MA02TE0-SEQUENCE-06.pdf

>

ère 1

partie :

La fonction logarithme népérien

>

e 2

partie :

Écriture complexe des transformations usuelles

Séquence 6 – MA02

235

1ère partie Chapitre 1

> La fonction logarithme népérien : définition, règles opératoires

Chapitre 2

A

Définition

B

Propriétés calculatoires

....................................................................................... 239

> Étude de la fonction logarithme népérien A

Fonction dérivée

B

Limites aux bornes

C

Tableau de variations

D

Quelques limites

Chapitre 3

> Exercices d’apprentissage

Chapitre 4

> La fonction logarithme décimal

................................................................................ 248

Définition

B A

Lien avec l’écriture décimale d’un nombre

A C

Utilisation de cette fonction dans d’autres domaines

> Synthèse

Chapitre 6

> Exercices d’entraînement

.................................................................................................................................................................. 250

> Aide aux exercices Chapitre 7

.................................................................................................... 247

A

Chapitre 5

.......................................... 242

...................................................................................................... 252

............................................................................................................................. 254

> Aspects plus théoriques

............................................................................................................ 255

Sommaire séquence 6 – MA02

237

La fonction logarithme népérien A

Définition La fonction exponentielle est une bijection de  vers ]0 ; + ∞[ (cf. séquence 4), elle admet donc une fonction réciproque (cf. séquence 3).

Définition

La fonction logarithme népérien exp :  → ]0 ; + ∞[ .

ln : ] 0 ; + ∞[ → 

est la fonction réciproque de :

• La fonction ln est une bijection de ]0 ; + ∞[ vers  ;

Premières conséquences

•

y = ln x ⇔ x = e y ;

• Les courbes  et ′ représentatives respectivement des fonctions logarithme népérien et exponentielle dans un repère orthonormé sont symétriques par rapport à la droite d’équation : y = x .

' 3

 2

 1

x

0 1

Remarques

2

3

4

5

e 0 = 1 donc ln 1 = 0 , e 1 = e donc ln e = 1 . Sur la plupart des calculatrices, le logarithme d’un nombre s’obtient grâce à la touche LN .

Propriétés Pour tout x de ]0 ; + ∞[ , e ln x = x . Pour tout x de , ln ( e x ) = x .

Conséquences

• Si k ≤ 0 alors l’équation e x = k n’admet aucune solution réelle ; • Si k > 0 alors l’équation e x = k admet une unique solution réelle : ln k ; • Pour tout réel k l’équation ln x = k admet une unique solution réelle : e k .

Démonstrations Soit x ∈ ]0 ; + ∞[ . On pose y = ln x . Alors x = e y et donc : x = e ln x . Soit x ∈  . On pose y = e x . Alors x = ln y et donc : x = ln ( e x ) . Séquence 6 – MA02

239

Exemple 

a) Pour quelles valeurs de x, ln [ x ( x + 1 ) ] est-il défini ? b) Résoudre dans  l’équation : ln [ x ( x + 1 ) ] = ln 30 . c) Résoudre dans  l’équation : e x ( e x + 1 ) = 30 . Réponse a) ln [ x ( x + 1 ) ] est défini si et seulement si : x ( x + 1 ) > 0 . Le trinôme du second degré x ( x + 1 ) est négatif si et seulement si x est compris entre les 2 racines – 1 et 0. Ainsi ln [ x ( x + 1 ) ] est défini si et seulement si : x ∈  = ] – ∞ ; – 1 [ ∪ ]0 ; + ∞[ . b) La fonction ln étant bijective, on a pour x ∈  : ln [ x ( x + 1 ) ] = ln 30 ⇔ x ( x + 1 ) = 30 ⇔ x 2 + x – 30 = 0 . Résolvons cette équation du second degré. On a : Δ = 1 2 – 4 × ( – 30 ) = 121 = 11 2 . Cette équation admet donc deux solutions réelles : – 1 + 11 x 1 = ------------------- = 5 2

et

– 1 – 11 x 2 = ------------------- = – 6 . 2

Ces 2 réels sont éléments de  donc l’ensemble des solutions de l’équation ln [ x ( x + 1 ) ] = ln 30 est :  = { – 6 ; 5 } . c) La fonction exponentielle est définie sur . On a : ⎧ ⎧ X = ex X = ex ⇔⎨ e x ( e x + 1 ) = 30 ⇔ ⎨ ⎩ X ( X + 1 ) = 30 ⎩ X = 5 ou X = – 6

(d’après b).

Ainsi : e x ( e x + 1 ) = 30 ⇔ e x = 5 ou e x = – 6 ⇔ e x = 5 (la fonction exponentielle étant positive) ⇔ x = ln 5 . L’ensemble des solutions réelles de e x ( e x + 1 ) = 30 est donc :  = { ln 5 } .

B

Propriétés calculatoires Soient a et b deux réels strictement positifs, on note x = ln a et y = ln b . On a alors : a = e x , b = e y et donc : ab = e x × e y = e x + y . Ainsi : ln ( ab ) = x + y = ln a + ln b . Les propriétés de l’exponentielle ont ainsi des conséquences sur la fonction logarithme et on montre :

Propriétés Pour tous a, b ∈ ]0 ; + ∞[ , n ∈  :

240

•

ln ( ab ) = ln a + ln b ;

•

1 ln ⎛ --⎞ = – ln a ; ⎝ a⎠

•

b ln ⎛ --⎞ = ln b – ln a ; ⎝ a⎠

•

ln ( a n ) = n ln a ;

•

1 ln ( a ) = -- ln a . 2

Séquence 6 – MA02

Exemple 

Démontrer les formules de la précédente propriété. Réponse  Pour

1 1 1 tout a de ]0 ; + ∞[ : ln ⎛ --⎞ + ln a = ln ⎛ -- × a⎞ = ln 1 = 0 d’où : ln ⎛ --⎞ = – ln a . ⎝a ⎠ ⎝ a⎠ ⎝ a⎠

 Pour

tous a, b de ]0 ; + ∞[ :

b 1 1 ln ⎛ --⎞ = ln ⎛ b × --⎞ = ln b + ln ⎛ --⎞ = ln b – ln a . ⎝ a⎠ ⎝ ⎝ a⎠ a⎠  Pour

tous a de ]0 ; + ∞[ , n de * :

ln ( a n ) = ln ( a × a × ... × a ) = ln a + ln a + ... + ln a = n ln a n fois

n fois

(ceci étant vrai pour n = 0 ).

Pour tout n entier relatif négatif, – n est un entier naturel et : 1 ⎞ 1 - = ln ⎛ ⎛ --⎞ ln ( a n ) = ln ⎛ ------⎝ a – n⎠ ⎝ ⎝ a⎠

–n

⎞ = – n ln ⎛ 1--⎞ = – n × ( – ln a ) = n ln a . ⎠ ⎝ a⎠

Ainsi pour tout entier relatif n : ln ( a n ) = n ln a .  Pour tout a de ]0 ; + ∞[ : 1 ln ( a ) + ln ( a ) = ln ( a × a ) = ln a d’où ln ( a ) = -- ln a . 2

Exemple 

Exprimer à l’aide de ln 2 et ln 3 les nombres suivants : 9 2 ln 4 , ln ( – 4 ) 2 , ln 36 , ln ( 6 ) , ln ⎛ --⎞ , ln ⎛ 16 --⎞ . ⎝ 8⎠ ⎝ 3⎠ Réponse ln 4 = ln ( 2 2 ) = 2 ln 2 . ln ( – 4 ) 2 = ln 16 = ln ( 2 4 ) = 4 ln 2 ( ln ( – 4 ) n’étant pas défini, on ne peut pas écrire : ln ( – 4 ) 2 = 2 ln ( – 4 ) ). ln 36 = ln ( 4 × 9 ) = ln 4 + ln 9 = ln ( 2 2 ) + ln ( 3 2 ) = 2 ln 2 + 2 ln 3 . 1 1 ln 2 + ln 3 ln ( 6 ) = -- ln 6 = -- ln ( 2 × 3 ) = ------------------------ . 2 2 2 9 ln ⎛ --⎞ = ln 9 – ln 8 = ln ( 3 2 ) – ln ( 2 3 ) = 2 ln 3 – 3 ln 2 . ⎝ 8⎠ 1 2 ln 2 – ln 3 2 2 ln ⎛ 16 --⎞ = ln 16 + ln ⎛ --⎞ = ln ( 2 4 ) + -- ln ⎛ --⎞ = 4 ln 2 + ----------------------⎝ ⎝ 3⎠ 2 ⎝ 3⎠ 2 3⎠ 9 1 = -- ln 2 – -- ln 3. 2 2

Séquence 6 – MA02

241

Étude de la fonction logarithme népérien On se place dans un repère orthonormé ( O ; i, j ) .

