MA02TE0-SEQUENCE-03.pdf

>

ère 1

partie :

Continuité, théorème des valeurs intermédiaires

>

e 2

partie :

Produit scalaire dans le plan et dans l’espace

Séquence 3 – MA02

101

1ère partie : Chapitre 1

Chapitre 2

> Continuité

............................................................................................................................................................. 105

A

Définitions

B A

Propriétés

A C

Fonctions continues et fonctions dérivables

D C A

La fonction partie entière

> Théorème des valeurs intermédiaires A

Énoncé du théorème

B A

Cas particuliers des fonctions strictement monotones

A C

Recherche de f(I)

D C A

Valeurs approchées des solutions de : f(x) = 0

Chapitre 3

> Exercices d’apprentissage

Chapitre 4

> Aspects plus théoriques

.......................................................... 109

....................................................................................................... 116

.............................................................................................................. 117

A

Théorème des valeurs intermédiaires

B A

Bijections, fonctions réciproques

Chapitre 5

> Synthèse

Chapitre 6

> Exercices d’entraînement

.................................................................................................................................................................... 120

> Aides aux exercices

........................................................................................................ 121

............................................................................................................................. 123

Sommaire séquence 3 – MA02

103

Continuité A

Définitions On considère la fonction f définie sur un intervalle ouvert I contenant le réel x 0 et dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. y

f (xo)

O

xo

x

Cette fonction ne possède pas l’une des propriétés que l’on rencontre habituellement lors de l’étude de fonctions comme les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, etc ... : « il est impossible de tracer la courbe représentative de f sans lever le crayon de la feuille ». C’est cette régularité que nous allons formaliser. Sur notre exemple, nous pouvons remarquer que f admet une limite à droite de x 0 et une limite à gauche de x 0 mais ces deux limites sont différentes et f n’admet donc pas de limite en x 0 . Pour pouvoir tracer cette courbe « sans lever le crayon », il aurait fallu que f admette une limite en x 0 et que cette limite soit égale à f ( x 0 ) . C’est ainsi que nous allons définir la continuité.

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant x 0 . f est continue en x 0 si : lim f ( x ) = f ( x 0 ) .

Définition équivalente

Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant x 0 . f est continue en x 0 si : lim f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) .

x → x0

Exemple 

h→0

Soit f la fonction définie sur  par : sin x f ( x ) = ---------- si x ≠ 0 et f ( 0 ) = 1 . Montrer que f est continue en 0. x sin x ---------- est le taux d’accroissement de la fonction sinus entre 0 et x, on a donc : x sin x lim ---------- = sin′ ( 0 ) = cos 0 = 1 . Ainsi : lim f ( x ) = 1 = f ( 0 ) et f est continue en 0. x x→0

x→0

Séquence 3 – MA02

105

1

y

A

f 0 –6

–4

0

–2

2

4

6

x

sin x La fonction g définie par g ( x ) = ---------- est définie sur *. Sa courbe représentative semble passer x par le point A ( 0 ; 1 ) mais ce n’est pas le cas puisque g n’est pas définie en 0. Il est assez naturel de prolonger g en 0, on obtient alors la fonction f. On dit que f est un prolongement par continuité de g en 0.

Définition (continuité sur un intervalle)

Remarque

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est continue sur I si f est continue en tout point de I.

 Graphiquement

cela signifie que l’on peut tracer la courbe représentative de f sur I « sans lever le

crayon ».

B

Propriétés En utilisant les propriétés sur les limites (séquence 1), on obtient immédiatement que : • Si f et g sont continues en x 0 alors f + g et f ⋅ g sont continues en x 0 . f • Si f et g sont continues en x 0 et si g ( x 0 ) est différent de 0 alors -- est continue en x 0 . g • Si f est continue en x 0 et g est continue en f ( x 0 ) alors g  f est continue en x 0 . On déduit de cela et des résultats sur les limites (séquence 1) que les fonctions polynômes, rationnelles, racines carrées, trigonométriques sont continues sur leurs ensembles de définition.

C

Fonctions continues et fonctions dérivables Propriété Si f est dérivable en x 0 alors f est continue en x 0 . En effet, si f est dérivable en x 0 alors : f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) + hf′ ( x 0 ) + hε ( h )

où

lim

h→0

ε ( h ) = 0 (cf. séquence 2). On en déduit :

lim f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) et f est bien continue en x 0 .

h→0

Remarque

106

 Toutefois une fonction continue n’est pas forcément dérivable. En effet la fonction racine carrée est continue sur son ensemble de définition donc en particulier en 0 mais n’est pas dérivable en 0 (elle est dérivable sur ]0 ; + ∞[ ).

Séquence 3 – MA02

Exemple 

On considère la fonction f définie sur  par : f ( x ) = x . f est-elle dérivable sur  ? f est-elle continue sur  ? Pour tout x > 0 , f ( x ) = x = x alors f est continue et dérivable sur ]0 ; + ∞[ (puisque la fonction u définie sur  + * par u ( x ) = x est continue et dérivable). Pour tout x < 0 , f ( x ) = x = – x alors f est continue et dérivable sur ] – ∞ ; 0 [ (puisque la fonction v définie sur  – * par v ( x ) = – x est continue et dérivable). Il reste à étudier la dérivabilité et la continuité en 0. On

a:

lim f ( x ) = lim x = lim x = 0

x→0 x>0

x→0 x>0

x→0 x>0

(x = x

pour

x>0)

et

lim f ( x ) = lim x = lim – x = 0 pour ( x = – x . Ainsi : lim f ( x ) = 0 = f ( 0 ) et f est

x→0 x 0 et f ( b ) < 0 ) alors l’équation f ( x ) = 0 admet au moins une solution dans [ a ; b ] .

 Si

Exemple 

π Montrer que l’équation : cos x = x admet une solution (au moins) dans 0 ; --- . 2 Considérons la fonction f définie sur  par : f ( x ) = cos x – x . f est continue et : f ( 0 ) = 1 , π π π π f ⎛ ---⎞ = – --- . 0 appartient à – --- ; 1 donc il existe c ∈ 0 ; --- tel que : f ( c ) = 0 c’est-à-dire : ⎝ 2⎠ 2 2 2 cos c = c .

Exemple 

Soit f une fonction continue définie sur [ 0 ; 1 ] et telle que pour tout x appartenant à [ 0 ; 1 ] , f ( x ) appartient à [ 0 ; 1 ] . On considère la fonction g définie sur [ 0 ; 1 ] par g ( x ) = f ( x ) – x . a) Montrer que : g ( 0 ) ≥ 0 et g ( 1 ) ≤ 0 . b) En déduire que l’équation f ( x ) = x admet (au moins) une solution. 1 c) En déduire que l’équation : ------------------ = x admet au moins une solution sur [ 0 ; 1 ] . 2 x +1 • f ( 0 ) ∈ [ 0 ; 1 ] donc : f ( 0 ) ≥ 0 et g ( 0 ) = f ( 0 ) – 0 ≥ 0 ; f ( 1 ) ∈ [ 0 ; 1 ] donc : f ( 1 ) ≤ 1 et g(1) = f(1) – 1 ≤ 0 .

Séquence 3 – MA02

109

• La fonction g est continue sur [ 0 ; 1 ] donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, g ( x ) prend toutes les valeurs comprises entre g ( 0 ) et g ( 1 ) . g ( 0 ) est positif ou nul, g ( 1 ) est négatif ou nul donc il existe c appartenant à [ 0 ; 1 ] tel que : g ( c ) = 0 c’est-à-dire f ( c ) – c = 0 . Ainsi l’équation f ( x ) = x admet au moins une solution c. 1 • Soit f la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par f ( x ) = ------------------ . f est continue et, de plus pour tout x x2 + 1 appartenant à [ 0 ; 1 ] , on a successivement : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ x 2 ≤ 1 , 1 ≤ x 2 + 1 ≤ 2 , 1 1 1 1 ≤ x 2 + 1 ≤ 2 , ------- ≤ ------------------ ≤ 1 . Ainsi pour tout x de [ 0 ; 1 ] , f ( x ) appartient à ------- ; 1 2 2 2 x +1 donc à [ 0 ; 1 ] . Ainsi (d’après a) et b)) l’équation f ( x ) = x admet au moins une solution dans [0 ; 1] .

