MA02TE0-SEQUENCE-08.pdf

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ère 1

partie :

Intégration et dérivation

>

e 2

partie :

Combinaisons ; exemples de probabilités discrètes

Séquence 8 – MA02

327

1ère partie : Intégration et dérivation Chapitre 1

Chapitre 2

> Primitives

.............................................................................................................................................................. 331

A

Introduction, définition

B

Existence d’une primitive

C

Application au calcul intégral

> Calculs d’intégrales

........................................................................................................................... 335

A

Primitives des fonctions usuelles

B

Intégration par parties

C

Exemples d’études de fonctions définies par une intégrale

Chapitre 3

> Exercices d’apprentissage

Chapitre 4

> Synthèse

Chapitre 5

> Exercices d’entraînement

.................................................................................................... 343

.................................................................................................................................................................. 344

...................................................................................................... 345

> Aide aux exercices d’entraînement

................................................................ 347

Sommaire séquence 8 – MA02

329

Primitives A

Introduction - Définition Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On construit en première, en admettant son existence, une représentation graphique approchée, de F dérivable sur I et vérifiant : F′ = f . F est alors une solution de l’équation différentielle : y′ = f (une équation différentielle est une équation dont l’inconnue y est une fonction).

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a ; b ] , on dit que F définie sur I est une primitive de f si : • F est dérivable sur I ; • Pour tout x de I, F′ ( x ) = f ( x ) .

Remarque

F est une primitive de f si et seulement si f est la fonction dérivée de F.

Propriété  Soient f, g deux fonctions définies sur un intervalle I, a et b deux réels. Si F (resp. G) est une primitive de f (resp. de g) alors aF + bG est une primitive de af + bg .

Propriété  Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si F et G sont deux primitives de f alors F – G est constante.

Remarque

Exemple 

Cela signifie que si F est une primitive de f alors l’ensemble des primitives de f est l’ensemble des fonctions de la forme F + k . Démonstration F – G est une fonction dérivable sur I et pour tout x de I : ( F – G )′ ( x ) = F′ ( x ) – G′ ( x ) = f ( x ) – f ( x ) = 0 ce qui prouve que F – G est constante. Déterminer l’ensemble des primitives sur  de la fonction carrée. Réponse Soit f la fonction définie sur  par f ( x ) = x 2 . On cherche l’ensemble des primitives de f. Commençons par chercher une primitive. Soit g la fonction définie sur  par g ( x ) = x 3 . On sait que : g x3 g′ ( x ) = 3x 2 alors la fonction F = -- a pour dérivée f. Ainsi F définie sur  par F ( x ) = ----- est une 3 3 ⎧ ⎫ x3 primitive de f. L’ensemble des primitives de f est donc : ⎨ F :  → , x  ----- + k où k ∈  ⎬ . 3 ⎩ ⎭

B

Existence d’une primitive

Théorème

On a, à plusieurs reprise admis l’existence d’une primitive. L’intégration va nous permettre de prouver l’existence d’une primitive d’une fonction continue. On a, en effet, le théorème :

Séquence 8 – MA02

331

Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a un élément de I. Alors la fonction F définie sur I par : F(x) =

x

∫a f ( t ) dt est une primitive de f.

Montrons ce théorème lorsque f est une fonction croissante et positive. Le cas général sera admis. Soient a un élément de I et F la fonction définie sur I par : F ( x ) =

x

∫a f ( t ) dt .

Soit x un élément de I. On considère un réel h tel que x + h soit un élément de I.

A connaître

x+h

On a : F ( x + h ) – F ( x ) =

∫a

=

∫a

=

∫x f ( t ) dt + ∫a

x+h

x

f ( t ) dt –

∫a f ( t ) dt

f ( t ) dt +

∫x f ( t ) dt

a

a

x+h

f ( t ) dt =

x+h

∫x

f ( t ) dt.

Ainsi :

O

a

x x+h

Si h > 0 , F ( x + h ) – F ( x ) est l’aire du domaine D hachuré ci-contre. En encadrant ce domaine par deux rectangles, on obtient : F(x + h) – F(x) h × f ( x ) ≤ F ( x + h ) – F ( x ) ≤ h × f ( x + h ) et donc : f ( x ) ≤ ----------------------------------- ≤ f ( x + h ) . h Si h < 0 , F ( x + h ) – F ( x ) est l’opposé de l’aire du domaine D hachuré ci-contre. En encadrant ce domaine par deux rectangles, on obtient : – h × f ( x ) ≤ – [ F ( x + h ) – F ( x ) ] ≤ – h × f ( x + h ) et donc : – [F(x + h) – F(x)] f ( x + h ) ≤ -------------------------------------------- ≤ f ( x ) ou encore –h F(x + h) – F(x) ----------------------------------≤ f(x) . f(x + h) ≤ h De plus : lim f ( x + h ) = f ( x ) (f est continue). On en déduit,

f (x) f (x + h)

h→0

d’après le théorème d’encadrement, que : F(x + h) – F(x) lim ----------------------------------- = f ( x ) ce qui prouve F est dérivable en x h h→0

O

a

x+h x

et : F′ ( x ) = f ( x ) .

Remarque

On suppose qu’un mobile M se déplace sur une droite ( x ′ Ox ) . On note x ( t ) la position de M à dx l’instant t. On sait que la vitesse de M est v ( t ) = x ′ ( t ) = ------- . dt Ainsi x est une primitive de v ce qui est cohérent avec le résultat suivant (cf. séquence 7) : La distance parcourue par M à l’instant T est :

Corollaire 

Soient f une fonction continue sur un intervalle I et c un élément de I. La fonction F définie sur I par F(x) =

Remarque

x

∫c

x

∫c f ( t ) dt est l’unique primitive de f qui s’annule en c.

f ( x ) dx n’a pas de sens puisque le « x » désigne à la dois la variable « muette » d’intégration et

le borne supérieure de l’intégrale. Démonstration

332

T

∫0 v ( t ) dt .

Séquence 8 – MA02

D’après le théorème précédent, F est une primitive de f et de plus : F ( c ) =

c

∫c f ( t ) dt

= 0.

Soit G une primitive de f qui s’annule en c. On sait que G – F est constante : pour tout x de G(x) – F(x) = k (k ∈ ) . On a alors : k = G ( c ) – F ( c ) = 0 – 0 = 0 . On a donc : G = F et F est bien l’unique primitive de f qui s’annule en c. On démontre de même :

Corollaire 

Soient f une fonction continue sur un intervalle I, x 0 un élément de I et y 0 un réel. La fonction F définie sur I par F ( x ) =

Remarque

x

∫x

0

f ( t ) dt + y 0 est l’unique primitive de f telle que : F(x0) = y 0 .

En pratique, pour déterminer la primitive F de f sur I telle que : F ( x 0 ) = y 0 , on commence par chercher une primitive (quelconque) G de f puis on cherche k ( ∈  ) tel que F = G + k vérifie F ( x0 ) = y0 .

Exemple 

1 Soit f définie sur ]0 ; + ∞[ par : f ( x ) = 2x – ----- . Déterminer la primitive F de f sur ]0 ; + ∞[ telle x2 que : F ( 1 ) = – 2 . Réponse 1 1 x  x 2 est une primitive de x  2x sur ]0 ; + ∞[ et x  -- est une primitive de x  – ----2- sur x x 1 ]0 ; + ∞[ , x  x 2 + -- est donc une primitive de f sur ]0 ; + ∞[ . Les primitives F de f sur ]0 ; + ∞[ x 1 sont donc définies par : F ( x ) = x 2 + -- + k ( k ∈  ) . x On a : F ( 1 ) = 1 + 1 + k = 2 + k . Ainsi F ( 1 ) = – 2 si et seulement si 2 + k = – 2 soit k = – 4 . 1 F définie sur ]0 ; + ∞[ par : F ( x ) = x 2 + -- – 4 est donc l’unique primitive de f sur ]0 ; + ∞[ telle x que : F ( 1 ) = – 2 .

C

Application au calcul intégral Propriété Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a ; b ] et F une primitive de f sur [ a ; b ] . Alors : b

∫a f ( t ) dt

= F(b) – F(a) .

Notation On note F ( b ) – F ( a ) =

Remarque

F(x)

b a

F(x)

b

de sorte que :

a

b

∫a f ( t ) dt

=

F(x)

b

.

a

se lit « F ( x ) entre a et b ».

Séquence 8 – MA02

333

Démonstration Soit G la fonction définie sur [ a ; b ] par : G ( x ) =

x

∫a f ( t ) dt . G est une primitive de f sur [ a ; b ] ,

la fonction G – F est donc constante : pour tout x de [ a ; b ] , G ( x ) – F ( x ) = k ( k ∈  ) . De plus : a

∫a f ( t ) dt

G(a) =

= 0 . Ainsi : G ( a ) – F ( a ) = 0 – F ( a ) = k soit k = – F ( a ) .

On a donc : G ( b ) – F ( b ) = – F ( a ) soit :

Exemple 

Calculer

2

b

∫a f ( t ) dt

= G(b) = F(b) – F(a) .

1

∫1 ⎛⎝ x 3 + --x⎞⎠ dx .

Réponse x4 La dérivée de x  x 4 est x  4x 3 , x  ----- est donc une primitive de x  x 3 . De plus la fonc4 1 tion ln est une primitive de x  -- sur ]0 ; + ∞[ . On a donc : x 2

1

∫1 ⎛⎝ x 3 + --x⎞⎠ dx Exemple 

2 1 15 x4 24 14 16 = ----- + ln x = ⎛ ----- + ln 2⎞ – ⎛ ----- + ln 1⎞ = ----- + ln 2 – -- = ----- + ln 2 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 4 4 4 4 4 1

Calculer l’aire du domaine  défini par : π π M ( x ; y ) ∈  ⇔ – --- ≤ x ≤ --- et – cos x ≤ y ≤ cos x . 2 2 Réponse y

x

O O

L’aire de  (en unité d’aire) est : 2 ×

2

∫

π --2

∫

π --2

cos t dt = 4 × cos t dt (la fonction cosinus étant π 0 – --2 paire). De plus, la fonction cosinus est la dérivée de la fonction sinus, la fonction sinus est donc une primitive de la fonction cosinus. On a donc : L’aire du domaine  est donc : 4 u.a.

