σ ∨ ∩ M . Pogleda jmo sada ˇssta ta znaˇccii d daa jjee ttorusn orusnii varije varijetet tet normalan. norm alan. V    afin torusni varijetet sa torusom   T N Sli jedećci i Teorema 1.5.6. Neka je   V N . Slijede´ uslovi su ekvivalentni: (a) V je norma normalan lan varij varijete etet t (b) V V    = Spec Spec((C[S ]]), ), gdje je   S  zasi´ za sićcena ena afin afinaa polugr polugrupa upa (c) V V    = Spec( Spec(C[S σ ])(= U σ ), gdje je   S σ = σ ∨ ∩ M , a a    σ ⊆ N R je strogo konveksan racionalni poliedralni konus. V    afin torusni varijetet sa torusom T N V    = Spec( Spec(C[S ]])) Dokaz: Neka je V N . V za afinu polugrupu polugrupu S . Nek Neka je je   M M    = Z S   reˇsetka set ka kara karakte ktera ra torusa tor usa T N N  i neka je je   n = dim dim((V V )) tj. ne nek ka je je   M   ≃ Zn . Dokazat ćcemo emo implik implikacije acije (a) =⇒ (b), (b) =⇒ (c) i (c) =⇒ (a). (a) =⇒ (b) Neka je V normalan v vari arijete jetet. t. Tada je C[S ] = C[V V    normalan V ]] cijelo zatvoren u svom polju razlomaka C(V V ). ). Uzmimo Uzmimo pr proizv oizvolj oljno no   km ∈ S   S   za m neko k neko k ∈ N\{0} i m ∈ M . χ je polinomna funkcija na na T T N N , pa je racionalna na na   V V    jer je je T N V .. Takode akode,, χkm ∈ C[S ] N Zariski otvoren podskup varijeteta V jer k jer km m ∈ S . Sada je χ je χ m kori korijen jen normali normaliziranog ziranog polinoma polinoma X X k − χkm sa koefim

], tj. cijentima [S ], si´ ], ˇssto to prema defini definiciji ciji norma normalnost lnostii znaˇci ci da je χ je χ ∈ C[S ], m ∈ S , paizje je C S zasi za ćena ce na. . (b) =⇒ (c) Pretpostavimo da je S S    zasićcena ena afina polugrupa i nek nekaa je A konaˇccan an gen genera erator tor od S . S  leˇ leˇzzii u racio racionalno nalnom mp poliedr oliedralnom alnom konusu Cone Cone((A) ⊆ je dimCone((A) = n. M R , a rang ZA = n implicira da je dimCone n . Odavde imamo da je ∨ σ = Cone = Cone((A) ⊆ N R strogo racionalni poliedralni konus za koji je S   = σ ∨ ∩M jer je je   S   saturirano. (c) =⇒ (a) Trebamo pokazati da je C[S σ ] = C[σ ∨ ∩ M M ]] normalno kada je σ ⊆ N R strogo konveksan konveksan racionalni poliedraln poliedralnii konus. Pretposta Pretpostavimo vimo da je ∨ r konus   σ generisan zrakama konus zrakama ρ1 , . . . , ρr . Tada jjee σ = ∩i=1 ρi . Pre Presj sjek ek sa sa   M r r daje nam S σ = ∩i=1 S ρi , odakle slijedi da je i C[S σ ] = ∩i=1C[S ρi ]. Ako Ako je svaki od C [S ρi ] norma normalan lan onda će ce i C [S σ ] biti normalan pa trebamo pokazati

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

31

da je C [S ρ ] normalan prsten ukoliko je je ρ racionalna zraka u u N R . Neka je je u ∈ ρ ∩ M M  minimalni minimalni generator zrake zrake ρ. To znaˇci ci da je k1 u ∈ / N   N   za k > 1. Zb Zbog og tog togaa m moˇ oˇzzemo em o n na´ aći ci baz bazu u ood d N N  za za koju je u je u = = e e 1, pa bi tada imali da je je ρ = Cone = Cone((e1 ). To bi znaˇccilo ilo da je C[S ρ ] = C[x1 , x±2 1 , . . . , x±n 1 ] Kako je C[x1 , . . . , xn ] domen sa jednozna jednoznaˇˇccnom nom faktori faktorizacijom, zacijom, on je i normalan pa je normalna i njegova lokalizacija

C[x1 , . . . , xn ]x

1 ...xn

1 ±1 = C[x1, x± 2 , . . . , xn ]

Ovim Ovi m jjee dokaz zavrˇssen. en .

Cone(3 (3ee1 − 2e2 , e1 ) ⊆ R 2. Neka je Primjer 1.5.1 Posmatrajmo konus   σ = Cone

Slika 1.5: N   = Z2 . Dualni Dualni konus konus konusa konusa   σ je   σ ∨ = (−e2 , 2e1 + 3e2 ). Afina po polugru lugrup pa ∨ S σ = σ ∩ M   generisana je kolonama matrice

( 0

1 2 −1 1 3

)

Pripadni torusni varijetet   U σ je Zariski zatvorenje slike preslikavanja 1 , t1 t2 , t21 t32 ) Φ(t1 , t2) = (t− 2

Torusni ideal ovog varijeteta je   ⟨y 2 − xz ⟩ pa je dakle, U σ = V  (y 2 − xz ).

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

32

Slika 1.6: Primjer 1.5.2 Neka je   σ = Cone(e1 , e2 , e1 + e3 , e2 + e3 ) ⊆ N R = R3 , gdje je N   = Z3 . Dualni Dualni konus ovog konusa konusa je   σ ∨ = Cone(e1 , e2 , e3 , e1 + e2 − e3 ).

Taˇ Ta ˇ cke cke re reˇ ˇsetke setk e dualnog dual nog konus k onusa a generisa gene risane ne su kolonama kolo nama matrice matr ice

1 0

0 0 1 1 0 1 0 0 1 −1

 

S σ ⊆ Z3 sastoji se od svih   N−linear linearnih nih kombinacija kolona ove matrice. matrice. Pri∗ 3 padni torusni varijetet je   V    = V  (xy − zw ) u koji je uloˇ zen zen torus   T N N    = (C ) preslikavanjem   (t1 , t2 , t3 ) → (t1 , t2 , t3 , t1 t2 t3−1 ). Kako je   σ strogo konveksan racionalni poliedralni konus iz prethodne teoreme slijedi da je torusni varijetet V    normalan.

1.6

Pol olit itop opii i projekti projektivn vnii torus torusni ni var varij ijet etet etii

Pogledajmo sada u kakvoj su vezi politopi i projektivni torusni varijeteti. Neka je P   veoma sadrˇzzajan aja n politop maksimalne dimenzije n u odnosu na reˇsetku M . Ako je P   ∩ M   = { m1, . . . , ms } onda je X PP  ∩M   Zariski zatvorenje s−1 koje je dato sa: slike preslika preslikavanja vanja T N N   → P t → ( χm (t), . . . , χm (t)) ∈ Ps−1 1

s

Za svako svako mi ∈ P   ∩ M   imamo polugrupu S i = N(P   ∩ M   − mi ) koja je generisana generisa na sa m j − mi za m j ∈ P  ∩ M . Projektivni prostor Ps−1 je prekriven sastoje je od onih taˇcaka caka za afinim otvorenim podskupovi p odskupovima ma U i ≃ Cs−1 koji se sasto s−1 koje je x̸ . Iz i = 0, gdje su x1 , . . . , xs homogene koordinate u prostoru P

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

33

propozicije 1.3.2. imamo da je afin otvoreni podskup X P od   X P P ∩M  ∩ U i od P   afin torusni varijetet X PP  ∩M U i ≃ Spec Spec((C[S i ])



a iz propozicije 1.3.3. slijedi da je X PP  ∩M   =

X P P ∩M   ∩ U i

mi je vrh od P

Vrijed rijedii slijed slijede´ ećcaa teor teorema: ema: torusni rusni varij varijetet etet veoma sadrˇzzajnog ajnog politopa Teorema 1.6.1. Neka je   X PP  ∩M  to P   ⊆ M R i neka je   P   P   maksimalne dimenzije jednake   n. (a) Za sv svaki aki vvrh rh   m mi ∈ P ∩M  afin afin podskup X podskup X P P ∩M ∩U i je afin torusni varijetet ∨ X PP  ∩M ∩ U i = U σi = Spec Spec((C[σi ∩ M M ]) ]),, gdje je  σ σ i ⊆ N R strogo konveksan racionalni poliedralni konus dualan konusu  Cone( Cone(P  ∩ ∩ M − mi ) ⊆ M R i dimσi = n = n (b) Torus od   X PP  ∩M   ima reˇ ssetku et ku karak karaktera tera    M M  i i jednak je torusu   T N N je C i = Cone Cone((P ∩ M − mi ). Znamo da za svaki vrh m vrh m i postoji Dokaz: Neka je C + nos ećcaa hip nose´ hiperr erravan avan   H u,m je P   ⊆ H u,m i P   ∩ H u,m ako u,mi za koju je u,mi = {mi }. Tako i je je   H u, ccaa hipre hiprerravan rravan od 0 ∈ C i pa je je C i strogo konveksan racionalan u,0 nose´ poliedralni konus za koji je dimC je dimC i = dimP dimP    = n. n . Kako je je C i strogo konvek∨ san konus maksimalne dimenzije i njegov dual C dual C i = σ i je strogo konveksan. ∨ Jasno je da je S i ⊆ C i ∩ M M    = σi ∩ M M .. Ka Kako ko je po pr pretpo etposta stav vci poli politop top veo ma sad sadrˇ rˇzajan za jan,, S i ⊆ M zasi´ćcena, ena, a iz teoreme 1.5.6. slije slijedi di da je P   P   veoma M    je zasi ∨ S i = σ i ∩ M , ˇccime ime je tvrdnja (a) dokazana. Kako je σ je σ i strogo konveksan konus, njegov torus je T je T N je T N N , a kako je T N   ⊆ U σi = P ∩M ∩ U i ⊆ U P ∩M   zaklj za kljuˇ uˇccujemo uj emo da je T N  torus varijeteta varijeteta X P ∩M , ˇcime ci me je X dokaz do kaz zav zavrˇ rˇsen. sen.

Konusi σi ∈ N R koji se pojavljuju u prethodnoj teoremi uklapaju se na veoma lijep naˇccin in ˇccine´ ineći ci tako strukturu koju zoveno normalana lepeza politiopa   P . politiopa P . Neka je P   P   = {m ∈ M R | ⟨m, uF ⟩ ≥ −aF   ∀F } Vrhovi politopa P politopa P  odreduju odreduju konuse C v = Cone Cone((P   ∩ M   − v ) ⊆ M R i σ v = C v∨ ⊆ N R

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

34

Stranice Q ⊆ P  ko Stranice Q P  ko je sad sadrˇ rˇze ze vrh vrh v v su u bijektivnoj korespondenciji sa stranicama   Qc ⊆ C v preko preslikavanja cama Q → Qc = Cone Cone((Q ∩ M  − − v ) Qc → Q = (Qc + v + v)) ∩ P koja su inverzna jedno drugom. Ova preslika preslikavanja vanja ˇccuvaju uvaju dimenzije, inkluzije i presjeke. Primjetimo da su strane konusa C konusa C v odredene stranama politopa politopa P P  koje ko je ssad adrˇ rˇzzee vrh v vrh v pa je prema tome kojee sadrˇzze v e v } C v = {m ∈ M R | ⟨m, uF ⟩ ≥ 0 za sve F koj Za njegov dualni konus konus σv t tad adaa vaˇzi: zi : σv = Cone Cone((uF   | F F    sa sadrˇzi v ) Ova se konstru konstrukcija kcija moˇze ze po poopˇ opˇsstiti titi na proiz proizvoljne voljne stran stranice ice Q Q politopa politopa P P    tako ˇsto st o ćcemo e mo stavi st aviti ti da je σQ = Cone = Cone((uF   | F F    sa sadrˇzi Q)

Slika 1.7: Neka je P je P    politop i Q i Q proizvoljna stranica od P od P .. σQ je strogo konveksan racionalan poliedralni konus u u N R . Skup svih takvih konusa oznaˇccavamo avamo sa ΣP   = { σQ | Q je stranica politopa P } i zovemo normalna lepeza politopa   P P .. Navedimo sad jednostav jednostavan an primjer politopa i n njemu jemu oodgov dgovara araju´ juće ce normalne lepeze:

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

35

Slika 1.8: P osmatraj atrajmo mo jediniˇ jedi niˇ cni cni kvadrat kv adrat  sa vrhovima  (0, (0, 0) 0) , , (1 (1,, 0) 0) , , (1 (1,, 1) 1) , , Primjer 1.6.1 Posm i   (0 (0,, 1). Tada je: 

= { a ≥ 0 } ∩ {b ≥ 0 } ∩ {−a ≥ −1} ∩ {−b ≥ −1}

Prema Pr ema unutr unutra a usmjer usmjerene ene normale normale na strane strane ovog ovog kvadr kvadrata ata su   ±e1 i   ±e2 s ti tim m da se svak svaka a od njih njih pojav ojavlj ljuj ujee dv dva a pu puta ta.. Tak ako o svak svakii vrh vrh odr dred eduj uje e 2−dimenzi dimenzionalni onalni konus, svaka strana, 1−dime dimenzi nziona onalni lni konus, konus, tj. zr zraku aku,, a cijeli kvadrat    odgovar odgovara a vrhovima svih konusa tj. koordinatnom koordinatnom poˇ poˇ cetku, cetku, ˇ sto sto se vidi na slici njegove normalne lepeze.

Dokaˇzzimo im o sa sada da llemu emu i pro propo pozic ziciju iju iz ko kojih jih ćcee sslije lijedit ditii do dokaz kaz vaˇzzne ne teo teorem remee o osobinama normalne lepeze politopa. Q stranica politopa   P P  i neka je  H H uu,b nose´ seća ca hiperra hi perrava van n Lema 1.6.2. Neka je  Q ,b no od   P . Tada   u ∈ σ Q ako i samo ako je   Q ⊆ H u,b u,b ∩ P . Dokaz: Neka je je P   P   = { m ∈ M R | ⟨m, uF ⟩ ≥ −aF  ∀ F }.

∑

Pretpostavimo da je u je u ∈ σ Q . Tada je u je u = = Q⊆F  λ F uF   za za λ λ F   ≥ 0. Stavimo li + je P   ⊆ H u,b i Q i Q ⊆ H u,b P .. Pretpostavimo da je b je b = = − Q⊆F  λ F aF  imamo da je P u,b ∩ P + i v ∈ H u,b sada da je je Q ⊆ H u,b P  i i neka je vrh vrh v ∈ Q. Tada ada iz iz   P   ⊆ H u,b u,b u,b ∩ P + ∨ pa   u ∈ C v = σ v . Sada je je u = v∈F  λ F uF , λ ≥ 0. imamo da da C v ⊆ H u,b, pa Neka je je F 0 strana politopa politopa P  ko P  koja ja sad sadrˇ rˇzi zi vrh v ali ne i stranicu stranicu Q i neka je p ∈ Q takvo Q takvo da p da p ∈ / F 0 . Sada iz p, iz p, v ∈ Q ⊆ H uu,b ,b slijedi:

∑

∑

b = ⟨ p, u⟩ =



λF ⟨ p, uF ⟩

v∈F

b = ⟨ v, u⟩ =

 v∈F

λF ⟨v, uF ⟩ = −

 v∈F

λF aF

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

36

Izjedn Izj ednaˇ aˇccavanjem avanj em do dobij bijamo amo:: λF ⟨ p, uF ⟩ = −

λF aF





v∈F

v ∈F

to je ⟨ p, uF ⟩ ≥ −aF za sve F F ,, zaKako p ∈ / F 0 , ⟨ p, uF 0 ⟩ > −aF 0 , a poˇssto kljuˇccujemo ujem o da mora biti biti λ λ F 0 = 0 u sluˇcaju ca ju kada kada Q Q  F 0 , ˇsto znaˇci da u ∈ σQ , ˇcime ci me je dokaz do kaz zavrˇ zavrˇsen. se n.

Posljedica 1.6.3. Ako je   Q stranica politopa   politopa   P P    onda   uF   ∈ σQ ako i samo

ako je   Q ⊆ F . F . Neka su   Q i i    Q′ stranic stranicee maksimalno-dimenzionalno maksimalno-dimenzionalnog g Propozicija 1.6.4. Neka polito poli topa pa reˇsetk se tke e   P   ⊆ M R . Vrijedi sli slijede´ jedećce: e: (a) Q ⊆ Q′ ako i samo ako je   σQ ⊆ σQ ; ′

(b) Ako je   Q ⊆ Q′ onda je   σQ stranica od   σQ ; ′

(c) σQ ∩ σQ = σ Q gdje je   Q′′ najmanja stranica od   P P    koj kojaa sa sadrˇ drˇzzi   i   Q i   Q′ . ′

′′

Dokaz:

(a) Primje Primjetimo timo za p poˇ oˇccetak eta k da ako je je Q Q ⊆ Q′ onda svak svakaa stra strana na koja koj a sadrˇzi Q zi Q′ sa sadr drˇˇzi zi i Q, Q , pa je σ je σ Q ⊆ σQ , a obrnuta inkluzija slijedi iz prethodne posljedice jer je svak svakaa stranica presjek strana koje je sadrˇze. ze. (b) Neka je v ∈ Q proizvoljan ali fiksiran vrh politopa P P .. Svak Svakaa strani stranica ca Q koja koj a sad sadrˇ rˇzzii vrh v odreduje stranicu Qc konusa C v . Iz pro propozic pozicije ije 1. 1.4.3 4.3.. imamo da da Qc odreduje dualnu stranicu ′

∗

Q

∨

= C v

∩

⊥

Qc = σ v

⊥

∩ Qc

konusa   σv . Kako je konusa je   σv = Cone Cone((uF   | v ∈ F ) F ) i Qc ⊆ C v = σ v∨ dobijamo da je : Cone((uF   | v ∈ F, Q ⊆ H uF ,0) Q∗c = Cone Kako je v je v ∈ Q inkluzija inkluzija Q Q c ⊆ H uF ,0 ekvivalentna je uslovu Q uslovu Q ⊆ H uF ,−aF , ˇsto je opet ekvivalen ekvivalentno tno sa sa Q ⊆ F , F , iz ˇccega ega slijed slijedii da je Cone((uf   | Q ⊆ F F )) = σ Q Q∗c = Cone pa zaklj zakljuˇ uˇccujemo ujem o da je σQ stranica od σv i sve stranice konusa σv su ovog oblika.

