MA36 - Recursos Computacionais no ensino de Matemática

Recursos Computacionais no Ensino de Matemática (MA36) Victor Giraldo (UFRJ), Francisco Mattos (UERJ), Paulo Caetano (UFSCar)

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De forma geral, o livro é estruturado por atividades seguidas de discussão sobre essas atividades, enfocando: •

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objetivos; conteúdos matemáticos tratados; papel do uso da tecnologia (vantagens e limitações).

Essas discussões não são precedidas de textos teóricos de educação matemática ou sobre tecnologias no ensino. Os docentes responsáveis pela disciplina podem acrescentar textos com essas características, quando considerarem apropriados. Toda a reflexão sobre o uso de tecnologias digitais em sala de aula de Matemática é organizada a partir das discussões sobre as atividades propostas.

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As atividades são planejadas para execução, prioritariamente, em softwares gratuitos. Os capítulos são organizados pelos tipos de recursos empregados. Entretanto, o foco da discussão não está nos softwares ou nos recursos computacionais específicos, e sim nas atividades em si. Assim, muitas atividades podem ser feitas com diversos softwares diferentes. O livro não é concebido para ser um manual de uso de softwares educacionais, mas sim para aprofundar a reflexão dos professores sobre o uso de tecnologias digitais em sala de aula de Matemática. O objetivo é capacitar o professor para planejar a integração de tecnologias digitais na sala de aula, escolhendo softwares e recursos de acordo com as especificidades de cada contexto.

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Procuramos explorar não só as potencialidades técnicas dos softwares, mas sobretudo suas limitações (erros de arredondamento, interpolação, etc.). Os objetivos são: •

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evitar que os alunos formem uma ideia sobre o computador como “critério absoluto de validação de fatos matemáticos”, mostrando que os resultados da máquina devem sempre ser interpretados à luz de argumentos matemáticos (e não ao contrário); aproveitar a exploração dessas limitações para aprofundar a compreensão dos alunos da “Matemática que está por trás”.

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De forma geral, as atividades procuram conduzir a conclusões e generalizações matemáticas, sem o apoio do computador. Os professores devem ser orientados no sentido de que, em sala de aula, as atividades com o computador devem, sempre que possível, ser complementadas com discussões e argumentações matemáticas, sem o uso de tecnologias. As abordagem pedagógica com o uso de tecnologias digitais deve ser planejada de tal forma que a aprendizagem dos conceitos matemáticos dos alunos não dependa permanentemente do apoio dessas tecnologias.

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De forma geral, as atividades não são planejas para a aplicação direta em sala de aula. O objetivo é capacitar o professor a refletir e avaliar o uso de tecnologias e, a partir daí, criar suas próprias atividades, de acordo com as especificidades de cada público de alunos. Este deve ser o principal papel da disciplina. Muitas atividades estão em nível superior à Matemática dos ensinos fundamental e médio, visando colocar o professor em uma posição de aprendiz com o uso de tecnologias, com estratégia para promover as reflexões acima.

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Visando as considerações feitas anteriormente, ao final de cada grupo de atividades com objetivos (mais ou menos) semelhantes são propostas atividades de fechamento do tipo:

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Os professores-cursistas devem ser estimulados a fazer essas atividades de fechamento e trazer suas propostas para discussão em sala de aula, com os colegas e docente responsável pela disciplina. Recomendamos também que as atividades de fechamento sejam empregadas na avaliação da disciplina.

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O livro é estruturado em 8 capítulos, divididos em seções, totalizando 24 seções. Na estrutura do PROFMAT, cada seção corresponde a uma Unidade. Em cada semana de aulas, são abordadas 2 Unidades. Nesta oficina, discutiremos atividades dos 5 capítulos iniciais: 1.

O Uso da Calculadora no Ensino de Matemática

2.

Planilhas Eletrônicas Ambientes Gráficos Ambientes de Geometria Dinâmica Sistemas de Computação Algébrica e Simbólica

3. 4.

5.

Recursos Computacionais no Ensino de Matem´atica Victor Giraldo (UFRJ) Paulo Caetano (UFSCar) Francisco Mattos (UERJ / CP2) 13 de Janeiro de 2012

Conte´ udo 1 O Uso da Calculadora no Ensino de Matem´ atica 5 1.1 Opera¸co˜es e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Aproxima¸co˜es, Arredondamentos e Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Planilhas Eletrˆ onicas 17 2.1 Simbologia Alg´ebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Tratamento da Informa¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Ambientes Gr´ aficos 3.1 Articulando Representa¸co˜es . . . . . . . . . . . 3.2 Fam´ılias de Fun¸co˜es Dependendo de Parˆametros 3.3 Pontos de Vista e Perspectivas . . . . . . . . . 3.4 Mais Explora¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Ambientes de Geometria Dinˆ amica 4.1 Explorando a Geometria de Forma Dinˆamica . . . . . . 4.2 Aprofundando a Explora¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Articulando Geometria e Fun¸co˜es: Manipulando Gr´aficos 4.4 Articulando Geometria e Fun¸co˜es: Novos Olhares . . . . 5 Sistemas de Computa¸c˜ ao Alg´ ebrica e Simb´ olica 5.1 Explorando Fun¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Operando com Fun¸co˜es . . . . . . . . . . . . . 5.3 Conceitos B´asicos do C´alculo Infinitesimal . . . 5.4 Explora¸co˜es Aritm´eticas . . . . . . . . . . . . . 6 Ensino a Distˆ ancia 6.1 Ambientes Virtuais de Matem´atica . . . 6.2 Aprendizagem Colaborativa . . . . . . . 6.3 Projetos de Ensino a Distˆancia – Parte 1 6.4 Projetos de Ensino a Distˆancia – Parte 2

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7 Pesquisas Eletrˆ onicas, Processadores de Texto e Hipertexto 99 7.1 Pesquisas Eletrˆonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.2 Processadores de Texto e Hipertexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8 Crit´ erios e Instrumentos para Avalia¸c˜ ao de Softwares Educativos 115 8.1 Avalia¸c˜ao de Softwares Educativos – Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.2 Avalia¸c˜ao de Softwares Educativos – Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3

Cap´ıtulo 1 O Uso da Calculadora no Ensino de Matem´ atica Introdu¸c˜ ao A entrada das tecnologias digitais na sala de aula de Matem´atica, sobretudo nas u ´ltimas duas d´ecadas, foi acompanhada de um intenso debate sobre seus efeitos na aprendizagem. Inicialmente, este debate, que n˜ao se restringiu ao Brasil e se espalhou por todos os pa´ıses em que recursos computacionais foram sistematicamente introduzidos na escola, concentrou-se na tentativa de responder `a quest˜ao se tais efeitos seriam “ben´eficos” ou “mal´eficos”. Por exemplo, especificamente sobre o uso de calculadoras no ensino de Matem´atica, o pesquisador inglˆes David Tall [57] j´a observava h´a 10 anos passados: O uso de calculadoras e computadores em Matem´atica nem sempre tem sido t˜ao bem sucedido quanto poderia ser. Na Inglaterra, o uso de calculadoras com crian¸cas tem sido desencorajado na esperan¸ca de que sua ausˆencia permitiria que as crian¸cas construissem rela¸co˜es aritm´eticas mentais. Talvez esta atitude tenha mais a ver com o mal uso da calculadora (para efetuar c´alculos sem ter que pensar) do que com qualquer falha inerente ao pr´oprio aparato. Bem usada – para encorajar reflex˜ao sobre id´eias matem´aticas – a calculadora pode ser muito ben´efica. David Tall, 2001, p.212 (tradu¸ca˜o nossa)

Neste sentido, temores iniciais de que o uso de calculadoras na sala de aula, por si s´o, atrofiaria as habilidades aritm´eticas dos alunos eram, de certa forma, mal colocados. Os efeitos da ferramenta na aprendizagem est˜ao muito mais relacionados com a forma como ela ´e usada do que com suas caracter´ısticas intr´ınsecas. De fato, esta constata¸c˜ao aplica-se a qualquer tecnologia usada no ensino, seja esta de natureza computacional ou n˜ao. Hoje, as tecnologias digitais est˜ao cada vez mais presentes em praticamente todos os setores da atividade humana, portanto n˜ao faria sentido bani-las da sala de aula – sob pena de tornar a escola t˜ao anacrˆonica em rela¸c˜ao `a vida exterior a seus muros a ponto de ter um efeito in´ocuo na forma¸c˜ao dos alunos. Paralelamente a isso, a reflex˜ao sobre os usos pedag´ogicos dessas tecnologias vem amadurecendo. Assim, o foco do debate deslocou-se da quest˜ao de se as tecnologias digitais tˆem efeitos ben´eficos para a aprendizagem, para a quest˜ao de como us´ a-las de forma que seus efeitos sejam ben´ eficos para a aprendizagem. As calculadoras s˜ao certamente as tecnologias digitais mais simples, baratas e de mais f´acil uso. Mesmo as calculadoras com menos recursos matem´aticos podem ser usadas de forma a enriquecer significativamente a abordagem. Seu uso como instrumento did´atico oferece ao contexto de sala de aula, em situa¸co˜es espec´ıficas, uma metodologia de ensino que permite ao professor dinamizar de modo simples as aulas te´oricas tratadas geralmente com metodologias tradicionais. O objetivo central deste primeiro 5

´ CAP´ITULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMATICA

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Cap´ıtulo ´e discutir como ´e poss´ıvel desenvolver atividades pedag´ogicas 1 interessantes e enriquecedoras mesmo quando se disp˜oe apenas de recursos computacionais m´ınimos. Por isso, todas as atividades propostas podem ser feitas com a calculadoras simples (em geral chamadas calculadoras de bolso), que disp˜oem apenas das quatro opera¸co˜es elementares. Atividades de natureza mais complexa, que demandariam mais recursos tecnol´ogicos ser˜ao abordadas nos cap´ıtulos subsequentes. O Cap´ıtulo est´a dividido em duas se¸co˜es: na primeira, o foco das atividades estar´a mais na estrutura as opera¸co˜es e suas propriedades; e na segunda nas caracter´ısticas da representa¸c˜ao decimal, com ˆenfase em aproxima¸co˜es e erros.

1.1

Opera¸co ˜es e Propriedades

Nesta se¸c˜ao, propomos atividades com objetivo de utilizar a calculadora para enriquecer a aprendizagem da estrutura das opera¸co˜es elementares (principalmente com n´umeros inteiros) e suas propriedades. Em geral, essas propriedades s˜ao ensinadas como “regras”, enunciadas no quadro negro. Atividades com a calculadora podem articular-se com a abordagem tradicional de sala de aula, oferecendo aos alunos uma oportunidade de lidar com a estrutura das opera¸co˜es de forma mais concreta e dinˆamica. Para que esses objetivos sejam atingidos, ´e fundamental que os alunos sejam encorajados a interpretar matematicamente os resultados da m´ aquina e a desenvolver uma atitude cr´ıtica em rela¸c˜ ao a estes – em lugar de simplesmente aceit´a-los como verdades inquestion´aveis. Assim, o papel da calculadora em sala de aula n˜ao deve se limitar a apenas “conferir” resultados obtidos manualmente. Seu uso ´e mais rico em situa¸co˜es cuja interpreta¸c˜ao pelos alunos leve ao aprofundamento da compreens˜ao sobre as propriedades matem´aticas envolvidas, por exemplo, por meio da explora¸c˜ao de resultados inesperados ou aparentemente errados. Por este motivo, o papel do professor em planejar e aplicar adequadamente as atividades ´e decisivo – n˜ao ´e a calculadora, por si s´o, que pode trazer efeitos positivos (ou negativos) `a aprendizagem, e sim a forma como ela ´e empregada em sala de aula. Atividades 1. Considere os n´umeros: 49, 71 e 180. Com a ajuda da calculadora, construa exemplos de opera¸co˜es (adi¸c˜ao, subtra¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e divis˜ao), que tenham cada um desses n´umeros como resultados. (a) Primeiro, dˆe exemplos de opera¸co˜es envolvendo apenas n´umeros naturais. (b) Agora, use quaisquer n´umeros (podendo ser inteiros, racionais ou irracionais). 2. Suponha que vocˆe queira fazer uma conta envolvendo n´umeros grandes, como por exemplo: ´ bem prov´avel que use uma calculadora para obter o resultado. Como 987123 × 110357. E se tratam de n´umeros com muitos algarismos, mesmo com uma calculadora, n˜ao ´e imposs´ıvel enganar-se ao digitar algum algarismo e obter um resultado errado. (a) Suponha que depois de digitar os dados, tenha aparecido no visor o seguinte resultado: 989455911. Este resultado pode estar certo? Justifique a sua resposta. (b) Constatando que o resultado anterior n˜ao estava correto, vocˆe apaga e digita novamente os dados. Desta vez o visor mostra o seguinte: 108935822554. E este resultado, pode estar certo? Justifique a sua resposta. (c) Quantos algarismos vocˆe espera que o resultado tenha? 1

Grande parte as atividades propostas neste Cap´ıtulo foram inspiradas ou adaptadas diretamente de [46]. Agradecemos o autor e amigo Carlos Mathias pelas ideias e conversas inspiradoras.

˜ 1.1. OPERAC ¸ OES E PROPRIEDADES

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(d) Qual deve ser o u ´ltimo algarismo do resultado? (e) Vocˆe seria capaz de descobrir que erros vocˆe cometeu nos ´ıtens (a) e (b)? 3. Suponha que vocˆe queira saber o resultado da conta 7 × (581 + 399), com ajuda de uma calculadora. Vocˆe digita os dados e a m´aquina fornece o resultado 4466. O resultado est´a correto? O que vocˆe acha que aconteceu? As atividades iniciais 1 a 3 procuram explorar apenas as propriedades das opera¸co˜es elementares, sendo apropriadas para alunos do 1o. segmento ou do in´ıcio do 2o. segmento de ensino fundamental. A atividade 1 tem por objetivo inverter a l´ogica usual de resolver contas e obter resultados, propondo que os alunos inventem diferentes contas que levem a um mesmo resultado dado. O exerc´ıcio de inventar contas pode ser explorado pelo professor para a reflex˜ao sobre as propriedades das opera¸co˜es, al´em de colaborar com a pr´atica de c´alculo mental, estimulando os estudantes a pensarem sobre a rela¸c˜ao entre as ordens de grandeza do resultado e dos operandos. Para isso, o professor pode ainda incluir na atividade quest˜oes chave mais direcionadas, como por exemplo: • Quantas multiplica¸co˜es vocˆe consegue exibir, envolvendo apenas n´umeros naturais, cujo resultado seja 49? E 71? E 180? • Observando que 90 + 90 = 180, como vocˆe pode descobrir outras contas de adi¸c˜ao que dˆeem o mesmo resultado? • Observando que 2 × 90 = 180, como vocˆe pode descobrir outras contas de multiplica¸c˜ao, apenas com n´umeros inteiros, que dˆeem o mesmo resultado? • Observando que 2 × 90 = 180, como vocˆe pode descobrir outras contas de multiplica¸c˜ao, com n´umeros inteiros ou fra¸co˜es, que dˆeem o mesmo resultado? • Pode existir uma adi¸c˜ao, envolvendo apenas n´umeros naturais, cujo resultado seja 49 e uma das parcelas seja 60? • Pode existir uma adi¸c˜ao, envolvendo n´umeros inteiros, cujo resultado seja 49 e uma das parcelas seja 60? • Pode existir uma multiplica¸c˜ao, envolvendo apenas n´umeros naturais, cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 60? • Pode existir uma multiplica¸c˜ao, envolvendo apenas n´umeros naturais, cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 40? • Pode existir uma multiplica¸c˜ao cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 60?

• Pode existir uma multiplica¸c˜ao cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 40?

• Em uma adi¸c˜ao, quando vocˆe aumenta uma das parcelas, o que deve acontecer com a outra para que o resultado n˜ao se altere? • Em uma subtra¸c˜ao, quando vocˆe aumenta um dos termos, o que deve acontecer com o outro para que o resultado n˜ao se altere? • Em uma multiplica¸c˜ao, quando vocˆe aumenta um dos fatores, o que deve acontecer com o outro para que o resultado n˜ao se altere? • Em uma divis˜ao, quando vocˆe aumenta o dividendo, o que deve acontecer com o divisor para que o resultado n˜ao se altere? • Que propriedades das opera¸co˜es vocˆe empregou para chegar `as conclus˜oes acima?

´ CAP´ITULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMATICA

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Quest˜oes como as exemplificadas acima podem contribuir com a compreens˜ao de algumas propriedades importantes das opera¸co˜es. Por exemplo, quando adicionamos um n´umero a uma das parcelas de uma soma, para manter o mesmo resultado, devemos subtrair o mesmo n´umero da segunda parcela. Verifica¸co˜es an´alogas podem ser propostas para as demais opera¸co˜es. Tais verifica¸co˜es podem favorecer a explora¸c˜ao da rela¸c˜ao entre as opera¸co˜es e sua respectivas inversas, al´em da rela¸c˜ao entre as ordens de grandeza do resultado e dos operandos. As quest˜oes podem ainda ser empregadas na explora¸c˜ao das limita¸co˜es das opera¸co˜es em cada um dos conjuntos num´ericos. Em particular, ´e importante chamar aten¸c˜ao para o fato de que a quantidade de multiplica¸co˜es resultando em n´umero dado est´a relacionada com a quantidade de fatores primos deste n´umero (por exemplo, no caso da atividade 1 proposta acima, s˜ao dados um n´umero primo e dois n´umeros compostos, sendo um quadrado de um primo e o outro com diversos divisores distintos). Finalmente, o exerc´ıcio de procurar por um dos termos de uma opera¸c˜ao, dados o outro termo e o resultado, pode ser explorado como uma introdu¸c˜ao `a no¸c˜ao de equa¸c˜ao. Na atividade 1, o papel da calculadora ´e apenas o de dar mais agilidade aos c´alculos, permitindo que o aluno foque mais aten¸c˜ao na reflex˜ao sobre o comportamento dos resultados e as propriedades ´ importante observar que a atividade n˜ operat´orias empregadas. E ao deve se resumir ` a mera verifica¸c˜ ao de resultados com a calculadora. Seu desenvolvimento em sala de aula deve sempre incluir as justificativas matem´ aticas desses resultados. Por outro lado, o uso da calculadora em sala de aula n˜ao precisa – e n˜ao deve – limitar-se simplesmente a facilitar ou conferir contas. As atividades 2 e 3 enfocam a interpreta¸c˜ao cr´ıtica de resultados produzidos por usos errˆoneos da calculadora, visando estimular a forma¸c˜ao de uma expectativa para os resultados, e o desenvolvimento pr´atica da verifica¸c˜ao por meio de estimativas e c´alculo mental. Quando os alunos no ensino fundamental memorizam os algoritmos das opera¸co˜es, sem entender sua estrutura, dificilmente eles desenvolver˜ao qualquer no¸c˜ao das rela¸co˜es entre o resultado e os operandos. Nestes casos, resultados provenientes de erros na aplica¸c˜ao dos algoritmos s˜ao aceitos, mesmo quando claramente incompat´ıveis com a conta efetuada. Se os c´alculos s˜ao feitos com a calculadora, os resultados s˜ao geralmente aceitos como corretos sem hesita¸c˜ao. Na atividade 2, podemos verificar que os resultados dados nos ´ıtens 2a e 2b s˜ao incompat´ıveis com os fatores da multiplica¸c˜ao. Uma estimativa simples fornece-nos uma ideia da ordem de grandeza dos resultado da conta. Como 987123 > 9×105 e 110357 > 105 , ent˜ao 987123×110357 > 9×105 ×105 = 9 × 1010 , isto ´e, 987123 × 110357 tem pelo menos 11 algarismos. Al´em disso, como os fatores terminam com os algarismos 3 e 7, o u ´ltimo algarismo do produto deve ser necessariamente 1. Os resultados 989455911 e 108935822554 dos 2a e 2b s˜ao obtidos pela omiss˜ao ou troca de algarismos na conta. Assim, 989455911 = 87123 × 11357 e 108935822554 = 987122 × 110357. De forma semelhante, na atividade 3, percebemos que o resultado de 7 × (581 + 399) deve ser m´ultiplo de 10, portanto n˜ao pode ser 4466. O erro decorre da omiss˜ao dos parˆenteses, isto ´e, 4466 = 7 × 581 + 399. H´a uma ampla gama de atividades com objetivos semelhantes a estes que podem ser propostas, dependendo do ano escolar. As atividades anteriores constituem apenas alguns exemplos. Sugerimos que vocˆe formule outras, levando em conta as especificidades de seu p´ublico de alunos. Atividades 4. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 3. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso da calculadora)?

˜ 1.1. OPERAC ¸ OES E PROPRIEDADES

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5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 3, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona. Que quest˜oes chave vocˆe incluiria na atividade, para ajudar a direcionar a resolu¸c˜ao dos alunos.

Reconhecendo Padr˜ oes e Regularidades As atividades a seguir exploram o reconhecimento de padr˜oes nos resultados de opera¸co˜es aritm´eticas. Em livros did´aticos do ensino fundamental, n˜ao ´e incomum encontrarmos exerc´ıcios do tipo “complete a sequˆencia”, que pedem que o aluno reconhe¸ca e generalize um padr˜ao num´erico ou geom´etrico em uma sequˆencia, a partir de um pequeno conjunto de termos dados. O reconhecimento de padr˜oes ´e sem d´uvida uma habilidade fundamental para o desenvolvimento do pensamento matem´atico elementar. Entretanto, ´e importante considerar que a regra de forma¸c˜ao de uma sequˆencia n˜ao pode ser inferida tendo como base apenas a verifica¸c˜ao de um conjunto finito de exemplos (uma sequˆencia num´erica n˜ao precisa nem mesmo ter uma regra alg´ebrica de forma¸c˜ao). Assim, as atividades que se seguem n˜ao visam apenas inferir o padr˜ao a partir da verifica¸c˜ao dos exemplos dados e generaliz´a-lo para outros n´umeros quaisquer. O objetivo ´e reconhecer o padr˜ao, justific´a-lo matematicamente, e determinar para que outros n´umeros este pode ser generalizado. A busca por essas justificativas matem´aticas pode ajudar na compreens˜ao dos algoritmos das opera¸co˜es e suas rela¸co˜es com a estrutura do sistema de numera¸c˜ao decimal. As atividades propostas abordam padr˜oes nas representa¸co˜es decimais de n´umeros naturais (6 e 7) e de n´umeros racionais (8 e 9). Atividades 6. Use a calculadora para fazer as seguintes contas de multiplica¸c˜ao por 11: 13 × 11, 24 × 11, 35 × 11. Observe que h´a um padr˜ao nos resultados. (a) Descreva o padr˜ao observado. (b) Explique o padr˜ao, com base no algoritmo da multiplica¸c˜ao. (c) Este padr˜ao vale para qualquer multiplica¸c˜ao de um n´umero de dois algarismos por 11? Justifique sua resposta. (d) O que acontece se multiplicamos um n´umero com mais de dois algarismos por 11? Tamb´em observaremos algum tipo de padr˜ao? Justifique sua resposta. 7. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 21 × 202, 48 × 202, 35 × 202, 17 × 202. (a) Descreva o padr˜ao observado nos resultados. (b) Explique o padr˜ao, com base no algoritmo da multiplica¸c˜ao. (c) Para que tipo de multiplica¸c˜ao esse padr˜ao vale? Justifique sua resposta. 8. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 ÷ 9, 2 ÷ 9, . . ., 8 ÷ 9. Explique o padr˜ao observado nos resultados. 9. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 ÷ 99, 25 ÷ 9, 43 ÷ 9, 76 ÷ 9. Explique o padr˜ao observado nos resultados. Na atividade 6, observamos que se um n´umero natural n possui 2 algarismos quando representado na forma decimal, ent˜ao podemos escreve-lo na forma n = 10a + b, com a, b ∈ N, 0 6 a, b < 10. Logo: 11 n = 11 (10a + b) = 10 (10a + b) + (10a + b) = 100a + 10 (a + b) + b

´ CAP´ITULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMATICA

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Observe que o desenvolvimento acima reproduz os passos do algoritmo usual da multiplica¸c˜ao. Portanto, se n = 10a + b ´e um n´umero com 2 algarismos, cuja soma ´e menor que 10, ent˜ao a representa¸c˜ao decimal de 11 n tem trˆes algarismos, sendo o das centenas a, o das dezenas a + b e o das unidades b. Na atividade 7, o padr˜ao observado pode ser justificado de forma an´aloga. O papel da calculadora nessas atividades ´e justamente permitir que o aluno obtenha os resultados sem usar o algoritmo, para posteriormente refletir sobre o mesmo com base no padr˜ao observado. Nas atividades 8 e 9, ´e interessante chamar a aten¸c˜ao dos alunos para a determina¸c˜ao da fra¸c˜ao geratriz de um d´ızima peri´odica como soma de uma progress˜ao geom´etrica infinita. Atividades 10. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 6 a 9. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso da calculadora)?

11. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 a 9, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

Aprofundando a Compreens˜ ao das Opera¸co ˜es Como j´a comentamos, existem muitas outras formas de explorar os recursos das calculadoras simples para enriquecer a aprendizagem das opera¸co˜es elementares, sua estrutura e suas propriedades. A ideia geral ´e aproveitar os recursos da calculadora para oferecer aos alunos uma vis˜ ao das operac¸o ˜es que seja diferente da abordagem usual de sala de aula, e que se articula e enrique¸ca essa abordagem. Nas atividades a seguir, damos mais alguns exemplos. Por´em leitor ´e fortemente encorajado a elaborar outras, de acordo com as caracter´ısticas e dificuldades espec´ıficas de seu p´ublico de alunos (como vimos propondo). Atividades como as 14 a 17 podem ser aplicadas em forma de jogo entre os alunos. Atividades 12. (a) Digite 2 + 3 na calculadora. Em seguida, tecle o sinal de = v´arias vezes. Tome nota dos n´umeros que v˜ao aparecendo na tela. Que tipo de sequˆencia esses n´umeros formam? (b) Agora, fa¸ca a mesma experiˆencia com a multiplica¸c˜ao: digite 2 × 3 na calculadora e, em seguida, o sinal de = v´arias vezes. Que tipo de sequˆencia esses n´umeros formam? 13. (a) Suponha que vocˆe tenha depositado R$150, 00 em uma caderneta de poupan¸ca que rende 0,7 0, 7% ao mˆes. Passado o primeiro mˆes, vocˆe ter´a R$150, 00+R$150, 00× 100 = R$150, 00× 1, 007 = R$151, 05. Quantos meses vocˆe dever´a esperar (sem fazer nenhum saque ou novo dep´osito) para obter 10% a mais da quantia aplicada? Vocˆe poder´a responder esta pergunta usando uma calculadora de bolso apenas com as quatro opera¸co˜es elementares. Multiplique 150 por 1, 007 e aperte a tecla = sucessivamente, at´e que o resultado mostrado na tela fique ultrapasse 150 × 1, 1 = 165. Conte o n´umero de vezes que a tecla = foi pressionada.

˜ 1.1. OPERAC ¸ OES E PROPRIEDADES

11

(b) Repita a experiˆencia, supondo agora que vocˆe tenha aplicado R$350, 00 e queira obter um lucro de 10% da quantia inicial. (c) As respostas dos ´ıtens anteriores dependem da quantia aplicada? Justifique sua respostas com base em argumentos matem´aticos. 14. Complete as espa¸cos em branco nas express˜oes abaixo, com os sinais das quatro opera¸co˜es elementares (+, −, × e ÷), de forma que as igualdades sejam v´alidas. (a) (53  36)  15 = 1335 (c) 17  (25  83) = −41 (e) (14  66)  16 = 5

(b) 53  36  15 = 1923 (d) 11  17  23 = 4301 (f) 14  66  16 = 18, 125

15. Use uma calculadora para encontrar aproxima¸co˜es para os n´umeros a seguir, empregados apenas √ as teclas num´ericas e as teclas + , − , × , ÷ , e = (isto ´e, sem empregar a tecla de potencia¸c˜ao a um expoente qualquer, se houver).

(a) 30,5

(b) 3−0,125

(c)

√ 4

3

(d) 33,125

16. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 3 , 8 , + , − e = est˜ao funcionando. Vocˆe conseguiria obter todos os n´umeros naturais de 1 a 10 apenas usando essas teclas? 17. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 5 , + , − , × , ÷ e = est˜ao funcionando. Obtenha cada um dos n´umeros naturais de 1 a 10 apenas usando o menor n´umero poss´ıvel de teclas. Na maior parte das calculadoras de bolso, quando pressionamos a tecla correspondente ao sinal de igualdade seguidamente, a u ´ltima opera¸c˜ao realizada ´e repetida. Este recurso pode ser empregado no ensino de diversas maneiras. As atividades 12 e 13 apresentam duas sugest˜oes neste sentido. Na atividade 14, em lugar de obter os resultados conhecendo os operandos e as opera¸co˜es, a proposta ´e que os alunos descubram as opera¸co˜es conhecendo os operandos e os resultados. Para escolher os sinais que tornam as igualdades verdadeiras, eles dever˜ao avaliar as rela¸co˜es entre os operandos e os resultados (tais como ordens de grandeza e caracter´ısticas da representa¸c˜ao decimal), assim como nas atividades 2 e 3. A atividade 15 visa `a explora¸c˜ao das propriedades de potencia¸c˜ao e radicia¸c˜ao, por meio da decomposi¸c˜ao potˆencias de diversos expoentes em ra´ızes quadradas. De forma semelhante, na resolu¸c˜ao das atividades 16 e 17, os alunos dever˜ao decompor n´umeros naturais de 1 a 10 de diferentes maneiras. O exerc´ıcio de decompor n´umeros naturais de diferentes formas ´e importante para a compreens˜ao dos sistema de numera¸c˜ao decimal e das estruturas dos algoritmos das quatro opera¸co˜es. Atividades 18. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 12 a 17. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso da calculadora)?

19. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 12 a 17, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

´ CAP´ITULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMATICA

12

1.2

Aproxima¸co ˜es, Arredondamentos e Erros

Na se¸c˜ao 1.1, destacamos a importˆancia do desenvolvimento de uma atitude de interpreta¸c˜ao cr´ıtica dos resultados produzidos pela calculadora por parte dos alunos. As atividades 2 e 3 daquela se¸c˜ao visavam `a forma¸c˜ao dessa atitude cr´ıtica a partir de usos errˆoneos da m´aquina, isto ´e, erros cometidos pelo pr´oprio usu´ario. Entretanto, n˜ao s˜ao apenas erros de uso que provocam resultados aparentemente errados ou inesperados – estes podem ser causados por limita¸co ˜es inerentes ` a pr´ opria m´ aquina. Tais resultados s˜ao produzidos, de forma geral, por erros de arredondamento: como uma calculadora s´o tem capacidade para armazenar n´umeros com representa¸c˜ao decimal finita, todos os n´umeros com representa¸c˜ao infinita (e mesmo aqueles com representa¸c˜ao finita, por´em superior a capacidade da m´aquina) s˜ao aproximados por n´umeros com representa¸c˜ao finita. Isto ´e, as calculadoras (pelo menos as mais simples) n˜ao operam com n´umeros com representa¸c˜ao decimal infinita, e sim com aproxima¸co˜es para esses n´umeros. A imprecis˜ao nos resultados de c´alculos aproximados pode aumentar quando os erros de arredondamento s˜ao propagados, isto ´e, quando resultados aproximados s˜ao usados em novos c´alculos, gerando aproxima¸co˜es sobre aproxima¸co˜es. Evidentemente, algumas m´aquinas possuem capacidade de armazenamento superior a outras, podendo produzir resultados mais precisos, por´em todas tˆem capacidade finita. Portanto c´alculos com decimais infinitos envolver˜ao necessariamente imprecis˜oes e erros de alguma ordem. Desta forma, a atitude de interpreta¸c˜ao cr´ıtica dos resultados por parte dos alunos n˜ao se refere apenas a seus pr´oprios eventuais erros de uso, mas sobretudo ao funcionamento e `as limita¸co˜es da m´aquina. A consciˆencia das limita¸co˜es da calculadora e do fato de que ela pode produzir resultados imprecisos ou aparentemente errados ´e fundamental para a compreens˜ao de que a m´ aquina n˜ ao pode ser usada como crit´ erio de valida¸c˜ ao matem´ atica. Os resultados da m´aquina devem ser interpretados e avaliados com base em argumentos matem´aticos (e n˜ao ao contr´ario). Este ser´a o enfoque desta se¸c˜ao. Algumas das atividades propostas a seguir (1 a 3) visam especificamente chamar aten¸c˜ao para as limita¸co˜es da calculadora, por meio da interpreta¸c˜ao de resultados aparentemente errados ou imprecisos. As seguintes (6 a 10) abordam processos de aproxima¸co˜es sucessivas, que podem ser empregados como introdu¸c˜ao ao conceito de limite. A princ´ıpio, pode-se pensar que os erros de aproxima¸c˜ao da m´aquina constituem-se necessariamente em um obst´aculo para a aprendizagem do conceito de limite. Por´em, justamente esses erros podem ser explorados pelo professor para introduzir de forma mais expl´ıcita a natureza matem´atica da no¸c˜ao de limite: o conceito matem´atico de limite escapa da precis˜ao da m´aquina, por melhor que esta seja, ou de qualquer precis˜ao finita. Atividades 1. As figuras abaixo representam resultados de certas opera¸co˜es matem´aticas feitas em uma calculadora, mostrados no visor. Sem saber as opera¸co˜es que foram efetuadas, ´e poss´ıvel saber se esses n´umeros s˜ao racionais ou n˜ao, apenas nos resultados do visor? Justifique sua resposta.

˜ 1.2. APROXIMAC ¸ OES, ARREDONDAMENTOS E ERROS

13

2. Ao usar uma calculadora de bolso para fazer uma conta cujo resultado n˜ao ´e um n´umero inteiro, o visor mostrar´a uma aproxima¸c˜ao desse resultado, usando todas as casas decimais dispon´ıveis. Levando isso, em conta, responda as perguntas a seguir, justificando suas respostas. (a) Use a calculadora para fazer a conta 1 ÷ 3. Se vocˆe multiplicar o resultado mostrado no visor por 3, vocˆe encontrar´a o n´umero 1 novamente? √ (b) Use a calculadora para fazer a conta 2. Se vocˆe elevar o resultado mostrado no visor a quadrado, vocˆe encontrar´a o n´umero 2 novamente? 3. Considere a conta 0, 0000111 × 9999456 ÷ 9999123. Como sabemos, podemos fazer efetuar essa conta de diversas maneiras diferentes: (0, 0000111 × 9999456) ÷ 9999123, ou 0, 0000111 × (9999456 ÷ 9999123), ou ainda (0, 0000111 ÷ 9999123) × 9999456. As propriedades das opera¸co˜es de multiplica¸c˜ao e divis˜ao garantem-nos que obteremos o mesmo resultado. Use uma calculadora para fazer a conta dessas duas maneiras. Compare os resultados. Vocˆe pode explicar o que aconteceu? Muitos livros did´aticos do ensino b´asico apresentam exerc´ıcios propondo a classifica¸c˜ao de n´umeros como racionais ou irracionais, com base em sua representa¸c˜ao decimal. Entretanto, frequentemente tais exerc´ıcios n˜ao incluem informa¸co˜es suficientes para a conclus˜ao pedida. O objetivo da atividade 1 ´e mostrar que, apenas com uma amostra finita da representa¸c˜ao decimal de um n´umero real, n˜ao ´e poss´ıvel concluir se este ´e racional ou n˜ao. Por exemplo, embora a express˜ao que aparece na tela da esquerda possa sugerir a representa¸c˜ao de um n´umero irracional (pois os algarismos n˜ao repetem), trata-se apenas de uma express˜ao decimal finita que pode representar uma aproxima¸c˜ao, tanto para 1 ´e uma d´ızima um irracional quanto para um racional. De fato, a representa¸c˜ao decimal da fra¸c˜ao 19 peri´odica cujo per´ıodo tem 18 d´ıgitos, sendo os 16 primeiros coincidentes com a express˜ao dada: 1 = 0, 052631578947368421 . 19 Em continuidade, as atividades 2 e 3 ilustram erros causados por arredondamentos. Para fazer a experiˆencia proposta na atividade 2, os alunos poder˜ao anotar o resultado da primeira opera¸c˜ao que ´e mostrado na tela, limpar a mem´oria da calculadora, digitar o mesmo resultado, efetuar a opera¸c˜ao inversa, verificando que n˜ao se retorna ao n´umero original. A atividade 3 exemplifica uma situa¸c˜ao em que um erro de arredondamento pode fazer com que a calculadora forne¸ca resultados diferentes para uma mesma opera¸c˜ao efetuada em ordens diferentes (dependendo da precis˜ao da calculadora utilizada). Observe que neste exemplo, essencialmente, estamos multiplicando um n´umero pr´oximo de 0 por um n´umero pr´oximo de 1. Assim, se a divis˜ao for efetuada primeiro, em uma calculadora com precis˜ao baixa, esse resultado parcial pode ser arredondado para 1, afetando o resultado final. Atividades 4. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 3. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? Faria sentido aplicar essas atividades sem o uso da calculadora?

5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 3, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

´ CAP´ITULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMATICA

14

Aproxima¸co ˜es e Limites Nas atividades a seguir, lidamos com aproxima¸co˜es – ou em termos matem´aticos formais, limites de sequˆencias de n´umeros reais. O conceito de limite ´e um dos mais importantes e centrais de toda a Matem´atica, e mesmo n˜ao figurando explicitamente nos curr´ıculos, este pode (e deve) ser introduzido informalmente no ensino b´asico, por meio da ideia intuitiva de aproxima¸c˜ao. A calculadora pode ser um recurso did´atico de grande ajuda para esta introdu¸c˜ao. Em particular, a ideia de aproxima¸c˜ao ´e importante para o ensino do conceito de n´umero irracional. Em geral, a abordagem de n´umeros irracionais no ensino b´asico ´e bastante restrita. Usualmente, recebem pouca ˆenfase as motiva¸co˜es para a pr´opria necessidade de amplia¸c˜ao do conjuntos dos n´umeros reais (isto ´e, de que problemas matem´aticos os n´umeros racionais n˜ao d˜ao conta), e as justificativas para propriedades referentes `a representa¸c˜ao decimal de irracionais (tais como, um n´umero ´e irracional se, e somente se, sua express˜ao decimal ´e infinita e n˜ao peri´odica), ou mesmo para as express˜oes decimais de exemplos espec´ıficos de n´umeros irracionais. Aproxima¸co˜es para n´umeros irracionais, desenvolvidas com ajuda da calculadora, pode enriquecer significativamente a abordagem de n´umeros irracionais, sua representa¸c˜ao decimal e localiza¸c˜ao na reta real. Atividades √ 6. O objetivo desta atividade ´e determinar aproxima¸co˜es √ decimais para 2. Sabemos que 12 = 1 < 2 < 4 = 22 . Isto nos permite concluir que 1 < 2 < 2. De forma an´aloga, temos que 1, 42 = 1, 96 < 2 < 2, 25 = 1, 52 . Continuando este procedimento, use a calculadora √ (sem √ ) para completar a tabela abaixo, obtendo aproxima¸co˜es para 2 com n empregar a tecla casas decimais. n 1 2 3 4 5

√

2∼ =

7. Conhecendo aproxima¸ ˜es com n casas decimais depois da v´ırgula para √co aproxima¸co˜es para 2 2 . Complete a tabela abaixo. n 1 2 3 4 5

√

2∼ 2 = 1, 4 1, 41 1, 414 1, 4142 1, 41421

√ 2

√

2, podemos determinar

∼ =

O procedimento acima pode nos dar certeza do n´umero da casas decimais exatas das aproxima¸co˜es √ 2 para 2 obtidas? Justifique sua resposta. 8. Digite um n´umero positivo qualquer na calculadora. Em seguida, digite a tecla

√

vezes. Em algum momento o visor mostrar´a o n´umero 1. Explique o que aconteceu.

sucessivas

˜ 1.2. APROXIMAC ¸ OES, ARREDONDAMENTOS E ERROS

15

Em livros did´aticos do ensino b´asico, as express˜oes decimais aproximadas para n´umeros irracionais s˜ao quase sempre apresentadas como se fossem simplesmente dadas, sem quaisquer justificativas √ te´oricas. Na atividade 6, propomos um processo para determinar aproxima¸co˜es decimais para 2, usando apenas a potencia¸c˜ao n´umeros racionais. Por meio desse processo, √ podemos (pelo menos teoricamente) determinar quantas casas decimais quisermos para o n´umero 2. Atividades como esta s˜ao muito importantes para que os alunos no final do ensino fundamental e no ensino m´edio formem uma ideia mais concreta dos n´umeros irracionais e sua localiza¸c˜ao na reta real. A atividade 7 tem como objetivo introduzir um significado intuitivo (e n˜ao formalizado) para a potencia¸c˜ao de expoente irracional. A opera¸c˜ao de potencia¸c˜ao ´e definida primeiramente para expoentes naturais, e posteriormente generalizada para expoentes inteiros e naturais por meio de argumentos baseados na preserva¸c˜ao de certas propriedades aritm´eticas (por exemplo, devemos ter a 0 = 1 para a 6= 0, pois caso contr´ario n˜ao valeria am an = am+n , para m, n ∈ Z). Entretanto, raramente encontramos em livros did´aticos alguma forma de conceitua¸c˜ao para a potencia¸c˜ao com expoentes irracionais. Contraditoriamente, alguns cap´ıtulos a frente, a fun¸c˜ao exponencial ´e definida com dom´ınio em R, sem que esta inconsistˆencia seja sequer apontada. De fato, a extens˜ao da opera¸c˜ao de potencia¸c˜ao dos n´umeros racionais para os irracionais n˜ao pode ser justificada apenas por meio de argumentos alg´ebricos (como as extens˜oes anteriores), e requer necessariamente uma ideia de convergˆencia, o que a torna a sua formula¸c˜ao te´orica de dif´ıcil compreens˜ao, mesmo no ensino m´edio. Isto n˜ao ´e justificativa, no entanto, para que este problema n˜ao seja tratado, mesmo que de forma intuitiva. Em geral, os estudantes no ensino m´edio n˜ao tˆem maiores dificuldades em explicar√o que significam potencia¸co˜es com expoentes 3 4 inteiros ou racionais (por exemplo, 2−3 = 213 , ou 2 4 = 23 ). Mas, ´e preciso tamb´em que eles atribuam algum significado a express˜oes do tipo 2π – que n´umero ´e esse? Uma introdu¸c˜ao a esta discuss˜ao, que pode ser feita com ajuda da calculadora, ´e o que prop˜oe a atividade 7. Nas atividades 6 e 7 ´e fundamental claro para os alunos que a express˜oes decimais obtidas √ √ que fique representam aproxima¸co˜es para os 2 e 2 2 . Os erros associados a cada uma dessas aproxima¸co˜es podem ser feitos t˜ao pequenos quanto se queira, isto ´e, tratam-se de sequˆencias de n´umeros reais √ √ convergindo aos n´umeros 2 e 2 2 . Por´em, essas aproxima¸co˜es jamais coincidir˜ao com os n´umeros. A atividade 8 envolve uma situa¸c˜ao em que os arredondamentos feitos pela m´a√quina geram um √ n resultado errˆoneo. Sabemos que, se a > 0 ent˜ao lim a = 1, portanto o erro | n a − 1| pode ser n→+∞

feito t˜ao pequeno quanto se queira, para n ∈ N suficientemente grande. Entretanto, n˜ao podemos ter √ n a = 1 para nenhum a 6= 1. A discuss˜ao proposta na atividade 8 pode ser usada para mostrar que, por melhor que seja a √ precis˜ao de uma calculadora, ´e sempre poss´ıvel tomar n grande o suficiente para que a diferen¸ca entre n a e 1√fique ainda menor que esta precis˜a√o. Assim, pode-se ilustrar concretamente o fato de que dizer que n a tende a 1 significa dizer que | n a − 1| fica menor que qualquer precis˜ao finita. Atividades 9. Use o mesmo procedimento da atividade 6, encontre aproxima¸co˜es para os n´umeros abaixo, com erro menor que 0, 01. (a)

√ 3

(b)

√ 3 2

2

(c) 3 3

10. Use o mesmo procedimento da atividade 7, encontre aproxima¸co˜es sucessivas para o n´umero 10 π . 11. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 6 a 10. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades?

16

´ CAP´ITULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMATICA (c) Qual ´e o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? (d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso da calculadora)?

12. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 a 10, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

Cap´ıtulo 2 Planilhas Eletrˆ onicas Introdu¸c˜ ao Os recursos dispon´ıveis nas planilhas eletrˆonicas possibilitam diversas aplica¸co˜es no ensino de Matem´atica. Dentre esses recursos destacam-se: • manipula¸c˜ao e opera¸co˜es com grandes quantidades de dados num´ericos;

• articula¸c˜ao entre diversas formas de representa¸c˜ao; • ferramentas l´ogicas;

• ferramentas estat´ısticas. Neste Cap´ıtulo, propomos atividades com planilhas eletrˆonicas, explorando os recursos acima em dois campos do ensino de Matem´atica: simbologia alg´ebrica, equa¸co˜es e fun¸co˜es; e tratamento da informa¸c˜ao. Quando os alunos no ensino b´asico tˆem os primeiros contatos com a simbologia alg´ebrica, n˜ao s˜ao incomuns as dificuldades com os diferentes significados dos s´ımbolos (vari´aveis, inc´ognitas, constantes, parˆametros) e com as regras sint´aticas a que est˜ao sujeitas esses s´ımbolos. As planilhas eletrˆonicas possuem um sistema simb´olico pr´oprio. A pr´opria experiˆencia concreta de codifica¸c˜ao e manipula¸c˜ao da simbologia nesse sistema, especialmente a verifica¸c˜ao de erros de codifica¸c˜ao indicados pelo software, pode ajudar os alunos a entenderem os significados e regras sint´ aticas dos s´ımbolos. No ensino de fun¸co˜es, as planilhas eletrˆonicas possibilitam a articula¸c˜ ao de diversas formas de representa¸c˜ ao, que podem ser constru´ıdas concretamente no software pelo pr´oprio aluno, em cada situa¸c˜ao. Essas representa¸co˜es podem tamb´em ser utilizadas para a resolu¸c˜ao num´erica de equa¸co˜es, ou mesmo de sistemas de equa¸co˜es, especialmente em situa¸co˜es que envolvam modelos aproximados, permitindo a procura de solu¸co˜es aproximadas em um determinado intervalo. Na abordagem de tratamento da informa¸c˜ao e Matem´atica Financeira, as planilhas podem ser empregadas com dados extra´ıdos de situa¸co˜es concretas, que podem ser coletados pelos pr´oprios alunos. As ferramentas estat´ısticas e gr´aficas dispon´ıveis nas planilhas eletrˆonicas possibilitam a representa¸c˜ ao desses dados de diferentes formas num´ ericas e gr´ aficas, e a an´ alise, compara¸c˜ ao e interpreta¸c˜ ao dessas representa¸co ˜es, visando `a formula¸c˜ao de conclus˜oes e hip´oteses.

17

ˆ CAP´ITULO 2. PLANILHAS ELETRONICAS

18

2.1

Simbologia Alg´ ebrica

Explorando Regularidades e Limites Nesta se¸c˜ao, propomos atividades utilizando os recursos das planilhas eletrˆonicas para a explora¸c˜ao de regularidades e limites de sequˆencias num´ericas. Atividades com objetivos semelhantes j´a foram propostas no cap´ıtulo anterior. Entretanto, al´em das planilhas oferecem muito mais recursos e fun¸co˜es que as calculadoras de bolso, seu uso em atividades desta natureza apresenta algumas diferen¸cas importantes do ponto de vista pedag´ogico, em rela¸c˜ao ao uso da calculadora: • De forma geral as planilhas possuem maior precis˜ao que as calculadoras, portanto possibilitam a visualiza¸c˜ao e o tratamento de dados num´ericos com mais casas decimais. • Os recursos das planilhas tamb´em oferecem a possibilidade de manusear os dados das atividade de forma mais dinˆamica e com menos uso de teclas, uma vez que as f´ormulas e dados digitados em uma c´elula podem ser generalizados para outras por meio do recurso de arrastar. • Aa planilhas geram automaticamente um registro tanto das opera¸co˜es e fun¸co˜es matem´aticas empregadas no problema, quanto dos dados da solu¸c˜ao. Para guardar tais registros com o uso da calculadora, ´e preciso manter um controle paralelo em papel. • Por outro lado, os s´ımbolos encontrados nas calculadoras de bolso s˜ao essencialmente os mesmos e obedecem `as mesmas regras com que os alunos est˜ao acostumados a lidar desde a alfabetiza¸c˜ao matem´atica nos anos inicias, enquanto as planilhas eletrˆonicas possuem simbologia e sintaxe pr´oprias, cuja aprendizagem por si s´o demanda maior maturidade por parte do aluno. Essas caracter´ısticas podem ser mais ou menos aproveitadas, dependendo dos objetivos pedag´ogicas da atividade em quest˜ao e do ano escolar dos alunos. Por exemplo, para explorar propriedades das opera¸co˜es e propriedades aritm´eticas com alunos dos anos inicias do ensino fundamental, a calculadora ´e possivelmente mais adequada, por possibilitar um foco mais espec´ıfico nesses objetivos. Por outro lado, a planilha eletrˆonica pode ser adequada em anos escolares mais adiantados, contribuindo com uma transi¸c˜ao gradativa do trabalho com aritm´etica nos anos inicias, em dire¸c˜ao ao pensamento alg´ebricosimb´olico, de natureza mais sofisticada e abstrata. A atividade 1 visa justamente comparar as vantagens e desvantagens da realiza¸c˜ao das mesmas atividades com a calculadora e com a planilha. O uso da planilha eletrˆonica para construir aproxima¸co˜es para n´umeros irracionais (como prop˜oem as atividades 1 a 4) pode enriquecer significativamente a abordagem desses n´umeros. Em geral, expans˜oes decimais para n´umeros irracionais s˜ao apresentadas no ensino b´asico sem maiores justificativas matem´aticas e ou manipula¸co˜es concretas. As aproxima¸co˜es constru´ıdas em planilhas eletrˆonicas, empregadas em uma abordagem cuidadosamente planejada pelo professor, podem promover uma maior familiaridade dos alunos com as representa¸co ˜es decimais para n´ umeros irracionais e suas propriedades, especialmente quando a programa¸c˜ao ´e feita por eles pr´oprios. Em particular, a experiˆencia com planilhas pode fornecer uma ideia mais concreta para o fato de que as aproxima¸co˜es decimais finitas para um n´umero real dado constituem os termos de uma sequˆencia convergente, cujo limite ´e este n´umero. Entretanto, como no Cap´ıtulo 1, ´e importante observar ainda que devem ser exploradas n˜ao s˜ao as potencialidades t´ecnicas, como tamb´em as situa¸co˜es em que o software produz resultados inesperados ou aparentemente errados. Atividades 1. Repita as atividades 6 e 7 da se¸c˜ao 1.2 usando uma planilha eletrˆonica. Aumente o n´umero de casas decimais da aproxima¸c˜ao. Que vantagens e desvantagens pedag´ogicas vocˆe vˆe no uso da planilha, em rela¸c˜ao ao uso da calculadora, para realizar esta atividade?

´ 2.1. SIMBOLOGIA ALGEBRICA

19

2. Digite o n´umero 2 na c´elula A1 de uma planilha eletrˆonica. Na c´elula A2, digite =(A1+2/A1)/2. Em seguida, selecione e arraste a c´elula A1 ao longo da coluna A. De que n´umero os valores que aparecem nessa coluna est˜ao se aproximando? Justifique matematicamente a sua resposta. √ 3. Utilizando a mesma ideia da atividade 2, crie uma sequˆencia de n´umeros reais que tenda a 3. 4. Digite o n´umero 1 na c´elula A1 de uma planilha eletrˆonica. Na c´elula A2, digite =(A1+1)∧0,5. Em seguida, selecione e arraste a c´elula A1 ao longo da coluna A. De forma an´aloga `a atividade 2, podemos concluir que o n´umero para o qual os valores da coluna A est˜ao se aproximando satisfaz√a equa¸c˜ao x2 − x − 1 = 0. Esta equa¸c˜ao possui duas ra´ızes √ 1− 5 1+ 5 reais: x1 = e x2 = . Por que os valores que aparecem na planilha se aproximam 2 2 da primeira raiz, e n˜ao da segunda? 5. Um aluno estava estudando o comportamento de duas sequˆencias num´ericas infinitas, para tentar descobrir para onde elas tendiam. Sem pistas para obter a resposta, ele decidiu recorre a uma planilha eletrˆonica. Para programar essa planilha, o aluno procedeu da seguinte forma: 1. A coluna A foi numerada com n´umeros naturais em sequˆencia de 1 a 1. 2. Nas posi¸co˜es correspondes `a primeira linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu, respectivamente: =1/A1; =B1; =1/A1∧2; =D1. 3. Nas posi¸co˜es correspondes `a segunda linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu, respectivamente: =1/A2; =C1+B2; =1/A2∧2; =E1+D2. 4. A primeira e a segunda linhas da tabela foram selecionadas e arrastadas at´e completar a mil´esima linha. A figura abaixo mostra um trecho da planilha programada por ele.

ˆ CAP´ITULO 2. PLANILHAS ELETRONICAS

20 (a) (b) (c) (d)

Explique o comportamento dos valores mostrados nas colunas B, C, D e E da planilha. Na sua opini˜ao, que sequˆencias o aluno estava tentando estudar? Vocˆe considera que a planilha pode ajud´a-lo a determinar os limites procurados? Se o aluno arrastasse at´e a milion´esima linha, em lugar de parar na mil´esima, vocˆe acha que ele teria mais pistas para a resposta do problema? (e) Determine os limites.

Como j´a comentamos, um primeiro objetivo das atividades anteriores ´e o entendimento da pr´ opria simbologia e regras sint´ aticas das planilhas eletrˆ onicas, em particular, como as f´ormulas inicialmente digitadas em uma c´elula se generalizam com a ferramenta de arrastar. Na atividade 2, os valores que aparacem na coluna A correspondem aos termos da sequˆencia de n´umeros reais definida recursivamente da seguinte forma: (

x1 = 2

(2.1) xn + 2/xn ∀n > 1 2 Observando a planilha, √ podemos perceber que os valores que aparecem na coluna A parecem se aproximar do n´umero 2. Para ter certeza da validade deste fato, devemos buscar uma justificativa matem´atica. Empregando as opera¸co˜es aritm´eticas com limites observamos que, caso o limite da sequˆencia (xn )n∈N definida em 2.1 exista, teremos:   lim xn + 2/ lim xn xn + 2/xn . lim xn+1 = lim = 2 2 xn+1 =

Al´em disso, ´e claro que lim xn+1 = lim xn . Portanto, x = lim xn dever´a satisfazer `a equa¸c˜ao: x=

x + 2/x , 2

que ´e equivalente a x2 = 2. Um argumento de indu¸c˜ao finita garante-nos que, se come¸camos com um termo inicial x1 > 0, ent˜ao todos os demais termos da√sequˆencia (xn ) definida em 2.1 ser˜ao todos positivos. Isso nos leva a concluir que, de fato, lim xn = 2. Entretanto, este argumento n˜ao est´a completo! Para que ele seja v´alido precisamos, de antem˜ao, ter certeza que o limite existe, pois caso contr´ario nenhuma das opera¸co˜es que foram feitas com ele seria v´alida. Para demonstrar a existˆencia do limite, come¸camos considerando a fun¸c˜ao real f : R → R definida por: x + 2/x f (x) = . 2 √ √ A an´alise da√derivada de f nos diz que a fun¸c˜ao possui um m´ınimo absoluto no ponto ( 2, √ 2), isto ´e, f (x) > 2 ∀ x √ > 0. Como xn+1 = f (xn ) e j´a√sabemos que xn √ > 0 ∀ n ∈ N, ent˜ao xn+1 > 2 ∀ n > 1, isto ´e, xn > 2 ∀ n > 2.√ Como x1 = 2 > 2, ent˜ao, xn > 2 ∀ n > 1. Logo, a sequˆencia (xn ) ´e limitada inferiormente por √ 2. Agora, observe que: xn > 2 ⇒ x2n > 2 ⇒ xn > x2n . Portanto: xn + 2/xn xn + x n 6 = xn ∀ n > 1. 2 2 Logo, (xn ) ´e mon´otona decrescente. Assim a sequˆencia ´e limitada inferiormente e mon´otona decrescente, o que garante que (xn ) ´e convergente, isto ´e, existe o limite. xn+1 =

´ 2.1. SIMBOLOGIA ALGEBRICA

21

A atividade 3 pede uma adapta¸c˜ao da atividade 2. De forma mais geral, dados a ∈ R, a > 0, e k ∈ √ k N, vocˆe poder´a obter aproxima¸co˜es para o n´umero a, utilizando a sequˆencia definida recursivamente da seguinte forma (verifique): ( x1 = 1 (k − 1) xn + a/xn ∀n > 1 xn+1 = k A atividade 4 explora uma ideia semelhante `a da atividade 2, para construir uma sequˆencia convergindo ao n´umero ´aureo. Na atividade 5, as colunas B, C, D e E da planilha representam, respectivamente, os termos das seguintes sequˆencias: 1 an = n

n X 1 sn = k

1 bn = 2 n

k=1

n X 1 tn = . k2 k=1

Entretanto, uma an´alise pouco cuidadosa dos valores mostrados na planilha pode sugerir conclus˜oes errˆoneas sobre o comportamento das sequˆencias. Sabemos que o comportamento de convergˆencia dessas sequˆencias ´e como dado abaixo. Provas para estes fatos podem ser facilmente encontradas em livros de an´alise real. 1 1 lim = lim 2 = 0 n n

lim

n X 1 k=1

k

= +∞

n X 1 π2 lim = . 2 k 6 k=1

Assim, as sequˆencias (an ) e (bn ) tˆem ambas limite 0. Por´em, as colunas B e D da planilha (que correspondem, respectivamente, a seus termos) parecem sugerir comportamentos distintos: os valores mostrados nessas colunas parecem se estabilizar em 0, 001 e 0, respectivamente. Como a sequˆencia (an ) tende a 0, seus termos n˜ao podem se estabilizar em 0, 001; e embora (b n ) tenda a 0, seus termos nunca atingem o valor 0. Isto ocorre porque (bn ) converge a 0 a uma taxa inferior que a de (an ). Por outro lado, (sn ) e (tn ) tˆem comportamentos distintos: a primeira diverge a infinito, enquanto a segunda converge a um valor finito. Por´em, as colunas C e E podem sugerir o mesmo comportamento para essas sequˆencias: ambas parecem se estabilizar em valores finitos. Isto ocorre porque (s n ) tende a +∞ a uma taxa de crescimento muito baixa. Os exemplos da atividade 5 mostram que a simples verifica¸c˜ao do comportamento dos termos de uma sequˆencia no computador pode sugerir conclus˜oes errˆoneas sobre a existˆencia ou n˜ao de seus limites. Sem d´uvida, a programa¸c˜ao e manipula¸c˜ao de sequˆencia de n´umeros reais em planilhas eletrˆonicas propicia uma experiˆ encia concreta, que pode contribuir significativamente com a aprendizagem dos alunos. Por´em, como j´a observamos, as conclus˜oes devem sempre ser sustentadas por argumentos matem´aticos. Atividades 6. Na atividade 2, come¸camos digitando o n´umero 2 na c´elula A1 da planilha. Isto significa que o primeiro termo da sequˆencia definida ´e 2. (a) Aproveite a planilha que vocˆe construiu na atividade 2 e altere o valor da c´elula A1 para 1. O valor do limite da sequˆencia continua o mesmo? (b) Experimente alterar a c´elula A1 para outros valores positivos. Observe o comportamento da sequˆencia. (c) Agora, altere a c´elula A1 para valores negativos. Observe o comportamento da sequˆencia. (d) Investigue e justifique matematicamente o que vocˆe observou nos ´ıtens anteriores.

ˆ CAP´ITULO 2. PLANILHAS ELETRONICAS

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7. Na atividade 2, a planilha eletrˆonica foi empregada para representar o comportamento de uma sequˆencia definida recursivamente. Frequentemente utilizamos as propriedades de opera¸co˜es com limites para determinar o limite de sequˆencias desse tipo. Entretanto, para isso, devemos ter garantia de antem˜ao da existˆencia desses limites. Caso contr´ario, estaremos aplicando opera¸co˜es sem validade, que podem levar a conclus˜oes errˆoneas. Como exemplo desses erros, considere a sequˆencia de n´umeros reais (an )n∈N definida da seguinte forma:  a1 = 2 an+1 = 12 (a2n + 1), se n ≥ 1. (a) Mostre que (an ) ´e crescente. (b) Use uma planilha eletrˆonica para representar os termos de (a n ). (c) Considere o seguinte argumento para determinar o limite de (a n ): Temos que x = lim an+1 = lim an . Ent˜ao, podemos tomar x = lim an+1 = lim an . Logo,
1 1 an+1 = (a2n + 1) ⇒ lim an+1 = (lim an )2 + 1 ⇒ 2 2 1 2 2 x = (x + 1) ⇒ x − 2x + 1 = 0 ⇒ x = 1 2 Logo, lim an = 1. Este argumento est´a correto? Justifique sua resposta. (d) O que vocˆe pode concluir sobre a convergˆencia desta sequˆencia? Justifique sua resposta. Suponhamos que o limite da sequˆencia (an ) da atividade 7 exista. Ent˜ao este limite deve ser, por um lado, maior ou igual a 2 (pois, pelo item 7a, (an ) ´e crescente e seu primeiro termo ´e 2), e por outro, igual 1 (pelo argumento do item 7c). Logo, (an ) n˜ao ´e convergente. Por isso, a aplica¸c˜ao das propriedades operat´orias com o limite – que n˜ao existe – levam-nos a uma conclus˜ao contradit´oria. Nas atividades anteriores, observamos diferentes exemplos, em que as representa¸co ˜es para as sequˆ encias num´ ericas nas planilhas eletrˆ onicas nem sempre sugerem, pelo menos a primeira vista, comportamentos consistentes com o comportamento matem´ atico. Desta forma, vimos exemplos de: sequˆencias convergentes e sequˆencias divergentes a infinito cujo comportamento pode ser facilmente observado nas planilhas, assim como sequˆencias convergentes que parecem tender a um limite diferente do verdadeiro e sequˆencias divergentes a infinito que parecem convergir um limite finito quando representadas nas planilhas. Ressaltamos que a busca pelas justificativas matem´ aticas para essas aparentes diferen¸cas de comportamento podem ser explorados pelo professor para enriquecer a compreens˜ ao dos alunos sobre sequˆ encias e representa¸c˜ ao decimais de n´ umeros reais. Atividades 8. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 7. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel da planilha eletrˆonica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)?

9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 7, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

´ 2.1. SIMBOLOGIA ALGEBRICA

23

Articulando Representa¸co ˜es As atividades 10 a 13 propostas a seguir procuram explorar os recursos das planilhas eletrˆonicas para o tra¸cado de fun¸co˜es reais de vari´avel real. Este tema ser´a tratado em mais detalhes no Cap´ıtulo 3, em que ser´a discutido o uso de softwares desenhados especialmente para esse objetivo. Este n˜ao ´e o caso das planilhas eletrˆonicas: o recurso que adaptamos para tra¸car gr´aficos de fun¸co˜es reais ´e originariamente concebido para a representa¸c˜ao de dados estat´ısticos em gr´aficos de linhas. Essa adapta¸c˜ao causa algumas limita¸co˜es para a realiza¸c˜ao das atividades. Em primeiro lugar, os gr´aficos s˜ao obtidos pela interpola¸c˜ao de pontos por meio de segmentos de reta. Assim, eles podem ter aspecto mais de poligonais do que de curvas suaves. Al´em disso, n˜ao ´e poss´ıvel ter controle do intervalo de visualiza¸c˜ao no eixo vertical, pois este ´e determinado automaticamente pelo software a partir dos valores da vari´avel. Em alguns casos, isso pode prejudicar a visualiza¸c˜ao dos gr´aficos. Entretanto, estas limita¸co˜es n˜ao inviabilizam o uso das planilhas eletrˆonicas para a abordagem de gr´aficos de fun¸co˜es em sala de aula. Como j´a comentamos, as limita¸co ˜es t´ ecnicas dos software podem ser exploradas como potencialidades pedag´ ogicas, para motiva explora¸co ˜es matem´ aticas. Por exemplo, as situa¸co˜es em que os gr´aficos adquirem o aspecto de poligonais podem ser usadas para mostrar que o m´etodo de tra¸car gr´aficos simplesmente por meio de marca¸c˜ao e interpola¸c˜ao de pontos pode conduzir a erros. Esta discuss˜ao ´e proposta aos alunos nos ´ıtens 10b e 11c. Retomaremos e aprofundaremos essa quest˜ao no Cap´ıtulo 3. Atividades 10. Nesta atividade, propomos a constru¸c˜ao de gr´aficos de fun¸co˜es a partir de tabelas de valores. Neste exemplo inicial, ficaremos restritos a curvas de grau menor ou igual a 2, descrevendo o procedimento passo a passo. 1. Insira diferentes valores de entrada da fun¸c˜ao (elementos do dom´ınio) na coluna A da planilha. 2. Escreva a f´ormula para a fun¸c˜ao escolhida na primeira c´elula da coluna B e arraste esta c´elula para baixo ao longo da coluna, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A. 3. Em seguida, selecione a coluna B e use o recurso do software para construir um gr´afico com os dados inseridos. 4. A figura abaixo exemplifica um tipo de sa´ıda poss´ıvel para uma par´abola do tipo y = ax2 + bx + c, com a = −1, b = −1 e c = 2.

(a) Atribua novas valores a, b e c e interprete o comportamento da fun¸c˜ao. (b) Observe que o gr´afico mostrado parece ser formado por pequenos segmentos de reta. Como vocˆe explica esse comportamento?

