Mécanique Pour Ingénieurs Vol2

Mécanlque pour Ingénieurs Volwne 2: DynamJque

Source de...photos

Ferdinand P. Beer Traduction de Vector Mechanics for EngineeIS.' Dynamics. C 1999, 1990, t981 McGraw-Hili Ryersoo Umited, a Subsldiary of the McGraw-Htil Companles. (ISBN 0-07-5604.21-3) le> 1996, 1938, 1984, 19n, 1972,1962 McGraw-HiIl. Ine.

Chapnre Il : [onarhnn Nourouk/Photc Edit Chapitre 12: Phyllis Picc.trdllPlcturL> Cube

Chnpttre 13: TOlO ~tcCarthylViChJrC Cube Chapitre 14 : ~ASA Chapitre 15! üra-Faltnpr/Stock Market Chnpltre 16: Halle" E, Di)t'rnlnnchrrouy

toue

Chaflll re 17: Dflvicl ~ladiwn

102005 Les ~ditl-ons de la Chenelière inc.

Chapitre 1S; Caterpillar Eogtlle DhlÏsion

Éditeur.' Michel Pounn Cootdinatfon,' FréOérique GrambÎI'I Révision IInguÎstique,' June Beaulieu Correcffon d·épreuves.' Nicole Derners

Chapitre 19: Ct.·orge \Vhitc Locution Photogfl1phy

Infographfe: Intoscan Collette Couverture,' Michel Bérard M8quette intérieure: Merril Haber

CataloQage

avant publication de Bibliothèque et Archives Canada

Beer, Ferdinand P., 1915Mécanique PQur ingénieurs Comprend des index. Traducllon de la 3- éd. de: Vectcr mechanics for englneers Sommaire: (1) Statique - [2J Dynamique.

ISBN 2-7651-0151-4 ISBN 2-7651-0158-2

Cv. 1) Cv. 2)

t. Mécanique appliquéo. 2. Analyse vectorielle. 3. Statique. 4. Dynamique, 5. Mécanique appliquée - Problèmes et exercices. 1. JOhnston, E. Russell (EI\vood Russell), 1925- • IL Bsenberg, Eniot A. J Il. Titre. TA350,B3714

2003

620.,'05

C2003-941 232~6

F" Chenelière 1-.. McGraw-Hill CHENEU~A.E éOUCATION

7001. boul. Saint-Laurent Montréal (Québec) Canada H2S 3E3 Téléphone: (514) 273-1066 Télécopieur: (514) 276-0324 [email protected] Tous droits réservés. Toute reproduction, en tout ou en partie, sous quelque forme et par quelque procédé que ce soit, est interdlle sans "autorisation écrite préalable de l'Éditeur. ISBN 2-7651'()158-2

Dépôt légal: 1'" lrimestre 2005 Bibliothèque nationale du Québec Bibliothèque nationale du Canada Imprimé au Canada

2345

ITIB 11 1009 OB

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de crédit d'impôt pour

t.: Éditeur a fait toul ce Qui élall en seo pouvoir pou r retrouver les copyrights. On peut lui signaler tout renseignement menant il la correction d'erreurs ou d'omissions.

LE

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Table des matières Préface III Avant-propos

V-VI

11 CINÉMATIQUE DES PARTICULES 583 Introduction à la dynamique

11.1

584

Mouvement rectiligne de particules 585 Position. vitesse et accélération 585 Détermination du mouvement d'une particule Mouvement rectiligne uniforme 597 Mouvement rectiligne uniformément accéléré Mouvement de plusieurs partioules 599 Résolution graphique des problèmes sur le mouvement rectiligne 610 Autres méthodes graphiques 611

, 1.2 11.3 11.4 11.5 11.6 ·11.7 ·11.8

588 598

Mouvement curvülçne de particules 621 Vecteurs position, vitesse et accélération 621 Dérl\!ées des fonctions \!eCIOrielles 623 Composantes rectangulair9s des vecteurs vitesse et accélération Mouvement par rapport à un repère en translation 626 Composantes tangentielle et normale 642 Composantes radiale et transversale 645

11.9 11.10

11.11 11.12 11.13 11.14 Résume

658

Problemes supplémentaires

662

12

CINÉTIQUE DES PARTICULES; DEUXIÈME LOI DE NEWTON 667 12.' 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7

Introduclion 668 Deuxième loi de Newton 668 Quantité de mouvement d'une particule. Taux de variation de la quantité de mouvement Systèmes d'unités 670 Équations du mouvement 671 Équllibre dynamique 673 Moment clnétfque d'une particule. Taux de variation du moment cinétique 692

670

625

viii

'3010

ces

"'atll,l!es

12.8

12.9 12.10 ·12.11

"12.12 "12.13

Équations du mouvement en fonction des composantes radiale et transversale 693 Mouvement sous l'action d'une force centrale. Conservation du moment cinétique 694 Loi de la gravitation de Newton 695 Trajectoire d'une particule soumise à une torce centrale Aeplication à la mécanique spatiale 704 Lois de Kepler du mouvement planétaire 707

Résumé

703

717

Problèmes

supplémentaires

721

13 CINETIQUE DES PARTICULES; MÉTHOPES DE L'ÉNERGIE ET DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT

725 13.1 13,2

13.4

13,5 13,6

"13,7

13.8 13,9

13.10 13.11 13.12 13.13 13.14 13.15

IntrodlJcllon

726

Travail d'une force 726 Énergie cinétique d'une particule. Principe du travail et de l'énergie 729 Applications du principe du travall el de l'énergie 730 Puissance et rendement 732 Énergie potentielle 749 Forces cooservatlves 751 Conservation de l'énergie 752 Mouvemenl sous l'action d'une force centrale conservalive. Application à la mécanique spatiale 753 Principe de l'impulsion et de la quanllté de mouvement Mouvement impulsif 773 Choc 785 Choc oentral direct 785 Choc cenlral oblique 788 Problèmes incluant l'énergie et la quantité de mouvement

Résumé Probl,èmes

804 supplémentaires

n1

790'

809

14 SYSTÈME DE PARTICULES 813 14.1 '4.2 14.3

14.4 14.5 14.6 14.1 14.8 14.9 "14.10 '14.11 ·14.12

Introduction 814 Appllcatlon des lois de Newton au mouvement d'un système de particules; forces effectives 614 Quantité de mouvement el moment cinétique d'un système de parucetes 617 Mouvement du centre de masse d'un système de particules Moment cinétique d'un système de particules par rapport à son centre de masse 819 Conservation de la quantité de mouvement et du moment cinétlgue d'un système de particules 821 Énergie cinétique d'un sYS1èmede particules 829 Principe du travail et de "énergie, conservation de l'énergie pour un système de particules 830 Principe de l'impulsion et de la quantité de mouvement pour un système de particules 831 Systèmes de particules variables 840 Courant permanent de particules 841 Systèmes gui acquièrent ou qui perdent de la masse 843

Résumé

857

Problèmes supplémentaires

861

818

•

15

IX

CINÉMATIOUE DES CORPS AIGIOES

865 15.1

15.2 15.3

15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 '15.9 15.10 15.11 ·15.12 ·15.13 '15.14 '15.15

Introduction 666 Translation 868 Rotation autour d'un axe fixe SM Équations définissant la rotation d'un corps rigide autour d'un axe fixe 870 Mouvement général dans le plan 879 VItesse absolue et vitesse relative pour le mouvement dans le plan 881 Centre de rotation instantané pour le mouvement dans le plan 892 Accélérations absolue et relative d'un mouvement dans le plan 901 Analyse d'un mouvement plan en fonction d'un paramètre 903 Taux de variation d'un vecteur par rapport â un référentiel eo rotallon 914 Mouvement dans le plan d'une particule par rapport à un référentiel en rotalion. Accélération de Coriolis 915 Mouvement autour d'un point fixe 926 Mouvement général 928 Mouvement dans l'espace d'une particule relativement à un référentiel en rolation. Accélération de Coriolis 938 Référentiel pour le mouvement général 939

Résumé

~~o

Problèmes supplémentaires

956

16 MOUVEMENT O'UN CORPS RIGIDE DANS lJN Pl AN: •

•

FORCES ET ACCELERATIONS 960 16,1

16.2

16.3 16.4 ·16.5 16.6 16.7 16.8

IntroducUon 961 , Equations du mouvement d'un corps rigide 962 Moment cinétique d'un corps rigide en mouvement dans un plan Mouvement d'un corps rigide dans un pian. Principe de O'Alembert 963 Remarque sur les axiomes de la mécanique des corps ngides Résolution de problèmes portant sur le mouvement d'un corps rigide 965 Systèmes de corps rigides 967 Mouvement dans un plan en présence de contraintes 985

Résumé 100Z Problèmes supplémentaires

962

965

1009

17 MOUVEMENT O'UN CORPS RIGIDE DANS LE PLAN MÉTHODES DE L'ÉNERGIE ET DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT 1012 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7

17.8 , 7.9

Introduction 1013 Principe du travail et de J'énergie appLiqué à un corps rigide 1013 Travail d'une force agissant sur un corps rigide 1014 Énergie cinétique d'un corps rigide en mouvement dans le plan 1015 Système de oorps rigides 1016 Conservation de l'énergie 1016 Pujssaoce 1038 Principe de l'impulsion et de la quantité de mouvement appliqué au mouvement d'un corps rigide dans le plan 1033 Système de corps rigides 1036

x

17.10 17.11 17.12

1036

Conservation du moment cinétique Mouvement impulsif 1049 Collision excentrique 1049

Résumé

Problèmes

lQ62

supplémentaires

1066

18 CINÉTIQUE DES CORPS RIGIDES DANS L·ESPACE

1071 ·18.1 ·18.2 '18.3 ·18.4 ·18.5 '18.6 ·18.7 '18.8

'18.9

'18.10 ·18.11

Introduction 1071 Moment cinétique d'un corps rigide en mouvement dans "espace 1072 Application du principe de l'impulsion el de la quantité de mouvement au mouvement d'un corps rigide dans l'espace 1075 • Energie cinétique d'un corps rigide en mO\,ivement dans "espace 1076 Mouvement d'un corps rigide dans l'espace 1089 Équations du mouvement d'Euler, généralisation du principe de D'Alembert au mouvement d'un corps rigide dans l'espace 1090 Mouvement d'un corps rigide par rapport à un point fixe 1091 Rotation du corps rigide par rapport à un axe fixe 1092 Mouvement gyroscopique. angles d'Euler 1105 Précession stable d'un gyroscope 1107 1108 Mouvement d'un corps axisymétrique en "absence de torce

Résumé

1121

Problèmes supplémentaires

1126

19

VIBRATIONS MÉCANIQUES 1131 19.1

Introduction

1132

Vjbrahaos sans amortissement 19.2 19.3 '19.4

19.5 19.6 19.7

Vibrations nbres d'une particule, mouvement harmonique simple Pendule simple (SOlutionapproximative) 1135 Pendule simple (solution exacte) 1136 Vibration libre d'un corps rigide 1146 Application du principe de la conservation de l'énergie 1157 Vibralion forcée 1167 Vibrahoo amortie

"19.8 ·19,9

1132

1175

Vibration libre amodie Vibration forcée amortie Analogies électriques

Résumé

1175 11TI

1179

1'189

Problèmes supplémentaires

1193

Annexe 1197 A.l A.2

A.3

Système de mesures impériales 1197 Conversion des poids el mesures 1198 Propriétés des profilés à charpente en acier laminé

llste des symboles

1201

Tableaux et figures utiles Lexique anglals--françals

Réponses aux problèmes Index 1223

1205 1208 1210

1200

1132

Cinématique des particules

Les mouvements des IJOlsvéhiwles Illustrés som respe

= Vi)

-

Jo:

(vériÎlé)

P.~.~-~-.,r""'''''':''·.:;~'''I,'','''',

r,

"

-

,

':',

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.~~_. ';'~ ;."' ; .' R E CAP 1T U LAT ION . . .

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S,,EC T ION S 1 1 . 1 À 1 1 . 3·,:'

.... :

--

~~14.

III.

-_

_

.

Dans ces sections, on a vu comment calculer la position, la vitesse ou l'accélération d'une particule arumée d'un mOltvement rectiligne. En lisant l'énoncé d'un problème, on doit être capable d'identifier la variable indépendante (t ou x) et la variable dépendante ou recherchée (par exemple, v en fonction de x). On commence en écrivant les informations données et un énoncé simple des grandeurs cherchées. connainsant .'1:(1 J. Comme nous l'avons expliqué il la section 11.2, la première dérivée et la deuxième dérivée de x par rapport à t sont respectivement égales à la vitesse et à J'accélération de la particule (équations Il.1 et Il.2). Si la vitesse et l'accélération sont de signe contraire, la particule peut s'arrêter puis se déplacer clans le sens opposé (PR-ll.1). Donc, pour calculer la distance totale parcourue par une particule, ou doit d'abord déterminer si la particule s'arrêtera durant l'intervalle de temps spécifié. La construction d'un dtagramme semblable à celui du problème résolu PR-II.] qui 111011tre la position et la vitesse 0 = Vi)' De plus, puisque o = VrllM lorsque a = 0, les positions auxquelles les vitesses sont maximales (ou minimales) sc calculent facilement en posant a(l') = 0 ct cn isolant x. f

rlll'i

(l" ,.(r) cl de ",(1) COIIUll;I{Stlll' ,,(t'), C'est le demter cas traité il la section Il.3. Le problème résolu PR-ll.3 illustre les méthodes de résolution des problèmes de ce genre. Tous les commentaires généraux des cas précédents s'appliquent ici aussi. On reillarque que le problème résolu PR-ll.3 résume comment et quand utiliser les équations D = dot/cft, (J = dv/clt et a = 1) dvldx. , ./,'

,:

,i\

"

593 Copynghted ma nal

11.1 Le mouvement d'une particule est défini par la fonction x = -1/4 - 6/3 + 2l - 1. dans laquelle x est eu mètres et t en secondes. Calculez la position, la vitesse et J'accélération de la particule à 1 = 2 s. 11.2 Le mouvement d'une particule est défllli par la fOUCtiOLL x = 3t"' + 413 - 7[1-- St + 8, dans laquelle .r est en millimètres et f en secondes. CaJclllf~ la position. la vitesse ct l'accélération de la particule à t = 3 s. Le mouveme-nt d'une particule est déflnl pt\r la Ioucdou x = 612 - 8 + 40 cos 7TI. où x est eu mètres et t en secondes. Calculez la position, la vitesse et l'aecélérahon à 1 = 6 s. 11.3

Le mouvement d'une particule est défini ~r la fonction x = 3 - ~f! - 30f + 8, où :'(est en mètres et 1 en secondes. Calculez If' temps. la position et l'accélération lorsque o = O.

11.4

;t

11.5 Le mouvement d'une particule est d6f1JlJ par la fOHCUOt! x = 61"- 213 - 12,z + li + 3, dans laquelle x est en mètres et f en secondes. Calculez le temps. la position et la vitesse lorsque (1 = o. 11.6 Le mouvement d'une particule est défini par la fonction x = 3t.3 - 6.12 - 12r + 5. dans laquelle x e t eu mètres et t en secondes. Calculez: fi) l'instant auquel la vitesse est nulle; b] la positlon. l'aceélératiou t'lia distante totale parL"()urue à t "'" 4 s. 11.7

x "'" (3 -

Le IlIOUVCnll'lIt d'un ' parueuh- c:.t dCflnl par la fonction 9f1 + Mt - , dans laquelle x est en mètres el t en secondes. Calcule«.

li J

11)

11.8 x = t:l

l'instant auquel la \ uessc est nulle; la position et la distance totale parcourue lorsque l'accélération est nulle. Le mouvement d'une particule est détuli

pM ta Iouctlou

61! - 36t - 40. dans laquelle x est en mètres et t en secondes. Calculez: a} l'instant auquel la vitesse est nulle , b) la vitesse, l'accélératiou et la distance totale parcourue lorsque x = 0,

-

11.9 Laecélération d'unf' [l,micule est définie par a = 6 nvs2. Suclrant I.{ue x = -32 ln lorsque' := 0 et I.{uev = -6 m/s lorsque t = 2. s. calculez la vitesse. la position et la distance totale parcounlE' à t ;:; 5 s, 11.10 Laecélératiou Ù·uue particuje est directement proportionnelJe au telnps t. À t = 0, la vitesse de la particule est l' =0 16 nl/s. achant que 1) = 15 nvs et que x ~ 20 ln à ( = L S, calculez la vitesse, la position et la distanc totale parcourue ~ , = i s.