A

Fonction dérivée

Remarque

La courbe ′ représentative de la fonction exponentielle admet en tout point une tangente (non horizontale), la courbe  représentative de la fonction logarithme népérien (symétrique de ′ par rapport à la droite  d’équation y = x ) admet donc en tout point une tangente (non verticale). Cela signifie que la fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[ . De plus la tangente à ′ au point M ( a ; b = e a ) a pour coefficient directeur e a = b . Alors par 1 symétrie la tangente à  en M′ ( b ; a = ln b ) a pour coefficient directeur -- (voir exemple 4). Ainsi : b 1 ( ln )′ ( b ) = -- . b

Exemple 

Montrer que si  a pour coefficient directeur m ( ≠ 0) alors ′ symétrique de  par rapport à la 1 droite d’équation y = x a pour coefficient directeur ---- . m Réponse Soient A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) deux points distincts du plan. On suppose que la droite ( AB ) n’est parallèle ni à l’axe des abscisses, ni à l’axe des ordonnées. Le coefficient directeur de cette droite est yA – yB alors m = ---------------- . xA – xB A et B ont respectivement pour images, par la symétrie d’axe , A′ ( y A ; x A ) et B′ ( y B ; x B ) . Le coefxA – xB 1 ficient directeur de la droite ( A′B′ ) est donc : ---------------- = ---- . m yA – yB Ainsi :

Propriétés ˙ 1 La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et pour tout x de ]0 ; + ∞[ : ( ln )′ ( x ) = -- . x

Conséquences La fonction ln est donc croissante sur  + * . Si u est une fonction définie, strictement positive et dérivable sur I alors la fonction ln o u est dérivable sur I et : u′ ( ln o u )′ = ---- . u

242

Séquence 6 – MA02

Plus généralement, on a :

Propriété Si u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et si, de plus, u ne s’annule pas sur I alors ln o u est dérivable sur I et : u′ ( ln o u )′ = ---- . u

Démonstration D’après le théorème des valeurs intermédiares, u ne s’annulant pas est soit strictement positive, soit strictement négative sur I. Puisque le résultat a déjà été montré pour u strictement positive, il suffit donc de démontrer le résultat lorsque u est strictement négative. On ( ln o

Exemple 

alors : ln o u = ln o ( – u ) . – u′ u′ u )′ = -------- = ---- . –u u

a,

Cette

fonction

est

donc

dérivable

sur

I

et :

Calculer les dérivées des fonctions suivantes : a) f définie sur ]1 ; + ∞[ par : f ( x ) = ln [ ln ( x ) ] ; π b) g définie sur 0 ; --2

par : g ( x ) = ln ( cos x ) ;

1 c) h définie sur ]0 ; 1 [ par h ( x ) = -------- . ln x Réponse a) f = ln o u où u = ln . Ainsi, pour tout x de ]1 ; + ∞[ : 1 -u′ ( x ) x 1 f′ ( x ) = ------------ = ------------- = ----------------- . u(x) ln ( x ) x ln ( x ) π b) g = ln o v où v = cos . Ainsi, pour tout x de 0 ; --- : 2 v′ ( x ) – sin x g′ ( x ) = ------------ = -------------- = – tan x . cos x v(x) 1 c) h = ---- où w = ln . Ainsi, pour tout x de ]0 ; 1 [ : w 1 – -x –1 – w′ ( x ) h′ ( x ) = ----------------- = ---------- = -------------- . w2( x ) ln 2 x x ln 2 x

B

Limites aux bornes On a :

lim

x→+∞

e x = + ∞ et

lim

x→–∞

e x = 0 . Les courbes  et ′ étant symétriques par rapport à

la droite d’équation y = x , on observe alors, graphiquement, que :

Propriété (limites aux bornes) lim

x→+∞

ln x = + ∞

et

lim ln x = – ∞ .

x → 0+

Séquence 6 – MA02

243

Remarque

L’axe des ordonnées est donc asymptote à la courbe (cela se déduit, par symétrie, du fait que l’axe des abscisses est asymptote en – ∞ à la courbe représentative de la fonction exponentielle). Une démonstration de ces résultats utilisant les propriétés algébriques et le sens de variation de la fonction ln est proposée ci-dessous :  Montrer

que

lim

n→+∞

ln ( 2 n ) = + ∞ . ln x = + ∞ (on reviendra à la définition de limite).

 En

déduire que

 En

déduire : lim ln x = – ∞ .

lim

x→+∞

x → 0+

Réponse  Pour

lim

n→+∞

tout entier naturel n : ln ( 2 n ) = n ln 2 . ln 2 ( 0,693 ) ln ( 2 n ) = + ∞ (suite arithmétique de raison positive).

est

positif,

ainsi :

I = ]A ; + ∞[ . Cet intervalle I contient tous les termes de la suite n rang n 0 . La fonction ln étant croissante sur  + * , pour tout x ≥ 2 0 , n ln x ≥ ln 2 > A . Ainsi I contient toutes les valeurs de ln x pour x assez grand ( pour ( x ≥ 2 0 ) ) . Pour tout intervalle I = ]A ; + ∞[ , I contient toutes les valeurs de ln x pour x assez grand, cela signifie que : lim ln x = + ∞ .  Considérons un intervalle ( ln 2 n ) à partir d’un certain n0

x→+∞

1 1 tout x de  + * , ln x = – ln ⎛ --⎞ . De plus : lim -- = + ∞ et lim – ln y = – ∞ ⎝ x⎠ + y→+∞ x→0 x (d’après 2). Ainsi par composition : lim ln x = – ∞ .  Pour

x → 0+

C

Tableau de variation On déduit des résultats précédents le tableau de variation de la fonction ln : x

0

1

signe de ( ln )′

+

ln

0

+∞

+∞ –∞

Conséquences

La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur  + * : ln u ( x ) > ln v ( x ) ⇔ u ( x ) > v ( x ) . ln u ( x ) > 0 ⇔ u ( x ) > 1 .

Exemple 

 Trouver

le plus petit entier n tel que : 2 n ≥ 2 003 2 004 .

 Résoudre

dans  les inéquations :

a) ln ( 3 – x ) + 1 > 0 b) ln ( x – 1 ) + ln ( x + 1 ) ≤ ln 3 Réponse 

2 n ≥ 2 003 2 004

⇔ n ln 2 ≥ 2 004 ln 2 003 2 004 ln 2 003 ⇔ n ≥ ---------------------------------- (car : ln 2 > 0) ln 2 2 004 ln 2 003 ----------------------------------  21 979 ,77 . La plus petite valeur de n qui convient est donc 21 980. ln 2 244

Séquence 6 – MA02

ln ( 3 – x ) + 1 est défini si et seulement si 3 – x > 0 soit x < 3 . Le domaine d’étude de l’inéquation est donc :  = ] – ∞ ; 3 [ . On a :

 a)

ln ( 3 – x ) + 1 > 0 ⇔ ln ( 3 – x ) > ln ( e – 1 ) ⇔ 3 – x > e – 1 (la fonction ln étant strictement croissante sur  + * ). 1 Ainsi : ln ( 3 – x ) + 1 > 0 ⇔ x < 3 – e – 1 = 3 – -- . L’ensemble des solutions de cette inéquation est e 1 donc :  = – ∞ ;3 – -- . e b) ln ( x – 1 ) + ln ( x + 1 ) est défini si et seulement si : x – 1 > 0 et x + 1 > 0 soit x > 1 . Le domaine d’étude de l’inéquation est donc :  = ]1 ; + ∞[ . On a : ln ( x – 1 ) + ln ( x + 1 ) ≤ ln 3 ⇔ ln [ ( x – 1 ) ( x + 1 ) ] ≤ ln 3 ⇔ ln ( x 2 – 1 ) ≤ ln 3 ⇔ x 2 – 1 ≤ 3 (la fonction ln étant strictement croissante sur  + * ). Ainsi : ln ( x – 1 ) + ln ( x + 1 ) ≤ ln 3 ⇔ x 2 – 4 ≤ 0 . Le trinôme du second degré x 2 – 4 est négatif entre les racines – 2 et 2 et positif à l’extérieur des racines. Ainsi : x 2 – 4 ≤ 0 ⇔ – 2 ≤ x ≤ 2 . On en déduit l’ensemble des solutions de ln ( x – 1 ) + ln ( x + 1 ) ≤ ln 3 :  = ]1 ; 2] .

D

Quelques limites Propriété lim

x→+∞

ln x -------- = 0 . x

Démonstration A connaître

ln x y On pose y = ln x , alors : x = e y et -------- = ---- = f ( y ) = f o ln ( x ) . x ey ey ---- = + ∞ et donc lim f ( y ) = 0 , lim ln x = + ∞ donc par y→+∞ y y→+∞ x→+∞ ln x composition : lim -------- = 0 . x→+∞ x De plus, on sait que :

lim

Remarque Cela signifie que la fonction ln « tend vers + ∞ beaucoup moins vite que la fonction x  x » en +∞.

On déduit de la précédente propriété :

Propriété lim x ln x = 0 .

x→0

Démonstration 1 1 ln y 1 Il suffit de poser y = -- , alors : x ln x = -- ln ⎛ --⎞ = – -------- . y ⎝ y⎠ y x

Exemple  Déterminer lim

x→0

x ln x .

