M15_CHOPRA_Dinamica_Reduccion de Los Grados de Libertad

 16 Evaluación numérica Evaluación de la respuesta dinámica

AVANCE Hasta ahora se ha abordado principalmente el análisis modal de los sistemas de VGDL VGDL con amortiguamiento clásico que responden dentro de su intervalo elástico lineal; vea la figura 9.11.1. Las ecuaciones modales desacopladas pueden resolverse en forma cerrada si la excitación es una función simple (capítulo 12), pero para las excitaciones complejas como el movimiento sísmico del terreno se requieren los métodos numéricos del capítulo 5 (capítulo 13). El desacoplamiento de las ecuaciones modales no es posible si el sistema tiene un amortiguamiento no clásico o si responde en el intervalo no lineal. Para estos sistemas es necesario resolver las ecuaciones acopladas de movimiento en las coordenadas c oordenadas nodales, modales o de Ritz (ecuaciones 9.8.2, 12.4.4 o 15.3.3, respectivamente) mediante métodos numéricos. Existe una gran cantidad de literatura acerca de estos métodos, incluyendo los capítulos principales de varios libros. Sin embargo, en este capítulo se incluyen sólo algunos métodos basados en los procedimientos que se presentaron en el capítulo 5 para los sistemas de 1GDL. Aquí se proporcionan los conceptos básicos detrás de estos métodos y los algoritmos de cálculo necesarios para implementar los métodos.

16.1 MÉTODOS DE ANÁLISIS ANÁLIS IS EN EL TIEMPO PASO PASO A PASO PASO El objetivo es resolver en forma numérica el sistema de ecuaciones diferenciales que controlan la respuesta de los sistemas de VGDL: mu¨  cu˙  f S  S ( u)



p(t )

o

 mι u g ( t )

 ¨

( 16.1.1)

673

6744 67

Reducción de los grados de libertad

Capítulo 15

con las condiciones iniciales u



( 0)

y

u

˙

u



˙ ( 0)

u

( 16.1.2)

en t � 0. La solución s olución proporcionará proporcionará el vector de desplazamiento u(t ) como una función del tiempo. Como en el capítulo 5, la escala de tiempo se divide en una serie de pasos de tiempo, por lo general de duración constante Δt . La excitación se da en los instantes de tiempo discreto t i � i Δt ; en t i, que se denota como el tiempo i, el vector de excitación es pi ≡ p(t i). La respuesta se determinará en los mismos instantes de tiempo y se denota por ui ≡ u(t i), ˙ i u˙ ( t i ) , y u¨ i u¨ ( t i ). u A partir de la respuesta conocida del sistema en el tiempo i que satisface la ecuación (16.1.1) en el instante i, 



mu¨ i

 cui  ( f S  S ) i 

˙

pi

( 16.1.3)

los métodos de análisis en el tiempo paso a paso permiten dar un paso adelante para determinar la respuesta ui 1 , u˙ i 1 y üi�1 del sistema en el tiempo i � 1, la cual satisface la ecuación (16.1.1) en el tiempo i � 1. 



mu¨ i 1  cu˙ i 1

 ( f S  S ) i 1 

pi 1

( 16.1.4)

Cuando se aplica en forma sucesiva con i � 0, 1, 2, 3, ..., el procedimiento de análisis en el tiempo paso a paso proporciona la respuesta deseada en todos los instantes de tiempo i � 1, 2, 3, .... Las condiciones iniciales conocidas en el momento i � 0, ecuación (16.1.2), dan la información necesaria para iniciar el proceso. El procedimiento numérico requiere tres ecuaciones matriciales para determinar los tres vectores desconocidos ui 1 , u˙ i 1 , y u¨ i 1 . Dos de estas ecuaciones se s e derivan de cualquiera de las ecuaciones en diferencias finitas para los vectores de velocidad y aceleración, o de un supuesto sobre de la manera en que varía la aceleración durante un paso de tiempo. La tercera es la ecuación (16.1.1) en un instante de tiempo seleccionado. Si éste es el tiempo actual i, se dice que el método de integración es un método explícito. Si se utiliza el tiempo i � 1 al final del paso de tiempo, el método se conoce como c omo un método implícito; vea el capítulo 5. Como se mencionó en el capítulo 5, para que un procedimiento numérico sea útil, debe (1) converger converger a la solución exacta a medida que Δt  decrece,  decrece, (2) ser estable en presencia de errores de redondeo numérico, y (3) ser exacto (es decir, los errores de cálculo deben estar dentro de un límite aceptable). Los criterios de estabilidad se mostraron como no restrictivos en el análisis de la respuesta de los sistemas de 1GDL, porque Δt  debe   debe ser mucho menor que el límite de estabilidad para asegurar la precisión adecuada en los resultados numéricos. Sin embargo, en el análisis de los sistemas de VGDL la estabilidad del método numérico es una consideración crítica, como se verá más adelante en este capítulo. En particular, es posible utilizar en forma eficaz procedimientos condicionalmente condicionalmente estables para el análisis de la respuesta lineal de grandes sistemas de VGDL, pero para el análisis de la respuesta no lineal de tales sistemas suelen requerirse procedimientos incondicionalmente estables. En las siguientes secciones se presentan algunos de los métodos numéricos para cada tipo de análisis de la respuesta. 





