Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

Mécanlque pour Ingénieurs

Volume 1: Statique Ferdinand P. Beer Traduchon de Vector Mech81lics for Engineers: Statfes. © 1998. 1988. 1964, 19n. 1972. 1962 McGraw-Hili Ryers.on LimltOO. a Subsidiary of the McGraw·Hili comcames. (ISBN 0-07-560076-5) e 1996.1988,1984,1977,1972, 1962 McGraw-Hill, Inc. ~ 2004 Les Ëditions de la Chenelière IOC. Éditeur: Michel Poulin Coordination: Monique Pratte Révision lingufstique: Julie Beauheu Correction d'épreuves: NIcole Demers Infographfe : Intoscan Collette Couverture: Michel Bérard Maquette intérieure: Merril Haber Ilfustrallons: FineLine Illustrations, Inc. CataJogage avant publication

de la Bibliothèque nationale du Canada Beer. Ferdinand p,. 1915' Mécanique pour Ingénieurs Traduction de la 3· édition de: Vector MechanicS for Englneers. Third SI Metric êdmon. Comprend des index. Sommaire: (1) Statique - [2] Dynamique. ISBN 2-7651-0157·4 (v. 1) ISBN 2-7651-0158-2 (v. 2) 1. Mécanique appliquée. 2. Analyse vectorielle. 3. 4. Dynamique. 5. Mécanique appliquée - Problèmes exercices. 1. Johnston, E. Russell (Elwood Russell), II. Eisenberg, Elliot R. III. Benedetti, Claudlo,l949-.

Statique. et 1925- . IV. Youssef.

Youssef AMou, V. Tltre. TA350.B37142003

620.1 '0

C2003-941232-6

ChenellèrelMcGraw-H1I1

7001, bout. Salnl·Laurent Montréal (QuébeC) Canada H2S 3E3 Téléphone: (514) 273-1066 Télécopieur: (514) 276·0324 [email protected] Tous droits réservés. Toute reproduction, en tout ou en partie, sous quelque rorme et par quelque procédé que ce soit, est InterdIte sans l'autorisation écrrt9 préalable de l'Ëdlteur. ISBN 2-1651-0157-4

Dépôt légal: 1er trimestre 2004 Bibliothèque nationale du Ouébec Bibliothèque nationale du Canada Imprimé au Canada 3 4 5 ITIB 11 10 09 08

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LE

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PHOTOCOPILLAGE TUE LE LIVRE

Table des matières Avant-propos

III

1 INTRODUCTION 1 1.1 1.2

1.3 1.4 1.5

Qu'est-ce que la mécanique? 2 Concepts et principes fondamentaux. Systèmes d'unités 5 Méthode de résolution de problèmes Précision des yaleurs 9

2

8

2 LA STATIQUE DES PARTICULES 1.1 2.1

Introduction

12

Forces coplanaires 12 2.2 Résultante de deux forces agissant sur la même patlicule 12 2.3 Vecteurs 13 2.4 Addition vectorielle 13 2.5 Résultante de forces concourantes 15 2.6 Déoomposition d'un vecteur force 16 2.7 Composantes rectangulaires d'une force et vecteurs unitaires 22 2.8 Somme des forces par la méthode des composantes 24 2.9 Équilibre d'une particule 30 2.1 0 Première loi de Newton 31 2.11 Problèmes sur l'équilibre d'une particule: diagrammes des forces 31 2.12

2.13 2.14 2.15

Fort;es dans l'espace (30) 39 Composantes rectangulaires dans "espace 39 Force définie par sa grandeur et deux points sur sa ligne d'action 42 Addition de forces concourantes dans l'espace 43 51 Équilibre d'une particule dans "espace (3D)

Résumé

58

Problèmes supplémentaires

61

v

a

CORPS RIGIDES - SYSTÈMES DE FORCES ÉaUIVALENTS .6.5 3.1 32 3.3 3.4

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3 1Q 3.11

Introduclion 66 Forces Internes el forces externes 66 Principes d:e transmissibilité - Forces équivalentes Produit vectoriel de deux vecteurs 68 Composantes rectangulajres des produits vectoriels Moment d'une torce par rapport à un point 71

67

70

Théorème de Varignon 73 Composantes rectangulaires d'un moment de force produit scalaire de deux vecteurs 83 produit mixte de Icols vecteurs 85 Moment d'une force par rapport à un axe 86 3.12 Moment d'un couple 97 3.13 Couples équivalents 98 3.14 Addition des couples 100 3.15 Représentation vectorielle des oouples 100 3.16 Décomposition d'une force en une force et un couple 3.17 Réduction d'un système de forces à une force

73

101

et un couple 3.18 Systèmes 3.19 Systèmes 3.20 Réduction ·3.21 Réduction Resume Problèmes

112 de forces équivalents 113 équipollents de vecteurs 114 supplémentaire d'un système de forces 114 d'un système de forces a un torseur 117

136 supplémentaires

141

4 EQUILIBRE DES CORPS RIGIDES 145 4.1

4.2 4.3 4.4

4.5 4.6 4,7

Introduction 146 Diagramme du corps libre

146

Equilibre dans un plan 147 Réactions des appuis et des üalsons de structures planes (bidimensionnelles) 147 Ëquilibre d'un corps rigide bidimensionnel 148 Réactions statiquement indéterminées - Liaisons partielles Équilibre d'un corps soumis à deux forces 166 , Equilibre d'un corps soumis à trois forces 167

.

4.8 4.9

Equilibre dans un espace tridimensionnel Équilibre d'un corps rigide en trois dimensions Réactions d'appui et de liaison dans l'espace

Résyme Problemes

150

173 173 174

190

supplementaires

192

5 FORCES RÉPARTIES: CENTROïoES ET CENTRE DE GRAVITÉ 197 5.1

1 ntroduction

198

Surfaces et courbes

5.2 5.3 5.4

1~.R

Centre de gravité d'un corps plan 198 Centroides des surfaces et des courbes 199 Moments statiques des surfaces el des courbes

200

5.5 5.6 5.7 '5.8 '5.9

Tab4e dos maueres

Figures composées 203 Détermination des centroides par intégration 213 Théorèmes de Pappus-Guldlnus 214 Charges réparties sur des poutres 224 Forces sur des surfaces hydrost.atiques 225 volymes

234 5.10 Centre de gravité d'un solide - CentroYde d'un volume 5.11 Sotides composés 235 5.12 Détermination du cenlroïde d'un volume par intégration Résumé 248 Problèmes sup,plémentarre.s

234 237

252

6 a'UDE

DES STRUCTURES

a56. 6.1

6.2 6.3

6.4 "6.5 "6.6

6.7 "6.8

Introduction

257

Les trelllis

258

Définitiond'un treillis

258

TreIllis simples 259 Analyse d'un treillis par la méthode des nœuds Nœuds sous conditions particulières de charges Treillis tridimensionnels (Triangulation spatiale) Analysa d'un treiHis par la méthode des sections Treillis composés 275

260

262 263 274

Charpentes et mécanismes 285 6.9 Structures comportant des membres à ettort multiple 6.10 Analysa des structures 285 6.11 Charpentes hyporigides (non rigides) 286 6.12 Mécanismes 300 Résumé

285

313

Problèmes supplémentaires

316

1 LES POUTRES ET LE.S CÂBLES ~

"7.1 *7.2

Introduction 322 Forces Internes dans un élément de struclure

322

les poutres

*7.3 *7.4 *7.5

'7.6

329 Types de charges et d'appuis 329 Effort tranchant et moment 1Iêchlssant 330 Diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant Charge, effort tranchant et moment fléchissant 340 Les câbles

"7.7

351

Câbles avec charges concentrées

~7.8 Câbles avec charges réparties '7.9 Câble parabolique 353 *].10 CharnelleS 362 Résumé

370

Problèmes supplémentaires

373

351 352

332

VII

VIII

Table des matières

8 EROTIEM'ENI 376 8.1 8.2 8.3

Introduction a77 Lois et coefficients du frottement sec Angles de frottement 379

8.4 8.5 8.6

Problèmes impliquant le frottement sec Coins 395 Vis à filetage carré 395

377

380

•

·S.8

Butées 405 ""8.9 Roues et résistance au roulement '8.10 Courroies 413 Résumé 423 Problèmes supplémentaires

406

426

9 FORces RÉPARTIES; MOMENTS D"INERTIE

Ul 9.1

Introduction

432

Moments d'Inertie

des surfaces

432

432

9.2

Deuxième moment 011 moment d'inertie d'une surface

9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

Détermination du moment d'Inertie d'une surface par Intégration Moment d'inertie polaire 435 Rayon de giration de surfaces 435 Théorème des axes parallèles 442 Moments d'inertie des surfaces composées 444

'9.8

Prodllit d'jnertie

434

456

"9.9 Axes principaux el moments principaux d'inertie "9.10 Cercle de Mohr 465 Moments d'Inertie des maSSes 9.11 Moment d'inertie d'Ilne masse

456

471 471

9.12 Théorème des ax&s parallèles 472 9.13 Moments d'inertie de plaques minces 473 9.14 Détermlnation du moment d'Inertie d'un solide paf' Intégration 475 9.15 Moments d'jnert~ des solides composés 475 ·9.16 Moments d'inertie d'un solide par rapport à un axe passant par I"origine. Produit d'inertie d'une masse 490 *9.17 Ellipsoïde d'InertIe. Axes principaux d'inertie 491 ·9.18 Axes princlpaux 'et moments principaux d'inertie d'un solide

de forme quelconque Résumé

492

504

Problèmessupplémentaires

510

Table des materes

10 MÉTHODE DU TRAVAIL VIRTUEL

515 ·10.1 Introduction 516 ·10.2 Travail produit par une force 516 ·10.3 Principe du travail virtuel 518 '10.4 Application du principe du travail virtueJ 519 ·10.5 Machines et rendement mécanique 521 ·10.6 Travail d'une force lors d'un déplacement fini ., 0.7 Énergie potentielle 534 ·10.8 Énergie potentielle et équilibre 535 *10,9 Ëtats d'équilibre 536 Résumé Probl~es

533

546

supplémentaire.

549

Annexe 553 A.l

Systèmede mesures Impérlales

A,2 A.3

Conversion des

553

poidS el mesures 554 Propriétés des profilés à charpente en acier laminé

556

Uete des 8ymbole. 557 Tableaux et figures utJles 559 lexique anglale-françal8 562 Index 565 Source. de. photos 570 Réponses aux problfjmes 571

•

c

IX

1ntrod ucti on

t:lngé"ne moderne repose en grando parUe sur les lois fondamentales do la mécanique. énoncées par Sil Isaac Newton à la tin du dix-septième siècle.