Remarques

π --2

∫0

π

cos t dt =

--π sin t 2 = sin ⎛ ---⎞ – sin 0 = 1 . ⎝ 2⎠ 0

La fonction exponentielle a été introduite assez tôt dans la progression pour les besoins de la physique. La fonction exponentielle a été définie comme l’unique fonction définie sur , dérivable et vérifiant : ⎧y′ = y ⎨ ⎩y(0) = 1

(*) .

L’unicité d’une telle solution a été prouvée et son existence admise. Plus tard dans la progression, on a introduit la fonction logarithme népérien comme fonction réciproque de la fonction exponentielle. Le calcul intégral nous permet de définir rigoureusement ces fonctions, la fonction ln étant définie comme l’unique primitive de la fonction inverse sur ]0 ; + ∞[ s’annulant en 1 et la fonction exponentielle comme la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.

334

Séquence 8 – MA02

Calculs d’intégrales A

Primitives des fonctions usuelles

Remarque

Exemple 

« Déterminer une primitive » est l’opération inverse de « dériver une fonction » : si g est la fonction dérivée de f alors f est une primitive de g. Le tableau des dérivées usuelles nous permet alors de dresser le tableau des primitives des fonctions usuelles. Fonctions f

Primitives F

Intervalle I

k (k ∈ )

kx + C



xn ( n ∈  )

xn + 1 ------------ + C n+1



1 x – n = ----n- ( n ≥ 2 ) x

1 1 x– n + 1 -+C ---------------- + C = ----------- × ---------1 – n xn – 1 –n+1

] – ∞ ; 0 [ ou ]0 ; + ∞[

1 -x

ln x + C

] – ∞ ; 0 [ ou ]0 ; + ∞[

cos x

sin x + C



sin x

– cos x + C



ex

ex + C



1 -----x

2 x+C

]0 ; + ∞[

2 1 Déterminer une primitive de x  x 5 – ----- + -- sur ] – ∞ ; 0 [ . x3 x Réponse x6 1 1 1 1 - = – -- × ----D’après le précédent tableau x  ----- est une primitive de x  x 5 , x  ----------- × ----------6 1 – 3 x3 – 1 2 x2 1 1 est une primitive de x  ----3- sur ] – ∞ ; 0 [ et x  ln x = ln ( – x ) est une primitive de x  -x x x6 1 2 1 sur ] – ∞ ; 0 [ . x  ----- + ----- + ln ( – x ) est donc une primitive de x  x 5 – ----- + -- sur ] – ∞ ; 0 [ . 6 x2 x3 x De plus, les propriétés de dérivation des fonctions composées nous donnent les résultats suivants :

Propriétés Soient u une fonction dérivable, a, b deux réels ( a ≠ 0 ) , f une fonction continue admettant F comme primitive. Alors les primitives de : 1 • f ( ax + b ) sont -- F ( ax + b ) + C ; a u′ • ---- sont ln u + C ; u • u′ × e u sont e u + C ; • •

un + 1 u′ × u n sont ------------ + C ( n ∈ , n ≠ – 1 ) ; n+1 u′ ------- sont 2 u + C . u

Séquence 8 – MA02

335

Exemple 

Déterminer les primitives de f sur I : 

x f ( x ) = -------------- , I =  . x2 + 1



1 1 f ( x ) = ------------------- , I = – -- ; + ∞ . 3 3x + 1



f( x ) = ex( ex + 1 )3 , I =  .

1 u′ ( x ) x 1) Soit u définie sur  par u ( x ) = x 2 + 1 . On a : u′ ( x ) = 2x et : f ( x ) = -------------- = -- × ------------ . 2 u(x) x2 + 1 L’ensemble des primitives de f sur  est donc l’ensemble des fonctions F définies sur  par : 1 1 F ( x ) = -- ln u ( x ) + k = -- × ln ( x 2 + 1 ) + k ( k ∈  ) . 2 2 2) Soit u définie sur  par u ( x ) = 3x + 1 . On a : u′ ( x ) = 3 et : 1 3 1 u′ ( x ) 1 f ( x ) = ------------------- = -- × ------------------- = -- × -------------- . 3 3 3x + 1 u(x) 3x + 1 L’ensemble des primitives de f sur  est donc l’ensemble des fonctions F définies sur  par : 1 2 F ( x ) = -- × 2 u ( x ) + k = -3 3

3x + 1 + k ( k ∈  ) .

3) Soit u définie sur  par u ( x ) = e x + 1 . On a : u′ ( x ) = e x et : f ( x ) = e x ( e x + 1 ) 3 = u′ ( x ) × [ u ( x ) ] 3 . L’ensemble des primitives de f sur  est donc l’ensemble des fonctions F définies sur  par : [ u( x ) ]4 ( ex + 1 )4 F ( x ) = ------------------ + k = --------------------- + k ( k ∈  ) . 4 4

B

Intégration par parties Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle [ a ; b ] , on a : ( uv )′ ( x ) = u′ ( x )v ( x ) + u ( x )v′ ( x ) de sorte que : b

b

b

∫a ( uv )′ ( x ) dx = ∫a u′ ( x )v ( x ) dx + ∫a u ( x )v′ ( x ) dx . De plus, une primitive de ( uv )′ est uv ainsi :

b

∫a ( uv )′ ( x ) dx

=

( uv ) ( x )

b

et donc :

a

Propriété Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle [ a ; b ] : b

∫a u′ ( x )v ( x ) dx Remarque

=

b

( uv ) ( x )

– a

b

∫a u ( x )v′ ( x ) dx . b

b

a

a

Cette méthode est utile pour calculer ∫ u′ ( x )v ( x ) dx lorsque le calcul de ∫ u ( x )v′ ( x ) dx est plus aisé.

Exemple 

Calculer : 1)

336

Séquence 8 – MA02

π --2

∫0

t sin t dt

2)

1

∫0 xex dx

Réponse 

On utilise la méthode d’intégration par parties et on pose :

⎧ u′ ( t ) = 1 ⎧u(t) = t soit ⎨ . On a alors : ⎨ ⎩ v ( t ) = – cos t ⎩ v′ ( t ) = sin t π --2

∫0

t sin t dt =

π --2

– t cos t

–

0

π --2

∫0

1 × ( – cos t ) dt = 0 +

π --2

∫0

cos t dt

π

--π = sin t 2 = sin ⎛ ---⎞ – sin 0 = 1 . ⎝ 2⎠ 0 

On utilise la méthode d’intégration par parties et on pose :

⎧u(x) = x ⎧ u′ ( x ) = 1 soit ⎨ . On a alors : ⎨ x v′ ( x ) = e ⎩ ⎩ v( x ) = ex 1

∫0 xex dx Exemple

1

xe x

=

– 0

En remarquant que

x

∫1

1

∫0 1 × ex dx

ln t dt =

= 1×e–0–

1

∫0 e x dx

= e – ex

1

= e–e+1 = 1.

0

x

∫1 1 × ln t dt , déterminer une primitive de la fonction ln.

Réponse x

∫1

La fonction F définie sur ]0 ; + ∞[ par : F ( x ) = ]0 ; + ∞[ . Calculons

x

∫1

ln t dt =

ln t dt est une primitive de la fonction ln sur

x

∫1 1 × ln t dt en utilisant une intégration par parties. On pose :

⎧ 1 ⎧ u ( t ) = ln t ⎪ u′ ( t ) = -t . On a alors : soit ⎨ ⎨ ⎪ v(t) = t ⎩ v′ ( t ) = 1 ⎩ x

∫1

ln t dt

= t ln t

x

– 1

x

1

∫1 --t × t dt

= x ln x – 1 × ln 1 –

x

∫1 1 dt

= x ln x – ( x – 1 ) = x ln x – x + 1 .

La fonction F définie sur ]0 ; + ∞[ par F ( x ) = x ln x – x + 1 est une primitive de la fonction ln. On peut remarquer que la fonction G définie sur ]0 ; + ∞[ par G ( x ) = x ln x – x est aussi une primitive de la fonction ln.

Exemple

On considère la suite ( u n ) définie pour tout n de  par : un =

1

∫0 t n e t dt .



Calculer u 0 .



Montrer que pour tout n de  : u n + 1 = e – ( n + 1 )u n .



Calculer u 1 , u 2 , u 3 et u 4 .

Réponse 

∫

1

On a : u 0 = e t dt = 0

et

1

= e–1.

0

Séquence 8 – MA02

337

∫

1

On cherche à exprimer u n + 1 en fonction de u n . Transformons donc t n + 1 e t dt en utilisant 0 une intégration par parties. On pose : 

⎧ u( t ) = tn + 1 ⎧ u′ ( t ) = ( n + 1 )t n soit ⎨ . On a alors : ⎨ ⎩ v′ ( t ) = e t ⎩ v( t ) = et un + 1 =

1

∫0 t n + 1 e t dt

= tn + 1et

1

– 0



1

∫0 ( n + 1 )t n e t dt

= e – (n + 1)

1

∫0 t n e t dt

= e – ( n + 1 )u n .

On a :

u 1 = e – ( 0 + 1 )u 0 = e – ( e – 1 ) = 1 ; u 2 = e – ( 1 + 1 )u 1 = e – 2 ; u 3 = e – ( 2 + 1 )u 2 = e – 3 ( e – 2 ) = – 2e + 6 ; u 4 = e – ( 3 + 1 )u 3 = e – 4 ( – 2e + 6 ) = 9e – 24 .

Remarque Exemple 

Comme le montre l’exemple suivant, plusieurs intégrations par parties sont parfois nécessaires pour calculer une intégrale. Calculer I =

π

∫0

e – 2x cos ( x ) dx .

