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Matem´ Mat em´ aticas atic as Avanzadas Avanza das para par a Ingenier´ Inge nier´ ıa ıa Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 1. Indique Indique la transform transformada ada Z   Z  inversa  inversa para cada funci´on on de variables compleja de la siguiente lista. a) b) c) d) e)

z z +6 z z

−1

6z 6 z+1 6z 6 z −1 z z 5 (z

−1)

Indique su transformada inversa dentro de la siguiente lista: 1) ( 6)n u(n)

−

2) 6−n u(n) 3) n 3n u(n) 4) ( 6)−n u(n)

−

5) u(n  5)

−

6) u(n)

7) δ (n) + δ  + δ (n

− 4)

Soluci´ on on

Para a) tenemos: −1 Z  





z  = z  + 6

−1 Z  



z

Para b) tenemos: −1 Z  

Para c) tenemos: Z  −1



z z

 − 1

6z 6 z+1

Z  −1 Z  −1

Z  −1

−

 = (1)n u(n) =  u(  u(n)

6z 6 z −1

6z

Z  −1

1

6

z+ 6

1

Z  −1

−1)

−n

6z

6

z

− 16

1 6

z

z

− 16

Z  −1

z z 5 (z

n

1 6

z

z+ 6

Z  −1

Para d) tenemos:

−−

  = ( )     u(n) = (−6) u(n) =  = −   =   ( )   =   u(n) = 6 u(n) =   = z ·    = u( u(n − 5) =

 

Para e) tenemos:





z  = ( 6)n u(n)  ( 6)

−5

Z  −1

n

−n

z

z

−1

z

z

−1

n=n

−5

2. Determine Determine la transform transformada ada Z   Z    inversa x inversa  x((n) de: 2

X (z ) = D´ e sus primeros 4 valores iniciando en 0.

z − 4zz −  1 4

1 2

Soluci´ on on

Apliquemos fracciones parciales a  Z (  Z (x)/z: /z : X (z ) =

4 z2 1 z 4

z −    −  = z · 1 2



16 2 z  1

−  −



16 16 z  = 4 z  1 2 z  1

−

16 z  − − 4 z − 1

2

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 

Por tanto x(n) = =

Z  −1 16 2



16 z 2 z −1

· Z  −1

16 z 4 z −1

  −  − z

z

− 12



16 4

· Z  −1

3. Determine la transformada Z   inversa x(n) de: X (z) =

3 z2

D´e los primeros 4 valores iniciando en 0.

  = 8   1 2

z

z

− 14

n

n

− 4  14   · u(n)

z  6 z + 3

−

Soluci´ on

Al intentar aplicar fracciones parciales sobre  X (z)/z en la TI obtenemos: 3 z2

z = z  6 z + 3 3 (z 2

·

−

1  2 z + 1)

−

esto se debe a que el denominador es un binomio al cuadrado: 3 z2

z 1 1 =  z  6 z + 3 3 (z  1)2

 ·  −

−

Por ello es que debemos buscar otros caminos. La clave de este problema est´a en las f´ormulas siguientes: n

 {a

Z  

u(n)  =

}

z z

 − a

y

 {n x(n) u(n)} = −z · dzd Z   {x(n) u(n)}

Z  

De ellas deducimos la f´ormula n

 {n a

Z  

u(n)  =

}

az (z  a)2

−

3

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 

Si ahora regresamos a nuestro problema: Z  −1

{X (z)}

=

Z  −1

=

1 3

4. Determine la transformada Z   inversa x(n) de:

D´e los primeros 4 valores iniciando en 0.



   =

1 z 3 (z−1)2

 · F −1

z

(z−1)2

1 3

 · n · 1 · u(n) = 31 n · u(n) n

3 z + z 2 X (z) = 2 z  2 z + 2

−

Soluci´ on

Al aplicar fracciones parciales a X (z)/z   en la TI obtenemos la misma expresi´on. Y al revisar las ra´ıces del denominador vemos que son complejas. Estas ra´ıces las salvaremos en las variables  v1  y  v2  y cambiaremos el denominador de la expresi´on original para buscar fracciones parciales con ellas.