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ˆ CAP´ITULO 2. PLANILHAS ELETRONICAS

11. (a) Numere a coluna A de uma planilha de −3 a 3, de 1 em 1. Escreva =A1∧2 na primeira c´elula da coluna B e arraste esta c´elula para baixo ao longo da coluna, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A. Selecione a coluna B e use o recurso do software para construir gr´aficos. Observe o gr´afico tra¸cado. (b) Agora, repita a opera¸c˜ao, numerando a coluna A de −3 a 3, de 0, 5 em 0, 5. Trace o gr´afico e compare com o aspecto do gr´afico anterior. (c) Qual dos gr´aficos melhor retrata a curva y = x2 ? Como vocˆe poderia melhorar mais o aspecto desse gr´afico? 12. Numere a coluna A de uma planilha de −3 a 3, de 0, 5 em 0, 5. (a) Escreva =A1+1 na c´elula B1 e =B1+1 na c´elula C1. Em seguida, arraste as c´elulas B1 e C1 para baixo, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A. Selecione as colunas B e C use o recurso do software para construir gr´aficos. Qual ´e rela¸c˜ao entre os gr´aficos tra¸cados? (b) Agora, altere a c´elula B1 para =A1∧2 e arraste esta c´elula para baixo ao longo da coluna B, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A, sem alterar a coluna C. Observe as mudan¸cas nos dois gr´aficos tra¸cados. Qual ´e rela¸c˜ao entre esses gr´aficos? (c) Altere novamente a c´elula B1 para =SEN(A1) e repita a opera¸c˜ao do item anterior: arraste esta c´elula para baixo ao longo da coluna B, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A, sem alterar a coluna C. Qual ´e rela¸c˜ao entre os gr´aficos tra¸cados? 13. (a) Aproveitando a constru¸c˜ao da atividade 12, insira =A1+1 na c´elula B1 e =ABS(B1) na c´elula C1 e arraste estas c´elulas para baixo at´e o fim dos valores inseridos na coluna A. Use o recurso do software para construir os gr´aficos correspondentes aos dados nessas duas colunas. Explique a rela¸c˜ao entre os gr´aficos tra¸cados. (b) Altere a c´elula B1 para =A1∧2-1 e arraste-a para baixo, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A. Observe as mudan¸cas nos gr´aficos e explique a rela¸c˜ao entre eles. (c) Agora, altere a c´elula B1 para =SEN(A1) e arraste-a para baixo, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A. Mais uma vez, observe as mudan¸cas nos gr´aficos e explique a rela¸c˜ao entre eles. (d) Repita os ´ıtens anteriores, alterando a c´elula C1 para B1∧2. Compare o comportamento dos diferentes gr´aficos tra¸cados. (e) Fa¸ca novas altera¸co˜es nas colunas B e C, sempre procurando explicar o comportamento dos gr´aficos tra¸cados. As atividades 10 e 11 s˜ao de car´ater introdut´orio e visam `a familiariza¸c˜ao com os recursos dispon´ıveis em planilhas eletrˆonicas para o tra¸cado de gr´aficos. Como comentamos no in´ıcio desta se¸c˜ao, a pr´opria aprendizagem da simbologia e da sintaxe do software pode ser um exerc´ıcio enriquecedor por si s´o. A representa¸c˜ao e manipula¸c˜ao de objetos matem´aticos na planilha eletrˆonica deve obedecer a regras sint´aticas espec´ıficas – assim como a linguagem simb´olica matem´atica usual. Por´em, no caso do software, a corre¸c˜ao das regras ´e condi¸c˜ao necess´aria para a obten¸c˜ao de resultados, o que n˜ao ocorre quando o aluno resolve problemas com papel e l´apis. Assim, a experiˆ encia com a planilha pode contribuir com aprendizagem da simbologia alg´ ebrica e com a transi¸c˜ ao do pensamento puramente aritm´ etico para o pensamento alg´ ebrico. As atividades 12 e 13 exploram a id´eia de composi¸c˜ao de fun¸co˜es. A coluna B e C da planilha f representam respectivamente os valores de uma fun¸c˜ao f e de uma fun¸c˜ao composta g ◦f . Na atividade 12, a fun¸c˜ao g ´e mantida fixa e a fun¸c˜ao f ´e alterada (figura 2.1). Na atividade 13, as fun¸co˜es f e g

´ 2.1. SIMBOLOGIA ALGEBRICA

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s˜ao alteradas (figura 2.2). Os recursos do software permitem que as mudan¸cas de comportamento nos gr´aficos de f e de g ◦ f sejam visualizadas ao mesmo tempo que as fun¸co˜es s˜ao alteradas. No ensino m´edio, em geral os exerc´ıcios sobre composi¸co˜es de fun¸co˜es reduzem-se a procedimentos para determinar express˜oes alg´ebricas das compostas, dada as express˜oes alg´ebricas das fun¸co˜es originais. O uso do computador permite a compara¸c˜ao das propriedades das fun¸co˜es compostas com as propriedades das fun¸co˜es originais, a partir da articula¸c˜ao das representa¸co˜es alg´ebricas, num´ericas e gr´aficas.

Figura 2.1: Composi¸c˜ao de fun¸co˜es em planilhas eletrˆonicas: os gr´aficos de y = g(x + 1), y = g(x 2 ) e y = g( sen x), sendo g(x) = x + 1.

Figura 2.2: Composi¸c˜ao de fun¸co˜es em planilhas eletrˆonicas: os gr´aficos de y = g(x + 1), y = g(x 2 ) e y = g( sen x), sendo g(x) = |x|; e de y = g(x + 1), y = g(x2 ) e y = g( sen x), sendo g(x) = x2 . Atividades 14. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 10 a 13. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel da planilha eletrˆonica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)?

15. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 10 a 13, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

ˆ CAP´ITULO 2. PLANILHAS ELETRONICAS

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2.2

Tratamento da Informa¸c˜ ao e Matem´ atica Financeira

Os recursos tecnol´ogicos dispon´ıveis, atualmente com amplo uso na sociedade, ampliaram as possibilidades de tratamento de dados de modo a transform´a-los em informa¸co˜es com grande potencial de an´alise e aplica¸c˜ao em diversos campos do conhecimento. Tais possibilidades tˆem sido cada vez mais aplicadas no ensino b´asico de Matem´atica, mobilizando os conhecimentos desenvolvidos pelos alunos em estat´ıstica b´asica. Inclui-se a´ı a an´ alise de dados obtidos em coletas emp´ıricas que, mesmo quando em grande volume, podem ser organizados e interpretados, por meio de gr´aficos de diversos tipos, tabelas, e de medidas estat´ısticas de tendˆencia central, como m´edia, mediana e moda. Tais ferramentas conceituais podem cumprir dupla finalidade. Por um lado, contribuem com a forma¸c˜ ao cidad˜ a do aluno, na medida em que oferecem acesso, de modo r´apido, a diversificadas formas de apresenta¸c˜ao da informa¸c˜ao, que possibilitam interpreta¸co˜es de situa¸co˜es e d˜ao suporte a tomadas de decis˜oes. Ao mesmo tempo, permitem a utiliza¸c˜ao de contextos familiares do dia a dia para o aprendizado de conceitos matem´ aticos e sua articula¸c˜ ao com outros campos do conhecimento. Assim, abordagem de tratamento da informa¸c˜ao com apoio de recursos computacionais pode promover uma nova dinˆamica `a sala de aula. No ensino b´asico, espera-se que o trabalho com Estat´ıstica seja calcado em um processo investigativo, por meio do qual o estudante manuseie dados desde a coleta at´ e a interpreta¸c˜ ao, e formula¸c˜ ao de conclus˜ oes finais. Apresentamos a seguir algumas atividades que visam explorar o uso de planilhas eletrˆonicas para apresentar a coleta, organiza¸c˜ao, interpreta¸c˜ao e apresenta¸c˜ao de dados num´ericos em tabelas e gr´aficos. Exploramos ainda o c´alculo de medidas estat´ısticas como m´edia, mediana, moda e seus significados. Atividades 1. Solicite aos alunos da turma formem grupos de at´e seis componentes e construam uma tabela que relacione a altura (em metro) com o tamanho do palmo (em cent´ımetros) de cada um dos estudantes. Cada grupo deve anotar esses dados em uma planilha eletrˆonica e usar os recursos dispon´ıveis para responder as quest˜oes a seguir. (a) Determine os valores da m´edia, moda e mediana para os dados de seu grupo. (b) Explique o significado estat´ıstico da m´edia, da moda e da mediana. Podemos afirmar que necessariamente existe um aluno da grupo cuja altura coincide exatamente com o valor da m´edia? E da mediana? E da moda? Justifique suas respostas. (c) Construa uma tabela de frequˆencia para cada uma das medidas: altura e palmo. (d) Escolha uma representa¸c˜ao conveniente e represente graficamente os dados: altura × palmo. (e) Vocˆe considera que h´a alguma rela¸c˜ao entre a altura e o tamanho do palmo dos colegas? Justifique sua resposta. (f) Anote os dados de cada um dos outros grupos e compare os dados tabelados e os valores das medidas estat´ısticas calculadas no item 1a. (g) Vocˆe considera que h´a alguma rela¸c˜ao entre a m´edia, da moda e da mediana das alturas e dos tamanhos dos palmos dos diferentes grupos? Justifique sua resposta. 2. Formule uma atividade de coleta e organiza¸c˜ao de dados que possa ser aplicada em uma turma de ensino m´edio. (a) Escolha a melhor representa¸c˜ao gr´afica dentre as possibilidades da planilha eletrˆonica. (b) Use as fun¸co˜es da planilha de c´alculo e determine os valores da m´edia, moda e mediana. (c) Relate que conclus˜oes vocˆe pode inferir sobre os dados coletados com base nas representa¸co˜es gr´aficas e nas medidas?

˜ E MATEMATICA ´ 2.2. TRATAMENTO DA INFORMAC ¸ AO FINANCEIRA

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Outro campo em que a educa¸c˜ao para a cidadania pode se articular com a aprendizagem de conceitos matem´aticos importantes ´e a Matem´atica Financeira. No est´agio econˆomico por que passa o Brasil, com grande parte da popula¸c˜ao tendo acesso a cr´editos e financiamentos em modelos diversificados, cabe ao ensino b´asico de Matem´atica oferecer ao aluno uma forma¸c˜ao s´olida neste campo. A Matem´atica Financeira aplicada aos diversos ramos da atividade econˆ omica pode representar importante instrumento para auxiliar em an´ alises e decis˜ oes de ordem pessoal e social. Assim, al´em de servir como aporte a conceitos de outros campos, o aprendizado de Matem´atica Financeira instrumentaliza o cidad˜ao a melhor entender, interpretar e escolher adequadamente d´ıvidas, credi´arios, descontos, reajustes salariais, aplica¸co˜es financeiras. Dentre essas decis˜oes, destacamos as escolhas entre de propostas de financiamentos a longo, m´edio e curto prazo, relacionadas a experiˆencias do cotidiano. A seguir apresentamos atividades que exploram an´alises de diferentes modos de composi¸c˜ao de financiamentos com pagamentos peri´odicos muito utilizados em cr´editos de longo prazo para aquisi¸c˜ao de ve´ıculos (carros, motos) e im´oveis. Atividade 3. Para a maioria das opera¸co˜es financeiras as taxas de juros compostos s˜ao aplicadas a cada per´ıodo sobre um capital aplicado ou a uma d´ıvida contratada. Desse modo, se o per´ıodo de capitaliza¸c˜ao ou incidˆencia dos juros difere do per´ıodo da taxa de juros informada ´e necess´ario uma convers˜ao de modo a adequar o per´ıodo `a taxa. A tabela abaixo pode ser constru´ıda com as fun¸co˜es de uma planilha de c´alculo.

(a) Reproduza esta planilha para as convers˜oes indicadas e proponha a convers˜ao para outros valores de taxas, considerando os per´ıodos do exemplo. (b) Apesar de n˜ao estar expl´ıcita, a convers˜ao acontece para valores de taxas dadas ao ano e que devem ser calculadas para valores ao mˆes. Que valores estariam nas c´elulas Q e R se a taxa dada fosse calculada ao ano e as taxas aplicadas ao trimestre? (c) Simule convers˜oes para diferentes per´ıodos (por exemplo: semestre para bimestre, etc). (d) Observe a fun¸c˜ao referente `a c´elula S3. Escreva uma justificativa matem´atica para esta fun¸c˜ao. Que conceito matem´atico ´e empregado para encontrar os valores? (e) Com esta mesma tabela de convers˜ao, sem mudar a fun¸c˜ao, ´e poss´ıvel converter uma taxa dada ao mˆes no sistema de juros compostos para o equivalente ao ano? Em caso afirmativo, qual ´e a justificativa matem´atica para tal convers˜ao?

ˆ CAP´ITULO 2. PLANILHAS ELETRONICAS

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O foco das atividades 4 a 7 a seguir est´a nos sistemas utilizados para financiamentos de longo prazo. Nestes tipos de financiamentos, consideram-se sempre parcelas peri´odicas constitu´ıdas por duas partes: a amortiza¸c˜ao, que corresponde ao que ´e efetivamente abatido da d´ıvida; e os juros, calculados sobre o saldo devedor no per´ıodo do pagamento. H´a duas modalidades principais encontradas no mercado para este tipo de financiamento: • No sistema SAC (Sistema de Amortiza¸c˜ao Constante), um valor constante ´e amortizado a cada parcela. Portanto, o valor das parcelas decresce com o tempo. Este sistema ´e muito usado em financiamentos de casa pr´opria. • No sistema PRICE, as parcelas constantes s˜ao mantidas constantes. Este pode ser mais encontrado em financiamentos de ve´ıculos e bens dur´aveis. Muitas vezes, o sistema PRICE ´e informado pelos vendedores como sendo sem juros, por´em os juros totais s˜ao calculados e dilu´ıdos nas parcelas fixas. Podemos utilizar as fun¸co˜es estat´ısticas das planilhas eletrˆonicas para calcular valores para essas modalidades de financiamento. Atividades 4. O trecho da tabela abaixo representa um financiamento pelo sistema SAC, no valor de R$ 50.000,00 para compra de um im´ovel em um per´ıodo de 300 meses, com taxa de 0,9% ao mˆes.

(a) Reproduza esta tabela do Sistema SAC em uma planilha de c´alculo. Observe que para utilizar c´elulas que ter˜ao valor constante devemos utilizar o r´otulo da coluna sempre entre $. Por exemplo, toda vez que nesta tabela usar a taxa fixa de 0,9% devo criar referˆencia a $B$3. Os valores da coluna B, de B4 em diante s˜ao obtidos pela subtra¸c˜ao de 1 do valor antecessor: E5=E4-1.

˜ E MATEMATICA ´ 2.2. TRATAMENTO DA INFORMAC ¸ AO FINANCEIRA

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(b) Justifique matematicamente cada um dos valores num´ericos presentes nas c´elulas da linha 4 (B4:F4). (c) O que podemos observar relacionado a cada uma das colunas? (d) Qual o comportamento das parcelas da presta¸c˜ao neste sistema? Justifique. (e) Utilize o assistente de gr´aficos da planilha e em u ´nico sistema cartesiano represente os valores das colunas C, D, E, e F com as parcelas da coluna B. (f) Experimente variar os valores da quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemos observar em cada caso? 5. A tabela abaixo apresenta o mesmo financiamento da atividade 4, utilizando o sistema PRICE.

(a) O que podemos observar diferente nesta tabela? Justifique. A figura abaixo ilustra a situa¸c˜ao retratada pela tabela PRICE acima. Ou seja, temos um valor principal e devemos encontrar as parcelas iguais, em modo composto, obtidas a partir do VF. Cabe ressaltar que este valor pode ser obtido por meio das fun¸co˜es estat´ısticas da planilha. Por exemplo o conte´udo obtido em K4 ´e dado por C´alculo da Presta¸c˜ao Constante: =PGTO(i%; n; -VP; Vf; 0) em que: • • • • •

i ´e a tx de juros; n ´e a quantidade de per´ıodos; VP ´e o valor do empr´estimo; VF ´e usualmente zero; 0 indica que os pagamentos ser˜ao ao final do per´ıodo.

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ˆ CAP´ITULO 2. PLANILHAS ELETRONICAS (b) Justifique matematicamente cada um dos valores num´ericos presentes nas c´elulas da linha 4 (J4:M4). (c) Observe a fun¸c˜ao referente `a c´elula S3. Escreva uma justificativa matem´atica para esta fun¸c˜ao. Que conceito matem´atico ´e empregado? (d) Qual o comportamento das parcelas da presta¸c˜ao neste sistema? Justifique. (e) Utilize o assistente de gr´aficos da planilha e em u ´nico sistema cartesiano represente os valores das colunas C, D, E, e F, com as parcelas da coluna B. (f) Experimente variar os valores da quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemos observar em cada caso? 6. Construa em uma mesma planilha as tabelas com os sistemas SAC e PRICE. Para cada um dos casos, represente em eixos cartesianos a amortiza¸c˜ao, os juros, as presta¸co˜es e saldo devedor. Comente as vantagens e desvantagens de cada sistema. 7. Construa as tabelas an´alogas `as anteriores, para o caso da taxa dada ao ano com per´ıodos de presta¸co˜es mensais. Veja a figura abaixo, como uma sugest˜ao para inserir a nova entrada com taxa ao ano.

Fecharemos este Cap´ıtulo com uma atividade interessante (e talvez surpreendente) de Matem´atica Financeira. Al´em do n´umero π, o n´umero irracional transcendente mais conhecido e importante da Matem´atica ´e certamente a constante de Euler: e = 2, 718281828459 . . . Embora o n´umero e tenha um papel importante em Matem´atica superior, al´em de in´umeras aplica¸co˜es na modelagem de problemas em diversas ´areas, motiva¸co˜es para a sua introdu¸c˜ao no ensino b´asico n˜ao s˜ao muito difundidas – diferentemente do que ocorre com o n´umero π, cuja defini¸c˜ao como raz˜ao entre o per´ımetro e a diagonal do c´ırculo tem forte apelo geom´etrico. No caso da constante de Euler, uma dificuldade est´a no fato de que, embora haja algumas formas equivalentes de definir este n´umero, todas envolvem de alguma forma o conceito de limite. Podemos definir e por meio do seguinte limite, conhecido como Segundo Limite Fundamental do C´alculo:  n 1 e = lim 1 + . n→+∞ n Uma das formas de motivar a defini¸c˜ao da constante de Euler envolve uma situa¸c˜ao de Matem´atica Financeira, apresentada na atividade 8. Como observar´a, a planilha eletrˆonica tem um papel importante

˜ E MATEMATICA ´ 2.2. TRATAMENTO DA INFORMAC ¸ AO FINANCEIRA

31

nessa atividade, pois s˜ao necess´arios muitos c´alculos. Como nas atividades 1 a 6 da se¸c˜ao 2.1, para aplicar esta atividade no ensino m´edio, n˜ao ´e necess´ario empregar linguagem de limites, mas apenas fazer com que os alunos percebam intuitivamente o processo de aproxima¸c˜ao, que pode ser usado como prepara¸c˜ao para a futura introdu¸c˜ao ao conceito de limite. Atividade 8. Em uma planilha eletrˆonica, considere as colunas A, B, e C. Nessas colunas realize as seguintes opera¸co˜es: 1. Na coluna A, digite nas c´elulas A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9 e A10, respectivamente, os valores 1, 2, 3, 4, 6, 12, 365, 8760, 525600 e 31536000. 2. Digite =1+1/A1 na c´elula B1 e =B1∧A1 na c´elula C1. 3. Arraste as c´elulas B1 e C1, ao longo das colunas B e C, at´e o final dos valores digitados na coluna A.
n (a) Na coluna C estamos calculado 1 + n1 para n igual a cada um dos valores digitados na coluna A. O que vocˆe observa nestes c´alculos?
n (b) Como explicar que 1 + n1 aproxima-se de um n´umero real `a medida que n aumenta?


n Uma explica¸c˜ao intuitiva para a convergˆencia de 1 + n1 quando n aumenta indefinidamente est´a na Matem´atica Financeira, mais precisamente nos juros pagos por uma caderneta de poupan¸ca. Pense que vocˆe possui uma quantia Q0 aplicada na caderneta de poupan¸ca de um certo banco, que paga pela aplica¸c˜ao dessa quantia uma taxa de rendimentos de 100% ao ano, e vocˆe ainda decide as datas para a capitaliza¸c˜ao de sua aplica¸c˜ao. Se vocˆe optar pela capitaliza¸c˜ao anual (uma vez ao ano), a cada ano o banco paga a vocˆe o saldo integral (100% = 1) existente na capitaliza¸c˜ao anterior. Assim, ap´os um ano vocˆe ter´a: • capitaliza¸c˜ao anual: Q0 + Q0 = 2 Q0 . Se vocˆe optar pela capitaliza¸c˜ao semestral (duas vezes ao ano), a cada seis meses o banco paga a 1 c
˜ao anterior. Assim, vocˆ vocˆe metade (50% =
2 ) do saldo existente na capitaliza¸
ap´os seis meses

e ter´a 1 1 Q0 + 2 Q0 = 1 + 2 Q0 e ap´os um ano vocˆe ter´a 1 + 12 Q0 + 12 1 + 12 Q0 = 1 + 12 1 + 12 Q0 de saldo, ou seja:
2 • capitaliza¸c˜ao semestral: 1 + 21 Q0 = 2, 25 Q0 . Se vocˆe optar pela capitaliza¸c˜ao quadrimestral (trˆes vezes ao ano), a cada quatro meses o banco paga a vocˆe
um ter¸co do saldo existente na capitaliza¸c˜a
o anterior. Assim, ap´os quatro meses seu saldo 2 ser´a 1 + 13 Q0 , ap´os oito meses seu saldo ser´a 1 + 31 Q0 e ap´os um ano seu saldo ser´a: • capitaliza¸c˜ao quadrimestral: 1 +


1 3 3

Q0 = 2, 370 Q0 .

Desta forma, o juro anual da aplica¸c˜ao ´e parcelado linearmente no per´ıodos de capitaliza¸c˜ao, ou seja, dividido em partes iguais pelo n´umero de capitaliza¸co˜es anuais. Ao fim de cada per´ıodo de capitaliza¸c˜ao, este juro parcelado ´e aplicado sobre o saldo da capitaliza¸c˜ao existente ao fim do respectivo per´ıodo. Perceba que, ao final de um ano, os juros sobre juros v˜ao aumentando seu rendimento inicial Q 0 `a medida que aumentamos o n´umero de capitaliza¸co˜es anuais. Assim, se vocˆe optar pela capitaliza¸c˜ao trimestral (4 vezes ao ano), bimestral (6 vezes ao ano), mensal (12 vezes ao ano), di´aria (356 vezes ao ano), ao final do ano o saldo total da aplica¸c˜ao ser´a cada vez maior:

ˆ CAP´ITULO 2. PLANILHAS ELETRONICAS

32 • capitaliza¸c˜ao trimestral: 1 + • capitaliza¸c˜ao bimestral: 1 + • capitaliza¸c˜ao mensal: 1 + • capitaliza¸c˜ao di´aria: 1 +


1 4 4


1 6 6


1 12 12


1 365 365

Q0 = 2, 44140625 Q0. Q0 = (2, 521626 . . .) Q0 .

Q0 = (2, 613035 . . .) Q0 . Q0 = (2, 714567 . . .) Q0 .

N˜ao h´a no mercado aplica¸co˜es com prazo de capitaliza¸c˜ao inferior a um dia, mas se pud´essemos aumentar indefinidamente o n´umero de capitaliza¸co˜es anuais, diminuindo consequentemente o per´ıodo de capitaliza¸c˜ao, verificar´ıamos que o saldo da aplica¸c˜ao ao final do ano continuaria aumentando. Hipoteticamente, poder´ıamos pensar por exemplo em capitaliza¸c˜ao hor´aria (365 × 24 = 8760 vezes ao ano), minuto a minuto (8760 × 60 = 525600 vezes ao ano) ou segundo a segundo (525600 × 60 = 31526000 vezes ao ano). Assim, ter´ıamos:
8756 1 Q0 = (2, 718127 . . .) Q0 . • capitaliza¸c˜ao hor´aria: 1 + 8756
525600 1 Q0 = (2, 718279 . . .) Q0 . • capitaliza¸c˜ao minuto a minuto: 1 + 525600
315360006 1 • capitaliza¸c˜ao segundo a segundo: 1 + 31536000 Q0 = (2, 718282 . . .) Q0 . Mas, ser´a que o fato deste saldo final anual aumentar significa que ele aumenta ilimitadamente? Isto ´e, podemos obter um saldo final t˜ao grande quanto queiramos, tomando per´ıodos de capitaliza¸c˜ao suficientemente pequenos? Veremos que a resposta ´e n˜ao: o saldo final sempre aumenta, mas nunca ultrapassa certa cota superior. Perceba que os valores calculados na planilha eletrˆonica na atividade 8 correspondem `as taxas finais de rendimentos, (isto ´e, `as raz˜oes entre cada saldo final anual obtido e o respectivo valor aplicado inicialmente) correspondes aos per´ıodos de aplica¸c˜ao relacionadas acima. Esses valores parecem convergir para um n´umero pr´oximo de 2, 71828. Entretanto, para ter certeza dessas respostas, precisamos abordar o problema matematicamente. As taxas finais de rendimentos, para uma aplica¸c˜ao com n capitaliza¸co˜es anuais, s˜ao dadas pela sequˆencia de exponenciais:  n 1 , n = 1, 2, 3, . . . en = 1 + n Evidentemente, a existˆencia do limite dessa sequˆencia, que determina a constante de Euler, precisa ser demonstrada matematicamente. Essa demonstra¸c˜ao passa por mostrar que a sequˆencia de n´umeros reais (en ) ´e estritamente crescente e limitada superiormente por 3. Demonstrado isso, a completude dos n´umeros reais garante a existˆencia do limite, que chamaremos de e. Observe inicialmente que a potˆencia en se expande em n + 1 parcelas, como abaixo:  n 1 1 n(n − 1) 1 n(n − 1)(n − 2) 1 1 1 =1+ n+ + + · · · + n n−1 + n . 1+ 2 3 n n 2 n 2! n n n 1 A (j + 1)-´esima parcela, do ponto de vista de , se escreve como j! n(n − 1)(n − 2) · · · (n − j + 1) 1 j! nj

n(n − 1)(n − 2) · · · (n − j + 1) 1 nj j! n n−1 n−j +1 1 = ··· n n n j!      1 2 j−1 1 = 1− 1− ··· 1− n n n j! =

˜ E MATEMATICA ´ 2.2. TRATAMENTO DA INFORMAC ¸ AO FINANCEIRA

33

Como cada um dos parˆenteses acima aumenta de valor se trocarmos n por n+1, segue que e n < en+1 para todo n. Al´em disso, cada um desses parˆenteses ´e sempre menor do que 1, tornando a parcela em 1 quest˜ao menor do que . Assim: j!  n 1 1 1 1 1 1 1 en = 1 + < 1+ + + + + +···+ n 1! 2! 3! 4! 5! n! 8 A soma das quatro primeiras parcelas da desigualdade acima resulta em 3 . Para as demais parcelas 1 1 vamos usar que < n para todo n ≥ 4. Podemos ent˜ao limitar en por n! 2 n  8 1 1 1 1 < + 4 + 5 +···+ n en = 1 + n 3 2 2 2   1 1 1 1 8 < + 1+ + + +··· 3 24 2 4 8 8 1 67 = + ·2= = 2, 7916 < 3 3 16 24 O n´umero n  1 e = lim 1 + n→+∞ n conhecido na matem´atica como a constante de Euler, ´e um valor que aparece naturalmente na modelagem matem´atica de problemas reais, conforme j´a vimos no exemplo do rendimento da caderneta de poupan¸ca. Note que o que foi provado acima ´e que o limite da sequˆencia e n existe e ´e um n´umero real menor ou igual a 3, que chamamos de e. Portanto, por enquanto sabemos apenas que 0 < e 6 3. A experiˆencia que realizamos com a planilha eletrˆonica fornece aproxima¸co˜es para o n´umero e. Por´em, apenas com base nessa experiˆencia, n˜ao h´a como saber quantos algarismos das aproxima¸co˜es geradas em cada passo coincidem com as casas decimais exatas de e. Determinar com precis˜ao as casas decimais de e ´e outro problema, que demanda outras ferramentas matem´aticas, como por exemplo polinˆomios de Taylor. Cabe observar ainda que, evidentemente, juros de 100% ao ano n˜ao ´e uma situa¸c˜ao realista. Entretanto, estabelecemos este valor apenas para facilitar as contas. Se, em lugar disso, fix´assemos uma taxa p de juros qualquer, as taxas finais de rendimentos, em fun¸c˜ao do n´umero n de aplica¸co˜es anuais, seriam dadas por:  p n 1+ , n = 1, 2, 3, . . . n ´ poss´ıvel mostrar que a sequˆencia acima converge para o n´umero e p . E Atividades 9. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 8. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel da planilha eletrˆonica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)?

10. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 8, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

34

ˆ CAP´ITULO 2. PLANILHAS ELETRONICAS

Cap´ıtulo 3 Ambientes Gr´ aficos Introdu¸c˜ ao No ensino b´asico, as principais formas de representa¸c˜ao empregadas na abordagem de fun¸co˜es reais de vari´avel real s˜ao: alg´ebricas (f´ormulas), gr´aficas (gr´aficos) e num´ericas (tabelas). Entretanto, de forma geral, observa-se grande ˆenfase em f´ormulas e procedimentos alg´ebricos rotineiros executados sem maiores reflex˜oes, o que tende a favorecer a concep¸c˜ao de fun¸c˜ao simplesmente como f´ormula. Em conseq¨uˆencia, n˜ao ´e incomum que os alunos passem a considerar fun¸c˜ao como tudo aquilo que tem uma f´ormula, negligenciando outros aspectos importantes do conceito, e confundindo-o com outras id´eias, especialmente a de equa¸c˜ao. O modelo usado em grande parte dos exerc´ıcios com essas formas principais de representa¸c˜ao para fun¸co˜es segue o roteiro (ilustrado na figura 3.1): 1. partir de uma f´ormula dada; 2. construir uma tabela por substitui¸c˜ao de valores (em geral, inteiros positivos e negativos pr´oximos de 0); 3. marcar os pontos correspondentes no plano cartesiano e ligar esses pontos, obtendo um esbo¸co do gr´afico.

Tabela

F´ormula

Gr´afico

Figura 3.1: Representa¸co˜es para fun¸co˜es na escola: rela¸co˜es limitadas. Este ´e um modelo essencialmente quantitativo, pois se baseia apenas nos valores da fun¸c˜ao em um n´umero finito (e em geral pequeno) de elementos do dom´ınio, com pouca reflex˜ao matem´atica levando em conta caracter´ısticas qualitativas espec´ıficas da fun¸c˜ao. Tanto a escolha dos elementos do dom´ınio para compor tabelas quanto a interpola¸c˜ao de pontos para tra¸car gr´aficos s˜ao em geral feitas de forma indiscriminada, o que, efetivamente, pouco contribui para uma melhor compreens˜ao do comportamento da fun¸c˜ao. Assim, esse modelo envolve rela¸co˜es limitadas entre as formas de representa¸co˜es. ´ um objetivo importante para o ensino de fun¸co˜es procurar “completar” o diagrama da figura E 3.1, como mostra a figura 3.2, enriquecendo a abordagem com atividades que promovam articula¸co ˜es m´ ultiplas entre diferentes formas de representa¸c˜ ao e, desta forma, contribuam para uma compreens˜ao mais qualitativa sobre fun¸co˜es reais. Por exemplo, relacionar as caracter´ısticas geom´etricas do 35

´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

36

gr´afico de uma fun¸c˜ao diretamente com as propriedades alg´ebricas de sua f´ormula, sem a intermedia¸c˜ao de tabelas de valores. Tabela

F´ormula

Gr´afico

Figura 3.2: Representa¸co˜es para fun¸co˜es na escola: completando articula¸co˜es. Existem alguns softwares dispon´ıveis que podem ajudar neste objetivo (por exemplo, [2, 7]). Esses programas n˜ao requerem comandos ou sintaxe de programa¸c˜ao espec´ıficos e permitem manipular gr´aficos de fun¸co˜es de forma integrada com representa¸co˜es alg´ebricas e num´ericas, usando essencialmente a mesma simbologia alg´ebrica usual. Neste cap´ıtulo, exploraremos possibilidades de uso desse tipo de software no ensino b´asico. Assim como no caso do cap´ıtulo 1, o objetivo central ´e destacar a riqueza das explora¸co˜es matem´aticas que podem ser feitas com recursos tecnol´ogicos relativamente simples e acess´ıveis. As atividades propostas podem ser feitas com os programas Graphmatica [2], WinPlot [7] (que podem ser facilmente encontrados na internet), com outros equivalentes de sua preferˆencia, ou ainda com planilhas eletrˆonicas que tenham recursos para tra¸car gr´aficos dispon´ıveis (como veremos no cap´ıtulo 2, a seguir).

3.1

Articulando Representa¸co ˜es

As atividades que seguem o modelo representado na figura 3.1 n˜ao s˜ao necessariamente ruins. Por´em para que contribuam de fato para a aprendizagem do conceito de fun¸c˜ao, ´e importante que tanto a escolha dos valores na tabela quanto a constru¸c˜ao do gr´afico n˜ao sejam feitas de forma mecˆanica, e levem em considera¸c˜ao as propriedades espec´ıficas da fun¸c˜ao dada. Observe os exemplos da atividades a seguir. Atividades 1. Considere a fun¸c˜ao f1 : R → R dada por f1 (x) = 9x2 − 9x + 2. (a) (b) (c) (d)

Construa uma tabela de valores e esboce o gr´afico desta fun¸c˜ao com l´apis e papel. Agora, construa o gr´afico da fun¸c˜ao no computador. Qual ´e o menor valor atingido pela fun¸c˜ao? Que valores vocˆe escolheria para construir uma tabela, de forma a realmente ajudar a entender o comportamento desta fun¸c˜ao? (e) Como a reta y = 2 pode ajudar a entender este gr´afico?

2. Considere a fun¸c˜ao f2 : R → R dada por f2 (x) = (x − 1) (4x − 1) (4x − 3). (a) Construa uma tabela de valores e esboce o gr´afico desta fun¸c˜ao com l´apis e papel. (b) Agora, construa o gr´afico da fun¸c˜ao no computador. (c) Determine para que valores de x a fun¸c˜ao ´e positiva e para que valores de x a fun¸c˜ao ´e negativa. (d) Que valores vocˆe escolheria para construir uma tabela, de forma a realmente ajudar a entender o comportamento desta fun¸c˜ao?

˜ 3.1. ARTICULANDO REPRESENTAC ¸ OES 3. Considere a fun¸c˜ao f3 : R \ (a) (b) (c) (d)

1 2

→ R dada por f3 (x) =

37 1 . (2x − 1)

Construa uma tabela de valores e esboce o gr´afico desta fun¸c˜ao com l´apis e papel. Agora, construa o gr´afico da fun¸c˜ao no computador. Esta fun¸c˜ao est´a definida para todos os valores x ∈ R? Que valores vocˆe escolheria para construir uma tabela, de forma a realmente ajudar a entender o comportamento desta fun¸c˜ao? (e) Como a reta x = 12 pode ajudar a entender este gr´afico?

As trˆes atividades acima s˜ao varia¸co˜es da mesma id´eia, mas com graus de dificuldade progressivamente crescentes, pois envolvem exemplos de fun¸co˜es cada vez menos familiares aos alunos. Basicamente, a id´eia b´asica ´e propor exerc´ıcios envolvendo constru¸c˜ao de tabelas e esbo¸co gr´aficos sem o uso do computador, e em seguida usar a visualiza¸c˜ao dos gr´aficos no computador para questionar, por meio de uma quest˜ao chave, as escolhas possivelmente feitas durante as resolu¸co˜es. Nesses trˆes exemplos, se os valores escolhidos restringirem-se a n´umeros inteiros e os pontos correspondentes forem ligados indiscriminadamente, ent˜ao os esbo¸cos dos gr´aficos obtidos deixar˜ao de captar aspectos importantes do comportamento de cada uma das fun¸co˜es, que ocorrem para valores de x entre 0 e 1. Portanto, ´e necess´ario escolher os valores e ligar os pontos convenientemente. O software Graphmatica disp˜oe de um recurso que exibe uma tabela de valores determinada automaticamente de acordo com o intervalo em que o gr´afico ´e tra¸cado. Este recurso pode ser usado para explorar a rela¸c˜ao entre os valores da tabela e o gr´afico no pr´oprio software. Na atividade 1, ´e dada uma fun¸c˜ao polinomial do segundo grau, que deve ser familiar aos alunos a partir do final do ensino fundamental. Portanto,
eles n˜ao devem ter dificuldades em perceber que o ponto de m´ınimo da fun¸c˜ao ocorre em 21 , − 41 . A partir da´ı, os alunos poder˜ao constatar que a estrat´egia de substituir apenas valores inteiros e ligar os pontos, sem levar em conta as propriedades da fun¸c˜ao dada, pode n˜ao ser eficiente para tra¸car o gr´afico (figura 3.3). Esta constata¸c˜ao pode ajud´a-los a questionar a estrat´egia tamb´em no caso de exemplos menos familiares, como nas atividades 2 e 3.

Figura 3.3: O gr´afico de f1 (x) = 9x2 − 9x + 2 tra¸cado no software Graphmatica, com uma tabela de valores.

´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

38

A fun¸c˜ao f2 da atividade 2 ´e polinomial do terceiro grau. Como a fun¸c˜ao j´a ´e dada na forma fatorada, podemos determinar facilmente suas ra´ızes: x1 = 14 , x2 = 34 e x3 = 1. Al´em disso, a an´alise de sinais do produto permite concluir que f2 ´e: • negativa para x < 14 ; • positiva para • negativa para

1 4

3 4

< x < 34 ; < x < 1;

• positiva para x > 1. Com base nessas co˜es (como f2 ´e cont´  informa¸  ınua),  ´e poss´ıvel concluir que f2 tem (pelo menos) um m´aximo local em 14 , 34 e um m´ınimo local em 34 , 1 . Os gr´aficos de fun¸co˜es polinomiais de terceiro grau n˜ao tˆem as mesmas propriedades de simetria das fun¸co˜es de segundo grau, portanto, n˜ao podemos concluir, por exemplo, que esses pontos de m´aximo e m´ınimo ocorrem em pontos m´edios das ra´ızes, ou de valores de x para determinado valor dado de y. Para determinar sua localiza¸c˜ao analiticamente, seria necess´ario recorrer a m´etodos do c´alculo infinitesimal. Entretanto, uma tabela de valores pode ajudar a encontrar sua posi¸c˜ao aproximada e, assim, entender melhor o comportamento da fun¸c˜ao. Por´em, para este fim, a tabela deve incluir pontos entre 0 e 41 , entre 41 e 34 e entre 34 e 1 (ver figura 3.4). Neste caso, a quest˜ao chave da atividade ´e: Determine para que valores de x a fun¸c˜ao ´e positiva e para que valores de x a fun¸c˜ao ´e negativa.

Figura 3.4: O gr´afico de f2 (x) = (x − 1) (4x − 1) (4x − 3) tra¸cado no software Graphmatica, com uma tabela de valores. A fun¸c˜ao f3 da atividade 3 n˜ao est´a definida em x = 21 . Al´em disso, como o numerador de f3 ´e igual a 1 e seu denominador se anula neste ponto, ent˜ao, nos pontos pr´oximos a x = 12 , a fun¸c˜ao assume valores indefinidamente grandes em m´odulo (positivos do lado direito e negativos do lado esquerdo). Em termos de limites, sabemos que: lim+ f3 (x) = +∞

x→ 12

e

lim− f3 (x) = −∞ .

x→ 12

˜ 3.1. ARTICULANDO REPRESENTAC ¸ OES

39

Entretanto, n˜ao ´e necess´ario recorrer a linguagem de limites para dar uma id´eia intuitiva do comportamento da fun¸c˜ao. Isto pode ser feito por meio da observa¸c˜ao da rela¸c˜ao entre o comportamento do gr´afico e os valores da fun¸c˜ao em pontos pr´oximos x = 12 (ver figura 3.5). Como veremos na se¸c˜ao 2.1, tabelas de valores (que podem ser feitas por meio de planilhas eletrˆonicas) podem ajudar a construir uma id´eia intuitiva do comportamento de limites infinitos e limites no infinito, sem que seja preciso empregar linguagem de limites. Este comportamento n˜ao seria percebido se constru´ıssemos uma tabela apenas com valores inteiros de x e, especialmente, se lig´assemos os pontos em considerar a interrup¸c˜ao do gr´afico em x = 21 . A quest˜ao chave neste caso ´e: Esta fun¸c˜ao est´a definida para todos os valores x ∈ R?

Figura 3.5: O gr´afico de f3 (x) = valores.

1 tra¸cado no software Graphmatica, com uma tabela de (2x − 1)

Cabem ainda algumas observa¸co˜es importantes sobre as atividades anteriores. Em primeiro lugar, os valores para montar as tabelas devem ser calculados com a ajuda dos recursos do pr´oprio software, de outros softwares ou de uma calculadora. Estes c´alculos podem ser trabalhosos, e o objetivo das atividades n˜ ao ´ e treinar a destreza em contas e sim enfatizar as rela¸co ˜es qualitativas entre as propriedades da f´ ormula alg´ ebrica, o comportamento do gr´ afico e os valores da fun¸c˜ ao. Por este mesmo motivo, estas representa¸co ˜es devem ser discutidas pelo professor de forma articulada: quando cada uma delas for enfocada, ´e importante, sempre que poss´ıvel, fazer referˆencia `as demais e explicitar as rela¸co˜es. O software pode ser um aliado importante para estabelecer mais claramente estas articula¸co˜es. Outra forma particularmente interessante de fazer isso ´e relacionar os conceitos de fun¸c˜ao e equa¸c˜ao, que em muitos casos aparecem separados nos curr´ıculos e livros did´aticos e s˜ao freq¨uentemente confundidos pelos alunos. Para tra¸car o gr´afico de uma fun¸c˜ao f , ´e u ´til determinar suas ra´ızes, isto ´e, encontrar os valores de x no dom´ınio de f tais que f (x) = 0. Para discutir mais estas id´eias, veja as atividades 6 a 7. Al´em disso, ´e fundamental observar que a id´ eia n˜ ao ´ e simplesmente usar o software para verificar o que est´ a certo ou errado no gr´ afico da fun¸c˜ ao. Em lugar disso, a visualiza¸c˜ao no software deve ser explorada para motivar reflex˜oes e conjecturas sobre as fun¸co˜es, que devem ser verificadas posteriormente por meio de ferramentas matem´aticas. Esta observa¸c˜ao est´a alinhada com o objetivo mais geral de usar o computador para promover aprendizagem matem´ atica s´ olida o

´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

40

suficiente para permanecer e se transferir para outras situa¸co ˜es – mesmo sem o apoio da m´ aquina. Assim, para que o computador n˜ao se torne um crit´erio absoluto de verdade matem´atica para os alunos, ´e importante explorar situa¸co˜es envolvendo resultados inesperados ou aparentemente errados, cuja interpreta¸c˜ao exija a compreens˜ao mais aprofundada dos conceitos matem´aticos relacionados. Neste sentido, veja as atividades 1 a 5, da se¸c˜ao 3.3. Atividades 4. Responda `as perguntas a seguir, considerando as atividades 1, 2 e 3. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os principais objetivos dessas atividades? Qual ´e o papel das quest˜oes chave feitas em cada uma das atividades? Que outras perguntas vocˆe proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das atividades? (e) Que rela¸co˜es entre as representa¸co˜es das fun¸co˜es como f´ormula, gr´afico e tabela podem ser exploradas com as atividades? (f) Qual ´e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao `a abordagem convencional (isto ´e, sem o computador)? (g) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1, 2 e 3, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona. Procure incluir uma ou mais quest˜oes chave na atividade que vocˆe elaborar, para ajudar a encaminhar a resolu¸c˜ao dos alunos.

Fun¸co ˜es e Equa¸co ˜es Observamos acima que a rela¸c˜ao entre os conceitos de fun¸c˜ao e equa¸c˜ao pode ser uma maneira interessante de articular diferentes representa¸co˜es. As no¸co˜es de equa¸c˜ao e de fun¸c˜ao s˜ao freq¨uentemente abordadas por meio de procedimentos alg´ebricos rotineiros, levando os alunos a desenvolverem uma concep¸c˜ao confusa de equa¸c˜ao e de fun¸c˜ao simplesmente como f´ormula. Por isso, ´e muito importante relacionar estas no¸co˜es, de forma a deixar clara a diferen¸ca conceitual entre elas, e articular representa¸co˜es num´ericas, alg´ebricas e gr´aficas na resolu¸c˜ao de equa¸co˜es. Em geral, quando esbo¸camos o gr´afico de uma fun¸c˜ao f , procuramos resolver a equa¸c˜ao f (x) = 0 (como abordamos no u ´ltimo item da atividade 1). De forma mais geral, podemos procurar os elementos x do dom´ınio de f cujas imagens s˜ao iguais a um valor fixado a ∈ R, isto ´e, resolver a equa¸c˜ao f (x) = a. Isto pode ajudar, por exemplo, a explorar propriedades gr´aficas de simetria no caso das par´abolas, como prop˜oe a atividade 6. Atividades 6. Considere a fun¸c˜ao g1 : R → R, g1 (x) = x2 − 4x + 3. (a) (b) (c) (d)

Esboce o gr´afico de g1 . Resolva as equa¸co˜es: g1 (x) = 0, g1 (x) = 3, g1 (x) = −1 e g1 (x) = −2. Qual ´e a rela¸c˜ao entre as solu¸co˜es das equa¸co˜es acima e o ponto x = 2? Represente as solu¸co˜es das equa¸co˜es do item 6b graficamente.

˜ 3.1. ARTICULANDO REPRESENTAC ¸ OES

41

(e) Determine todos os valores de a ∈ R tais que a equa¸c˜ao g 1 (x) = a tenha: duas solu¸co˜es reais distintas, uma u ´nica solu¸c˜ao real, nenhuma solu¸c˜ao real. (f) De forma geral, qual ´e a rela¸c˜ao entre as solu¸co˜es das equa¸co˜es acima e o ponto x = 2? (g) Relacione a resposta do item 6e com o gr´afico de g1 . 7. Considere a fun¸c˜ao g2 : R → R, g2 (x) = (x + 1) (x − 1)2 . (a) Esboce o gr´afico de g2 . (b) Resolva as equa¸co˜es g2 (x) = 0. (c) Quantas solu¸co˜es tem a equa¸c˜ao g2 (x) = −1? Vocˆe saberia determinar o valor exato da solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao? (d) Existe algum valor a ∈ R tal que g2 (x) = a tenha exatamente duas solu¸co˜es reais distintas? Justifique sua resposta. (e) Existe algum valor a ∈ R tal que g2 (x) = a tenha exatamente trˆes solu¸co˜es reais distintas? Justifique sua resposta. (f) Existe algum valor a ∈ R tal que g2 (x) = a n˜ao tenha solu¸co˜es reais? Justifique sua resposta. (g) Relacione as respostas dos ´ıtens anteriores com o gr´afico de g 2 . A atividade 6 tem como objeto uma fun¸c˜ao polinomial do segundo grau, que deve ser familiar ao alunos. Assim, eles dever˜ao ser capazes de resolver as equa¸co˜es analiticamente e que estabelecer uma interpreta¸c˜ao gr´afica para as solu¸co˜es: as solu¸co˜es das equa¸co˜es f (x) = a s˜ao dadas pelos pontos de interse¸c˜ao entre o gr´afico de f e a reta horizontal y = a (figura 3.6, `a esquerda).

Figura 3.6: Os gr´aficos de g1 (x) = x2 − 4x + 3 e g2 (x) = (x + 1) (x − 1)2 , com solu¸co˜es gr´aficas de equa¸co˜es. Assim, a atividade 6 pode preparar os alunos para a 7. Esta envolve uma fun¸c˜ao polinomial do terceiro grau, que ´e menos familiar aos alunos e n˜ao pode ser manipulada algebricamente com as ferramentas matem´aticas usualmente ensinadas no ensino m´edio. Como a fun¸c˜ao ´e dada na forma fatorada, os estudantes podem concluir que as solu¸co˜es da equa¸c˜ao g 2 (x) = 0 s˜ao −1 e 1. No entanto, eles n˜ ao ter˜ ao ferramentas para determinar respostas anal´ıticas exatas para as demais seguintes propostas na atividade. Este ´e um aspecto determinante para esta atividade, pois ´e justamente isso que pode lev´a-los a buscar as respostas por meio da interpreta¸c˜ao do gr´afico: a equa¸c˜ao f (x) = −1 tem uma u ´nica solu¸c˜ao real, existem valores a ∈ R tais que a equa¸c˜ao f (x) = a tem duas (um dos quais sendo a = 0) e trˆes solu¸co˜es reais, mas n˜ao existem valores a ∈ R tais que f (x) = a n˜ao tenha solu¸co˜es reais. Lembramos ainda que podemos elaborar atividades envolvendo valores aproximados para solu¸co˜es de equa¸co˜es, com calculadoras (ver cap´ıtulo 1) ou planilhas eletrˆonicas (ver cap´ıtulo 2).

´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

42 Atividades

8. Responda `as perguntas a seguir, considerando as atividades 6 e 7. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os principais objetivos dessas atividades? (c) Qual ´e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao `a abordagem convencional (isto ´e, sem o computador)? (d) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula? 9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 e 7, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

3.2

Fam´ılias de Fun¸co ˜es Dependendo de Parˆ ametros

Em muitas situa¸co˜es de sala de aula, desejamos estudar a influˆencia de determinados coeficientes nos aspectos dos gr´aficos de certas fam´ılias de fun¸co˜es. Por exemplo, sabemos que o coeficiente angular de uma fun¸c˜ao polinomial de primeiro grau determina a inclina¸c˜ao de seu gr´afico. A possibilidade de articular representa¸co˜es gr´aficas e alg´ebricas de forma dinˆamica em ambientes computacionais gr´aficos pode ajudar em explora¸co˜es deste tipo, especialmente em casos n˜ao t˜ao simples.

Fun¸co ˜es Polinomiais do Segundo Grau Quando estudamos fun¸co˜es polinomiais do segundo grau, sabemos que o coeficiente a est´a relacionado com a concavidade da par´abola, e o coeficiente c translada o gr´afico verticalmente. Mas qual ´e a influˆencia do coeficiente b, do termo de primeiro grau, no aspecto da par´abola? Observe as atividades a seguir. Atividades 1. Considere a fam´ılia de par´abolas y = 2 x2 + b x + 3, com b ∈ R. (a) Esboce as par´abolas desta fam´ılia para b ∈ Z, −10 ≤ b ≤ 10. (b) De que forma o parˆametro b influi o aspecto gr´afico das curvas? (c) Determine a equa¸c˜ao do lugar geom´etrico do v´ertices da fam´ılia de par´abolas. 2. De forma mais geral, determine a equa¸c˜ao do lugar geom´etrico dos v´ertices de uma fam´ılia de par´abolas y = ax2 + bx + c, em que a e c s˜ao mantidos constantes e b ∈ R varia. Na atividade 1, em primeiro lugar, pede-se que sejam esbo¸cados os gr´aficos da fam´ılia de par´abolas dada no computador (figura 3.7). Estes gr´aficos d˜ao uma id´eia intuitiva do movimento no plano que a varia¸c˜ao do coeficiente b provoca e sugerem que o lugar geom´etrico descritos pelos v´ertices ´e uma curva com a forma semelhante a uma par´abola.

˜ ˆ 3.2. FAM´ILIAS DE FUNC ¸ OES DEPENDENDO DE PARAMETROS

43

Figura 3.7: A fam´ılia de par´abolas y = 2 x2 + b x + 3. Assim, a visualiza¸c˜ao dos gr´aficos na tela pode indicar um caminho para resolu¸c˜ao anal´ıtica do problema. Para determinar analiticamente a equa¸c˜ao deste lugar geom´etrico, devemos empregar as f´ormulas de coordenadas do v´ertice de uma par´abola: xv = −

b 2a

e

yv = −

∆ . 4a

Portanto, no caso da nossa fam´ılia de par´abolas, temos: b xv = − 4

e

b2 − 24 b2 yv = − = − +3. 8 8

Logo: yv = −2 x2v + 3 . Em seguida, podemos tra¸car o gr´afico que a equa¸c˜ao acima representa na mesma tela em que foram tra¸cados os gr´aficos da fam´ılia de par´abolas, ilustrando visualmente a conclus˜ao obtida (figura 3.8).

Figura 3.8: A fam´ılia de par´abolas y = 2 x2 + b x + 3, e o lugar geom´etrico de seus v´ertices.

´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

44

A atividade 2 pede a generaliza¸c˜ao da conclus˜ao da da atividade 1. Observe que, nesta atividade, o computador n˜ao ´e usado diretamente. O papel do software foi motivar a explora¸c˜ao inicial de um exemplo particular para levar a uma conclus˜ao geral. Novamente, tomamos as f´ormulas de coordenadas do v´ertice, considerando a e c como constantes e b como uma parˆametro variando em R: xv = −

b 2a

e

yv = −

∆ . 4a

Isto ´e: x2v =

b2 4a2

e

yv = −

b2 − 4ac b2 = − +c. 4a 4a

Logo: yv = −a x2v + c . Observe o encaminhamento das duas atividades anteriores, como proposto acima. Primeiro, partimos da explora¸c˜ao de um exemplo particular no ambiente gr´afico, o que nos permitiu chegar a uma conjectura sobre a solu¸c˜ao do problema. Em um segundo momento, verificamos matematicamente a validade desta conjectura. Em seguida, voltamos ao computador para a interpreta¸c˜ao gr´afica do resultado. Finalmente, generalizamos o resultado, por meio de argumentos matem´aticos. Este encaminhamento ´e ilustrado na figura 3.9. computador explora¸ca˜o inicial conjecturas

verifica¸c˜ ao matem´ atica do problema

computador interpreta¸ca˜o da solu¸ca˜o

generaliza¸c˜ ao matem´ atica da solu¸c˜ ao

Figura 3.9: O papel do computador na explora¸c˜ao inicial e interpreta¸c˜ao de resultados. No exemplos destas atividades, o computador desempenha um papel importante ao permitir que um grande n´umero de gr´aficos seja tra¸cado com facilidade. O objetivo das atividades n˜ao ´e desenvolver ou avaliar da destreza dos alunos em tra¸car gr´aficos, e sim estimular a compreens˜ao qualitativa do problema. Provavelmente, sem o computador, o trabalho dos estudantes para tra¸car os gr´aficos seria tamanho, que sua aten¸c˜ao ficaria focada nos aspectos t´ecnicos, desviando-se dos objetivos das atividades. Al´em disso, ´e importante destacar que, no encaminhamento proposto acima, n˜ao ´e papel do computador converter-se em um crit´erio para verificar ou confirmar a validade matem´atica da solu¸c˜ao. O papel fundamental do computador ´e o de motivar conjeturas e indicar caminhos para a solu¸c˜ ao do problema e para a generaliza¸c˜ ao desta solu¸c˜ ao, al´ em de enriquecer a compreens˜ ao desta solu¸c˜ ao por meio da articula¸c˜ ao entre as representa¸co ˜es alg´ ebrica e gr´ afica. A validade ou n˜ao da solu¸c˜ao devem ser baseadas exclusivamente em crit´erios de argumenta¸c˜ao matem´atica.

Gr´ aficos e Transforma¸co ˜es no Plano A seguir, propomos mais algumas atividades com estrutura semelhante `a das anteriores. As resolu¸co˜es devem seguir essencialmente a mesma estrutura proposta acima. Por exemplo, no caso de fun¸co˜es trigonom´etricas, podemos explorar os significados dos parˆametros a, b, c e d na fam´ılia de fun¸co˜es ´ o que propomos nas atividades 3 a 5 a seguir. Para facilitar f : R → R, f (x) = c sen (d x + b) + a. E o encaminhamento, analisamos separadamente os casos f (x) = sen (x + b) + a e f (x) = c sen (d x), e em seguida combinamos as conclus˜oes.

˜ ˆ 3.2. FAM´ILIAS DE FUNC ¸ OES DEPENDENDO DE PARAMETROS

45

Atividades 3. Considere a fam´ılia de fun¸co˜es f : R → R, f (x) = sen (x + b) + a, em que a e b s˜ao parˆametros reais. (a) Trace o gr´afico de f para a = b = 0. (b) Considere b = 0 e trace os gr´aficos de f para v´arios valores diferentes de a. Escolha valores positivos e negativos para a. O que vocˆe observa no aspecto de gr´afico de f em cada um destes casos? (c) Agora, considere a = 0 e trace os gr´aficos de f para v´arios valores diferentes de b. Escolha valores positivos e negativos para b. O que vocˆe observa no aspecto de gr´afico de f em cada um destes casos? (d) Trace os gr´aficos de f para v´arios valores, variando a e b simultaneamente. (e) Qual ´e a influˆencia dos parˆametros a e b no aspecto gr´afico de f ? 4. Considere a fam´ılia de fun¸co˜es f : R → R, f (x) = c sen (d x), em que c e d s˜ao parˆametros reais. (a) Trace o gr´afico de f para c = d = 1. (b) Considere d = 1 e trace os gr´aficos de f para v´arios valores diferentes de c. Escolha valores para c tais que |c| < 1 e |c| > 1. O que vocˆe observa no aspecto de gr´afico de f em cada um destes casos? (c) Agora, considere c = 1 e trace os gr´aficos de f para v´arios valores diferentes de d. Escolha valores para d tais que |d| < 1 e |d| > 1. O que vocˆe observa no aspecto de gr´afico de f em cada um destes casos? (d) Trace os gr´aficos de f para v´arios valores, variando c e d simultaneamente. (e) Qual ´e a influˆencia dos parˆametros c e d no aspecto gr´afico de f ? 5. Considere agora a fam´ılia de fun¸co˜es f : R → R, f (x) = c sen (d x + b) + a, em que a, b, c e d s˜ao parˆametros reais. Trace os gr´aficos de f para v´arios valores de a, b, c e d. Tenha certeza de escolher valores para a e b positivos e negativos e para c e d com m´odulos menores e maiores que 1. Como nas atividades 3 a 5, o computador tem o papel de possibilitar as explora¸co˜es inicias do problema, permitindo que sejam tra¸cados um grande n´umero de gr´aficos, e a interpreta¸c˜ao das conclus˜oes, articulando diferentes representa¸co˜es. Neste caso, podemos concluir que: • os parˆametros aditivos a e b determinam transla¸co˜es horizontais e verticais nos gr´aficos das fun¸co˜es (figura 3.10); • os parˆametros multiplicativos c e d determinam dilata¸co˜es horizontais e verticais nos gr´aficos das fun¸co˜es (figura 3.10). No caso da atividade 3, n˜ao ´e dif´ıcil entender o que ocorre quando variamos o parˆametro aditivo a. Como estamos somando uma mesma constante `as ordenadas de cada um dos pontos pertencentes ao gr´afico, o resultado ´e um deslocamento vertical: • no sentido positivo do eixo (para cima), se o valor do parˆametro for positivo;

• no sentido negativo do eixo (para baixo), se o valor do parˆametro for negativo.

´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

46


Figura 3.10: A fun¸c˜ao
f (x) = sen x, suas transla¸co˜es f (x) = sen x + 1, f (x) = sen x − π4 e f (x) = sen x − π4 + 1 (`a esquerda), e suas dilata¸co˜es f (x) = 21 sen x, f (x) = sen (3 x) e f (x) = 12 sen (3 x) (`a direita). No entanto, pode ser mais dif´ıcil para interpretar a influˆencia do parˆametro b no gr´afico. A soma de uma constante positiva `a vari´avel independente da fun¸c˜ao (dentro dos parˆenteses) acarreta em um movimento ´e para a esquerda, e n˜ao para a direita como poderia ser inicialmente esperado pelos alunos. Neste caso, justamente porque definimos uma nova fun¸c˜ao somando b unidades `a vari´avel x, para que um elemento do dom´ınio da nova fun¸c˜ao tenha a mesma imagem que um elemento do dom´ınio da fun¸c˜ao original, este deve ser subtra´ıdo de b unidades. Isto provoca um deslocamento horizontal do gr´afico: • no sentido positivo do eixo (para a direita), se o valor do parˆametro for negativo;

• no sentido negativo do eixo (para a esquerda), se o valor do parˆametro for positivo.

Uma tabela com valores conhecidos da fun¸c˜ao seno tamb´em pode
ajudar a entender o efeito de deslocamento horizontal. Considere o exemplo de f (x) = sen x − π4 . Observe na tabela abaixo a rela¸c˜ao entre os valores da vari´avel x, de
x − π4 e da vari´avel y. Compare esses valores com os gr´aficos de f (x) = sen (x) e f (x) = sen x − π4 na figura 3.10. x− 0 π 2

π 3π 2

2π

π 4

x

π 4 3π 4 5π 4 7π 4 9π 4

y 0 1 0 −1 0

De forma semelhante, na atividade 3, podemos perceber que, ao multiplicarmos a fun¸c˜ao por c, estamos multiplicando por um o parˆametro com valor positivo as ordenadas de cada um dos pontos pertencentes ao gr´afico. O resultado ´e uma dilata¸c˜ao vertical. Se o parˆametro tiver valor negativo, al´em da dilata¸c˜ao, o gr´afico sofre tamb´em uma reflex˜ao em rela¸c˜ao ao eixo horizontal. Assim, temos: • um esticamento vertical se valor do parˆametro for maior que 1;

• um encolhimento vertical se valor do parˆametro estiver entre 0 e 1;

• um esticamento vertical composto com reflex˜ao em rela¸c˜ao ao eixo horizontal se valor do parˆametro for menor que −1;

• um encolhimento vertical composto com reflex˜ao em rela¸c˜ao ao eixo horizontal se valor do parˆametro estiver entre −1 e 0.

˜ ˆ 3.2. FAM´ILIAS DE FUNC ¸ OES DEPENDENDO DE PARAMETROS

47

Resta entender o efeito do parˆametro d. Como constru´ımos uma nova fun¸c˜ao multiplicando a vari´avel dependente por uma constante d, para que um elemento do dom´ınio da nova fun¸c˜ao tenha a mesma imagem que um elemento do dom´ınio da fun¸c˜ao original, este deve ser dividido por d. Isto provoca uma dilata¸c˜ao horizontal do gr´afico, que ser´a composta com uma reflex˜ao em rela¸c˜ao ao eixo vertical, se o valor o parˆametro tiver valor negativo: • um encolhimento horizontal se valor do parˆametro for maior que 1;

• um esticamento horizontal se valor do parˆametro estiver entre 0 e 1;

• um encolhimento horizontal composto com reflex˜ao em rela¸c˜ao ao eixo vertical se valor do parˆametro for menor que −1; • um esticamento composto com reflex˜ao em rela¸c˜ao ao eixo vertical se valor do parˆametro estiver entre −1 e 0.

Como no caso das transla¸co˜es horizontais, uma tabela pode ajudar a entender o efeito de dilata¸c˜ao
horizontal. Considere o exemplo de f (x) = sen 21 x . A tabela abaixo relaciona os valores da vari´avel
x, de 12 x e da vari´avel y. Compare esses valores com os gr´aficos de f (x) = sen (x) e f (x) = sen 12 x na figura 3.10. 1 2

x 0 π 2

π 3π 2

2π

x y 0 0 π 1 2π 0 3 π −1 4π 0

Escolhemos o exemplo da fun¸c˜ao seno nas atividades anteriores porque o formato de seu gr´afico facilita a visualiza¸c˜ao dos efeitos dos parˆametros. Por´em, ´e claro que as conclus˜oes obtidas s˜ao gerais, e n˜ao exclusivas das fun¸co˜es trigonom´etricas Considere, por exemplo, as atividades 6 e 7 a seguir. Observe que, na atividade 6, o objetivo ´e aplicar as conclus˜ oes obtidas com suporte da explora¸c˜ ao computacional, mas computador n˜ ao ´ e usado diretamente. Al´em disso, n˜ao ´e dada nenhuma informa¸c˜ao sobre a f´ormula alg´ebrica da fun¸c˜ao. Portanto, o aluno deve resolver o problema apenas com os dados gr´aficos. Atividades 6. Abaixo vemos os gr´aficos de duas fun¸co˜es q1 : R → R (`a esquerda) e q1 : R → R (`a direita). Sabemos que na forma q1 (x) = p(a x + b) + c, em que a, b e c s˜ao constantes reais. Determine os valores de a, b e c. Justifique sua resposta. y

y

3

2

2

1

1

x −2

−1 −1 −2

1

2

x −2

−1 −1 −2

1

2

3

4

5

6

´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

48

7. Considere a fun¸c˜ao 1 : R → R, h(x) = |x2 − 1|. Esboce os gr´aficos de h e das fun¸co˜es definidas por h1 (x) = h(x + 1) − 2, h2 (x) = 3 h(2 x) e h3 (x) = 21 h(3 x − 1) − 2. Uma aplica¸c˜ao interessante de transla¸co˜es de gr´aficos ´e a obten¸c˜ao das f´ormulas de coordenadas do v´ertices de uma par´abola (que usamos nas atividades 1 e 2 desta se¸c˜ao) por meio de transla¸co˜es de uma par´abola com v´ertice em na origem. Primeiro, devemos escrever uma par´abola y = a x 2 + b x + c qualquer na chamada forma canˆonica, completando quadrados: y = a x2 + b x + c =  b 2 = a x + x+ + c = a   b2 b2 b 2 = a x + x+ 2 − +c= a  4a 4a  2 b 4ac − b2 = a x+ + . 2a 4a Portanto: y = a (x − x0 )2 + y0 .

