M303 : Topologie

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées

M303 : Topologie

Notes de cours par Clément Boulonne

L3 Mathématiques

2008 - 2009

Table des matières Notations

3

1 Généralités sur les espaces métriques et introduction aux giques 1.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Distances équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Distance induite et distance produit . . . . . . . . . . . 1.1.5 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Topologie d’un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Distances topologiquement équivalentes . . . . . . . . . 1.2.3 Ouverts, fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Intérieur, extérieur, frontière et adhérence . . . . . . . 1.2.5 Suites convergente et valeurs d’adhérence d’une suite . 1.3 Espaces topologiques et applications continues . . . . . . . . . 1.3.1 Topologie sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Ouverts, fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Intérieur, extérieur, frontière et adhérence . . . . . . . 1.3.4 Topologie induite : sous-espaces . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Suites dans un espace topologique . . . . . . . . . . . . 1.4 Applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Cas pour les espaces métriques . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Cas topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Uniforme continuité et Lipschitz continuité . . . . . . . 2 Espaces métriques compacts 2.1 Définitions et quelques propriétés . . . . . . . . . . . 2.2 Compactié en termes de recouvrements ouverts . . . 2.3 Applications continues d’espaces métriques compacts 2.4 Parties compactes de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Espaces connexes (Espaces topologiques connexes) 3.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fonctions continues sur des espaces connexes . . . . . 3.3 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

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espaces topolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 4 4 5 7 8 8 9 9 11 12 13 15 16 16 17 18 18 19 19 19 21 21

. . . .

23 23 24 27 28

. . . .

30 30 31 33 35

3 4 Espaces métriques complets, espaces de Banach 4.1 Suites de Cauchy, espaces complets . . . . . . . . 4.2 Propriétés des espaces complets . . . . . . . . . . 4.3 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Théorème d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Condition nécessaire à la compacité . . . . 4.5.2 Condition nécessaire et suffisante . . . . .

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38 38 44 46 47 49 49 50

Notations • • • • •

Q : corps des rationnels R : corps des réels C : corps des complexes N : ensemble des entiers positifs Z : ensemble des entiers

4

Chapitre 1 Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques 1.1

Distance

Définition 1.1.1. Connaître la proximité1 , c’est d’abord de mesurer la distance.

1.1.1

Définitions et exemples

Définition 1.1.2. Une distance d sur un ensemble E est une application : d : E × E → [0, +∞[ (x, y) 7→ d(x, y) qui vérifient trois conditions. 1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y (deux objets confondus) 2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ E (symétrie) 3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire) Définition 1.1.3. Un espace métrique est la donnée d’un ensemble muni d’une distance : (E, d) Remarque. • Sur un ensemble donné, il peut y avoir plusieurs distances : on notera le couple (E, d) pour préciser la distance concernée de l’espace. • Distance = métrique. Exemple 1.1.1 (Espaces métriques). 1. (R, d) avec d : (x, y) 7→ |x−y|. Plus généralement : – (Rn , d1 ) avec d1 (x, y) = |x1 − y1 | + ... + |xn − yn | avec x = (x1 , ..., xn ) et y = (y1 , ..., yn ) – (Rn , d∞ ) avec d∞ = max |xi − yi | 1≤i≤n

n

– (R , d2 ) avec d2 (x, y) =

q

(x1 − y1 )2 + ... + (xn − yn )2

2. Espaces fonctionnels (les "points" (éléments) de E sont des fonctions). On a que C 0 ([0, 1], R) est l’ensemble des fonctions continues de [0, 1] à valeurs réels. Il y a plusieurs distances possibles pour cet ensemble : – d∞ (f, g) = max |f (x) − g(x)| x∈[0,1]

– d1 (f, g) = – d2 (f, g) = 1

R1 0 |f (x) − g(x)|dx q R 1 0

|f (x) − g(x)|2 dx

voisinage

5

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

6

Remarque. La notion métrique permet d’avoir un point de vue commun à l’étude de Rn et celle de C 0 ([0, 1], R). 3. Distances "exotiques" : – Distance discrète sur un ensemble E donné arbitraire. d(x, y) =

 1 0

si x 6= y si x = y

– Disance SNCF (sur R2 )

d(P, Q) =

1.1.2

 distance

habtiuelle de P et Q s’ils sont alignées à Paris(O)

d(P, O) + d(O, Q)

Premières propriétés

Proposition 1.1.1 (Conséquence de l’inégalité triangulaire). d(x, z) ≥ |d(x, y) − d(y, z)| Notation. α ≥ |β| ⇔

 α

≥β α ≥ −β

On peut construire beaucoup de métriques à partir d’une distance. Proposition 1.1.2. Soit (E, d) un espace métrique, soit : f : [0, +∞[ → [0, +∞[ x 7→ f (x) On pose : D : E × E → [0, +∞[ (x, y) 7→ f (d(x, y)) Alors D devient une distance sur E si les trois conditions sont satisfaites : 1) f (t) = 0 ⇔ t = 0 2) f est croissante : f (t) ≥ f (s) si t ≥ s. 3) f est sous-additive : f (t + s) ≤ f (t) + f (s). Démonstration. • D(x, y) = 0 ⇔ f (d(x, y)) = 0 ⇔ d(x, y) = 02 ⇔ x = y 3 . • symétrie : évidente 2 3

vérifié par 1) car d est une distance

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques • D(x, z) = f (d(x, z)) ≤ f (d(x, y) + d(y, z))

4

≤ f (d(x, y)) + f (d(y, z)) |

Exemple 1.1.2.

{z

D(x,y)

}

|

{z

D(y,z)

7

5

}

•

f (t) =

 t

si t ∈ [0, 1] 1 si t ≥ 1

= min(1, t)

Si d est une distance sur E, alors (x, y) 7→ min(d(x, y), 1) est aussi est une distance. Remarque. Cette "troncature" fonctionne car l’intérêt majeur d’une distance se situe près de la valeur 0. t • t 7→ 1+t

On pourra démontrer à la main que t+s t s ≤ + 1+t+s 1+t 1+s • t 7→ arctan(t)

4 5

car f est croissante car f est sous-additive

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

8

1.1.3

Distances équivalentes

Définition 1.1.4. Soit d1 , d2 des distances sur E. Elles sont dits équivalentes s’il existe deux constantes c1 , c2 > 0 tel que : c1 d2 (x, y) ≤ d1 (x, y) ≤ c2 d2 (x, y), ∀(x, y) ∈ E 2 Proposition 1.1.3. Les distances d∞ , d1 , d2 sur Rn introduites sur l’Exemple 1.1.1. sont équivalentes et, par contre, elles ne sont pas équivalentes sur C 0 ([0, 1], R). Démonstration.

• Sur R2 , ces distances sont définies par les normes N∞ , N1 , N2 de Rn avec : N1 :

Rn → [0, +∞[ (x1 , ..., xn ) 7→ |x1 | + ... + |xn | n X

N2 (x) =

!1/2 2

|xi |

i=1

N∞ (x) = max |xi | 1≤i≤n

n

Rappel. Toutes les normes sur R (de dimension finie) sont équivalentes → les distances associés sont équivalentes. • Pour C 0 ([0, 1], R) : il faut trouver des fonctions f et g qui ont une distance très petite pour l’une des distances et assez grande pour les autres. Soit f = 0 et g(x) = xn . On a ainsi : d1 (f, g) =

Z 1

xn dx =

0

1/2

1 n+1

1 0 2n + 1 n d∞ (f, g) = sup |x | = 1 Z 1

d2 (f, g) =

2n

x dx

=√

x∈[0,1]

On a :

1 1 ≤√ ≤ 1 lorsque n → +∞ n+1 2n + 1 |{z} | {z } C A

On a ainsi :

|

{z B

}

B n+1 C √ =√ → +∞ ; = 2n + 1 → ∞ A B 2n + 1 ⇒ on ne peut pas majorer d2 (f, g) par c1 d1 (f, g), ni d∞ (f, g) par c2 d2 (f, g).

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

1.1.4

9

Distance induite et distance produit

Définition 1.1.5. Soit A ⊂ E et d une distance sur E. On appelle distance induite sur A par d, l’application restreinte : dA×A : A × A → [0, +∞[ (x, y) 7→ dA×A (x, y) Remarque. La restriction d’une distance sur un sous-ensemble reste encore une distance. ⇒ Toute partie d’un espace métrique peut être vue comme un espace métrique. Définition 1.1.6. Soit (E1 , d1 ),...,(En , dn ) des espaces métriques, on peut définir une distance appelée distance produit, sur E1 × ... × En avec dI (x, y) =

n X

di (xi , yi ) où

i=1

 x

= (x1 , ..., xn ) y = (y1 , ..., yn )

∈ E1 × ... × En

d∞ (x, y) = max di (xi , yi ) 1≤i≤n

dII (x, y) =

n X

!1/2

di (xi , yi )

2

i=1

Proposition 1.1.4. Ces trois choix de distances sont équivalentes : ces distances sont deux à deux équivalentes. Démonstration. On veut démontrer qu’il existe c1 , c2 , c3 > 0 tel que ∀(x, y) ∈ E × E avec E = E1 × ... × En : c1 dI (x, y) ≤ dII (x, y) ≤ c2 d∞ (x, y) ≤ c3 dI (x, y) Il suffit d’utiliser le fait que les normes N1 , N2 et N∞ sont équivalentes sur Rn .

1.1.5

Espaces vectoriels normés

Définition 1.1.7. Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel avec une distance compatible avec sa structure d’espace vectoriel. Définition 1.1.8 (Rappel). 1) Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel avec une norme. 2) Une norme sur un espace vectoriel E est une application : N : E → [0, +∞[ x 7→ N (x) tel que : a) N (x) = 0 ⇔ x = 0 (vecteur nul) b) N (λx) = |λ|N (x), ∀x ∈ E, λ ∈ K(R ou C) c) N (x, y) ≤ N (x) + N (y) (inégalité triangulaire)

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

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Proposition 1.1.5. Toutes les normes sur un espace vectoriel de dimension finie sont deux à deux équvialentes, c’est-à-dire ∃c1 , c2 > 0 tel que ∀x ∈ E : c1 N2 (x) ≤ N1 (x) ≤ c2 N2 (x) Proposition 1.1.6. Soit (E, N ) un espace vectoriel normé. On pose d(x, y) = N (x − y), ∀x, y ∈ E. Alors d est une distance sur E Démonstration. 1. d(x, y) = 0 ⇔ N (x − y) = 0 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y 2. symétrie : d(x, y) = N (x − y) =6 N (y − x) = d(y, x) 3. inégalité triangulaire : évident

1.2

Topologie d’un espace métrique

Motivations f est dit continue en un point a ∈ R si : f (x) → f (a) quand x → a ∀ε > 0, ∃δ > 0 ; |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε On dit que les points voisins ont des images voisines. Cette description intuitive pourra être généralisée à un espace "topologique" sans être nécessairement métrique.

1.2.1

Voisinages

Définition 1.2.1. Soit (E, d) un espace métrique et soit a ∈ E. Un sous-ensemble V de E est appelé voisinage de a si il contient tous les points suffisament proches de a. C’est-à-dire : ∃ρ > 0 ; d(x, a) < ρ ⇒ x ∈ V Remarque. Tout voisinage de a contient le point a lui-même. Notation. B(a, r) est la boule ouverte de centre a et de rayon r. On a : B(a, r) = {x | d(x, a) < r} Remarque. A ⊂ E est un voisinage de a ⇔ ∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A. Exemple 1.2.1. 1) [0, 1] est un voisinage de et 1.   • 12 : B 21 , 21 =]0, 1[⊂ A = [0, 1] •

1 3 π 4

:B





i

h

1 1 , = 0, 23 ⊂ 3 3  π , 0.2 ⊂]0, 1[⊂ 4

1 2

ou

1 3

ou de

π 4

mais il n’est pas voisinage de 0

A

• :B A. • Pourtant, B(0, r) =] − r, r[6⊂ A et B(1, r) =]1 − r, 1 + r[6⊂ A. 2) Boules dans R2 avec la distance euclidienne : disques de centre a = (a1 , a2 ) et de rayon r. Si l’on utilise la métrique : (x, y) 7→ |x1 − y1 | + |x2 − y2 | = d1 (x, y) avec x = (x1 , x2 ) et y = (y1 , y2 ), la boule B(a, r) devient un carré. Vérification : a = (0, 0) et : B(a, r) = {(x1 , x2 ) | |x1 | + |x2 | < r} 6

On pose a = x − y et −a = y − x. On a ainsi : N (a) = N (−a) en prenant λ = −1

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

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3) Dans R3 muni de la distance euclidienne : boules = ballons. Propriétés fondamentales des voisinages Propriété 1.2.1 (Stabilité pour la réunion). Si (Vi )i∈I est une famille de voisinage de a alors [ Vi est un voisinage de a. i∈I

