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esolução das atividades complementares R esolução Matemática
2
M4 — Funções p. 6
1
Considere os pontos P(a 3b, a 2) e Q(1 a, 3b). Se P e Q representam o mesmo ponto do plano,
então: a) a é um número par b) a é um número negativo
c) a b não é um número inteiro d) b é um número ímpar
Resolução: P (a 3b, a 2); Q (1 Se P Q, então: a
3b
a
2
1
3b
e) b 3
a , 3 b)
→ b 1
a
→a
3
3 1 2 3
→a
3
a) (F (Fal alsa sa); ); a é ím ímpa par. r. b) (F (Fals alsa) a);; a é posit positiv ivo. o. c) (Verdadeira); a
b
10 . 3
d) (Fal (Falsa) sa);; b não é int inteir eiro. o. 1 e) (Falsa); a); b . 3
2
Sendo A {2, 0, 1} e B {3, 5}, escreva A B e B A. Resolução:
A {2, 0, 1}; B {3, 5} A B {(2, 3), (2, 5), (0, 3), (0, 5), (1, 3), (1, 5)} B A {(3, 2), (3, 0), (3, 1), (5, 2), (5, 0), (5, 1)}
3
Construa o gráfico de A B, sendo A {1, 0} e B {1, 2, 3}. Resolução: y 4 3
A {1, 0}; B {1, 2, 3} A B {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (0, 1), (0, 2), (0, 3)}
2 1 0 0 1 �2 �1 �1
2
3
x
�2
4
Sendo A {1, 2, 3} e B {(x, y) A M | x y 1}, quantos elementos tem o conjunto B? 1 Resolução:
A {1, 2, 3}; B {(x, y) A Mx y 1} Pelos dados, temos: {(1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), ... A M (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), ... (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), ...} B {(1, 0)} Portanto, B possui um elemento. Represente graficamente os conjuntos: a) {(x, y) V V | x 3} b) {(x, y) V V | y 2} 5
Resolução:
a) {(x, y) V Vx 3} y 4 3 2 1 0 0 1 �2 �1 �1
2
3
x
�2
b) {(x, y) V V y 2} y
3 2 1 0 0 �4 �3 �2 �1 �1
1
2
3
x
�2
Dados os conjuntos A {x M | 1 x 5} e B { y M | 3 y 6}, determine o conjunto E {(x, y) A B | y x 1}. {(4, 4)} 6
Resolução:
Pelos dados, temos: A {x M1 < x 5} {1, 2, 3, 4} B {y M3 y < 6} {4, 5, 6} A B {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6)} E {(x, y) A B y x 1} E {(4, 4)}
p. 12
Dados A {0, 1, 3, 5, 7} e B {x M | 0 x 100}, criou-se uma associação entre os elementos x de A e os elementos y de B tal que: a) y 2x 1 b) y x2 x Em quais desses casos a associação define uma função? Qual é o conjunto imagem da função? {0, 2, 6, 12, 30, 56} 7
Resolução:
A {0, 1, 3, 5, 7} B {x M0 < x < 100} {0, 1, 2, 3, 4, ..., 100} Com os dados, devemos ter: a) y 2x 1 Se x 0 → y 1 B b) y x2 x Se x 0 → y 0 B Se x 1 → y 2 B Se x 3 → y 12 B Se x 5 → y 30 B Se x 7 → y 56 B Portanto, y x2 x define uma função, e sua imagem é Im(f) {0, 2, 12, 30, 56}. Considere a função f: M → M tal que f(n) 1, se n é par, e f(n) 0, se n é ímpar. a) Determine o conjunto imagem de f . {0, 1} b) Existe algum número natural n tal que f(n) n 1? sim, zero 8
Resolução:
f(0) 1; f(1) 0 f(2) 1; f(3) 0 f(4) 1; f(5) 0 .. . a) Im(f) {0, 1} b) f(n) n 1 Para n 0 → f(0) 0 1 1 Resposta: a) Im(f) {0, 1}; b) Sim, para n 0.
9
Sendo f: V → V tal que (x)
x
=
1
2
Resolução:
, obtenha m tal que f(m 1) m 1.