594

11.11 Laccélération d'une 'particule est définie pat' la relation (1 = A - 6l!, dans laquelle A est une constante. A 1 = O. 13ptuticuJe démarre Il x = ru 3\'eC C = O. Sachant qu'à t = l s, 0 = 30 mis, déterminez: (.I) les Instants auxquels la vitesse est nulle: fI) la distance totale parcourue par la particule à 1 = 5 s.

Copynghted ma nal

11.12

L'accélération d'une particule est directenwnt propordonnelle nu carré du temps t. t '= 0, ltl particule l~l :c = Mm. achant qu'à 1 ;; 65, X ::: 9ô 01 ct o = l mis. exprimez x 4."1 0 en fonction de t.

Ploblèmes

595

11.13 De t - 2 s ~ , ... LO • l'nccéljSration d'file particule est ÎIl\f'r ement propo rtiouue Il , au cube du lèlnp> 1. Àl ~ 25. ti ~ -15 fn!set.~1t= lOs, (j = 0,36 na/s. Sechant qll'à t - 2 ~ la p...-ur, III baU" SL' déplaCe: duns 1....~èllS

négatif (vers le bas),

601

PROBLÈME RÉSOLU PR-11.5 E

Un manchon A et un bloc B sont reliés par un câble passant sur Lestrois poulies C. D er E (voir figure). Les poultes Cet E sont tandis que la poulie D est attachée

mes,

à un manchon qui est tiré vers le bas à une vitesse constante de 75 mrn/s. Au temps t "'" O. le manchon A commence à sc déplacer vers le bas à partir de la position K. avec une accélération constante et sans vitesse initiale. Sachant que la vitesse du manchon A est de 300 mm/s lorsqu'il franchit le point L. calculez la variation de hauteur.Ia vitesse et l'accélération du bloc B quand le manchon A franchit le palot L.

900 mm

SOLUTION

o du mnnchon A, On place l'origine 0 à ln surface horizontale supérieure et ou choisit le SéIlS vers le bas comme sens posiuf. On remarque que. à l'Instant t = ü.Ie manchon A est à la position K et que { I,)Q = (J. Or UA = 300 mmls et x" - (Xi\)o = 200 11lITl lorsque le manchon passe par L. Donc,

, 1 • 1

Mouvement

• 1 ,

\ "

1

K+--

u~ = (VA)~ + 2a ....[x" - (x.-\)nl a,.. = 2.25 mml!!

200 mm

L 1

il" \=

1 1 1 1

(300)2 "'" 0 .... 2{tA(200)

Pour calculer l'in stan 1 auquelle manchon r\ atteint le point L. on a successivement 300 = 0 + 225t

:3CJO [nmls

1

~I()uyt!meot

de la pculle [J.

(/v ;;;;;0

Lorsque

Vu

Je manchon

i\

Le sens positif étant vers le bas,

= 75 rnrn/s

Xl) = (Xt)o

+ upi

= (XI))CI

On

a

+ 751

atteint L, à 1 = 1,333 s. on a

XI) 1 iJ

, ;;;;;1,333 s

= (x,,)o

+ 15(1,333)

= {.1:,,)o

+ 100

x" - (x,,)o = 100 alun

Donc,

Mouvement du bloc B, IJ est à remarquer que la loùgueur totale du câble ACDEB Ile diJThre de la quantité (.t....+ 2xD + ..l'a) que d'une constante. Ln longueur rlu c!,h1p ~t:-.nt constante durant le mouvement, certc quauttté

doit elle aussi

demeurer constante. Donc, aux instants t ;;;;;0 et t ;;;;;1.333 s. on peut écrire ..l'A

c

[..l'A -

Or x"' -

(XA)O ""

+ 2x" + XIJ = (x,,)o + 2(x,,)o + {xoJo (:tA)O} + 2[x" - (x,,)o] + [Xli - (XI1)o] = 0

200

0\11}

et

x" -

(xv}o

(1) (2,)

= 100 mm, on porte ces valeurs dans

l'équation 2 pour obtenir 200

+ 2( LOO) + [XB

-

In - (X8)(I = -400 111rn

(x/l)ol = 0

\.ui.ilion dl' liante-ur

Donc,

dt· B

=

tno

IllHI

l

En dérivant dC'tL'I: fois l'équation 1. on obtient les équations reliant les vitesses et les

accélén.... tiens de A. B et D. Eu remplaçant les vitesses ct les seeélérauons de A et de D par leurs \ leurs à t = 1,333 s, on li liA

+ 20" + 1)8 = 0:

3()() + 2(75} f)>>

.fIA

+ 20" + (/11 = 0:

29.5

:::: 0

== -450 mnvs

+ 2(0) + 08 = 0 a8

602

+ OB

=

-225 mm/si!

fi,. -

Z2.5

111111 ,'!.

Î

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608

CII"emallqlie des panicules

11.46

Ou place d~lL~blocs A et H sur lin plan Incliné (voir figurE' J. À 1 ,.. 0, on

proj{'ttr 1\ vors le haut du plan, la VilCSSl' lnitralc dt, 9 Il''!> et l~part du ît!pos. Les blocs SI! croisent l s plus tard. et 8 atteint If' bas du plan à t = 3.4 5. Sachant que la distance maximale parcolu-ue par le bloc A à partïr du bas du plan {'st ete 7 Ill, et que l'ueeélérution de A et celle de 8 (dues il: la gravitation el au frottement) sont constantes et orientées vers le bas du plan. "lllcHI(>~: a) l'accélération de A et celle de B: b) 1 a distance ri ~ c)

la vitesse de A lorsque les blocs se croisent.

,

(r..I~1 9 '!Ys

.\

Figure P11.46

Le bloc coulissant A se déplace vers la gauche à une vitesse constante cl e 6 rn/s. Déterm inez: a) III vitesse du bloc B: b] la vitesse di" la partie D du câhle , c) lu vitesse relaU\'l' de lu partie C du câble par rapport à la parti!" D. 11.47

1)

constante. Sachant qu'aprè~ avotr parcouru -l00 mm le bloc A a attoint LIlle vitesse de .{ in/s, détcrnuuez : 11.48

a)

h)

Le bloc B part du repos et descend avec une accélération

l'accélération

de A

(.("1If'd(· 8; la vitesse et lu vunation de position de B après 2 s. l't

a)

Un bloc: B descend à UDf' vitesse constante de 0.6 nl/s. Déterminez.: la \ iles~f' dl! bloc A;

b}

la vitesse du bloc C;

11.49

la vitesse cl," ln part if' D rlu c.:iihlt'; (1) la vitf!~!i('rt>làH\'l' dt· III partit· D el.. cUbl(· pur rapport au LIIK B. c]

Figure Pl1.47 - Pll.48

l

!

1

•

~

l'>,

(.::. 115

J

VI

(

D

,...---

\

_fi R.

...

Figure P11.49 - P11.SQ 11.50 Après 12 s. CI) h)

Le bloc C; démarre du repos et descend avec une aocélératton constante. la vitesse rlu hl oc ,\ l'si dt' O.S m/s. Détermlncz . l'accëlératiou dt' .1\. celle Je B et celle dl" C; la vitesse et la variation cie position du bloc 8 a[lri's S

C p n

11.51 Un manchon f\ démarre du rE'pO!i et 111011tt' avec UI1(' accélération constante. Sachant qu'après ~ s la vit{'ssC' rclatlvc du manehou B par rapport au manchon A est de 0,6 mis, déterminez: li) l'accélérauon de A et celle de B; IJ) la vitesse et la variation de position de 13 après 6 s. 11.52 Dans la position illustré " lin manchon B descend Déterminez ; u) ln vitesse du manchon A;

Problemos

tt la \'it.t ise de 0,3 uvs.

c

h) la viles-se de la partie C du cible; c)

la vitesse relative dt' lu partie C du câhlr- par

mppol1

:111manchon

B,

11.53 Le bloc coulissant B se déplace vers la droite à une \~tf'S$("constante de 300 mm/s. Détennînez : a) la vitesse du bloc coulissant A ~ b) la vitesse de la partie C du câble : c] la vitesse de la partie D déplace 6\'(:>C UIIl' aceêlératiou coustante tt. après 2 s. lu variation relative de la position du bloc C par rdpport au bloc 1''\ est de 200 mm vers 11.60

I~ haut. achain que. lorsque' la vitesse relative du manchon 8 par rapport au bloc A est de 0 mmls vers le bas, Je déplacement de A est de 160 mm vers le bas et celui ('t:oll(I('_~.Si

= 30 mm et yi = 20 mm, calculez le \ ecteur posltion. 1",vecteur vitess(' et le vecteur a(.,.'(."e!lforHtiolldt· la particule lorsque : a) t = 0; h] t = 1,5 s.

1.0 r-....._

Xl

0,5

0 1----~----i--F--~-:;;7~~ ....

X/xI

-0.5 11.95

Le 1I10Ll\'l'J1ll'utcu trois dhueusions d'une particule est défini par le vecteur position r = (Rt cos w"/)i + ctj + (R 1 siri Wh t)k Calculez la grillldeur du vecteur vitesse- ct celle du vecu-ur aeeélérat ion de Itl particule. (1..3courbe gauche décrite par la particule est WJ r héliœ conïquc.)

J,O

Flgure Pl1.94

633

634

Ctne~hque

des paruculas

JI

~ Y -----

r-il t\~ Al

z-.,

BJ

1

·11.96 Le mouvement en trois dimensions d'une particule est dél111ipar le vecteur position r = (/\1 (.'05/)i + (i\W+l)j + (BllSUI t)k. où r et t sont respeetivement en mètres et en secondes. Démontrez que la courbe' décrite par lu particule repose sur l'hyperboloïde (!lli\)Z - (x1/\)2 - (;.(Br = I. SOIt t\ = 3 et B = l. Calculez: CI) IR gn11ldéur lili vecteur vitess(' (:'1 avâlll ({uC' la balle rebondisse au point 8, SOT) vecteur vitesse V8 Ionnalt un angle de 12° avec la verticale, 11.111 On Janet' une rusée modèle réduit, d'un point A avec un vecteur vitesse initiale Vo Ut! '5 ni/s. Supposez que le parachute de lu fusée De s'ouvre pas et qUf' la fusée atterrit à 100 ln i\. Calculez: a) l'angle ex que Conlie VII avec la verticale ; b) la hauteur Ir maximale atteinte par la f'Ll'relutn t' de C par rdpport à A est \'('1 \ = JiO km/h ;-p ï5 er Ie vecteur ,ilt's"t' 1\,llIli\(' d" C pi'r rapport i\ B l'~t"c H 11:' 520 kilt/li "'Ç 4()·. Déterrninez : Il) 1('\ t'('IC'ur \;1 ('S'i(' relative dl' 8 par mpport ~I,\ : 1)) 1(>vecteur vitesse de A "i le radar côtier incliqllP 'III€' rnllra~lIn ~I' déplace à 1I1l(" \it{·!>~(' dl' ..~ knllh plein nord: c) la varianon du vecteur position de C par rappol1 il B duraru lin i"tl'r\'~ùll' Ut· 15 "lin. 11.121 banheue A et

Lu figure Pll.121 donne 1(>5\ ecteurs vitesse respcculs des tralns dt' B, Snl'IHult '1"(' ,·htUIIII· train (nlll~~ à 1111[' "itt·"\t, con..tnnh- l't (111(' R

atteint Il' croisement dl' voies 10 JlUll après que i\ l't'ut traversé, calculez: li) It>vecteur vttessc re-lative de B par rapport à 1\; IJ)

j'lItn.' k''i 3\'a11t 1ra\,prs(o Il' croisement, III

distance

des

lOCOIl10li\'('s

3

mtn UpfL'S '1l1l' ,\ cul Figure Pl1,120

66 Llnfh

•

FIgure Pll.'21

Sachant '1111> If' vecteur \'itcoss(' dl, bloc B pAr rapport uu bloc ,\ r.l 5.6 uv!. Lf.. 70°, U(oll'!'Ulilll'z les \",(,'leur!> vitesse respectifs dl' ~\ et dt' H.

11.122 V8fA ::=

Figur-e P11.122

me

639

11.123 Sachant qu'à l'instant IULL\lr~à la figurt' PlI 123 le bloc A a une \ itt'~~l' dl' 200 [lIlJII~ l'tuile ,1c:t:l~l('nllioll dc..:l50 1I1I1a/si. toutes cnurlurn- \·,1 l~gl\l.lIl\Iroi, quarts dl' !ta \ aleur

t'II ,\,

Figure P11.148

11,149

al b)

Un projectile psi lancé cl'IIB point A H\'t'C un vecteur \lh's~4' mlnale v", PJ'OU\l'Z (IUl' Il' ra~'on dt: courbure dl' la lraJ('clojn. du Pl'oJl'(.'lilt, uttelnt sa vuleur Ininiolnlf' 311point B 1(>pins pll"vé cil' ln IrLlJ('cloirl', Si 0 (.',t l'angle lè)nlll? par 1:1trnjectoln- 1.'1 l'honzoutale II lill point donll~ C. proll\C'l fJur 1(' ra)OI) dl' courbure d~· la lr.lj('( loin' ('1) C ,':-.1 p =

8"11,,/(,"0\

1

e,

8

Pu

'0

1

III

/

Figure P11.149 • P1 1,150

11.150

Uu projeclill' est lancé d'un point A avec un vecteur \1t('~"t' Iltitiale

sr-lon un nnglt' a ll\ ('C' l'horizontale. Exprimez If' rayon (lau satellite, Calculez la vitesse d'un satellite par rupIM'lt à la planète indiquée ci-dessous s'il orbite indéûulment à 160 km au-dessus de ln surface de cette planète, 11.153 Vénus: g = 8,53 ln/S2, R ~ 6161 km 11.1 54 ~lars: g = 3,83 ln/s2, R ~ 3332 km 11,155 Jupiter: g = 26.0 nlls~, R = 69893 1.'111 11,156 et 11.157 Sachant 'lut' le diamètre du Soleil ost cl J,39 GlU et que l'aocélération gravitationnelle à la surface du Soleil est de 274 m/~,calculez le rayon de l'orbite dt" la planète indiquée ci-dessous autour du Soleil en supposant que l'orbite est circulaire. (\toyez les inIonnations données au.'{problèmes 11.153 Ù Il.155.~ 11,156 Terre: (1)If,~..nn,,)urbile = l07 Mn'llh (107 X 1 ()3 km/h) 11.157 Saturne: (o'''CI)' circulaire, Une fols l'altitude du satellite réglée. 011 trouve que le temps mis pour parcourir une rois l'orbite u augrnen té de 10 %. Sachant que le rayon de Mars ost de 33.33 km. calculez la nouvelle altitude du satclltte. (Voyez les lnformatlons données

QU.'!:

problèmes 11.153 à 11.155.)

11.160

Deux satellites A et B voyagent clans le même plan sur des orbites circulaires autour de la Terre il des ultitudes respectives de 190 km et dl' 320 km, aehant qu'à t = 0 les siltenites sont alignés comme le montre la figure Pll.l60 et yue le rayon de la Terre est l( = 6370 km, déterminez l'testant du prochain alignement radial des satcllü es. (VO)'ez les informations données aux problèmes Figure P11.160

11.153 à 11.155.)

11.161 Le mouvement planaire d'une particule est défuù pur les relations r -- 3 (2 - e-r) et 0;; "(t + 2c-'), OÏ) l'est en mètres, t en secondes, et Den radians. Déterminez les vecteurs vitesse el accélération respectifs de la particule: a) lorsque t "" 0: b) lorsque t tend vers l'infini. Quelle conclusion en lirt..z-vous à propos de la trajectoire finale de la particule? 11.162 La trajectoire d'une particule P est un limaçon. Le mouvement de la particule est dtAlü par les relations r = b(2 + ClOS 'trI) ct 0 = '1Tt, où 1 ~t et) seeoudes et 0 en radians. calculez: (1) les vecteurs vitesse et aceëlérauon respectifs de la particule lorsque f = 2 S; FIgure P11.162

IJ J

les valeurs de D auxquelles ln grandeur du vecteur vitesse est rnanmale.