Propriété 1.2.2 (Stabilité pour l’intersection finie). Si (Vi )i∈I est une famille finie de voisinage \ Vi est un voisinage de a. de a (c’est-à-dire I est fini) alors i∈I

Conséquence. Tout voisinage de a contient le point a lui-même. Démonstration : Propriété 1.2.1, Propriété 1.2.2, Conséquence. V1 : [ ⇒ B(a, r1 ) ⊂ Vi (1 ∈ I)

1.2.1 Soit B(a, r1 ) ⊂

i∈I

⇒

[

Vi est un voisinage de a

i∈I

1.2.2 Pour chaque Vi , on a ri > 0 tel que B(a, ri ) ⊂ Vi alors : ! \

⊂

B(a, ri )

i∈I

|

! \

Vi

i∈I

{z

}

B(a,r) avec r=mini∈I ri

⇒

\

Vi est un voisinage de a.

i∈I

Csq Si V est un voisinage de a, B(a, r) ⊂ V . Or a ∈ B(a, r) ⇒ a ∈ V . Remarque. Dans la Proporiété 1.2.2.,

\ i∈I

infini car inf Vi peut être nul. i∈I

Vi n’est pas nécessairement un voisinage si I est

12

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

Exemple 1.2.2. 1 1 = {0} − , n n

\  n≥1

1.2.2



Distances topologiquement équivalentes

Définition 1.2.2. Soient (E, d1 ) et (E, d2 ) deux ensembles métriques (sur un même ensemble E). d1 et d2 sont topologiquement équivalentes si chaque voisinage d’un point a par rapport à la distance d1 est aussi un voisinage de a pour la distance d2 et vice et versa. Remarque. Ici, "équivalence topologie" = "même voisinage" Propriété 1.2.3. (1) ∀r1 > 0, soit x ∈ E, ∃r2 > 0 tel que Bd2 (a, r2 ) ⊂ Bd1 (a, r1 ). (2) ∀ρ2 > 0, ∃ρ1 > 0 tel que Bd1 (a, ρ1 ) ⊂ Bd2 (a, ρ2 ). Démonstration. En effet, soit V1 un voisinage de a pour d1 (c’est-à-dire Bd1 (a, r1 ) ⊂ V1 ), d’après la Définition 1.2.2, V1 sera un voisinage pour d2 (c’est-à-dire Bd2 (a, r2 ) ⊂ V1 ). On choisit : V1 = Bd1 (a, r1 ), cela implique (1) de la Propriété 1.2.3.. De même pour (2) de la Propriété 1.2.3.. Proposition 1.2.4. Si d1 et d2 sont des métriques équivalentes, elles sont topologiquement équivalentes. Démonstration. d1 et d2 sont équivalentes ⇔ ∀x, y ∈ E, on a : c1 d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ c2 d1 (x, y) où c1 , c2 > O sont des constantes. Soit r1 > 0 et on considère Bd1 (a, r1 ). Existe-il r2 > 0 tel que Bd2 (a, r2 ) ⊂ Bd1 (a, r1 ). Cela veut dire : {x | d2 (x, a) < r2 } ⊂ {x | d1 (x, a) < r1 } ou : d2 (x, a) < r2 ⇒ d1 (x, a) < r1 Or d1 (x, a) ≤ c11 d2 (x, a). Si on pose r2 = r1 c1 , on aura : d2 (x, a) < r1 c1 ⇒ d1 (x, a) < d1 (x, a) < r1 . On complète la preuve en permutant les rôles de d1 et d2 .x Exemple 1.2.3. (1) Dans Rn , d∞ , d1 et d2 sont équivalentes donc topologiquement équivalentes. En particulier, dans le plan R2

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

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(2) Sur la droite réelle R, la distance habituelle (x, y) 7→ d(x, y) = |x − y| et la distance : (x, y) 7→ D(x, y) = min(d(x, y), 1) ne sont pas équivalentes mais elles sont topologiquement équivalentes.

Remarque. Dès que ρ > 1, BD (a, ρ) = R. Notation. Si a ∈ Va désignant une famille de voisinages de a (Va,d pour préciser la distance employée). Deux distances sont topologiquement équivalentes si et seulement si : ∀a ∈ E, ∀V1 ∈ Va,d1 , ∃V2 ∈ Va,d2 tel que V2 ⊂ V1 et vice et versa.

1.2.3

Ouverts, fermés

Définition 1.2.3. Un sous-ensemble A de (E, d) est dit ouvert s’il est voisinage de tous ses points. Autrement dit, A est un ouvert : ⇔ ∀a ∈ A, ∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A Définition 1.2.4. A est appelé fermé si E\A est un ouvert. Exemple 1.2.4.

1. Toute boule ouverte est un ouvert.

2. [0, 1] n’est pas un ouvert. Conventions : – l’ensemble vide ∅ est un ouvert. – On remarque que E est un ouvert. Propriétés fondamentales des ouverts Propriété 1.2.5 (Stabilité pour la réunion). ∀(Ui )i∈I une famille d’ouverts. Alors

[

Ui restera

i∈I

un ouvert de (E, d). Propriété 1.2.6 (Stabilité pour l’intersection finie).

\

Ui est un ouvert si I est fini.

i∈I

Conséquence. En outre, E et ∅ sont des ouverts de (E, d). Démonstration : Propriété 1.2.5., Propriété 1.2.6.

1.2.5. Soit a ∈

[

Ui alors ∃i ∈ I

i∈I

avec a ∈ Ui . Ui est un overt donc il existe B(a, r) ⊂ Ui . D’où

[ i∈I

B(a, r) et constitue un voisinage de a. 1.2.6 Même raisonnement que 1.2.5.

Ui contient la boule

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

14

Propriétés fondamentales pour les fermés Propriété 1.2.7 (Stabilité pour l’intersection). ∀(Fi )i∈I une famille de fermés. Alors

\

Fi est

i∈I

un fermé. Propriété 1.2.8 (Stabilité pour la réunion finie).

[

Fi est un ouvert si I est fini.

i∈I

En plus, ∅ et E sont des fermés. Démonstration : Propriété 1.2.7, Propriété 1.2.8. On a : U ←→ F = E\U [

Ui ←→

i∈I

\ i∈I

\

Fi

i∈I

Ui ←→

[

Fi

i∈I

∅, E ←→ E, ∅

Exemple 1.2.5. [0, 1] est un fermé de (R, d), d : distance habitulle car : R\[0, 1] =] − ∞, 0[∪]1, +∞[ Theorème 1.2.9. Sur R, tout ouvert est une réunion dénombrable d’intervalles ouverts disjoints.

1.2.4

Intérieur, extérieur, frontière et adhérence

Définition 1.2.5. Soit (E, d) un ensemble métrique et soit a ∈ E : (1) a est un appélé point intérieur à A si A est un voisinage de a : ∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A (2) a est dit "extérieur de A" si a est intérieur à l’ensemble E\A : ∃r > 0 tel que B(a, r) ∪ A = ∅ (3) a est un point frontière de A si tout voisinage de a rencontre A et E\A.

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

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(4) a est dit "adhérence à A" si tout voisinage de a rencontre A. Remarque. (3) et (4) de la Définition 1.2.5. ⇒ tout point frontière est adhérent de A. ◦

Notation. – A = intérieur de A : ensemble des points intérieurs à A. – Ext A = extérieur de A = ensemble des points extérieurs à A. – ∂A = Fr A = Frontière de A = l’ensemble des points frontières à A. – A = adhérence de A = l’ensemble des points adhérents à A. ◦

Proposition 1.2.10. (1) A est un ouvert de E et c’est le plus grand ouvert inclus dans A ◦ (A⊂ A). ◦

(2) Ext A =A (3) ∂A = A ∩ (E\A) (4) A = E\ Ext A est un fermé et c’est le plus petit fermé contenant A (A ⊂ A). Démonstration. (1) 2 propriétés : ◦

◦

I) ∀a ∈A, ∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂A Démonstration. a est intérieur à A ⇒ ∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A. Soit x ∈ B(a, r), ∃ρ > 0 tel que B(a, ρ) ⊂ B(a, r) (chaque boule ouverte est un ouvert). Cela veut dire ◦ que tout point de B(a, r) est intérieur à A ⇒A est un voisinage de a. Or a est un ◦ ◦ point quelconque de A donc A est un ouvert. ◦

II) Si B est un ouvert tel que B ⊂ A alors B ⊂A. ◦

Démonstration. On se donne U un ouvert avec U ⊂ A. On peut montrer que U ⊂A ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ car X ⊂ Y ⊂X ⊂Y . Donc X = U , donc X =U = U car U est un ouvert donc U ⊂A (2) Traduction de la définition Ext A. (3) Traduction de la définition ∂A. (4) Un fermé est le complémentaire d’un ouvert. On veut montrer que E\A est un ouvert. Dire que x ∈ E\A ⇔ il existe un voisinage de x qui ne rencontre pas ⇔ ∃r > 0, B(x, r) ⊂ ◦

◦

(E\A) ⇔ x ∈ Ext A on a x ∈E\A. D’où E\A =E\A. On a ainsi : E\A est un ouvert, c’est le plus grand ouvert extérieur à A (d’après (1)) donc A est un fermé, c’est le plus grand fermé contenant A.

Remarque.

1. X ⊂ Y ⇒

◦  ⊂◦

X Y ⊂Y

X

◦

2. A est ouvert ⇔ A =A et A est fermé ⇔ A = A. Définition 1.2.6. A est dit dense dans (E, d) si A = E. Exemple 1.2.6.

1. A = Q et E = R. Q est dense dans R.

2. On verra que l’ensemble des polynômes est dense dans l’espace des fonctions C 0 ([0, 1] → R).

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

16

1.2.5

Suites convergente et valeurs d’adhérence d’une suite

Soit (E, d) un espace métrique et soit (xn )n∈N une suite d’éléments de E. Définition 1.2.7. (xn )n≥0 est dite convergente si sa limite (notée l) existe : ∃l ∈ E tel que xn −−−−→ l n→+∞

xn −−−−→ l veut dire que la distance entre un et l tend vers 0. n→+∞

Exemple 1.2.7.

1. R, d(xn , l) = |xn − l|

n

2. R , d(xn , l) = kxn − lk norme euclidienne. Remarque. On entend par "suite convergente de E", la propriété que la suite converge dans E. Attention :. La qualité d’être convergente par une suite dépend de l’espace, où on travaille. √ Exemple 1.2.8. 2 = 1, 414.... On √ pose x0 = 1, x1 = 1, 4 (plus généralement xn sera les 2). La suite (xn ) est une suite de nombres rationnels et n premiers chiffres décimaux de √ converge vers 2 dans R (elle n’a pas de limite rationnelle ⇔ elle n’est pas convergente dans Q). Remarque. La limite d’une suite dans un espace métrique quand elle existe est unique car si xn → l et l0 alors : d(l, l0 ) ≤ d(l, xn ) + d(xn , l0 ) → 0 donc l = l0 . Proposition 1.2.11. La convergence d’une suite est une notion "topologique", c’est-à-dire qu’elle est indépendante du choix de distances topologiquement équivalentes. En d’autres termes, d d0 → l. si xn → − l et d et d0 sont topologiquement équivalentes alors xn − Démonstration. On a besoin de traduire la proposition entre terme de voisinages : d

− l ⇒, ∀V ∈ O, ∃N tel que xn ∈ V dès que n ≥ N xn → Lorsque d et d0 sont topologiquement équivalentes, pour tout voisinage V 0 de l par rapport à la distance d0 , il existe un voisinage V de l pour d alors V ⊂ V 0 , xn ∈ V ⊂ V 0 pour n ≥ N . D’où d0 → l. xn − Exemple 1.2.9. Sur Rn , toutes les normes sont équivalentes donc topologiquement équivalentes. La limite d’une suite est indépendante du choix de ces normes. Theorème 1.2.12 (Caractérisation d’un fermé et de l’adhérence). (1) Un sous-ensemble A de E est un fermé si et seulement si la limite de toute suite convergente (dans E) d’éléments de A est dans A (un fermé est stable pour le passage à la limite). (2) On a a ∈ A ⇔ a est limite d’une suite d’éléments de A. d

Démonstration. (1) A est fermé ⇔ A = A Soit |{z} xn → − l ∈ E alors tout voisinage de l contient ∈A

"presque" (à un nombre fini près) tous les termes de (xn )n∈N . Or xn ∈ A ⇒ l ∈ A. Donc, toute suite d’éléments de A converge vers un élément de A. (2) a ∈ A donc ∀r > 0, B(a, r) ∩ A 6= ∅. On choisit r = d

un élément xn ∈ B(a, 1/n) ∩ A, xn → − a car d(x, a) = d’éléments de A.

