[M. E. BALLVÉ] - MATEMÁTICAS ACCESOS A LA UNIVERSIDAD VOL I

n

2

t (x) = sen(x) 1

3n

T

2n

Matemáticas Acceso a la universidad

Volumen 1

María E. Salivé, Emilio Bujalance, José A. Bujalance,

Antonio F. Costa

Miguel Delgado, Arturo Fernández, Víctor Fernández, Pedro Jiménez, José L. de María, Ernesto Martínez, Ana M. Porto, Teresa Ulecia U.N.E.D .

•

sanz y torres

Prólogo Al estudiante del curso de acceso a la universidad se le pide un reto difícil: en un año debe tener los conocimientos y capacidades para enfrentarse a los estudios universitarios. Afortunadamente hay dos factores primordiales que hacen de este reto , no un proceso intimidante, sino apasionante, que son el deseo de ser universitarios y las ganas de superar el curso por parte de aquellos que se matriculan en él. Sin necesidad de estadísticas podemos asegurar la ilusión en aquellos que se enfrentan por primera vez a unos estudios preuniversitarios y que en muchas ocasiones tendrán que compaginar con obligaciones familiares o laborales. Con esto obtenemos una situación ideal de aprendizaje porque el mejor alumno es el que desea estudiar. Los autores del libro, profesores desde hace muchos años en la UNED, somos conscientes de esta situación y hemos elaborado el texto también con ilusión, intentando introducir los conceptos básicos de la Matemática necesarios para poner al lector en condiciones de iniciar otros más profundos ya en los primeros cursos de los Grados de Ciencias, de Ingenierías, de Economía y de ADE. Por razones de carácter didáctico, se ha dado un tratamiento elemental a los distintos temas evitando entrar, en la mayoría de las ocasiones, en demostraciones que podrían resultar difíciles para el alumno en su primera toma de contacto con la teoría. Pero hemos suplido la ausencia de demostraciones con ejemplos introductorios a los conceptos. Nos interesa más la familiarización con las ideas que una formalización que resultaría más un obstáculo en el progreso en estos niveles que un estímulo. Por ello los temas se han seleccionado cuidadosamente para que nada fundamental falte y previamente a las definiciones se han explicado ejemplos que las motiven y justifiquen. Además hay ejercicios resueltos para que el estudiante adquiera soltura, y finalmente unos ejercicios de autoevaluación para que el alumno compruebe su avance. El estudio del texto, como todo estudio científico, exige paciencia y rigor. No se puede hacer a saltos. Habrá que asegurarse el haber aprendido lo previo para poder seguir adelante. Es la forma de proceder del científico: asentar lo ya andado para dar un paso más.

Si el alumno estudia de esta manera obtendrá su recompensa atisbando el fabuloso mundo de los números, el álgebra, la geometría y el análisis matemático. Casi seguro que disfrutará de sus nuevas habilidades "matemáticas" y entrará en contacto con una forma de pensamiento riguroso y a la vez creativo. Los autores hemos elaborado el texto con estas ideas en mente y con la esperanza de que sea útil para los estudiantes del curso de acceso a la universidad a los que damos la bienvenida a las Matemáticas. En el primer volumen se tratarán los temas introductorios de Estadistica, Probabilidad, Álgebra y de Geometría, dedicando el segundo volumen al Análisis Matemático. Las herramientas que en ellos se aprenden son las básicas y necesarias para poder entender las cuestiones relativas a la Matemática teórica y aplicada que los alumnos utilizarán en sus futuros estudios. El libro, independientemente de estar escrito para el Curso de Acceso Directo, puede ser utilizado por otras personas que deseen introducirse en estas materias. Los Autores

,

Indice General Preliminares. Números y conjuntos P-1 Números enteros 1 P-2 Números racionales 6 P-3 Números irracionales y números reales 9 P-4 Desigualdades y valor absoluto de un número real 11 P-5 Potencias de números reales 12 P-6 Ecuaciones e inecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones 14 P-7 Ecuaciones de segundo grado 17 P-8 Definiciones de conjunto y subconjunto 19 P-9 Operaciones con conjuntos 24 Tema 1. Estadística y probabilidad 1-1 Estadística descriptiva 29 1-2 Probabilidad 34 1-3 Probabilidad condicionada 39 1-4 Principios básicos de la Combinatoria 41 1-5 Variaciones, Permutaciones y Combinaciones 45 1-6 Aplicación de la combinatoria al cálculo de probabilidades 57 1-7 Conceptos clave 63 1-8 Autoevaluación 65 Tema 2. Polinomios. Fracciones algebraicas 2-1 Concepto de monomio 69 2-2 Binomio de Newton 70 2-3 Concepto de polinomio en una variable 74 2-4 Valor numérico de un polinomio 75 2-5 Operaciones con polinomios 76

VII

Indice General

2-6 División Euclídea de polinomios 79 2-7 Descomposición en factores de un polinomio 85 2-8 Fracciones algebraicas 86 2-9 Conceptos clave 90 2-10 Autoevaluación 91 Tema 3. Elementos de geometría. Trigonometría

3-1 Puntos y rectas 95 3-2 Medida de longitudes de segmentos y ángulos 98 3-3 Triángulos, triángulos semejantes y teorema de Tales 104 3-4 El Teorema de Pitágoras 110 3-5 Razones trigonométricas de ángulos agudos 113 3-6 Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo agudo 116 3-7 Algunos cálculos sencillos de razones trigonométricas 119 3-8 De las razones trigonométricas al ángulo 122 3-9 Algunas aplicaciones de la trigonometría 122 3- 1O Fórmulas para el seno y el coseno de la suma y diferencia 126 3-11 Coordenadas 127 3-12 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera 132 3-13 Conceptos Clave 140 3-14 Autoevaluación 142 Tema 4. Matrices y determinantes

4-1 Concepto de matriz 14 7 4-2 Tipos de matrices 150 4-3 Operaciones con matrices 152 4-4 Matriz inversa 162 4-5 Determinantes 163 4-6 Cálculo de un determinante por filas o columnas 166 4-7 Propiedades de los determinantes 173 4-8 Cálculo de la matriz inversa por determinantes 175

VIII

Indice General

4-9 Rango de una matriz 180 4-1 O Conceptos clave 185 4-11 Autoevaluación 185 Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales 5-1 Ecuaciones lineales 189 5-2 Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones y clasificación 191 5-3 Sistemas equivalentes 196 5-4 Métodos de resolución de sistemas 201 5-5 Matrices asociadas a un sistema de ecuaciones 212 5-6 Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales 213 5-7 Método de Cramer 216 5-8 Teorema de Rouché-Frobenius 219 5-9 Conceptos Clave 225 5-1 O Autoevaluación 226 Tema 6. Geometría vectorial del plano 6-1 Vectores del plano 231 6-2 Operaciones con vectores 237 6-3 Producto escalar 240 6-4 Combinación lineal de vectores 245 6-5 Rectas del plano y vectores 249 6-6 Ecuaciones de una recta 250 6-7 Posiciones relativas de dos rectas en el plano 255 6-8 Problemas métricos en el plano 260 6-9 Conceptos Clave 267 6-1 O Autoevaluación 268 Tema 7. Geometría vectorial del espacio 7-1 Espacio, puntos y coordenadas 271 7-2 Vectores del espacio 273 7-3 Producto vectorial 279

Indice General

7-4 Puntos y rectas en el espacio 281 7-5 Planos en el espacio 285 7-6 Posiciones relativas de dos planos en el espacio 291 7- 7 Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio 296 7-8 Posiciones relativas de dos rectas en el espacio 298 7-9 Problemas métricos en el espacio 301 7 -1 O Conceptos Clave 306 7-11 Autoevaluación 309

Índice de símbolos 313 Índice de términos 315

X

J w•t [r':.,•. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Preliminares. Números y conjuntos

En este tema introduciremos algunos conceptos básicos que son necesarios para seguir adecuadamente el estudio de este libro. Estudiaremos los números enteros, racionales y rea les, las operaciones entre ellos y sus principales propi edades. Después introduciremos las ecuaciones y estudiaremos las ecuaciones lineales y las de segundo grado, para acabar el tema con unas nociones sobre conjuntos. El objeto del epígrafe P-1 es introducir a lgunos resultados básicos de los números enteros. Se sigue con el máximo común divisor y e l mínimo común múltiplo de varios números. En el epígrafe P-2 se introducen los números racionales, que surgen de forma natural como coc ientes de números enteros, y en ellos se estudian sus operaciones as í como la expresión decimal de un número racional. En el epígrafe P-3 se introducen los números irracionales y los reales y se estudian sus propi edades. Se sigue con las desigualdades entre números reales y el valor absoluto de un número real en el epígrafe P-4 . Después, en el epígrafe P-5 , se estudian las potencias de los números reales. En los epígrafes P-6 y P- 7, se estudian las ecuaciones lin ea les y cuadráticas ele una va ri ab le. Por último en los epígrafes P-8 y P-9 se hace una breve introducci ón a los conjuntos y a las operaciones entre conjuntos , respectivamente.

P-1 Números enteros La idea de número surge como resultado ele comparar una cantidad con otra, es decir, como consecuencia de medir una cantidad, puesto que medir una cantidad es compararla con otra a la que llamamos unidad. Agregando unidades formamos cantidades que representamos por números. Empezamos con los números enteros, que constituyen una ampliación de los naturales. • Los números naturales, también llamados enteros positivos, son los números que utilizamos para contar 1, 2, 3, 4, 5, . El número 2 surge al agregar un a unidad al número 1, el núm ero 3 surge al añadir una unidad al número 2 y así sucesivamente. • Los núm eros enteros son los números naturales, sus negativos, también llamados enteros

1

Preliminares. Números y conjuntos

negativos, y el O. Obsérvese que el número Ono se considera un número natural. Sean a y b dos números enteros. A partir de las operaciones suma y producto, a + b y a b (ó a· b) es fácil definir otras operaciones llamadas diferencia (también resta o sustracción) y división. Definición. Llamaremos diferencia a - b de estos dos enteros, a y b, a otro entero d que satisfaga la igualdad a = b + d.

Si a = 7 y b = 5 , entonces a - b = 2 ya que 7 = 5 + 2 . Definición. Si a -:t. O y b = a · q para algún número entero q, diremos que a divide a b, y se escribirá a I b.

• Otras expresiones equivalentes son a es un divisor de b, a es un factor de b, bes múltiplo de a. Por tanto -3 divide a 12 puesto que 12 = (-3) · (-4 ), y 6 no divide a 21 puesto que no existe ningún entero q tal que 6 · q = 21. •Nota: Sea a-:t-0. Entonces a¡o, ya que O= a-0. Es evidente que aja. Por otra parte, llb, paratodobyaqueb = 1 ·b.

• Si un número a es múltiplo de 2 diremos que es par. Si un número no es par diremos que es impar. • Diremos que b > a si existe un número natural n tal que b = a+ n. Diremos que b ¿ a si b es mayor o igual que a, es decir, b > a ó b = a. Así 8 > 5 ya que 8 = 5 + 3. El siguiente cuadro nos establece los criterios de divisibilidad de un número entero por 2, 3 ó 5. Escribamos un número natural a en la forma a = ªkªk- 1... a 0 . Por ejemplo, si a es el número 78934, entonces a0 = 4, a 1 = 3, a2 = 9, a3 = 8, a4 = 7. a es divisible por 2

si y sólo si

a0 es divisible por 2

a es divisible por 3

si y sólo si

ªo+ ª1 + ··· + ªk es divisible por 3

a es divisible por 5

si y sólo si

Ejercicio 1 Estudie si a= 38220 es divisible por 2, 3, 5.