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

37

Specijalno, Q ⊆ Q′ znaˇci Specijalno, ci da je σQ stranica od σv , a zbog σQ ⊆ σQ iz ˇ aviˇsse, dokazanog dok azanog pod (a) zaklju zakljuˇˇccujemo ujemo da je σQ stranica od σQ . St Staviˇ e, svaka ′ stranica od od σQ je stranica od od σv i oblika je σQ za neku stranicu stranicu Q . Iz (a (a)) ′

′

′

′

′

slijedi da je je Q ⊆ Q ˇccime ime smo dokazali i ttvrdnj vrdnju u ((b). b). (c)Neka je Q je Q ′′ najmanja stranica politopa P politopa P    ko koja ja sa sadrˇ drˇzi Q zi Q i i Q Q ′ . Takva stranica sigurno posto postoji ji jer je svak svakaa stranica presjek svih strana ko koje je je sadrˇze, ze, pa je je   Q′′ presjek svih strana koje sadrˇze ze Q i Q′ , pr prii ˇccemu e mu i ˇcita ci tavo vo   P P    smatramo svojom stranom. Iz (b) imamo da je je σQ stranica oba konusa konusa σQ i σQ pa je σQ ⊆ σQ ∩ σQ . Dokaˇzzimo imo i ob obrnutu rnutu inkluz inkluziju. iju. Ako je je   σQ ∩ σQ = {0} = σ P  onda je je Q′′ = P P .. Pretpostavimo zato da je σ je σ Q ∩ σQ̸ = {0} i neka je u je u̸= 0 i u ∈ σQ ∩ σQ . Ako je H u,b ccaa afina hipe hiperravan rravan od P   P   za neko b ∈ R onda na osnovu leme u,b nose´ ′ 1.6.2. imamo da da Q i Q leˇze u H u,b P . H u,b P  je je strana od P od P  ko ko ja sa sadrˇ drˇzi zi u,b ∩ P . u,b ∩ P ′ ′′ ′′ Q i Q i Q pa je Q je Q ⊆ H u,b P , jer je Q je Q najmanja takva stranica. Iz leme 1.6.2. u,b ∩ P , zakljuˇ zak ljuˇccujemo uj emo da je je u ∈ σQ ˇccime im e smo zavrˇsili sili dokaz pro propo pozic zicije ije.. ′′

′′

′

′

′

′

′

′′

Ova propozicija govori o postojanju bijektivne korespondencije izmedu stranica politopa P  i i konusa njegove normalne lepeze ΣP , a kao njenu neposrednu posljedic pos ljedicu u ima imamo mo sl slijede´ ijedećcu u tteoremu: eoremu: P   ⊆ M R maksima maksimalno-di lno-dimenzio menzionalan nalan politop re reˇˇsetke setke Teorema 1.6.5. Neka je   P i neka je ΣP   = {σQ | Q je stranica od P } njegova normalna lepeza. Tada vrijedi: (a) Str Stranic anicaa svako svakogg od konusa normal normalne ne lep lepeze eze   ΣP je takode konus normalne lepeze   ΣP ; (b) Pr Presjek esjek dva proizvol proizvoljna jna konusa   σQ i i    σQ iz iz    ΣP je stranica svakog od njih. ′

Navedimo sada joˇs ne neke ke vaˇzzne ne osobin osobinee kor koresp esponden ondencije cije izmed izmedu u st stranic ranicaa p poliolitopa i konusa njegove normalne lepeze. Propozicija 1.6.6. Neka je   P   ⊆ M R politop re reˇˇssetke etke maksima maksimalne lne dimenz dimenzije ije

jednake   n. Za konuse   σQ no norm rmal alne ne reˇsetke se tke    ΣP   politopa   P P    vrij vr ijedi edi sl slij ijede´ edećce: e: (a) dimQ + dimQ + dimσ dimσQ = n = n za sve stranice   Q politopa   P (b) N R = U v je vrh od P σv = U σQ ∈ΣP σQ

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

38

Dokaz:

Neka je Q je Q stranica stranica politop p olitopaa P P  i i neka je v je v vrh vrh stranice Q stranice Q.. Stranici Q Stranici Q odgovara odgovara stranica Qc konusa C v kojoj odgovara dualna stranica Q∗ dualnog konusa ∨

∗

C v = σ v .

Kako je je Q Q = σ Q imamo da vrijedi: dimQ + dimQ + dimσ dimσQ = dimQ = dimQc + dimQ + dimQ∗c = n

ˇcime cime je (a) dokazano dokazano.. Neka je sada u ∈ N R i neka je u̸= 0. Stavimo da je b = min = min {⟨v, u⟩ | vje vrh od P }. + Tada je je P   ⊆ H u,b i v ∈ H u,b od P P  pa pa je, prema lemi u,b za najmanje jedan vrh od 1.6.2. u ∈ σv odakle o dakle slijedi (b), ˇccime ime je propozicija dokazana. Lepeza koja zadovoljava uslov (b) prethodne propozicije zove se kompletna lepeza . Normalana lepeza lep eza proiz proizvoljnog voljnog politopa reˇssetke etke je kompletna lepeza. Primjetimo joˇs samo i to da nor normalna malna lep lepeza eza p politopa olitopa P P  ostaje ostaje nepromijen jena ako p politop olitop P P    translatiramo ili ga pomnoˇzzimo imo p pozitivnim ozitivnim cijelim bro brojem jem k, a ovu oosobinu sobinu moˇzzemo emo iskazati u oobliku bliku slijed slijede´ ećcee prop propozicij ozicije: e: Neka je   P ⊆ M R maksimalno maksimalno dimenz dimenzionaln ionalnii po politop litop Propozicija 1.6.7. Neka + P    i reˇssetke. etk e. Za pproizv roizvolj oljno no   m ∈ M M  i i proizvoljan cio broj   k ≥ 1 politopi   m + P kP  imaju kP imaju istu normalnu lepezu kao kao P . P . simpleks    ∆2 ⊆ R2 sa vrhovima   vrhovima   0, e1 i i    e2 . Primjer 1.6.2 Posmatrajmo 2−simpleks Neka je   P   = k∆ k ∆2 , gdje je  k k pozitivan cio broj. P P  je je veoma sad sadrˇ rˇzzajan aj an pol polito itop, p, simpleksa   ∆2 . a njegova normalna lepeza   ΣP   ekvivalentna je lepezi simpleksa   Lepeza    ΣP  sastoji se od tri dvodimenzionalna konusa Lepeza = Cone((e1, −e1 − e2 ), σ0 = Cone Cone((e1 , e2 ), σ1 = Cone Cone((−e1 − e2 , e2 ) i   σ2 = Cone tri jednodimenzionalna konusa (zrake) τ ij = j i koordinatnog ij = σi ∩ σ j , i̸ poˇ ccetka. etka. Torusnivrhu varij varijetet etet ovogtj.politopa prekri prekriven ven je aafinim finim ootvorenim tvorenim skupovim skupovima, a, tako da svakom politopa, dvodimenzionalnom konusu lepeze odgovara jedan skup i to U σ0 = Spec( Spec(C[x, y ]) U σ1 = Spec( Spec(C[x−1 , x−1 y]) U σ2 = Spec( Spec(C[xy−1 , y−1 ])

 xx10 , Ako su   (x0 , x1 , x2 ) standardne homogene koordinate u   P P 2 onda je sa   x → y → xx20 odredena bijekcija izmedu   U σi i afinih otvorenih skupova   U i ⊆ P2 , pa zakljuˇ zak ljuˇccujemo uj emo da je   je   X σP upravo jednako P2 .

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

1.7

39

Apstra Apstraktn ktnii torusn torusnii varijet arijeteti eti

U ovom ćcemo emo se poglavlju pozabaviti konstrukcijom torusnog varijeteta iz priozvoljne ne biti kom normalna lepeza etke. Definiˇ ssimo imo za lepeze, poˇccetak etakkoja lepe lepezu zu mora u vektors vektorskom prost prostoru oru N R .politopa reˇssetke. na famili familija ja konusa   konusa   σ koji zadovolDefinicija 1.7.1 Lepeza   Σ u   N R je konaˇccna javaju uslove: (a) Sva Svaki ki konu konus s   σ ∈ Σ je strogo konveksan racionalni poliedralni konus; (b) Svaka stran stranic icaa svako svakogg konusa familije   Σ je takode konus iz   Σ; (c) Za prizvo prizvoljn ljnaa dva konu konusa sa   σ1 , σ2 ∈ Σ presjek   σ1 ∩ σ2 je stranica svakog od njih. Primjetimo da normalna politopa zadovoljava sve uslove definicije. Postoje, medutim i lepezelepeza u smislu prethodne definicije koje nisuove ekvivalentne normalno norma lnojj llepe epezi zi niti jedno jednogg poli politopa topa reˇssetke etke ˇssto to ćcemo emo vidjet vidjetii u primje primjeru ru iz slij sl ijed ede´ ećcee glave. gl ave. Pokaˇ zzimo imo sada kako nam konusi le lepez pezee p pruˇ ruˇzzaju a ju kombinatorn kombin atornee poda p odatke tke potre p otrebne bne za njihovo sljepljivanje u cjelinu ko koju ju ćcemo emo zvati apstraktni torusni varijetet. Kao ˇssto to znamo, svaki strogo konv konveksni eksni racionalni poliedralni konus konus   σ ∈ Σ odreduje afin torusni varijetet U σ = Spec Spec((C[S σ ]) = Spec Spec((C[σ∨ ∩ M M ]) ]) Ako je τ je τ  stranica stranica konusa σ konusa σ onda onda postoji m postoji m ∈ σ ∨ takvo da je τ je τ    = σ ∩ H m gdje je je   H m = { u ∈ N R | ⟨m, n⟩ = 0} hiperravan odredena sa sa m. Sada bi neke od

Slika 1.9:

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

40

rezu ltata pret rezultata prethod hodnih nih pog poglavlja lavlja mogli rezim rezimirati irati na sslijede´ lijedećcii naˇccin: in: ∨ Kao prvo, ako je m je m ∈ σ ∩ M   i τ   τ   = σ ∩ H m o odgovara dgovaraju´ jućcaa stran stranica ica od σ od σ onda je S τ   = S σ + Z(−m) (1) To zna z naˇˇccii da je C[S τ τ ] lokalizacija od C[S σ ]χm , pa je prema tome, U tome, U ττ    = (U σ )χm . Drugo, ako je τ je τ    = σ 1 ∩ σ2 onda je: σ1 ∩ H m = τ   τ   = σ 2 ∩ H m

(2)

pri pr i ˇccemu e mu je m ∈ σ1∨ ∩ (−σ2 )∨ ∩ M M ,, odakle slijedi da je U σ1 ⊇ (U σ1 )χm = U τ τ   = (U σ2 )χ

−m

⊆ U σ2

Joˇs jjedna edna osobi osobina na pol polugrup ugrupee S σ i njenog polugrupnog prstena sadrˇzana zana je u slijede´ slijed ećcoj o j prop propozicij oziciji: i: Ako   σ1, σ2 ∈ Σ i   τ   = σ 1 ∩ σ2 onda je: Propozicija 1.7.1. Ako + S σ2 S τ   = S σ1 + S Dokaz:

Iz Iz σ1∨ + σ2∨ = (σ1 ∩ σ2 )∨ = τ ∨ slijedi da je + S σ2 ⊆ S ττ   S σ1 + S Za dokaz obrnute inkluzije uzmimo uzmimo p ∈ S ττ   i neka je m ∈ σ1∨ ∩ (−σ2 )∨ ∩ M takvo da vrijedi (2). Ako sada (1) primjenimo na na σ1 dobijamo da je p = p = q q  + + l(−m) za neko q neko q  ∈ S σ1 i l ∈ Z≥0 . Medutim − m ∈ σ2∨ ˇst stoo zna naˇˇci da je −m ∈ S σ2 , pa p a p ∈ S σ1 + S σ2 tj. vrijedi i S i S τ τ   ⊆ S σ1 + S σ2 , ˇcime ci me je do dokaz kaz za zavrˇ vrˇssen. e n. Posmatrajmo sada familiju afinih torusnih varijeteta U σ = Spec( Spec(C[S σ ]) gdje σ gdje σ prolazi prolazi svim konusima konusima lepeze Σ. Ako su su σ σ1 i σ i σ2 proizvoljna dva konusa lepeze Σ i i τ   = σ 1 + σ + σ2 onda postoji izomorfizam gσ2 ,σ1 : (U σ1 )χm ≃ (U σ2 )χ

−m

koji je identitet na na U τ τ . Teorema 1.7.2. Neka je   Σ lepeza u   N R . Varijetet   X Σ je normalan separa-

bilan torusni varijetet. Dokaz:

Svaki konus lepeze Σ je strogo konveksan, pa je { 0} ⊂ N  stranica N  stranica svakog od njih. Zbog toga je T N Spec((C[M ]])) ≃ (C∗ )n ⊆ U σ N   = Spec

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

41

za svako svako σ . Sljepl Sljepljiv jivanje anjem m se ov ovii toru torusi si medu medusobn sobnoo poist poistov ovje´ je´ ccuju uju pa je T N orus T N svako U σ , a izomorfizam izomorfizam gσ2 ,σ1 : U σ1 → U σ2 N   ⊆ X Σ . Torus N  djeluje na svako posta pos taje je identiˇccko ko presl preslikav ikavanje anje na C[S σ1 ∩σ2 ] zbog ˇcega cega je djelov djelovanje anje torusa ko kompat mpatibi ibilno lno sa pres presjeci jecima ma paro parov va sku skupov pova, a, a ukl uklapan apanje je daje djel djelov ovanje anje torusa   T N torusa na   X σ N   na Varijetet X Σ je ireducibilan jer su svi svi U σ ireducibilni afini torusni varijeteti kojii sadrˇzzee torus T N koj Dakl kle, e,   X Σ je ireducibilan varijetet koji ima pokrivaˇ c N . Da sastavljen sasta vljen ood d afinih otvorenih skupov skupovaa U σ ko koji ji su norma normalni lni pa je i ˇccitavo X itavo X Σ normalan norma lan varijetet varijetet.. Pokaˇ zzimo imo joˇs da je X σ separabilno.U separa bilno.U tom ćcemo emo cilju pokazati da je za svaki par konusa σ konusa σ 1, σ2 ∈ Σ slika preslikavanja ∆ : U τ τ   −→ U σ1 × U σ2 gdje je je τ   = σ 1 ∩ σ2 Zariski zatvorena. ∆ se dobija iz C −algebra homomorfi homomorfizma zma ∆∗ : C[S σ1 ] ⊗ C[S σ2 ] −→ C[S ττ  ] definisanog sa sa χm ⊗ χn = χm+n , a prem premaa pro propozi pozici ciji ji 7.1 7.1.. ∆∗ je sirjektivno pa je C[S τ τ ] ≃ (C[S σ1 ] ⊗ C[S σ2 ]) ])/Ker /Ker(∆ (∆∗ ) pa je slika preslikavanja ∆ Zariski zatvoren podskup od V σ1 × V σ2 , ˇcime ci me je n dokaz zavrˇssen. en . Sad Sadaa je lako zzaklj akljuˇ uˇcciti it i da ako jjee P   ⊆ M R ≃ R n−dimenzionalni politopa P P .. pol itop reˇssetke, politop etke, onda je X je X PP    ≃ X ΣP , gdje je ΣP  normalna lepeza politopa Navedimo joˇs de definici finiciju ju i teor teoremu emu o nekim vaˇ zznim nim tip tipovima ovima llepe epeza za i njihovom vezom sa odg odgovaraju´ ovarajućcim im to torusnim rusnim varijetet varijetetima. ima. Definicija 1.7.2 Neka je   Σ lepeza.

(a) L ep epeza eza    Σ je glatka (ili regularna) ako je svaki konus   konus   σ ∈ Σ gladak (regularan); (b) Lep epeza eza   Σ je simplicijalna ako je svaki konus   konus   σ ∈ Σ simplicijalan; (c) Lep epeza eza   Σ je kompletna ako je   |Σ| = ∪σ∈Σ σ jed jedna nako ko ˇccitav i tavom om    N R . lepezom   Σ ⊆ N R . Teorema 1.7.3. Neka je   X Σ torusni varijetet definisan lepezom   Vrijedi Vrij edi slijede´ sli jedećce: e: (a) X Σ je gladak varijetet ako i samo ako je lepeza   lepeza   Σ glatka; (b) X Σ je orbifold ako i samo ako je lepeza   lepeza   Σ simplicijalna;

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

42

(c) X Σ je komp kompaktan aktan u klasi klasiˇˇccnoj noj top topolo ologiji giji ako i samo ako je lep lepeza eza    Σ kompletna. Primjer 1.7.1 Posmatrajmo lepezu sa slike 1.10.

To je normalna lepeza poligona   poligona   P aa,b,b = Conv Conv(0 (0,, ae1 , e2 , be1 + e + e 2 ) ⊆ R2 , sa

Slika 1.10: slike 1.11. gdje su   a, b ∈ N i   1 ≥ a ≥ b.

Slika 1.11: Primjetimo da normalna lepeza ovog poligona zavisi samo od razlike   r = b − a i oznaˇ oznaˇcit ci t ´ ccemo e mo je sa   Σr . U sluˇcaju caju kada je   a = 2 i   b = 4 odgov odgovaraju´ araju´ ci ci torusni toru sni varijete vari jetet t   X Σ dobiven je sljepljivanjem afinih otvorenih otvorenih skupova skupova 2

U σ = Spec(C[x, y]) 1

GLAV GLA VA 1. TORUSNI VARIJETETI

43

U σ2 = Spec( Spec(C[x, y−1 ]) U σ3 = Spec( Spec(C[x−1 , x−2 y−1 ]) U σ4 = Spec( Spec(C[x−1 , x2 y]) Torusni varijetet  X X Σr koji se dobija iz lepeze   Σ Σ r Zove Z ove se Hirzeb Hirzebruchov ruchovaa povrˇs s i ozn oznaˇ aˇccava av a se sa   Hr .