Sección 16.2

675

Sistemas lineales con amortiguamiento no clásico

16.2 SISTEMAS LINEALES CON AMORTIGU AMORTIGUAMIENTO AMIENTO NO CLÁSICO Las  N  ecuaciones   ecuaciones diferenciales (16.1.1) que deben resolverse para obtener los desplazamientos nodales u, cuando están especificadas para sistemas lineales, son ¨  cu˙  ku  p( t ) mu

o

mιu¨ g ( t )

( 16.2.1)

En esta sección se presenta una alternativa alte rnativa al procedimiento de análisis modal generalizado (capítulo 14) para resolver la ecuación (16.2.1). Si el sistema tiene pocos grados de libertad, puede resultar adecuado resolver estas ecuaciones en su forma actual. Sin embargo, para los sistemas de muchos grados de libertad suele ser ventajoso transformar la ecuación (16.2.1) en un con junto  jun to más más pequ pequeño eño de ecuac ecuacion iones es al expr expresar esar los desp desplaza lazamie miento ntoss en térm término inoss de los los prim primero eross pocos modos de vibración natural φn del sistema no amortiguado (capítulo 12) o un conjunto apropiado de vectores de Ritz (capítulo 15). En esta sección se utiliza la transformación modal; la ampliación de los conceptos para utilizar la transformación a vectores de Ritz es simple. Así, los desplazamientos nodales del sistema se aproximan mediante una combinación lineal de los primeros J  modos  modos naturales:  J 

φn qn ( t )

u( t ) n



Φq( t )

( 16.2.2)

1



donde J  puede  puede seleccionarse empleando los conceptos y procedimientos desarrollados en la sección 12.11. Si se usa esta transformación, como se muestra en la sección 12.4, la ecuación (16.2.1) se convierte en la ecuación Mq¨  Cq˙  Kq  P( t )

en la que

( 16.2.3)

T  M ΦT  mΦ C ΦT  cΦ K ΦT  kΦ P( t ) ( 16.2.4) Φ p( t ) donde M y K son matrices diagonales. La ecuación (16.2.3) es un sistema de  J  ecuaciones  ecuaciones en las incógnitas qn(t ) y, si  J  es  es mucho menor que  N , puede ser ventajoso resolverlas de manera 







numérica en lugar de la ecuación (16.2.1). Los ahorros de cálculo resultantes pueden compensar con creces el esfuerzo del cálculo adicional necesario para determinar los primeros J  modos.  modos. Las  J  ecuaciones   ecuaciones (16.2.3) pueden ser acopladas o desacopladas dependiendo de la forma de la matriz de amortiguamiento. Son desacopladas para los sistemas con amortiguamiento clásico y cada ecuación modal puede resolverse de manera numérica mediante los métodos del capítulo 5. Para los sistemas con amortiguamiento no clásico, C no es una matriz diagonal y las ecuaciones son acopladas. En esta sección se presentan los métodos numéricos mediante los cuales se resuelven tales ecuaciones acopladas para los sistemas lineales. Aunque Aunque éstos se presentan con referencia a la ecuación (16.2.3), se pueden extender al conjunto reducido de ecuaciones (15.3.3) usando vectores de Ritz. La ecuación (16.2.3) puede resolverse utilizando métodos numéricos condicionalmente estables; es decir, no es necesario insistir en un procedimiento incondicionalmente estable (vea la sección 5.5.1). El paso de tiempo ti empo Δt  debe  debe elegirse de manera que la reacción Tn   sea lo suficientemente pequeña para asegurar una solución exacta en cada uno de los  / T  Δt  modos incluidos, n � 1, 2, ...,  J ; T n es el periodo natural del n-ésimo modo del sistema no amortiguado. La elección de Δt  está  está dictada por el periodo del  J -ésimo -ésimo modo, puesto que T J    debe ser pequeña, por ejemplo meéste tiene el periodo más corto; por consiguiente, Δt  / T  Tn   es incluso más pequeña para todos los modos nos de 0.1. Esta elección implica que ΔT  / T  inferiores, lo que garantiza una solución exacta para todos los modos incluidos. Es evidente