B

Cas particuliers des fonctions strictement monotones Le théorème des valeurs intermédiaires nous prouve l’existence d’une solution à une équation mais ne nous donne aucune information sur l’unicité. Ce théorème a toutefois un corollaire1 qui nous prouve sous certaines conditions l’unicité d’une telle solution.

Corollaire Soient f une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I et a et b deux réels de I. Pour tout k compris entre f ( a ) et f ( b ) , il existe un unique réel c compris entre a et b tel que : f(c) = k .

A connaître

Démonstration Supposons f strictement croissante (le cas f strictement décroissante est parfaitement similaire). Soient a et b deux éléments de I tels que a < b . On a alors : f ( a ) < f ( b ) (f strictement croissante). Soit k tel que : f ( a ) < k < f ( b ) . Le théorème des valeurs intermédiaires nous prouve alors qu’il existe au moins un réel c ∈ ]a ; b [ tel que : f ( c ) = k . Montrons que cette solution est unique. Si x > c alors f ( x ) > f ( c ) = k donc l’équation f ( x ) = k n’admet aucune solution x telle que : x>c. Si x < c alors f ( x ) < f ( c ) = k donc l’équation f ( x ) = k n’admet aucune solution x telle que : x 0 ⇔ 3x > – 2 ⇔ x > – -- . On en déduit le tableau de variations de f : 3 –1

x

–

signe de f′

f

+∞

2 – -3 0

+ +∞

1 -4 a

1 f ( – 1 ) = -- ; lim x = lim 4 x→+∞ x→+∞

1 + x = + ∞ donc

lim

x→+∞

f(x) = + ∞ ;

2 2 2 2 1 1 1 –2 3 1 a = f ⎛ – --⎞ = ⎛ – --⎞ × 1 + ⎛ – --⎞ + -- = ⎛ – --⎞ × -- + -- = -------------- + --  – 0 ,13 < 0 . ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 4 ⎝ 3⎠ 4 3 4 9 2 2 f est strictement monotone et continue sur – 1 ; – -- , f ( – 1 ) > 0 et f ⎛ – --⎞ < 0 . ⎝ 3⎠ 3 2 Ainsi l’équation f ( x ) = 0 admet une unique solution dans – 1 ; – -- . 3 2 2 f est strictement monotone et continue sur – -- ; + ∞ , f ⎛ – --⎞ < 0 et lim f ( x ) = + ∞ . ⎝ 3⎠ 3 x→+∞ 2 Ainsi l’équation f ( x ) = 0 admet une unique solution dans – -- ; + ∞ . 3 1 1 L’équation x 1 + x + -- = 0 ou x 1 + x = – -- admet donc 2 solutions réelles. 4 4

Remarque

En ce qui concerne la rédaction :  Dans un tableau de variations, les flèches obliques exprimeront la continuité et la stricte monotonie

de la fonction considérée. Ainsi, dans l’exemple précédent, il sera suffisant d’écrire : D’après le tableau de variations de f, l’équation f ( x ) = 0 admet deux solutions, l’une dans 2 2 – 1 ; – -- et l’autre dans – -- ; + ∞ ». 3 3

«

C

Recherche de f(I) Si I est un intervalle et f une fonction, f ( I ) désigne l’image de I par f c’est-à-dire l’ensemble des images f ( x ) où x est un élément de I. On cherche à déterminer sous certaines conditions l’ensemble f(I) .

Séquence 3 – MA02

111

y

f (I)

O I

Si f est une fonction continue et croissante (resp. décroissante) sur [ a ; b ] alors : Pour tout x de [ a ; b ] , f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b ) (resp. f ( b ) ≤ f ( x ) ≤ f ( a ) ) ; f ( x ) prend toutes les valeurs comprises entre f ( a ) et f ( b ) (y compris f ( a ) et f ( b ) bien sûr). On déduit de cela que f ( [ a ; b ] ) = [ f ( a ) ; f ( b ) ] (resp. f ( [ a ; b ] ) = [ f ( b ) ; f ( a ) ] ) Ici, la monotonie n’est pas nécessairement stricte. Ces résultats se généralisent :

Propriétés Soient deux réels a et b tels que : a < b . • Si f est une fonction continue et strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur [ a ; b [ et si lim f ( x ) =  existe ( est réel ou est éventuellement égal à + ∞ ou – ∞ ) alors : x→b xa

x→b x 0 . Ainsi sin x + 2 ne s’annule pas ce qui prouve que f est définie sur .

112

Séquence 3 – MA02

• f est dérivable sur  (quotient de fonctions dérivables) et pour tout x ∈  , – sin x ( 2 + sin x ) – cos x ( cos x ) – 2 sin x – sin2 x – cos2 x f′ ( x ) = ---------------------------------------------------------------------------- = ---------------------------------------------------------- . 2 ( 2 + sin x ) 2 ( 2 + sin x ) 2 1 = – --------------------------2- × ⎛ sin x + --⎞ ⎝ 2⎠ ( 2 + sin x ) π π Étudions f sur – --- ; --- . On a : 2 2 1 π π π 1 f′ ( x ) > 0 ⇔ sin x + -- < 0 ⇔ sin x < – -- ⎛ = sin ⎛ – ---⎞ ⎞ ⇔ x ∈ – --- ; – --- . ⎝ 6⎠ ⎠ 2⎝ 2 6 2 π π On en déduit le tableau de variations de f sur – --- ; --- : 2 2 x

π – --2

π – --6 +

signe de f′

0

π --2 –

3 ------3

f 0

0

–π 3 ------cos ------– π⎞ 3 2 π π 3 6 2 3 ⎛ On a : f ------- = ------------------------- = ---------------- = ------- × -- = ------- . Ainsi : f ⎛ – --- ; – --- ⎞ = 0 ; ------- et ⎝ 6⎠ ⎝ 2 2 3 6 ⎠ 3 –π –1 3 ------ + 2 sin ------- + 2 6 2 π π ⎞ 3 π π 3 ⎛ f – --- ; --- = 0 ; ------- et donc : f ⎛ – --- ; --- ⎞ = 0 ; ------- . ⎝ 6 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 3 3

D

Valeurs approchées des solutions de : f ( x ) = 0 On se place sous les hypothèses : f est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle [a ; b] , f(a) × f(b) < 0 . On sait alors que l’équation f ( x ) = 0 admet une unique solution c dans [ a ; b ] . On essaie, ici, de déterminer une valeur approchée de c.

1) La dichotomie a+b f ⎛ ------------⎞ ⎝ 2 ⎠

a+b est du signe de f ( a ) ou du signe de f ( b ) donc : f ( a ) × f ⎛ ------------⎞ ≤ 0 ou ⎝ 2 ⎠

a+b a+b a+b f ⎛ ------------⎞ × f ( b ) ≤ 0 . Bien sûr si : f ⎛ ------------⎞ = 0 , on a : c = ------------ . La recherche du signe de ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 a+b a+b a+b f ⎛ ------------⎞ nous permet donc de savoir si c appartient à a ; ------------ ou à ------------ ; b . En réitérant ⎝ 2 ⎠ 2 2 l’opération avec le nouvel intervalle, on peut obtenir un encadrement de plus en plus précis de c. On dit, alors, qu’on procède « par dichotomie ». L’algorithme suivant nous fournit une valeur approchée à 10 – n près de c : Algorithme

Programme TI 83 plus

Lire a Lire b

Prompt A Prompt B

Lire n Tant que b – a > 10 – n

Prompt N While B – A > 10^ ( – N )

a+b Si f ⎛ ------------⎞ = 0 ⎝ 2 ⎠

If Y 1 ( ( A + B ) ⁄ 2 ) = 0

Séquence 3 – MA02

113

Alors Afficher : « c =

Then Disp « C = Stop

a+b », ------------ ,, 2

», ( A + B ) ⁄ 2

Arrêter

Else

Sinon Si

If Y 1 ( A ) × Y 1 ( ( A + B ) ⁄ 2 ) < 0 Then

a+b f ( a ) × f ⎛ ------------⎞ < 0 ⎝ 2 ⎠

(A + B) ⁄ 2 → B Else

a+b Alors dans b mettre -----------2

(A + B) ⁄ 2 → A

Sinon

END END

END a+b Dans a mettre -----------2 Fin du Si Fin du Si Fin du Tant que Afficher a

Disp « C =

», A

Remarques concernant le programme sur TI 83

La fonction f devra être rentrer dans Y 1 , la plupart des fonctions If, Disp, ... s’obtiennent grâce au menu PRGM , Y 1 s’obtient grâce au menu VARS , = s’obtient grâce au menu 2nd TEST et → s’obtient grâce à la touche STO .