1 n 1 n

avec n > 0 à chaque étape, il y a → 0. a est donc limite d’une suite

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

17

Deux situtations pour les poinbts de A (1) a ∈ A donc a ∈ A ↔ a = limn xn avec xn = a. (2) a 6∈ A mais a ∈ A ↔ a = limn xn avec xn ∈ A mais xn 6= a. On dit que a est un point d’accumulation de A (c’est la limite d’une suite non stationnaire d’éléments de A). Corollaire. a ∈ ∂A (frontière de A) ⇔ a = lim xn = lim x0n avec xn ∈ A et x0n 6∈ A car n→+∞

n→+∞

∂A = A ∩ (E\A).

Définition 1.2.8. On appelle valeur d’adhérence de (xn ) toute limite d’une sous-suite convergente de (xn ). Proposition 1.2.13. 1) xn → l ⇔ l est la seule valeur d’adhérence de (xn ). 2) l0 est une valeur d’adhérence de (xn )n si et seulement pour tout ε > 0 et tout N > 0, ∃n ≥ N tel que xn ∈ B(l0 , ε). Démonstration. (1) évident (2) l0 = lim xϕ(n) où ϕn : N → N croissante ⇔ tout voisinage de l0 contient tous les termes n→+∞

de (xϕ(n) )n pour n assez grand. Soit ε petit, on a : xϕ(n) ∈ B(l0 , ε). Réciproquement, on pose ε = n1 et on choisit xm ∈ B(l0 , n1 ) où m = ϕ(n) (comme il y a une infinité de choix, on s’arrange de telle manière que ϕ est croissante, on en déduit que l0 = limn→∞ xϕ(n) ).

1.3

Espaces topologiques et applications continues

Observations L’analyse se fait à partir d’une notion de voisinage ou de proximité (exemple : la notion de convergence est indépendante du choix des métriques topologiquement équivalentes) → un cadre "abstrait" muni d’une notion de voisinage.

1.3.1

Topologie sur un ensemble

Soit E un ensemble non vide. Notation. On note P(E) l’ensemble des parties E : A ∈ P(E) ⇔ A ⊂ E. Définition 1.3.1. On appelle système de voisinage en a ∈ E, toute partie Ua non vide de P(E) qui possède les propriétés suivantes. (i) Ua est stable pour la réunion. Si Ui ∈ Ua alors

S

Ui ∈ Ua .

(ii) Ua est stable pour l’intersection finie. Si I est fini et Ui ∈ Ua (i ∈ I) alors

T

i∈I

Ui ∈ Ua .

(iii) tout élément U de Ua contient a. (iv) ∀V ∈ Ua , ∃W ∈ Ua tel que V soit voisinage de chaque élément de W (en particulier, W ⊂ V ).

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

18

Définition 1.3.2. On appelle topologie sur E, la donnée d’un système de voisinage en chaque élément de E. Remarque (fondamentale). Les propriétés de la Définition 1.3.1. sont les mêmes que les propriétés fondamentales pour un voisinage en un point d’un espace métrique. Cela induit que tout espace métrique est un espace topologique. Exemple 1.3.1. (1) Topologie discrète. On veut montrer que chaque élément de E, Ua ⊂ E. On pose Ua = {A ⊂ E : a ∈ A} : ce sont tous les sous-ensembles de E contenant a. On peut vérifier que (i) et (ii) sont satisfaites. (2) Topologie grossière : si a ∈ E, on pose Ua = {∅, E}. Cela signifie que tous les points sont dans un même voisinage. Si a 6= b alors Ua 6= Ub car {a} ∈ Ua 6∈ Ub . Définition 1.3.3. La topologie U sur E est dite séparée (au sens de Hausedorff) si a 6= b ⇒ Ua 6= Ub (les systèmes de voisinage permettent de distinguer les points). Remarque. La topologie définie par une distance est séparée car si a 6= b, d(a, b) > 0 alors B(b, r) lorsque r est assez petit. En plus : B(a, r1 ) ∩ B(b, r2 ) = ∅ si r1 6= r2 Les petites boules de centre a sont disjointes de celles de centre b. Cela implique que les voisinages de a sont différentes des voisinages de b. Définition 1.3.4. Soit U et U 0 deux topologies de E. On dit que U est plus fine que U 0 si ∀a ∈ E et ∀V 0 ∈ Ua0 , il existe V ∈ Ua avec V ⊂ V 0 (motivé par l’observation suivante : plus les voisinages sont petits, plus l’analyse (au point de vue de la structure) des proximités devient précise). Définition 1.3.5. On dit que U et U 0 sont équivalents si U est plus fine que U 0 et U 0 est plus fine que U.

1.3.2

Ouverts, fermés

Soit (E, U) un espace topologique, soit A ⊂ E. Définition 1.3.6. (1) A est un ouvert de (E, U) si A est un voisinage de tout point de A, c’est-à-dire : ∀a ∈ A, ∃U ∈ Ua tel que a ∈ U (un voisinage de a est un ensemble V qui contient un élément de Ua , Ua est considéré comme une boule ouverte de centre a) (2) A est dit fermé si E\A est un ouvert. Theorème 1.3.1 (Propriétés fondamentales des ouverts). (1) Les ouverts sont stables pour la réunion. (2) Les ouverts sont stables pour l’intersection finie. (3) ∅ et E sont des ouverts. Theorème 1.3.2. La famille F de tous les fermés vérifie : 1) Toute intersection de fermés est un fermé. 2) Une réunion finie de fermé est un fermé.

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

19

3) ∅ et X sont des fermés. Remarque. Comparer deux topologies (structures topologiques) d’un ensemble revient à comparer leurs systèmes de voisinage. (E, U) est plus fine que (E, U 0 ) : V 0 ∈ U 0 a, ∃V ∈ Ua tel que V ⊂ V 0 Définition 1.3.7. (E, U) et (E, U 0 ) sont dits équivalents (ou les topologies U et U 0 sont équivalents) si l’une est plus fine que l’autre et vice et versa.

1.3.3

Intérieur, extérieur, frontière et adhérence

Soit (E, U) un espace topologique et A un sous-ensemble de E. ◦

◦

Définition 1.3.8. (i) A est l’intérieur de A : a ∈A, A est un voisinage de a, c’est-à-dire ∃V ∈ Ua tel que V ⊂ A. (ii) A est l’adhérence de A : deux voisinages de a rencontre A et E\A. (iii) ∂A est la frontière de A = A ∩ (E\A). ◦

(iv) Ext A est l’extérieur de A =(E\A) Theorème 1.3.3.

◦

(i) A est un ouvert, c’est le plus grand ouvert contenu dans A. (ii) A est un fermé, c’est le plus petit fermé contenu dans A. En outre : ◦ • A est un ouvert ⇔ A =A • A est un fermé ⇔ A = A

1.3.4

Topologie induite : sous-espaces

Cas métrique : (E, d) un espace métrique, A est une partie de E → d définit une métrique sur A (d|A : A × A → R) Cas topologique : (E, U) : U = {Ua }a∈E . (A, U A ) avec U A = {Ua }a∈A . On peut vérifier que U a les propriétés des voisinages (stabilité pour l’union et l’intersection finie). A

Définition 1.3.9. U A est la topologie induite sur A par U. Proposition 1.3.4 (Caractérisation de la topologie induite U A ). V est un ouvert par rapport à U A ⇔ V peut s’écrire V = A ∩ W avec W un ouvert pour U. Démonstration. V est un ouvert pour U A , il faut que V ⊂ A et en plus, V est voisinage de chacun de ses points : ∀a ∈ V, ∃Va ∈ UaA tel que Va ⊂ V ⇒ V 0 =

[ a∈V

or Va ∈ UaA , Va = A ∩ Wa avec Wa ∈ U. On en déduit : !

V =A∩

[ a∈V

On pose : W =

[ a∈V

Wa ⇒ V = A ∩ W .

Wa

où Wa ∈ Ua

Va

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

20

Remarque. Tout ouvert peut s’écrire comme réunion de voisinages des points contenues dans l’ouvert. Corollaire. Si A est une partie ouverte de (E, U) alors tous les ouverts du sous-espace (A, U A ) sont des ouverts de (E, U). En effet, V = A∩W avec V ouvert de U A et W ouvert de U → A∩W ouvert de U si A est un ouvert. Exemple 1.3.2. Rn → B(0, 1), boule ouverte unité. B(0, 1) est un espace topologique.

1.3.5

Suites dans un espace topologique

Problème. Comment définir la convergence d’une suite (an )n∈N dans un espace topologique ? Définition 1.3.10. (an )n∈N est dite convergente dans (E, U) si sa limite existe dans E, c’està-dire si l ∈ E tel que tout voisinage de l contient (quasiment) toute la suite à un nombre fini de termes près. ∀V voisinage de l, ∃N ∈ N tel que n ≥ N ⇒ an ∈ V . Remarque. (i) Dans la définition, on peut remplacer : "∀V voisinage de l" par "∀V ∈ UaA ". (ii) Pour que la limite soit métrique, il suffit que U soit séparée. Rappel. U est dit séparée si ∀x, y ∈ E, ∃Vx ∈ Ux et Vy ∈ Uy tel que Vx ∩ Vy = ∅. En effet si an → l et an → l0 et l 6= l0 alors an ∈ Vl et an ∈ Vl0 pour n grand mais ceci est impossible car Vl ∩ Vl0 = ∅. Définition 1.3.11 (Valeurs d’adhérence d’une suite). l est une valeur d’adhérence de (an ) si tout voisinage de l contient une infinité de termes de cette suite.

1.4 1.4.1

Applications continues Cas pour les espaces métriques

f : (E, d) → (F, δ) une application d’un espace métrique. Définition 1.4.1. f est dite continue en an ∈ E si xn −−−→ an ⇒ f (xn ) −−→ f (an ) et (E,d)

(F,δ)

δ(f (xn ), f (an )) → 0 : ∀ε > 0, ∃η > 0 tel que d(xn , an ) < η ⇒ δ(f (xn ), f (an )) < ε Theorème 1.4.1. Soit f : (E, d) → (F, δ), a ∈ E et b = f (a). Alors f est continue en a ⇔ pour tout voisinage Vb de b, f −1 (Vb ) est un voisinage de a dans (E, d). L’image réciproque d’un voisinage reste un voisinage. Démonstration. Soit V un voisinage de b dans F : ∃r > 0 tel que BE (b, r) = V x ∈ f −1 (V ) ⇔ f (x) ∈ V donc f −1 (V ) est un voisinage de a : ⇔ ∃ρ > 0 tel que BE (a, ρ) ⊂ f −1 (V ) ⇔ ∃ρ > 0, f (BE (a, ρ)) ⊂ V ⇔ ∃ρ > 0, f (BE (a, ρ)) ⊂ BF (b, r) Or continuité en a ⇔ ∀ε > 0, ∃ρ > 0 : d(x, a) < ρ ⇒ δ(f (x), b) < r

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

21

Theorème 1.4.2 (Caractérisation d’une application en terme d’ouverts). Soit f : (E, d) → (F, δ), les conditions suivantes sont équivalentes : (i) f est continue en tout point de E. (ii) l’image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E. (iii) l’image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E. Démonstration. On suppose (i) vérifié. Soit W un ouvert de F , ∀b ∈ W , W est un voisinage de b → f −1 (W ) est un voisinage de a si f (a) = b → f −1 (W ) est un voisinage de chacun des points a ∈ E tel que f (a) ∈ W , c’est-à-dire f −1 (W ) est un voisinage de toute point a ∈ f −1 (W ) ⇒ f −1 (W ) est un ouvert dans E. On obtient (i) ⇒ (ii) Pour voir (ii) ⇒ (i) : l’image réciproque d’un voisinage d’un point b quelconque de E est un voisinage de E si ∃a ∈ E tel que f (a) = b. Sinon : b n’est pas définit par f , un tel a n’existe plus. On a :  −1   f (W ) = ∅ ou    −1 f (W ) 6= ∅ On regarde les points de E tel que f (a) = W . On utilise le théorème précédent : f est continue en a → f continue sur E. Pour compléter la preuve, il reste (iii) ⇔ (ii). Si A est un fermé ⇔ E\A est un ouvert. On utilise la relation : a ∈ f −1 (A) ⇔ f (a) ∈ A ⇔ f (a) 6∈ E\A ⇔ a 6∈ E\f −1 (F \A) On a ainsi f −1 (A) = E\f −1 (F \A) où A ⊂ F . Remarque. Dans cet relation, on ne peut pas remplacer f −1 par f .

Définition 1.4.2. Un homéomorphisme de (E, d) dans (F, δ) est une application bijective, continue et sa reciproque est aussi continue. Remarque. f est un homéomorphisme si et seulement si :

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

22

(i) f est bijective (ii) f −1 (O0 ) = O avec O, O0 ouverts. (iii) f (O0 ) = O. Définition 1.4.3. Deux ensembles métriques sont dits homéomorphes s’ils peuvent être liés par un homéomorphisme. Exemple 1.4.1. (E, d) et (E, d0 ) sont homéomorphes si d et d0 sont topologiquement équivalentes : id : (E, d) → (E, d0 ) x 7→ x

1.4.2

Cas topologique

Définition 1.4.4. f : (E, U) → (F, W) est une application continue en a ∈ E si ∀W ∈ Wb (b = f (a)), f −1 (W ) ⊂ Ua est un voisinage de a dans U ∃u ∈ Ua tel que : u ⊂ f −1 (W ) ⇔ f (u) ⊂ W Theorème 1.4.3. f est continue par tout si et seulement si ∀W ouvert de (F, W), f −1 (W ) est un ouvert de (E, U) Remarque. L’image directe d’un ouvert par une application n’est pas nécessairement un ouvert.