4

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 

Agrupando el resultado obtenemos: X (z) = z = Por tanto x(n) =

1 2

 −

·



r2 +3 r1

r2 +3

r1

− r2

−r2

+1

 +1 ·



·

1

−r1

 1 n  i  (1 + i) u(n) 2

− r1

−

−r2

z

z

z

r2 +3

−



r1

r2 +3

r1

1 2

− −  −

−r2

·

z

z

·

1 z

−r2



−r2



 1  i  (1 2

− i)

n

u(n)

Simplificando: x(n) = O bien x(n) = y observando que (1

1 2

 (1

−

1 2

 (1

−

 1 i) (1 + i) +  (1 + i) (1 2 n

−1 +  1  (1 + i) (1 i) (1 + i) (1 + i) n

2

− i)

n



− i) −1  u(n) n

 u(n)

− i) (1 −

− i) (1 + i) = 2 tenemos que: x(n) = (1 + i)n−1 + (1





−1  u(n) i) n

5

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 

5. Determine la transformada Z   inversa x(n) de: X (z) = D´e los primeros 4 valores iniciando en 0.

−3 z2 z 2 − 9

Soluci´ on

Aplicamos fracciones parciales a

X (z ) z

:

−3 z2 = z ·   − 3 z  = z · − 3 · 1  −  3  · 1  = − 3 · z  −  3  · z z 2 − 9 z 2 − 9 2 z + 3 2 z − 3 2 z + 3 2 z − 3 Por lo tanto y usando linealidad: Z  −1

{X (z)}

Por lo tanto x(n) =

−  ·  −  ·      −  · −  ·

=

Z  −1

=

3 2

3 2

z z +3

Z  −1

z z +3

}  −32 · (−3)

−1 X (z)  =

Z  

{

6. Determine la transformada Z   inversa x(n) de: X (z) = D´e los primeros 4 valores iniciando en 0.

z2

n

3 2

z

z

3 2

u(n)

−3

Z  −1

−  32 · 3

z

z

n

−3

u(n)

−2 z − 9 z + 9

Soluci´ on

Este es un problema ilustrativo para hacerlo en la calculadora. Si intentamos aplicar fracciones parciales a  X (z)/z en la TI obtenemos la misma expresi´on:

El algoritmo se basa en la factorizaci´on en base a polinomios con coeficientes racionales. Que no haya obtenido una expresi´on nueva puede significar dos cosas: que el denominador es un binomio al cuadrado o bien que las ra´ıces son irracionales o complejas. Para probar busquemos las ra´ıces complejas del denominador:

6

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 

Observamos que en nuestro caso las ra´ıces son irracionales. Para seguir en el ambiente de la calculadora, imaginemos que la primera de ella es r1   y la segunda r2 ; bajo este supuesto y debido a que el coeficiente de z 2 en del denominador es 1, podemos pensar que la expresi´on original es 2z X (z) = (z  r1 ) (z  r2 )

 −

Si aplicamos fracciones parciales a X (z)/z obtenemos: X (z) =  z

 ·



2

1 z  r2

−

2

Por tanto =

Z  −1 2 r1

Y as´ı: x(n) =

−r2



{X (z)} = Z  −1 · Z  −1 − − z r2

z

2



1 2 z  = z  r1 r1  r2 z  r2

· − r1 − r2 ·  − r1 − r2  −

x(n) =

 −

n

· (r2) r1 − r2

u(n)

2 r1

−r2 2

r1

−r2

2 z · − ·  −  − r1 − r2 z − r1

z z r2

· − − · Z  −1

2

r1

− · r2

z z r1

z z

− r1 −2  r2 · (r1)

−



−r1

n

u(n)

Si asumimos los valores de r1 y r2   para hacer los siguientes c´alculos (observe que calculadora!):

r1

y

r2  son

palabras reservadas en la

7

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 

7. Determine la transformada Z   inversa x(n) de: X (z) =

−10 z + 21 z2 −1 + 8 z − 21 z2 + 18 z3

D´e los primeros 4 valores iniciando en 0. Soluci´ on

Aplicando fracciones parciales a X (z)/z tenemos: X (z) =  z



3

9

2

· − 3 z − 1  + (3 z − 1)2 + 2 z − 1



De donde (si hacemos que los coeficientes de  z  en los denominadores sean 1 factorizando la constante y simplificando): X (z) =