2
Pelo enunciado, temos: f: V → V x
1
→ f(m 1) 2 Substituindo x, temos: f (x)
f (m 1)
m
1 2
1
m
m 2
1
→ m 1 m → m 2
2m
2
→m
2
10
Seja f(x)
=
x x
1 1
para todo x 1. Determine x de modo que f(x) f(x). zero
Resolução: x 1 f (x) , x 1 x 1 Se f(x) f(x), então: x 1 x 1 → (x x 1 x 1
→ x2
11
f(1)
12
2x
1
x2
1) (x
2x
1
→
1)
4x
(x 0
1) ( x
→x
1)
→ (x
1 determine . 19 b , 2 6 Resolução: x f(x) 3 x; g(x) b 3 1 Sabendo que f(1) g(4) , então: 2 4 1 3 1 b →b1 4 3 2 2 3
=
x 3
(x
4
→b
19 6
Uma função f: V → V é dada por f(x) ax b, f(1) 1 e f(1) 3. Calcule f(2). f(x) ax b f(1) a b 1 f(1) a b 3
a b 1 , temos: 2b 2 → b 1. a b 3 Substituindo b em a b 1, temos: a 2. Portanto, f(x) 2x 1. f(2) 4 1 → f(2) 3
Resolvendo o sistema
Determine o domínio da função f tal que:
a) f(x) x
1 x3
{x V | x 3}
b) (x)
x2 x 1
Resolução:
a) Para f(x) x
1 , devemos ter: x3
x30→x3 D(f) {x Vx 3} b) Para f(x)
x2 , devemos ter: x 1
x > 2 e x 1 D(f) {x Vx > 2 e x 1}
1)2
→
b, e sabendo que
=
Resolução:
13
2
0
Dadas as funções f e g de V em V, indicadas por f(x) 3 x e g(x) g(4)
1)
{x V | x 2 e x 1}
3
p. 17
O gráfico ao lado mostra a arrecadação de uma cidade com um tipo de imposto durante alguns anos. É correto afirmar que: a) a arrecadação em 2003 foi de 55,6 milhões de reais. b) a maior arrecadação foi em 2006. c) a arrecadação cresceu de 2001 até 2004. d) a arrecadação nos dois últimos anos foram as maiores de todas. e) as menores arrecadações se deram em 2000 e em 2001. 14
Resolução:
a) (Verdadeira); a ordenada de 2003 é 55,6. b) (Falsa); a maior arrecadação foi em 2004. c) (Falsa); a arrecadação cresceu entre 2000 e 2001, entre 2002 e 2004 e entre 2005 e 2006. d) (Falsa); as arrecadações nos dois últimos anos foram menores que em 2004. e) (Falsa); as menores arrecadações ocorreram em 2000 e 2002. A figura mostra o gráfico de uma função f . Determine: a) seu domínio. D(f) {x V | 3 x 3} b) x para o qual f(x) é máximo. 3 c) os valores de x para os quais f(x) 1. 2 e 1 15
Resolução:
a) A projeção do gráfico sobre o eixo x ocorre no intervalo [ 3, 3 ]. D(f) {x V3 < x < 3} b) No gráfico, para o maior valor de y, y 4, temos x 3. Portanto, f(x) é máximo para x 3. c) f(x) 1 para x 2 e para x 1. Considere a função f , cujo gráfico se vê na figura. Determine: a) D(f) {x V | 1 x 6}; Im(f) {y V | 1 y 4} a) o domínio e a imagem da função f . b) x tal que f(x) 0. 1, 1 , 3 16
2
Resolução:
2
a) A projeção do gráfico sobre o eixo x ocorre no intervalo [ 1, 6 [. D(f) {x V1 < x < 6} A projeção do gráfico sobre o eixo y ocorre no intervalo [ 1, 4 [. Im(f) {y V1 < y < 4} b) f(x) 0 nos pontos em que o gráfico corta o eixo x. Logo, x
1,
x
1 ex 2
3 . 2
Determine os intervalos em que a função, cujo gráfico se vê na figura, é crescente e os intervalos em que ela é decrescente. 17