Réponse On utilise la méthode d’intégration par parties et on pose : ⎧ u ( x ) = e – 2x ⎧ u′ ( x ) = – 2e – 2x soit ⎨ . On a alors : ⎨ ⎩ v′ ( x ) = cos ( x ) ⎩ v ( x ) = sin ( x ) π

∫0

e – 2x cos ( x ) dx =

e – 2x sin ( x )

π 0

–

π

∫0

– 2e – 2x sin ( x ) dx = 2

π

∫0

e – 2x sin ( x ) dx ( sin 0 = sin π = 0 ) .

Transformons cette dernière intégrale. On pose : ⎧ u ( x ) = e – 2x ⎧ u′ ( x ) = – 2e – 2x soit ⎨ . On a alors : ⎨ ⎩ v′ ( x ) = sin ( x ) ⎩ v ( x ) = – cos ( x ) π

∫0

e – 2x sin ( x ) dx

= – e – 2x cos ( x )

π 0

–

π

∫0

2e – 2x cos ( x ) dx = e – 2π + 1 – 2

π

∫0

e – 2x cos ( x ) dx

( cos 0 = 1, cos π = – 1 ) On a donc : 2e – 2π + 2 I = 2 ( e – 2π + 1 – 2I ) = – 4I + 2e – 2π + 2 . Ainsi : 5I = 2e – 2π + 2 et I = ------------------------ . 5

Remarques

• Pour calculer tion par parties. • Pour calculer

b

∫a

f ( t ) dt , il peut être utile d’écrire : f ( t ) = 1 × f ( t ) et d’utiliser une intégra-

b

⎧u′(t) = f(t) f ( t ) × g ( t ) dt en intégrant par partie, on peut poser : ⎨ ou si ⎩ v(t) = g(t)

∫a

⎧u′(t) = g(t) cela ne permet pas un calcul simple : ⎨ . ⎩v(t) = f(t) 338

Séquence 8 – MA02

C

Exemples d’études de fonctions définies par une intégrale

Remarque

Exemple

On ne peut pas toujours exprimer une primitive F d’une fonction f à l’aide des fonctions usuelles. Toutefois les propriétés du calcul intégral, nous donnent certaines informations sur cette fonction F : sens de variation si l’on connaît le signe de f, valeur approchée de F ( a ) , encadrement de F ( x ) ... 

2 Étudier la fonction f définie sur  par : f ( t ) = e – t .



Soit F la fonction définie sur  par : F ( x ) =

x

∫0 f ( t ) dt .

a) Étudier la parité de F. b) Étudier les variations de F. c) Montrer que pour tout x > 1 : e

– t2

x

∫1 f ( t ) dt ≤ e – 1 – e – x

(on pourra montrer que pour t ≥ 1 :

≤ e– t .

d) Montrer alors que F est majorée sur  + . a) À l’aide du tableur, donner des valeurs approchées à 10 – 1 près de F ( 0 ) , F ( 0 ,25 ) , F ( 0 ,5 ) , F ( 0 ,75 ) , F ( 1 ) , F ( 1 ,5 ) , F ( 2 ) et F ( 3 ) .



b) Représenter F sur [ – 3 ; 3 ] . Réponse Pour tout réel t, f ( – t ) = f ( t ) , f est donc paire.



2 f est dérivable sur  et pour tout réel t : f′ ( t ) = – 2te – t (f est de la forme e u ). On a donc : f′ ( t ) > 0 ⇔ t < 0 et f′ ( t ) < 0 ⇔ t > 0 .

De plus : lim

t→+∞

– t 2 = – ∞ et

lim

x→–∞

e x = 0 . On a donc : lim

t→+∞

f(t) = 0 .

On en déduit le tableau de variations de f : –∞

t

+∞

0 +

signe de f′

0

–

1 f 0



0

a) f est paire donc :

0

x

∫– x f ( t ) dt = ∫0 f ( t ) dt

soit : – F ( – x ) = F ( x ) . F est donc impaire.

b) F est une primitive de f, on a donc : F′ = f . f est positive sur , F est donc strictement croissante sur . 2

c) Pour tout t ≥ 1 , on a successivement : t 2 ≥ t , – t 2 ≤ – t , e – t ≤ e – t (la fonction exponentielle étant croissante sur ). On a donc pour tout x > 1 , x

x

∫1 f ( t ) dt = ∫1 e – t

2

dt ≤

x

∫1 e – t dt

=

– e– t

x

= – e –x + e – 1 .

1

d) D’après ce qui précède : pour tout x > 1 : F(x) =

x

1

x

∫0 f ( t ) dt = ∫0 f ( t ) dt + ∫1 f ( t ) dt ≤ F ( 1 ) + e – 1 – e – x ≤ F ( 1 ) + e – 1 .

De plus F étant croissante sur , pour tout x ≤ 1 : F ( x ) ≤ F ( 1 ) . F est donc majorée par F ( 1 ) + e – 1 . Séquence 8 – MA02

339



a) f (0)

a

( n)

f –

O

a – n

. . .

2a – n

x

a

O

a – n

. . .

2a – n

x

a

Soit a un réel strictement positif. On partage [ 0 ; a ] en n intervalles de même longueur et on encadre F(a) =

a

∫0 f ( t ) dt comme indiqué par les dessins précédents. On a : sn ≤ F ( a ) ≤ Sn où :

a a a 2a a na a a 2a na s n = -- × f ⎛ --⎞ + -- × f ⎛ ------⎞ + ... + -- × f ⎛ ------⎞ = -- × f ⎛ --⎞ + f ⎛ ------⎞ + ... + f ⎛ ------⎞ ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n⎠ n ⎝ n⎠ n ⎝ n ⎠ n ⎝ n⎠ n

et

a 0 a ( n – 1 )a S n = -- × f ⎛ --⎞ + f ⎛ --⎞ + ... + f ⎛ -------------------⎞ . ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ n Pour déterminer alors s 40 et S 40 , on peut alors utiliser un tableur et entrer : « a : » dans A1, « k » dans A2, « =0» dans A3, « =A3+1 » dans A4, « ka/40 » dans B2, « =A3x$B$1/ 40 » dans B3, « f(ka/40) » dans C2, « =exp(-(B3^2)) » dans C3 et on étend les colonnes A, B et C jusque la ligne 43. On entre « s40 » dans A45, « S40 » dans A46, « =($B$1/40)xsomme(C4:C43) » dans B45 et « =($B$1/40)xsomme(C3:C42) » dans B46. Il suffit alors d’entre la valeur de a dans B1. On obtient : a F(a)

0 0

0,25 0,2

0,5 0,5

0,75 0,6

1 0,7

1,5 0,8

2 0,9

3 0,9

Le tableur nous montre alors que la valeur de n choisie (n = 40) nous donne bien des valeurs approchées à 10–1 près des F(a). b) On utilise, le tableau de valeurs précédent et la parité de la fonction. On obtient la courbe suivante : y

0,5

x

0 – 2,5

–2

– 1,5

–1

– 0,5

0

– 0,5

340

Séquence 8 – MA02

0,5

1

1,5

2

2,5

Remarques

 La

calculatrice TI-89 permet le calcul d’intégrales. Elle donne pour certaines intégrales la valeur exacte et donne une valeur approchée dans les autres cas. Par exemple, on pouvait entrer : Y 1 =

∫ ( e ∧ ( –t ∧ 2 ) ,t ,0 ,x ) ; le t est la variable d’intégration, 0 et

x sont les bornes de l’intégrale, Y 1 correspond donc à la fonction F. On obtenait ainsi facilement un tableau de valeurs ou la courbe représentative de F. obtenir la courbe représentative de F à l’aide du logiciel Graphmatica, il suffisait d’entrer l’expression « dx=e^(-t^2) {0,0} » puisque cette dernière nous donne le graphe de la primitive de 2 t  e – t qui s’annule en 0.

 Pour

Exemple

Soit F définie sur  par : F ( x ) =

x

dt

-. ∫0 1-----------+ t2



Étudier la parité et les variations de F.



Prouver que :



Prouver que pour x > 1 ,

1

dt

-≤1. ∫0 -----------1 + t2 x

dt

- 0 . F est donc strictement crois1+x sante sur . 

Pour tout réel t, on a successivement :

1 1 + t 2 ≥ 1 , ------------2- ≤ 1 . On en déduit : 1+t 1

dt

1

-≤ 1 dt ∫0 -----------1 + t 2 ∫0 

= 1.

Pour tout réel non nul t, on a successivement :

1 1 1 + t 2 ≥ t 2 , ------------2- ≤ ---2- . On a donc pour tout x > 1 ; 1+t t x

dt

x

dt

-≤ ----∫1 -----------1 + t 2 ∫1 t 2

1 x 1 = – -- = – -- + 1 < 1 . t 1 x

F est croissante donc pour tout réel x ≤ 1 : F(x) ≤ F(1) =

1

dt

-≤1 ∫0 -----------1 + t2

Pour tout x > 1 , F ( x ) =

x

( < 2 ). dt

1

dt

x

dt

- = ∫ ------------- + ∫ ------------- < 1 + 1 ∫0 -----------0 1 + t2 1 1 + t2 1 + t2

= 2.

F est donc majorée par 2.