1.4.3

Uniforme continuité et Lipschitz continuité

Il s’agit de notions purement métriques. Dans ce paragraphe, on considère donc des espaces métriques (X, d) et (X 0 , d0 ). On commence par une remarque en revenant sur la continuité sur les espaces métriques. La continuité globale d’une fonction f : X → X 0 s’écrit précisément : ∀x ∈ X, ∀ε > 0, ∃αx,ε > 0, ∀y ∈ X, d(y, x) ≤ αx,ε ⇒ d0 (f (y), f (x)) ≤ ε Le α dépend non seulement de ε mais du point x où l’on teste la continuité. La continuité uniforme signifie que l’on peut prendre α indépendant de x ∈ X. Définition 1.4.5. On dit que f : X → X 0 est uniformément continue si elle vérifie : ∀ε > 0, ∃αε > 0, ∀x, y ∈ X, d(x, y) ≤ αε ⇒0 (f (x), f (y)) ≤ ε Définition 1.4.6. On dit que f : X → X 0 est lipschitzienne de rapport k ∈ R+ sur X si : ∀x, y : d0 (f (x), f (y)) ≤ kd(x, y) On vérifie immédiatement les implications : Proposition 1.4.4. f lipschitzienne ⇒ f uniformément continue ⇒ f continue D’une certaine façon, les application lipschitziennes sont les morphismes d’espaces métriques d’où l’intérêt des notions suivantes : Définition 1.4.7. a) On dit que f est bilipschitizienne si c’est une bijection telle que f et f −1 sont lipschitziennnes.

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques

23

b) On dit que f est une isométrie si pour tout x, y ∈ X, on a d0 (f (x), f (y)) = d(x, y). Une isométrie est toujours injective. Si de plus elle est surjective elle est bilipschitzienne avec rapport 1 dans les deux sens. Exemple 1.4.2. a) Sur R l’application x 7→ x2 n’est pas uniformément continue et n’est pas lipschitizienne : |x2 − y 2 | = |x + y||x − y| où |x + y| est arbitrairement grand b) Sur R, la fonction x 7→ arctan(x) est lipschitzienne de rapport 1 : | arctan(x) − arctan(y)| =

1 |x − y| ≤ |x − y| 1 + c2

où c ∈ [x, y] est donné par le théorème des accroissements finis. D’une façon générale, une fonction continue dérivable de dérivée uniformément bornée est lipschtizienne. c) Sur un espace métrique (X, d). Pour tout x0 ∈ X, la fonction d(x0 , .) : x ∈ X → d(x0 , x) ∈ R est lipschitizienne de rapport 1 puisque : ∀x, y ∈ X, |d(x0 , y) − d(x0 , x)| ≤ d(x, y) De plus, si on met sur X × X la distance : d∞ ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max{d(x1 , y1 ), d(x2 , y2 )} alors la distance d : X × X → R+ est lipschitizienne de rapport 2. En effet, pour tout (x1 , x2 ) ∈ X × X et tout (y1 , y2 ) ∈ X × X, on a : |d(x1 , x2 ) − d(y1 , y2 )| ≤ |d(x1 , x2 ) − d(x1 , y2 )| + |d(x1 , y2 ) − d(y1 , y2 )| ≤ d(x2 , y2 ) + d(x1 , y1 ) ≤ 2d∞ ((x1 , x2 ), (y1 , y2 ))

Chapitre 2 Espaces métriques compacts Modèle de base : [0, 1] avec [a, b] ou une réunion finie d’intervalles bornés fermés. Enoncés classiques : 1) Toute suite numérique bornée possède une suite suite extraite convergeante. xn ∈ R, −k < xn < k, (k > 0 constante)

2) Une fonction continue sur [a, b] atteint ses maximas et minimas (extremas).

2.1

Définitions et quelques propriétés

Soit (E, d) un espace métrique. Définition 2.1.1. (E, d) est dit compact si, de toute suite d’éléments de E, on peut extraire une suite convergeante dans (E, d)1 Définition 2.1.2. Une partie A de E est dite compacte si l’espace métrique induite (A, dA ) est compact, c’est-à-dire toute suite d’éléments de A possède une suite extraite convergeante dans A. Rappel. Soit (xn )n∈N une suite, une suite extraite de (xn ) est la donnée d’une suite de la forme (xϕ(n) )n∈N où ϕ est une application strictement croissante. Remarque. (E, d) est compact si toutes ses suites admettent (au moins) une valeur d’adhérence. Theorème 2.1.1 (Propriété de Bolzano-Weirestrass). Un espace métrique (E, d) est compact si et seulement si toute partie infinie A de E admet un point d’accumulation. C’est-à-dire : ∃l ∈ E tel que tout voisinage de l contient une infinité d’éléments de A Démonstration. A ∈ E infini. On trouve alors une suite d’éléments de A non stationnaire (les éléments sont distincts 2 à 2). Si E est compact alors il est clair que cette suite possède une valeur d’adhérence. Tout voisinage de l contient presque (sauf un nombre fini) tous les éléments d’une suite extraite de la suite : l est clairement un point d’accumulation de A. 1

La limite appartient à E.

24

25

Chapitre 2. Espaces métriques compacts

Pour la réciproque, chaque point d’accumulation est une valeur d’adhérence (une suite contient une infinité d’éléments distincts ou est composé d’un nombre fini de suites stationnaires). Exemple 2.1.1. 1) [0, 1] est compact dans R mais R lui-même n’est pas compact. Pour cela, on peut regarder la suite xn = n qui n’a pas de valeur d’adhérence. 2) [0, 1] ∩ Q n’est pas compact. Il y a des suites convergeantes (dans R) qui ne convergent pas dans Q, les limites 6∈ Q : lien très étroit entre la compacité et la complétude (voir Chapitre 4). Propriété 2.1.2. Si A est une partie compacte de (E, d), A est fermée et bornée. A est dit bornée si : sup (x, y) < +∞ : x,y∈A

∃k > 0 tel que d(x, y) ≤ k, ∀(x, y) ∈ A × A Proposition 2.1.3. On a équivalence entre : 1) ∃k1 tel que d(x, y) ≤ k1 , ∀(x, y) ∈ A × A 2) ∃k2 et x ∈ A tel que d(x, y) ≤ k2 , ∀(x, y) ∈ A × A Définition 2.1.3. On dit que : sup d(x, y) < +∞ est le diamètre de A. x,y∈A

Démonstration de la Propriété 2.1.2. A fermée ⇔ A = A. Or toute valeur d’adhérence est limite d’une suite d’éléments de A donc appartient à A (d’après la définition de valeur d’adhérence). Pour voir que A est bornée : toute suite convergeante est bornée si et seulement il existe une suite non bornée sans point d’accumulation. Proposition 2.1.4. Si (E, d) et (E 0 , d) sont deux espaces métriques compacts alors (E ×E 0 , D) où : D((x, x0 ), (y, y 0 ) = d(x, y) + d(x0 , y 0 ) est un espace métrique compact. Propriété 2.1.5. Une suite convergeante dans E × E 0 si et seulement si les deux composantes convergent respectivement dans E et E 0 . Démonstration de la Proposition 2.1.4. Soit (xn , x0n ) une suite dans E × E 0 . Est-ce que on peut trouver une sous-suite convergeante. La première composante (xn )n admet une suite extraite convergeante (xϕ(n) )n car E est compact. On va ainsi construire la suite (x0ϕ(n) )n dans E 0 → une suite extraite de cette dernière (x0ψ◦ϕ(n) )n . On dit alors que (xψ◦ϕ(n) , x0ψ◦ϕ(n) ) converge dans E × E 0 , suite extraite de (xn , x0n ).

2.2

Compactié en termes de recouvrements ouverts

Définition 2.2.1. Soit A une partie de (E, d). On appelle recouvrement ouvert de [ A (ou recouvrement de A par des ouverts) toute colletion d’ouverts (Ui )i∈I tel que A ⊂ Ui des i∈I

ouverts Ui recouvrent A. i

h

i

h

1 2 1 Exemple 2.2.1. A = [0, 1], Un = n+1 , n+1 pour n ≥ 1 et U0 = −1, 10 . Chaque élément de [0, 1] peut être représenté comme réunion d’ensembles (Un ) (n ≥ 0).

26

Chapitre 2. Espaces métriques compacts

Définition 2.2.2. Un recouvrement est dit fini si, dans la Défintion 2.2.1., I est fini. Définition 2.2.3. Un sous-recouvrement de (Ui )i∈I est une famille de (Uj )j∈J tel que J ⊂ I telle que : [ A⊂ (Uj ) j∈J

Remarque. 1) E = 2) A =

S

x∈A

S

x∈E

B(x, ε) avec (ε > 0, fixée)

B( x, ε)

Theorème 2.2.1. Un espace métrique (E, d) est compact, si et seulement si, de tout recouvrement ouvert, on peut trouver un sous-recouvrement fini. Démonstration. Pour démontrer le Théorème 2.2.1., on a besoin du résultat suivant : Lemme 2.2.2. Soit (Ui )i∈I un recouvrement ouvert de E. Si E est compact alors ∃ρ > 0 tel que : ∀x ∈ E, ∃ix ∈ I avec B(x, ρ) ⊂ Uix Tout point appartient à un ouvert assez grand du recouvrement. Démonstration du Lemme 2.2.2. Par l’absurde. Supposons que pour tout n ∈ N, il existe 1 xn ∈ A tel que B(xn , n+1 ) n’est incluse dans aucun des Oi . Par l’hypothèse des sous-suites convergeantes, on peut extraire une sous-suite (xnk )k∈N convergeant dans A. Posons l = lim xnk . k∈N

Comme l appartient à A, il existe i ∈ I tel que l ∈ Oi et comme Oi est ouvert, il existe ε > 0 tel que B(l, ε) ⊂ Oi . Par définition de la limite, on peut trouver kε tel que d(l, xnk ) ≤ 3ε pour k ≥ kε et on peut donc supposer kε assez grand pour que nk 1+1 ≤ 3ε . Mais dans ce cas, on a ε B(xnk , nk 1+1 ⊂ B(l, ε) ⊂ Oi , ce qui contredit la définition de la suite (xn )n∈N . En conclusion, ε il existe n0 ∈ N tel que pour tout x ∈ A la boule B(x, n01+1 ) est incluse dans un des Oi et on prend ρ = n01+1 . On revient à la démonstration du Théorème 2.2.1. : (⇒) E est supposé compact et (Ui )i∈I un recouvrement ouvert. On cherche un sous-recouvrement ouvert et fini. Avec le Lemme 2.2.2. : ρ > 0 tel que ∀x ∈ E, B(x, ρ) appartient à un certain ouvert Ui du recouvrement. On se fixe un x ∈ E quelconque → ix tel qu’on est deux situations : 1) E = Uix : on a un recouvrement par un seul ouvert. 2) Uix 6= E, ∃x1 ∈ E tel que xi 6∈ Uix alors on regarde Ux1 et on compare Uix ∪ Ux1 (et ainsi de suite...). Soit on a : E=

N [

Uxn

n=0

soit on a égalité avec l’infini. Dans ce dernier cas, on obtient un suite (xn ) tel que : xn+1 6∈

N [

Uxn

n=0

Soit une suite extraite (xϕ(n) )n convergeante et soit l sa limite. On a ainsi : B(xn , ε) ⊂ Uxn

27

Chapitre 2. Espaces métriques compacts On choisit le rayon de la boule de centre l et de rayon ε0 = de la suite extraite soit dans cette boule. On a ainsi :

ε 3

tel que chaque élément

xϕ(n) → l, xϕ(n) ∈ B(l, ε0 ) pour un x assez grand On a ainsi B(l, ε0 ) ⊂ B(xϕ(n) , ε) et on aboutit à une contradiction car un espace métrique est toujours séparé. (⇐) Argument du type "découpage". (xn )n une suite de (E, d), on veut chercher une suite extraite (xϕ(n) ) convergeante. On considère le recouvrement ouvert (de rayon ε > 0) : E=