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Cocrdonnée (je position d une particule

arnmee d un mouvement rectiligne

o

p

IIIIIQIIII+IIII'

l

,-1

l

Figure 11.27

Vitesse et accétératlon dans un mouvernent recltligne

Dans la première muitié de Ct! chapitre, nous a\'Or15 anul)'Sl- le Ul(JUf:CIIlCIlI rccnlign: d'une particule. c'est-à-dire le mouvement d'une particule sur tint' droire. POUf définir 1.1 position P dl> la particule sur cett -.droite nous avons choisi une OrigillL 11.\l'0 et 'me direction positi\t~ (figure l L.2ï), Ut distance x de 0 à P. avec le "igne approprié, déflnit complètement la position de 1... particule SUI 1,1 droite : elle L'sI appelée c()Ur(IU/lfIt1C cil' lu,siiioll d.. Il particule tscction 11,2). l\ o ilS .l\ tlllS \ Il r J'I~ III cites C V cie 1.1partloule est ég.tiH il la dériv ée de lu coortlounée dl' posiüon .\' l'lat rUI)I')url au temps, SCJil II\"

u=,It et qlle 1'(/(·('('lérfltitJlI

fi

(11.J)

,'pllnent t'Il dérivant r

pftf

r,lpp.(lon~' des numhres positif... ou lIé~alif.,. UIU~vitesse positive indique que la particulr- S.l' déplue. dans le SCllS positif et 1111' ..iteso;· nl>gati...t' Indique Ctue la particule se déplace daus le sen .. nég'ltif. Par contre, 1111(' accélération positi\'{:' ,i~nj (lut> hl particule accélère réellement (ct està-dire (l'l'eUe se dl~l)hll't' plus r.tplc.JPllIelll) duns le Sens positil ou qU'l'Ue (ltS(.-t!I~r(-'(c'est-à-dire qU't'lIe SI.! t1L'I').icl plus lentement) dans 1 > sens nég.dlf. U Ile accélémtlon Jll~gati\c s'cvpllquc dL 1u même façon (l'R-ll.l). La

"ltf-'~Sl

ne

CalCul d~ la vitesse et de l'accélèraüon

par Intégration

Mouvement rectihqne un lorme

-

1),ll1S la plupart c!1':\ llrc'hlèlnt· s, il>... (''tlnchholls er. DI'tt"llt d'analvser le mouvement (.lece"!blocs (PR·l1.5) . •

Il

I)Urfclispratique de rés()udre grlJpliie{U(,'IIlI'ut des problèmes sur le UI()\I\ entent recti1igru~d'une particule (sections ] l.iet 11.9 , La solution grapluqut! à l'aida des courbes x-t, o-t et 0-1 est la plus utilisée (section Il,7; RH.J Lê]. NOtlS avons montré rll1'à toul instant t e.1lit

Blocs rellés par des cordes non extensibles

Solutions graphiques

= la pente (le lu courbe x-:t a == la pente de la courbe o-c li

l't (Ille, pour tout intervalle cie tenl11s donné

cie f, il t~.

')2 -

1)1

= l'aire

SOI1~ ta

Xli. -

Xl

= l'aire

SUIlS

courbe n-t la courbe o-i

•

Dans la seconde Illoitié (lu chapitre, nous avons anulysé le moucemen: l'ufcl1igllt; d'une pertieule, e'est-à-dire Il:' mouvement d'une particule sur Illt- traiec.:tuire courbe, La posüion P (l~la pnrticule à un ÎflSb'\lll donné (._ .....etton 1] J» a été définle pflr le cecteur 1)ositloll r joigt\ant l'ori~ne 0 du

•

'" nt) (l·tl,.,,:: 1é

·c' "",. ~

t' t 11-'})(liJit

défi.li par la relation

Vecteur position et vecteur vitesse dans un mouvement curviligne

P (fî.glll'i' Il 20). 1..0 occt "If r r 11#' sc v clQ III p. trlil~ul4'!

dr ,"=(It

(11.15)

Nous uvons trouvé tlne c'est un C~·(;t(~~ir tllllgcnt (1 la IrOJtrctt)jrt (le ta }i Ifii(111~ et ql1e sa grandeur tJ (appelée vuesse a.h.'>111llC de la particule) est ~l!"'€!à la cl~rjv!e pllr rallpnTt au telnp~ de 1u longueur fi de l'arc dé.crit par la n.i1 ücule, soit ds r =(11.16) Jt

r

o

x

Figure 11.29

Copyng te

1

anal

660

C lneml'II'qu€ das oarticu flS

Vecteur acceleration dans

un mouvement curviligne

(11.18)

r~Jnûr(I"~ Il"C, en géJ)t!r.1l. le ccctcur acc4f1ércTiiotl u'e« pa:; trajccfoir"lJtJ ln par'llolile,

~t nous nVUI1-'

wngcullJ./li Derrvée d'une fonction vectonelle

:\.\'fI.nl (h! considérer les t'(lltlT)O".l.Ilt~ (Ill vect mr vitesse li (lu vecteur accél ':1 lt ion, lI(JUS il''on s rc\ u la .(l 'fi ultiou {j.nnellc de ln d~ml t~cl' une fi mctiou \l'('lfJl1eUe et ét.lhli qll,t~J4ues rel,les rérriss.lflt la t[é,iV'o.ltÎolL d~ la suunue pl ch1 produît de fnllC'tioll. on li t~tnhli qu'en ortant du bec situé à 1\ le jet d'eau représenté d la ligurE.' Pli J92 avait tllI

ravon , de courbure de 25

111, C31('1I1("'1.:

CI)

la vitesse rrutiule

b)

le rayon dt' courbure du jet à a huuteur

VA

du jet:

maximule r-n 8, B

•

Figure P11.192

Cop

664

Clnemattquo ces parhevlos

11.193

La trajectoire de vol de l'avinn B est une horîzontale qui pass directe-

ment nu-dessus d'un poste de radar en A. Sachant que l'avion se déplace vers la gauche avec une vitesse constante

V(h

calculez dOldl. et Q'2(}jdP en [onction de Do. de l, et de 8.

--------

lB 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

/,

1

1

8

,1

J\ ~, --'---------'-

Figure P11.193

ab~ vu.ci

11.Cl Le mécanisme représenté la est appelé mécanlsme à coulisse. La tigf' AP tourne à un taux constant cf> el la gouptll P glisse ltbrement dun la rainure de ln ~gc sortante BD. Écrivez ml progrrunlll 'pènllettant de tracer 0 en [onction de 4J et 0 en fonction de 4J pour une révolution de la tige M. Supposez f-lUC'cP = l rad/s. que- 1 = 40 InU) et que: à

a)

Il) c}

b = 2,5 rnm : b==301nm; b = 35 111ln.

v

Figure P11.C1

11.C2

On laisse tomber une bille avec une vitesse Vo à un angle a avec la verticale sur la marche supérieure d'un escalier comprenant 8 marches. La balle

rebondit ct descend 1 Vo allant de 1,8 mis à 3,0 m/s par incréments de 0.6 mis, des valeurs de a allant de 18" à 26" par Incréments de 4° ct des valeurs do k égales à 40 el 50.

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666

Clnémallque des particules

11.C5

initiale

"0

Un arrosoir oscillant de jardin projette

de l'eau avec une vitesse

de 10 mis.

a}

Sachant que les côtés mais pas le sommet d'une tonnelle BeDE sont ouverts. écrivez lin progralnlne permettant de calculer la distance d jusqu'au point F qui sera arrosée pou_rdes valeurs de exvariant de 20° à 80° par incréments de 5°.

b)

En utilisant de plus petite; incréments, calculez là distance ruaximale (1 et J'angle cr correspondant.

~1:~~___~_f_lI~~~~~.~I·~~~~~-d_3_~_LU_-_-_-_-_-_-___~.I ~.I Figur. P11.CS

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Cinétique des particules: deuxième loi de Newton

cnequ. eycbte

qui roule sut la partJe courbe c:fune piste est soumIS à une OCIOII6ratlon orientée vera le c:entre de courbure cie sa trajectoire. La Iorce qui produil cette KCéIénIllon est la résuhante du poids du cycIi$te el de la force exercêe par la piste sur les roues du ,,~. Dans ce chapitre. nous étudierons la relaIlon entre la force.

la masse et raccélérabon .

•

..

'"

668

Cinetique des parliC1JJes deuxième 10 de Nawlon

12..1 lNTROOUCTtON Nous avons largement utilisé en statique la première et la troisième lois de Newton pour étudier les corps au repos et les forces agissant sur eux. Ces deux lois servent aussi en dynamique; en fait. elles suffisent pour étudier le mouvement des corps sans accélération. Mais lorsque les corps sont accélérés, c'est-à-dire lorsque la grandeur ou la direction de leur vitesse change, il faut utiliser la deuxième loi de Newton pour relier le mouvement du corps aux forces agissant su r lui. Dans ce chapitre, Il(JUS discuterons de la deuxième loi de Newton et l'appliquerons à l'analyse du mouvernent des particules. Corumë nous l'établissons à la section 12.2, si la résultante la résultante et orientée clans ln même direction (lUt' ce-lle-ci. De plus. le rapport des grandeurs de la résultante et de l'accélération définit la niasse de la particule. , A la section 12_3, nous déflllÎSSOI1S la quaunt« cie mouvement d'une particule comme le produit L = I1IV de la massa 171 el de la vitesse v de la particule et nous démontrons q\le la deuxième loi de Newton peut s'exprimer p,lr une relation entre le taux de variation de la quantité de mouvement et la résultante des furces élgissant sur la particule. La ection 12.4 mute de la nécessité d'avoir des unités cohérentes dans la résolution de problèmes de dynamique et donne un rappel du système international d'unités (SI). L'annexe donne les unités de mesure impériales. AlLX sections 12.5 et 12.6 et dans les problèmes résolus qui suivent. nous appliquons la deuxième loi de Newton pOUf résoudre des problèmes d'ingénierie en utilisant les composantes orthogonales ou les composantes tangentielle et normale des forces et des accélérations en jeu. Rappelons qu'on peut considérer un corps réel- aussi volumineux qu'une voiture. une fusée ou un avion - comme une particule pour analyser son mouvement tant qu'on peut négliger reflet de la rotation du corps autour de son centre de masse. La deuxième partie du chapitre est consacrée à la résolution fo·rce pur rapport ~ 0 est nu]. le In0111ent cinétique de la parti(.'ul~ par rapport 0 est conservé. Cette propriété simplifie grandement l' analyse du mouvement d'une particule soumise il une force eentrale , à la section 12.10, nous l'appliquons à la résoluticn {le problèmes sur le mouvement orbital de corps soumis à l'attraction grnvitationoeUe. Les section.'; 12. L1 à l2.13 sont complémentaires. :".rC)I1S )' dlscurons plus largement du mouvement orbital et y présentons un gran(1 nombre de problèmes de mécanique spatiale, à

122 DEUXIÈME LOI DE NEWTON Selon la deuxième Loidu mouvement de 1\ ewton : Si la résultante des forces appliquées li une particule est (lifférentc cie zëro, la r)(lrti('(~/e (J une accélération proportîonnelle à /0 gran(/cur cie la résultante ('1 miertfée ({(/11~ la même dtrectton (Ille cellP-ci.

Copynghted matenal

La deuxième loi de Newton se comprend mieux en imaginanr l'expérience suivante: une particule est SOUlMe ~ une force FI Je direction et de grandeur FI constantes. Sous l'action de cette force. la particule st> déplace sur une droite dans la direction de laforce (figure J 2.10). Après détermination de la position de la particule à divers instants. on constate que on accélération a une grandeur constante al. Si l'on recommence l'expérience avec des forees F 2, F 3, ... , de grandeurs ou de directions différentes (figures 12.J/J et c), on constate chaque fois que la particule se déplace dans la direction de la force qui lui est appliquée et que la grandeur des accélérations ab 02. 03, ... , est proportionnelle ~tla grandeur des forces FI. F 2, F 3, .... correspondantes : FI

Ffi

P3

01

(12

(13

~2 2 DeuxIème 101de Newton

o

• (0)

(b)

- = --=- = - = ... = constante La valeur de la constante obtenue en faisant le rapport de la grandeur des forces appliquées à J'accélération produite est une caractéristique de la particule considérée. Cette valeur est appelée masse de la particule et est notée nI. La force F uppliquée à une particule. la masse 111 de la particule et l'accélération a de la particule sont liées par la reJation

le)

Flgure 12.1

F=1na

(12.1)

Cette relation énonce complètement la deuxième loi de Newton. EUe exprime que la grandeur de F et la grandeur de a sont proportionnelles et que (puisque ,n est un scalaire positif) les vecteurs F et a sont de même direction (figure 12.2). Remarquons que l'équation 12.1 est encore valide lorsque F n'est pas constante mals qu'elle varie en grandeur on en direction dans le temps. La grandeur de F et la grandeur de a demeurent proportionnelles et les deux vecteurs ont la même orientation à tout in tant. Cependant, en général. ces vecteurs ne sont pas tangents à la trajectoire (le la particule. Si une particule est soumise simultanément à plusieurs forces, il faut remplacer l'équation 12.1 par

IF::::: tna

(12.2)

où I.F représente la 50111n1C, ou résultante, de toutes les forces appliquées à la particule. Le système d'axes par rapport auquel l'accélération a est déterminée n'est pas arbitraire. Ces axes doivent avoir une orientation constante par rapport aux étoiles et leur origine doit être liée au Soleil 1 ou se déplacer à vitesse constante pur rapport au Soleil. Un tel système est appelé repère IlewtonLe,,2. Un système d'axes lié à la Terre ne constitue pas un repère newtonien puisque la Terre tourne par rapport aux étoiles et est accélérée par rapport au Soleil. Cependant, dans la plupart (les applications en ingénierie, on peut déterminer l'accélération a par rdpp royon p :; ) 215 IYI, r('lev(oc' d'un angle (1 = 18°, La L'ile....'SL' nVl11;nale si le eoefflcreut dt, Irotn-uu-ut statiqup

potl"P

la

tiil;P

ct h- manchon

I?"!I dl~

0 10

o

cl,· 2ï2 g pP1I1 gliss~'1 sni la portiou f\B rl'une- tigr' courbée selon la I1gurc .PJ2.5ï. Sucltant que r = 2():3 IIlllll't (IUt'I••ti~('lullnH'ltUI()tll 12.57

Un manchon

de la vertical!" AC au bllJX ronstallt de

stflti4ut> adnùssiblt:' pa.. lorsque' : frutterllt'Ilt

a) IJ)

entre

j0

racLls, calculez 1(' plus petit "-"t}(,ffi('i{'nl

1(.·1\1:UI(.'''01Il'I ln tig(' ~i 1.,

11l,Illeltnll

III'

lit

gli\,.·

=

15°; a = 45°. ct

Pour chaqur cas, Îl1di'l"C'7 le Sens dl!

I110Il\o'I'nl('111

ill)ll1io'Anl.

Figura Pl2.55, P12.56 et P12.57

C p n

689

690

Cinefillue

des partICule!> deu~l\)m~ 1n stipule que deux particules de masses "'1 et rn à une distance l' l'une Je l'autre s'attirent l'une l'autre avec (les forces ég"le!'i et opposées F et - F, orientées suivant la droite joignant les particules (fîgllrp 12.16). La gntncleur commune F des deux forces et Mm F=C ,-2

ct"

la oravrtairon 00 Newlon

695

PlI

F

,\1

Agure 12.16

(12.28)

où G est une constante universelle appelée constante '/(' gr(lvitaH()l1. Selon les expériences, G vaut (66,73 ... 0,03) X 10-12 rn3/kg ·s;!. Des forces gravi.rationnelles appréciable

existent entre toute paire de corps, mais leur effet n'est qu si l'un des corps a une très zrande masse. L'effet s tombant sur la surface de la Terre, Comme la force exercée par la Terre SUl' un corps de 111

= Rf!