2

a0 es O ó 5

Números enteros

Solución. Para este número tenemos que a 0 = O, a 1 = 2, a 2

=

2, a 3 = 8, y a 4

=

3.

Como a 0 = O es divisible por 2, entonces a es divisible por 2. Como 3 + 8 + 2 + 2 +O= 15 es divisible por 3, entonces a es divisible por 3. Como a 0 = O, entonces a es divisible por 5.

o

Definición. Llamaremos valor absoluto de un número entero n, al mismo número si el número es un entero positivo o nulo y al opuesto, es decir - n, si el número es un entero negativo. Al valor absoluto den lo designaremos porlnl, entonces lnl = n si n ~ O,

lnl = -n si n < O.

El valor absoluto del número 5 es l 5 I = 5, el valor absoluto de - 3 es l- 31 valor absoluto de -7 es 1-71 = - (-7) = 7, el valor absoluto de O es I O 1 = O.

-(-3)

3, el

• Dados dos números enteros, por ejemplo 15 y 6, se tiene que existen dos números enteros, q y r con O :s; r < l61, tales que 15 = 6 q + r . En este caso obsérvese que los únicos valores que verifican esto son q = 2 y r = 3. Este resultado constituye un famoso teorema en teoría de números que fue conocido por los griegos en el siglo III a. C. y se denomina Algoritmo de la División, cuyo enunciado general es el siguiente.

*

Algoritmo de la división. Si a y b son dos números enteros con b O, existen q y renteros tales que a = b · q + r, donde O :s; r < lbl. Además q y r son únicos. A los números a, b, q, y r se les suele llamar dividendo, divisor, cociente y

resto.

Ejemplo 2 Dados 3 y 7 se tiene que 3

7-0+3,

O:s;3 1 es primo si y sólo si sus únicos divisores son 1 y p. De la de finición de número primo, resulta evidente que un entero p > 1 es primo si y sólo si es imposible expresar p como a · b, donde a y b son enteros, y ambos 1 1 es compuesto si no es primo. Al estudiar los diez primeros números naturales, obtenemos que 2, 3, 5 y 7 son primos mientras que 4, 6, 8, 9 y 1Oson números compuestos. Observemos que el número 2 es el únicc número primo par. El número I no se considera ni primo ni compuesto y recibe el nombre d1: unidad.

Ejercicio 5 Factorice 276 como producto de primos. Solución. Utilizaremos el siguiente método clásico para descomponer un número es factore~ primos: 276

2

138

2

69

3

23

23

1 donde en cada paso, dividimos el números de la izquierda por su menor divisor. El coci ente resultante se escribe en la columna de la izquierda debajo del anterior. y así sucesivamente . Al final se llegará a un números que es primo, por lo que el siguiente cociente será I y se termim1 el proceso. Obsérvese que 23 es un número primo. Luego la factorización de 276 es 2

276 = 2-2 - 3-23 = 2 -3-23.

o

• Un resultado esencial en la teoría de números enteros es el que asegura que todo númerc entero n > 1 puede factori zarse como producto de primos y, en cierto sentido, esta factorización es única. Este resultado fue establecido por Euclides en el libro IX de sm Elementos.

Ejemplo 6 Es fácil obtener factorizaciones de 48, 124 y 363

5

Preliminares. Números y conjuntos

48 = 2 · 24 = 2 · 2 · 12 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

.

124

2 · 62 = 2 · 2 · 31 = 2

363

3-121 = 3-11

2

2

·

31.

.

D

n

• Nota: Designamos por a el producto de a por a, ... , donde a aparece n veces. A n se le denomina exponente de a. • La última factorización de cada uno de los ejemplos anteriores es la llamadafactorización canónica, que es la dada como producto de primos elevados al máximo exponente. La factorización canónica de los números enteros permite calcular de forma sencilla el máximo común divisor de dos números. Definición. Sean a 1, a 2, ... , a 0 números enteros. Llamaremos mínimo común múltiplo de a 1, a 2, ... , a 0 y lo designaremos mediante m.c.m.(a 1, a 2, ... , a 0 ) al entero positivo más pequeño que es múltiplo de todos ellos a la vez. Por ejemplo, sean a 1 = 4, a 2 que m.c.m.(4, 10, 6, 8) = 120.

8, entonces es fácil comprobar

P-2 Números racionales Muchas veces nos encontramos con situaciones en las que aparecen números fraccionarios y decimales. Así, por ejemplo, se habla de medio kilo de un producto o de un aumento del catorce y medio por ciento, y escribimos 1/2 kilo, 14,5%, respectivamente. Estas cantidades son números racionales y el objeto de este epígrafe es su estudio y el de las operaciones con ellos. Un número racional es un número que se puede escribir como el cociente de dos enteros, donde el entero en el denominador es distinto de cero:

m

- donde m y n son enteros y n n

* O.

También puede expresarse el cociente como m/n. Al número m/n se le denomina .fi'acción. A los números m y n se les denomina el numerador y el denominador de la fracción, respectivamente. Cada número entero n se puede considerar como un número racional pues n = ni 1. Por lo tanto todo número entero es también racional, pero hay racionales que no son enteros.

Ejemplo 7 Los siguientes números son números racionales:

6

Números racionales

2,

5

100

2 ' - 5, 6 '

4

40 ' Too'

O

o

1

a c Definición. Dos números racionales b y d se dice que son iguales o equivalentes si a · d = b · c. Todos los números racionales pueden ser representados por un número infinito de fracciones. Por ejemplo:

-- 1 - - - -2 -3

3

6

--3

- -_ 3 - _4

9

-9

12

- _5

-

15

Usualmente, los números racionales se suelen escribir de la forma a/b, donde a y b no tienen ningún factor común. Por ejemplo 42 105

2 5

2·3 ·7 3.5.7

• Este tipo de fracciones (como 2 / 5) se llaman irreducibl es. Es decir, una fracción es

irreducible cuando el numerador y el denominador no pueden dividirse a la vez por un mismo número distinto de I dando resto cero.

Definición. Reducir dos o más fracciones a común denominador es hallar otras fracciones, equivalentes, que tengan todas ellas el mismo denominador. Dadas dos fracciones a / b y c / d la forma más sencilla de encontrar fracciones equivalentes con denominador común, es calcular el m.c.m.(b , d) = m , y después multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción por 111 y operar de la forma siguiente:

a b

m b m

a· -

m c. -

d

c

' d

m

Ejemplo 8 Dados 1/ 3 y2 / 4 comoelm.c.m.(3 , 4) = 12 , setiene

3

l . 12 3 12

4

2

12

4

2.

.!3

4 12

6 12

o

7

f',.('/i111i11al'es. NIÍ111eros _\ ' co11i1111/o.1

l .ntonces

4 12 y (1 " 12 son fracciones equivalentes a el misnw denominador.

1 13

y 2 14. respecti\ amente. con

• Para poder sumar o restar dos números racionales las fracciones que los representan tienen que tener el mismo denominador. Si no es así . hay que reducirlas previamente a común denom inaclor.

Definición. Sean a / m y b/ rn dos números racionales con el mismo denominador. entonces. la suma o la diferencia es otro número racional que tiene por numerador la suma o diferencia ele los numeradores a+ b ó a - b, y por denominador el denominador común m. - El prod11c/o de dos 111Í111eros l'aciona/es es otro número racional que tiene por numerador. el producto de los numeradores y por denominador. el producto ele los denominadores. -

El coc1e11te · · · /es ¡;ª y des c otro numero · · 1 que 1/e 1,/os n11111cl'os racwna raciona

tiene por numerador el número a· el y por denominador el número b·c.

Ejemplo 9 2

3

4

3

4

2

4 6 + 12 12

10 12·

4 12

-2 12·

.., 3 + = 1 3+5 4 ó

+

2 5

4 3 5 7

5 7 12 35·

3/ 5

18

5 / (1

25

6

12

15 + 20 + ~ 30 30 30 140 210

·I

53

30'

84 150 --210 210

3 2 2 6 4

6

48

74 210 y

- ] 4 8 7 - .- .- . 2 3 6 5

- 224 180

Definición. Se denomina expresión decimal de un número racional a la forma decimal que se obtiene al dividir el numerador por el denominador.

Ejemplo 10 (a)

8

1/2 = O. 5000 ....

(b) 1 / 4

0,25000 ....

(c)l / 3

º· 333 ....

:Vtime rns in·ucio11ulcs

(d) -L

11

= O. 363636.

(e) 11 6 -

O. 16666.

( f) 45 1 22

1· 11ti111ern.1·

reulc.1

= 2 '04 545 ..

• Una l'racción es e.YCtcfa cuando en la división aparece un resto parcial nulo. como en las fracciones (a) y (b). Una fracción espcri1ídicu pura rnando las cifras del rncicnte se repiten en bloques igual es empezando después de la coma. cnmo en las fraccll)nc s (c) y ( d) U na fraccit'in es pcritídico 111/.\/0 rnando las c ifras del cociente se rep it en en bloques igua les. pero no desde la coma. como en la s l'racciones (e) y (t). Estas tre s l'orm as decimales son la s única s que aparece n al ca lcular la expresión decimal ele un núm ero raci ona l. Adcmús todo núm ero decima l de una Je estas tres forma s es la expresió n decimal de un n(1m ero raciona l.

Ejercicio 11 Encontrar la forma fraccion ari a de los números racionales a ) 0,245 Solución.

b)

0,383 83838 ...

C)

a)

Como 1000 · O. 245 = 245. entonces 245 .1 J 000 = O. 245.

b)

Sea q

=

O, 383838 ... . entonces 100 · q

=

0,234323232 ...

38 . 3838383 . .

Tenemos IOO·q- q = 38. Asíq ue9l).q = 38. yporl o tant o.q = 38 199 e)

Sea u = O. 2343 2323 2

. entonces 100000 · q = 23-132 . 323232.

y 1000 · q = 234. 323232.

lu ego 100000 · q .. ¡\ s1

1000 · q = 23432 . 323232 .

( 234. 323232 .. . )

23198.

()9()00 · q -- ~-' ) ' 198 . y por tanto. q· -- 23 198 . 99000

• .Vutu. Los números raci onales junto con los números irrac ion::ilcs que se \·crún en este lema forma n los números real es. De la importancia de estos núm crns ya se dieron cuenta los griegos seis sigl os antes de Cri sto .

P-3 Números irracionales y números reales Como hemos visto los núm eros racionales se pueden expresar como números decimal es periódicos. Además se ha observado que todo número decimal peri ód ico se puede expresar como fracción. y por lo tanto como número racional. Ll amarem os número irrucionul a todo número decimal no peril'ld1co. Por ejemplo l. 12 11 2 111 2 . All!un os números irraci onales surgen del estudio de cuestiones !.!eornétricas. As í. al med ir el co;ie nt e de la longitud ele un a eTrc unlere nci a por el diúmctro~ de la 1111,rna. aparece e l núm ero re. re

= 3. 14159265 ...

Los núm eros racionales e irr::ic ionales forman los números reales. As í.