[

B(x, ε)

x∈E

Donc : on aura un ensemble fini Iε ⊂ E tel que : E=

[

B(x, ε)

x∈Iε

(xn )n aura une infinité de termes dans une des boules B(x, ε), x ∈ Iε . En diminuant ε, on aura l’existence de valeurs d’adhérences de (xn )n . Le Théorème 2.2.1. permet de définir la compacité dans un cadre purement topologique. Définition 2.2.4. Un espace topologique est dit compact s’il est séparé (les points distincts ont des voisinages disjoints) et si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement ouvert fini. Remarque. Toute partie fini d’un espace topologique est compact. Corollaire (pour le Théorème 2.2.1). 1) Une partie[A de E est compacte si et seulement [ si, Ui . Ui , il existe J fini tel que : A ⊂ de toute famille d’ouverts (Ui )i∈I de E tel que A ⊂ i∈I

i∈J

2) Dans un espace métrique compact, si l’intersection d’une famille de fermés est vide alors une sous-famille finie est déjà l’intersection vide. Démonstration. 1) (A, dA ) un espace métrique induit, un ouvert de cet espace est de la forme A ∩ U avec U un ouvert de E : A=

[

Ui ⇔ A =

i∈I

[

(A ∩ Ui ) et {A ∩ Ui }i∈I fini

i∈I

est un recouvrement ouvert de (A, dA ). 2) (E, d) un espace métrique compact, (Fi )i∈I fermés avec : \ i∈I

Fi = ∅ ⇔

[

(E\Fi ) = E ⇔ {E\Fi }i∈I recouvrement ouvert (car Fi fermé)

i∈I

⇒ un sous-recouvrement fini donne : [ i∈J

(E\Fi ) = E ⇔

\ i∈J

Fi = ∅

28

Chapitre 2. Espaces métriques compacts

2.3

Applications continues d’espaces métriques compacts

Proposition 2.3.1. L’image continue d’un compact est un compact c’est-à-dire si f : (E, d) → (F, δ) est une application continue d’espaces métriques alors ∀K ⊂ E partie compacte de (E, d), f (K) (fermée, bornée) reste une partie compacte de (F, δ). Démonstration. 1) En termes de suites extraites convergeantes, soit (bn )n une suite d’éléments choisis dans f (K) avec bn = f (an ) où an ∈ K. K étant compact, ∃(aϕ(n) )n une suite extraite convergeante. Or f est continue sur (E, d) ⇒ f (aϕ(n) )n 2 constitue une suite convergeante ⇒ f (K) est une partie compacte de (F, δ). 2) Avec les recouvrements ouverts, soit (Wi )i∈I une famille d’ouverts [ [ de (F, δ) telle que f (K) ⊂ Wi . Existe-il un sous-ensemble J ⊂ I fini tel que f (K) ⊂ Wi . On remarque que : i∈I

i∈J

K⊂

f −1 (Wi )

[

image réciproque de Wi

i∈I

f étant continue, chaque f −1 (Wi ) est un ouvert dans (E, d) → {f −1 (Wi )}i∈I est un recouvrement ouvert[de K. On peut donc en extraire [ un sous-recouvrement fini c’est-à-dire J ⊂ I −1 fini avec K ⊂ f (Wi ) ou aussi f (K) ⊂ Wi avec J ⊂ I fini. i∈J

i∈J

Corollaire. Toute application continue d’un espace métrique compact à valeurs dans R est bornée et atteint ses extrema. Démonstration. (E, d) est un espace métrique compact, f : E → E continue. f (E) est compact dans R ⇒ f (E) est à la fois fermé et borné. • f est bornée sur E (car f (E) borné ⇔ ∃M > 0 tel que |f (x)| ≤ M , ∀x ∈ E). • sup f (x) et inf f (x) ∈ E car f (E) est fermé ⇔ max f (x) et min f (x) existent dans R ⇔ f x∈E

x∈E

x∈E

x∈E

atteint ses extrema. Soient A, B deux parties compactes de (E, d). On peut montrer que A et B sont disjoints si et seulement si : inf d(x, y) > 0 x∈A,y∈B

en considérant d : E × E → R continue et A × B est compact de E × E. Corollaire. La notion de compacité est topologique en ce sens que si (E, d1 ) et (E, d2 ) sont topologiquement équivalents alors pour toute partie A ∈ E, A est compact par rapport dans (E, d1 ) si et seulement si A est compacte dans (E, d2 ). Démonstration. (E, d1 ) et (E, d2 ) sont topologiquement équivalentes ⇔ id : (E, d1 ) → (E, d2 ) x 7→ x est un homéomorphisme c’est-à-dire : 1) elle est bijective 2) elle est bi-continue (c’est-à-dire l’application est continue et sa réciproque est continue) 2

f (aϕ(n) )n est une suite extraite de (bn )n

29

Chapitre 2. Espaces métriques compacts Si A est compact par rapport à d1 alors id(A) = A ment.

3

reste compact pour (E, d2 ) et reciproque-

Theorème 2.3.2 (Heine). Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques. On suppose que E est compact. Alors toute application continue de E vers F est uniformément continue. Remarque. 1) Modèle : Toute application numérique continue de [a, b] est uniformémment continue. 2) Uniforme continuité : ∀ε > 0, ∃η > 0 tel que d(x, x0 ) < η ⇒ δ(f (x), f (x0 )) < ε ε f −1 Bd0 (z, ) est un recouvrement 2 x∈X 0 d’ouverts de X. Par le Lemme 2.2.2., il existe ρ > 0 tel que pour tout x ∈ X, il existe zx ∈ X tel que Bd (x, 2ρ) ⊂ f −1 (Bd0 (zx , 2ε )). Pour tout x, y ∈ X tels que d(x, y) ≤ ρ < 2ρ, on a : Démonstration. Si f : X → X 0 est continue alors



[

d0 (f (x), f (y)) ≤ d0 (f (x), f (zx )) + d0 (f (zx ), f (y)) <

2.4



ε ε + =ε 2 2

Parties compactes de Rn

Theorème 2.4.1. Une partie K non vide de Rn (muni de sa distance euclidienne) est compacte si et seulement si elle est à la fois fermée et bornée. Démonstration. On sait que toute partie compacte d’un espace métrique est nécessairement bornée et fermée. Pour voir que cette dernière condition ("bornée et fermée") est suffisante, on rappelle que : 1) R : Bolzano-Weirestrass - Toute suite bornée admet une sous-suite convergeante donc toute partie bornée et fermée de R est nécessairement compacte. 2) Rn : même argument qui sera appliqué à chacune des composantes de la suite. K ⊂ Rn , (2) (m) (x(1) m , xm , ..., xm ) une suite de K. (1)

(2)

(m)

( xϕ(m) , xϕ(m) , ..., xϕ(m) )m | {z } CV

(1)

(2)

(m)

( xψ◦ϕ(m) , xψ◦ϕ(m) , ..., xψ◦ϕ(m) )m |

{z

CV

} |

{z

}

CV

.. . ⇒ K est compacte si K est bornée et fermée.

Proposition 2.4.2 (Version pour un espace vectoriel normé). (1) Si (E, N ) est un espace vectoriel normé de dimension finie alors K ⊂ E est un compact ⇔ K borné et fermé. 3

id(A) a une image continue

30

Chapitre 2. Espaces métriques compacts

(2) (Théorème de Riesz) La propriété (1) est vraie si on prend E de dimension infinie c’est-àdire si dim E = ∞ alors la boule unité fermée {x ∈ E, N (x) ≤ 1} n’est pas compacte. Démonstration. (1) Soit (e1 , ..., en ) une base de E sur Rn alors : : (E, N ) → Rn P xi ei 7→ (x1 , ..., xn ) est un homéomorphisme d’espace vectoriel normé. Les compacts de (E, N ) contiennent les sous ensembles : {x ∈ E, (x1 , ..., xn ) ∈ F partie fermée et bornée de Rn } |

{z

fermé et bornée de E

}

(2) On suppose dim E = ∞ et soit B = B(0, 1) = {x ∈ E, N (x) ≤ 1}. A-t-on une suite (xn ) de B sans point d’accumulation ? e1 , ..., en , en+1 , ... ∈ E, aucun représentant d’un nombre fini des en ne constitue une base de E. En plus, on peut supposer N (en ) = 1, ∀n ∈ 1, 2, .... On a ainsi une famille de vecteurs linéairement indépendants dans B, elle n’a pas de valeurs d’adhérences.

Chapitre 3 Espaces connexes (Espaces topologiques connexes) Exemple 3.0.1. Connexes : [0, 1], tout intervalle de R. Non-connexe : [0, 1] ∪ [2, 3] n’est pas connexe. Theorème 3.0.3 (Théorème des valeurs intermédiaires). Si f :]a, b[→ R continue alors ∀α, β ∈ ]a, b[, (α < β), f atteint toutes les valeurs intermédiaires entre f (α) et f (β) : si c ∈ [f (α), f (β)] alors ∃x0 ∈ [α, β] tel que f (x0 ) = c. Cela implique que Im(f ) est connexe et est un intervalle.

3.1

Définitions et propriétés

Définition 3.1.1. Soit (E, U) un espace topologique. E est appelé connexe si les seules parties à la fois ouvertes et fermés de E sont E et ∅. Interprétation : Si E n’est pas connexe alors ∃X ⊂ E qui est ouvert et fermé et X 6= E, X 6= ∅ (∅ ( X ( E). Soit X 0 = E\X. Alors X 0 est ouvert (car X est fermé) et fermé (car X est ouvert). On a ainsi ∅ = 6 X 0 6= E (car ∅ = 6 X 6= E). En plus, E = X ∪ X 0 (l’union étant disjointe). Remarque. E n’est pas connexe si et seulement si E = X ∪ (E\X) où X est fermé et ouvert ⇔ E peut s’écrire comme union disjointes de deux ouverts. Définition 3.1.2. Une partie A ⊂ E est connexe si le sous-espace topologique (A, U A ) est connexe. Proposition 3.1.1. A est une partie connexe si et seulement si pour toute paire d’ouverts U1 et U2 de E, A ⊂ U1 ∪ U2 et U1 ∩ U2 = ∅ ⇒ A ⊂ U1 ou A ⊂ U2 . Démonstration. A ⊂ U1 ∪ U2 ⇔ A = X1 ∪ X1 si X1 = A ∪ U1 et X2 = A ∪ U2 . A est donc une réunion disjointe de deux ouverts de A. D’après la définition : A connexe ⇔ X1 = ∅ et X2 = A ou X2 = ∅ et X1 = A. X1 = A ⇔ A ∩ U1 = A ⇔ A ⊂ U1 De même : X2 = A ⇔ A ⊂ U 2

Exemple 3.1.1. [0, 1] ∪ [2, 3] = A et E = R. On a que A n’est pas connexion. 31

32

Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes)

1) [0, 1] est un ouvert de A 2) [2, 3] est un ouvert de A. Ceci justifie que A n’est pas un sous-espace topologique connexe. En effet : i

h

1) [0, 1] = A ∩ O avec O ouvert de R choisi plus grand que [0, 1] (par exemple, −1, 32 . 2) [2, 3] = A ∩

i

5 7 , 4 2

h

D’autres exemples : S • Z n’est pas connexe car Z = n∈Z Z∩]n − 1/2, n + 1/2[ donc Z est une réunion disjointes d’ouverts. √ √ • Q n’est pas connexe car : Q = (Q ∩ {x < 2}) ∪ (Q ∩ {x > 2}) Theorème 3.1.2. Les parties connexes de R sont les intervalles. Rappel. I ⊂ R est un intervalle si la propriété suivante est satisfaite : ∀x, y ∈ I avec x < y, on a [x, y] ⊂ I Démonstration. Soit A ⊂ R et soit x, y ∈ A. S’il existe z ∈ R, x < z < y tel que z 6∈ A alors : A = A1 ∪ A2 (réunions disjointes d’ouverts) avec : A1 = {a ∈ A, a < z} A2 = {a ∈ A, a > z} Or x ∈ A1 et y ∈ A2 , cela implique que A n’est pas connexe. En résumé : un ensemble A "troué" de R n’est pas connexe. Réciproquement : c’ést évident.

3.2

Fonctions continues sur des espaces connexes

Theorème 3.2.1 (Caractérisation de la connexité par les fonctions continues à valeurs dans {0, 1}). Un espace topologique (E, U) est connexe si et seulement si les seules fonctions continues de E à valeurs dans {0, 1} sont les fonctions constantes : soit f (x) = 0, ∀x ∈ E, soit f (x) = 1, ∀x ∈ E. Exemple 3.2.1. Situations possibles :

Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes)

f (x) =

33

 0

si x ∈ X1 1 si x ∈ X2

Démonstration. L’ensemble {0, 1} pris comme partie de R a pour topologie la topologie discrète. (⇒) Si E est connexe et si E → {0, 1} est continue alors le couple (f −1 ({0}), f −1 ({1})) est une partition d’ouverts de X. Donc ou bien f −1 ({0}) = X et f ≡ 0 ou bien f −1 ({1}) = X et f ≡ 1. (⇐) Supposons que toute application continue f : X → {0, 1} est constante. Si (A, {X A1 ) est une partition d’ouverts alors la fonction caractéristique 1A est continue sur X. Par hypothèse, elle est donc constante et A = X ou A = ∅. X est connexe.