(12.29)

où 1\1 est la masse de la Terre, Comme la Terre n'est pas tout à fait sphpric!ue, la distance R à partir du centre cie la Terre dépend (III point choisi sur sa surface, et les valeurs de ,~, et g varieront avec l'ctltituclp. f't la latitude (lu point considéré. Autre raison de la variation de ~Vet (le g avec la latitude ~ un repère lié il la 'ferre n'est pas Ul1 repère d'inertie (settin!i 12.2). Une = h

r'J.(j = Il

ou

dans lesquelles r et 0 sont les coordonnées polaires de p, ct tf> est l'angle flue la vitesse v de la particule forme avec la droite OP (figure 12.14). La constaute J. se détermlne à partir des conditions initiAles et on tire lino inconnue de l'une ou de l'autre des équations ci-dessus. :J Duu« te ~ l,r"I,lc'",c" tic' IIIt'C'""itl"t" Itl'(ltil,le sur le mouvement orbital d'une planète autour du Soleil ou d'un satellite autour de LaTerre. de la Lune ou d'une autre planète, la force centrale F est la force d'attraction gravitationllellf'; elle est orientée OO~ le centre de la fore' 0 et sa grandeur est (12.28)

U est à remarquer que, dans te cas particulier de la force gravnauonnclle exercée par la Terre. le produit C~Idevient gR!!, 011R est te rayon de la Terre (équation 12.30), Les deux cas suivants du mouvement orbital d'un satellite se rencontrent fréquemment: a) ,; 1',,,-1,;/, du ~("t:II,tc ('~, e:irculaire.la force Fest normale à l'orbite et on écrira F = /110,,: eo remplaçant F selon l'équation 12.28 et en remarquant que a; = v!!.lp = o!/r. on obtient

AI nI C ,-9- :::;

rf 111--;-

ou

"

11- =

GJI r

lli!« c,,/ t:llip,itemps qu'il met pour accomplir autuur (le la planëte.) b)

unr- révolution

12.84 Les périodes (voir le problème 12. 3), obtenues par ohse rvation, des satellites Juliette et ûmnia de la planète Uranus sont respectivement dl' 0,4931 [our et (le 8,706 jours. Sachant que le rayon de l'orbite de Juliette est de 64 Mra. calculez: li) Lamasse d'U ranus ; J» le rayon de l'orbite de 1Jtauia. 12.85 Un vaisseau spatial de 540 kg est d'abord placé sur une orbite circulaire autour de la Terre à une altitude de 4500 km, puis transféré sur une orbite circulaire autour de la. LW\ê. Sachant que la masse de la Lune est de 0.01230 foi.s celle dt: la Terre et que le rayon de la Lune est de J 740 Ion, évaluez: (1) la Iorce gravitationJl 'Ue exercée sur 1(>vaisseau spatial lorsqu'il orbitait autour de la Terre; b) k· rayon requis de "orbite du vaisseau spatial autour de lt1.Lune si les périodes des deux orbites doivent être égales (voir le problème 12.83) : c] l'accélération gru\;l:atiorlnel1e à la surface de la Lune.

Copynghted matenal

12.86 Pour placer un satellite de télëcommunication sur une orbite géostationnaire (voir le problème 12.80) à une altitude de 35,8 X IfrJ km au- dessus de la surface de la Terre, on le libère d'abord d'une navette spatiale qui se déplace sur une orbite circulaire à une altitude de 300 km, puis on le lance par un propulseur à deux étages vers son altitude finale. Lorsque le satellite passe par A, le moteur du propulseur est allumé pour permettre au satellite de se placer sur une orbite de transfert elliptique, Le propulseur est de nouveau allumé en B pour pennettre au satellite de se placer sur une orbite géostationnaire, Sachant que le deuxième allumage élligmente la vitesse du satellite de 1470 mis. calculez: a) la vitesse du satellite lorsqu'il s'approche de B sur l'orbite de transfert elliptique; b] "augmentation de vitesse résultant du premier allumage en A,

Proolç,mes

701

35,8 x 1~1km

/

\

300 km

Y\ A

\

B

R

= 63iO

km

\ Figure P12.86

12.87 Un véhicule spatial se déplace autour de la Lune sur une orbite crrculaire d'un rayon de 2200 km, Pour le transférer sur une orbite circulaire d'un rayon de 2080 km, on le place d'abord sur une orbite elliptique AB en diminuant sa vitesse de 26.=>mis lorsqu'il passe par A, Sachant que la masse de la Lune est de 73,49 X 1()11 kg, calculez: (l J la vitesse du vélneule lorsqu'il s'approche de B sur la trajectoire elliptique; bJ la dlminution de vitesse qu'on doit lui imposer lorsqu'il s'approche de B pour le placer sur l'orbite circulaire d'un rayon de 2080 Ion, Figure P12.87

12,88 Une sonde spatiale doit être installée sur une orbite circulaire d'un ruyon de 6420 km pour se déplacer autour de la planète Vénus. Lorsqu!' la sonde s'approche de Vénus, sa vitesse est diminuée de manière à ce que lorsqu'elle arrive nu point A sa vitesse p..t !>Of! altitude au-dessus dfl la $llrface de la planète soient respecuvement de 7420 n'lis et de 2S8 km. La trajectoire de la sonde de A à B est elliptique et, lorsque la sonde s'approche de B, sa vitesse est augmentée de Âtl8 = 24,5 mis pour loi permettre de se placer sur l'orbite de transfert elliptique BC. Finalement, lorsque la sonde passe par C, sa vitesse est diminuée de A.vc = - 264 mis pour luj permettre de s'insérer sur l'orbite circulaire voulue, Sachant que la masse et le rayon de la planète Vénus sont respectivement de 4,869 X 1()2'1kg et de 6052 km, déœrrnWI!'L: a) la vitesse de la sonde lorsqu'elle s'approche de B sur la trajectoire

elliptique; 1») l'altitude de la sonde au-dessus de La surface de la planète en B.

-+------------B

-

-- C

A

Orbite circulaire FIgure P12.88

Copynghted ma rial

702

1 Z.89

Une navette spatiale S et un atellîte A sont sur les orbites circulaires représentées. Pour pemlett:re i'l. la navette de récupérer le satellite. on la place d'abord sur une trajectoire elliptique Be en augmentant sa vitesse de AVII = 85 mis lorsqu'elle passe par B, Lorsque la navette s'approche de C, sa vitesse est augmentée de avc = 79 mis pour lui permettre de se placer sur une deuxième orbite de tnmsfert elliptique CD. Sachant que la distance de 0 à C est de 6900 Ion, calculez l'augmentation de vitesse qu'û faut imposer à la navette lorsqu'elle s'approche de D pour lui permettre de se placer sur l'orbite circulaire du satellite.

Clrt61oqlJ" dOS parl!r.t.,Jn:; de", If ème 01 de N~.'o'1on

-

C

12.90 Un manchon de 3 kg peut glisser sur une tige borizontale qui est libre de tourner autour d'un arbre vertical. Le manchon est initialement maintenu en A par une corde attachée à l'arbre. Un ressort de constante 60 t\:/m est attaché au manchon et à "arbre et n'est pas déformé lorsque le manchon est en A. Lorsque la tige tourne au taux é = 16 rad/s, la corde est coupée et le manchon se déplace le

long de 11\tige, En négligeant le frottement ct la n'tasse de la tige. calculez: a}

les composantes

radiale et transversale de l'accélération

du manchon

enA;

Flgure P12.a9

b) c)

J'accélération du manchon par rapport à la tige en A ; la colnpOSal1te transversale

de là vitesse du manchon en B. mm-----!

FIgure P12..90

Considérez le manchon du problème 12.00 et supposez que 1" tige initialement au taux 0:;::; 12 ,'acVs. Pour la position B du manchon, calculez:

12,91

tourne

r-- O,4m 1

r-o,25

(1)

la composante transversale de la vitesse du manchon:

h]

les composantes

c}

l'accélération du

radiale et transversale de son accélération ; manchon par rapport à la tige.

12.92 U ne balle A du 2()() ~ et une balle B de 400 g sont montées sur UHe tige horizontale qui tourne librement autour d'un arbre vertical. Les halles sont malntenues dans les positions représentées pRr des chevilles. La cheville retenant B est soudainement enlevée et ln balle se déplace vers la position C lorsque la tige tourne. En llégUgèllJ'lt I~ Irottement et la masse de la tige et en SUppOSiltit que la vïtesse initiale de A est VA = 2,5 mis, ealculez : les composantes radiale et transversale de l'accélération de la balle B

m--+--u.~

fi'

lmmédieternent après le retrait de la chevill ; b) l'accélération de la balle B par rapport à ln tige à tout instant; c..) la vitesse de la balle A après que la balle B eut atteint la butée en C.

FIgure Pl ~92

12.93 Une balle se balance sur un cercle horizontal à l'extrérnlté d'une corde de longueur / l qui forme lin angle 81 avec la verticale. La corde est alors lentement tirée à travers If' support en 0 jusqu'à cc que la longueur de l'extrémité libre soit u) Trouvez une relation entre' 1. lz, 9l et 92. b} Si, li la mise en mouvement dr la balle, 11 "'" 0,8 III ct ()l = 3.5°, calcule? l'angle 82 lorsque L2 = 0,6 m.

'2·

-_ ------- _ ....

/

Figure P12.93

Copynghted ma rial

*12.11' TRAJECTOIRE D'UNE PARTICULE SOUMISE À UNE FORCE CENTRALE

1? 1t Tril1f'ctol,e

ct iJ'fle panICale SoumlC;1l il ur.~ lorCll cernrnl..!

703

uno particule P sc déplaçant sous l'action d'une force centrale F et essayons d'écrire l'équation clifférentieUe qui définit sa trajectoire. Supposons que la force F est orientée vers le centre de force O. On relllarque que IFr et IF 0 se réduisent respectivement à -F et à zéro dans les équations 12.21 et 12.22. D'où Considérons

tu(r - riF) = -F In(r8 + 2;-8) = 0

(12.31) (12.32)

Ces équations définissent le mouvement de ,P. En remplaçant l'équation 12.32 par l'équation 12.27, d'usage plus commode et qui lui est équivalente comme le montre facilement sa dértvation par rapport à r, il en résulte q'

r-O = li

ou

e

(1()

t": -

rft

== Il

(12.33)

Léquation J2.3~ permet d'éliminer la variuhle Indépendante 1 de l'équation 12.3J. Isolons ou (/0/(1", dans l'équation 12,33. Nous obtenons

e,

lJ = !!!!_ = .!!_2 dt r

(12.34)

D'où

r= ~ = dr dO dt d8 dt

=.!!_ clr

,_2. (10

(.!.) dlJ r

= +l: d

(12.35)

dr di" dO It dr r-----=-dt dO dt ,.2 dO .,

Remplaçons

i: selon 12.35.

Nous obtenons

(12.36)

Dans J'équation 12.31, remplaçons ()et f selon respectivement 12.34 et 12.36 et introduisons la fonction II lJr. Nous obtenons, après réduction,

=

(J2tJ l\~

cl fr

+ 1i

""

F ., () ln 11- u:

(12.37)

Pour en arriver à l'équation 12.37, nous avons supposé que la force F était' orientée vers O. La grandeur F sera donc positive si la force F est orientée vers 0 (force d'attraction) et négative si la force F est orientée en s'éloignant de 0 (force de répulsion). Si ,F est une fonction connue de r et donc de u, l'équation 12.37 est une équation différentielle en lt et en 8. Cette équation différentielle définit la trajectoire suivie par la particule soumise à La force centrale F. On obtient l'équation de la trajectoire en résolvant l'équation différentielle 12.37 pour li en fonction de (J et en déterminant les constantes d'intégratjon à parti r de conditions initiales.

Copynghted matenal

704

*12.12 APPUCATION À LA MÉCANIQUE SPATIALE

Cj~bque

de$ pMticu4es; dauxièma loi du N9WfOin

Une fois les derniers étages de ses fusées de lancement consumés, tout satellite terrestre ou autre vaisseau spatial est soumis seulement à l'attraction de la planète Terre. Son mouvement peut donc être déterminé par les équations 12.33 et 12.37, qui régissent le mouvement d'une particule soumise à une force centrale, une fois la force F remplacée par l'expression obtenue pour la force gravitettcnuelie''. Dans l'équation 12.37, posons C A[ li.

F..

r

2

1')

;:;

C~1mll-

où /II = ma..ese de la Terre rn = 111élSSe du véhicule spatial r = distance du centre de la Terre au véhicule u. = lIr Nous obtenons l'équation différentielle

d2u Cl\1 --:-2 + li = ---,2 l/8

A

(12,38)

11

Où la partie de droite est constante. La solution de cette équation difTérentielle s'obtient en additlonnant la solution particulière fi = CM/112 à la solution générale Il = C cos (8 - Do) de l'équation, homogène correspondante (c'est-à-dire l'équation obtenue en posant le membre de droite égal à zéro). En choisissant l'axe polaire de façon à ce 4'Jlle eu = 0, nous écrivons

FIgure 12.17

( l2.39) \ \

\

L'équation l2.39 est l'équarion (l'une sectton C(lui(/ue (ellipse. parabole 011 h)'perl)olf') (Ians les coordonnées polaires r et 8. Lorigine 0 de coordonnées, (JIù est située au centre de la Terre, est un foyer de cette section conique, et l'axe polaire est \UI de. PS axes de symétrie (figurp 12.17). Le rapport des constantes C et G 1\1/,,2 défiuit Z'(,'Xcelltrl(:ité e on (l'Il' le véhicule spatial commem ..'e ~tvoler llhremeut au ommet J\ de sa trajectoirl?i Appelons l'Ille rayon \ ecteur el vola vitesse du véhicule au début de son vol libre. On relnarcLuc que la vitesse e réduit à sa composante t ransversale eLdonc 'lue Cn = ru8o. NOliS souvenant de l'équation 12,2ï, !leUI" exprimons comme suit le moment cinétique par unité de masse h :

1212 Avpllcaltoo il ta mécanique spat.ale

\'ol hbw \

l'ui de b propuI.S1DD

Llna.·llll 'fit

Figure 12.19

( 12,41 )

Cette valeur de Il permet de calculer la constante C!l1 /112, Le calcul de cette constante se simplifie par l'usage de la relation obtenue à la 't'ttion J 2.10: C.'I = gR~

( l2,30)

est le r,lyon de la Terre (R = 6.3ïX 106 Ill) et g e ( l'accélération Wa\;tationnelle à la urface de la Terre. La con tante C s'obtient t'Il po. ant 8 = 0°. r = rll dans 12,:39,

011 R

c = .];__ ru

C.\I .., 1,-

(12 42)

Le remplacement de Ir selon l'équation 12.-41 donne faciJenl ent C l'Il fèH1C· tion de 1'(1 el de Cu. Calculons maintenant les condltions initiales COITe rpondant à (·hHC111l(> des trois trajectoires fondamentales indiquées ci-dessus, Considérous (l'ah()rcl la trajectoire purubolique. Dans 1'6quution 12.-12. I)osons C égal à (; AIl j,2 et substituons Ir donné J)UJ' l'équation 12.41 dans l'équation 12,-42. Isolons Oc, pour obtenir

2G.\1

Nou pouvons vérifier facilement qu'une valeur plus grandt> (It> la \ itesse initiale correspond ~,une trajectoire hyperbolique et qu'une valeur plu!I petite correspond ;1 une 1 rajt'(,t!lirt> elliptique. (:0111111t> 1.1 valeur elt' L·.. , obtenue I>our la trajectoire parabolique, est la plus petite valeur l)our laquelle 1 véhicule spatial ne revient pas à SOIl point de départ. elle est appelée iitessc de libération, Donc. n utilisant l'équation 12.30. nous obtenons 2Gf./

( 12..t:J)

IIU

Bernarquons que la trajectoire sera 1) hyperbolique lique si Vu = VIlt. et 3) elliptique si ru < f'U!'"

ï.

tl:OU!l

étudrerous II."LUK'('Ult'1I1 ()bllqllt'

:1 III secuou

si

t'II

> VIII" 2) paruho-

13.9.