9

Preliminal"l!s. Números y coniuntos

- 7, O, 7214, J5_2 -4

1, 414213562 ... ,

s.m17

1, 603521621 ... , 3 · re

9, 424 777960 ...

son todos números reales. • Sean a, by c tres números reales; entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedades

Ejemplos

a+ b es real

1 3+- es real 4

a· b es real

5.10023,124267834 ... es real

a+O = O+a = a

2 2 2 - + o = o+ - = 3 3 3

a· 1 = 1 · a = a

(-5) · 1 = 1 · (- 5) = (-5)

a + (b + c) = (a+b)+c

5 1 +(3+~) = (! +3)+6

a·(b·c) = (a·b)·c

3·(re·8) = (3·re)·8

a+b = b+a

7+~ = ~ + 7 3 3 7 7 5·- = -·5 6 6

a·b = b · a

a + (-a) = (- a)+ a = o

Si a* O,

~ +(-; ) = ( -25) +

a·(l/a) = (1/a)·a = 1

~

= o

1 1 3·- = -·3 = 1 3 3

a·(b+c) = a·b+a·c

5·(8+rc) = 40 + 5 · re

(a + b)·C = a·c+b·c

(8 + re)·5 = 40 +re· 5

Si a· b

=

O, entonces a

=

o ó b = o

Si x · 5 = O entonces x

=

o

• Los números reales se pueden hacer corresponder con los puntos de una recta; para ello, basta con señalar en una recta dos puntos , al punto de la izquierda se le asocia el número real O

10

D1:sig110/clculcs,· ,·ulnr oh.w/1110 de 1111111í111eru reo/

y al punto de la derecha el núnwro 1. La representación ck los números enteros se hace

llevando el segmento que va de O a I hacia la derecha o hacia la izquierda tantas veces como indica el valor absoluto del número.

-3

-2

- 1

o

2

3

4

El rt'sto de los puntos de la recta representan números reales. No todos ellos se pueden construir utilizando regla y compás. Los números racionales pueden construirse utilizando el teorellla de Tales. como veremos en el siguiente ejemplo. /\lgunos números irracionaks se pueden construir mediante teoremas geométricos. como el teorema de Pitágoras. Estos lcorclllas pueden verse en el tema 3. Los números reales positivos son aquellos que quedan a la clcrccha de Oen la recta anterior.

Ejemplo 12 Si queremos construir el número 4 / 5. trazaremos una recta por el O distinta a la recta real que pasa por el 1. A continuación se harán sobre ella cinco segmrntos iguales OA. AB. BC. CD. DE y se unirá el punto final E del último segmento con el 1. Postl.?riormente se trazan linea s paralelas a la que pasa por el I y E por los puntos A. B. C y D. El punto de corte de la recta real con la recta así construida que pasa por D. será 4 / 5. E

()

115

215

3/5

4/5

P-4 Desigualdades y valor absoluto de un número real Sean a y b dos números reales. Diremos que a> b si a = b + q. donde q es un número n:al positivo. Diremos que a 2 b. si a > b ó a = h. Así por CJemplo. 1 <

Ji

= 1. 41

3 1 5 O) y de los cuales sólo se eligen un número r de elemento: ( r :C: n) .

Combinación. Una combinación de orden r de A, o una combinación de los n elementos de A tomados de r en r, es un subconjunto, {a¡, a 2, ... , a,.}, de tamafio r, de elementos distintos de A. Dos combinaciones de elementos de un mismo conjunto y del mismo orden son diferente: si ex iste algún elemento no común en alguna de ellas. Con C(n, r) o Cn, r se designa al número de combinaciones de orden r de un conjunto de r elementos, A. Además,

n! r!-(n - r)!

Número de combinaciones.

Euler utilizó la expresión

e~),que se denomina número combinatorio , para escribir e

núm ero de combinaciones de orden r de un conjunto den elementos A :

(nr) 50

n!

r!·(n-r)!"

Variaciones, Permutaciones y Combinaciones

Ejemplo28 Para describir todas las combinaciones de orden tres de los elementos de S = { 1, 2, 3, 4} es sufici ente escribir todos los subconjuntos de tamaño tres de S:

4) 41 ( 3 = 31 · ( ·~ )! = 4 , S¡ = {l , 2,3}, S2 ={1 , 2, 4 }, S3 = {1,3,4}yS 4 ={2,3,4}. 4 3

o

Ejercicio 29 Determínese el número de manos de cinco cartas que se pueden formar con una baraja de 52 naipes.¿Cuántas manos contienen únicamente tres ases? Solución. Un ejemplo de mano posible es 7 de Trébol, 2 de Picas, As de Diamantes, K (rey) de Picas, 1Ode Picas; pero si se escribe 1O P, 7 T, 2 P, K P, AD resulta que se trata de la misma mano . Es decir, el orden, a la hora de describir la mano, no tiene importancia. Por otro lado, no es posible una mano como : 1O P, 7 T, 1O P, K P, 1O P, pues una carta sólo puede aparecer una vez. No se pueden repetir símbolos. Así pues , hay tantas manos distintas como combinaciones de 52 elementos tomados de 5 en 5.

52) 52! = ! ! =2598960 . Cs2.s= ( 5 5 47 Para obtener una mano que posea tres ases, hay que hacer dos elecciones, una correspondiente a elegir tres ases de un total de cuatro 4) 4! C4, 3 = ( 3 = 3! 1! , y otra correspondiente al resto de cartas que no son ases, es decir, elegir dos cartas de un total

de48 48) 48! C4s,2= ( 2 = 2!46!. Por el Principio de Multiplicación, se tiene que el número de manos de cinco cartas con sólo tres ases es: 4! 48! C4 3 · C4s 2 = · - - = 4 · 24 · 4 7 = 4512 · · 3! 1! 2!46! .

o

Ejercicio 30 Se extraen tres bolas de una caja que contiene tres bolas negras, cinco rojas y tres blancas. ¿Cuántas extracciones de esa tres bolas tienen dos bolas rojas? Solución. Es claro que aunque las bolas no sean distinguibles, son distintas (no se puede repetir bola). No tiene importancia si se sacan una a una sin reemplazamiento o las tres a la vez (el orden de salida no tiene importancia). Extraer dos bolas rojas se puede conseguir de dos formas distintas: A, "que se extraigan dos bolas rojas y una de otro color" o B, "que se extraigan tres bolas rojas". Para tener una extracción de A deben hacerse dos elecciones: una correspondiente a las dos bolas rojas entre las cinco existentes, que proporciona C 5 , 2 formas distintas y otra elección de

51

Tema J. l:s1adís1icayprobahilidad

una única bola no roja de las seis existentes, que proporciona C 6• 1 formas distintas. Así pues, las distintas extracciones de A son C 5• 2 · C 6• 1. El número de extracciones distintas de B es C 5 , 3 . Luego, el Principio de Adición nos asegura que el número de extracciones con dos bolas rojas es

e5. 2 . c 6, 1 +c 5. 3 = (5)(6) 2 ¡ + (5) 3

5.4 6 5.4.3 --·-+--1·2 1 1·2 · 3

70.

D

1-5.4 Variaciones con repetición

Ejemplo 31 Con las cifras de A = { 1, 2, 3} se forman todos los números distintos de dos cifras que se pueden obtener. Hay 3 · 3 = 9 y son: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33. Es claro que el orden de escritura de las cifras es importante, puesto que el número 12 es distinto del número 21. Además, se puede repetir cifra. A cada número de éstos se le denomina una variación con repetición de tres elementos tornados de dos en dos. o • Generalizamos este concepto de variación con repetición de elementos de un conjunto A que contien e n elementos (n > O) y de los cuales sólo se elige un número r (r ~ n ).

Variación con repetición. Una variación con repetición de orden r de A, o una variación con repetición de los n elementos de A tornados de r en r, es una r-upla o lista ordenada de tamaño r, (a 1, a 2, ... , ar), de elementos de A. Dos variaciones con repetición de elementos de un mismo conjunto y del mismo orden son diferentes si existe algún elemento no común, o si algún elemento común tiene distinta posición en una lista y en la otra. Con VR(n , r) o VR 11 , r se designa al número de variaciones con repetición de orden r de un conjunto den elementos, A. Además,

Número de variaciones con repetición.

r

11 .

Ejercicio 32 Una persona tiene que rellenar una ficha con 14 campos distintos y en cada campo debe escribir uno de los símbolos de { 1, X, 2 l ¿Cuántas fichas distintas se pueden rellenar? Solución. Una ficha posible es 1X2 l X2 l X2 l X2 l X, es decir se deben repetir forzosamente algunos símbolos. Otra ficha distinta X 121 X2 l X2 l X21X, pues los dos primeros campos son diferentes de la anterior, por tanto , el orden de escritura es importante. Así pues, cada ficha es

52

Variacion es, Permutaciones y Combinaciones

un caso de variación con repetición de 3 elementos tomados de 14 en 14. El número total de fichas es

VR 3, 14 = 3 14 =4782969.

o

Ejercicio 33 La matrícula de un automóvil está constituida por una expresión de cuatro cifras y otra expresión de tres letras. Calcule el número de matrículas posibl es. Solución, Al elegir la expresión de cuatro cifras de una matrícula se puede optar por las siguientes expresiones válidas: 0012, 1221, 2121. Así pues, el número de ellas es YR¡o 4 = 10

4

= 10000.

Al elegir la expresión alfabética se puede optar por las siguientes: BBX, ABX, BXA. Así pues, el número de ellas es 3 YR26 3 = 26 = 17576.

Luego hay

YR10, 4 · YR 26 , 3 =175760000 matrículas distintas.

o

1-5.5 Permutaciones con repetición

Ejemplo34 Se desea saber cuántas expresiones se pueden escribir utilizando todas las letras de la palabra PATATA. Un ejemplo es PATATA y otro distinto es TAPATA pues se leen de forma distinta. La posición que ocupa cada letra importa y se utilizan todos los caracteres. Si marcamos cada letra A y cada letra T de forma que se distingan, entonces expresiones como PA 1I 1A 2T 2A 3 y PA 3I 1A 2T 2A 1, en el que sólo cambian de posición dos letras A, corresponden a una misma palabra: patata. Lo mismo sucede con las letras T, pues las expresiones PA 1T 1A 2T 2A 3 y PA 1T 2 A 2T 1A 3 corresponden a esa misma palabra.

Si N es el número de expresiones distintas solicitado entonces, N· P 3 · P2 es el número de expresiones distintas supuesto que las letras A y T se distinguieran una de otras. También es el número P6. Así pues, 6 ! = 60. 3! · 2! De cada una de esas expresiones se dice que es una permutación con repetición de seis elementos tomados de tres en tres, de dos en dos y de uno en uno. o • Generalizamos este concepto de permutación con repetición de los elementos de un

53

Tema l. Estadística y probabilidad

conjunto A que contienen elementos (n > O) .

Permutación con repetición. Una permutación con repetición de n elementos repetidos de n 1 en n 1, de n2 en n2, ... , de nk en nk, es una n-upla o lista ordenada de tamaño n, (a 1, a 2, ... , an) donde hay unas n 1 componentes iguales, otras n2 componentes iguales pero distintas de las anteriores, y así sucesivamente hasta unas últimas nk componentes igual es pero distintos de todas las anteriores. Además, se debe verificar la igualdad:

n 1+ n2 + ··· + nk= n.

Dos permutaciones con repetición del mismo orden y las mismas repeticiones son diferentes si algún elemento tiene distinta posición en una lista y en la otra. Con PR(n, n 1, n 2, ... , nk) o Pn, repetición de los n elementos.

111

, .. , "k

se designa al número de permutaciones con

Número de permutaciones con repetición. p

pn n , n 1,

... ,

nk

p I1 I

·

n!

pn 2 · ··· · pn k

Ejercicio 35 Una señal deportiva consiste en diez banderas colgadas de una cinta vertical de las que cinco son verdes, tres blancas y dos negras, siendo indistinguibles las banderas del mismo color cuando están desmontadas. ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer? Solución. Una señal es VVVVVBBBNN y otra distinta es BBVVVBNNVV. Luego el orden de posición de las banderas es importante. El número de señales diferentes se corresponderá con el número de pemmtaciones de diez elementos de los que uno se repite cinco veces, otro tres y por último otro dos veces. p I O. 5, 3, 2

10! 5! · 3! · 2!