Exemple

La fonction f définie sur  par f ( x ) = x 3 – 2 est strictement croissante sur  ( f′ ( x ) = 3x 2 ) . De plus, f ( 1 ) = – 1 et f ( 2 ) = 6 . L’équation f ( x ) = 0 admet donc une unique racine c dans [ 1 ; 2 ] (en fait c = 3 2 ). On cherche une valeur approchée de c à 10 – 2 près. Utilisons le tableur pour déterminer les valeurs de f ( 1 ,01 ) , f ( 1 ,02 ) , ..., f ( 1 ,99 ) :

2) Recherche par « balayage »

A

B

1

1 2

= A1 + 0 ,01 et on étend à la colonne A

= A1 ∧ 3 – 2 et on étend à la colonne A

On repère alors dans le tableau le changement de signe des valeurs de f ( x ) . A

B

24

1,23

– 0 ,139 133

25

1,24

– 0 ,093 376

26

1,25

– 0 ,046 875

27

1,26

0,000 376

28

1,27

0,048 383

Changement de signes

On en déduit : 1 ,25 < 3 2 < 1 ,26 .

Exemple 

On considère, dans un repère orthonormal, la parabole d’équation y = x 2 – 4 et l’hyperbole d’équa2 tion y = -- . x a) En combien de points ces courbes se coupent-elles ? b) Donner des valeurs approchées (à 10 – 3 près) des coordonnées de ces points. • Les points d’intersection des deux courbes sont les points de ces courbes dont l’abscisse vérifient 2 2 l’équation : x 2 – 4 = -- ⇔ x 2 – 4 – -- = 0 . x x

114

Séquence 3 – MA02

2 Considérons la fonction f définie sur * par f ( x ) = x 2 – 4 – -- , f est dérivable sur * et pour tout x 2⎞ 2x 3 + 2 2 ⎛ x de * : f′ ( x ) = 2x – 0 – – ----2- = 2x + ----- = ----------------- . On a donc : ⎝ x ⎠ x2 x2 f′ ( x ) > 0 ⇔ 2x 3 + 2 > 0 ⇔ x 3 > – 1 ( = ( – 1 ) 3 ) ⇔ x > – 1 (la fonction cube est strictement croissante sur ). On en déduit les variations de f : –∞

x

–1 –

signe de f′

0

+∞

0 +

+

+∞

+∞

+∞

f –∞

–1

lim

x→+∞

x2 =

lim

x→–∞

x2 = + ∞ ,

lim

x→+∞

1 1 -- = lim -- = 0 . x x→–∞ x

On en déduit : lim

x→+∞

f(x) =

lim

x→–∞

1 1 f ( x ) = + ∞ . De plus, lim -- = + ∞ et lim -- = – ∞ . On en déduit : x→0 x x→0 x x>0

lim f ( x ) = – ∞

x→0 x>0

et

x k ⋅ f ⎛ ------------⎞ est soit inférieur ou égal à k soit strictement supérieur à k. ⎝ 2 ⎠ a+b a+b Dans tous les cas il existe un intervalle [ a 1 ; b 1 ] = a ; ------------ ou à ------------ ; b tel que : f ( a 1 ) ≤ k 2 2 et f ( b 1 ) > k . On peut alors recommencer l’opération avec le nouvel intervalle [ a 1 ; b 1 ] de manière à obtenir un intervalle [ a 2 ; b 2 ] de longueur moitié et tel que : f ( a 2 ) ≤ k et f ( b 2 ) > k . y

y

y

y

k

k

k

f(b)

k

f(a)

O

a

b

O

a1

b1

O

a2

b2

O

a 3 b3

On construit ainsi deux suites ( a n ) et ( b n ) telles que : f ( a n ) ≤ k et f ( b n ) > k . Ces suites vérifient de plus ( a n ) est croissante ( a n + 1 est égal à a n ou au milieu de [ a n ; b n ] ) ; ( b n ) est décroissante ; Séquence 3 – MA02

117

la longueur de [ a n + 1 ; b n + 1 ] est égale à la moitié de la longueur de [ a n ; b n ] et donc : b0 – a0 b–a b n – a n = ---------------- = ----------- tend vers 0. 2n 2n De telles suites sont dîtes adjacentes (cf. séquence 6). Les suites ( a n ) et ( b n ) semblent converger vers le point c que l’on cherche. En fait, on verra (cf. séquence 6) que deux suites adjacentes convergent vers la même limite. Notons donc  =

lim

n→+∞

an =

lim

n→+∞

bn .

Pour tout n ∈  , f ( a n ) ≤ k et f ( b n ) > k donc par passage à la limite : f (  ) ≤ k et f (  ) ≥ k . De ces 2 inégalités, on déduit : f (  ) = k et  est donc bien solution de l’équation.

B

Bijections, fonctions réciproques 1) Définitions

Définition 

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, on dit que f est une bijection de I sur J si : Pour tout élément x de I, f ( x ) appartient à J ; Tout élément de J admet un unique antécédent dans I par f.

Définition 

Remarque

Soit f une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle J. La fonction g définie sur J par : g ( y ) est l’unique antécédent de y dans I par f est la fonction réciproque de f. 

g ( y ) est alors définie par : g ( y ) = x ⇔ f ( x ) = y .

On considère une fonction f définie sur un intervalle I continue et strictement monotone. On sait alors que f ( I ) = J est un intervalle et que, d’après le théorème des valeurs intermédiaires : pour tout y de J , l’équation f ( x ) = y admet un unique antécédent x dans I. On en déduit le théorème :

Théorème Exemple

Si f est une fonction continue strictement monotone sur I alors f est une bijection de I sur f ( I ) . Considérons la fonction racine carrée : f définie sur [ 0 ; + ∞[ par : f ( x ) = x . Le tableau de variation de f est le suivant : +∞

0

x

+∞ f 0

On a : f strictement croissante sur [ 0 ; + ∞[ , f continue et f ( [ 0 ; + ∞[ ) = [ 0 ; + ∞[ . Ainsi f est une bijection de  + sur  + . Pour tout y ≥ 0 , l’unique antécédent de y par f est y 2 . En effet : f ( y 2 ) = y 2 = y = y ( y ≥ 0 ) . On en déduit que la fonction : ⎧ + → + g:⎨ est la fonction réciproque de f. ⎩ y  y2

Exemple

π Montrer que la fonction cosinus est une bijection de 0 ; --- vers un intervalle que l’on déterminera. 2 π La fonction cosinus est dérivable sur 0 ; --- et : cos′ = – sin . On en déduit le tableau de variations 2 de cette fonction : x

π --2

0 –

signe de – sin x 1 cos

0

118

Séquence 3 – MA02

π On en déduit que la fonction cosinus est une bijection de 0 ; --- sur [ 0 ; 1 ] . 2 La fonction réciproque, ici, n’est pas une fonction connue en terminale : c’est la fonction arc cos et s’obtient à la calculatrice grâce aux touches 2nd cos .

2) Courbe représentative d’une fonction réciproque Soit f une bijection de I sur J, on note g la fonction réciproque de f,  f et  g leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormal. On a : M ( x ; y ) ∈ f ⇔ y = f ( x ) ⇔ x = g ( y ) ⇔ M ′ ( y ; x ) ∈ g . De plus, M ( x ; y ) et M′ ( y ; x ) sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x .