Glava 2 Divizori na torusnim varijetetima 2 .1

Divizori

Polinom u jedno jednojj promjenljivo promjenljivojj jednoz jednoznaˇ naˇcno cno je odreden svojim nulama i njihovom nji hovom viˇsestru ses trukoˇ koˇs´ sćcu u do na kons konstant tantni ni fak faktor tor.. Na ist istii naˇ n aˇccin in je i rraci aciona onalna lna f (x) funkcija ϕ(x) = g(x) , gdje su f (x) i g (x) polinomi iz C[x] odredena nulama polinoma f f    i g , tj. taˇcckama kama u kojima je funk funkcija cija   ϕ jednaka nuli ili je iregularna. Da bi razlikov razlikovali ali korijene polinoma f  od f  od korijena polinoma g , viˇsestrukosti sestr ukosti nula pol polinoma inoma g ćcemo emo uzimati sa negativnim predznakom. Na taj naˇ ccin in nam funkc funkcija ija ϕ postaje postaje do na konstan onstantn tnii fak faktor tor odrede odredena na nulama x1, . . . , xr i cijelim brojevima k1 , . . . , kr koji predstavljaju njihove viˇsest sestru rukos kosti ti.. Naˇs slijed slijede´ eći ci zada zadatak tak je da prona pronademo demo sliˇccan an naˇcin cin spe specifici cificiranja ranja racio racionalnalnih funkcija na proizvoljnom algeb algebarskom arskom varijetetu. Polazna osnova će ce nam biti ˇccinjenica inje nica d daa je skup taˇccaka aka u ko kojima jima regul regularna arna funkcija prima vrijed vrijednost nost nula, podvarij p odvarijetet etet kodime kodimenzije nzije jedan jedan.. Tako ćcee na nam m ob objekat jekat ko koji ji pri pridruˇ druˇzzujemo ujem o funkciji biti familija ire ireducibilnih ducibilnih varijeteta kodimenzije 1 sa odgovarajućcim im cjelobrojnim vrijedn vrijednostima. ostima. je   X   X   ire ireducib ducibilan ilan varije varijetet. tet. Famili amiliju ju ir ired educibi ucibilnih lnih Definicija 2.1.1 Neka je   zatvorenih podvarijeteta podvarijeteta   D D1 , D2, . . . , Dr kodimenzije   1 za 1 zajedno jedno sa odgov odgovaraju´ arajućcim im cjelob cje lobrojni rojnim m viˇssestruk es trukost ostima ima    k1 , k2 , . . . , kr zovemo Weilovim divizorom na  X X i zapisujemo u obliku: D = k = k 1 D1 + k + k2 D2 + . + . . . + k + kr Dr 44

(2.1)

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

45

Ako su svi   ki za   i = 1, . . . , r jednaki r jednaki nuli, onda piˇssemo emo da je   D = 0, a ako su svi   ki ≥ 0 i neki od n njih jih strogo veći ci od n nule ule piˇsemo semo D > 0 i kaˇzzemo emo da je divizor   D efektivan. Ireducibilan podvarijetet Ireducibilan podvarijetet   Di kodimenzije   1 sa sa viˇsestrukoˇss´ću u    1 zovemo prosti divizor. Ukoliko su u (2.1) svi   ki̸ = 0 onda se varijetet   D D 1 ∪ D2 ∪ . . . , ∪Dr zov zovee nosa no saˇˇcc   divizora   D i ozn oznaˇ aˇccava av a se sa sa  SuppD SuppD.. U skupu svih divizora na varijetetu X X  moˇ moˇzzemo emo uvesti operaciju sabiranja tako ta ko ˇsto sto uz uzim imaa jućcii ki = 0 ili ki′ = 0 ukoliko je potrebno, proizvoljna dva divizora   D i D′ moˇzzemo divizora emo napisa napisati ti u obliku obliku:: = k 1 D1 + . + . . . + k + kr Dr i D′ = k 1′ D1 + . + . . . + k + kr′ Dr D = k preko iste familije prostih divizora i jednostavno definisati: + . . . + (k ( kr + k + kr′ )Dr + D ′ = (k1 + k + k1′ )D1 + . D + D Ovako definisana operacija sabiranja ima sve potrebne osobine koje posmatranu tra nu str strukt ukturu uru ˇccine in e gru grupo pom, m, ko koju ju ćcemo em o ozn oznaˇ aˇccavati avati sa sa   Div Div((X )).. Div Div((X ) je, zapravo, zaprav o, slobodni Z −modul ˇcciji iji su generatori prosti divizori. Div((X ) generisanu prostim diviDefinicija 2.1.2 Slobodnu Abelovu grupu   Div zorima na algebarskom varijetetu   X   X   zovemo grupom Weilovih divizora. Pogledajmo sada kako izgleda preslikavanje koje nenultu funkciju funkciju f   ∈ C(X ) slika u njen divizor div divizor div((f f ). ). Najprije, svakoj funkciji f funkciji f   ∈ C(X ) i svakom prostom divizoru divizoru Di prid pridruˇ ruˇzzujemo ujem o cijeli bro brojj ν Di (f )).. U sluˇccaju a ju kada je X   = C , ta drugo do red nule ili pola funkcije u taˇcki. cki. ν Di (f ) nije niˇssta Ovo moˇzzemo emo uraditi jedino pod pretposta pretpostavko vkom m da je je X  nesingularan X  nesingularan varijetet u kodimen kodimenziji ziji 1, tj. da skup nesingularnih taˇccaka aka varijetet arijetetaa X   X   ima kodimenziju kodime nziju veću cu ili jedna jednaku ku 2, ˇssto to će ce u naˇsim sim razma razmatranj tranjima ima norma normalnih lnih torusnih varijete arijeteta ta sv svak akako ako biti zadov zadovoljeno oljeno jer je skup singul singularnih arnih taˇcaka caka normalnog varijeteta kodimenzije ≥ 2. Neka je D je D i prost divizor i U i U  afi afin n otvor otvoren en p pods odskup kup ko koji ji sij sijeˇ eˇcce D e D i , sad s adrˇ rˇzi zi ne nesin sin-gularne taˇccke ke i taka takav v je da je je Di na na   U U    definisano definis ano llokalnom okalnom je jednaˇ dnaˇccinom. inom . Da takav taka v sku skup pp posto ostoji ji slijedi iz n naˇ aˇse se pretpostavke o kodimenziji. definisano sano jednaˇccinom inom ϕ = 0 na na Di ∩ U . svako f ̸ = 0 Di je lokalno defini U . Tada za svako k k+1 postoji cio broj broj k ≥ 0 takav da je je f   ∈ (ϕ ( ϕ ) i f ̸ = (ϕ ). Ako ovo ne bi bilo k taˇccno no imal imalii bi da da f   ∈ (ϕ ) ∀k, tj. da da f   ∈ ∩(ϕk ), odakle bi imali da je f   f   = 0, a to je suprotno naˇssoj oj pretpostavci. Upravo definisan bro brojj k o k ozn znaˇ aˇccit i t ćcemo e mo sa ν Di (f ). ). Za njega vrijedi slijedećce: e: ν Di (f 1 f 2 ) = ν Di (f 1) + ν + ν Di (f 2) ν Di (f 1 + f + f 2 ) ≥ min min((ν Di (f 1 ), ν Di (f 2 ))

(2.2)

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

46

ako je je f 1 + f + f 2̸ = 0, ˇssto t o zn znaˇ aˇci ci da ν Di odreduje diskretnu valuaciju ν D : C(X )∗ → Z Diskretni valuacioni prsten

{f   ∈ C(X )∗ | ν D (f f )) ≥ 0} ∪ {0} je jednak lokalnom prstenu O X,D = { f /g ∈ C (X ) | f , g ∈ C [X ] g ∈ / p }, gdje je je p p = = I I ((D) prost ideal. Za dato f   ∈ C(X )∗ broj ν D (f ) zovemo redom redom anulir anuliranja anja funkc funkcije ije    f   f   ddu uˇz z divizora   D. Ako je je X  ireducibilno X  ireducibilno onda svaka funkcija f   ∈ C(X ) moˇzzee biti napisana u obliku   f   = g obliku g/h /h,, pr prii ˇcemu ce mu   g, h ∈ C[X ]. ]. Ako je f je f ̸ = 0 moˇzemo zem o pis pisati ati ν D (f f )) = ν D (g ) − ν D (h) D (f azavisi iz (2.2) slijedi da ν da ν f )) ne zavi zavisi si od reprezentacije obliku obliku g g/h /h.. ν D (f ) f ) ne ne ni od izbora otvorenog skupa skupa U U .reprezen . Naime,tacije f neka f  u je u V   je V proizvoljan otvoren U V   skup koji zadovoljava iste uslove kao U U .. Oznaˇccimo imo sa ν D (f ) i ν D (f ) red anuliranja funkcije f   du duˇz D u odnosu na otvorene skupove U   i V V  redom. redom. Kako je je   D ireducibil ireducibilno, no, ovi skupovi imaju neprazan presjek. Oznaˇ ccimo imo ga sa sa   W W .. U W Tada je ν je ν D (f f )) = ν D (f ( f ), ), jer je D je D defin definisano isano istom lokalnom jednaˇccinom inom na na W W V   U W V   (f ), pa je oˇcito ci to ν kao i na U na U ,, a iz istog razloga je i ν D (f ) = ν D ( f ), ν D (f ) = ν D (f )).. Dakle, ν Dakle, ν D (f ) je dobro definisano. Za   X   Za X   = C i D = {α} ν α (f ) je upravo jedna jednako ko viˇssestrukosti estr ukosti α kao korijena od f f    pa se vidi da je naˇssaa defini definicija cija zapravo po poopˇ opˇstenje stenj e viˇsestrukosti sestr ukosti taˇcke cke kao korijena polinoma.

Pokaˇzzimo Pokaˇ imo sada da za datu funk funkciju ciju f   ∈ C(X ) postoji posto ji samo konaˇ ccno no mnogo ireduci ireducibilnih bilnih podvari podvarijeteta jeteta D D kodimenzije 1 za koje je je ν D (f ) f )̸= 0. Posmatraa jmo na jprije sluˇcaj Posmatr ca j kada je je X X  afin afin varijetet i f i f   ∈ C(X ). ). Ako D Ako D nije nije komponenta podvarijeteta podvarijeteta V V ((f ) onda je je ν D (f ) f ) = 0. Ak Akoo je je   f   ∈ C (X ) onda je f f    = g/h za g, h ∈ C[X ] i ν D (f ) = 0 ako D nije komponenta varijeteta V V ((g ) ili ili V V ((h). U opˇsstem te m sluˇcaju, ca ju, neka je X   = ∪U i ko kona naˇˇccan a n p ok okri rivaˇ vaˇc od X sastavljen od afinih otvorenih skupova. Svaki podvarijetet D podvarijetet D si sijeˇ jeˇccee na najma jmanje nje jedan U jedan U i pa je ν je ν D (f )̸= 0 jedino za D za D koje koje je zatvorenje ireducibi ireducibilnog lnog po podv dvararijeteta   U i kodimenzije 1 za neko ijeteta neko i, tako da je je ν D (f )̸= 0 u U i . Kako postoji samo konaˇccno no mnogo U i i konaˇccno no mno mnogo go D′ u svakom svakom U i , postoji i samo konaˇ kon aˇcno cn o mn mnog ogoo D za koje je je ν D (f f ))̸= 0. ′

Definicija 2.1.3 Neka je   X   normalan varijetet:

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

47

(a) Divizor fu funkcije nkcije   f   ∈ C(X )∗ de defin finiˇ iˇse se se sa sa:: div((f ) = div

ν D (f ) f )D

 D

pri ˇccemu emu se sumira po svim prostim divizor divizorima ima   D ⊆ X (b) div div((f ) zovemo glavnim gla vnim div divizorom, izorom, a skup svi svihh glavni glavnihh diviz divizora ora oznaˇccavamo avamo sa   Div 0(X ) (c) Za divizo divizore re   D i   E  kaˇ kaˇzzemo em o ddaa su lin linearno earno ekvi ekvivale valentni ntni i ppiˇ iˇsemo semo D ∼ E ako je njihova razlika jednaka glavnom divizoru tj. ako je D − E   = div div((f ) ∈ Div0 (X ) za neko neko f   ∈ C(X )∗ . Ako je je div div((f ) =

∑∑

ki Di Di onda onda divizore:

div0 (f ) =

f ) = {i | k i >0} ki Di i div∞ (f )

∑

{i | k i 0 za sve sve m ∈ S σ \σ ⊥,a ⟨m, u⟩ = 0 za sve   m ∈ S σ ∩ σ⊥ , ˇssto sve to znaˇci ci da je gra graniˇ niˇccna na taˇcka cka upr upravo avo jed jednaka naka ist istaknu aknuto tojj

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

51

taˇcki γ σ ˇssto to smo i ttrebal rebalii p pokazati. okazati. Iz ov ovee propozicij propozicijee vidim vidimoo da se lepeza Σ, kon konus us po kon konus, us, moˇ ze ze rekonrekonstruisati iz torusnog varijeteta varijeteta X Σ . Za svaki konus σ ∈ Σ posto postoji ji istaknuta taˇcka cka γ σ ∈ U σ ⊆ X σ i ta taˇcka cka odreduje torusne orbite O (σ ) = T N N   · γ σ ⊆ X Σ u   N R Lema 2.2.2. Neka je   σ strogo konveksan racionalni poliedralni konus u   i neka je   N σ podreˇ podreˇssetk e tkaa od od    N  generisana N  generisana sa   σ ∩ N . Stavimo da je   N/N σ = N ( N (σ ).Tada (a) Postoji biline bilinearna arna funkcija

⟨ , ⟩ : σ ⊥ ∩ M  × × N (σ) → Z inducirana bilinearnom funkcijom   ⟨ , ⟩ : M  × × N   → Z. (b) Biline Bilinearna arna funkcija iz (a) induc inducira ira prir prirod odni ni izomorfi izomorfizam zam H omZ (σ⊥ ∩ M, C∗ ) ≃ T N N (σ ) gdje je   T N = N ((σ ) ⊗Z C∗ toru toruss ppri ridr druˇ uˇzen ze n    N ( N (σ ). N (σ ) = N je m ∈ σ ⊥ ∩ M M    = { m ∈ M   | ⟨m, u⟩ = 0 ∀ u ∈ σ } proizvoljno. Dokaz: Neka je Kako je funkcija ⟨ , ⟩ : M   × N   → Z bilinearna i kako je ⟨m, uσ ⟩ = 0 za sve uσ ∈ N σ imamo da je ⟨ m, u + N + N σ ⟩ = ⟨m, u⟩. Dakle, funkcija

⟨ , ⟩ : σ ⊥ ∩ M  × × N (σ) → Z je inducirana bilinearnom funkcijom ⟨ , ⟩ : M   × N   → Z i jasno, bilinearna je. N (σ ) = N torus us pri pridruˇ druˇzzen en N (σ). Bilinearno preslikavanje Neka je T je⊥ T N N ((σ ) ⊗Z C∗ tor ⟨ , ⟩ : σ ∩ M  × × N (σ) → Z daje izomorfizam

ϕ : N : N ((σ) → H omZ (σ ⊥ ∩ M, Z) koji inducira kanonski izomorfizam N N ((σ )⊗Z C∗ ≃ T N ccime im e je j e llema ema dokaz dokazana ana.. N (σ ) , ˇ N R . Lema 2.2.3. Neka je   σ strogo konveksan racionalni poliedralni konus u  N Tada je O (σ ) = {γ   : S σ → C | γ (m)̸= 0 ⇔ m ∈ σ ⊥∩M } ≃ H omZ (σ ⊥ ∩M, C∗ ) ≃ T N N (σ ) gdje je   N (σ) re reˇˇssetka etka definis definisana ana u prethodnoj lemi.

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

52

Skup O′ = {γ   γ   : S σ → C | γ (m)̸ = 0 ↔ m ∈ σ ⊥ ∩ M } sa sadrˇzi γ σ . Dokaz: Skup Kako je za taˇccku ku p ∈ U σ koja je predstavljena homomorfizmom γ homomorfizmom γ ,, taˇcka ka t t · p predstavljena homomorfizmom t · γ   : m → χm (t)γ (m) posmatrani skup O skup O ′ je inv invarijantan arijantan u odnosu na na   T N N −djelovanje. ⊥ σ je najveći ci vektorski pod podprostor prostor od od   M R ko koji ji je sad sadrˇ rˇzan zan u σ ∨ , pa je prema tome   σ⊥ ∩ M tome M  podgrupa podgrupa od od S σ = σ ∨ ∩ M . Ako Ako γ   ∈ O ′ onda restrikcija od od γ ⊥ ⊥ ∗ ⊥ daje homomorfizam grupa γ na na   m ∈ S σ ∩ σ = σ ∩ M M  daje γ : σ ∩ M   → C . ⊥ ∗ Obratno, ako je γ γ : σ ∩ M   → C homomorfizam grupa onda stavljajući ci da je γ γ (m), ako m ∈ σ ⊥ ∩ M γ (m) = 0, u suprotnom





{ 

cega slijedi slijed i da je dobijamo homomorfizam polugrupa polugrupa γ   ∈ O′ iz ˇcega ′ ⊥ ∗ O ≃ H omZ (σ ∩ M, C ). Posmatrajmo sada egzaktni niz 0 −→ N σ −→ N   −→ N (σ ) −→ 0 Ako ovaj niz tenz tenzoriˇ oriˇssemo emo sa C∗ i primjenimo prethodnu lemu dobijamo sir jektivno preslika preslikavanje vanje ∗ T N N ((σ ) ⊗Z C∗ ≃ H omZ (σ ⊥ ∩ M, C∗ ) N   = N   ⊗Z C −→ T N N (σ ) = N

Bijekcija ⊥ ∗ ′ T N N (σ) ≃ H omZ (σ ∩ M, C ) ≃ O ′ je kompatibilna sa sa T N N −djelovanjem, tako da T N N djeluje tranzitivno na O . Sada za γ za γ σ ∈ O ′ imamo da je O je O ′ = T N sto smo i ttreba rebali li d dokazati. okazati. O (σ), ˇsto N · γ σ = O(

Teorema 2.2.4. Neka je   X Σ torusni varijetet lepeze   Σ u   N R .