676

Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica

Capítulo 16

que el Δt  escogido  escogido para satisfacer el requisito de exactitud, por ejemplo Δt  < 0.1T  J , satisfaría el requisito de estabilidad. Por ejemplo, Δt  � 0.1 T  J  es mucho menor que los límites de estabilidad de T  J  / π y 0.551T  J  para el método de la diferencia central y el método de la aceleración lineal, respectivamente (secciones 5.3 y 5.4). La solución directa de la ecuación (16.2.1) (sin transformar a coordenadas modales) puede ser preferible para los sistemas con pocos grados de libertad o para los sistemas y excitaciones donde la mayoría de los modos contribuyen contribuyen de manera significativa a la respuesta, porque en estas situaciones sit uaciones es poco lo que puede obtenerse con la transformación modal. Los métodos numéricos que se presentan a continuación se adaptan con facilidad a una solución tan directa, siempre que el paso de tiempo Δt  se   se elija para satisfacer el requisito de estabilidad, en relación con el periodo natural T  N  más corto del sistema sist ema no amortiguado. A continuación se presentan dos procedimientos condicionalmente estables para el análisis de la respuesta lineal de sistemas de VGDL. Se tratan del método de la diferencia central y el método de Newmark. 16.2.1 Método de la diferencia diferencia central

Desarrollado en la sección 5.3 para los sistemas de 1GDL, el método de la diferencia central puede extenderse con facilidad a los sistemas de VGDL. Las ecuaciones escalares (5.3.1) que relacionan las cantidades de respuesta en el tiempo i � 1 con aquéllas en el tiempo i e i � 1, y la ecuación escalar (5.1.3) del equilibrio en el tiempo i, ahora se convierten en ecuaciones matriciales. La otra característica nueva surge de la necesidad de transformar las condiciones condiciones iniciales de los desplazamientos nodales, ecuación (16.1.2), en coordenadas modales y transformar de nuevo la solución de la ecuación (16.2.3) de coordenadas modales a desplazamientos nodales. Al colocar todas estas ideas en la tabla 5.3.1 se llega a la tabla 16.2.1, donde se presenta el método de la diferencia central tal como podría implementarse por computadora. Existen dos observaciones en relación con el método de la diferencia central que podrían ser útiles. En primer lugar, las ecuaciones algebraicas que deben resolverse en el paso 1.3 para determinar q¨ 0 están desacopladas porque M es una matriz diagonal cuando se utilizan coordenadas modales o vectores de Ritz dependientes de la fuerza. En segundo lugar,, el paso 2.3 se basa en el equilibrio en el tiempo i y la matriz de rigidez K no entra en lugar el sistema de ecuaciones algebraicas resueltas para determinar qi�1 en el instante i � 1, lo que implica que el método de la diferencia central es un método explícito. El método de la diferencia central también puede utilizarse para resolver directamente las ecuaciones originales en desplazamientos nodales, ecuación (16.2.1), sin transformarlas a coordenadas modales. Lo anterior se logra al modificar la tabla 16.2.1 de la siguiente manera: se eliminan los pasos 1.1, 1.2, 2.1 y 2.5. Se remplaza (1) q, q˙ , y q¨ por u, u˙ , y u¨ ; (2) M, C y K por m, c y k; (3) P por p; y (4) K y P  por k  y p. ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

16.2.2 Método de Newmark

Desarrollado en la sección 5.4 para los sistemas de 1GDL, el método de Newmark puede extenderse con facilidad a los sistemas de VGDL. Las ecuaciones escalares (5.4.9) que relacionan los incrementos de la respuesta (de desplazamiento, velocidad y aceleración) a través del paso de tiempo i al i � 1 entre sí y con los valores de la respuesta en el tiempo i, y la ecuación escalar e scalar (5.4.12) del equilibrio incremental, ahora se convierten en ecuaciones matriciales. La implementación de este cambio en la tabla 5.4.2, junto con la transformación de las condiciones iniciales en coordenadas modales y las soluciones modales en