M'

x

M

y

y

x

On en déduit que  f et  g sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x . y

y = x2

y=x

3

y= x 2

1

x

0 1

0

Remarques

2

3

4

5

6

7

 f admet au point d’abscisse x, une tangente (non « horizontale ») alors par symétrie  g admet une tangente au point d’abscisse y = f ( x ) une tangente (non « verticale » car la symétrie ayant pour axe la droite d’équation y = x transforme les droites parallèles à l’axe des abscisses en droites parallèles à l’axe des ordonnées). On en déduit que si f est dérivable en x 0 et si f′ ( x 0 ) ≠ 0 alors g est dérivable en y 0 = f ( x 0 ) . Cette propriété peut être utile pour " construire " d’autres fonctions que les fonctions usuelles (cf. séquence 6).

 Si

Séquence 3 – MA02

119

Synthèse Définition

f est continue en x 0 si : • f est définie en x 0 , •

120

lim f ( x ) = f ( x 0 ) .

x → x0

Théorème

Soient f continue sur un intervalle I, a et b deux éléments de I. Pour tout k compris entre f ( a ) et f ( b ) , l’équation f ( x ) = k admet au moins une solution c comprise entre a et b.

Théorème

Soient f continue sur un intervalle I, a et b deux éléments de I ( a < b ) . Si f ( a ) × f ( b ) < 0 alors l’équation f ( x ) = 0 admet au moins une solution dans ]a ; b [ .

Théorème

Soient f continue et strictement monotone sur un intervalle I, a et b deux éléments de I. Pour tout k compris entre f ( a ) et f ( b ) , l’équation f ( x ) = k admet une unique solution c dans I et c appartient à [a ; b] .

Séquence 3 – MA02

Exercices d’entraînement Exercice 

Discuter le nombre de solutions de l’équation : x 3 – 6x 2 + 9x = m selon les valeurs de m.

Exercice 

que l’équation ( E ) : x 3 – 3x + 1 = 0 admet 3 solutions réelles et que celles-ci sont éléments de [ – 2 ; 2 ] . En donner des valeurs approchées à 10 – 2 près.  Montrer 

a) Montrer que pour tout a réel, cos 3a = 4 cos3 a – 3 cos a .

1 b) Soit x = 2 cos a . Montrer que x est solution de ( E ) si et seulement si : cos 3a = – -- . 2 1 c) Résoudre dans ] – π ; π ] l’équation : cos 3a = – -- . 2 d) En déduire (sous une forme trigonométrique) les valeurs exactes des solutions de ( E ) .

Exercice 

π Soit f la fonction définie sur 0 ; --- par f ( x ) = cos2 x + sin x . 2  Dresser

π le tableau de variations de f sur 0 ; --- . 2

 Montrer

Exercice 

π π que f est une bijection de --- ; --- sur un intervalle que l’on déterminera. 6 2

Montrer que si f est une fonction polynôme de degré impair, l’équation f ( x ) = 0 admet au moins une solution réelle. Rappel Une fonction polynôme f définie sur  par f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + ... + a 1 x + a 0 ( a n ≠ 0 ) est de degré impair si n est impair.

Exercice 

n un entier naturel fixé. Montrer que l’équation : x 4 – 4nx 3 – 1 = 0 admet une unique solution dans  + . On note u n cette solution.

 Soit

 Calculer  Donner

u0 .

des valeurs approchées à 10 – 3 près de u 1 , u 2 et u 3 .

 Déterminer

Exercice 

lim

n→+∞

un .

Soit f la fonction définie sur  par f ( x ) = cos x ( 1 – 2 cos x ) .  Étudier

la parité et la périodicité de f. En déduire qu’il est suffisant d’étudier f sur [ 0 ; π ] .

 Montrer

1 que : f′ ( x ) = 4 sin x ⎛ cos x – --⎞ . ⎝ 4⎠

1 que l’équation cos x = -- admet une unique racine α dans [ 0 ; π ] . 4  Donner une valeur approchée à 10 – 3 près de α.  Montrer

 Calculer  Dresser

Exercice 

la valeur exacte de f ( α ) .

alors le tableau de variations de f sur [ 0 ; π ] puis sur [ – π ; π ] .

On décide de construire une boîte avec une feuille de papier cartonnée de 40 cm par 20 cm. Pour cela, on retire un carré de chaque coin de la feuille et on replie les bords pour obtenir une boîte (sans couvercle) (cf. schéma ci-dessous).

Séquence 3 – MA02

121

carré de côté x

On cherche les dimensions des carrés à enlever pour obtenir une boîte de volume 1 litre. On décide d’utiliser le dm comme unité (on rappelle : 1 dm 3 = 1  ). On note x le côté du carré enlevé.  Quel

est l’ensemble I des valeurs pouvant être prises par x ?

 Exprimer  Montrer  Dresser  Quel

les dimensions de cette boîte en fonction de x.

que le volume de cette boîte est alors : V ( x ) = 4x 3 – 12x 2 + 8x .

les variations de V.

est le volume maximum que peut contenir cette boîte ?

 Montrer

qu’il est possible de construire, de cette façon, une boîte dont le volume est exactement 1 l. Donner les dimensions des « boîtes solutions ».

Exercice

x–2 Soit f la fonction définie par f ( x ) = -------------- . x3 + 1  On

considère la fonction g définie sur  par : g ( x ) = 2x 3 – 6x 2 – 1 .

a) Calculer g′ ( x ) . b) Dresser le tableau de variations de g. c) En déduire que l’équation g ( x ) = 0 admet une unique solution α dans . Donner une valeur approchée de α à 10 – 3 près. d) Déterminer le signe de g ( x ) . est l’ensemble de définition  f de f ?  Déterminer les limites de f aux bornes de l’ensemble de définition. – g(x)  Montrer que pour tout x de  f : f′ ( x ) = --------------------- . ( x3 + 1 )2  Dresser alors le tableau de variations de f.  Quel

122

Séquence 3 – MA02

ides aux exercices Exercice 



a) On pourra utiliser les formules :

cos ( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b ,

cos 2a = 2 cos2 a – 1

et

sin 2a = 2 sin a cos a .

b) Si x = 2 cos a alors : x 3 – 3x + 1 = 2 cos 3a – 1 , ... c) On a : cos a = cos b ⇔ a = b + 2kπ ou a = – b + 2kπ .

Exercice 

1 1 On pourra montrer que : f′ ( x ) = – 2 cos x ⎛ sin x – --⎞ et étudier le signe de ⎛ sin x – --⎞ . ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠ En l’infini, une fonction polynôme a même limite que son monôme de plus haut degré.

Exercice 



En utilisant le tableau de variations, on pourra montrer que : u n > 3n .

Exercice



a) On déduira du tableau de variations de g son signe.

Exercice 



 On

pourra utiliser 1.d). ■

Séquence 3 – MA02

123

2e partie Chapitre 1

Chapitre 2

Chapitre 3

Chapitre 4

> Produit scalaire dans le plan

........................................................................................... 127

A

Rappels

B A

Expression en repère orthonormal de la distance d’un point à une droite

> Produit scalaire dans l’espace A

Projections orthogonales dans l’espace

B A

Produit scalaire dans l’espace

A C

Exercices d’apprentissage

...................................................................................... 131

> Équations cartésiennes de plan

................................................................................ 135

A

Plan orthogonal à un vecteur passant par un point

B

Inéquation définissant un demi-espace

C

Exercices d’apprentissage

> Exercices d’entraînement

> Aides aux exercices

...................................................................................................... 140

............................................................................................................................ 142

Sommaire séquence 3 – MA02

125

Produit scalaire dans le plan A

Rappels

Définition

On appelle produit scalaire du vecteur u par le vecteur v le nombre réel, noté u . v , défini par : 2 2 2 1 u . v = -- [ u + v – u – v ] (1). 2 u désigne la norme du vecteur u , c’est-à-dire sa longueur.

 Autres expressions du produit scalaire a) Dans un repère orthonormal Dans un repère orthonormal, considérons un vecteur u de coordonnées ( x ; y ) . Alors la longueur du vecteur u , notée u , est le réel u = En particulier, avec A ( x A, y A ) et B ( x B, y B ) , AB =

x 2 + y 2 (2).