 − z −z 1 +  3

z z

−

1 2 3



+

z z

− 21

8

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 

Aqu´ı debemos recordar la f´ormula: n

 {n a

Z  

obtenemos que:

u(n)  =

}

n

az (z  a)2

−

n

−  13  u(n) + 3 n  13  u(n) +  12    (3 · n − 1) · 13 u(n) + 12 u(n)

x(n) =

n

=

8. Determine la transformada Z   inversa x(n) de: X (z) = D´e los primeros 4 valores iniciando en 0.

n

u(n)

n

 −4 z + 20 z2 −z 2 + 4 z 3

Soluci´ on

Aplicando fracciones parciales a X (z)/z obtenemos: X (z) =  z

 ·



16 4 z  1

 −  −

De donde:



 4 4 z + 2  = 4 z z z

· − 1 − 4 · 1 + 4 z−1 4

n

x(n) = 4

1 4

u(n)

− 4 δ (n) + 4 δ (n − 1)

9

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 

9. Determine la transformada Z   inversa x(n) de: 6z 23  10 z + z 2

X (z) =

−

D´e los primeros 4 valores iniciando en 0. Soluci´ on

√ 

Como las ra´ıces del denominador de X (z) no son enteras (son  r 1  = 5 + 2 y r 2  = 5 para hacer el desarrollo en fracciones parciales a  X (z)/z:  X (z) X (z) =  z = z z

 ·

·



6

1 z  r1

− √ 2), manej´emoslas en forma simb´olica

6

1 z  r2

 − r2 · − − r1 − r2 · −

r1



Por lo tanto, Z  −1

{X (z)}

=

Z  −1

=

Z  −1

=

6

= =

z ·  

6 r1

6

r1

−r2 Z  −1

−r2

z

·

1 z

−r1

· −− z

− r1

−

6 r1

6

r1

−r2

−r2

·

z

z

· −1 z

−r2 Z  −1

r2



 

6 − · − − · − 6 6 − − ·√   r2 ·  u(n) − · r1 ·  u(n) √  √   3· 2 · − − · u(n) (5 + 2)  (5 2) 2

r1

r2

r1

r2

n

z z r1

r1

r1

r2 n

z

z r2

r2

n

n

10. Resuelva la ecuaci´ on en diferencias:

 1 y(n) =  x(n) +  y(n  1) 4 n si y ( 1) = 3 y x(n) = ( 1) u(n). Determine la forma cerrada de  y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen ( 1)n y (1/4)n .

−

−

−

−

Soluci´ on

Si aplicamos la transformada  Z  en ambos miembros obtenemos:

 {y(n)} = Z  

Z  

Por la propiedad de linealidad:



 1 x(n) +  y(n  1) 4

−



 {y(n)} = Z   {x(n)} +  14 Z   {y(n − 1)}

Z  

10

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 

Por la propiedad de adelantamiento de se˜nales: = z −1 Z   x(n)  + x( 1) = z −2 Z   x(n)  + z −1  x( 1) + x( 2) = z −3 Z   x(n)  + z −2  x( 1) + z −1  x( 2) + x( 3) .. .

 {x(n − 1)} Z   { x(n − 2)} Z   { x(n − 2)}

 {  {  {

Z  

Al aplicarla a

} } }

−

· − · −

−

· −

· −

 {y(n − 1)}  nos queda:

Z  

 {y(n)} = Z   {x(n)} +  14 · z−1 Z   {y(n)} + y(−1) Si pasamos los t´erminos con Z   {y(n)}  y los factorizamos queda: Z  



1

−

 1 −1  z 4

Por lo tanto



 {y(n)} = Z   {x(n)} +  14 y(−1)

Z  



1 1 −1 4  z



 {y(n)} = 1 − · Z   { } Como los datos son: y(−1) = 3 y x(n) = (−1) u(n); la expresi´on queda: Z  



 1 x(n)  +  y( 1) 4

−

n

 {y(n)} =

Z  



1

−

1 1 −1 4  z



z  3  +  ( 1) 4

· z − −



Y haciendo ´algebra y fracciones parciales nos queda:

 {

Z  

z (7 z + 3) y(n)  = = z (z + 1)(4 z  1)

}

 −

 ·



19 4  + 5 (4 z  1) 5 (z + 1)

−



Por tanto, la soluci´on para y(n) nos queda: y(n) = =

 +

{Y  (z)} = 519·4 Z  −1 −   19 1 u(n) + 54  ( −1) u(n) 20 4

Z  −1

z

z

n

n

1 4

4 −1 5 Z  

  z z +1

En la u ´ ltima imagen del siguiente grupo de cuatro, se comprueba que la soluci´on encontrada al menos satisface los primeros valores.