Séquence 8 – MA02

341

En fait, on montre que :

lim

x→+∞

π F ( x ) = --- . 2



On reprend la méthode utilisée à la question 3) a) de l’exemple précédent. On obtient le tableau de valeur (ici les calculs de s 20 et S 20 suffisent) : a

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

2

F(a)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,9

1

1,1

En utilisant le précédent tableau de valeurs ainsi que la parité de F, on peut donner l’allure de la courbe représentant F. y

F

1

0,5

x

0 – 1,5

–1

– 0,5

0 – 0,5

–1

– 1,5

342

Séquence 8 – MA02

0,5

1

1,5

Exercices d’apprentissage Exercice 

Déterminer une primitive F de f sur un intervalle à préciser. a) f ( x ) = x 4 – 5x 3 + 3x 2 – 4x + 2

3 b) f ( x ) = ----x2

2 c) f ( x ) = – ----3x

1 2 d) f ( x ) = ----- + -----x2 x

e) f ( x ) = ( x + 1 ) 3

f) f ( x ) = x ( x 2 + 1 ) 4

g) f ( x ) = ( x 2 + 3 ) 2

2x + 1 h) f ( x ) = -----------------------------( x2 + x – 2 )2

2x – 1 i) f ( x ) = -------------------------- . x2 – x – 2

Exercice 

Exercice 

Déterminer la primitive F de f telle que F ( x 0 ) = y 0 et préciser sur quel intervalle on se place. 2 a) f ( x ) = – ----2x

x0 = 1

y0 = 0

1 b) f ( x ) = ----x3

x0 = – 1

y0 = 1

5 c) f ( x ) = ----x7

x0 = 2

y0 = 1

d) f ( x ) = ( x – 1 ) 3

x0 = 1

y0 = 2

Calculer les intégrales proposées 5π -----6 π --6 π



∫



∫0



∫1 ----s 2-

2



∫– 3 2x4 dx

sin 2t dt



∫0 e w dw



∫3 ----------1+x



- dx ∫3 ------------------------x 2 + 2x + 3

ds

1 exp ⎛ ---2-⎞ ⎝t ⎠ -------------------- dt  1 t3 --

∫



Exercice 

∫

2

cos t dt

1

2

x2

dt ----- ( x > 0 ) x t

2

1

4

π --3



∫0



∫0

dx

x+1

sin x ----------- dx . cos x

Calculer les intégrales suivantes : 

2

∫1 x ln x dx

π

x 2 sin x dx

Séquence 8 – MA02

343

Synthèse  Primitives Définition F définie sur I est une primitive de f sur I si pour tout x de I : F′ ( x ) = f ( x ) .

Propriété  Si F (resp. G) est une primitive de f sur I (resp. de g) alors aF + bG est une primitive de af + bg sur I ( a, b ∈  ) .

Propriété  Si F est une primitive de f alors toute primitive de f est de la forme F + k ( k ∈  ) .

Méthode Pour déterminer l’unique primitive F de f sur I telle que : F ( x 0 ) = y 0 , on commence par chercher une primitive G de f puis on cherche k ( ∈  ) tel que F = G + k vérifie : F ( x 0 ) = y 0 .

 Calcul intégral Propriété  Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a ; b ] et F une primitive de f sur [ a ; b ] . Alors : b

∫a f ( t ) dt

= F(b) – F(a) . f

Primitives F

k (k ∈ )

kx + C

xn ( n ∈  )

xn + 1 ------------ + C n+1

1 x – n = ----n- ( n ≥ 2 ) x

Propriétés F est une primitive de f. Alors les primitives de : •

1 f ( ax + b ) sont -- F ( ax + b ) + C ( a ≠ 0 ) a

•

u′ ---- sont ln u + C ; u

•

u′ × e u sont e u + C ;

•

un + 1 u′ × u n sont ------------ + C ( n ∈ , n ≠ – 1 ) ; n+1

•

u′ ------- sont 2 u + C . u

x– n + 1

---------------- + C –n+1

1 -x

ln x + C

cos x

sin x + C

sin x

– cos x + C

ex

ex + C

1 -----x

2 x+C

 Intégration par parties Propriété Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle [ a ; b ] : b

∫a u′ ( x )v ( x ) dx 344

Séquence 8 – MA02

=

( uv ) ( x )

b

b

– a

∫a u ( x )v′ ( x ) dx .

Exercices d’entraînement Exercice 



Transformer les expressions suivantes en somme de termes de la forme a cos ( bx ) ou de la forme

a sin ( bx ) : cos 2 x , sin 2x cos 2x et sin x sin ( 3x ) (on pourra penser aux complexes). 

Calculer les intégrales :

π

∫0 Exercice 

cos 2 x dx ,

∫

π --4

∫

π --4

∫

π

sin ( 2x ) cos ( 2x ) dx , π sin ( 2x ) sin ( 3x ) dx et cos 3 x dx . 0 0 --6

On veut calculer l’intégrale : I = 

0

6x 2 – 12x + 42

- dx ∫– 1 ---------------------------------( x – 1 )2

Montrer qu’on peut écrire :

6x 2

– 12x + 42 b ----------------------------------- = a + -----------------( x – 1 )2 ( x – 1 )2 où a et b sont des réels à déterminer. 

Exercice 

En déduire le calcul de I.

On considère les intégrales : I =

J =

Exercice 

π --2

∫0

π --2

∫0

x 2 cos 2 x dx et x 2 sin 2 x dx .



Calculer I + J .



Calculer I – J en utilisant une intégration par parties.



Calculer I et J.

On considère les fonctions b, g et h définies sur  par : x x2 1 f ( x ) = -------------- , g ( x ) = – -- + 1 , h ( x ) = – ----- + 1 . 2 2 2 1+x 

Établir que pour tout x appartenant à l’intervalle [ 0 ; 1 ] on a :

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) . 

En déduire un encadrement de l’intégrale :

1

∫0 f ( x ) dx . Exercice 

a) Dans un repère orthonormé (unité : 1 cm) tracer dans [ – 2 ; 2 ] les paraboles d’équation : y = – x 2 + 4 et y = – 1-- x 2 + 1 . 4 b) Calculer l’aire en cm 2 du domaine D situé entre ces deux courbes.

Exercice 

On considère le polynôme P défini pour tout x réel par : P( x ) = ( 1 + x )n

n ∈ * .

Séquence 8 – MA02

345



Calculer

t

∫0 P ( x ) dx par deux méthodes :

a) par un calcul direct b) en utilisant la formule du binôme de Newton. 

En déduire la valeur de :

1⎛ ⎞ 1⎛ ⎞ 1 ⎛ ⎞ u n = 1 + -- ⎜ n ⎟ + -- ⎜ n ⎟ + ... + ------------ ⎜ n ⎟ 2⎝ 1⎠ 3⎝ 2⎠ n+1 ⎝ n ⎠ puis la limite de u n quand n tend vers + ∞ . 1

xn

- dx pour n de * . ∫0 1------------+ x2

Exercice 

a) Majorer et minorer I n défini par I n =

Exercice

b) En déduire que la suite ( I n ) converge vers 0. Montrer que pour tout n de * : 1

1

-. ∫0 x n ( 1 – x ) n dx ≤ ------2 2n

Exercice

Pour tout n de * on pose : 1 1 ( 1 – t ) n e t dt . u n = ---n! 0

∫



Calculer u 1 .



Trouver une relation de récurrence entre u n et u n + 1 .

En déduire que : n

un = e – 1 –

∑

p=1 

1 ---- . p!

Montrer que pour tout n de * :

e 0 ≤ u n ≤ ---- . n! n

En déduire que :

Exercice 

⎛ 1⎞ ----⎟ = e . ⎜1 + p! n→+∞ ⎝ ⎠ p=1 lim

∑

π a) Étudier les variations, pour x appartenant à l’intervalle I = 0 ; --- de la fonction f définie par 3 f ( x ) = 1 + cos 3x .



b) Tracer la courbe C représentant la fonction f pour x élément de I dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 3 cm). 

Déterminez la valeur moyenne de f sur l’intervalle I.



Calculez le volume, en centimètre cube du solide engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses de l’ensemble des points M de coordonnées ( x ; y ) du plan telles que : ⎧ π ⎪ 0 ≤ x ≤ --3 . ⎨ ⎪0 ≤ y ≤ f(x) ⎩

346

Séquence 8 – MA02

ide aux exercices d’entraînement Exercice 



e ia – e – ia On a : sin a = ---------------------- . 2i



Pour les trois premières intégrales, on pourra utiliser la 1ère question, pour la dernière, on pourra

remarquer que : cos 3 x = ( 1 – sin 2 x ) × cos x .

Exercice 



Exercice 



On pourra identifier les polynômes : 6x 2 – 12x + 42 et a ( x – 1 ) 2 + b . cos 2x = cos 2 x – sin 2 x .



On pourra résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

Exercice 



On pourra étudier les signes de f ( x ) – g ( x ) et de h ( x ) – f ( x ) sur [ 0 ; 1 ] .

Exercice 



b) On pourra intégrer les deux termes de l’égalité :

n n n ( 1 + x ) n = 1 + ⎛ ⎞ x + ⎛ ⎞ x 2 + ... + ⎛ ⎞ x n . ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ n⎠ 

Exercice  Exercice Exercice

On pourra appliquer l’égalité obtenue à la première question pour t = 1 .

xn a) Pour majorer I n , on pourra montrer que pour tout x de [ 0 ; 1 ] : -------------2- ≤ x n . 1+x On pourra étudier f définie sur [ 0 ; 1 ] par f ( x ) = x ( 1 – x ) et en déduire un majorant de xn( 1 – x )n . On pourra utiliser des intégrations par parties.

Exercice 



On pourra utiliser la formule : V =

b

∫a π [ f ( t ) ] 2 dt .

■

Séquence 8 – MA02

347

2e partie : Combinaisons. Exemples de probabilité discrètes Chapitre 1

Chapitre 2

> Dénombrement

............................................................................................................................................ 351

A

Étude de quelques exemples

B

Permutation et factorielle

C

Combinaisons

D

Exercices d’apprentissage

> Loi de Bernoulli – Loi Binomiale A

Loi de Bernoulli

B

Loi binomiale

C

Exercices d’apprentissage

Chapitre 3

> Synthèse

Chapitre 4

> Exercices d’entraînement

............................................................................... 360

.................................................................................................................................................................. 365

...................................................................................................... 366

> Aide aux exercices d’entraînement

................................................................. 368

Sommaire séquence 8 – MA02

349

Dénombrement A

Étude de quelques exemples  Exemple d’introduction a) Au restaurant, on compose un menu par le choix d’une entrée e dans l’ensemble E des 3 entrées proposées, puis d’un plat p dans l’ensemble P des 2 plats, puis un dessert d dans l’ensemble D des 4 desserts. e1

entrée

plat dessert

p1

e2 p2

d1 d2 d3 d4 d1 d2 d3 d4

p1

e3 p2

d1 d2 d3 d4 d1 d2 d3 d4

p1

p2

d1 d2 d3 d4 d1 d2 d3 d4

On peut ainsi composer 3 × 2 × 4 = 24 menus différents. L’arbre ci-dessus met en évidence ce principe multiplicatif. b) On lance trois dés de couleurs différentes. Pour chacun des dés, il y a 6 choix possibles pour le numéro obtenu, et comme il y a trois dés, il y a 6 × 6 × 6 = 216 résultats possibles à l’issue de ce triple lancer.