( xB – xA ) 2 + ( yB – yA ) 2 .

Si dans un repère orthonormal, les coordonnées de u et v sont : u ( x : y ) et v ( x′ ; y ′ ) , alors on peut démontrer à l’aide de (1) et (2) que u . v = xx′ + yy′ .

b) En fonction de la norme et de l’angle ( u, v ) . Si u et v sont deux vecteurs non nuls, et α la mesure de l’angle géométrique associé à u et à v u . v = u × v cos ( u, v ) = u × v cos α On déduit immédiatement de cette expression que si π • Si α = --- rad , alors u . v = 0 2 • Si α est aigu, alors u . v > 0 . • Si α est obtus, alors u . v < 0 .

c) Cas particulier de deux vecteurs colinéaires. Si les deux vecteurs u et v sont colinéaires et de même sens, alors u . v = u × v . Si les deux vecteurs u et v sont colinéaires et de sens contraire, alors u . v = – u × v .

d) Projection orthogonale et produit scalaire. AB et CD sont deux vecteurs, C et D se projettent orthogonalement en C′ et D′ sur la droite ( AB ) . Alors : AB . CD = AB . C′D′ .

Dessin 1 D C

A

B

C'

D'

Pour calculer le produit scalaire AB . CD , on peut remplacer CD par son projeté orthogonal sur ( AB ) . Séquence 3 – MA02

127

En particulier, avec u = AB et v = AC , u . v = AB . AH où H désigne le projeté orthogonal de C sur ( AB ) .

Dessin 2

C

A

Exemple résolu

H

B

Pour chacune des figures suivantes, calculer u . v en choisissant l’expression du produit scalaire qui vous semble la mieux adaptée.

Dessin 3 C

a

A

A u

v

u

a

B

a

v

1 O

Figure 1

1

Figure 2

B

A D

C

a

D

J

C

C u

3

v

I

2,5

v

u A

B

2,4

Figure 3

Figure 4

B

1 a2 Figure 1 : u . v = CB . BA = CB BA cos 120° = CB × BA × ⎛ – --⎞ = – ----⎝ 2⎠ 2 Le résultat est négatif car l’angle géométrique associé à ( u , v ) est obtus. Figure 2 : AB ( – 3 ; – 2 ) AC ( 2 ; – 4 ) donc AB . AC = – 3 × 2 + ( – 2 ) × ( – 4 ) = 2 Figure 3 : 2 1 u . v = AB . AD = -- [ u + v – 2 1 u . v = -- ( AC 2 – AB 2 – AD 2 ) = 2

u

2

2

– v ]

1 -- ( 2 ,5 2 – 2 ,4 2 – 3 2 ) = – 4, 255 . 2

Le résultat négatif provient du fait que l’angle BAD est obtus. a2 Figure 4 : u . v = AI . AJ = AI . AB = AI × AB = ----2

Propriétés

Pour tous vecteurs u , v , w et tous réels a et b u . v = v . u ; u . ( v + w ) = u . v + u . w ; ( au ) . ( bv ) = ab ( u . v ) u+v u–v

2 2

= u = u

2 2

+ v + v

(u + v)(u – v) = u

2 2 2

+ 2u . v – 2u . v

– v

2 2

2

Le carré scalaire u . u , noté u , vérifie u = u 128

Séquence 3 – MA02

2

.

 Produit scalaire et orthogonalité Soit u et v deux vecteurs non nuls.

Dessin 4

D v

u et v sont deux vecteurs orthogonaux signifie que si u = AB et

A

u

C

B

v = CD , alors les droites ( AB ) et ( CD ) sont perpendiculaires. Par convention le vecteur nul, 0 , est orthogonal à tout autre vecteur. Le résultat essentiel démontré en première est le suivant.

Théorème Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul soit u . v = 0 .

Exemple résolu

Soit ABC un triangle rectangle en A, avec AB = 2a et AC = a . 1 C′ est le symétrique de C par rapport à A et K le point défini par AK = -- AB . 4 Montrer que les droites ( C′B ) et ( CK ) sont orthogonales.

Dessin 5 Méthode 1.

C

Calculons CK . C′B . a

CK . C′B = ( CA + AK ) . C′B = CA . C′B + AK . C′B B

K A

2a

= CA . C′A + AK . AB = – CA × C′A + AK × AB 1 = – a 2 + -- a × 2a = 0 2 donc les droites ( CK ) et ( C′B ) sont orthogonales.

C'

Méthode 2. On choisit le repère orthonormal ( A ; i, j ) tel que AB = 2i et AC = j . Les coordonnées des points sont : C ( 0 ; 1 ) ; K ( 0 ,5 ; 0 ) ; C′ ( 0 ; – 1 ) et B ( 2 ; 0 ) . CK ( 0 ,5 ; – 1 ) et C′B ( 2 ; 1 ) . CK . C′B = 0 ,5 × 2 + ( – 1 ) × 1 = 0 et l’on retrouve le même résultat.

B

Expression en repère orthonormal de la distance d’un point à une droite du plan

Définition

 Vecteur normal à une droite Un vecteur n , non nul, est normal à une droite D si sa direction est orthogonale à D. Dessin 6

n

C

Théorème

D

Toute droite de vecteur normal n ( a ; b ) , avec a et b non tous les deux nuls, a une équation de la forme ax + by + c = 0 .

Séquence 3 – MA02

129

Réciproquement, l’ensemble des points M ( x ; y ) vérifiant ax + by + c = 0 , avec a et b non tous les deux nuls, est une droite de vecteur normal n ( a, b ) . Nous admettons ce théorème que vous avez probablement vu en première et démontrerons un résultat analogue dans l’espace.

 Expression en repère orthonormal de la distance

d’un point à une droite dans le plan Formule Dans un plan muni d’un repère orthonormal ( O ; i, j ) , on considère la droite D d’équation ax + by + c = 0 et le point M 0 ( x 0 ; y 0 ) . On se propose de calculer la distance de M 0 à la droite D, c’est-à-dire la distance M 0 H où H désigne la projection orthogonale de M 0 sur D.

Dessin 7

H n j O

Mo

i

La méthode consiste à déterminer le réel k tel que M 0 H = kn . Le vecteur n ( a ; b ) est normal à la droite D. M 0 H et n sont colinéaires ; il existe donc un réel k tel que M 0 H = kn , où k désigne un nombre réel non nul. Notons ( x ; y ) les coordonnées de H. Les coordonnées de M 0 H sont : M 0 H ( x – x 0 ; y – y 0 ) . M 0 H = kn est équivalent à x – x 0 = ka et y – y 0 = kb soit x = x 0 + ka et y = y 0 + kb . De plus le point H appartient à la droite D donc ses coordonnées vérifient l’équation de D. On en déduit a ( x 0 + ka ) + b ( y 0 + kb ) + c = 0 . On a donc k ( a 2 + b 2 ) = – ax 0 – by 0 – c – ax 0 – by 0 – c donc k = ----------------------------------- . a2 + b2 ax 0 + by 0 + c – ax 0 – by 0 – c 2 2 Or M 0 H = kn = k n = ---------------------------------- × a + b = ---------------------------------- . a2 + b2 a2 + b2

Théorème

Exemple résolu

Dans un repère orthonormal, la distance d d’un point M 0 ( x 0 ; y 0 ) à la droite D d’équation ax + by + c = 0 est : ax 0 + by 0 + c d = ---------------------------------a2 + b2

Dessin 8

A

I

D

1 1 Choisissons le repère orthonormal ⎛ A ; -- AD ; -- AB⎞ . ⎝ 3 3 ⎠ Dans ce repère, ( IB ) a pour équation y = – 2x + 3 soit 2x + y – 3 = 0 . C(3 ; 3) donc

K

B

130

Séquence 3 – MA02

ABCD est un carré de côté 3 et I est le milieu de [ AD ] . Calculer la distance d de C à la droite ( BI ) en utilisant la formule ci-contre.