2520.

D

Ejercicio 36 Una partida de bridge consiste en repartir las 52 cartas de una baraja en cuatro grupos de 13 cartas cada uno, ¿Cuántas formas posibles hay de iniciar una partida de bridge? Solución. Repai1ir las 52 cartas de la baraja para empezar un juego es similar a rellenar una lista de 52 posiciones ( cada carta es una posición) con 13 iniciales de cada uno de los cuatro jugadores . Lo que tenemos que determinar es el número de permutaciones con repetición de 4 el ementos distintos donde cada uno de ellos se repite trece veces, es decir, el número total de

54

Variaciones , Permutaciones y Combinacwnes

formas posibles es Ps2, 13, 13, 13, 13

52! 13! · 13! · 13! · 13!

52! ( 13! ) 4

.

o

1-5.6 Combinaciones con repetición

Ejemplo 37

Se desea detenninar el número de temas compuestas por números enteros no negativos y cuya suma es 14 . Para tal fin, se determinan todas las listas de 16 elementos donde en cada una de ellas hay l 4 que son el símbolo 1 y dos que son el símbolo /, que se utiliza para separar. Se trata de expresiones como: 11111/11111111/1

ó

ll/lll/111111111 ó /Illllll/lllllll.

La suma de los números I de cada lista formada es 14 y cada lista se corresponde con una terna de números que suman 14. Estos números están detenninados por las sumas de "unos" consecutivos. La primera lista se corresponde con la terna (5, 8, 1) , la segunda con (2, 3, 9) y la tercera con (0,7, 7). Corno cada terna de números se corresponde con una lista del tipo indicado, y cada lista de 16 se diferencia de otra simplemente por la colocación de los símbolos /, resulta que hay tantas listas como posibles colocaciones distintas de esos dos símbolos en dos de las 16 posiciones posibles. El número de listas (o ternas) posibles es

o

• Nota: Para cada tema (a, b, c) puede construirse listas de 14 elementos que hagan referencia únicamente a tres componentes distintas, 13, 2ª y 3". Por ejemplo, para la terna (2, 4, 8) se tienen las listas 1ª3ª3ª1 ª2ª3ª2ª3ª3ª2ª2ª3"3"3", 3ª3ª1 ª2ª3ª2ª3ª3ª2ª2ª3ª3ª 1ª3ª y otras más, pues estas tienen dos veces la componente l ª, cuatro veces la 2ª y ocho veces la 3". En el sentido de repetir cada componente tantas veces como indique el valor ele la componente de la tema, se puede decir que el orden ele escritura no es importante y que hay elementos repetidos. Los elementos que se repiten son tres 1a, 2ª y 3ª y se pueden repetir hasta 14 veces en total. A cada lista de 14 símbolos 1 y dos símbolos /, se le denomina una combinación con repetición de 3 elementos tomados de 14 en 14, y le corresponden listas constituidas por tres elementos distintos que se pueden repetir hasta 14 veces. Por ejemplo, a la lista de 14 elementos del conjunto { 1", 2", 3"}, 1ª3ª3ª 1ª2ª3ª2ª3ª3"2ª2ª3ª3"3ª le corresponde la Iista de 16 elementos con 14 elementos 1 y dos elementos/, l l/1111/11111111. • Ahora se generaliza el concepto de combinación con repetición de k elementos distintos tornados den en n.

Combinación con repetición. Una combinación con repetición de k elementos repetidos tomados den en n es una (n+k-1 )-upla o lista ordenada de tamaño (n+k-1 ), (a 1, a 2 , ... , ªn +k-l ) donde hay n componentes iguales entre sí y otras k-1 componentes iguales entre sí pero distintas de las anteriores. Dos combinaciones con repetición del mismo conjunto y del mismo orden son diferentes si existe algún elemento no común, o si algún elemento se repite menos veces en una lista que en

55

Tema 1. Estadística y probabilidad

la otra. Con CR(k, n) o CRk, n se designa al número de combinaciones con repetición de k elementos iguales tomados den en n. Número de combinaciones con repetición.

CR k,n

= (n+k-1) = (n+k-1)! k-1 (k-l)!·n!

Ejercicio 38 Se tienen 12 caramelos iguales que serán repartidos entre cuatro niños. ¿Cuántas formas distintas hay de repartir los 12 caramelos a los 4 niños? Solución. Si cada caramelo se representa por la letra C, el repartir los caramelos consiste en hacer expresiones con 12 símbolos C y tres símbolos/. Así el reparto de 2 caramelos al primer niño, 3 al segundo, 3 al tercero y las 4 restantes al último se representa con la expresión literal CC/CCCICCCICCCC. Por tanto, hay tantas formas distintas de repartir los caramelos iguales entre los cuatro niños como combinaciones con repetición de 4 elementos iguales tomadas de 12 en 12:

15) (151 15! CR4,12 = ( 3 = 12) = 3!. 12! = 455.

D

Ejercicio 39 ¿Cuántos números enteros comprendidos entre 1000 y 9999 verifican que la suma de sus dígitos es 9? Solución. Si el número de cuatro cifras empieza por el dígito d con 1 ~ d ~ 9 , entonces cada forma de rellenar las otras tres posiciones debe cumplir que sumen 9 - d. Hay CR 3 9 _ d números distintos que empiezan por el dígito d. Al aplicar el Principio de Adición, se tiene que el número pedido es: 9

I

165.

CR3,9-d

d=l

D

d = l

• Al trabajar con números combinatorios se utilizan las propiedades siguientes:

(~) - (n ~ r) (~) - (j = 1

si O~r~n,

y

(~)

1 (~~:)+(n; )

si

1 ~ r ~ n- 1,

(7) = (n ~ J = n·

También, se escriben los números combinatorios distribuyéndolos en forma de triángulo

56

Aplicación de la combinatoria al cá !culo de probabilidades

(triángulo de Pascal) como regla nemotécnica para recordar los valores de esos números combinatorios.

(~)

(D

(¿) (~) (~)

(~)

(n

(~)

(~)

se expresa como

(~)

2 3

3

1-6 Aplicación de la combinatoria al cá lculo de probabilidades Determinar el número de sucesos elementales contenidos en el espacio muestra! equiprobable correspondiente a un experimento aleatorio (número de casos posibles), o el número de sucesos elementales contenidos en un suceso cualquiera (número de casos favorables) puede ser un problema difícil si no se emplean técnicas combinatorias. En los siguientes ejercicios se ejemplifica el uso de la combinatoria en el cálculo de probabilidades.

Ejercicio 40 Se elige al azar un número de cuatro cifras. Determine la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que se obtenga un número en el cual no se repite ningún dígito. b) Que se obtenga un número divisible por 5. c) Que se obtenga un número divisible por 4. d) Que se obtenga un número divisible por 20. Solución. La probabilidad de obtener un número de cuatro cifras o cualquier otro es la misma, por ello, el espacio muestra! está constituido por sucesos elementales equiprobables y se puede aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de un suceso. El primer paso consiste en determinar el número de elementos del espacio muestra! equiprobable; es decir, los casos posibles. 2134 y 2314 son dos números distintos, por tanto, importa la posición de cada cifra. 2213 es un número de cuatro cifras, es decir, se puede repetir cifras. 0213 no es un número de cuatro cifras. Se trata de elegir una cifra del I al 9 para el primer dígito y tres cifras del O al 9 para los dígitos siguientes. Casos posibles

=

(Nº de elecciones cifra 1°) · (Nº de elecciones tres cifras restantes)

=

V9, 1 . VRl0, 3·

=

El segundo paso consiste en determinar el número de elementos que constituyen el suceso: los casos favorables. a) SA = {números de cuatro cifras sin repetir}. Se observa que el número 2212 no pertenece a SA.

57

Tema 1. Estadística y probabilidad

Casos favorables = (Nº de elecciones 1ª)-(Nº de elecciones tres cifras)= V 9, 1 · V 9, 3.

9.3.7 v9,3 63 P(S ) = Casos favorables = V 9, 1 · V 9, 3 125. A Casos posibles V 9, 1 · VR 10 , 3 VR 10 , 3 10 3 b) SB = {múltiplos de cinco}. Se observa que un número pertenece a SB si acaba en 5 o en O, por ejemplo 1535

E

SB.

Casos favorables= (Nº de elecciones 1ª) · (Nº de elecciones dos cifras) · (Nº de elecciones última cifra)= V9, 1 · VR10,2 · V2, ¡. P(SB) = C asos f:avorables = V 9, 1 · VR 1o, 2 · V 2, Casos posibles V 9, 1 · VR 10 , 3

¡

10 2 · 2 10 3

e) Se = {múltiplos de cuatro}. Un número es divisible por4 si sus dos últimas cifras forman un número divisible por 4. Además, para que un número de dos cifras sea divisible por 4 hay dos posibilidades: · El primer dígito es del conjunto {O, 2, 4, 6, 8} y el segundo del conjunto {O, 4, 8}. Nºdenúmeros = V5, 1 -V 3, 1 = 5-3 = 15. · El primer dígito es del conjunto {l, 3, 5, 7, 9} y el segundo del conjunto {2, 6}. Nºdenúmeros = V 5, 1 -V 2, 1 = 5 -2 = 10. Así pues, Casos favorables = (Nº de elecciones 1°) · (Nº de elecciones 2ª) · (Nº de elecciones de números de dos cifras divisible por4) = V 9, 1 · V 10, ¡ · V5, ¡ · (V3, 1 + V 2, ¡), y por tanto, P(SB) = V 9, 1 · V 10, 1 · V 5, 1 · (V 3, 1 + V 2, 1) V9, 1 · VR10,3

25 100

1 4

d) S0 = {múltiplos de 20}. Para que un número sea divisible por 20 su última cifra debe ser un O (para ser divisible por 1O) y la penúltima debe ser ó O ó cifra par (para que el número al dividirlo por 1Osea divisible por 2). Casos favorables = (Nº de elecciones 1ª) · (Nº de elecciones 2ª) · (Nº de elecciones 3ª) = =V9, 1 · V10, 1 · V5, 1, así pues, P(Ss) =

58

V

.y

.y

10, 1 5, 1 Y9, ¡ · YR10,3

9, 1

5 100

D

Aplicación de la combinatoria al cá !culo de probabilidades

Ejercicio 41 Se extraen tres cartas de una baraja española y se pide determinar la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Obtener tres figuras (sota, caballo o rey). b) Obtener una pareja (dos cartas del mismo valor). c) Obtener tres cartas del mismo palo. Solución. Las cartas de una baraja española son 40 distribuidas en cuatro palos (Oros, Copas, Espadas y Bastos) y numeradas del l al 1O las cartas de cada palo (8 = sota, 9 = caballo, 1O= rey). Al extraer tres cartas nos da lo mismo escribir 80, SC, 38 que 38, SC, 80, pues se tiene el mismo grupo de cartas. Además, al experimento le corresponde un espacio muestra! de sucesos elementales equiprobables (y aplicaremos la regla de Laplace) pues es igual de "fácil" obtener una determinada carta que otra cualquiera y análogamente para obtener tres cartas.

Nºdecasosposibles = C40 , 3 =

(~º)

=

~~! ! = 9880. 37 3

a) Un caso favorable consiste en tres figuras elegidas entre doce que posee la baraja.