Theorème 3.2.2. L’image continue d’un connexe est connexe. C’est-à-dire soit f : E → F une application continue d’espaces topologiques. Si E est connexe alors f (E) est un connexe de F. Démonstration. Soit h une application continue de f (E) à valeurs dans {0, 1}. On veut montrer que h est constante. f :E→F h : f (E) → {0, 1} 1

Le complémentaire de A dans X

34

Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes)

On sait que la composée de deux applications continues est continue. Par conséquent : h ◦ f : E → {0, 1} est continue. Par la connexité de E, on trouve que h ◦ f (x) = 0 ou = 1 pour tout x ∈ E. C’est-à-dire h(y) = 0 ou = 1 pour tout y ∈ f (E). Donc h est constante.

Corollaire (Théorème des valeurs intermédiaires). Toute application continue numérique envoit un intervalle sur un autre.

3.3

Composantes connexes

L’exemple [0, 1] ∪ [2, 3] (non connexité) admet 2 parties connexes : [0, 1], [2, 3] Situatuion générale : Soit E un espace non connexe. Soit x0 ∈ E. On cherche la plus grande partie connexe contenant x0 dans E. [

X

x0 ∈X⊂E X connexe

Question : Le résultat de cette réunion est-il connexe ? Proposition 3.3.1. Dans un espace topologique, toute famille de parties connexes non disjoints 2 à 2 (leur intersection est non vide 2 à 2) a une réunion connexe. Démonstration. Soit (Ai )i∈I une famille de parties connexes telle que pour tout i, j ∈ I, Ai ∩ Aj 6= ∅. Supposons qu’il existe deux ouverts disjoints O1 et O2 tels que : A=

[

Ai ⊂ O1 ∪ O2

i∈I

Pour un i0 ∈ I fixé, Ai0 est connexe et inclus dans A ⊂ O1 ∪ O2 . Cela entraine Ai0 ⊂ O1 , ou Ai0 ⊂ O2 . Si Ai0 ⊂ O1 , l’hypothèse Ai ∩ Ai0 6= ∅ entraîne Ai ∩ Oi 6= ∅ tandis que la connexité de Ai donne Ai ⊂ O1 , ce pour tout i ∈ I. On en déduit A ⊂ O1 , l’autre possibilité Ai0 ⊂ O2 donnant A ⊂ O2 . En conclusion, A est connexe.

Définition 3.3.1. La composante connexe de x0 ∈ E est C x0 =

[

X

x0 ∈X⊂E X connexe

et c’est la plus grande partie de E contenant x0 . Exemple 3.3.1. [0, 1] ∪ [2, 3] admet deux composantes connexes. Proposition 3.3.2. x1 ∈ Cx0 ⇔ Cx1 = Cx0

Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes)

35

Démonstration. x0 ∈ Cx0 et Cx0 est le plus grand connexe contenant x0 ⇒ la relation Cx = Cy définit une relation d’équivalence sur E. On peut ainsi parler de classe d’équivalence. On veut trouver les éléments possédant la même composante connexe ⇔ les éléments appartenant à une même composante connexe forment une classe d’équivalence ⇒ les composantes connexes de E. E est connexe si et seulement si il y a une seule composante connexe. En général : E=

[

Cx0 tel que Cxi ∩ Cxj = ∅, ∀i 6= j, i, j ∈ I

x∈E

Définition 3.3.2. Un espace connexe est un espace avec une seule composante connexe. Exemple 3.3.2. L’ensemble des fonctions constantes constitue une partie connexe de C 0 ([0, 1], R) muni de la distance d∞ avec : d∞ (f, g) = max |f (x) − g(x)| x∈[0,1]

Pour montrer cela, on va utiliser les propriétés de la connexité de l’image continue d’un connexe. Considérons l’application suivante : F : (R, | · |) → C 0 ([0, 1], R), d∞ a 7→ fa où fa désigne la fonction constante, de valeur a, sur [0, 1]. – F est continue : fa = F (a), fb = F (b) : d∞ (fa , fb ) = |a − b| → 0 si a → b – R est connexe. d’où l’ensemble des fonctions constantes, identifié à R, est connexe. Corollaire. L’adhérence d’un connexe est connexe. Démonstration. Situtation : A ⊂ E, A est une partie connexe. Est-ce que A est connexe ? Soit f : A → {0, 1} une application continue. Question : f est-elle constante ? (A connexe ⇔ f est toujours constante) Or : f (A) = f (A) (une traduction du fait que f (x) = limxn →x f (xn )). Cas topologique : Soit y ∈ f (A) et U un voisinage ouvert de y. Le problème étant de savoir si U ∩ f (A) 6= ∅. Or f −1 (U ) ∩A 6= ∅ ⇒ U ∩ f (A) 6= ∅. (y ∈ f (A) ⇔ tout voisinage de y | {z } x→ −y f

rencontre f (A). Puisque A est connexe, f |A est constante (vaut 0 ou 1 partout sur A → f (A) est un singleton ⇔ f (A) n’a qu’un seul élément de {0, 1}. f est constante sur A.

36

Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes)

3.4

Connexité par arcs

Définition 3.4.1. Un chemin dans un espace topologique E de x vers y est la donnée d’une application continue f : [0, 1] → E telle que f (0) = x et f (1) = y. Définition 3.4.2. On dit qu’une partie A ⊂ E est connexe par arcs si deux points quelconques de A peuvent être reliés par un chemin. Theorème 3.4.1. Un espace connexe par arcs est connexe. Démonstration. Etre connexe ⇔ avoir une seule composante connexe ⇔ deux points se trouvent dans une même composante connexe (vrai car ils sont reliés par une application continue : a = f (0), b = f (1) et a, b ∈ f ([0, 1]) ⊂ E. |

{z

connexe

}

Theorème 3.4.2. L’image continue d’un connexe par arcs reste connexe par arcs. Démonstration. Siutation : f : E → F continue, E connexe par arcs. Problème : f (E) est connexe par arcs ⇔ ∀f (a), f (b), f (a) et f (b) sont reliés par un chemin. Or : a et b (dans E) sont liés par une application continue ϕ : [0, 1] → E tel que ϕ(0) = a et ϕ(1) = b. On a : ϕ

f

[0, 1] − →E→ − F 0 7→ a 7→ f (a) 1 7→ b 7→ f (b) f ◦ ϕ est un chemin dans F .

Exemple 3.4.1 (Exemple d’espaces connexes par arcs). Le graphe d’une fonction numérique continue sur un intervalle est connexe par arcs, donc connexe. Soit I un intervalle et f : I → R continue alors Γf = {(x, f (x)) ; x ∈ I} (où Γf représente le graphe de f ). On considère l’application : Φ : I → R2 x 7→ (x, f (x)) Elle est continue car ses deux composantes connexes le sont ⇒ Φ(I) connexe par arcs. Exemple d’une telle fonction : I =]0, 1] et f (x) = sin(1/x).

37

Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes)

Γ = {(x, sin(1/x)), 0 < x ≤ 1} est connexe par arcs dans R2 donc connexe. Ainsi Γ connexe dans R2 mais Γ n’est pas connexe par arcs.

2

est

Proposition 3.4.3. Lorsque deux connexes par arcs se rencontrent (en un point commun), leur réunion fait un connexe par arcs.

  x0 , x

∈ E1 b0 , b ∈ E2

a ∈ E1 ∩ E2

Démonstration. Problème : Comment relier un point de E1 à un point E2 ? Il faut utiliser (le) (ou un) point commun a comme pont : ϕ

ϕ

1 2 x −→ a −→ b

ϕ1 ” + ”ϕ2 : x → b Soit : ϕ1 : [0, 1] → E1 tel que 0 7→ x, 1 7→ a ϕ2 : [0, 1] → E2 tel que 0 7→ a, 1 7→ b avec ϕ1 , ϕ2 continues. On définit : ϕ : [0, 1] →  t

E1 ∪ E2 1 (2t) si 0 ≤ t ≤ 1/2 7 → ϕ2 (2t − 1) si 1/2 < t ≤ 1 ϕ

ϕ(0) = ϕ1 (0) = x

ϕ(1) = ϕ2 (1) = b

ϕ est continue car le passage de ϕ1 et ϕ2 est continue. 2

Γ = Γ ∪ ({0} ∪ [−1, 1])

38

Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes)

Proposition 3.4.4. Dans Rn , tout convexe est connexe par arcs. Définition 3.4.3. Une partie est dite convexe si, étant donnée deux points, le segment qui les relient appartient à la partie.

Le segment d’extrémités A(x1 , ..., xn ) et B(y1 , ..., yn ) : [AB] = {tA + (1 − t)B, t ∈ [0, 1]} = {tx1 + (1 − t)y1 , ... txn + (1 − t)yn ), t ∈ [0, 1]} si n = 1, {tx1 + (1 − t)y1 , t ∈ [0, 1]} = [x1 y1 ] et 0 ≤ x1 ≤ y1 . Démonstration. E ⊂ Rn convexe. Soit A, B ∈ E et on considère le chemin (le segment [AB]) : ϕ : [0, 1] → E t 7→ tA + (1 − t)B ϕ(0) = B

ϕ(1) = B

Chapitre 4 Espaces métriques complets, espaces de Banach Exemple 4.0.1. • R complet. • Q non complet.

4.1

Suites de Cauchy, espaces complets

Exemple 4.1.1. an =

1 . n+1

D’une part, |an | < ε dès que : n > E(1/ε) + 1

E représentant la partie entière et d’après la définition de la limite, an → 0. De l’autre : |an − am | =

|n − m| < ε si n, m ≥ 2E(1/ε) + 1 (n + 1)(m + 1)

D’après la définition de Cauchy : (an )n est une suite de Cauchy. Définition 4.1.1. Une suite (xn )n≥0 est dite de Cauchy si : ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que n, m ≥ N ⇒ d(xn , xm ) < ε L’écart entre deux termes diminue indéfiniment lorsque les indices augmentent. Situation : – (E, d) espace métrique – (xn )n une suite d’éléments de E Problème : Critère de convergence sans la connaissance sur la limite éventuelle. Rappel. xn → l dans (E, d) si d(xn , l) → 0 avec n → +∞. Cette définition doit "connaître" la limite pour parler de la convergence. Idée (de Cauchy) : Préciser l’écart entre les termes d’indices grands. En effet : (un converge seulement si des termes se différent peu de plus en plus √ Exemple 4.1.2. x = 2, on le développe en décimaux. x0 = 1 ; x1 = 1, 4 ; x2 = 1, 41 ; ... ; xn = 1, 41... Ces xn consitituent une suite de Cauchy de nombres rationnels, qui ne converge pas dans Q. 39

40

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

Un nombre rationnel admet un développement en décimaux dont ses segments se répete à partir d’un certain rang. Proposition 4.1.1. (i) Toute suite de Cauchy est bornée. (ii) Toute suite convergente est une suite de Cauchy. (iii) Une suite de Cauchy converge si et seulement si elle admet une valeur d’adhérence. Démonstration. (i) Il suffit de trouver R > 0 tel que d(xn , x0 ) ≤ R, ∀n ≥ 0 (x0 peut être remplacé par n’importe quel élément de E). On pose ε = 1, ∃N ∈ N tel que : d(xn , xm ) < 1 si n, m ≥ N Donc si n ≥ N : d(xn , x0 ) < d(xn , xN ) + d(xN , x0 ) < 1 + C On peut poser R = max(1 + C, d(x0 , xn )) avec n < N et on a : d(xn , x0 ) ≤ R pour tout entier n ≥ 0 (ii) (xn ) est telle que : ∃l ∈ E : ∀ε > 0, ∃N ≥ 0 avec d(xn , l) < ε tel que n ≥ N

(∗)

⇒ d(xn , xm ) ≤ d(xn , l) + d(l, xm ) < 2ε = ε0 si n, m ≥ N 0

Résumé : ∀ε0 > 0, ∃N ≥ 0 choisis dans (∗) avec ε = ε2 de sorte qu’on a n, m ≥ N ⇒ d(xn , xm ) < ε0 . D’où (xn ) est de Cauchy. (iii) Supposons que (xn )n de Cauchy. Si elle converge dans (E, d) ⇒ sa limite est une valeur d’adhérence et c’est la seule valeur d’adhérence pour (xn ). Réciproquement, si une suite extraite (xϕ(n) )n converge vers l dans (E, d), on a : d(xϕ(n) , l) → 0 si n → +∞. Est-ce que d(xn , l) → 0 si n → +∞ ? Or, on a : d(xn , l) < d(xn , xϕ(n) ) + d(xϕ(n) , l) < 2ε si d(xn , xϕ(n) ) < ε

1

et d(xϕ(n) , l) < ε 2 . Cela implique que :

∀ε > 0, ∃N ≥ 0 tel que si m, n ≥ N → d(xn , l) < 2ε avec d(xn , xϕ(n) ) < ε

3

et d(xϕ(n) , l) < ε 4 . D’où la convergence de (xn ) vers l.