C

2×3+3–3 6 6 5 d = CK = --------------------------------- = ------- = ---------- . 5 2 2 5 2 +1

Produit scalaire dans l’espace A

Projection orthogonale sur un plan  Projection orthogonale sur un plan Dessin 9 M

H



 est un plan et M un point extérieur à . La perpendiculaire au plan  menée par M coupe le plan  en H. H est appelé le projeté orthogonal de M sur . Si M appartient à , M est sa propre projection orthogonale sur .

 Projection orthogonale sur une droite Dessin 10

Δ M

H 

Δ est une droite et M un point n’appartenant pas à Δ. Il existe un unique plan  contenant M et orthogonal à Δ. Soit H l’intersection de Δ et de . H est appelé le projeté orthogonal de M sur Δ. Si M appartient à Δ, M est sa propre projection orthogonale sur Δ.

B

Produit scalaire dans l’espace

Définition

La définition et le calcul du produit scalaire de deux vecteurs de l’espace u et v se ramènent immédiatement au calcul du produit scalaire dans le plan.

Dessin 11

C v u 

A

B

Choisissons trois points A, B, C tel que u = AB et v = AC . Il existe toujours un plan  contenant ces trois points. Alors par définition : u . v est le produit scalaire AB . AC , calculé dans . 2 2 2 1 La définition de u . v dans  par u . v = -- [ u + v – u – v ] prouve que le produit scalaire 2

ne dépend que de la norme des vecteurs u et v . Il est donc indépendant des représentants AB et AC choisis (ainsi que du plan  lorsqu’il y a plusieurs possibilités). Séquence 3 – MA02

131

 Calculs de produit scalaire a) Expression du produit scalaire dans un repère orthonormal de l’espace. D’après la définition du produit scalaire, les propriétés u.v = v.u u . (v + w) = u . v + u . w ( au ) . ( bv ) = ab ( u . v ) sont toujours vraies. Par suite, avec u ( x ; y ; z )

et v ( x′ ; y ′ ; z ′ )

dans un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) ,

u . v = ( xi + yj + zk ) . ( x′i + y′j + z′k ) = xx′i . i + xy′i . j + xz′i . k + yx′j . i + yy′j . j + yz′j . k + zx′k . i + zy′k . j + zz′k . k et, vu les propriétés du repère orthonormal, i . i = j . j = k . k = 1 et i . j = i . k = j . k = 0 u . v = xx′ + yy′ + zz′ .

b) Les quatre expressions du produit scalaire. Les quatre expressions utilisables du produit scalaire dans l’espace sont : 2 2 2 1 u . v = -- [ u + v – u – v ] 2 u . v = u × v cos ( u, v ) u . v = AB . AH

Dessin 12

C v u



A

H

B

En repère orthonormal, u ( x ; y ; z ) et v ( x′ ; y ′ ; z ′ ) , u . v = xx′ + yy′ + zz′ . De cette dernière égalité, on déduit qu’en repère orthonormal u =

u.u =

x2 + y2 + z2 .

Avec A ( x A, y A, z A ) et B ( x B, y B, z B ) , on retrouve que AB =

( xB – xA ) 2 + ( yB – yA ) 2 + ( zB – zA ) 2 .

 Utilité du produit scalaire Comme en géométrie plane, le produit scalaire sera utilisé pour démontrer que des droites sont orthogonales, pour calculer des distances et des angles. Ainsi : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul soit u.v = 0. On déduit immédiatement de cet énoncé que : – Deux droites ( AB ) et ( CD ) sont orthogonales si et seulement si AB . CD = 0 . – On pourra être aussi amené à utiliser le produit scalaire pour démonter l’orthogonalité d’un plan et d’une droite en se souvenant qu’une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Exemples résolus 132

Dans un tétraèdre régulier ABCD, démontrer que les arêtes opposées sont orthogonales.

Séquence 3 – MA02

Exemple 

Dessin 13

A

AB . CD = AB . ( CB + BD ) = AB . CB + AB . BD

C

D

= BA . BC – BA . BD = BA × BC × cos 60° – BA × BD × cos 60° = 0 Donc ( AB ) et ( CD ) sont orthogonales. La démonstration serait analogue pour tout autre couple d’arêtes opposées.

B

Exemple 

Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que : AB = AE = 2 et AD = 3 . Soit J le milieu du segment [ EH ] et I le centre de la face ABFE. a) Montrer que les droites ( BJ ) et ( AF ) sont orthogonales. b) Déterminer à 0,1˚ près, l’angle IJG .

Dessin 14 E

J

F

On peut, par exemple, choisir le repère orthonormal ⎛ A ; 1-- AB, 1-- AD, 1-- AE⎞ . ⎝ 2 3 2 ⎠

H

G

• Dans ce repère, les points A, B, J, F ont pour coordonnées :

I

A ( 0 ; 0 ; 0 ) , B ( 2 ; 0 ; 0 ) , J ( 0 ; 1 ,5 ; 2 ) , F ( 2 ; 0 ; 2 ) . A

D

BJ ( – 2 ; 1 ,5 ; 2 ) et AF ( 2 ; 0 ; 2 ) BJ . AF = – 2 × 2 + 0 × 1 ,5 + 2 × 2 = 0 .

B

•

Donc, les droites ( BJ ) et ( AF ) sont orthogonales.

C

I ( 1 ; 0 ; 1 ) , J ( 0 ; 1 ,5 ; 2 ) , G ( 2 ; 3 ; 2 )

JI ( 1 ; – 1 ,5 ; – 1 ) et JG ( 2 ; 1 ,5 ; 0 ) . JI = JG =

1 2 + ( – 1 ,5 ) 2 + ( – 1 ) 2 = 22

+

1 ,5 2

+

02

=

4 ,25

6 ,25 .

Appliquons la formule : JI . JG = JI × JG × cos ( IJG ) ; il vient – 0 ,25 =

4 ,25 × 6 ,25 × cos ( IJG ) d’où

0 ,25 cos ( IJG ) = – ------------------------- ( JI ⋅ JG = 1 × 2 – 1 ,5 × 1 ,5 – 1 × 0 = – 0 ,25 ) . 26 ,562 5 En utilisant la touche cos – 1 de la calculatrice, on obtient IJG  92 ,8° .

C

Exercices d’apprentissage

Exercice 

Soit ABCDS une pyramide de sommet S à base carrée dont toutes les arêtes ont la même longueur a. Calculer en fonction de a les produits scalaires suivants. a) SA . SB

b) SA . SC

c) SA . AC

Séquence 3 – MA02

133

Exercice 

On considère dans un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) les points A ( 1 ; 2 ; – 2 ) , B ( 2 ; 3 ; – 2 ) , D ( 0 ; 3 ; – 2 ) et E ( 1 ; 2 ; – 2 + 2 ) . Montrer que AB = AD = AE et que les droites ( AB ) , ( AD ) et ( AE ) sont deux à deux orthogonales.

Exercice 

134

Soit ABCDEFGH un cube d’arête a et de centre O. Déterminer une valeur approchée de l’angle sous lequel on voit une arête depuis le centre du cube à 0,1˚ près.

Séquence 3 – MA02

Équations cartésiennes de plan A

Plan orthogonal à un vecteur passant par un point

Définition

 Vecteur normal à un plan Par définition, le vecteur AB (avec A ≠ B ) est normal au plan P si la droite ( AB ) est orthogonale au plan .

Dessin 15

B

Plus généralement ;

A

Un vecteur normal à un plan P est un vecteur u non nul dont la direction est orthogonale à P.

Propriétés

Il résulte de la définition que : – Lorsqu’un vecteur u est normal à , tout vecteur v



non nul colinéaire à u est aussi normal à . – Deux vecteurs u et v normaux à un même plan sont colinéaires. – Pour qu’un vecteur soit normal à un plan, il suffit qu’il soit orthogonal à 2 vecteurs directeurs (c’està-dire non colinéaires) de ce plan.

 Équations cartésiennes de plan a) Caractérisation d’un plan passant par un point de vecteur normal n . Le plan qui passe par A et qui est orthogonal à n est n

l’ensemble des points M tel que AM . n = 0 .