Pour tout x de  + * : x ln x = 2 x ln x d’où : lim

x→0

x ln x = lim 2u ln u = 0 ⎛ lim x = 0⎞ ⎝x → 0 ⎠ u→0 Séquence 6 – MA02

245

Propriété  ln ( 1 + h ) lim ----------------------- = 1 . h

h→0

Démonstration ln ( 1 + h ) ln ( 1 + h ) – ln 1 ----------------------- = -------------------------------------- est le taux de variation de la fonction ln entre 1 et 1 + h . Ainsi : h h ln ( 1 + h ) 1 lim ----------------------- = ( ln )′ ( 1 ) = -- = 1 . h 1

h→0

Remarque Exemple

On en déduit l’approximation affine : ln ( 1 + h ) h (pour h proche de 0).

Déterminer

n ⎛ 1 + --1⎞ . ⎝ ⎠ n n→+∞

lim

Réponse 1 ln ⎛ 1 + --⎞ ⎝ ⎠ n n 1 1 On a : ln ⎛ 1 + --⎞ = n ln ⎛ 1 + --⎞ = ----------------------- . ⎝ ⎝ n⎠ 1 n⎠ -n 1 ln ( 1 + x ) De plus, lim -- = 0 et lim ---------------------- = 1 . On en déduit par composition : x n→+∞ n x→0 1 ln ⎛ 1 + --⎞ ⎝ ⎠ n n 1 lim ln ⎛ 1 + --⎞ = lim ----------------------- = 1 . ⎝ 1 n⎠ n→+∞ n→+∞ -n 1 Pour tout entier naturel n : ⎛ 1 + --⎞ ⎝ n⎠ Ainsi :

246

Séquence 6 – MA02

n

1 n 1 n = ( exp o ln ) ⎛ 1 + --⎞ = exp ln ⎛ ⎛ 1 + --⎞ ⎞ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ n n⎠ ⎠

n ⎛ 1 + --1⎞ = exp ( 1 ) = e 1 = e . ⎝ ⎠ n n→+∞

lim

Exercices d’apprentissage Exercice 

Résoudre dans  les équations suivantes : ln ( x + 3 ) + ln ( x + 2 ) = ln ( x + 11 ) ln ( x 2 + 5x + 6 ) = ln ( x + 11 ) ( ln x ) 2 + 2 ln x – 3 = 0 .

Exercice 

Résoudre dans  les équations et inéquations suivantes : e 2x – 5e x + 4 = 0 3 e 4x + 1 – 2e 2x – -- = 0 e e 3x – 2e 2x – e x ≤ 0 .

Exercice 

Dresser les tableaux de variations des fonctions suivantes : f définie sur ]1 ; + ∞[ par f ( x ) =

x ln x

g définie sur ]0 ; + ∞[ par g ( x ) = ln ( x + 1 ) – ln x

Exercice 

Du tracé de la courbe représentative de la fonction ln, déduire rapidement l’allure des courbes d’équations : y = ln ( x ) ; y = ln ( 2x ) .

Exercice 

ln x Soit f définie sur ]0 ; + ∞[ par : f ( x ) = -------- . x  Dresser

le tableau de variations de f.

 Discuter

l’existence et le nombre de solutions de l’équation ( E ) : e kx = x selon les valeurs de k.

Séquence 6 – MA02

247

La fonction logarithme décimal Définition

A

ln x La fonction logarithme décimal (notée log) est la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par : log x = ----------- . ln 10

Remarques

• log 1 = 0 , log 10 = 1 ; 1 • Pour tout x de  + * , log x = k × ln x où k = ------------- = 0 ,434 294... ; ln 10 Des propriétés de la fonction ln, on déduit les propriétés :

Propriétés Pour tous réels a, b de ]0 ; + ∞[ , n de  : •

log ( ab ) = log a + log b ;

•

1 log ⎛ --⎞ = – log b ; ⎝ b⎠

•

a log ⎛ --⎞ = log a – log b ; ⎝ b⎠

•

log ( a n ) = n log a ;

•

log ( 10 n ) = n ;

•

1 log ( a ) = -- log a . 2

On déduit des variations de la fonction ln, les variations de la fonction log : x

0

1

10

+∞ +∞

1

log –∞

B

0

Lien avec l’écriture décimale d’un nombre Propriété Soient x un réel strictement positif et p × 10 n l’écriture scientifique de ce nombre ( p ∈ [ 1 ; 10 [ , n ∈  ). Alors : n = E ( log x ) .

Remarque

Si x est un entier, le nombre de chiffres qui composent l’écriture décimale de x est n + 1 . Par exemple E ( log ( 356 212 ) ) = 5 et E ( log ( 3 ,5 × 10 – 12 ) ) = – 12 .

248

Séquence 6 – MA02

Démonstration On a : 10 n ≤ x = p × 10 n < 10 n + 1 . La fonction log est strictement croissante sur  + * n ≤ log x < n + 1 c’est-à-dire : n = E ( log x ) .

Exemple

donc :

Construire une fonction donnant le nombre de chiffres composant l’écriture décimale d’un entier naturel et une autre fonction donnant le 1er de ces chiffres (le plus à gauche). Réponse Soient n un entier naturel et p × 10 m = n son écriture scientifique. On a : m = E ( log n ) et le nombre de chiffres composant n est m + 1 = E ( log n ) + 1 . f ( n ) = E ( log n ) + 1 nous donne donc le nombre de chiffres composant l’écriture décimale de n. Le 1er chiffre dans l’écriture décimale de n est la partie entière de p soit : n n -⎞ . g ( n ) = E ⎛ --------m-⎞ = E ⎛ -------------------⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 f ( n ) – 1⎠

C

Utilisation de cette fonction dans d’autres domaines a) pH d’une solution aqueuse

Exemple 

Le pH d’une solution aqueuse est égal à : pH = – log ( [ H 3 O + ] ) où [ H 3 O + ] est la concentration de la solution en ions H 3 O + . Comment varie le pH lorsque la concentration en ions hydronium double ? Réponse On a : log ( 2 × [ H 3 O + ] ) = log 2 + log ( [ H 3 O + ] ) . De plus : log 2  0 ,3 donc lorsque la concentration en ions hydronium double, le pH diminue d’environ 0,3.

b) Échelle de Richter Exemple

I La magnitude M d’un séisme d’intensité I est mesurée sur l’échelle de Richter par : M = log ⎛ ---⎞ où ⎝ I 0⎠ I 0 désigne une intensité de référence. Quelle est la magnitude d’un séisme dont l’intensité est 1 000 fois supérieur à l’intensité de référence ? Réponse 1 000I 0 M = log ⎛ ------------------⎞ = log ( 1 000 ) = 3 . ⎝ I0 ⎠

Séquence 6 – MA02

249

Synthèse La fonction ln est définie et dérivable sur ]0 ; + ∞[ , c’est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Pour tout x de ]0 ; + ∞[ : e ln x = x ; Pour tout x de  : ln ( e x ) = x . 1 Pour tout x de  + * : ( ln )′ ( x ) = -- ; x u′ Si u > 0 : ( ln u )′ = ---- ; u u′ Si u ne s’annule pas : ( ln u )′ = ---- . u

Règles opératoires Pour tous a, b ∈ ]0 ; + ∞[ , n ∈  : •

ln ( ab ) = ln a + ln b ;

•

1 ln ⎛ --⎞ = – ln a ; ⎝ a⎠

•

b ln ⎛ --⎞ = ln b – ln a ; ⎝ a⎠

•

ln ( a n ) = n ln a ;

•

1 ln ( a ) = -- ln a . 2

Variations 0

x

1

e

1

ln –∞

+∞

En particulier : si u et v sont strictement positives

+∞

ln [ u ( x ) ] > ln [ v ( x ) ] ⇔ u ( x ) > v ( x )

0

ln [ u ( x ) ] = ln [ v ( x ) ] ⇔ u ( x ) = v ( x )

Limites lim

x→+∞

ln x = + ∞

ln ( 1 + x ) lim ---------------------- = 1 . x

x→0

250

Séquence 6 – MA02

lim ln x = – ∞

x → 0+

lim

x→+∞

ln x -------- = 0 x

lim x ln x = 0

x → 0+

Courbe représentative, tangentes particulières y 3 y = x–1 y = x/e 2

1

x

0 1

2

e 3

4

5

6

7

2,72

Séquence 6 – MA02

251

Exercices d’entraînement Exercice 

Une fonction f définie et continue sur un intervalle I est dites convexe (resp. concave) si pour tous a, b a+b f(a) + f(b) a+b f(a) + f(b) de I : f ⎛ ------------⎞ ≤ ------------------------- (resp. f ⎛ ------------⎞ ≥ ------------------------- . Graphiquement cela signifie que si A et ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 2 B sont 2 points de la courbe représentative  de la fonction alors le milieu de [ AB ] est au-dessus (resp. en dessous) .  Montrer

que la fonction « carrée » est convexe sur .

a+b Montrer que pour tous a, b de ]0 ; + ∞[ : ------------ ≥ ab . 2 b) En déduire que la fonction ln est concave sur ]0 ; + ∞[ .

 a)

Exercice 

On considère le nombre N = 2 2 003 .  Combien  Quel

Exercice 

de chiffres composent l’écriture décimale de N ?

est le 1er chiffre (celui de gauche) qui compose N ?

Partie A 1 Soit g la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par g ( x ) = 2 ln x – 1 + -- . x  Déterminer lim g ( x ) et lim g ( x ) . x→+∞

x → 0+

 Calculer

g′ ( x ) . Dresser, alors, le tableau de variations de g.