4ac − b2 ∆ b e y0 = =− . em que: x0 = − 2a 4a 4a Estas s˜ao as conhecidas f´ormulas de coordenadas do v´ertice de uma par´abola. Pelo que j´a estudamos de transla¸co˜es, sabemos que a par´abola acima ´e dada pela transla¸c˜ao de y = a x 2 , de x0 unidades na horizontal e y0 unidades na vertical. Assim, podemos deduzir a seguinte propriedade: qualquer par´abola ´e dada por uma transla¸c˜ao de uma par´abola com mesmo valor de a e v´ertices na origem. Decorre ainda desta propriedade que quaisquer duas par´abolas com mesmo valor de a s˜ao congruentes, isto ´e, uma qualquer uma delas pode ser obtida a partir da outra por meio de uma transla¸c˜ao. Da forma canˆonica, podemos deduzir tamb´em outras propriedades importantes das par´abolas, como a existˆencia do eixo de simetria vertical e a pr´opria f´ormula das ra´ızes. Em sala de aula, esta discuss˜ao pode ser conduzida, partindo-se de exemplos mais simples, at´e a conclus˜ao geral. Este ´e o objetivo da atividade 8. Atividades 8. Considere a fun¸c˜ao p : R → R, p(x) = 2 x2 . Esboce os gr´aficos de p e das fun¸co˜es definidas por p1 (x) = p(x − 2), p2 (x) = p(x) + 1 e p3 (x) = p(x − 2) + 1. Qual ´e rela¸c˜ao entre estes gr´aficos? 9. Determine a equa¸c˜ao de uma par´abola y = a x2 + b x + c, com a = 2 e v´ertice no ponto (−1, 3). 10. Responda `as perguntas a seguir, considerando as atividades 1 a 9 propostas nesta se¸c˜ao. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os principais objetivos das atividades? (c) Qual ´e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao `a abordagem convencional (isto ´e, sem o computador)? (d) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula? 11. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das propostas nesta se¸c˜ao, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

3.3. PONTOS DE VISTA E PERSPECTIVAS

3.3

49

Pontos de Vista e Perspectivas

Como salientamos anteriormente, ´ e importante explorar pedagogicamente n˜ ao s´ o as potencialidades como tamb´ em as limita¸co ˜es t´ ecnicas do computador. A interpreta¸c˜ao de resultados aparentemente errados ou inesperados pode motivar explora¸co˜es matem´aticas, al´em de contribuir para a forma¸c˜ao de uma postura cr´ıtica dos estudantes. No caso de ambientes gr´aficos, este tipo de resultado est´a relacionado principalmente com arredondamento de valores num´ericos e interpola¸c˜ao de pontos para tra¸car gr´aficos. Observe o exemplo da atividade a seguir. Atividade 1. A figura ao lado representa o gr´afico da x , tra¸cado fun¸c˜ao h : R? → R, h(x) = |x| em um programa de computador. Vocˆe consideraria este gr´afico correto? Explique por que o gr´afico adquiriu este aspecto. Para interpretar a figura da atividade acima, devemos entender a estrutura dos algoritmos mais simples usados pelos programas computacionais para tra¸car gr´aficos, baseados essencialmente em substitui¸c˜ao e interpola¸c˜ao: dada uma f´ormula alg´ebrica, montar uma tabela por substitui¸c˜ao de valores (em ´ interessante geral, em grande quantidade), interpolar os pontos correspondentes no plano cartesiano. E observar que este ´e basicamente o mesmo m´etodo do modelo de exerc´ıcios comentado no come¸co desta se¸c˜ao (figura 3.1, p. 35). A diferen¸ca ´e que o computador tem capacidade de c´alculo e precis˜ao muito maiores que as do ser humano, o que permite a constru¸c˜ao de tabelas com muito mais valores. Por outro lado, para tra¸car o gr´afico da atividade 1, o software n˜ao levou em conta uma propriedade qualitativa importante da fun¸c˜ao1 : x = 0 n˜ao faz parte do dom´ınio e h´a uma interrup¸c˜ao do gr´afico neste ponto. Este exemplo pode ser usado para mostrar aos estudantes que este m´etodo pode conduzir a erros – mesmo com a capacidade de c´alculos do computador – e que, portanto, evidenciar a importˆancia de levar em considera¸c˜ao propriedades qualitativas da fun¸c˜ao. As atividades 2 a 3 a seguir tamb´em envolvem respostas do software cujas interpreta¸co˜es podem ser usadas para motivar explora¸c˜ao matem´atica. No desenvolvimento de atividades deste tipo, ´e recomend´avel que os alunos tenham liberdade para manusear livremente o software, alterando janelas gr´aficas da forma que desejarem. Ao mesmo tempo, eles devem ser estimulados a procurar entender o comportamento dos gr´ aficos e os aspectos adquiridos em diferentes janelas gr´ aficas ` a luz de argumentos matem´ aticos. Sem orienta¸co˜es espec´ıficas do professor neste sentido, os alunos podem se perder na manipula¸c˜ao do software e na mudan¸ca de janelas gr´aficas. Estas manipula¸co˜es devem sempre ser orientadas pela an´alise matem´atica dos dados do problema e das quest˜oes propostas, de forma a ajudar de fato na compreens˜ao do problema.

1

H´a softwares com recursos mais sofisticados que permitem considerar propriedades qualitativas como a da atividade 1, como veremos no cap´ıtulo 5. Entretanto, neste cap´ıtulo, visamos enfocar o uso de softwares gr´aficos com recursos mais limitados. O objetivo destas atividades n˜ao ´e discutir que programa possui recursos mais sofisticados, e sim destacar justamente a possibilidade de empregar as pr´ oprias limita¸co ˜es dos softwares como potencialidades pedag´ ogicas.

´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

50 Atividades 2. A figura ao lado representa o gr´afico da fun¸c˜ao p : 1 R? → R definida por p(x) = x2 + 2 , tra¸cado em x um programa de computador para −100 ≤ x ≤ 100, 0 ≤ y ≤ 5000. Justifique suas respostas.

(a) O gr´afico de p ´e uma par´abola? (b) A fun¸c˜ao p possui pontos de m´ınimo locais ou absolutos? Em caso afirmativo, que pontos s˜ao estes? (c) A fun¸c˜ao p possui ass´ıntotas verticais ou horizontais? (d) Discuta o aspecto do gr´afico na figura, considerando as respostas dos ´ıtens anteriores.

3. A figura ao lado √ representa o gr´afico da fun¸c˜ao r : R → R, r(x) = x2 + 1, tra¸cado na janela gr´afica −1000 ≤ x ≤ 1000, 0 ≤ y ≤ 1000. Explique porque o gr´afico adquire este aspecto. 4. A figura ao lado representa o gr´afico da fun¸c˜ao q : R → R, q(x) = (5 x − 7)(x2 − 2). (a) Quais s˜ao as ra´ızes reais de q? Vocˆe consegue visualizar estas ra´ızes no gr´afico ao lado? (b) Encontre uma janela gr´afica na qual seja poss´ıvel visualizar todas as ra´ızes de q. 5. Considere a fun¸c˜ao u : R → R, u(x) =

x6

1 . + 100

(a) Trace o gr´afico de u na janela −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10. A fun¸c˜ao u ´e constante igual a 0? Explique o ocorrido. (b) Trace o gr´afico de u na janela −0, 1 ≤ x ≤ 0, 1, −0, 1 ≤ y ≤ 0, 1. A fun¸c˜ao u ´e constante igual a 0, 01? Explique o ocorrido. (c) Qual o maior valor atingido por u? Escolha uma janela gr´afica na qual seja poss´ıvel visualizar o gr´afico de u. Na atividade 2, `a figura com o gr´afico da fun¸c˜ao sugere que a curva ´e uma par´abola. No entanto, esta impress˜ao errˆonea se deve a escala em que o gr´afico foi tra¸cado. A inspe¸c˜ao da f´ormula alg´ebrica da fun¸c˜ao mostra que esta n˜ao ´e polinomial do segundo grau, portanto o gr´afico n˜ao pode ser uma par´abola. Al´em disso, x = 0 n˜ao ´e um ponto m´ınimo, como uma primeira olhada no gr´afico poderia sugerir. Este ponto nem mesmo pertence ao dom´ınio de p e corresponde a uma ass´ıntota vertical da fun¸c˜ao. Uma mudan¸ca na janela gr´afica revela melhor o comportamento de p na vizinhan¸ca de x = 0, como monstra figura 3.11 (em que o gr´afico de p ´e mostrado e azul e a par´abola y = x 2 em cinza). 1 Verificamos que, para valores grandes da vari´avel x, o termo 2 fica pr´oximo de 0, portanto p(x) ≈ x2 . x

3.3. PONTOS DE VISTA E PERSPECTIVAS

51

Por isso, o gr´afico fica muito parecido com uma par´abola em janelas com valores grandes de x. Por´em, 1 para valores de x pr´oximos de 0, ´e o termo x2 que fica pr´oximo de 0, portanto p(x) ≈ 2 , cuja aparˆencia x nada tem a ver com a de uma par´abola. Em atividades deste tipo, os alunos devem ser estimulados a observar a f´ormula alg´ebrica da fun¸c˜ao e alterar livremente as janelas no computador. Desta forma, a articula¸c˜ao das representa¸co˜es gr´afica e alg´ebrica contribui para uma compreens˜ao mais profunda do comportamento da fun¸c˜ao.

Figura 3.11: O gr´afico de p(x) = x2 +

1 e a par´abola y = x2 , para −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 100. x2

Como na atividade 2, o aspecto do gr´afico exibido na atividade 3 ´e determinado pela ordem de grandeza dos intervalos horizontal e vertical da janela gr´afica. Quando aumentamos os valores de x, a constante√1 tende a √ ficar desprez´ıvel em rela¸c˜ao ao termo x 2 . Assim, para valores grandes de x temos que x2 + 1 ≈ x2 = |x|. Por isso, o gr´afico tende a adquirir o aspecto da curva y = |x|. ´ importante observar que esta aproxima¸c˜ao s´o ´e razo´avel para valores grandes de x. A figura 3.12 E mostra a janela gr´afica −5 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5, em que se pode distinguir claramente o gr´afico de r (em azul) da curva y = |x| (em cinza).

Figura 3.12: O gr´afico de r(x) =

√

x2 + 1 e a curva modular y = |x|, para −5 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5.

´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

52

Como a fun¸c˜ao polinomial da atividade 4 j´a ´e dada √ √ na forma fatorada, podemos determinar sem 7 dificuldades suas ra´ızes: x1 = 5 , x2 = 2 e x3 = − 2. Como os valores de x1 e x2 s˜ao pr´oximos (sua diferen¸ca ´e da ordem de cent´esimos), a escala em que o gr´afico ´e mostrado n˜ao permite a distin¸c˜ao destas ra´ızes. Para distinguir x1 e x2 , ´e necess´ario alterar a janela gr´afica para valores de x pr´oximos de 1, 4, e valores de y pr´oximos de 0 (figura 3.13, `a esquerda). Para distinguir as trˆes ra´ızes em uma mesma janela, ´e necess´ario tomar para valores de x pr´oximos do intervalo entre a menor raiz e a maior raiz, e valores de y pr´oximos de 0. (figura 3.13, `a direita). Como na atividade anterior, uma observa¸c˜ao superficial do gr´afico mostrado pode levar a uma conclus˜ao errˆonea sobre a fun¸c˜ao, e uma an´alise mais cuidadosa da f´ormula alg´ebrica ´e necess´aria.

Figura 3.13: O gr´afico de q(x) = (5 x − 7)(x2 − 2), para 1, 39 ≤ x ≤ 1, 42, −0, 001 ≤ y ≤ 0, 001 e com −1, 5 ≤ x ≤ 1, 5, −0, 001 ≤ y ≤ 0, 001, respectivamente. Verificamos que
a fun¸c˜ao u da atividade 5 ´e estritamente positiva  e atinge um m´aximo absoluto 1 1 no ponto 0, 100 . Logo, a imagem da fun¸c˜ao ´e o intervalo 0, 100 . Ent˜ao, se tra¸carmos o gr´afico para −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10, os valores da fun¸c˜ao ser˜ao muito pequenos em rela¸c˜ao `a escala da janela, e o gr´afico adquirir´a um aspecto semelhante ao da reta horizontal y = 0 (figura 3.14, `a esquerda). Por outro lado, se reduzirmos muito os valores de x e de y, por exemplo −0, 1 ≤ x ≤ 0, 1, 1 −0, 1 ≤ y ≤ 0, 1, observaremos que o gr´afico ficar´a semelhante `a reta horizontal y = 100 (figura 3.14, `a 6 direita). Isto ocorre por que, para valores pequenos de x, temos que x fica muito pr´oximo de 0, ent˜ao 1 u(x) ≈ 100 . Au ´nica maneira de visualizar a varia¸c˜ao da fun¸c˜ao no gr´afico ´e escolher escalas muito diferentes para as duas vari´aveis: valores grandes para x, para que a varia¸c˜ao de u(x) n˜ao fiquem muito 1 pr´oximos de 100 ; e valores pequenos para y, para que os valores de u(x) n˜ao fiquem muito pequenos em rela¸c˜ao `a escala do eixo vertical (figura 3.15).

Figura 3.14: O gr´afico de u(x) =

x6

−0, 1 ≤ y ≤ 0, 1, respectivamente.

1 , para −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10 e −0, 1 ≤ x ≤ 0, 1, + 100

3.3. PONTOS DE VISTA E PERSPECTIVAS

Figura 3.15: O gr´afico de u(x) =

x6

53

1 , para −5 ≤ x ≤ 5, −0, 005 ≤ y ≤ 0, 1. + 100

Em atividades desta natureza, em que os gr´aficos adquirem aspectos distintos conforme alteramos as janelas gr´aficas, ´e importante que fique claro para os alunos que o que muda n˜ ao ´ e o gr´ afico da fun¸c˜ ao, mas apenas o seu aspecto. Isto ´e, quando alteramos a janela gr´afica n˜ao passamos a observar um gr´afico diferente, nem o gr´afico que estamos observando muda de comportamento. Apenas o aspecto do gr´afico ´e alterado, pois o estamos observando de outra janela gr´afica, isto ´e, de outro ponto de vista. Por exemplo, no caso da atividade 3, r n˜ao passa a ser uma fun¸c˜ao modular na janela gr´afica mostrada no enunciado da quest˜ao. A fun¸c˜ao continua sendo a mesma. O que ocorre ´e que, em compara¸c˜ao `a ordem de grandeza das vari´aveis na janela gr´afica de observa¸c˜ao, a diferen¸ca entre o gr´afico de r e o da fun¸c˜ao modular ´e t˜ao pequena que n˜ao pode ser percebida. Quando alteramos a janela gr´afica na figura 3.12, em compara¸c˜ao aos valores da nova janela, esta mesma diferen¸ca n˜ao ´e mais t˜ao pequena, e pode ser claramente percebida. O mesmo ocorre na 2 com rela¸c˜ao ao gr´afico de p e a par´abola. Como os exemplos acima mostram, observar um mesmo gr´ afico de diferentes pontos de vista pode ajudar a perceber propriedades da fun¸c˜ ao e, portanto, a entender mais profundamente o seu comportamento. Em alguns casos, os alunos est˜ao acostumados `a ideia de que o gr´afico de uma fun¸c˜ao tem “uma u ´nica cara”, e ideia que um mesmo gr´afico possa ter aspectos radicalmente distintos em janelas gr´aficas diferentes pode causar alguma resistˆencia inicialmente. Atividades 6. Responda `as perguntas a seguir, considerando as atividades 2 a 5. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados nas atividades? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os principais objetivos dessas atividades? (c) Em cada uma das atividades, s˜ao propostas quest˜oes chave para ajudar na interpretar do gr´afico gerado pelo computador. Identifique essas quest˜oes. (d) Que outras perguntas vocˆe proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das atividades? (e) Qual ´e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao `a abordagem convencional (isto ´e, sem o computador)? (f) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula? 7. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 5, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

54

Comportamento Assint´ otico de Fun¸co ˜es Polinomiais e Racionais J´a sabemos que um mesmo gr´afico pode adquirir aspectos bem distintos em janelas gr´aficas diferentes, dependendo das escalas empregadas. Nas atividades a seguir, usaremos esta ideia para entender melhor o comportamento assint´otico (isto ´e, o comportamento da fun¸c˜ao quando a vari´avel independente tende a ±∞) de fun¸co˜es polinomiais e racionais. Atividade 8. Considere as fun¸co˜es f, f1 , f2 : R → R, dadas respectivamente por f (x) = x2 + 10 x, f1 (x) = x2 e f2 (x) = 10 x. (a) Trace, na janela −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, os gr´aficos das trˆes fun¸co˜es. Os gr´aficos de duas das fun¸co˜es ficaram muito semelhantes. Que fun¸co˜es s˜ao estas? (b) Mude a janela para −1000 ≤ x ≤ 1000, −10000 ≤ y ≤ 10000. Os gr´aficos de duas das fun¸co˜es ficaram muito semelhantes. Que trˆes fun¸co˜es s˜ao estas? (c) Explique o observado nos ´ıtens anteriores. Como nas atividades da se¸c˜ao 3.2, o que est´a em jogo s˜ao as ordens de grandeza das janelas gr´aficas empregadas. Quando tra¸camos os gr´aficos para −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, o termo x 2 fica muito pequeno em compara¸c˜ao ao termo 10 x (figura 3.16, `a esquerda). Ent˜ao, neste caso temos f (x) = x2 + 10 x ≈ 10 x = f2 (x). Por outro lado, para −1000 ≤ x ≤ 1000, −10000 ≤ y ≤ 10000, ´e 10 x que fica muito pequeno em compara¸c˜ao a x2 (figura 3.16, `a direita). Logo, temos f (x) = x2 + 10 x ≈ x2 = f1 (x). Portanto, o gr´afico de f fica muito parecido com o de f 2 na janela gr´afica da esquerda e com o de f1 na janela gr´afica da direita. Para entender mais claramente essas aproxima¸co˜es, ´e importante sugerir que os alunos substituam alguns valores para as trˆes fun¸co˜es nos intervalos a cada uma das janelas gr´aficas e comparem os resultados. Tamb´em ´e interessante propor aos alunos que aumentem gradativamente a janela gr´afica, e observem o gr´afico de f “descolar” aos poucos de f 2 e “colar” em f1 . Ainda nesta atividade, podemos observar que, quanto mais aumentamos a janela gr´afica, o gr´afico de f fica mais parecido com o de f1 . Isto ocorre porque, na fun¸c˜ao f (x) = x2 + 10 x, embora o coeficiente do termo de grau 2 seja bem menor que o do termo de grau e 1 (1 e 10, respectivamente), para valores de x suficientemente grandes, o termo de grau 1 fica desprez´ıvel em rela¸c˜ao ao de grau 2. De fato, esses termos se igual quando x = 10 e, a partir da´ı, x2 passa a crescer a uma taxa muito maior que x: x2 passa a ser x vezes maior que 10 x e, para valores cada vez maiores de x, esta raz˜ao ´e cada vez mais significativa. Portanto para valores grandes de x, o comportamento da fun¸c˜ao ´e dominado pelo termo de maior grau x2 . Esta propriedade ´e v´alida em geral: o comportamento de fun¸c˜ao polinomial ´e dominado pelo termo de maior, independente dos coeficientes de seus termos. Outros exemplos como este podem ser usados para motivar esta conclus˜ao gen´erica, que deve ser enunciada precisamente e verificada formalmente. Seja f : R → R, f (x) = an xn + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 , com an , . . . , a0 ∈ R, uma fun¸c˜ao polinomial real de grau n. Pondo o termo de maior grau em evidˆencia, podemos escrever f da seguinte forma (para x 6= 0):   an−1 a1 a0 n f (x) = an x 1+ ...+ + . an x an xn−1 an xn an−1 a1 a0 Seja g(x) = ...+ + . Ent˜ao: lim g(x) = lim g(x) = 0. x→−∞ x→−∞ an x an xn−1 an xn

3.3. PONTOS DE VISTA E PERSPECTIVAS

55

Figura 3.16: Os gr´aficos de f (x) = x2 + 10 x, f1 (x) = x2 e f2 (x) = 10 x, para −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1 e para −1000 ≤ x ≤ 1000, −10000 ≤ y ≤ 10000, respectivamente. Uma primeira propriedade que podemos deduzir da´ı ´e que f (x) e a n xn tˆem o mesmo sinal para |x| suficientemente grande. De fato, como g(x) fica t˜ao pequeno pequeno queiramos, temos que g(x) < 1 para valores de x com m´odulo suficientemente grande. Para esses valores de x, teremos 1 + g(x) < 0, portanto ter˜ao o mesmo sinal. Esta propriedade d´a uma ideia inicial de que o termo a n xn domina o comportamento assint´otico de f , independente dos demais termos. Al´em disso, sabemos a n xn tende a −∞ ou a +∞ quando x tende a −∞ ou a +∞ (dependendo do sinal de a n e da paridade de n). Da´ı, segue a propriedade mais forte: lim f (x) = lim (an xn ) e

x→−∞

x→−∞

lim f (x) = lim (an xn ) .

x→+∞

x→+∞

Podemos tamb´em usar mudan¸cas de janelas gr´aficas para motivar o estudo do comportamento assint´otico de fun¸co˜es racionais, isto ´e fun¸co˜es dadas pela raz˜ao de duas fun¸co˜es polinomiais. Observe as atividades a seguir. Atividades 9. Considere a fun¸c˜ao p1 : R → R definida por p1 (x) =

x2 . x2 − 1

(a) Trace o gr´afico de p1 na janela −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5. (b) Amplie gradativamente a janela gr´afica, aumentando o intervalo da vari´avel x e mantendo o intervalo da vari´avel y fixo. Que aspecto adquire o gr´afico de p 1 ? Explique o comportamento observado. 10. Considere a fun¸c˜ao p2 : R → R definida por p2 (x) =

x3 . x2 − 1

(a) Trace o gr´afico de p2 na janela −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5. (b) Amplie gradativamente a janela gr´afica, aumentando simultaneamente os intervalos das vari´aveis x e y. Que aspecto adquire o gr´afico de p2 ? Explique o comportamento observado. x4 11. Considere a fun¸c˜ao p3 : R → R definida por p3 (x) = 2 . x −1 (a) Trace o gr´afico de p3 na janela −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5. (b) Amplie gradativamente a janela gr´afica, aumentando simultaneamente os intervalos das vari´aveis x e y. Que aspecto adquire o gr´afico de p3 ? Explique o comportamento observado.

56

´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

x2 Figura 3.17: O gr´afico de p1 (x) = 2 , para −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5 e para −100 ≤ x ≤ 100, x −1 −5 ≤ y ≤ 5, respectivamente.

Figura 3.18: O gr´afico de p2 (x) = −100 ≤ y ≤ 100, respectivamente.

x3 , para −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5 e para −100 ≤ x ≤ 100, x2 − 1

x4 , para −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5 e para −100 ≤ x ≤ 100, x2 − 1 −1000 ≤ y ≤ 1000, respectivamente.

Figura 3.19: O gr´afico de p3 (x) =

Nas trˆes atividades acima, quando observamos os gr´aficos das fun¸co˜es em janelas com valores pequenos das vari´aveis (figuras 3.17, 3.18 e 3.19, `a esquerda), podemos observar algumas caracter´ısticas das fun¸co˜es, tais como m´aximos e m´ınimos locais e ass´ıntotas verticais nos pontos em que os denominadores se anulam. Quando aumentamos as janelas gr´aficas n˜ao somos mais capazes de enxergar essas caracter´ısticas locais, por´em outro tipo de comportamento ´e revelado: as fun¸co˜es p 1 , p2 e p3 ficam parecidas com uma reta horizontal, com uma reta vertical e com uma par´abola, respectivamente. (figuras 3.17, 3.18 e 3.19, `a direita). Para entender o que est´a acontecendo, devemos observar que, quando aumentamos os valores de x, a constante 1 no denominador tende a ficar desprez´ıvel em rela¸c˜ao aos termos polinomiais. Portanto, para valores grandes de x, valem as aproxima¸co˜es a seguir,que explicam o comportamentos dos gr´aficos:

3.3. PONTOS DE VISTA E PERSPECTIVAS p1 (x) =

x2 x2 ≈ = 1, x2 − 1 x2

p2 (x) =

57

x3 x3 ≈ =x e x2 − 1 x2

p3 (x) =

x4 x4 ≈ = x2 . x2 − 1 x2

Como na atividade 8, podemos generalizar a conclus˜ao para qualquer fun¸c˜ao racional. Seja q : D ⊂ f (x) R → R uma definida por q(x) = , em que f (x) = am xm + . . . + a0 e g(x) = bn xn + . . . + b0 s˜ao g(x) dois polinˆomios. Em primeiro lugar, devemos observar que os limites de q quando x → ±∞ dependem da rela¸c˜ao entre os graus do numerador e do denominador. Uma maneira de determinar esses limites ´e dividir o numerador e o denominador de q pelo termo de maior grau. Caso 1. m < n Neste caso, dividimos o numerador e o denominador de p por x n : p(x) =

am + . . . + xan0 a m xm + . . . + a 0 xn−m = . b0 b n xn + . . . + b 0 bn + bn−1 + . . . + n x x

Na express˜ao acima, o numerador tende a 0 e o denominador tende `a constante b n 6= 0. Ent˜ao, conclu´ımos que: lim p(x) = lim p(x) = 0 . x→−∞

x→+∞

Caso 2. m = n Neste caso, dividimos o numerador e o denominador de p por x m = xn : am + a m xm + . . . + a 0 = p(x) = b m xm + . . . + b 0 bm +

am−1 x bm−1 x

+...+ +...+

a0 xn b0 xn

.

Na express˜ao acima, o numerador e o denominador tendem respectivamente `as constante a m 6= 0 e bm 6= 0. Ent˜ao, conclu´ımos que: lim p(x) = lim p(x) =

x→−∞

x→+∞

am bm

Caso 3. m > n Neste caso, dividimos o numerador e o denominador de p por x m : +...+ am + am−1 a m xm + . . . + a 0 x p(x) = = bn b n xn + . . . + b 0 + . . . + xb0n xm−n

a0 xn

.

Na express˜ao acima, o numerador tende `a constante am 6= 0 e o denominador tende a 0. Ent˜ao, conclu´ımos que os limites lim p(x) e lim p(x) = 0 s˜ao ambos infinitos. Os sinal entre desses x→−∞

x→+∞

limites depende da rela¸c˜ao entre dos sinais de am e bn . Em resumo, os limites no infinito de uma fun¸c˜ao racional s˜ao determinados pela rela¸c˜ao entre as taxas de crescimento do numerador e o denominador, que, por sua vez, depende de qual destes tem o maior grau. Se o denominador tem grau maior, ent˜ao a fun¸c˜ao tende a 0. Se o denominador e numerador tˆem o mesmo grau, ent˜ao a fun¸c˜ao tende a uma constante n˜ao nula. Se o numerador tem grau maior, ent˜ao a fun¸c˜ao tende a infinito. Este resultado ´e usualmente estudos em cursos de c´alculo em uma vari´avel. A atividade 9 ´e um exemplo do caso 2 acima, enquanto as atividades 10 e 11 exemplificam o caso 3.

´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

58

Embora as atividades 10 e 11 representem o mesmo tipo de comportamento assint´otico – tender a infinito – a fun¸c˜ao p2 da atividade 10 fica parecida com uma reta e a fun¸c˜ao p 3 da atividade 11 com um par´abola. Essa diferen¸ca de comportamento – que em geral n˜ao ´e estudada nos cursos de c´alculo – corresponde a maior aprofundamento matem´atico do caso em que a fun¸c˜ao racional tende a infinito, pois estabelece formas qualitativamente diferentes de tender a infinito. Com base nesses dois exemplos, podemos intuir que o comportamento assint´otico dessas fun¸co˜es seja determinado pela diferen¸ca entre os graus do numerador e do denominador. Na verdade, podemos obter uma conclus˜ao matem´atica mais precisa que esta. Como estamos tratando do caso em que ∂f > ∂g, pelo divis˜ao polinomial, sabemos que existem polinˆomios q e r (quociente e resto), com ∂r < ∂g tais que: f (x) = q(x) g(x) + r(x) . Logo: p(x) =

r(x) f (x) = q(x) + . g(x) g(x)

Como ∂r < ∂g, podemos concluir pelo caso 1 acima que: lim (p(x) − q(x)) = lim

x→±∞

x→±∞

r(x) = 0. g(x)

Assim, sempre que tra¸carmos o gr´afico de um fun¸c˜ao racional, cujo numerador tem grau maior que o denominador, e aumentarmos progressivamente a janela gr´afica, observaremos este gr´afico ficar cada vez mais parecido com o do polinˆomio quociente entre o numerador e o denominador. Em particular o gr´afico da fun¸c˜ao racional adquirir´a o aspecto de um polinˆomio cujo grau ´e diferen¸ca entre os graus do numerador e do denominador. Voltando aos exemplos das atividades 10 e 11, se efetuarmos as divis˜oes polinomiais, concluiremos que: x3 = x (x2 − 1) + x e

x4 = (x2 + 1) (x2 − 1) + 1 .

Logo: p2 (x) =

x3 x = x + (x2 − 1) (x2 − 1)

e

x 2 x→±∞ (x − 1)

e

p3 (x) =

x4 1 2 = (x + 1) + . (x2 − 1) (x2 − 1)

Portanto: lim (p2 (x) − x) = lim

x→±∞

lim

x→±∞


p3 (x) − (x2 + 1) = lim

x→±∞ (x2

1 . − 1)

Como lim (p2 (x) − x), dizemos que a reta y = x ´e uma ass´ıntota inclinada de p 2 : os valox→±∞

res da fun¸c˜ao ficam muito da reta, quando x cresce indefinidamente. Como
pr´oximos dos valores 2 2 ´ lim p3 (x) − (x + 1) , a par´abola y = x + 1 tem esse mesmo papel em rela¸c˜ao `a fun¸c˜ao p3 . E

x→±∞

interessante fazer mais exemplos para observar desse comportamento no computador. Observe que o computador tem um papel importante na argumenta¸c˜ao para chegar a essa conclus˜ao, pois a partir da visualiza¸c˜ao dos diferentes gr´aficos na tela, podemos perceber essas diferentes formas de tender a infinito. N˜ao ´e absurdo supor que uma das raz˜oes pelas quais esse aprofundamento matem´atico n˜ao ´e abordado em geral nos cursos de c´alculo ´e o fato de que software gr´aficos ainda s˜ao pouco ´ importante destacar ainda que o papel do computador aqui ´e o mesmo das atividades explorados. E anteriores neste cap´ıtulo: possibilitar uma explora¸c˜ao que sugere um fato matem´atico que deve ser

˜ 3.4. MAIS EXPLORAC ¸ OES

59

verificada por meio de argumenta¸c˜ao dedutiva. Neste caso, passamos da ideia informa de aproxima¸c˜ao para a ideia formal de limite. No ensino b´asico, a ideia formal de limite n˜ao precisa ser tratada. Mesmo assim, as atividades n˜ao podem ser reduzir `a explora¸c˜ao no computador. As conclus˜ oes devem ser sistematizadas por meio de argumenta¸c˜ ao dedutiva compat´ıvel com cada n´ıvel escolar. Atividades 12. Responda `as perguntas a seguir, considerando as atividades 8 a 11. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados nas atividades? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os principais objetivos dessas atividades? (c) Que ideias matem´aticas podem ser motivadas por essas atividades, que n˜ao s˜ao em geral tratadas abordagem convencional (isto ´e, sem o computador)? (d) Qual ´e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao `a abordagem convencional (isto ´e, sem o computador)? (e) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula? 13. Seria poss´ıvel formular uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 8 a 11, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona? Justifique sua resposta.

3.4

Mais Explora¸co ˜es

Neste cap´ıtulo, foram propostas atividades com ambientes computacionais gr´aficos simples, isto ´e cujo uso n˜ao requer a aprendizagem de comandos espec´ıficos, visando expor aspectos dos conceitos matem´ aticos que seriam dif´ıceis de ser abordados com recursos e representa¸co ˜es convencionais. Al´em disso, procurou-se empregar potencialidades e, especialmente, limita¸co˜es t´ecnicas dos softwares para motivar explora¸co˜es das quest˜oes matem´aticas envolvidas, al´em de incentivar o desenvolvimento de uma postura cr´ıtica por parte dos estudantes em rela¸c˜ao aos resultados mostrados na tela. Nesta se¸c˜ao, apresentamos mais algumas atividades com esse esp´ırito, em que rela¸co˜es e propriedades entre fun¸co˜es que s˜ao usualmente tratados no ensino m´edio. Entretanto, o uso do software permite que essas rela¸co˜es e propriedades sejam abordadas de um novo ponto de vista, e que as apliquemos a exemplos de fun¸co˜es que normalmente n˜ao s˜ao estudados. Atividades 1. Considere a fun¸c˜ao s : R → R definida por s(x) = x sen x. (a) Esboce o gr´afico de s, juntamente com as retas y = x e y = −x. (b) Explique o comportamento do gr´afico. Como as retas podem ajudar a entender esse comportamento? (c) Vocˆe deve ser observado que as retas tangenciam o gr´afico de s em certos pontos. Que pontos s˜ao esses? Esses pontos correspondem a m´aximos e m´ınimos locais da fun¸c˜ao s? Justifique suas respostas. (d) Que propriedades da fun¸c˜ao seno vocˆe usou para responder `as quest˜oes acima? (e) Que aspecto vocˆe espera que tenha o gr´afico de t(x) = x 2 sen x? 2. Considere a fun¸c˜ao u : R → R definida por u(x) = 2 sen x .

´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

60 (a) (b) (c) (d)

Esboce o gr´afico de u. Determine a imagem de u. A fun¸c˜ao u ´e peri´odica? Justifique sua resposta. Que propriedades das fun¸co˜es exponencial e seno vocˆe usou para responder `as quest˜oes acima?

3. Considere a fun¸c˜ao v : R → R definida por v(x) = sen (2x ). (a) (b) (c) (d)

Esboce o gr´afico de v. Determine a imagem de v. A fun¸c˜ao v ´e peri´odica? Justifique sua resposta. Que propriedades das fun¸co˜es exponencial e seno vocˆe usou para responder `as quest˜oes acima?

4. Considere a fun¸c˜ao ω : R → R definida por ω(x) = sen (log 10 x). (a) Esboce o gr´afico de ω, na janela gr´afica 0 ≤ x ≤ 10, −2 ≤ y ≤ 2. ´ poss´ıvel determinar a menor raiz de ω? E a menor? Justifique (b) Determine as ra´ızes de ω. E suas respostas. A fun¸c˜ao s da atividade 1 ´e dada pelo produto da fun¸c˜ao seno por x. Como a fun¸c˜ao seno varia entre −1 e 1, ent˜ao s varia entre −x e x (figura 3.20). De forma mais geral, podemos concluir que, sempre que multiplicarmos a fun¸c˜ao seno pelo por outra fun¸c˜ao f , o resultado ser´a uma fun¸c˜ao que varia entre −f (x) e f (x). A pergunta do item 1d tem por objetivo ajudar o aluno a perceber a sistematizar esta propriedade, e a pergunta do item 1e visa lev´a-los a perceber sua generaliza¸c˜ao.

Figura 3.20: O gr´afico de s(x) = x sen x, com as retas y = −x e y = x. Nos pontos em sen x = 1, temos que s(x) = x, nos pontos em sen x = −1, temos que s(x) = −x, e nos demais pontos, temos −1 < s(x) < 1. Portanto, o gr´afico de s a reta y = x para x = π2 + 2kπ, e a reta y = −x para x = − π2 + 2kπ, com k ∈ Z. A imagem do gr´afico mostrada na tela, al´em do fato destes valores de x corresponderem a pontos de m´aximo e m´ınimo da fun¸c˜ao seno, pode sugerir que esses sejam tamb´em m´aximos e m´ınimos de s. Entretanto, justamente o fato do gr´afico tangenciar as retas nesses pontos fornece um argumento para mostrar o contr´ario: em pontos de m´aximos e m´ınimo

˜ 3.4. MAIS EXPLORAC ¸ OES

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a reta tangente (caso exista) s˜ao horizontais, por´em nesse casos elas tˆem inclina¸c˜ao ±1. Assim, no exemplo desta atividade o gr´afico mostrado na tela pode sugerir uma ideia, que se revela falsa – e ´e a justamente a explora¸c˜ao motivada pela visualiza¸c˜ao desse gr´afico que pode indicar o caminho para o argumento matem´atico para refut´a-la. Na atividade 2 (figura 3.21, `a esquerda), o menor valor e o maior valor atingidos por u ocorrem para os mesmos valores de x em que ocorrem o menor valor e o maior valor da fun¸c˜ao seno. Portanto, a ´ importante observar aqui que s´o podemos chegar a esta conclus˜ao imagem de u ´e o intervalo 21 , 2 . E porque a fun¸c˜ao exponencial ´e estritamente crescente. Isto ´e, a fun¸c˜ao u ´e uma composi¸c˜ao u(x) = f ( sen (x)), de uma fun¸c˜ao estritamente crescente com a fun¸c˜ao seno, portanto a ordem dos valores da fun¸c˜ao seno ´e preservada ( sen x1 < sen x2 ⇒ 2 sen x1 < 2 sen x2 ). N˜ao ter´ıamos esta garantia se estiv´essemos compondo uma fun¸c˜ao que n˜ao fosse crescente com a fun¸c˜ao seno (para fixar as ideias, experimente esbo¸car o gr´afico de y = ( sen x)2 , por exemplo). Al´em disso, temos que u ´e peri´odica, com per´ıodo 2 π. A justificativa para isto tamb´em est´a no fato de que u ´e a composi¸c˜ao u(x) = f ( sen (x)): como os valores da fun¸c˜ao seno repetem-se, os valores tamb´em se repetir˜ao quando uma fun¸c˜ao f qualquer ´e calculada sobre a fun¸c˜ao seno. Na atividade 3 (figura 3.21, sen (2 x ) =
`a esquerda), o valor m´aximo de v ocorre nos pontos em que π 1, isto ´e x = log2 2 +
2 k π , com k ∈ Z; e o valor m´ınimo nos pontos em que sen (2x ) = −1, isto ´e x = log2 − π2 + 2 k π , com k ∈ Z. Portanto, a imagem de v ´e o intervalo [−1, 1]. Neste caso, a fun¸c˜ao u ´e uma composta v(x) = sen (f (x)). Como −1 6 sen x 6 1, ent˜ao −1 6 sen (f (x)) 6 1 qualquer que seja a fun¸c˜ao f . Al´em disso, observamos que v oscila entre os valores −1 e 1, por´em esta oscila¸c˜ao n˜ao ocorre em intervalos regulares. Assim, embora a fun¸c˜ao seno seja peri´odica, v n˜ao ser´a peri´odica, pois a fun¸c˜ao exponencial n˜ao ´e. Na verdade, percebemos que a oscila¸c˜ao de v fica cada vez mais “intensa” (tanto que ocorre um erro de interpola¸c˜ao no gr´afico tra¸cado pelo software), isto ´e, os intervalos entre dois pontos de m´aximo (ou de m´ınimo) consecutivos ficam cada vez mais curtos. Esta propriedade est´a relacionada com o crescimento acentuado da fun¸c˜ao exponencial. Para entender essa propriedade,
podemos tamb´em voltar a observar as abscissas dos pontos de m´aximo: x k = log2 π2 + 2 k π , com k ∈ Z. Como a fun¸c˜ao logar´ıtmica ´e crescente (pois a derivada primeira log 2 ´e positiva), ent˜ao xk ´e crescente. Por´em, como a taxa de crescimento da fun¸c˜ao logar´ıtmica ´e cada vez menor (pois a derivada segunda log2 ´e negativa), ent˜ao a distˆancia entre xk e xk+1 ´e cada vez menor.

Figura 3.21: Os gr´aficos de u(x) = 2 sen x e v(x) = sen (2x ). Nas quest˜oes 1 a 3, inclu´ımos uma quest˜ao chave: Que propriedades das fun¸co˜es vocˆe usou para responder `as quest˜oes acima? Com isso, procuramos direcionar a aten¸c˜ao dos estudantes para os argumentos matem´aticos que justificam as propriedades observadas na tela e suas poss´ıveis generaliza¸co˜es. Nessas atividades lidamos essencialmente com opera¸co˜es entre fun¸co˜es (produto na atividade 1 e composi¸c˜ao nas atividades 2 e 3), que s˜ao t´opicos usualmente presentes nos curr´ıculos e livros did´aticos do ensino m´edio. Por´em, procuramos usar o ambiente computacional para olhar para esses t´ opicos

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´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

de um novo ponto de vista. Em geral, os exerc´ıcios envolvendo opera¸co˜es entre fun¸co˜es reduzemse a procedimentos rotineiros para determinar fun¸co˜es compostas e coisas assim. Aqui, procuramos propor atividades em que as propriedades qualitativas da fun¸c˜ ao produto ou composta sejam estudadas ` a luz da an´ alise das propriedades qualitativas das fun¸co ˜es originais. Al´em disso, buscamos ampliar o universo de fun¸co ˜es familiares aos estudantes, empregamos exemplos cujos gr´aficos em geral n˜ao s˜ao tra¸cados no ensino b´asico. Tra¸car tais gr´aficos seria provavelmente uma ´ claro que a tarefa de dif´ıcil realiza¸c˜ao em sala de aula, sem o apoio do recurso computacional. E abordagem com o computador n˜ao deve se reduzir a tra¸car esses gr´aficos, mas sobretudo motivar a explora¸c˜ ao matem´ atica e a compreens˜ ao de suas propriedades. Continuando para a atividade 4, a visualiza¸c˜ao do gr´afico na janela indicada, pode sugerir que a menor raiz da fun¸c˜ao ω seria x = 1 (figura 3.22). No entanto, as ra´ızes de ω s˜ao os pontos x tais que sen (log10 x) = 0, isto ´e, x = 10kπ , como k ∈ Z. Portanto, n˜ao existe uma maior raiz (pois o conjunto das ra´ızes n˜ao ´e limitado superiormente), nem uma menor raiz de ω (pois, embora o conjunto das ra´ızes seja limitado inferiormente, dada qualquer raiz, sempre podemos exibir outra menor que ´ interessante observar ao contr´ario do que ocorre com a fun¸c˜ao v da atividade 3, a oscila¸c˜ao esta). E de ω ´e bastante “espa¸cada”. Mais precisamente, a raz˜ao entre duas ra´ızes consecutivas ´e de 10 π , isto ´e, cada raiz ´e mais de 1.000 vezes maior que imediatamente anterior. Em conseq¨uˆencia, embora a fun¸c˜ao tenha infinitas ra´ızes, em cada intervalo escolhido para o eixo horizontal s´o ´e poss´ıvel visualizar claramente uma delas, pois as demais ou s˜ao muito pequenas ou muito grandes para a janela. Al´em disso, a diferen¸ca de ordens de grandeza das ra´ızes faz com o gr´afico adquira aspectos completamente diferentes em cada nova janela (figura 3.23).

Figura 3.22: O gr´afico de ω(x) = sen (log10 x).

Figura 3.23: O gr´afico de ω(x) = sen (log10 x), em novas janelas.

˜ 3.4. MAIS EXPLORAC ¸ OES

63

Logaritmos e Escalas Logar´ıtmicas Alguns software (incluindo o Graphmatica [2]) possuem um recurso para tra¸car gr´aficos em sistemas de eixos graduados em escalas logar´ıtmicas. Em um eixo em escala logar´ıtmica de base β > 1, as potˆencias inteiras de β s˜ao representadas em intervalos com um comprimento fixo (figura 3.24). Assim, conforme caminhamos no sentido positivo do eixo, cada um desse intervalos corresponde a uma multiplica¸c˜ao pela base (e n˜ao `a soma de uma constante, como em um eixo linear convencional). Portanto, dado x ∈ R+ , se x0 ´e a posi¸c˜ao que representa x no eixo em escala logar´ıtmica de base β, vale a seguinte rela¸c˜ao: x0 = logβ x. x0. . .

... β −4

β −3

β −2

β −1

1

β

β2

β3

β4

Figura 3.24: Um eixo em escala logar´ıtmica de base b. Atividades 5. As figuras abaixo representam as fam´ılias de curvas y = k x (`a esquerda) e y = x k (`a direita), ambas com k =, tra¸cadas em um sistema de coordenadas logar´ıtmicas decimais x 0 y 0 , na janela gr´afica 10−3 ≤ x ≤ 103 , 10−3 ≤ y ≤ 103 . (a) Explique porque as curvas adquirem o aspecto de retas neste sistema de coordenadas. (b) Caracterize todas as fun¸co˜es f : R+ → R+ cujos gr´aficos adquirem o aspecto de retas no sistema de coordenadas logar´ıtmicas decimais.

6. No exerc´ıcio anterior, os dois eixos do sistema de coordenadas s˜ao graduados em escalas logar´ıtmicas. Podemos tamb´em graduar apenas um dos eixos em escala logar´ıtmica e manter o segundo em escala linear convencional. (a) Em um sistema de coordenadas xy 0 , em que apenas o eixo vertical ´e graduado em escala logar´ıtmica decimal, enquanto o eixo horizontal ´e mantido em escala linear convencional, caracterize todas as fun¸co˜es f : R → R+ cujos gr´aficos adquirem o aspecto de retas. (b) Em um sistema de coordenadas x0 y, em que apenas o eixo horizontal ´e graduado em escala logar´ıtmica decimal, enquanto o eixo vertical ´e mantido em escala linear convencional, caracterize todas as fun¸co˜es f : R+ → R cujos gr´aficos adquirem o aspecto de retas. 7. Explique em que tipo de situa¸co˜es, envolvendo varia¸c˜ao de grandezas, vocˆe considera que ´e conveniente empregar sistemas coordenadas com: ambos os eixos graduados em escalas logar´ıtmicas; com apenas o eixo vertical graduado em escala logar´ıtmica; com apenas o eixo horizontal graduado em escala logar´ıtmica.

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´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

Na atividade 5, o aluno deve ser estimulado a explorar livremente a visualiza¸c˜ao dos gr´aficos no computador, em particular alterando a janela de visualiza¸c˜ao entre eixos em escalas logar´ıtmicas e eixos ´ importante observar que a alterna¸c˜ao entre diferentes sistema de coordecartesianos convencionais. E nadas para visualiza¸c˜ao de uma fam´ılia de curvas, e observa¸c˜ao imediata das mudan¸cas de aspecto nas curvas, consiste em uma possibilidade de explora¸c˜ ao oferecida pelo software, que dificilmente poderia ser reproduzida sem recursos computacionais. Da mesma foram que sugerimos em diversas atividades anteriores, a explora¸c˜ao deve conduzir a alguma forma de sistematiza¸c˜ao matem´atica. Este ´e o objetivo do item 5b. Um gr´afico de fun¸c˜ao que tenha o aspecto de uma reta no sistema x 0 y 0 deve ter equa¸c˜ao na forma y 0 = a x0 + b, com a, b ∈ R+ . Assim, teremos: y 0 = a x0 + b ⇒ log10 y = a log10 x + b ⇒ y = 10a log10 x+b = 10b xa = c xa . Portanto, as fun¸co˜es f : R+ → R+ cujos gr´aficos adquirem o aspecto de retas no sistema de coordenadas logar´ıtmicas decimais s˜ao aquelas na forma f (x) = c x a , com a, c ∈ R+ . A abordagem do conceito de logaritmo no ensino m´edio com freq¨uˆencia reduz-se a s´eries de exerc´ıcios rotineiros envolvendo, por exemplo, empregar as propriedades alg´ebricas dos logaritmos em resolu¸c˜ao de equa¸co˜es ou para a determina¸c˜ao de valores num´ericos. Em exerc´ıcios deste tipo, h´a pouco enfoque conceitual na ideia de logaritmo, suas rela¸co˜es com ordens de grandeza, ou o comportamento e a varia¸c˜ao das fun¸co˜es logar´ıtmicas. Atividades envolvendo escalas logar´ıtmicas, especialmente com o apoio de ambientes gr´aficos, podem ser usadas para fornecer um novo olhar para o conceito de logaritmo. Em escalas logar´ıtmicas, representamos as ordens de grandeza dos n´umeros (em rela¸c˜ao `a uma base fixada), em lugar de seus valores absolutos. Assim, sistemas de coordenadas logar´ıtmicas s˜ao convenientes para estudar fenˆomenos envolvendo amplas varia¸co˜es de ordens de grandeza, desde valores muito pr´oximos de 0 at´e valores muito grandes. Por exemplo, voltemos `a atividade 8 da se¸c˜ao 3.3. Foi observado que o gr´afico de f (x) = x 2 +10 x ´e aproximado por f2 (x) = 10 x, para valores de x muito pr´oximos de 0; e por f1 (x) = x2 , para valores de x muito grandes (figura 3.16). Entretanto, quando a janela ´e pequena o suficiente para distinguirmos valores de x muito pr´oximos de 0, os valores grandes ficam de fora; e quando aumentamos a janela para incluir valores grandes de x, n˜ao podemos mais distinguir valores muito pr´oximos de 0. Portanto, n˜ao ´e poss´ıvel visualizar essas duas aproxima¸co˜es ao mesmo tempo em uma mesma janela gr´afica – pelo menos no sistema de coordenadas cartesianas convencional. Por´em, quando mudamos o sistema de eixos para coordenadas cartesianas passamos a enxergar n˜ao os valores das vari´aveis, mas suas ordens de grandeza, e o gr´afico de f adquire outro aspecto (figura 3.25, `a esquerda). Podemos ent˜ao visualizar ao mesmo tempo, em uma mesma janela gr´afica, as aproxima¸co˜es de f por f 2 (x) = 10 x, para valores de x muito pr´oximos de 0, e por f1 (x) = x2 para valores de x muito grandes (figura 3.25, `a direita).

Figura 3.25: O gr´afico de f (x) = x2 + 10 x e o gr´afico de f (x) = x2 + 10 x com f1 (x) = x2 e f2 (x) = 10 x, tra¸cado em um sistema de coordenadas logar´ıtmicas, para −10 −3 ≤ x ≤ 105 , −10−3 ≤ y ≤ 105 .

˜ 3.4. MAIS EXPLORAC ¸ OES

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De forma semelhante, se tra¸carmos o gr´afico da fun¸c˜ao ω da atividade 4 em um sistema de coordenadas em que o eixo horizontal ´e graduado em escala logar´ıtmica e o vertical ´e mantido em escala linear convencional, seremos capazes de visualizer diversas oscila¸co˜es em uma mesma janela gr´afica (figura 3.26).

Figura 3.26: O gr´afico de ω(x) = sen (log10 x), tra¸cado em um sistema de coordenadas com eixo horizontal em escala logar´ıtmica, para −10−7 ≤ x ≤ 107 , −2 ≤ y ≤ 2. Atividades 8. Responda `as perguntas a seguir, considerando as atividades 1 a 5. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os principais objetivos dessas atividades? Qual ´e o papel das quest˜oes chave feitas em cada uma das atividades? Que outras perguntas vocˆe proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das atividades? (e) Qual ´e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao `a abordagem convencional (isto ´e, sem o computador)? (f) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

9. (a) Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 5, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona. (b) Que quest˜oes chave vocˆe proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos da atividade proposta?

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´ CAP´ITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

Cap´ıtulo 4 Ambientes de Geometria Dinˆ amica Introdu¸c˜ ao Segundo um conhecido dito popular, uma imagem vale mais do que mil palavras. Em ambientes de geometria dinˆamica, s˜ao utilizadas literalmente centenas de imagens sobrepostas, que se articulam entre si e s˜ao manipuladas de forma interativa. Imagine, ent˜ao, quantas ideias podem ser traduzidas, com o aux´ılio da geometria dinˆamica! As ferramentas de geometria dinˆamica permitem a constru¸c˜ao de objetos geom´etricos de acordo com propriedades ou rela¸co˜es estabelecidas. Estes podem ent˜ao ser manipulados dinamicamente, de tal maneira que as propriedades e rela¸co˜es sejam preservadas. Esse modo particular de constru¸c˜ao geom´etrica apresenta caracter´ısticas especiais, que podem ter consequˆencias importantes para a aprendizagem. Quando um objeto geom´etrico ´e representado por meio de papel e l´apis, em geral procura-se empregar certas nota¸co˜es para indicar suas propriedades. Portanto, essas propriedades determinam a maneira de se representar, e se fazem notar na representa¸c˜ao. Entretanto, o processo de construir uma representa¸c˜ao para um objeto em ambientes de geometria dinˆamica dispara outra qualidade de reflex˜ao sobre suas propriedades e rela¸co˜es matem´aticas. Por exemplo, quando esbo¸camos um losango com papel e l´apis (figura 4.1), comumente marcamos pequenos tra¸cos sobre cada um dos lados para indicar a sua congruˆencia. Por´em, se constru´ımos um losango em geometria dinˆamica (figura 4.2), al´em de saber que um losango ´e, por defini¸c˜ao, um quadril´atero com todos os lados congruentes, somos impelidos a refletir sobre como garantir, na pr´opria constru¸c˜ao, que esses lados sejam de fato congruentes.

Figura 4.1: A representa¸c˜ao de um losango, com papel e l´apis.

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ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

Figura 4.2: A representa¸c˜ao de um losango, em geometria dinˆamica. Assim, em uma representa¸c˜ao feita com papel e l´apis apenas (sem nenhum outro instrumento), as propriedades dos objetos s˜ao indicadas apenas pela nota¸c˜ao usada. Em geometria dinˆamica, por outro lado, a garantia de validade das propriedades e rela¸co ˜es matem´ aticas do objeto representado ´ e incorporada concretamente no pr´ oprio processo de constru¸c˜ ao da representa¸c˜ ao. Desta forma, as pr´oprias experiˆencias de construir representa¸co˜es em geometria dinˆamica j´a constituem, por si s´o, exerc´ıcios que demandam um maior n´ıvel de conhecimento matem´atico dos objetos. Essas experiˆencias podem ainda fornecer pistas sobre outras propriedades e rela¸co˜es dos objetos constru´ıdos, al´em daquelas que fazem parte de suas defini¸co˜es ou s˜ao dadas nos enunciados dos problemas, sugerindo porque estas s˜ao v´alidas (ou n˜ao v´alidas) e indicando caminhos para sua dedu¸c˜ao. Assim, o processo de constru¸c˜ao pode nos levar a perceber ou a conjecturar propriedades, que, evidentemente, dever˜ao ser confirmadas ou refutadas por argumentos matem´aticos. No caso do losango dinˆamico da figura 4.2, podemos questionar, por exemplo as poss´ıveis rela¸co˜es entre congruˆencia e paralelismo dos lados: A congruˆencia dos lados ´e suficiente para garantir seu paralelismo. Isto ´e, todo losango ´e um paralelogramo. Mas, ser´a que a congruˆencia dos lados ´e tamb´em necess´aria para garantir seu paralelismo? Isto ´e, ser´a todo paralelogramo um losango? ´ claro que, em constru¸co˜es com de r´egua n˜ao graduada e compasso (f´ısicos) ou outros instrumentos E mecˆanicos de desenho, a validade das propriedades matem´aticas tamb´em ´e incorporada no processo de constru¸c˜ao, como ocorre em geometria dinˆamica. De fato, a concep¸c˜ao dos ambientes de geometria dinˆamica ´e primordialmente inspirada nas constru¸co˜es com r´egua n˜ao graduada e compasso f´ısicos, os assim chamados instrumentos euclidianos. No entanto, uma diferen¸ca importante entre esses ambientes e os instrumentos euclidianos est´a justamente no aspecto dinˆamico das constru¸co˜es. Com r´egua e compasso, uma constru¸c˜ao geom´etrica, uma vez feita, ´e est´atica. Em geometria dinˆamica, as constru¸co˜es n˜ao apenas podem ser manipuladas, como tamb´em as condi¸co˜es que a determinaram inicialmente s˜ao preservadas pela manipula¸c˜ao. O aspecto dinˆ amico dos ambientes pode indicar a validade matem´ atica das constru¸co ˜es, e especialmente sua n˜ ao validade. Voltando ao exemplo da figura 4.2, para construir nosso losango em geometria dinˆamica, nada nos impede de simplesmente marcar quatro pontos que, visualmente pare¸cam formar um paralelogramo quando ligados. Entretanto, o fato de que a constru¸c˜ao n˜ao leva em conta garantias matem´aticas para a congruˆencia desses segmentos ficar´a claro quando esses pontos forem arrastados. Alguns pesquisadores em educa¸c˜ao matem´atica (e.g. [15, 41]) destacam duas modalidades distintas de concep¸c˜ao de imagens materiais de objetos matem´aticos, do ponto de vista da aprendizagem: um desenho, se a imagem ´e vista como representa¸c˜ao particular de um objeto isolado; ou uma figura, se a imagem ´e percebida como representa¸c˜ao gen´erica de uma classe de objetos matem´aticos, que

69 compartilham um conjunto comum de propriedades. Neste sentido, perceber a imagem material de um losango como uma figura corresponde a entendˆe-la n˜ao apenas com um desenho isolado, mas como um representante de um classe de quadril´ateros, sendo desta forma capaz de incorporar todas as propriedades matem´aticas comuns a esta classe. As potencialidades destacadas anteriormente sugerem que os ambientes de geometria dinˆamica podem ser explorados para ajudar os estudantes a expandirem sua concep¸c˜ao de uma representa¸c˜ao geom´etrica de desenho para figura – o que constitui um passo de abstra¸c˜ao matem´atica. Tais potencialidades fornecem, portanto, um terreno vasto para a explora¸c˜ao de objetos matem´aticos e formula¸c˜ao de conjecturas sobre suas rela¸co˜es e propriedades, que dever˜ao ser comprovadas ou refutadas por meio de argumentos matem´aticos formais. Por outro lado, alguns autores (e.g. [61]) apontam uma preocupa¸c˜ao com um poss´ıvel efeito indesej´avel do uso de ambientes de geometria dinˆamica no ensino: seus recursos, em particular a ferramenta de arrastar, podem tornar as propriedades de objetos geom´etricos t˜ao evidentes ao ponto de convencer os estudantes de que demonstr´a-las como teoremas matem´aticos seria desnecess´ario. Uma forma de prevenir esse efeito ´e tamb´em propor aos estudantes situa¸co˜es em que nem tudo transcorre como o esperado, como aquelas envolvendo limita¸co˜es dos ambientes de geometria dinˆamica e resultados surpreendentes ou contr´arios `a sua intui¸c˜ao. Tais reflex˜oes evidenciam, mais uma vez, que os efeitos do uso de recursos computacionais no ensino de Matem´atica n˜ao s˜ao determinados unicamente por suas caracter´ısticas intr´ınsecas, mas principalmente pela forma como eles s˜ao usados na abordagem pedag´ogica. Portanto, destaca-se o papel central do professor, em planejar adequadamente a abordagem com tecnologias computacionais. Este cap´ıtulo abordar´a o uso de ambientes de geometria dinˆamica no ensino de Matem´atica, em dois campos principais: geometria euclidiana plana e fun¸co˜es. Em particular, como nos cap´ıtulos anteriores, ser˜ao exploradas n˜ao s´o as potencialidades, como tamb´em as limita¸co˜es t´ecnicas dos softwares e situa¸co˜es em que s˜ao produzidos resultados inesperados ou aparentemente errados. Desta forma, objetiva-se destacar a impossibilidade de tomar os resultados do computador como crit´erio de verdade matem´atica e enfatizar a necessidade de argumentos formais. No campo da geometria, ser˜ao propostas atividades envolvendo constru¸co˜es geom´etricas elementares, com ˆenfase no estudo das propriedades das figuras planas que permanecem invariantes nas constru¸co˜es geom´etricas dinˆamicas. Embora as aplica¸co˜es dos ambientes de geometria dinˆamica no ensino de geometria plana sejam mais difundidas, seu uso tamb´em pode ser muito enriquecedor para o ensino de fun¸co˜es reais. Por exemplo, podem ser exploradas rela¸co˜es entre as propriedades alg´ebricas e o comportamento qualitativo de gr´aficos de fam´ılias de fun¸co˜es dependendo de parˆametros, de maneira semelhante `as atividades propostas no cap´ıtulo 3. Por´em, tais explora¸co˜es podem agora ser realizadas de forma dinˆamica, isto ´e, em lugar de digitar valores num´ericos para os parˆametros, o aluno pode controlar esses valores por meio da ferramenta de arrastar dos ambientes, observando em tempo real as mudan¸cas de aspecto provocadas nos gr´aficos. Al´em disso, os ambientes de geometria dinˆamica permitem a abordagem do conceito de fun¸c˜ao em situa¸co˜es que usualmente s˜ao pouco exploradas no ensino b´asico, tais como rela¸co ˜es de dependˆ encia funcional em constru¸co ˜es geom´ etricas (isto ´e, situa¸co˜es em que certos elementos das constru¸co˜es s˜ao fun¸co˜es de outros). De fato, em constru¸co˜es geom´etricas ocorrem naturalmente rela¸co˜es de dependˆencias entre objetos, que valem a pena ser exploradas. Se a constru¸c˜ao ´e feita em geometria dinˆamica, essas rela¸co˜es, que muitas vezes podem passar despercebidas, tornam-se mais evidentes. Por exemplo, se constru´ımos um quadrado inscrito em um c´ırculo, ent˜ao o lado e a ´area do quadrado s˜ao fun¸co˜es do raio c´ırculo – ou podemos mesmo dizer que neste caso o pr´oprio quadrado ´e fun¸c˜ao do c´ırculo. Em geometria dinˆamica, se alteramos o c´ırculo, podemos ver as altera¸co˜es acarretadas no quadrado inscrito; e se apagamos o c´ırculo, o quadrado inscrito (que dele ´e dependente) tamb´em desaparecer´a. Situa¸co˜es como essa oferecem algumas possibilidades de explora¸c˜ao pedag´ogica que podem ser muito enriquecedoras.

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

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´ poss´ıvel estudar o comportamento de fun¸co˜es diretamente por meio da dinˆamica do ambiente, • E sem a media¸c˜ao das representa¸co˜es usuais em sala de aula, especialmente a representa¸c˜ao gr´afica. Isto ´e, o comportamento da fun¸c˜ao pode ser analisado ao se alterar um objeto no ambiente, e observar as consequentes altera¸co˜es nos objetos que s˜ao dependentes deste. Assim, a pr´opria dinˆamica do ambiente converte-se em uma forma n˜ao convencional de representa¸c˜ao. • Al´em disso, pode-se ampliar o universo de fun¸co˜es familiares aos alunos, uma vez que s˜ao apresentados exemplos de fun¸co˜es cujos dom´ınios ou contradom´ınios n˜ao s˜ao n´umeros, e sim conjuntos de objetos geom´etricos. Nos livros did´aticos, em geral a abordagem de fun¸co˜es tem in´ıcio com a defini¸c˜ao de fun¸c˜ao em contexto abstrato, como rela¸c˜ao entre dois conjuntos gen´ericos. Entretanto, quase todos os exemplos que se seguem s˜ao de fun¸co˜es entre conjuntos num´ericos. Desta forma, verifica-se lacuna brusca na abordagem – e a apresenta¸c˜ao de exemplos de fun¸co˜es de outra natureza ´e importante para preenche-la. • Finalmente, como s˜ao constru´ıdas fun¸co˜es entre objetos geom´etricos, essas situa¸co˜es estabelecem uma articula¸c˜ao entre geometria e fun¸co˜es, campos da Matem´atica que quase sempre s˜ao abordados de forma dissociada no ensino b´asico. Nas atividades propostas neste cap´ıtulo, teremos como referˆencia os softwares GeoGebra [1] e Tabulæ [6]. A raz˜ao para esta escolha deve-se apenas ao fato de que esses softwares podem ser encontrados facilmente e sem custo na internet. Entretanto, como j´a observamos, nosso foco n˜ao estar´a em nenhum software espec´ıfico, e sim na discuss˜ao sobre as vantagens e limita¸co˜es que o uso de ambientes de geometria dinˆamica em geral pode trazer para o ensino e a aprendizagem de conceitos matem´aticos.

4.1

Explorando a Geometria de Forma Dinˆ amica

De forma geral, os ambientes de geometria dinˆamica fornecem uma representa¸c˜ao computacional para o plano euclideano, e suas ferramentas b´asicas s˜ao concebidas para reproduzir r´egua n˜ao graduada e compasso f´ısicos – os chamados instrumentos euclidianos. Esta estrutura permite a simula¸c˜ao de constru¸co˜es geom´etricas que podem ser feitas com os instrumentos euclidianos, sendo que nesses ambientes, as constru¸co˜es tornam-se dinˆamicas, isto ´e, podem ser manipuladas de forma que as propriedades e rela¸co˜es dos objetos constru´ıdos sejam preservadas. A maior parte dos ambientes de geometria dinˆamica incorpora ainda outros recursos, tais como tra¸cado de lugares geom´etricos, representa¸c˜ao de se¸co˜es cˆonicas, coordenadas cartesianas e medidas aproximadas para comprimentos e ´areas. Cabe ressaltar que, em virtude das limita¸co˜es inerentes ao software, as representa¸co˜es computacionais apresentam diferen¸cas importantes em rela¸c˜ao ao modelo matem´atico. De fato, no modelo matem´atico te´orico, o plano euclidiano constitui-se de infinitos pontos, ´e completo (isto ´e, desprovido de “buracos”) e ilimitado. Nas representa¸co˜es em geometria dinˆamica, por outro lado, lidamos sempre com uma regi˜ao retangular formada por uma quantidade muito grande, por´em finita de pixels. O objetivo das atividades a seguir ´e apresentar possibilidades de uso de ambientes de geometria dinˆamica no ensino de geometria euclidiana plana, tanto para a aprendizagem de conceitos geom´etricos espec´ıficos quanto para o desenvolvimento do racioc´ınio matem´atico dedutivo envolvido, buscando sempre a forma mais geral e s´ olida poss´ıvel para que os conhecimentos adquiridos possam ser reconhecidos e aplicados, mesmo sem o apoio do computador. As atividades iniciais (1 a 6) visam a ambienta¸c˜ao com os ambientes geometria dinˆamica, que de um modo geral possuem ferramentas semelhantes. Propomos constru¸co˜es relativamente simples e procuramos explorar a investiga¸c˜ao dos conceitos matem´aticos envolvidos. As atividades propostas envolvem, principalmente, a investiga¸c˜ao de regularidades, a generaliza¸c˜ao de propriedades, a formula¸c˜ao de conjecturas, e como desdobramento, a confirma¸c˜ao ou refuta¸c˜ao dessas conjecturas por meio de argumentos matem´aticos.

ˆ 4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINAMICA

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Atividades 1. Foi proposta a uma turma do ensino m´edio a tarefa de construir um triˆangulo equil´atero de lado AB dado, usando um ambiente de geometria dinˆamica. Um dos alunos da turma propˆos a seguinte solu¸c˜ao: 1. trace a mediatriz do segmento AB; 2. usando o recurso para tra¸car c´ırculos do ambiente, escolha o ponto A como centro e mova o cursor at´e que o c´ırculo “encoste” no ponto B, marcando assim um ponto C, que define o raio AC; 3. marque o ponto D, de interse¸c˜ao entre a mediatriz de AB e esse c´ırculo; 4. ligue os pontos, obtendo o triˆangulo ABD.

(a) Vocˆe considera que a constru¸c˜ao est´a correta? (b) Qual ´e o segmento que determina a medida do raio do c´ırculo constru´ıdo? Este segmento depende de AB? (c) Usando a constru¸c˜ao proposta pelo aluno, arraste o ponto C. O que acontece com o triˆangulo constru´ıdo? (d) O que podemos garantir sobre esse triˆangulo, com base na constru¸c˜ao do aluno? Isto ´e, o que, de fato o aluno est´a construindo? Justifique sua resposta por meio de argumentos matem´aticos.

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ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA 2. Para resolver a mesma tarefa da atividade 1, outro aluno da turma propˆos a seguinte constru¸c˜ao: 1. trace a mediatriz do segmento AB; 2. usando o recurso para tra¸car c´ırculos, escolha o ponto A como centro e mova o cursor at´e que o c´ırculo “encoste” no ponto B, de forma que o ponto C, que define o raio AC, esteja sobre a mediatriz de AB; 3. ligue os pontos, obtendo o triˆangulo ABC. Responda `as mesmas perguntas da atividade 1, para esta constru¸c˜ao.

3. Descreva uma maneira correta de construir um triˆangulo equil´atero de lado AB dado em um ambiente de geometria dinˆamica, isto ´e, uma constru¸c˜ao de forma que a propriedade de ser equil´atero seja preservada quando quaisquer dos elementos da constru¸c˜ao forem arrastados. Justifique a validade de sua constru¸c˜ao por meio de argumentos matem´aticos. 4. Agora, o professor propˆos a essa mesma a constru¸c˜ao, em um ambiente de geometria dinˆamica, de um quadrado de lado AB dado. Um aluno propˆos a seguinte solu¸c˜ao: 1. trace um c´ırculo de centro em A e raio AB; 2. trace um c´ırculo de centro em B e raio AB; 3. marque um ponto C sobre o c´ırculo de centro A de tal forma que o segmento AC seja visualmente perpendicular a AB, e um ponto D sobre o c´ırculo de centro B de tal forma que o segmento BD seja visualmente perpendicular a AB; 4. ligue os pontos, obtendo o quadrado ABDC.