Sección 16.2

MÉTODO DE LA DIFERENCIA CENTRAL: SISTEMAS LINEALES

TABLA 16.2.1

1.0

Cálculos iniciales φnT  mu0 q ; 1. 1 ( n ) 0  φnT  mφn

( q˙n ) 0



φnT  mu˙ 0 φnT  mφn

q0T   (q1 ) 0 , . . . , ( q J ) 0

1.4

P0  Φ T p0 . ¨0 Resu Re suel elva va:: M q Sele Se lecci ccion one e t .

1.5

q1

1.6

ˆ K

1.7

a

1.2 1.3

2.0

677

Sistemas lineales con amortiguamiento no clásico







q0



1

t ) 2 1

t )



˙0 t q

M

M 2

P0 

q˙ 0T   (q˙1 ) 0 , . . . , ( q˙ J ) 0 .

˙ 0  Kq0   Cq

t ) 2 2

q¨ 0 .

q¨ 0 .

1

C. 2 t  1 C  ; 2 t 

b



K

2

t ) 2

M.

Cálculos para cada paso de tiempo i 2.1 2.2 2.3 2.4

2.5

Pi  Φ T pi . ˆ i  Pi  aqi 1  bqi . P ˆ i 1  P ˆ i  qi 1 . Resu Re suel elva va:: Kq En cas caso o nece necesar sario: io: 1 ( qi 1  qi 1 ) q˙ i  q¨ i 2 t  ui 1



1

t ) 2

( qi 1

 2qi  qi 1 )

 Φ qi 1 .

3.0  Repetición para el siguiente paso de tiempo. Remplace i por i + 1 y repita los  pasos 2.1 a 2.5 para el siguiente paso de tiempo.

desplazamientos nodales, como en la sección 16.2.1, conduce a la tabla 16.2.2, donde se resume la solución del análisis del tiempo paso a paso mediante el método de Newmark, Newmark, tal como podría implementarse por computadora. c omputadora. Los dos casos especiales del método de Newmark que se utilizan comúnmente son (1) γ � 12 y β � 14, lo que resulta en el método de la aceleración promedio constante, y (2) γ � 1 1 ac eleración lineal. El método de la aceleración 2 y β � 6, que corresponde al método de la aceleración media constante es incondicionalmente estable, mientras que el método de la aceleración lineal es condicionalmente estable para Δt ≤ 0.551T  J . Con un paso de tiempo dado que sea mucho menor que este límite de estabilidad, el método de aceleración lineal es más preciso que el método de la aceleración media. Por lo tanto, resulta de gran utilidad para los sistemas lineales debido a que el Δt  elegido  elegido para obtener una respuesta exacta en el modo más alto incluido satisfaría los requisitos de estabilidad. Observe que el paso 2.3 se basa en el equilibrio en el instante i � 1 y que la matriz de rigidez K entra en el sistema de ecuaciones algebraicas resueltas para determinar qi�1 en el instante i � 1, lo que implica que el método de Newmark es un método implícito. El método de Newmark también puede utilizarse para resolver de manera directa las ecuaciones originales en los desplazamientos nodales, ecuación (16.2.1), sin transformarlas en coordenadas modales. Esto se logra mediante la modificación apropiada de la tabla 16.2.2, como se indica al final de la sección 16.2.1.

678

Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica TABLA 16.2.2

Capítulo 16

MÉTODO DE NEWMARK: SISTEMAS LINEALES

Casos especiales (1) Método de la aceleración aceleración media constante constante (   12 , β (2) Método de la aceleración aceleración lineal lineal (   12 , β  16 )

1 ) 4



Cálculos iniciales

1.0

( qn ) 0

1.1



φ nT  m u0 φ nT  m φ n

( ˙ qn ) 0

;

q0T   ( q1 ) 0 , . . . , ( q J  )0

φnT  m φ n

q1 ) 0 , . . . , ( q˙ J  )0 . q˙ 0T   ( ˙

P0  Φ T p0 . Resu Re suel elva va M  ¨q0  P0  C  ˙q0  K q0 ⇒ q¨ 0 . Selec Se leccio cione ne t . 1 1  a1  M C a M   ; 2 t  t  t ) 2 1  a3   1 M  t   1 C. 2β 2β ˆ  K  a1 . K