 Montrer

que l’équation g ( x ) = 0 admet deux solutions α et β ( α < β ) .

 Que

vaut β ? Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10 – 3 .

 Donner

le signe de g ( x ) en fonction de x.

Partie B Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par : f ( x ) = x 2 [ ln x – 1 ] + x .  Déterminer

f ( x ) et lim f ( x ) . x → 0+

 Montrer

α que : f ( α ) = --- ( 1 – α ) . En déduire une valeur approchée de f ( α ) à 10 – 2 près. 2

 Montrer

que pour tout x de ]0 ; + ∞[ : f′ ( x ) = x ⋅ g ( x ) .

 Dresser

Exercice 

lim

x→+∞

le tableau suivant de variations de f.

1 x–4 Soient f la fonction définie sur I = ]4 ; + ∞[ par : f ( x ) = – x + 3 + -- ln ⎛ -----------⎞ et  sa courbe 2 ⎝ x – 2⎠ représentative dans un repère orthonormé ( O ; i, j ) .  Étudier

les limites de f aux bornes de I.

x 2 – 6x + 7 que : f′ ( x ) = – -------------------------------- . (x – 4)(x – 2)  Dresser le tableau de variations de f.  Montrer que  admet une asymptote oblique  dont on donnera une équation.  Préciser les positions relatives de  et .  Montrer

252

Séquence 6 – MA02

Exercice 

Représenter

sur un même graphique  et  (unité : 2 cm).

Soient f et g les fonctions définies sur  + * par : f ( x ) = ln x et g ( x ) = x – ln x . On note, respectivement,  et ′ leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal ( O ; i, j ) . On se propose de chercher les éventuelles tangentes communes aux deux courbes. Soient a, b deux réels strictement positifs, A le point d’abscisse a de  et B le point d’abscisse b de ′ . On note  la tangente à  en A et ′ la tangente à ′ en B.  Écrire

l’équation réduite de .

 Écrire

l’équation réduite de ′ .

1 1 déduire que :  et ′ sont confondues si et seulement si : -- + -- = 1 et ln ( ab ) = 2 . a b  Résoudre le précédent système et conclure.  En

Exercice

Le plan est muni d’un repère orthonormé ( O ; i, j ) . Pour tout entier naturel non nul n, on considère la fonction f n définie sur  + par : f n ( x ) = x n ln x pour x ≠ 0 et f n ( 0 ) = 0 . On note C n la courbe représentative de f n dans un repère orthonormé ( O ; i, j ) .  Montrer  Dresser  Sur

Exercice 

que f n est continue en 0. Déterminer lim f n ( x ) . x→+∞

le tableau de variations de f n .

un même graphique, tracer C 1 , C 2 et C 3 .

 Démontrer

que toutes les courbes C n passent par 2 points fixes O et A.

 Démontrer

que toutes les courbes admettent en A la même tangente.

Partie A Soit f la fonction définie sur [ – 1 ; 1 [ par : f ( x ) = ln ( 1 – x ) + x .  Dresser  En

le tableau de variation de f (on précisera les limites aux bornes).

déduire que pour tout entier naturel non nul n :

1 1 a) ln ⎛ 1 + ------------⎞ – ------------ < 0 . ⎝ n + 1⎠ n + 1 1 1 b) ln ⎛ 1 – ------------⎞ + ------------ < 0 . ⎝ n + 1⎠ n + 1

Partie B On considère les suites u et v définies pour tout n de * par : 1 1 1 u n = 1 + -- + -- + ... + -- – ln n = 2 3 n

n

∑

k=1

1 1 1 v n = 1 + -- + -- + ... + -- – ln ( n + 1 ) = 2 3 n  Montrer

1 -- – ln n . k n

∑

k=1

1 -- – ln ( n + 1 ) . k

que u et v sont adjacentes.

limite commune à ces deux suites est la constante d’Euler, notée γ. Donner une valeur approchée à 10 – 2 près par défaut de γ.

 La

Exercice 

On reprend les notations de l’exercice .  Montrer

 En

1 1 1 que pour tout n de * : u 2n – u n = ------------ + ------------ + ... + ------ – ln 2 . n+1 n+2 2n

déduire

1 1 1 ------------ + ------------ + ... + ------ c’est-à-dire lim 2n n→+∞ n + 1 n + 2 n→+∞ lim

n

∑

k=1

1 ----------- . n+k Séquence 6 – MA02

253

ide aux exercices Exercice 

 Pour  b)

comparer deux réels A et B, il est souvent utile d’étudier le signe de la différence.

Utiliser la monotonie de la fonction ln :

Si u ≥ v alors ln u ≥ ln v .

Exercice 

 On

pourra montrer que si p est le 1er chiffre de N alors :

log p ≤ 2 003 log 2 – m < log ( p + 1 )

Exercice 

où

m = E ( log N ) .

1 A.  Pour déterminer lim g ( x ) , on pourra mettre en facteur le terme -- . x x → 0– A.  On pourra calculer g ( 1 ) . B.  De l’égalité g ( α ) = 0 , on pourra déduire une expression de ln α en fonction de α.

Exercice 



Si f ( x ) = ax + b + h ( x ) où h est une fonction telle que :

lim

x→+∞

h ( x ) = 0 alors la droite 

d’équation y = ax + b est asymptote (oblique si : a ≠ 0 ) à la courbe  f en + ∞ . De plus, si pour tout x : h ( x ) ≥ 0 alors  f est au-dessus  et si pour tout x : h ( x ) ≤ 0 alors  f est en-dessous .

Exercice 

 Deux

droites sont confondues si et seulement si elles ont même coefficient directeur et même ordonnée à l’origine (c’est-à-dire même équation réduite). pourra commencer par montrer que ( a ; b ) est solution du système si et seulement si a + b = ab = e 2 .

 On

Exercice

 fn

est continue en 0 si lim f n ( x ) = f n ( 0 ) . x→0

les courbes  n passent par le point fixe M ( x 0 ; y 0 ) si et seulement si pour tout entier naturel non nul : f n ( x 0 ) = y 0 ( x 0 et y 0 ne dépendent pas de n).

 Toutes

Exercice 

B.  On pourra calculer u n + 1 – u n et v n + 1 – v n et utiliser les inégalités de A. 2. pour montrer que ( u n ) est décroissante et ( v n ) croissante.

Exercice 

 On

alors

déterminera lim

n→+∞

lim

n→+∞

u 2n – u n en utilisant les résultats de l’exercice  (si

lim

n→+∞

un = 

u 2n =  ).

Terminons le chapitre par 2 histoires drôles de « matheux » :  À la pause, les fonctions exponentielle et logarithme se retrouvent à la machine à café. À votre avis qui paie les cafés.

Réponse La fonction exponentielle car la fonction logarithme népérien.  Les

fonctions exponentielle et logarithme sont sur un bateau. Le bateau dérive, exponentielle est très sereine et dit à son ami : – « Nous dérivons mais je t’avoue que cela ne me fait rien » – « Et bien moi c’est l’inverse, je suis complètement paniqué. » lui répond logarithme.

254

Séquence 6 – MA02

Aspects plus théoriques On sait que la fonction logarithme népérien vérifie : • Pour tous x, y de  + * , ln ( xy ) = ln x + ln y •

(*)

( ln )′ ( 1 ) = 1

On se propose de démontrer que ces propriétés sont caractéristiques de la fonction ln (c’est-à-dire que la seule fonction définie et dérivable sur  + * vérifiant les propriétés précédentes est la fonction ln) et de déterminer l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur  + * vérifiant la propriété ( * ) . On note  l’ensemble des fonctions f définies, dérivables sur  + * et vérifiant la propriété ( * ) : pour tous x, y de  + * , f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ) . On considère une fonction f dans .  Montrer

que : f ( 1 ) = 0 .

a un réel strictement positif et g la fonction définie sur  + * par g ( x ) = f ( ax ) – f ( x ) . Montrer que g est constante.

 Soient

 En

f′ ( 1 ) déduire que : f′ ( a ) = ----------- . a

 En déduire que pour tout x de

tion f – k × ln ).

 + * , f ( x ) = k × ln x où k = f′ ( 1 ) (on pourra considérer la fonc-

 Déterminer, alors, l’ensemble .

Conclure.

Réponse  L’égalité

( * ) pour x = y = 1 nous donne :

f(1 × 1) = f(1) + f(1) Ainsi :  Pour

soit

f(1) = 2 × f(1) .

f(1) = 0 . tout x de ]0 ; + ∞[ :

g ( x ) = f ( ax ) – f ( x ) = f ( a ) + f ( x ) – f ( x ) = f ( a ) . Ainsi g est constante. g

est constante donc pour tout x de  + * : g′ ( x ) = 0 .