ˆ 4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINAMICA

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(a) Vocˆe considera que a constru¸c˜ao est´a correta? (b) O que garante a perpendicularidade dos lados do quadril´atero nesta constru¸c˜ao? (c) Usando a constru¸c˜ao proposta pelo aluno, arraste o ponto C e, em seguida, o ponto D. O que acontece com o quadril´atero? (d) O que podemos garantir sobre esse quadril´atero, com base na constru¸c˜ao do aluno? Isto ´e, o que, de fato o aluno est´a construindo? Justifique sua resposta por meio de argumentos matem´aticos. 5. Questionando a solu¸c˜ao do colega, outro aluno da turma propˆos a seguinte constru¸c˜ao para a tarefa da atividade 4: 1. trace um c´ırculo de centro em A e raio AB; 2. trace um c´ırculo de centro em B e raio AB; 3. marque um ponto C sobre o c´ırculo de centro A de tal forma que o segmento AC seja visualmente perpendicular a AB; 4. trace um c´ırculo de centro em C e raio CB; 5. marque o ponto, de interse¸c˜ao dos c´ırculos de centro B e de centros C; 6. ligue os pontos, obtendo o quadrado ABDC. Responda `as mesmas perguntas da atividade 4, para esta constru¸c˜ao.

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ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

6. Descreva uma maneira correta de construir um quadrado de lado AB dado em um ambiente de geometria dinˆamica, isto ´e, uma constru¸c˜ao de forma que a propriedade de ser quadrado seja preservada quando quaisquer dos elementos da constru¸c˜ao forem arrastados. Lembre-se de que, para garantir que um quadril´atero seja um quadrado, precisamos garantir a congruˆencia dos lados e dos ˆangulos internos, pois uma n˜ao implica na outra, como ocorre no caso dos triˆangulos. Justifique a validade de sua constru¸c˜ao por meio de argumentos matem´aticos. As atividades anteriores envolvem constru¸co˜es em que n˜ao h´a garantias de que o objeto geom´etrico obtido de fato satisfaz `as condi¸co˜es dadas no problema. Estas atividades ilustram como os ambientes de geometria dinˆamica, em particular o recurso de arrastar, podem ser explorados para motivar a distin¸c˜ ao entre argumentos matematicamente v´ alidos e argumentos emp´ıricos ou indutivos, que implicam logicamente nas propriedades desejadas. Para que estes objetivos sejam atingidos, ´ e fundamental que as conclus˜ oes dos alunos sejam fundamentadas em argumentos matem´ aticos, e n˜ao na simples visualiza¸c˜ao do software. Note que foram inclu´ıdas quest˜oes chaves nas atividades, com o papel de disparar essa discuss˜ao. Por exemplo, no caso das atividades 1 e 2, s´o ´e poss´ıvel garantir que os triˆangulos constru´ıdos s˜ao is´osceles, mas n˜ao necessariamente equil´ateros. Esta conclus˜ao decorre, por um argumento baseado em congruˆencia de triˆangulos, do fato do v´ertice oposto ao lado AB estar sobre a mediatriz deste lado. Na atividade 4 a constru¸c˜ao s´o garante a congruˆencia de trˆes dos lados do quadril´atero, e na 5 de todos os lados. Na atividade 5 obtemos apenas um quadril´atero equil´atero, isto ´e, um losango, que n˜ao necessariamente ´e equiˆangulo, portanto n˜ao necessariamente ´e um quadrado. Desta forma, pode-se motivar uma discuss˜ao sobre as rela¸co˜es entre congruˆencia dos lados e dos ˆangulos de um pol´ıgono: apenas nos casos dos triˆangulos essas propriedades s˜ao equivalentes.

ˆ 4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINAMICA

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Observe que a maior parte dos principais softwares de geometria dinˆamica preservam o registro das constru¸co˜es efetuadas. Esses registros podem e devem ser explorados em sala de aula, pois ajudam a estabelecer pontes entre as constru¸co˜es geom´etricas e os argumentos matem´aticos que as justificam. Atividades 7. (a) Mostre que um triˆangulo ´e equil´atero se, e somente se, ´e equiˆangulo. (b) Mostre que a propriedade do item anterior n˜ao vale para pol´ıgonos com n´umero de lados maior ou igual a 4. 8. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 6. (a) (b) (c) (d) (e)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel do ambiente de geometria dinˆamica no desenvolvimento das atividades? Qual ´e o papel das quest˜oes chave feitas em cada uma das atividades? Que outras perguntas vocˆe proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das atividades? (f) Na sua opini˜ao, que discuss˜oes sobre propriedades de triˆangulos e quadril´ateros podem ser motivadas pela resolu¸c˜ao das atividades? (g) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinˆamica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)? (h) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula? 9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 6, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona. Procure incluir uma ou mais quest˜oes chave na atividade que vocˆe elaborar, para ajudar a encaminhar a resolu¸c˜ao dos alunos. Nas atividades a seguir, damos continuidade `a apresenta¸c˜ao de situa¸co˜es de geometria plana com apoio de ambientes de geometria dinˆamica, enfocando as possibilidades de explora¸c˜ao dos ambientes para a formula¸c˜ao de conjecturas sobre as propriedades geom´etricas dos objetos. Atividades 10. (Adaptado de [11]) (a) Em um ambiente de geometria dinˆamica, construa pol´ıgonos de n lados, com n = 3, 4, 5, 6. Use os recursos do software para medir a soma dos ˆangulos internos de cada um desses pol´ıgonos. Arraste os v´ertices dos pol´ıgonos e observe o que acontece. O valor da soma dos ˆangulos internos varia? (b) Deduza um f´ormula para a soma dos ˆangulos internos de um pol´ıgono, em fun¸c˜ao do n´umero de lados. (c) Agora, use os pol´ıgonos que vocˆe construiu para calcular a soma dos ˆangulos externos (isto ´e, os complementares dos ˆangulos internos) dos pol´ıgonos. (d) Deduza um f´ormula para a soma dos ˆangulos externos de um pol´ıgono, em fun¸c˜ao do n´umero de lados.

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ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

11. (Adaptado de [11]) O objetivo desta quest˜ao ´e investigar, com apoio de um ambiente de geometria dinˆamica, sob que condi¸co˜es dois triˆangulos, com um grupo de elementos (lados e ˆangulos) congruentes, s˜ao congruentes. (a) Dado um triˆangulo ABC, construa outro triˆangulo DEF , satisfazendo: DE = AB e b = D. b Arraste os v´ertices desses triˆangulos e investigue a rela¸c˜ao entre eles. A b=D b (b) Dado um triˆangulo ABC, construa outro triˆangulo DEF , satisfazendo: DE = AB, A b = E. b Arraste os v´ertices desses triˆangulos e investigue a rela¸c˜ao entre eles. eB ´ poss´ıvel construir um triˆangulo DEF com um lado e dois ˆangulos congruentes a um lado e (c) E dois ˆangulos de ABC, mas que n˜ao seja congruentes a ABC. Em caso afirmativo, construa este triˆangulo. Caso contr´ario, justifique sua resposta. (d) Quantos lados e ˆangulos n˜ao congruentes podem ser encontrados nos triˆangulos n˜ao congruentes constru´ıdos no item anterior? ´ poss´ıvel construir um par de triˆangulos n˜ao congruentes, com cinco pares de elementos (e) E correspondes congruentes? Em caso afirmativo, construa estes triˆangulos. Caso contr´ario, justifique sua resposta. ´ poss´ıvel construir um par de triˆangulos n˜ao congruentes, com seis pares de elementos (f) E correspondes congruentes? Em caso afirmativo, construa estes triˆangulos. Caso contr´ario, justifique sua resposta. 12. (a) Em um ambiente de geometria dinˆamica, construa um trap´ezio ABCD qualquer, de forma que as posi¸co˜es de todos os v´ertices possam ser alteradas, preservando o paralelismo das bases. (b) Construa as diagonais de ABCD e chame de G seu ponto de interse¸c˜ao. Em seguida, trace uma paralela `as bases por G e chame de F e E, seus pontos de interse¸c˜ao com os lados AD e BC, respectivamente. (c) Agora, arraste os v´ertices do trap´ezio e observe os triˆangulos EGD e GCF . O que vocˆe pode afirmar sobre a rela¸c˜ao entre essas ´areas? (d) Justifique matematicamente a propriedade que vocˆe observou no item anterior. (e) Como as propriedades dinˆamicas do software ajudou a formular a conjectura?

ˆ 4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINAMICA

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13. O objetivo desta atividade ´e demonstrar a existˆencia dos chamados pontos not´aveis de um triˆangulo qualquer. Esses pontos s˜ao definidos da seguinte forma: • • • •

incentro: interse¸c˜ao das bissetrizes relativas a cada um dos ˆangulos internos de um triˆangulo; circuncentro: interse¸c˜ao das mediatrizes relativas a cada um dos lados de um triˆangulo; baricentro: interse¸c˜ao das medianas relativas a cada um dos lados de um triˆangulo; ortocentro: interse¸c˜ao das alturas relativas a cada um dos lados de um triˆangulo.

Portanto, demonstrar a existˆencia desses pontos corresponde a provar que cada uma das linhas not´aveis (bissetriz, mediatriz, mediana e altura) se interceptam em um u ´nico ponto. Para entender claramente as defini¸co˜es acima, vocˆe dever´a recordar as defini¸co˜es de bissetriz, mediatriz, mediana e altura. (a) Em um ambiente de geometria dinˆamica, construa uma representa¸c˜ao para cada uma das situa¸co˜es propostas neste problema. Arraste os v´ertices dos triˆangulos e verifique o que ocorre com os pontos not´aveis. (b) Demonstre formalmente a existˆencia do incentro e do circuncentro. Essas provas decorrem diretamente das defini¸co˜es de bissetriz e mediatriz, respectivamente. (c) Demonstre formalmente a existˆencia do baricentro. A dica ´e tomar o ponto de intercess˜ao entre duas das medianas (que certamente existe) e determinar as raz˜oes entre as medidas dos segmentos determinados por este ponto em cada uma das duas medianas. (d) Demonstre formalmente a existˆencia do ortocentro. Esta prova ´e provavelmente mais dif´ıcil das quatro. Neste caso, a dica ´e a seguinte. Dado um triˆangulo ABC, construa um triˆangulo DEF de tal forma que cada um dos lados de DEF contenha um dos v´ertices de ABC e seja paralelo ao lado ABC oposto a este v´ertice. Qual ´e a rela¸c˜ao entre as alturas de ABC e o triˆangulo DEF ? Fa¸ca esta constru¸c˜ao no ambiente de geometria dinˆamica e escreva a prova formal. (e) Com ajuda do ambiente de geometria dinˆamica, investigue quais dos pontos not´aveis s˜ao sempre interiores ao triˆangulo. Justifique suas conclus˜oes por meio de argumentos formais. (f) Verifique se as demonstra¸co˜es que vocˆe escreveu no ´ıtens 13b, 13c e 13d continuam valendo no caso dos pontos serem exteriores ao triˆangulo. (g) A raz˜ao para os nomes incentro e circuncentro est´a nos seguintes teoremas: • O incentro de um triˆangulo ´e o centro do c´ırculo inscrito neste este triˆangulo. • O circuncentro de um triˆangulo ´e o centro do c´ırculo circunscrito a este triˆangulo.

Represente estes enunciados no ambiente de geometria dinˆamica e justifique-os formalmente. 14. Considere o seguinte problema: Dados uma circunferˆencia C, de centro O e raio r, e uma reta a, construir todos os c´ırculos simultaneamente tangentes a C e a a, passando por um ponto P ∈ a fixado. O objetivo desta atividade ´e analisar as solu¸co˜es do problema, levando em conta todas as diferentes possibilidades para as posi¸co˜es relativas entre o c´ırculo C e a reta a. Suponha, inicialmente, que a n˜ao corte C. (a) Quantas solu¸co˜es tem o problema? Isto ´e, existem quantos c´ırculos simultaneamente tangentes a C e a a, e passando por P ?

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

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(b) Em um ambiente de geometria dinˆamica, fa¸ca a seguinte constru¸c˜ao. 1. 2. 3. 4.

(c) (d) (e) (f)

Trace a reta b, perpendicular a a que passa por P . Sobre a reta b, marque os pontos C e D tais que AP = BP = r. Trace as mediatrizes dos segmentos OA e OB. Marque os pontos M e N de interse¸c˜ao dessas mediatrizes com a reta b.

Mostre que M e N s˜ao os centros dos c´ırculos tangentes procurados. Construa os c´ırculos tangentes, com centros em M e em N e raios em M P e em N P , respectivamente. Para completar, construa as retas M P e N P e marque os pontos de tangˆencia S e T , respectivamente. A constru¸c˜ao do item 14b tamb´em vale no caso em que a ´e secante a C? O que acontece quando a ´e tangente a C? Existe algum caso em que o problema tenha menos de duas solu¸co˜es? E mais de duas solu¸co˜es? A constru¸c˜ao do item 14b tamb´em vale nestes casos? Agora, suponha que vocˆe uma pequena altera¸c˜ao no final da constru¸c˜ao do item 14b. Proceda da mesma forma at´e obter os pontos M e N . Em seguida, construa primeiro as retas M P e N P e marque os pontos de tangˆencia S e T . Depois, construa os c´ırculos tangentes, com centros em M e em N e raios em M S e em N T . As constru¸co˜es s˜ao equivalentes? Arraste a reta a at´e que ela seja secante a C. A constru¸c˜ao ´e preservada? Explique o observado.

15. Na Matem´atica da Gr´ecia antiga, os problemas de determina¸c˜ao de ´areas de figuras planas eram chamados problemas de quadraturas. Isto por que esses problemas n˜ao eram interpretados como de medi¸co˜es num´ericas, como fazemos hoje, e sim como constru¸co˜es geom´etricas (realizadas com os instrumentos euclidianos). Assim, para os gregos, determinar uma ´area significava construir, com r´egua n˜ao graduada e compasso, um quadrado com mesma ´area da figura dada. Considere o seguinte problema a seguir. Com ajuda de um ambiente de geometria dinˆamica, vamos resolvˆe-lo da forma como os gregos antigos fariam.

ˆ 4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINAMICA

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Dado um pent´agono qualquer, construir um quadrado com mesma ´area. (a) A resolu¸c˜ao deste problema pode ser facilitada com algumas constru¸co˜es auxiliares. Fa¸ca as seguintes constru¸co˜es em um ambiente de geometria dinˆamica: i. construir um retˆangulo com mesma ´area de um triˆangulo qualquer dado; ii. construir um quadrado com mesma ´area de um retˆangulo qualquer dado; iii. construir um quadrado cuja ´area seja igual a soma das ´areas de dois outros quadrados dados. (b) Como vocˆe pode usar as constru¸co˜es do item anterior para resolver o problema proposto? 16. As homotetias s˜ao transforma¸co˜es no plano que correspondem a amplia¸co˜es ou redu¸co˜es. Assim, as homotetias preservam medidas angulares e multiplicam todas as medidas lineares por uma raz˜ao constante k ∈ R. Portanto, podemos tamb´em chamar as homotetias de transforma¸co˜es de semelhan¸ca, pois as figuras transformadas s˜ao sempre semelhantes `as originais. Diversas constru¸co˜es geom´etricas e demonstra¸co˜es podem ser resolvidas com a ajuda de homotetias. A constru¸c˜ao de homotetias em ambientes de geometria dinˆamica pode ajudar os alunos a perceberem os efeitos dessas transforma¸co˜es de maneira mais concreta. Considere o seguinte problema: Dados uma circunferˆencia C e um segmento de reta AB, inscrever na circunferˆencia, um triˆangulo equil´atero que tenha um lado paralelo ao segmento AB. (a) Inicialmente descreva as id´eias e conceitos matem´aticos que podem ajudar na solu¸c˜ao do problema. (b) Construa no ambiente de geometria dinˆamica os elementos enunciado do problema. (c) Como o conceito de homotetia pode ajudar na solu¸c˜ao? (d) Agora que a constru¸c˜ao est´a conclu´ıda, apresente uma prova formal para a sua solu¸c˜ao envolvendo transforma¸co˜es de homotetia. 17. (Adaptado de [53]) Considere o seguinte problema: Dado um triˆangulo ABC qualquer, inscrever um quadrado QRST neste triˆangulo. (a) (b) (c) (d)

Identifique os dados do problema e as condi¸co˜es iniciais do problema. O que ´e desconhecido neste problema? Quais as condi¸co˜es para a constru¸c˜ao da solu¸c˜ao? ´ poss´ıvel resolver este problema? Use um ambiente de geometria dinˆamica para investigar E as possibilidades de solu¸c˜ao.

Caso a solu¸c˜ao n˜ao lhe pare¸ca trivial, uma poss´ıvel estrat´egia ´e pensar em um problema similar, com menos hip´oteses. Observe que, para que QRST esteja inscrito em ABC, ´e preciso que todos os v´ertices de QRST estejam sobre os lados de ABC. Assim, podemos propor, por exemplo o seguinte problema: Dado um triˆangulo ABC qualquer, construir um quadrado QRST que tenha trˆes de seus v´ertices sobre os lados de ABC. Quando diminuem-se as exigˆencias de um problema, ´e natural que sua solu¸c˜ao torne-se mais simples.

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ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA (e) Experimente construir com um ambiente de geometria dinˆamica uma figura que satisfa¸ca `as condi¸co˜es deste problema. (f) Como as propriedades dinˆamicas do ambiente podem ajudar a relacionar este novo problema com o proposto originalmente? (g) Utilize as propriedades dinˆamicas do ambiente para investigar a localiza¸c˜ao do quarto v´ertice. (h) Escreva uma prova matem´atica para o resultado obtido.

As atividades 10 e 11 foram desenhadas para provocar sensa¸co˜es de surpresa ou incerteza nos alunos (ver [31]). Como observamos na introdu¸c˜ao deste cap´ıtulo, situa¸co˜es em que o computador produz resultados inesperados ou aparentemente errados s˜ao importantes para evidenciar aos estudantes a necessidade de construir argumentos matem´ aticos, e evitar que eles atribuam ao computador um estatuto de verdade matem´ atica. As atividades 11 e 10 s˜ao apenas exemplos. Evidentemente, a escolha do tipo de quest˜oes que podem ter este efeito depende do p´ublico de alunos, seu ano escolar e sua bagagem de conte´udos. Na atividade 11, observamos que a soma dos ˆangulos internos de um pol´ıgono convexo, dada por Sn = 180◦ (n − 2), depende do n´umero de lados, e cresce com esse n´umero. Como cada ˆangulo externo depende do ˆangulo interno correspondente, isto pode sugerir que a soma dos ˆangulos externos tamb´em varia com o n´umero de lados do pol´ıgono. No entanto, a soma dos ˆangulos externos de um pol´ıgono convexo ´e constante, igual a 360◦ . Al´em disso, como o c´alculo de valores num´ericos dos ambientes de geometria dinˆamica envolve arredondamentos, este pode produzir resultados aproximados, que podem inclusive mudar de aluno para aluno. A discuss˜ao sobre as raz˜oes matem´aticas destes erros de arredondamento pode, mais uma vez, ser usada para evidenciar a necessidade de buscar argumentos matem´aticos. A atividade 10 envolve v´arias situa¸co˜es investigativas, em que a explora¸c˜ao no computador pode ser duvidosa ou inconclusiva. Algumas das situa¸co˜es propostas ser˜ao mais familiares aos alunos, e outras menos. Assim, o professor pode conduzir a atividade para a necessidade de buscar argumentos matem´aticos para decidir que condi¸co˜es garante a congruˆencia. Esta investiga¸c˜ao pode levar ainda `a discuss˜ao sobre o que significa enunciar os chamados “casos de congruˆencia de triˆangulos”: estabelecer condi¸co˜es suficientes para a congruˆencia, isto ´e condi¸co˜es que impliquem na congruˆencia. Note que, nos enunciados das atividades 12, 13 e 15, empregamos os termos “trap´ezio qualquer”, “triˆangulo qualquer” e “pent´agono qualquer”. Nosso objetivo com isto ´e chamar aten¸c˜ao para a importˆancia da generalidade das constru¸co˜es no ambiente. Isto ´e, estas devem corresponder exatamente `as condi¸co˜es estabelecidas nos enunciados dos problemas, sem propriedades que tornem os objetos representados mais particulares ou mais gerais. Por exemplo, a constru¸c˜ao feita na atividade 12 n˜ao pode gerar apenas trap´ezios is´osceles, por um lado, nem quadril´ateros que deixem de ser trap´ezios, por outro – deve ser constru´ıdo um trap´ezio gen´erico. Portanto, a u ´nica suposi¸c˜ao que pode ser usada ´e o paralelismo das bases. A propriedade dinˆamica do ambiente ajuda a verificar a generalidade dessa constru¸c˜ao, uma vez que as altera¸co˜es sofridas pelo pol´ıgono podem ser observadas quando seus v´ertices s˜ao arrastados. Um aspecto importante no desenvolvimento do pensamento dedutivo em Matem´atica ´e a compreens˜ao de que, em uma demonstra¸c˜ao n˜ao podem ser usadas suposi¸co˜es diferentes daquelas estabelecidas pelas hip´oteses dadas. Quando fazemos uma representa¸c˜ao est´atica (isto ´e, em papel e l´apis) para um objeto geom´etrico, somos quase que inevitavelmente obrigados a incorporar na representa¸c˜ao caracter´ısticas mais particulares que as hip´oteses dadas. Por exemplo, quando temos a inten¸c˜ao de desenhar um triˆangulo qualquer, quase sempre representamos nosso triˆangulo com base na posi¸c˜ao “horizontal” e todos os ˆangulos agudos. Em alguns casos, as particulariza¸co˜es nas representa¸co˜es podem levar a particulariza¸co˜es indevidas nos argumentos matem´aticos. Por outro lado, o uso de representa¸co˜es dinˆamicas, especialmente por meio da ferramenta de arrastar, pode ajudar a tornar mais evidente o fato de que

ˆ 4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINAMICA

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devemos pensar em uma figura como uma representa¸c˜ ao gen´ erica, que incorpora todas as rela¸co ˜es e propriedades comuns ` a classe de objetos matem´ aticos representada. Um dos objetivos da atividade 13, especialmente nos ´ıtens 13e e 13f, ´e explorar a rela¸c˜ao entre a generalidade das representa¸co˜es e a generalidade dos argumentos matem´aticos. Na atividade 14, a constru¸c˜ao ´e v´alida em geral se a n˜ao intercepta C. De fato (figura 4.3, `a esquerda), pelo caso lado-ˆangulo-lado de congruˆencia de triˆangulos, temos que ACM ≡ OCM , logo AM ≡ OM . Como, por constru¸c˜ao OS = P A = r, ent˜ao M S ≡ M P . Da´ı, decorre o fato de o c´ırculo de centro M e raio M S = M P ´e tangente a C e a a (por que?). Analogamente (figura 4.3, `a direita), temos que BDN ≡ ODN , logo BN ≡ ON , Como, por constru¸c˜ao OS = P A = r, ent˜ao N T ≡ N P . Segue que o c´ırculo de centro N e raio N T = N P ´e tangente a C e a a (por que?).

Figura 4.3: Constru¸c˜ao dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, passando por um ponto P ∈ a fixado, no caso a exterior a C. Se a ´e secante a C, a constru¸c˜ao vale, a n˜ao ser no caso em que P est´a sobre o c´ırculo C. Se P 6∈ C, a justificativa da constru¸c˜ao vem das congruˆencias de triˆangulos ACM ≡ OCM e BDN ≡ ODN , como acima (figura 4.4). Entretanto, no caso em que P ∈ C, temos que OP = r. Como al´em disso, por constru¸c˜ao, P A = P B = r, ent˜ao, P A ≡ OP e P B ≡ OP . Portanto, P est´a nas mediatrizes dos segmentos P A e P B, logo P ´e o ponto de interse¸c˜ao destas mediatrizes com a reta a. Por isso, M e N coincidir˜ao com P . Assim, n˜ao ´e poss´ıvel construir os c´ırculos tangentes. De fato, neste caso o problema n˜ao tem solu¸c˜ao, isto ´e, n˜ao existe nenhum c´ırculo tangente a C e a a, passando por P .

Figura 4.4: Constru¸c˜ao dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, passando por um ponto P ∈ a fixado, no caso a secante a C.

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ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

Finalmente, vejamos o que acontece se a ´e tangente a C. Se a 6∈ C, podemos repetir a constru¸c˜ao, por´em uma das mediatrizes tra¸cadas ´e paralela a a (figura 4.5). Portanto, s´o conseguimos obter um c´ırculo tangente a C e a a. De fato, o problema tem uma u ´nica solu¸c˜ao. No caso em que P ∈ C (isto ´e, P ´e o pr´oprio ponto de tangˆencia entre C e a), ambas as mediatrizes seriam paralelas a a. Portanto, n˜ao conseguir´ıamos construir nenhum c´ırculo tangente. De fato, neste caso, o problema tem infinitas solu¸co˜es, isto ´e, existem infinitos c´ırculos tangentes a C e a a, passando por P .

Figura 4.5: Constru¸c˜ao dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, passando por um ponto P ∈ a fixado, no caso a tangente a C. A tabela 4.1 resume o n´umero de solu¸co˜es do problema proposto na atividade 14, para todos os casos poss´ıveis. Existem v´arios outros problemas envolvendo tangˆencia a objetos geom´etricos, cuja diversidade de solu¸co˜es torna a investiga¸c˜ao enriquecedora. Nestes casos, os ambientes de geometria dinˆ amica podem dar um suporte importante ` as explora¸co ˜es dos aluno, desde que estas sejam acompanhadas dos devidos argumentos matem´ aticos. n´ umero de solu¸co ˜es P 6∈ C P ∈ C a exterior a C 2 — a secante a C 2 0 a tangente a C 1 ∞ Tabela 4.1: N´umero de solu¸co˜es do problema de constru¸c˜ao dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, passando por um ponto P ∈ a fixado. Neste sentido, o item 14f exemplifica uma situa¸c˜ao em que a dinˆamica do ambiente torna evidente a importˆancia de cada escolha feita em uma constru¸c˜ao – ou, em outras palavras, a importˆ ancia de precis˜ ao com que cada objeto ´ e definido na generalidade de um argumento matem´ atico. Com a “pequena” altera¸c˜ao proposta na constru¸c˜ao, observamos que esta n˜ao se preserva para o caso em que a reta a ´e secante a C, pois um dos c´ırculos constru´ıdos passa a ser tangente apenas a a, mas n˜ao a C (figura 4.6). Como entender por que isto ocorre? Observe que, a diferen¸ca fundamental entre as constru¸co˜es propostas nos ´ıtens 14b e 14f est´a na defini¸c˜ao dos raios dos c´ırculos tangentes: estes s˜ao definidos como M P e N P em 14b, e como M S

ˆ 4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINAMICA

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e N T em 14f. Os pontos S e T , por sua vez, s˜ao definidos pelas interse¸co˜es entre a reta OM e C e entre a reta ON e C. Por´em, cada uma destas retas possui dois pontos de interse¸c˜ao com C, mas somente um de cada dois s˜ao os pontos de tangˆencia procurados. Portanto, em 14f o raio dos c´ırculos constru´ıdos s˜ao definidos tendo como base n˜ao os pontos de tangˆencia, mas sim pontos de C que podem ou n˜ao coincidir com os pontos de tangˆencia. Por isso, a constru¸c˜ao n˜ao ´e est´avel, ou seja quando os elementos s˜ao movidos, os c´ırculos constru´ıdos podem deixar de ser tangentes.

Figura 4.6: Por que a constru¸c˜ao n˜ao se preserva? Desta forma, a explora¸c˜ao no ambiente de geometria dinˆamica de uma escolha inadequada (pois n˜ao vale para todos os casos que a constru¸c˜ao deve contemplar) permite o aprofundamento da compreens˜ao da pr´opria constru¸c˜ao geom´etrica e dos conceitos matem´aticos envolvidos. Sem o recurso dinˆamico do ambiente, a diferen¸ca entre as escolhas e suas consequˆencias para a constru¸c˜ao poderiam facilmente passar despercebidas. Portanto, como nas atividades 10 e 11, a incerteza que esta situa¸c˜ao pode causar nos alunos pode ser aproveitada pelo professor para motivar a explora¸c˜ao matem´atica de aspectos pouco evidentes do problema. A atividade 15 explora a ideia de determinar a ´area de uma figura geom´etrica por meio de composi¸c˜ao e decomposi¸c˜ao em figuras mais simples. Na matem´atica grega, estas eram ideias fundamentais na abordagem dos problemas de quadraturas, expressas por duas das no¸co˜es comuns (ou axiomas) enunciadas por Euclides: Se iguais s˜ao somados a iguais, ent˜ao os todos s˜ao iguais. Se iguais s˜ao subtra´ıdos de iguais, ent˜ao os restos s˜ao iguais. No ensino b´asico, a abordagem de ´areas (e tamb´em de volumes) frequentemente reduz-se a um repert´orio de f´ormulas, apresentadas sem justificativas, que devem ser memorizadas pelos alunos. Ironicamente, isto faz com que a abordagem de geometria na escola seja mais alg´ebrica ou num´erica do que geom´etrica! Em geral, os alunos tˆem pouca oportunidade de explorar rela¸co˜es e propriedades geom´etricas em um contexto puramente geom´etrico, antes da apresenta¸c˜ao de f´ormulas. Por exemplo, ´e fundamental para a aprendizagem da no¸c˜ao de ´area explor´a-la e percebˆe-la antes de mais nada como um atributo de natureza geom´etrica das figuras planas, ao qual, eventualmente, podem-se atribuir medidas num´ericas (uma vez fixada uma unidade) e que – em certos casos muito particulares – pode ser representado por f´ormulas alg´ebricas. Assim, o resgate da abordagem de ´areas por composi¸c˜ao e decomposi¸c˜ao ´e muito importante, e os ambientes de geometria dinˆamica podem ser grande ajuda

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ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

em atividades desse tipo. No caso da atividade 15, a ideia ´e decompor o pent´agono em triˆangulos (figura 4.7) e usar equivalˆencias de ´areas dos triˆangulos para obter a quadrado com mesmo ´area que o pent´agono (figura 4.8).

Figura 4.7: Um pent´agono decomposto em triˆangulos.

Figura 4.8: Um retˆangulo com mesma ´area de um triˆangulo dado; um quadrado com mesma ´area de um retˆangulo dado; e um quadrado cuja ´area ´e a soma de dois quadrados dados. Na atividade 16, a ideia ´e usar o fato de que, uma vez que as homotetias preservar ˆangulos, em particular, preservam paralelismo (figura 4.9). O ambiente de geometria dinˆamica oferece uma representa¸c˜ao mais concreta da transforma¸c˜ao: os alunos podem efetivamente ver e manipular sua a¸c˜ ao em figuras geom´ etricas.

Figura 4.9: Aplicando uma transforma¸c˜ao de homotetia para resolver uma constru¸c˜ao geom´etrica.

˜ GEOMETRICA ´ 4.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

85

O encaminhamento da atividade 17 ´e inspirado na abordagem de P´olya 1 para a resolu¸c˜ao de problemas. A estrat´egia empregada para resolver um problema relativamente dif´ıcil ´e pensar primeiro em um problema semelhante, com condi¸co˜es mais simples. Por sua pr´opria natureza, este tipo de estrat´egia envolve a investiga¸c˜ao livre de diversos casos e, possivelmente, a formula¸c˜ao e verifica¸c˜ao de diversas conjecturas intermedi´arias. Para esse processo, os ambientes de geometria dinˆamica podem ser de grande ajuda. Atividades 18. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 10 a 17. (a) (b) (c) (d) (e)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel do ambiente de geometria dinˆamica no desenvolvimento das atividades? Que quest˜oes chave vocˆe proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinˆamica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)? (f) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

19. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 10 a 17, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

4.2

Aprofundando a Explora¸c˜ ao Geom´ etrica

Existem incont´aveis maneiras de aproveitar os recursos dos ambientes de geometria dinˆamica no ensino. Na se¸c˜ao anterior, selecionamos algumas atividades como exemplos, com o objetivo principal de discutir alguns aspectos relevantes para o planejamento da abordagem de geometria euclidiana plana com apoio desses ambientes. Nesta se¸c˜ao, apresentamos mais algumas sugest˜oes de atividades, enfocando conte´udos um pouco mais avan¸cados.

Lugares Geom´ etricos A maior parte dos ambientes de geometria dinˆamica disp˜oem de ferramentas de lugar geom´etrico 2 ou rastro, que geram representa¸co˜es geom´etricas para o conjunto descrito por um ou mais pontos de uma constru¸c˜ao, quando um de seus elementos ´e variado. Essas ferramentas acrescentam aos recursos dinˆ amicos de arrastar, os registros geom´ etricos das varia¸co ˜es consequentes. Isto ´e, al´em de observar essas varia¸co˜es, pode-se obter um registro concreto para elas. Desta forma, ´e poss´ıvel revelar novas rela¸co˜es entre os elementos de uma constru¸c˜ao (que n˜ao s˜ao percebidas em uma primeira an´alise), 1

Gy¨ orgy P´ olya (1887-1985) foi um matem´atico h´ ungaro. Al´em de ter contribu´ıdo em diversos campos da pesquisa em Matem´atica, seu importante trabalho em Ensino de Matem´atica tornou-se uma referˆencia para a pesquisa em resolu¸c˜ao de problemas. 2 Do ponto de vista matem´atico, o termo lugar geom´etrico nada mais ´e que um sinˆ onimo do conceito de conjunto, empregado no contexto particular da geometria plana ou espacial. Alguns autores criticam o uso do termo, argumentando que isto pode causar a impress˜ao de que se tratam de conceitos matem´aticos diferentes. Neste texto, optamos por manter o termo lugar geom´etrico, n˜ao apenas por ele ser usado na maioria dos softwares de geometria dinˆamica, como tamb´em por julgar que, do ponto de vista pedag´ ogico, seu uso enfatiza a ideia de definir conjunto de pontos do plano que compartilham uma propriedade em comum.

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

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visualizar os lugares geom´etricos descritos pela varia¸c˜ao desses elementos e explorar suas propriedades – levando a resultados `as vezes surpreendentes. As atividades 1 e 2 a seguir apresentam alguns exemplos de explora¸c˜ao dessas ferramentas. Atividades 1. O objetivo desta atividade ´e utilizar a ferramenta de lugar geom´etrico do ambiente de geometria dinˆamica para construir a imagem de um objeto por uma transforma¸c˜ao no plano. Neste caso, usamos o exemplo da constru¸c˜ao da imagem de um c´ırculo por uma homotetia. Considere um ponto H e um n´umero real k > 0 fixados (por exemplo, tome k = 1, 5). Construa um c´ırculo C, de centro O e raio r > 0 qualquer (considere inicialmente H exterior a C). Marque um ponto P sobre C. Construa o ponto P 0 na reta que cont´em H e P , tal que P ∈ HP 0 e: HP 0 = k. HP (a) Temos que P 0 ´e a imagem de P pela homotetia de centro H e raz˜ao k. Justifique esta afirma¸c˜ao. (b) Arraste o ponto P ao longo do c´ırculo C e observe o comportamento de P 0 . O que vocˆe verifica? (c) Use os recursos de ambiente para tra¸car o lugar geom´etrico de P 0 quando P percorre C. Este lugar geom´etrico corresponde `a imagem de C pela homotetia de centro H e raz˜ao k. Mostre que este lugar geom´etrico tamb´em ´e um c´ırculo. (d) Qual ´e a medida do raio do c´ırculo constru´ıdo no item 1c? Como se pode construir o centro desse c´ırculo? (e) Se construirmos outra figura geom´etrica, como por exemplo um quadrado, qual seria a imagem dessa figura pela homotetia? (f) Mova o ponto O at´e que H fique interior a C. Em seguida, mova O at´e que ele coincida com H. Justifique matematicamente o que vocˆe observa. (g) Agora, repita toda a constru¸c˜ao acima, alterando a raz˜ao de homotetia k para um n´umero menor que 1 (tome, por exemplo, k = 0, 5). Justifique matematicamente o que vocˆe observa. 2. Aproveite as telas que vocˆe construiu na atividade 14 da se¸c˜ao 4.1 para tra¸car os lugares geom´etricos dos centros dos c´ırculos simultaneamente tangentes a uma reta e um c´ırculo dados. (a) Para isso, use o recurso do ambiente geometria dinˆamica para gerar os lugares geom´etricos dos centros dos c´ırculos tangentes ao c´ırculo C e `a reta a, quando o ponto P varia sobre a. Considere os casos: a exterior a C, a secante a C e a tangente a C. (b) Que tipo de subconjuntos dos planos s˜ao esses lugares geom´etricos? Justifique sua respostas com argumentos matem´aticos. As ferramentas de lugar geom´etrico e rastro dos ambientes de geometria dinˆamica propiciam um novo n´ıvel de an´alise das constru¸co˜es geom´etricas. Como exploramos em diversas situa¸co˜es na se¸c˜ao anterior, ferramentas como a de arrastar permitem observar de forma dinˆamica as altera¸co˜es em uma constru¸c˜ao quando um de seus elementos varia. As ferramentas de lugar geom´etrico acrescentam a esse recurso a possibilidade de gerar registros concretos de tais altera¸co˜es. Esses registros podem ent˜ao ser percebidos e estudados como objetos geom´etricos em si – cujas altera¸co ˜es tamb´ em podem ser

˜ GEOMETRICA ´ 4.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

87

observadas dinamicamente de acordo com a varia¸c˜ ao de elementos da constru¸c˜ ao. Assim, ´ e poss´ıvel analisar propriedades comuns a um ou mais pontos de uma constru¸c˜ ao geom´ etrica e suas rela¸co ˜es com a varia¸c˜ ao das condi¸co ˜es iniciais da constru¸c˜ ao, do ponto de vista dos subconjuntos do plano euclidiano formados por esses pontos. Por exemplo, na atividade 1, pode-se construir primeiro a imagem pela transforma¸c˜ao de homotetia de um ponto P fixado no c´ırculo C. Em seguida, pode-se construir o conjunto formado pelas imagens de todos os pontos P ∈ C, isto ´e, a imagem de C (figura 4.10). Em em segundo n´ıvel de an´alise, pode-se observar o que acontece com esse conjunto imagem quando s˜ao alteradas as condi¸co˜es iniciais da constru¸c˜ao, tais como a posi¸c˜ao relativa entre o centro de homotetia e o centro do c´ırculo (figura 4.11), ou a raz˜ao de homotetia (figura 4.12).

Figura 4.10: A imagem de um c´ırculo por uma transforma¸c˜ao de homotetia.

Figura 4.11: O que acontece quando a posi¸c˜ao relativa entre o centro de homotetia e o centro do c´ırculo ´e alterada.

Figura 4.12: O que acontece quando a raz˜ao de homotetia ´e alterada.

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ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

Na atividade 2, no caso em que a ´e exterior a C, a visualiza¸c˜ao no ambiente de geometria dinˆamica sugere que o lugar geom´etrico dos centros dos c´ırculos simultaneamente tangentes a C e a a ´e uni˜ao de duas par´abolas (figura 4.13). Para provar matematicamente este fato, observamos que um ponto X no plano ´e centro de um c´ırculo simultaneamente tangente a C e a a se, e somente se, d(X, O) = d(X, a) + r (este ´e o caso do ponto M na figura) ou d(X, O) = d(X, a) − r (este ´e o caso do ponto N na figura). Assim, essas par´abolas tˆem focos em O e diretrizes nas retas paralelas a a que distam r unidades de a.

Figura 4.13: O lugar geom´etrico dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, no caso a exterior a C. No caso em que a ´e secante a C (figura 4.14), a posi¸c˜ao de uma das par´abolas inverte-se. O lugar geom´etrico ´e formado pelas duas par´abolas, exclu´ıdos os pontos de interse¸c˜ao entre C e a. De fato, o argumento acima continua v´alido, mas esses pontos n˜ao s˜ao centros de nenhum c´ırculo tangente a C e a a. Analogamente, no caso em que a ´e tangente a C (figura 4.15), o lugar geom´etrico ´e formado por uma u ´nica par´abola, da qual ´e exclu´ıdo o (´unico) ponto de interse¸c˜ao entre C e a.

Figura 4.14: O lugar geom´etrico dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, no caso a secante a C.

˜ GEOMETRICA ´ 4.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

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Figura 4.15: O lugar geom´etrico dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, no caso a tangente a C. Atividades 3. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 e 2. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel do ambiente de geometria dinˆamica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinˆamica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)? (e) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

4. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 e 2, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

Geometria Espacial Podemos empregar representa¸co˜es em geometria dinˆamica para a geometria especial da mesma forma que fazemos quando usamos papel e l´apis: usamos representa¸co˜es planas para representar objetos tridimensionais. Assim, podemos aproveitar os recursos e funcionalidades dos ambientes de geometria dinˆamica para explorar o espa¸co, assim como fazemos com a geometria plana, como discutimos na se¸c˜ao anterior. No caso da geometria especial, essas funcionalidades permitem alterar o ponto de vista de observa¸c˜ao de um objeto tridimensional de forma dinˆamica, contribuindo com a explora¸c˜ao do espa¸co e com o desenvolvimento da visualiza¸c˜ao espacial. Entretanto, ´e importante lembrar sempre que ainda lidamos com representa¸co˜es planas para objetos tridimensionais. Esta limita¸c˜ao na forma de representar ´e sem d´uvida um obst´aculo para o ensino de geometria espacial, que n˜ao ´e sanado pelo uso de ambientes de geometria dinˆamica. Da que maneira que fazemos esbo¸cos de objetos tridimensionais em papel e l´apis, ao construir representa¸co˜es para desses

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

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objetos em geometria dinˆamica, buscamos retratar aspectos relacionados `a visualiza¸c˜ao, mas abrimos m˜ao da preserva¸c˜ao das propriedades m´etricas. Por exemplo, a representa¸c˜ao do cubo da atividade 6 deve ser de tal forma que os movimentos no ambiente n˜ao distor¸cam as interse¸co˜es entre arestas e faces. Poder´ıamos obter representa¸co˜es um pouco mais precisas usando, por exemplo, conceitos da geometria projetiva. Por´em, nas atividades a seguir, optamos por propor representa¸co˜es simples, respeitando principalmente as rela¸co˜es de incidˆencia e paralelismo entre os elementos, sem levar em conta as propriedades m´etricas dos objetos originais. Acreditamos que esta op¸c˜ao ´e suficiente para os objetos pedag´ogicos das atividades. Atividades 5. Seja ABCD um tetraedro regular. Considere R e S os pontos m´edios de BC e de AD, respectivamente. Utilize o ambiente de geometria dinˆamica para investigar se as afirma¸co˜es a seguir s˜ao verdadeiras ou falsas. Dˆe uma justificativa formal para cada um de suas conclus˜oes. (a) (b) (c) (d) (e)

O O O O O

segmento AR ´e altura do triˆangulo ABC. segmento RS ´e altura do triˆangulo ARD. segmento RS ´e mediana do triˆangulo BSC. triˆangulo BSC ´e is´osceles. triˆangulo ARD ´e equil´atero.

6. (Adaptado de Prov˜ao/2000) Considere um cubo, em que CC 0 ´e uma aresta e ABCD e A0 B 0 C 0 D 0 s˜ao faces opostas. O plano que cont´em o v´ertice C 0 e os pontos m´edios das arestas AB e AD determina no cubo uma se¸c˜ao. (a) Ent˜ao, essa se¸c˜ao ´e um: i. triˆangulo is´osceles; ii. triˆangulo retˆangulo; iii. quadril´atero; iv. pent´agono; v. hex´agono. Justifique sua resposta.

˜ GEOMETRICA ´ 4.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

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(b) Construa uma representa¸c˜ao para este cubo e a se¸c˜ao em um ambiente de geometria dinˆamica. Examine novamente a resposta do item 6a? (c) Como o ambiente de geometria dinˆamica ajudo a responder 6a? Como j´a observamos, as representa¸co˜es para objetos tridimensionais nas atividades propostas devem respeitar principalmente a incidˆencia e o paralelismo entre os elementos. Por exemplo, para construir o cubo da atividade 6a, podemos partir do quadrado frontal BCB 0 C 0 e construir as demais arestas de forma que o paralelismo entre as demais arestas seja respeitado. Assim, para que a dinˆamica da constru¸c˜ao preserve a visualiza¸c˜ao do objeto geom´etrico tridimensional, podemos tomar como base as seguintes rela¸co˜es espaciais (figura 4.16): • A reta determinada pelos pontos M e N est´a contida no plano superior ABCD. Portanto, o ponto I1 , de interse¸c˜ao entre as retas M N e BC pertence ao mesmo plano. • Como a reta BC tamb´em est´a contida no plano BCB 0 C 0 , ent˜ao I1 tamb´em pertence a este plano. Assim, a reta determinada por I1 e C 0 est´a contida no plano BCB 0 C 0 e necessariamente intercepta a aresta BB 0 . Chamamos de R o ponto de interse¸c˜ao entre as retas I1 C 0 e BB 0 . • Como I1 pertence `a reta M N (por constru¸c˜ao) e esta reta est´a contida no plano C 0 M N , ent˜ao I1 pertence a este plano. Como C 0 tamb´em pertence ao plano C 0 M N , ent˜ao a reta I1 C 0 est´a contida neste plano. Isto garante que o ponto R pertence ao plano C 0 M N . • Analogamente, tomamos o ponto I2 , de interse¸c˜ao entre as retas M N e CD, definimos S o ponto de interse¸c˜ao entre as retas I2 C 0 e DD 0 , e temos a garantia de que S pertence ao plano C 0M N .

Figura 4.16: Representando de um objeto tridimensional em geometria dinˆamica.

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

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Com esta constru¸c˜ao, garantimos que os pontos C 0 , M , N , R e S, que s˜ao os v´ertices do pent´agono s˜ao, de fato, coplanares. Experimente movimentar os pontos livres da constru¸c˜ao do cubo. Vocˆe dever´a verificar que, apesar de qualquer deforma¸c˜ao visual (ou mudan¸ca do ponto de vista) que o movimento possa produzir na representa¸c˜ao do cubo, sempre teremos a imagem de um pent´agono (figura 4.17). Observe ainda que existe uma posi¸c˜ao que o pent´agono ´e visto como um segmento de reta. O que isto significa?

Figura 4.17: Movimentando um objeto tridimensional em geometria dinˆamica. Atividades 7. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 5 e 6. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel do ambiente de geometria dinˆamica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinˆamica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)? (e) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

8. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 5 e 6, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

Haberdasher’s Puzzle Existem diversos quebra-cabe¸cas matem´aticos que podem ser usados para a explora¸c˜ao l´udica de rela¸co˜es entre figuras geom´etricas bidimensionais e tridimensionais. Alguns desses quebra-cabe¸cas podem ter pe¸cas suas constru´ıdas em ambientes de geometria dinˆamica. Apresentamos a seguir uma proposta de uso do GeoGebra para explorar a dinˆamica de um quebracabe¸cas geom´etrico criado por Henry Dudeney3 em 1902: o Haberdasher’s Puzzle. Este quebra-cabe¸ca consiste em fazer cortes retil´ıneos em um triˆangulo equil´atero para montar um retˆangulo com os peda¸cos recortados (figura 4.18). 3

Henry Ernest Dudeney (1857-1930) foi um matem´atico inglˆes autor de diversos jogos e quebra-cabe¸cas matem´aticos.

˜ GEOMETRICA ´ 4.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

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[foto:http://es.wikipedia.org/wiki/Henry Dudeney]

Figura 4.18: Ilustra¸c˜ao do Haberdasher’s Puzzle. No Haberdasher’s Puzzle, para se obter peda¸cos com quatro ˆangulos retos compat´ıveis com a montagem de um retˆangulo s˜ao suficientes trˆes cortes retil´ıneos. Esses cortes dividem o triˆangulo equil´atero em trˆes peda¸cos quadrangulares e um peda¸co triangular: • o primeiro corte deve partir de um ponto F na base do triˆangulo equil´atero, a uma distˆancia x (menor do que a metade do lado do triˆangulo) de um dos v´ertices, e chegar no ponto m´edio do lado oposto a este v´ertice; • o segundo corte deve ser perpendicular ao primeiro corte e partir de um segundo ponto G na base do triˆangulo equil´atero, a uma distˆancia do primeiro ponto igual `a metade do lado do triˆangulo; • o terceiro corte tamb´em deve ser perpendicular ao primeiro corte a partir do ponto m´edio E do u ´nico lado do triˆangulo equil´atero que n˜ao foi seccionado pelos outros dois cortes. Para montar o quadrado basta fixar o primeiro peda¸co quadrangular, dar um giro de 180 ◦ nos outros dois peda¸cos quadrangulares e transladar o peda¸co triangular. A seguir apresentamos uma sequˆencia de express˜oes (figura 4.2) que, ap´os digitadas no campo de Entrada do GeoGebra, produzem o Haberdasher’s Puzzle em geometria dinˆamica (figura 4.19). Nesta constru¸c˜ao, toda a geometria dinˆamica do Haberdasher’s Puzzle ´e determinada pela posi¸c˜ao do ponto F , que pode arrastado ao longo do lado AB do triˆangulo equil´atero, entre o v´ertice A e o ponto m´edio deste lado. Os pontos D e F s˜ao os m´edios dos lados BC e CA, respectivamente. O ponto G se move de forma que F G = 21 AB, e os pontos H e I se movem de forma que os segmentos GH e EI sejam ambos perpendiculares a F D. Os peda¸cos do triˆangulo ficam reposicionados, numa configura¸c˜ao retangular II 0 LH 0 que depende da distˆancia x do ponto F ao v´ertice A. Com a dinˆamica do Haberdasher’s Puzzle, podemos perceber que ´e poss´ıvel encontrar uma posi¸c˜ao do ponto F de tal forma que II 0 LH 0 seja um quadrado. Assim, ´e natural propor o seguinte problema. Qual ´e a distˆancia x do ponto F ao v´ertice A que corresponde a configura¸c˜ao quadrada na geometria dinˆamica do Haberdasher’s Puzzle? Se a pergunta acima fosse de m´ultipla escolha provavelmente a alternativa x = 14 AB seria a mais escolhida. Por´em, por mais prov´avel que se pare¸ca, essa alternativa n˜ao ´e a correta. A atividade 9 a seguir fornece um roteiro para encontrar a resposta correta para esse problema.

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

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1. A = (0, 0) 2. B = (6, 0) 3. C = girar[B, 60◦ , A] Observa¸c˜ao: o s´ımbolo Entrada.

◦

da unidade graus deve ser selecionado na caixa de escolha logo ao lado do campo

4. a = Segmento[B, C] 5. b = Segmento[A, C] 6. c = Segmento[A, B] Observa¸c˜ao: desabilitar a exibi¸c˜ao dos r´ otulos dos segmentos a, b e c.

7. D = PontoM´edio[B, C] 8. E = PontoM´edio[A, C] 9. F = Ponto[Segmento[A, PontoM´edio[A, B]]] Observa¸c˜ao: provavelmente esse ponto ser´a criado sobre o v´ertice A: movimente-o para um lugar pr´ oximo a este v´ertice.

10. G = F + Vetor[A, B]/2 11. corte1 = Segmento[F, D] 12. H = Interse¸ca˜o[corte1, Perpendicular[G, corte1]] 13. corte2 = Segmento[G, H] 14. I = Interse¸ca˜o[corte1, Perpendicular[E, corte1]] 15. corte3 = Segmento[E, I] Observa¸c˜ao: desabilitar a exibi¸c˜ao dos r´ otulos dos segmentos corte1, corte2 e corte3.

16. peda¸co1 = Pol´ıgono[C, D, I, E] Observa¸c˜ao: desabilitar a exibi¸c˜ao dos r´ otulos dos segmentos criados.

17. peda¸co2 = Girar[Pol´ıgono[A, E, I, F ], 180 ◦ , E] Observa¸c˜ao: desabilitar a exibi¸c˜ao dos r´ otulos dos segmentos criados e dos pontos A 0 e E 0 .

18. peda¸co3 = Girar[Pol´ıgono[B, D, H, G], −180 ◦ , D]

Observa¸c˜ao: desabilitar a exibi¸c˜ao dos r´ otulos dos segmentos criados e dos pontos B 0 e D0 .

19. peda¸co4 = Transladar[Transladar[Pol´ıgono[F, G, H], Vetor[F, C]], Vetor[F, A]] Observa¸c˜ao: desabilitar a exibi¸c˜ao dos r´ otulos dos segmentos e dos pontos criados.

Tabela 4.2: Constru¸c˜ao do Haberdasher’s Puzzle em geometria dinˆamica.

˜ GEOMETRICA ´ 4.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

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Figura 4.19: Geometria dinˆamica do Haberdasher’s Puzzle. Atividades 9. O objetivo desta atividade ´e determinar a medida da distˆancia x de tal forma que o retˆangulo formado no Haberdasher’s Puzzle seja um quadrado. (a) Mostre que a regi˜ao retangular formada ´e bem definida, isto ´e, os pontos F 0 , C e G0 est˜ao alinhados. (b) Mostre que o segundo e o terceiro cortes tˆem a mesma medida, ou seja, GH = EI. (c) Mostre que as medidas dos lados do retˆangulo formado s˜ao dadas pelo primeiro corte e pelo dobro do segundo corte, isto ´e, DF e 2 · GH. (d) Da equivalˆencia entre as ´areas do triˆangulo inicial e do retˆangulo formado, conclua que √ 3 2 DF · GH = · AB . 8 (e) Mostre que o retˆangulo formado ser´a um quadrado quando √ 4 3 · AB . DF = 2 (f) Das rela¸co˜es m´etricas do triˆangulo BF D, conclua que o retˆangulo formado ser´a um quadrado quando p √ 3− 4 3−3 x= · AB . 4 Observamos que o n´umero

p √ 4 3−3 ' 0, 25450761671624 . . . 4 ´e construt´ıvel com r´egua e compasso. 3−

10. Explore a geometria dinˆamica do Haberdasher’s Puzzle para um triˆangulo qualquer, refazendo sua constru¸c˜ao com C = (3, 5) e movimentando, al´em do ponto F , os pontos A, B e C. Fa¸ca conjecturas sobre as condi¸co˜es para a existˆencia de configura¸co˜es retangulares e quadradas. 11. Idealize uma sequˆencia did´atica com o Haberdasher’s Puzzle em uma aula de 50 minutos. Quais conceitos geom´etricos podem ser explorados? De que forma esses conceitos podem ser explorados?

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

96

4.3

Articulando Geometria e Fun¸co ˜es: Gr´ aficos Dinˆ amicos

Esta se¸c˜ao e a seguinte abordar˜ao o uso de ambientes de geometria dinˆamica no ensino de fun¸co˜es. Embora esses ambientes sejam mais largamente usados no ensino de geometria plana, seu uso tamb´em pode contribuir com aspectos importantes da aprendizagem de fun¸co˜es, n˜ ao apenas no que diz respeito ` as diferentes representa¸co ˜es de fun¸co ˜es e das rela¸co ˜es entre elas, como tamb´ em ao pr´ oprio conceito de fun¸c˜ ao. Al´em disso, as atividades envolvendo fun¸co˜es em ambientes de geometria dinˆamica promovem naturalmente a articula¸c˜ ao entre fun¸co ˜es e geometria – campos da Matem´atica que em geral s˜ao apresentados de forma estanque nos livros did´aticos e curr´ıculos do ensino b´asico. Tal articula¸c˜ao se d´a fundamentalmente em dois sentidos: por um lado, quando gr´ aficos de fun¸co ˜es reais s˜ ao constru´ıdos em geometria dinˆ amica, ´ e necess´ ario aplicar diversos conceitos da geometria plana; e por outro lado, os recursos dinˆ amicos dos ambientes permitem reconhecer e explorar concretamente rela¸co ˜es funcionais entre objetos geom´ etricos. Nesta se¸c˜ao, enfocaremos a constru¸c˜ao de gr´aficos de fun¸co˜es reais de uma vari´avel real em ambientes de geometria dinˆamica. A pr´opria constru¸c˜ao de gr´aficos em geometria dinˆamica ´e, por si s´o, um exerc´ıcio interessante, que mobiliza e articula diversos conceitos geom´etricos de fun¸co˜es. Al´em disso, ´e poss´ıvel explorar rela¸co˜es entre as propriedades alg´ebricas e o comportamento qualitativo de gr´aficos de fam´ılias de fun¸co˜es dependendo de parˆametros. Atividades dessa natureza com ambientes computacionais gr´aficos j´a foram discutidas no cap´ıtulo 3. No entanto, os ambientes de geometria dinˆamica acrescentam aos recursos gr´aficos usuais a possibilidade de controlar os valores num´ericos dos parˆametros por meio da ferramenta de arrastar, propiciando uma nova perspectiva de explora¸c˜ao de fun¸co˜es.

Dan¸ca com Gr´ aficos O software GeoGebra ´e concebido para integrar recursos geom´etricos e alg´ebricos em um s´o ambiente (da´ı vem o seu nome). Com isso, podemos facilmente gerar gr´aficos de fun¸co˜es reais elementares a partir de suas express˜oes alg´ebricas, como prop˜oe a atividade 1. Al´em disso, ´e poss´ıvel introduzir um ou mais parˆametros reais nos gr´aficos tra¸cados, gerando-se assim fam´ılias de fun¸co˜es reais, como prop˜oem as atividades 2 em diante. A varia¸c˜ao dinˆamica desses parˆametros modifica o gr´afico original da fun¸c˜ao em um movimento cont´ınuo, como em uma dan¸ca. Cada parˆametro, quando alterado dinamicamente, conduz o gr´afico nesta dan¸ca com um passo caracter´ıstico, em um movimento espec´ıfico. Neste baile das fun¸co˜es elementares, a aprendizagem dos conceitos envolvidos pode se tornar muito mais significativa com o aux´ılio da geometria dinˆamica. Atividades 1. Use o software GeoGebra para gerar gr´aficos de v´arias fun¸co˜es reais elementares `a sua escolha. Para isto, basta digitar as express˜oes alg´ebricas das fun¸co˜es no campo Entrada, como mostra a figura abaixo. Compare esta atividade com as que vocˆe realizou no cap´ıtulo 3. Vocˆe vˆe alguma vantagem no uso do ambiente de geometria dinˆamica?

2. Use agora o GeoGebra para representar fam´ılias de fun¸co˜es reais dependendo de parˆametros, por meio de gr´aficos dinˆamicos. Como exemplo, consideremos as fun¸co˜es f : R → R definidas por f (x) = a cos(b x + c), com a, b, c ∈ R. Exploraremos o movimento gr´afico de f , a partir da mudan¸ca dinˆamica nos valores dos parˆametros.

˜ ´ ˆ 4.3. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: GRAFICOS DINAMICOS

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(a) Primeiro, vocˆe dever´a definir os seletores de valores para os parˆametros a, b e c. Para definir cada um deles, escolha a op¸c˜ao Seletor na barra de ferramentas superior (como mostra a figura abaixo) e, em seguida, clique na ´area de trabalho para marcar a posi¸c˜ao em que o respectivo seletor aparecer´a. Depois, digite f (x) = a cos(b x + c) e, em seguida, g(x) = cos(x) no campo Entrada. Os valores dos parˆametros podem ser controlados arrastando os seletores que aparecem na tela. Assim, vocˆe poder´a observar as mudan¸cas no gr´afico dinˆamico, comparando-as com o gr´afico de g, que ´e fixado como referˆencia. (b) Que quest˜oes vocˆe pode propor aos seus alunos com esta atividade?

3. Como j´a comentamos, muitas das atividades com ambientes computacionais gr´aficos propostas no cap´ıtulo 3 tamb´em podem ser realizadas em geometria dinˆamica. Em alguns casos, os recursos dinˆamicos podem trazer vantagens pedag´ogicas a estas atividades. Por exemplo, repita a atividade 1 da se¸c˜ao 3.2 usando o ferramenta Seletor do GeoGebra para definir os parˆametros. Que vantagens e desvantagens pedag´ogicas vocˆe vˆe no uso do ambiente de geometria dinˆamica, em rela¸c˜ao ao ambiente gr´afico, para realizar esta atividade? 4. Crie um roteiro para ajudar seus alunos a responderem as quest˜oes propostas nas atividades 6 e 7 da se¸c˜ao 3.2, com apoio de um ambiente de geometria dinˆamica. 5. Crie um roteiro para ajudar seus alunos a responderem as quest˜oes propostas nas atividades 8 e 9 da se¸c˜ao 3.2, com apoio de um ambiente de geometria dinˆamica.

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ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA 6. Considere a fam´ılia de fun¸co˜es polinomiais h : R+ → R definida por h(x) = xk , com k ∈ R. Use o GeoGebra para criar um gr´afico dinˆamico representando essa fam´ılia. (a) Explique o comportamento dos gr´aficos, considerando os casos em que k < 0, 0 6 k < 1 e k > 1. (b) Vocˆe observar´a que para alguns valores de k o programa mostra um trecho do gr´afico para x < 0. Que valores s˜ao esses? Explique por que isso ocorre. 7. Considere a fam´ılia de fun¸co˜es polinomiais do terceiro grau p : R → R definida por p(x) = x (x − 1) (x − a), com a ∈ R. Use o GeoGebra para criar um gr´afico dinˆamico representando essa fam´ılia. (a) Varie a e observe as mudan¸cas no gr´afico de p. (b) Para que valores reais de a a fun¸c˜ao admite trˆes ra´ızes reais distintas? Quantas ra´ızes reais tem p para os demais valores de a? Justifique sua resposta. 8. Considere a fam´ılia de fun¸co˜es polinomiais do terceiro grau q : R → R definida por q(x) = x (x2 − a), com a ∈ R. Use o GeoGebra para criar um gr´afico dinˆamico representando essa fam´ılia. (a) Varie a e observe as mudan¸cas no gr´afico de p. (b) Para que valores reais de a a fun¸c˜ao admite trˆes ra´ızes reais distintas? Quantas ra´ızes reais tem p para os demais valores de a? Justifique sua resposta. (c) Vocˆe observar´a que, quando os valores positivos de a aumentam, o gr´afico parece adquirir o aspecto de uma reta. Por que isso ocorre?

A atividade 1 visa simplesmente `a familiariza¸c˜ao com os recursos de GeoGebra para o tra¸cado de gr´aficos de fun¸co˜es reais. Como o enunciado da atividade sugere, procure comparar o uso de ambientes gr´aficos com o uso de ambientes de geometria dinˆamica para gerar gr´aficos de fun¸co˜es reais elementares. As vantagens dos ambientes de geometria dinˆ amica no ensino de fun¸co ˜es reais tornam-se mais significativas quando seus recursos s˜ ao explorados para gerar gr´ aficos dinˆ amicos. Por exemplo, no caso da atividade 3, ´e poss´ıvel mover dinamicamente a par´abola e observar o movimento do v´ertice ao longo do lugar geom´etrico descrito por y = −2 x 2 + 3 (figura 4.20).

Figura 4.20: Gr´afico dinˆamico da fam´ılia de par´abolas y = 2 x 2 + b x + 3.

˜ ´ ˆ 4.3. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: GRAFICOS DINAMICOS

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Assim como na atividade 2, as atividades 4 e 5 envolvem a aplica¸c˜ao de transforma¸co˜es em gr´aficos de fun¸co˜es (figura 4.21). Como sabemos (ver cap´ıtulo 3): • os parˆametros aditivos determinam transla¸co˜es horizontais e verticais nos gr´aficos;

• os parˆametros multiplicativos determinam dilata¸co˜es horizontais e verticais nos gr´aficos. Com os recursos do ambiente de geometria dinˆamica, ´e poss´ıvel criar seletores para controlar os valores dos parˆametros por meio da ferramenta de arrastar, que permitem manipular dinamicamente e visualizar os efeitos das transforma¸co˜es de transla¸c˜ao e dilata¸c˜ao nos gr´aficos.

Figura 4.21: O efeito dinˆamico de transforma¸co˜es de transla¸c˜ao e dilata¸c˜ao em gr´aficos de fun¸co˜es reais. As atividades 6 a 8 exploram a varia¸c˜ao dinˆamica de parˆametros em fun¸co˜es polinomiais. De forma semelhante ao que j´a discutimos no cap´ıtulo 3, atividades desta natureza podem contribuir para a aprendizagem de fun¸co˜es reais em pelo menos dois aspectos fundamentais. Em primeiro lugar, os recursos do ambiente computacional permitem a explora¸c˜ ao das propriedades qualitativas das fun¸co ˜es, articulando representa¸co ˜es alg´ ebricas e gr´ aficas de forma dinˆ amica. Isto ´e, o aluno pode manipular dinamicamente os valores dos parˆametros e observar, ao mesmo tempo, as altera¸co˜es consequentes nos gr´aficos. Em segundo lugar, torna-se mais acess´ıvel o estudo de tipos de fun¸co˜es cuja abordagem no ensino b´asico apenas com recursos usuais seria dif´ıcil (tais como fun¸co˜es polinomiais de grau maior que 2). Este aspecto possibilita a expans˜ ao do repert´ orio de fun¸co ˜es reais familiares aos alunos – que muitas vezes s˜ao levados a desenvolver uma imagem bastante limitada, por terem sido apresentados apenas a fun¸co˜es polinomiais de grau menor ou igual a 2. Atividades 9. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 8. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel do ambiente de geometria dinˆamica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinˆamica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em compara¸c˜ao com abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais), e com ambientes gr´aficos simples (como aqueles discutidos no cap´ıtulo 3)? (e) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

10. Para cada um dos ´ıtens a seguir, elabore uma atividade usando gr´aficos dinˆamicos de fun¸co˜es dependendo de parˆametros, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 8, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona. Formule tamb´em uma sequˆencia did´atica para aplica¸c˜ao de cada uma das atividades que vocˆe elaborar em uma aula de 50 minutos. Especifique os objetivos, os conceitos matem´aticos explorados e de que maneiras esses conceitos podem ser explorados.

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ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA (a) fun¸co˜es polinomiais; (b) fun¸co˜es trigonom´etricas; (c) fun¸co˜es exponenciais e logar´ıtmicas.

