Ma3002 Serie Laurent PDF

Ma tem´ Mate m´ at icas atic as Avanzadas para Inge In geni nier´ er´ıa: ıa : Series de Laurent Departamento de Mate Ma tem´ m´ at icas atic as Singularidad Sing. Aisl Aislada ada

Matem´  aticcas Avanz ati Avanzada adass para Ing Ingeni enier er´ ´ıa: Series de Laurent 

S. de Laurent Ejemplos 1 Nota

Departam Dep artament entoo de Matem´ Mate m´aticas ati cas

Ejemplos 2

MA3002

Ma tem´ Mate m´ at icas atic as Avanzadas para Inge In geni nier´ er´ıa: ıa : Series de Laurent Departamento de Mate Ma tem´ m´ at icas atic as Singularidad Sing. Aisl Aislada ada S. de Laurent Ejemplos 1 Nota

´n Punt Pu ntos os si sing ngula ulare res s de un una a fu func nciion o

Si una funci´ on on de variable compleja  deja  de ser anal anal´ıtica ıti ca en un punto   z   =   z o , entonces se dice que este punto es una singularidad   o un punto singularidad  un  punto singular singular de  de la funci´ on. on. Por ejemplo, para la funci´on on   f   (z ) = (z   1)z (z +1) +1)  los complejos   z 1   = 1 y u ´nicas singularidades. Mientras que para la z 2   = −1 son sus unicas funci´on on   g (z ) = Ln(z ), ), sus puntos de singularidad son toda la parte no positiva del eje real. En las figuras siguientes se ilustran en rojo las singularidades de las funciones. −

Ejemplos 2 i 

i 

−1 −i 

1

Singularidades de   f   (z )

−1 −i 

1

Singularidades de   g (z )

Ma tem´ Mate m´ at icas atic as Avanzadas para Inge In geni nier´ er´ıa: ıa : Series de Laurent Departamento de Mate Ma tem´ m´ at icas atic as Singularidad Sing. Aisl Aislada ada S. de Laurent Ejemplos 1

Singularid Singul aridad ad Aislad Aislada a

  z   =   z o  es una z ). Sup´ o  z ngase que singularidad singularidad de   f   (vecindad  ). Se dice que z   =ongase  es una una singularidad aislada aislada si  si existe  una o  o  suprimida   o  disco perforado  perforado   0  < |z  − z o   (z ) es o | <   R  en donde   f   anall´ıtica. ana ıtica. Para la funci´ fun ci´on on   f   (z ) = (z   1)z (z +1) +1)  los complejos z 1   = 1 y   z 2   = −1 son singularidades son aisladas; pero para la funci´on on   g (z ) = Ln(z ) ninguna de sus singularidades es aislada. −

Nota Ejemplos 2

i 

i 

−1

1

−i 

Singularidades de   f   (z )

−1

1

−i 

Singularidades de   g (z )

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Serie Seri e de La Laur urent ent Sea   z   =   z oo   una singularidad aislada de la funci´on on   f   (z ). ). Un

desarrollo en  Serie de Laurent para en Serie Laurent  para   f   (z ) es un desarrollo de la forma: ∞

Singularidad Sing. Aisl Aislada ada

  ( ) =

f   z 

=1 k =1

∞

a

o ) k   (z  − z o 

−

 +

k 

−

∞

k  ak   (z  − z o  ) = o 

=0 k =0



ak   (z  − z o  o )

k =−∞

S. de Laurent Ejemplos 1 Nota Ejemplos 2

o | <   R . La donde la convergencia ocurre en el anillo   r   < |z  − z o  parte en rojo se llama la parte la  parte principal de la serie que serie  que converge para   |z  − z oo  | >   r ; mientras que a la parte en azul se le llama  para llama   la parte anal anal´´ıtica de la serie  que converge para  para   |z  − z o  o | <   R .

R  z oo   r 

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Desarroll Desarr ollo o de La Laure urent nt Sea   f   (z ) una funci´ on on anal´ anal´ıtica dentro dentr o del dominio domini o anular   D    r   < |z  − z o | <   R . Entonces,   f   (z ) tiene una definido como representaci´ on on en serie de potencias de la forma: ∞

Singularidad

f   (z ) =

Sing. Aisl Aislada ada

Nota Ejemplos 2

k  ak   (z  − z o  o )

k =−∞

S. de Laurent Ejemplos 1



v´ alida alida para su dominio anular y donde los coeficientes pueden ser calculados por la f´ormula: ormula:   1 f   (z ) ak   =   dz ,   k   = 0, ±1, ±2, ±3, . . . + +1 1 k  2 π i  C  (z  − z oo  )

 

donde   C  es una curva cerrada simple localizada dentro de   D   y que contiene a   z oo  : D 

C  R  z oo   r