C P

1.1 QU'EST-CE QUE LA MÉCANIQUE? La mécanique est la science quj étudie les états de repos et de mouvement des corps soumis à l'action de forces; elle décrit ces états et les prédit. EUe se divise en trois branches principales: la mécanique des corps rigides, la mécanique des corps (léfor/Tuibles et la mécanj(lue desfluides. La mécanique des corps rigides comprend la statique, qui traite des corps au repos, et la dqnanüque, qu.i considère tes corps en mouvement Dans les deux cas, elle fait l'hypothèse que les corps sont parfaitement rigides. Cependant. les structures et les machines réelles ne sont jamais tout à fait rigides : elles se déforment sous les charges appliquées. Ces déformations, plutôt faibles, ont habituellement peu d'incidence sur l'équilibre ou le mouvement d'une structure. EUes prennent cependant toute leur importance lorsque vient le temps d'analyser la résistance à la rupture. Elles entrent en ligne de compte dans l'étude des matériaux, qui constitue une division de la mécanique des corps déformables, La troisième branche de la mécanique est la mécanique des fluides, qui aborde l'étude des fluides compressibles et des fluides incompressibles. 'LhYllr{Juliquc, science flui étudié l'écoulement de l'eau l, occupe une place privilégiée dans l'analyse des fluides tnccmpressibles, La mécanique est UDe branche de la physique puisqu 'elle traite de phénomènes physiques. Cependant, on l'associe parfuis davantage à l'ingénierie ou aux mathématiques, et œs points de vue se défendent. En effet, la mécanique s'avère un préalable tndispeusable à J'étude de l'ingénierie, qui repose en grande partie sur elle. La mécanique n'a cependant pas le caractère empirique de l'ingénierie, c'est-à-dire que ses théories ne s'appuient pas uniquement sur l'expérimentation ou l'observation. En ce sens, elle ressemble davantage aux mathématiques par sa ri&rueur et par l'Importance accordée au raisonnement déductif. On ne peut cependant pas non plus la classer comme une science abstraite Di comme une science pllre. La mécanique est en réalité une science appliquée: elle il pour but d'expliquer des phénomènes physiques et de les prédire, et elle établit, par le fait même, tes bases de l'ingénierie. 1.2 CONCEPTS ET PRINCIPES FONDAMENTAUX Bien que les débuts de la mécanique remontent à une époque fort lointaine, avec les travaux d'Aristote (384-322 av. J.• C.) et d'Archimède (287-212 av. J.-C.). il a fallu attendre les trav-aux de Newton (l642-1727) pour en énoncer clairement les principes de base, Ces derniers seront plus tard reformulés par d'Alembert, Lagrange et Hamilton, mais leur validité ne sera remise en cause qu'au vingtième siècle. avec l'arrivée de la théorie de la re1ativiti d'Etnstein (1905). Les limite.') de la mécanique newtonienne sont aujourd'hui bien connues, mais l'ingénierie moderne repose toujours Sur ses principes fondatnentaux, énoncés il ya plus de trois siècles, La mécanique s'appuie sur les concepts fondamentaux d'espace. de temps, de masse et de force, que l'on ne peut pas véritablement définir, Lexpénenœ personnelle et l'intuition en donnent une compréhension qui servira de cadre de référence à notre étude. On associe le concept ,l'espace à la position d'un point P. Cette position est définie par trois longueurs mesurées dans trois directions différentes, à partir d'un même point de référence appelé origine. Ces trois longueurs portent le nom de coordonnées ÙU point P. Pour décrire un événement, il ne suffit pas d'en donner la position; il faut ëgslement prendre en compte la notion de temps, Le concept de masse caractérise les corps et permet de comparer leur comportement dans certaines expériences fondamentales. Par exemple, deux 1. t:bydmuliquc trnite des liquides on g~nérnl: pour des raisons évidentes, l'eau rep~lIie

le Cl1S

le plus répafldu. (NdT)

Copynghted ma rial

corps de même nH1SS~sont également attirés par la terre; ils offrent aussi la même résistance au changement dans un mouvement de translation. Une force représente l'action d'un corps sur un autre çorps. Elle s'exerce à leur contact ou encore à distance comme dans le cas de la gravitation et des

1,2 Concepl.!l el pnllClpes londamentaux

forces magnétiques. On caractérise une force par son point d'application, sa grandeur et sa dtreaton, et 00 la représente par un cecteur (section 2.3). En mécanique newtonienne, l'espace, le temps et la masse sont des concepts absolus, indépendants les uns des autres. (La situation diffère en mécanique relattoiste . Je ten ..ps associé à un événement dépend alors de sa position et la masse d'un corps est fonction de sa vïresse.J Par contre. le concept de force est dépendant des trois autres; en effet, l'un des principes fondamentaux de la mécanique newtonienne statue que la force résultante agissant sur un corps dépend de sa masse el de son accélération, c'està-dire de la façon dont sa vitesse varie dans le temps. Ce livre porte sur les états de mouvement et dc repos de particules et (le corps ri!,l'iùes. en fonction des lfuatre concepts introduits précédemment. Une particule correspond à une très petite quantité de matière qui occuperait un seul point dans l'espace. Un corps rigide résulte 0rnl'f;/o!!,rfl 111I1U' Deux forees agissant sur une particule peuvent être remplacées par une force unique équivalente appelée résultante, obtenue en dessinant la diagonale du parallélogramme dont le côtés correspondent aux forces de départ (section 2.2). L'{/l/flitlt:,f{

Le principe {Ir Ir(/nçnlÏ\sibi/ité. Léquilibre ou le mouvement d'un corps rigide n'est pas rnodiûé si l'on remplace une force agissant sur un point donné du corps par une autre force de même grandeur et de même direc-

tion appliquée à 'ln autre point du corps, à condition que les forces soient situées sur la même ligne d'action (section 3.3). Les 1rot« fois de 1\'('((:1011. Énoncées pa.r Sir Isaac Newton vers la An du dix-septième siëclc, ces lois sc résument ainsi: est nulle, cette particule reste au repos si elle était initialement au repos, alors qu'elle poursuivra son mouvement à vitesse constante suivant une ligne droite si eUe était initialement en mouvement (section 2.10). Première

101. Lorsque la force résultante agissant sur une particule

la force résultante agissant sur une particule n'est pas nulle, cette particule subira une accélération proportionnelle à la grandeur de la force et selon la même direction qu'elle. Cette loi peut s'écrire (section 12.2): Deuxiéme

101. Lorsque

F=ma

(1.1)

où F, '11 et a représentent respectivement la force résultante agissant sur la particule. la masse de la particule et son accélération, exprimées dans un système d'unités eohérenr. Troisième 101.Les forces d'action et de réaction agissallt sur deux corps tJui se touchent sont de même grandeur mais de sens opposé; de plus. elles agissent selon la même ligne d'action (section 6.1).

c

3

4

u/lirers~llt) (le NC,v1()n. Deux particules de masses respectives ,\1 et III s'attirent mutuellement s "Ion des [orees égales J'nais opposées, notées F et - F (ligure 1.1), dont la gl'ancJeur F ("st donnée par

lotfoduc:tion

LA

loi lU' la

grfll'iil:

la relation

(1.2)

111

où r correspond à la distance qui sépare les particules et G est la constante grovitntinn n elle.

!If FIgure 1.1

La loi de la zravité universelle introduit l'Idée d'action à distance: plie élargit également le domaine d'application de la troisième loi de Newton: l'action F et la réaction -F de la figure 1.1 sont égales et ClPP ées, et elles ont la même ligne cl' action. L'attraction exercée par la terre sur les particules localisées à. sa urface décrit Url cas particulier mais j mportant de la lot de la gravité universelle. La force F exercée par la terre sur La particule d6fmit le poids W de la particule. Si wl correspond à lainasse de la terre, r est égale au rayon terrestre R. el si nous posons CAl ( 1.,1) Il, = R2 la grHndeuf \\; (Ill poids d'une particule de masse ,n s'écrit2 (1.4)

La valeur exacte de R dans l'équation

1.3 dépend de l'altitude du point considéré, Je même QUf1 de sa latitude, puisque la terre n'est ras parfaitement sphérique, Ainsi, la valeur de g varie légèrement selon le lieu où nous nous trouvons. Cependant. les applications courantes sur l'ensemble de la surface (lu globe ue requièrent L'lasune telle précision et IIOUS utilisons le plus souvent g :; 9, I rn/s2 {valeur exacte: (!, :; 9, 0665 mI~). Nous introduirons les principes énoncés précédemment à 1l1eSLIre qu'ils seront nécessaires à la compréhension de notre étude. Ainsi, le chapitre 2. aborde la statique ries particules en s'appuyant sur l'additivité des forces et sur la première loi d(~Newton. LR chapitre 3 applique le principe de la transmissibilité il la statique des COlpS rigides, ct le chapitre 6 fail appel à la troisième loi de Newton dans l'analyse des forces qu'exercent l'un sur l'autre les éléments d'une même sI ructure. La (lE'luièrne loi de Newton et la lui de la gravitation universelle entrent en jeu dans l'érud de la dynamique, II sera alors démontré llue la preuiière loi {If>Newton correspond à LIll C"spoids el mesures, il Sèvres. près de Paris, en France. L'unité de foree. dérivée des trois autres. s'appelle 1(.'newton (N): î

J newton correspond l'lIa foree qui dorme une accélérutiou

lll'

1

lit/52 Ù

lin!'

masse de 1 kg (figure J .2). L:(\'luation 1.] pemlct d'écrue; 1 N = (1 kg)(l

nt/s2)

=

1 kg'ln/s2

(].5)

Les unités SI constituent un système absolu d'unités. c'est-à-dire 'llIC les trois unités fondamentales restent indépendantes du lieu Olt les mesures sont prises. Autrement (lit, le 111ètTe. le kilogramme et la seconde ont la même signiflcatioll t't la même ~ralldeur partout sur la tPITt> ou mêuu- 'IIr une au tre planète. Le potd« d'un corps, ou lnforee gracilatiollllelle exercée sur lui, s'exprime en newtons comme toute le autres forces. Nous nu us !>enons d", l'équution 1.4 polir calculer If' poids d'un corps: pour une masse de 1 kg (figure 1.:3), nous obtenons

'"g

\V = = (1 kg)(9. 1 = 9. IN

.1.lll'~

"'_lkg

--

....-

..