 Choix successifs dans un même ensemble On considère l’ensemble E des chiffres pairs non nuls : E = {2 ; 4 ; 6 ; 8} . a) Combien de nombres à 3 chiffres peut-on fabriquer avec les éléments de E ? b) Combien de nombres à 3 chiffres distincts peut-on fabriquer avec les éléments de E ? Réponse

Méthode 1 : raisonnement a) • Pour le premier chiffre : 4 possibilités. • À chacune des possibilités précédentes, pour le deuxième chiffre il se greffe : 4 possibilités.

4 × 4 × 4 = 4 3 = 64

• À chacune des possibilités précédentes, pour le troisième chiffre il se greffe : 4 possibilités. b) • Pour le premier chiffre : 4 possibilités. • À chacune des possibilités précédentes, pour le deuxième chiffre il se greffe : 3 possibilités car les chiffres doivent être distincts.

4 × 3 × 2 = 24

• À chacune des possibilités précédentes, pour le troisième chiffre il se greffe : 2 possibilités.

Séquence 8 – MA02

351

Méthode 2 : arbre a)

b)

Remarque Un arbre est toujours difficile à dessiner complètement car ses proportions deviennent vite trop grandes, mais on devine bien quand même toutes les ramifications. Dans la méthode 1 (raisonnement) c’est pour faire penser à un arbre que le mot « greffe » a été utilisé.

352

Séquence 8 – MA02

B

Permutation et factorielle  Exemple d’introduction Lorsque l’on permute les lettres d’un mot, on obtient une anagramme (même si ce mot n’a aucun sens). Combien y a-t-il d’anagrammes du mot MATHS ? La première lettre du mot à construire peut être choisie parmi 5. Une fois cette lettre choisie, la seconde peut être choisie parmi 4, puis la troisième parmi 3, la quatrième parmi 2 et la dernière lettre est imposée. 1ère lettre, 2ième lettre, 3ième lettre, 4ième lettre, 5ième lettre

5 choix,

4 choix,

3 choix,

2 choix,

imposée

Il y a donc 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 anagrammes du mot MATHS. Ce sont toutes les permutations possibles des lettres M, A, T, H, S. Le nombre 5 × 4 × 3 × 2 × 1 se nomme « 5 factorielle » et on le note : 5! .

 Factorielle n Pour tout entier naturel n non nul, le nombre n! , lu n factorielle, est le produit des n entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à n.

Définition

n! = n × ( n – 1 ) × ( n – 2 ) × ... × 2 × 1 . Les calculatrices fournissent directement la valeur de n! . Sur la TI83 plus, il suffit d’effectuer les commandes n MATH PRB 4. Par exemple, pour obtenir 10! , il suffit de faire 10 MATH PRB 4 et on lit : 10! = 3 628 800 . Par convention, on posera 0! = 1 .

Propriétés En généralisant la méthode utilisée dans l’exemple, on montre que : le nombre de permutations possibles de n objets est n! Ce résultat peut s’exprimer d’une autre façon : E étant un ensemble à n éléments, le nombre de permutations des éléments de E, c’est-à-dire le nombre de façons de ranger les n éléments de E parmi n places est n!

Exemple d’application

C

Une course d’athlétisme se dispute entre 8 coureurs. Combien y a-t-il de classements possibles à l’arrivée en supposant qu’il n’y aient pas d’ex aequo ? Le nombre de classements possibles est le nombre de permutations de ces huit coureurs. Il y en a donc : 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40 320 .

Combinaisons  Exemple d’introduction Valérie désire photographier un groupe de copines : Anne, Béatrice, Céline, Diane, Emilie, Fabienne et Gabrielle.

Séquence 8 – MA02

353

Elle veut les photographier trois par trois de toutes les façons possibles. Elle veut savoir si elle a assez de pellicules pour réaliser son projet. Elle commence par raisonner en attribuant des places déterminées à ses copines. gauche

milieu

droite

En raisonnant de cette façon, dénombrons à l’aide de l’ébauche d’un arbre les différentes photos qu’elle doit faire. Gauche

A

Milieu

B C D E F G

Droite C D E F G

B

C D E F G

F E À gauche peut prendre place une de ses 7 copines. Une fois une copine placée à gauche, il en reste 6 qui peuvent se placer au milieu. Puis, une fois la copine du milieu placée, il en reste 5 possibles pour la place de droite. Il y a donc 7 × 6 × 5 = 210 photos possibles en tenant compte des différentes dispositions gauche, milieu, droite. Remarquons alors que pour un groupe de trois copines donné, par exemple Anne, Béatrice et Céline, ce groupe apparaît sur 6 photos symbolisées par 6 branches de l’arbre précédent : ABC–ACB–BAC–BCA–CAB–CBA. Ces 6 branches représentent les 3 × 2 × 1 = 3! permutations des 3 copines sur la photo. Par conséquent, si on ne tient pas compte de la disposition des copines sur la photo, il y a 6 fois moins de photos à réaliser. Pour avoir ses amis trois par trois et une seule fois par groupe de trois, Valérie devra donc réaliser : 7×6×5 --------------------- = 35 photos et une pellicule de 36 poses lui suffira donc. 3×2×1

354

Séquence 8 – MA02

7 7×6×5 Le nombre --------------------- est noté ⎛ ⎞ , lu « 3 parmi 7 » ; il désigne le nombre de façons de choisir dans ⎝ 3×2×1 3⎠ l’exemple 3 copines parmi 7, et de façon plus générale 3 objets parmi 7 ou encore 3 éléments dans un ensemble à 7 éléments.

 Cas général Définition et exemple

Une combinaison de p éléments d’un ensemble E ayant n éléments, n ≠ 0 , est une partie de E à p éléments (ou encore un sous-ensemble de E à p éléments). Une combinaison étant une partie, tous ses éléments sont distincts et n’interviennent qu’une seule fois. De plus, l’ordre dans lequel sont écrits les éléments n’a pas d’importance ; ainsi les parties { b ; a } et { a ; b } sont identiques. Par exemple, si E = { a ; b ; c ; d } , les combinaisons de E à 2 éléments sont les parties : { a ; b } , {a ; c} , {a ; d} , {b ; c} , {b ; d} , {c ; d} .

n  Nombres ⎛ ⎞ ⎝ p⎠

Soit n un entier non nul et p un entier vérifiant 0 ≤ p ≤ n . n Le nombre de combinaisons à p éléments pris parmi n est noté ⎛ ⎞ (ou C np ) et lu « p parmi n ». C’est ⎝ p⎠ aussi le nombre de façons de choisir p objets parmi n. En généralisant la méthode de dénombrement utilisé dans l’exemple, on montre que, si 0 < p < n : n × ( n – 1 ) × ... × ( n – p + 1 ) ⎛ n⎞ = -------------------------------------------------------------------. ⎝ p⎠ p! On remarquera que le numérateur contient p facteurs comme le dénominateur. Si p = 0 , seul l’ensemble vide, noté ∅ , est une partie de E à 0 élément. On a donc : ⎛ n⎞ = 1. ⎝ 0⎠ 7 7×6×5 Dans l’exemple, le nombre de façons de choisir 3 copines parmi 7 est : ⎛ ⎞ = --------------------- = 35 . ⎝ 3⎠ 3×2×1 20 20 × 19 × 18 × 17 Voyons un autre calcul : ⎛ ⎞ = ------------------------------------------ = 4 845 . ⎝ 4⎠ 4×3×2×1 n Les calculatrices calculent directement ⎛ ⎞ . ⎝ p⎠ Par exemple, sur la TI83 plus, il suffit de faire : n MATH PRB nCr p. 50 Ainsi, pour obtenir ⎛ ⎞ , il suffit de taper 50 MATH PRB nCr 9, et on obtient : ⎝ 9⎠ ⎛ 50⎞ = 2 505 433 700 . ⎝ 9⎠

 Exemple d’application On extrait une main de 8 cartes d’un jeu de 32 cartes. a) Déterminer le nombre de mains possibles. b) Déterminer le nombre de mains contenant 6 piques et 2 trèfles. Réponse a) Une main est une combinaison de 8 cartes choisies parmi 32. Séquence 8 – MA02

355

32 Il y a donc ⎛ ⎞ = 10 518 300 façons de choisir 8 cartes parmi 32. ⎝ 8⎠ 8 b) Il faut donc choisir 6 piques parmi l’ensemble des 8 piques, on peut le faire de ⎛ ⎞ façons, et 2 ⎝ 6⎠ 8 trèfles parmi 8, on peut le faire de ⎛ ⎞ façons. ⎝ 2⎠ 8 À chaque choix des 6 piques, il correspond ⎛ ⎞ façons de choisir les trèfles. ⎝ 2⎠ 8 8 Il y a donc au total ⎛ ⎞ × ⎛ ⎞ = 28 × 28 = 784 mains composées de 6 piques et deux trèfles. ⎝ 6⎠ ⎝ 2⎠ Vous pouvez remarquer que l’on a appliqué ici le principe multiplicatif, vu que l’on faisait ses choix dans deux ensembles distincts, l’ensemble des piques et l’ensemble des trèfles.

n  Propriétés des nombres ⎛ ⎞ ⎝ p⎠

⎛ n⎞ Autre façon d’écrire le nombre ⎜ ⎟ ⎝ p⎠ Avec 0 < p ≤ n ,

n × ( n – 1 ) × ... × ( n – p + 1 ) ( n – p ) × ... × 3 × 2 × 1 n! ⎛ n⎞ = ------------------------------------------------------------------- × ------------------------------------------------------ = ----------------------- . ⎝ p⎠ p! ( n – p ) × ... × 3 × 2 × 1 p! ( n – p )! n n! Si p = 0 , la formule précédente est encore vraie : ⎛ ⎞ = ----------------------- = 1 car 0! = 1 . ⎝ 0⎠ 0! ( n – 0 )! n n! Par suite, pour tout entier n non nul, ⎛ ⎞ = ----------------------- . ⎝ p⎠ p! ( n – p )!