(a) Postoji bijektiv bijektivna na kor koresp espondenc ondencija ija

{konusi σ ∈ Σ} ←→ {T N N  − orbite ∈ X Σ } σ ← ←→ → O (σ ) ≃ H omZ (σ ⊥ ∩ M, C∗ ) (b) Ak Akoo je  n = n = dimN dimN R onda je za svaki konus  σ σ ∈ Σ, dimO dimO((σ) = n − dimσ dimσ.. (c) Afin otvore otvoreni ni pod podskup skup   U σ je unija orbita U σ =



τ je stranica od σ

O (τ ) τ )

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

53

(d) τ  je τ  je stranica od   σ ako i samo ako je   O(σ ) ⊆ O (τ ) τ ), i O(τ ) =

O (σ )



τ je stranica od σ

gdje smo sa   O( O (τ ) τ ) oznaˇccili ili zat zatvoren vorenje je i u kl klasiˇ asiˇccnoj no j i u topologij to pologijii Z Zari ariskog skog akoo X Σ ima pok pokrivaˇ rivaˇc sastavlj sastavljen en od Dokaz Neka je O T N N orbita u X Σ . Kak T N N −invarijantnih afinih otvorenih podskupova U σ ⊆ X Σ za koje je U σ1 ∩ U σ2 = U σ1 ∩σ2 postoji jedinstven minimalni konus σ ∈ Σ za koji je je O ⊆ U σ . Tvrdimo da je je O = O = O((σ ) iz ˇccega ega odmah slijedi tvrdnja po pod d (a (a). ). Neka je je γ   ∈ O proizvoljno i i m ∈ S σ za koje je je γ (m)̸ = 0. Takv akvo m mora ∨ ∨ leˇzzati ati na stran stranici ici konusa σ , a kako su sve stranice od σ oblika σ∨ ∩ τ ⊥ zakljuˇccujemo ujemo da posto postoji ji neka str stranica anica τ τ   ∈ σ takva da je

{m ∈ S σ | γ (m)̸= 0} = (σ∨ ∩ τ ⊥ ) ∩ M Odavde slijedi da je γ   ∈ U τ , a kako je σ bio minimalan konus sa⊥ovom osobinom imamo da je τ je τ    = σ. σ . Prema tome, { m ∈ S σ | γ (m)̸= 0} = σ ∩ M , ˇssto to prema lemi 2.2.4. znaˇci ci da γ   ∈ O(σ ). Dv Dvij ijee orb orbit itee su ili jed jednak nakee ili ili disjunktne pa odavde imamo da je je O = O = O((σ ). (b) slijedi iz prthodne leme i egzaktnosti niza 0 −→ N σ −→ N   −→ N (σ ) −→ 0 Dokaˇzzimo Dokaˇ imo sada dio pod (c). U σ je unija orbita , pa ako je je τ   τ   stranica od od σ, onda iz iz O(τ ) τ ) ⊆ U τ τ   ⊆ U σ slijedi da je je O(τ ) orbita orbit a sadrˇzzana ana u U σ . Iz dokaza (a) slijedi da svak svakaa orbita sadrˇzzana ana u U σ mora biti jednaka O(τ ) za neku stranicu   τ   stranicu τ   od od σ, pa je U σ =

O( τ ) τ )



τ je stranica od σ

Da bi dokazali (d) krenimo od zatvorenja od O od O((τ ) u klasiˇccnoj no j topol to pologiji ogiji koj kojee ćemo ce mo oz ozna naˇˇciti ci ti sa O (τ ). τ ). O(τ ) τ ) je invarijantno u odnosu na T N N − djelovanje, ˇssto to znaˇccii d daa je jedna jednako ko uni uniji ji oorbita rbita.. Pret Pretpos postavimo tavimo da jjee O(σ ) ⊆ O (τ ). τ ). Ako ne bi bilo bilo O(τ ) τ ) ⊆ U σ onda bi imali da je je O (τ ) τ ) ∩ U σ = ∅, ˇssto to bi zn znaˇ aˇcilo ci lo da je je   O(τ ) ∩ U σ = ∅, jer je je U σ otvoreno otvore no u klasiˇccnoj no j top topologi ologiji, ji, a to nije taˇcno. cno. Dakle mora vrijediti vrijediti O(τ ) ⊆ U σ . Sada iz (c) zaklju zakljuˇˇccujemo ujemo da je je τ   τ   stranica od od σ . Obratno, pretpostavimo sada da je τ   τ   stranica od σ . Da bi pok pokaz azal alii da je O (σ ) ⊆ O(τ ) dovolj dovoljno no ćcee bit bitii da pokaˇ po kaˇzzemo em o da je O je O((τ ) τ ) ∩ O (σ )̸= ∅,a za to ćcee nam treb trebati ati gran graniˇ iˇccne ne taˇccke ke jedno jednopara parametar metarskih skih po podgru dgrupa. pa.

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

54

Neka je je γ τ τ   homomorfizam homomorfiza m p polugrupa olugrupa koji odgovara istaknuto istaknutojj taˇ t aˇccki ki ood d U ττ  , ⊥ ˇsto st o znaˇ zn aˇci ci da je γ τ τ (m) = 1 ako je m ∈ τ ∩ M , a 0 u su supro protno tnom. m. Ne Nek ka je u ∈ Relint Relint((σ ). Za t Za t ∈ C∗ stavimo da je γ je γ (t) = λ u (t) · γ ττ  . Ovaj homomorfizam polugrupa dat je sa

m → χm (λu (t)) ))γ γ τ τ (m) = t ⟨m,u⟩ γ ττ  (m)

Kako je orbita koja odgovara γ odgovara γ τ τ , O O((τ ), ), imamo da γ da γ (t) ∈ O(τ ) za sve t sve t ∈ C∗. Pustimo sada da t → 0. 0. Kak Kako je je   u ∈ Relint Relint((σ ), ⟨m, u⟩ > 0 ako je m ∈ ∨ ⊥ ⊥ σ \σ , a ⟨m, u⟩ = 0 ako je m ∈ σ . Odavde Odavde slij slijedi edi da, prema propozi propoziciji ciji 2.2.1. γ (0) (0) = limt→0 γ (t) pos posto toji ji kao ttaˇ aˇccka ka u U ττ   i pred predstavlja stavlja taˇcku cku u oorbiti rbiti O (σ ). Prema kons konstruk trukciji ciji imamo da je na naˇˇssaa taˇccka ka i u O (τ ), τ ), pa je zaista O (σ ) ∩ O( O (τ )̸ = ∅, ˇccime ime je prva tvrd tvrdnja nja od (d) dok dokazan azana. a. Jas Jasno no je da u klasiˇccoj o j ttopo opologiji logiji vrijed vrijedii O(τ ) τ ) =



O (σ )

τ je stranica od σ

Pokaˇzzimo Pokaˇ imo sa sada da d daa je posmatrana unija i Zar Zariski iski zatvorenje orbite orbite O ). Ako O((τ ). O (τ ) τ ) presjeˇccemo emo sa otvorenim afinim pod podskupovima skupovima   U σ , iz (c) i (d) slijedi da je O (σ ) O (τ ) τ ) ∩ U σ = ′



′

σ je stranica od σ ′ koja sadrzi τ

Ovo je podvarijetet V podvarijetet V ((I ) ⊆ U σ gdje je ideal ideal I  dat dat sa ′

I   = {χm | m ∈ τ ⊥ ∩ (σ′ )∨ ∩ M } ⊆ C[( [(σ σ′ )∨ ∩ M M ]] = S σ

′

Odavde slijedi da je zatvorenje O(τ ) τ ) u klasiˇccnoj no j topologiji po podvarijetet dvarijetet ood d od O(τ ) X Σ , pa je prema tome i zatvorenje od τ ) u topologiji Zariskog. varijetet   X Σ = P2 iz primjera 1.6.2. Primjer 2.2.1 Posmatrajmo torusni varijetet   Za svako svako u = (a, b) ∈ N   = Z imamo jednoparametarsku podgrupu   λu (t) koju ćemo cemo posmatrati kao krivu u   P2 , tako da je λu (t) = (1, (1, ta , tb ) Pogledajmo Pogledaj mo ˇssta ta se deˇssava av a sa lime limesim simaa od   λu (t) kada   t → 0. Imamo:

lim λu (t) = t→0

    

(1, (1, 0, 0), 0), (1, (1, 0, 1), 1), (1, (1, 1, 0), 0), (1, (1, 1, 1), 1), (0, (0, 0, 1), 1), (0, (0, 1, 0), 0), (0, (0, 1, 1), 1),

a, b > 0 a > 0 0,, b = 0 a = 0, b > 0 a = b = b = = 0 a > b, b < 0 a < 0 0,, a < b a < 0 0,, a = b = b

(∗)

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

55

(∗) predstavlja dekompoziciju koordinatne ravni na sedam regiona koji odgovaraju var aju konusi konusima ma normal normalne ne lep lepeze eze   Σ, ˇssto to znaˇccii da iz ovih limesa moˇzemo zemo rekonstruisati rekonstrui sati n normaln ormalnu u lepezu jjer er sv svakom akom regionu odgova odgovara ra samo jjedna edna graniˇccna na taˇcka. Svaka od ovih taˇccaka aka odgovara taˇccno no jednoj orbiti torusnog djelov djelovanja anja , tako

Slika 2.1: da je: O1 = {(x0 , x1 , x2 ) | xi̸ = 0∀i} ∋ (1 (1,, 1, 1) O2 = {(x0 , x1 , x2 ) | x2 = 0, ∧ x0, x1̸ = 0} ∋ (1 (1,, 1, 0) O3 = {(x0 , x1 , x2 ) | x1 = 0, ∧ x0, x2̸ = 0} ∋ (1 (1,, 0, 1) O4 = {(x0 , x1 , x2 ) | x0 = 0, ∧ x1, x2̸ = 0} ∋ (0 (0,, 1, 1) (1,, 0, 0) O5 = {(x0 , x1 , x2 ) | x1 = x = x 2 = 0, ∧ x0̸ = 0} ∋ (1 O6 = {(x0 , x1 , x2 ) | x0 = x = x 2 = 0, ∧ x1̸ = 0} ∋ (0 (0,, 1, 0) = x 1 = 0, ∧ x2̸ = 0} ∋ (0 (0,, 0, 1) O7 = {(x0 , x1 , x2 ) | x0 = x 2 Primjetimo da konus   konus   ρ = (0, (0, 0, 0) odgovara orbiti   orbiti   O(ρ) = T N N   ⊆ P i da je O (ρ) ≃ (C∗ )2 . Je Jedno dnodimen dimenzionaln zionalnii konusi   τ   τ   odgovaraju orbitama dimenzije 1 od kojih je svaka izomorfna sa   C∗ , a tri maksimalna konusa   σi lepeze   lepeze   Σ odgovaraju fiksnim taˇcckama   kama   (1, (1, 0, 0), 0), (0, (0, 1, 0) i i    (0 (0,, 0, 1) torusnog djelovanja na   P2.

GLAV GLA VA 2.

2.3

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

56

Weilovi eilovi divizori divizori na torusnim torusnim varijetetim arijetetima a

U ovom ćcemo emo poglavlju definisati Weilov divizor na normalnom torusnom varijetetu X varijetetu X Σ lepeze Σ i razmotriti njegove osnovne osobine. Red anuliranja karaktera duˇz ttorus orus inv invarijantnog arijantnog pr prostog ostog divizora oodreden dreden je poliedralnom geometrijom lepeze. Prema teoremi o orbitalnoj dekompoziciji k− dimenzionalni konus σ konus σ ∈ Σ odgovara (n (n − k)− dimenzionalnoj dimenzionalnoj T T N N −orbiti u X Σ . Sa Σ(1) ćcemo emo oznaˇ cciti iti skup jednodimen jednodimenzionaln zionalnih ih kon konusa usa tj. zrak zrakaa lepeze lepeze Σ Σ.. Zra Zrak k ρ ∈ Σ(1) odreduje (n (n − 1)−dimenzi dimenzionaln onalnu u orbitu orbitu   O (ρ) ˇcije je orbitalno zatvorenje zatvorenje D D ρ = O O((ρ), ), T T N N − invarijantni prosti divizor varijeteta X Σ . Diskretni valuacioni prsten prsten OX Σ ,Dρ odreduje diskretnu valuaciju ν ρ = ν = ν Dρ : C(X Σ )∗ → Z Navedimo sada propoziciju koja predstavlja prvi korak u odredivanju divizora ∗ karaktera   χm : T N karaktera M    racionalna funkcija na N → C koji je za svako m ∈ M

C(X Σ )∗ . je   X Σ torusni varije varijetet tet lep lepeze eze    Σ. Ako jjee zr zrak aka a Propozicija 2.3.1. Neka je   ρ ∈ Σ(1) Σ(1) odredena odredena minimalnim generator generatorom om  u uρ i  χ χ m je karakter koji odgovar odgovara a m ∈ M M    onda je ν ρ (χm ) = ⟨m, uρ ⟩ je u ρ ∈ N   N   minimalni ggenerator enerator zrake, moˇzzemo emo ga dopuniti do Dokaz: Kako je u baze e1 = uρ , e2 , . . . , en prostora prostora N . N . Sta Stavi vimo mo li da je je   ρ = Cone Cone((e1 ) ⊆ Rn , odgovaraju´ odg ovarajućcii aafin fin ttorusn orusnii varijet varijetet et jjee ∗ n−1 ±1 1 U ρ = Spec Spec((C[x1, x± 2 , . . . , xn ]) = C × (C )

a U ρ ∩ Dρ definisano je sa sa x1 = 0. Diskretni valuacioni prsten je OX Σ ,Dρ = OU ρ ,U ρ ∩Dρ = C[x1, x2 , . . . , xn ]⟨x1 ⟩ Funkcija f   ∈ C(x1 , . . . , xn )∗ za koju je f   = x n1 hg pr prii ˇccemu e mu su g, h ∈ C[x1 , . . . , xn ]\⟨x1 ⟩ ima valuaciju valuaciju ν ρ (f f )) = n ∈ Z Kako su su x1 , . . . , xn karakteri dualne baze od od e1 = uρ ,e2 , . . . , en ∈ N , odakle slijedi da je za dato dato m ∈ M ⟨

⟩ ⟨

⟩

⟨m,u ⟩ ⟨

⟩

χm = x 1m,e 1 x2m,e 2 . . . xn⟨m,e n ⟩ = x 1 ρ x2m,e 2 . . . xn⟨m,en ⟩ ˇssto to upo uporeduj reduju´ ući ci sa onim ˇssto to smo rekli da vrije vrijedi di za funkciju f  k f  koonaˇcno znaˇci da je ν ρ (χm ) = ⟨m, uρ ⟩

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

57

ˇcime ci me je dokaz do kaz zavrˇ zavrˇsen. se n. svako m ∈ M M    karakter   χm je racionalna funkcija na Propozicija 2.3.2. Za svako m torusnom varijetetu   X Σ ˇcciji iji je divizo divizorr jednak



div((χm ) = div

⟨m, uρ ⟩Dρ

ρ∈Σ(1)

Dokaz: Prema teoremi o orbitalnoj dekompoziciji torusnog varijeteta imamo

da su ireducibilne komponente od X od X Σ \T N upravo D ρ . Kako je χ je χ m definisano N   upravo D i od nule razliˇccito ito na na   T N od χm je odreden unijom ∪ρ∈Σ(1) Dρ , pa je N , divizor od prema tome div((χm ) = div ν Dρ (χm )Dρ



ρ∈Σ(1)

Prema prethodnoj lemi imamo da je je ν Dρ (χm ) = ⟨m, uρ ⟩ ˇssto t o ko kona naˇˇccno n o da je div((χm ) = div



⟨m, uρ ⟩Dρ

ρ∈Σ(1)

ˇcime ci me je dokaz do kaz zavrˇ zavrˇsen. se n. Divizori oblika ρ aρ Dρ su invarijantni u odnosu na djelovanje torusa na

∑

varijetu   X Σ pa je varijetu

(X Σ ) = DivT N N

⊕

ZDρ ⊆ Div Div((X Σ )

ρ∈Σ(1)

grupa   T N grupa na X Σ . N −invarijantnih Weilovih divizora na Teorema 2.3.3. Slijede´ Sl ijedeći ci niz je egzakt egzaktan an

(X Σ ) −→ C l(X Σ ) −→ 0 M   −→ DivT N N gdje je prvo preslikavanje   preslikavanje   m → div div((χm ) a drugo T N N −invarijantni divizor slika u njegovu klasu u   C l(X Σ ). Osim toga, niz (X Σ ) −→ C l(X Σ ) −→ 0 0 −→ M   −→ DivT N N je kratki egzaktni niz ako i samo ako {uρ | ρ ∈ Σ(1)} razapinju prostor   N R .