F~I~

FIgure 1.2

",.Jkg

w " 9.81 N

Il)/52)

FIgure 1.3

Nous emplo 'uns aussi des multiples et des sous-multiples des unités SI. nommés à l'aide des préfixes listés dans le tableau 1.1. En in~~nierie. nous utilisons couramment le kilomètre (km) el" le IIlillilllèlrc> (mm] pour la longueur: le gr(/111IJIl' (g), le kilogrlll1lnlc (kg) et la tonne métrique

c

pOlIr la masse; et le kilCl'netQtol~ (kN) pour la foree. Le t·.ilileau, 1.1 donne les éqlwlliences Slûvantes: l km

= 1000 m

l kg = lOOOg l b\l

Nous

&iÏlultiples pennet d'éviter d'éertre des nombres réOllfb-.:ttUs {tl"ès f,t;l1lJ\ds ou très petits"). Par exemple, flOUS choisirons d'écrite 427.2 km Rtl Ueu de 427 2{)Om, ou encore 2,16 mm ou 2..16 x 10'~m plutêt que 0.002 16 m. 3. La nl01

toUT (tr) eiW tI.uS,fl t:!anployé.

4. I..ot!:qu·un nombre œcprimant une qUfi.lllité SI (.'(lnlpre1ld IJIu.sde quatre ehlffres d'uu c6t6 {lud:e t'atrtl'e de la virgula dédm'iJe. un ~Xtœ ~p.'lre des gtOUJ?(tsde b,(lis clùlfn."lI; noult 6criwns. par Cltcl'lt[lle. (27 000 tn ct o,oœ 16 ni.

Copyrighted rnaterial

LRs tlnité d'aire et de coùnne. U!S aires se mesurent enlllPtre\ ('(Irrt~ (1112), dont l'unité correspond ik J'aire d'un carré de l III de côté. Les volumes s'expriment eu mètres tubes (rn''), dont l'unité équivaut au volume d'un cube de l ln Je côté, Afin d'éviter l'usage excessif de petites \'a]CIII"S, nous utilisons les sous-multiples du mètre, soit le décimètre (dm), Je centimètre (cm) et le milltmèt re (mm). Par définition, nous avons 1 dm t = 0.1 ln == 10-1 111 1 cm = 0.01 m = 10-2 m l mm = 0,001 III = 10-3 rn Les unités (le surface deviennent

alors:

1 ÙI1l2t = (1 dJlI)2 = (.10-1 l CII12 == (1 1 mm!! = (J

= (10-2 111111)2= (10-3

cnl)Z

111)2

In)Z In)2

== 10-2 1112 = lO-~1l1Z = 10-6 ln..!

et les unités de volume s'écrivent: J dm" = (1 dm)" = (10 1 ru)" = 10 :1 rn" 1cm" = (l (111)3 = (10-2In)3 = lO-4'lTl3 1 Innl!! = (1 n1Tl1)!!= (10-3 m)3 ;;;;;:10-U Il,3 Par ailleurs. le volume d'un Liquide s'exprime souvent en litre (L). autre non) donné au décimètre cube (1 L = 1 d013 = 10:lcn\' = 10-·1n):'I), Tableau 1.2

Principales unités SI utilisées en mécanique

Quantité

Nom de l'unité

Symbole

Détail de l'unité

Accélération

mètre par seconde carrée

...

lu/s2

Angle

radian

rad

l

Aecéléraëon tlnglliairt'

radian

Vitesse angulaire

par seconde carrée radian par seconde

Aire

mètre carré

Densité

kilogrol)\JllC par mètre Cilbr joule 11(.>\\1on hl'rty.

Énergie

Force

Fréquence Impulsion Longueur Masse

r.ldfsl

... ...

radis ., nl-

kgfn)"l N'III

k~'Ill/S.! S

1

newton -sccoude

...

mètre

III

kg .,.

Pu i.ss3J1Cl'

kilogralllll1e newton-mètre \\'utl

w

** Jf.

Pression Contrainte

pascal pascal

J'a

N",,::

Pa

N/IlI:::

Temps

l>l'C'()lIdl'

S

Vitesse

mètre par seconde mètre cube litre-

...

*"" travail et plusie-urs autres quantités physiques: les principales sont indiquées au tableau 1.2, Nous introduirons ces unités au moment opportun dons les chapitres subséquents, mais précisons dès 11présent une règle lmportante : lorsqu'on obtient une unité dérivée en divisant une unité fondamentale par une autre, le nu mérnteur peut contenir lUI préfixe mais pas le dénomtnatcur.

1 3. Systèmes d·unl1é&

7

Par exemple. la constante k d'un ressort qui s'allonge de 20 mm charge d-e 100 s'esprlme comme suit: lOON 100 k = î'-O ... rnm == .•0 O·20

fil

. = 5000 N!ru

ou

k

=5k

SOllS

une

lm

1.4 MéTHODE DE RÉSOLUTION DE PROSl:ÈMES aborderons les problèmes de méeanlque comme si t10115 étions devant (les Situatiol'lS réelles. En faisant appel à l'expërtence personnelle et à 1'111tuition, il sem plus facile de comprendre le problème et de le poser correetement, Une fOls les données clairement esposées, il n'y ti cepelldant plus de place l)Ollr la ftmtrusie personnelle dans l'élaboration de la solutton, Celle·cl doit 8'appuye-r .tU.1" la sb: lJrincipa ftm(loment(JllX tmonc,"(!s à Ùl secuo« 1.2 ou encor« sur de$ théfJl'èTMS qltî en tlkouJ.ent. Ces principes doivent justifier chaque étape de la, solution, qUE! nous obtenons de façon quasi automattque en suivant des règles strictes, sans référence à une approclie intuitive ou personnelle. Une fois 1'1réponse trouvée, ilest essentie] de la vérillêt> ft cette éblpe. nous pouvons (le nouveau fnlre appel au bons SCtU ou à l'expérience. Si te résultat n'est pas satisfnisaût, OO~lS devons nous assurer que fe problème a été pesé eOllforn1émellt aux données de départ, que les méthodes ertlployées sont V'.al.ideset q\JI.eles calculs sont exaets, J:ltrp()$é d'un problème doit être cla.u· et précis: nOuS devons y meatJoïltl.e)' eoutes les données et rua s les autres t'ensmgncD1entç nécessaires à la résolution. Nous accotnpagnou' d'un Scll(~rrllî cmtlplet illusb"m..t la sttuatîôn d'ensemble, sur lequel nous inscrivons routes les deaaées. Nou$ traçons ensuite un magrnmIl1e séparé pOtlf chacun des corps impliq\lés. qui regroupe les forces auxquelle le .corps est $()UITÛS. Les sections 2.11 et 4.2 donnent une desertption détaillée de ce type de dJagrarnrnes. apllel~ diagl'lJul1ne des forces ou diagmmlne du corps libre (DCL). Une fois les diagraxnmes. complétés, flOl18 uUliSD/l.'1les prlnci1}0;S j01ldllrnenJ;aux décrits il III section 1.2 pOt/f' gcrlre les éqttfJ:.ti/)r~ correspeadaat à l'état de repos ou de mouvement des corps considérés. chaque équation étant associée à J'un des diagrammes lre aussi grande que (0,125/100)(253.42 k ) = 0,10 kN. La rëpon 'e Jevriut donc être inscrite comme suit: (2-53,4 ~ 0,3) kl , L'ingélljE'ur (1~spo.."erarement (le données de précision supérieure à 0,2 pour cent. En eonséquenee. nous devnons noter les réponses alt.Mpro. blêmes avec une l)n~(:isi(Jnsi111ilaire. Pour simpliûer, OOI1S conservons en gén6ral quatre chilfJ1 S dans l'écriture des nombres commençant par ,( 1. », et trois chiffres dans tous les autres cas. Par ailleurs, à moins d'indlenriou contraire. nous altribuons la même préci ion aux donnée de départ d'un problème. Pur exemple, 'Jl procédant comme précédemment, tille force de 40 l s'écrirait 4-0.(1 i et une force de 15 N deviendrait 15,00 . Les illg61,if'ur:. (,t les étudiants utilisent aujourd'hui couramment les calculettes. La \ itesse d'cxécutfon el 1:' précision des calculettes facililèolln résolution numérique (le bon nombre de problèmes. Cependant. les utilisateurs ne doivent pa .. retenir tous les chiffres affichés mais plutôt choisir le nombre app ..oprié df' chiffre sig,uAcatifs. Ainsi qu'il a (léjà été indiqué, une précision supérieure à 0,2 pour cent est rarement nécessaire ni même significative dans les problèmes pratiques rencontrés en ingénierie. A

•

•

\

Copynghted rnatena

La statique des particules

On peut résoudre bon nombra de .problèmes concrets en coNidéranl l'équilibre CSesIol'Cft en un poInl d'une stNCIut8 que 1'0f'I ASSimile à une ..plltloule .., La phoCo monlte le chargement d'lM COf'Itenoorsur un navire. 1:analyse· de l'équilibre fll'emplacemenl du C1OChe1 qui retlén' les cAblés sutlit pour obtenir une relation mathématique entre les tenslOf'ls CSetous Ie$ cAbI. utiliSés.

2.1 INTRODUCT10N

Ce chapitre traite de l'effet prodoü par (les forces exercées sur des particules. D'abord, nous apprendrons à remplacer un. ensemble de d.eu.'tou plusieurs forces appliquées fi une particule par une force unique équi~./3jellte. appelée résul.tlU~te. Puis, nous dériverons les espressions lllath"éu'lutiqll€S reliant les forces agissant !lItt une partlcule en &pt/libre; nous les utiliserons par la ~'11Îtepour détenniner quelques-unes des forces en cause. Bien qu'il soit quesdon de «particuJe 1>. notre éttl(ie '0,ese Jjnrite pas eux corpuscules ou aux trës petits objets, Simplement, elle examine des cas ob la :t:3illeet 1n forme des corps tl'influencent pM les résultats et où les forces s'a:ppliqu.ent il un même point. On rencontre ces ronditiOflS dans hon nombre

de sjtuations concrètes. La madère œntenue dans ce chapitre permettra donc de résoudre de réels problèmes, 2.3/1): 'LfW nk!lu' de 180 HOUés dJrlgéu \'erS

la droite désigne cette seconde rotation. Or. le Livreauralt pu lJa.S.krde la position de départ à III posilloli Ii""lc- en un.' décomposé de mille pt une façons. En pratique. les ensembles (le deux composantes P (.1. Q sont les plus intéressants mais Je nombre de possibilités reste illinlité (flgtu'f' 2.J 5). NOliS retiendrons ici deux cas intéressants ;

A Figure 2.16

\ ... .......