y
12
8, 15 , [ 5, 4], [ 2, 4] e [5, 7] 2 15 Decrescente: , 5 , [ 4, 2], [4, 5] 2 Crescente:
9
Resolução:
No gráfico, a função é crescente nos intervalos: 8, 15 , [5, 4] , [ 2, 4] e [5, 7], e decrescente nos intervalos: 2 15 , 5 , [ 4, 2] e [4, 5]. 2
�15 2
�8
�5 �4
p. 20
Dadas f(x) 2x 3 e g(x) 3x 2, obtenha: g(x) f g(x) 6x 1 f(x) g f(x) 6x 7 f(x) f f(x) 4x 9 g(x) g g(x) 9x 8
18
a) f b) g c) f d) g
Resolução:
f(x) 2x 3; g(x) 3x 2 a) f g(x) f(g(x)) 2 ∙ (3x 2) 3 6x 1 b) g f(x) g(f(x)) 3 ∙ (2x 3) 2 6x 7 c) f f(x) f(f(x)) 2 ∙ (2x 3) 3 4x 9 d) g g(x) g(g(x)) 3 ∙ (3x 2) 2 9x 8
19
Sendo f(x) x2 1, calcule f (2x 3). f(2x 3) 4x2 12x 8 Resolução:
f(x) x2 1 f (2x 3) (2x 3)2 1 4x2 12x 9 1 → f (2x 3) 4x2 12x 8
20
Obtenha m de modo que f(f(m)) 1, sendo f(x) 4 2x. 5 4
Resolução:
f(x) 4 2x f(m) 4 2m f(f(m)) 4 2 ∙ (4 2m) 4m 4 Como f(f(m)) 1, então: 4m 4 1 → m 5 . 4
�2
4 5
7 x
21
Uma função f de M em M é tal que f(0) 2, f(2) 4 e f(4) 9. Obtenha f(f(f(0))). 9 Resolução:
f(f(f(0))) f(f(2)) f(4) 9
22
Determine g(x), sabendo que f(g(x)) 2x 4 e f(x) x 1. g(x) 2x 3 Resolução:
f(g(x)) 2x 4; f(x) x 1 f(g(x)) g(x) 1 Então: g(x) 1 2x 4 → g(x) 2x 3
23
Determine g(x), sabendo que g(f(x)) 2x2 4x 1 e f(x) x 1. g(x) 2x2 3 Resolução:
g(f(x)) 2x2 4x 1; f(x) x 1 g(f(x)) g(x 1) 2x2 4x 1 Seja x 1 u → x u 1. Substituindo, g(u) 2 ∙ (u 1)2 4 ∙ (u 1) 1 g(u) 2 ∙ (u2 2u 1) 4u 4 1 g(u) 2u2 3 → g(x) 2x2 3
24
Dadas f(x) 5x a e g(x) 2x 1, obtenha a para que se tenha f(g(x)) g(f(x)). 4 Resolução:
f(x) 5x a; g(x) 2x 1 f(g(x)) g(f(x)) f(2x 1) g(5x a) → 5 ∙ (2x 1) a 2 ∙ (5x a) 1 → 10x 5 a 10x 2a 1 → a 4
p. 24
25
Dada f(x) 2x
5
3 Resolução: 2x 5 f(x) 3 2x 5 →x y 3 3x
, obtenha f 1(x), admitindo que f é bijetora. f 1 (x)
2y
5
3
2y
f 1(x)
→ 3x
5
3x
5
2y
5
2
→ y
3x
2
5
3x
2
5
26
Suponha que cada uma das sentenças abaixo defina uma função bijetora. Determine f 1(x).
a) (x) 1 f 1 (x) 1
c) f(x) 3 x
x
x
3
b) (x)
f 1 (x)
2x Resolução: a) f (x) y
1 x
→x
f 1(x)
b) f(x) y
d) f(x) x
1 x 1
3
x
f(x)
→ y
1
2x 3 →x 2x
f 1(x)
c) f(x) y
3
x2
6x
8
x 1 1x
1 x
1 x
3 2
y
3
2x
3
→ 2x
xy
3
x x
x
1
1
→x
y
3
1
y
1
(3
y
1
9
y
x2
y
1
3
x
6x
x)2 6x
x2
8
f 1(x) x 2 6x 8 x 1 d) f(x) x 1 x 1 → x y 1 y x 1 y 1 xy x y 1 xy y 1 x
y (x y
f 1 (x)
1 y
x (2 y)
f 1 (x)
3
1
1 x
xy
2x
f 1(x)
1 1
1 1
1)
1
x
x x
x x
3
→ xy 2x
3
→ y
2x
x
3
27
2
Resolução: 3 5x f (x) 2 3 5x → x 3 5y y 2 2 2x 3 5y 3 2x y 5 3 2x f 1(x) 5 f 1
28
(2)
Considere a função bijetora f: V → V dada por f(x) 3 5x . Calcule f 1 3 . zero
( 32 )
3
2
3 2
5
0
Dada f: V → V, bijetora, tal que f(x) 4x
3
2
,
calcule f 1(f(7)). 7
Resolução: f(x) y
4x
3 4x 2 3
2
→ f(7) 4 7 2 → f (7) 26 3
→x
3x
4y
3
2
3
4y 2 3x 2 y 4 3x 2 f 1(x) 4 1
Então, f (f (7 7)) f
1
( ) 26 3
3
26 3 4
2
→ f 1 (f (7)) 7.
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