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

58

od X Σ \T N Dokaz: Dρ su ireducibilne komponente od X N , pa iz teoreme 2.1.3 slijedi da je niz DivT N (X Σ ) −→ C l(X Σ ) −→ C l(T N N ) −→ 0 N egzaktan. C[x1 , . . . , xn ] je domen sa jednozna jednoznaˇˇccnom nom faktoriz faktorizacijom, acijom, pa isto ±1 ±1 ±1 ±1 vaˇzi zi i za C [x1 , . . . , xn ]. C[x1 , . . . , xn ] je koordinatni prsten torusa (C∗ )n i izomorfan je koordinatnom prstenu C [M ] torusa T torusa T N N . Prema tome, C [M ] je takode domen jedno jednoznaˇ znaˇccne ne fakto faktorizac rizacije ije oda odakle kle zakljuˇccujemo ujem o da je C je C l(T N N ) = 0, a iz ovoga slijedi da je preslikavanje D preslikavanje Div ivT NN   (X Σ ) → C l(X Σ ) sirjek sirjektivno. tivno. Kompozicija preslikavanja M preslikavanja M   → Div T N (X Σ ) → C l(X Σ ) jjee oˇccigled ig ledno no jed jednaka naka N m nuli jer se m slika u div div((χ ). Pre Pretpo tposta stavi vimo mo sada da se se   D ∈ DivT NN   (X Σ ) slika u nulu u u C l(X Σ ). To bi znaˇccilo ilo da posto postoji ji funkcija funkcija   f   ∈ (C∗ )n takva da je je   D = div = div((f f )) i da je d je div iv((f f )) = 0 na na T N je div iv((f ) f ) = 0 na na T N moˇˇzzemo e mo N . Kako je d N , mo ∗ m smatrati da je je f   ∈ C[M ] , pa je je f f    oblika oblika cχ za neko neko m ∈ M . Dakle, D = div = div((f ) = div div((cχm ) = div div((χm ) Cime ˇ smo dokazali egzaktnost niza u u DivT NN   (X Σ ). Pretpostavimo sada da je m ccilo ilo da je za m ∈ M div( div (χ ) = ρ∈Σ(1) ⟨m, uρ ⟩Dρ nula divizor. To bi znaˇ ⟨m, uρ ⟩ = 0 za sve ρ sve ρ ∈ Σ(1), pa zaklj zakljuˇ uˇccujemo ujem o da je m je m = = 0 ako i samo ako u ako u ρ razapinju prostor prostor N R , ˇssto to nam da je egzaktno egzaktnost st kratk kratkog og niza p pod od dodatnim uslovom, usl ovom, ˇccime im e je dokaz teo teorem remee zavrˇssen. en .

∑

Primjer 2.3.1 Neka je   X Σ = P 2 torusni varijetet lepeze prikazane na slici

1.9 iz prim primjer jeraa 1.6. 1.6.1. 1. Gen Gener erato atori ri zr zraka aka lep lepeze eze su su    u1 = e1, u2 = e2 i i    u0 = −e1 − e2 . Ozna Oznaˇˇccimo imo sa   sa   D1 , D2 i i    D0 odgovarajućcee divizore. diviz ore. Prema teoremi 2.3.3. imamo da je: e1

= D 1 − D0 0 ∼ div div((χe2 ) = ⟨e1 , u1 ⟩D1 + ⟨e1 , u2 ⟩D2 + ⟨e1 , u0⟩D0 = D 0 ∼ div div((χ ) = ⟨e2 , u1 ⟩D1 + ⟨e2 , u2 ⟩D2 + ⟨e2 , u0⟩D0 = D = D 2 − D0 sa    [D1]. Dakl Ovo znaˇci ci da je je    D1 ∼ D2 ∼ D0 pa je   je   C l(P2 ) generisana sa Dakle, e, C l(P2) ≃ Z Odre redimo dimo grupu klasa divizo divizora ra Hirze Hirzebrucho bruchove ve povrˇssi i   H H 2 ˇcija Primjer 2.3.2 Od je lepeza data na slici 1.10 iz primjera 1.7.1. Generat Generatori ori zraka ove lepeze su u1 = e 1 + 2e2 , u 2 = e = e 2, u 3 = e 1 i  u u 4 = −e2 , a oni odreduju divizore   D D 1 , D2 , D3 i   D4 za koje vrijedi: 0 ∼ div div((χe1 ) = ⟨e1, u1 ⟩D1 + ⟨e1 , u2 ⟩D2 + ⟨e1 , u3 ⟩D3 + ⟨e1 , u4 ⟩D4 =

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

59

= −D1 + D + D3 0 ∼ div div((χe2 ) = ⟨e2, u1 ⟩D1 + ⟨e2 , u2 ⟩D2 + ⟨e2 , u3 ⟩D3 + ⟨e2 , u4 ⟩D4 = = 2D1 + D + D2 − D4 Odavde imamo da je   D3 ≃ D1 i   D4 ≃ 2D1 + D2 , pa je   C l(H2 ) generisana sa D1 i   D2 , ˇssto t o zn znaˇ aˇci ci da je   je   C l(H2 ) ≃ Z2

2.4 2. 4

Cart Cartie iero rovi vi diviz divizor orii na torus torusni nim m varij arijet eteetima

Neka je X je X Σ torusni varijetet varijetet lepeze Σ. Sv Svaki aki Caritiero Caritierov v divizor na na X X Σ je i Weilov divizor na X Σ . Ako sa CDivT N (X Σ ) oozn znaˇ aˇcimo ci mo gr grup upu u T N N −invarijantnih N Cartierovih divizora na torusnom varijetetu X Σ , onda je jasno da je CDivT NN   (X Σ ) podgrupa od Div T N (X Σ ). Ka Kak ko je osim osim to toga ga,, div div((χm ) ∈ CDivT NN   (X Σ ) za N svako   m ∈ M svako M  kao kao neposrednu posljedicu teoreme 2.3.3. imamo: Teorema 2.4.1. Niz

M   −→ CDivT N (X Σ ) −→ P ic( ic(X Σ ) −→ 0 N je egzakt egzaktan, an, gdje je prvo preslikavanje   m m→  div div((χm ) a drugo T drugo T N N −invarijantni divizor slika u njegovu klasu u   P ic( ic(X Σ ). Osim toga, niz (X Σ ) −→ P ic 0 −→ M   −→ CDivT N ic((X Σ ) −→ 0 N je kratki egzaktni niz ako i samo ako {uρ | ρ ∈ Σ(1)} razapinju prostor   N R . Naˇs slije Naˇ slijede´ deći ci zadatak je da odredimo koji su to T N invarijantni arijantni divizori N −inv Cartierovi divizori. Poˇccet et ćcemo em o sa raz razmat matran ranjem jem afin afinog og sluˇcaja. ca ja. je   σ ⊆ N R strogo strogo konve konveksan ksan po polie liedra dralni lni konus. Propozicija 2.4.2. Neka je   Tada vrijedi: (a) Sva Svaki ki   T N N −invarijantni Cartierov divizor na   U σ je divizor karaktera; (b) P ic ic((U σ ) = 0.

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

Ozna naˇˇccimo i mo sa R = Dokaz Oz

∑

60

C[σ ∨ ∩ M ] i pretpostavimo najprije da je

D = ρ aρ Dρ efektivan efektivan   T N invarijan arijantni tni Cartierov divizor. Prema teoremi N −inv 2.1.4. imamo da je Γ(U Γ(U ρ , OU ρ (−D)) = {f   ∈ R | f   = 0, ili ili je f ̸ = 0 i div( div (f ) ≥ 0} ideal prstena prstena R ko koji ji ćemo ce mo oznaˇ oznaˇcciti i ti sa I sa I .. Kako je R = C · χm

⊕

m∈σ ∨ ∩M

i D je je   T N N −invarijantan divizor imamo da je I   =

⊕

⊕

C · χm =

χm ∈I

C · χm

div(χm )≥D

Iz teoreme o orbitalnoj dekompoziciji torusnog varijeteta iz ρ ⊆ σ imamo inkluziju   T N inkluziju orbita   O(σ ) ⊆ O (ρ) ⊆ Oρ Oρ = = D D ρ za sve sve ρ ∈ σ (1), pa je N −orbita O(ρ) ⊆ ∩ρ Dρ Neka je p ∈ O(σ ) fiks Neka fiksiran iranaa taˇ cka. cka. Kak Kakoo je D Cartier Cartierov ov div divizo izor, r, on je lokalno glavni pa postoji okolina U okolina U    ta taˇcke p u kojoj je jednak di jednak divv (f ) f ) za neko ∗ f   ∈ C(U σ ) . Suˇzav avaa jući U   U   ukoliko je pot potrebno rebno moˇzemo zemo pos posti´ tići ci da bude zado zado-voljeno i U i U    = (U σ )h = Spec Spec((Rh ) gdje gdje h ∈ R i h( p) p)̸= 0. Kako je je D efektivan divizor, f   ∈ Rh i h je invertibilno u u U , emo pretpost pretpostaviti aviti da je je f   ∈ R. U , moˇzzemo Sada je div((f ) = div



f ))Dρ + ν Dρ (f



ν E E (f )E   ≥

̸=Dρ E

ρ



= D ν Dρ (f )Dρ = D

ρ

∑

Ovdje smo sa E ccili ili sumu duˇz svih prost prostih ih divizo divizora ra razliˇccitih itih od ̸=Dρ oznaˇ Dρ . Nejedn Nejednakost akost slijedi iz ˇccinjenice injenice da da   f   ∈ R, a da je ρ ν Dρ (f )Dρ = D jer   p ∈ U   ∩ Dρ za sve sve ρ ∈ Σ(1). divv (f )|U   jer zakljuˇ zak ljuˇccujemo uj emo iz tog togaa ˇssto to je je D|U   = di Dakle, d Dakle, div iv((f f )) ≥ D, pa pa   f   ∈ I . div((χm ) ≥ D. Zbog (1), moˇzzemo emo pisati da je je f f    = i ai χmi gdje ai ∈ C∗ i div Ako se ograniˇccimo imo na U   U   , ovo postaje div div((χmi )|U ≥ div div((f ) f )|U , pa prema propoziciji 2.1.4. imamo da je je χmi /f /f  morfizam morfizam na na U . U . Sada iz

∑

∑

1=

∑

i

a i χ mi = f

 i

χmi ai f

i p ∈ U U  imamo imamo da je (χ (χmi /f /f )( )( p p))̸ = 0 za neko neko i. Ka Kako ko jjee χmi /f /f    razl ra zliˇ iˇcito ci to od nule na nekom skupu skupu V koji p ∈ V   ⊆ U V    za koji p U ,, imamo da je div((χmi )|V    = div div div((f ) f )|V    = D |V

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

61

∩

Nosaˇc diviz Nosaˇ di vizor oraa D i div div((χmi ) sadrˇzzan an je u ρ Dρ , a kako zbog p ∈ V   ∩ Dρ svako   Dρ si svako sijeˇce V V ,, zakljuˇccujemo uje mo da je je D = div = div((χmi ). Neka je D priozvoljan T N e N −invarijantni Cartierov divizor na U σ . Kako jje dimσ ∨ = dimM R , jer je je σ s stro trogo go konveks konveksno, no, moˇzemo zem o naći ci m M    za ∈ σ∨ ∩ M m koje je ⟨m, uρ ⟩ > 0 za sve ρ ∈ Σ(1) Σ(1).. Pre Prema ma tom tome, e, div div((χ ) je pozitivna linearnaa kom linearn kombinacij binacijaa divizo divizora ra Dρ , pa je D ′ = D + div div((χkm ) ≥ 0 za sve dovoljno velike velike k ∈ N . Ovo znaˇci ci da su su   D′ i D diviz divizori ori karaktera karaktera,, ˇcime cime smo dokazali tvrdnju pod (a). Tvrdnja (b) slijedi neposredno iz teoreme 2.4.1. V ((xy − zw zw)) ⊆ C4 torusni varijetet iz primjera Primjer 2.4.1 Neka je   X   = V 1.5.2. X  je je torusni varijetet konusa  σ σ = Cone = Cone((e1 , e2 , e1 + e3 , e2 + e3 ) ⊆ R3 ˇciji generatori zraka   u1 = e 1 , u2 = e = e 2 , u3 = e 1 + e3 i  u u 4 = e = e 2 + e3 odreduju proste 4 divizore    D1 , D2 , D3 i   divizore i   D4 . Pr Pret etppost ostav avim imoo da je je    D = i=1 ai Di Cartierov divizor na   X . To prema prethodnoj teoremi znaˇccii da je   D divizor karaktera. M .. Sada je Neka je   D = div = div((χm ) = ⟨m, ui ⟩Di za   m = (m1 , m2 , m3 ) ∈ M

∑

∑

D = div = div((χm ) = m 1D1 + m + m2 D2 + (m ( m1 + m + m3 )D3 + (m ( m2 + m + m3 )D4

∑

dovodi odi ddoo zakljuˇccka ka da je   D Cartierov ˇsto izje iz jedn dnaˇ aˇccava a vaju ju´ćcii sa   a   D = 4i=1 ai Di dov divizor na varijetetu  X X  ako ako i samo ako su   a ai vezani relacijom   a a3 +a2 = a = a 4 +a1 . Odredimo grupu   C l(X ) 0 ∼ div div((χe1 ) = ⟨e1, u1 ⟩D1 + ⟨e1 , u2 ⟩D2 + ⟨e1 , u3 ⟩D3 + ⟨e1 , u4 ⟩D4 = = D1 + D + D3 0 ∼ div div((χe2 ) = ⟨e2, u1 ⟩D1 + ⟨e2 , u2 ⟩D2 + ⟨e2 , u3 ⟩D3 + ⟨e2 , u4 ⟩D4 = = D2 + D + D4 0 ∼ div div((χe3 ) = ⟨e3, u1 ⟩D1 + ⟨e3 , u2 ⟩D2 + ⟨e3 , u3 ⟩D3 + ⟨e3 , u4 ⟩D4 = = D3 + D + D4 Ovo znaˇci ci da je   je   [D1 ] = [D2 ] = [D3 ] = [D4 ], pa je   C l(X ) ≃ Z. Iz prethodne teoreme imamo da je  P P ic( ic(X ) = 0, pa zakljuˇ zakl juˇccujemo ujemo da su divizo divizori ri Di , i = 1, . . . , 4 Weilovi ali ne i Cartierovi. Propozicija 2.4.3. Neka je   X Σ torusni varijetet lepeze   Σ iz   N R ≃

Rn . Ako

Σ sa sadrˇ drˇzi zi konus dimenzi dimenzije je   n onda je   P ic( ic(X Σ ) slobodna Abelova grupa. ce biti da doka dokaˇˇzzemo emo Dokaz Kako je niz iz teoreme 2.4.1. egzaktan dovoljno će da ako je D T N N -invarijantni Cartierov divizor i kD je divizor karaktera za

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

62

neko k > 0, onda isto vaˇ vaˇzi zi i za divizor divizor   D. Da bi to dok dokazal azalii stav stavimo imo da je D = ρ aρ Dρ i pretpostavimo da je je kD kD = = div div((χm )|U ρ , za neko neko m ∈ M . Pretpostavimo Pretpostav imo da da σ σ ima dimenziju dimenziju n. D je Cartierov divizor pa je i njegova

∑

′

restrikcija na na U σ tako takode de Cart Cartiero ierov v div divizor izor.. Iz teoreme o orbi orbitaln talnoj oj dekomdekompoziciji torusnog varijeteta imamo da je D|U σ =



aρ Dρ

ρ∈Σ(1)

Ovaj je divizor, Ovaj divizor, prema propozic propoziciji iji 2.4. 2.4.2. 2. gla glavni vni na U σ pa postoji m ∈ M m takvo da je je D|U ρ = div div((χ )|U ρ . Odavde slijedi da je ′

aρ = ⟨m′ , uρ ⟩, za sve ρ ∈ Σ(1) Sa druge strane, strane, kD kD = = div div((χm ) implicira da je ka ρ = ⟨m, uρ ⟩, za sve ρ ∈ Σ(1) Iz posljednje dvije jednakosti imamo da je k aρ = ⟨m, uρ ⟩, za sve ρ ∈ Σ(1) ⟨km ′ , uρ ⟩ = ka Kako u Kako u ρ razapinju prostor N prostor N R , jer je dimσ je dimσ = = n n,, iz gornje jednako jednakosti sti slijedi da ′ m je je   km = m m,, oodakle dakle zakljuˇccujemo ujem o d daa jjee D D = = div div((χ ) ˇccime ime je dokaz prop propoziozici cije je zav zavrˇ rˇsen. sen. ′

Navedimo sada dvije propozicije prop ozicije koje ćcee nam dati poredenje izmedu Cartierovog i Weilovog divizora na torusnom varijetetu. ccii uslovi Propozicija 2.4.4. Neka je   X Σ torusni varijetet lepeze   Σ. Slijede´ su ekvivalentni: (a) Sva Svaki ki Weilo Weilovv divizo divizorr na   X Σ je Cartierov divizor; (b) P ic ic((X Σ ) = C l(X Σ ) (c) X Σ je glatko (a) ⇔ (b) je oˇccigledna. igledna. Implik Implikacija acija (c) ⇒ (a) vrijedi Dokaz Ekvivalencija (a uvijek i posljedica je poznate teoreme iz algebarske geometrije jer ako je X je X Σ glatko, onda je za svako p svako p ∈ X Σ lokalni prsten OX σ ,p regularan ,a svaki takav prsten je i domen jednoznaˇccne ne faktorizacije. Ostaje Osta je da doka dokaˇˇzzemo emo da u torusnom sluˇcaju ca ju vrijedi (a) ⇒ (c). U tom ccil ilju ju pretpostavimo da je svaki Weilov divizor na X na X Σ i Cartierov divizor i neka je U σ afin otvoren podskup koji odgovara konusu konusu σ ∈ Σ kako je preslikavanje C l(X Σ ) → C l(U σ ) sirjektivno, svaki Weilov divizor na U σ je Cartie Cartierov rov.. Iz

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

63

propozicije propozici je 2.2.2 2.2.2.. sli slijedi jedi da je P ic( ic(U σ ) = 0, a iz teo teorem remee 2.2. 2.2.3. 3. im imamo amo da m m → div div((χ ) inducira sirjektivno preslikavanje N (U σ ) = M   −→ DivT N

⊕

ρ∈σ (1)

ZDρ

Ako stavimo da je je σ (1) = {ρ1 , . . . , ρs }, onda ovo preslikavanje postaje: M → Zs m → (⟨m, uρ1 ⟩, . . . , ⟨m, uρs ⟩) Ako sada definiˇssemo emo presl preslikav ikavanje anje Φ : Zs → N  sa N  sa Φ(a Φ(a1 , . . . , as ) = onda je dualno preslikavanje

(2.4)

∑

s i=1

ai uρi

Φ∗ : M M    = H omZ (N, Z) → H omZ (Zs , Z) = Zs upravoo (2. uprav (2.3) 3).. Da Dakl kle, e, Φ ∗ je sirjektivno prslika prslikavanje, vanje, a to znaˇci ci da se uρ , ρ ∈ Σ(1) mogu dopuniti do baze od N , a to dalje znaˇ ci ci da je je σ glatko. σ je bio proizvoljan konus lepeze Σ pa zakljuˇccujemo ujemo da je lepeza Σ glatka ˇsto vaˇzzii i za varije varijetet tet X Σ ˇccime ime smo prop propozici oziciju ju dokazali. Na sliˇccan an naˇccin in ssee izvo izvodi di do dokaz kaz simpli simplicijaln cijalnog og aanalog nalogona ona preth prethodn odnee pr propo opozizicije koji glasi: ccii uslovi Propozicija 2.4.5. Neka je   X Σ torusni varijetet lepeze   Σ. Slijede´ su ekvivalentni: (a) Za svaki Weilov divizor na   na   X Σ postoji pozitivan cjelobroja cjelobrojan n umnoˇzzak ak koji je Cartierov divizor; (b) P ic ic((X Σ ) ima konaˇccan an indeks kao po podgrupa dgrupa od   Cl Cl((X Σ ) (c) X Σ je simplicijalan varijetet Navedimo sada teoremu u kojo kojojj ćcemo emo dati karakterizaciju karakterizaciju T T N N −invarijantnog Cartierovog Cartiero vog divizo divizora ra . ava po podskup dskup lepeze Σ kojeg ˇccine ine maksimalni Neka nam Σmax ⊆ Σ oznaˇccava konusi iz Σ. X Σ torusni varijetet lepeze  Σ i Σ i neka je   D = D = Teorema 2.4.6. Neka je  X Slijedeći ci uslovi su ekvival ekvivalentni: entni: (a) D je Cartierov divizor;

∑

ρ

a ρ Dρ .