... .....

()

Figure 2.17

' ..............

1. L'une des composantes, P, est COll 1111('. NOliS devons déterminer la seconde c"Olnpo ', \

1

,

/

l '" 4/

'"

,

'-00 :'\1. déterminez

-

T.

par trigollolnélril';

la tension TI requi ..(' (1\1 côté gauche si la résultante R Q l)i la résultante R Ùf>S deux forees al)pIiCJ11~t>Sau point A doit être verticale: b)

la grandeur correspondante

de R.

2.11 On dtssire déposer un ré .ervoir en acier quI" a = zoo, calculez par trigollonlétric: a)

la gJ"lInUl'l1r (1(·la force Pila

dtU1S

un fossé. Sachant

résultante R de deux

forces

appli-

p

quées au point A doit être verticale : 1,) la grandeur correspondante de R. 2.12

On c.l~~ir(>déposer

III)

réservoir

("Il

acier dans un [ossP. Sachant

(]lIe la Iorce P (·~tdt:>5()() 1 • calculez paf tngonométrie : a) la valeur de l'angle a si la résultante R de deux forces appliquées au poi nt i\ doit être \ crticale : b) la grancl(~lIr correspondante dt' R. 2.13 On désire déposer un réservoir en acier (lans un rossé. Calculez par lrigonolnétrie: (1) la grandeur et la direction de la force P minimale !>our laquelle la rë ultante R dt·~ deux forces applrquëes au point .-\ l' l \ erticule :

,))

la gr~ul(l(!lIr correspondante

2.14 En vous rrf('ranl trigonométrie:

:lILX

de R.

donnée

du problème 2.9, évaluez par

la grandeur ct la direction de la force P rninlrnalc I)our laquelle la résultuntc R des deux forces appliquées sur le crochet est horizon laie ; h) la ~raJlt1ellr correspondante de R. a)

2.15

R6solvC'z trigonolnétri(luCTllent

le problème 2.3,

Figure P2.11 - P2.13

22

La statique des particutes

2.16

Résolvez trigonométriquement

Je problème 2.4.

2.17 En vous référant à la situation décrite au problème 2.9 et sachant (lue P = 15 N et a ;:;5O évaluez par trigonométrie la &rrandeur et la direction de la résultante des deux forces appliquées sur le crochet. D

,

2.18

40" -

Résolvez trigouométriquerncnt

le problème 2.1.

2.19 Les barre' A et B d'uné structure métallique sont boulonnées au gousset tel qu'illustré. Sachant qu'elles sont soumlses à des forces en eornpresslon de 15 kN l)Our la barre A ct de 10 lu,," pour la barre B. calculez par trigono,nétrle la grandeur et la direction de La résultante B des forœs appliquées sur le gousset.

;" . 20', 1

1 1 1

Les barres /\ et B d'une structure métallique sont boulonnée.') au ~ouSSPl tPI qu'illustré. Sachant qu'elles sont soumises à des forces en compression df' 10 kN (XUlr la barre A et lie 15 k pour la barre B, calculez par trigonométrte la grandeur et la direction de la résultante R des forces appliquées sur le gousset. 2.20

Agur.

P2.19 - P2.20

2.7 COMPOSANTES RECTANGULAIRES D'UNE FORCE ET VECTEURS UNJTAIRES2 Là résolution (le plusieurs problèmes est hahltuellement simplifiée si on décompose les forces en deux composantes perpendiculaires entre elles, La ngure 2.18 montre la décomposition d'un vecteur F en ses composantes Fx. le Joug de l'axe clet; x, el' FIl' orientée selon l'axe des y. Le parallélogramme devient alors un rectangle et les composantes F.\' et F!I sont appelées composantes recfangulaires,

----------

'J

_ __-

_ _

- --

,, \ \~

.Fy

01

0\

r

F1

Figure 2.18

Figure 2.19

IJ

.,'

~GI";mdeUr ~ 1 1

Flgu,", 2.20

F,

.r

LQ.'I':edes x correspond généralement à une direction horizontale, et l'axe cJe~ .. y à une direction verticale (Agure 2.18), mais il est aussi possible de choisir des directions perpendiculaires quelconques (figure 2.19). Pour déterminer tes composantes rectangulaires d'une force (figures 2.18 et 2.J.9), il s'avère plus prudent do I)enscl' à tracer des lîgne.s parallèle» aux axes x et Ij plutôt ljUt" de songer à abaisser des 7)I;U7JelLdi"111(Jires à ces axes. Les risques d'erreurs sont ainsl diminués lorsque vient le temps de définir des composantes obliques, te] (lue nous l'avons vu 3 la section 2.6. Considérons maintenant dCLLx vecteurs de grandeur unitaire dirigés respectivement selon le sens des x et des Ij positifs. Ces vecteurs sont appelés oecteurs unitaires et représentés par les symboles i et j (figure 2..20). Eu utilisant ln définition du produit (l'un scalaire par un vecteur (section 2.4), nous

2

dp!1llltion c1~ oomposaares rf'tt.llîgl d3il'('~ donnée s'applique é~~Cluëntà toute autre quantité vectorielle, L:l

pOlit

les Iorees

,lUX sections

2.7 ct 2.8

Copynghted matenal

23

~ 7 Cornposantèa rocl1la lignf' horizontale est dl" 3Of', Déterminez l'effort de tension dans la corde,

If

r

1 ri J )

SOLUTION

.,.

-

Lnutomobile

;t

un polds dr- 1530 kg X 9,8 L :-Jlkg = 15 kN,

1Jial!I'tlI11111\. du t'o'1"

1 -; I..\.

Till

puis

L2c)"

-....

libre

~DCL),

On commence

par

isoler II" point A.

QI) traec-

k- ,\('/l/inUlt/rl 1)(;14: 1~A" $t'rlt la t('IISIOrl d!:u,~ 1(· c.lbl(· 1\8, c·t TAt: 1" tension dall~ lA corde :\e, C nnditic," d', c!uilihrl' Puisqu'ou n'a qlle' trois forces Hppliqllé(,'$ en ,\, 011 doit tracer Il' tri;lnglc de forees pour exprimer son équilibre, UI loi du sinus donne alors

;;J"

15kN sin 58°

li ~ \

une calculatrice. on calcule h· dernier quonent et on l'e-nvok- en In~1I10il'C, En multipliant SUL"l't'SSÎ\ol?JlIClIt ct' quotient par sin 1200 et SUl 2°, ou obtient I\\C'C

1'IR

= 15,3 k;\l

1 \C = f,17 \1

~

PROBLÈME RÉSOLU 2.5 Calculez là ~ndtLur ,·t la direcuou de lu plus 1)('liLI' rOrèt· F (lui [lc)llrnc lIiainh'lIlr 1ri CHi sse 11111 1r~~' ('Î-C'Ol\tre ("1 éq U ilib 1' F:. = FI, Si11 ch = F sin (}!I sitl

(2.17)

jF.

-

x

c

-

Figure 2.30

Copynghted ma nal

40

La stauquo d·

s parncu

Nous avons donc trois composantes vectorielles rectangulaires F x , Fy, F::. dirigées selon les trois axes du système de coordonnées. En appliquant le théorème de Pythagore aux triangles OAB et OCD de 1.1 6gure 2.30, nous trouvons

015

'1

FZ = (OA)2 = (OB}2

+ (Bi\)2 = F~+ Fl

F?t '"" (OC)2 = (ODr~

+ (DC)2

= F.~+ F~

En éliminant Fr. de ces équations et en isolant F, nous obtenons une expression de la grandeur du vecteur F en fonction de la grandeur des composantes rectangulaires. (2.18) Nous visualisons plus facilement la relation entre la force F et ses composantes en représentant une boite dont les côtés correspondent à FX> F'I et F;: (flg1lre 2.~31).Le vecte-ur F devient alors la (liagonale OA de cette b()Îtf>.La fj~'t1rc2.31b montre le triangle rectangle Or1B ayant servi li dériver la première des équations (2.16), soit Fy = F cos 9v' Sur les figures 2.3la et c, les triangles 01\0 ct Oi\E occupent des positions comparables à celle du triangle OAB. Si nous notons el et 8: les angles formés par F avec les axes x et ;; respectivement, nous l)O·I1VOI1S dériver des expressions similaires à F" = F cos 9" pour les autres directions. Nous obtenons

c (ri ~

(2.19)

c

Les trois angles 0x, 8y el 8=.définissent la direction de la force F: nous les utilisons plus couramment que les angles O!J et c/J définis au début de cette section. Les cosinus des angles OT' 8y ct 8; sont les cosinus dlrecüonnels de la force F. Avec l'utilisation des vecteurs unitaires i,j et le orientés respectivement selon les axes x.y et z {figure 2.32). le vecteur F peut s'écrire:

Ibl

(2.20)

oü les composantes scalaires F~, F!fet F:. sont données par les équations 2.19. Exetnple 1 Une force dl' 500 N forme d(~ angl s do 60'>,45° ct )20° avec les axes x. y ct .;;resrpectivemcnt. Déterminons les l\

de F.

'oret:

UnrF fi pour composantes [t~ c 20 ',FI) c::: -30 1 et F::r.... 60 N. OuS voulons déterminer sa gmtldew' F ainsi que tes angles 0... 0" et 8= qu'elle forme uvee les a.1C.CS du système de coordonnées. eus ntlltsons d'nbolYl )'c{CilllltiQn 2. J ' G: Exemplfl

2

V F2• + -Fitj + F2 = V(20 N)~+ {-30 - V4900 X ... 70 ~

F =

%

N}!.:

+ (00 X}!

En insérunt 1 ·S vaJ('II......"('~ composantes et dt' la graJ)(léur dp ln fore- dall) les

.

équ ulons 2.2.5, nOH!) lrouvonli L)

co 5. Si vous 111'11»

Cil (;,Kln]O'(I,nées

v"

='nc J'àcti.on est défl.nie par deux points M et N, Nous obtenons les composantes du vecteur AIN en soustrayant les coordonnées de hl de celles de N et nous trouvons ensuite d, [a distance qui sépare ces deux points : li,... = X2 - Xl

lly

= 1.12 - !Jl

li

-

~

--

-

._-

,N-:)

-1

Copynghted matenal

En substituant ensuite F. (lx. dy• d;:. et d dans les équations 2.29. n011S pouvons déterminer facilement les composantes F,;. Fy, el F~ de la force. Les équations 2.25 donnent les angles 8:n 9y et 8~formés par le vecteur F avec les axes du système. En comparant les équations 2.22 ct 2.2ï, nous pou~vons également écrire (.'0..

d.JI 9 =-

2.14 Addiuon de forces

clans fe.paoe

(2.30)

d

et déterminer les angles 6.x.8y et 8: directement vecteur Ml\' et de sa grande1lr 'ft"fll/.