Définition 4.1.2. Un espace (métrique) complet est un espace métrique où toute suite de Cauchy admet une limite. Exemple 4.1.3. R et Rn sont des espaces complets. En effet, si (xn ) est de Cauchy dans R muni de la distance usuelle ⇒ (xn )n est bornée sur [a, b[ (d’après le (i) de la Proposition 4.1.1), on peut y extraire une sous-suite convergente. D’après le (iii) de la Proposition 4.1.1), (xn ) converge vers l. Si (xn )n est une suite de Cauchy dans l’espace euclidien Rm , on écrit : (m) xn = (x(1) n , ..., xn ) pour chaque indice n

et on considère alors m suites numériques (x(j) n ) (pour j = 1, ..., m, toutes de Cauchy chaque (x(j) ) converge dans R et (x ) converge dans Rm . n n n≥0 1

(xn )n de Cauchy avec ε → 0 ε→0 3 ϕ(n) ≥ n 4 ϕ(n) assez grand (j) 5 (i) |xn − xn0 | ≤ |xn − xn0 | 2

5

⇒

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

41

Contre-Exemple 4.1.1. (1) Q n’est pas complet (Q est dense dans R). (2) Si E = C 0 ([0, 1], R) et : d1 (f, g) =

Z 1

|f (x) − g(x)|dx

0

alors (E, d1 ) n’est pas complet. Soit fn tel que : fn (x) =

Z 1 0

 

0   n2 x −

n−1 n



si si

0 ≤ x ≤ n−1 n n−1 0, ∃N > 0 tel que n, m > N ⇒ d∞ (fn , fm ) < ε d∞ (fn , fm ) = sup(fn (x), fm (x)) < ε si m, n > N x∈X

Si m → +∞, cette inégalité continue à être valable. Or : fm (x) → f (x) ⇒ supx∈X d(fm (x), f (x)) < ε, ceci étant vrai pour tout ε > 0 (à condition que n → ∞). Donc : fn → f dans (A, d∞ ) et f ∈ A. Corollaire. X = E un espace métrique. F est un espace métrique complet, A est l’ensemble des fonctions continues et bornées de E vers F ⇒ (A, d∞ ) est complet. 7

une valeur de F qui dépend de x

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

45

Démonstration. On utilise le théorème qui nous dit qu’une limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue. C’est donc une partie fermée de l’espace métrique complet (Fb (X, X 0 ), d∞ ). Il est donc complet. Corollaire (Cas d’un espace compact). Si E est un espace compact (inclu dans [0, 1]), dans l’ensemble des fonctions continues de E vers F est un espace métrique complet avec d∞ lorsque F est complet.

4.2

Propriétés des espaces complets

On dit qu’un espace est complet si et seulement si toute suite de Cauchy converge dans l’espace. Si E est complet et E1 ⊂ E un sous-espace (sous-ensemble), E1 reste complet si toutes ses suites de Cauchy converge dans E1 . Or : toute suite convergeante est necessairement une suite de Cauchy ⇒ si E1 reste complet, E1 est un fermé de E (qui contient tous ses points limites). Proposition 4.2.1. Un sous-espace d’un espace complet est complet si et seulement si ce sousespace est fermé. Démonstration. 1) si (xn ) converge, elle est une suite de Cauchy si l’espace est complet. 2) Chaque fermé contient tous ses points limites ⇔ sous-espace complet. Exemple 4.2.1. R est complet → les sous-espaces complets de R sont les fermés. Proposition 4.2.2. La réunion d’un nombre fini de sous-espaces complets d’un espace métrique est compléte. Démonstration. (xn ) une suite de Cauchy composée d’éléments de E1 ∪ ... ∪ En . D’après le principe des tiroirs ⇒ un sous-espace Ek contiendra une sous-suite extraite (infinie) de (xn ) laquelle reste encore de Cauchy ⇒ il existe une "sous-limite" de (xn ) donc converge dans E1 ∪ ... ∪ En . Lemme 4.2.3 (Lemme de Cantor). Dans un espace complet, si (Fn )n≥0 est une suite décroissante de fermés non vides tel que : diam(Fn ) := sup d(x, y) → 0, n → 0 x,y∈Fn

alors

\

Fn est un singleton.

n≥0

Theorème 4.2.4 (Théorème de Baire). Dans un espace complet, l’intersection d’une famille dénombrable d’ouverts denses reste une partie dense. Démonstration.

(Lemme) •

\

Fn ne peut pas contenir deux éléments x, y distincts car

n≥0

sinon diam(Fn ) ≥ d(x, y). • Pour arriver aux éléments communs aux Fn , on choisit, pour chaque n, un élément xn ∈ Fn (Fn 6= ∅) et on considère la limite dans (xn )n≥0 . Cette suite est de Cauchy car Fm ⊂ Fn si m ≥ n tel que d(xn , xm ) ≤ diam(Fm ) → 0 ⇒ xn ∈ Fm . xn ∈ Fn , xm ∈ Fm . On suppose que m ≥ n : Fm ⊂ Fn , xm ∈ Fn . d(xm , xn ) ≤ diam(Fn )

46

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach Pour m, n → ∞ et m ≥ n) d(xn , xm ) → 0 xn → l dans l’espace initial (car complet). En plus, à chaque indice, M fixé, (xn )n≥M est une suite d’éléments de FM → sa limite appartient à FM (fermé) c’est-à-dire l ∈ FM T pour tout M ≥ 0 ⇒ l ∈ n≥0 Fn . (Théorème) Cas d’un nombre fini d’ouverts. Si U1 , U2 deux ouverts denses (U1 = U2 = E) alors U1 ∩ U2 reste un ouvert dans de E. Un ensemble U est dense si pour tout un ouvert V non vide de E, U ∩ V 6= 0 (ou toute boule ouverte intersectant U 6= ∅ ou tout élément de E est limite d’éléments de U ). On vérifie alors : (U1 ∩ U2 ) ∩ V 6= ∅. On écrit : U1 ∩ U2 ∩ V = (U ∩ V ) ∩ U2 | 1 {z } 6=∅

U1 ∩ V 6= ∅ car U1 est dense dans E. En plus, c’est un ouvert car intersection de deux ouverts ⇒ W ∩ U2 6= ∅ si W = U1 ∩ V car U2 est dense aussi, d’où U1 ∩ U2 ∩ V 6= ∅ ⇒ l’intersection de deux ouverts denses ou d’un nombre fini quelconque d’ouverts denses reste une partie ouverte dense. Fin de la démonstration : (Un )n une suite d’ouverts denses. On suppose que (Un ) est décroissante : Un+1 ⊂ Un (si ce n’est pas le cas, on considère : U10 , U20 , U30 , ... avec U10 = U1 , 0 0 U 2 = U1∩ U2 , U3 = U1 ∩ U2 ∩ U3 ...). On choisit V un ouvert non vide. Est-ce qu’on a \ 

Un  ∩ V 6= ∅ ?

n≥1

U1 ∩ V 6= 0 → B(x0 , r0 ) ⊂ U1 ∩ V F0 = B(x0 , r0 /2) ⊂ V1 ∩ V ◦

On pose V1 =F0 l’intérieur de F0 = B(x0 , r0 /2). On associe : (U1 , V ) 7→ (F0 , V1 ), F0 ⊃ F1 (U2 , V1 7→ (F1 , V2 ) .... .. (Un+1 , Vn ) 7→ (Fn , Vn+1 ) On vérifie que : F0 ⊃ F1 ⊃ ...

diam(Fn ) → 0



⇒ élement limite commun à tous Fn ∈ 

 \

Un  ∩ V .

n≥1

Theorème 4.2.5 (Théorème \ de Baire). E un espace complet, (Un )n une famille dénombrable d’ouverts denses de E. Alors Un est dense dans E. n≥0

47

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

Application 4.2.1. Rn+1 : espace métrique complet. A chaque réel a ∈ R, chaque \ Ea est un fermé de Rn+1 . Notons Ea = {a}×Rn8 et Rn+1 \Ea est un ouvert dense de Rn+1 ⇔ (Rn+1 \Ea ) a∈Q

est dense donc différent du vide ⇔

[

Ea 6= R

n+1

.

a∈Q

Corollaire. Un espace vectoriel normé complet ne peut pas être réunion d’hyperplans Ea . On définit : Ea = {x ∈ E, L(x) = a} des hyperplans tels que : L :

E → R x = (x1 , ..., xn ) 7→ L(x) = a1 x1 + ... + an xn = a

On note : EL,a = {x ∈ E, L(x) = a} EL,a est fermé dans E (car image réciproque par L de a, L : E → R (linéaire continue)) : E\EL,a est dense dans E.

4.3

Espaces de Banach

Définition 4.3.1. Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet. Soit (E, k.k) un espace vectoriel normé : il est de Banach ⇔ toute suite de Cauchy est convergente dans E. Exemple 4.3.1. 1) Tous les espaces euclidiens sont de Banach. Tout espace vectoriel normé de dimension finie l’est. 2) L’espace C 0 ([−1, 1], R) muni de k.k∞ est un espace de Banach. En revanche, C 0 ([−1, 1], R) muni de la norme k.k1 n’est pas complet. On prend la suite (fn )n∈N donnée par :    1

si x = 0 fn (x) = 1 − (n + 1)x si 0 ≤ x ≤    1 0 si n+1 ≤x≤1

1 n+1

On a alors : kfn − fm k1 =

Z 1 −1

|fn (x) − fm (x)dx ≤

1 1 + ≤ε 2(n + 1) 2(m + 1)

pour m, n ≥ ε−1 . La suite (fn )n∈N est de Cauchy mais ne peut pas converger dans C 0 ([−1, 1], R) pour la norme k.k1 . Une fonction qui vaut 1 sur [−1, 0[ et 0 sur ]0, 1] n’est pas continue. 8

Sous-ensemble de Rn+1 (de dimension n)

48

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

3) n

   αn (x)

x = n+1 x ∈ [−1/2, 1/2]    E = C([−1/2, 1/2], R)

X

kαn k =

2−n 2−n converge avec ≤ 2−n n + 1 n + 1 n≥0 X

C([−1/2, 1/2], R) est complet → n≥0 αn (x) est uniformément convergente sur [−1/2, 1/2] (ou tout intervalle compact ⊂] − 1, 1[) P

Définition 4.3.2. Une série n≥0 αn d’éléments de (E, k · · · k) est dite convergeante de limite P α si la suite de ses sommes partielles converge vers α et n≥0 αn est normalement convergente P P si kαn k est bornée (c’est-à-dire kαn k est une série à termes positifs convergeante). P

Proposition 4.3.1. Dans un espace de Banach E, toute suite normalement convergeante, converge dans E. Remarque. Dans le cas des fonctions continues sur un compact, toute série normalement convergete de fonctions continues sur [0, 1] est uniformément convergente. Démonstration. (⇒) On suppose (E, k · kE ) complet. Soit (xn )n∈N une suite de E telle que P P n∈N kxn kE < ∞. Alors les sommes SN = n≤N xn vérifient pour M ≥ N : kSM − SN kE =



M

X

xn

n=N +1

≤

E

M X

kxn kE

n=N +1

Ainsi, la suite (SN )N ∈N de Cauchy dans (E, k · k) et donc converge. (⇐) Supposons que toute série absolument convergente converge. Soit (xn )n∈N une suite de Cauchy de (E, k·kE ). On peut extraire une sous-suite (xnk )k∈N telle que : ∀k ∈ N, kxnk+1 − xnk k ≤ 2−k (il suffit de prendre nk = N2−k ). On pose alors uk = xnk+1 − xnk pour k ∈ N et P la série k∈N uk est absolument convergeante donc converge dans (E, k·kE ) par hypothèse. P Or on a xnk+1 − xn0 = kj=0 uj est on en déduit que la sous-suite (xnk )k∈N converge dans (E, k · kE ). Comme toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente converge P alors limn→+∞ xn = xn0 + k∈N uk .

4.4

Théorème du point fixe

f : (E, dE ) → (F, dF ) une application. Définition 4.4.1. f est dit k-lipschitzienne si : ∀x, y ∈ E, dF (f (x), f (y)) ≤ kdE (x, y) Si k < 1, f est appelé "contraction". Remarque. Toute application k-lipschitzienne est continue et uniformément continue. Dans la suite : f : (E, k · k) → (E, k · k) une application contractante d’un espace de Banach.