Propriété  n ⎞ n Pour tout entier n non nul et p tels que 0 ≤ p ≤ n , ⎛ = ⎛ ⎞. ⎝ n – p⎠ ⎝ p⎠ n ⎞ n n! n! En effet, ⎛ = --------------------------------------------------- = ----------------------- = ⎛ ⎞ . ⎝ n – p⎠ ⎝ p⎠ ( n – p )! ( n – ( n – p ) )! ( n – p )!p! 32 32 ⎞ 32 32 × 31 Par exemple, ⎛ ⎞ = ⎛ = ⎛ ⎞ = ----------------- = 496 . ⎝ 30⎠ ⎝ 32 – 30⎠ ⎝ 2⎠ 2×1

Propriété  Pour tout entier n non nul et pour tout entier p tel que p < n , ⎛ n⎞ + ⎛ n ⎞ = ⎛ n + 1⎞ . ⎝ p⎠ ⎝ p + 1⎠ ⎝ p + 1⎠

Démonstration n n! On peut démontrer cette formule par un calcul en utilisant ⎛ ⎞ = ----------------------- . ⎝ p⎠ p! ( n – p )! Il est cependant plus intéressant de la démontrer grâce au raisonnement suivant : Soit E un ensemble à n + 1 éléments ; isolons un élément de cet ensemble a.

A connaître

Les parties de E à p + 1 éléments sont constituées : – des parties de E à p + 1 éléments qui contiennent a ; pour en construire une, il faut choisir n p éléments parmi n et lui adjoindre a ; il y en a donc ⎛ ⎞ . ⎝ p⎠

356

Séquence 8 – MA02

– des parties de E à p + 1 éléments qui ne contiennent pas a ; pour en construire une, il faut choisir n ⎞ p + 1 éléments parmi n car on ne peut pas prendre a ; il y en a donc ⎛ . ⎝ p + 1⎠ n + 1⎞ Or il y a ⎛ parties de E à p + 1 éléments ; d’où la formule annoncée. ⎝ p + 1⎠ Par exemple

⎛ 4⎞ + ⎛ 4⎞ = ⎛ 5⎞ ; ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

Vérifions :

6 + 4 = 10.

 Formule du binôme de NEWTON La propriété 2 montrée conduit au TRIANGLE DE PASCAL. n Les termes de la ligne n sont les ⎛ ⎞ ; on écrit 1 sur la ligne 0. ⎝ p⎠ Connaissant les coefficients d’une ligne, on obtient ceux de la suivante en procédant comme suit : ⎛ n⎞ + ⎛ n ⎞ ⎝ p⎠ ⎝ p + 1⎠ ⎛ n + 1⎞ ⎝ p + 1⎠ ligne 0 ligne 1 ligne 2 ligne 3 ligne 4

1 1 1 1 1

1 2 1 3 3 1 4 6 4 1

. . . ligne n

( n0 ) ... ( np ) ( p n+ 1) ... ( nn )

ligne n + 1

( n 0+ 1) ... ( np ++ 11)

...

(nn ++ 11 )

Considérons à présent 2 réels a et b non nuls. ( a + b )0 = 1 1 1 ( a + b )1 = ⎛ ⎞ a + ⎛ ⎞ b ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ 2 2 2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = ⎛ ⎞ a 2 + ⎛ ⎞ ab + ⎛ ⎞ b 2 ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ 3 3 3 3 ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = ⎛ ⎞ a 3 + ⎛ ⎞ a 2 b + ⎛ ⎞ ab 2 + ⎛ ⎞ b 3 ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ k=3

=

∑

k=0

⎛ 3⎞ a 3 – k b k . ⎝ k⎠

Séquence 8 – MA02

357

On peut généraliser la formule précédente et montrer la formule du binôme de NEWTON que nous admettrons.

Théorème

Soient a et b deux réels non nuls. Pour tout entier n non nul, k=n

( a + b )n =

∑

k=0

Remarque

Exemple 

⎛ n⎞ a n – k b k . ⎝ k⎠

n Les nombres ⎛⎝ ⎞⎠ sont parfois appelés « coefficients binomiaux » et ils se lisent sur la ligne n du k triangle de Pascal. La formule précédente est encore vraie pour a ou b nombres complexes. 4 4 4 4 4 ( x + 2 )4 = ⎛ ⎞ x4 × 20 + ⎛ ⎞ x3 × 21 + ⎛ ⎞ x2 × 22 + ⎛ ⎞ x1 × 23 + ⎛ ⎞ x0 × 24 ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ 4 Les coefficients ⎛ ⎞ sont donnés par la ligne 4 du triangle de Pascal ; d’où ⎝ p⎠ ( x + 2 ) 4 = x 4 + 8x 3 + 24x 2 + 32x + 16 .

Exemple 

Développer ( a + b ) 5 . On peut très vite déterminer les coefficients binomiaux de la ligne 5 en écrivant la cinquième ligne du triangle de Pascal. n = 3

1 3 3 1

n = 4

1 4 6 4 1

n = 5 D’où ( a +

Exemple 

1 5 10 10 5 1 b )2

=

a5

+ 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 .

Développer ( 2 – 3i ) 4 . D’après l’exemple 1, les coefficients binomiaux sont 1, 4, 6, 4, 1 d’où : ( 2 – 3i ) 4 = ( 2 + ( – 3i ) ) 4 = 2 4 + 4 × 2 3 × ( – 3i ) + 6 × 2 2 × ( – 3i ) 2 + 4 × 2 × ( – 3i ) 3 + ( – 3i ) 4 = 16 – 96i – 216 + 216i + 81 d’où ( 2 – 3i ) 4 = – 119 + 120i .

 Conséquences de la formule du binôme

de NEWTON. Nombres de parties d’un ensemble à n éléments Soit E un ensemble à n éléments. Les parties de E sont les parties à : n – 0 élément, soit ∅ : il y en a ⎛ ⎞ = 1 ⎝ 0⎠ n – 1 élément : il y en a ⎛ ⎞ = n ⎝ 1⎠ n – p éléments : il y en a ⎛ ⎞ ⎝ p⎠ n – n éléments, soit E lui-même : il y en a ⎛ ⎞ = 1 ⎝ n⎠ Le nombre de parties de E est donc : ⎛ n⎞ + ⎛ n⎞ + ... + ⎛ n⎞ + ... + ⎛ n⎞ = ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ p⎠ ⎝ n⎠

358

Séquence 8 – MA02

k=n

∑

k=0

⎛ n⎞ . ⎝ k⎠

Mais, d’après la formule du binôme de Newton : k=n

( 1 + 1 )n =

∑

k=0 k=n

Donc

∑

k=0

Théorème

D

⎛ n⎞ 1 n – k 1 k = ⎝ k⎠

k=n

∑

k=0

⎛ n⎞ . ⎝ k⎠

⎛ n⎞ = 2 n . ⎝ k⎠

Le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est 2 n .

Exercices d’apprentissage

Exercice 

Une marque d’automobiles produit 4 modèles A, B, C, D. Les modèles A et C se font en 2 carrosseries : berline et coupé. Les modèles B et D se font en 4 carrosseries : berline, coupé, cabriolet ou utilitaire. De plus chaque modèle est vendu selon 9 colories possibles. Quel est le nombre de choix dont dispose un client achetant une voiture de cette marque ?

Exercice 

En informatique on utilise le système binaire pour coder les caractères. Un bit (binary digit : chiffre binaire) est un élément qui prend la valeur 0 ou la valeur 1. Avec 8 chiffres binaires (un octet), combien de caractères peut-on coder ?

Exercice 

Un clavier à 9 touches permet de composer le code d’entrée d’un immeuble à l’aide d’une lettre suivie d’un nombre de 3 chiffres distincts ou non. a) b) c) d) e)

1

2

3

4 5 6 Combien de codes différents peut-on former ? A B C Combien y a-t-il de codes sans le chiffre 1 ? Combien y a-t-il de codes comportant au moins le chiffre 1 ? Combien y a-t-il de codes comportant des chiffres distincts ? Combien y a-t-il de codes comportant au moins deux chiffres identiques ?

Exercice 

En vue d’un débat télévisé, il faut placer sept personnes à sept places différentes numérotées. Combien y a-t-il de dispositions possibles ?

Exercice 

Huit nageurs, dont un Français, participent à la finale olympique du 100 m.  Combien de podiums sont possibles ? (Un podium est constitué par un premier, un deuxième et un troisième nageur.)  Combien

Exercice 

de podiums comportant le nageur français sont possibles ?

Jean et Renée font partie d’un club de 18 personnes. On doit former un groupe constitué de cinq d’entre elles pour représenter le club à un spectacle.  Combien  Dans

de groupes de cinq personnes peut-on constituer ?

combien de ces groupes peut figurer Jean ?

 Jean et Renée ne pouvant se supporter, combien de groupes de cinq personnes peut-on constituer de telle façon que Jean et Renée ne se retrouvent pas ensemble ?

Exercice 

Sur 20 personnes, 10 lisent une revue A, 8 lisent une revue B et 3 lisent les 2 revues. De combien de façons différentes peut-on choisir 5 personnes parmi les 20 si : a) chacune des 5 personnes lit au moins une revue ; b) trois d’entre elles lisent A, les deux autres lisent B, chacune d’entre elles ne lisant qu’ une seule revue ; c) trois d’entre elles au moins lisent A.

Exercice

Développer ( 3 – 2i ) 3 et ( 1 + x ) 4 . Séquence 8 – MA02

359

Loi de Bernoulli et loi binomiale A

Loi de Bernoulli  Exemple On lance un dé bien équilibré une fois. Soit X la variable aléatoire définie par : X = 1 si la face supérieure est un as. X = 0 sinon. X est une variable aléatoire définie sur Ω′ = { 0 ; 1 } . 5 1 Sa loi de probabilité est donnée par : P ( X = 0 ) = -- ; P ( X = 1 ) = -- . 6 6 1 On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre -- . 6

 Définition On considère une épreuve aléatoire à 2 issues possibles généralement appelées succès et échec ; on a donc Ω = { S ; S } . Posons P ( S ) = p et donc P ( S ) = 1 – p . Soit X la variable aléatoire qui associe 1 à la réalisation de S et 0 à la réalisation de S . X est donc définie sur Ω′ = { 0 ; 1 } et sa loi de probabilité est donnée par : P ( X = 0 ) = 1 – p et P ( X = 1 ) = p . On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p.