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

64

(b) D je glavni divizor na afinom otvorenom podskupu   U σ za sve   σ ∈ Σ; (c) Za svako σ ∈ Σ postoji postoji    mσ ∈ M M    takvo da je   ⟨mρ , uρ ⟩ = −aρ za sve ρ ∈ Σ(1) Σ(1);; (d) Za svako svako σ ∈ Σ max postoji   mσ ∈ M M  takvo takvo da je   ⟨mρ , uρ ⟩ = − aρ za sve ρ ∈ Σ(1) Σ(1).. Osim toga, ako je   D Cartierov divizor i  { { mσ }σ∈Σ je kao u   (c) onda vrijedi i: (1) mσ je jedinstveno modulo modulo M (σ) = σ ⊥ ∩ M (2) Ako je   τ   τ   stranica od   σ , onda je   mσ ≡ mτ modM (τ ) τ ).

∑

aρ Dρ ekvivalencije (a (a) ⇔ (b) ⇔ (c) slijede iz propozicije propozicije 2.4. 2.4.2. 2. Imp Implik likacij acijaa (c) ⇒ (d) je jasna, a (d (d) ⇒ (c) slijedi iz ˇcinjenice cinjenice da je sv svaki aki kon konus us iz Σ stranica nekog kon konusa usa   σ ∈ Σmax , a ako je t o je D|U ρ = Dokaz Poˇssto

ρ∈σ (1)

m ∈ Σmax za svako svako σ onda to va vaˇˇzi zi i za sve stran stranice ice od od σ . Da bi dokazali (1), pretpostavimo da za mσ ∈ M M    vrijedi ⟨m, uσ ⟩ = −aρ za sve   ρ ∈ σ (1). Za dato sve dato m′σ ∈ M M  imamo imamo da je :

⟨m′σ , uρ ⟩ = −aρ ∀ ρ ∈ σ(1) ⇔ ⟨m′σ − mσ , uρ ⟩ = 0 ∀ρ ∈ σ (1) ⇔ ⟨m′σ − mσ , u⟩ = 0 ∀u ∈ σ M ((σ ) ⇔ m′σ − mσ , uρ ∈ σ⊥ ∩ M   = M Odvade slijedi da je je mσ jedinstveno modulo modulo M (σ ). Kak Kakoo mσ vrijedi za sve stranice τ   τ   id id   σ , jedinstvenost implicira da je mσ ≡ mτ modM ( modM (τ ), τ ), iz ˇccega ega siledi (2) Potsjetimo se da smo nosaˇ Potsjetimo ccem em lepeze Σ zv zvali ali uniju uniju   U σ∈Σ σ ⊆ N R koju smo oz ozna naˇˇcaval cavalii ssaa | Σ|. Definiˇssimo imo sada pojam po jam nos nose´ eće ce fu funkc nkcij ije e : ccaa funkcija je funkcija   ϕ : | Σ| → R koja je linDefinicija 2.4.1 (a) Nose´ earna na svakom konusu. Skup svih nosećcih ih funkcija oznaˇccavamo avamo sa SF (Σ) SF (Σ) (b) Za nosećcu u funkcij funkciju u   ϕ kaˇzzemo emo da je cijela s obzirom na re reˇˇssetku   etku   N   N   ako je ϕ(Σ ∩ N ) ⊆ Z Skup svih nosećcih ih funkcij funkcijaa sa ovom osobi osobinom nom oznaˇccavamo avamo sa  SF S F (Σ (Σ,, N ) N ). Opiˇssimo imo sada Cart Cartierov ierov divizo divizorr u termi terminima nima nosećcih ih funkcija funkcija..

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

65

Teorema 2.4.7. Neka je   Σ lepeza u   N

(a) Neka je   D =

ρ

aρ Dρ i   mσ ∈ M M  odredeni odredeni za svaki konus   σ ∈ Σ tako

∑

(1).. Tada je funkcija da vrijedi   ⟨mσ , uρ ⟩ = −aρ za sve   ρ ∈ σ (1) ϕD : |Σ| → R u → ϕD (u) = ⟨mσ , u⟩

za   u ∈ σ, σ , dobro dobro definis definisana ana nose nose´ćcaa funkc funkcija ija koja je cijela cijela s obzir obzirom om na N (b) ϕD (uρ ) = −aρ za sve   ρ ∈ Σ(1) Σ(1),, tako da je D = −



ϕD (uρ )Dρ

ρ

(c) Pr Preslika eslikavanje vanje   D → ϕD inducira izomorfizam (X Σ ) ≃ SF (Σ,, N ) CDivT N SF (Σ N sl slij ijed edii da je sv svak akoo mσ jedinstveno jedinstveno odredeno mod((σ ⊥ ∩ M ) i da je mσ ≡ mσ mod mod mod((σ ∩ σ ′ )⊥ ∩ M M    iz ˇccega ega slijedi da je definisanaa fun funkc kcija ija.. Kak Kakoo je je ϕD |σ (u) = ⟨mσ , u⟩ za za   u ∈ σ, ϕD je ϕD dobro definisan linearno na svakom konusu σ konusu σ,, a cijelo je s obzirom na N   N   jer jer   mσ ∈ M . Ovim je dio po pod d (a) dokazan, a (b) slijedi neposredno iz definicije ϕD i definicije familije {mσ }. Dokaˇ Dok aˇzzimo imo da vrijedi (c). primjeti primjetimo mo najprije da zbog (a) (a)   ϕD ∈ SF SF (Σ (Σ,, N ). N ). (X Σ ) i k ∈ Z je Za D Za D,, E  ∈ ∈ CDivT N N teore reme me 2.4 2.4.6 .6.. Dokaz: Iz teo

′

ϕD+E = ϕD + ϕ + ϕE ϕkD = kϕ D ˇssto to znaˇci ci da je pre presli slikav kavanj anjee CDivT N (X Σ ) → SF SF (Σ (Σ,, N ) homomorfiza homomorfizam. m. InN jektivnost slijedi iz iz (b), pa osta ostaje je da dokaˇ dokaˇzzemo emo sirjektivnost. U tom cilju uzmimo ϕ ∈ SF SF (Σ (Σ,, N N )) i fiksirajmo konus konus σ ∈ Σ Σ.. Ka Kak ko je je   ϕ cijelo s obzirom na na N , N , ono odredu je N−linearno preslikavanje preslikavanje ϕ|σ∩N   : σ ∩ N   → Z koje se produˇzzava ava do N−linear linearnog nog preslik preslikav avanja anja Φσ : N σ → Z, gdje je N σ = Span Span((σ) ∩ N . N . Iz H omZ (N σ , Z) ≃ M/M (σ ) slijedi da postoji postoji mσ ∈ M M  takvo takvo da je je ϕ|σ (u) = ⟨mσ , u⟩ za za   u ∈ σ . To zznaˇ naˇci ci Ovim im sm smoo da je D = − ρ ϕD (uρ )Dρ Cartierov divizor koji se slika u ϕ. Ov (X Σ ) ≃ SF SF (Σ (Σ,, N ), N ), ˇccime im e je dokaz teo teorem remee zavrˇsen. sen . dokazali da je CDiv je CDivT N N

∑

GLAV GLA VA 2.

DIVIZ DIVIZORI ORI NA TORU TORUSNIM SNIM VARIJET VARIJETETIMA ETIMA

66

U termini terminima ma funk funkcije cije p podrˇ odrˇsske ke egzaktni niz iz teoreme 2.4.1. postaje M   −→ SF SF (Σ (Σ,, N ) −→ P ic ic((X Σ ) −→ 0 pri pr i ˇcemu ce mu se m ∈ M M  slika slika u n nose´ osećcu u funkciju definis definisanu anu ssaa u → −⟨m, u⟩ a ϕ ∈ SF SF (Σ (Σ,, N ) se slika u klasu [− ρ ϕ(uρ )Dρ ] ∈ P ic( ic(X Σ ).

∑

Glava 3 Politopi i torusni varijeteti 3.1

Divizo Divizor r toru torusno snog g vari varijet jeteta eta politopa politopa n

i posmatrajmo politop P   ⊆ M R Pretpostavimo sada da maksimalne dimenzije n sa vrhovima u reˇssetki etki M . P P    tada ima kanonsku prezentaciju je M R = R

P   = {m ∈ M R | ⟨m, uF ⟩ ≥ −aF  za sve strane F od P } gdje aF   ∈ Z, a u gdje a a uF   ∈ N  prema prema unutra usmjerene normale na strane politopa P politopa P koje su istovremen istovremenoo i minimalni minimalni generatori zraka zraka ρ ρ F   = Cone Cone((uF ). Normalnu lepezu ΣP   politopa politopa P  ˇ P  ˇcine ci ne konu konusi si σ Q indeksirani stranicama stranicama Q ⊆ P P  gdje gdje je σQ = Cone = Cone((uF   | F sadrzi Q) Q) Vrhovi politopa P politopa P  odgovaraju odgovaraju maksimalnim konusima lepeze ΣP , a strane od P  odgovaraju P  odgovaraju zrakama lepeze. Generatori zraka normalne lepeze su normale na strane politopa. Svakoj zraki lepeze ΣP  o odgovara dgovara pr prost ost divizo divizorr ko koji ji ćcemo emo oz oznaˇ naˇcciti i ti sa DF . Iz normalne lepeze prema tome, moˇzzemo emo proˇcitati citati normale na stranice stranice uF  ali ne i cijele brojeve a F . U tu svrhu ćcee nam pos posluˇ luˇzziti iti divizo divizorr DP   =



aF DF

F

ko kojeg jeg ćcemo em o zvati divizor politopa   P . P . Propozicija 3.1.1. DP  je Cartierov divizor na   X P P   i   DP    0.

Vrhu v ∈ P P    odgovara maksimalni konus konus σv , a zraka zraka ρF   le leˇzi u σv (1) Dokaz: Vrhu ako i samo ako v ako v ∈ F . F . P je pol politop itop reˇssetke etke pa v pa v ∈ M   i za za v v ∈ F  imamo imamo da je 67

GLAV GLA VA 3.

POLITO POLITOPI PI I TORU TORUSNI SNI VARIJET VARIJETETI ETI

68

⟨v, uF ⟩ = −aF , ˇssto to znaˇci ci da po posto sto ji fam familij ilijaa v ∈ M  takva takva da je ⟨v, uF ⟩ = −aF za sve ρF ∈ σv (1), pa iz teoreme 2.4.6. zaklju zakljuˇˇccujemo ujemo da je je DP Cartierov divizor. Ako je je DP   ∼ D onda je za neko neko m ∈ M D − DP   = div div((χm ), ˇssto t o bi zn znaˇ aˇcilo ci lo da je = D P   + div D = D div((χm ) =

  

aF DF   +

⟨m, uF ⟩DF   =

F

F

=



−⟨v, uF ⟩DF   +

F

=



⟨m, uF ⟩DF   =

F

⟨m − v, uF ⟩DF

F

= DP −m

(3.1)

Ako bi imali da je D je DP   ∼ 0 onda on da bi ttoo zn znaˇ aˇccilo ilo da jjee za z a ne neko ko m m ∈ M DP −m = 0, ˇssto to je nemoguće ce jer je normalna lepeza Σ politopa reˇssetke etke kompletna tj. = N R . Ovim je dokaz pro propozicije pozicije zavr zavrˇˇsen. sen. |Σ| = ∪σ∈Σ σ = N Ako sa m sa mσv oz ozna naˇˇcimo ci mo vr vrh h v politopa v politopa P P ,, onda prema teoremi 2.4.6. imamo da je je DP  potpuno opisan familijom

{mσv }σv ∈ΣP (n) = {v | v je vrh od P } Klasa divizora [D [DP ] ∈ P ic( ic(X PP  ) takode ima lijepu interpretaciju jer ako je D ∼ DP  onda je D je D = = D D P  +div + div((χm ) za neko m neko m ∈ M . Ranije smo konstatovali da politop politop P   P   i njegov translat translat P   − m imaju istu normalnu lepezu pa tako generiˇssu u isti ttorusni orusni varijetet, tj. da je X je X P P   = X m+P . Osim toga, D = D = D P   + div div((χm ) = D P −m ˇssto to znaˇci ci da kla klasa sa div divizo izora ra   DP  daje sve translacije politopa politopa P P .. Maksimalno-dimenzionalni politop reˇssetke etke P   ⊆ M R ima vrlo interesantnu nosećcu u funkciju na normalno normalnojj lepezi ΣP . Pretpostavi ostavimo mo da je je    P ⊆ M R politop polito p re reˇˇsetke setke maksiPropozicija 3.1.2. Pretp malne dimenzije i neka je   ΣP   njegova normalna lepeza. Funkcija   ϕP   : N R → R definisana sa ϕP (u) = min min((⟨m, u⟩ | m ∈ P P )) ima slijede´ sli jedeće ce oso osobin bine: e: (a) ϕP  je nos nose´ ećcaa fun funkcij kcijaa zza a  Σ Σ P   i to je cijela ffunkcija unkcija s obzirom na re reˇˇssetku etku N

GLAV GLA VA 3.

POLITO POLITOPI PI I TORU TORUSNI SNI VARIJET VARIJETETI ETI

69

(b) Divizor koji odgova odgovara ra funkci funkciji ji   ϕP  je upravo divizor   DP najprije jprije da minimum iz definicije noseće ce funkcije funkcije ϕ ϕ P   posDokaz Primjetimo na toji jer je je P  kompaktan P  kompaktan poliedar tj. politop. Neka je P   = {m ∈ M R | ⟨m, uF ⟩ ≥ −aF  za sve strane F od P }

∑

da ϕ P (u) ∈ Divizor D P   = F  a F DF  je Cartierov divizor. Trebamo pokazati da ϕ Divizor D SF (Σ SF (ΣP ) i da je ϕP (uF ) = −aF . Maksima Maksimalni lni ko konu nusi si lepeze ΣP odgovaraju vrhovima politopa P , P , tako da vrh v odreduje maksimalni konus σv = Cone Cone((uF   | v ∈ je λ F   ≥ 0, onda za m za m ∈ P F F ). ). Ak Akoo uzmem uzmemoo da je je u u = = v∈F  λ F uF   ∈ σv , gdje je λ imamo λF ⟨m, uF ⟩ ≥ − λF aF ⟨m, u⟩ =

∑

∑ 



v∈F

v∈F

Dakle, ϕP (u) ≥ − v∈F  λ F aF . Kako zzaa m = v , dobijamo da u gornjoj nejednakosti vrijedi jednakost, imamo ϕP (u) = −



λF aF   = ⟨v, u⟩

v ∈F

Ovo znaˇci ci da je ϕ je ϕ P   ∈ SF SF (Σ (ΣP , N N ), ), a za za v ∈ F F    je ϕP (uF ) = ⟨v, uF ⟩ = −aF , ˇccime i me je do dokaz kaz zav zavrˇ rˇssen. en. normalnu nu lepezu ˇcciji iji ssu u konusi konu si uze uzeti ti nad straniPrimjer 3.1.1 Modifikujmo normal t akoo ˇsto st o ćcemo e mo vr vrh h    e1 + e + e2 + e + e3 cama kocke u   R3 sa vrhovima   ±e1 ± e2 ± e3 tak zamijeniti sa   e1 + 2e 2 e2 + 3e 3 e3 . Dobiven Dobivenu u lepezu l epezu ooznaˇ znaˇccimo imo sa   Σ. Generatore Gene ratore zraka obi obiljeˇ ljeˇzzimo im o vrh vrhovi ovima ma koj kojima ima prola prolaze ze na sli slijede´ jedećcii naˇcin cin u1 = (1, (1, 2, 3) u5 = (1 (1,, −1, −1) (1, −1, 1) u6 = (−1, −1, 1) u2 = (1, u3 = (1, (1, 1, −1) u7 = (−1, 1, −1) u4 = (−1, 1, 1) u8 = (−1, −1, −1) Maksimalne konuse lepeze   Σ oz ozna naˇˇccimo i mo sa σ1 = Cone = Cone((u1 , u2 , u3 , u5 ) σ4 = Cone = Cone((u2 , u5 , u6 , u8 ) σ2 = Cone = Cone((u1 , u3 , u4 , u7 ) σ5 = Cone = Cone((u3 , u5 , u8 , u7 ) σ3 = Cone = Cone((u1 , u2 , u4 , u6 ) σ6 = Cone = Cone((u4 , u6 , u7 , u8 ) Neka je   ϕ ∈ S F (Σ F (Σ,, Z3 ) proizvoljna nosećcaa funkcija. Kako je   ϕ|σ1 linearno i postoji   m1 ∈ Z3 takvo da je   ϕ(u) = ⟨m1 , u⟩ za sve   u ∈ σ1 , nose´ nos ećcaa funkci fun kcija ja u → ϕ(u) − ⟨m1 , u⟩

GLAV GLA VA 3.