Construindo Gr´ aficos Como Lugares Geom´ etricos Nesta se¸c˜ao, estamos enfocando a constru¸c˜ao de gr´aficos de fun¸co˜es reais em ambientes de geometria dinˆamica. At´e aqui, lan¸camos m˜ao, para este fim, dos recursos espec´ıficos incorporados no GeoGebra: eixos cartesianos, digita¸c˜ao direta de express˜oes alg´ebricas no campo Entrada, uso de Seletores para controlar valores de parˆametros (se quisermos usar gr´aficos dinˆamicos para representar fam´ılias de fun¸co˜es). Tais recursos n˜ao est˜ao dispon´ıveis em todos os softwares de geometria dinˆamica. Entretanto, mesmo naqueles que n˜ao os oferecem, tamb´em ´e poss´ıvel gerar gr´aficos de fun¸co˜es. Nesses casos, por´em, ´e preciso construir do in´ıcio toda a estrutura matem´atica necess´aria para representar esses gr´aficos – isto ´e, deve-se munir o plano euclidiano sint´etico com um sistema de coordenadas cartesianas. Evidentemente, quando o objetivo est´a em ensinar t´opicos espec´ıficos sobre fun¸co˜es reais e o comportamento de seus gr´aficos, n˜ao h´a motivo para desprezar os recursos do software que tornam seu estudo mais acess´ıvel. Por outro lado, o exerc´ıcio de construir um sistema de coordenadas cartesianas em um ambiente de geometria dinˆamica pode ser muito enriquecedor para a aprendizagem dos conceitos que fundamentam a geometria anal´ıtica. Por exemplo, ao se construir o sistema cartesiano, ´e necess´ario pensar em como estabelecer precisamente, com as ferramentas dispon´ıveis no software, a unidade linear, a orienta¸c˜ao dos eixos, sua perpendicularidade (se for o caso), e assim por diante. O pr´ oprio processo de constru¸c˜ ao ressalta a importˆ ancia te´ orica desses conceitos, que s˜ ao t˜ ao elementares que seu papel constituinte na teoria ´ e em geral esquecido. Al´em disso, uma vez estabelecido o sistema cartesiano, para construir o gr´afico de uma fun¸c˜ao, emprega-se basicamente a ferramenta de lugar geom´etrico do ambiente. O uso dessa ferramenta tem como base o pr´oprio conceito matem´atico de gr´afico: o lugar geom´etrico dos pontos do plano cartesiano cujas coordenadas verificam a lei de forma¸c˜ao da fun¸c˜ao. Em geral, os alunos aprendem tantos procedimentos para tra¸car gr´aficos em casos particulares, que essa no¸c˜ao fundamental fica em segundo plano. Em suma, quanto menos ferramentas prontas est˜ ao dispon´ıveis para a constru¸c˜ ao, mais conceitos matem´ aticos elementares s˜ ao mobilizados. Outro aspecto importante dessas constru¸co˜es ´e a integra¸c˜ao de diversos conceitos da geometria euclidiana no estudo de geometria anal´ıtica, fun¸co˜es reais e gr´aficos. Al´em da pr´opria id´eia de lugar geom´etrico s˜ao explorados os conceitos de paralelismo, perpendicularidade, raz˜ao entre medidas, transforma¸co˜es no plano (homotetias). Assim, ´e poss´ıvel explicitar na abordagem pedag´ogica as m´ultiplas rela¸co˜es de um mesmo conceito a diversos campos da Matem´atica, em lugar de atrel´a-lo a uma forma espec´ıfica de representa¸c˜ao. As atividades a seguir constituem um roteiro para a constru¸c˜ao de um sistema de coordenadas cartesianas e de gr´aficos de fun¸co˜es reais em ambientes de geometria dinˆamica que n˜ao possuem essas ferramentas espec´ıficas incorporadas. Ao longo das atividades, procuraremos ressaltar elementos geom´etricos e conceitos relacionados com cada constru¸c˜ao. Teremos como referˆencia o software Tabulæ. Esse roteiro ser´a organizado em trˆes etapas, mas ou menos independentes, a saber: • constru¸c˜ao do sistema de coordenadas cartesianas, a partir de um tela em branco (atividade 11);

• constru¸c˜ao de gr´aficos de fun¸co˜es reais como lugares geom´etricos, a partir de uma tela com sistema cartesiano previamente constru´ıdo (atividade 12); • defini¸c˜ao de parˆametros e constru¸c˜ao de gr´aficos dinˆamicos, representando fam´ılias de fun¸co˜es (atividade 13).

˜ ´ ˆ 4.3. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: GRAFICOS DINAMICOS

101

Atividades 11. (Adaptado de [27]) O roteiro a seguir visa `a constru¸c˜ao de um sistema de coordenadas cartesianas em geometria dinˆamica. 1. Construa uma reta livre de referˆencia (preferencialmente em posi¸c˜ao visualmente horizontal). Construa uma reta paralela e uma reta perpendicular `a reta de referˆencia. Chame essas duas retas de ox e oy, respectivamente. Chame de O o ponto de interse¸c˜ao entre ox e oy. Esconda a reta de referˆencia. 2. Marque um ponto Ux na reta ox, `a direita do ponto O. Construa um c´ırculo de centro O e raio OUx . Chame de Uy o ponto de interse¸c˜ao entre esse c´ırculo e a reta oy, que est´a acima do ponto O. Esconda o c´ırculo constru´ıdo. 3. Marque um ponto livre X sobre o eixo ox, e um ponto livre Y sobre o eixo oy. Use a OX OY ferramenta Raz˜ao por 3 pontos para definir as raz˜oes x = OU e y = OU . x

y

4. Trace as retas perpendiculares a ox passado por X e a oy passando por Y , e chame de P o ponto de interse¸c˜ao destas retas. Se quiser, vocˆe poder´a esconder essas retas em seguida.

(a) No primeiro passo, foi constru´ıda uma reta de referˆencia, que depois foi escondida. Qual ´e a vantagem de construir essa reta? Por que n˜ao construir diretamente os eixos horizontal e vertical? (b) No sistema cartesiano constru´ıdo, qual ´e o papel dos pontos U x e Uy ? OX OY (c) Qual ´e o significado das raz˜oes x = OU e y = OU calculadas? Arraste os pontos X e Y x y ao longo dos eixos e observe a varia¸c˜ao desses valores. (d) Observe que, a partir de certo ponto da constru¸c˜ao, passamos a usar a palavra eixo em lugar de reta. Por que esta palavra n˜ao foi usada desde o come¸co? (e) Arraste o ponto Ux ao longo do eixo horizontal, mantendo os pontos X e Y parados. Observe o que acontece com os valores de x e y enquanto vocˆe arrasta U x . Interprete esses resultados nos casos em que:

i. Ux est´a entre O e X; ii. X est´a entre O e Ux ; iii. O est´a entre X e Ux . (f) Suponha que vocˆe fa¸ca a seguinte altera¸c˜ao na constru¸c˜ao proposta: em lugar de marcar o ponto Uy como interse¸c˜ao do c´ırculo com o eixo oy, marque U y como um ponto livro nesse eixo. Assim, vocˆe poder´a mover os pontos Ux e Uy independentemente. Que diferen¸ca esta altera¸c˜ao representa no sistema de eixos constru´ıdo?

102

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

12. (Adaptado de [27]) O roteiro a seguir visa `a constru¸c˜ao do gr´afico de uma fun¸c˜ao real em geometria dinˆamica, a partir de um sistema de coordenadas cartesianas previamente constru´ıdo. Assim, comece com uma tela com um sistema de eixos cartesianos constru´ıdo. 1. Como na atividade anterior, marque um ponto livre X sobre o eixo ox, e use a ferramenta OX Raz˜ao por 3 pontos para definir a raz˜ao x = OU . x 2. Use a ferramenta Calculadora para inserir a express˜ao alg´ebrica da fun¸c˜ao cujo gr´afico vocˆe deseja tra¸car. Neste exemplo, tra¸camos o gr´afico de y = x 2 − 4x + 3. Para inserir a express˜ao na calculadora, vocˆe dever´a selecionar x na pr´opria tela e digitar os n´umeros e sinais no teclado da calculadora que aparecer´a na tela. Chame de y o valor gerado.

3. Para marcar o ponto Y no eixo vertical cuja ordenada ´e y = x 2 − 4x + 3, vocˆe dever´a usar a ferramenta Homotetia. Construa a imagem do ponto Uy pela homotetia de centro O e raz˜ao y. 4. Trace as retas perpendiculares a ox passado por X e a oy passando por Y , e chame de P o ponto de interse¸c˜ao destas retas. 5. Agora vocˆe poder´a representar o gr´afico de y = x2 − 4x + 3, usando as ferramentas Rastro de objetos ou Locus (lugar geom´etrico). Para usar a ferramenta Rastro de objetos, vocˆe dever´a marcar o ponto P e, em seguida, selecionar a ferramenta. Para usar a ferramenta Locus, vocˆe dever´a marcar o ponto P e, em seguida, selecionar a ferramenta. Para usar a ferramenta Locus, selecione a ferramenta e, em seguida marque os pontos P e X: com isso, o software representar´a o lugar geom´etrico de P quando X varia.

˜ ´ ˆ 4.3. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: GRAFICOS DINAMICOS

103

(a) Justifique o uso da transforma¸c˜ao de homotetia, incluindo a escolha de y e O como raz˜ao e centro de homotetia, para determinar o ponto no eixo oy que corresponde `a ordenada do ponto P . (b) Discuta como o uso das ferramentas Rastro e Locus nesta atividade pode contribuir com a aprendizagem do conceito de fun¸c˜ao. Compare o uso dessas duas ferramentas, do ponto de vista pedag´ogico. (c) Arraste o ponto Ux ao longo do eixo horizontal, mantendo os pontos X e Y parados. Observe e explique as mudan¸cas sofridas pelo gr´afico. (d) Explique por que a par´abola sempre passa pelo ponto OU x , quanto arrastamos os pontos X e Ux . Qual deve ser a rela¸c˜ao entre os segmentos OX e OUx para que o ponto P coincida com o outro ponto em que a par´abola intercepta o eixo horizontal? Justifique sua resposta. (e) Qual deve ser a rela¸c˜ao entre os segmentos OX e OUx para que o ponto P coincida com o v´ertice da par´abola? Justifique sua resposta. 13. (Adaptado de [27]) O roteiro a seguir visa `a constru¸c˜ao de um gr´afico dinˆamico para representar uma fam´ılia de fun¸co˜es reais dependendo de um ou mais parˆametros, a partir de um sistema de coordenadas cartesianas previamente constru´ıdo. Como na atividade anterior, comece com uma tela com um sistema de eixos cartesianos constru´ıdo. 1. Como nas atividades anteriores, comece marcando um ponto livre X sobre o eixo ox, e use OX a ferramenta Raz˜ao por 3 pontos para definir a raz˜ao x = OU . x 2. Para definir os parˆametros, vocˆe dever´a proceder de forma semelhante `a constru¸c˜ao das coordenadas x e y na atividade 11. Primeiro, trace uma reta r, sobre esta marque dois pontos Oa e Ua . Esta reta servir´a como eixo de varia¸c˜ao do parˆametro, e os pontos O a e Ua servir˜ao para marcar o zero e a unidade. Agora, marque um ponto livre A sobre a reta OA . r e use a ferramenta Raz˜ao por 3 pontos para definir a raz˜ao a = OU a Por meio desse procedimento, vocˆe poder´a definir quantos parˆametros quiser.

A partir da´ı, a constru¸c˜ao segue como a anterior. 3. Usar a ferramenta Calculadora para inserir uma express˜ao alg´ebrica. Neste exemplo, tra¸camos a fam´ılia de par´abolas y = a x2 + b x + c, com a, b, c ∈ R. Construa os parˆametros a, b e c. Para inser¸c˜ao na calculadora, selecione x, a, b e c na pr´opria tela. Chame de y o valor gerado.

104

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA 4. Use a ferramenta Homotetia para marcar o ponto Y no eixo vertical cuja ordenada ´e y = a x2 + b x + c. 5. Trace as retas perpendiculares a ox passado por X e a oy passando por Y , e chame de P o ponto de interse¸c˜ao destas retas. 6. Crie um gr´afico dinˆamico para representar a fam´ılia y = a x 2 + b x + c com a ferramenta Locus.

(a) Altere os valores dos parˆametros. Observe e explique as mudan¸cas no gr´afico. (b) Observe que nesta constru¸c˜ao n˜ao nos preocupamos em garantir que as unidades dos diferentes parˆametros fossem iguais. Ao definir mais de um parˆametro em uma constru¸c˜ao como esta, ´e necess´ario que haja algum tipo de rela¸c˜ao entre as unidades fixadas para cada um deles? Justifique sua resposta. (c) Compare esta atividade as anteriores desta se¸c˜ao, e com aquelas do cap´ıtulo 3 que envolvem fun¸co˜es dependendo de parˆametros. Discuta as vantagens e desvantagens pedag´ogicas. Observe que com a ferramenta Calculadora dispon´ıvel no Tabulæ, ´e poss´ıvel definir fun¸co˜es polinomiais, trigonom´etricas, exponenciais, logar´ıtmicas e combina¸co˜es destas. Procure pensar em atividades semelhantes abordando diferentes tipos de fun¸co˜es reais e compare-as com as desta se¸c˜ao e as do cap´ıtulo 3. Estes processos de constru¸c˜ao exercitam a compreens˜ao de conceitos sobre quais em geral n˜ao se reflete quando s˜ao empregados software com mais recursos prontos.

˜ ´ ˆ 4.3. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: GRAFICOS DINAMICOS

105

Por exemplo, os ´ıtens 11e, 11f e 12c tratam dos efeitos de mudan¸cas de coordenadas em pontos e em subconjuntos do plano cartesiano (no caso, gr´aficos de fun¸co˜es). Cabem algumas observa¸co˜es importantes a esse respeito. Nos ´ıtens 11e e 11f, arrastar os pontos U x e Uy corresponde a alterar as escalas dos eixos coordenados. Quando essas escalas s˜ao alteradas, a posi¸c˜ao de P permanece fixa, por´em os valores de suas coordenadas mudam. De fato, o ponto P ´e constru´ıdo de maneira independente dos pontos Ux e Uy , entretanto suas coordenadas x e y dependem de Ux e Uy , pois s˜ao definidas como raz˜oes: x=

OUx OX

y=

OUy OY

(4.1)

Assim, arrastar os pontos Ux e Uy corresponde a observar as altera¸co˜es dos valores das coordenadas de um ponto fixo, enquanto s˜ao aplicadas mudan¸cas no sistema de coordenadas do plano. No caso, as mudan¸cas de coordenadas em quest˜ao correspondem simplesmente a altera¸co˜es de escala, por´em essas n˜ao s˜ao as u ´nicas formas poss´ıveis de mudan¸cas de coordenadas no plano (ver atividade 15). Na atividade 12, como o objetivo n˜ao ´e construir pontos X e Y independentes, mas estabelecer uma dependˆencia funcional entre eles, a constru¸c˜ao ´e feita de forma diferente. As rela¸co˜es 4.1 tamb´em s˜ao verdadeiras, por´em a ordem da constru¸c˜ao ´e diferente. Para entender bem essas diferen¸cas e seus significados matem´aticos, vocˆe dever´a percorrer atentamente os passos da constru¸c˜ao. Exatamente como em 11, o ponto X ´e constru´ıdo de maneira independente de U x e Uy ; e, em seguida, a coordenada x ´e definida como raz˜ao entre OX e OUx . Entretanto, a diferen¸ca est´a na constru¸c˜ao da coordenada vertical: a coordenada y ´e definida primeiro, como fun¸c˜ao da coordenada x; e o ponto Y ´e constru´ıdo em seguida, como imagem de Uy pela homotetia de centro O e raz˜ao y. Assim, Y depende de y, que, por sua vez, ´e fun¸c˜ao de x. Isto ´e, o ponto Y e o valor de y n˜ao s˜ao arbitr´arios, e sim fun¸co˜es de y x. A rela¸c˜ao y = OU ´e v´alida, mas neste caso n˜ao ´e a defini¸c˜ao da coordenada y (como em 11), e OY sim uma consequˆencia da constru¸c˜ao do ponto Y como imagem por uma homotetia. Em consequˆencia dessa constru¸c˜ao, no item 12c, quanto Ux ´e arrastado, a posi¸c˜ao do ponto X permanece fixa, mas a de Y muda. Ou seja, quando as escalas s˜ao alteradas, tanto a posi¸c˜ao de P quanto os valores de suas coordenadas mudam. Al´em disso, em 12c, quando o ponto Ux ´e arrastado, o aspecto do gr´afico da fun¸c˜ao tamb´em se altera. Isto ocorre porque a equa¸c˜ao que define o lugar geom´etrico permanece fixa, enquanto a escala dos dois eixos ´e alterada. Ou seja, a par´abola visualizada permanece sendo o conjunto {(x, y) ∈ R2 | y = x2 − 4x + 3}, por´em a escala dos eixos muda. Portanto, arrastar o ponto U x corresponde a ampliar ou reduzir a escala de visualiza¸c˜ao deste conjunto. Os ´ıtens 12e e 12d podem ajudar a entender este aspecto: quando X ou Ux s˜ao arrastados, o efeito ´e o mesmo se a rela¸c˜ao entre esses pontos (isto ´e, a raz˜ao entre os segmentos OX e OUx ) for mantida. ´ importante observar ainda que, no item 11e, as escala dos dois eixos coordenados est˜ao vinculadas E entre si. Portanto, as mudan¸cas de coordenadas em quest˜ao consistem da aplica¸c˜ao de uma transforma¸c˜ao por homotetia. Por outro lado, no item 11f as escala dos eixos n˜ao est˜ao vinculadas, isto ´e, ´e poss´ıvel alter´a-las independentemente. Compare essas atividades com as da se¸c˜ao 3.3 que envolve mudan¸cas de escala. Por exemplo, nas atividades 4 e 5 daquela se¸c˜ao (p. 50), ´e preciso usar escalas muito diferentes nos eixos para entender o comportamento das fun¸co˜es. Atividades 14. Proponha um roteiro para a constru¸c˜ao de gr´aficos de fun¸co˜es, de forma que seja poss´ıvel alterar as escalas dos eixos coordenados independentemente (como no item 11f).

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

106

15. Evidentemente, existem outras formas de mudan¸cas de coordenadas no plano, al´em daquelas discutidas nas atividades 11 e 12. De fato, qualquer transforma¸c˜ao invert´ıvel R 2 → R2 pode ser vista como uma mudan¸ca de coordenadas (e o mesmo vale em R 3 , bem como em dimens˜oes superiores). Como exemplo, proponha um roteiro para uma constru¸c˜ao que permita visualizar os efeitos das mudan¸cas de coordenadas dadas por rota¸co˜es no plano cartesiano. 16. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 11, 12 e 13. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? (c) Como se pode usar essas atividades para promover a articula¸c˜ao entre conceitos de geometria euclidiana, geometria anal´ıtica e fun¸co˜es em sala de aula? (d) Qual ´e o papel do ambiente de geometria dinˆamica no desenvolvimento das atividades? (e) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula? Que estrat´egias vocˆe adotaria para superar esses obst´aculos.

4.4

Articulando Geometria e Fun¸co ˜es: Novas Formas de Olhar

Na se¸c˜ao anterior, apontamos dois aspectos importantes do uso de ambientes de geometria dinˆamica no ensino de fun¸co˜es reais (p. 99): articular representa¸co˜es alg´ebricas e gr´aficas dinamicamente, e expandir o repert´orio de exemplos familiares aos alunos. Entretanto, as potencialidades de aplica¸c˜ao desses ambientes no ensino de fun¸co˜es v˜ao ainda mais al´em. Por exemplo, ´e poss´ıvel empregar outras formas de representa¸c˜ ao para fun¸co ˜es reais, diferentes daquelas usualmente presentes em sala de aula no ensino b´asico (tipicamente, alg´ebricas e gr´aficas). Esta ´e a proposta do aplicativo apresentado na tabela 4.3 e das atividades 2 a 8, a seguir. Al´em disso, ´e poss´ıvel estudar o comportamento de fun¸co˜es reais sem a media¸c˜ ao das representa¸co ˜es usuais, por meio da explora¸c˜ ao dinˆ amica da dependˆ encia funcional entre objetos em uma constru¸c˜ ao geom´ etrica, como prop˜oem as atividades 10 a 14. Tais aplica¸co˜es ainda dizem respeito ao campo das fun¸co˜es reais – por´em a geometria dinˆamica oferece caminhos interessantes para se explorar al´em desse territ´orio. Os recursos dinˆamicos permitem a experiˆ encia concreta com fun¸co ˜es cujos dom´ınios e contradom´ınios n˜ ao s˜ ao conjuntos num´ ericos. Por exemplo, as atividades 17 a 20 enfocam transforma¸co˜es no plano. Assim, al´em de apresentar novas representa¸co˜es e expandir o repert´orio de exemplos de fun¸co˜es reais apenas, ´e poss´ıvel ampliar o pr´ oprio universo de fun¸co ˜es abordadas, articulando os campos de geometria plana e fun¸co ˜es e aproximando mais a abordagem pedag´ ogica da generalidade matem´ atica do conceito de fun¸c˜ ao.

Desenrolando o Seno Ensinar o conceito de radiano n˜ao ´e uma tarefa f´acil. Muitos alunos saem do ensino m´edio sem qualquer percep¸c˜ao intuitiva de medidas angulares em radianos. Esse fato pode ser verificado, solicitando aos alunos que representem medidas angulares em graus e em radianos por meio de aberturas com os bra¸cos: provavelmente, eles n˜ao ter˜ao dificuldades para representar uma abertura de 60 ◦ , por exemplo, mas n˜ao ter˜ao ideia de como abrir os bra¸cos para indicar 1 rad. Apresentaremos a seguir o aplicativo Desenrolando o Seno, que permite relacionar graus com radianos e, de quebra, desenrolar arcos no eixo horizontal para tra¸car o gr´afico da fun¸c˜ao seno (figura 4.22). Os passos da constru¸c˜ao desse aplicativo no GeoGebra s˜ao dados na tabela 4.3. A geometria dinˆamica

˜ 4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: NOVAS FORMAS DE OLHAR

107

do aplicativo Desenrolando o Seno d´a-se pelo movimento do ponto P sobre o eixo horizontal, desde a origem O at´e o ponto A de abscissa igual a π. Diversos aspectos interessantes da trigonometria podem ser explorados observando o desenrolar do arco de circunferˆencia no eixo horizontal, juntamente com o tra¸cado do gr´afico do seno.

Figura 4.22: Aplicativo GeoGebra: Desenrolando o Seno.

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

108

1. O = (0, 0) Propriedades desse ponto: na aba b´asico habilitar a op¸c˜ao Fixar Objeto.

2. C = (−1, 0) Propriedades desse ponto: na aba b´asico habilitar a op¸c˜ao Fixar Objeto.

3. c = C´ırculo[C, O] Propriedades desse c´ırculo: na aba b´asico desabilitar Exibi¸c˜ao de R´ otulo, na aba estilo mudar o estilo da linha para tracejado.

4. A = (2pi, 0) Propriedades desse ponto: na aba b´asico habilitar a op¸c˜ao Fixar Objeto.

5. P = Ponto[Segmento[O, A]] Propriedades desse ponto: na aba cor escolher vermelho, na aba estilo escolher Espessura da Linha 5; movimente esse ponto sobre o eixo horizontal at´e a abscissa 1.

6. radiano = Segmento[O, P ] Propriedades desse segmento: na aba b´asico em Exibir R´ otulo escolher a op¸c˜ao Valor, na aba cor escolher verde escuro, na aba estilo escolher Espessura da Linha 9.

7. Q = Girar[O, radiano, C] Propriedades desse ponto: na aba cor escolher vermelho.

ˆ 8. grau = Angulo[O, C, Q] Propriedades desse ˆangulo: na aba b´asico em Exibir R´ otulo escolher a op¸c˜ao Valor, na aba estilo escolher Tamanho 50.

9. cc = Arco[c, Q, O] Propriedades desse arco: na aba b´asico desabilitar Exibir de R´ otulo, na aba cor escolher verde escuro, na aba estilo escolher Espessura da Linha 9.

10. h = Reta[Q, EixoX] Propriedades dessa reta: na aba b´asico desabilitar Exibir de R´ otulo, na aba estilo escolher Estilo da Linha pontilhado.

11. v = Perpendicular[P, EixoX] Propriedades dessa reta: na aba b´asico desabilitar Exibi¸c˜ao de R´ otulo, na aba estilo escolher Estilo da Linha pontilhado.

12. seno = Fun¸ca˜o[sin(x), x(O), x(A)] Propriedades desse gr´afico: na aba cor escolher vermelho, na aba estilo escolher Espessura da Linha 9.

Tabela 4.3: Constru¸c˜ao do aplicativo Desenrolando o Seno. Atividade 1. Elabore uma sequˆencia did´atica com a utiliza¸c˜ao do aplicativo Desenrolando o Seno, apresentado na tabela 4.3 em uma aula de 50 minutos. Quais conceitos trigonom´etricos podem ser explorados? De que forma esses conceitos podem ser explorados?

˜ 4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: NOVAS FORMAS DE OLHAR

109

Eixos Paralelos As atividades 2 a 8 a seguir apresentam uma forma diferente de analisar o comportamento de fun¸co˜es reais em geometria dinˆamica: as vari´aveis independente e dependente s˜ao representadas em um sistema de eixos paralelos, em lugar de perpendiculares. Assim, quando o ponto X que representa a vari´avel independente em um dois eixos ´e arrastado, o ponto Y que representa a vari´avel dependente no segundo eixo move-se de acordo com os valores correspondentes da fun¸c˜ao. Se os pontos XY s˜ao ligados por um segmento de reta, o comportamento da fun¸c˜ao pode ser mais claramente percebido por meio da observa¸c˜ao do movimento do segmento XY . O exerc´ıcio de compreender o comportamento de uma fun¸c˜ao real, a partir da interpreta¸c˜ao de uma forma de representa¸c˜ao diferente das mais familiares, pode ser enriquecedor para os alunos. Nas constru¸co˜es a seguir, teremos como referˆencia o GeoGebra. Atividades 2. (Adaptado de [35]) A seguir, apresentamos um roteiro para constru¸c˜ao de um sistema de eixos paralelos para representar fun¸co˜es reais no GeoGebra. Neste roteiro, constru´ımos eixos paralelos horizontais. Por´em, esta escolha ´e arbitr´aria, uma vez que a posi¸c˜ao dos eixos n˜ao tem qualquer papel no desenvolvimento das atividades. 1. Marque os pontos Ox = (0, 0), Ux = (1, 0), Ox = (0, 2), Ux = (1, 2). A maneira mais f´acil de fazˆe-lo ´e digitar diretamente no campo Entrada. Selecione a op¸c˜ao Fixar Objeto nas Propriedades de cada um destes pontos. 2. Trace as retas ox, passando por Ox e Ux , e oy, passando por Oy e Uy . 3. Marque um ponto livre X na reta ox. Os pontos Ox e Oy representar˜ao as origens dos eixos ox e oy, respectivamente, e os segmentos Ox Ux e Oy Uy as unidades desses eixos. Observe que na constru¸c˜ao acima a distˆancia entre os eixos ox e oy ´e igual 2, por´em esta distˆancia ´e arbitr´aria e vocˆe poder´a escolhˆe-la como quiser.

Agora, vocˆe poder´a usar esse sistema de eixos paralelos para representar o comportamento de uma fun¸c˜ao real. Para isso, siga o roteiro abaixo, em que damos o exemplo da fun¸c˜ao f : R → R, f (x) = x2 . 1. No campo Entrada, defina k =Raz˜aoAfim[Ox , Ux , X]. 2. No campo Entrada, defina o ponto Y = (k 2 , 2) (basta escrever Y=(k^2,2)). 3. Construa um segmento ligando os pontos X e Y .

110

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA O n´umero k corresponde `a coordenada do ponto X em rela¸c˜ao ao eixo ox. Usamos a letra k, em lugar de x, porque x ´e um “s´ımbolo reservado” no GeoGebra, isto ´e, tem um significado espec´ıfico. (a) Justifique cada passo da constru¸c˜ao acima. (b) Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e observe o movimento do segmento XY . Explique esse comportamento.

3. (Adaptado de [35]) Vocˆe poder´a usar o roteiro proposto na atividade 2 para representar diversas fun¸co˜es reais. Para isso, basta alterar a defini¸c˜ao do ponto Y , entrando nas Propriedades do ponto. Verifique as fun¸co˜es dispon´ıveis no GeoGebra no campo localizado logo `a direita de Entrada. 1 Como exemplo, represente em eixos paralelos a fun¸c˜ao f : R ? → R, f (x) = . Arraste o ponto x X ao longo do eixo de ox e observe o movimento do segmento XY . (a) Explique o comportamento do segmento XY quando vocˆe aproxima o ponto X de O x . Por que o ponto Y parece “sumir” e “reaparecer” do outro lado? (b) Explique o comportamento do segmento XY quando vocˆe afasta o ponto X de O x . 4. Represente em eixos paralelos a fun¸c˜ao f : R → R, que, a cada x ∈ R associa a parte inteira de x. Para isto, use a fun¸c˜ao floor do GeoGebra. Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e observe o movimento do segmento XY . O segmento XY parece dar pequenos “saltos”. Por que isto ocorre? 5. Tamb´em ´e poss´ıvel usar o sistema de eixos paralelos para representar mais de uma fun¸c˜ao simultaneamente. Por exemplo, a figura abaixo mostra a representa¸c˜ao das fun¸co˜es f 1 , f2 : R → R, dadas por f1 (x) = x2 e f2 (x) = x3 . (a) Fa¸ca essa constru¸c˜ao, adaptando o roteiro proposto na atividade 2. Para fazer esta adapta¸c˜ao, vocˆe dever´a definir um ponto Y1 , da mesma forma que o ponto Y foi definido na atividade 2, e definir um segundo ponto Y2 no eixo oy. Como este segundo ponto deve ser constru´ıdo? (b) Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e explique o comportamento dos segmento XY 1 e XY2 .

6. Vocˆe poder´a ainda usar eixos paralelos para representar opera¸co˜es entre fun¸co˜es, tais como soma, produto ou composi¸c˜ao. Por exemplo, a figura abaixo representa as fun¸co˜es f 1 , f2 : R → R, dadas por f1 (x) = x2 e f2 (x) = f1 (x) + 1.

˜ 4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: NOVAS FORMAS DE OLHAR

111

(a) Fa¸ca essa constru¸c˜ao, adaptando o roteiro proposto na atividade 2. Para fazer esta adapta¸c˜ao, vocˆe dever´a definir p =Raz˜aoAfim[Oy , Uy , Y1 ], por meio do campo Entrada. Em seguida, defina o ponto Y2 = (p + 1, 2). (b) Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e explique o comportamento dos segmento XY 1 e XY2 .

Como as atividades anteriores ilustram, diversos aspectos interessantes sobre o comportamento de fun¸co˜es reais podem ser explorados por meio de sistemas de eixos paralelos. Observe que, nas atividades 3 e 4, foram inclu´ıdas quest˜oes chave para ajudar seu desenvolvimento pelos alunos. No caso da atividade 3, essas quest˜oes procuram encaminhar a an´alise dos limites infinitos e no infinito da fun¸c˜ao. Assim, o “sumir e reaparecer do outro lado” corresponde `a existˆencia de um ass´ıntota vertical em x = 0. Na atividade 4, os “pequenos saltos” correspondem aos infinitos pontos de descontinuidade da fun¸c˜ao. Quest˜oes como essas, se convenientemente formuladas, podem ajudar a entender as propriedades particulares de cada exemplo abordado. Atividades 7. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 2 a 6, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona. Procure incluir quest˜oes chave (como as propostas nas atividades 3 e 4). 8. Outra possibilidade de explora¸c˜ao de representa¸c˜ao de fun¸co˜es em eixos paralelos ´e fornecer constru¸co˜es prontas e pedir para que os alunos tentem adivinhar a fun¸c˜ao representada. Elabore uma atividade desta natureza, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona. Inclua quest˜oes chave que ajudem os alunos a chegarem `a resposta. 9. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 2 a 8. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Que quest˜oes conceituais podem ser exploradas quando utilizamos os eixos paralelos para representar fun¸co˜es? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? (c) Qual ´e o papel do ambiente de geometria dinˆamica no desenvolvimento das atividades? (d) Como vocˆe considera que atividades como essas podem contribuir com a aprendizagem de fun¸co˜es reais no ensino b´asico? (e) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

112

Rela¸co ˜es de Dependˆ encia entre Grandezas Geom´ etricas O objetivo das atividades 10 a 14 a seguir ´e investigar rela¸co˜es de dependˆencia funcional entre grandezas geom´etricas (basicamente, comprimentos e ´areas), com o apoio de ambientes de geometria dinˆamica. Essas atividades (que tˆem como referˆencia o software GeoGebra) s˜ao organizadas de acordo com a seguinte estrutura: • Em primeiro lugar, procura-se investigar as rela¸co˜es de dependˆencia sem a media¸c˜ao de representa¸co˜es alg´ebricas e gr´aficas, explorando-se apenas a constru¸c˜ao geom´etrica dinˆamica. • Em seguida, a varia¸c˜ao dos valores das fun¸co˜es ´e explorada por meio de pontos vari´aveis sobre um eixo. • Somente depois dessa explora¸c˜ao inicial, ´e constru´ıdo o gr´afico da fun¸c˜ao, ainda se empregando os recursos do software. Prop˜oe-se ent˜ao que as perguntas feitas em cada problema sejam respondidas por meio de m´etodos anal´ıticos. Esta estrutura visa incentivar uma percep¸c˜ao intuitiva da varia¸c˜ao das fun¸co˜es reais, antes de analis´alas por meio de representa¸co˜es alg´ebricas e gr´aficas. Tais representa¸co˜es s˜ao muito poderosas para a resolu¸c˜ao de problemas modelados por fun¸co˜es reais e, por isso, s˜ao as mais largamente empregadas em sala de aula. Entretanto, justamente devido a esse grande poder de resolu¸c˜ao, as representa¸co˜es alg´ebricas e gr´aficas s˜ao muitas vezes abordadas de forma mecanizada e com pouca reflex˜ao, o que pode comprometer seriamente o desenvolvimento da ideia intuitiva de varia¸c˜ao. A investiga¸c˜ ao de rela¸co ˜es dependˆ encia entre grandezas geom´ etricas constituem uma oportunidade para recuperar a percep¸c˜ ao intuitiva da ideia de varia¸c˜ ao, e os ambientes de geometria dinˆamica podem fornecer um apoio importante para esse objetivo. Atividades 10. (Adaptado de [10]) O objetivo desta atividade ´e investigar a varia¸c˜ao da ´area de um retˆangulo, quando um de seus lados ´e mantido fixo e o segundo varia. Em um ambiente de geometria dinˆamica, construa um retˆangulo ABCD de lados AB = CD = 4 e BC = DA = 3. Marque um ponto livre X ∈ AB e um ponto Y ∈ CD tal que XY ⊥ AB.

(a) Use os recursos do software para exibir o comprimento de AX e a ´area do retˆangulo AXY D. Arraste o ponto X ao longo de AB e observe a varia¸c˜ao da ´area de AXY D. Como vocˆe caracterizaria essa varia¸c˜ao?

˜ 4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: NOVAS FORMAS DE OLHAR

113

(b) Construa um eixo para representar a varia¸c˜ao da ´area de AXY D. Para fazer isso no GeoGebra, vocˆe poder´a seguir o roteiro abaixo. Neste roteiro, constru´ımos um eixo vertical, por´em esta ´e uma escolha arbitr´aria e vocˆe poder´a constru´ı-lo na posi¸c˜ao que desejar. 1. Marque os pontos O = (0, 0), U = (0, 1), por meio do campo Entrada, e selecione a op¸c˜ao Fixar Objeto nas Propriedades de cada um destes pontos. 2. Trace a reta ox passando por O e U . ´ 3. Defina S=Area[A,X,Y ,D], digitando esta express˜ao no campo Entrada. Com isso, vocˆe criar´a uma vari´avel num´erica S, cujo valor ´e a ´area de AXY D. 4. Marque o ponto P = (0, S), pelo campo Entrada. Portanto, este ponto variar´a sobre a reta determinada por O e U . Arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P .

(c) Agora construa, no ambiente de geometria dinˆamica, o gr´afico que representa a ´area de AXY D em fun¸c˜ao do lado AX. Para fazer isso no GeoGebra, vocˆe poder´a seguir o roteiro: 1. 2. 3. 4.

Selecione a op¸c˜ao Exibir Eixos no menu. Defina k=Comprimento[Vetor[A,X]], pelo campo Entrada. ´ Defina S=Area[A,X,Y ,D], pelo campo Entrada. Marque o ponto P = (k, S), pelo campo Entrada.

Antes de completar a constru¸c˜ao, arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ´ o caminho deste ponto que descreve o gr´afico de S. ponto P . E 5. Construa o lugar geom´etrico do ponto P = (k, S), quando X varia sobre AB. (d) Defina a fun¸c˜ao S que a cada k = AX associa a ´area do retˆangulo AXY D, especificando seu dom´ınio e seu contradom´ınio. Qual ´e a imagem desta fun¸c˜ao? 11. (Adaptado de [10]) Suponha que agora vocˆe pretenda investigar a varia¸c˜ao da ´area de um triˆangulo retˆangulo, quando um de seus lados varia. Nesta atividade, a investiga¸c˜ao ser´a conduzida seguindo os mesmos passos da atividade 10. Construa em um ambiente de geometria dinˆamica um triˆangulo retˆangulo ABC de catetos AB = 4 e BC = 3. Marque um ponto livre X ∈ AB e um ponto Z ∈ BC tal que XZ ⊥ AB.

114

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

(a) Exiba o comprimento de AX e a ´area do triˆangulo AXZ no ambiente geometria dinˆamica. Arraste o ponto X ao longo de AB e observe a varia¸c˜ao da ´area de AXZ. Como vocˆe caracterizaria essa varia¸c˜ao? (b) Construa um eixo para representar a varia¸c˜ao da ´area de AXZ, adaptando o roteiro dado no item 10b. Arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P que vocˆe construiu sobre o eixo. Vocˆe considera que esta explora¸c˜ao pode ajudar a entender a varia¸c˜ao da ´area do triˆangulo AXZ? (c) Construa, no ambiente de geometria dinˆamica, o gr´afico que representa a ´area de AXZ em fun¸c˜ao do lado AX adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a constru¸c˜ao, arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P . (d) Defina a fun¸c˜ao S1 que a cada k = AX associa a ´area do triˆangulo AXZ, especificando seu dom´ınio e seu contradom´ınio. Qual ´e a imagem desta fun¸c˜ao? 12. (Adaptado de [10]) Considere uma altera¸c˜ao no problema proposto na atividade 11. Com o mesmo enunciado, agora vocˆe investigar´a a varia¸c˜ao da ´area do trap´ezio retˆangulo BXZC, em fun¸c˜ao dos valores de XB. Repetiremos os passos das atividades 10 e 11.

˜ 4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: NOVAS FORMAS DE OLHAR

115

(a) Exiba o comprimento de BX e a ´area do trap´ezio BXZC. Arraste X ao longo de AB e observe a varia¸c˜ao da ´area de BXZC. Como vocˆe caracterizaria essa varia¸c˜ao? (b) Construa um eixo para representar a varia¸c˜ao da ´area de BXZC, adaptando o roteiro dado no item 10b. Arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P . Vocˆe considera que esta explora¸c˜ao pode ajudar a entender a varia¸c˜ao da ´area? (c) Construa, no ambiente de geometria dinˆamica, o gr´afico que representa a ´area de BXZC em fun¸c˜ao do lado XB adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a constru¸c˜ao, arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P . (d) Defina a fun¸c˜ao S2 que a cada k = XB associa a ´area de BXZC, especificando seu dom´ınio e seu contradom´ınio. Qual ´e a imagem desta fun¸c˜ao? (e) Qual ´e a rela¸c˜ao entre as fun¸co˜es S (definida na atividade 10), S 1 (definida na atividade 11) e S2 (definida nesta atividade)? 13. (Adaptado de [11]) Considere o seguinte problema. Dentre todos os triˆangulos is´osceles ABC com AB = AC = a fixos, determine aquele que tem a maior ´area. Para investigar a solu¸c˜ao deste problema, seguiremos os mesmos passos das atividades anteriores.

(a) Em um ambiente de geometria dinˆamica, construa um triˆangulo ABC tal que os comprimentos AB = AC = 1 sejam fixos e o comprimento de BC seja vari´avel. Use os recursos do software para exibir os valores do comprimento de BC e da ´area de ABC. Arraste os pontos B e C e observe a varia¸c˜ao da ´area do triˆangulo ABC. (b) Como a existˆencia do ponto de m´aximo procurado pode ser justificada, apenas com base nas condi¸co˜es geom´etricas do problema? Como a explora¸c˜ao feita no item anterior pode ajudar a responder esta quest˜ao? (c) Construa um eixo para representar a varia¸c˜ao da ´area de ABC, adaptando o roteiro dado no item 10b. Arraste os pontos B e C e observe o movimento do ponto P e o seu valor m´aximo. Com base nesta explora¸c˜ao, vocˆe ´e capaz de ter uma id´eia de que triˆangulo is´osceles tem a maior ´area? (d) Construa, no ambiente de geometria dinˆamica, o gr´afico que representa a ´area de ABC em fun¸c˜ao do lado BC adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a constru¸c˜ao, arraste B e C e observe o movimento do ponto P . (e) Defina a fun¸c˜ao S que a cada k = BC associa a ´area de ABC, especificando seu dom´ınio e seu contradom´ınio. Qual ´e a imagem desta fun¸c˜ao? (f) Determine analiticamente o ponto de m´aximo absoluto da fun¸c˜ao S.

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

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14. (Adaptado de [27]) Considere o seguinte problema. Dentre todos os retˆangulos com per´ımetro p fixo, determine aquele com a maior ´area. Para investigar a solu¸c˜ao deste problema, seguiremos os mesmos passos das atividades anteriores.

(a) Em um ambiente de geometria dinˆamica, construa um retˆangulo ABCD, cujos lados possam ser alterados mantendo-se fixo o per´ımetro. Uma maneira de fazer essa constru¸c˜ao no GeoGebra ´e dada no roteiro a seguir. Nesta constru¸c˜ao, fixamos o per´ımetro do retˆangulo em 20 unidades, mas esta ´e um escolha arbitr´aria. 1. Marque um ponto A qualquer. Defina o ponto W = A + (10, 0), pelo campo Entrada. Trace o segmento AW . Marque um ponto livre B no segmento AW . Esta constru¸c˜ao garante que o ponto B nunca poder´a ficar a uma distˆancia de A superior a 10 unidades. Em seguida, esconda o ponto W e o segmento AW . 2. Defina a=Comprimento[Vetor[A,B]], pelo campo Entrada. 3. Defina b = 10 − a, pelo campo Entrada. 4. Defina C = B + (0, b) e D = A + (0, b), pelo campo Entrada. 5. Ligue os pontos A, B, C e D por segmentos de reta, e defina o pol´ıgono ABCD.

(b)

(c)

(d)

(e) (f)

Agora, use os recursos do software para exibir os valores do comprimento de BC e da ´area de ABCD. Arraste o v´ertice B do retˆangulo e observe a varia¸c˜ao da ´area de ABCD. Como a existˆencia do ponto de m´aximo procurado pode ser justificada, apenas com base nas condi¸co˜es geom´etricas do problema? Como a explora¸c˜ao feita no item anterior pode ajudar a responder esta quest˜ao? Construa um eixo para representar a varia¸c˜ao da ´area do retˆangulo ABCD em fun¸c˜ao da varia¸c˜ao de AB, adaptando o roteiro dado no item 10b. Arraste o v´ertice B e observe o movimento do ponto P e o seu valor m´aximo. Com base nesta explora¸c˜ao, vocˆe ´e capaz de ter uma id´eia de que retˆangulo tem a maior ´area? Construa, no ambiente de geometria dinˆamica, o gr´afico que representa a ´area de ABCD em fun¸c˜ao do lado AB adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a constru¸c˜ao, arraste o ponto B e observe o movimento do ponto P . Defina a fun¸c˜ao S que a cada k = AB associa a ´area de ABCD, especificando seu dom´ınio e seu contradom´ınio. Qual ´e a imagem desta fun¸c˜ao? Determine analiticamente o ponto de m´aximo absoluto da fun¸c˜ao S.

˜ 4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: NOVAS FORMAS DE OLHAR

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No problema proposto na atividade 10, ´e poss´ıvel verificar que acr´escimos iguais no lado vari´avel do retˆangulo implicam em acr´escimos iguais em sua ´area. Isto pode ser constatado, observando que a medida do lado XY permanece constante enquanto a medida de AX varia. Este tipo de varia¸c˜ao caracteriza as fun¸co˜es afins, o que ´e confirmado pelo tra¸cado do gr´afico da fun¸c˜ao S (figura 4.23) e por sua defini¸c˜ao: S : [0, 4] → R ,

S(x) = 3 x .

Figura 4.23: O gr´afico da fun¸c˜ao ´area do retˆangulo, constru´ıdo em geometria dinˆamica. J´a nos problemas das atividades 11 e 12, verifica-se que os acr´escimos nos valores nas fun¸co˜es n˜ao ´ claro que tanto a ´area do triˆangulo dependem apenas dos acr´escimos nas vari´aveis independentes. E quanto a ´area do trap´ezio crescem quando os respectivos lados vari´aveis aumentam. Isto ´e, as fun¸co˜es S1 e S2 s˜ao ambas crescentes. Entretanto, os acr´escimos da fun¸c˜ao S 1 crescem, enquanto que os da fun¸c˜ao S2 decrescem quando os lados aumentam. Esses acr´escimos nas ´areas do triˆangulo e do trap´ezio podem ser observados por meio das varia¸co˜es nas medidas dos lados XZ de cada um dos pol´ıgonos, enquanto as medidas dos lados AX e XB, respectivamente, variam. Em termos de c´alculo diferencial, isto equivale a dizer que tanto S1 quanto S2 tˆem derivadas positivas, por´em S1 tem derivada segunda positiva e S2 tem derivada segunda negativa (ver, por exemplo [48]). Assim, as medidas dos lados XZ representam “acr´escimos infinitesimais” nas fun¸co˜es ´area. Finalmente, podemos construir os gr´aficos das fun¸co˜es S 1 e S2 no ambiente de geometria dinˆamica (figuras 4.24 e 4.25) e escrever suas defini¸co˜es:   3 2 1 3 3 S2 (x) = x 6 − x = 3 x − x2 . S1 , S2 : [0, 4] → R , S1 (x) = x , 8 2 4 8

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ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

Figura 4.24: O gr´afico da fun¸c˜ao ´area do triˆangulo, constru´ıdo em geometria dinˆamica.

Figura 4.25: O gr´afico da fun¸c˜ao ´area do trap´ezio, constru´ıdo em geometria dinˆamica. Assim, ´e poss´ıvel verificar que, para cada valor de x, vale a rela¸c˜ao: S(x) = S1 (x) + S2 (x) . Esta rela¸c˜ao pode ser interpretada geometricamente de forma simples, que tamb´em pode ser representada em geometria dinˆamica, como mostra a figura 4.26.

˜ 4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: NOVAS FORMAS DE OLHAR

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Figura 4.26: A rela¸c˜ao entre as ´areas, representada em geometria dinˆamica. Na atividade 13, a explora¸c˜ao da constru¸c˜ao geom´etrica dinˆamica no ambiente pode ajudar a perceber a justificativa geom´etrica para a existˆencia da solu¸c˜ao do problema. De fato, nos casos em que B = C e em que BC = 2 AB, o triˆangulo se degenera em segmentos de reta, e a ´area vale 0. Como a ´area assume apenas valores positivos e varia continuamente, ent˜ao esta assume um m´aximo absoluto para algum valor de BC entre 0 e 2 AB. Em termos do c´alculo diferencial, esta conclus˜ao ´e consequˆencia do Teorema de Weierstrass (ver, por exemplo [48]). A princ´ıpio, a intui¸c˜ao pode nos sugerir que a solu¸c˜ao do problema esteja no ponto m´edio de 0 e 2 AB, isto ´e, que o triˆangulo is´osceles de maior ´area poss´ıvel seja o triˆangulo equil´atero. Entretanto, o gr´afico que representa a ´area (figura 4.27) sugere que a solu¸c˜ao n˜ao ´e essa. Tomando AB = AC = a, temos que a fun¸c˜ao ´area ´e definida da seguinte forma: 1 √ 2 x 4 a − x2 . 4 Para determinar analiticamente o ponto de m´aximo a partir dessa fun¸c˜ao, precisamos de m´etodos do c´alculo. Determinando a derivada de S, obtemos: S : [0, 2 a] → R ,

S(x) =

2 a 2 − x2 √ 2 4 a 2 − x2 √ Como a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao S 0 (x) = 0 ´e x = a 2 , podemos concluir que este ´e o ponto de m´aximo de S. Portanto, o triˆangulo is´osceles de maior ´area poss´ıvel ´e o triˆangulo retˆangulo is´osceles. Assim, a solu¸c˜ao do problema ´e “metade de um quadrado”. Esta observa¸c˜ao nos lembra um problema equivalente, cuja solu¸c˜ao ´e mais intuitiva: Dentre todos os losangos com lado fixo, aquele que tem a maior ´area ´e quadrado. S 0 (x) =

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

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Figura 4.27: O gr´afico da fun¸c˜ao ´area do triˆangulo is´osceles, constru´ıdo em geometria dinˆamica. p De maneira an´aloga, na atividade 14, observamos que, se AB = 0 ou AB = , o retˆangulo se 2 degenera em segmentos de reta, e a ´area vale 0. Ent˜ao, como a ´area ´e positiva e cont´ınua, podemos p concluir que a ´area assume um m´aximo absoluto para algum valor de AB entre 0 e . A figura 4.28 2 mostra o gr´afico que representa a ´area tra¸cado em um ambiente de geometria dinˆamica. A fun¸c˜ao ´area ´e definida por: p  h pi S : 0, →R, S(x) = x −x . 2 2 p Portanto, a solu¸c˜ao do problema ´e a quadrado de lado . 4 Atividades 15. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 10 a 14. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel do ambiente de geometria dinˆamica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinˆamica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos estudados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)? (e) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

16. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 10 a 14, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

˜ 4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: NOVAS FORMAS DE OLHAR

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Figura 4.28: O gr´afico da fun¸c˜ao ´area de um retˆangulo com per´ımetro fixo, constru´ıdo em geometria dinˆamica.

Transforma¸co ˜es no Plano A partir de agora, apresentamos alguns exemplos de atividades em ambientes de geometria dinˆamica que envolvem fun¸co˜es cujos dom´ınios e contradom´ınios n˜ao s˜ao conjuntos de n´umeros reais, visando `a amplia¸c˜ao do universo de fun¸co˜es exploradas pelos alunos no ensino b´asico. Transforma¸co˜es no plano podem ser vistas como fun¸co˜es R 2 → R2 . A maioria dos ambientes de geometria dinˆamica, incluindo o GeoGebra e o Tabulæ, disp˜oem de recursos prontos que permitem a constru¸c˜ao direta e a explora¸c˜ao das propriedades dos principais tipos de transforma¸co˜es no plano, tais como homotetias, reflex˜oes, rota¸co˜es, transla¸co˜es e invers˜oes. Por outro lado, constru¸co˜es de transforma¸co˜es no plano em geometria dinˆamica desde o come¸co, sem que esses recursos prontos sejam utilizados (como prop˜oe as atividades 18 a 19), tamb´em podem ser exerc´ıcios interessante, pois mobilizam os elementos e propriedades fundamentais que servem para definir cada tipo de transforma¸c˜ao. O objetivo dessas atividades ´e justamente aprofundar o conhecimento sobre as defini¸co˜es das transforma¸co˜es. J´a no caso da atividade 20, em que se pede que seja usado o recurso pronto dispon´ıvel no GeoGebra, o objetivo ´e usar a dinˆamica do ambiente para explorar as propriedades da transforma¸c˜ao e, posteriormente, justificar sua validade com base na defini¸c˜ao formal. Atividades 17. Reveja as atividades 16 da se¸c˜ao 4.1 e 1 da se¸c˜ao 4.2, que enfocam propriedades das transforma¸co˜es de homotetia. Responda `as perguntas a seguir, justificando as suas respostas. Lembrese que, para que uma homotetia fique bem definida ´e preciso que sejam conhecidos seu centro (um ponto no plano) e sua raz˜ao (um n´umero real). (a) Escreva a defini¸c˜ao de homotetia.

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ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA (b) Homotetias s˜ao fun¸co˜es injetivas? (c) Homotetias s˜ao fun¸co˜es sobrejetivas? (d) Seja C um c´ırculo de centro O e raio r. Mostre que a imagem de C tamb´em ´e um c´ırculo. Como se pode encontrar o centro e o raio do c´ırculo imagem a partir do centro e do raio do c´ırculo original? (e) Se A ´e um subconjunto qualquer do plano, explique a rela¸c˜ao entre A e seu conjunto imagem por uma homotetia.

18. Existem dois tipos principais de reflex˜oes ortogonais no plano: as centrais (em rela¸c˜ao a um ponto) e as axiais (em rela¸c˜ao a uma reta). Uma reflex˜ao axial pode ser definida da seguinte forma. Seja r uma reta fixada no plano. A reflex˜ao ortogonal em rela¸c˜ao a r ´e definida como a fun¸c˜ao R : R 2 → R2 que a cada ponto P no plano associa o (´unico) ponto P 0 6= P tal que: (i) P P 0 ´e perpendicular a r; (ii) se Q ´e o ponto de interse¸c˜ao entre P P 0 e r, ent˜ao P Q ≡ P 0 Q.

(a) Com base na defini¸c˜ao acima, elabore um roteiro para constru¸c˜ao da reflex˜ao de um ponto P em rela¸c˜ao a uma reta em um ambiente de geometria dinˆamica. (b) Use a ferramenta Lugar geom´etrico do ambiente para obter as imagens de uma reta e de um c´ırculo pela reflex˜ao que vocˆe construiu. (c) Seja R : R2 → R2 uma reflex˜ao ortogonal em rela¸c˜ao a uma reta. Se P ´e um ponto e A ´e um subconjunto no plano, o que se pode afirmar sobre R(R(P )) e R(R(A))? Justifique a sua resposta. 19. Repita a atividade 18 para reflex˜oes centrais. 20. As invers˜oes s˜ao tipos de transforma¸co˜es do plano, definidas da seguinte forma. Seja C um c´ırculo, de centro O e raio r, fixado no plano. A invers˜ao em rela¸c˜ao a C ´e definida como a fun¸c˜ao que a cada ponto P no plano −→ associa o (´unico) ponto P 0 pertence `a semi-reta OP tal que: OP · OP 0 = r 2 . Use os recursos do GeoGebra para fazer a seguinte constru¸c˜ao. 1. Construa um c´ırculo C de centro O. 2. Marque um ponto livre P . Use o recurso do software para marcar o ponto P 0 , dado pela imagem de P pela transforma¸c˜ao de invers˜ao em rela¸c˜ao ao c´ırculo C. 3. Construa uma reta r e marque um ponto livre A sobre r. Marque A 0 , imagem de A pela invers˜ao em rela¸c˜ao a C. Use a ferramenta Locus para construir o lugar geom´etrico de A 0 quanto A varia sobre r. Esse conjunto corresponde `a imagem da reta r pela transforma¸c˜ao de invers˜ao. 4. Construa um c´ırculo K de centro C e marque um ponto livre B sobre K. Marque B 0 , imagem de B pela invers˜ao em rela¸c˜ao a C. Use a ferramenta Locus para construir o lugar geom´etrico de B 0 quanto B varia sobre K. Esse conjunto corresponde `a imagem da reta K pela transforma¸c˜ao de invers˜ao.

˜ 4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: NOVAS FORMAS DE OLHAR

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(a) Mova livremente o ponto P . Observe o que acontece com P 0 , nos casos em que P : ´e exterior a C; ´e interior a C; est´a sobre a circunferˆencia de C. O que acontece quando P se aproxima de O? E quanto P se afasta muito de O? (b) Vocˆe observar´a que a imagem da reta r pela transforma¸c˜ao de invers˜ao ´e um c´ırculo, que chamaremos de r 0 . Mova livremente a reta r. Observe o que acontece com o c´ırculo r 0 , nos casos em que r ´e: exterior a C; secante a C; tangente a C. O c´ırculo r 0 sempre passa pelo centro de C? (c) Vocˆe observar´a que a imagem do c´ırculo K pela invers˜ao tamb´em ´e um c´ırculo, que chamaremos de K0 . Mova livremente o c´ırculo K. Observe o que acontece com K 0 , considerando as diferentes posi¸co˜es relativas entre K e C. O que acontece quando os centros de K e de C coincidem? Existe alguma situa¸c˜ao em que o c´ırculo K 0 passe pelo centro de C? (d) Demonstre rigorosamente todas as propriedades observadas nos ´ıtens anteriores, com base na defini¸c˜ao de invers˜ao. 21. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 17 a 20. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel do ambiente de geometria dinˆamica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinˆamica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)? (e) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

22. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 17 a 20, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

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Anexo: Utilizando o GeoGebra O GeoGebra [1] ´e um software livre de matem´atica dinˆamica idealizado para professores e alunos de todos os n´ıveis educacionais. Disponibilizado gratuitamente na internet, o GeoGebra re´une recursos de geometria dinˆamica, ´algebra e c´alculo em um mesmo programa, e com o mesmo grau de importˆancia. Do ponto de vista da geometria, ´ıcones em uma barra de ferramentas localizada na parte superior do aplicativo permitem a constru¸c˜ao dinˆamica de diversos objetos geom´etricos por meio da manipula¸c˜ao do mouse do computador. Do ponto de vista da ´algebra, um campo de entrada localizado na parte inferior do aplicativo permite a digita¸c˜ao de equa¸co˜es e coordenadas para a constru¸c˜ao desses mesmos objetos geom´etricos. No GeoGebra, uma express˜ao na janela de ´algebra a esquerda do aplicativo corresponde a um objeto na janela de visualiza¸c˜ao geom´etrica a direita do aplicativo, e vice-versa.

Figura 4.29: Aplicativo GeoGebra. Por exemplo, na figura 4.29 vemos um triˆangulo e sua circunferˆencia circunscrita. Para fazer essa constru¸c˜ao via barra de ferramentas geom´etricas, na parte superior do aplicativo, basta realizar a seguinte sequˆencia de a¸co˜es: 1. habilitar a op¸c˜ao Pol´ıgono:

clicar em trˆes locais distintos na janela de visualiza¸c˜ao geom´etrica para definir os v´ertices do triˆangulo; clicar novamente no primeiro v´ertice para fechar o ciclo de v´ertices do triˆangulo. 2. habilitar a op¸c˜ao Mediatriz:

selecionar um lado ou dois v´ertices para construir uma primeira mediatriz; selecionar outro lado ou outros dois v´ertices para construir uma segunda mediatriz.

˜ 4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: NOVAS FORMAS DE OLHAR

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3. habilitar a op¸c˜ao Interse¸c˜ao de Dois Objetos:

selecionar as mediatrizes constru´ıdas para construir o ponto onde elas se cruzam. 4. habilitar a op¸c˜ao C´ırculo definido pelo centro e um de seus pontos:

selecionar o encontro das mediatrizes e um v´ertice do triˆangulo para construir a circunferˆencia circunscrita. 5. habilitar a op¸c˜ao Mover:

usar o mouse para movimentar qualquer um dos v´ertices do triˆangulo; vocˆe ir´a vivenciar o poder da geometria dinˆamica. Para fazer essa mesma constru¸c˜ao via campo de entradas alg´ebricas, na parte inferior do aplicativo, basta digitar no campo Entrada a seguinte sequˆencia de express˜oes e comandos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Al´em das constru¸co˜es via campo de entrada ou barra de ferramentas, o GeoGebra permite a manipula¸c˜ao e formata¸c˜ao dos objetos constru´ıdos. A seguir listamos algumas dicas que podem ser u ´teis durante uma constru¸c˜ao geom´etrica no GeoGebra. Com esse software, vocˆe pode: • usar os ´ıcones Desfazer e Refazer no lado direito da barra de ferramentas para desfazer ou refazer a(s) u ´ltima(s) constru¸c˜ao(¸co˜es); • esconder objetos clicando sobre eles com o bot˜ao direito do mouse e escolhendo Exibir objeto para desativar ou reativar a exibi¸c˜ao; • alterar a aparˆencia dos objetos (nome, cores, espessura, etc), clicando sobre eles com o bot˜ao direito do mouse e escolhendo Propriedades para habilitar a caixa de di´alogo espec´ıfica para esse fim; • arrastar a janela de visualiza¸c˜ao com o mouse habilitando o ´ıcone Deslocar Eixos na barra de ferramentas; • escolher letras gregas e comandos alg´ebricos diversos ao lado do campo de entrada;

• ativar ou desativar a exibi¸c˜ao de muitos objetos e elementos gr´aficos na op¸c˜ao de menu Exibir;

• alterar muitas coisas na op¸c˜ao de menu Op¸co˜es.

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ˆ CAP´ITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

Cap´ıtulo 5 Sistemas de Computa¸c˜ ao Alg´ ebrica Introdu¸c˜ ao Os sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica (CAS, abrevia¸c˜ao do termo em inglˆes Computer Algebra Systems) s˜ao softwares matem´aticos que integram recursos num´ ericos, gr´ aficos e simb´ olicos. Do ponto de vista num´erico e gr´afico, os sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica podem ser vistos como poderosas calculadoras cient´ıficas, capazes de efetuar c´alculos e produzir gr´aficos com grande precis˜ao e versatilidade. Por´em, seu aspecto mais interessante ´e a possibilidade de operar com √ express˜o√es simb´olicas que representam objetos matem´aticos. Por exemplo, se efetuamos o c´alculo 2 48 + 4 144 numericamente em uma calculadora, a resposta fornecida ser´a uma aproxima¸c˜ao decimal para o resultado, como por exemplo 0, 12830005981992. Os recursos dos sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica permitem tamb´em operar√simbolicamente com esta express˜ao num´erica, fornecendo como resultado a express˜ao al´em disso, operar com express˜ oes simplificada 10 3. Os sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica √ √ podem, √ 4 2 alg´ebricas simb´olicas. Assim, ´e poss´ıvel operar com 2 16 x + 16 x , por exemplo, obtendo 10 x como resultado. Os recursos dispon´ıveis nos sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica fornecem ferramentas para abordar, num´erica e simbolicamente, problemas envolvendo uma ampla gama de conceitos matem´aticos: desde os mais b´asicos, como opera¸co˜es aritm´eticas elementares, passando por gr´aficos em duas ou trˆes dimens˜oes, resolu¸c˜ao de equa¸co˜es e sistemas, opera¸co˜es vetoriais e matriciais, at´e os mais avan¸cados, tais como limites, derivadas, integrais, expans˜oes em s´eries de fun¸co˜es, resolu¸c˜ao de equa¸co˜es diferenciais. Entretanto, o uso de tais recursos requer linguagem de programa¸c˜ao com comandos e sintaxe espec´ıficos, que podem ser bastante sofisticados, e cuja aprendizagem pode ser dif´ıcil para alunos no ensino b´asico. Por outro lado, esse grau de dificuldade pode ser dosado de acordo com o n´ıvel escolar, por meio do planejamento de atividades envolvendo sintaxe mais elementar. Como veremos neste cap´ıtulo, mesmo com alguns poucos comandos, ´e poss´ıvel realizar uma grande variedade de atividades nos sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica. A pr´ opria aprendizagem de uma sintaxe de programa¸c˜ ao j´ a constitui, por si s´ o, exerc´ıcios de simboliza¸c˜ ao matem´ atica de natureza diferente daqueles que fazemos com papel e l´ apis. De fato, quando aprendemos certa simbologia matem´atica, devemos nos familiarizar com a consistˆencia l´ogica de suas regras para expressar ideias e procedimentos matem´aticos adequadamente. Quando aprendemos as regras sint´aticas de uma linguagem de programa¸c˜ao computacional, as eventuais inconsistˆencias l´ogicas cometidas j´a s˜ao indicadas pelo pr´oprio software, na forma de mensagens de erro. Isto ´e, de certa forma, o software responde `as tentativas (corretas ou incorretas) do usu´ario para expressar procedimentos matem´aticos. C´alculos simb´olicos n˜ao acarretam em erros acumulados gerados por arredondamentos ou aproxima¸co˜es, como ocorre com c´alculos num´ericos, pois seus resultados n˜ao s˜ao aproxima¸co˜es num´ericas, e sim representa¸co˜es simb´olicas. Entretanto, isto n˜ ao significa que as ferramentas simb´ olicas 127

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˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

dos sistemas de computa¸c˜ ao alg´ ebrica sejam isentas de limita¸co ˜es. Como vocˆe observar´a em diversos exemplos neste cap´ıtulo, essas ferramentas podem produzir resultados inesperados ou aparentemente contradit´orios, mesmo em situa¸co˜es relativamente simples. Desta forma, a interpreta¸c˜ ao de resultados produzidos por ferramentas computacionais simb´ olicas, mesmo nos sistemas de computa¸c˜ ao alg´ ebrica mais poderosos, n˜ ao dispensa ou substitui o conhecimento dos conceitos matem´ aticos envolvidos. Neste cap´ıtulo, enfocaremos apenas uma fra¸c˜ao bastante restrita das vastas possibilidades de aplica¸c˜ao dos sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica. Ser˜ao priorizados exemplos de atividades que tenham rela¸c˜ao mais direta com os conte´udos do ensino b´asico e cujo desenvolvimento n˜ao demande o uso de um grande n´umero de comandos ou sintaxe excessivamente complicada. Tamb´em ser˜ao propostas algumas atividades sobre conceitos um pouco mais avan¸cados, que, embora esses conceitos n˜ao figurem explicitamente nos curr´ıculos escolares, envolvem ideias importantes para a fundamenta¸c˜ao te´orica da abordagem de Matem´atica no ensino b´asico. Essas atividades s˜ao mais direcionadas `a reflex˜ao do pr´oprio professor. De forma geral, as sugest˜oes propostas neste cap´ıtulo tem objetivo de enriquecer o repert´orio de recursos did´aticos do professor. Deste modo, o professor pode incorporar algumas das atividades aqui apresentadas em seus planos de aula, e sobretudo adquirir autonomia para elaborar outras, mais adequadas `as turmas em que leciona, na medida que passa a dominar as ferramentas tecnol´ogicas para o ensino de Matem´atica. Existem diversos sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica dispon´ıveis, cujas sintaxes de programa¸c˜ao podem diferir muito. Por isso, neste cap´ıtulo teremos como principal o software Maxima [3]. Como nos cap´ıtulos anteriores, esta escolha deve-se ao fato de o Maxima poder ser obtido gratuitamente na internet. Al´em disso, a a interface wxMaxima, tamb´em dispon´ıvel gratuitamente, oferece um conjunto de atalhos que tornam o programa consideravelmente mais amig´avel. Cabe ressaltar que o objetivo deste cap´ıtulo n˜ ao ´ e aprender a sintaxe espec´ıfica do Maxima, e sim us´a-la como exemplo para ilustrar o que pode ser feito com sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica e como esses sistemas podem contribuir para o ensino b´asico de Matem´atica. A se¸c˜ao 5.1 visa fornecer um panorama geral das ferramentas b´asicas do Maxima que podem ser aplicadas `a abordagem de conte´udos matem´aticos do ensino m´edio. Procuraremos ainda discutir para que situa¸co˜es os sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica s˜ao realmente vantajosos. Como o uso desses sistemas requer a familiariza¸c˜ao com linguagens de programa¸c˜ao espec´ıficas, em geral vale a pena us´a-los quando suas ferramentas espec´ıficas s˜ao relevantes de fato para as quest˜oes tratadas. Na se¸c˜ao 5.2, apresentamos algumas ferramentas mais sofisticas, por´em ainda com foco em conte´udos do ensino m´edio. Nas se¸co˜es 5.3 e 5.4, passamos a enfocar conceitos matem´aticos um pouco mais avan¸cados, de c´alculo infinitesimal e de aritm´etica, respectivamente.