Nº de casos favorables = C 12 , 3 =

luego,

P( {tres figuras}) =

e 12 3 C

=

40,3

(132)

___!3J_ = 22 O 9! · 3!

220 11 = 494 9880

~

'

0,022 .

b) Para obtener una pareja de un cierto valor se tienen que elegir sólo 2 cartas entre 4 que son de ese valor y elegir otra carta que no posea el mismo valor, entre las 36 restantes. Además, ha de elegirse el valor de la pareja entre I Ovalores distintos que hay. Nº de casos favorables =

(Nº de valores)· (Nº de parejas)· (Nº de elecciones tercera carta) =

1·36

4 1O· C4 , 2 · 36 = I O · ( 2; luego,

4! 10·2!•2!·36 = 2160,

. 10 · e 4 . 2 · 36 2160 s4 P({pareJa}) = C = 9880 = 247 ~ 0,218. 40,3

e) Para obtener tres cartas del mismo palo hay que determinar el palo y elegir 3 cartas entre 1Oque hay de dicho palo.

Nº de casos favorables = (Nº de palos)· (Nº de conjuntos de tres cartas) =

10! =4·C 103 = 4 · - - = 480 7! · 3! ' ·

59

Tema l. Estadísticayprobabilidad

c 10, 3

4.

luego,

480 9880

P( l mismo palo J ) = - - C40, 3

12 24 ~ 0,048 . 7

o

Ejercicio 42 De una baraja española se extraen cinco cartas. ¿Cual es la probabilidad de que no se extraigan cuatro cartas del mismo palo') Solución. Sean A el suceso de obtener cinco cartas tales que cuatro no son del mismo palo, y A el suceso complementario de A, obtener cinco cartas tales que cuatro son del mismo palo. Con estos dos sucesos se tiene la relación

P(A) = 1 - P(A). Para determinar la probabilidad de A se observa que A = B u C con B n C = 0, donde, B = {únicamente cuatro cartas del mismo palo} y C = {cinco cartas del mismo palo}.

Nº casos favorables (B) = (Nº de elecciones de dos palos) · (Nº de elecciones de cuatro cartas de un palo)· (Nº de elecciones de una ca1ia de otro palo) = V 4 , 2 · C 10 , 4 · C 10 , 1.

Nº casos favorables (C) = (Nº de elecciones del palo)· (Nº de elecciones de cinco cartas de un palo) = C 4 , 1 · C 10 , 5 . Nº casos posibles

=

C 40 , 5 =

~~! ! 35 5

=

658008.

Así pues,

P(B) =

v 4. 2 · c 10. 4 · c 1o, 1 c4o. s

P(C) =

c4. 1· C10.s c4o, s

25200 658008 ~ 0,038297

1008 658008 ~ 0,00153 '

P(A) = P(B) + P(C) = 25200 + ~ 658008 658008 P(A) = 1 - P(A) = 1 -

26208 658008

~

0,96018.

26208 658008 ~ 0,03982 '

o

Ejercicio 43 ¿Cuál es la probabilidad de e legir un número de tres cifras que sea múltiplo de 2 o de 5? Solución. Se consideran los sucesos A = {múltiplo de 2} y B = {múltiplo de 5},

60

Aplicación de la comhinutoria al cá /culo de prohahilidades

evidentemente A n B = {múltiplo de 2 y de 5} = {múltiplo de I O} y A n B El suceso del cual se solicita la probabilidad es A

-etc

0

u B, y se sabe que

P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B). El es pacio muestra! es de equiprobabilidad, por tanto empleamos la regla de Laplace para determinar la probabilidad de los sucesos A, By A n B. Nº casos posibles = (Nº de elecciones I er dígito)· (Nº de elecciones dos dígitos) = Y9, 1 · VR 10 _2 pues e l primer dígito no puede ser O. =

=

900,

Nº casos favorables (A) = (Nº de elecciones I er dígito) · (Nº de elecciones 2º dígito) · (N º de elecciones 3er dígito) = V 9, 1 . y I o, ¡ · Y 5, ¡ = 450, pues la terminación debe ser O, 2, 4, 6 u 8. Nº casos favorables (B) = (Nº de e lecc iones 1er dígito) · (N º de e lecciones 2º dígito) · (Nº deelecciones3erdígito) = Y 9 , 1 -V 10 _ 1 ·Y 2.l = 180, pues la terminación debe ser O ó 5. N° casos favorables(A n B) = (Nº de e lecciones I er dígito ) . (Nº de e lecciones 2º dígito)

= V 9, 1 · Y 10, ¡ = 90, pues la terminación debe ser O. Luego,

P(A

u B)

=

P(A ) + P(B) - P(A

n B)

=

450

900

+

180

900

-

90

900

0,6 .

o

Ejercicio 44 De una baraja española se extraen cuatro cartas, una a una, de forma que cada vez que se extrae una carta se devuelve al mazo de cartas. Determinar la probabilidad de los siguientes sucesos : a) Obtener cuatro unos . b) Obtener cuatro cartas del mi smo valor. e) Obtener una pareja de unos y otra de reyes. Solución. El experimento se puede considerar como un experimento múltiple formado por repetir cuatro veces un experim ento base consistente en extraer una única ca11a. Cada suceso elemental A se describe como una lista de cuatro sucesos elementales del experimento base, por ejemplo, A = (A 1, A 2, A 3, A 4 ). Además, como el res ultado de la repetición de l experimento base es independiente del resultado obtenido con anterioridad, se tiene que los

61

Tema l. Es1adíslica y probabilidad

sucesos A 1, A 2 , A3 y A4 son sucesos independientes y P(A) = P(A 1) • P(A 2 ) · P(A 3) · P(A4). a) Sean los sucesos B 1 = :obtener cuatro unos} y B1= {obtener un uno al extraer una

únicacarta},entonces B¡ = (B\ ,B\ ,B '/ , 8 1 ).Adernás, P(B'¡) = P( 13 1) = P( B1 ) · P( B'i ) · P( B1 ) · P( B¡ ) =

JO)4

4

40 1

J

(

10

Luego ,

0,0001.

10000

b) Sean los sucesos: B = {obtener cuatro cartas de igual valor:, B¡ = {obtener cuatro cartas obtener una carta de valor i al extraer una carta J. Entonces de valor i} y B¡'

=:

10

y B¡ = (B'¡ , B'¡ , B¡ , B¡ ), además.

B

P(B'/ ) = _±_ 40

i= l

P( B¡) = P(B¡ ) · P( 13¡ ) · P( B¡ ) · P( 13¡ ) =

l

10000

0,0001,

10

10

P(B) = P(B 1) + ... + P(B 10 ) =

(110)4

¿ P(B¡) i = 1

1

10·-10000

1

1000

0,001.

e) Sea el suceso D = {2 unos y 2 dieces}. Un caso en el cual se verifica este suceso es si se obtienen 1, 1, 1O, 1O y otro distinto IO, 1, l, 1O. Obsérvese que existen varias listas en las cuales hay dos unos y dos dieces. Hay C: 4_2 listas distintas con las cuales se verifica el suceso D (en realidad, consiste en asignar dos lugares para los unos de las cuatro extracciones que hay). Además , cada lista con dos unos y dos dieces tiene probabilidad

4 4 4 4 -·-·-·40 40 40 40 Luego,

62

P(D)

=

1 10 4

C:4 2. -

'

104

o

Conceptos e/ove

1-7 Conceptos clave De Estadística Población estadística. Conjunto no vacío de objetos de los cuales se observan las características del estudio estadístico. Muestra estadística. Subconjunto no vacío de la población estadística. Variable estadística. Característica observada en el estudio estadístico de una muestra o de una población. Frecuencia Absoluta del valor x;. Es el número ele veces n¡ que ha sido observado este valor de la variable estadística. Frecuencia Relativa del valor x¡. Es el cociente f; _entre la frecuencia absoluta n¡ y el tamaño n de la población o de la muestra. Parámetros estadísticos de centralización: Moda ele la población. Es el valor x¡ de la variable de mayor frecuencia absoluta. Mediana de la población. Es el valor x¡ de la variable tal que la suma de la frecuencias de los valores desde x I hasta él es la mitad del tamaño de la población. k

Media Aritmética de la población:

x

1 NLX¡n¡. i= 1

Parámetros estadísticos de dispersión: k

Desviación Media de la población:

hI

DM

lx¡ - xjn;.

i= 1

k

Varianza de la población:

V

1 N

I

- 2 (X¡ - X) 11¡.

i= 1

Desviación Típica es la raí z cuadrada de la varianza. De Probabilidad Suceso elemental. Es cada uno de los posibles resultados ele un experimento aleatorio. Se representa como un conjunto de un único elemento. Espacio muestra!. Es el conjunto unión de los sucesos e lementales. El conjunto de todos los resultados posibl es de un experimento aleatorio. Suceso. Es cualquier subconjunto del espacio muestra!.

63

Tema l. Estadística y probabilidad

Espacio muestra! equiprobable. El espacio muestra! E={x 1, ... , xn} constituido por IEt=n sucesos elementales tal que P( {x 1 } )

=

1 IEI

-

=

1 n

para cada i = 1, ... ,n .

-

Ley de los grandes números. Si se repite un experimento aleatorio n veces, la frecuencia relativa t;1 (S). del suceso S, se aproxima a la probabilidad P(S) al incrementar n. Regla de Laplace. Sean E= {x 1, x 2, ... , xn} equiprobable y A = { Xj+ 1, ... , xj+k}, con 1 s; j y j+k s; n, entonces P(A) = IAI = k + 1 IEI n

(

Número de casos favorables) Número de casos posibles ·

Función de probabilidad. Una función de probabilidad verifica las siguientes propiedades: 1) P(E) = l.

P :

so (E)

~

[O, 1J

2) Si A n B = 0 , entonces P(A u 8) = P(A) + P(B).

Probabilidad condicionada. La probabilidad de que ocurra un suceso B cuando se sabe que ocurrió el suceso A: P(B / A) = P(AnB)_ P(A)

Sucesos independientes. A y B son independientes si P(B n A) = P(B) · P(A).

De Combinatoria Principio de Multiplicación. Sea A 1, A 2 , ..., A 11 una col ección de conjuntos finitos no vacíos, entonces

Principio de Adición. Sea A 1• A 2 , ... , An una colección de conjuntos finitos disjuntos dos a dos, (i.e., tales que A¡ n Aj= 0 para cada i ~ j, i,j E { 1, 2, ... , n} ), entonces IA1 u A2 u .. . u An l = IA1 l+I A2 l+ .. . +I A,J

Principio del Complementario. Sean el conjunto U y dos subconjuntos, A I y A2, de U, tales que A 1 u A2 = U y A 1 n A2 = 0. Entonces IA2l = IU I- IA 11. Variación. Una variación de los n elementos de A tornados de r en r, es una lista ordenada de tarnafio r, (a 1, a 2, ... , ar) , de elementos distintos de A.

64

Autoevaluación

Permutación. Una permutación de orden n de A es una lista ordenada de tamaño n, (a 1, a2, ... , an), de todos los elementos de A. Combinación. Una una combinación de los n elementos de A tomados de r en r, es un subconjunto, {a 1, a2, ... , a,.}, de tamaño r, de elementos distintos de A. Variación con repetición. Una variación con repetición de los n elementos de A tomados de r en r, es una lista ordenada de tamaño r, (a 1, a 2, ... , a,.), de elementos de A. Permutación con repetición. Una permutación con repetición den elementos, repetidos de n 1 en n 1, de n 2 en n2, ... , de nk en nk, (n 1+ n 2 +··· + nk= n) es una lista ordenada de tamaño n, (a 1, a2, ... , an), donde hay n 1 componentes iguales, otras n2 componentes iguales pero distintas de todas las anteriores, y así sucesivamente hasta unas últimas nk componentes iguales y distintas de las anteriores. Combinación con repetición. Una combinación con repetición de k elementos repetidos tomados den en n es una lista ordenada de tamaño (n+k-1 ), (a 1, a2, ... , ªn+k-l ), donde hay unas n componentes iguales entre sí y otras k-1 componentes

iguales entre sí pero distintas de las anteriores.