POLITO POLITOPI PI I TORU TORUSNI SNI VARIJET VARIJETETI ETI

70

je identiˇccki ki jednaka nuli na na    σ1 . Zamij Zamijenjuju´ enjujućci   i   ϕ sa ovom funkcijom ako je potr potrebno, ebno, moˇzemo zemo pretp pretpostaviti ostaviti da je je    ϕ|σ1 = 0. Ka Kako ko   u1 , u2 , u3 , u5 ∈ σ1 imamo da je ϕ(u1 ) = ϕ( ϕ (u2 ) = ϕ( ϕ (u3 ) = ϕ ϕ((u5) = 0 Svaki maksimalni konus ima ˇccetiri etiri generator generatoraa koji su vezani linearnim relaci jama σ1 2u1 + 5u 5 u5 = 4u2 + 3u 3 u3 σ2 2u1 + 4u 4 u7 = 3u3 + 5u 5 u4 σ3 2u1 + 3u 3 u6 = 4u2 + 5u 5 u4 σ4 u2 + u + u8 = u 5 + u + u6 σ5 u3 + u + u8 = u 5 + u + u7 σ6 u4 + u + u8 = u 6 + u + u7 Imajući ci u vidu da je funkcija   ϕ linearna na svakom od ovih konusa i da je ϕ(u1 ) = ϕ(u2 ) = ϕ(u3 ) = ϕ(u5 ) = 0, iz prethodnih relacija dobijamo da vrijedi 4ϕ(u7 ) = 5ϕ(u4 ) 3ϕ(u6 ) = 5ϕ(u4 ) ϕ(u8 ) = ϕ(u6 ) ϕ(u8 ) = ϕ(u7 )

Slika 3.1:

GLAV GLA VA 3.

POLITO POLITOPI PI I TORU TORUSNI SNI VARIJET VARIJETETI ETI

71

Odavde se jednostavno dobija da je   ϕ(u4 ) = ϕ ϕ((u6 ) = ϕ ϕ((u7 ) = ϕ ϕ((u8 ) = 0, ˇsto zaˇci ci da je   je   ϕ = 0 na ˇccitavoj ita voj lepezi lepezi    Σ. Dakle, sve nosećcee funkcije su linearne pa je   P ic ic((X Σ ) = 0, iz ˇccega ega slijedi da su svi Cartierovi divizori na torusnom varijetetu    X Σ glavni. varijetetu glavni. Pokaza Pokazali li smo da divizor torus torusno nogg varijeteta pol politop itopa a DP nije glavni Cartierov divizor, pa zakljuˇccujemo ujemo da posmatrana posmatrana lepeza   Σ nije lepeza niti jednog trodimenzion trodimenzionalnog alnog politopa reˇssetke. etke.

3.2 3. 2

Pram Pramen en divi divizo zora ra

Sada ćcemo emo definisa definisati ti pramen divizo divizora ra na torusnom varijete varijetetu tu i nav navesti esti njegove osnovne osobine. Neka je X X    topoloˇ to poloˇsski ki prost prostor or i Op Op((X ) kategorija otvorenih podskupova od X . Predpramen modula na X   X   je kontravarijantni funktor F  sa kategorije Op((X ) u kategorij Op ategoriju u modula (prstena (prstena). ). Drugim rijeˇccima, ima, za sv svaki aki otvor otvoreni eni podskup U podskup U   ⊂ X  imamo imamo modul (prsten) F (U ), ), a za svaku inkluziju otvorenih podskupova V ⊂ U   U   preslikavanje ρU,V    : F (U ) U ) → F (V V )) tako da je ρU,U identiˇ ide ntiˇccko ko pre presli slikav kavanj anjee i za za W   ⊂ V   ⊂ U   U   vrijedi vrijedi ρU,W   = ρ V,W   ◦ ρU,V  . Elemente modula (prstena) F (U ) zovemo sekcijama zovemo sekcijama   od F   nad nad U U .. Za predpramen F  kaˇzemo ze mo da je pramen  ako ako zadovoljava slijed slijede´ ećcu u aksiomu: aksio mu: Za datu familiju (U (U i ) otvorenih podskupova od X od X  zajedno zajedno sa sekcijama s sekcijama s i ∈ F (U i ) koje se podudaraju na presjecima tj. za koje vrijedi s vrijedi si |U i ∩U j = s j |U i ∩U j , postoji jedinstvena sekcija s sekcija s ∈ F (∪U i ) takva da je s je s i = s |U i , za sve sve i. Prije nego kaˇ zzemo emo ˇssta ta jjee to prame pramen n mo modula dula oodrede dreden n diviz divizorom orom D D,, primjetimo da preslikavanje OX   koje svakom otvorenom podskupu U   ⊆ X   X   p pri ridr druˇ uˇzzuje u je skup svih regularnih funkcija na U na U ,, tj. za koji je

OX (U ) = {ϕ : U : U   → C | ϕ je regularno na U } odreduje pramen prstena (C−algebri) na varijetetu X varijetetu X  ko koji ji ćcemo e mo zvat zvatii strukturni pramen   na n a X   ii obilj ob iljeˇ eˇzzavati avat i ssaa OX . Neka je sada sada D Weilov divizor na normalnom varijetetu X Σ . Pokaza Pokazatt ćcemo em o na X Σ . Sekci Sekcije je ovog pram pramena ena da da   D odreduje pramen OX Σ (D) OX Σ modula na ob obil ilje jeˇˇzavat zavat ćemo ce mo sa Γ(U, OX Σ (D)) = H 0 (U, OX Σ ) F (U U )) = Γ(U, Defi De finiˇsimo si mo div((f ) + D + D))|U   ≥ 0} ∪ {0} Γ( Γ(U, U, OX Σ (D)) = {f   ∈ C(X )∗ | (div i pokaˇ po kaˇzzimo im o da je O X Σ (D) pramen O X Σ modula na na X Σ . U tom cilju najprije Dovoljno no će ce biti b iti po pokaˇ kaˇzzimo im o da je Γ( Γ(U, U, OX Σ (D)) aditivna podgrupa od C(X Σ ). Dovolj

GLAV GLA VA 3.

POLITO POLITOPI PI I TORU TORUSNI SNI VARIJET VARIJETETI ETI

72

∑

da pokaˇzzemo emo da ovo vri vrijedi jedi za za X Σ = U . U . Neka je je D = ri=1 ai Di . f   ∈ Γ(U, Γ(U, OX Σ (D)) ako i samo ako je red anuliranja funkcije f   f   du duˇz Di , tj. ∗ ordDi (f f )) veći ci ili jed jednak nak −ai za sve sve i. Ako je i i g ∈ C (X Σ ) funkcija sa ovom osobinom onda onda f   + g ∈ Γ( Γ(U, U, OX Σ (D)) jer je ordDi (f   + g g)) ≥ min min((ordDi (f ),ordDi (g )) ≥ −ai Kako je osim toga, div toga, div((−f f )) = div div((f f )) zakljuˇccujemo ujem o da je Γ( Γ(U, U, OX Σ (D)) podgrupa od C (X Σ ). Pokaˇ zzimo imo sada da jjee ovo mod modul ul na nad d Γ( Γ(X X Σ , OX Σ ). Neka je f   ∈ Γ( Γ(X X Σ , OX Σ (D)) i neka je je g ∈ Γ( Γ(X je div + D ≥ 0 i div X Σ , OX Σ ). Tada je d iv((f f )) + D div((g) ≥ 0, pa je i div((gf div gf )) + D + D = = div div((g ) + div + div((f ) f ) + D + D ≥ 0 jer je suma efektivnih divizora efektivan divizor. Ovo znaˇccii da gf   ∈ Γ( Γ(X X Σ , OX Σ (D)) ˇssto to smo i ttreba rebali li pokazat pokazati. i. Linearno ekvivalent ekvivalentni ni divizo divizori ri odreduju izomorfne prameno pramenove. ve. Naime, neka su su E   i D linearno ekviv ekvivalen alentni tni Weilo eilovi vi diviz divizori. ori. Tada postoji g ∈ C (X Σ ) za koje je je D = E = E  + div + div((g). Sada je f   ∈ Γ( Γ(X X Σ , OX Σ (D)) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

div div((f ) + D + D ≥ 0 div div((f ) + E + E  + div + div((g ) ≥ 0 div div((f g ) + E + E   ≥ 0 f g ∈ Γ( Γ(X X Σ , OX Σ (E ))))

Pre ma ttome Prema ome,, mn mnoˇ oˇzzenje en je ssaa g inducira izomorfizam Γ(X Γ(X Σ , OX Σ (D)) ≃ Γ( Γ(X X Σ , OX Σ (E )))) OX Σ (X Σ ) modul modula. a. Sada ćcemo emo dati dva zgodn zgodnaa opisa globalnih sekcija Γ( Γ(X X Σ , OX Σ (D)). N −invarijantan Weilov divizor na   X Σ onda Propozicija 3.2.1. Ako je   D T N

je Γ( Γ(X X Σ , OX Σ (D)) =

⊕

C · χm

div (χm )+D≥0

div((f ) f ) + D ≥ 0 slijedi da je Γ(X X Σ , OX Σ (D)) onda iz div Dokaz:Ako je f   ∈ Γ( div (f div( f ))|T N ≥ 0 jer je je D|T N = 0. Poˇssto to je C[M ] koordinatni prsten od od T N N   iz N N teoreme 2.1.2. zakljuˇccujemo ujemo da je je f   ∈ C[M ], ], ˇssto t o zn znaˇ aˇci ci da je Γ( Γ(X X Σ , OX Σ (D)) ⊆ C[M ] Djelovanje T N N na samog sebe inducira djelovanje na C[M ] tako da je za t ∈ T N M ,, t · χm = χ m (t)χm , gdje sa lijeve strane · oz oznaˇ naˇcava cava djel dj elovan ovanje je N   i m ∈ M

GLAV GLA VA 3.

POLITO POLITOPI PI I TORU TORUSNI SNI VARIJET VARIJETETI ETI

73

od t na χm , a sa desne strane jednak jednakosti osti imamo obiˇ cno cno mnoˇ zzenje. enje. Kako je je   D T N Γ(X Σ , OX Σ (D)) invarijantno u odnosu na ovo N −invarijantan, to je i Γ(X djelovanje. djelov anje. Postupajući ci na isti naˇccin in kao u dokazu implikacije (a) ⇒ (d) Γ(X X Σ , OX Σ (D)) ako i samo ako je teoreme 1.2.1, i imajući ci u vidu da da   χm ∈ Γ( m div((χ ) + D div + D ≥ 0 imamo da zaista vrijedi Γ( Γ(X X Σ , OX Σ (D)) =

⊕

C · χm

div (χm )+D≥0

ˇcime cime je prop propozici ozicija ja dokazana. Neka je sada sada D = je uslovu

∑

ρ

aρ Dρ i m ∈ M M .. Uslov Uslov   div div((χm ) + D + D ≥ 0 ekvivalentan

⟨m, uρ ⟩ + aρ ≥ 0, ∀ρ ∈ σ (1) a posljednja nejednakost moˇze ze biti napisana i kao

⟨m, uρ ⟩ ≥ −aρ , ∀ρ ∈ σ(1)

(1)

Ako stavimo da je P D = {m ∈ M R | ⟨m, uρ ⟩ ≥ −aρ , ∀ρ ∈ Σ(1)}

(2)

onda je P je P D poliedar jer je predstavljen kao presjek konaˇ ccno no mnogo zatvorenih polupros polup rostora tora.. Prim Primjeti jetimo mo da da P D ne mora nuˇzzno no biti politop, a i u sluˇccaju a ju kada jeste je ste poli politop top njegovi vrhovi ne mora moraju ju biti taˇcke cke reˇ r eˇsetke setke M . Kako je uslov (1) ekvivalentan uslovu m uslovu m ∈ P D ∩ M , dobija dobijamo mo joˇs jedan opis globalnih sekcija: Propozicija 3.2.2. Ako je   D T N N −invarijantni Weilov divizor na torusnom

varijetetu   X Σ onda je Γ( Γ(X X Σ , OX Σ (D)) =

⊕

C · χm

m∈P D ∩M

gdje je   P D poliedar definisan sa   (2) (2).. Primjetimo da ako je X je X PP   torusni varijetet n varijetet n−dimen dimenziona zionalnog lnog pol politopa itopa reˇssetke etke politopa P odreduje Cartierov divizor P   ⊆ M R , onda kanonska prezentacija politopa P  odreduje politopu P .. DP  koji sa druge strane odreduje poliedar P poliedar P DP  jednak polaznom politopu P Korisna osobina operacije koja koja T N N −invarijantnom Weilovom divizoru D ⊆ X Σ pri pridruˇ druˇzzuje uj e polie po liedar dar DP   ⊆ M R jeste da vrijedi P kkD kP P D ∀k ≥ 0 D = k

GLAV GLA VA 3.

POLITO POLITOPI PI I TORU TORUSNI SNI VARIJET VARIJETETI ETI

∑

74

∑

kD = = ρ∈Σ(1) ka ρ Dρ , Ovo je oˇccigledno igle dno jer ako je divizo divizorr D = ρ∈Σ(1) aρ Dρ onda je kD a sa druge strane imamo da je je P D = {m ∈ M R | ⟨m, uρ ⟩ ≥ −aρ ∀ ρ ∈ Σ(1)} i kP D = {m ∈ M R | ⟨m, uρ ⟩ ≥ −ka ρ ∀ ρ ∈ Σ(1)} Napomeni Nap omenimo mo joˇs i da jjee za ssvaki vaki Cartie Cartierov rov diviz divizor or D pramen divizora OX Σ (D ) invertibilan pramen, a svaki invertibilan pramen je pramen sekcija nekog linijsko ijskogg rasl raslojenja, ojenja, ˇsto nam daje za pra pravo vo da pram pramen en OX Σ (D) smatramo i pramenom skcija linijskog raslojenja na na X Σ .

3.3 3. 3

Ehrh Ehrhar arto tov v polin polinom om

Konveksno m poli Konveksnom politopu topu reˇssetke etke P   P   moˇzzemo emo pridr pridruˇ uˇzziti iti pol polinom inom koj kojii nam daje da je vezu izmedu volumena pol politopa itopa i bro broja ja taˇcaka caka reˇ r eˇsetke setke koje su sadrˇzane zane unutar politopa politopa P   P   . Ako je je P   P   polit po litop op reˇssetke et ke M M    = Zn za svaki pozitivan cio broj broj k sa E P (k) = |(kP kP )) ∩ M | ćcemo e mo oz oznaˇ naˇccavati avat i br broo j taˇcaka caka reˇsetke setke koje ko je su sa sadrˇ drˇzzane a ne u kP k P .. 1962. godine Eugene Ehrhart pokazao je da postoji polinom sa racionalnim koeficijentima stepena stepena d u promjenljivoj k, tj da postoje postoje a0 , a1 , . . . , ad ∈ Q takvi da je E PP  (k) = a d td + ad−1td−1 + . . . + a + a0 ∀k Polinom E PP  (k) ćemo Polinom E cemo zvati Ehrhar Ehrhartovim tovim polinomom politopa politopa P P .. Koeficijenti Ehrhartovog polinoma imaju neke veoma interesantne osobine medu kojima su:

• Ako Ako je vo volum lumen en norm normali alizir ziran an tj. ak akoo jedi jedini niˇˇccna na n−kock kockaa odredena bazo ba zom m reˇsetke setke M ci koeficijent koeficijent   ad jednak M    ima volumen 1, onda je vodeći volumenu politopa politopa P

• Konstantni koeficijent a koeficijent a 0 je Eulerova karakteristika politopa P politopa P ,, pa ako je je   P  zatvoren P  zatvoren konveksan poligon onda je je a0 = 1 • Ako sa int int((P ) P ) ozn oznaˇ aˇccimo im o unut unutraˇ raˇssnjost nj ost polit po litopa opa P P ,, onda za sve cijele brojeve   k > 0 vaˇ brojeve zi zi pravilo recip recipro rocitet citetaa E PP  (−k) = (−1)n |(k int(P P )) )) ∩ M | Egzis tencija Egzistenc ija E Ehrhar hrhartovog tovog p polino olinoma ma moˇzzee ssee do dokazati kazati eelementa lementarno, rno, a mi ćcemo emo ovdje dati skicu dokaza koristeći ci kohomologiju linijskih raslo raslojenja jenja na torusnom varijetetu varijetetu X PP  .

GLAV GLA VA 3.

POLITO POLITOPI PI I TORU TORUSNI SNI VARIJET VARIJETETI ETI

75

∑

Neka je je X PP   torusni varijetet politopa P   P   i neka je DP   = F  a F DF   divizor politopa P politopa P .. Kako politopi P politopi P    i kP k P  za za svaki pozitivan cio broj k broj k odreduju istu normalnu lepezu, oni odrduju i jednake torusne varijetete, tj. X P P = X kP kP . U pret prethodno hodnom m pogla poglavlj vlju u smo ko konsta nstatov tovali ali da za Divizor Divizor poli politopa topa vrijedi vrijedi DkP   = kD k DP . Ako sada na na kP kP  primjenimo primjenimo propoziciju 3.2.2 imamo da je 0

dimH (X PP  , OX P P (kD P )) = dim dim((

⊕

C · χm ) = |(kP kP )) ∩ M |

m∈kP ∩M

Iz teoreme Hirzebruch-Riemann-Rocha slijedi da je Euler-Poincareova karakteristik teristi ka od O X P P (kD P ) data je sa n

χ(X PP  , OX P P (kD P )) =



(−1)i dimH i (X P (kDP )) P , OX P P

i=0

ˇssto to znaˇci ci da po posto sto ji polin po linom om   h(x) ∈ Q[x] step stepena ena ne većceg eg od n za koji je χ(X PP  , OX P P (kDP )) = h( h (k)

(3)

za sve cijele brojeve brojeve k. Za k Za k > 0 divizori k divizori kD DP  su sadrˇzajni za jni pa prema ” Demazure vanishing”teoremi imamo da je 0, i > 0 H i (X PP  , OX P P (kD P )) = 0, a isto vrijedi i za za k = 0. Sada se formula za Euler-Poincareovu karakteristiku svodi na kP )) ∩ M | χ(X PP  , OX P P (kD P )) = dimH 0 (X PP  , OX PP   (kD P )) = |(kP Odavde i iz (3)zakljuˇccujemo ujemo da za polinom polinom   h(x) vrijedi kP )) ∩ M | = h( h (k ), ∀k ≥ 0 |(kP To znaˇci ci da zaist zaistaa pos posto toji ji pol polinom inom sa traˇzzenom enom osobi osobinom nom pa moˇzemo zemo staviti da je je E PP  (x) = h( h (x) Primjetimo Primj etimo joˇs da ako je je E PP  (x) = a n xn + . . . + a + a0 onda je

|(kP kP )) ∩ M | E PP  (k) = v = li lim m vol ol((P P )) k→∞ k→∞ kn kn

an = lim

ˇssto to je jedna ood d osobina koeficijenata Ehrhartovog polinoma koju smo naveli.