 Espérance et variance d’une loi de Bernoulli E(X) = 0 × (1 – p) + 1 × p = p .

Théorème

B

V( X ) = E( X2 ) – ( E( X ) )2 = 1 × p – p2 = p( 1 – p )

La variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p a pour espérance p et pour variance p(1 – p) .

Loi binomiale  Exemple a) Reprenons l’exemple précédent mais au lieu de lancer le dé une seule fois, lançons le trois fois de suite et schématisons l’expérience à l’aide d’un arbre. Le résultat du second lancer est indépendant du résultat du premier lancer et de même le résultat du troisième lancer est indépendant des deux premiers. Par conséquent, pour obtenir la probabilité d’un événement résultant de trois lancers, il suffira de multiplier les probabilités se trouvant sur les branches de l’arbre menant à cet événement.

360

Séquence 8 – MA02

1er jet

2e jet

3e jet 1/6

S3

P (S1

S2

S3) = ( 1 )3 6

5/6

S3

P (S1

S2

1/6

S3

P (S1

S2

S3) = ( 1 )2 x ( 5 ) 6 6 1 2 S3) = ( ) x ( 5 ) 6 6

5/6

S3

P (S1

S2

1/6

S3

P (S1

S2

5/6

S3

P (S1

S2

1/6

S3

P (S1

S2

5/6

S3

P (S1

S2

S2 1/6 S1 5/6 S2

1/6

Ω

S3) = ( 1 ) x ( 5 )2 6 6 S3) = ( 1 )2 x ( 5 ) 6 6

S2

5/6 1/6 S1 5/6

S3) = ( 1 ) x ( 5 )2 6 6 1 5 S3) = ( ) x ( )2 6 6

S2 S3) = ( 5 )3 6

Appelons X la variable aléatoire qui donne le nombre d’as obtenus à l’issue des trois lancers X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 et 3. Intéressons nous par exemple à la probabilité d’avoir X = 2 . X = 2 est réalisé lorsque l’issue contient 2 succès et 1 échec, peu importe l’ordre dans lequel ils ont été obtenus. 1 2 5 Chacune de ces issues a pour probabilité : ⎛ --⎞ × ⎛ --⎞ ; or il y a autant de telles issues que de façons ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ 3 de choisir la place des deux succès parmi 3, soit ⎛ ⎞ , et donc ⎝ 2⎠ 3 1 2 5 5 P ( X = 2 ) = ⎛ ⎞ × ⎛ --⎞ × -- = ----- . ⎝ 2⎠ ⎝ 6⎠ 6 72 b) Supposons maintenant qu’au lieu de lancer le dé 3 fois, nous l’ayons lancé n fois et intéressons nous toujours à l’événement ( X = 2 ) . ( X = 2 ) est réalisé lorsque l’issue contient 2 succès et n – 2 échecs. 2

1 5 Chacune de ces issues a pour probabilité ⎛ --⎞ × ⎛ --⎞ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ n choisir la place des 2 succès parmi n, soit ⎛ ⎞ . ⎝ 2⎠ 2

n 1 5 Donc P ( X = 2 ) = ⎛ ⎞ × ⎛ --⎞ × ⎛ --⎞ ⎝ 2⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠

n–2

n–2

; or, il y a autant d’issues que de façons de

.

Maintenant, si l’on cherche la probabilité d’avoir k succès, 0 ≤ k ≤ n , il suffirait de remplacer 2 par k. n 1 k 5 n–k Donc P ( X = k ) = ⎛ ⎞ × ⎛ --⎞ × ⎛ --⎞ . ⎝ k⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠

Séquence 8 – MA02

361

 Cas général Définitions

a. Schéma de Bernoulli On appelle suite de n épreuves de Bernoulli l’expérience qui consiste à répéter n fois une épreuve ayant exactement 2 issues possibles, sous l’hypothèse que les n épreuves sont indépendantes les unes des autres. On dit aussi que l’on a effectué un schéma de Bernoulli.

b. Loi binomiale Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de succès obtenus au cours de n épreuves de Bernoulli pour lesquelles la probabilité de succès est p. X peut prendre les 0, 1, ..., n. On montre en généralisant la méthode utilisée dans l’exemple que la loi de probabilité de X est définie par : n P( X = k ) = ⎛ ⎞ pk( 1 – p )n – k ⎝ k⎠ On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p.

 Espérance et variance a. Espérance – Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 1 et p. Ce cas particulier revient au cas où X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. On a donc E ( X ) = p . – Considérons maintenant une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre 2 et p. On peut donner sa loi de probabilité sous forme de tableau. k

0

1

2

P(X = k)

⎛ 2⎞ p 0 ( 1 – p ) 2 ⎝ 0⎠

⎛ 2⎞ p 1 ( 1 – p ) 1 ⎝ 1⎠

⎛ 2⎞ p 2 ( 1 – p ) 0 ⎝ 2⎠

P(X = k)

( 1 – p )2

2p ( 1 – p )

p2

E ( X ) = 0 × ( 1 – p ) 2 + 1 × 2 p ( 1 – p ) + 2 × p 2 = 2p . – Considérons maintenant une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètre 3 et p. On peut donner sa loi de probabilité sous forme de tableau. k

0

1

2

3

P(X = k)

⎛ 3⎞ p 0 ( 1 – p ) 3 ⎝ 0⎠

⎛ 3⎞ p 1 ( 1 – p ) 2 ⎝ 1⎠

⎛ 3⎞ p 2 ( 1 – p ) 1 ⎝ 2⎠

⎛ 3⎞ p 3 ( 1 – p ) 0 ⎝ 3⎠

P(X = k)

( 1 – p )3

3p ( 1 – p ) 2

3p 2 ( 1 – p )

p3

E ( X ) = 0 × ( 1 – p ) 3 + 1 × 3p × ( 1 – p ) 2 + 2 × 3p 2 ( 1 – p ) + 3 × p 3 = 3p – 6p 2 + 3p 3 + 6p 2 – 6p 3 + 3p 3 = 3p. On peut conjecturer que pour la loi binomiale de paramètres n et p, E ( X ) = np . Nous admettrons ce résultat ainsi que celui donnant la variance. Théorème (admis) Pour une variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètres n et p, E ( X ) = np 362

Séquence 8 – MA02

et

V ( X ) = np ( 1 – p )

 Exemple d’application Lors d’un concours de tir, on estime qu’à chaque essai un tireur atteint la cible avec la probabilité 0,3. On suppose que les essais sont indépendants les uns des autres. a) Quelle est la probabilité que le tireur atteigne 4 fois exactement la cible au cours des 10 essais ? b) Combien de tirs doit-il effectuer pour atteindre la cible au moins une fois avec une probabilité supérieure à 0,9 ? a) Le tireur recommence 10 fois la même épreuve à 2 issues possibles : S : il atteint la cible, P ( S ) = 0 ,3 S : il n’atteint pas la cible, P ( S ) = 0 ,7 . Les différentes épreuves sont indépendantes. Il s’ agit de 10 épreuves de Bernoulli. Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de fois où le tireur atteint la cible ; X suit la loi binomiale de paramètres 10 et 0,3. 10 On a donc P ( X = 4 ) = ⎛ ⎞ ( 0 ,3 ) 4 ( 0 ,7 ) 6  0 ,2 . ⎝ 4⎠ b) Soit A l’événement : « le tireur atteint au moins une fois la cible ». A « le tireur n’atteint jamais la cible ». n P ( A ) = ⎛ ⎞ ( 0 ,3 ) 0 ( 0 ,7 ) n = ( 0 ,7 ) n . ⎝ 0⎠ P ( A ) = 1 – P ( A ) = 1 – ( 0 ,7 ) n . 1 – ( 0 ,7 ) n ≥ 0 ,9 ⇔ ( 0 ,7 ) n ≤ 0 ,1 ⇔ ln ( 0 ,7 ) n ≤ ln ( 0 ,1 ) ⇔ n ln ( 0 ,7 ) ≤ ln ( 0 ,1 ) ln ( 0 ,1 ) ⇔ n ≥ ------------------  6 ,45 ln ( 0 ,7 )

car

ln ( 0 ,7 ) < 0

Or n est un entier ; il faudra donc effectuer au moins 7 tirs pour atteindre la cible avec une probabilité supérieure à 0,9.

C

Exercices d’apprentissage

Exercice 

Un questionnaire à choix multiples comporte dix questions. Pour chaque question, il y a trois réponses dont une seule est correcte. Pour être reçu, il faut au moins huit réponses exactes. Quelle est la probabilité d’être reçu pour un candidat qui répond au hasard ?

Exercice 

Michel le jardinier achète dans une jardinerie un lot de bulbes de crocus. Le pouvoir germinatif d’un bulbe de ce lot est 0,8. De plus, chaque bulbe contient l’un des gènes j (jaune), m (mauve), et b (blanc) qui détermine la couleur de la fleur éventuelle. On suppose que la probabilité pour qu’un bulbe donné possède le gène j est de 0,6.  a)

Quelle est la probabilité qu’il obtienne cinq fleurs en plantant cinq bulbes ?

b) Quelle est la probabilité qu’il obtienne quatre fleurs exactement en plantant cinq bulbes ?  a)

Quelle est la probabilité pour qu’un bulbe planté produise une fleur jaune ?

b) Monsieur Michel plante quatre bulbes de crocus. Quelle est la probabilité qu’il n’ait aucune fleur jaune ? D’avoir exactement deux fleurs jaunes ? Séquence 8 – MA02

363

Exercice 

Soit p la probabilité qu’une naissance donne une fille ; on admet que p est constante, indépendante de la famille considérée.  Exprimer

en fonction de p la probabilité qu’une famille de 4 enfants ait exactement k filles (0 ≤ k ≤ 4) .  On considère toujours une famille de quatre enfants. Soit X la variable aléatoire égale au nombre 1 de filles dans cette famille. Déterminer la loi de probabilité de X pour p = -- . 2

Exercice 

364

Combien de fois faut-il lancer un dé (non pipé) pour amener un (ou plusieurs) six avec une chance sur deux au moins ?