M

A 

Dessin 16 b) Recherche sur un exemple d’une équation cartésienne d’un plan Soit un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) . Recherchons une équation du plan passant par A ( 0 ; 0 ; 5 ) dont un vecteur normal n a pour coordonnées n ( 2 ; – 1 ; 1 ) . On peut pour cela utiliser la caractérisation précédente : M ( x ; y ; z ) ∈  ⇔ AM . n = 0 .

AM ( x ; y ; z – 5 )

AM . n = 0 ⇔ 2x – y + z – 5 = 0 . Cette dernière relation est appelée équation cartésienne de .

Théorème

c) Cas général Dans un repère orthonormal : 1) Tout plan  a une équation de la forme ax + by + cz + d = 0 , avec a, b, c non tous nuls. En outre, le vecteur n ( a ; b ; c ) est normal à . 2) Réciproquement, a, b, c, d étant quatre nombres donnés avec a, b, c non tous nuls, l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) tel que ax + by + cz + d = 0 est un plan. En outre, ce plan est normal au vecteur n ( a ; b ; c ) . Séquence 3 – MA02

135

Démonstration 1) Soit ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) les coordonnées d’un point A de  et ( a ; b ; c ) les coordonnées d’un vecteur normal n à . M ( x ; y ; z ) ∈  ⇔ AM . n = 0 ⇔ a ( x – x 0 ) + b ( y – y 0 ) + c ( z – z 0 ) = 0 , c’est-à-dire ax + by + cz – ( ax 0 + by 0 + cz 0 ) = 0 . soit ax + by + cz + d = 0 avec d = – ( ax 0 + by 0 + cz 0 ) . 2) Réciproquement notons  l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) tels que ax + by + cz + d = 0 . a, b, c ne sont pas tous nuls ; on peut donc choisir les nombres x 0 , y 0 , z 0 tels que d d = – ( ax 0 + by 0 + cz 0 ) . (Par exemple, si a ≠ 0 , on choisit y 0 = z 0 = 0 et x 0 = – -- ). a Ainsi A ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) est un point de . M ( x ; y ; z ) est un point de  équivaut à dire que : ax + by + cz + d = 0 soit ax + by + cz – ( ax 0 + by 0 + cz 0 ) = 0 soit a ( x – x 0 ) + b ( y – y 0 ) + c ( z – z 0 ) = 0 . Notons n le vecteur de coordonnées ( a ; b ; c ) . La dernière égalité se traduit par AM . n = 0 , et M appartient au plan  qui passe par A et est normal à n . Donc  =  .

➠ Cas particuliers ; équations incomplètes. Le plan ( xOy ) a pour équation z = 0 et tout plan parallèle à ( xOy ) a une équation du type z = c , c étant la cote d’un des points du plan. Le plan ( yOz ) a pour équation x = 0 et tout plan parallèle à ( yOz ) a une équation du type x = a , a étant l’abscisse d’un des points du plan. Le plan ( xOz ) a pour équation y = 0 et tout plan parallèle à ( xOz ) a une équation du type y = b , b étant l’ordonnée d’un des points du plan.

Dessin 17 z

z c

O

 y

O

y a

x

z





x

b

O

x

 parallèle à (xOy)

 parallèle à (yOz)

 parallèle à (xOz)

Équation : z = c

Équation : x = a

Équation : y = b

 Distance d’un point à un plan Méthode La méthode utilisée pour déterminer la distance du point M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) au plan  d’équation ax + by + cz + d = 0 est analogue à celle utilisée pour déterminer la distance d’un point M 0 à une droite du plan d’équation ax + by + c = 0 . 136

Séquence 3 – MA02

y

Dessin 18 n Mo k j i

H

O

P

Cette distance est M 0 H où H est le projeté orthogonal de M0 sur . On appelle ( x ; y ; z ) les coordonnées de H et on cherche le réel k tel que M 0 H = kn en écrivant que H appartient à P. On obtient M 0 H en utilisant la relation M 0 H = kn . On obtient alors le résultat suivant similaire à celui obtenu pour les droites.

Théorème

Dans un repère orthonormal, la distance δ d’un point M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) au plan  d’équation ax + by + cz + d = 0 est : ax 0 + by 0 + cz 0 + d δ = ------------------------------------------------a2 + b2 + c2

Exemple

La distance du point A ( 1 ; 3 ; – 3 ) au plan  d’équation 2x + y – 4 = 0 est : 1 2×1+3–4 5 δ = --------------------------------- = ------- = ------5 2 2 2 5 2 +1 +0

B

Inéquation définissant un demi-espace  Rappels dans le plan Dessin 18

x + y –2 > O

Par exemple sur le dessin ci-contre, on a hachuré le demi-plan  2 ensemble des points M de coordonnées x et y vérifiant :

x+

y ≤ – x + 2 ou encore y + x – 2 ≤ 0 .

2

y– = O

x + y –2 < O

Toute droite d’équation ax + by + c = 0 dans le plan crée deux demi-plans. Le demiplan  1 qui est l’ensemble des points M ( x ; y ) vérifiant ax + by + c ≥ 0 et le demi-plan  2 qui est l’ensemble des points M du plan vérifiant ax + by + c ≤ 0 .

On peut remarquer que O appartient à  2 car ses coordonnées vérifient bien l’inéquation 0 + 0 – 2 ≤ 0 . On peut en déduire que tous les points situés du même côté de cette droite que O appartiennent à  2 .

Séquence 3 – MA02

137

 Généralisation à l’espace Dessin 19 Nous admettrons que tout plan d’équation ax + by + cz + d = 0 dans l’espace crée deux demi-espaces. Le demi-espace  1 qui est l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) vérifiant ax + by + cz + d ≥ 0 et le demiespace  2 qui est l’ensemble des points M du plan vérifiant ax + by + cz + d ≤ 0 .

K

Par exemple sur le dessin ci-contre, on peut définir le tétraèdre dessiné en gras comme intersection de quatre demi-espaces.

O J

y

Ce tétraèdre est l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) vérifiant : ⎧ x≥0 ⎪ y≥0 ⎪ ⎨ z≥0 ⎪ ⎪x + y + z – 4 ≤ 0 ⎩

I x

Le plan d’équation x + y + z – 4 = 0 a été représenté ici en cherchant ses intersections avec les axes du repère. Le demi-espace  2 défini par l’inéquation x + y + z – 4 ≤ 0 est le demi-espace que l’on ne verrait pas si ce plan était opaque car O appartient à  2 .

C

Exercices d’apprentissage

Exercice 

Donner une équation cartésienne de chaque plan :  plan  passant  plan 

par A ( – 1 ; 0 ; 1 ) de vecteur normal n ( 0 ; 1 ; 2 ) .

passant par A ( 2 ; – 1 ; 1 ) et parallèle au plan d’équation cartésienne 2x – y + z = 1 .

 plan  médiateur

Exercice 

de [ AB ] avec A ( – 1 ; 3 ; 1 ) et B ( 0 ; 5 ; – 3 ) .

Dessin 20 ABCDEFGH est un cube de côté 4. H

E

On considère le repère orthonormal 1 ( A ; i, j, k ) tel que i = -- AB , 4 1 1 j = -- AD , k = -- AE . 4 4

G

F

I est le milieu de [ AE ] .

I



Donner dans ce repère une équation des plans ( ABF ) et ( BCG ) . k

 Reconnaître

A

j

D

i

le plan d’équation

x–z = 0.  Reconnaître

le plan d’équation P x + y + 2z – 4 = 0 .

B

138

Séquence 3 – MA02

C

Exercice 

Dessin 21 Le repère ( O, I, J, K ) est orthonormal.

z

 Chercher une équation de chacun

des plans ( OIJ ) , ( OIK ) , ( OJK ) et ( IJK ) .

K

 Soit

A(a ; a ; a)

avec

1 3 a = -- – ------- . 2 6 Calculer les distances de A à chacun des plans ( OIJ ) , ( OIK ) , ( OJK ) et ( IJK ) .  En

O J

y

déduire qu’il existe une sphère centrée en A qui est tangente à chacune des faces de la pyramide OIJK. Préciser son rayon.