à partir des cornposantcs du

2.14 AODmON DE FORCES CONCOURANIES DANS l'ESPACE

Nous obtenons la résultante R de deux ou plusieurs forces dans l'espace cn additionnant leurs composante.') rectangulaires. Les métlloc!é"$ gruphifllle:; et trigonométriques s'avèrent peu pratiques en trois dimensions, Pour additionner les forces, nous procédons cornille il est indiqué li la section 2.8, c'est-à-dire avec les forces coplanaires. Nous avons

R=IF En décomposant les forces en composantes rectanzulaires, R:ri

110llS

avon .

+ Ryj + ~k = !(F.ri + Fyj + F~k) = (!F.r}i + (!Fy)j + (IF:)k

Il s'ensuit que (2.31 )

Nous déterminons la grandeur de la résultante et les angles Or, 8y ct 0; qu'elle forme avec les axes en procédant comme à la section 2.12. NOliS écrivons

R = v'R~ -1 R~+ R~

R,

ces 8 =R '"U.

1

cos 0y = &

R

(2.32)

cos O. = R~

•

R

concourante.

(2.33)

c

43

PROBLÈME RÉSOLU 2.7 Un hauban d'une tour est ancré au point A. La tension dans le hauban a été évaluée à 2500 N. Calculez: Il J 8C)IJI

les composantes FA' F)' et Fz de la force transmise

b" les Wlgles

IIU

boulon d'ancrage;

9y et 8~qui définissent la direction de cette force.

(J/t,

SOlunON u) tte force applique

(Ill

point d'ancrage B,

2.88

Une tour de transrnissiou est tenue par trois haubans ancrés à l'aide des boulons 8. C et D. Sachant que la tension dans le cible AD est dc' 1260 N. évalu Z les composantes quI' cette force applique 811 point d'ancrage D. Ij

20111

~

Figure P2.87 - P2.88

Dtmenstons en mm

Figure P2.85 • P2.86

49

50

LI

alatiqu. ~

Larmature ABC est supportée par le cable DBE tel qu'illustré à la Ilgllrr P2.89. 1.....cable DBE pa.~se dans l'anneau B. dans lequel on suppose une force dl' riction tlulle. Sacharu que' la tension dans le câble est de 385 N. déterminez les composantes dl! la force' exereéc prir 1('câble sur le point D.

panICuleS

2.89

r

IJ

510 mm

-•

600 mm

FIgure P2.39

2.90 l'our lu situation décrite au problème 2.89. déterrninez de lu force exercée par 1(' câble sur le point E.

les composantes

2.91 Évaluez la grtmdeur et la direction de la résultante des deus forces illustrées l't la figure P2.91 - P2.92, sachant que P = 300 N et que Q = 400 N. !J Q

!J

Je

lJilllf'11sions 4()(1

&:11 111111

. •

Figura P2.91 • P2.92

É\I",ùucz la grllolk'ur Cl la direetlo« de IIIrésultante des deux forces illustrées à La ligure P2.SJ] - P2.92. sachant que P = 400 N et que Q = 300 f',1. 2.92

2.93 Sachant que la tension est de 425 N dans le câble AB et de 510 l dans le cable AC. déterminez la grandeur et la direction de leur résultante au point A.

D

8

/ • ~

.r

2.94 Sachant tlue lu tension est de 510 N dans le câble AB et de 425 N dans le câble AC. déterminez la grandeur et la direction de leur résultante au point A.

C' /'

/"" Figure P2.93 • P2.94

2.95

En vous référant aux données du problème 2.89 et sachant que la tension

dans le câble est dt> 385 N, déterminez la grandeur el la direction de la résultante d\"s forees exercées par 1('câble sur Je point B.

C p n

2.96

L'extrémité du câble coaxial AE est attachée au bout du poteau r'\B.

lequel est soutenu par les deux haubans AC et AD_ Sachant que le hauban AC supporte une tnsiondt" 1500 N et que la résultante des forces appliquées au point A par les câbles AC et AD doit se situer dans Je plan xy, évaluez: a) la tension dans le câble AD; b) la grandeur ct la direction cie la résultante des deux forces.

2. , 5 Êquitbre d'une parUcl,lle danr.I'npace

(30)

51

2.97 I-,-e;l(III'ilIustré Ala OgllfC P2.103P2.106. Déterminez le poids de la caisse. suchant que III tension dans le câble AD 2.104

est de 616 N. 2.105 Une caisse t'st supportée par tn)is clil,lt's ('1 qu'illustré à la Bgure 1~2.103P2.106. Déterminez le poids de la caisse. sachant que la tension clans le câble AC est de 54-4 N.

54

2.106 Unc caisse de 163 kg est supportée pnr trois câbles tel qu'illustré à ln flgur P2.103 -1)2.106. Déterminez la tension dans chacun des câbles.

2.107 Trois câbles SOIlI 1'(·li\~sli·1 C'l'lïllllstrf à la f1~lrf' P2.IOï - PZ.lOB. Les forces P et Q sont appliquées ail point .4. Si Q = O. déterminez P sechant qlle la tension clans le câble AD est de 305 N.

Prob ('meO

55

'1

220

111111

câbles sont reliés tpl CJII'iJJlL~tréà la figure P2.107 - P2.10S. Les forces P et Q sont appliquées au point A. Si P = 1200 N, estimez l'étcndur- des valeurs possibles do Q sachant CJIIC If' câhle f\D est sous tension. 2.108

Trois

2.109

Une plaque rectangulaire est supportée par trois câbles tel

C)IJ 'lllustré

à la Ilg1lrf' P2.1 09 - P2.110. Sachant que la tension dans le câble 1"\(; est tic'

fi()

960 mm

•

évaluez le poids de lu pleque.

. 320

1 \

111111

2.110 Une plaque rectangulalrc est Stlpportèe' p'\r trois câbles tel qu'illustré à Lafigure PZ.log - P2.110. Sachant que la tension dans 1(·('fible ,\1) ('sl de' 520 N. évalnf"z le poids de la plaque.

\

\

C y

Q

OC)!) mm

Figure P2.107 - P2.108

l)illll'r.~iOIlSl'n

n'Ill

Figure P2.109 - P2,110 Une tour de transmission est tenue par trois haubans au point A ct est ancrée aux points B. C et D à l'aide de boulons. Sachant qlle la tension dans I~ câble i\B est de 840 N, déterminez kt lorce verticale P appliquée par la tour au point A. 2.111

2.112 Une tour de transmission est tenue par trois haubans (III point A ct est ancré!' aux points H, C et D à raide de boulons. Sachant que la tension dans le câble AC ost de 590 N, déterminez la force verticale P appliqué ' p~u' la tour au point t\.

i\

20 ln

-x Figure P2.111 - P2.113 2.113 Une tour de transmission est ltlllllr par trots haubans ail point A. Elle est ancrée aIL'\: points B, C et D ;1 l'aide de boulons. Sachant (111(' la tour al}pliqul' UIIl' force P verticale vers le haut au point r'\ de I800 " déterminez la tension dans chacun des câbles,

Copynghted ma rial

56

la statlquo des panlcu-es

2.114 Un disque horizontal dont le poids est de 6()(} N est suspendu au point D à l'aide' de tmis câbles (n(!llf'f' P2.114). Chaque eâhle form(' avec l'axe vcrncal y lin angle de 31.r. Évaluez la tcuslou dans chaque câble. y

Figure P2.114

rt:r~rlll1l ft la plaque rc·ctangulairY' des problèmes 2.109 et 2.1141, ~vf,tllll'/ la tension cie' C'hIl(jIJ(' ('ilhll!, sachant '111e' la plaque pè'Sf' 792 i . 2.115

F:n

"OI1S

Pour le sysl ....rfl~~/I'/~tliTt:('t4"I"'> (1(, la J(,((,("' l'. Eu iutroduisuut les ,('ewur.:. Huit~ùrt"s Î_ j e-t k "t']{}Jl Jt>s uxes (1f'('fxJrcluIlllét"\_ ,

rcl

Cosinus directeurs

,

'J

nous eenvnns F=Fi+FJ'+Pk \ '1

.fi' =

ou

p(

F..::; '/

1oSftlttt·\ CUITt'~I>()Il(LU"Ites (section 2.14), d'où R .'f

-

"L

-

R- -'\F' - ....

_r).

--

l2.31)

La ,~TaIlJI'\lrpt hl direction df' R sont ensuite !lhtt·nlH:·S par tirs équations semblables aux ~4Ilati()n~2,) ') et :2,:15 ipl''f)hl~rllt' résolu P R-2.A), Equtbore c:fune parùcule

D aoramn

Il;.!

du COI ps fibre

Une particule pst en (:(l'liliIJre quand ln résultante

dt' toutes les forces a~sant sur elle est nulle (section 2,8) Dans Cl' cas, la l)artieule Jt'IIl('urt' au Tt'P()\ SI e-Ile fta,t inltialerueut au repos ou "l~déplace à vitesse constante el en li~lIt' droite 11; elle ptait lnltialeuu-nt e-n mouvement tsecticn 2,)0), Pour résoudre un l)[oblèulc iinpliquunt une particule t'ri équilibre, nous commençons toujon ,....par tracer le (liflf!_rflOlllu (Ir, corps llbrc pour la particule en incluanl toutf'S les for('t's a~jss coplanaire» a~issl'Ilt sur lu particule, nous P()ll\'UTL~ trace-r 1111 triflllglc (11' AB C'l (1(' 7,5 kl\ dans 1(,· ('!iblc· I\r.. dc~t('nl1illcv, hl ~rulldl'lJr ('1 lu din'ctiOll appliquées sur Il' camion (t'Il.\)

do la résultante

des fOrL'8S

l'llli

.K

!J

8 III

Figure P2.135 l

;5 ~

!J Figure P2.136

2.136

ch' 400

IIIIU

(·lIat'III1(·

2.137

En

V()II~ n:ft"rant

à la f1gllrl' P2.136. déterminez clc'~ rorc('~"~II présence.