De plus, par définition de g, pour tout x de  + * : g′ ( x ) = af′ ( ax ) – f′ ( x ) . On a donc l’égalité : af′ ( ax ) – f′ ( x ) = 0 . En particulier, pour x = 1 : af′ ( a ) – f′ ( 1 ) = 0

et donc :

f′ ( 1 ) f′ ( a ) = ----------- . a

k k = f′ ( 1 ) de telle sorte que f′ ( x ) = -- pour tout x de  + * et on considère la fonction h x + définie sur  * par h ( x ) = k ln x .  On note

k k Pour tout x de  + * : ( f – h )′ ( x ) = f′ ( x ) – h′ ( x ) = -- – -- = 0 . Ainsi f – h est constante : pour x x tout x de  + * : f ( x ) – h ( x ) = C ( C ∈  ) . Séquence 6 – MA02

255

On a : C = f ( 1 ) – h ( 1 ) = 0 – 0 = 0 et donc f = h et pour tout x de  + * : f ( x ) = k × ln x .  On

vient de prouver que si f appartient à  alors : f = k × ln pour un certain réel k.

Soit k un réel et f définie sur  + * par f ( x ) = k × ln x . Pour tous x, y de  + * : f ( xy ) = k × ln ( xy ) = k × [ ln x + ln y ] = f ( x ) + f ( y ) . Ainsi f ∈  .  est donc l’ensemble des fonctions k × ln où k appartient à .

Soit

f une fonction définie, dérivable sur  + * , vérifiant (*) et telle que : f′ ( 1 ) = 1 .

f appartient à  donc il existe un réel k tel que : f ( x ) = k × ln x pour tout x de  + * . On a, alors : k f′ ( x ) = -- et f′ ( 1 ) = k = 1 . Ainsi f est la fonction ln. x

Exemple 

Déterminer l’ensemble des fonctions définies sur  et vérifiant la propriété : Pour tous réels x, y : f ( xy ) = f ( x ) + f ( y )

( ** )

(on pourra appliquer la formule à y = 0 )

Remarque

Il y a une différence entre les propriétés ( * ) et ( ** ) . Pour ( * ) l’égalité doit être vraie pour tous réels x et y strictement positifs alors que pour ( ** ) l’égalité doit être vraie pour tous réels x, y (x et y peuvent donc être de signes quelconques). La fonction g définie sur  par g ( x ) = 0 vérifie la propriété ( ** ) . Si f est une fonction définie sur  telle que : f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ) alors pour tout réel x : f ( x × 0 ) = f ( x ) + f ( 0 ) soit f ( x ) = f ( 0 ) – f ( 0 ) = 0 . La fonction g définie pour tout réel x par g ( x ) = 0 est donc la seule fonction définie sur  vérifiant la propriété ( ** ) . ■

256

Séquence 6 – MA02

2e partie : Écriture complexe des transformations usuelles Chapitre 1

> Rappels : transformation, transformation réciproque

Chapitre 2

.................................... 259

> Écriture complexe des transformations usuelles A

Rappels

B

Écriture complexe d’une homothétie

C

Écriture complexe d’une rotation

D

Tableaux récapitulatifs

Chapitre 3

> Des exemples immédiats

Chapitre 4

> Un problème de géométrie résolu

.................... 260

....................................................................................................... 263

par deux méthodes ............................................................................................................................ 267

Chapitre 5

> Résumé

Chapitre 6

> Exercices d’entraînement

...................................................................................................................................................................... 270

...................................................................................................... 271

> Aide aux exercices d’entraînement

................................................................. 273

Sommaire séquence 6 – MA02

257

Rappels : transformation, transformation réciproque Définition

Une transformation du plan est une bijection du plan sur lui-même. Rappelons qu’une application T du plan est une bijection si tout point du plan est l’image par T d’un point unique : « Pour tout point M′ du plan , il existe un point M et un seul tel que T ( M ) = M′ . » On peut alors introduire l’application qui associe à tout point M′ de  le point M tel que T ( M ) = M′ . Il s’agit encore d’une transformation appelée transformation réciproque de T et notée T – 1 ; T – 1 ( M′ ) = M signifie T ( M ) = M′ .

On retient

Transformation

Transformation réciproque

translation de vecteur w

translation de vecteur ( – w )

homothétie de centre Ω, de rapport k ( k ≠ 0 )

1 homothétie de même centre, de rapport -k

réflexion d’axe Δ (symétrie orthogonale d’axe Δ)

réflexion d’axe Δ ; ( T – 1 = T )

rotation de centre Ω, d’angle θ

rotation de même centre, d’angle ( – θ )

Séquence 6 – MA02

259

Écriture complexe des transformations usuelles A

Rappels Soit ( O ; u, v ) un repère orthonormal direct. À toute transformation T du plan nous pouvons associer une unique fonction de  dans  telle que si z est l’affixe du point M, alors f ( z ) est l’affixe z′ du point M′ = T ( M ) . z′ = f ( z ) est appelée l’écriture complexe de T dans le repère orthonormal considéré. L’écriture complexe d’une translation de vecteur w d’affixe b est z′ = z + b . L’écriture complexe d’une rotation d’angle θ, dont le centre est l’origine du repère est z′ = e iθ z . L’écriture complexe de la réflexion par rapport à l’axe des abscisses est : z′ = z .

B

Écriture complexe d’une homothétie ( O ; u, v ) est un repère orthonormal direct, f est une transformation. Les deux propositions suivantes sont équivalentes.

Théorème 

f

est l’homothétie de rapport k, de centre le point d’affixe ω.

 L’écriture complexe de f dans ( O ; u, v ) est z′ – ω = k ( z – ω ) , avec k réel non nul et ω complexe fixés.

Démonstration Notons I le point d’affixe ω. Pour tout point M d’affixe z, posons M′ = h ( M ) et notons z′ l’affixe de M′ .

M'

Les affirmations suivantes sont en effet équivalentes.

v

• f est l’homothétie de centre I, de rapport k,

O u

I

M

• pour tout M, IM′ = kIM , • pour tout complexe z, z′ – ω = k ( z – ω ) , • l’écriture complexe de f est z′ – ω = k ( z – ω ) avec k réel non nul, ω complexe fixés.

Exemple 

Dans un repère orthonormal direct, on note I le point d’affixe – 3i , et h l’homothétie de centre I, de rapport 5. L’image par h du point d’affixe 1 + i a pour affixe le complexe z′ tel que z′ – ( – 3i ) = 5 ( 1 + i + 3i ) soit z′ = 5 + 17i .

Corollaire 

Si l’écriture complexe d’une transformation f est z′ = kz + c , avec k réel, k ≠ 0 , k ≠ 1 , et c complexe fixés, alors f est une homothétie de rapport k.

Démonstration Recherchons l’affixe ω d’un éventuel point invariant ; ω vérifie : ω = kω + c donc ω ( 1 – k ) = c c et puisque k ≠ 1 , il existe une unique valeur de ω, c’est ω = ----------- . 1–k Des égalités z′ = kz + c et ω = kω + c , on déduit : z′ – ω = k ( z – ω ) (en retranchant membre à membre). On reconnaît bien ici l’écriture complexe de l’homothétie de centre le point d’affixe ω et de rapport k.

260

Séquence 6 – MA02

Remarque

C

Pour trouver ω, qui est l’affixe du centre de l’homothétie, seul point invariant, on a résolu l’équation z′ = z c’est-à-dire z = kz + c (c’est une méthode générale).

Écriture complexe d’une rotation ( O ; u, v ) est un repère orthonormal direct, f est une transformation. Les propositions suivantes sont équivalentes.

Théorème 

f

est la rotation d’angle θ, de centre le point d’affixe ω.

 L’écriture complexe de f dans

( O ; u, v ) est z′ – ω = e iθ ( z – ω ) , avec θ réel et ω complexe fixés.

Démonstration Notons I le point d’affixe ω. Pour tout point M d’affixe z, posons M′ = f ( M ) et notons z′ l’affixe de M′ . Les affirmations suivantes sont en effet, équivalentes. • f est la rotation de centre I, d’angle θ. •

+

M'

IM′ f ( I ) = I et pour tout M ≠ I , -------- = 1 et ( IM, IM′ ) = θ . IM

–ω ⎛ z′ – ω-⎞ = θ f ( I ) = I , et pour tout z ≠ ω , z′ -------------- = 1 et arg ⎝ ------------z – ω⎠ z–ω (ceci a été vu dans la séquence 2). •

θ I(ω)

v

O

M(z)

u

z′ – ω f ( I ) = I , et pour tout z ≠ ω , -------------- = e iθ , (car tout complexe de module 1 et d’argument θ z–ω s’écrit e iθ ).

•

• Pour tout z, z′ – ω = e iθ ( z – ω ) (car z = ω équivaut à z′ = ω , donc à f ( I ) = I ). • L’écriture complexe de f dans ( O ; u, v ) est z′ – ω = e iθ ( z – ω ) , avec θ réel et ω complexe fixé.

Exemple 

π Dans un repère orthonormal direct, le point I a pour affixe 1 + 2i . On note r la rotation d’angle --- et 3 de centre I. Alors l’image par r du point M d’affixe 2 + 3i est le point M′ d’affixe z′ , telle que : π i ---

π i ---

z′ – ( 1 + 2i ) = e 3 [ ( 2 + 3i ) – ( 1 + 2i ) ] = e 3 ( 1 + i ) . Commentaire • Lorsque le centre de la rotation est l’origine du repère, c’est-à-dire lorsque ω = 0 , on retrouve l’écriture complexe donnée dans les rappels : z′ = e iθ z .