V n, r = n(n - 1 )(n - 2) ... (n - r + 1).

Número de variaciones.

Número de permutaciones.

P 11 = n(n - 1 )(n - 2) ... 1 .

Número de combinaciones. C

n,r

=

n! r!·(n-r)! r

Número de variaciones con repetición. VRn, r = n . Número de permutaciones con repetición.

p

n! n , n 1 , . ..• n k

Número de combinaciones con repetición.

CR

k,n

=

(n +k-1 k - 1) = (n + k - 1) . n

1-8 Autoevaluación

Problema 1 Se lanzan una moneda de I euro, otra de 50 céntimos y una de 20 céntimos. Primero se lanza una moneda tras otra, y después se lanzan las tres a la vez. A) El espacio muestra! de cada experimento es distinto. B) El número de sucesos elementales es 8. C) Existen sucesos del segundo espacio que tienen distinta probabilidad que otros.

65

Tema l. Estadística y probabilidad

Problema2 Se extraen dos cartas de una baraja con 40 naipes. La probabilidad de obtener una pareja de ases es: A) Menor que O, 1 si se saca una tras otra y mayor que 0,2 si se sacan las dos a la vez. B) Mayor que 0,2 si se saca una tras otra y menor que O, 1 si se sacan las dos a la vez. C) Es la misma probabilidad en los dos casos y menor que O, 1.

Problema 3 Se tiran dos dados iguales a la vez y se suma el resultado, obteniendo un número par. La probabilidad de que se haya obtenido una suma menor que 4 es: A) Menor o igual que 0,05. B) Mayor o igual que O, 1. C) Es mayor que 0,05 y menor que O, 1.

Problema4 Se extraen dos cartas de una baraja con 40 naipes. Primero se saca una, se anota y se devuelve al mazo; después se extrae una segunda carta. La probabilidad de obtener una pareja de ases es: A) Menoro igual que 0,01. B) Mayor o igual que O, 1. C) Mayor que 0,01 y menor que O, 1.

Problema 5 ¿Cuantos números pares de tres cifras hay? A) 120 B) 450

C) 24

Problema 6 Se extraen tres cartas de una baraja con 40 naipes. La probabilidad de que sean del mismo palo es: A) Menor o igual que 0,03. B) Mayor o igual que O, 1. C) Mayor que 0,02 y menor que 0,06 .

Problema 7 ¿Cuál es la probabilidad de que un número de cuatro cifras sea divisible por 20'1 A) 0,01 B) 0,05 C) O, 1

66

Autoevaluación

Problema 8 Un círculo es dividido en seis partes iguales mediante tres diámetros. Se dispone de seis colores. ¿De cuántas formas distintas se puede colorear sin repetir color? A) 120 B) 720 C) 240

Problema 9 Se extraen tres bolas de una urna que contiene tres bolas rojas, cinco amarillas y tres negras. ¿Cuántas extracciones tienen dos bolas negras? A) 25 B) 60 C) 40

Problema 10 Con 12 conejos se da de comer a cuatro zorros. ¿De cuántas formas se puede repartir esos 12 conejos? A)

(1¡) Soluciones del test 2 3 4 5 6 7 8 9 10 BCCABABAAB

67

-f;t-------------------------1\; ; '

Tema 2. Polinomios. Fracciones algebraicas

En este tema se introduce el concepto básico de polinomio que aparece constantemente en matemáticas, para ello, se definen, en primer lugar los monomios y los binomios, para posteriormente estudiar el binomio de Newton, que es un expresión muy utilizada. Posteriormente, se estudian las operaciones aritméticas entre polinomios y se presenta la descomposición de un polinomio en factores simples. Por último, se introduce las fracciones algebraicas y se estudia su descomposición en fracciones simples

2-1 Concepto de monomio Mucha veces aparecen en matemáticas expresiones del tipo 2x3, 3x 2 y3z. Este tipo de expresiones se denomina monomios. En ellos, la parte numérica se denomina coeficiente, por ejemplo en el primer monomio es 2 y 3 en el segundo monomio. Las letras de la parte no numérica, se denominan variables del monomio. Definición. Un monomio es una expresión algebraica formada por un coeficiente y unas variables, en la que las únicas operaciones que aparecen entre la variables son el producto y las potencias de exponente natural. En el caso de que los monomios no tengan variables, se denomina también monomios a los coeficientes, por ejemplo, el número 3 se puede considerar como un monomio. En el caso de que dos monomios tengan las variables iguales, se denominan semejantes, por ejemplo, 21 x 2y3z y 3x 2y3z, tienen la misma parte en las variables, que es x 2y 3 z. Luego se trata de dos monomios semejantes. Con los monomios, se pueden aplicar operaciones como la suma, el producto y el cociente , al igual que con los números. Así por ejemplo 2lx 2 y3z +3x 2 y3z = 24x 2 y3z, axn + bx 11 = (a+ b) x 11 . La suma de dos monomios semejantes es otro monomio semejante que tiene la misma parte en las variables y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. La suma de dos monomios no semejantes no es un monomio sino un polinomio como veremos mas adelante .

69

Tema 2. Polinomios. Fracciones algebraicas

El producto 7x 2y 3z · 4xy = 28x 3 y4z, axn · bx111= (a · b) x 11 + 111 , así el producto de dos monomios es otro monomio cuya parte en las variables se obtiene multiplicando entre sí las partes de las variables teniendo en cuenta las propiedades de las potencias y cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes. Decimos que un monomio A con coeficientes reales divide a otro monomio 8 cuando cada variable que aparece en A también aparece en 8 y ademas dicha variable tiene en A un exponente menor o igual que el que tiene en B. Por ejemplo , el monomio A = 3x 5 y6 divide al monomio B = x 5/ ' , pero el monomio C = 5xy22 no divide al monomio D = x2 y2, ya que 2 aparece en C pero no aparece en D, y el A no divide al monomio D, pues x aparece con exponente 5 en A y con exponente 2 en D, y es 5 > 2. Si un monomio A divide a un monomio 8, el cociente de entre A es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte en las variables se obtiene dividiendo entre sí las partes de las variables, teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, así por ejemplo 3 3 2

6X y 2 )

3x-y

• Nota: Al igual que con los números , no tiene sentido dividir un monomio entre el monomio o cero, que es el monomio que coincide con el coeficiente cero.

Ejercicio 1 Dados los monomios, 21x 3 y22 4 y 3x 2 z, calcular su producto y su cociente. Solución. Para calcular el producto se multiplican los coeficientes y las variables teniendo en cuenta 2!x 3 y2 24 · 3x 2 z = 63x 5 y2 z 5 . en este caso las propiedades de las potencias: En el caso del cociente, el coeficiente se calcula, mediante el cociente de los coeficientes, en este caso, 21 entre 3, es 7, y por las propiedades de las potencias , la parte de las variables es x( 3 - 2 l y2 zt 4 - 1l Luego el cociente es: 7x y2 z 3 . o

2-2 Binomio de Newton Un binomio es una expresión algebraica formada por la suma de dos monomios, por ejemplo x2 + y, x+3, 2x+4y 3 . • Un binomio al cuadrado es el producto de un binomio por sí mismo. Sean a y b dos monomios, entonces Un binomio al cuadrado de la forma (a + b )2 es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término. (a + b)2

70

=

(a + b)·(a+b)

=

a 2 +2 · a·b+b 2

Binomio de Newton

Ejercicio 2

(x + 3 )2 =

X

2 + 2 · X ·3 + 3 2 =

X

2 + 6 X+ 9

D

• En un binomio al cuadrado que sea la diferencia de dos monomios se tiene que Un binomio al cuadrado de la forma (a - b )2 es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo termino. (a-b) 2 = (a - b)·(a - b) = a 2 -2·a·b + b2 . Así un binomio al cuadrado de la forma (a - b)2 es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo termino.

Ejemplo 3

(2x - 3)2 = (2x) 2 - 2 · 2x · 3 + 3 2

=

4x 2 - 12 x + 9

D

Un binomio al cubo es igual al cubo del primero, más o menos, el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más o menos, el cubo del segundo. (a+ b) 3 = (a+ b)2 (a+ b) = a3 + 3 · a 2 · b + 3 ·a· b 2 + b 3 (a-b) 3 = (a - b/(a - b) = a 3 -3 · a 2 · b+3 ·a· b2 - b 3

Ejemplo 4

a) (x + 3) 3

x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x · 3 2 + 33

=

b)(2x - 3) 3

=

=

x 3 + 9x 2 + 27x + 27 .

(2x) 3 - 3 · (2x)2 · 3 + 3 · 2x · 3 2 - 3 3

=

8x 3 - 36 x 2 + 54 x - 27.

D

11

• Normalmente aparecen en matemáticas expresiones del tipo (x + y) , donde n puede ser cualquier número natural. A partir de las definiciones de los números combinatorios se obtiene el siguiente resultado, que es conocido como el Teorema del Binomio (Newton): Binomio de Newton. Para todo n entero positivo se tiene:

(x + y)n = (~)xn + (~)xn - ly + (jxn-2y2 + ... + ( n

~

Jxyn - 1 + (jyn.

71

Tema 2. Polinomios. Fracciones algebraicas

Ejemplos Calculemos (x + y) 5. Aplicando el Teorema del Binomio se tiene: (x + y)5 = x5 +( ~) x4y +(~x3y2+G) x2y3 +(~) xy4 + G ) y5= - 5+ 5! 4 + 5! 3 2+ 5! 2 3+ - x 1!(5 - 1)!x y 2!(5 - 2)!x y 3!(5 - 3)!x y +

5! 4+ 5! 54!(5 -4)!xy 5!(5-5)!y -

= x5 + 5x4y + !Ox3y2 + 10x2y3+5xy4 + y5.

o

Ejemplo 6 Calculemos el coeficiente del término en x 3y6 obtenido en el desarrollo de (x + y)9. Del teorema del binomio se obtiene el valor:

9.3.7 31

9.3.7 3-2

84

o

Ejemplo7 Calculamos (2x - 3y)4. (2x + (- 3y)) 4 = (2x) 4 + (:)c2x) 3 (- 3y) + (~)c2x)2(- 3y)2+G)c2x)(- 3y) 3 + (- 3y) 4 = 4 4! 3 4! ? ? - (2x) + l!( - ¡/2x) (- 3y) + l!( _ ) 1(2x)-(-3y)- + 4 4 2 +

4 ! (2x)(-3y) 3 + (- 3y) 4= 3!(4 - 3)! (2x) 4 - 12y(2x) 3 + 6(2x) 2 (- 3y) 2 + 8x( - 3y) 3 + (- 3y) 4=

l 6x 4 - 96 x 3 y + 216x 2y 2 - 216xy 3 + 81 y 4 .

o

Ejercicio 8 Desarrolle las siguientes potencias: a)

72

(2x + 3) 5

b)

(x-2y) 6

Binomio de Newton

Solución. a) Al aplicar el Teorema del binomio de Newton (a+ b)° donde a = 2x, b = 3 y n = 5 obtenemos el siguiente desarrollo: (2x + 3) 5 = (~) . (2x)5 +

(f). (2x) 4 . 3

1

+ (~) . (2x)3. 3 2 +

+ (~) · ( 2 X) 2 , 3 3 + ( ~) · ( 2 X) l , 3 4 + ( ;) · 3 5 = 5

4

4

3

2

3

= 2 · x5 + 5 · 2 · 3 · X + 10 · 2 · 3 · x + )0 · 2 4

5

2

·

3 3 ·

x2 + 5 · 2 · 3 4 ·X+ 3 5 =

= 32 · x + 240 · X + 720 · x + )080 · x2 + 8]0 ·X + 243 . 3

b) Análogamente,

(x-2y)6 = (~). x6 + (~). x5. (-2y)I + (~. x4. (- 2y)2 + (~). x3. (- 2y)3 +

+ (~). x2 . (- 2y)4 + ( ~).xi. (-2y)5 + ( ~) . (-2y)6 = = (~) · x6 - (~)-x5. (2y)I + (~) · x4. (2y)2-(~) · x3. (2y)3 +

+ (~) . x2 . (2y)4 - ( ~) . X1 . (2y)5 + ( ~) . (2y)6 = 6

5

42

33

24

5

6

= x - 12x y+60x y - l60x y +240x y -192xy + 64y .