Les deux manchons

J\ ('1 B sont 1'('1i~~pa r

les composantes x et Ij

un CHIII~talliyut> d'une lon-

guellr de 500 mm. Les dC'lI.A1I1nnc!tOJlSgli.:.St'lIl llbrcrucnt tel que présenté à la figure P2.137 - P2.13R. Si une forœ Q dl' 60 est appliquée sur le manchon B. évaluez:

-Figure -

r

P2. 137 - P2.138

Il)

I,)

lM h.·USIOII sur le III si x = 180 mm ; la grnndeur de lu force P nN.'t"'ssnirr pour Knrtl('r Il' système en équilibre.

2.138 Les d('ll\ 11I1In('hol1~ ,\ (·t B sont reliés par tITI fil IllélaJliquf' d'IU'lC longllC'lIr cI(, SOUnun, Les deux manchons ~lissf'nt librement tel 'lue: présenté à la f1gul'(' f12.137 - 1"2.138. Si P = 120:-J et Q = 60 N. d('lc'nlIÎllcz les distances x et z nft.'CsslIirc·$ pour conserver l'équilibre dl! ,,)'~tènlC.

pOliT fotn' ,()llltllllllll;~

L'~ plohlj'"I1'~ SIlÎ\.lIlt~ \0111VOIl\II\ 1111 d'lllll

il

Prob'èmes sJpplllmen~3.lIl 1)00 1(.'poids di' lu cord"

(·t

tou((' clf.fonllnl

1.

En négligl';;uil

ion ctl,Il>licjllr. C'I)lll'C'V(':t, 1111 prIJgnHlIlI1(' el la tcnslou duns les Sl:('UCJlIl> AC l't Be de

permettant pouls W tire If' carnkm vers le 11 réaction RI et B2 sur les points ùe contact. Ces forces, appliquées }Iar Il:' sol sur Je camion, font partie dcs [orees externes agissant SW' le véhicule. En tirant sur le cable, les hommes produisent une {oree {le traction F sur le pare-chocs, qui tend ~ldéplacer le camion en lign(" droite vers l'avant, Le véhicule sc met effectivement CH nlOUVCI111?lll puisque aucune foret: externe ne S')' oppose. (Pour simpli Her, nous lléglig~oll~ iCi les force de résistance au roulcment.) On appelle' ranslotto» le InOUVC1H'nt vers l'avant. ail cours duquel toutes les parties ÙU camion restent parallèles à leur position de départ, le plancher demeurant horizontal ct les parois verticales. D'autres forces p(">lIventtransformer le mouvement: par exemple, la force exercée par un cric placé sous l'essieu avant ferait pivoter le ean11011 autour de l'essieu arrière. entraînant ainsi 1I1lt' rotation. Ainsi, chaque force externe agissant

sur

3.3 Prll'lC1Jle de Inmsnussibillé -

67

Forces équivalentes

Figure 3.1

Figure 3.2

rigiri(' peut, si elle n'e 't pas contrée, prO(lue nous Vt'lIOIIS de voir, on peut reformuler ce principe comme suit: lieux forces F ct F' sont ëquioalentes si, el seulement ,~i,elles sont éqttlJ)olletlte... (même grandeur et même direction) et ont le mëme ,n0I1I('11l par: rapport (t un point 0 (1011 né. Les conditions nécessaires et suffisantes il l'équivulence entre df'ILX forces F et F' s'écrivent alors (3.13)

On ("0 dé12 pt la force R par une force unique R flrpli((l1~e selon une nouvelle ligne d'action. Le système d'origine se transforme nin i en une force .R et un vecteur-couple ~fl(figure 3.4&). c'est-à-dire en une force R et lin couple agissant dans Je plan perpendiculaire à R. On appelle torseur cc système force-couple particulier pan.:c que la eombluaison résultante de:" poussée et de rotation correspond à une torsion. La ligne CtiOIl 3.9 permet de projt'ter un vecteur sur la ligne d'action d'un autre vecteur. La projection de l\f~sur la ligll(> d'action de R donne

Le pas dt! torseur s'exprime alors comme suit": (3.62)

5. Les expressions obtenues en projetant le vecteur ....-ouple sur la ligne I1·Q(.1ioodl: R l1 pour le: p.u du torseur sont ind(!pend.mte5 (lu point 0 choisi. La relation 3.53 dl' la scctioo 3.17 permet d'ëcnn- pu rXR=M~

Ce prin.ctf1e a été al>PUquéaux problèmes résolus PR..J.", PIl-J.9 et PR-3.11. i j'ou se tro'uve de~ul't une sitLJati()n où les forces en présence. ne sont ni concourantes, ni coplaaatees, ni parallèles, 10 il)'5:tème

force-couple équivalent au point 1\ eonstste en urne force R et un vecteur-couple M~ qui, 00 génêrnI~ ne sont 110S perpendiculaires entre eux. (POlU" vérifier ln perp.endicularlté entre Il. et ~t~. ou calcule leur produit scalaire: si cehn-cï est ,égal' à zéro, ils sont

pelpeildicuJai'res; si tel n'est pas le cas, R et ~1~ ne sont pas perpendiClÙaires,) Ell.cas de llon-perpendicularit0 enb:e Il et. M~t le s)'Sfème foree-couple (-et donc J • SYJiotèOlf) de forees initial.) f:l8 pourr» pas être redutt fl tUle force uniqtJe. Cependant, on pourrait le l'édu.ire à un torseur, c'est-à-dire à Jo. combtnaïson d'une force R et d'un vecteur-couple 1\-11• dirigés trelon une t:igne d'action eommune appelée l'axe du torseur (figure 3.47). Le pas du torseur se ealcuie par p .s AI lm. POlIr réduire un systènle de forces à un torseur, Ot1suit les étapes su1:\lanl'es;

Réduire le syst'ême de forces il un système force-couple éqUi'V'.d.ell.t (Ut~)à

l'origine O. Déterminer le pas du torseur p il l'aide de !'éqlUltiorl 3.62

Ml _ R'~I~ p= a R

(3,62)

R

&primer 10. reiedon entre le moment du torseur par rapport l'nOll'U:!'ntré!.--ultaot ~t:~ du système force-couple au point 0 par

3;1..1

point 0 et le (3,63)

Cette relation petinet d'id.èntiRer le point o.ù la Ug'li\ed'action du torseur crolse un l'Jao donné, puisque le vecteur IX)SÎtionr est orienté de 0 vers ce point. Ces étapes sont déedtes au problème résolu PR-3.12. Bien que J'identification d'un torseur et dl) point où son axe croise un pbll) puisse pnraitl"c difficile. li}proeédere ceasiste li appliqu-er piusieurs principes et teclutiques présentés tout au lQr~gde ce chapitre. Il est tmportant de bicll vtsualtser et d'assimiler le principe du torseur pour une parfaite comprëheoston du chapitre 3.

•

125

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Problerr

'3.133 Une feullle de tôle pliée est soumise à trois lorces. t e t qu 'illustré. Sachunt clllc' Ic's 1l'ni... fè,r()t'~ uni la 111/'111('gnulCtc'nr P, r(·"lpl.ll'('I.-tC·~ p,lr 1111tur't'ur

équivalcut ri détcrmincz : 1) la gTtmdellr el la direction de La force résultante R. 1,' le pa.\ du torseur: (" l'axe- cllI 1C)r,.('lIr. !J

...1 H

A

( J

'/

...

~

(/

/--

--

n

1,

'l _n

1

..."

'.À._. l

-

Il

... /1'

p

,

Figure P3,133

Figure P3.134

dt' ~rand(,lIr p sont appliquées IIr 1111bloc d'ahunimum tel qu'illustré. nl'lIlplu fc)ret'S t'"\ l"nlf'), ('~t111111(,. ~!.F. = ();

.4., + B "" () ,\ ... ..l..

107.1 kN = 1)

A, = -107.1 k:\

"\,

111--;- Il'\

-

...

,

clan né CJlle le résultnt est !u'gatif, l'hypolhi'ç(· de l'orientation de 1:1 composante A, n'est pas validc : celle-ci t"~tdl' l>1·lllo fJppOM" (\('~ la ~.ll1C'lh·). Etant

C:Hl...ul

fil: .\",

EII suivun! le même ruisonnement ti"E' précédemment,

qUE.'la sonuue des l'oluposanlt"s

011 sait

verticales est III Ille.

A" - ~),S1 kN - 23,5 k . = 0

~\I= -r33,3 10i,1 k;X

lOi 1 ix

En addlnonnant 112.2kN ~1 ï.3Q•

1(>5

k_\l

vecteurs A, et

\ ~I" 011

trouv ('

'IUf'

la réaction i\ l'appui .4 ('si

•

\'(·riflt·utiolt. On l't'III \'i1liant I~ poids dl" la p le cûble : les réactions aux points A et /J.

Figure P4.114

y

r< Di mcnslons Pli

mil'

120

1;

/'

.".-

-

Figure P4.1 15

1\ et 8 est

11

..

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188

4.133 Une trappe de 50 kg el de densité unifonne est supportée par deux charnières sur SOI) côté ,\8 el par nn câble CE. Déterminez la tension clans le câble.

équlI.tlre 111

IUIlI

2.:l0

1l1n1

~

"'00 IIIUI

i\

Dr:'~

A:

.N

: 200 IlltnL

~rlllioll directe le ocntroldc du volume compris entre le plan x:: el la partie illustrée de la surface déflnie p:tr 1'(~(ll1UUOll 2 Ij - 16II(nx - x )(/I:' - :.2)la2Iil• Localisez lc ccntroïde de la section illustrée. coupée circulaire mince par deux plans obliques, 5.145

à

partir d'un tuyau 'J

Ij

!

3.11 "

Ftgure P5.145

.5.146 clljpti(1'

1('

Localisez Il' eentroïde

paJ' un plan ohlkJlIP

tilt

volume illnstré. coupé à partir d'un (.·ylitldrt,

Figure PS.146

247

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')0

1000 ;-.J/ui

III ,-\ 12(MJ \l

III

Il 1

rn

Figure P5.154

La poutre ,\8 supporte deux charges concentrées. Le sol appltqne sur

La poutre une charge Déterminez :

verticale

répartie

«)

lu Ùi:s-tUllll('

l,)

la valeur correspondante

5,155

B

,

l,h

Figure P5.153

5.154

t

k\ 0.3 Il

Situez lu

(1

linéairement

el orientée

~'C"S If'

haut.

= 20 kN/I1I; cie IV n,

polir lacl"l'llt'

1('

du centre de gra\'ité Je l'élément

coort!UIIII('C' ;:

de

IIlacllilll'

il1u$tr(l. '1

40 .j(l ,t.'