Cop

705

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

12 13 LoIS de to = 36900 kmIh = 3,6 X l(fl s "" 10,25 X 1()3mis " = rouo = (6,87 X lW m)(lO,25 X ](fl mis) = 70.4 X 109 m:.!/s

,

\ J\ '

112 = 4.96 X )Q21 m4/s2 Or Gj\'/ = gR!!, où R est le rayOll de la Terre. Donc, C3f

C 1\1

= gR2 = {9,81 mls2}(6,37 398 X 10~

X 106 ln)2 = 398 X lOl2 m'/s2

11'.3/51- _

1

9

Jr2 - 4,96 X lQ2I tn4/sZ -

0,3 X 10

m

Ou reporte cette valeur dans l'équation 1 et on obtient 1

-= 0,3XI0-unl-1+CooSO r Au point A, on a 0

= 0"

et r = r(l = 6, 7 X 106 m. Donc,

1

6.81 X 106

(2)

1)1 :;;;;;80,3

X 10-9

1

111-

C = 65.3 X 10-0

+ C cos 0"

I

In-

Au point A'. le point le plus éloigné de la Terre, () :;;;1 0". Léquariou 2. permet de calculer la distance correspondante rI, soit 1

- = 80,3

X

10-9 m-I

+ (65,3

X

10-9

In-I) COS

180°

ri

ri"" 66,7 X I()II m = 66 700 ku) Allitude maxunale = 66 700 1'\l!'lnièrfl orbite de transfert, 12.109

Le vaisseau s-patiaJ Clemeudne

décrivait

d' ltiLlIcl _.minlmnle hA ... ..,00 km et d'rutit\ldc madrnale IlB

tlll€'

orbite elliptique

2940 k,,, all-dp~su:, de le surface de ln LIUIl'. uehant que le rayon de ln Lune est dl' 1137 kin ct f1UC' 10 masse de lu l..une vaut 0,01230 fois celle de la Terre. calculez la P tinde dl! vaisseau spatial. sa

Agure P12..109

Copynghted matena

714

l;lnitIIQIJ@ "je:; p3.rtICl,loS oOU;oleOlij ICM0(;

Nu.' ton

12.110

Une sonde spatiale sur une basse orbite terrestre est placée sur une orbite de transfert elliptique à la planète Vénus. En sachant 'lue la masse du Soleil vaut 332, X Idl fois la 1l1QSsede la Terre et en supposant que la sonde ne soit

soumise qu'à la force gravitationnelle du Soleil, déterminez la valeur de tP qui définit la position relative de Vénus par rapport à la Terre à l'instant du plaecmeut de la sonde sur l'orbite de transfert. Vénus

Vénus au placement TCITll

nu

fllaœnwnt

Flgure Pl2.110

12.111 Des observations relevées durant l'apparition en 1996 de la comète Hyakutake ont permis de conclure que la trajectoire Je la comète est une ellipse très allongée d'excentricité e = 0.999 8ï approximativement. Sachant que, lors de ['apparition de 1996, ln distance minimale entre la comète et le Soleil était

de O,230Re. où Re est Ifldistanc€> moyenne du Soletl à la Terre, calculez la période de la comète. 12.112 Selon des observations efl'ec.:tué-esdurant Sou premier passage rapide à proximité de III Terre. le véhicule spatial Calilée avait une vitesse de 10,42 km/s lorsqu'tl a atteint sa dis tao ce minimale de 1330 km du centre de la Terre. En sup-

posant que la trajectoire du véhicule spatial était parabolique, par le véhicule spatial pour aller de B à C sur sa trajectoire.

calculez 1('temps mis

7.'330 kil'

Figure P12,112

12.113 pOUT

Déterminez

le Lemps mis par la sonde spatiale du problème 12.99

aller de B à C. 12.114

Une sonde spatiale décrit une orbite circulaire dt>l'ayon

'1 R

avec une

vttcsse 1>0 autour d'une planète de rayon R et de centre O. Lorsque la sonde passe par le point A, on réduir sa vitesse de 00 à f3 v(). nil f3 < l, pollf lui permettre de se placer sur une trajectoire d'écrasement. Exprimez.en fonction de net fJ l'angle AOB, où B désigne le point de chute de la sonde sur la planète.

Copynghted matenal

[lI'( blèrnes

12.115

Avant la mission A[)QUo"crs la LUlle, plusieurs véhicules spansux Lunar Orbiter ont été utilisés polir photographier la surface lunaire atm de se renseigner sur des sites d'alunissage possible s. La trajectoire était ajustée à la rUl de chaque missiou afin que Il' véhicule spatial s'écrase sur la Lune pour étudier plus profondément les caractéristiques de la surface lunaire. La fig\l',(" P12.115 représente l'orbite clliptitlue dl: Lunar Orbiter 2, Sachant que la masse de la Lune vaut 0,012 30 fois la 1l1a5Sede la Terre, calculez la réduction de la vitesse de l'orbiteur

au point B de sorte qu'i) touche la surface lunaire au point C, (Sllgg~"i()11: Considérez que le point B est )'apog~e de la trajectorre de chut!" elliptique.) 12.116

Lorsqu'il s'approche de la planète Jupiter,

lUI

vaisseau spatial libère

une sonde qui doit entrer dans l'atmosphère de la planète ail point B à une altitude de 450 kin au-dessus de la surface Je la planète. La trajectoire de la sonde est une

hyperbole d'excentricité e == 1,031. Sachant que le rato" ct la Tl1 la poninll('.

C$t

égale

Léquution 12.2 n'est valide que si l'on utilise un syslèrrle d'unités cohérent. Avec les unités SI. les forces doivent être exprimées en newtons, les masses en Idlognl.mmes et les accéléradons en m1~(section 12.4).

Systeme d'unités cohérent

Pour résoudre un problème sur Je mouvement (J'une particule, l'équation .L2.2doit être remplacée par des équations contenant des quantités scal...dres (section 12.5). Lutilisatiou des côfnposn11tf!S n'ctarlg(~lnires de F et de a nous a permis d'écrire

Equations du mouvement d'une parucute

~F ~ , = ma ~

IFy = rtla y

IF = '/IQ_-

L'ut:ilisat:iou de composante» tangctlNeUe et do

IF, = lr1dt

nO/lMlt: 1)2

!F = lU-P

•

(12.7)

a donné ( 12.9')

It

00 peut remplacer (voir section 12.6) les équations du mouvement d'une particule par des équations semblables aux équations d'k]uilibre utilisées cn statique si lm vecteur -'lIa de grandeur Til0, mats de sens opposé l celui de l'accélération, est ajouté aux forces appliqué-es à la particule. On dit alors que la particule est en équilibre dyl1(lfniqilc. fais. pour des raisons d'lmifonnité. nous avons OlutiOllIlé tous les problèmes résolus en utilisant les équations (lu mouvement, d'abord avec des composantes orthogonales (PR-12.1 à PR-12.4). puis avec des composantes tangentielle et normale

Equilibre dynamique

(PR-12.5 et 1)1~-12.6).

Dans 10 deuxième prune du chapitre. nous avons ùéfinj le nlQf/lent cit,t!tlt/Ué IJo d'une particule par rapport à un peint 0 comme étant le mement 1,ar rapport à 0 de la quantité de mouvement m ,r de la particule

Moment emetique

(section 12.7), soit Ho=rxnlv

(12.12)

717

Copynght d ma nal

1

718

Cinétique déS patl ICUlés deuxième

el nous avons remarqué que D(} est un vecteur perpendiculaire contenant r et IIlV (flgtlre 12.22) et de grundC'ul'

101de Newton

IJ

H(J '11 \

= r nI

.1U

plun

( l2.l~)

sin t!J

En décomposant les vecteurs r et fil' en leurs t'o,nposllntt>~ rectangulaires. nous avons exprimé h~ moment cinétique He) par le dét erminnnt •

1

JIo =

A

tl! u,

•

Figure 12.22

•

J Y

k

"I •vy

"Il:

--

1

12. l ')

1.. cas d'une particule 5" eléplaçant d.uis le plan x!J. nous avons : = lI,; = O. Le moment cinétique est perperulrculaire au plan \y et ext complètement défini par sa gnmdeur. D'Ott DiUlS

lio = 11: = Taux de variation

du moment cinétlque

"1(tVy -

(12.16)

yu,)

Le calcul du tUlLX de vartatîou H() du moment cinétique Hr) et l'applieulien de la deuxième loi de ~c\\'lou ont douné l'ég~ité (12,1~) elui stipule qlle la ,(/01111/1(: des moments par rapport à 0 J('S forcefj a"l,1itltlt{c~ à ulle particule est égale au II1U\' de uariation dit t110Tlfellt c;rrétiCI"C dl' '(1 plzrtiCLt/(' par rapport à O.

Composantes radiale et transversale

Dans de nombreux problèmes sur le mouvement duns le !>11111 d'un" particule. u est commode d'utiliser les composantes radiale l·t Ir(111'( ersale ~!> ectian 12.~.PR-l2.7) et d'écrire les équations ,~

~F,= '11(" - r 0:') •• • = 111(r8+ 21'0)

(12.21) (12.22)

s», Mouvement sous l'action

d'une force centrale mv

Si la seule force appliquée à une punlcule i' est une l'lIl'Ce F uri antée vers le point Iixe 0 ou dans le sens contraire on dit (PIC 1,1 particule se déplace sous l'aaion (1 '0 Ile !flrce Ct·"t~nlLl (section 1.2.9), Comme (~1()= (l à tout instant, l'équation 12.l9 donne H() = (}pnllr tonte valeur rle t et itafi()h (le Nt'\\-111alluqut' ExœllmCltti d'une, seetton (:("lniqU(' focr(.'e ("('utratt' Force (j'inrrtif'

Force gra\1tationnelleLoi dt- Kepler Loi de la conservation dla quantitéJt. mouvement L()i c::ir( nIai 1'('

~ant:il~ de mou vornent

R('p(-}"(' dïnf·rtie, f!âlilA'rl

4"""": de surfaCt' ou \ltesse

d(.'ibaJayagt' dl.' surface \rlh's~(,dt' IilWratton

Copynght d ma nal

...

PROBLEMES , SUPPLEMENTAIRES

Une voitnre de 1360 kg descend '1I1~'(."t)h'd'luit, ilit'Iillllisoll ..Il:' 5° li une ,~tc'SSf'cie ~) ~'111ll) quand 1(' conducteur commence il frl'hlf'l', t'v ll"i app11cluc une foree de freu1uge totale de 5 kN à la voiture. Déterminez ta distance parcounlf' J>Hr la v()i~Ilr(' jllsCJII'à l',\rr(ll.

12.122

Le bloc ...\ Il une 1I1US!i(.' dt 30 kg. ct le bloc B L111(.' IHaSSe.' dL' 1.5 k~. Les coellldents dé lrottemeut entre toutes les surfaces planes dt> contact sont J.L, = 0,15 el }.LI. -= 0.10. Sachant quI" (J = 30° ('1 qUI' hl ~ralldcur dl' lu force P UI>pliCjllél' au bloc 1-\ est de 2.50 N, calculez: a) l'accélération du bloc 1\ ; b) la tension dans ta corde.

12.123

Figure P12.123

12.124 1..('bloc r\ a unr- masse dr- 10 kg l't les hloc'" B l·t C (1111 chacun 1111(.' masse de 5 kg. Sachant (lue- 1(>8blocs sont Initialement au rpros el (jlll' IJ SI' déplace de 3 ni en 2 s, d(tt .rmtm-z : a)

la ~rJ.ncJelir (le la force P:

b) la tensîou dans la corde .4.0 Négligez la masse des poulies ('1 If' Irottement des axes.

12.125

Un bloc B de 6 kg est an rour exprimer le travail élémentaire. Alors, Ut_2 =

fA v, (Ix + FI) (II) + F:. (/::.)

(b)

Figure 13.2

(13.2")

'\1

où l'on intègre le long de la trajectoire décrite par IH particule. Travail d'une force constante dans le cas d'un mouvement rectiligne. Si une particule e déplace sur IU1e droite Ole l'action d'une force F de grandeur et de direction constantes (figure 13.3), la formule 13.2' donne VI

2 =

(F cos a) ~.\

(l3.3)

où cr = allgle que la force forme avec la direction {lu mouvement et 6x = déplacement {le Al à A2

2. I.R joule

(J 1 l'st

l'lInit~ SI CI',llIc~jl'~OUNfonn(> 111tscaniqut> (tmvai], ~nprgi(> poh'nnC'IIj', ~n('rgtf' cint!>ticjlle), rhimlquf'. ,slt'C'lnque 011thermique Hernarquons que, hien do l'énergie el de la q ..anhle de

mouvement

Travail de la force de gravité. Le travail (lu poids W d'un C0t})S, c'està-dire de la force de gravité appliquée à ce corps, s'obtient en portant les composantes de "" Œ1l1S les équations 13.1/ et 13.2". Avec l'axe des !/ orienté vers le haut (figure 13.4). nous nVOI1S F" = 0, Fy = -'V cl F: = O. Donc,

dU = -\\' (Ly ( L3.4)

Yz. r\'-'1

_

ou

(13.4') où ~y ·t le déplacement vertical d A, il A2. Le travail du poids '\' e 't donc

L

égal au produl: (le "" ct (kt déplacement vertical du centre lie grouité du corps. Le travail est positif lorsque Ay < 0, c'est-à-dire lorsque le corps descend.

Figure 13.4

Hf'~q')n pente descendante

(1)

kmih Il

Figure P13.15

13.16 Un camion scnu-remorque commence à t;ravir une côte de 2 % à la vitesse de 65 km/h et atteint 100 lanIb sur 300 m. La masse du tracteur est de 2 vrl'S

pt

!'il'

balance

suivant un cercle vertical de rayon 1 et de centre O. Déterminez la vitesse "0 minimalo pOlir Itll']lI(·IIC'ln sphi'l'~ atteindra le point 8 si: (1) AD est une corde: b) AO est LInt' Ont' tige de masise négligeable. B---

........

.... Ill/.1S Y2

754

=

l,::; uvs

!

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13,55

U ne force Pest

ressorts causant

lentement

appliquée

11IUlE' plaque attuchée à deux

dëformauon 1'0'Dan" les deux cru; représentés, tr(HI\~Z "C'\:l)n:'Ssion dt' Laconstante k•., en lonctlon dt> k 1 et de k~, du ressort unique équivalent au ~'Yst{'n'l' 11(lIlnt:, c'('st-à-dirl' du ressort (llIi produirait 1.. rlu':.nlf> déCornuuion XII S()IIS l'nc'lion dr- 11'1même forer- P. une

p

p

r(1 ) Figura P13.55

Un bloc dt' IIH15SI:' III est attaehé ù deux ressorts st'Ioll hl fi~url' 1)13,56, Sachant ltU(>, dans chaque cas, le bloc est tiré sur une distance XII à partir de sa position d'équillbre plUS lâché. détermlnez Lu vitesse IIltLXilllaJ., du bloc t,ltlllS Il' 13,56

mouvoruent subséquent.

-1

kl

J.: ......... . ......... '"' .. -,,~ '"' .

6

1-

~ ~ 1

FIgure P13.57

Flgure 'P13.56

13,57 U Il bloc: de 1(i kg l'l'ut ~ss(.'r SdJLS Imttemeut uau.il nUL' f(.'lItt, et (.'st attaché u deux ressorts d .. constant ..s kt = 12 kN/,n et k:l = ') k1\'/m. Les ressorts sont IlIitiilll'rtlt'lIt LIli repos lorsque 1(>bloc ('st tirtaJicC;! mlnlmule ÙU centre de la 'ferre au satellite.

C p n

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,

RECAPITULATION SECTIONS 13.10 ET

13.11

Dans ces sections, nous avons intégré la deuxième loi cie Newton pour en tirer le principe de l"impulsion, et de la quantité de nWl,vmnent pour une particule. En nous souvenant que la quantitë de mOlIVenl€'lt d'une particule est par définition le produit de sa masse 111 par sa vitesse v (section 12.3), nous avons écrit nlvl

+ l ImPI __!! = mV2

(13.32)

Cette expression énonce qu'on obtient la quantité de mouvement t11VZ d'une particule à l'instant t2 en additionnant à sa quantité de mouvement 111VI à J'instant t1 les impulsions des forces exercées sur la particule durant l'intervalle de temps allant de t 1 à t2• Pour effectuer les calculs, on exprime les quantités de mouvement et les impulsions en fonction de leurs composantes rectangulaires et on remplace l'équation 13.32 par les équations scalaires équivalentes. L'unité sr de ra quantité de mouvement et de l'impulsion est le . s. Les étapes suivantes simplifieront 1~1résolution de ce type de situation. 1. ()jj i rur» Il li ,Ii".!tll''''!'' montrant la particule. sa quantité de mouvement à tl et à t2. et les impulsions des [orees exercées sur la particule Jurant l'intervalle de temps allant de t 1 à t2'

,,1,· {ï,lIl"ri"llllll

,{c· ('/"u/", .Il1t (.,'. en l'exprimant en fonction cie ses ·composantes orthogonales si plusieurs directions sont en jeu. On rencontrera les cas suivants: 2.

