Magazine Taki Academy Primitive Finale

MAGAZINE DE MATHEMATIQUES

Profs : ÉQUIPE  ACADEMIQUE   ACADEMIQUE  MA TH E MA TI TIQU QUE ES

(28 juin 1875 à Beauvais - 26 juillet  juillet 1941 1941 à Paris Paris)) est un mathématicien français. Il est reconnu pour sa théorie d'intégration publiée initialement dans sa dissertation Intégrale, longueur, aire à l' l'Université de Nancy en 1902. Il fut l'un des grands mathématiciens français de la première moitié du vingtième siècle.

(allemand, 1826-1866) Ce très grand mathématicien, élève de Gauss à Göttingen de Jacobi à Königsberg et de Dirichlet  Dirichlet à à Berlin, fut professeur en la célèbre université de Göttingen Göttingen,, succédant à ce dernier en 1859 (Dirichlet  Dirichlet avait avait lui-même succédé à Gauss quatre ans plus tôt). Riemann mourut prématurément, atteint de tuberculose à Selesca (lac Majeur, Italie) où il se soignai.

1

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RESUME DU COURS 1°) Définition Soient f et F deux fonctions définies sur un intervalle I. F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et pour tout réel x de I, F'(x) = f (x).

Théorème1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Théorème 2 Si une fonction f admet une fonction primitive F sur un intervalle I alors f admet une infinité de fonctions primitives sur I et qui sont toutes de la forme F + c où c désigne une constante réelle arbitraire. C’est -à-dire -à-dire l’ensemble des primitives de f sur l’intervalle I est F + c ; c  .

Théorème 3 Etant donnés un intervalle I, un réel a de I et un réel b. Toute fonction f continue sur I admet une unique fonction primitive F sur I telle que F(a) = b.

2°) Opérations sur les fonctions primitives Théorème 4 Etant donnés deux fonctions continues continues f et g sur un intervalle I de  et deux réels  et .

Si F et G sont respectivement deux fonctions primitives primitives de f et g sur I alors (.F + .G) est une fonction primitive de la fonction ( .f + .g) sur I.

2

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3°) Fonctions primitives des fonctions usuelles Fonction f définie

Fonctions primitives F de f

sur I par

définies sur I par

I est intervalle de

a ; (a   ).

x





x



x

*

*

x

+

x



 \

 

2



k, k 

 \ k,

k



x

1 n 1

2 3





c ; (c ).

c ; (c ).

n 1



c ; (c ).

x



1

x

2

si n x

 cos(ax+b) x



1 a

 sin(ax+b) ;

(a  * et b ).

x



x x

c ; (c ).



c ; (c ).

cos x + c ; (c ).

tgx  c  ; (c ).

x

2

cos x



sin x + c ; (c ).

x

1

(a  * et b ).

3

x

2 x

x

 sin x

x 

1

n 1

x

x

x

x



x

x

 cos x

x 

2

x

x

n 1

x

1

*+



x 2  c ; (c ).

1

x

x n ; (n \-1)

x

2

x

1 x

1

x

x

x n ; (n )

x

ax  c ; (c ).

x

cot gx  c ; (c ).

sin(ax  b) + c ; (c ).

1 a

cos(ax  b) + c ; (c ).

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 \x   tel

ax+b =

 

2

que

que

ax+b = k ; k 

1+tan2(ax+b) ;

x



1

x

(a  * et b ).



k, k 

 \x  tel

x

a

 (1+cotan2(ax+b)) x

(a  * et b ).



1 a

tan(ax  b) b)  c  ; (c ).

cotan(ax  b)  c  ; (c ).

4°) Fonctions primitives des fonctions usuelles I est un intervalle de  tel que :

Fonction f

Fonctions primitives F de f sur I

u et v deux fonctions dérivables sur I.

u’+ v ’

u + v + c ; (c ).

au’ ; au’  ; a réel.

au + c ; (c ).

u et v deux fonctions dérivables sur I.

u’.v + v ’.u

(uv) + c ; (c ).

u une fonction dérivable sur I et ne s’annulant pas sur I.

u’.u n ; n  \-1

u une fonction dérivable sur I.

u

u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur I.

u

u

u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur I.

u

1 n 1

'

1

2

u

'

n

; n



1

1

(n  1)u

u

u une fonction dérivable et positive sur I.

u' u

u et v deux fonctions dérivables sur I et v ne s’annulant pas sur I. u et v deux fonctions telles que

u'.v u'.v  v'.u v'.u v

2

( v ’ u ).u’

vu soit dérivable sur I.