,l',

2(1

'1

.~

...:c

hH

1 )illlf' n~i()II~

.1~

t'II 111111

...

150111111

15

~

25"

4U FIgura PS.1 S5

5.156

IIIIU

111111

..

x

Figure P5.156

Sunez If' centre de grl1\'it~ de la piè't'C' en lôk· iI1I1StT~("

5.157

Lot'alistrL Il' centroïde du volume obtenu ombragée autour dl." l'axe des x.

pdT

lu rotation de lu Sl1rf'al'(.·

y

(1

1, f----/I---

Figure P5.158

FIgure P5.157

5.156 La porte" OlIrrésoudre les problèmes traitant des corps liés. Dans ce chapitre. nous anal) eron lrois grandes catégories de structures:

us 1retltts, egalement

appelés [enlies ou puull1:S f ritJ'l(!,ulé~, conçus polir soutenir des charges. ont habituellement stationnaires ct complètement liés. Ils sont constitués exclusivement de poutres droites jointes par leurs extrémités. En conséquence.Ia structure se colllpose uniquement de membres bi/oree. • c'est-à-dire soumis n deux forces égales et opposées orientées selon l'axe {J~l'élément considéré. 2. Les charpentes, égaJenlcnt conçues pOIlI supporter des charges. sont elles aussi habituellement stationnaires et complètement liées. Cepeudant. tout comme la potence de lu figure 6.1. les charpentes 1.

E

A.t (c)

257

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réaction'

aux appuis. La t"Onfigun\tioll des membres et des nœuds «('1111 treillis simple est tellf' AD tire sur If' nœud A (Il' sorte qu'il est en tension. DUll!mJlllnC

du corps libre

roly~on(.'des

rOR.'{'S

Xœud .\

l'

l'

Xœud C

F~ll

Figure 6.8

6.4 Ar.AI)'se à un lreluls par la mélhode

ees nœuds

261

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!?AJO(} N

PROBLÈME RÉSOLU PR-6.l

1000 N

l-l2In--I--.112

'll-(

En utilisant la méthode des nœuds, déterminez la force interne dans les éléments du treillis illustré.

6 UI

6 nI

SOLUTION Diu~rarnme du Ci)rr~ libre de l'ensemble du treillis, On trace d'abord tl! Del de l'ensemble du treillis i les forces externes qui agisSt!nt SUT Ia structure sont les deux charges et les réactions Bl,IX points d'appui Cet E. Il en résulte les équations d'équilibre suivantes:

+~~Alc= 0:

(2000 N)(24

Ill)

+ (JOOON)(12

ln) - &(6

E = +10000 N

=0 E ~ 10000 Ni

Ill)

Cl' = 0

+i~F~= 0:

12f1OO N

3 'FAt)

N

+ 10000

N

+ c, = 0 Cy

;; iOOON~

(lu nœud Iihre ..\., Ce nœud est soumis à deux forces inconnues appliquées par les membres 1\8 et AD, On trace un triangle des forces pour Diagramme

I~---F.\8

Cil B ct par une harre nr1i('III(o(' HII point C. -6.38

I,A' trelllis étant soumis

Ù

la charge illustrée,

déterminez

la force Ù.IlI~chaque

membre de l'armaturr-, y p

., III

'llil

(l,fi

x Figure P6.38

Figure P6.39

Un treillis est constitué de' neuf éléments. 11e t supporté par 1111(' rotule ail point B. par c!C"IIX narres articulées en D et par une barre articulée au polut C. (1) \'(-riO,,/. ~i1(, tretllis est de t)1'f' simple. s'il est isostatique et si les réactions aux appuis sont complète . ,) 'acltallt (Iu If' mome-nt fléchissant suit une décroissance Linéaire, évoluant de 1'1 = PU-! à x = U2 vers AI = 0 à x = L. Lorsqu'une poutre est sournlse uniquement à des charges concentrées, J'effort tranchant est constant entre les charges alors que le moment Iléchissant varie linéairement sur le 111ênlC segment. Par contre. lorsqu'une pout.re soutient des charges réparties, l'effort tranchant et le moment fléchissant se comportent très différemment (PR-7.3).

2

x

-

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7.63 Résolvez le problème ï.29 section 7.6.

l'II

utilisant la méthode

présentée

à la

(~J)

utilisant III méthode présentée

tl 13

7.64 Résolvez I~ problème section 7.6,

7.30

7.65 Résolvez If' problème section 7,6,

7.31 en utilisant la méthode

7.66

présentée

à la

Résolvez If' problème 7.32 en utilisant la. méthode présentée

à la

section ;,6, utilisant la méthode

présentée

à la

7.::>4 en utilisant la méthode

présentée

à la

7.67 Résolvez le problème 7.3.3 section 7,6, 12 kN/ln

c

At--,--_-.----.------"

ln

Eu considérant la poutre et la t'harge' illu:.tr(-('S li la figuI"C Pi.69, a} tracez le' tliagraJlllues dt· l'errurt tranchant ct du moment lléchissant. J)) déterminez la valeur absolue maximale dt, l'(;'1fo rt tranchant t.'t celle du moment Iléchlssant, 7.69

1----1---1---'1--- l ,S rn

0.6 m in Figure P7.69

Résolvez le problème

section 7,6,

E

D

7.68

l'II

---l

7 70

1)

(1 J

En considérant la poutre et la chargE' illustrées à la figure Pï,ïO, tracez les diagramlnes de l'effort tranchant et du moment Iléchissnnt : détermtnez la valeur ubsolue masimale de l'effort tranchant et celle dn

b) moment fléchissant

c ~

0.4

UI

-'011-0---

Figure P7.70

0.8

III ---j

7.71 Hc:soh'cz le problème ; ...(1 section 7,6,

('II

lItjlis~lllt hl méthode présentée

à la

7. 72 Résolvez le problème section 1,6.

7.-[2

t'II

utilisant la méthode

présentée

ù la

7.73 Hésolvez le problème section i,6.

1.39 Cil lItilisant la méthode présentée

à la

7.74 R{osolv('z If.' prohlèlllC' section j,6.

ï.-lO

/\

7.75 fi

J

1))

t'II

Iltili~Jult la III(othodc· pr(> (·t\té(·

It,

En considérant Lapoutre et la charge illustrées à la Agllre P1.75, tracez les diagrall'llllf'S ri...l'effort 1ranchant f't du moment Iléchlssant , détcnninez la valeur absolue maxlmale de "effort tranchant et celle du

moment Iléchissant.

(.'

/)

A

B

1..-51111511115111-1 348

Figure P7.7S

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Les relations ;.5 indiquent que la composante horizontale de Iii tension T

7.9 CAble l1ari\t:.'lIi~lJfIl

353

est la même PH tout point du câble et c1ue la (_'Olnposallte verticale Je T e-st égale à la grandeur ,v de la charge mesurée à partir du point le plus bas. Les équations 7,6 montrent que la tension 1'est minimale au point le plus bas et maximale à l'une des attaches.

"7.9 CÂBLE PARABOUQUE Supposons

maintenant

que le câble r\B soit soumis à une charge tl1lifor-

,.né,ru'lIt ré})(lrtie selou "axe horiZOl/t,,1 (figure 7.lôa). On peut supposer (l'le les câbles (les ponts suspendus sont sollicités (le cette manière étant donné qlle le poids des câbles est faible relativement au poids du tablier, La charge par unité de longueur LV, mesurëa ho ri;:'()111 ale.IU:'I 1, s'exprime en Nzm. On place l'origine du système de coordonnées ail point le plus bas C; la

c /(

grandeur \V de la charge totale portée par le segment compris entre C et le point D, (le coordonnées x et 1), devient alors \\' = 10X. Les relations 7.6. qui donne la grandeur ct l'orientation de la ten ion en D. deviennent alors IV.\'

tan (J=-

IV (a)

(7.7)

t;

De plus. la distance entre D el la ligne (l'action (le la résultante ~f est égale à la moitit: de la distance horizontale entre Cet D (fi~ure 7.16b). En additionnant les moments par rapport à D, on trouve x +~IAIn = {): ,.... x- - 'foU = 0 2 On isole !I pOUf obtenir

.,

C

T.~

/(

x

-

~~

1)

\\' = .. \

(b) Figure 7.16

w.r 1) == 2T o

(7.8)

IJ L

Il s'agit de l'équation d'une parabole d'axe vertic ..ù dont le creux coïncide avec l'origine du système de coordonnées, Un câble dont la charge est répartie uniformérnent selon l'horizontale aura donc une forme parabolique''. Si les points d'attache A ct B sont à la même hautcur. la distance L entre ces points correspond à la portée du câble, et la distance verticale Il (lui les sépare du point le plus bas s'appelle la jlèch(1 (figur(> 7.] l(l). Si l'on connaît la portée cl la Dèche d'un câble, ct si la charge LV l')tlt unité de longueur horizontale est donnée, on. trouve IH tension minimale T« en substituant x = L/2 et y = 11 clans l'équation 7.8. Les relations 7. ï donnent alors la tension et la pente en tout point (lu câble. et l'équation 7.8 tlénnit la forme

(a)

y

du câble. Lorsque les attaches sont à des nrvcaux différents, ln position du point le plus IJtlS du câble reste inconnue (C) et il lillit détermiuer les coordonnées XA, YA. ct X/1, YII des points d'attache. POUl' cc' faire. on pose que les coordonnées de A et H satisfont il. l'équation 7.8 et (fut! X(J - X,.\ = L pt 1)" - '1.'\ = d, ail L et d correspondent respectivement ft la distance horizontale et à la distance verticale entre les attaches (figures ",l7b cl c). L'équation suivante donne la longueur du câble entre son point le plus bas C et SOli extrémité B : 1 + ((II) - )"- dx (Ix

x

C

-t--

YB

cl

_l-

Y.~

e

-

\,\

tB

1:

ail y

(7.9)

'lB

Y... 3. Un cÎlùlt.'tl'lldll sous sou propre 1)C'ltis lit' de slue

l'''lI IIrl('

IX,nîoolf>

(,If

la clHIl~e Il'('SI pas

e

rép;lrtip

selon la clirc>ctionhorizontale. Cependant. si le câble est lissez tendu. l'erreur ('ngI'11~ en supposant une fonnc parabolique est fiuble. La prochaine: section présente UIlO analyse détaillée: de Ct: problème IIllifonnérllf'nt

•

(c) Figure 7.17

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7 120 a 7 123

En vous appuyunt sur la relation établie au problèuie 7.119. solutionof'7. les problèmes indiqués en commençant par résoudre 1(>problème cff' poutre correspondant.