GLAV GLA VA 3.

POLITO POLITOPI PI I TORU TORUSNI SNI VARIJET VARIJETETI ETI

76

Neka je sada M M    = Z2 . Po Poli litop top   P   ⊆ M M  je je poligon u ravni, a njegov Ehrhartov polinom je 2

E P (x) = area area((P ) P )x + Bx Bx  + 1 (4) jer je je   E PP  (0) = | (0 · P ) P ) ∩ M | = 1 Ako sa sa ∂P ∂P    oznaˇccimo imo grani granicu cu od P P    onda je prema principu reciprociteta E PP  (1) = |P   ∩ M | = |int int((P ) P ) ∩ M | + |∂P   ∩ M | = E P P (−1) + |∂P   ∩ M | Tako dobijamo da vrijedi E PP  (1) = area area((P P )) + B + B + + 1 E PP  (−1) = area( area(P P )) − B + 1 Oduzimanjem posljednjih jednakosti imamo da je 1 B = (∂P   ∩ M M )) 2 pa Ehrhartov polinom za poligone u ravni ima oblik 1 E PP  (x) = area area((P ) P )x2 + (∂P   ∩ M )x + 1 2 Specijalno, za za x = 1 dobijamo tvrdnju poznate Pickove teoreme 1 |P   ∩ M | = area area((P ) P ) + (∂P   ∩ M ) + 1 2

3.4

Kushni Kushniren renk kova teorem teorema a

U ovom ćcemo emo p poglavlju oglavlju razmotriti ulogu torusnih varijeteta i divizora na torusnim varijetet arijetetima ima na primjeru primjeru odrediv odredivanja anja broja rje rjeˇˇssenja enja sistem sistemaa algebarski bar skih h jed jednaˇ naˇccina. in a. 1 ±1 (C∗ )n n−dimenzionalni torus i neka je C[x± Definicija 3.4.1 Neka je  ( 1 , . . . , xn ] njegov koordinatni prsten. Elemente prstena   C C[x±1 1 , . . . , x±n 1 ] zovemo Laurentovim polinomima. 1 ±1 Definicija 3.4.2 Neka je   f   ∈ C[x± 1 , . . . , xn ] Laurentov polinom. Cjelobro-

jni nosaˇc polinoma   f f  je je minimalni skup skup A(f ) ⊆ Zn za koji je f (x1 , . . . , xn ) =



c(a1 ,...,an ) xa11 . . . xann

(a1 ,...,an )∈A(f )

Kon veksni Konveks ni omo omotaˇ taˇc sku skupa pa   A( A(f ) zove se Newtnov politop polinoma  f  i f  i ozn o znaˇ aˇccava a va se sa   ∆( ∆(f f ).

GLAV GLA VA 3.

POLITO POLITOPI PI I TORU TORUSNI SNI VARIJET VARIJETETI ETI

77

Primjetimo da za svaka dva polinoma polinoma f 1 , f 2 i svaki realan broj broj α̸ = 0 uvijek vaˇzi ∆(αf 1 ) = ∆(f 1 ) ∆(αf ∆(f ∆( f 1 f 2 ) = ∆(f 1 ) + ∆(f ∆(f 2 ) gdje se sa desne strane pojavljuje suma politopa u smislu Minkowskog. Jasno je da je uvijek zadovoljeno A(f 1 + f + f 2 ) ⊆ A(f 1 ) ∪ A(f 2 ) odakle slijedi relacija ∆(f ∆( f 1 + f + f 2 ) ⊆ conv conv(∆( (∆(f f 1 ) ∪ ∆( ∆(f f 2)) Jednakost, medutim Jednakost, medutim,, ne mora da vaˇzi zi uvijek jer se neki koeficij koeficijenti enti mogu poniˇsstiti. titi. Ipak, vrlo je malo vjerov vjerovatno atno da će ce se ttoo i desiti ako su p polinomi olinomi ajn o izabrani polinomi. Drugim rijeˇccima, ima, ako su su   f 1 i f 2 ttiipiˇcni f 1 i f 2 sluˇccajno (generiˇ (gen eriˇccki ki izabr izabrani) ani) po polinomi linomi onda vaˇ zi zi jedna jednakost kost ∆(f ∆( f 1 + f + f 2) = conv conv(∆( (∆(f f 1 ) ∪ ∆( ∆(f f 2 )) Ide ja gen Ideja generiˇ eriˇccnosti no sti se pre preciz cizno no iskazu iskazuje je na slij slijede´ edeći ci naˇcin. cin . Kaˇzzemo emo da neki iskaz o pol polinomima inomima vaˇ zi zi za gene generiˇ riˇcki cki izb izbor or polinoma poli noma ako je skup izuzetaka nigdje gust, zatvoren skup u prostoru polinoma koji posmatramo. 1 ±1 gener neriˇ iˇccki ki iza izabrani brani Teorema 3.4.1. Ako su   f 1 , f 2 , . . . , fn ∈ C[x± 1 , . . . , xn ] ge

polinomi sa jednakim cjelob cjelobrojnim rojnim nosaˇccem   em   A tj. sa jednak jednakim im Newtonov Newtonovim im politopima ∆ = ∆(f ∆(f 1 ) = . . . = ∆( ∆(f f n ) ondaa sistem ond sis tem jednaˇccina ina f 1 = f = f 2 = . = . . . = f = f n = 0 ima ta taˇˇcno cn o n!vol vol(∆) (∆) rj rjeˇ eˇssenja en ja u sku skupu pu    (C∗ )n . Prije nego damo skicu dokaza ove teoreme razmotrimo jedan jednostavan primjer. Pos matrajmo rajmo sis sisteme teme jednaˇccina in a   f 1 = f = f 2 = 0 za Primjer 3.4.1 Posmat f 1 (x, y ) = a0 + a + a1x + a + a2 y f 2 (x, y ) = b0 + b + b1 x + b + b2 y

GLAV GLA VA 3.

POLITO POLITOPI PI I TORU TORUSNI SNI VARIJET VARIJETETI ETI

78

i   g1 = g 2 = 0, gdje je g1 (x, y) = c0 + c + c1 x2 + c2y 2 g2 (x, y) = d0 + d + d1 x2 + d2 y 2 Jasno je da polinomi   f 1 i   f 2 imaju isti Newtonov poligon ∆1 = {m ∈ Z2 | ⟨m, e1 ⟩ ≥ 0 ∧ ⟨m, e2 ⟩ ≥ 0 ∧ ⟨m, −e1 − e2 ⟩ ≥ −1} a Newtonov poligon polinoma   g1 i   g2 dat je sa ∆1 = {m ∈ Z2 | ⟨m, e1 ⟩ ≥ 0 ∧ ⟨m, e2 ⟩ ≥ 0 ∧ ⟨m, −e1 − e2 ⟩ ≥ −2} Svaki polinom   f f  prvog prvog stepena u promjenljivim   promjenljivim   x i   y , f f ((x, y ) = a00 + a 10 x + a + a 01 y moˇzzee se shvatiti kao restrikcija linearne fo forme rme Lf (x) = a 00 x00 + a10x10 + a01 x01 na na pov povrˇs   s   Y A ∈ CA koja je u parametarskom obliku obl iku zad zadana ana jednaˇccinama in ama x00 = 1 x10 = x x01 = y = y i gdje smo stavili da je   je   A = {(0, (0, 0), 0), (1, (1, 0) 0),, (0 (0,, 1)} Skup Sk up rj rjeˇ eˇsenj se njaa jedn jednaˇ aˇccine i ne f 1 = 0 sada je jednak presjeku   Y A ∩ H ff 1 gdje je H ff  1 = ker k er((Lf 1 ) = {x ∈ CA | Lf 1 (x) = 0}, a skup rjeˇsenja senja sistema f 1 = f = f 2 = 0 vidimo kao presjek Y A ∩ H ff 1 ∩ H ff 2 = Y A ∩ H 1 1 gdje je   H ff 1 = L− (0),, H ff 2 = L− i    H H    = H f f 1 ∩ H f f 2 Broj rjeˇsenja sen ja ovog f 1 (0) f 2 (0) i

sistema, sistem a, dakle dakle, zavisi presjeka prKe esjeka pr).ostoraa je jednaˇ dnaˇ cina cina posmatr posmatrano anogg oblika i hiperravni H   =, K er( er (Lf od )∩ Ker r(Lf prostor 1 2 Problem nalaˇzzenja enja presjeka dva podvarijeteta podvarijeteta zadanog varijeteta varijeteta    X X    mo mogućc   je samo ako je ambient   X X  kompaktan, kompaktan, odnosno projektivan varijetet, jer je u tom sluˇccaju aj u moguće ce pri primje mjeniti niti posto postoje´ jeće ce rezult rezultate ate teori teorije je presj presjeka. eka. Poˇsto sto su ambient   C|A| kao i po podvarije dvarijeteti teti   Y A i   i   H   H   nekompaktni nekompaktni,, pot potre rebno bno je na jprije izvrˇssiti iti njihovu kompaktifikaciju. Ambient   C|A| se kompaktifikuje do projektivnog prostora, H prostora, H    do njegovog pprojektivnog rojektivnog po podprostora, dprostora, a povrˇs s  Y Y A do torusnog varijeteta   X A . Kao ˇssto to smo vidjeli u primjeru 1.6 1.6.2. .2. torusni var varijetet ijetet   X ∆1 poligona   ∆1 jednak je   P2 , a pogledajmo ˇccemu emu odgov odgovara ara   Y A ∩ H .

GLAV GLA VA 3.

POLITO POLITOPI PI I TORU TORUSNI SNI VARIJET VARIJETETI ETI

79

Divizor politopa   ∆ ∆ 1 jednak je   D D ∆1 = 1 · D3 , gdje je   D D 3 prost divizor koji odgovara zraku   −e1 − e2 normalne lepeze politopa   ∆1 . Globalna sekcija pramena OX ∆ (D∆1 ) je 1

Γ( Γ(X X ∆1 , OX ∆1 (D∆1 )) =

⊕

Cχm

m∈∆1 ∩M

ˇssto to je zapravo, vektorski prostor svih polinoma posmatr posmatranog anog oblika, pa je lini jsko raslojenje na na  X X ∆1 dato sa  L = L = OX ∆1 (D∆1 ), a polinomi  f f 1 i  f f 2 su njegove globalne sekcije. Dakle, broj rjeˇssenja enja sistema je upravo jednak   (D∆1 )2 , gdje smo sa   (D∆1 )2 ozn oznaˇ aˇccili il i broj presj presjeka eka    D∆1 sa samim sobom. D∆1 = D3 , a D3 je hperp hperpovrˇ ovrˇs definisana ire ireducibilnim ducibilnim homogenim polinomom prvog ste2 pena, pa je   (D∆1 ) = 1,a to je kao ˇssto to znamo jednako broju rjeˇsenja senja sistem sistema a f 1 = f = f 2 = 0. Pogledajmo ˇssta ta se deˇssava ava sa sistemo sistemom m    g1 = g2 = 0. Newt Newton onow ow po poli ligo gon n ovog sistema ima istu normalnu lepezu kao i Newtonov poligon prvog sistema, ˇssto to znaˇccii da je torusn torusnii varije varijetet tet    X ∆2 pridruˇ pri druˇzen zen ovom sistem sistemu u jednak 2 P . Med Meduti utim, m, div divizor izor po polig ligona ona   ∆2 jednak je   je   2 · D 3 , gdje je opet   D3 prost divizor koji idgovara zarki  − − e1 − e2 normalne lepeze   Σ∆2 , pa je j e broj rjeˇsenja sen ja 2 2 sistema dat sa   (D∆2 ) tj, tj, (2D (2D3 ) ˇssto to je jedn jednak akoo 4. Vidimo, dakle, da divizori imaju esenc esencijalnu ijalnu ulo ulogu gu u odr odredivan edivanju ju br broja oja rjeˇ rjeˇsenja senja pos posmatr matranih anih siste sistema ma jednaˇˇccina. jedna ina. Vratimo se sada dokazu teoreme. Oznaˇ Oz naˇccimo i mo sa X ∆ torusni varijetet Newtonovog politopa jednaˇccina ina f i , a sa D∆ divizor tog politopa. Imajućcii u vidu da je pramen OX (D) Cartierovog divizora divizo ra jednak pramenu sekcija linijskog linijskog raslojenja, prema propoziciji 3.2.2. imamo da su polinomi f polinomi f i glob globalne alne sekcije sa sadrˇ drˇzajnog zajn og linijskog raslo jenja jenja L L = = OX ∆ (D∆ ), ˇsto sto za gen generiˇ eriˇccki ki iza izabra brane ne po polino linome me zznaˇ naˇccii da jjee b bro rojj rjeˇ r jeˇssenja en ja sist sistema ema f 1 = f 2 = . . . = f n = 0 konaˇccan an i da moˇzzemo emo pret pretpos postaviti taviti da sva rjeˇssenja enja ∗ n leˇze ze na tor torusu usu (C ) ⊂ X ∆ . Bro Brojj rjeˇssenja enja je sada jednak jednak n n −tostrukom broju n presjeka (D (D∆ ) . Iz teorije presjeka imamo da je (D∆ )n n dim((H (X ∆ , L )) = dim k + ˇcclanovi la novi ˇciji cij i je ste stepe pen n po k manji od od n n! 0

⊗k

a iz prethodnog poglavlja imamo da je dim((H 0 (X ∆ , L⊗k )) = E ∆ (k) = V ol dim ol(∆) (∆)k kn +ˇclan cl anovi ovi ˇciji ci ji je st step epen en p o k manji od od n ˇssto to konaˇccno no daje da je da je (D∆ )n = n!vol vol(∆), (∆), pa je bro brojj rjeˇssenja enja sistema sistema   f 1 = ∗ n f 2 = . = . . . = f = f n = 0 u ( C ) zaista jednak n jednak n!!vol vol(∆) (∆) ˇccime ime je teor teorema ema dokazana dokazana..

GLAV GLA VA 3.

POLITO POLITOPI PI I TORU TORUSNI SNI VARIJET VARIJETETI ETI

80

Kushnirenkov Kushnirenko va teorema je specijalan sluˇ ccaj aj Bernstei Bernsteinov novee teoreme u kojoj nema pretpostavke o istom Newtnovom politopu posmatranih polinoma i u ˇcijem cijem iskazu se po pojavljuje javljuje mjeˇssoviti oviti volumen M V n (∆1, . . . , ∆n ) a koja glasi: 1 ±1 gener neriˇ iˇccki ki iza izabrani brani Teorema 3.4.2. Ako su   f 1 , f 2 , . . . , fn ∈ C[x± 1 , . . . , xn ] ge

polinomi onda sistem jednaˇccina ina f 1 = f = f 2 = . = . . . = f = f n = 0 ima ta taˇˇcno cn o n!M V n (∆1 , . . . , ∆n ) rjeˇ rj eˇssenja enj a u skup skupu u   (C∗ )n . ˇ Citaoca zainteresov zainteresovanog anog za dokaz Bernsteinove teoreme upućcujemo ujemo na [9].

Bibliografija [1] D. Cox, Lectures on Toric Varieties , CIMPA School on Commutative Algebra, Hanoi, 2005. [2] D. Cox, Minicourse Cox, Minicourse on Toric Varieties , Cursos y Seminarios, Fasciculo 9, Departamento de Matematica, Universidad de Buenos Aires, 2001. [3] D. Cox, What is a Toric Variety?   Variety?   , In Topics in Algebraic Geometry and Geometric Modeling, Contemporary Math. 334, AMS, Providence, RI, 2003, 203-223. [4] D. Cox, J. Little and H. Schenck, Toric Varieties , Knjiga je u izradi, viˇssee in informa formacija cija na w www.cs.a ww.cs.amhers mherst.edu t.edu//∼ dac/toric.html [5] D. Cox, J. Little and D. O’Shea, Ideals, O’Shea, Ideals, Varieties and Algorithms , third edition, Springer-Verlag,New York-Berlin-Heidelberg, 2007. [6] D. Cox, J. Little and D. O’Shea, Using Alg Algebr ebraic aic Ge Geometr ometry y , sec second ond edition, Springer-Verlag,New York-Berlin-Heidelberg, 2005. [7] V. Danil Danilov ov and V. Shok Shokurov, urov, Algebraic Algebraic Curves, Algebraic Manifolds and Schemes , Springer-Verlag,New York-Berlin-Heidelberg, 1998. [8] R. Hartshorne, Algebraic Geometry , Springer-Verlag,New York-BerlinHeidelberg, Heidel berg, 1977. [9] W. Fulton, Introduction Fulton, Introduction to Toric Varieties , Princeton University Press 1993. [10] T. Oda, Convex Convex Bodies and Algebr Algebraic aic Ge Geometry ometry:: An Intro Introductio duction n to Toric Varieties , Springer-Verlag,New York-Berlin-Heidelberg, 1988. [11] I. Shafarevich, Basic Shafarevich, Basic Agebraic Geometry , Volumes 1 and 2, second edition, Springer-Verlag,New York-Berlin-Heidelberg, 1994. and 1996.

81

BIBLIOGRAFIJA

82

[12] G. Ziegler, Lectures Ziegler, Lectures on Polytopes , Updated Seve Seventh nth Printing Printing of the First Edition, Springer-Verlag,New York-Berlin-Heidelberg, 2007. [13] R. R. Z Zival ˇi valje jevi´ vićc,, 15 minuta torusnih varijeteta , Beograd, 2010.

Magistarski Rad Manuela Muzika Dizdarevic

Short Description

Description

Comments

We need your help!