Corollaire 

Si l’écriture complexe d’une transformation f est z′ = e iθ z + c , avec θ réel, θ ≠ 0 , c complexe fixés, alors f est une rotation d’angle θ.

Démonstration Recherchons l’affixe ω d’un éventuel point invariant ; ω vérifie : ω = e iθ ω + c donc ω ( 1 – e iθ ) = c , c et puisque θ ≠ 0 , on a e iθ ≠ 1, donc il existe une seule valeur de ω, c’est ω = --------------- . 1 – e iθ Des égalités z′ = e iθ z + c et ω = e iθ ω + c , on déduit : z′ – ω = e iθ ( z – ω ) (en retranchant membre à membre). On reconnaît bien ici l’écriture complexe de la rotation de centre le point d’affixe ω et d’angle θ.

Remarque

Pour trouver ω, qui est le centre de f, donc invariant par f, on a résolu l’équation z = z′ c’est-à-dire z = e i θ z + c (c’est une méthode générale).

Séquence 6 – MA02

261

D

Tableaux récapitulatifs Transformation

Écriture complexe Au point M ( z ) , la transformation associe le point M′ ( z′ )

translation de vecteur W

z′ = z + b

b : affixe de w

homothétie de centre Ω, de rapport k

z′ – ω = k ( z – ω )

ω : affixe de Ω

rotation de centre Ω, d’angle θ

z′ – ω = e iθ ( z – ω )

ω : affixe de Ω

La transformation plane dont l’écriture complexe est de la forme :

262

•

z′ = z + b ..........................................................................est une translation ;

•

z′ = kz + b (k réel non nul, k ≠ 1 ) ...................................est une homothétie de rapport k ;

•

z′ = e iθ z + b (θ réel non nul [ 2π ] ).................................est une rotation d’angle θ.

Séquence 6 – MA02

Des exemples immédiats  Dans chacun des exemples 3 à 6, donner l’écriture complexe des transformations f et g.

Exemple 

a) f est la translation de vecteur – 2u + v . b) g est la translation qui amène le point A d’affixe 1 + i sur le point A′ d’affixe – 1 + 2i . Réponse a) Le vecteur de la translation est W = – 2u + v ; l’affixe de W est donc – 2 + i ; il en résulte que l’écriture complexe de la translation f est : z′ = z – 2 + i . b) Le vecteur de la translation est W = AA′ ; l’affixe de W est donc : ( – 1 + 2i ) – ( 1 + i ) (affixe de l’extrémité A′ diminuée de l’affixe de l’origine A). Le calcul simplifié donne – 2 + i pour affixe de W ; il en résulte que l’écriture complexe de la translation g est : z′ = z – 2 + i .

Remarque Exemple 

On constate que f = g puisqu’elles ont même vecteur. a) f est l’homothétie de centre Ω d’affixe – 1 – i et de rapport – 3 . b) f est la symétrie centrale de centre Ω d’affixe 2 + 5i . Réponse a) On sait que l’écriture complexe de h est : z′ – ω = k ( z – ω ) où ω = – 1 – i et k = – 3 ; on a donc : z′ – ( – 1 – i ) = – 3 ( z – ( – 1 – i ) ) , c’est-à-dire z′ + 1 + i = – 3 ( z + 1 + i ) , écriture que l’on peut encore transformer : z′ = – 3z – 3 ( 1 + i ) – 1 – i ou z′ = – 3z – 4 – 4i . b) La symétrie centrale de centre Ω est encore l’homothétie de centre Ω et de rapport ( – 1 ) ; son écriture complexe est donc : z′ – ( 2 + 5i ) = – ( z – ( 2 + 5i ) ) c’est-à-dire z′ = – z + 2 + 5i + 2 + 5i d’où z′ = – z + 4 + 10i .

Exemple 

π a) f est la rotation d’angle – --- , de centre Ω d’affixe 1 + 2i . 6 π b) g est la rotation d’angle --- , de centre Ω d’affixe 3 – i . 2 Réponse π a) On sait que l’écriture complexe de f est : z′ – ω = e iθ ( z – ω ) où ω = 1 + 2i et θ = – --- ; on 6 a donc : z′ – ( 1 + 2i ) = e

π – i --6 (z

– ( 1 + 2i ) ) , c’est-à-dire z′ = e

π – i --6 (z

– ( 1 + 2i ) ) + 1 + 2i .

On peut continuer à transformer cette écriture en utilisant que : e

π – i --6

π π 3 1 = cos ⎛ – ---⎞ + i sin ⎛ – ---⎞ = ------- – -- i ; d’où : ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ 2 2

3 1 3 1 z′ = ⎛ ------- – -- i⎞ z – ⎛ ------- – -- i⎞ ( 1 + 2i ) + 1 + 2i ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠

Séquence 6 – MA02

263

3 1 3 1 z′ = ⎛ ------- – -- i⎞ z – ------- + 1 + i ⎛ 3 – --⎞ + 1 + 2i ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2⎠ 3 1 3 5 z′ = ⎛ ------- – --- i⎞ z – ------- + i ⎛ – 3 + ---⎞ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2⎠ π i ---

b) De la même façon l’écriture complexe de g est : z′ – ( 3 – i ) = e 2 ( z – ( 3 – i ) ) . π i ---

Sachant que e 2 = i , on obtient successivement : z′ = i ( z – ( 3 – i ) ) + ( 3 – i ) = iz – i ( 3 – i ) + 3 – i = iz – 3i + i 2 + 3 – i z′ = iz – 3i – 1 + 3 – i d’où z′ = iz + 2 – 4i

Exemple 

Soit A et B les points d’affixes respectives : 2 et 1 + 5i . π Quelle est l’écriture complexe de la rotation d’angle --- qui transforme A en B ? 2 Réponse π i --π On sait que l’écriture complexe d’une rotation d’angle --- est de la forme : z′ = e 2 z + b c’est-à2 π i ---

dire z′ = iz + b (car e 2 = i ) ; pour déterminer b, il suffit d’utiliser l’information : l’image de A est B ; il en résulte que : 1 + 5i = i ( 2 ) + b donc b = 1 + 5i – 2i = 1 + 3i . Finalement l’écriture complexe de cette rotation est : z′ = iz + 1 + 3i .  Dans les exemples 7 et 8, identifier la transformation plane d’écriture complexe z  z′ et préciser les éléments géométriques qui la caractérisent.

Exemple 

z′ = z + i ; z′ = 2z + 1 – i ; z′ = – iz + 1 ; z′ = – z + 2 ( 1 – i ) . Réponse  z′ = z + i est l’écriture complexe de la translation de vecteur W d’affixe i ;  z′ = 2z + 1 – i est l’écriture complexe d’une homothétie de rapport 2 ; son centre I a pour affixe le nombre complexe ω qui vérifie : ω = 2ω + 1 – i donc ω = – 1 + i ; π – i ---

z′ = – iz + 1 de la forme z′ = e 2 z + 1 ; ceci est l’écriture complexe d’une rotation d’angle ⎛– π ---⎞ . Le centre Ω de cette rotation a pour affixe le nombre complexe ω qui vérifie : ω = – iω + 1 ⎝ 2⎠ 1 1–i donc ω ( 1 + i ) = 1 donc ω = ---------- = ---------- . 1+i 2  z′ = – z + 2 ( 1 – i ) est l’écriture complexe d’une homothétie de rapport ( – 1 ) , c’est-à-dire d’une symétrie centrale. Le centre S de cette symétrie centrale a pour affixe le nombre complexe ω qui vérifie : ω = – ω + 2 ( 1 – i ) donc 2ω = 2 ( 1 – i ) donc ω = 1 – i . 

Exemple

–1+i 3 2 z′ = 3z + 2i ; z′ = ---------------------- z ; z′ = ------- ( 1 + i )z ; z′ = i ( 1 – z ) . 2 2 Réponse 

z′ = 3z + 2i est l’écriture complexe d’une homothétie de rapport 3 ; son centre I a pour affixe le nombre complexe ω qui vérifie : ω = 3ω + 2i donc 2ω = – 2i donc ω = – i .

2π i -----–1+i 3 2π 2π z′ = ---------------------- z s’écrit encore z′ = ⎛ cos ------ + i sin ------⎞ z = e 3 z . On reconnaît l’écriture ⎝ 2 3 3⎠ 2π complexe de la rotation de centre O origine du repère et d’angle ------ . 3 

264

Séquence 6 – MA02

π i --2 2 π π 2 z′ = ------- ( 1 + i )z s’écrit encore z′ = ⎛ ------- + i -------⎞ z = ⎛ cos --- + i sin ---⎞ z = e 4 z . On reconnaît ⎝ 2 ⎝ 2 2⎠ 4 4⎠ π l’écriture complexe de la rotation de centre O origine du repère et d’angle --- . 4 

π – i ---

z′ = i ( 1 – z ) s’écrit encore z′ = – iz + i = e 2 z + i ; on reconnaît l’écriture complexe d’une π rotation d’angle ⎛ – ---⎞ ; le centre Ω de cette rotation a pour affixe le nombre complexe ω qui vérifie : ⎝ 2⎠ i i(1 – i) i+1 1 1 ω = i ( 1 – ω ) donc ω ( 1 + i ) = i d’où ω = ---------- = ------------------------------ = ---------- = -- + -- i . 1+i (1 + i)(1 – i) 2 2 2 

 Reconnaître une composée de transformations usuelles, grâce à son écriture complexe.