7.120

Problème 7.9-Jn.

1.121

Problême 7.97c.

7.1 2"

Problème 7.991J.

7. Î 2... Problème ï.10OJ,. 7.124 f)(-,nCllllrc'l. qlu' la courbe fOTllléc par un c.îblc supportant une charge répartie lV(X) obéit à l'équation dlITérelllit>llc (r2y/c[xl! =: u.;(x)/l·o, où To est la tension au point If' plus bas du câble. 7 121:' En uûlisalllin relation (.ttlhlit· au problëme 7,J 24 ... J('tcr"litl~~z la courbe formée [lUT un câble de portée L el de Ilèclie Il, supportant ,une charg' répartie Il' ;;;: tVu C60 Ill. La tension Il,a:drnale calculez : a) la Ili'eh(· dll 111; b) la niasse totale du III

7.135

Êvaluez la flèche d'une chaîne de 30

III

tl'f' inférieure à 1800 N.

F1gure P7.136

7.138 Une corde de 50 ni axée:au point A pusse autour d'une poulie en B. En négligeant le frottement, calculez la plus petite des deux valeurs de " de faÇ()n qUf' la

corde soit en état d'équilibre,

sachant que L ... 20

Ill.

Fïgure P7.138 7.139 Un utilise un moteur !Il pour enrouler doucement un câble. tel qu'illustré. Sachant que la masse linéaire du câble est de 0,4 kg/In, évrullf'z la tension maximale dans le câble lorsque ft = 5 m.

~--IOIlI---t

011 utilise un moteur Al pour enrouler doucement un câble, tel qu'illustré, Sachant que la masse linéaire du câble est de 0.4 kg/nl, évaluez la tension maximale clans le câble lorsque. Tt = 3 ln. 7.140

,

Figure P7.139 - P7.140

A gêluclll' du poiut 8, le câble AnDE repose sur une surface rugueuse.

7.141

I.tl 1I1;'1$~f>linp:lln' du câble ptaot dl' 2 kg/ol. estimez la grandeur de la force F lorsque

a

= 3,6

m.

1---0---1

Figure P7.141 - P7.142 7.142 À gauche du point B. II! câble ABDE repose sur une surface nlgueIL'ie. Ut rnass e linéaire du câble étant Je 2 kg/ln. déterminez la grandeur de la force F

lorsque

li

= 6

111.

7.143 U Il câble unifonue UC ruasse llnéalre 0.306 kg/rn est tenu dans la position illustrée à l'aide d'une force P appliquée ail point B, Si P = 180 N cl 8....== 60°,

déterminez : A

a) J,) b

_____

t----a---i.! Figure P7.143 - P7.144

8....:1_' ....

la position du point B: la longueur du câble.

1

7.144 Un càhl(· IInilonl1c (I(~masse linéaire 0.306 kg/m est tenu dans la posilion illustrée à 1';1ldt· d'tille force P appliquée au point B. Si P = 150 N et 8,\ = 60°,

dc,;tc·nui1Î('z. a)

b)

la position du point B; la longueur du câble.

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9.59 et ·9.60 Les figures suivantes montrent lin des pannpaux d'une auge reiuplle d'eau jusqu'au niveau AA'. Eu vous référant à la section ~.2. évaluez la profondeur du poinl d'application C!(' la résultante des forees h~rostali('I"('s agissant sur le prullle:lu (centre de pression).

Problèmos

A--r~~~--~~~-,...-A'

--n---+--II--J j\ __

"'

~...; I_-.--_A'

~

1

Il

li

~ b-I-

Parahole

b

Figure P9.59

j

--

FIgure P9,60

Le couvercle du trou d'accès d'un réservoir d't'au a WI diamètre de 0,5 111. li est fixé au réservoir à l'aide de quatre boulons équidistants. Déterminez la force additionnelle du(' à la pression d't'ail sur chaque boulon lorsqu!" le C!':lItrt' du COllvl:'rclt: ('S( sitllé ù 1.4 HI {'II (It·s~ou· du ilh'C'1I11 d'eau. 9.61

Figure P9.61

11ne trappe tr'1~5.?.oycla le \'CI"1icul" S('r1 dt' SOt'PilPC dl" sO,'el « Elle est ganlée eu POSitiOl1 fermée à l'alde de deux ressorts tel qu'illustré. Sachant qut' chaque ressort exerce lm couple de 1470 N· In, déterminez le niveau d'eau ri nécessaire pour qUE' la trappe S·OIl\Tt". 9.62

·9.63

Déterminez

la coordonnée

x du centroïde

du volume illustrp. (Sugf!l'stinns:

Figure P9.62

a) la hauteur !/ du volume est proportionnelle à la coordonnée x; b) envisagez une antllogje entre cette hauteur ct la pression d'eau sur une surface subillergée.) Calculez la coordonnée> x du centroïde dit \lO)'H11.,. illt usrré. CC' \'011l111t' il étt obtenu (.n c.:ollpunt un C)tlindrC' cllipliqllt' pnr url pla" ohliqll(' (r(or('r('z-volls à lû suggL'stioll du JJToolèlllt· 9.G:3). ·9.64

'1

,.-- --1 "

Ij

....

/

7

111111

6·.

--

FIgure· P9.63

rurn

Figure P9.64

"9,65 Démontrez yUl' Il' système Je fO'r01

.--=---.~r~_--r

r'

-o:::t-.-,...--1----_,.~-.::--r-.-~ 1•• lg -1'1/

-l.-y. Il

(g}

~--------1 .. --------~ (bl

que l'angle XCX' (ligure 9.19b) est deux .fois plus grand que xOx' (ligure e.l9a). Pal- ailleurs, le diamètre X'Y' défir.dt les moments IJt" 1!J0' et le produit d'inertîe ir,u' d'une surface donnée pal' rapport aux axes perpendiculaires Xi et y' fonnant un, angle f} avec les axes x et y. Oô o15tient Je diflll1èb.'e Xi Y' en faisant tourner (l'un angle 2fJ le diamètre 'A'Y, ElSSocié aux moments Ir. l, . et au f>tOO\l:Jt d'inertie l~.La rotation qui ramène le diauilètre cr sur rf/y' (fl9'lï~9.19b) est de même SCJ1Sqlle ("'elfe qui déplace les axes x et 11 sur x' et y (figure 9.19a). Le cercle de Mohr n'est [JaS réservé aux solutions gtn{)bique:s. c'es..tà~dite celles où l'on mesure les paramètres sur des diagrammes précis. Une ébauche du cercle de l'\flohrcornbinée à ]'utilis.ttion judIcieuse dë la trigODO. métrie permet de dériver les relations nécessaires à la solution algébrique d'un problèfite donné {PR·O.e ).

Copyrighted rnaterial

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470

Force-s reparues

fY'.omel'fts d

valeur minimale du moment d'lnertÎt' dl' la surft\Cc'è par rapport à lout axe pa....sant par C est Im.in = 0.300 x lOf; mm", À l'aide du cercle de Mohr; calculez:

nE!ltlfl

l'!i dl' III $urfac·(';

(1)

le produit d'inertie

b)

l'orientation ~~ axes prinei palLX; la valeur de 1.1\....,.'

c)

9.104 et 9.105 ,\ J'aldo du cercle d," Mohr, déterminez J'orientation des axes centraux principaux et les valeurs correspondantes des moments d'inertie dt' là section des cornières illustrées ci-dessous. (Les propriétés de la section des cornières sont données à la figure 9.13.)

!II

tft

mm-i

19,05 12,7 tllllfi

11 6, 1.

.~ .,

-

~

r

- L 121 x 76 x 12.1

25.2

Iii III

(

.:' . _:ar.:- .

111111

.:

C

:~I

Li6x51)( 5,4-

...

•

x

C

J

t

,~

51 lIl"l

L271 min

]2 ..52 Illlll

••

44.5 mm

7r. "lin

. 112.1 n'Ill

--1

-6.41f1nl

Figure P9.104

~761nm--l Figure P9.105

·9.106 Les moments et If' produit d'lnerne d'une surface do~ée par rapport li deux axes centraux orthogouuux :r: ('t IJ sont respecûvement 1( ... 1200 mm" et 1'.1 = 300 mm", Sachant qu'après la rotation (1(-'$ axes de 30° (l,,\I)$lc 5('IISulltihorairc autour du centroïde le 11101l1ent d'inertie rek,Uf à J'a.\;t· des r est de 1450 Il)111'', déterminez à l'aide du cercle de Mohr:

l'orientation des R,.Xt'$ princtpaux , les moments centraux prîncipaux d'inertie.

a]

J) J

1ue.

_ 9.107 On sait pour tint' surface donnée. I!I ;;;; 48 X 1Cf mm' et LIlI = -20 x lOU mm , x et !I étant des axes centraux orthogonuux, L'lI.X(' œrrespondant au produit d'inertie' maximal est obtenu en faisant pivoter l'axe des r autour de C do 67,5° da os le ens antihorurrc. )\ l'aide du cercle de Mohr, déterminez:

-

le moment dlnc>rtil" 1" dt' la :oIlIrfa('('; les rnornents centraux principaux c!'i,\('r!ic.

a)

,,) 9.108

À raide du cercle dl' Mohr, démontrez uur résoudre des problèmes d'(o((1uLiurc, ~O1l5 avons d'abord d~jlIl11(,trnvni! d'unrjorc: Ji' corrcspondau: fi lin clépl(lc...·,lll"nt in.fiuitésillUll (section 10,2) Je sorte que

ur

llU - F' (Ir

(10.1i

c'est-à-dire (ln,~IICI est obn-un l,ur l,.>produit scalalre (le la force F ct du dé-plilt'('HI('nt (Ir (f1Wlrt' t(',16 i\(lIIS avons nlors litT - F ils cos cr

(10.1' J

1\

Figure 10.16

F,•

011

(/(1 - travail Je ta force F: F - gl .UIÙl'llJ' Lit' la forcl' F, ils = grandeur du déplacement : ct = angle {uriné l'nt ri: F ('l (Ir.

Alors,

au» (lU

Cl

= Il

si

Q'

<

9()~;

sl Cr = SOu;

clU < () si

ct

> 90':).

Le tri/t,;aU r/'ull COUplL'(/1.' montent ~1 tlgiS!it1ul sur un corps rigidl' se calcule par ,lU - .\1,10 oü dO = angle lllfillitt!!iÎlnaJ