4

+ c ; (c ).



u'

u une fonction dérivable et strictement positive sur I.

u n+1 + c ; (c ).

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n 1

+ c ; (c ).

2 u  c  ; (c ). 2 3

u u u v



c  ; (c ).

 + c ; (c  ).

(v  u) + c ; (c ).

Section : Toute les sections Thème abordé : PRIMITIVES

Magazine de mathématiques

Durée : 3 h 42 mn

Profs : Équipe académique Mathématiques

5'

EXERCICE N°1 :

2points

a) Déterminer l’ensemble de définition de f de f telle que  f ( x ) 

Date : 31 - 12 - 2015

facile  x 2  2x  ( x 2  x  1)2

.

b) Déterminer a et b pour que f  admette  admette une primitive F  telle  telle que F ( x ) 

5'

EXERCICE N°2 :

Soit  f ( x ) 

2points

ax  b  x 2  x  1

.

facile

4 x   1 (2 x   1)3

a) Déterminer les réels a et b tels que : pour tout  x  D f,  f ( x ) 

 1  2

a



b

(2 x  1)2 (2x   1)3

 

b) Déterminer toutes les primitives de  f  sur  sur   ;    .

7'

EXERCICE N°3 :

Soit la fonction  f ( x )  (x   1)

2points

facile

1 2 x   1

1°) Déterminer D l’ensemble de définition de f   de D on a : de  f  , , puis montrer que pour tout  x  de

 f ( x )  a 2x   1 

b

2 x   1

, avec a et b deux réels à déterminer.  1  2

 

2°) Déterminer les primitives de  f  sur  sur   ;   .

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15'

EXERCICE N°4 :

Soit  f ( x ) 

3points

Date : 31 - 12 - 2015

facile

1 .  x(1  x )

1°) Montrer que  f  admet des primitives sur 0;1 . 2°) Soit F la primitive de  f  sur  sur qui s`annule pour x =

 

  

 3 4

   et g la fonction définie sur 0;   par  g( x )  F (cos ²x ) .

 2

 

a) Montrer g est dérivable sur 0;   puis calculer  g´. 2

 

  

 

  

b) Montrer que pour tout x de 0;   on a :  g( x )  2x   . 3 2

25'

EXERCICE N°5 :

5points

0,  par :  f ( x )  Soit  f  la fonction définie sur 0,

Moyen

1 0,  qui s’annule en  et F  la  la primitive de  f  sur 0, 1  x 2

zéro.       par H( x )  F (tan x ) .  2      a) Montrer que H est dérivable sur 0,  et déterminer H ' x  .  2      b) En déduire que pour tout  x  0,  : H (x )  x  .  2

1°) Soit H la fonction définie sur 0,

c) Calculer alors F (1).

 1    x   F    .   1 2  x x     

0,  par : G( x )  F  2°) Soit G la fonction définie sur 0,

0,  , et déterminer G ' x  . a) Montrer que G est dérivable sur 0, 1  2

1 3

b) En déduire que : F    F   

  

4

6

.

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Durée : 3 h 42 mn

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EXERCICE N°6 :

25'

Date : 31 - 12 - 2015

5points

Soit  f  la fonction définie sur IR par :  f ( x )  1 

1  x   1 2

Moyen

.

1°) a) Dresser le tableau de variation de  f  .





b) Tracer la courbe C de f  dans  dans un repère orthonormé O , i , j  . 2°) Soit F  la  la primitive de f  sur IR qui s’annule en zéro. a) Montrer que F  est  est impaire. b) Montrer que pour tout  x 0,  : x  F ( x )  2x  . c) En déduire la limite de F  en  en



.

d) Dresser le tableau de variation de F.

     par : G( x )  F (cos x )  .  2 

3°) Soit G la fonction définie sur 0,

a) Dresser le tableau de variation de G.





b) Donner l’allure de la courbe de G sur autre repère orthogonal O , i , j  .( on prend F (1)  1,9 1,9 )

EXERCICE N°7 :

30'

5points

Soit la fonction f  définie sur 1,1 par :  f ( x ) 

1 1  x 

2

Moyen

.