5.1

Integrando C´ alculo Num´ erico e Simb´ olico

Nesta se¸c˜ao, ser˜ao explorados as ferramentas b´asicas do Maxima para resolver equa¸co˜es, definir fun¸co˜es e tra¸car gr´aficos. Procuraremos comparar o desenvolvimento das atividades com o sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica, com de atividades semelhantes propostas em cap´ıtulos anteriores, visando avaliar que potencialidades pedag´ogicas podem ser acrescentadas pela integra¸c˜ao de recursos simb´olicos. Como nos cap´ıtulos anteriores, tamb´em ser˜ao enfocadas algumas limita¸co˜es t´ecnicas dos sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica, destacando a possibilidade de convertˆe-las em potencialidades pedag´ogicas. Basicamente, na interface wxMaxima, vocˆe poder´a digitar os comandos diretamente na linha de comando. Para indicar o encerramento de cada bloco de comandos, vocˆe dever´a pressionar simultaneamente as teclas Shift e Enter. O software executar´a ent˜ao a instru¸c˜ao programada, registrando a entrada e a resposta, respectivamente, nas linhas indicadas pelos s´ımbolos %i e %o (abrevia¸co˜es dos

´ ´ ´ 5.1. INTEGRANDO CALCULO NUMERICO E SIMBOLICO

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termos em inglˆ √es input e output), seguidos de um n´umero. Por exemplo, a figura 5.1 mostra o c´alculo simb´olico de 12. Para efetuar o mesmo c´alculo numericamente, vocˆe dever´a acrescentar na instru¸c˜ao o comando numer (figura 5.2).

Figura 5.1: C´alculos simb´olicos b´asicos no wxMaxima.

Figura 5.2: C´alculos num´ericos b´asicos no wxMaxima. Alternativamente, ´e poss´ıvel efetuar primeiro o c´alculo simbolicamente e depois obter o resultado num´erico (figura 5.3), usando o comando float. O s´ımbolo % ´e usado para representar o resultado do comando imediatamente anterior. Assim, no caso da instru¸c˜ao da figura 5.3, o s´ımbolo % representa √ ´ 2 3. E poss´ıvel ainda executar dois comandos dentro de um mesmo bloco. Para isto, basta encerrar cada linha com o s´ımbolo ; e separar da linha seguinte pressionando a tecla Enter (lembre-se que para encerrar cada bloco de comandos, ´e preciso pressionar simultaneamente Shift e Enter).

Figura 5.3: C´alculos simb´olicos e num´ericos b´asicos no wxMaxima. Para atribuir letras a constantes num´ericas, ou a objetos matem´ √ aticos em √ geral, o s´ımbolo : ´e empregado (figura 5.4). Assim, para representar por exemplo a = 12 e b = 27, vocˆe dever´a digitar a:sqrt(12) e b:sqrt(27). Vocˆe poder´a ent˜ao operar com estes s´ımbolos. Al´em disso, os pr´oprios s´ımbolos %i e %o, de input e output, podem ser usados para representar e operar com objetos matem´aticos (figura 5.5).

130

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

Figura 5.4: Atribuindo nomes a objetos no wxMaxima.

Figura 5.5: Atribuindo nomes a objetos no wxMaxima. Para resolver equa¸co˜es, o comando b´asico do Maxima ´e o solve. Este comando pode ser digitado diretamente, por´em a interface wxMaxima oferece uma op¸c˜ao que facilita seu uso e dispensa a memoriza¸c˜ao de sua sintaxe. Assim, basta escolher no menu superior a op¸c˜ao Equa¸co˜es e em seguida Resolver. O sistema abrir´a uma caixa com campos para digita¸c˜ao da equa¸c˜ao a ser resolvida e sua inc´ognita correspondente (figura 5.6).

Figura 5.6: Resolvendo equa¸co˜es com o wxMaxima.

´ ´ ´ 5.1. INTEGRANDO CALCULO NUMERICO E SIMBOLICO

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O comando permite tamb´em a resolu¸c˜ao de equa¸co˜es envolvendo constantes literais. Por isso, ´e necess´ario especificar qual ´e a inc´ognita (figura 5.7 e 5.8). O comando solve pode ser usado ainda para resolver sistemas de equa¸co˜es (figura 5.9). Para isso, as equa¸co˜es, assim como as inc´ognitas, devem ser separadas por v´ırgulas.

Figura 5.7: Resolvendo equa¸co˜es com o wxMaxima.

Figura 5.8: Resolvendo equa¸co˜es com o wxMaxima.

Figura 5.9: Resolvendo sistemas de equa¸co˜es com o wxMaxima.

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

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Para tra¸car gr´aficos de fun¸co˜es reais de uma vari´avel, o comando b´asico ´e o wxplot2d. Assim como no caso do solve, este comando pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, bastando para isso escolher a op¸c˜ao Gr´afico e em seguida Gr´afico 2d. O sistema abrir´a uma caixa com campos para digita¸c˜ao da express˜ao alg´ebrica da fun¸c˜ao, dos intervalos dos dois eixos nos quais o gr´afico ser´a visualizado, dentre outras op¸co˜es. Tamb´em ´e poss´ıvel tra¸car gr´aficos de v´arias fun¸co˜es em uma mesma janela gr´afica (figura 5.10).

Figura 5.10: Tra¸cando gr´aficos com o wxMaxima. Atividades 1. Para definir fun¸co˜es no Maxima, o s´ımbolo := deve ser usado. Considere como exemplo a fun¸c˜ao polinomial g : R → R, g(x) = x3 − 2 x + 1. Fa¸ca o que ´e pedido abaixo no software. Use, a figura a seguir como guia. (a) Defina a fun¸c˜ao g. Note que, uma vez definida g, vocˆe n˜ao precisar´a digitar novamente sua express˜ao alg´ebrica cada vez que a fun¸c˜ao for usada. A partir de agora, basta digitar simplesmente g(x).

´ ´ ´ 5.1. INTEGRANDO CALCULO NUMERICO E SIMBOLICO (b) (c) (d) (e) (f)

133

Trace o gr´afico de g na janela −5 ≤ x ≤ 5, −10 ≤ y ≤ 10. Encontre as ra´ızes de g. Determine representa¸co˜es decimais para as ra´ızes de p. Determine os valores de g em x = −3, x = −1, x = 1 e x = 3. Determine representa¸co˜es decimais para esses valores.

2. Considere a fun¸c˜ao de segundo grau definida por p(x) = x 2 − 5 x + 3, para x ∈ R. Como vocˆe sabe, se p possui ra´ızes reais, ent˜ao sua m´edia aritm´etica ´e a abscissa do ponto de m´ınimo do gr´afico da fun¸c˜ao. Para determinar o ponto de m´ınimo com o Maxima, usando este fato, siga o roteiro abaixo. (a) Defina a fun¸c˜ao p.

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

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(b) Encontre as ra´ızes de p, usando a op¸c˜ao Equa¸co˜es e Resolver.

(c) Atribua nomes a esta ra´ızes. Para isto, vocˆe precisar´a acessar os n´umeros que foram obtidos na linha de comando anterior, que ´e indicada pelo s´ımbolo %o2. Em primeiro lugar, devemos observar que a linha anterior ´e formada por uma lista ordenada com duas entradas (no Maxima, listas ordenadas s˜ao representados por colchetes). Cada um dos elementos de uma lista ordenada ´e representado pelo nome da lista seguido da respectiva ordem entre colchetes. Assim, √ neste caso,√%o2[1] e %o2[2] representam, respectivamente, as express˜oes x = 13 − 5 13 + 5 − ex= . Em segundo lugar, observamos que queremos associar nomes 2 2 aos lados direitos destas express˜oes. O comando em Maxima para fazer isso ´e rhs (do inglˆes, right hand side). Assim, devemos definir x1=%o2[1] e x2=%o2[2].

(d) Encontre xv a m´edia aritm´etica das duas ra´ızes.

(e) Vocˆe observar´a que o software n˜ao gerar´a o resultado em sua forma mais simplificada. Por´em, o comando ratsimp pode ser usado para efetuar a simplifica¸c˜ao. Este comando pode ser acessado no menu do wxMaxima, nas op¸co˜es Simplificar e, em seguida, Simplificar express˜ao.

(f) Calcule yv = p(xv ).

(g) Simplifique tamb´em a express˜ao de yv .

´ ´ ´ 5.1. INTEGRANDO CALCULO NUMERICO E SIMBOLICO

135

´ poss´ıvel ainda definir fun¸co˜es por mais de uma express˜ao com o Maxima. Para isso, devem ser 3. E usados os comandos if, then e else. (a) Considere a fun¸c˜ao u : R → R definida por:  2 x se x < 0 u(x) = x se x > 0 Para definir esta fun¸c˜ao no Maxima, devemos escrever u(x):=(if x 0 Defina a fun¸c˜ao v no m´axima e trace seu gr´afico. O que vocˆe observa? O gr´afico foi tra¸cado corretamente? Como vocˆe interpreta esse resultado? 4. Use o Maxima para resolver a equa¸c˜ao cos(x) = 0, para x ∈ R. Como vocˆe interpreta a resposta do software? Foram exibidas todas as solu¸co˜es da equa¸c˜ao? Justifique suas respostas. 5. Considere a equa¸c˜ao: √

x = 1, para x ∈ R. x+1

(a) Resolva a equa¸c˜ao usando o comando solve. A resposta do software soluciona o problema? (b) O software precisa de uma “ajuda” para resolver a equa¸c˜ao. Eleve ao quadrado a equa¸c˜ao gerada no item anterior. (c) Use novamente o comando solve para resolver a nova equa¸c˜ao obtida. As solu¸co˜es dadas pelo software s˜ao de fato ra´ızes de equa¸c˜ao proposta?

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

136

6. Considere a equa¸c˜ao: cos x = x2 , para x ∈ R. (a) Tente resolver a equa¸c˜ao no Maxima, por meio o comando solve. A resposta do software soluciona o problema? (b) A equa¸c˜ao dada tˆem solu¸co˜es reais? Sugest˜ao: para responder a esta pergunta, analise os gr´aficos das curvas y = cos x e y = x 2 . (c) Vocˆe saberia encontrar express˜oes para as solu¸co˜es das equa¸co˜es? (d) Como na atividade 5, vocˆe observar´a que o comando solve n˜ao ajuda em nada a resolver a equa¸c˜ao. No entanto, neste caso, as solu¸co˜es das equa¸co˜es dadas n˜ao tˆem express˜ao anal´ıtica. Por´em, podemos determinar aproxima¸co˜es num´ericas para essas solu¸co˜es. Para isso, use o comando find root. Para acessar o comando, escolha as op¸co˜es Entrada e em seguida Encontrar raiz no menu superior do wxMaxima. Ser´a aberta uma caixa par a digita¸c˜ao da equa¸c˜ao, a inc´ognita e o intervalo em que a raiz dever´a ser procurada. O padr˜ao deste intervalo no software ´e −1 a 1. Mantenha este padr˜ao e acione o comando.

Vocˆe observar´a que o software retorna uma mensagem de erro. A que se deve este erro? (e) Como vocˆe pode alterar os parˆametros de defini¸c˜ao escolhidos para o comando find root no item anterior, de forma a encontrar aproxima¸co˜es num´ericas para cada uma das ra´ızes reais da equa¸c˜ao proposta. 7. Use os recursos do Maxima para encontrar aproxima¸co˜es num´ericas para cada uma das ra´ızes reais das seguintes equa¸co˜es: (a) ln x =

1 x

(b) 2x = x2

(c) 2x = x3

8. Considere a fun¸c˜ao polinomial do terceiro grau h : R → R, h(x) = x 3 − 4 x + 1. (a) Defina h no Maxima e use o software para gerar o gr´afico da fun¸c˜ao. Quantas ra´ızes reais tem h? Quantas ra´ızes complexas tem h no total? (b) Use o comando solve para obter as ra´ızes de h. Para facilitar seu trabalho nas quest˜oes a seguir, dˆe nomes `as ra´ızes. Como na atividade 2, vocˆe poder´a definir esses nomes por meio das instru¸co˜es x1:rhs(%o3[1]), x2:rhs(%o3[2]) e x3:rhs(%o3[3]). No Maxima, o s´ımbolo %i representa a unidade imagin´aria i. Vocˆe pode concluir que as ra´ızes de h exibidas pelo software s˜ao n´umeros complexos n˜ao reais?

´ ´ ´ 5.1. INTEGRANDO CALCULO NUMERICO E SIMBOLICO

137

(c) Para verificar melhor a resposta do item anterior, vocˆe poder´a determinar as partes imagin´arias das ra´ızes de h. Para fazer isso, use o comando imagpart do Maxima. Este comando pode tamb´em ser acessado no menu do wxMaxima, escolhendo as op¸co˜es Simplificar, Simplifica¸c˜ao complexa e Obter parte imagin´aria. Agora, com base no resultado produzido por este comando, vocˆe pode concluir que as ra´ızes de h exibidas pelo software s˜ao n´umeros complexos n˜ao reais? (d) Use o comando ratsimp para simplificar as partes imagin´arias obtidas no item anterior. O que vocˆe pode concluir sobre as ra´ızes de h? Justifique sua conclus˜ao com base em argumentos matem´aticos. 9. Considere a fun¸c˜ao polinomial do terceiro grau f : R → R, f (x) = x 3 − 4 x + k, em que k ´e uma constante real. (a) Use Maxima para tra¸car o gr´afico de f , para k = 1. Quantas ra´ızes reais distintas f possui neste caso?

(b) Agora, trace o gr´afico de f para k = 4. Quantas ra´ızes reais distintas f possui neste caso? (c) Considere a seguinte quest˜ao: Determine um valor de k para o qual f possua uma raiz real dupla. Os ´ıtens anteriores sugerem que o valor de k procurado est´a entre 1 e 4, mas o sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica pode ajudar a encontrar a resposta exata desta quest˜ao. Para que f tenha uma raiz real dupla, a ordenada de um dos pontos de extremo local de f deve ser igual 0. Para obter os valores das abscissas desses pontos de extremo local, deve-se determinar as ra´ızes da derivada de f . Em seguida, deve-se determinar k tal que a imagem por f de um desses valores ´e 0. Assim, deve-se resolver uma equa¸c˜ao cuja inc´ognita ´e k. Para fazer esta opera¸c˜ao no Maxima, ser´a preciso limpar o valor de k da mem´oria do software, uma vez o u ´ltimo valor num´erico atribu´ıdo `a constante (no caso, k = 4) ainda deve estar guardado. Isto pode ser feito com o comando kill.

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˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO Para determinar a derivada, deve ser empregado o comando diff, que, no wxMaxima, pode ser acessado no menu superior, nas op¸co˜es C´alculo e, em seguida, Diferenciar.

Em seguida, pode-se continuar a solu¸c˜ao da quest˜ao de acordo com o procedimento acima.

Finalmente, vocˆe poder´a gerar uma representa¸c˜ao gr´afica para a solu¸c˜ao do problema. Para isso, atribua `a constante k o valor encontrado na equa¸c˜ao anterior e use este valor para gerar o gr´afico.

(d) O valor de k que soluciona a quest˜ao proposta no item anterior ´e u ´nico? Justifique usa resposta.

´ ´ ´ 5.1. INTEGRANDO CALCULO NUMERICO E SIMBOLICO

139

10. Considere o seguinte sistema, com (x, y) ∈ R2 e em que k ´e uma constante real: 

x2 − y = 0 x − 2y = k

Use o sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica para responder as quest˜oes a seguir. (a) Resolva o sistema para k = −1 e fa¸ca um esbo¸co representando a solu¸c˜ao. (b) Resolva o sistema para k = 1 e fa¸ca um esbo¸co representando a solu¸c˜ao. (c) Determine todos os valores de k para os quais o sistema tem: i. apenas uma solu¸c˜ao; ii. duas solu¸co˜es; iii. nenhuma solu¸c˜ao. Fa¸ca um esbo¸co representando a solu¸c˜ao do sistema no caso em que a mesma ´e u ´nica. 11. Repita as atividades 6 e 7 da se¸c˜ao 3.1 (pp. 40 a 41) usando um sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica. Procure usar os recursos do software para estudar as solu¸co˜es das equa¸co˜es propostas. 12. Repita a atividade 5 da se¸c˜ao 3.2 (p. 45) usando um sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica. Procure usar os recursos do software para estudar as solu¸co˜es das equa¸co˜es propostas. Compare com o uso e ambientes gr´aficos simples e de ambiente de geometria dinˆamica. 13. Repita a atividade 4 da se¸c˜ao 3.3 (p. 50) usando um sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica. Procure usar os recursos do software para encontrar as ra´ızes da fun¸c˜ao. 14. Repita a atividade 4 da se¸c˜ao 3.4 (p. 60) usando um sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica. Ao empregar o comando solve para encontrar as ra´ızes da fun¸c˜ao ω(x) = sen (log 10 x), ser´a poss´ıvel determinar todas as ra´ızes reais? Observe a mensagem que o software retorna quando esta instru¸c˜ao ´e executada. 15. Repita as atividades 5 e 6 da se¸c˜ao 3.4 (p. 63) usando um sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica. Observe que o comando solve oferece a possibilidade de gerar gr´aficos em escalas logar´ıtmicas. 16. Repita as atividades 7 e 8 da se¸c˜ao 4.3 (p. 98) usando um sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica. Procure usar os recursos do software para estudar as ra´ızes das fun¸co˜es. As atividades 1 a 3 visam apresentar os recursos b´asicos do Maxima para definir fun¸co˜es, calcular seus valores num´erica e simbolicamente, gerar gr´aficos e resolver equa¸co˜es determinadas por fun¸co˜es. Esses recursos servir˜ao de suporte para o desenvolvimentos das demais atividades desta se¸c˜ao. De forma geral, essas atividades procuram ilustrar o fato de que o uso de sistemas de computa¸c˜ ao alg´ ebrica no ensino ´ e mais vantajoso as situa¸co ˜es em que o uso das ferramentas simb´ olicas do sistema s˜ ao efetivamente relevantes para as quest˜ oes tratadas. Tipicamente, este ´e o caso das atividades 6 e 7, que envolvem equa¸co˜es cujas solu¸co˜es reais existem, por´em n˜ao admitem express˜oes anal´ıticas. Portanto, a integra¸c˜ao de ferramentas simb´olicas e num´ericas ´e importante neste caso. Por outro lado, ´e importante que o aluno desenvolva a consciˆencia de que, apesar dos poderosos recursos simb´olicos dos sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica, seus resultados sempre devem ser analisados criticamente. A atividade 3 ilustra este aspecto com um exemplo muito simples: o gr´afico de uma func¸˜ao descont´ınua. Observe que o software liga indevidamente os pontos, como se o segmento vertical de (0, −1) a (0, 0) pertencesse ao gr´afico (figura 5.11). Este ´e uma limita¸c˜ao no algoritmo de interpola¸c˜ao, que j´a foi discutida no Cap´ıtulo 3 (ver atividade 1 da se¸c˜ao 3.3, p. 49).

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˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

Figura 5.11: O gr´afico de uma fun¸c˜ao descont´ınua no Maxima. Portanto, os resultados fornecidos pelos sistemas de computa¸c˜ ao alg´ ebrica devem contribuir para o enriquecimento dos conhecimentos matem´ aticos dos alunos, mas n˜ ao substitu´ı-los – esses resultados devem sempre ser encarados criticamente. Neste sentido, o papel do professor ´e determinante, pois tal atitude cr´ıtica por parte dos alunos nem sempre se desenvolve naturalmente. De fato, tem-se observado que, em certas situa¸co˜es, os estudantes tendem a valorizar mais os resultados do computador que seus pr´oprios conhecimentos matem´aticos – mesmo quanto tem seguran¸ca desses conhecimentos (ver por exemplo, [8]). Por isso, ´e importante explorar situa¸co˜es simples (para as quais o uso do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica nem mesmo seria necess´ario), mas cujas solu¸co˜es s˜ao exibidas de forma incompleta pelo software. A limita¸c˜ao ilustrada na figura 5.11 ´e de natureza num´erica, pois se deve a forma como o software liga pontos para gerar um gr´afico. Entretanto, os sistemas de computa¸c˜ ao alg´ ebrica podem ainda apresentar limita¸co ˜es na pr´ opria estrutura simb´ olica, que constituem a principal especificidade desse tipo de software. A atividade 4 ilustra uma limita¸c˜ao dessa natureza, tamb´em com um exemplo bastante simples: a resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao cos(x) = 0. Evidentemente, n˜ao precisamos de um sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica para resolver essa equa¸c˜ao, pois sabemos que suas solu¸co˜es s˜ao dadas por x = π2 + k π, com k ∈ Z. Entretanto, o software exibe apenas uma solu¸c˜ao x = π2 (figura 5.12). Observe que o pr´oprio sistema retorna uma mensagem apontando para esta limita¸c˜ao: Algumas solu¸co˜es ser˜ao perdidas.

Figura 5.12: Resolvendo equa¸co˜es no Maxima. A atividade 5 exemplifica de outra maneira ainda a importˆancia o uso de conhecimentos matem´aticos para a interpreta¸c˜ao de resultados gerados pelo sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica. Neste caso, o Maxima

´ ´ ´ 5.1. INTEGRANDO CALCULO NUMERICO E SIMBOLICO

141

n˜ao reconhece a manipula¸c˜ao alg´ebrica necess´aria para resolver a equa¸c˜ao, e o aluno dever´a ser capaz de identificar tal manipula¸c˜ao para “ajudar” o software (figura 5.13).

Figura 5.13: Ajudando o Maxima a resolver uma equa¸c˜ao. Al´em disso, para interpretar os resultados dados pelo Maxima, o aluno tamb´em dever´a recorrer a seu conhecimento qualitativo sobre a quest˜ao proposta. Quando a equa¸c˜ao original foi elevada ao quadrado, a nova equa¸c˜ao obtida n˜a√ o ´e equivalente `a original, pois foi acrescentada uma raiz (figura 5.14). Como a equa¸c˜ao original ´e x = x + 1, para que um n´umero x ∈ R seja ra´ız, este deve necessariamente ser positivo. Portanto, a solu¸c˜ao negativa dada pelo Maxima deve ser descartada. A u ´nica solu¸c˜ao real da √ 5+1 equa¸c˜ao ´e . 2

Figura 5.14: Interpretando resultados do Maxima. ´ claro que este ´e um exemplo relativamente simples, que tamb´em poderia ser resolvido sem o E sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica. Entretanto, ´e importante entender a necessidade de interpretar os resultados do computador em situa¸co˜es mais simples, das quais temos mais clareza, para saber lidar com aquelas em que as propriedades matem´aticas n˜ao s˜ao t˜ao evidentes. Uma situa¸c˜ao um pouco mais sutil ´e dada na atividade 6. Como na atividade 5, o Maxima n˜ao consegue resolver simbolicamente a equa¸c˜ao dada (figura 5.15). Por´em, diferentemente da atividade anterior, isto n˜ao se deve apenas a uma limita¸c˜ao do software em identificar a estrat´egia alg´ebrica que conduz `a solu¸c˜ao. Neste caso, as solu¸co˜es da equa¸c˜ao proposta n˜ao admitem express˜oes anal´ıticas. Isto ´e, embora seja poss´ıvel mostrar que a equa¸c˜ao possui solu¸co˜es reais, estas solu¸co˜es n˜ao podem ser expressas como combina¸co˜es das opera¸co˜es elementares, potˆencias e radicais, e das fun¸co˜es transcendentes elementares usuais (trigonom´etricas, exponenciais e logaritmos). Ent˜ao, s´o resta tentar encontrar aproxima¸co˜es num´ericas para essas solu¸co˜es. No entanto, ao se tentar encontrar essas aproxima¸co˜es num´ericas, a princ´ıpio o Maxima retorna uma mensagem de erro (figura 5.16).

Figura 5.15: Tentando resolver a equa¸c˜ao cos(x) = x2 simbolicamente no Maxima.

Figura 5.16: Tentando resolver a equa¸c˜ao cos(x) = x2 numericamente no Maxima.

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˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

O gr´afico das curvas y = cos(x) e y = x2 podem ajudar a entender porque a mensagem de erro foi gerada. O algoritmo usado pelo software para encontrar aproxima¸co˜es num´ericas para solu¸co˜es de equa¸co˜es se baseia nos seguinte fato: se uma fun¸c˜ao cont´ınua f : [a, b] → R ´e tal que f (a) e f (b) possuem sinais opostos, ent˜ao existe (pelo menos) um elemento c ∈ ]a, b[ tal que f (c) = 0 (isto ´e, a equa¸c˜ao f (x) = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo ]a, b[ ). Esta ´e uma consequˆencia do Teorema do Valor Intermedi´ario (ver [48, 52]). No caso desta equa¸c˜ao, o software est´a tentando encontrar para a fun¸c˜ao f (x) = x2 − cos(x). Por´em, como f (−1) e f (1) s˜ao ambos negativos, n˜ao h´a garantias da existˆencia de ra´ızes no intervalo ] − 1, 1[ (que o intervalo padr˜ao do comando solve no wxMaxima). Verificaremos que, na verdade h´a duas ra´ızes neste intervalo, no entanto o algoritmo do software n˜ao consegue encontr´a-las.

Figura 5.17: Explorando graficamente a equa¸c˜ao cos(x) = x 2 Maxima. Os gr´aficos tamb´em ajudam a perceber as localiza¸co˜es das solu¸co˜es da equa¸c˜ao, e a escolher intervalos menores, que permitam ao software encontrar encontrar aproxima¸co˜es num´ericas para as mesmas. Por exemplo, temos que f (−π) = f (−π) = π 2 e f (0) = −1. Logo, o Teorema do Valor Intermedi´ario nos garante que a equa¸c˜ao cos(x) = x2 tem pelo menos uma raiz no intervalo ] − π, 0[ e pelo menos uma raiz no intervalo ]0, π[ (figura 5.18).

Figura 5.18: Resolvendo a equa¸c˜ao cos(x) = x2 numericamente no Maxima. A atividade 7 apresenta exemplos de equa¸co˜es semelhantes, que podem ser resolvidas numericamente pelo mesmo procedimento. Em particular no caso do item 7b, um primeiro olhar para os gr´aficos das curvas y = 2x e y = x2 (figura 5.19, `a esquerda) pode sugerir que a equa¸c˜ao 2 x = x2 possui somente duas solu¸co˜es: uma negativa, no intervalo ] − 1, 0[ , e outra igual a 2. Entretanto, temos que 4 tamb´em ´e uma solu¸c˜ao de 2x = x2 , que pode ser visualizada se alteramos a janela gr´afica (figura 5.19, `a direita). Na figura 7, vemos que, para x suficientemente grande, os valores fun¸c˜ao exponencial ultrapassam os da fun¸c˜ao polinomial. De forma, mais geral, os valores de qualquer fun¸c˜ao exponencial ultrapassam os de qualquer fun¸c˜ao polinomial, para x suficientemente grande. Da´ı, pode-se concluir que a equa¸c˜ao 2x = x3 tamb´em tem duas solu¸co˜es reais positivas, sendo uma no intervalo ]1, 2[ e outra no intervalo ]9, 10[ (figura 5.20).

´ ´ ´ 5.1. INTEGRANDO CALCULO NUMERICO E SIMBOLICO

143

Figura 5.19: As curvas y = 2x e y = x2 .

Figura 5.20: As curvas y = 2x e y = x3 . Equa¸co˜es cujas solu¸co˜es n˜ao admitem express˜oes anal´ıticas podem contribuir para a amplia¸c˜ao da concep¸c˜ao dos alunos sobre a resolu¸c˜ao de equa¸co˜es. Em geral, os alunos est˜ao acostumados a lidar com equa¸co˜es “bem comportadas” – cujas solu¸co˜es podem ser determinadas facilmente pela aplica¸c˜ao ´ importante que eles sejam apresentados tamb´em a exemplos em de certos procedimentos alg´ebricos. E que ´e poss´ıvel provar que existem solu¸co˜es reais, por´em estas n˜ao podem ser obtidas analiticamente. (De fato, em certo sentido, pode-se afirmar que estes constituem a maioria dos casos.) O uso de recursos computacionais no ensino de Matem´atica torna esses exemplos mais acess´ıveis. Outra situa¸c˜ao cuja interpreta¸c˜ao demanda a compreens˜ao cuidadosa dos conceitos matem´aticos envolvidos ocorre na atividade 8. Ao se gerar o gr´afico da fun¸c˜ao h(x) = x 3 − 4 x + 1 com o Maxima, a figura mostrada na tela sugere que a fun¸c˜ao tem 3 ra´ızes reais distintas (figura 5.21). Entretanto, ao se resolver a equa¸c˜ao h(x) = 0 com o software, s˜ao exibidas 3 ra´ızes complexas cujas partes imagin´arias parecem ser diferentes de 0 (figura 5.22). Assim, h´a um aparente conflito entre as representa¸co˜es gr´afica e num´erica produzidas pelo software. Somente ap´os se extrair e simplificar as partes imagin´arias dessas ra´ızes, verifica-se que estas s˜ao nulas (figura 5.23).

Figura 5.21: O gr´afico de h(x) = x3 − 4 x + 1 no Maxima.

144

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

Figura 5.22: As ra´ızes de h(x) = x3 − 4 x + 1 no Maxima.

Figura 5.23: Explorando o comportamento de h(x) = x3 − 4 x + 1 no Maxima. As atividades 9 e 10 exploram a resolu¸c˜ao de equa¸co˜es e de sistemas (respectivamente) dependendo de parˆametros. Assim, os recursos do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica s˜ao empregados para determinar os valores dos parˆametros para os quais as equa¸co˜es ou sistemas tˆem certo n´umero dado de solu¸co˜es. As respostas para tais quest˜oes envolvem a resolu¸c˜ao de novas equa¸co˜es, cujas inc´ognitas passam a ser esses parˆametros. Na atividade 10, para determinar os valores de k para os quais o sistema tem uma u ´nica solu¸c˜ao, deve-se, em primeiro lugar, obter express˜oes para as solu¸co˜es do sistema, em fun¸c˜ao de k (figura 5.24). Em seguida, deve-se igualar as abscissas das duas solu¸co˜es do sistema e resolver a equa¸c˜ao em k assim formada (figura 5.25). Observe que, as solu¸co˜es do sistema s˜ao exibidas na forma de duas listas

´ ´ ´ 5.1. INTEGRANDO CALCULO NUMERICO E SIMBOLICO

145

ordenadas dentro de uma lista ordenada. Por isso, para obter os valores de suas abscissas, precisamos usar as instru¸co˜es solucao[1][1] e solucao[2][1], que se referem ao primeiro elemento da primeira lista e ao primeiro elemento da segunda lista. Finalmente, pode-se gerar o gr´afico que representa o (´unico) caso em que o sistema tem uma u ´nica solu¸c˜ao (figura 5.26).

Figura 5.24: Explorando o n´umero de solu¸co˜es de um sistema no Maxima.

Figura 5.25: Explorando o n´umero de solu¸co˜es de um sistema no Maxima.

Figura 5.26: Explorando o n´umero de solu¸co˜es de um sistema no Maxima.

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

146 Atividades

17. Discuta as vantagens e desvantagens pedag´ogicas do uso do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica para realizar as atividades 11 a 16, em rela¸c˜ao a ambientes gr´aficos simples ou ambiente de geometria dinˆamica. Note que, nos casos em que os recursos espec´ıficos do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica n˜ao s˜ao aproveitados, provavelmente seu uso provavelmente n˜ao oferecer´a vantagens significativas. 18. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 4 a 10. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em compara¸c˜ao com abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais), e com outros tipos recursos (especialmente aqueles que n˜ao possuem recursos simb´olicos)? (e) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

19. Para cada um dos ´ıtens a seguir, elabore uma atividade usando gr´aficos um sistema de computac¸˜ao alg´ebrica, com os mesmos objetivos das atividades 4 a 10, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona. 20. Formule uma sequˆencia did´atica para aplica¸c˜ao de atividades semelhantes `a 2, para cada um dos tipos de fun¸c˜ao abaixo. Especifique os objetivos, os conceitos matem´aticos explorados e de que maneiras esses conceitos podem ser explorados. (a) fun¸co˜es polinomiais; (b) fun¸co˜es trigonom´etricas; (c) fun¸co˜es exponenciais e logar´ıtmicas.

5.2

Aprofundando a Explora¸c˜ ao Simb´ olica

Nesta se¸c˜ao, apresentamos algumas ferramentas um pouco mais avan¸cadas do Maxima, ainda abordando conte´udos do ensino b´asico. Embora essas ferramentas envolvam sintaxe de programa¸c˜ao mais elaborada que aqueles apresentados na se¸c˜ao anterior, os resultados gerados podem ser interessantes para a sala de aula. Assim, mesmo nos casos em que a sintaxe ´e complicada demais para os alunos do ensino m´edio, os recursos a seguir podem ser usados pelo professor para produzir recursos para uso em aula. Por exemplo, na atividade 10 da se¸c˜ao anterior, foi abordada representa¸c˜ao gr´afica da solu¸c˜ao de um sistema composto pela equa¸c˜ao de uma reta e pela equa¸c˜ao de uma par´abola. Na atividade 1 a seguir, ´e proposto um sistema composto pela equa¸c˜ao de uma reta e pela equa¸c˜ao de um c´ırculo. As solu¸co˜es desse sistema n˜ao podem, portanto, ser representadas por meio de gr´aficos de y como fun¸co˜es de x. Neste caso, temos basicamente duas op¸co˜es para representar graficamente as solu¸co˜es do sistema: por meio de curvas parametrizadas ou de express˜oes definidas implicitamente. Para gerar curvas planas parametrizadas ou impl´ıcitas no Maxima, pode-se empregar o comando wxdraw2d. Este comando ´e mais geral que o wxplot2d, que permite apenas desenhar gr´aficos de fun¸co˜es.

˜ SIMBOLICA ´ 5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

147

Tamb´em apresentaremos alguns exemplos de gera¸c˜ao de objetos em trˆes dimens˜oes, incluindo gr´aficos de fun¸co˜es de duas vari´aveis reais (fun¸co˜es R 2 → R) e outras curvas e superf´ıcies no espa¸co. Para isto, ser˜ao empregados os comandos wxplot3d e wxdraw3d. Ser˜ao apresentados ainda exemplos de produ¸c˜ao de anima¸co˜es, com o comando with slider.

Representando Objetos no Plano e no Espa¸co Antes de iniciar as atividades desta se¸c˜ao, apresentamos algumas novas ferramentas do Maxima, que ajudar˜ao no seu desenvolvimento. Come¸camos apresentando uma forma diferente (e um pouco mais “econˆomica”) de resolver a atividade 10, em que foi proposto o sistema:  2 x −y =0 (5.1) x − 2y = k A atividade pede a solu¸c˜ao do sistema 5.1 para certos valores fixos de k e, depois, a explora¸c˜ao do seu n´umero de solu¸co˜es, em fun¸c˜ao de k. Para que n˜ao seja necess´ario repetir as equa¸co˜es do sistema v´arias vezes, podemos usar as ferramentas do Maxima para dar nomes `as equa¸co˜es (figura 5.27). Assim, o software passar´a a identificar pelo nome parabola a equa¸c˜ao x 2 − y = 0.

Figura 5.27: Atribuindo um nome a um objeto matem´atico no Maxima. Analogamente, podemos nomear a segunda equa¸c˜ao que comp˜oe o sistema. Por´em, observamos que esta equa¸c˜ao na verdade representa uma fam´ılia de retas, indexada pelo parˆametro real k. Podemos usar a ferramenta de definir fun¸co˜es no Maxima para criar esta fam´ılia (figura 5.28). Assim, o software passar´a a identificar por reta(k) a equa¸c˜ao x − 2 y = k para um valor dado de k.

Figura 5.28: Atribuindo um nome a uma fam´ılia de objetos matem´aticos no Maxima. Esses nomes para as equa¸co˜es podem ent˜ao ser usados para efetuar quaisquer opera¸co˜es ou procedimentos que as envolva no Maxima, como por exemplo resolver o sistema 5.1 para k = 1 (figura 5.29), ou para k ∈ R gen´erico (figura 5.30).

Figura 5.29: Resolvendo um sistema no Maxima.

Figura 5.30: Resolvendo um sistema no Maxima. Na atividade 1 a seguir, ser˜ao desenhadas curvas a partir de equa¸co˜es param´etricas e impl´ıcitas, com o comando wxdraw2d, combinado com os comandos implicit ou parametric. Por exemplo, para

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˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

desenhar o c´ırculo de equa¸c˜ao x2 + y 2 = 1 com o comando wxdraw2d, podemos proceder basicamente de duas maneiras: • implicitamente (figura 5.31): a instru¸c˜ao implicit(xˆ2+yˆ2=1, x,-2,2, y,-2,2) indica a curva plana de equa¸c˜ao cartesiana x2 + y 2 = 1, tra¸cada na janela gr´afica −2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2;

• parametricamente (figura 5.32): a instru¸c˜ao parametric(cos(t), sen(t), t,0,2*%pi) indica a curva plana de equa¸c˜ao param´etrica (cos t, sen t), tra¸cada para t ∈ [ 0, 2 π ]. O formato adquirido pela curva deve-se a uma distor¸c˜ao causada pelas escalas dos eixos.

Figura 5.31: Gerando curvas por equa¸co˜es impl´ıcitas no Maxima.

Figura 5.32: Gerando curvas por equa¸co˜es param´etricas no Maxima. As atividades 2 a 7 envolvem a representa¸c˜ao de objetos no espa¸co tridimensional. Os comandos wxplot3d e wxdraw3d podem ser usados de forma an´aloga aos comandos wxplot2d e wxdraw2d. Por exemplo, a figura 5.33 mostra o gr´afico da fun¸c˜ao f : R 2 → R, f (x, y) = x2 + y 2 , gerado com o comando wxplot3d (que pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, da mesma forma que o comando wxplot2d). O gr´afico dessa fun¸c˜ao ´e um parabol´oide circular, que tamb´em pode ser gerado como equa¸c˜ao impl´ıcita por meio do comando wxdraw3d (figura 5.34). Como vocˆe notar´a, a resolu¸c˜ao das curvas geradas pelo comando wxplot3d ´e, em geral, melhor que a das geradas pelo comando wxdraw3d. Para gerar superf´ıcies que n˜ao s˜ao gr´aficos de fun¸co˜es R 2 → R, como ´e o caso do cilindro x2 + (y − 1)2 = 1, deve-se necessariamente usar o comando wxdraw3d (figura 5.35).

˜ SIMBOLICA ´ 5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

Figura 5.33: Gerando gr´aficos de fun¸co˜es reais de duas vari´aveis no Maxima.

Figura 5.34: Gerando superf´ıcies por equa¸co˜es impl´ıcitas no Maxima.

Figura 5.35: Gerando superf´ıcies por equa¸co˜es impl´ıcitas no Maxima.

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150

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

Para tra¸car curvas no espa¸co com o Maxima, deve-se represent´a-la parametricamente. Por exemplo, consideremos a curva C no espa¸co, dada pela interse¸c˜ao entre o parabol´oide z = x 2 + y 2 e o cilindro x2 + (y − 1)2 = 1. Para obter equa¸co˜es param´etricas a esta curva C, observamos que ela ´e dada pela imagem do c´ırculo de equa¸c˜ao x2 + (y − 1)2 = 1 pela fun¸c˜ao f (x, y) = x2 + y 2 . Uma parametriza¸c˜ao do c´ırculo ´e dada por (x(t), y(t)) = (cos t, sen t + 1). Assim, para completar a parametriza¸c˜ao de C, fazemos: z(t)=f (cos t, sen t + 1) = (cos t)2 + ( sen t + 1)2 = cos2 t + sen 2 t + 2 sen t + 1 =2 sen t + 2 Tendo as equa¸co˜es param´etricas, pode-se usar os comandos wxdraw3d e parametric, de forma an´alogo ao caso bidimensional (figura 5.36). A figura 5.37 mostra as duas superf´ıcies tra¸cadas juntamente com a curva dada por sua interse¸c˜ao.

Figura 5.36: Gerando curvas no espa¸co por equa¸co˜es param´etricas no Maxima.

Figura 5.37: Gerando objetos no espa¸co tridimensional no Maxima.

˜ SIMBOLICA ´ 5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

151

Atividades 1. Considere o seguinte sistema, com (x, y) ∈ R2 e em que k ´e uma constante real: 

x2 + y 2 = 1 2x+y = k

Use o sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica para responder as quest˜oes a seguir. (a) Resolva o sistema para k = 1 e fa¸ca um esbo¸co representado a solu¸c˜ao. (b) Determine todos os valores de k para os quais o sistema tem uma u ´nica solu¸c˜ao. Para cada um desses valores de k, fa¸ca um esbo¸co representado a solu¸c˜ao do sistema. 2. O Maxima possui uma ferramenta para resolu¸c˜ao de sistemas lineares, por meio do comando linsolve, que pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, na op¸c˜ao Equa¸co˜es, em seguida Resolver sistema linear. (a) Considere, por exemplo, o sistema linear:   x + 2y + z = 0 2x − y − z = 1  x − 2z = −1

Ao acessar o comando linsolve no wxMaxima, o sistema abrir´a uma caixa para digita¸c˜ao do n´umero de equa¸co˜es (abaixo, `a esquerda), em seguida uma caixa para digita¸c˜ao de cada uma das equa¸co˜es e as inc´ognitas (abaixo, `a direita).

O software retornar´a ent˜ao a solu¸c˜ao do sistema.

Use o comando linsolve para resolver os sistemas abaixo. Como vocˆe interpreta as respostas dadas pelo Maxima?   x + 2y + z = 0 (b) 2x − y − z = 1  3x + y = 1

  x + 2y + z = 0 (c) 2x − y − z = 1  3x + y = −1

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

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3. O Maxima oferece ferramentas para definir e operar com matrizes. O comando matrix, que serve ´ para definir matrizes, pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, na op¸c˜ao Algebra, em seguida Introduzir matriz. (a) Considere, por exemplo, a matriz associada ao sistema linear do item 2a: 

 1 2 1 A =  2 −1 −1  1 0 −2 Ao acessar o comando matrix no wxMaxima, o sistema abrir´a uma caixa para digita¸c˜ao do n´umero de linhas e do n´umero de colunas (abaixo, `a esquerda), em seguida uma caixa para digita¸c˜ao de cada uma das entradas da matriz (abaixo, `a direita).

O software retornar´a ent˜ao a matriz definida.

(b) Os comandos determinant e invert servem para calcular o determinante e a inversa de uma matriz. Use esses comandos para calcular o determinante e a inversa da matriz A definida acima. (c) Sabemos que todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial. Por exemplo, o sistema linear do item 2a pode ser escrito na forma: 

    1 2 1 x 0  2 −1 −1   y  =  1  1 0 −2 z −1 Portanto, para resolver o sistema, deve-se multiplicar a matriz inversa de A pelo vetor (0, 1, −1). No Maxima, deve-se usar um ponto para representar o produto entre matrizes e entre matrizes e vetores. Compare com a solu¸c˜ao obtida no item 2a.

˜ SIMBOLICA ´ 5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

153

´ poss´ıvel obter a solu¸c˜ao desse (d) Escreva os sistemas dos ´ıtens 2b e 2c na forma matricial. E sistema por meio do produto pela matriz inversa? Justifique sua resposta. 4. Em transforma¸co˜es lineares, uma interpreta¸c˜ao geom´etrica do determinante de uma matriz ´e a raz˜ao entre a medida da imagem de um conjunto e a medida do conjunto original. Assim, no caso bidimensional, sabemos que uma matriz A ∈ M2×2 (R) define uma transforma¸c˜ao linear TA : R2 → R2 , dada por:   x TA (x, y) = A y Ent˜ao, se X ⊂ R2 ´e um subconjunto do plano e S(X) ´e ´area de X, temos:

(a) (b)

(c) (d)

S(A(X)) = | det A| S(X)   2 −1 Considere, por exemplo, a matriz: A = . −2 3 Use o sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica para calcular o determinante de A. Considere quadrado Q em R2 , cujos v´ertices s˜ao os pontos (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1). A imagem de Q por A ´e o paralelogramo A(Q), cujos v´ertices s˜ao Q(0, 0), Q(1, 0), Q(1, 1) e Q(0, 1). Qual ´e a ´area desse paralelogramo? Fa¸ca um esbo¸co do paralelogramo A(Q) com o Maxima. Sugest˜ao: use o software para determinar os v´ertices de A(Q) e escreva equa¸co˜es param´etricas para seus lados. Qual ´e a interpreta¸c˜ao geom´etrica do determinante no caso em que det A = 0? Qual ´e a interpreta¸c˜ao geom´etrica do determinante no caso tridimensional, isto ´e, para A ∈ M3×3 (R)?

5. Voltemos ao sistema linear do item 2b. Podemos observar que a terceira equa¸c˜ao do sistema ´e a soma das outras duas, portanto esta pode ser eliminada. Ent˜ao, o sistema ´e indeterminado, isto ´e, possui infinitas solu¸co˜es. Mais precisamente, o sistema original ´e equivalente a: 

x + 2y + z = 0 2x − y − z = 1

Da´ı, podemos concluir que o conjunto solu¸c˜ao do sistema ´e a interse¸c˜ao de dois planos distintos no R3 . Logo, este conjunto ´e uma reta no espa¸co. A resposta dada pelo Maxima para a resolu¸c˜ao do sistema por meio do comando linsolve corresponde a equa¸co˜es param´etricas para essa reta (o s´ımbolo %r1 representa o parˆametro das equa¸co˜es). (a) Represente o conjunto solu¸c˜ao do sistema no Maxima, por meio de equa¸co˜es param´etricas. (b) Represente o conjunto solu¸c˜ao do sistema no Maxima, como interse¸c˜ao entre dois planos.

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

154

6. Sejam A a matriz associada ao sistema do item 2a e B a matriz associada aos sistemas dos ´ıtem 2b e 2c. (a) Determine e represente geometricamente os vetores A(1, 0, 0), A(0, 1, 0) e A(0, 0, 1). Qual ´e a rela¸c˜ao entre esses vetores? (b) Determine e represente geometricamente os vetores B(1, 0, 0), B(0, 1, 0) e B(0, 0, 1). Qual ´e a rela¸c˜ao entre esses vetores? 7. Use o Maxima para gerar as seguintes superf´ıcies no espa¸co. x2 y 2 + =1 4 9

(a) z = x2 + y 2

(b)

(d) z 2 = x2 + y 2

(e) z 2 = x2 + y 2 + 1

(c)

x2 y 2 z 2 + + =1 2 4 9

(f) z 2 = x2 + y 2 − 1

Na atividade 1, podemos atribuir nomes para as equa¸co˜es do sistema, considerando a segunda equa¸c˜ao como um fam´ılia indexada pelo parˆametro k (figura 5.38). Assim, podemos resolver o sistema, por meio do comando solve, e representar a graficamente as solu¸co˜es, por meio dos comandos wxdraw2d e implicit (figura 5.39).

Figura 5.38: Resolvendo sistemas no Maxima.

Figura 5.39: Resolvendo sistemas no Maxima.

˜ SIMBOLICA ´ 5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

155

De forma an´aloga aos exemplos anteriores, obtemos as express˜oes das solu¸co˜es do sistema, para k gen´erico. Para determinar os valores de k para os quais o sistema tem uma u ´nica solu¸c˜ao, igualamos as abscissas dessas solu¸co˜es e resolvemos a equa¸c˜ao assim obtida tendo k como inc´ognita (figura 5.40). Em seguida, representamos graficamente o sistema, para os dois valores de k para os quais a solu¸c˜ao ´e u ´nica (figura 5.41).

Figura 5.40: Explorando o n´umero de solu¸co˜es de um sistema no Maxima.

Figura 5.41: Explorando o n´umero de solu¸co˜es de um sistema no Maxima.

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

156

As atividades 2 a 6 buscam chamar aten¸c˜ao para a integra¸c˜ao entre a resolu¸c˜ao de sistemas lineares, os conceitos de matriz e determinante, e para as interpreta¸co˜es geom´etricas dessas no¸co˜es. No ensino m´edio, abordagem de sistemas lineares em geral se resume `a apresenta¸c˜ao de procedimentos de resolu¸c˜ao e classifica¸c˜ao quanto ao n´umero de solu¸co˜es (como determinado, indeterminado ou imposs´ıvel). Entretanto, pouca ˆenfase ´e dada para o significado geom´etrico desses tipos de solu¸co˜es, para a interpreta¸c˜ao geom´etrica do determinante de uma matriz como medida e para as rela¸co˜es entre estas ideias. Por exemplo, n˜ao ´e incomum que os alunos saibam identificar que um dado sistema ´e indeterminado e que isto significa que o mesmo tem infinitas solu¸co˜es, por´em n˜ao consigam reconhecer que solu¸co˜es s˜ao essas e que tipo de conjunto elas formam. Os sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica podem ajudar a produzir recursos que tornem essas no¸co˜es mais concretas para os alunos. Na atividade 2, as respostas dadas pelo Maxima indicam que os sistema do item (b) tem infinitas solu¸co˜es (figura 5.42) e o sistema do item (c) n˜ao tem solu¸co˜es (figura 5.43).

Figura 5.42: Solu¸co˜es de sistemas lineares no Maxima.

Figura 5.43: Solu¸co˜es de sistemas lineares no Maxima. A atividade 3 enfoca a resolu¸c˜ao de sistemas lineares na forma matricial, e a atividade 4 a interpreta¸c˜ao geom´etrica de determinante como raz˜ao entre medidas de conjuntos. No caso bidimensional, explorado na atividade 4, a medida ´e ´area. Por´em, no caso tridimensional, vale a interpreta¸c˜ao an´aloga, de determinante como raz˜ao entre volumes. Para o professor, ´e importante que fique clara a rela¸c˜ao entre essas ideias, especialmente no caso de sistemas sem solu¸co˜es ou com infinitas solu¸co˜es. Por exemplo, no caso tridimensional, temos que qualquer sistema linear pode ser escrito na forma matricial:   a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a23 z = b2  a31 x + a32 y + a33 z = b3 m



    a11 a12 a13 x b1  a21 a22 a23   y  =  b2  a31 a32 a33 z b3

Se a matriz A = (aij ) tem determinante 0, isto significa que ela transforma conjuntos com volumes diferentes de 0 em conjunto com volumes iguais a 0. Isto ´e, a matriz transforma objetos tridimensionais em objetos bidimensionais ou unidimensionais. Neste caso, essa transforma¸c˜ao n˜ao pode ser injetiva nem sobrejetiva. Como a transforma¸c˜ao n˜ao ´e injetiva, cada elemento da imagem est´a associado a mais de um elemento do dom´ınio. Como a transforma¸c˜ao n˜ao ´e sobrejetiva, existem elementos do contradom´ınio que n˜ao est˜ao associados a nenhum elemento do dom´ınio (isto ´e, que n˜ao pertencem `a imagem). Se o vetor (b1 , b2 , b3 ) pertence `a imagem de A, ent˜ao o sistema tem infinitas solu¸co˜es (como ´e o caso do item 2b). Se, por outro lado, o vetor (b1 , b2 , b3 ) n˜ao pertence `a imagem de A, ent˜ao o sistema n˜ao tem solu¸co˜es (como ´e o caso do item 2c).

˜ SIMBOLICA ´ 5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

157

Na atividade 3, calculamos em primeiro lugar os v´ertices do paralelogramo A(Q) (figura 5.44). Como Q tem ´area 1 e det A = 4, ent˜ao a ´area de A(Q) ´e igual a 4.

Figura 5.44: Matrizes, determinantes e ´areas no Maxima. Em seguida, determinamos equa¸co˜es param´etricas para os lados de A(Q). Para isso, usamos o fato de que o segmento que liga u e v pode ser parametrizado por t u + (1 − t) v, com t ∈ [0, 1]. (figura 5.45). Usamos ent˜ao essas equa¸co˜es param´etricas para gerar uma representa¸c˜ao para A(Q) no Maxima (figura 5.46).

Figura 5.45: Matrizes, determinantes e ´areas no Maxima.

158

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

Figura 5.46: Matrizes, determinantes e ´areas no Maxima. A atividade 5 explora a interpreta¸c˜ao geom´etrica da solu¸c˜ao do sistema linear do item 2b. Como este sistema ´e indeterminado, admite infinitas solu¸co˜es. Mais precisamente, como esse sistema pode ser interpretado com a interpreta¸c˜ao de dois planos no espa¸co (representados na figura 5.47, `a esquerda), ent˜ao conclu´ımos que seu conjunto solu¸c˜ao ´e uma reta no R 3 (representada por meio de suas equa¸co˜es param´etricas na figura 5.47, `a direita). A figura 5.48 mostra a representa¸c˜ao da juntamente com os dois planos.

Figura 5.47: Interpreta¸c˜ao geom´etrica da solu¸c˜ao de um sistema linear no Maxima.

˜ SIMBOLICA ´ 5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

159

Figura 5.48: Interpreta¸c˜ao geom´etrica da solu¸c˜ao de um sistema linear no Maxima. A atividade 6 tem como objetivo ilustrar o fato de que uma matriz M ∈ M 3×3 (R) transforma vetores n˜ao coplanares em: vetores n˜ao coplanares se det M 6= 0, e em vetores coplanares se det M = 0. Esta ´e outra interpreta¸c˜ao para o fato de que uma matriz com determinante nulo transforma objetos tridimensionais em objetos unidimensionais ou bidimensionais. Por exemplo, temos que det B = 0 e que B(1, 0, 0) = (1, 2, 3), B(0, 1, 0) = (2, −1, 1) e B(0, 0, 1) = (1, −1, 0). Ent˜ao, podemos observar que: B(1, 0, 0) = 3 B(0, 1, 0) − 5 B(0, 0, 1) Portanto, os vetores B(1, 0, 0), B(0, 1, 0) e B(0, 0, 1) s˜ao coplanares. Entretanto, representa¸co˜es geom´etricas geradas no software nem sempre permitem uma percep¸c˜ao clara desta propriedade. Por exemplo, como observamos na figura 5.49, as imagens geradas pelo Maxima n˜ao oferecem uma percep¸c˜ao de profundidade clara, que permita distinguir vetores n˜ao coplanares de coplanares. Mais uma vez, esta situa¸c˜ao ilustra o fato de que os resultados produzidos pelo computador n˜ao dispensam a compreens˜ao dos conceitos matem´aticos envolvidos.

Figura 5.49: Representa¸c˜ao de vetores n˜ao coplanares (`a esquerda) e de vetores coplanares (`a direita) no Maxima.

160

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

Para gerar as superf´ıcies na atividade 7, deve-se observar em que casos em que pode ser usado o comando wxplot3d e aqueles em que deve ser usado o comando wxdraw3d. (figuras 5.50 a 5.52). Vocˆe perceber´a que a resolu¸c˜ao dos gr´aficos gerados pelo software nem sempre favorece a compreens˜ao imediata do aspecto geom´etrico das superf´ıcies, por´em esses gr´aficos podem ajudar a explorar as propriedades geom´etricas dessas superf´ıcies. O Maxima possui ferramentas que permitem melhorar a qualidade das imagens geradas. Entretanto, n˜ao ´e objetivo deste texto abordar estes aspectos t´ecnicos do software. O leitor que se interessar n˜ao ter´a dificuldades em encontrar referˆencias dispon´ıveis na internet.

Figura 5.50: Um parabol´oide hiperb´olico e um parabol´oide el´ıptico no Maxima.

Figura 5.51: Um elips´oide e cone circular no Maxima.

Figura 5.52: Hiperbol´oide de duas folhas e de uma folha no Maxima.

˜ SIMBOLICA ´ 5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

161

Anima¸co ˜es Encerramos esta se¸c˜ao com um exemplo de constru¸c˜ao de anima¸co˜es no Maxima (atividade 8 e 9). Anima¸co˜es de gr´aficos podem ser particularmente interessantes para o estudo do comportamento de fam´ılias de fun¸co˜es dependendo de parˆametros. No Maxima, o comando b´asico para para gerar anima¸co˜es ´e with slider. Para empregar esse comando, devem ser declarados os valores de um parˆametro com os quais se deseja produzir a anima¸c˜ao, e a express˜ao alg´ebrica de uma fam´ılia de fun¸co˜es dependente desse parˆametro. de acordo com a sintaxe mostrada na figura 5.53. Os software gerar´a ent˜ao os gr´aficos da fam´ılia de fun¸co˜es correspondentes aos valores declarados para o parˆametro, e a anima¸c˜ao ser´a produzida pela proje¸c˜ao quadro a quadro desses gr´aficos. O menu superior do wxMaxima disp˜oe de bot˜oes para controlar a anima¸c˜ao.

Figura 5.53: Construindo anima¸co˜es no Maxima. Em lugar de se digitar os valores do parˆametro um a um, pode se usar o comando makelist para criar uma lista com esses valores. Por exemplo, a instru¸c˜ao da linha %i2 da figura 5.54 gera uma lista com valores inteiros de k de 1 a 10. Portanto, a instru¸c˜ao da linha %i3 produzir´a um resultado equivalente ao da figura 5.53. O comando makelist ´e particularmente u ´til quando se deseja criar uma lista com uma quantidade grande de valores. Por exemplo, a instru¸c˜ao mostrada na figura 5.55 corresponde `a gera¸c˜ao da lista forma pelos valores de k4 , para k inteiro variando de 1 a 40. Entretanto, uma anima¸c˜ao com quantidade muito grande de quadros pode tomar um tempo de processamento pelo Maxima excessivamente prolongado.

Figura 5.54: Construindo anima¸co˜es no Maxima.

Figura 5.55: Construindo anima¸co˜es no Maxima.

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

162 Atividades

8. Para cada um dos ´ıtens a seguir, elabore uma atividade usando anima¸co˜es de fam´ılias de gr´aficos de fun¸co˜es dependendo de parˆametros, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona. Formule tamb´em uma sequˆencia did´atica para aplica¸c˜ao de cada uma das atividades que vocˆe elaborar em uma aula de 50 minutos. Especifique os objetivos, os conceitos matem´aticos explorados e de que maneiras esses conceitos podem ser explorados. (a) fun¸co˜es polinomiais; (b) fun¸co˜es trigonom´etricas; (c) fun¸co˜es exponenciais e logar´ıtmicas. 9. Discuta as vantagens e desvantagens do uso de anima¸co˜es produzidas com sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em compara¸c˜ao com abordagens convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais), e com gr´aficos dinˆamicos produzidos em ambiente de geometria dinˆamica (como os apresentados na se¸c˜ao 4.3). 10. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 8. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em compara¸c˜ao com abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)? (e) Quais dessas atividades poderiam ser adaptadas para o ensino m´edio? (f) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

5.3

Conceitos Fundamentais do C´ alculo Infinitesimal

Esta se¸c˜ao enfocar´a o uso de sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica na abordagem dos conceitos fundamentais do c´alculo infinitesimal de fun¸co˜es reais de uma vari´avel real: limite, derivada e integral. Embora o c´alculo infinitesimal n˜ao fa¸ca parte dos curr´ıculos da maioria das escolas no Brasil, suas ideias est˜ao intrinsecamente ligadas com a fundamenta¸c˜ao matem´atica de muitos t´opicos estudados no ensino m´edio, tais como n´umeros reais e fun¸co˜es. Portanto, o conhecimento dessas ideias ´e importante para a forma¸c˜ao do professor. Al´em disso, diversas cole¸co˜es de livros did´aticos para o ensino m´edio tˆem trazido cap´ıtulos de “introdu¸c˜ao ao C´alculo”, por´em, em grande parte dos casos, estes apresentam apenas procedimentos e regras para c´alculo de limites e derivadas. A incorpora¸c˜ao de recursos computacionais no ensino abre novas possibilidades para a abordagem de c´alculo infinitesimal. Por exemplo, as ferramentas simb´olicas dispon´ıveis nos sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica permitem que o foco da abordagem n˜ao fique t˜ao centrado em procedimentos pesados de c´alculo, e seja mais direcionado para a interpreta¸c˜ao e an´alise de propriedades qualitativas de resultados. Assim, recursos computacionais, desde que integrados em abordagens pedag´ogicas cuidadosamente planejadas e conduzidas, podem contribuir para que os conceitos do c´alculo infinitesimal sejam apresentados de forma mais acess´ıveis e, em certos casos, possibilitar a antecipa¸c˜ao de sua abordagem. O Maxima disp˜oe de ferramentas para calcular limites, derivadas e integrais num´erica e simbolicamente, como veremos a seguir.

´ 5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL

163

Limites O comando b´asico para c´alculo de limites ´e limit, que pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, seguindo as op¸co˜es C´alculo e Encontrar limites. Este comando permite o c´alculo de limites globais (figura 5.56) e laterais (figura 5.58), por meio da sele¸c˜ao das op¸co˜es dispon´ıveis no campo Dire¸c˜ao.

Figura 5.56: Calculando limites com o wxMaxima.

Figura 5.57: Calculando limites com o wxMaxima.

Figura 5.58: Calculando limites laterais com o wxMaxima.

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

164

Tamb´em podem ser calculados limites no infinito (figura 5.59). Para isto, a op¸c˜ao Infinito deve ser selecionada no campo Especial. Podem ainda ser calculados limites de express˜oes envolvendo constantes (figura 5.60). Neste caso, ´e importante indicar corretamente a vari´avel segundo a qual o limite deve ser calculado.

Figura 5.59: Calculando limites no infinito com o wxMaxima.

Figura 5.60: Calculando limites com o wxMaxima. Atividades 1 1 e f2 (x) = 2 . Use o Maxima x x para calcular os limites lim f1 (x) e lim f2 (x). Compare os resultados dados pelo software. Agora,

1. Considere as fun¸co˜es f1 , f2 : R? → R, definidas por f1 (x) = x→0

x→0

calcule os limites laterais lim− f1 (x), lim+ f1 (x), lim− f2 (x) e lim+ f2 (x). Como vocˆe interpreta x→0

esses resultados?

x→0

x→0

x→0

  x 1 2. Considere as fun¸co˜es g1 , g2 : R → R, definidas por g1 (x) = e g2 (x) = sen . Use o |x| x Maxima para calcular lim g1 (x) e lim g2 (x). Compare os resultados dados pelo software. Agora, ?

x→0

x→0

calcule lim− g1 (x), lim+ g1 (x), lim− g2 (x) e lim+ g2 (x). Como vocˆe interpreta esses resultados? x→0

x→0

x→0

x→0

´ 5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL

165

3. Repita as atividades 8 a 11 da se¸c˜ao 3.3 (p. 54 a 55) usando um sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica. Procure usar os recursos do software para determinar os limites necess´arios. Que vantagens e desvantagens pedag´ogicas vocˆe vˆe no uso do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica para realizar estas atividades? Na atividade 1, todos os limites laterais s˜ao infinitos. Por´em, os limites laterais de f 1 possuem sinais 1 opostos, enquanto que os de f2 tˆem o mesmo sinal. Assim, temos que lim 2 = +∞, que corresponde x→0 x 1 `a resposta dada pelo Maxima. Por´em, n˜ao podemos representar lim pelo s´ımbolo de infinito. Por x→0 x 1 isso, o Maxima retorna o palavra Infinity ao c´alculo de lim , significando apenas que os limites laterais x→0 x s˜ao infinitos.

Figura 5.61: Limites infinitos no wxMaxima. Na atividade 2, ambos os limites propostos n˜ao existem, por´em com comportamentos distintos (figura 5.62). No caso da fun¸c˜ao g1 , o limite global n˜ao existe porque os limites laterais existem mas s˜ao diferentes. Por´em, no caso de g2 nem mesmo os limites laterais existem. Para apontar essa diferen¸ca de comportamento, o Maxima retorna os termos: und, no caso em que o limite global n˜ao existe por que os limites laterais existem mas s˜ao diferentes; e ind no caso em que o limite n˜ao existe por outros motivos. Para entender melhor o comportando dessas fun¸co˜es, vocˆe poder´a usar o pr´oprio software para tra¸car seus gr´aficos1 (figura 5.63). Observe que, por exemplo, que:   1 1 sen = 0 ⇐⇒ x = ,n ∈ Z x nπ   1 1 sen ,n ∈ Z = 1 ⇐⇒ x = π x +nπ 2

Portanto, existem sequˆencias de n´umeros reais positivos (a n )n∈N e (bn )n∈N tais que lim an = lim bn = 0, mas lim g2 (an ) = 0 e lim g2 (bn ) = 1. Por isso, n˜ao pode existir lim+ g2 (x). Analox→0

gamente, n˜ao pode existir lim+ g2 (x). Na verdade, para cada α ∈ [0, 1], podemos construir uma x→0

sequˆencia de n´umeros reais (positivos ou negativos) (x n )n∈N tal que lim xn = 0 e lim g2 (xn ) = α. 1

Observe que o Maxima n˜ao representa graficamente o fato de o ponto x = 0 n˜ao pertencer ao dom´ınio das fun¸co ˜es. Este tipo de limita¸c˜ao computacional j´a foi amplamente discutida no cap´ıtulo 3.

166

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

Figura 5.62: Limites inexistentes no wxMaxima.

Figura 5.63: Limites inexistentes no wxMaxima.

´ 5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL

167

Derivadas Para calcular derivadas, o comando b´asico do Maxima ´e diff. Esse comando tamb´em ´e acess´ıvel no menu superior do wxMaxima, nas op¸co˜es C´alculo e Diferenciar, em que devem ser informadas a fun¸c˜ao a ser derivada, a vari´avel de deriva¸c˜ao e a ordem da derivada (figura 5.64). Assim, este comando permite tamb´em o c´alculo direto de derivadas de ordem superior (figura 5.65). Tamb´em podem ser calculadas derivadas de fun¸co˜es cujas express˜oes envolvem constantes ou v´arias vari´aveis, o que, em particular, permite o c´alculo de derivadas parciais (figura 5.66).

Figura 5.64: Calculando derivadas com o wxMaxima.

Figura 5.65: Calculando derivadas com o wxMaxima.

Figura 5.66: Calculando derivadas com o wxMaxima.

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

168 Atividades

4. Considere a fun¸c˜ao h : R → R definida por h(x) = ||x| − 1|. (a) Use o Maxima para calcular h0 . Esta derivada est´a definida para todos os valores de x? (b) Trace os gr´aficos de h e de h0 . Como vocˆe interpreta esses resultados? √ 5. Considere a fun¸c˜ao p : R → R definida por p(x) = x4 − 3 x2 − 2 2 x + 2. Use o Maxima para responder `as quest˜oes a seguir. (a) Defina a fun¸c˜ao derivada2 de p. Para isso, siga os passos mostrados na figura abaixo: vocˆe dever´a primeiro atribuir um nome `a express˜ao simb´olica de p 0 gerada pelo software e, em seguida, usar o comando ev (que serve para atribuir valores num´ericos a uma express˜ao simb´olica) para definir a fun¸c˜ao com essa express˜ao.