1.2 1.3 1. 3 1.4 1.5

1.6 2.0



 ˙u0 φ nT  m  m ˙



C;

1

β

y

Cálculos para cada Cálculos cada paso de tiempo, tiempo, i  0,  1 ,  2, . . . ˆ i 1  Φ T pi 1  a1 qi  a2 q˙ i  a3 q¨ i . 2.1 P ˆ qi 1  P ˆ i 1 ⇒ qi 1 . 2.2 2. 2 Re Resu suel elva va K 2.3

q˙ i 1 

2.4

q¨ i 1 

2.5

ui 1



( qi 1  qi )  t 

1

t ) 2  Φ qi 1 .

1



1

 ( qi 1  qi ) 



q˙ i 

β

q˙ i  t 



t  1 

1 2

1

2β

 ¨qi .

q¨ i .

3.0  Repetición para el siguiente paso de tiempo. Remplace i por i+1 y ejecute los pasos 2.1 a 2.5 para el siguiente paso de tiempo.

Ejemplo 16.1

El edificio de cortante de cinco niveles de la figura 12.8.1 (repetido por conveniencia como la figura E.16.1a) se somete a un ciclo sinusoidal completo de la aceleración del terreno üg(t ) � ügo sen 2πt  (figura  (figura E16.1b) con t d  � 1 s; ügo � 0.5g; m � 100 kips/g; k � 100 kips/pulg; y fracciones de amortiguamiento modal ζ n � 5% para todos los modos. Resuelva las ecuaciones de movimiento después de transformarlas en los dos primeros modos mediante el método de la aceleración lineal con Δt � 0.1 s. En primer lugar, se establecen las ecuaciones modales. Las matrices de masa y rigidez están disponibles en la sección 12.8 y las fuerzas sísmicas efectivas en la ecuación (13.1.2): Solución

m



m

 





1

 

1 1 1 1



k



k 

 





2 1



1 2 1

 





1 2 1





1 2 1







1 1



donde se ha descartado el subíndice “ef ” en la ecuación ecua ción (13.1.2).

p( t )

m

 

 





1 1 u¨ g ( t ) 1 1 1 (a)





Sección 16.2

679

Sistemas lineales con amortiguamiento no clásico m

u

Rigidez del entrepiso k 

m

u

ü

g

4

ü

k 

m

u

        2

   1    @    5

5

go

3

k 

m

u

t 

d 

2

k 

m

u

t 

−ü

go

1

k 

(a)

(b)

Solución numérica Solución teórica

(c)

20

0.5

  g    l  .   u   p  ,   10

  g    l  .   u   p  ,   20

     q

     q

−20

−0.5 0

0.5

1 Tiempo, s

1.5

2

0

0.5

1 Tiempo, s

1.5

2

20   g    l   u   p  ,   50

(d)

     u

−20 0

0.5

1 Tiempo, s

1.5

2

Figura E16.1

Al resolver el problema de valor característico, se obtienen las dos primeras frecuencias y los dos primeros modos naturales:

 0.334 

5. 592 16.32







0. 641 0. 895 1. 078 1. 173

0.895  1.173 0.641 0.334  1.078











(b)

Si se sustituyen m, k y  en la ecuación (16.2.4), resulta M



1 1

K



31. 27 266.4

P( t )

1. 067 u¨ g ( t ) 0. 336

 

(c)

680

Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica

Capítulo 16

Las dos ecuaciones (16.2.3) en coordenadas modales están desacopladas para el sistema clásicamente amortiguado, y C es una matriz diagonal con el n-ésimo elemento de la diagonal igual al amortiguamiento modal generalizado C n � ζ n(2 M nωn); vea la ecuación (10.9.11): C



0. 559

(d)

1.632

Sin embargo, por motivos de generalidad, esta propiedad de desacoplamiento no se utiliza en la solución de este ejemplo. El procedimiento de la tabla 16.2.2 se implementa de la siguiente manera: 1.0 Cálculos iniciales 1.1 Como el sistema inicia desde el reposo, u0 u˙ 0 0, por lo tanto, q0 1.2 p0 � 0; entonces, P0 � 0. 0. 1.3  ¨q0 1.4 Δt � 0.1 s. 1 1 ,y β 1.5 Al sustituir M, C, t ,  γ  2 6 en el paso 1.5, se obtiene 





˙0 q



0.