49

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

Theorème 4.4.1. Tout contraction d’un espace de Banach admet un unique point fixe : ∃!x0 ∈ E tel que f (x0 ) = x0 . Démonstration. On part d’un point a0 ∈ E et on pose : a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), a3 = f (a2 ), ... Idée : On montre que (an ) est une suite de Cauchy. Plus précisément, n≥0 an+1 − an est une suite bornée en norme par une série géométrique convergente alors elle est normalement convergente. On remarque que si an → x0 alors par continuité de x0 : x0 = f (x0 ). En effet, an+1 = f (an ) : P

kam − an k = kf (an ) − f (an+1 )k ≤ kkan − an+1 k ≤ k n ka1 − a0 k ⇒

X

kan+1 − an k ≤ ka1 − a0 k

n≥0

X

k n < +∞

n≥0

car k < 1. Application 4.4.1. F (u) = 0 : équation sur la fonction inconnue u. Si f (u) = F (u) + u alors la solution de F (t) = 0 est exactement le point fixe de f : il faut trouver un espace fonctionnel sur lequel f est une contraction. Exemple 4.4.1. Soit à résoudre (E) :  y 0

= y(+y 2 + x) (E) : f (0) = 1 On doit tout d’abord traduire (E) en équation intégrale : Z t 0

0

y (s)ds =

Z t 0

y(s)ds ⇒ yu(t) = 1 +

F (u)(s) = u(s) + 1 +

Z t

Z t

y(s)ds

0

u(s)ds

0

f (u)(t) = 1 +

Z t

u(s)ds

0

Soit E = l’ensemble des fonctions continuies "au voisinage de 0" ([−1, 1], [−1/2, 1/2], ...) muni de la norme de la convergence uniforme. Soit I un intervalle fermé autour de 0 : kf (u) − f (v)k = sup |f (u)(t) − f (u)(t)| = t∈I

Z t sup u(s) − v(s)ds t∈I

0

≤ sup |u(s) − v(s)| max |t| s∈I

t∈I

Conclusion : si I = [−a, a] avec 0 < a < 1 alors f est contractante sur C([−a, a], R) avec la norme de la convergence uniforme. On peut ensuite calculer la solution par itération est ainsi prouver que la suite cherchée converge vers la solution. Exemple 4.4.2. f : R → R x 7→ x2 1) x = 0 est le point fixe. 2) itération : f ◦ f = 2x2 , f ◦ f ◦ f = 2x3 , ..., f [n] (x) = 2xn . ∀a ∈ R, a un point initial quelconque, on a : a f [n] (a) = n → 0 si n → +∞ 2 Par itération, le point fixe est atteint depuis un point arbitraire.

50

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

4.5

Théorème d’Ascoli

Pour (X, d) espace métrique compact et (X 0 , d0 ) espace métrique, l’ensemble C 0 (X; X 0 ) des fonctions continues muni de la distance d∞ de la convergence uniforme est un espace métrique. Et si (X 0 , d0 ) = (E, k · k) est un K-espace vectoriel, c’est un espace vectoriel normé de dimension infinie (sauf cas très particulier où X est fini ou X 0 = {0}). La question que l’on se pose est l’identification des parties compactes de (C 0 (X; X 0 ), d∞ ). Avec le théorème de Riesz dans le cas où (X 0 , d0 ) = (E, k · k), on sait que les fermés bornés ne conviennent pas. Ainsi, il ne suffit pas de majorer uniformément les fonctions.

4.5.1

Condition nécessaire à la compacité

Soit (X, d) un espace métrique compact et (X 0 , d0 ) un espace métrique. On considère une partie compacte K de C 0 (X, X 0 ). Pour tout x ∈ X, l’application C 0 (X, X 0 ) 3 f → f (x) ∈ X 0 est continue. On en déduit que l’ensemble {f (x), f ∈ K} est compact (image d’un compact par une application continue). Définition 4.5.1. Soit (X, d) est un espace métrique compact et (X 0 , d0 ) un espace métrique. On dit qu’une partie E de C 0 (X, X 0 ) est ponctuellement (relativement9 ) compacte si pour tout x ∈ X, l’ensemble {f (x), f ∈ E} est (relativement) compact dans (X 0 , d0 ). De plus, comme K est un compact de l’espace métrique (C 0 (X, X 0 ), d∞ ) pour ε > 0 arbitrairement petit, on peut trouver Nε boules de rayon ε/3, B(fi , ε/3), i ∈ {1, ..., Nε }, telles que K ⊂

Nε [

B(fi , ε/3) (conséquence de la compacité et du Lemme de la maille). De plus, chaque

i=1

fi est uniformément continue sur le compact X (théorème de Heine) : ∃αi > 0, ∀x, y ∈ X, (d(x, y) ≤ αi ) ⇒ (d0 (fi (x), fi (y) ≤ ε) d’où l’on tire pour tout f ∈ B(fi , ε/3) ∀x, y ∈ X, d(x, y) ≤ αi , d0 (f (x), f (y)) ≤ d0 (f (x), f (xi )) + d0 (fi (x), fi (y)) + d0 (fi (y), f (y)) ≤ ε En prenant α =

min

i∈{1,...,Nε }

αi , on obtient une uniforme continuité :

∀x, y ∈ X, (d(x, y) ≤ α) ⇒ (∀f ∈ K, d0 (f (x), f (y)) ≤ ε) qui est uniforme par rapport à f ∈ K (le α ne dépend plus de f ). Cela nous conduit à la définition suivante. Définition 4.5.2. Pour deux espaces métriques (X, d) et (X 0 , d0 ), on dit qu’une partie E de C 0 (X, X 0 ) est équicontinue sur X (ou encore également uniformément continue sur X) si : ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x, y ∈ X, (d(x, y) ≤ α) ⇒ (∀f ∈ E, d0 (f (x), f (y)) ≤ ε) Le raisonnement précédent nous donne une condition nécessaire à la compacité dans C 0 (X, X 0 ). Proposition 4.5.1. Soit (X, d) un espace métrique compact et (X 0 , d0 ) un espace métrique. Les parties compactes K de (C 0 (X, X 0 ), d∞ ) sont nécessairement équicontinues et ponctuellement compactes. 9

On rappelle qu’une partie est relativement compacte si son adhérence est compacte

51

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

Il est clair que la propriété d’équicontinuité est transmise à toute partie du compact K. On a donc aussi la variante suivante pour les parties relativement compactes. Corollaire. Soit (X, d) est un espace métrique compact et (X 0 , d0 ) un espace métrique. Les parties relativement compactes E de (C 0 (X, X 0 ), d∞ ) sont nécessairement équicontinues et ponctuellement relativement compactes.

4.5.2

Condition nécessaire et suffisante

On va voir que les propriétés d’équicontinuité et de (relative) compacité ponctuelle sont suffisantes. La relative compactié est plus commode dans le sens où les parties d’une partie équicontinue sont équicontinues et où la relative compactié se transmet aux sous-ensembles. Theorème 4.5.2. Soit (X, d) est un espace métrique compact et (X 0 , d0 ) est un espace métrique. Une partie de E de C 0 (X, X 0 ) est relativement compacte pour la topologie de la convergence uniforme si et seulement si elle est équicontinue et ponctuellement relativement compacte. Remarque. Une façon d’énoncer ce théorème est de dire qu’une famille de fonctions continues est relativement compacte si (et seulement si) on sait contrôler uniformément leurs valeurs et leurs oscillations. Démonstration. Soit E une partie équicontinue, ponctuellement relativement compacte de C 0 (X, X 0 ). On veut montrer que son adhérence E est un compact de l’espace métrique (C 0 (X, X 0 ), d∞ ). Autrement dit, on veut montrer que de toute suite (f n )n∈N de E, on peut extraire une sous-suite qui converge uniformément sur X vers f ∈ C 0 (X, X 0 ). Soit (f n )n∈N une suite de fonctions continues de X dans X 0 . Comme (X, d) est un espace métrique compact, il est séparable. Soit D = {xk , k ∈ N} un ensemble dénombrable dense. Pour chaque k ∈ N, la suite (f n (xk ))n∈N reste dans un compact Kk de (X 0 , d0 ). Ainsi, la suite Q des restrictions (f n |D )n∈N peut être vue comme une suite du compact métrisable k∈N Kk . On peut donc en extraire une sous-suite (f nl )l∈N qui converge ponctuellement sur D. Etudions maintenant la convergence de cette sous-suite en un point arbitraire x ∈ X. Par l’hypothèse, l’adhérence dans (X 0 , d0 ) de {f (x), f ∈ E} est compacte donc complète. Pour que la sous-suite (f nl (x))l∈N ait une limite f (x) ∈ X 0 , il suffit donc de vérifier que cette sous-suite est de Cauchy. Soit ε > 0. Comme la partie E est équicontinue on sait que α > 0 assez petit on a : ∀x, y ∈ X, d(x, y) ≤ α, ∀l ∈ N, d0 (f nl (y), f nl (x)) ≤ ε/3 Puisque D est dense dans X, on prend xk ∈ D tel que d(x, xk ) ≤ α. Comme la suite (f nl (xk ))l∈N converge dans X 0 , elle est de Cauchy et on peut trouver Lε,k tel que : ∀l, l0 ≥ Lε,k , d0 (f nl (xk , f nl0 (xk )) ≤ ε On majore d0 (f nl (x), f nl0 (x)) par : d0 (f nl (x), f nl (xk ) + d0 (f nl (xk ), f nl0 (xk )) + f nl0 (xk ), f nl0 (x)) |

{z

≤ε/3

}

|

{z

≤ε/3

}

|

{z

≤ε/3

}

et on obtient ∀l, l0 ≥ Lε,k , d0 (f nl (x), f nl0 (x)) ≤ ε Ainsi la sous-suite (f nl (x))l∈N converge dans (X 0 , d0 ) pour tout x ∈ X. On note f (x) sa limite. Il reste à vérifier que la convergence de (f nl )l∈N vers f a lieu uniformément par rapport à x ∈ X. Pour ε > 0 fixé, en utilisant les notations ci-dessus, on sait qu’il existe un entier N tel

52

que X ⊂

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach N [

B(xk , α) (

S

k∈N

B(xk , α) forme un recouvrement de X qui est supposé compact).

k=0

On prend alors Lε =

max

k∈{0,...,N }

Lε,k et on a :

∀l, l0 ≥ Lε , ∀x ∈ X, d0 (f nl (x), f nl0 (x)) ≤ ε On passe à la limite l0 → ∞ et on obtient : ∀l ≤ εLε , d∞ (f nl , f ) ≤ ε La sous-suite (f nl )l∈N converge uniformément vers f ∈ C 0 (X, X 0 ). Corollaire. Si de plus (X, d) est connexe par arc et si (X 0 , d0 ) est un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R ou C) alors il suffit que E ∈ C 0 (X, X 0 ) soit équicontinue et que pour un x0 ∈ X l’ensemble {f (x0 , f ∈ E} soit borné pour que E soit relativement compacte dans (C 0 (X, X 0 ), k · k∞ ). Démonstration. Dans un K-espace vectoriel de dimension finie les parties relativement compactes sont les parties bornées. Il s’agit donc de vérifier que pour tout x ∈ X, l’ensemble {f (x), f ∈ E} est borné. Comme X est supposé connexe par arc il existe pour tout x ∈ X un chemin γ ∈ C 0 ([0, 1], X) reliant x0 à x. Cette application γ : [0, 1] → X est en particulièrement uniformément continue et pour tout α > 0, il existe N ∈ N∗ tel que :   1 ⇒ d(γ(t), γ(t0 )) ≤ α) ∀t, t0 ∈ [0, 1], |t − t0 | ≤ N Avec l’équicontinuité de E, on sait trouver α > 0 tel que : ∀x, y ∈ X, (d(x, y) ≤ α) ⇒ (∀x ∈ E, d0 (f (x), f (y)) ≤ 1) On a alors en fixant une origine A ∈ X 0 : ∀f ∈ E, d0 (A, f (x)) ≤ d0 (A, f (x0 )) + d0 (f (x0 ), f (x)) ≤ d0 (A, f (x0 )) +

N −1 X

d0 (f ◦ γ(k/N ), f ◦ γ((k + 1)/N )) ≤ d0 (A, f (x0 )) + N

k=0

Remarque. Dans le Corollaire précédent, on peut se contenter de supposer que (X, d) est connexe. Pour fixes les idées sur les applications possibles du théorème d’Ascoli nous donnons le Corollaire suivant : Corollaire. Si on munit C 1 ([0, 1], R) de la norme kf kC 1 = kf k∞ + kf 0 k∞ , alors les bornés de (C 1 ([0, 1], R), k · kC 1 ) sont relativement compacts dans C 0 ([0, 1], R). Démonstration. Soit E un borné de C 1 ([0, 1], R), E ⊂ Bf,C 1 (0, M ). Comme la norme kf k∞ est majorée par la norme kf kC 1 , il est clair qu’un borné de C 1 ([0, 1], R) est ponctuellement relativement compact. L’équicontinuité vient de l’inégalité des accroissements finis : ∀f ∈ E, ∀x, y ∈ [0, 1], |f (y) − f (x)| ≤ M |x − y|

Remarque. On peut étendre ce résultat à plusieurs dimensions et en considérant les bornés de C k+1 dans C k . D’une façon générale avec les espaces fonctionnels, un controle uniforme d’une régularité un peu plus élevée conduit à des propriétés de compacité.