()I! ('1111

il)

JJ}

J.ï/,/,'/I·I,IJ"

I:,:t,:. l''ai,,

,(f' (('111/':-;

,il

i('III}I,o,;

( ....,

(.""

[ln] ("

1:, };J""('

ImPt--Z

= F(f2

[i«

,:

III

c«! -

.li,l'(·(·

runstunt«,

fi) ('",1

,J'le ;11l/1'I;Oll ,le l,

,f" 1(''''/'''' ('S, Irc"h /,c";1 c', ''''/l,,('' ('If/ tri» gr·l,tlfle. La force est appelée force d'impulsion et son impulsion SUT l'intervalle de temps t2 - ft = At est c)

I,";II(,""(IJI"

lmpl_~= FAt

Remarquons que cette impulsion est nulle pour des forces il"n impulsioes telles que le poids d'un cO.rps, la force exercée par un ressort ou toute autre force que l'on sait être petite comparativement aux forces d'impulsion. On rie peut T'as supposer cependant que les réactions inconnues sont non impulsives: il faut donc tenir compte de leurs impulsions.

:t ()JI /)111'1" /,,/'00 1"'/(""'''' "llle'II;"~ '/t'Inouveau la voiture B. La vitesse de la voiture B ('si de' I,ô\j 1111~ après la première collision, dl" 0.21 nv's après la deuxième collision et de 0.2.36 2.5 mis après ln troisième

a) b}

collision. Déterminez:

le vitesse« ûnales des voitures A et C; le coeffleient de restitution entre deux de ces trois voitures.

III

FIgure P14.5 • P14.6

14.6

Trois voltures identiques sont en L'OUrs de déchargement d'un porteautos. Les voitures 8 et C viennent juste d'Ctl"(' déchargées ri sont au rrpos tOIlS freins des errés lorsque la volrure A quitte la rampe de déchargement ;l lu vitesse de 2,00 mis et heurte la voiture B qui il SOli tour heurte la \OitllN' C. Puls, III voiture r\ heurte de nouveau la voiture B. La vitesse de La voiture A est de 0.40 nv!. après sa première collision avec la voiture 8 et dt' 0.336 uv' .lpn~ sa d('II\i('nll' colltston a\PC la voiture B. et la \;te's~f' de ln voiture C est de L.28 rn/s après qu'elle t'ut étt" heurtée par La voiture B. Déterminez: tl) la \;trsse- de la voiture B, après chacune des trois colhsious : 1)) le coefllcieut dt:' restitution entre deux de ces troi" \ Ilit un-s. 14.7 UnE' halle de fusil, tirée avec une vitesse borizontak. d{'500 nal .truvcrse un bloc A de 3 kg avant d(' sr loger dans un bloc B d(>2.5 kg. Sachant (Ill(> les blocs A et B commencent à se déplacer avec des vitesses respectives de 3 111/S el de' 5 ln/s,

1 ~)() InlS

III

dét irmtnez . a)

la masse de la bulle:

J))

la vitesse de la balle

14,8

lorsqu'elle sc déplace du bloc i\ nu bloc B.

4.'5 tonnes se déplace dans uru- 7'.011(' dC' Irill.gen Lavitesse de 9 knllh vers les \\'agolls 8 et C quj SOlLt au repos tous [relus dC'ss('rN'-lI ct à petite di tance l'lin de l'alllœ. 1R \vagon B est un ,vagon plat dt' 2.5 tonnes et supporte un COllteneur de 30 tenues, et le wagon C est UII \\'ugull couvert dl' ..0 10nl)(·S. Lorsque les \vagons S(, heurtent, un rnéeanlsrne IE"saccroche automatiquement J'un à J'autre de fU~'01lseme. Déterminez la vitesse du \\'tlgoù J\ Immédlatemcnt après chacun des deux accrochages en supposant que le conteneur: a) Ill! glisse pas sur le \\'ëlgot\ plat, b) gUs e après Ir premier accrochage- mais heurte une hulfe avant qUf' le deuxième accrochage survienne: c) gliss(' Cl heurte ln butée seulement après que It' dPll"ii>nH' accrochage UII \Vag.OII CO\III{:rl

1\ d.·

eut survenu.

A

Figure P14.8

8

c

Figure P14.7

1\

l

l

825

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14.28 Démontrez que J'équation 14.2J peut être déduite directement cie l'équation ] ".11 el) remplaçant 110 par l'expression donnée au problème 14.27,

14 7 (II

rg',

829

Qf ellQ cd UII ''1s1(Jm Oà ~ ri ,1

Soit un référentiel Ax'y':.' en translation par rapport au référentiel inltial d'inertie Oxy::., Par définition, le moment cinétique H~ d'un ~) tème de n particules par rapport à A est égal à la somme des moments par rapport à A des quantité dé mouvement ,n,vi des particules dans leur mouvement relativement au référentiel Ax'y'z.'. D'où 14,29

H'A -Notez HA la somme

HA =

" r' ,

'-1

y'

(1)

X '11.,v'

" r; X m,v, 2: ... ,

'JJ

r\

(2)

des moments par rapport à A des quantités de mouvement ,n,v, des particules dans leur mouvement relutivement au référentiel d'inertie Oxy::. et démontrez qUè HA = HÂ à un instant donné si, et seulement si. une des conditions suivantes est

{'

satislalte 11 cet instant: a} h]

A a une vitesse nulle pnr rapport au référentiel Oxy::.;

c)

la vitesse

A coïncide avec le centre de masse C du système; VA

relativement à Oxy;; est orientée suivant la droite AC,

F1gure P14.29

14,30 Démontrez que la relation I.~iA= H~, dans laquelle HA est déflni par l'équation 1 du problème 14.29 ct où I~fA représente la somme des moments par rapport à A des forces externes agissant sur le système de particules. est valide si, et seulement si, une des conditions suivantes est satisfaite: (1) le référentiel /\x'y';;' est un référentiel d'inertie; bJ A coïncide avec le centre de masse

c;

c)

l'accélération droite AC.

de A relativement

3"

à Oraj:' est orientée

uivant la

14.7 ÉNERGIE CINÉTIQUE D'UN SYSTÈME DE PARTICULES

Par définition, l'énergie cinétique T d'un système de particules est la SOIUlne des énergies cinétiques des particules du système, Donc, selon Lasection 13.3, l Il l' =. "ni v2 2 ,L.1 "

(14.28)

"', !J'

IJ p. \

Utilisation d'un référentiel central. Il est souvent commode lorsqu'on calcule l'énergie cinétique d'un système comprenant un grdnù nombre de particules (comme dans le cas d'un (:orps rigide) de considérer séparément le mouvement du centre de masse G du système et le mouvement du svstème relativement à un référentiel mobile attaché à G. , Soit P, une particule du système, V, sa vitesse relativement au référentiel d'inertie Ory::. et v; sa vitesse relativement au référentiel mobile Gx''1'::: qui est en translation par rapport à On)::. (figure 14.7). Selon la section précédente,

v, = v + vi

(14.22)

où v représente la vitesse du centre de masse G relativement au repère d'inertie Ox'1z. En remarquant que v'f est égal au produit scalaire Vf' Vf. l'expression de l'énergie cinétique T du système relativement au référentiel d'inertie Ox'1= est

1"

T =2

l

'-1

,,1"

1U,t>j

= -2 l

;=l

("l,V,'

v,)

c:k:::=_--, r

-. OP--------------- ,t

Agu,.

14,7

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PROB.LÈME RÉSOLU PR-14.5 A' 2Am

Sur une table de billard, La boule i\ reçoit une vitesse initiale

._0--

li

V(I :;:;

1

VAt

0.9 m

D

----

0.6 ml

06111 •

;l

.. -~ 'il

,.r'"

,

vr,

C

B

t::

:1.1 :; "'"',_ ...

1

puis la heule C, qui sont au repos. Les boules A et C frappent à angle droit les côtés oc la table aux points A' ct C', rcspccüvcmcnr, La boule B rrap~ ohllquement le côté en B'. En supposant que les surfaces soient Lisses et que les chocs soient parfai-

O.q rn tement élastiques, calculez les vitesses \'A. 'l/Ii et \le atL'os.Ultt>S

+ty:

Moments

+~par

:

10(3

mis) --

'III(O~), + IflVr.

0 ~ rTl VA - nl( n}.,

rapport à 0: -(0,6 n1),11 (3 n'lis) = (2,4 m)tnVA -(2,1 rn)I1I(Vn)y - (0.9 In)ul e

(1) (2)

(3)

DC' ces trois fqllatîons, on obtient VA. (vo) .. ct (Vlj)y en fonction de oc' On Cl

-

B

c

1" 0.1l

{/J(vII).

_l

CA

ln

°1:'=====-2-J-m-_~_~_~_·_.~I--~

=(

IJ)!I

= 3vc - 6

(on).r

=3-

(4)

Vc

Conservatîon de J'énergie. Comme les surfaces sont sans frottement et que les chocs sont parfailCtn('nt éla.sH(llICS, l'éut'rgit' cinétique initiale J I/lli5 est égaJé à "lIuergie cinétique IlItaJE> du ~) tème .. D'où

(5) EII remplaçant

duns lu relation 5 les expressions de

D.,\,

(UB) .. et (!.l[j}yselon les équa-

tions 4, on obtient

+ cf. = 9 20v~ - ï lie + 72 = 0

2{31ic - 6)2

+ (3 -

t:ç)5!

En isolant c, on trouve Uc = ',5 Ill/S et Oc = 2,4 n'lis. Seule la deuxième racine donne une valeur J-1.10). }I:T1 ~~Illant tes eomposnnres en r, les j'olilposanll's II 11 et le.. moments pitr rapport à un {lui Ilt fixe des

1

r

1

-

+ / ;' ,/

/

'"

/

/

;' ;'

/

'"

/

'" (b)

(a'

(c)

Figure 14.16

vecteurs en jeu, nOl111obtenons trois équntions, que I1C)US pouvons résoudre pour obtenir lex inconuues dé.,,;rëes (PR-14.ô et PR·14 ï) Ce résultat clonn€:' nussi l'expression suivante pOlir la résultante IF (les forcps exercées SUTS

dur

(1 1.39)

lF = c1t ("'B - v._\)

où \'n - \~\ représente la cillTél'enCl' entre les 1eC{t:IJf'S VII et v \ et 0\1 tJIII/clt est If:!débii massique (lu courant (voir la note 6). Systèmes qui acquièrenl ou qui perdent de la masse

EIJ considérant ensuite un système de particules qw acquiert de la musse par absorption cuutiru telle de particules nu qui perd dt> la musxe pur expulsion continuelle de particules (sectîon l-l.Lâ), roU1IDC dans le cas d'une fusée, nous avons appliqué le principe de l'impulsion et lie la quaruité de t1IClU\ emeut HU ")OStèltkt.' durant uu Iuterv al ft? dl' tCIJ\IJ:' ~ eu ]lrellllILt soin d'inclure les particules acquises ou perdues durant cet Intervalle de temps

(PR-14.8), Nous avons remarqué tll.le l'action sur un nhsorluics PlU· S équivulait :1 UUe poussée p=

Il,11 tft

l.}t

tème S II s particules

u

(11.41)

dn,/dJ est le taux d'absorption de la masse, et u la vitesse des particules IJ(1f" f'''pro,t fi S 1)'10" le ClIS des particules ex/",t.'lf J'apport à A et r pectivement wk el ak la vitesse angulaire et l'accélération angulaire de la plaque par rapport à des axes d'orientation fixe. Il en résulte que (UBI.\),

(aBI,\)n

= ak x TBIA = -cJlr8/.-\

(08/.\), = ra

(15.22)

(08IA)" = rol 1)'

-

+

=

trans lad on uvee A

+

n"

r01111l011llutou r de A

Figure 15.22

c

901

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PROBLÈME RÉSOLU PR-15.8

i5 r:nffi

350

·125 mm Les éléments du mécanisme articulé ABDE se déplacent dans un plan vertical.

11'110

Dans la position représentée, la manïvelle AB a une vitesse angulaire constante

Wl

de 20 radis dans le sens antihoraire. Calculons les vitesses angltlaires et les accélé-

rations augulaires respectives de la bielle BD et de la inaruvelle DE. 1---+300 IDR1-t-425 InRl--l

200

mm

SOLUTION y

D

Cf' problème pourrait être résolu par la méthode lItilisée Rtl problème PR- 15.7, mals ici l'approche vectorielle sera employée. 1..'1 Agme représente les vecteurs positions

r; Il

t'8, rvet r!)f8 choisis.

\'itt'Io~c."s. Conune le mouvement de chaque élément du 1uécanisrne articulé se E

rll=WOi+350j rv=-t25I+425j rOOj" 300i + 75j

fait dans le plan de la figure. (J)AlJ ""

CùA1Jk = (20 rad/s)k

(J)H.D =

w8vk

(J)UE;;;;

wvek

où k est un vecteur unitaire pointant bors de la feuille. On peut donc écrire

vo

= vB

+ "0'8

WAtfk X rH + wBok X rDlB WnF. k X (-425i + 425j) = 20k X (200i + 350j) + wltl,k X (300i + 75j) -42..5w[)l~j - 425 win:! i = 4000j - 7000i + 3OOw8Dj - 75wBUÎ wvEk

X ru""

En égalant les coefficients des vecteurs unitaires i et j. on obtient I~ deux équations scalaires suivante.s : -425wOE = -7000 - 75woo -425woe::: +4000 + 3OOW80 Will! 129 .l1 fJlt, k WJlJ . .\.ccélt!ratioo~.

On remarque qu'à l'instant considéré la manivelle AB a une

vitesse anguJaire constante. Donc, anD = anDk ao

=

aB

+ IlDf8

(1)

On calcule chaque terme de l'ëquanon l séparément. On O·bUCJlt (X}JE;kX r,) - w.BF.ro = (XOF.k x (-42.5i + 425j) - (ll.2,9)2.(-.I25j + 425j) = -425aoej - 425aOEi + 54.2 X lCfj - 54,2 X 100j aB = ClAUk X rB - W~lJrB :::::0 - (20)2{200i + 350j) = -80 X l()3i - 140 x l()3j

3D

tl'J/B

=

= annk X r1}{1J - W~r)rl>llJ = lr.81Jk x (300i + 75j) - (29,33)2(300i + 75j) = 300aBoj - 75alJJ)i - 257.5 x lO'lj - 64,4 X ICf j

En IIbstttuant ces valeurs (lans l'équation 1 C't pn égalant les coefficient." de i et j, 011 obtient -425aOF -425al)E

+ ISaRD

= -391,7 X 1~

- 300all/J = -150,2 X lCf «HII -

906

\

rH.:J 1 ad s- k

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15.135 ct 15.136

RcfailC's le problème indiqué en utilisant pleinement

la

méthode vectorielle connue dans la résolutiou du problème PJ\-l5.8.

15.135 15.136

\ 1

Problème 15.133. Problème 15.134.

15.137 Soit rA If' vecteur position d'un point A d'un ....plaque rieide animée d'ml mouvement d.L11 le plan. Drnlont(r7. (lur "'

le vecteur position

TC

du centre de rotation Instantané est Figure P15.137

oü west la vitesse ungulaire de la plaque rigide. et v,\ la vttessc du point 1\ : b ) "accélératlOII du eentre C!(' roeauon tnstantnné {·~tnuite si, et seule-

ment si,

cr

a,\ = - v....+

(1)

X "A

W

où a = ak est l'accélération

wlKllhlÎt"(,

de' lu plllfJu{'.