(b) Determine todos os valores de x ∈ R em que a p0 (x) = 0. Use o comando ratsimp para simplificar as express˜oes geradas pelo programa. (c) Determine as equa¸co˜es das retas tangentes ao gr´afico de p no pontos (1, p(1)), (2, p(2)), e em todos os pontos em que a reta tangente ´e horizontal. (d) Esboce os gr´aficos de p e p0 na mesma janela gr´afica. (e) Esboce o gr´afico de p e todas as retas tangentes obtidas no item 5c na mesma janela gr´afica.  x2 − 4 6. Considere a fun¸c˜ao q : R \ 0, 21 → R definida por q(x) = . Use o Maxima para 2 x2 − x responder `as quest˜oes a seguir. (a) Defina a fun¸c˜ao derivada de q. (b) Calcule lim q(x) e lim q(x). x→+∞

x→−∞

(c) Determine todos os pontos de m´aximo e de m´ınimo locais de q. (d) Fa¸ca esbo¸cos do gr´afico de p em janelas gr´aficas em que seja poss´ıvel visualizar esses pontos de m´aximo e de m´ınimo. 7. Em muitos casos n˜ao ´e poss´ıvel resolver analiticamente equa¸co˜es do tipo f (x) = 0, isto ´e, n˜ao ´e poss´ıvel encontrar os valores exatos das ra´ızes da fun¸c˜ao f . Por exemplo, considere as equa¸co˜es dadas nas atividades 6 e 7 da se¸c˜ao 5.1 (p. 136). Nessas situa¸co˜es, s´o ´e poss´ıvel procurar demonstrar a existˆencias das ra´ızes e buscar valores aproximados para elas. 2

Vocˆe n˜ao poder´a usar o s´ımbolo p0 para definir uma fun¸c˜ao, portanto escolha outro s´ımbolo, que envolva apenas letras e n´ umeros, para representar a derivada de p.

´ 5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL Uma das principais formas de obter aproxima¸co˜es para ra´ızes de fun¸co˜es ´e o chamado m´etodo de Newton, que consiste no seguinte. Seja f : ]a, b[ ⊂ R → R uma fun¸c˜ao cujas ra´ızes deseja-se aproximar. Come¸camos com um valor x0 e encontramos a reta tangente ao gr´afico de f no ponto (x0 , f (x0 )). Tomamos o ponto x1 , de interse¸c˜ao entre essa reta tangente e o eixo x. Aplicamos ent˜ao o mesmo procedimento a x1 , obtendo o ponto x2 , de interse¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f no ponto (x1 , f (x1 )) com o eixo x. Assim, constru´ımos uma sequˆencia (xn )n∈N tal que xn+1 ´e o ponto de interse¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f no ponto (xn , f (xn )) com o eixo x. Como essa reta tem equa¸c˜ao dada por y = f 0 (xn )(x − xn ) + f (xn ), ent˜ao a sequˆencia (xn ) ´e definida recursivamente da seguinte forma: xn+1 = xn −

169 y

x

f (xn ) f 0 (xn )

´ poss´ıvel mostrar que, se f tem uma raiz no intervalo ]a, b[ , ´e duas vezes diferenci´avel com f 00 E cont´ınua, e f 0 n˜ao se anula, ent˜ao ´e poss´ıvel escolher um valor inicial x 0 para o qual a sequˆencia definida pelo m´etodo de Newton convirja para uma raiz de f (ver, por exemplo [48, 52]). (a) Elabore um procedimento para aplicar o m´etodo de Newton no Maxima. (b) Considere a fun¸c˜ao polinomial f : R → R, f (x) = x5 + x3 + 1. Como f ´e de grau ´ımpar e f 0 (x) = 5 x4 + 3 x2 > 0 ∀ x ∈ R, podemos concluir que f tem uma u ´nica raiz real. Tente usar o comando solve para resolver a equa¸c˜ao f (x) = 0 simbolicamente. Aplique o m´etodo de Newton para encontrar uma aproxima¸c˜ao para essa raiz. Compare o resultado com o comando find root, que serve resolver equa¸co˜es numericamente. 8. O objetivo desta atividade ´e usar o Maxima para explorar o comportamento local de uma fun¸c˜ao diferenci´avel f pr´oximo a um ponto x0 de seu dom´ınio, comparando a rela¸c˜ao entre o gr´afico de f e a sua reta tangente em (x0 , f (x0 )) com a rela¸c˜ao entre o gr´afico e outras retas que passam por (x0 , f (x0 )) mas n˜ao s˜ao tangentes. Em primeiro lugar, vocˆe dever´a escolher: uma fun¸c˜ao diferenci´avel f ; um ponto x 0 no dom´ınio de f ; um valor a ∈ R (que ser´a a inclina¸c˜ao de uma reta passando pelo ponto (x 0 , f (x0 ))). Esta reta ter´a, portanto, a seguinte equa¸c˜ao: r(x) = m (x − x0 ) + f (x0 ) .

No exemplo a seguir, foram escolhidos f (x) = x2 , x0 = 1 e a = 2 (que ´e corresponde `a f 0 (x0 )).

170

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO Agora, digite no Maxima a seguinte rotina3 , que chamaremos de aproxima¸c˜ao linear:

O valor de h na primeira linha da rotina representa o varia¸c˜ao h = ∆x = x − x 0 . Vocˆe poder´a alterar livremente este valor, e acionar novamente a rotina. O software dar´a ent˜ao o seguinte retorno: • o valor de h; • a diferen¸ca ρ(h) entre os valores de f e de r em x = x0 + k:

ρ(h) = f (x0 + h) − r(x0 + h) = f (x0 + h) − f (x0 ) − a h ;

• a raz˜ao ρ entre a diferen¸ca acima e h: f (x0 + h) − r(x0 + h) ρ(h) = α(h) = h h f (x0 + h) − f (x0 ) − a h f (x0 + h) − f (x0 ) = = −a; h h • uma figura exibindo: os gr´aficos de f (em azul) e de r (em lil´as) no intervalo [x 0 −h, x0 +h]; juntamente com um segmento de reta horizontal (em vermelho), cujo comprimento ´e |h|; um segmento de reta vertical (em vermelho), que liga esses dois gr´aficos na extremidade superior do intervalo, e, portanto, cujo comprimento ´e igual a |ρ(h)|.

3

As defini¸co ˜es de y1, y2, xrange e yrange visam apenas ajustar o tamanho da janela gr´afica para melhor visualiza¸c˜ao. Portanto, n˜ao constituem parte conceitual importante da atividade.

´ 5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL

171

(a) Mantendo a = 2, acione a rotina aproxima¸c˜ao linear para h = 0, 1 e em seguida para ρ(h) h = 0, 01. Explique os comportamentos de ρ(h), de e dos gr´aficos. h (b) Agora, altere o valor de a para a = 2, 5. Acione a rotina aproxima¸c˜ao linear para h = 1, para ρ(h) h = 0, 1 e para h = 0, 01. Explique os comportamentos de ρ(h), de e dos gr´aficos. h A atividade 4 ilustra mais um exemplo de limita¸co˜es do software, que geram resultados aparente´ claro que a derivada de h ´e a mente contradit´orios. Observe o gr´afico da fun¸c˜ao h na figura 5.67. E 0 fun¸c˜ao h : R \ {−1, 0, 1} → R dada por:  −1 se x < −1 ou 0 < x < 1 1 se −1 < x < 0 ou x > 1

Figura 5.67: O gr´afico de f (x) = ||x| − 1| no wxMaxima. Entretanto, quando h0 ´e calculada simbolicamente no Maxima, n˜ao s˜ao considerados os pontos em que h n˜ao ´e diferenci´avel (figura 5.68). Observe que, de fato, a resposta do software coincide com h0 (x) para os valores de x em que h0 est´a definida.

Figura 5.68: Calculando derivadas no wxMaxima. Al´em disso, ao gerar o gr´afico do h0 , o software liga indevidamente os pontos em que h0 n˜ao est´a definida (figura 5.67), gerando um gr´afico que n˜ao pode representar uma fun¸c˜ao real. Erros computacionais deste tipo j´a foram abordados no cap´ıtulo 3 (ver atividade 1 da se¸c˜ao 3.3, p. 49).

172

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

Figura 5.69: O gr´afico da derivada de f (x) = ||x| − 1| no wxMaxima. As atividades 5 e 6 visam `a familiariza¸c˜ao com algumas das ferramentas do Maxima que podem ajudar a estudar o comportamento gr´afico de fun¸co˜es. Na atividade 5, ´e necess´ario simplificar as ra´ızes da equa¸c˜ao p0 (x) = 0 determinadas pelo software, para perceber que ambas s˜ao reais.

Figura 5.70: Explorando derivadas no wxMaxima. O exerc´ıcio de analisar o gr´afico de uma fun¸c˜ao com a de sua derivada, tra¸cados em uma mesma janela gr´afica, pode ajudar na explora¸c˜ao das rela¸co˜es entre as propriedades gr´aficas da fun¸c˜ao e da derivada. Por exemplo, figura 5.71, podemos observar as propriedades nos gr´aficos de h (em azul) e h 0 (em vermelho): √ √ • Nos pontos x em p0 (x) = 0, no caso, x1 = − 22 e x2 = 2, a reta tangente ao gr´afico de p ´e horizontal. • Nos intervalos em p0 (x) > 0, p ´e crescente.

• Nos intervalos em p0 (x) < 0, p ´e decrescente. √

• Analisando a primeira raiz de p0 , x1 = − 22 , observamos que ´e poss´ıvel encontrar um raio δ1 > 0 tal que p0 (x) < 0 para x1 − δ1 < x < x1 e tamb´em para x1 < x < x1 + δ1 . Logo, conclu´ımos que p ´e decrescente em ]x1 − δ1 , x1 [ e tamb´em em ]x1 , x1 − δ1 [ e, portanto, que (x1 , f (x1 )) ´e ponto de inflex˜ao de p. √ • Analisando a segunda raiz de p0 , x2 = 2, ´e poss´ıvel encontrar um raio δ2 > 0 tal que p0 (x) < 0 para x2 − δ2 < x < x2 e p0 (x) > 0 para x2 < x < x2 + δ2 . Logo, conclu´ımos que p ´e decrescente em ]x2 − δ2 , x2 [ e crescente em ]x2 , x2 − δ2 [ e, portanto, que (x2 , f (x2 )) ´e m´ınimo local de p.

´ 5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL

173

Da an´alise acima, conclu´ımos que p ´e decrescente em ] − ∞, x 2 [ e crescente em ]x2 , +∞[ , e que (x2 , f (x2 )) ´e, de fato, um ponto de m´ınimo absoluto de p.

Figura 5.71: Explorando derivadas e gr´aficos no wxMaxima. Para obter as equa¸co˜es das retas tangentes ao gr´afico de p (figura 5.72), nos pontos x 0 em que p (x0 ) 6= 0, no caso x3 = 1√e x4 = 2, fazemos y = p0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ). Nos pontos x0 em que √ p0 (x0 ) = 0, no caso x1 = − 22 e x2 = 2, basta fazer y = f (x0 ). Finalmente, geramos o gr´afico de p com as retas tangentes obtidas (figura 5.73). 0

Figura 5.72: Explorando derivadas no wxMaxima.

174

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

Figura 5.73: Explorando derivadas e gr´aficos no wxMaxima. √ √ Na atividade 6, verificamos que a derivada de q tem duas ra´ızes, x 1 = 8 − 2 15 e x2 = 8 + 2 15, e, pelo teste da derivada segunda, conclu´ımos que (x1 , q(x1 )) ´e um ponto de m´ınimo local e (x1 , q(x1 )) ´e um ponto de m´aximo local (figura 5.74).

Figura 5.74: Calculando extremos locais no wxMaxima.

´ 5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL

175

Entretanto, se esbo¸camos o gr´afico em uma janela gr´afica “convencional”, como n˜ao por exemplo a da figura 5.75, n˜ao conseguimos visualizar esses pontos de m´aximo e de m´ınimo.

Figura 5.75: O gr´afico de q(x) =

x2 − 4 na janela gr´afica −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5. 2 x2 − x

Para buscar janelas gr´aficas nas quais seja poss´ıvel visualizar os pontos de m´aximo e de m´ınimo, devemos calcular os valores de suas coordenadas (figura 5.77). Verificamos que x 1 ´e pr´oximo de 0, mas q(x1 ) ´e relativamente grande (pr´oximo de 30); e que x2 ´e relativamente grande (pr´oximo de 15), mas mas q(x2 ) ´e pr´oximo de 21 . Por isso, esses pontos ficaram fora da janela da figura 5.75. Para obter uma janela gr´afica adequada para a visualiza¸c˜ao de (x 1 , q(x1 )), deve-se escolher valores pr´oximos de x1 na horizontal e q(x1 ), como por exemplo 0 ≤ x ≤ 0, 5, 30 ≤ y ≤ 35 (figura 5.77, `a esquerda). Como q(x2 ) ∼ = 21 ´e y = 12 ´e uma ass´ıntota horizontal de q, a varia¸c˜ao da fun¸c˜ao q na regi˜ao pr´oxima a x2 ´e muito sutil. Portanto, para que seja poss´ıvel perceber visualmente essa varia¸c˜ao, deve-se escolher um intervalo horizontal extenso e um intervalo vertical muito pr´oximo de q(x 2 ), como por exemplo 5 ≤ x ≤ 25, 0, 5 ≤ y ≤ 0, 51 (figura 5.77, `a direita).

Figura 5.76: Calculando extremos locais no wxMaxima.

176

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

x2 − 4 Figura 5.77: O gr´afico de q(x) = nas janelas gr´aficas 0 ≤ x ≤ 0, 5, 30 ≤ y ≤ 35 e 2 x2 − x 5 ≤ x ≤ 25, 0, 5 ≤ y ≤ 0, 51. Na atividade 7, verificamos que n˜ao ´e poss´ıvel resolver a equa¸c˜ao f (x) = 0 analiticamente no f (x) Maxima (figura 5.78). Introduzimos no software a f´ormula do m´etodo de Newton: N (x) = x − 0 f (x) (figura 5.79). Escrevemos uma instru¸c˜ao para aplicar a f´ormula a um valor x 0 escolhido, obtendo x1 = N (x0 ), e atualizamos o valor de x0 , com o valor de x1 obtido. Acionado essa instru¸c˜ao sucessivas, os valores obtidos aproxima¸c˜ao de raiz de f . Depois de algumas itera¸co˜es, verificamos que o aproxima¸c˜ao obtida para a raiz coincide com o valor dado pelo comando find root do Maxima (figura 5.80).

Figura 5.78: Uma equa¸c˜ao que n˜ao pode ser resolvida analiticamente no wxMaxima.

Figura 5.79: Aplicando o m´etodo de Newton no wxMaxima.

Figura 5.80: Resolvendo uma equa¸c˜ao numericamente no wxMaxima.

´ 5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL

177

Atividade 8 explora uma interpreta¸c˜ao para a defini¸c˜ao de derivada dinamicamente. Como sabemos, f : D ⊂ R → R ´e diferenci´avel em x0 ∈ D se existe o limite: f (x0 + h) − f (x0 ) . (5.2) h→0 h O valor deste limite ´e chamado de derivada de f em x0 e denotado por f 0 (x0 ). Uma forma equivalente de enunciar esta defini¸c˜ao ´e afirmar que f ´e diferenci´avel em x 0 se existe a ∈ R tal que: lim

f (x0 + h) − f (x0 ) − a h =0. (5.3) h→0 h Neste caso, temos a = f 0 (x0 ). A equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f no ponto (x 0 , f (x0 )) ser´a ent˜ao r(x) = a (x − x0 ) + f (x0 ). Fixado x0 , o denominador da express˜ao 5.3, dado por ρ(h) = f (x0 + h) − f (x0 ) − a h, ´e chamado de resto. Assim, o resto corresponde `a diferen¸ca entre os valores de f e da reta r em x = x0 + h. Se tomamos agora um n´umero real qualquer a 6= f 0 (x0 ), ent˜ao r(x) = a (x − x0 ) + f (x0 ) representa uma reta que intercepta o gr´afico de f em (x0 , f (x0 )), mas n˜ao ´e tangente ao gr´afico nesse ponto. Neste caso, temos que: lim

lim ρ(h) = 0 ,

h→0

mas

lim

h→0

ρ(h) 6= 0 . h

Por outro lado, se a = f 0 (x0 ), a defini¸c˜ao de derivada afirma que: ρ(h) =0. h Desta forma, podemos dizer que qualquer reta que intercepta o gr´afico de f em (x 0 , f (x0 )) aproxima a fun¸c˜ao nesse ponto, nos sentido em que ρ(h) tende a zero. Por´em, dentre todas as retas que interceptam o gr´afico de f em (x0 , f (x0 )), aquela cuja inclina¸c˜ao ´e a = f 0 (x0 ) (isto ´e, a reta tangente) ρ(h) ´e a u ´nica para a qual tamb´em tende a zero – ou seja, o resto tende a zero mesmo quando h ρ(h) comparado com h. Em outras palavras, lim = 0 significa que, para valores pequenos de h, o resto h→0 h ρ(h) fica muito menor que h. Neste sentido, a reta tangente ´e a melhor aproxima¸c˜ao linear local para f em (x0 , f (x0 )). A rotina aproxima¸c˜ao linear, proposta na atividade 8, visa explorar esta interpreta¸c˜ao de derivada, articulando representa¸co˜es num´ericas e gr´aficas de forma dinˆamica. Para este fim, a rotina exibe os ρ(h) valores num´ericos de h, do resto ρ(h) e da raz˜ao α(h) = ; juntamente com a os gr´aficos de f h e da reta de equa¸c˜ao r(x) = a (x − x0 ) + f (x0 ), em que s˜ao destacados um segmento vertical cujo comprimento ´e |ρ(h)| e um segmento horizontal cujo comprimento ´e |h|. Este segmento de tamanho h determina o tamanho da janela gr´afica, uma vez sua dimens˜ao horizontal ´e dada pelo segmento [ x0 − h, x0 + h ]. Desta forma, ´e poss´ıvel observar os valores ρ(h) e de h, num´erica e geometricamente, e comparar seu comportamento quando h se aproxima de 0, ao mesmo tempo que se observa a rela¸c˜ao entre o gr´afico de f e a reta r. De fato, no caso em que a = f 0 (x0 ) (figura 5.81), quando aproximamos os valores de h de 0, ρ(h) podemos observar os valores de ρ(h) e de α(h) = se aproximando de 0. Ao mesmo tempo, h verificamos que o segmento vertical de comprimento |ρ(h)| deixar ser vis´ıvel – pois este fica muito menor que |h| (que determina o tamanho da janela gr´afica). Portanto, o gr´afico de f tende a se confundir com a reta r. lim ρ(h) = lim

h→0

h→0

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

178

Figura 5.81: Comportamento local de uma fun¸c˜ao diferenci´avel e sua reta tangente. Por outro lado, se a 6= f 0 (x0 ) (figura 5.82), quando aproximamos os valores de h de 0, observamos ρ(h) que os valores de ρ(h) se aproximando de 0, mas os de α(h) = n˜ao. Verificamos que o segmento h vertical de comprimento |ρ(h)| ´e sempre vis´ıvel e o gr´afico de f sempre pode ser distinguido da reta r.

Figura 5.82: Comportamento local de uma fun¸c˜ao diferenci´avel e uma reta n˜ao tangente. ´ importante observar que o sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica desempenha um papel central nesta E atividade, pois as representa¸co˜es num´ericas e gr´aficas n˜ao poderiam ser articuladas desta maneira apenas com recursos did´aticos n˜ao computacionais.

Integrais Nesta se¸c˜ao, n˜ao nos aprofundaremos muito no c´alculo de integrais com o Maxima. Ser˜ao propostas apenas algumas atividades visando a familiariza¸c˜ao com o uso do comando b´asico integrate, por meio de situa¸co˜es em que este ´e usado de forma integrada com outras ferramentas do software, apresentadas anteriormente neste cap´ıtulo. O comando integrate tamb´em pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, nas op¸co˜es C´alculo e Integrar, em que devem ser informadas a fun¸c˜ao integrando e a vari´avel de integra¸c˜ao. Este comando permite o c´alculo de integrais indefinidas (figura 5.83) e definidas (figura 5.84). No caso de integrais definidas, o Maxima retornar´a uma fun¸c˜ao primitiva da fun¸c˜ao integrando. Para calcular integrais indefinidas, ´e necess´ario escolher esta op¸c˜ao no menu e informar os limites de integra¸c˜ao. Tamb´em ´e poss´ıvel digitar o comando integrate diretamente, sem usar o menu. Neste caso, para calcular uma integral definida, basta incluir os limites de integra¸c˜ao (de acordo com a sintaxe mostrada na figura 5.84). Se os limites de integra¸c˜ao forem omitidas, o software interpretar´a a instru¸c˜ao como uma integral indefinida. Com o comando integrate ´e poss´ıvel ainda calcular integrais impr´oprias. Os limites de integra¸c˜ao infinitos podem ser selecionados na op¸c˜ao Especial. Se a integral for divergente, o Maxima retornar´a uma mensagem com esta informa¸c˜ao (figura 5.85). Se a integral for convergente, o software retornar´a o seu valor (figura 5.86).

´ 5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL

Figura 5.83: Calculando integrais indefinidas com o wxMaxima.

Figura 5.84: Calculando integrais definidas com o wxMaxima.

Figura 5.85: Calculando integrais impr´oprias com o wxMaxima.

Figura 5.86: Calculando integrais impr´oprias com o wxMaxima.

179

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

180 Atividades

9. Use o Maxima para calcular a integral indefinida:

Z

xn dx .

(a) O Maxima retornar´a esta solicita¸c˜ao perguntando se n + 1 ´e zero ou diferente de zero:

Por que vocˆe acha que o software retorna esta pergunta? (b) Vocˆe poder´a responder `a pergunta do Maxima na mesma linha de comando:

Explique o resultado dodo pelo software. 10. (a) Para cada n ∈ N, considere An a regi˜ao limitada entre a curva y = xn e o eixo x, para 0 6 x 6 1. Seja an a ´area de An : Z 1 an = xn dx . 0

Determine lim an . Interprete geometricamente este resultado. n→+∞ Z t 1 (b) Para cada n ∈ N, considere tn ∈ ]0, 1[ tal que: xn dx = an . Isto ´e, x = tn ´e a 2 0 reta vertical que divide An em duas regi˜oes de igual ´area. Determine lim tn . Interprete n→+∞

geometricamente este resultado. (c) Fa¸ca uma anima¸c˜ao para representar a fam´ılia de curvas y = x n , quando n cresce. 11. A figura ao lado representa uma regi˜ao plana P, de base b a altura h, delimitada por um arco de par´abola e um segmento de reta perpendicular ao seu eixo de simetria. h

(a) Determine uma f´ormula para a ´area de P, em fun¸c˜ao de b e h. (b) Determine uma f´ormula para o volume do s´olido Q, gerado pela rota¸c˜ao de P em torno de seu eixo de simetria, em fun¸c˜ao de b e h.

b

(c) Supondo que b + h = k, sendo k ´e uma constante real, determine a rela¸c˜ao entre b e h para que a ´area de P seja o maior poss´ıvel. (d) Ainda supondo b + h = k, determine a rela¸c˜ao entre b e h para que o volume de Q seja o maior poss´ıvel.

´ 5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL

181

As perguntas feitas pelo software, como a exemplificada na atividade 9, visam estabelecer propriedades dos dados que podem alterar a forma do resultado. Na atividade 10, tamb´em ser´a necess´ario responder algumas perguntas dessa natureza. Nesta atividade, usar o comando integrate para deter1 minar que an = (figura 5.87). Portanto, lim an = 0. n→+∞ n+1

Figura 5.87: Resolvendo problemas de integra¸c˜ao com o wxMaxima. Em seguida, encontramos a ´area delimitada entre y = xn e o eixo x, para 0 6 x 6 t, que ´e Z t tn+1 (figura 5.88). Ent˜ao, o n´umero tn procurado ser´a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao dada por xn dx = n+1 0 1 1 tn+1 = . Logo, tn = 2− n+1 . Portanto, lim tn = 1. Isto significa que, quando n cresce, n→+∞ 2 (n + 1) a ´area an tende a ficar mais concentrada na extremidade superior do intervalo [ 0, 1 ]. A anima¸c˜ao proposta no item 10c pode ajudar a entender melhor este comportamento.

Figura 5.88: Resolvendo problemas de integra¸c˜ao com o wxMaxima. Na atividade 11, primeiro representamos o arco de par´abola que delimita P como gr´afico de uma fun¸c˜ao
f do segundo grau. Como P deve ter base b e altura h, podemos buscar f de tal forma que
b b f − 2 = f 2 = 0 e f (0) = h. Ent˜ao, obtemos (figura 5.89): 4h f (x) = 2 b



b2 − x2 4



˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

182

Conhecida a fun¸c˜ao f , podemos obter por integra¸c˜ao as f´ormulas de S, a ´area de P, e V , o volume de V (figura 5.89): π 2 S = bh V = b2 h 3 8 Z x2 O volume V foi obtido pela f´ormula de volume s´olidos de revolu¸c˜ao: 2 π x f (x) dx. x1

Figura 5.89: Resolvendo problemas de integra¸c˜ao com o wxMaxima. Estabelecendo a restri¸c˜ao h = k − b, podemos definir a fun¸c˜ao s : [0, k] → R, que a cada valor b associa o valor correspondente da ´area de P (figura 5.90): 2 2 b (k − b) = (k b − b2 ) . 3 3 Determinamos a derivada de s e resolvemos a equa¸c˜ao s 0 (x) = 0, obtendo b = Portanto, a regi˜ao de maior ´area poss´ıvel ´e aquela tal que b = h. s(b) =

1 2

k como solu¸c˜ao.

Figura 5.90: Resolvendo problemas de integra¸c˜ao com o wxMaxima. Analogamente, definimos a fun¸c˜ao v : [0, k] → R, que a cada valor b associa o valor correspondente da volume de Q (figura 5.91): π 2 π b (k − b) = (k b2 − b3 ) . 8 8 Determinamos a derivada de V e resolvemos a equa¸c˜ao v 0 (x) = 0, obtendo b = 23 k como solu¸c˜ao. Portanto, devemos ter h = 31 k. Logo, a regi˜ao que determina o s´olido de maior volume poss´ıvel ´e aquela tal que b = 2 h. v(b) =

´ 5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL

183

Figura 5.91: Resolvendo problemas de integra¸c˜ao com o wxMaxima. ´ claro que muitos dos c´alculos feitos nas atividades 9, 10 e 11 s˜ao relativamente simples e n˜ao E demandariam o uso do software. Entretanto, o objetivo ´e empregar essas situa¸co˜es para ilustrar como ´e poss´ıvel integrar as diversas ferramentas do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica apresentadas neste cap´ıtulo no encadeamento da resolu¸c˜ao de um problema.

Polinˆ omios de Taylor Encerraremos esta se¸c˜ao apresentando anima¸co˜es para gerar gr´aficos de polinˆomios de Taylor aproximando fun¸co˜es reais. Como sabemos, dada uma fun¸c˜ao f : D ⊂ R → R, k vezes diferenci´avel, definimos o polinˆomio de Taylor de ordem n de f em torno de um ponto x 0 ∈ D como (ver, por exemplo [48, 52]): pn (x) =

n X f (n) (x0 ) k=0

k!

(x − x0 )k .

Conceitualmente, o polinˆomio de Taylor de ordem n de f em torno de x 0 ´e, dentre todos os polinˆomios de grau menor ou igual a n, aquele que melhor aproxima o gr´afico de f na vizinhan¸ca de x0 . Al´em disso, quanto maior for a ordem do polinˆomio, melhor ser´a a aproxima¸c˜ao. Por exemplo, o polinˆomio de Taylor de ordem 5 de f (x) = sen (x) em torno de x 0 = 0 ´e dado por: x3 x5 + . 6 120 Como todas as derivadas de ordem par de f (x) = sen (x) em x0 = 0 se anulam, ent˜ao todos os polinˆomios de Taylor de f em torno de x0 = 0 s´o apresentam termos de grau ´ımpar. No Maxima, o comando taylor permite calcular polinˆomios de Taylor. Para isso, devem ser informados, nesta ordem: a fun¸c˜ao; o ponto em torno do qual de deseja determinar o polinˆomio de Taylor; e a ordem do polinˆomio (figura 5.92). p5 (x) = x −

Figura 5.92: Determinando polinˆomios de Taylor com o wxMaxima. Com o Maxima, podemos construir anima¸co˜es para ilustrar graficamente a propriedade de que, quanto maior a ordem do polinˆomio de Taylor melhor ser´a a aproxima¸c˜ao da fun¸c˜ao. Para isso, devemos

184

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

usar o comando with slider (ver p. 161). Segundo a sintaxe do comando, devem ser informados, nesta ordem: o parˆametro da anima¸c˜ao; os valores desse parˆametro; a fam´ılia de fun¸co˜es dependendo desse parˆametro; e a janela gr´afica. Pode-se ainda usar o comando makelist para a gerar uma lista com os valores do parˆametro. Como exemplo, construiremos uma anima¸c˜ao para os polinˆomios de Taylor de f (x) = sen (x) em torno de x0 = 0. Neste caso, a fam´ılia de fun¸co˜es ´e formada pelos polinˆomios de Taylor, e o parˆametro ´e a ordem do polinˆomio. Portanto, s´o interessam os polinˆomios de ordem ´ımpar. Devemos gerar ent˜ao uma lista com n´umeros ´ımpares. Por exemplo, podemos gerar uma lista com os 11 primeiros n´umeros ´ımpares (figura 5.93). Com esta lista, criaremos uma anima¸c˜ao com os polinˆomios de Taylor de ordens 1 a 21. Usamos ent˜ao a lista gerada para criar a anima¸c˜ao com o comando with slider (figura 5.94). A figura 5.95 mostra os trˆes primeiros quadros desta anima¸c˜ao.

Figura 5.93: Determinando polinˆomios de Taylor com o wxMaxima.

Figura 5.94: Determinando polinˆomios de Taylor com o wxMaxima.

Figura 5.95: Determinando polinˆomios de Taylor com o wxMaxima. Para ilustrar mais claramente a aproxima¸c˜ao, podemos ainda representar os gr´aficos dos polinˆomios juntamente com o gr´afico da fun¸c˜ao na anima¸c˜ao constru´ıda (figuras 5.96 e 5.97).

Figura 5.96: Determinando polinˆomios de Taylor com o wxMaxima.

Figura 5.97: Determinando polinˆomios de Taylor com o wxMaxima.

˜ ´ 5.4. EXPLORAC ¸ OES ARITMETICAS

185

Atividades 12. Use o Maxima para construir anima¸co˜es para os polinˆomios de Taylor de: (a) f (x) = cos x, em torno de x0 = 0. (b) f (x) = ex , em torno de x0 = 0. (c) f (x) = ln x, em torno de x0 = 1. 13. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 12. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em compara¸c˜ao com abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)? (e) Quais dessas atividades poderiam ser adaptadas para o ensino m´edio? (f) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

5.4

Explora¸co ˜es Aritm´ eticas

Conceitos como os de m´ultiplo, divisor, n´umero primo, decomposi¸c˜ao em fatores primos, e as ideias ´ interessante relacionadas, est˜ao entre os principais t´opicos abordados na aritm´etica do ensino b´asico. E saber que conceitos t˜ao elementares como esses podem dar origem a problemas com solu¸co˜es matematicamente sofisticadas, incluindo at´e mesmo problemas que permanecem em aberto, isto ´e, cujas solu¸co˜es ainda n˜ao s˜ao conhecidas. Alguns desses problemas foram propostos h´a v´arios s´eculos e apresentam enunciados simples, que s˜ao acess´ıveis mesmo para alunos do ensino m´edio. Por outro lado, quest˜oes envolvendo divisibilidade e n´umeros primos despertam grande interesse na pesquisa matem´atica de ponta at´e os dias de hoje, pois possuem muitas aplica¸co˜es importantes, especialmente na ´area de c´odigos e criptografia (ver, por exemplo [24]). Assim, ´e poss´ıvel estabelecer uma conex˜ao entre Matem´atica elementar e Matem´atica superior: mesmo problemas com enunciados simples, envolvendo apenas conceitos b´ asicos que aprendemos na escola, podem ser de grande relevˆ ancia em Matem´ atica superior, e levar a solu¸co ˜es que demandam ferramentas matem´ aticas avan¸cadas. Os sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica permitem abordar esses problemas hist´oricos por meio de uma perspectiva computacional, realizando alguns dos c´alculos pesados envolvidos e permitindo que os alunos explorem propriedades qualitativas dos resultados. Nesta se¸c˜ao, utilizaremos o Maxima para realizar explora¸co˜es aritm´eticas com n´umeros de Fermat, primos de Mersenne e uma certa fun¸c˜ao aritm´etica envolvendo n´umeros perfeitos (ver, por exemplo [38]). Aproveitaremos para apresentar algumas novas ferramentas do Maxima.

Os Primos de Fermat e de Mersenne Iniciamos com os n´umeros de Fermat, que s˜ao obtidos a partir de um n´umero natural n > 0 pela opera¸c˜ao aritm´etica: n

Fn = 2 2 + 1 . Os primeiros quatro n´umeros de Fermat, obtidos a partir de n = 1, 2, 3, 4, s˜ao:

(5.4)

186

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.

Em 1640, o matem´atico Pierre de Fermat observou que esses primeiros quatro n´umeros eram primos e conjecturou que todos os outros n´umeros dados pela express˜ao 5.4 tamb´em seriam primos. Entretanto, verificar a primalidade de um n´umero n ∈ N grande (isto ´e, verificar se n ´e ou n˜ao primo) pode√ser uma tarefa bastante dif´ıcil, pois envolve testar a divisibilidade de n por todos os primos p 6 n. Supondo que todos esses n´umeros primos sejam conhecidos, cada uma dessas verifica¸co˜es envolve uma grande quantidade de c´alculos aritm´eticos elementares. Na ´epoca de Fermat, as ferramentas dispon´ıveis (basicamente, papel e l´apis) n˜ao possibilitavam fazer tantos c´alculos. Hoje, com o aux´ılio de computadores, ´e poss´ıvel constatar rapidamente que Fermat n˜ao estava correto em sua conjectura. Por exemplo, com o Maxima (figura 5.98), verificamos que o s´etimo n´umero de Fermat F7 = 340282366920938463463374607431768211457 , que possui 39 algarismos, n˜ao ´e primo, pois ´e composto pelo produto dos primos: F7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721 .

(5.5)

Figura 5.98: Explorando os n´umeros de Fermat o wxMaxima. Na tela mostrada na figura 5.98, empregamos os comandos do Maxima: slength, para determinar a quantidade de algarismos de um n´umero; primep para verificar a primalidade de um n´umero; divisors para determinar todos os divisores de um n´umero. Assim, foi poss´ıvel verificar que o n´umero de

˜ ´ 5.4. EXPLORAC ¸ OES ARITMETICAS

187

Fermat F7 n˜ao ´e primo, que possui dois fatores primos e que, portanto, a express˜ao 5.5 corresponde `a decomposi¸c˜ao em fatores primos desse n´umero. Entretanto, quando lidamos com n´umeros ainda maiores, a verifica¸c˜ao da primalidade pode ser dif´ıcil, mesmo com o aux´ılio dos computadores mais poderosos de que dispomos no momento. Assim, n˜ao conhecemos hoje nenhum outro primo de Fermat al´em dos que j´a eram conhecidos em 1640, e nem mesmo sabemos se a quantidade desses primos ´e finita ou infinita. Tais quest˜oes permanecem em aberto. O desafio de saber a quantidade de certos n´umeros especiais tamb´em ocorre com os chamados primos de Mersenne, obtidos a partir de um n´umero primo p pela opera¸c˜ao aritm´etica Mp = 2 p − 1 .

(5.6)

Nem todos os n´umeros Mp = 2p −1, com primo p, s˜ao primos. Executando um sistema de computac¸˜ao alg´ebrica em um microcomputador comum (figura 5.99), n˜ao ´e preciso esperar nem um minuto para testar a primalidade dos n´umeros de Mersenne Mp = 2p − 1 correspondentes aos primeiros duzentos primos p, e listar os catorze primos de Mersenne encontrados.

Figura 5.99: Explorando os n´umeros de Mersenne o wxMaxima. Na tela mostrada na figura 5.99, utilizamos os comandos for, while e do, que servem para executar uma instru¸c˜ao (especificada entre parˆenteses) enquanto uma condi¸c˜ao dada for verdadeira. Neste caso, iniciamos definindo p = 1 e criando uma lista vazia. Em seguida, come¸camos a incrementar o contador i, de uma em uma unidade, e, a cada passo, executamos a seguinte instru¸c˜ao: • determinados o n´umero primo p seguinte, por meio do comando next prime; • calculamos o n´umero de Fermat correspondente a p, fazendo M p = 2p − 1;

• verificamos se Mp ´e primo, por meio da instru¸c˜ao primep, e, em caso afirmativo, inclu´ımos p na lista.

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

188

Por exemplo, quando i = 1, determinados o n´umero primo seguinte ao valor inicial p = 1, que ´e p = 2, calculamos M2 = 22 − 1 = 3 e verificamos se M2 ´e primo. Como M2 ´e primo, inclu´ımos p = 2 na lista. Em seguida, determinamos o pr´oximo n´umero primo, que ´e p = 3, e repetimos a instru¸c˜ao. Executamos essa instru¸c˜ao at´e que o valor do contador i seja igual a 200. Ao final desse processo, teremos produzido uma lista com os n´umeros p, dentre os 200 n´umeros primos, tais que o n´umero de Meresenne Mp = 2p − 1 correspondente ´e primo. Verificamos ainda que o d´ecimo quarto primo de Mersenne, M607 = 53113799281676709868958820655246862732959311772703 19231994441382004035598608522427391625022652292856 68889329486246501015346579337652707239409519978766 587351943831270835393219031728127 possui 183 algarismos. At´e dezembro de 2001 eram conhecidos apenas trinta e nove primos de Mersenne. Hoje, ap´os quase dez anos de computa¸c˜ao ininterrupta em poderosos supercomputadores, o grupo GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) de busca de primos de Mersenne conseguiu aumentar essa quantidade em apenas oito novos n´umeros, sendo que o u ´ltimo deles, M 43112609 , possui mais de doze milh˜oes de algarismos. Atividades 1. Utilize o Maxima para verificar que o quinto e o sexto n´umeros de Fermat n˜ao s˜ao primos e encontre a lista de seus divisores. 2. Utilize o Maxima para verificar que n˜ao existem primos de Mersenne com 608 < p < 1278. 3. Utilize o Maxima para verificar que p = 1279 ´e um n´umero primo, gerador do primo de Mersenne M1279 , com 386 algarismos.

N´ umeros Perfeitos Os sistemas de computa¸c˜ao alg´ebrica tamb´em podem ser utilizados na explora¸c˜ao de algumas fun¸co˜es aritm´eticas interessantes envolvendo a fun¸c˜ao σ(n), que calcula a soma de todos os divisores positivos de um n´umero natural n. Dentre estas est´a uma fun¸c˜ao f que subtrai de cada n´umero natural n a soma de seus divisores positivos pr´oprios (isto ´e, diferentes de 0 e do pr´oprio n). Assim, esta fun¸c˜ao pode ser calculada da seguinte forma: f : N∗ → Z ,

n 7→ f (n) = n − [σ(n) − n] = 2n − σ(n)

De certa forma, a fun¸c˜ao f compara um n´umero natural n com a soma de seus divisores pr´oprios. Por exemplo: f (1) = 1 = 1 − [0] = 1 f (6) = 6 − [1 + 2 + 3] = 0 f (24) = 24 − [1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12] = −12 f (111) = 111 − [1 + 3 + 37] = 70 Ent˜ao, os elementos do conjunto dos zeros da fun¸c˜ao f , f −1 (0) = {n ∈ N∗ | f (n) = 0} = {6, 28, 496, 8128, 33550336, . . .}

˜ ´ 5.4. EXPLORAC ¸ OES ARITMETICAS

189

s˜ao os n´umeros naturais n com a seguinte propriedade: n ´e igual `a soma de seus divisores pr´oprios. Esses n´umeros fascinaram os gregos antigos a ponto de serem chamados de n´umeros perfeitos. Atualmente, os elementos conhecidos desse conjunto s˜ao todos pares e est˜ao relacionados com os primos de Mersenne por meio de um teorema devido parte a Euclides e parte a Euler (para a prova, veja por exemplo [38]): Teorema 5.1 Um n´umero natural n ´e um n´umero perfeito par se, e somente se, n = 2 p−1 Mp , onde Mp ´e um primo de Mersenne. O comando divsum do Maxima calcula σ(n), para n ∈ N∗ (figura 5.100). O Maxima permite tamb´em criar uma lista com os pares ordenados (n, f (n)) e utilizar essa lista para gerar o gr´afico da fun¸c˜ao f . A figura 5.101 mostra esse gr´afico restrito ao retˆangulo de visualiza¸c˜ao 0 < n < 10000 e −100 < f (n) < 100.

Figura 5.100: Explorando a fun¸c˜ao f (n) = 2 n − σ(n) no wxMaxima.

Figura 5.101: O gr´afico da fun¸c˜ao f (n) = 2 n − σ(n).

190

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

A dispers˜ao dos pontos (n, f (n)) do gr´afico da fun¸c˜ao f ´e um verdadeiro convite `a Matem´atica. Observe essa dispers˜ao na figura 5.101. Muitos pontos do gr´afico de f se apresentam alinhados. Por quˆe? Para entender porque muitos pontos do gr´afico de f se apresentam alinhados, vamos explorar inicialmente os alinhamentos horizontais. O caso mais evidente, logo abaixo do eixo x, corresponde aos naturais n para os quais f (n) = −12. Com o aux´ılio do Maxima (figura 5.102) podemos rapidamente listar esses n´umeros e obter f −1 (−12) = {n : f (n) = −12} = {24, 30, 42, 54, 66, 78, 102, 114, 138, 174, . . .} .

Figura 5.102: Explorando o alinhamento f (n) = −12. Observando a decomposi¸c˜ao em fatores primos dos naturais n para os quais f (n) = −12, temos a seguinte proposi¸c˜ao: Proposi¸c˜ ao 5.1 Se n = 6p com p primo distinto de 2 e 3, ent˜ao f (n) = −12. Demonstra¸c˜ ao: Como p ´e um primo distinto de 2 e 3 segue que 6 e p n˜ao possuem divisores comuns al´em do 1. Logo, os divisores de n = 6p s˜ao 1, 2, 3, 6, p, 2p, 3p e 6p. A soma desses divisores ´e σ(n) = 12 + 12p e f (n) = 2n − σ(n) = 12p − (12 + 12p) = −12. O segundo caso de alinhamento horizontal na figura 5.101 corresponde aos naturais n para os quais f (n) = −56. Para este caso temos a seguinte proposi¸c˜ao, cuja demonstra¸c˜ao ser´a deixada como exerc´ıcio. Proposi¸c˜ ao 5.2 Se n = 28p com p primo distinto de 2 e 7, ent˜ao f (n) = −56.

˜ ´ 5.4. EXPLORAC ¸ OES ARITMETICAS

191

Observe que, nas duas proposi¸co˜es anteriores, aparecem os dois primeiros n´umeros perfeitos, 6 e 28. A generaliza¸c˜ao para os demais n´umeros perfeitos se d´a na proposi¸c˜ao a seguir, cuja demonstra¸c˜ao tamb´em ser´a deixada como exerc´ıcio. Proposi¸c˜ ao 5.3 Se K ´e um n´umero perfeito e se n = Kp com p primo n˜ao divisor de K, ent˜ao f (n) = −2K.

Passemos agora a proposi¸co˜es que justificam os alinhamentos obl´ıquos da figura 5.101 e tamb´em fornecem uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para a raridade dos n´umeros perfeitos pares. Essas proposi¸co˜es envolvem uma fam´ılia de retas rk indexadas em k = 0, 1, 2, . . ., com inclina¸co˜es mk = 2−k e intercep
tando o eixo vertical em bk = − 2k+1 − 1 (figura 5.103).

Figura 5.103: A fam´ılia de retas rk :


1 x − 2k+1 − 1 . k 2

Proposi¸c˜ ao 5.4 Para todo k = 0, 1, 2, . . . fixo, os pontos (n, f (n)) de abscissas n = 2 k p para p primo distinto de 2 pertencem `a reta rk . Demonstra¸c˜ ao: Seja k um inteiro positivo fixo e seja n = 2 k p com p primo distinto de 2. Os divisores de n s˜ao 1, 2, 22 ,. . ., 2k , p, 2p, 22 p,. . . e 2k p. A soma desses divisores ´e:

σ(n) = 1 + 2 + 22 + · · · + 2k (1 + p) = 2k+1 − 1 (1 + p) . Assim:



f (n) = 2n − σ(n) = 2 2k
p − 2k+1 − 1 (1 + p) = 2k+1 p − 2k+1
− 1 (1 + p) = −2k+1 + 1
+ p k k+1 = p − 2k+1 − 1 = 2−k −1
·2 p− 2 −k k+1 =2 · n − 2 −1

˜ ALGEBRICA ´ CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

192


−k k+1 Observe que as retas r cortam o eixo horizontal quando 0 = 2 x − 2 − 1 , ou seja, quando k
k k+1 x=2 2 − 1 . Em consequˆencia do Teorema 1, temos a seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ ao 5.5 Todo n´umero perfeito par ´e o zero de alguma reta r k . Atividades

4. Explique porque a reta y = x limita superiormente o gr´afico de f (n) = 2n − σ(n). Ou seja, explique porque nenhum ponto (n, f (n)) se encontra acima da reta y = x. 5. Utilize o Maxima para explorar e fazer conjecturas sobre a existˆencia de uma reta y = −mx (m > 0) que limita inferiormente o gr´afico de f (n) = 2n − σ(n). 6. Utilize o Maxima para explorar o conjunto f −1 (−56) = {n | f (n) = −56}. 7. Utilize o Maxima para explorar o conjunto f −1 (1) = {n | f (n) = 1}. 8. Demonstre a Proposi¸c˜ao 5.2. A rec´ıproca dessa proposi¸c˜ao ´e verdadeira? 9. Demonstre a Proposi¸c˜ao 5.3. 10. Demonstre a Proposi¸c˜ao 5.5. A rec´ıproca dessa proposi¸c˜ao ´e verdadeira? 11. Enuncie e demonstre uma proposi¸c˜ao envolvendo os elementos do conjunto: f −1 (1) = {n | f (n) = 1} . 12. Utilize um CAS para tentar encontrar algum natural n tal que f (n) = 3. 13. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 7. (a) (b) (c) (d)

Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades? Qual ´e o papel do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em compara¸c˜ao com abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)? (e) Quais dessas atividades poderiam ser adaptadas para o ensino m´edio? (f) Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

Aten¸c˜ao: Se vocˆe encontrar uma resposta conclusiva para os problemas 5 e 12, por favor, entre em contato com os autores.

Cap´ıtulo 6 Ensino a Distˆ ancia Introdu¸c˜ ao O termo Educa¸c˜ao a Distˆancia representa uma variedade de modelos educacionais que possuem uma caracter´ıstica em comum: estudantes e professores separados fisicamente e interligados por meio de algum canal de comunica¸c˜ao. Atualmente, muitos dos modelos de educa¸c˜ao a distˆancia usam diferentes tecnologias e aplica¸co˜es diversas. Estudantes e professores podem estar separados apenas no espa¸co, como tamb´em, em muitas das situa¸co˜es, tamb´em em rela¸c˜ao ao tempo, constituindo as modalidades de educa¸c˜ao a distˆancia conhecidas como s´ıncrona e ass´ıncrona, respectivamente. Como em outros modelos de ensino, a educa¸c˜ao a distˆancia pode ser concebida com base nos seguintes componentes fundamentais: conte´udos curriculares; intera¸c˜ao com professores, colegas e equipamentos; aplica¸co˜es pr´aticas; e avalia¸c˜ao. De forma geral, a educa¸c˜ao `a distˆancia como uma possibilidade did´atica deve ter como objetivo fornecer instru¸c˜ao de qualidade aos estudantes separados geograficamente dos locais de ensino, oferecendo acesso ao ensino a uma parcela significativamente maior de estudantes e, ao mesmo tempo, diminuindo os custos materiais e humanos do processo instrucional. As novas tecnologias da informa¸c˜ao tˆem sido utilizadas como ferramentas importantes nos projetos de educa¸c˜ao a distˆancia. Uma categoria das novas tecnologias emergentes ´e a de tecnologias de colabora¸c˜ao mediada por computador. O principal desafio nesse processo ´e o conhecimento necess´ario para utilizar diferentes ferramentas que permitam efetivo aprendizado de conte´udos matem´aticos. Neste cap´ıtulo, apresentaremos propostas para atividades baseadas em resolu¸c˜ao de problemas em que os alunos podem participar tanto estando reunidos presencialmente como distribu´ıdos remotamente, e tanto de modo s´ıncrono, como ass´ıncrono. Ser˜ao apresentadas e discutidas as principais ferramentas, possibilidades e limita¸co˜es de ambientes de educa¸c˜ao a distˆancia, e, com base nessa discuss˜ao, ser˜ao propostos pequenos projetos de elabora¸c˜ao e avalia¸c˜ao de atividades `a distˆancia.

6.1

Ambientes Virtuais de Aprendizagem de Matem´ atica

Chamamos de ambientes virtuais de aprendizagem (tamb´em chamados sistema de gerenciamento de cursos, ou sistema de gerenciamento de aprendizagem) quaisquer ambientes virtuais que permitam a cria¸c˜ao e gerenciamento de s´ıtios de aprendizagem dispon´ıveis na internet, com acesso aberto ou restrito (isto ´e, mediante apresenta¸c˜ao de senha), em que s˜ao oferecidas atividades did´aticas mediadas por tecnologia computacional. Esses ambientes s˜ao geralmente implementados em complexos sistemas computacionais, chamados de plataformas de educa¸c˜ao a distˆancia. Atualmente, o Moodle (Modular Object-Oriented Dynamic Learning Environment) [4] ´e o ambiente virtual de aprendizagem mais utilizada no Brasil e no mundo. Nesta se¸c˜ao, daremos uma vis˜ao geral dos principais recursos dispon´ıveis 193

194

ˆ CAP´ITULO 6. ENSINO A DISTANCIA

em ambientes virtuais de aprendizagem, e na pr´oxima nos aprofundaremos nas ferramentas espec´ıficas do ambiente Moodle. Um bom ambiente virtual de aprendizagem, al´em de viabilizar a comunica¸c˜ao entre todos os envolvidos no processo de ensino e aprendizagem virtual, deve permitir o armazenamento de conte´udos e atividades did´aticas, a realiza¸c˜ao de f´oruns de discuss˜ao, a entrega de trabalhos e tarefas diversas, a avalia¸c˜ao de atividades com registro e divulga¸c˜ao de notas, e a publica¸c˜ao de mensagens e de not´ıcias. Os ambientes virtuais de aprendizagem geralmente possuem uma estrutura b´asica de usu´arios que inclui os perfis de administrador, de professor e de aluno: • O administrador ´e o respons´avel pela instala¸c˜ao, configura¸c˜ao e gerenciamento da plataforma. Ele pode criar ambientes, cadastrar e excluir usu´arios, criar novos perfis de usu´arios e designar fun¸co˜es, al´em de v´arias outras atividades de suporte. • O professor ´e o respons´avel por um ambiente espec´ıfico da plataforma. Nesse ambiente, ele gerencia parˆametros como inser¸c˜ao de alunos, escolha de formatos e aparˆencias, composi¸c˜ao das atividades, acompanhamento e rastreamento de usu´arios atrav´es de relat´orios gr´aficos e estat´ısticos, publica¸c˜ao de notas e configura¸c˜ao dos crit´erios de avalia¸c˜ao. • O aluno participa de um ambiente da plataforma, acessando as atividades programadas, realizando as tarefas propostas, enviando arquivos e interagindo com o professor e demais alunos via f´oruns e chats do ambiente. Dentre os diversos recursos de um ambiente virtual de aprendizagem, destacaremos os f´oruns, as li¸co˜es, as tarefas e os question´arios. Essas atividades podem ser elaboradas pelo professor para realiza¸c˜ao nas modalidades s´ıncrona ou ass´ıncrona. Por exemplo, ´e poss´ıvel restringir a realiza¸c˜ao de uma atividade durante uma hora de um determinado dia, obrigando todos os alunos a realizarem a atividade simultaneamente. Tamb´em ´e poss´ıvel liberar a realiza¸c˜ao de uma atividade durante uma semana de um determinado mˆes, permitindo a cada aluno fazer e refazer a atividade a seu tempo, enquanto ela estiver dispon´ıvel.

O F´ orum de Discuss˜ oes O f´orum de discuss˜oes (figura 6.1) ´e possivelmente o recurso mais importante para a intera¸c˜ao entre todos os personagens envolvidos em um ambiente virtual de aprendizagem. As discuss˜oes em um f´orum virtual sempre come¸cam a partir de um convite ou provoca¸c˜ao inicial do professor, instigando os alunos a publicarem novos t´opicos de discuss˜ao ou a responderem aos t´opicos j´a publicados (figura 6.2). O sucesso do f´orum depende muito dessa provoca¸c˜ao inicial: ´e preciso riscar o f´osforo para que o fogo se alastre. As discuss˜oes podem ser tanto s´ıncronas quanto ass´ıncronas, de qualquer lugar onde haja um computador conectado a internet. Todas as postagens ficam registradas em ordem cronol´ogica no hist´orico do f´orum, e acess´ıveis a todos os usu´arios do ambiente a qualquer tempo. Algumas pesquisas mostram que alunos com maiores dificuldades de express˜ao em p´ublico, tendem a se comunicar muito melhor em f´oruns virtuais (por exemplo, [51]). Por exemplo, o professor pode criar um f´orum desafio, propondo um desafio matem´atico como provoca¸c˜ao, como na figura 6.1, e convidando seus alunos a postarem ideias ou sugest˜oes que encaminhem a resolu¸c˜ao (figura 6.2). Um outro tipo de f´orum muito interessante ´e o f´orum de d´uvidas. Nele o professor pode convidar seus alunos a postarem livremente d´uvidas sobre alguma quest˜ao espec´ıfica ou algum conte´udo em novos t´opicos de discuss˜ao, permitindo que todos respondam aos t´opicos postados. As d´uvidas s˜ao socializadas desta forma e qualquer aluno pode responder a d´uvida de um colega, cabendo ao professor monitorar as respostas e intervir quando necess´ario. Assim, as contribui¸co˜es m´ultiplas do grupo em um f´orum de discuss˜oes podem ajudar cada aluno a desenvolver suas reflex˜oes, relacionando-as com as dos demais colegas.

´ 6.1. AMBIENTES VIRTUAIS DE APRENDIZAGEM DE MATEMATICA

Figura 6.1: Um f´orum de discuss˜oes.

Figura 6.2: T´opico de discuss˜ao de um f´orum de discuss˜oes e respectivas respostas.

195

196

ˆ CAP´ITULO 6. ENSINO A DISTANCIA

A Li¸c˜ ao Virtual A li¸c˜ao virtual ´e um tipo de recurso de estudo dirigido em que o aluno passa por uma sequˆencia encadeada de p´aginas com conte´udos espec´ıficos, devendo ao final de cada p´agina realizar certa a¸c˜ao programada pelo professor para passar para a p´agina seguinte. Este tipo de estudo se caracteriza como dirigido porque o resultado da a¸c˜ao do aluno em cada p´agina determina a p´agina seguinte. Por exemplo, se a a¸c˜ao solicitada ´e escolher uma dentre quatro alternativas, ent˜ao ´e poss´ıvel direcionar o aluno para quatro p´aginas diferentes ou para a pr´opria p´agina em quest˜ao, dependendo da escolha realizada. Por outro lado, se a a¸c˜ao solicitada ´e digitar um n´umero, ent˜ao ´e poss´ıvel direcionar o aluno para a pr´oxima p´agina somente se o n´umero digitado for coerente com o estipulado na configura¸c˜ao da p´agina em quest˜ao pelo professor. A figura 6.3 mostra, como exemplo, a primeira p´agina de uma li¸c˜ao virtual sobre trigonometria, utilizando o aplicativo de geometria dinˆamica Desenrolando o Seno apresentado no cap´ıtulo 4.

Figura 6.3: Uma li¸c˜ao virtual sobre trigonometria.

´ 6.1. AMBIENTES VIRTUAIS DE APRENDIZAGEM DE MATEMATICA

197

A a¸c˜ao para se passar de uma p´agina para outra em uma li¸c˜ao ´e definida e configurada pelo professor. Essa a¸c˜ao pode ser simplesmente clicar em um bot˜ao do tipo continuar, ou responder a quest˜oes de diversos tipos: m´ultipla-escolha, num´ericas, calculadas via uma f´ormula, associativas, verdadeiro ou falso, dissertativas. O resultado da a¸c˜ao do aluno ´e comparado com um gabarito tamb´em definido e configurado anteriormente pelo professor. Esse resultado pode determinar uma nota obtida pelo aluno em cada p´agina, bem como para que p´agina ele ser´a direcionado a seguir. O aluno poder´a inclusive ser redirecionado para a mesma p´agina, caso o resultado seja considerado insatisfat´orio. Neste caso, o professor deve definir na configura¸c˜ao da li¸c˜ao quantas vezes o aluno pode repetir a a¸c˜ao em uma mesma p´agina, bem como um desconto na nota pela repeti¸c˜ao da a¸c˜ao. Uma li¸c˜ao virtual fica dispon´ıvel para os alunos no ambiente dentro de um per´ıodo definido pelo professor. Al´em disso, sua libera¸c˜ao para um determinado aluno pode depender tamb´em de seu resultado em uma li¸c˜ao anterior. Por exemplo, ´e poss´ıvel restringir uma li¸c˜ao para um aluno que n˜ao tenha alcan¸cado determinada nota, com um certo tempo de dedica¸c˜ao em uma li¸c˜ao anterior.

A Tarefa Virtual Uma tarefa virtual ´e um recurso em que os alunos geralmente produzem arquivos digitais, que podem ser dos mais diversos tipos e m´ıdias, sobre temas e conte´udos definidos pelo professor, a serem postados ´ poss´ıvel permitir o atraso na postagem, com ou no ambiente virtual dentro de um prazo estipulado. E sem descontos na nota da tarefa, ou permitir o atraso na postagem. A data e a hora das postagens ficam registradas no ambiente e o professor publica a nota com ou sem coment´arios sobre a tarefa enviada.

Figura 6.4: Uma tarefa virtual. A forma mais simples de tarefa virtual consiste em propor uma quest˜ao e pedir que os alunos enviem suas solu¸co˜es digitadas em arquivos, ou mesmo escritas de pr´oprio punho e escaneadas ou fotografadas, dentro do prazo estipulado. Tamb´em ´e poss´ıvel propor tarefas virtuais em grupo, e solicitar aos alunos que enviem v´ıdeos r´apidos gravados em uma cˆamera digital ou celular, explicando a participa¸c˜ao de cada um no trabalho. Outro tipo interessante de tarefa virtual ´e a proposi¸c˜ao de um desafio matem´atico, premiando o aluno que postar primeiro a resposta correta de acordo com as datas e horas das postagens.

198

ˆ CAP´ITULO 6. ENSINO A DISTANCIA

O Question´ ario Virtual Um question´ario virtual ´e um tipo de recurso em que os alunos respondem a uma lista de exerc´ıcios escolhidos convenientemente de um banco de quest˜oes previamente constru´ıdo pelo professor no ambiente. Como nas li¸co˜es virtuais, as quest˜oes que comp˜oem esse banco podem ser de v´arios tipos: m´ultipla-escolha, num´ericas (com margem de erro), calculadas via uma f´ormula, associativas, verdadeiro ou falso, dissertativas. O professor insere suas quest˜oes no ambiente, bem como as configura¸co˜es de gabarito para a corre¸c˜ao autom´atica (excluindo-se, ´e claro, o caso de quest˜oes dissertativas). As quest˜oes s˜ao arquivadas por categorias e podem ser disponibilizadas de forma colaborativa, para serem usadas por qualquer professor em qualquer ambiente da plataforma.

Figura 6.5: Quest˜oes virtuais. A partir do banco de quest˜oes, a configura¸c˜ao de um question´ario virtual compreende, dentre outras coisas: a escolha das quest˜oes; o per´ıodo de disponibilidade; a forma de apresenta¸c˜ao de coment´arios e feedbacks; o sistema de avalia¸c˜ao com o peso de cada quest˜ao e a possibilidade de novas tentativas; com ou sem aplica¸c˜ao de descontos nas notas. Cada quest˜ao pode ser escolhida de forma espec´ıfica ou de forma aleat´oria, dentro de uma categoria do banco de quest˜oes. Tamb´em ´e poss´ıvel estabelecer um n´umero m´aximo de tentativas de resolu¸c˜ao do question´ario, bem como um limite de tempo para cada tentativa. Ao concluir uma tentativa de resolu¸c˜ao de uma quest˜ao, o aluno recebe automaticamente a nota alcan¸cada. A nota final do question´ario pode ser configurada para ser a maior, a menor ou a m´edia das notas de todas as tentativas efetuadas pelo aluno dentro do prazo estipulado. A seguir, propomos a elabora¸c˜ao de algumas atividades explorando os recursos apresentados acima. Por enquanto, propomos apenas o planejamento geral dessas atividades. Na se¸c˜ao a seguir, daremos instru¸co˜es mais detalhadas para a implementa¸c˜ao de atividades como essas na plataforma Moodle. Para desenvolver estas atividades, o professor necessita articular conhecimentos sobre a matem´atica, sobre aspectos pedag´ogicos do conte´udo e sobre as principais dificuldades de aprendizagem dos alunos.

6.2. A PLATAFORMA MOODLE

199

Atividades 1. Planeje um f´orum para discuss˜ao de um problema de matem´atica. Pense em uma forma criativa para provocar os alunos a participarem desse f´orum. Procure utilizar uma linguagem dial´ogica como forma de comunica¸c˜ao. Por exemplo, para provocar as discuss˜oes, orientar os di´alogos, e direcionar os estudantes durante uma atividade, experimente usar express˜oes do tipo: Eu proponho...; Por que?; O que podemos fazer agora?; Vocˆe concorda?; etc. 2. Planeje uma li¸c˜ao virtual sobre trigonometria com pelo menos 10 p´aginas. Se preferir, a primeira p´agina pode ser a da Figura 6.3. Pense em conte´udos progressivos e a¸co˜es distintas para mudan¸ca de p´aginas. Defina tamb´em a sequˆencia de mudan¸ca de p´aginas na li¸c˜ao de acordo com o resultado das a¸co˜es em cada p´agina. 3. Planeje uma tarefa individual sobre equa¸co˜es do segundo grau. Imagine que tipo de arquivos devam ser enviados (texto, v´ıdeos, fotos, gr´aficos, tabelas, planilhas, etc.). Defina os prazos, a forma de corre¸c˜ao e os crit´erios para a determina¸c˜ao da nota dessa tarefa. 4. Seus colegas professores do ensino m´edio de Matem´atica decidiram implementar um banco de quest˜oes na plataforma de educa¸c˜ao a distˆancia da escola. Cada professor ficou respons´avel por inserir, semanalmente, dez quest˜oes nesse banco, sobre o conte´udo ministrado durante a semana, em cada uma das trˆes s´eries do ensino m´edio. Discuta formas de categoriza¸c˜ao dessas quest˜oes, bem como poss´ıveis formas de utiliza¸co˜es desse banco nos anos seguintes. 5. Um professor idealizou uma olimp´ıada de matem´atica em sua cidade, em duas fases: a primeira fase em ambiente virtual e a segunda fase em sala de aula, com uma prova tradicional para os dez melhores classificados na primeira fase. Comente as vantagens e desvantagens pedag´ogicas e econˆomicas desse tipo de olimp´ıada.

6.2

A Plataforma Moodle

O Moodle ´e atualmente o ambiente virtual de aprendizagem mais utilizada no Brasil e no mundo. Seu projeto ´e concebido para apoiar uma filosofia construcionista social de educa¸c˜ao, e possibilita a cria¸c˜ao de cursos, disciplinas, grupos de trabalho e comunidades virtuais de aprendizagem. O Moodle apresenta estrutura dinˆamica, modular e orientada a objetos, e ´e de desenvolvimento aberto e cont´ınuo, em uma comunidade mundial (www.moodle.org) que congrega mais de 32 milh˜oes de usu´arios, em cerca de 205 pa´ıses, falando mais de 80 idiomas. Na linguagem do Moodle, cada um dos s´ıtios espec´ıficos de aprendizagem, ´e chamado um curso virtual. Nesta se¸c˜ao, faremos uma descri¸c˜ao geral dos procedimentos b´asicos para usar o ambiente Moodle no ensino: cadastrar usu´arios, criar e gerenciar cursos virtuais e implementar as atividades virtuais descritas na se¸c˜ao anterior. Esses procedimentos ser˜ao descritos com base no site de demonstra¸c˜ao do Moodle, dispon´ıvel na p´agina sobre o Moodle do portal de sua comunidade mundial, ou no endere¸co eletrˆonico demo.moodle.net (figura 6.7). Entretanto, ´e importante observar que todas as a¸co˜es que podem ser feitas no site de demonstra¸c˜ao do Moodle reproduzem aquelas que podem ser feitas em uma instala¸c˜ao local. Isto ´e, o site de demonstra¸c˜ao pode ser encarado como um treinamento para cria¸c˜ao e gerenciamento de cursos virtuais e atividades em uma instala¸c˜ao em uma instala¸c˜ao local. A explora¸c˜ao do site de demonstra¸c˜ao do Moodle pode ser feita com os perfis de administrador, professor ou aluno. Cada um desses perfis possui privil´egios espec´ıficos na plataforma. Por exemplo, as permiss˜oes no ambiente s˜ao m´ınimas para o aluno e m´aximas para o administrador. Compare na figura 6.8 as op¸co˜es de configura¸co˜es do administrador, do professor e do aluno. Observamos que cada uma dessas op¸co˜es se desdobram em sub-op¸co˜es clicando sobre o s´ımbolo triangular posicionado ao lado.

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ˆ CAP´ITULO 6. ENSINO A DISTANCIA

Figura 6.6: Portal da comunidade Moodle – www.moodle.org.

Figura 6.7: Acessando o site de demonstra¸c˜ao do Moodle.

Figura 6.8: Janelas de configura¸c˜ao do Moodle.