D

Ejercicio9 Detennine: a) T 10 el décimo término del desarrollo de (3x 2 + 7y)2°.

)9.

b) T7, elséptimotérrninodeldesarrollode(3x + ~ 2

Solución. . , . tiene . . b'mom1co ' . (2 a) El pnmer termmo coe fi1c1ente

º) , e l segundo ( 21º) ... , por tanto,

O

TIO = ( 20) · ( 3 X 2)11 9

·

( 7 y )9 -_ ~ 20! · 3 11

1200665489613702840·x

22

-y

9

·X

22

·

7 9 ·y 9

.

b) Análogamente,

2268 ·

1

9

.

o

X

73

Tema 2. Polinomios. Fracciones algebraicas

Ejercicio 1 O

Determine el término del binomio

(

x3 -

xl) 6

1

.'

. 7 que contiene a ex pres1on x-.

Solución. Supuesto que es n el término buscado se tiene

Tn = ( 6 ) ·(x 3)6 - (n - l)_ (- l) n-l = ( 6 ) ·( - l)n - l_ (x3)7 -n n-1 x n- 1 xn- 1 Así pues, x3)7-n xn-1

x21- 3n xn - 1

( ~ - = x2 ::::;, ___ = x2::::;, x21-3n-(n - l) = x2::::;, x22-4n = x2 -

'

luego, 22 - 4n = 2 => n = 5. Obsérvese que T 5 =

(1) ·(- 1)4 · x2

6!

2

4! · 2!x

6·5 2 -2-x

15 . / ,

o

2-3 Concepto de polinomio en una variable Un polinomio es una suma de monomios. En esta sección se estudiarán los polinomios, que son suma de monomios, en una variabl e. Expresiones de la forma: x,x+7, x2 - 3x+4, x3 + 2x 2 -4, x4 -3x 3 + 2x 2 -x+5 son ej emplos de polinomios. En los polinomios aparecen números determinados, llamados coeficientes, relacionados con una variable mediante las operaciones elementales de suma, diferencia y multiplicación. Definición. Un polinomio, P, con coeficientes reales es una expresión de la

fom1a

donde a0 , a 1, ... , a11 E R. El polinomio cero es aquel para el quea 11 = 3n_ 1 = ... = a 1 = a0 = O.

Ejemplo 11

Dado el polinomio x4- 3x 3 + 2x 2 - x + 5: Se dice que el grado del polinomio es 4, que es el grado mayor ele cada uno ele los monomios que lo forman. El coeficiente principal es 1, ya que es el coeficiente del término ele mayor grado. El término ele segundo grado en el polinomio es 2x 2. El término independiente, que es el que no depende de ninguna variable, es 5.

74

D

Valor numérico de un polinomio

• Los números reales a 0, a 1, .. . , a 11 se llaman coeficientes del polinomio. Algunos de estos coeficientes pueden ser iguales a cero. En el caso de que a 11

* O se dice que n es el grado del

polinomio.

Definición. Se llama grado de un polinomio al exponente de la potencia máxima con coeficiente no nulo, de entre las que aparecen en la expresión del polinomio. En la definición anterior el grado es n y se escribe como grad(P) = n. Si a 11 * O, dicho coeficiente a 11 rec ibe el nombre de coeficiente principal de P. • Los polinomios se suelen represe ntar por letras tales como P, Q , S, o si se especifica la variable por P(x), Q(x), S(x).

Ejemplo 12 a) Los números reales se pueden considerar como polinomios de grado cero. En particular P(x) = 3 representa al polinomio P(x) = 3x 0 . b) Los polinomios de primer grado son los de la fonna P(x) = a 1x + a 0 , a 1 ,t. O, y se llaman también polinomios lineales. Un caso particular es P(x) = 3x - 2.

e) Los polinomios de segundo grado son los de la forma P(x) = a 2 x 2 + a 1x + a 0 , a 2

* O,

2

y se llaman polinomios cuadráticos. Un ejemplo es P(x) = x + J.

o

2-4 Valor numérico de un polinomio En un polinomio, por ejemplo, P(x) = 2/ + 1, se puede dar cualquier valor a la x. Para x = 2 es P(2) = 2 ·

~

r

+ 1 = 2 · 4 + 1 = 8 + 1 = 9. El valor numérico del polinomio 2

parax = 2es9.Parax= 10,P(I0) = 2 · 10 + l =2·100 + 1 = 200+1 = 201.El valor numérico del polinomio para x = 1O es 201.

Definición. A todo polinomio P(x) se le puede asociar un valor numérico haciendo corresponder a cada número real x 0 la imagen P(x 0 ), que se obtiene substituyendo en el polinomio la variable x por el número real x 0 :

Ejercicio 13 Calcular el valor numérico de cada poi inomio para el valor de la variable indicado. 5

2

a) P(x) = 4x + 6x + 3, para x = - 1 .

75

Tema 2. Polinomios. Fracciones algebraicas

4

b)Q(x)=9x +7x + 5,parax = - 2. 3

2

c) S(x) = x + x + x + 5 , para x = -3.

Solución. a) P( - l) = - 4 + 6 + 3 = 5 . b) Q(-2)

e)

=

9(16)+7( - 2) + 5

=

135.

S( - 3) = -27 + 9 - 3 + 5 = - 16.

D

2-5 Operaciones con polinomios Con los polinomios, al igual que con los monomios, se pueden efectuar operacione1 algebraicas como la suma y el producto. • Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. Sean P(x) = 2x 3 + 5x - 3, Q(x) = 4x - 3x 2 + 2x 3 . Para obtener la suma, en primer lugar hay que ordenar los polinomios, si no lo están: Q(x) = 2x 3 - 3x 2 + 4x. P(x) + Q(x) = (2x 3 + 5x - 3) + (2x 3 - 3x 2 + 4x). Se agrupan los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x 3 + 2x 3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3. Se suman los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 4x 3 - 3x 2 + 9x - 3.

D

• Resta de polinomios. La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. P(x) - Q(x) = (2x 3 + 5x - 3)- (2x 3 - 3x 2 + 4x). El polinimio opuesto de Q(x) es - Q(x) = - 2x 3 + 3x 2 P(x) - Q(x) =

2x 3

P(x) - Q(x) =

2x 3 -

+ 5x - 3 2x 3

2x 3

-

4x.

2

+ 3x - 4x.

2

+ 3x + 5x - 4x - 3.

P(x) - Q(x) = 3x 2 + x - 3. Dados dos polinomios cualesquiera, P(x) y S(x), siempre se pueden escribir en la forma

En el caso de que no sean del mismo grado, por ejemplo, si

76

D

Operaciones con polinomios

grad(S) se tomará bn

=

bn-l

= ... =

b 111 +1

=

=

m < n

grad(P),

=

O.

Definición. Dados dos polinomios P(x), S(x) escritos en la forma anterior, se define la suma de dichos polinomios, P(x) y S(x), como el polinomio

(P+S)(x) = (a 11 + b11 )x 11 + (an-l +b 11 _ 1)xn-l + ... + (a 0 + b0 ) . Análogamente, se define la diferencia de dichos polinomios, P y S, mediante (P-S)(x) = (a 11 - b11 )x 11 + (a11 _ 1 -b 11 _ 1)x 11 - 1 + ... +(ao - b0 ). El polinomio opuesto de P(x) es el polinomio -

n ~¡ P() X = - a 11 X - a 11 _ ¡X

-

.•. -

a¡ X

-

ao

tal que P + (- P) = (- P) + P = O.

• Multiplicación de un número por un polinomio. Es otro polinomio que tiene como grado el mismo del polinomio y como coeficientes, el producto de los coeficientes del polinomio por el número: 3 · ( 2x 3 - 3 x 2 + 4x - 2) = 6x 3 - 9x 2 + 12x- 6.

D

• Multiplicación de un monomio por un polinomio. Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio: 3 x 2 · (2x 3 - 3x 2 + 4x - 2) = 6x 5 - 9x 4 + l2x 3 - 6x 2 .

o

• Multiplicación de polinomios. P(x) = 2x 2 - 3,

Q(x) = 2x 3 - 3x 2 + 4x.

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio: P(x) · Q(x) = (2x 2 - 3) · (2x 3 - 3x 2 + 4x) = 4x 5 - 6x 4 + 8x 3 - 6x 3 + 9x 2 - l 2x. Se suman los monomios del mismo grado: 4x 5 - 6x4 + 2x 3 + 9x 2 - l 2x. Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. o A continuación se define el producto de polinomios. Definición. Se llama producto o multiplicación de los polinomios P y S al polinomio P · S cuyos coeficientes ck vienen dados por

ck = aobk + a 1bk-l + a 2bk-2 + ... + akbo, O ::; k ::; grad(P) + grad(S). La definición anterior de producto de dos polinomios podría parecer a primera vista

77

Tema 2. Polinomios. Fracciones algeb raicas

complicada y no justificada, sin embargo es fácil llegar a ta l expres ión de la siguiente forma natural: si se expresa el producto de dos monomios, es decir, de polinomios que constan de un solo término, de la siguiente fórma r

s

(a,.x ) · (b 5 x ) = arb 5 x

r+s

entonces se llega a la definición an terior, para polinomios cual esqui e ra, multiplicando todos los términos de P por todos los términos S y agrupando los productos obtenidos con el mismo exponente .

Ejemplo 14 o

Sean P(x) = x - 1 y S(x) = x -

-1-

x + 1 , entonces

a) (P + S)(x)

x2+2x.

b)

(P - S)(x)

- x2 - 2.

c)

(P·S)(x) = x(x + x + l ) - (x + x + l)

2

2

'

?

?

3

x~ + x- + x-x- - x-1

x - 1. O

2x 2 + 5x - l yS(x)

x 3 + x 2 + 1.