11

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 

11. Resuelva la ecuaci´ on en diferencias:

 1 y(n) =  x(n) +  y(n  1) 5 n si y( 1) = 4 y x(n) = ( 1/5) u(n). Determine la forma cerrada de  y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen ( 1/5)n y (1/5)n .

−

−

−

−

Soluci´ on

Si aplicamos la transformada  Z  en ambos miembros obtenemos:

 {y(n)} = Z  

Z  



 1 x(n) +  y(n  1) 4

−



Por la propiedad de linealidad:

 {y(n)} = Z   {x(n)} +  15 Z   {y(n − 1)} Por la propiedad de adelantamiento de se˜nales a Z   {y(n − 1)}  nos queda:   1  −1 Z   { y(n)}  = Z   { x(n)} +  · z Z   { y(n)} + y(−1) 5 Si pasamos los t´erminos con Z   {y(n)}  y los factorizamos queda:   1 −1  1 Z   { y(n)}  = Z   { x(n)} +  y(−1) 1 −  z 5 5 Z  

Por lo tanto



1 1 −1 5  z



 {y(n)} = 1 − · Z   { } − Como los datos son: y(−1) = 5 y x(n) = (−1/5) u(n); la expresi´on queda:  1   z  4  · z + 1 + 5 Z   { y(n)}  = 1 − 1  z −1 Z  



 1 x(n)  +  y( 1) 5

n

5

5

Y haciendo ´algebra y fracciones parciales nos queda:

 {

Z  

z (45 z + 4) y(n)  = = z (5 z  1)(5 z + 1)

}

 −

 ·



5 13  + 2 (5 z + 1) 2 (5 z  1)

 −



Por tanto, la soluci´on para y(n) nos queda: y(n) = =

5 Z  −1 Y  (z)  = 2·5 Z  −1

{

1 2

1 5

n

− 

}

u(n) +

13 10

1 5



 + z

1

z+ 5

n

u(n)

13 −1 2·5 Z  

  z

z

− 15

12

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 

12. Resuelva la ecuaci´ on en diferencias: y(n + 1) = x(n) + 3 y(n) si y(0) = 3 y x(n) = 3n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen 3 n  u(n) y n  3n  u(n).

·

· ·

Soluci´ on

Si suponemos que la se˜nal y(n) es cero para n <  0, podemos pensar que y(n) = y(n)  u(n), y as´ı Z   y(n)  z  y(0). Entonces al aplicar la transformada  Z  a la ecuaci´on de recurrencia tenemos:

 {

 ·

} −  ·

 {y(n + 1)} = Z   {x(n) + 3 y(n)}

Z  

As´ı: z

 · Z   {y(n)} − z · y(0) = Z   {x(n)} + 3 · Z   {y(n)}

De donde z

· Z   {y(n)} − 3 · Z   {y(n)} = Z   {3

n

u(n)  + 3  z =

}

·

z

z

− 3  + 3 · z

 {y(n + 1)} = z ·

Z  

13

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 

Por lo tanto

 {y(n)} =

Z  

Y as´ı

z

z −3  + 3  z

z

 − 3

y(n) = Z  −1 Z   y(n)

{  {

Como

As´ı −1 Z  



n



z  = (z  3)2

 −

−1 Z  

1

=

z z +3 2 (z  3) z  3





z z +3 2 (z  3) z  3

·  −

−



 {a · u(n)} = z −z  a

y

Z  

3  z 1  = 2 3 (z  3) 3

 · −·

·  −

−

 = Z  −1

a · z  {n · a · u(n)} = (z −  a)2

Z  

y por tanto

}}

·

 ·

−1 Z  

n





3  z 1  =  n  3n  u(n) 2 (z  3) 3

· −

 · · ·

y(n) = 31  n  3n  u(n) + 3  3n  u(n) = 3  3n  u(n) + 31  n  3n  u(n) = 3 + 31  n  3n  u(n)

 · · · · ·  · · ·  · · · · ·

De acuerdo a lo solicitado, en la forma cerrada de y(n) el coeficiente de 3n  u(n)   es 3, mientras que el coeficiente de n  3n  u(n) es 1/3.

· ·

·