6.2. A PLATAFORMA MOODLE

201

Fun¸co ˜es do Perfil de Administrador Cadastrando um Novo Usu´ ario Para cadastrar um novo usu´ario na plataforma, o administrador escolhe a op¸c˜ao Acrescentar novo usu´ario, na parte reservada `a Administra¸c˜ao do site, dentro da op¸c˜ao Usu´arios e sub-op¸c˜ao Contas. A escolha desta op¸c˜ao habilita a janela da figura 6.9, com campos para inser¸c˜ao dos dados do novo usu´ario. Pr´oximo aos campos existem c´ırculos com interroga¸co˜es que habilitam explica¸co˜es sobre a funcionalidade dos campos. Observe que os campos obrigat´orios s˜ao: nome de usu´ario, nova senha, nome, sobrenome, endere¸co de e-mail, cidade e pa´ıs. Os demais campos n˜ao s˜ao obrigat´orios, e poder˜ao ser modificados pelo pr´oprio usu´ario na atualiza¸c˜ao de seu perfil.

Figura 6.9: P´agina para cadastramento de usu´arios.

ˆ CAP´ITULO 6. ENSINO A DISTANCIA

202 Criando um Curso Virtual

Para criar um curso virtual, o administrador do escolhe a op¸c˜ao Acrescentar/modificar cursos, na parte reservada `a Administra¸c˜ao do site, dentro das op¸co˜es de Cursos. A escolha dessa op¸c˜ao leva o administrador para uma tabela em que est˜ao todos os cursos do ambiente, agrupados em categorias (figura 6.10). Na parte inferior dessa tabela existem dois bot˜oes que permitem criar um novo curso ou acrescentar uma nova categoria de curso.

Figura 6.10: P´agina para agrupar cursos virtuais em categorias. Acionando o bot˜ao Acrescentar uma nova categoria, o administrador habilita a janela da figura 6.11, com campos para inser¸c˜ao de dados para uma nova categoria de curso. Observe que o u ´nico campo obrigat´orio ´e o nome da categoria. Acionando o bot˜ao Criar um novo curso, o administrador habilita a janela da figura 6.12, com campos para inser¸c˜ao de dados de um o novo curso. Observe que os campos obrigat´orios s˜ao: nome completo e nome breve do curso.

Figura 6.11: P´agina para acrescentar categorias. Ao finalizar a cria¸c˜ao do curso virtual, no bot˜ao Salvar mudan¸cas, o Moodle direciona o administrador para uma p´agina de inscri¸c˜ao de usu´arios no curso (Figura 6.13). Nessa p´agina ´e poss´ıvel inscrever qualquer usu´ario cadastrado na plataforma, e designar que fun¸c˜ao esse usu´ario ter´a no curso. Ao clicar no bot˜ao Inscrever usu´arios, uma janela de busca de usu´arios cadastrados na plataforma ´e disponibilizada, sendo poss´ıvel escolher um usu´ario, um perfil e inscrever esse usu´ario no curso em quest˜ao com o perfil escolhido. Geralmente o administrador inscreve pelo menos um usu´ario com perfil de professor, deixando as demais inscri¸co˜es a crit´erio desse professor.

6.2. A PLATAFORMA MOODLE

Figura 6.12: P´agina para criar cursos virtuais.

Figura 6.13: P´agina para criar cursos virtuais.

203

ˆ CAP´ITULO 6. ENSINO A DISTANCIA

204

Fun¸co ˜es do Perfil de Professor Agora exploraremos o site de demonstra¸c˜ao do Moodle do ponto de vista de um professor, descrevendo como ele insere atividades em um curso. O formato inicial de um curso no Moodle ´e uma programa¸c˜ao (ou agenda) contendo um f´orum de not´ıcias, seguida de uma estrutura de t´opicos (ou semanas). O perfil de professor permite ativar e desativar a edi¸c˜ao do curso, acionando o bot˜ao que aparece no canto superior direito da p´agina do curso. Com a edi¸c˜ao ativada, o professor pode escolher uma s´erie de recursos ou atividades para serem inseridos na programa¸c˜ao do curso ou em um de seus t´opicos espec´ıficos. Al´em disso, a edi¸c˜ao do curso habilita uma lista de ´ıcones ao lado de cada recurso ou atividade, que permitem movimentar, editar, duplicar, excluir, ocultar/exibir para os alunos, definir grupos ou designar fun¸co˜es espec´ıficas para o recurso ou para a atividade em quest˜ao.

Figura 6.14: Modelo de um curso no formato de t´opicos.

Criando um F´ orum Para criar um f´orum, o professor deve escolher a atividade F´orum na caixa de escolha de atividades do local do curso virtual desejado para o f´orum. Essa escolha direciona o professor para a p´agina da figura 6.15. Os campos obrigat´orios da p´agina: Nome do f´orum, que aparecer´a no curso virtual como um link de acesso ao f´orum; e Introdu¸c˜ao ao f´orum, que deve conter um breve resumo do tema do f´orum. Al´em disso, ´e interessante incluir nesse resumo uma provoca¸c˜ao para motivar a discuss˜ao sobre o tema. Os demais campos j´a s˜ao pr´e-definidos e devem ser alterados de acordo com os objetivos do f´orum. As interroga¸co˜es pr´oximos aos campos s˜ao muito u ´teis, pois habilitam explica¸co˜es sobre a funcionalidade de cada campo. Uma vez criado, um f´orum ´e organizado como uma lista de t´opicos. Em geral, os participantes podem acrescentar novos t´opicos (de acordo com as restri¸co˜es de cada tipo de f´orum, descritos a seguir), e enviar mensagens dentro de cada t´opico. Os tipos de f´oruns dispon´ıveis s˜ao: • F´orum geral: ´e um f´orum aberto, em que todos os participantes podem iniciar t´opicos de discuss˜ao sempre que quiserem. • Discuss˜ao simples: ´e um f´orum formado por um u ´nico t´opico, em uma u ´nica p´agina, normalmente usado para organizar discuss˜oes breves com foco em um tema espec´ıfico.

6.2. A PLATAFORMA MOODLE

205

• Cada usu´ario inicia apenas um novo t´opico: cada participante pode acrescentar apenas um novo t´opico de discuss˜ao, mas todos podem responder livremente `as mensagens. Este formato ´e usado, por exemplo, nas atividades em que cada participante apresenta um tema a ser discutido, e atua como moderador da discuss˜ao desse tema. • F´orum de perguntas e respostas: um estudante pode ler as mensagens dos outros somente ap´os publicar a sua mensagem, o que permite que a primeira mensagem de cada estudante seja original e independente.

Figura 6.15: P´agina de cria¸c˜ao de f´orum.

206

ˆ CAP´ITULO 6. ENSINO A DISTANCIA

Criando uma Li¸c˜ ao A cria¸c˜ao de uma li¸c˜ao em um curso virtual do Moodle se d´a em dois momentos distintos: primeiro ´e preciso inserir a atividade, e depois seu conte´udo. Para inserir a atividade, o professor deve escolher a op¸c˜ao Li¸c˜ao na caixa de escolha de atividades do local do curso desejado para a li¸c˜ao. Essa escolha direciona o professor para a p´agina da figura 6.16. O u ´nico campo obrigat´orio ´e o campo Nome, que aparecer´a no curso virtual como um link de acesso `a li¸c˜ao. Os demais campos s˜ao pr´e-definidos e devem ´ poss´ıvel, por exemplo, estipular um tempo m´aximo ser alterados de acordo com os objetivos da li¸c˜ao. E (em minutos) para a execu¸c˜ao da li¸c˜ao, bem como o per´ıodo no qual ela ficar´a dispon´ıvel. Como nos demais p´aginas, as interroga¸co˜es pr´oximos aos campos explicam a funcionalidade de cada campo.

Figura 6.16: P´agina de cria¸c˜ao de li¸c˜ao.

6.2. A PLATAFORMA MOODLE

207

Ao finalizar a cria¸c˜ao da atividade li¸c˜ao, pressionando o bot˜ao Salvar e mostrar da p´agina da figura 6.16, o Moodle direcionar´a o professor para uma p´agina de inser¸c˜ao do conte´udo da li¸c˜ao, mostrada na figura 6.17.

Figura 6.17: Inserindo p´aginas em uma li¸c˜ao. Os conte´udos de uma li¸c˜ao de matem´atica s˜ao, em geral, p´aginas com quest˜oes. Escolhendo a op¸c˜ao Inserir p´agina com quest˜ao, o professor ´e direcionado para a escolha do tipo de quest˜ao a ser inserida como p´agina da li¸c˜ao, que podem ser os seguintes: associa¸c˜ao, disserta¸c˜ao, m´ultipla escolha, num´erica, resposta curta ou verdadeiro/falso. Cada um desses tipos possuem p´aginas espec´ıficos, com campos para o t´ıtulo da p´agina, conte´udo, respostas, pontua¸c˜ao e destina¸c˜ao (isto ´e, para que p´agina o aluno ser´a direcionado), tanto no caso de respostas certas quanto erradas.

Figura 6.18: P´agina para inser¸c˜ao de p´agina em uma li¸c˜ao.

208

ˆ CAP´ITULO 6. ENSINO A DISTANCIA

Criando uma Tarefa As tarefas no Moodle podem ser dos seguintes tipos: envio de arquivo u ´nico, modalidade avan¸cada de envio de arquivos, texto online ou atividade offline para registro de nota de uma atividade externa ao ambiente virtual do curso. Para criar uma tarefa no Moodle, o professor deve escolher o tipo de tarefa desejada na caixa de escolha de atividades do local desejado. Essa escolha direciona o professor para uma p´agina (figura 6.19) em que ´e poss´ıvel definir, dentre outras coisas, o t´ıtulo da tarefa, sua descri¸c˜ao, a nota m´axima, os prazos para entrega e os descontos na nota no caso de envio fora do prazo.

Figura 6.19: P´agina de cria¸c˜ao de tarefa.

6.2. A PLATAFORMA MOODLE

209

Inserindo Perguntas no Banco de Quest˜ oes O perfil de professor disponibiliza, na janela de Configura¸co˜es do curso, uma lista de op¸co˜es para o Banco de quest˜oes do ambiente. Essas op¸co˜es permitem, basicamente, a inser¸c˜ao de perguntas no banco de quest˜oes da plataforma Moodle, e seu armazenamento por categorias. As categorias de perguntas s˜ao criadas pelo professor na op¸c˜ao Categorias. Escolhendo essa op¸c˜ao, o professor ´e direcionado para uma tabela contendo todas as categorias existentes no curso, sendo poss´ıvel adicionar novas categorias ou subcategorias. As perguntas devem ser inseridas pelo professor na op¸c˜ao Perguntas. Escolhendo essa op¸c˜ao, o professor ´e direcionado para uma p´agina de inser¸c˜ao de perguntas no banco de quest˜oes (figura 6.20). Nessa p´agina ´e poss´ıvel escolher a categoria ou subcategoria, bem como o tipo de pergunta a ser inserida.

Figura 6.20: P´agina para inser¸c˜ao de perguntas no banco de quest˜oes. Os tipos de quest˜oes poss´ıveis s˜ao: m´ultipla escolha (com uma ou mais alternativas corretas), verdadeiro/falso, resposta curta (onde a resposta ´e uma palavra ou um texto curto), num´erico (onde a resposta ´e um valor num´erico fixo), calculado (onde a resposta ´e um valor num´erico vari´avel, obtido a partir de uma f´ormula), associa¸c˜ao de ´ıtens, ensaio (resposta dissertativa) e respostas embutidas (combinando v´arios tipos numa mesma pergunta). Cada tipo de pergunta possui uma p´agina espec´ıfica para inser¸c˜ao, que em geral cont´em campos para o t´ıtulo, o texto da pergunta, respostas certas e erradas, defini¸c˜ao de percentuais de notas para respostas certas e erradas e mensagens diversas na forma de feedback. Na figura 6.21, ilustramos as p´aginas para inser¸c˜ao de quest˜oes de m´ultipla escolha e num´erica, respectivamente, exibidas na figura 6.5 da se¸c˜ao anterior.

ˆ CAP´ITULO 6. ENSINO A DISTANCIA

210

Figura 6.21: Quest˜oes de m´ultipla escolha e num´erica. Criando um Question´ ario As quest˜oes inseridas no banco de quest˜oes do ambiente Moodle s˜ao utilizadas em atividades do tipo Question´ario dos cursos virtuais. O professor pode elaborar diversos question´arios a partir do banco, escolhendo quest˜oes de forma aleat´oria ou determinada em categorias espec´ıficas ou gerais. Para inserir um question´ario, o professor deve escolher a atividade Question´ario na caixa de escolha de atividades do local desejado. Essa escolha direciona o professor para a p´agina da figura 6.22.

6.2. A PLATAFORMA MOODLE

211

Figura 6.22: P´agina para cria¸c˜ao de um question´ario. Ou ´nico campo obrigat´orio na p´agina para cria¸c˜ao de um question´ario ´e o seu nome, que ir´a aparecer no curso como um link de acesso ao question´ario. Os demais campos s˜ao pr´e-definidos e devem ser alterados de acordo com os objetivos do question´ario. Ap´os finalizar a cria¸c˜ao do question´ario no bot˜ao Salvar e mostrar, o Moodle direciona o professor para uma p´agina em que ´e poss´ıvel montar o question´ario com as perguntas do banco de quest˜oes do curso, conforme ilustra a figura 6.23.

212

ˆ CAP´ITULO 6. ENSINO A DISTANCIA

Figura 6.23: P´agina para edi¸c˜ao de um question´ario. Atividades 1. Acesse o site de demonstra¸c˜ao do Moodle (demo.moodle.net) como administrador, usando admin como usu´ario e demo como senha. Cadastre um novo usu´ario, crie um novo curso e inscreva esse novo usu´ario como professor desse novo curso. Lembramos que vocˆe pode bagun¸car esse site a vontade, pois ele ´e restaurado de hora em hora: o que vocˆe fizer no site hoje, n˜ao permanecer´a nele amanh˜a. 2. Acesse agora o site de demonstra¸c˜ao do Moodle com o login e senha do usu´ario que vocˆe cadastrou na atividade anterior. Procure o curso que vocˆe criou no qual esse usu´ario ´e professor. Explore o perfil de professor desse curso para implementar as atividades 1 a 4 da se¸c˜ao 6.1. Para esta atividade, vocˆe pode usar qualquer plataforma Moodle em que vocˆe possua acesso a um curso virtual como professor.

Cap´ıtulo 7 Pesquisas Eletrˆ onicas, Processadores de Texto e Hipertexto Introdu¸c˜ ao O advento das tecnologias digitais abriu novas possibilidades para a produ¸c˜ao e veicula¸c˜ao de informa¸c˜ao em larga escala. Tanto as formas de acesso `a informa¸c˜ao quanto as formas de organiza¸c˜ao, express˜ao e registro do conhecimento como texto escrito vˆeem se transformando cada vez mais rapidamente – `as vezes mais rapidamente que nossa pr´opria capacidade de adapta¸c˜ao aos novos modelos. Evidentemente, essas transforma¸co˜es tˆem impactos importantes na sala de aula, e o ensino de Matem´atica n˜ao ´e uma exce¸c˜ao. Iniciaremos este curso abordando possibilidades de busca e organiza¸c˜ao de conte´udos matem´aticos oferecidas pelas novas tecnologias computacionais para uso em sala de aula. Assim, este primeiro cap´ıtulo n˜ao enfocar´a propriamente o uso de recursos computacionais para o ensino de conceitos matem´aticos espec´ıficos (que ser´a a tˆonica dos cap´ıtulos subseq¨uentes). Tampouco nos aprofundaremos nas quest˜oes complexas sobre as novas formas produ¸c˜ao e veicula¸c˜ao de conhecimento acadˆemico. Nosso objetivo limita-se a apresentar e discutir algumas formas de aproveitar recursos computacionais para elaborar textos matem´aticos (curtos ou n˜ao) para uso em sala de aula. A elabora¸c˜ao de pequenos textos (sejam textos te´oricos ou listas de exerc´ıcios) pelo professor pode se constituir em um enriquecimento importante para os livros did´aticos convencionais, pois confere ao professor a autonomia para aprofundar e complementar a abordagem dos conte´udos com base no conhecimento dos alunos que s´o ele pr´oprio pode ter.

7.1

Pesquisas Eletrˆ onicas

Cada vez mais o acesso `a Internet permite a qualquer indiv´ıduo recursos que permitem a procura por todo o tipo de informa¸co˜es, documentos, not´ıcias, aplicativos, sugest˜oes para a sala de aula, conte´udos matem´aticos, livros e praticamente tudo que temos no mundo real est´a de algum modo dispon´ıvel no mundo virtual, al´em da facilidade de comunica¸c˜ao. A rede mundial de computadores ´e por outro lado uma ferramenta para publica¸c˜ao e divulga¸c˜ao de todo o tipo de produ¸c˜ao, e por este meio configura-se um espa¸co onde podemos disponibilizar ao grande p´ublico qualquer produ¸c˜ao individual, sem a necessidade de maiores controles em rela¸c˜ao ao que se deseja publicar. E neste cen´ario de intera¸c˜ao virtual em atividades diversas atuam professores, licenciandos, alunos, a fam´ılia, formadores, pesquisadores dentre outros profissionais. Os diversos aplicativos e ferramentas possibilitam a forma¸c˜ao de comunidades virtuais que por meio 213

ˆ 214 CAP´ITULO 7. PESQUISAS ELETRONICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO de trabalho colaborativo ou individual trabalham com o objetivo de prover e trocar os mais diversos tipos de informa¸co˜es. No ensino de Matem´atica ´e usual um grande volume de informa¸co˜es por estes canais. O professor que busca por pesquisas eletrˆonicas para atividades educacionais ou para pr´opria forma¸c˜ao necessita cuidado quanto a natureza e alcance destas atividades, uma vez que na maioria das vezes n˜ao existem mecanismos de controle e certifica¸c˜ao acadˆemica a respeito de muitas das informa¸co˜es dispon´ıveis nos meio eletrˆonicos. Mantendo o cuidado em confrontar as informa¸co˜es colhidas por pesquisas eletrˆonicas com produ¸co˜es acadˆemicas ´e poss´ıvel utilizar em diferentes possibilidades de aprendizagem, bem como em atividades que podem contribuir para o ensino de diversos conte´udos a partir de valorosas contribui¸co˜es disponibilizadas na rede. Dar exemplos de coisas inadequadas na internet.

7.2

Processadores de Texto e Hipertexto

Ao redigir textos matem´aticos, enfrentamos comumente algumas dificuldades particulares, no que diz respeito tanto `a forma da reda¸c˜ao quanto `a organiza¸c˜ao de seu conte´udo. As dificuldades quanto `a forma devem-se ao fato de a Matem´atica usar s´ımbolos gr´aficos pr´oprios, al´em daqueles que constituem escrita usual (quase como se tratasse de outra l´ıngua, com um alfabeto pr´oprio). Os s´ımbolos matem´aticos n˜ao est˜ao dispon´ıveis (pelo menos de forma adequado) nos editores de texto convencionais. O LATEX ´e o processador de texto padr˜ao em Matem´atica, que permite a representa¸c˜ao gr´afica de qualquer s´ımbolo matem´atico, al´em de dispor de outros recursos importantes para a edi¸c˜ao de textos. Quanto `a organiza¸c˜ao de conte´udo, pode ser interessante estabelecer liga¸co˜es m´ultiplas entre as id´eias matem´aticas que queremos expor, de forma a apontar as rela¸co˜es de um mesmo t´opico com v´arios outros. Para este fim, pode n˜ao ser suficiente organizar o texto em estrutura linear, em que os t´opicos v˜ao simplesmente se sucedendo uns aos outros e cada um deles liga-se diretamente apenas ao precedente e ao seguinte. Neste caso, pode-se recorrer a uma estrutura em rede, em que cada t´opico n˜ao precisa estar ligado somente a um precedente e um seguinte, mas a v´arios outros. Este tipo de estrutura chama-se hipertexto.

Editando Textos Matem´ aticos Nesta se¸c˜ao, apresentamos apenas uma introdu¸c˜ao geral a alguns dos recursos mais b´asicos do LATEX, que permita a prepara¸c˜ao de pequenos textos te´oricos, provas, ou listas de exerc´ıcios. Para uma abordagem mais abrangente sobre o LATEX, por´em ainda acess´ıvel, recomendamos a leitura de [18]. Para os que desejem se aprofundar mais, h´a diversas referˆencias dispon´ıveis, como por exemplo [31], al´em de uma extensa variedade de recursos dispon´ıveis na internet. Antes de mais nada, ´e preciso entender que o LATEX n˜ao ´e um editor de texto convencional, e sim uma linguagem de programa¸c˜ao. Isto significa que os textos n˜ao s˜ao digitados e visualizados diretamente (como nos editores convencionais). Os documentos LATEX s˜ao programados, por meio de um c´odigo sintaxe espec´ıfica, e compilados para que o texto seja gerado. As estruturas b´asicas dessa sintaxe s˜ao: • comandos (identificados pelo s´ımbolo \);

• ambientes (demarcados pelos comandos \begin e \end). Uma estrutura m´ınima para um documento em LATEX ´e exemplificado na figura 7.1 a seguir. O texto propriamente dito deve ser digitado entre os comandos \begin{document} e \end{document} (isto ´e, dentro do comando document). Esta ´e a parte que ser´a visualizada ap´os a compila¸c˜ao do arquivo. A parte anterior ao comando \begin{document} ´e chamado preˆambulo e nela devem ser declaradas as configura¸co˜es quanto `a formata¸c˜ao do documento. A declara¸c˜ao m´ınima no preˆambulo ´e o comando

7.2. PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO

215

\documentclass, que indica o estilo (que define a formata¸c˜ao geral) e o tamanho de letra padr˜ao para o documento (no caso do exemplo da figura 7.1, article e 12pt, respectivamente). H´a outros estilos dispon´ıveis em LATEX (como report e book), e tamb´em ´e poss´ıvel criar um pr´oprio, por´em article ´e o mais simples e conveniente para redigir pequenos textos. No preˆambulo tamb´em ´e poss´ıvel declarar outras propriedades gerais da formata¸c˜ao do documento, tais como tamanho das p´aginas e das margins, estilo de pagina¸c˜ao, etc. \documentclass[12pt]{article} \begin{document} \end{document} Figura 7.1: Estrutura m´ınima para um documento LATEX. Al´em disso, em LATEX devemos diferenciar o modo de texto comum do modo matem´atico, usado para representar a simbologia matem´atica. H´a duas formas principais de demarcar o modo matem´atico em LATEX: $ e $$. A diferen¸ca ´e que o demarcador simples $ gera a simbologia matem´atica dentro da pr´opria linha de texto, e faz algumas adapta¸co˜es de formato para tornar o s´ımbolo menor, enquanto o demarcador duplo $$ gera a simbologia em destaque, centralizado em uma linha. Esta diferen¸ca ´e exemplificada nos quadros a seguir, em que mostramos os c´odigos fonte LATEX e os respecvos resultados gerados. Exemplos: Demarcadores de modo matem´ atico. 1. Se tentarmos resolver a equa\c{c}\~ao racional $$\frac{1}{x^2+1} = 1$$ n\~ao encontraremos solu\c{c}\~oes reais. Se tentarmos resolver a equa¸c˜ao racional x2

1 =1 +1

n˜ao encontraremos solu¸co˜es reais.

2. Se tentarmos resolver a equa\c{c}\~ao racional $\frac{1}{x^2+1} = 1$ n\~ao encontraremos solu\c{c}\~oes reais. Se tentarmos resolver a equa¸c˜ao racional x2

1 =1 +1

n˜ao encontraremos solu¸co˜es reais.

Os exemplos acima ilustram ainda alguns aspectos importantes da sintaxe de LATEX:

ˆ 216 CAP´ITULO 7. PESQUISAS ELETRONICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO • Alguns comandos de LATEX dependem de parˆametros que, neste caso, s˜ao demarcados por: { }. Por exemplo, este ´e o caso do comando \frac, que aparece nos exemplos acima. O comando serve para representar fra¸co˜es e depende de dois parˆametros, que correspondem ao numerador e ao denominador. • Quebras de linha e espa¸cos digitados no c´odigo fonte em LATEX n˜ao geram quebras de linha e espa¸cos correspondentemente no resultado gerado. Este ´e um recurso que permite melhor organiza¸c˜ao do c´odigo fonte, pois as quebras de linha e os espa¸cos podem ser usados para este fim. H´a comandos espec´ıficos para gerar espa¸cos horizontais e verticais no modo matem´atico e no modo texto. • A sintaxe para gerar acentos em LATEX segue o padr˜ao: \ acento letra. Com isso, podemos botar qualquer acento sobre qualquer letra, n˜ao apenas as vogais usualmente acentuadas em portuguˆes. Por exemplo, os c´odigos \~n e \^z geram n ˜ e ˆz, respectivamente. O comando \c gera o sinal de cedilha, que tamb´em pode se posto sob qualquer letra. Por exemplo, \c{s} gera ¸s. H´a editores de c´odigo LATEX que simplificam esta sintaxe, permitindo incluir os acentos como fazemos nos editores de texto usuais, inclusive com corre¸c˜ao ortogr´afica. A seguir, veremos como escrever simbologia no modo matem´atico. Os quadros abaixo, mostram alguns exemplos gen´ericos de c´odigos fonte LATEX, seguidos dos respectivos resultados gerados, em que procuramos percorrer os s´ımbolos mais usados: sinais da quatro opera¸co˜es elementares; sinais de diferente, maior ou igual e menor ou igual; ´ındices inferiores e superiores; fra¸co˜es; letras gregas; fun¸co˜es trigonom´etricas; logaritmos; somat´orios; limites; integrais; quantificadores e implica¸co˜es l´ogicas; opera¸co˜es e rela¸co˜es entre conjuntos. Em todos os exemplos o modo matem´atico foi demarcado com $$. Experimente escrever os exemplos 2, 5, 8, 9 e 11 demarcando com $, e observe as diferen¸cas de formata¸c˜ao. Exemplos: Simbologia matem´ atica em LATEX. 1. \{ [ (2+3) - 5 ] \times 6 \} \div 7 \neq 1 {[(2 + 3) − 5] × 6} ÷ 7 6= 1 2. \sqrt[4]{ \frac{1}{4} } = \frac{\sqrt{2}}{2} r √ 2 4 1 = 4 2 3. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \: \forall\, a,b\in\mathbb{R} (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ∀ a, b ∈ R 4. | |a|-|b| | \leq |a+b| \leq |a|+|b| \: \forall\, a,b\in\mathbb{R} ||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| ∀ a, b ∈ R 5. \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} x2

2 1 1 = − −1 x−1 x+1

7.2. PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO

217

6. \sec^2 \theta = 1 - \tan^2 \theta sec2 θ = 1 − tan2 θ 7. (1+\alpha)^n \geq 1+n\,\alpha \: \forall\,\alpha>0,n\in\mathbb{N} (1 + α)n ≥ 1 + n α ∀ α > 0, n ∈ N 8. \sum_{j=1}^n a_1\,q^{j-1} = a_1\, \frac{q^j-1}{q-1} n X

a1 q j−1 = a1

j=1

qj − 1 q−1

9. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} +∞ X 1 π2 = n2 6 n=1

10.

\lim_{h\rightarrow0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e 1

lim (1 + h) h = e

h→0

11.

\int_1^e x^k\ln x \,dx = \frac{e^{k+1}}{k+1} - \frac{1}{k+1} \int_1^e x^k \,dx Z e Z e ek+1 1 k x ln x dx = − xk dx k + 1 k + 1 1 1

12.

\forall\,\varepsilon>0 \: \exists\,\delta>0 \:|\: 0 0, algarismos entre 0 e 9. Neste caso, n˜ao se tratam mais de simples somas no sentido alg´ebrico, que teriam necessariamente que ser finitas, mas sim, de somas infinitas, o que ´e representado pelo s´ımbolo de reticˆencias. Isto ´e, tratam-se de s´eries [4]. Mas, o que ´e uma s´erie? Bem, a princ´ıpio uma s´erie pode ser pensada simplesmente como uma soma formal com infinitas parcelas S = x0 + x1 + x2 + · · · + x n + · · · . Por´em, calcular o “resultado” desta soma n˜ao ´e o mesmo que calcular o resultado de uma soma finita. A soma de uma s´erie deve ser encarnada como o limite de uma seq¨uencia [5]. Assim, dizemos que a s´erie S converge quando a seq¨uencia de suas somas parciais S0 = x 0 , S1 = x 0 + x 1 , S2 = x 0 + x 1 + x 2 , . . . , Sn = x 0 + x 1 + · · · + x n , · · · for convergente. O fato, que se assume tacitamente, de que as s´eries como em (7.1) s˜ao sempre convergentes – o que equivale a dizer que o conjunto dos n´umeros reais ´e completo [6]. Na verdade pode-se demonstrar, assumindo a completude de R que estas s´eries s˜ao convergentes por meio de uma compara¸c˜ao com s´eries geom´etricas [7] convergentes. Portanto, ao fazermos opera¸co˜es com d´ızimas peri´odicas para obter fra¸co˜es geratrizes, estamos na verdade efetuando opera¸co˜es com limites – que s´o s˜ao leg´ıtimas porque sabemos de antem˜ao que as s´eries envolvidas s˜ao convergentes. Para entender d´ızimas peri´odicas como limites, ´e fundamental compreender bem a igualdade 1 = 0, 9999 . . . [8], que ´e fonte de muitas d´uvidas. Muitos estudantes concebem esta igualdade como n˜ao exata, ou como uma aproxima¸c˜ao. Talvez estas concep¸co˜es estejam relacionadas com certa confus˜ao entre os termos de uma seq¨uencia e seu limite. N˜ao ´e incomum ouvirmos coment´arios do tipo “o limite da seq¨uencia tende a x”. O limite de uma seq¨uencia ´e um n´umero fixo, portanto, n˜ao pode tender a lugar algum! O correto ´e dizer que “o limite da seq¨uencia ´e igual a x”, ou ent˜ao que “a seq¨uencia tende a x”. Neste caso, os termos da seq¨uencia se aproximam indefinidamente de seu limite. No caso da igualdade 1 = 0, 9999 . . ., observamos que o s´ımbolo 0, 9999 . . . representa o limite da seq¨uencia cujos termos s˜ao x1 = 0, 9, x2 = 0, 99, x3 = 0, 999, e assim por diante. Podemos mostrar que esta seq¨uencia tende a 1 [9]. Assim, podemos dizer que os termos x 1 = 0, 9, x2 = 0, 99, x3 = 0, 999, . . . se aproximam de 1, mas o limite 0, 9999 . . . ´e igual a 1!

7.2. PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO

225

Para converter d´ızimas peri´odicas em fra¸co˜es, usamos o procedimento que envolve multiplica¸co˜es por potˆencias de 10 e adi¸co˜es. Como j´a comentamos, esse procedimento envolve opera¸co˜es com limites. Reciprocamente, para converter fra¸co˜es em representa¸co˜es decimais, empregamos divis˜oes sucessivas. Como h´a uma quantidade finita de restos poss´ıveis e, a partir da primeira vez que um resto se repetir todos os algarismos do quociente se repetir˜ao, obtemos necessariamente uma d´ızima peri´odica. Em particular, se aparecer um resto 0, temos um decimal finito. Tais procedimentos, se devidamente organizados, constituemse em um prova matem´atica rigorosa para o fato de que um n´umero real ´e racional se, e somente se, sua representa¸c˜ao decimal ´e finita ou peri´odica [10]. A prova de que R n˜ao ´e enumer´avel [11], argumento conhecido como Diagonal de Cantor [12], tamb´em se baseia na representa¸c˜ao decimal (ou na representa¸c˜ao bin´aria [13]) para os n´umeros reais. Como Q ´e enumer´avel [14], uma consequˆencia direta deste fato ´e que o conjunto dos n´umeros irracionais tamb´em ´e n˜ao enumer´avel. Assim, em um certo sentido, existem muito mais n´umeros irracionais do que racionais. Este fato ´e surpreendente e pode parecer anti-intuitivo, pois na escola, em geral, os alunos tˆem muito mais contato com exemplos diversos de racionais do que de irracionais. No entanto, se pensarmos mais uma vez na representa¸c˜ao decimal, como os racionais s˜ao d´ızimas peri´odicas e os irracionais, n˜ao, poderemos verificar, de um ponto de vista intuitivo, o seguinte: se pud´essemos formar uma express˜ao decimal infinita, sorteando ao acaso d´ıgito por d´ıgito de 0 a 9, a probabilidade de obtermos um irracional ´e muito maior que a de obtermos um racional. Isto seria como jogarmos um dado (honesto) infinitamente e esperar que os d´ıgitos obtidos aleatoriamente se repetissem em um mesmo padr˜ao para sempre! De fato, a probabilidade de obtermos um n´umero racional com este processo ´e igual a zero [15]. Para conceber um hipertexto no qual o texto acima esteja inserido, dois aspectos importantes devem ser considerados: • o p´ ublico alvo, que neste caso constitui-se de professores de Matem´atica do ensino b´asico;

• os objetivos centrais, que neste caso podem ser resumidos como discutir a estrutura da representa¸c˜ao decimal para n´umeros reais, sua importˆancia e suas aplica¸co˜es.

Basicamente, os hiperlinks selecionados neste exemplo referem-se a trˆes tipos de rela¸co˜es com o conte´udo do texto: revis˜oes de pr´e-requisitos b´asicos (no caso de [1], [2], [3], [7], [13]); aprofundamentos de conte´udos avan¸cados relacionados (no caso de [4], [5], [6], [14]); aprofundamentos do pr´oprio conte´udo (no caso de [8], [9], [10], [11], [12], [15]). Essa classifica¸c˜ao leva em conta o p´ublico alvo e os objetivos destacados acima. Assim, aprofundamentos te´oricos do pr´oprio conte´udo do texto referem-se diretamente aos objetivos centrais do hipertexto. Os revis˜oes de pr´e-requisitos b´asicos e os aprofundamentos de conte´udos avan¸cados relacionados levam em conta o conhecimento esperado do p´ublico alvo. Devemos observar que tamb´em que a linguagem empregada foi concebida para ser compat´ıvel com o p´ublico alvo, e os materiais selecionados para o hiperlinks devem ser preferencialmente tamb´em coerentes com esta linguagem. Lembramos ainda que os materiais vinculados aos hiperlinks n˜ao precisam se limitar a textos, e podem se incluir m´ıdias diversas. Por exemplo, no caso dos hiperlinks [3], [4], [5] e [7], ´e poss´ıvel encontrar softwares e anima¸co˜es. A estrutura de hipertexto permite organizar o material de forma que as id´eias principais fiquem concentradas e suas rela¸co˜es e aprofundamentos ramifiquem-se em estrutura de rede.

ˆ 226 CAP´ITULO 7. PESQUISAS ELETRONICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO Atividades 1. Selecione materiais em diversas m´ıdias na internet, que possam ser vinculados aos hiperlinks marcados no texto Representa¸c˜ao Decimal dos N´umeros Reais acima. Leve em conta os crit´erios discutidos na se¸c˜ao anterior. 2. Considere o texto a seguir2 . Suponha que vocˆe queira inseri-lo como parte de um material em forma de hipertexto. (a) Escolha trechos que possam ser vinculados a hiperlinks apontando para outros materiais. Explique e justifique seus crit´erios de escolha, levando em conta o p´ublico alvo e os objetivos do hipertexto. (b) Selecione materiais em diversas m´ıdias na internet, que possam ser vinculados a cada um dos hiperlinks escolhidos. Leve em conta os crit´erios discutidos na se¸c˜ao anterior, certificando-se que cada informa¸c˜ao disponibilizada seja correta. Trigonometria no Triˆ angulo e no C´ırculo A trigonometria ´e certamente um dos t´opicos cuja abordagem no Ensino M´edio ´e mais artificialmente mistificada. Em primeiro lugar, observamos que, em geral, a abordagem de trigonometria em livros did´aticos ´e fortemente calcada por uma quantidade excessiva de f´ormulas (em muitos casos redundantes) e procedimentos memorizados, apresentados com interpreta¸c˜ao geom´etrica insuficiente. Um segundo problema est´a relacionado com os dois contextos matem´aticos fundamentais em que a trigonometria ´e desenvolvida: a trigonometria no triˆangulo retˆangulo e a trigonometria no chamado c´ırculo trigonom´etrico. No triˆangulo retˆangulo, o seno e o cosseno de um ˆangulo agudo s˜ao definidos como raz˜oes entre comprimentos de lados. Portanto, neste contexto, falamos de seno e cosseno de ˆangulos, definidos como raz˜oes trigonom´etricas. No contexto do c´ırculo trigonom´etrico, tomamos como referˆencia um c´ırculo unit´ario C, com centro na origem de um sistema de eixos cartesianos e consideramos os ˆangulos centrais que possuem um dos lados no eixo horizontal e o outro definido por um segmento OB, em que B ´e um ponto sobre a circunferˆencia. Se B est´a no primeiro quadrante, os ˆangulos determinados s˜ao agudos e tudo ocorre como no contexto das raz˜oes trigonom´etricas no triˆangulo retˆangulo. Como as hipotenusas dos triˆangulos medem uma unidade, o seno e o cosseno corresponder˜ao `as medidas das suas proje¸co˜es sobre os eixos cartesianos. Existe uma correspondˆencia entre os ˆangulos centrais e os arcos correspondentes determinados por este ˆangulos. Portanto, podemos pensar que o seno e o cosseno dependem apenas do comprimento desses arcos – por isso, o radiano aparece como um unidade natural no contexto das fun¸co˜es trigonom´etrica. Agora, podemos mover livremente o ponto B sobre a circunferˆencia, obtendo ˆangulos obtusos, dando mais de uma volta completa no c´ırculo e andando no sentido negativo (hor´ario). Desta forma, os conceitos inicialmente constru´ıdos, tendo o triˆangulo retˆangulo como referˆencia, s˜ao estendidos e, assim, passamos a tratar de seno e cosseno de n´umeros reais. Isto nos possibilita definir as fun¸co˜es trigonom´etricas, com dom´ınio em R. O problema ´e que esses dois contextos s˜ao tratados de forma completamente estanque, sem que as rela¸co˜es entre eles sejam explicitadas e devidamente esclarecidas. Isto pode at´e mesmo causar nos alunos a impress˜ao de que, quando falamos de seno e cosseno no triˆangulo retˆangulo, ou no c´ırculo trigonom´etrico, ou nas 2

Adaptado de ProfMat – Mestrado Profissional em Matem´atica em Rede Nacional, Sociedade Brasileira de Matem´atica, roteiros para a disciplina N´ umeros, Conjuntos e Fun¸co ˜es Elementares.

7.2. PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO

227

fun¸co˜es trigonom´etricas, estamos nos referindo a conceitos matem´aticos inteiramente desconectados, que talvez “por acaso” tenham o mesmo nome. Antes de mais nada, ´e importante observar a importˆancia do conceito de semelhan¸ca para a boa defini¸c˜ao das raz˜oes trigonom´etricas no triˆangulo retˆangulo. De fato, se dois triˆangulos retˆangulos possuem um ˆangulo agudo em comum, ent˜ao estes ser˜ao necessariamente triˆangulos semelhantes. Portanto, as raz˜oes entre seus lados correspondentes ser˜ao iguais. Isto nos garante que o seno e o cosseno fiquem bem definidos, isto ´e, que seus valores dependam apenas do ˆangulo, e n˜ao do triˆangulo retˆangulo escolhido. De forma geral, ao ler esta se¸c˜ao, procure atentar para o fato de que todas as rela¸co˜es entre raz˜oes trigonom´etricas s˜ao na verdade express˜oes alg´ebricas de propriedades geom´etricas envolvendo os triˆangulos retˆangulos, seus lados e ˆangulos. Por exemplo, o fato de que o seno de um ˆangulo ´e igual ao cosseno de seu complementar ´e uma conseq¨uˆencia direta da Lei Angular de Tales e das pr´oprias defini¸co˜es das raz˜oes trigonom´etricas. Chamar aten¸c˜ao para essas interpreta¸co˜es geom´etricas, dando significado `as rela¸co˜es alg´ebricas, deve ser uma atitude permanente no ensino de trigonometria na Educa¸c˜ao B´asica. A constru¸c˜ao do c´ırculo trigonom´etrico pode ser feita por meio da fun¸c˜ao de Euler E : R → C, que enrola a reta no c´ırculo a partir do ponto (1, 0) = E(0). Observe como o radiano surge naturalmente neste contexto como uma unidade de medida linear de comprimento de arco. Como j´a observamos, o seno e o cosseno s˜ao representados geometricamente pelas proje¸co˜es do raio do c´ırculo nos eixos coordenados. A partir da´ı, suas principais propriedades apresentam representa¸co˜es geom´etricas simples no c´ırculo trigonom´etrico. O c´ırculo trigonom´etrico ´e a base para a constru¸c˜ao das fun¸co˜es trigonom´etricas. 3. Suponha que vocˆe queira elaborar um pequeno resumo, em formato de hipertexto, empregando referˆencias de sites encontrados na internet, para introduzir o conceito de logaritmo para alunos do Ensino M´edio. (a) Elabore uma lista de t´opicos relacionados que vocˆe incluiria no corpo do texto principal e como hiperlinks. Explique e justifique seus crit´erios de escolha, levando em conta o p´ublico alvo e os objetivos do hipertexto. (b) Selecione materiais em diversas m´ıdias na internet, que possam ser vinculados a cada um dos hiperlinks escolhidos. Leve em conta os crit´erios discutidos na se¸c˜ao anterior, certificando-se que cada informa¸c˜ao disponibilizada seja correta. (c) Elabore a estrutura geral para o hipertexto, utilizando os t´opicos e hiperlinks relacionados nos ´ıtens anteriores. 4. Considere um problema abaixo3 . Suponha que vocˆe queira propor a seus alunos um roteiro de estudos para a solu¸c˜ao do problema, que forne¸ca diversas possibilidades para explora¸c˜ao. O roteiro deve ser baseado em pesquisa eletrˆonica e utiliza¸c˜ao de hipertexto. Se dois paralelep´ıpedos tˆem uma base comum e suas bases superiores pertencem a um mesmo plano, paralelo ao plano da base comum, ent˜ao esses dois paralelep´ıpedos possuem o mesmo volume. (a) Escreva o problema proposto e o roteiro que os alunos devem executar. 3

Proposi¸c˜ao VII do Livro VI dos Elementos de Geometria de Adrien Marie Legendre [46].

ˆ 228 CAP´ITULO 7. PESQUISAS ELETRONICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO (b) Acrescente ao roteiro hiperlinks para: i. informa¸co˜es hist´oricas pesquisadas na internet; ii. formas de representa¸co˜es ou simula¸co˜es para o problema, tais como aplets, constru¸co˜es com geometria dinˆamica, softwares de representa¸c˜ao 3D. iii. textos que reproduzam a solu¸c˜ao do problema, que possam ser consultados pelos alunos. Ao selecionar o conte´udo desses hiperlinks, leve em conta os crit´erios discutidos na se¸c˜ao anterior, certificando-se de sua corre¸c˜ao. (c) Pe¸ca que cada estudante apresente uma solu¸c˜ao para o problema e que utilize as diversas formas de representa¸c˜ao fornecida pelo editor e os hiperlinks fornecidos. 5. Desenvolva o exerc´ıcio 4 em dois modelos: (a) utilizando links remotos cujo acesso ´e obtido por internet; (b) modo re´una todo material poss´ıvel em um diret´orio local, de modo que o problema pode ser desenvolvido como atividade em local onde n˜ao h´a disponibilidade de acesso `a internet.

Cap´ıtulo 8 Crit´ erios para Sele¸c˜ ao de Recursos Computacionais no Ensino de Matem´ atica Introdu¸c˜ ao Nos cap´ıtulos anteriores, apresentamos algumas modalidades de recursos computacionais e discutimos suas possibilidades de aplica¸c˜ao a diferentes t´opicos do ensino b´asico de Matem´atica. Neste cap´ıtulo final, em lugar de conduzir a discuss˜ao sob perspectiva dos recursos computacionais, abordaremos a escolha de modalidades de recursos computacionais adequadas a partir dos t´opicos a serem apresentados. Isto ´e, discutiremos crit´erios para sele¸c˜ao de recursos computacionais no ensino de Matem´atica. Como procuramos exemplificar em diversas situa¸co˜es ao longo deste texto, a incorpora¸c˜ao de tecnologias computacionais no ensino de Matem´atica possibilita novas abordagens, em alguns casos revelando aspectos dos conceitos matem´aticos que dificilmente poderiam ser ensinados por meio de recursos convencionais. Desta forma, surgem novos problemas e s˜ao necess´arias novas estrat´egias para resolvˆe-los. A introdu¸c˜ao de uma ferramenta tecnol´ogica em sala de aula deve se orientar por objetivos e competˆencias a serem adquiridas pelos estudantes. Caso contr´ario, ´e bastante prov´avel que a ferramenta n˜ao seja realmente integrada ao processo de ensino, convertendo-se apenas em um simples adere¸co. Este processo deve envolver a compreens˜ ao da adequa¸c˜ ao da ferramenta aos conceitos matem´ aticos ´ abordados, bem como as perspectivas did´ aticas em que ocorre a integra¸c˜ ao da tecnologia. E fundamental que sejam consideradas ainda as potencialidades e prov´ aveis limita¸co ˜es dos recursos tecnol´ogicos quando aplicados ao contexto de ensino e aprendizagem em quest˜ao. Face a esta problem´atica, a avalia¸c˜ao cr´ıtica da incorpora¸c˜ao de tecnologias computacionais no ensino de Matem´atica, levando em conta tanto os aspectos conceituais dos t´opicos matem´aticos, quanto as especificidades de cada contexto educacional, n˜ao ´e um problema de solu¸c˜ao trivial. Nas duas se¸co˜es a seguir, apresentamos exemplos de planos de aula empregando recursos computacionais, e discutimos a escolha e adequa¸c˜ao desses recursos aos objetivos conceituais e pedag´ogicos. Neste sentido, ´e importante destacar que tais objetivos n˜ao podem ser estabelecidos a priori, como se o planejamento fosse concebido para uma aula convencional – a pr´ opria op¸c˜ ao em usar recursos computacionais cria novas possibilidades instrucionais. Procuramos selecionar exemplos de atividades que possibilitem o uso de mais de uma modalidade de recursos computacionais. Assim, ser˜ao discutidos crit´erios para sele¸c˜ao desses recursos para um determinado contexto educacional, em ambientes de sala de aula convencional ou de laborat´orio, levando em conta as especificidades de cada situa¸c˜ao.

231

´ ˜ DE RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEM 232CAP´ITULO 8. CRITERIOS PARA SELEC ¸ AO

8.1

Interpretando Dados do Cotidiano

Analisar e interpretar dados num´ericos reais ´e, sem d´uvida, uma boa proposta de aula com recursos tecnol´ogicos. Em muitos casos, dados num´ericos que podem ser facilmente pesquisados na internet possuem consequˆencias relevantes para a vida cotidiana, por´em sua an´alise pode envolver c´alculos pesados, dif´ıceis de serem realizados manualmente. Softwares computacionais acess´ıveis a professores e alunos do ensino b´asico podem ser usados para analisar e interpretar esses dados. Trazer essas an´alises para a sala de aula e discutir seus resultados a luz dos conte´udos matem´aticos ensinados pode tornar a aprendizagem muito mais significativa. Como exemplo, vamos apresentar como usar dados relacionados ao clima de uma regi˜ao para encontrar fun¸co˜es peri´odicas que ajustam esses dados ao longo dos meses do ano. Temperaturas m´edias, volume de chuvas e outros dados clim´aticos podem ser facilmente obtidos na internet, e uma boa fonte de busca ´e o Banco de Dados Clim´aticos do Brasil, da Embrapa 1 . Nesse banco ´e poss´ıvel encontrar dados de muitas cidades brasileiras, em per´ıodos significativos (figura 8.1).

Figura 8.1: Banco de dados clim´aticos do Brasil. O professor pode planejar uma aula em que cada aluno trabalhe com os dados clim´aticos de uma determinada cidade brasileira. Assim cada aluno ter´a seu pr´oprio conjunto de dados. O trabalho pode se concentrar, por exemplo, nos dados relativos `as temperaturas m´edias mensais da cidade escolhida. Vamos desenvolver essa proposta com a cidade de Curitiba. As temperaturas mensais m´edias da capital paranaense no per´ıodo de 1963 a 1990 s˜ao mostradas na segunda coluna da tabela da figura 8.1. Os alunos podem calcular inicialmente alguns valores que exprimem o comportamento desses dados, tais como: 1

www.bdclima.cnpm.embrapa.br/resultados

8.1. INTERPRETANDO DADOS DO COTIDIANO

233

• temperatura m´edia anual: 16, 5◦ C (aproximadamente); • maior temperatura m´edia mensal: 19, 9◦ C (fevereiro);

• menor temperatura m´edia mensal: 12, 2◦ C (junho);

• varia¸c˜ao das temperaturas m´edias mensais: 7, 7◦ C;

• temperatura m´edia mensal mais pr´oxima da m´edia anual: 16, 5 ◦ C (outubro). Dependendo da quantidade e complexidade dos dados, c´alculos como os acima podem ser feitos com uma calculadora de bolso, ou como uma planilha eletrˆonica. Usar uma planilha eletrˆonica tamb´em pode ser uma primeira op¸c˜ao para representar os dados graficamente (figura 8.2). A interpreta¸c˜ao gr´afica pode ajudar os alunos a perceberem mais claramente a tendˆencia do comportamento dessas temperaturas ao longo das esta¸co˜es do ano. Essa discuss˜ao pode ser feita mesmo com alunos do ensino fundamental, e constitui uma maneira interessante de introduzir representa¸co˜es gr´aficas nesse segmento escolar. Al´em disso, o comportamento das m´edias mensais de temperatura ser˜ao influenciados pelas condi¸co˜es clim´aticas da cidade em quest˜ao, o que propicia uma oportunidade de abordagem interdisciplinar com a disciplina de Geografia.

Figura 8.2: Gr´afico das temperaturas mensais m´edias em Curitiba no per´ıodo de 1963 a 1990. Uma quest˜ao, um pouco mais avan¸cada que pode ser proposta a partir da visualiza¸c˜ao do gr´afico ´e a seguinte: Que tipo de fun¸c˜ao pode ser usada para aproximar o comportamento das temperaturas m´edias ao longo do ano? Como a varia¸c˜ao anual das temperaturas apresenta certa periodicidade (mesmo que n˜ao no sentido matem´atico estrito do termo), uma op¸c˜ao razo´avel pode ser procurar uma fun¸c˜ao trigonom´etrica que ajuste a curva mostrada na figura 8.2. Tal fun¸c˜ao de ajuste pode ter a forma: T (x) = a + b sen (cx + d) . Os parˆametros a, b, c, d da fun¸c˜ao T podem ser explorados empiricamente por meio de uma constru¸c˜ao em um software de geometria dinˆamica (como mostraremos a seguir). Tal explora¸c˜ao pode ajudar os alunos a entenderem o comportamento de fun¸co˜es trigonom´etricas de forma mais concreta, tornando seu ensino mais interessante. No GeoGebra, a constru¸c˜ao pode ser feita de acordo com os seguintes passos:

´ ˜ DE RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEM 234CAP´ITULO 8. CRITERIOS PARA SELEC ¸ AO 1. introduza os pontos (x, T ) correspondentes aos valores tabelados para os meses x e para as temperaturas m´edias, digitando no campo Entrada; 2. ajuste a janela de visualiza¸c˜ao geom´etrica para uma varia¸c˜ao horizontal (eixo do tempo t em meses) de −1 a 13 e vertical (eixo das temperaturas T em graus Celsius) de −1 a 30;

3. introduza os parˆametros a, b, c, d como vari´aveis dinˆamicas do aplicativo, com a variando de 10 a 30, b variando de 0 a 10, c variando de 0 a 2 e d variando de −10 a 0; 4. construa o gr´afico da fun¸c˜ao T (x) = a + b sen(cx + d), digitando a express˜ao no campo Entrada.

Figura 8.3: Ajuste trigonom´etrico no GeoGebra. Ap´os esses passos, os alunos podem brincar a vontade, variando os parˆametros a, b, c, d para buscar, via observa¸c˜ao da geometria dinˆamica, valores dos parˆametros que resultem em um bom ajuste dos pontos ao gr´afico da fun¸c˜ao. Na figura 8.3 temos um poss´ıvel resultado dessa brincadeira para a cidade de Curitiba, que resultou no ajuste f (x) = 16, 5 + 3, 85 sen (0, 52 x − 5, 2) . Ao final da brincadeira com a constru¸c˜ao dinˆamica, o professor poder´a explorar questionamentos sobre as propriedades matem´aticas da fun¸c˜ao de ajuste, como aqueles propostos na atividade 1.

8.2. RESOLVENDO UM PROBLEMA DE DIVERSAS FORMAS

235

Atividades 1. (a) O parˆametro a ´e muito pr´oximo da temperatura m´edia anual. Por quˆe? (b) O parˆametro b ´e muito pr´oximo da metade da varia¸c˜ao das temperaturas m´edias mensais. Por quˆe? π . Por quˆe? (c) O parˆametro c ´e muito pr´oximo de 12 (d) O parˆametro d possui uma rela¸c˜ao com o mˆes em que a temperatura m´edia mensal foi mais pr´oxima da temperatura m´edia anual. Qual seria essa rela¸c˜ao? 2. Considerando a explora¸c˜ao de dados num´ericos proposta nesta se¸c˜ao, responda `as quest˜oes a seguir. (a) Quais s˜ao os objetivos matem´aticos (isto ´e, que conceitos matem´aticos podem ser abordados) da explora¸c˜ao com apoio da planilha eletrˆonica? (b) Como a planilha eletrˆonica pode enriquecer a explora¸c˜ao? (c) Para que etapas do ensino b´asico vocˆe considera que o uso da planilha eletrˆonica nesta explora¸c˜ao ´e adequado? (d) Que quest˜oes vocˆe proporia a seus alunos para ajudar a explora¸c˜ao dos dados com apoio da planilha eletrˆonica? 3. Considerando a explora¸c˜ao de dados num´ericos proposta nesta se¸c˜ao, responda `as quest˜oes a seguir. (a) Quais s˜ao os objetivos matem´aticos (isto ´e, que conceitos matem´aticos podem ser abordados) da explora¸c˜ao com apoio do ambiente de geometria dinˆamica? (b) Como o ambiente de geometria dinˆamica pode enriquecer a explora¸c˜ao? (c) Para que etapas do ensino b´asico vocˆe considera que o uso do ambiente de geometria dinˆamica nesta explora¸c˜ao ´e adequado? (d) Que propriedades de fun¸co˜es trigonom´etricas podem ser estudadas nesta explora¸c˜ao com apoio do ambiente de geometria dinˆamica? (e) Que quest˜oes vocˆe proporia a seus alunos para ajudar a explora¸c˜ao dos dados com apoio do ambiente de geometria dinˆamica?

8.2

Resolvendo um Problema de Diversas Formas

Muitos problemas de otimiza¸c˜ao, que recaem em fun¸co˜es do segundo grau, s˜ao acess´ıveis a alunos ensino m´edio. Considere, por exemplo, o seguinte problema. Dentre todos os retˆangulos com 10 cm de per´ımetro, determine aquele que tem a maior ´area. Se chamamos de x e y os lados do retˆangulo, ent˜ao temos que y = 5 − x. Logo, a ´area do retˆangulo ´e dada em fun¸c˜ao de x por S = x(5 − x). Portanto, para resolver este problema, devemos determinar o ponto de m´aximo da fun¸c˜ao: S : ]0, 5[ → R ,

S(x) = x(5 − x) .

Assim, conclu´ımos que o retˆangulo procurado ´e o quadrado de lado 2, 5 cm.

´ ˜ DE RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEM 236CAP´ITULO 8. CRITERIOS PARA SELEC ¸ AO Outros problemas de otimiza¸c˜ao s˜ao modelados por fun¸co˜es cuja an´alise requer t´ecnicas de c´alculo diferencial. Mesmo esses problemas podem ser explorados no ensino m´edio, com o apoio de recursos computacionais. Para ilustrar esse tipo de explora¸c˜ao, considere o problema a seguir. Ser´a constru´ıda uma caixa (sem tampa) com uma folha quadrada de cartolina com 2 m de lado. Para isso, ser´a cortado um quadrado de lado x em cada v´ertice da folha, como mostra a figura ao lado. Em seguida, as abas assim determinadas ser˜ao dobradas e coladas, formando a caixa. Qual deve ser o valor de x para que a caixa tenha o maior volume poss´ıvel? A caixa assim constru´ıda ser´a um paralelep´ıpedo reto cuja base ´e um quadrado de lado 1 − 2x e a altura ´e igual a x. Logo, o volume da caixa ´e dado por V = x (2 − 2x) 2 . Os valores de x variam entre 0 e 1. Portanto, para resolver este problema, devemos buscar o ponto de m´aximo da fun¸c˜ao: V : ]0, 1[ → R ,

V (x) = x (2 − 2x)2 .

Como V ´e uma fun¸c˜ao do terceiro grau, para resolver o problema precisar´ıamos determinar a derivada de V . Entretanto, a existˆencia da solu¸c˜ao deste problema e a busca por uma solu¸c˜ao aproximada podem ser exploradas no ensino m´edio, por meio de softwares computacionais. Uma primeira op¸c˜ao ´e empregar um ambiente gr´afico simples para tra¸car o gr´afico da fun¸c˜ao (figura ´ importante alertar os alunos para o dato de que o dom´ınio da fun¸c˜ao V no problema 8.4, `a esquerda). E em quest˜ao ´e o intervalo aberto ]0, 1[ (que corresponde aos valores de x que fazem sentido para o problema). Portanto, embora, de forma geral, o software gerar´a o gr´afico para todos os valores de x ∈ R, s´o devemos considerar o trecho correspondente a 0 < x < 1. Observando o gr´afico gerado, ´e poss´ıvel perceber a existˆencia de um ponto de m´aximo no intervalo ]0, 1[ . Em seguida, ´e poss´ıvel usar os recursos do software para aproximar a janela gr´afica desse ponto de m´aximo (figura 8.4, `a direita). Pode-se verificar assim que o valor da abscissa do ponto de m´aximo ´e pr´oximo de 0, 33.

Figura 8.4: Aproximando a solu¸c˜ao do problema de otimiza¸c˜ao em um ambiente gr´afico. Observe que a existˆencia (mas n˜ao a unicidade) do ponto de m´aximo pode ser justificada analiticamente pela an´alise do sinal da fun¸c˜ao. De fato, como V (0) = V (1) = 0 e V (x) > 0 para x ∈ ]0, 1[ (e V ´e cont´ınua), deve existir pelo menos um ponto de m´aximo no intervalo ]0, 1[ . Entretanto, para determinar analiticamente o valor desse ponto de m´aximo, s˜ao necess´arias t´ecnicas do c´alculo diferencial. Os alunos podem supor, por exemplo, que o ponto de m´aximo encontra-se no ponto m´edio das ra´ızes, generalizando indevidamente a propriedade familiar a fun¸co˜es do segundo grau. O professor deve alertar, neste caso, que essa propriedade n˜ao se aplica a fun¸co˜es polinomiais de grau maior ou igual a 3, com apoio de visualiza¸c˜ao no ambiente gr´afico. Estas discuss˜oes s˜ao acess´ıveis ao ensino m´edio e

8.2. RESOLVENDO UM PROBLEMA DE DIVERSAS FORMAS

237

corresponde a maneira de abordar fun¸co˜es polinomiais pouco explorada em geral. Al´em disso, ´e poss´ıvel motivar a necessidade de outras t´ecnicas para determinar o valor exato do ponto de m´aximo, quanto os m´etodos alg´ebricos estudados no ensino m´edio n˜ao s˜ao suficientes. Outra op¸c˜ao ´e, em um ambiente de geometria dinˆamica, construir o gr´afico da fun¸c˜ao, diretamente a partir da situa¸c˜ao geom´etrica. Para isso, no GeoGebra, iniciamos fazendo a constru¸c˜ao geom´etrica correspondente ao problema. Primeiro, constru´ımos um quadrado ABCD de lado 2 (figura 8.5).

Figura 8.5: Explorando um problema de otimiza¸c˜ao GeoGebra. Em seguida, completamos a constru¸c˜ao geom´etrica (figura 8.6) por meio dos seguintes passos: 1. Marque M , o ponto m´edio do lado AB do quadrado, e marque um ponto m´ovel X 1 sobre AM . Trace o c´ırculo de centro A e raio AX1 , e marque o ponto X2 , de interse¸c˜ao desse c´ırculo com o lado AD. 2. Trace a reta perpendicular ao lado AD passando por X2 , e marque o ponto X3 , de interse¸c˜ao dessa reta com o lado BC. Trace o c´ırculo de centro B e raio BX 3 , e marque o ponto X4 , de interse¸c˜ao desse c´ırculo com o lado AB. 3. Trace a reta perpendicular ao lado AB passando por X4 , e marque o ponto X5 , de interse¸c˜ao dessa reta com o lado CD. Trace o c´ırculo de centro C e raio CX 5 , e marque o ponto X6 , de interse¸c˜ao desse c´ırculo com o lado BC. 4. Trace a reta perpendicular ao lado BC passando por X6 , e marque o ponto X7 , de interse¸c˜ao dessa reta com o lado AD. Trace a reta perpendicular ao lado AB passando por X 1 , e marque o ponto X8 , de interse¸c˜ao dessa reta com o lado AD.

Figura 8.6: Explorando um problema de otimiza¸c˜ao GeoGebra.

´ ˜ DE RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEM 238CAP´ITULO 8. CRITERIOS PARA SELEC ¸ AO Finalmente, usamos essa constru¸c˜ao para gerar o gr´afico da fun¸c˜ao volume V . Para isso, exiba os eixos cartesianos no GeoGebra, e digite a seguinte sequˆencia de express˜oes no campo Entrada: 1. X = comprimento[vetor[A, X1 ]] que corresponde ao valor da altura da caixa (Usamos X mai´usculo, pois x e y min´usculos s˜ao reservados no software para as vari´aveis associadas aos eixos cartesianos); 2. L = comprimento[vetor[X1 , X4 ]] que corresponde ao valor do lado da base da caixa; 3. P = (X, X ∗ L ∗ L) que corresponde ao ponto no plano cuja abscissa ´e o valor de x, e a ordenada ´e o valor de V (x) correspondente. Agora, vocˆe poder´a pedir que os alunos movam o ponto X 1 sobre o segmento AM e observem o movimento consequente do ponto P (figura 8.7). Em seguida, podemos usar a ferramenta de lugar geom´etrico do software para gerar o lugar geom´etrico do ponto P quanto X 1 varia, que corresponde ao gr´afico da fun¸c˜ao V (figura 8.8).

Figura 8.7: Explorando um problema de otimiza¸c˜ao GeoGebra.

Figura 8.8: Explorando um problema de otimiza¸c˜ao GeoGebra.

8.2. RESOLVENDO UM PROBLEMA DE DIVERSAS FORMAS

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´ importante observar que tanto as explora¸co˜es descritas acima, tanto no ambiente gr´afico quanto E no ambiente de geometria dinˆamica, ajudam a entender o problema de otimiza¸c˜ao, fornecem abordagens para fun¸co˜es reais diferentes das usuais, e podem servir como motiva¸c˜ao para a introdu¸c˜ao do c´alculo diferencial. No entanto, estas n˜ao conduzem `a solu¸c˜ao exata do problema. No caso de alunos que j´a tˆem familiaridade com c´alculo, este problema pode ainda ser explorado em um sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica, como o Maxima (figura 8.9).

Figura 8.9: Explorando um problema de otimiza¸c˜ao Maxima. 4 1 Assim, o valor de x que gera `a caixa de maior volume ´e x 0 = , que corresponde a V (X) = . 3 9 Atividades 1. Considerando a explora¸c˜ao do problema de otimiza¸c˜ao proposta nesta se¸c˜ao, responda `as quest˜oes a seguir. (a) Quais s˜ao os objetivos matem´aticos (isto ´e, que conceitos matem´aticos podem ser abordados) da explora¸c˜ao com apoio do ambiente gr´afico? (b) Como o ambiente gr´afico pode enriquecer a explora¸c˜ao? (c) Para que etapas do ensino b´asico vocˆe considera que o uso do ambiente gr´afico nesta explora¸c˜ao ´e adequado? (d) Que quest˜oes vocˆe proporia a seus alunos para ajudar a explora¸c˜ao dos dados com apoio do ambiente gr´afico?

´ ˜ DE RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEM 240CAP´ITULO 8. CRITERIOS PARA SELEC ¸ AO 2. Considerando a explora¸c˜ao do problema de otimiza¸c˜ao proposta nesta se¸c˜ao, responda `as quest˜oes a seguir. (a) Quais s˜ao os objetivos matem´aticos (isto ´e, que conceitos matem´aticos podem ser abordados) da explora¸c˜ao com apoio do ambiente de geometria dinˆamica? (b) Como o ambiente de geometria dinˆamica pode enriquecer a explora¸c˜ao? (c) Para que etapas do ensino b´asico vocˆe considera que o uso do ambiente de geometria dinˆamica nesta explora¸c˜ao ´e adequado? (d) Que quest˜oes vocˆe proporia a seus alunos para ajudar a explora¸c˜ao dos dados com apoio do ambiente de geometria dinˆamica? 3. Considerando a explora¸c˜ao do problema de otimiza¸c˜ao proposta nesta se¸c˜ao, responda `as quest˜oes a seguir. (a) Quais s˜ao os objetivos matem´aticos (isto ´e, que conceitos matem´aticos podem ser abordados) da explora¸c˜ao com apoio do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica? (b) Como o sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica pode enriquecer a explora¸c˜ao? (c) Para que etapas do ensino b´asico vocˆe considera que o uso do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica nesta explora¸c˜ao ´e adequado? (d) Que quest˜oes vocˆe proporia a seus alunos para ajudar a explora¸c˜ao dos dados com apoio do sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica? 4. Suponha que elaborar uma atividade, com apoio de recursos computacionais, abordando o conceito de logaritmo para alunos do ensino m´edio. (a) Escolha pelo menos duas modalidades de recursos computacionais diferentes, levando em conta: • as potencialidades e limita¸co˜es espec´ıficas dos recursos computacionais; • a adequa¸c˜ao dos recursos computacionais `a etapa escolar dos alunos; • a adequa¸c˜ao dos recursos computacionais ao conceito matem´atico escolhido.

(b) (c) (d)

(e)

Justifique a escolha dos recursos computacionais, com base nos crit´erios acima. Elabore um plano de aula para a atividade, explicitando seus objetivos. Qual ´e o papel dos recursos computacionais no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do dos recursos computacionais pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em compara¸c˜ao com abordagens com recursos convencionais? Que obst´aculos e desvantagens vocˆe considera que seriam enfrentados na aplica¸c˜ao dessas atividades em sala de aula?

5. Escolhe um t´opico do ensino fundamental e elabore um plano de aula com apoio de recursos computacionais, respondendo `as mesmas quest˜oes da atividade 4. 6. Escolhe um t´opico do ensino m´edio e elabore um plano de aula com apoio de recursos computacionais, respondendo `as mesmas quest˜oes da atividade 4.

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