Exemple

On considère le point A d’affixe 1 et le point B d’affixe i. π On appelle r 1 la rotation de centre A et d’angle --2 π r 2 la rotation de centre B et d’angle --2 π r 3 la rotation de centre B et d’angle – --2 h 1 l’homothétie de centre A et de rapport 3 h 2 l’homothétie de centre B et de rapport 2 1 h 3 l’homothétie de centre B et de rapport -- . 3 a) Donner l’écriture complexe des transformations r 2 o r 1 et r 3 o r 1 puis reconnaître la nature et les éléments qui caractérisent ces deux composées. b) Même question avec les transformations h 2 o h 1 et h 3 o h 1 . Réponse

π

i --π a)  L’écriture complexe de r 1 , rotation de centre A ( 1 ) d’angle --- est : z′ – 1 = e 2 ( z – 1 ) c’est2 à-dire z′ – 1 = i ( z – 1 ) ou encore z′ = iz + 1 – i . De même l’écriture complexe de r 2 rotation de π i --π centre B ( i ) d’angle --- est : z′ – i = e 2 ( z – i ) c’est-à-dire z′ – i = i ( z – i ) ou encore 2 π z′ = iz + 1 + i . De même l’écriture complexe de r 3 rotation de centre B ( i ) d’angle – --- est : 2

z′ – i = e

π – i --2 (z

– i ) c’est-à-dire z′ – i = – i ( z – i ) ou encore z′ = – iz – 1 + i .

 Cherchons l’écriture complexe de r 2 o r 1 . Soit M un point quelconque d’affixe z, soit M′ d’affixe z′ son image par r 1 et M″ d’affixe z″ l’image de M′ par r 2 ; on a alors le schéma :

M( z )

r1

M (′z′ )

r2

M (″z″ )

( r 2 o r 1 ) ( M ) = r 2 ( M′ ) = M″

et z″ = iz′ + 1 + i (en faisant agir r 2 ) d’où z″ = i ( iz + 1 – i ) + 1 + i (en faisant agir r 1 ). Finalement z″ = – z + 2 + 2i est l’écriture complexe de r 2 o r 1 . On reconnaît l’écriture complexe d’une homothétie de rapport – 1 , c’est-à-dire d’une symétrie centrale ; son centre est le point invariant Ω dont l’affixe ω vérifie : ω = – ω + 2 + 2i donc 2ω = 2 + 2i donc ω = 1 + i .

Conclusion r 2 o r 1 est la symétrie centrale de centre Ω ( 1 + i ) . Séquence 6 – MA02

265

 Cherchons

M( z )

l’écriture complexe de r 3 o r 1 :

r1

M (′z′ )

r3

M (″z″ )

( r 3 o r 1 ) ( M ) = r 3 ( M′ ) = M″

et z″ = – iz′ – 1 + i = – i ( iz + 1 – i ) – 1 + i = z – 2 . L’écriture complexe de r 3 o r 1 est z″ = z – 2 . On reconnaît l’écriture complexe d’une translation ; le vecteur W de cette translation a pour affixe – 2 .

Conclusion r 3 o r 1 est la translation de vecteur W d’affixe – 2 .

b)  L’écriture complexe de h 1 homothétie de centre A ( 1 ) , de rapport 3 est : z′ – 1 = 3 ( z – 1 ) c’est-à-dire z′ = 3z – 2 . De même l’écriture complexe de h 2 homothétie de centre B ( i ) , de rapport 2 est : z′ – i = 2 ( z – i ) c’est-à-dire z′ = 2z – i . 1 De même l’écriture complexe de h 3 homothétie de centre B ( i ) , de rapport -3 1 1 2 z′ – i = -- ( z – i ) c’est-à-dire z′ = --- z + --- i . 3 3 3  Cherchons

M( z )

est :

l’écriture complexe de h 2 o h 1 .

h1

M (′z′ )

h2

M (″z″ )

( h 2 o h 1 ) ( M ) = h 2 ( M′ ) = M″

et z″ = 2z′ – i = 2 ( 3z – 2 ) – i = 6z – 4 – i . L’écriture complexe de h 2 o h 1 est z″ = 6z – 4 – i . On reconnaît l’écriture complexe d’une homothétie de rapport 6 ; le centre Ω de cette homothétie est le point invariant ; l’affixe ω de Ω vérifie : ω = 6ω – 4 – i c’est-à-dire 5ω = 4 + i d’où 1 4 ω = -- + i -- . 5 5

Conclusion 1 4 h 2 o h 1 est l’homothétie de rapport 6 et de centre Ω d’affixe --- + i --- . 5 5  Cherchons

M( z )

h1

l’écriture complexe de h 3 o h 1 . M (′z′ )

h3

M (″z″ )

( h 3 o h 1 ) ( M ) = h 3 ( M′ ) = M″

1 2 1 2 2 2 et z″ = -- z′ + -- i = -- ( 3z – 2 ) + -- i = z – -- + -- i . 3 3 3 3 3 3 2 2 L’écriture complexe de h 3 o h 1 est : z″ = z – --- + --- i . 3 3 On reconnaît l’écriture complexe d’une translation ; le vecteur W de cette translation a pour affixe 2 2 – -- + -- i . 3 3

Conclusion 2 2 h 3 o h 1 est la translation de vecteur W d’affixe – --- + --- i . 3 3

266

Séquence 6 – MA02

Un problème de géométrie résolu par deux méthodes Énoncé Dans le plan orienté, on considère quatre points E, F, G, H non alignés, tels que EFGH soit un parallélogramme de centre O. π On désigne par A l’image de G par la rotation r de centre O et d’angle – --- . 2 π On désigne par B l’image de H par la rotation r′ de centre O et d’angle --- . 2 On note I le milieu du segment [ GH ] ; on se propose de démontrer par deux méthodes que la médiane ( OI ) du triangle OGH est une hauteur du triangle OAB.  Placer ces différents éléments sur une figure.  Emploi des nombres complexes On rapporte le plan complexe à un repère orthonormal direct d’origine O, tel que l’affixe du point G est égale à 1. On note z l’affixe du point H. Calculer les affixes des points I, A et B, en fonction de z. Prouver que les points O et I sont distincts ainsi que les points A et B. Montrer que la droite ( OI ) est perpendiculaire à la droite ( AB ) .  Emploi de transformations On désigne par h l’homothétie de centre G et de rapport 2. a) Déterminer les images par h des points O et I. b) Déterminer l’image par r′ du point E. c) Conclure. Réponse   Plaçons

ces différents éléments sur une figure

Séquence 6 – MA02

267

  Emploi

des nombres complexes

On rapporte le plan complexe à un repère orthonormal ( O ; u, v ) direct d’origine O tel que l’affixe du point G est égale à 1 et on note z l’affixe de H. On a donc OG = u .  Calculons

l’affixe de I en fonction de z.

1 I milieu de [ GH ] a pour affixe z 1 telle que z 1 = -- ( 1 + z ) . 2 1 L′affixe de I est -- ( 1 + z ). 2  Calculons

l’affixe de A.

π – i --π La rotation r de centre O et d’angle ⎛ – ---⎞ a pour écriture complexe z′ = e 2 z = – iz . L’image de ⎝ 2⎠ G d’affixe 1 est le point A d’affixe ( – i ) .

L′affixe de A est ( – i ).  Calculons

l’affixe de B.

π i --π La rotation r′ de centre O et d’angle --- a pour écriture complexe z′ = e 2 z = iz . L’image de H 2 d’affixe z, est le point B d’affixe iz.

L′affixe de B est ( iz ).  Prouvons

que les points O et I sont distincts.

1 Si O et I sont confondus, -- ( 1 + z ) = 0 soit z = – 1 . H est alors le symétrique de G par rapport à 2 O ; or EFGH est un parallélogramme de centre O donc H est confondu avec E et F l’est avec G. Les points E, F, G, H sont alors alignés sur la droite ( OG ) , ce qui est contraire à l’hypothèse.  Prouvons

que les points A et B sont distincts.

Si A et B sont confondus on a ( – i ) = iz soit z = – 1 . Le raisonnement est le même que plus haut : E, F, G, H sont alignés ce qui est impossible. Ceci nous permet de parler de la droite ( OI ) et la droite ( AB ) . que la droite ( OI ) est perpendiculaire à la droite ( AB ) .

 Montrons

1 L’affixe du vecteur OI est -- ( 1 + z ) ; l’affixe du vecteur AB est iz + i = i ( z + 1 ) ; nous avons 2 z+1 i ( z + 1 ) = 2i × ----------- . 2 Reprenons le repère orthonormal ( O ; u, v ) avec u = OG . z+1 Nous avons arg i ( z + 1 ) = arg ( 2i ) + arg ----------- ( 2π ) . 2 z+1 π Or, arg i ( z + 1 ) = ( u, AB ) ( 2π ) ; arg ( 2i ) = --- ( 2π ) ; et arg ----------- = ( u, OI ) ( 2π ) . Nous en 2 2 π π déduisons : ( u, AB ) = --- + ( u, OI ) ( 2π ) soit ( OI, AB ) = --- ( 2π ) . 2 2 Les vecteurs OI et AB sont orthogonaux, donc la droite ( OI ) est perpendiculaire à la droite ( AB ) . Conclusion : La médiane ( OI ) du triangle OGH est une hauteur du triangle OAB.