·15.138

us roulettes attachées dan l'équation 15.39. représente la vite se de l'extrén dtto dl! vecteur w. Cette propriété peut être utile pour calculer l'accélération ;1I1~lIlajrt' d'un corp rigide, l'ar exemple. il S'CllSLLit que le vecteur a est tan[:!;t'Ilt ft la courludécrite dans l'espace par l'extrémité du vecteur t». Remarquons que le vecteur w e déplace à lct I()i~à l'intérieur 1111 ("Or')1'" et dans l'espac . 11~ ênèrc donc deux cônes appel~ respectiveme-nt ('(;IU' du corp' et cône SI}(Ili(l/ (fi~\lre 15.335). On IWlIt démontrer (lll'~1 tout instant donné les deux côn s sont tangent s suivant l'axe de rotation instantané f"t Ijllt'. lorsque le solide se déplace, le cône du solide seu,hlf" rouler ...ur le l·tlllP .,paliaJ, AV(Int de conclure notre allal~'sf-' ÙU mouvement d'un (.'\)'1)1>rigidE" avec un point fLXt', I1UU' devons prnll\,pr qlle le!'>vitesses ,ulgllla,ireo; sont hien des vecteurs. Couuue nous l'avons indiqué à la s ctiou 2.3, C ertuincs quantités. telles (litt' les rote! il>u'\'jillies d'un cUI'J')s rigiclc, onl une grtuldellr ct lute direclion mais n'obéissent piL'\ à la r~gle d'uddînon du parH.1Ic?lo~"ri~de avec un point Iixe 0 qui, à un instant donné. tourne simultunérnent autour de axes 01\ el OB avec des vitesses angulaires WI pt WJ, (flgurt' 15.31(1), N(1I1S sa\'()IIS ps cIt>s V('O(:tf"llrs pusit1ol1), 0011(:, V

=

VI

+

V2

(h) 5.

RappctuJl30 cI Ut'. IMr (t.~nlli hUII. 1111(',;111' 1~ilm" ~ 1rfllCl' ~t.'l1~r':l' pM 11LI" IlruII(' 1lS,1J11 )01r 1111 JlOlI1I

fut" Eu K':nt1rnl. les

CÛIIC~',"'CJ'blllérc:

il, 11('

~('nlll'

JXU

Ih 1 ('l'irlt·y Il /J,I.\C cl'f'u/uill'

Figure 15,34

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Probleml7S

15.196 UII canon de lon~ul'ur 01) = ..J III ''lnloolé ur une tourelle. Pour garder le canon pointé sur une cible mobile. l'anglf' azimutal f3 est :luglnf'nté au taux dfJ/dt = 300/s et l'angle d'élévation 'Y est aug1l1f'nté au taux lly/(/t : lOO/s, l'our 1.1 position f3 = 9()O ct 'Y = 30°, calculee: Il) la vitesse angulaire du (''MOO ; b l'accélération angulaire du (';lIIOIi ; c') la vit('ss(" et l'accélération du point P. 'J

935

l'

160 mIn y

Il

~- Figure P15.196

Figure P15.197

15.197 Dans 1(' tr-ain d'en~enage représenté, IE-sE"ngrPllages A et B tournent en bloc autour de l'arbre FC. Les engrenages C ct D tourueut avec: des vitesses angulatres constantes respectives de 15 nuVs pl rie 30 rad/s. toutes deux dans le sens antthoraire lorsqu'on les observe de lu droite En cholsrssaut l'an- des z polntant hors du plan dl" 1a fLgu re. cal cillez : (1) la "j(.ef' c1êpla '1it,l': directement 1

l'accélération de P; III vitesse angulaire pt l'accélérutlon

au-dessus dl" A;

ulIgulllire {lu disque.

SOLUTION y

le référentiel mobile AXIj:' O.\,,)·Z est donc fi = WI j. mobtle Axy:. (011 ~. plus P relativement à () est R j et son vecteur position relativement à A est r//1I = R j,

référentiel 0.\'12 est the, On associe Il l'arbre OA. Sa vttesse angulaire par f'clpport au référentiel vitesse angulaire du disque D relnttvement au repère brièvement) t':.t WUf.:} == w~k. Le vecteur position d ... IlLe

ri

ut

P'

r:

f'

,

r = Li

+

On d('sl~t(, p!lr P' 1('point 011 r~rér('utl('1 Illubf)(' {{lllcoïllcid('

n 1

avec P.

DOliC,

selon réquation 15,016,

1

"l' - \,/,. + Où

/

\'1'

= fi x r.: wlj X {Li

"1'1... = W,N"

Rn substituant

X

_J_

( 1)

V"I r

Rj) = -w.Lk

= w.,!k x Rj = - (A).!R i

r"l

ItIS valeurs obtenues pour

et

"1"

",'1,.,. dans

l'équation l , on obtient •

\( 1 (·1

Il

"

~ h

L'~quation 15.48 donne

1.111"11

a" = s" + apI., + a.Or, il Cl

W/),,,

sont toutes deux

Ur' =

fi x (0 x r)

a"/.,, =

taures,

DOliC.

X (-w.l~k) = -uTjl_i

= wlj

w_!k x (-w~Ri);;;;: 2w,j x (-W!lti)=2(~tw2Rk

X (W/JI,1- )( 1'1",,">;;;;

W/>I./

a..""'2fl

COll

(2)

x

"PI

.=

En substituant les valeurs oluenues clans

2,

l'~lllllatjoH

, , ,1.·.....· .11Il!,ul.1I1 (

,.,

Q=

W

OH II

1 •

. "1

1

, (1)

L'équation 15,31 avec

(I~Rj

=

fi + WiJr.f

, J

donne

œ = (w)OX)'Z = {CÏ»At:!I= "=

+ fi x

0 + w.j X (Wlj

W

+ ~k) Il

,

943

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DUIts ce chapitre traitant (le la cinématique

des t'orp" rigid es, l'étude a été

subdivisée en trois parties. Corps rigide en translation

Dans la première partie. nous Il\ UIlS d'abord consirléré La lranslatiou d'un l'tJrpS rigi(]~ (sectiou 15.2) et nous .1\OIlS r~l1l:lTcl\lé llue dan: 1111 tel mouvement, ifJI4 \ le.>; tir' (")'7'·~ ont lu ",.?Ille i1~""t~ et flU'tUll' fll'célf. mt iOIl li tout instant.

A)

'fI

,,(Ji"t~

Corps rigide en rotation autour d'un axe fixe

Puis nous a\(IIIS considéré ln rotniun; (.]'1111 droite BP. trac' ~(I~ laxe de rntation :t 1111point P (Ill eurp!', lilit .k\ ec un plan fixe r fit,l'\l~ 15.39) ~C)lIS avons trouv é 'ltl~ lu ~r1lncleordt>la vitesse

de Pest t

(/.') . = - = rfJ~in (Il

cfi

15.4)

•

où 8 est la dérivée l>ar rapport au temps de 8. Nous avons alors exprimé la vites -.de l' l'W' la relntion

dl' v=-=wXr (lt

Figure 15.39

= wk

w

= iJk

( lS.C)

est orienté suivant l'axe de rotatiun fixe et représente la , ttes (' angl41alre du corps, En appelant cr la dérivée l/(l)/cli de la vitesse angulaire. nous avons

'1

Qlk)(

r

exprimé l'accélération de P par la relation a

l'

=

exX r

Figure 15.40

Rotation d'une plaque représentative

+W

X

«(1)

Le vecteur cr représente

Cl'

( 15.t\)

X rl

En dérivuut l'équatmn 15.fi l..t en fJlH1S 'Ic)u'..enaut deur et en direction, II(Hl" avons Ir()I1\~ que ex=

CIUt ..

k est constnut

k = wk = 9 k

l'acc(q~rr(lltnll a'lJ!.uia" e du

j'II gr,lu

(J5.U) ('U1

ps et est orienté

suivant l'axe {le rotation Iixe. Puis IlO\.l.Savons considéré le IIIOU\ eruent (l'un ~ plaque représentative située dans un plon perpendiculaire à l'axe de rotation du c.'C)q>S (figure 15.4IJ). Comme la vitesse ltngldllire est perpendiculaire il lu plaque. nous ,1\011" exprimé 1.. \;tess~ d'lin point P de 1,1 plaque p.lr la relution 'V

950

(15.5)

= wk

X T

(15,10)

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954

mécanlsmes (ILIIcontiennent

des pièces glisstmt l'une sur l'autre (1)R-15.9

et PR-t5. J U).

C) La trolstèure et dernière partie du chapitre H étt! consacrée à l'étude de la cinématique des (.'0Ills rigid~s en trois dimeusions. Nous 1\VOI1." c)'Ul!OTÙ considéré 1(.'mouvement d'un corps rigide J\ ec un point Ilxe (section 15 12' Après avoir prouvé

l.

(is... (2)

est lu vitesse de B relativement à un référentiel ..LY') 'Zr L~ à t\ et d'orteutaüon fL\L' (f1gUl e 15.48), En dé"igllaut p.u- TB/JI le vecteur position de 13 par rapport a &1. nous avons écrit l'cspresslon ()Ù

H \'

"81.\

la \itt''\st' ~lllglllaire du c0'1)'\ il l'instan: considéré (PR-15 ) 21 Ll·\llJt·",joll de l'nccélérunon de B ,.t. ét S obtenue par 1111raisonnement allaltlg11t' 1'\ (HIS pOl1vons d'uhord écrire .)ù west

/' Z

ct, nous souvenant de l'équation 15.3~, nous obtenons

Figure 15.48 RR

r

1

n

lm 11 r

l

A""

'1

il

\)

ur Il n

\lp

rn/I\

+

CI.)

X Ill) X rnl,\)

(15.+t)

= vr

'1" "1'

( 15,·t6)

= vitesse

ahsolue Je 1" particule P ",,' = vitesse du point P' du référentiel moblle '!} coïncidant avec P ""/, = vitesse dt, P relativ eurent au référentiel mobile "

ni1

VI'

Puis de P est Figure 15.49

+a x

Dans les deux dernières sections de ce ch npitre , nous ,l\'OIlS t'(lfl~idéré le mouvement en trois dimensions d'une particule P relativement il 1111 référentiel Oxy::. tournant avec une vitesse angulaire fi par rapport ù un référentiel fixe ()\)'Z (A~lre15 I~),.\ là section 15.14, nous tambour est dt' 0,25. On applique une fof'('{' P dp 100, lorsque la vitessr- angtllnirl' ri u l\) 'llt\tlll' r. t dt· 24() r/min dan' le eus horaire. Déterminez Il' temps que met Il' s~·tèrnc pour s'arrêter, Démontrez qu'on obtient le même résultat ~iln \;t('~~('anl!lIl,lIn~ jUili,llc' du s~ tl,,,I(' est de 240 r/lnin Ù.ulS Il' Wl\S unuhoraire 16,30 Un t.unbour (k' fr\'ln H)LUlt un rayon d' 0.2 m est relié à un volant (11011 illustré) dont le ruvon est supérieur à celui du tambour. Li> moment r1ïnrrtil' de' masse total du tnmbour ('1 du volsn; est dl' 19 kg . lU:l ct le è(X'Bléiellt de fmUl'llIl'nl cinétique entre II' tambour r-t la s('lnl~lI(' cie' fN'in est cie 0.3.:;, La \ill·S..I· all~lliltin.' du volant est dr 360 r/lIlùl duns Il' sens antihoruire quand 011applique une force P de 33-J :\J sur la pédale C. Détonntnez le nombre oC' tours l'}U'plTcctJlC' 1r- volant avunl dC' s'l1rr(·!('r.

A ~mm 150 rum

E 320 uuu

I...,__ FIgure P1S.29 t-0.15rn

16.31 R('sol,·(''1. 1" problème L6.30 en supposant que lu "ite~sl' ul1~lllli re initiull" du volant pst dc' ,1('i()l-/nlin dans le sens horaire. 16.32 IR volnnt fllustr~ n 1111 rayon de 500 mm. une masse df' 120 k~ ft 1111 rayoll de gyr~ltiull de 315 111111.On a attaché un bloc A de 15 kg à un câble pnroulf> autour du volant. II:' systt-nlt' est iultlalenu-nt ail r L.5 ln

1\:

16.33 Afln dl' détermlner le moment d'inertie de masse d'un \ olant de 600 mm de rayon, on attache lin bloc cff' 1:2kg à lin cah)(· enroulé autour du volunt On lih~'rl' 1(.'bloc et on 1I0t(.' qu'U tombe 'ur une distance de 3 ru en 4.6 s. Pour éliminer des calculs le froucmcnt des roulcmcots, on utilise un second bloc dt' 24 kg. On obsc 1'\ c qu'if tombe sur une distance de 3 IIIen 3.1 s. En supposant que le moment du couple associé RU froltl'JlH'llt demeure constant, déterminez Il' moment d'inertie dt' masse du volant

D l'

C I-O.3i5m

-.1

Figure PtS,30

16.34 Chacune des poulies doubles illustrées il lin moment d'ill('rt ir de masse dl' 20 I..-g • III.! et l'loi Iuiuulemeut au repos, Les poulies ont un rayon extérieur de 0,4 m cl un rayon intérieur dl' 0,2 III. Détemuncz: a} l'uccélérution anglllLLire dl' chaque poulie; b] IR vi!f'sSC' angllinire de chaque poultv après qu(' te pClflll ,\ de chaque corde a ptlrCt)11 ru 3 Ill.

Figure Pt6,32 - P16.33

\

7S5N (l'

230 lIg 150 kg (3l

(4 )

Figure P16.34

16.35 t.ti 11Itl1lS(.' t'l Il' rayoll du disque A sont respecticement UlÀ = 5 kg cl rA = 90 mm, tandis quI' la 1I1U."S"l· et le rd)'01l du disque B sont respectivement IIiU = 2 kg ('ll'" - 60 111Jl1. [..t'~ disques sont ail rC'[lOS. qualld on nppliqul' au disque A UII couple ~I dont le moment est de 0,6 N ' m. En ~'llpposant clut' Ips dis(llies ne gjjssellt pas l'ulI sur )'untr, t}fotenllinf>z: a) l't\c(.'(ol~rlltioll 'ln~ulturl' dl' l'InIque disqUl\: b) la force de frotteillent que le c1i'ique A exerce l.ur le dl'ique B.

Figure PtS,as

p

979

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16.72 111lnCC

Solutionnez le problème

16.71 eu supposant qu'on 1wH.'(· plutôt un

'6.8 "40uveme.nt dam

Ou pince une sphère uniforme de rayon r et de

Inti

se

"1.

985

plat!

." Pf'éHnce de coolnlmtes

anneau uniforme clf' raycn r C't dE' masse ni.

16.73

UiI1

la vitesse

initiale étant nulle, sur une courroie qui sc déplace vers la droite à une vitesse constante Vl. On désigne par J.L4 If' coefflcient de frottement cinétique entre la sphère et la courroie. Déterminez: a) l'instant t 1 Où la sph;'rl' commence fi. roul rOlllpt soudaluement. Déte rmi nez : Il) 1.1 distance b pour laquelle l'accélérauon de l'extrémité A est maximale: l" l'accélération correspondante à l'extrémité A et la réaction en C.

16.87 Un mince cône uniforme de masse 111 tourne libre nient autour de la tige horizontale 1\.13. Lu CÛIll! est iultiulemeut au repos. dans la position iJJustrtc. Détermlnez : Il)

l'tl~t de 0,20 et le frottement de roulement est négligt'ahl(·. Déterminez l'nC(~lprfltion

angulaire du disque alors qu'il glisse.

IÔ.l5.'3 ('11 supposant Ilu'on iu\'f"I"lf' Il'

Soluttonuez 1("problème du mouvement df' la courroie. 16.154

~{'II,

16.155

Des bras J noblles eutraîucnt des cylindres idcutiqucs dl' ruasse 'II t..t dl' rayon 1: Le coefficient cil' frottement entre toutes les surfaces est Il < 1 et on d(~signe

par

(1

Figure P16.153

la grandC'ur do l'accélératlon des bras, Trouvez une ('xprc':isinll rc'PI'(oSf'Olant : (1) la' alcur IllaxUlluic dl' a lorsque chaque cylindre roule sans ~llSSt'r; b) lu valeur nlinitllal(' de (1 lo(s(lu(! chaque. t:yli Il cl re ~l' d.~plal,(· \'(>1'$ 1.1 droite sauli rouler.