1°) Prouver l’existence et l’unicité d’une primitive notée F  de  de  f  x   telle que F (0) (0) = 0. 2°) Montrer que la fonction F  est  est impaire.

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Durée : 3 h 42 mn

Date : 31 - 12 - 2015

      ,  par : G( x )  F (sin x ) . 2 2 

3°) Soit G la fonction définie sur  

      ,  et déterminer G’(x).  2 2         2 , 2  ; G( x )  x  .  

a) Montrer que G est dérivable sur   b) En déduire que : pour tout x 

 2  3  ; F  2  . 2      2  x   IR* \ 1 , et calculer H’(x). 4°) Soit la fonction H( x )  F  . Montrer que H est dérivable déri vable sur   1  x     1 2

c) Calculer F   ; F  

30'

EXERCICE N°8 :

Soit  f :  2;2  IR x

5points

Moyen

 x  2 4  x 2 .





1°) Étudier les variations variations de f  et tracer sa courbe représentative dans un u n repère orthonormé O ;i j   . 2°) Prouver que  f  admet une primitive sur  2;2 . Soit F la primitive de  f   sur  2;2  telle que F(0)=0 .

      ;   par  g( x )  F(2sin x ) . 2 2 

3°) Soit g la fonction définie sur I =  

a) Montrer que g est dérivable sur I. b) Calculer  g '( x )  et  g(0) . 4°) Déterminer une primitive de chacune des fonctions  g1 et  g2  définie sur IR par:  g1( x )  sin x . cos2 x 

et  g2( x )  cos2 x  5°) En déduire g(x) et calculer F (–2)–F (2). (2).

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EXERCICE N°9 :

40'

5points

Soit  f  la fonction définie sur ,1 par :  f ( x ) 

Date : 31 - 12 - 2015

Moyen

2  et F  la  la primitive de  f  sur ,1  qui  x 2  2x  2

s’annule en 1.  x    1°) On désigne par G la fonction définie sur 0,   par G( x )  F  1  tan  .

2



a) Montrer que G est dérivable sur 0,   et calculer G '  x  . b) Déterminer G(x) pour tout  x 0,   puis calculer F  (0)  (0) .

  x   .   x  1  

2°) Soit H la fonction définie sur ,1 par : H( x )  F ( x )  F  

a) Montrer que H est dérivable sur ,1 et calculer H ' x  .

  x         F ( x ) .  1  x   

b) En déduire que pour tout  x  ,1 on a : F 

1 2n  1  3°) Soit u la suite réelle définie sur IN par : un   F    . n  1 k n  k   1

1

1

a) Montrer que pour tout n  IN  et k n, n  1, ....., 2nona : F    F    F     .  n k  2n  b) En déduire la limite de un  en



.

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EXERCICE N°10 :

30'

5points

Date : 31 - 12 - 2015

Moyen

Soit f la fonction définie sur 0;    par  f ( x )  1  co cos x  . 1°) Montrer que f  est  est une bijection de 0;    sur 0; 2  . (On notera  f   1 la fonction réciproque de f  )  )





2°) Montrer que  f   1  est dérivable sur 0; 2   et expliciter ( f 1 )'( x ) .





3°) Soit g la fonction définie sur   2; 2   par  g( x ) 





2

 et G la primitive de g sur   2; 2   qui 2  x  2

s’annule en zéro. a) Calculer la dérivée de la fonction H : x

b) Montrer que pour tout x

EXERCICE N°11 :



g( x )  g( x ) . En déduire que g est paire.

0, 2   ; G( x )      f 1( x ) .  En déduire G(1).  

10'

2points

Moyen

Déterminer une fonction polynôme P  dont  dont la fonction dérivée est : P’(x)   x  2 – 5x+6 et dont le maximum relatif est le double du minimum relatif.

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