268

Séquence 6 – MA02

  Emploi

de transformations

h est l’homothétie de centre G et de rapport 2. a)  Déterminons les images par h des points O et I O est le milieu de [ GE ] et I le milieu de [ GH ] . Nous en déduisons que l’homothétie de centre G et de rapport 2 transforme O en E et I en H. h ( O ) = E et h ( I ) = H. b)  Déterminons l’image par r′ du point E π Nous savons que A est l’image de G dans la rotation de centre O et d’angle – --- donc OA = OG et 2 π ( OG, OA ) = – --- ( 2π ) . 2 O est le milieu de [ EG ] , donc OE = OG et ( OE, OG ) = π ( 2π ) . π π On en déduit OE = OA , et en utilisant la relation de Chasles, ( OE, OA ) = π – --- = --- ( 2π ) . 2 2 OE = OA ⎧ ⎪ et Nous avons alors : ⎨ ⎪ ( OE, OA ) = π --- ( 2π ) ⎩ 2 π L’image par r′ , rotation de centre O et d’angle --- , de E est A. 2 r′ ( E ) = A. c)  Montrons que la droite ( OI ) est perpendiculaire à la droite ( AB ) • Dans l’homothétie h, O est transformé en E et I en H, donc EH = 2OI . π • Dans la rotation r′ , E est transformé en A et H en B ; r′ ayant pour angle --- , 2 π ( EH, AB ) = --- ( 2π ) . 2 π π Nous en déduisons que ( 2OI, AB ) = --- ( 2π ) soit ( OI, AB ) = --- ( 2π ) , les deux droites ( OI ) et 2 2 ( AB ) sont perpendiculaires. Nous retrouvons que ( OI ) est une hauteur du triangle OAB.

Séquence 6 – MA02

269

Résumé

Transformation

Écriture complexe Au point M ( z ) , la transformation associe le point M′ ( z′ )

translation de vecteur W

z′ = z + b

b : affixe de W

homothétie de centre Ω, de rapport k

z′ – ω = k ( z – ω )

ω : affixe de Ω

rotation de centre Ω, d’angle θ

z′ – ω = e iθ ( z – ω )

ω : affixe de Ω

La transformation plane dont l’écriture complexe est de la forme :

270

•

z′ = z + b ...........................................................................est une translation ;

•

z′ = kz + b (k réel non nul, k ≠ 1 ) ....................................est une homothétie de rapport k ;

•

z′ = e iθ z + b (θ réel non nul [ 2π ] )..................................est une rotation d’angle θ.

Séquence 6 – MA02

Exercices d’entraînement Pour chacun de ces exercices, on suppose que le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) .

Exercice 

π Au point M d’affixe z, on associe M′ d’affixe Z par une rotation f d’angle --- ; on sait que f ( A ) = B 2 où A et B ont pour affixes les nombres complexes 1 + i et – 2 + 2i . Exprimez Z en fonction de z. Préciser l’affixe ω du centre I de cette rotation.

Exercice 

π Les points A et B ont pour affixes les nombres complexes a et b. En utilisant des rotations d’angle --2 π ou – --- , déterminez les affixes des points C et D tels que ABCD soit un carré de sens direct, en fonc2 tion de a et b.

Exercice 

Dans chaque cas, donnez l’écriture complexe de la transformation considérée.  Homothétie de rapport 2 et de centre d’affixe 1 + i .  Symétrie centrale de centre d’affixe 5 + i . π  Rotation d’angle – --- , de centre d’affixe i. 2 2π 3 1  Rotation d’angle ------ , de centre d’affixe – -- + i ------- . 3 2 2

Exercice 

π f est la rotation de centre A ( 2 – i ) et d’angle --- ; g est la translation de vecteur t ( 1 – i ) . 2 Donnez l’écriture complexe de f, de g et de h = g o f ; identifier alors h.

Exercice 

2π 2π f est la rotation de centre A ( 2 + i ) et d’angle ------ ; g est la rotation de centre B ( – 1 + 2i ) et d’angle – ------ . 3 3 Donnez l’écriture complexe de f, de g et de h = g o f ; identifier alors h.

Exercice 

A, B, C, D sont les points d’affixes respectives : z A =

3 + i ; zB = – 1 + i 3 ; zC = – 3 – i ;

zD = 1 – i 3 .  Déterminez le module et un argument de chacun de ces complexes, et placez alors très précisément

les points A, B, C, D. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?  f 1 et f 2 sont les transformations qui, à tout point M d’affixe z associent respectivement le point M 1 d’affixe z 1 et le point M 2 d’affixe z 2 , définis par z 1 = iz et z 2 = z + 2 ( 1 + i ) . a) Précisez la nature de f 1 et de f 2 . b) On pose f = f 2 o f 1 . À tout point M d’affixe z, f associe le point M′ , d’affixe z′ . Calculez z′ en fonction de z. c) A′ , B′ , C′ , D′ sont les transformés par f des points A, B, C, D. Placez les points A′ , B′ , C′ , D′ , sans calculer leurs affixes.

Exercice 

 On

considère deux nombres complexes Z 1 et Z 2 donnés sous forme algébrique par :

Z 1 = 2 + 2i et Z 2 = 1 – i 3 . Déterminez le module et un argument de Z 1 et Z 2 .  Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , on note A le point d’affixe Z 1 et B le point d’affixe Z 2 . 5π a) La rotation r de centre O et d’angle ------ radians transforme le point A en un point C. 6 Séquence 6 – MA02

271

Démontrez que l’affixe Z 3 du point C est donnée par : Z 3 = – ( 1 + 3 ) + ( 1 – 3 )i . Z3 – Z2 b) Démontrez que le quotient ---------------- est imaginaire pur. Z1 – Z2 Calculez le module et un argument de ce quotient. Interprétez géométriquement ces résultats en indiquant les particularités du triangle ABC.

Exercice

Le plan complexe  est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , ayant comme unité graphique 3 cm. Les nombres complexes z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 et z 6 que l’on va calculer dans cet exercice seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme exponentielle ( ρe iθ ) .  Résoudre dans  l’équation : z 2 – 3z + 1 = 0 . 3+i 3–i On pose z 1 = -------------- et z 2 = -------------- . Exprimer z 1 et z 2 sous forme exponentielle et placer les 2 2 points M 1 et M 2 d’affixes respectives z 1 et z 2 dans le plan . 2π r la rotation de centre O et d’angle ------ . 3 Calculer l’affixe z 3 du point M 3 = r ( M 2 ) . Placer M 3 sur la figure précédente.

 Soit

3+i t la translation dont le vecteur w a pour affixe – -------------- . 2 Calculer l’affixe z 4 du point M 4 = t ( M 2 ) . Placer M 4 sur la figure. i 2  Soit z 5 = -- ( 1 + i 3 ) et z 6 = -------------- . 2 i– 3 Exprimer z 5 et z 6 sous forme algébrique et sous forme exponentielle. Placer les points M 5 et M 6 d’affixes respectives z 5 et z 6 sur la figure.  Calculer z k6 pour k ∈ { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } .  Soit

Exercice 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) (unité graphique : 4 cm). On considère les points A et C d’affixes respectives a et c. On suppose que les points O, A, C ne sont pas alignés. π On note B le point image de A par la rotation de centre O et d’angle – --- et D le point image de C par 2 π la rotation de centre O et d’angle --- . 2 3 3 1 1  Dans cette question, on suppose que a = -- + -- i et c = -- – i ------- . 2 4 4 2 Placer sur une figure les points O, A, B, C, D (on justifiera la construction du point C). Dans les questions suivantes, on revient au cas général. On suppose que les points B et C sont distincts.  Calculer

les affixes des vecteurs AD et BC .

Comparer les longueurs AD et BC et démontrer que les droites ( AD ) et ( BC ) sont perpendiculaires.  On désigne par I le milieu du segment [ AC ] . En utilisant les affixes de deux vecteurs que l’on précisera, démontrer que la médiane ( OI ) du triangle OAC est une hauteur du triangle ODB et que DB = 2OI .  La médiane issue de O du triangle ODB est-elle une hauteur du triangle OAC ? Justifier la réponse.

272

Séquence 6 – MA02

ide aux exercices d’entraînement Exercices ,  et  Exercices  et 

Exercices  et  Exercice Exercice 

Application directe du cours pour donner l’écriture complexe de transformations usuelles. Utilisation de l’écriture complexe d’une composée de deux transformations connues, pour pouvoir reconnaître cette composée. Savoir transformer un nombre complexe de la forme algébrique à la forme trigonométrique. Savoir résoudre une équation du second degré dans l’ensemble des nombres complexes. Pour calculer l’affixe d’un vecteur, on retranche l’affixe de l’origine à l’affixe de l’extrémité : z

AB

= zB – zA .

■

Séquence 6 – MA02

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