I x

Exercice 

Un fabriquant de téléviseurs produit trois modèles : standard (en quantité x), de qualité (en quantité y) et de luxe (de quantité z). Le modèle standard nécessite 1 heure d’installation électrique, le modèle de qualité 2 h et le modèle de luxe 3 h. Le fabriquant dispose d’au plus 120 heures pour l’installation électrique.  Traduire

les contraintes à l’aide d’un système S d’inéquations.

 Dessiner dans un repère orthonormal de l’espace la pyramide composée des points M ( x ; y ; z ) dont les coordonnées vérifient le système S. On appellera respectivement A, B et C ses intersections avec les axes ( Ox ) , ( Oy ) et ( Oz ) .  Pour des raisons techniques, le fabriquant décide de produire 20 modèles de luxe. Soit E le point de côte 20 de la droite ( AC ) et F le point de côte 20 de la droite ( BC ) .

a) Calculer les coordonnées des points E et F. Reconnaître l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) dont les coordonnées vérifient le système S et cette nouvelle contrainte. b) Quel est le nombre maximal de modèle de qualité que le fabriquant peut produire ?

Séquence 3 – MA02

139

Exercices d’entraînement Exercice 

Soit ABCD un tétraèdre.  Montrer

que si AB . DC = 0 et AC . BD = 0 , alors AD . BC = 0 .

On appelle hauteur d’un tétraèdre toute droite contenant l’un des sommets, orthogonale au plan de la face opposée à ce sommet.  On

suppose que le tétraèdre ABCD satisfait aux conditions de la question 1 (ABCD est alors un tétraèdre orthocentrique). a) Soit A′ le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD). Calculer les produits scalaires : BA′ . CD et CA′ . BD . En déduire que A′ est l’orthocentre du triangle BCD. b) Soit B′ le projeté orthogonal de B sur le plan (ACD). Montrer que B′ est l’orthocentre du triangle ACD. c) ( BA′ ) coupe ( CD ) en K. Montrer que K appartient à la droite ( AB′ ) . En déduire que les droites ( AA′ ) et ( BB′ ) sont sécantes en un point H. d) Montrer que les quatre hauteurs du tétraèdre sont concourantes. Le point de concours est appelé orthocentre du tétraèdre orthocentrique ABCD.

Exercice 

Dans un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) , on considère les trois points A ( 2 ; 1 ; 1 ) B ( 3 ; 0 ; 2 ) et C(0 ; 2 ; 1) . On cherche à déterminer une équation du plan ( ABC ) de la forme ax + by + cz + d = 0 par deux méthodes différentes.  Déterminer

un vecteur normal n au plan ( ABC ) . En déduire une équation du plan ( ABC ) .

 Écrire que chacun des points A, B et C appartient au plan

Exercice 

( ABC ) . Résoudre le système ainsi formé.

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) . À tout réel m, on associe le plan P m d’équation : ( m 2 + 3 )x + 4y + 2mz + m 2 – 7m = 0 . On appelle Q le plan d’équation : x + y + 4z + 1 = 0 . On appelle D la droite passant par A ( 1, 1, 1 ) et dirigée par le vecteur v ( 1 ; 3 ; – 4 ) .  Déterminer

un vecteur normal N m au plan P m et un vecteur w normal au plan Q.  a) Déterminer l’ensemble ( E ) des réels m tels que P m soit perpendiculaire à Q. b) Déterminer l’ensemble ( F ) des réels m tels que P m soit parallèle à D. c) Déterminer l’ensemble ( G ) des réels m tels que P m soit perpendiculaire à D. 

Dans cette question, S désigne la sphère de centre O et de rayon 1.

a) Exprimer en fonction de m la distance d m du point O au plan P m . b) Calculer d – 2 ; d 0 ; d 1 . Que pouvez-vous en conclure quant à la position de la sphère S par rapport à chacun des plans P – 2 ; P 0 ; P 1 ? c) Déterminer l’ensemble des réels m pour lesquels P m est tangent à S. d) Soit T le point de contact de la sphère S et de P 1 . Calculer les coordonnées de T.

Exercice 

Soit un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) , et a, b, c trois réels strictement positifs. A, B et C sont les points de coordonnées respectives : ( a ; 0 ; 0 ) , ( 0 ; b ; 0 ) et ( 0 ; 0 ; c ) .

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Séquence 3 – MA02

Exercice 

On se propose d’exprimer l’aire S du triangle ABC en fonction de a, b, c. x y z  Montrer qu’une équation du plan (ABC) est -- + -- + - – 1 = 0 . a b c  Déterminer en fonction de a, b, c la distance du point O au plan ( ABC ) .  En considérant le volume du tétraèdre OABC, montrer que 1 S = -- a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 . 2 (« Réécriture d’un énoncé » de J. Lubczanski, dans Les Maths au jour le jour, Éditions Cedic, 1985.) Argine, Judith, Pallas et Rachel sont les quatre prétendantes au titre de Reine des reines. Au premier tour, Pallas obtient 19 % des suffrages, Judith 33 %, Rachel 16 % et Argine 32 %. Seules les deux candidates arrivées en tête peuvent se maintenir pour le second tour ; tous les prévisionnistes de la politique se plongent dans les calculs pour anticiper les résultats définitifs. Ils admettent que : – il n’y a pas de nouveaux électeurs au second tour et les électeurs ayant voté au premier tour pour Argine ou Judith ne modifieront pas leur vote au second tour ; – parmi les électeurs ayant voté pour Pallas au premier tour, une proportion x reportera ses voix sur Judith au second tour, une proportion y, plus grande que x, se reportera sur Argine et les autres s’abstiendront ; – parmi les électeurs ayant voté pour Rachel au premier tour, une proportion z votera pour Judith au second tour et les autres s’abstiendront.  – La donnée de ( x ; y ; z ) suffit donc pour déterminer le vote du second tour. Dans la représentation ci-dessous, on a visualisé graphiquement l’ensemble des situations de vote possibles au second

tour (le repère ( O ; OA ′ ; OB ; OE ) est orthonormal et A est le milieu de [ BA′ ] ) : décrire cet ensemble et contrôler le dessin. z E C D

O

A'

B A

y

x  – Quelles relations entre les trois variables x, y et z traduisent le fait que Judith est élue au second tour ? –

À quelles situations de vote correspondent les points A, D et C ?

 – À quelles régions de l’espace correspondent les situations suivantes : a) Judith est élue ? b) Judith et Argine sont ex aequo ? c) Argine est élue ? –

Certains prévisionnistes assurent que :

a) si plus de 48 % des électeurs de Pallas votent pour Judith, alors Judith est élue ; b) si plus de 95 % des électeurs de Pallas votent pour Argine, alors Argine est élue. Leurs prévisions vous semblent-elles correctes ? Quelle est la plus petite valeur m de x qui garantit l’élection de Judith ? Séquence 3 – MA02

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ides pour les exercices d’entraînement Exercice 

 Transformer  c)

AD . BD et AD . DC en tenant compte des hypothèses.

Calculer AK . CD .

d) Montrer que CH est orthogonal au plan (ABD).

Exercice 

b) Exprimer b, c et d en fonction de a.

Exercice 

 a) P m et Q sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux N m et w sont orthogonaux.

b) P m est parallèle à D si et seulement si N m et v sont orthogonaux. c) P m est perpendiculaire à D si et seulement si v et N m sont colinéaires. 

c) Ne pas oublier que

a2 = a .

d) Remarquer que T ∈ P 1 , que OT est colinéaire à N 1 , et que OT = 1 . 1 volume d’une pyramide est donné par la formule : V = -- bh où b est l’aire d’une base et h la 3 hauteur relative à cette base. Appliquer cette formule en choisissant deux bases et leurs hauteurs relatives différentes.

Exercice 

 Le

Exercice 

 x, y

et z sont trois réels compris entre 0 et 1 et x ≤ y .

 Matérialisez

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Séquence 3 – MA02

l’intersection du demi-espace défini dans la question 2 avec le prisme OABCDE. ■