Figure P1'6.1S5

Un cycliste l'Oule li une vitess« cl . :32 knv'h sur une route horizoutule. La distance entre les moveux des roues du vélo est dt' 1000 n1111 et If' centre de n13SSf' . du système formé par I~ (·yclis'lt:·et lu bicyclette est situé à 660 111111d~·rril:rt·l(! rtlO)'f'U avant et il 1020 mm au-dessus du sol. En supposant tlUE' le cycliste serre les frf"ins uniquement sur la l'Out' avant, t!(>tl\ruÙJH:'z la distuncc mininrule d'arrêt pour que II" 16.156

conducteur ne soit pas projeté par-dessus le guidon, 16.157 Lu ligron de 150 mm est de 6 I.:get celle du disque ayant un rayon de 15 mm est de 1.5 kg. Sachant que le systërne quitte l'état de repos dans lu position Indiquée, détenulnez la vitesse (le la tige après que le disque A fi errectué une rotation de 00°. 15 mm

Figure P17.32

C p n

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Si on remplace respectivement les systèmes des quantités de mouvements des diagrammes a et c de la figure 17.6 par le vecteur quantité de mouvement et le couple moment cinétique équivalents, on obuent les trois diagrrunules de la Ggure 17 .B,laqueUe ex'f)rinle. sous la forme d'une équation schématique d'équihbre, la relation fondamentale (équation J7.14) dans le cas du mouvement dans le plan d'une plaque rigide ou d'un cOI})S rigide sytnétriflue [):lJ' rapl)ort au plan de référence. y

y

1Î 8 PIIr>C pli!

ce rlmpu SIOn et De 'a

1035

quaf'111éda 'l"OUlJ~rnilfit apç4ique au mOU"'9':11!1'!1d':ln corps

ilgtdl.l rJilOS

le pld:'1

-

-

,uv_

[Fdt

+ o

o (0)

x

o (b)

(c)

Figure 17.8

On peut tirer de la figure 17. trois équations du mouvement. Deux équations sont obtenues en additionnant les C011lpOS0l1lesen x et en lj des quantités de mouvement et des impulsions, puis en posant l'égalité entre les sommes; on obtient la troisième en additionnant les mOfllents de ces vecteurs par rapport à n'importe quel point, puis en posant l'égalité entre les sommes. On peut choisir des axes de coordonnées fu.es dans l'espace ou encore un repère qui se déplace avec le centre de masse du corps tout en conservant une direction fixe. Dans les deux cas, le point par rapport auquel on calcule les moments ne doit pas changer de position relativement aux axes de coordonnées durant l'intervalle de temps considéré. Lorsqu'on écrit les trois équations du mouvement d'un corps rigide, il faut prendre garde de ne pas additionner indifféremment les quantités de mouvement et les moments cinétiques. On évite de commettre des erreurs en se rappelant (lue rn Vx et III Î3y représentent les (X)lflTl.()Santes tl'un cecteur, soit le vecteur quantité de mouvement 111 V, tandis qu~ 1w représente la gran·· deur d'un CH.rrapport à G:

(2) (3)

DE' l'équation l, on tire N ;; \" = ln g. Durant la torltUté de l'întervalle de temps considéré, le glissE.'lllent se fait en C. et F = J.4~7 cette exprcsslon dans l'équatioo 2, 011 obi je'ul n,cI

Jo' = J.4 "'g et 1 =

-

i'" r2

1l*"lgt

= 1I1tJe

=

C2 = ('1 -

(4)

jJ.kgt

donnent, par suhstttution dnns l'équation 3,

5 J.Lkg

w~=2

La sphère

En remplaçant F pal'

J.LkUlf!"

t

(5)

"

à rouler S.Ul$ gli'isf'r IOI'!\'Iue la vitesse C du point de contact est nulle, ..\ cet jt1~-tn,lll,le point C devient It' centre de rotation instantané et v!! - rWJ!. Donc. en f'n'echlant des substitutions dans les fClualions " pt5, 011Il commence

-2

= rW2

('1 -

=r

}.1J..g'

(2. J.4.g t) 2

,.

t =~

tl

, JJ.~I!.

~

Enfin, en substituant l'expression ci-dessus clan' l'équation 5, on obtient _ 5 JLkl!. (2 li1 ) w., - - 2 ,.. 7 }.11;1!.

-c-. = l'w.,-

w.. _- -5 -CI ~ ï r

V2 = r (-:;-; -

;)

5 II w, = - 1

)

-

Vz

-;

.-

1

= - lOt

J

__.

1039

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1044

\iou"emenl d'un corps ngtde dans 'a plan ~.!ethode5 de l'énergie el de La quanll1é

ce mou...emem

17.67 Démontrez que la somme RA des moments par rapport à un point 1\ des quantités de mouv ment respectives des particules d'une plaque rigide en mouvement clans un plan est égale à IAw, où west la vitess(' angulaire de la plaque à l'instant considéré et lA est le moment d'inertie de la plaque par rapport à A si, et seulement si, l'une des conditions sruvantes est sad faite: a) Lepoint.4 est le centre de masse de la plaque . b) le point A est le centre de rotation Instantané: c) la vitesse de A est orientée le long du segment qui joint le polnt A Cl le centre de masse C. 17.68

Soit une plaque rigide initialeolellt au .repos et soumise à une force impulsive F contenue dans If' plan de la plaque. Par définition, le centre lie percussion 1) est le poiut d'intersection de la ligne d'action de F et de la perpendiculaire à cette ligne passant par C. Démontrez que: a) le centre de rotation tastantané C de la plaque ~ trouve sur le prolongement du segment CP li une distance GC = 1f2/cp; b) si Je centre de percussion sc trouvait en C, le centre de rotation instantané serait situé en P.

,

F.lgure P17.88

FlgUT. P17.69

p

B

c

Figure P17.70

17.69 À l'instant t = 0, OII pluee sur le plan incliné illustré une roue, inLtialement au repos, dont le rayon est r ct dont le royon de giratioo central est k. En supposant que la roue roule sans gllsser; déterminez: a) quelle es! la vitesse du centre df' la roue à l'instant t , b) quelle doit être la valeur du coefficient de frottement statique pour que la roue ne glisse pas. 17.70 Un volant est fixé de façon rigide à un arbre de 38 mm de rayon. qui roule sans glisser sur des rails parallèles. Sachant qu'en partant de j'étal dc repos le système met 30 s il atteindre une vitesse de 152 mm/s, déterminez le rayon de

giration central du système.

Figure P17.71

17.71 La poulie double Illustrée a LIllO masse de 3 kg cl un rayon do giration de 100 mm, On applique une force P de 24 N à la corde B alors que la poulie est au repos. Calculez: a) la vitesse du centre de la poulie après 1.5 S; b) la tension dans la corde C. 17.72 DeLL'\: cylindres uniformes, ayant chacun une masse "1 = 6,35 kg et un rayon r = 127 111111, sont reliés par une courroie comme 1'Ù)clique la 6gure. Si le système quitte l'état de repos à t = 0, déterminez: a) la vitesse du centre du eyliudre R ù l'instant 1 ::: 3 S; b) la tension dans la partie de la courroie située entre les deux cylindres. 17.73

FIgure P17.72 • P17.73

Deux cylindres uniformes, ayant chacun une masse nI :; 6.3.5 kg et un rayon r - 127 mm, sont reliés piArune courroie comme l'indjque 10 ngure. ,\ !'lllStant où le système e.st dans la position illustrée. la vitesse angulaire du cylindre A est de 30 (!leV dans le sens antJhorairc. Calculez: a) le temps requis pOUTque la vitesse angulaire du cylindre j\ soit réduite li 5 m'Vs; b} la tension dans la partie de la courroie située entre les deux cylindres.

c

p

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En la C01l1p~1l(U'ltavec J'équc tion 19.21, on e rend oolll1)te fJll~ l'équation 19.23 représente un mouvemeet harmonique sim~le et que la fréquence natu-

19 5 Vlbralloo Iibr@ d'un corps rÇ'd.

1147

rell w" des oscillations est égale à (3g/5b)li , En r mplaçant Wi) par cette valeur dans l'équation 19.13, un obtient la valeur de la péri f = 1,5 Hz si III - 0.9 kg ("1 que.r = O,R Hz ~i lU = l, kg, Déterminez la plus grande' valeur dl" III pOlir laquelle il sc produit dl' petltes oscillations, 19.93 Une section Ù'UII tuyau UILUOnJ1(! est suspendue au uioven dE' deux câbles verttonux. attacla('($ en ,\ ('[ en B. On fail tourner l('(gi'rf"nlC'nt If' ltlJ'UIi par rapport à l'axe central 00', puis on le r(,I;~ehl'. Détcnnincz 1:1rr(.qul'Il(;(;' d'oscillatiou.

j--"IJ

0

'1

,

l

'1'

LI

FIgure P19.91 - P19.92

l'-j "-

1

•

11 1 1 ()'

Figure P19.93

C P

1

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c) Si la force appliquée P est attribuable à Ut. balourd du rotor d'lill ,noleur, sa valeur maximale est Pm = mrwj. où nI est la IIIasse du rotor, r est la distance entre son centre de masse et l'axe de rotation, et CûJ est égale à sa vitesse angulaire ta, exprimée en radians par seconde (PR-19.5). 2. Si la vibration forcée est attribuable du mOUl-emc"t harmonique ,_irulJle d'un appui ayant une amplitude S", et une fréquence angulaire Wj. l'amplitude de la vibration est Xm

=

~

l - (Wj/w,,)2

(19.33' )

où w,. = ~ est la fréquence angulaire naturelle du système. Il est: à noter que, dans ce cas également. la fréquence angulaire de la vibration est Wj et l'amplitude x"' ne dépend pas des conditions initiales. a) Il ut trè« importa ••t de lire leI conlmenta;relJ des pClragrapl,eJl 1, ICI e li), car ils s'appliquent également dans le cas d'une vibration attribuable au mouvement

d'un appui. b) Si on donne la valeur maxifMle de l'accéléralio.r a". (le /'apl)(Ii, plutôt que son déplaœment maximal 8'B' étant donné llt('" pst soumis à une fur('f' pério-

dique P dp ~rantlt"11r P = Pli' si" wf', l'équation du mouvement

devient (J 9.4 7)

On obtient la .olution générale de cette équation en additionnant rune de ses solutions particulières à la fonction complémentaire, c'est-à-dire il la solution

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1185

19.134 On laisse tomber un bloc A.de 4 kg, depuis une hauteur de"800 mm, sur un bloc B Je 9 kg ljlÛ est au repos. Ce dernler est supporté llar 110 ressort de constante k = 1500 N/m f't il est relié à un amortlsseur à fluide dont le (.."Ocfficimt

230 N ,sin). En supposant qu'il n'y ait 1i1iCUTI rebond, déterminez la distance maximale parcourue par les blocs après la collision,

d'amortissement

est c

=

19.135 Solutionnez Il' problème 19.J34 en supposant d'amortissement dt, l'amortisseur à l1uiclf' est C = 300 ~ . sin).

~t

que le coefficient

I:lO(l m III

19.136 On remet le tube d'un canon, dont la 1113'>Sf' pst rll' 700 kg, on position de tir après II;"recul d'lin récupérateur dt" constante c = 16 kN . sim. Déterminez: u] la constante k du récupérateur nécessaire pour que le tub ~ revienne tl la position de tir dans un temps nunimal. et cela, sans oscillation : I,) le temps que met le tube Ji parcourir les deux tiers de la distance entre sa position cl ' recul mazlmal et sa. position de tir. 19,137 Une tige uniforme, de masse tri, est soutenue t'Il A ail moyen d'un pivot et en B au I))c>yen d'un ressort dt! constante k. EUe e t aussi reliée ~n 0 il UIJ emortisscur (1 Iluidc dont le coefficient d'amortissement est c. Dans Je l."3S Je petites oscillations, déterminez, en fonction de 111, k et c: fi) l'équation dillérentlellc du mouvement: Il) le coefficient d'amornssement critique Ct.

B

c

Figure Pl9,l34

k

111------0-1.'

"""o_O_;_'1_5_m_'+1 ~---O,45

~----~~~~-B k =;3 N/m 1----

l __ -+-__ 2

l. --.., 2

Figure P19.137

FIgure P19,l38

19.138 Une tige uniforme de 1,8 kg est soutenue en 0 au moyen d'un pivot ct en A au movcn , d'un ressort; elle est aussi reliée en B à un amortisseur à fluide. Trouvez: (j J l'équation ÙilTérl'nticUe du mouvement dans le cas de petites oscillations; " J l'angle que forme lu tige avec l'horizontale, 5 s après le relâchement

de l'extrémité B qu'on a poussée de 23 mm vers le bas. 19.139 Une machine de 500 kg est supporté-e par deux ressorts. ayant chacun une constante de 4.4 kN/nl. On applique à la machine une' force périodique, dont l'amplitude est de 135 N. avec une fréquence de 2.,8 Hz, Sachant que le coefficient d'amortissement est de 1.6 kN . s/rn, calculez l'amplitude de: lu vtbrauon r-n régitne permanent de la machine. 19.140

En

au problème 19.139, déterminez la valeur de la constante de chaque ressort dans le ~IS où l'amplltude de la vibratiou en régillle permanent est de l,3 mm. 19.141

Déterminez ...dans le cas de la vib...atton forcée d'un système, l'intervalle

\"OIlS

reportant

des valeurs du facteur d'amortissement

etc.c pour lesquelles le facteur d'ampliflcatiou

décroît toujours lorsque le rapport de fréquences 19.142

Wj'/w" auglnente.

Montrez que, si la valeur du facteur d'amortissement

l'amplitude d'une vibration forcée est masnnale lorsque

=r:

respondante du facteur d'amplification est égale à 1{rl"lc}.

(1)"

cie; est petite,

et que la valeur cor-

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1192

I;"(.falons mecan Que.

En divisaltt l'amplitude X,rtde la vtbrution de régiltle tabilisé par P rn1k, (lans le cas (l'une force pérlooint harmoruc,{Ue

stmple Pendule composé Période de vibration

Régime permanent

Réscnance S\ stèrlle a un degré de [iberté Vibration. amortie, forcée, libre

Copyng tOOmatanal

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1202

LISt.

oes s)'TOOOI8S

lit

1

~lassc Iinéique ou par unité de longueur

M

Couple, moment Moment par rapport au point 0 .l\-lû ~I~ Moment résultant par rapport au point 0 !\-I Grandeur du couple ou du moment, masse de la Terre Moment par rapport à l'axe OL J1()l1/ Direction normale N Composante normale o Origine des coordonnées p Pression p Force, vecteur j> Taux de variation ''31 (fi)

l'

1'. = -31.6

t,

E, = '5.76 N) tan:!. 9 SPC 8. F" - l5.76 ~) tan 8 sec (). (b) P = (5.76 :-.J) tan 8 ~"(;'l o'\l O. Q = (5,76 :-.J) tan:2 () set'lZ O~. la)

in 201\/(,'0529. l'J - lo y(.'Os 20. ,~rRlllr}I'l.24" In/s-'!. (n) 3,3.77 X 10J km. (h) :3070 ln/s. 6,()..I X 1()2-1k~ 11I\ 1 Il 57 rniu (h) mo 11V ... la) 6(),3 X 101 km. (b) 570 X 1er' k~. (fi) 1.60 X lI)' rn/s. (h) 2.40 X 103 rn/s. (fi) J,551I1'11~. (b) - 15,') nifs (n) '3560 ml .. (U) ïlîO km. (n) (Ir -' 0(1 = O. (l,) 3b,4 Ill/s:! (Cl 0,8 IIVlt. ((1) 0,6 rn/s. (b) {Ir = -6 nvs2, "0 - O. (e'

= lu

.'5.2

IIJ!S~

12.98 10,42 km/s. 12.99 (a) 10,13 km/s. lb) 2,97 "n\ll> 12.103 «(1) ~.OOkm/s. (/)) ) 40,5 rn/s. 12.104 ,'2/5,;fft'ctive (J'un Ç()I"}JS rigidt", 964, IOb9-L090 Eu ler, Leonhard, ] 090

angles. 1105-1106 équations du mouvement, théorème d'. 926 Excentricité, 7o.t. 1175

lOOO

(III

Dial!rallllllt' :

accélération-temps,

5~6-.'5'lï, 611

lllopl.lt('Il\t:'nl-t(.'1l1P . 54

Ellipsoïde (Il' Poinsot, III ~ Elliptique, lrajectoire, iO.;

t'acteur; d'amortissement. 1 17i d'amplification, 116R, 1L7H Fluide en circulation, 8