616.8 a1



61. 12



a2

649. 0



2.028 a3

63.27



2.082

1.6 Si se sustituyen K y a3 en el paso 1.6, resulta  ˆ K

648. 0 

915. 4

2.0 Cálculos para cada paso de tiempo , i. Con los parámetros de este ejemplo, los pasos de cálculo 2.1 a 2.5 se especifican e implementan en cada paso de tiempo i del

siguiente modo: ˆ i 1 2.1 P

T 

Φ

P1 P2

1. 067

ˆ



ˆ

˙ i  a3  a1 qi  a2 q

pi 1

0. 336

i 1

( u g ) i 1 ¨

616. 8 q1  61. 12 q1  2. 028 q1 ˙



¨

649. 0 q2  63. 26 q2  2. 028 q2 ˙

648.0

2.2   Resuelva

q¨ i .

q1 q2

915.4

P1 P2

¨

i

ˆ



ˆ

i 1

⇒

i 1

qi 1 .

En la tabla E16.1 y la figura E16.1c se muestran los desplazamientos modales qi de los primeros 20 pasos de tiempo. q˙1 q˙2

2.3

q¨1 q¨2

2.4

 2.5



 30

i 1  600

i 1

u1  u2 u3 u4 u5 

q1 q2

 0.334





  

q1 q2



i 1



0.641 0.895 1.078 1.173



i 1 

i 1 0

q1 q2 q1 q2

.895  1. 173 0. 641 0.334 1.078 





2

i

q˙1 q˙2

 60

i

q1 q2

 0 05

.

i

q˙1 q˙2

2

i

q¨1 q¨2

i

q¨1 q¨2

i

.

.

. i 1

Estos desplazamientos también se presentan en la tabla E16.1 y u5 se grafica en la figura E16.1d como una función del tiempo. Comparación con la solución teórica .

Las ecuaciones modales definidas por las ecuaciones E16.1c-d también pueden resolverse analíticamente, al extender el procedimiento de la sección 4.8 para los sistemas amortiguados. Estos resultados teóricos se deducen considerando los dos primeros modos del sistema. Tales resultados se calcularon a cada 0.1 s y se presentan como las líneas discontinuas de las figuras E16.1c y d.

Sección 16.3

681

Sistemas no lineales

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES MODALES MEDIANTE EL MÉTODO DE LA ACELERACIÓN LINEAL TABLA E16. E16.1 1