Séquence 8 – MA02

Synthèse Permutations  E étant un ensemble à n éléments, le nombre de permutations des éléments de E, c’est-à-dire encore le nombre de façons de ranger les n éléments de E parmi n places, est n! .

n! = n × ( n – 1 ) × ( n – 2 ) × ... × 2 × 1 0! = 1

Combinaisons Une combinaison de p éléments d’un ensemble E ayant n éléments, n ≠ 0 , est une partie de E à p éléments (ou encore un sous-ensemble de E à p éléments). n Le nombre de combinaisons de E est noté ⎛ ⎞ ; c’est aussi le nombre de façons de choisir p objets ⎝ p⎠ parmi n. × ( n – 1 ) × ... × ( n – p + 1 ) ⎛ n⎞ = n------------------------------------------------------------------⎝ p⎠ p! Le numérateur comme le dénominateur contiennent p facteurs ; par exemple : × 19 × 18 × 17 ⎛ 20⎞ = 20 ------------------------------------------ = 4 845 . ⎝ 4⎠ 4×3×2×1

n Propriétés des ⎛ ⎞ ⎝ p⎠

n n! Pour tout entier n non nul et p tels que 0 ≤ p ≤ n , ⎛ ⎞ = ----------------------⎝ p⎠ p! ( n – p )! ⎛ n ⎞ = ⎛ n⎞ ; ⎝ n – p⎠ ⎝ p⎠

⎛ n⎞ + ⎛ n ⎞ = ⎛ n + 1⎞ . ⎝ p⎠ ⎝ p + 1⎠ ⎝ p + 1⎠

Formule du binôme de NEWTON : ( a + b )n =

k=n

n ∑ ⎛⎝ k⎞⎠ a n – k b k

k=0

Loi de Bernoulli X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si et seulement si : X prend les valeurs 0 et 1 avec les probabilités P ( X’ = 0 ) = 1 – p et P ( X = 1 ) = p . On a alors E ( X ) = p et V ( X ) = p ( 1 – p ) .

Loi Binomiale X suit la loi binomiale B ( n, p ) si et seulement si : n X prend les valeurs 0, 1, ..., n avec les probabilités : P ( X = k ) = ⎛ ⎞ p k ( 1 – p ) n – k . ⎝ k⎠ On a alors : E ( X ) = np et V ( X ) = np ( 1 – p ) . Séquence 8 – MA02

365

Exercices d’entraînement Exercice 

On dispose d’un damier carré de 4 lignes et 4 colonnes et de 4 jetons indiscernables. Le jeu consiste à répartir les 4 jetons sur 4 cases différentes.  Combien

y a-t-il de dispositions possibles de ces quatre jetons ?

 Dénombrer

les dispositions telles que :

a) Aucun des quatre jetons ne soit placé sur une diagonale. b) Trois jetons exactement sont placés sur une même diagonale. c) Il y ait exactement un jeton sur chaque ligne et sur chaque colonne.

Exercice 

On possède un jeu normal de 32 cartes : 4 couleurs : cœur, carreau, pique, trèfle ; 8 valeurs : as, roi, dame, valet, 10, 9, 8, 7. On effectue un tirage de 5 cartes parmi 32. a) Combien y a-t-il de tirages possibles ? b) Combien de tirages contiennent exactement un roi ? c) Combien de tirages contiennent exactement un roi et 2 dames ? d) Combien de tirages contiennent au moins 2 trèfles ?

Exercice 

À l’aide du développement de ( 1 + x ) n = f ( x ) , calculer : n n n n n a) ⎛ ⎞ + 2 ⎛ ⎞ + 2 2 ⎛ ⎞ + ... + 2 p ⎛ ⎞ + ... + 2 n ⎛ ⎞ ⎝ 2⎠ ⎝ p⎠ ⎝ n⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ n n n n n b) ⎛ ⎞ + 2 ⎛ ⎞ + 3 ⎛ ⎞ + ... + p ⎛ ⎞ + ... + n ⎛ ⎞ . ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ p⎠ ⎝ n⎠ On pourra penser à utiliser f′ ( x ) .

Exercice



Dans une urne se trouvent : – cinq boules marquées du numéro 1. – quatre boules marquées du numéro 3 – trois boules marquées du numéro 5 On tire simultanément trois boules de cette urne. Les tirages sont supposés équiprobables. On exprimera les résultats sous forme de fractions irréductibles.  Déterminer

les probabilités des événements suivants :

A : « On tire au moins une boule marquée 3 » B : « On tire trois boules portant trois numéros différents » C : « On tire trois boules portant le même numéro » D ; « Parmi les trois boules tirées, deux exactement portent le même numéro »  Il faut payer 12 euros pour effectuer un tirage de trois boules et chaque tirage rapporte en euros la

somme des points marqués. Déterminer la probabilité d’être gagnant.

366

Séquence 8 – MA02

Exercice 

N.B.

Un touriste revient de vacances avec 15 films : – 2 films de photographie d’Italie – 8 films de photographie de Grèce – 5 films de photographie de Turquie. Aucune marque distinctive ne permet d’identifier les films. Pour des raisons financières, le touriste ne fait développer, à son retour, que 11 de ces 15 films. On donnera les résultats sous forme décimale approchée à 10 – 4 près.  Combien  Quelle

y a-t-il de choix différents possibles de 11 films parmi 15 ?

est la probabilité que parmi les 11 films développés, il y ait ;

a) tous les films sur la Grèce ? b) aucun film sur l’Italie. c) autant de films sur la Grèce que sur la Turquie d) deux fois plus de films sur la Turquie que sur l’Italie

Exercice



Dans le but de contrôler l’état d’ébriété des conducteurs automobiles, la police procède à un alcootest. On admet que 2 % des conducteurs contrôlés sont en état d’ébriété. La police contrôle n personnes. On suppose que les résultats des différents contrôles sont indépendants les uns des autres. On considère la variable aléatoire X défini par le nombre de personnes en état d’ébriété au cours du contrôle.  Exprimer

en fonction de n la probabilité des événements X = 0 , X = 1 , X = 2 .

 Exprimer en fonction de n la probabilité pour que, au cours de ce contrôle, il y ait au moins une personne en état d’ébriété.  Calculer le nombre minimal N de personnes à contrôler pour que la probabilité de trouver au moins une personne en état d’ébriété soit supérieure ou égale à 0,95.  On

Exercice 

contrôle 500 personnes. Combien peut-on « espérer » de contrôles positifs ?

n personnes se répartissent au hasard dans 3 hôtels H 1 , H 2 et H 3 de la ville ( n ∈ * ) . On note X i la variable aléatoire égale au nombre de personnes ayant choisi l’hôtel H i .  Déterminer

Exercice

les lois des trois variables X i .  Déterminer la loi de X 1 + X 2 et la variance de X 1 + X 2 .  Un joueur de tennis effectue une mise en jeu. Pour cela, il a droit à deux tentatives : un premier service suivi, s’il n’est pas réussi, d’un deuxième service. 2 La probabilité pour que le premier service réussisse est -- . 3 4 S’il a échoué, la probabilité pour que le deuxième service réussisse est -- . 5 Lorsque les deux services échouent, on dit qu’il y a « double faute » ; sinon la mise en jeu est réussie. a) Déterminer la probabilité pour que, sur une mise en jeu ce joueur fasse une double faute. b) Déterminer la probabilité que la mise en jeu soit réussie.  Ce

joueur participe à un entraînement publicitaire patronné par un magasin de sport.

Il s’agit, pour lui, d’effectuer 10 mises en jeu successives (dont les résultats sont indépendants les uns des autres). Chaque mise en jeu réussie lui permet de gagner une balle. Soit X la variable réelle égale au nombre de balles gagnées. a) Exprimer P ( X = k ) en fonction de k entier entre 0 et 10. Donner des valeurs numériques approchées de P ( X = 9 ) et P ( X = 10 ) . b) Déterminer la probabilité pour que ce joueur gagne au moins 9 balles.

Séquence 8 – MA02

367

ide aux exercices d’entraînement Exercice 

 Une  a)

disposition est un sous ensemble du damier.

Même raisonnement qu’au 1. en enlevant les cases de deux diagonales.

b) De combien de façons peut-on placer 3 jetons sur une diagonale ? Combien de possibilités reste-til alors pour le quatrième jeton ? c) On peut raisonner sur les lignes ou les colonnes. Si on traite par exemple la première colonne, une ligne n’est désormais plus utilisable lorsque l’on traitera la deuxième colonne, etc.

Exercice 

a) Au moins deux trèfles signifie : 2 trèfles exactement ou 3 trèfles exactement ou 4 trèfles exactement ou 5 trèfles exactement. Les locutions au plus, au moins, plus de, moins de, sont toujours à traduire exactement sinon on prend le plus grand risque.

Exercice 

a) Écrire effectivement f ( x ) avec la formule du binôme et essayer de voir quelle valeur donner à x pour avoir l’expression souhaitée. b) Même travail avec f′ ( x ) .

Exercice



Exercice



Exercice



 Pour

l’événement A, considérer l’événement contraire.

Pour l’événement D, remarquer que les événements B, C et D forment une partition de Ω.  a)

Il n’y a qu’une seule possibilité

b) Il y a 2 possibilités ;  Reconnaître  Considérer  Il

Exercice



Exercice

368

l’événement contraire.

faut connaître l’espérance d’une loi binomiale.

 Reconnaître 

un schéma de Bernoulli.

un schéma de Bernoulli.

X1 + X2 = n – X3 .

Exercice de révision ; si vous avez un peu de mal, revoir les probabilités conditionnelles et celle d’une intersection. ■

Séquence 8 – MA02