t i

q1

q2

u1

u2

u3

u4

u5

0.1

0.7

0.1868 1.3596 3.7765 6.6733 8.5377 7.8337 3.8483

0.1868 1.3596 3.7765 6.6733 8.5377 7.8337 3.8483

0.0997 0.6688 1.5977 2.4239 2.7869 2.4301 1.1041

0.1685 1.1524 2.8605 4.5317 5.3864 4.7759 2.2286

0.1940 1.3711 3.6226 6.1156 7.5996 6.8820 3.3166

0.1875 1.3851 3.9442 7.1185 9.2244 8.5111 4.2146

0.1742 1.3357 4.0229 7.5893 10.0877 9.4087 4.7301

0.8

2.7434

2.7434

1.1162

2.0198

2.5998

2.8818

2.9758

0.9

9.8980

9.8980

3.5110

6.6113

9.0106

10.5897

11.3579

1.0

14.8661

14.8661

5.0228

9.6017

13.3542

15.9984

17.3602

1.1

15.4597

15.4597

5.0214

9.7205

13.7429

16.7125

18.2966

1.2

11.5465

11.5465

3.7794

7.2981

10.2851

12.4714

13.6304

1.3

4.4929

4.4929

1.6127

3.0259

4.1037

4.7998

5.1327

1.4

1.9

3.4964 10.0597 13.3706 12.6389 8.2858 1.7591

3.4964 10.0597 13.3706 12.6389 8.2858 1.7591

1.0838 3.4465 4.5502 4.1522 2.6779 0.6336

2.1305 6.5597 8.6786 8.0085 5.1924 1.1876

3.0710 9.0707 12.0342 11.2691 7.3562 1.6083

3.7990 10.8081 14.3768 13.6456 8.9622 1.8784

2.0

4.9390

4.9390

1.5634

3.0520

4.3614

5.3545

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1.5 1.6 1.7 1.8

4.2003 11.6901 15.5745 14.9016 9.8223 2.0069 5.8944

La línea discontinua de la figura E16.1d también representa la solución teórica incluyendo los cinco modos, lo que indica que las contribuciones a la respuesta del tercer, cuarto y quinto modos son insignificantes. Los resultados numéricos para q1 son exactos porque el paso de tiempo escogido Δt  � 0.1 s y el periodo natural T 1 � 2π /5.592 � 1.12 s implican una relación pequeña Δt  / T  T 1 � 0.089. Sin embargo, el mismo Δt  implica  implica que Δt  / T  T2  � 0.16, que no es lo suficientemente pequeña para proporcionar una buena precisión de q2. No obstante, la solución numérica para u5 es bastante exacta debido a que la contribución del segundo modo es pequeña.

16.3 SISTEMAS NO LINEALES Para evaluar en forma numérica la respuesta dinámica de los sistemas que responden más allá de su intervalo elástico lineal, las N  ecuaciones  ecuaciones para un sistema de N  grados  grados de libertad se resuelven por lo general en su forma original, ecuación (16.1.1), porque el análisis modal clásico no es aplicable a los sistemas no lineales (figura 9.11.1). Sin embargo, incluso los desplazamientos de un sistema no lineal siempre pueden expresarse como una combinación de los modos naturales del sistema vibratorio no amortiguado dentro del intervalo de su comportamiento lineal:  N 

( t )

u

φn qn ( t )



n 1 

( 16.3.1)

682

Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica

Capítulo 16

Soluciones numéricas Solución directa por el método de la aceleración lineal Solución de dos modos (ejemplo 16.1) utilizando ∆t 

 0.12 s



20   g    l   u   p  ,

   5

0

      u

−20 0

0.5

1

1.5 Tiempo, s

2

2.5

3

Figura 16.3.1

La solución directa de la ecuación (16.1.1) es equivalente equivalente a incluir todos los N  modos  modos en el análisis, aunque sólo los primeros  J  términos  términos de la ecuación (16.3.1) pueden bastar para representar con precisión la respuesta estructural. Al parecer, la elección de Δt  debe   debe basarse en los requisitos de exactitud para el e l J -ésimo -ésimo modo, por ejemplo Δt � T  J  /10, donde donde T  J  es el periodo del J -ésimo -ésimo modo de la vibración lineal no amortiguado. La solución directa de la ecuación (16.1.1) con esta elección de Δt  dará  dará un u(t ) de tal modo que los términos de los modos más altos (de  J  � 1 a  N ) de la ecuación (16.3.1) serían inexactos, pero esto no debe ser motivo de preocupación, puesto que ya se había llegado a la conclusión de que estas contribuciones a la respuesta de los modos superiores eran insignificantes. Aunque esta elección de Δt  parece  parece proporcionar resultados precisos, puede no ser lo suficientemente pequeño para asegurar la estabilidad del procedimiento numérico. Se exigirá exactitud sólo para los primeros  J  modos,  modos, pero la estabilidad debe asegurarse para todos los modos, porque incluso si la respuesta en los modos superiores es insignificante, ésta diverge diverge si los requisitos de estabilidad no se satisfacen en relación con estos modos. El problema anterior se ilustra en la figura 16.3.1, donde se presenta la respuesta del edificio de cortante del ejemplo 16.1 a un ciclo sinusoidal de movimiento del terreno, obtenida mediante dos métodos numéricos. La curva discontinua muestra los resultados determinados al resolver las dos primeras ecuaciones modales por el método de la aceleración lineal, como en el ejemplo 16.1, pero ahora usando Δt � 0.12 s. Cuando las ecuaciones originales (16.1.1) se resuelven por el mismo método y empleando el mismo paso de tiempo, esta solución directa (que se representa mediante la curva continua) diverge diverge alrededor de t � 2 s. La exigencia de estabilidad para todos los modos impone restricciones muy severas en Δt , como lo ilustra el siguiente ejemplo. Considere un sistema en el que el modo más grande con contribución significativa a la respuesta tiene un periodo T  J  � 0.10 s, mientras que el periodo del modo mayor del sistema es T  N  � 0.001 s. Para asegurar la estabilidad del procedimiento numérico, Δt  debe  debe ser inferior a T  N  / π (es decir, Δt