Ejercicio 15 Dados los polinomios P(x) calcule: a)

x 2 + x+ 1, R(x)

b)

S(x) + P(x)

R(x) - S(x)

Solución. a) Para sumar polinomios, se utili za la misma estrategia que para sumar números de varias cifras , se sitúan las potencias de igual índice, una encima de otra, para agrnparlas posteriormente: x3 + x3

+x2

+]

S (primer pol in omi o sumando)

x2

+x

+]

P (seg undo po lin omio sumando)

+2x 2

+x

+2

S + P (polinomio suma~ se suma potencia a potencia)

b) Para restar polinomios utilícese la misma estrategia que para sumar:

2x 2

78

x3

+x2

-x3

+x2

+ 5x

+5x

- ]

R (po li nom io min u~ndo)

+I

S (polinom io sustrae ndo)

-2

R - S (polinomio resta: se resta potencia a potencia)

División Euclídea de polinomios

Ejercicio 16 2x 2 + 5x - 1 y

Dados los polinomios del ejercicio anterior P(x) = x 2 + x + 1, R(x) S(x) = x 3 + x 2 + 1, y el polinomio Q(x) = x 2 - 1 , calcul e: c)

P(x) · Q(x)

d)

R(x) · S(x )

Solución. e) Para multiplicar polinomios, utilizarnos la misma estrategia que para multiplicar números de varias cifras, se sitúan las potencias de igual índice una encima de otra, luego se multiplica el polinomio superior, por cada uno de los mon omios del polinomio inferior, y se sitúan estos resultados de forma ordenada para posteriormente sumarlos: +x X

- x2

-x

+]

P (polinomio multipli cando)

- 1

Q (pol in omi o multip licador)

- ]

( proJu clo del multipli ca ndo por -1 )

+x-7

+x3

(prndu c10 d1..·! multipli cand o por + x 2 )

-x

+x3

- ]

P·Q (s uma de los dos pro du ctos parciales)

d) De igual forma que en el apartado anterior: 2x 2

R

s

x3

X

R-S

+ 5x 3

2x 5

+5x 4

- x3

2x 5

+7x 4

+4x 3

- ]

+I

+x2 +2x 2

2x 4

+ 5x

+5x

- /

+5x

- ]

- x-7

+x2

D

2-6 División Euclídea de polinomios Dados los polinomios x - 3 y x - 1 se tiene que (x - 3)·(x + 1) = x 2 - 2x - 3, entonces se dice que los polinomios x - 3 y x - 1 dividen al polinomio x 2- 2x - 3. Pero dados dos polinomios cualquiera, por ej emplo x 2 - 2x + 2 y x - 3, el polinomio de menor grado x - 3 , no

79

Tema 2. Polinomios. Fracciones algebraicas

tiene por qué dividir al polinomio de mayor grado x 2 - 2x + 2. En este caso se verifica que x 2 -2x+2 = (x-3)(x+ 1)+5, luego el polinomio x 2 - 2x + 2 menos un resto, que en este caso es 5, sí que es divisible por (x - 3). A esto se denomina división euclídea de polinomios, que es análoga a la que se da con los numeros enteros, por ejemplo 23 = 5 · 4 + 3 . Formalmente esto se puede expresar de la siguiente forma:

División euclídea de polinomios. Dados dos polinomios P, S, con S =t- O, existen dos únicos polinomios Q y R, tales que P = S · Q + R , grad(R) < grad(S) .

Se denomina al polinomio Q el cociente de la división de P por S, y se denomina a R el resto de dicha división. En el siguiente ejemplo se describe el procedimiento de obtención de Q y R.

Ejemplo 17 Obtener el cociente y el resto de dividir el polinomio P(x)

3x 3 + Ox 2 + Ox - 1 - (3x 3 + 3x 2 + 3x)

=

3x 3 - 1 por S(x)

=

x 2 + x + 1.

x 2 +X + f 3x - 3

- 3x 2 - 3x - 1 -(-3x 2- 3x-3) +2 donde se obtiene Q(x) = 3x - 3 y R(x) = 2. El primer término del cociente, 3x, ha sido obtenido dividiendo el término de grado superior de P(x), es decir, 3x3, entre el término de grado superior de S(x), x 2, así pues se ha obtenido 3x 3/ x 2 = 3x. Una vez obtenido el primer término de Q, se multiplica este término por S, es decir, se efectúa el producto 3x (x 2 + x + 1 ), y el resultado se substrae de P, obteniendo el polinomio P 1(x) = - 3x 2 -3x- l , que tiene grado menor que el grado de P. A continuación se hace con P 1 lo realizado, al comienzo, con P. Y así sucesivamente hasta obtener un polinomio R(x) de grado menor que grad(P). En este caso, R(x) = 2. o

80

División Euclídea de polinomios

Ejercicio 18 Efectuar las siguientes divi siones entre polinomios:

a) (x 3 +x 2 -I)+( x- l) .

d) (x 4 - x 3 - x+ 1)+ (2 x 2 - x- 1).

Solución. a) Se utiliza un algoritmo análogo al de la división de números enteros:

(p. d ivid endo)

x3

+x2

menos (x 2 por x-1)

-x3

+x2

-1

2x 2

(s uma )

-1

- 2x 2

menos(2x po r x- 1)

2x

-1

mc nos(2 por x- 1)

-2x

+2

-1

x2

+2x

+2

(2

(2 entre 1

(1

entn:

+2x

(suma)

X

1

entre l

aL

a2,:,)

,3

c nt rex

ent rex a x2 )

ax)

(p. di v iso r )

(p. coc iente )

a 2. X cntrex a 1)

(p. resto, en est e caso de grado cero)

(suma)

b) Se utili za el algoritmo anterior:

menos (x 2 por x2+ x+ 1 )

(suma)

x4

+x3

-x4

- x3

-x -x2 -x2

-x

x2

+x

+I

x-7

-1

(p. cociente)

(\ en tre 1 a 1,

(-1 entre 1 a -1 , ,2

,4 meno s(-\ por x2 + x+ 1)

(suma)

x2

+x

+]

entre

:,) a x2 )

entre , 2 a 1)

(p. re sto, en es te caso de grado cero)

81

Tema 2. Polinomios. Fracciones algebraicas

e) Se procede de igual forma: +3x4

x6

+6x 2

- x3

- 3x

+2

x4

+x3

+2x 2

x2

-X

+2

-x

+]

1

-x6

- x5

-2x 4

-xs

+x4

+x5

+x4

-x2

+x3

+5x 2

-3x

+2x 3

-x2

+x

+2x 4

+2x 3

+4x 2

-2x

+2

-2x 4

-2x 3

-4x 2

+2x

-2

+2

o En este caso el resto es O, es decir, el polinomio x 4 + x 3 + 2x 2 - x + 1 divide al polinomio 6 x + 3x 4 - x 3 + 6x 2 - 3x + 2.

d) Análogamente, x4

-x3

-x4

1 + -x3 2

+ 21 X2

1 3 - 2x

l 2 + -X 2

1 -x3 2

-

1 2 -X 4 l 2

;¡:X

1 )

- ;¡:x-

-X

+l

-X

+[

-

-x

-1

1 -X 4

5 -;¡:x

+

2x 2

1 8

-X

9 - 8x

+l

+! 8 +~ 8

2-6.1 Regla de Ruffini

Un caso particular de división de polinomios se produce cuando el polinomio S es un

82

División Euclídea de polinomios

polinomio de grado uno, de la forma x - a . En este caso, el procedimiento general antes descrito puede escribirse, en forma más abreviada, de la manera que se indica a continuación, conocida como regla de Ruffini, en la que sólo aparecen los coeficientes de los polinomios. Dado el polinomio anxn + ªn _ 1xn- 1 + ... + a 1x + a 0 , entonces los coeficientes del cociente, Q, (cn-t, cn_2 ,

... ,

c0 ) y el resto R de dividir dicho polinomio por x - a, se pueden

obtener de la siguiente forma:

au-1

au-2 ...

a1

a

R

donde cada número de la última fila se obtiene sumando los números que se encuentran encima. Es evidente que si en la expresión P(x) = (x - a) · Q(x) + R(x) se hace x = a, se tiene P(a) = R(a). Luego, para que un polinomio sea divisible por x a, basta que dicho polinomio se anule para x = a, ya que entonces el resto es cero.

Ejemplo 19 (a) Dividir el polinomio P(x) = x 4 + 2x 3 - 3x 2 + 4x - 29 entre el polinomio S(x) = x - 3.

3

4

-29

2

-3

3

15

36

40·3=120

5

12

40

91(= R)

El polinomio cociente Q será aquél cuyos coeficientes vienen dados por los primeros términos de la fila inferior del esquema Q(x) = x 3 + 5x 2 + 12x + 40 (b) Dividir el polinomio P(x) = x 3 + 3x 2 - 4 entre el polinomio S(x) = x + 2.

83

Tema 2. Polinomios. Fracciones algebraicas

-2

3

o

-4

-2

-2

4

-2

O(= R)

Q(x) = x 2 + x - 2. La expresión R = Onos dice que, en este caso, P(x) es divisibl e entre S(x). (c) Dado el polinomio P(x) = 4x 3 - 6x 2 + 15x + m, se pide determinar m de manera que al dividir dicho polinomio por x + 1 el resto sea igual a -30.

-6

15

m

-4

10

-25

- 10

25

m - 25 (= R)

4

-1 4

Resolviendo la ecuación m - 25 = - 30, se obtiene el valor buscado, m = -5.

D

Ejercicio 20 Calcular el valor de m para que el resto de la división del polinomio x 3 + mx 2 - 2x + m entre x - 1 sea 1. Solución. Se determina el resto de la división. Por ser el divisor un polinomio de primer grado de la forma x + a , la división puede efectuarse aplicando la regla de Ruffini: (coeficiente de x3) (factor)

( coeficiente de

( coeficiente de

,2)

x)

(término independien te)

m

-2

m

m+l

m- 1

m-1

2m- l

m+ I

(dividendo)

(resto )

Así pues, el cociente es x 2 + (m + 1) x + (m-1) y el resto es 2m - 1 . Al imponer que el resto sea 1, 2m - 1 = 1, se obtiene que m = 1 . o

84

Descomposición en factores de un polinomio

2-7 Descomposición en factores de un polinomio Dado el polinomio P(x) = x 3-x2- 5x-3 se tiene que x 3- x 2 - 5x- 3= (x- 3)(x + l)(x + 1), por lo tanto, se verifica que P(-1) = O, P(3) = O. A estos numeras cuyo valor numérico asociado al polinomio es cero se les denominan raíces del polinomio. En el caso de -1, como aparece dos veces, se dice que es una raíz múltiple.

Definición. Se dice que un número real a es una raíz del polinomio P, cuando el valor numérico del polinomio Pena es cero, es decir, si P(a) = O.

• Nota: El conocimiento de las raíces de un polinomio es de gran interés, porque permite obtener una descomposición del polinomio como producto de polinomios más sencillos. Además conociendo las raíces del polinomio es posible reconstruir el polinomio. En el polinomio P(x) = x 3 - 3x 2- x + 3 = (x - 3) · (x + 1) · (x - 1), se tiene que los polinomios x - 1, x + 1 y x - 3 dividen a P(x). Con el fin de establecer de forma precisa estos hechos introducimos la noción de divisibilidad de polinomios.

Definición. Se dice que un polinomio P es divisible por otro polinomio S, cuando el resto de la división de P por Ses el polinomio nulo, es decir, R = O. Un polinomio es irreducible cuando no puede ser expresado como producto de otros polinomios de menor grado que él. La definición anterior equivale a decir que P se puede escribir de la forma P siendo Q otro polinomio.

S·Q,

Propiedades. 1.- Un número aER es una raíz de un polinomio P(x) si, y sólo si, Pes divisible porx-a. 2.- Un número aER es una raíz múltiple de orden m de un polinomio P, cuando Pes divisible por (x-a)m ynoloespor (x-ar+ 1. (m22). • Cuando m = 1 se denominarán raíces simples. Cuando m = 2 se denominarán raíces dobles, etc.

Ejemplo 21 El polinomio P(x) = x 2 - 2x + 1 tiene una raíz doble en x = l. En efecto P(x) = (x - 1)2.

o

• No todos los polinomios tienen alguna raíz en el campo real. Por ejemplo el polinomio P(x) = x 2 + 1 , no puede tomar el valor numérico cero para ningún valor a E R, pues siempre es P(a)=

a2 + 121.

o

85

Tema 2. Polinomios. Fracciones algebraicas

Ejercicio 22 Comprobar las siguientes identidades de polinomios: a) x 2 -J = (x + l)·(x - 1)

b) x 3 -l = (x - l)·(x 2 + x + I)

Solución. a) Al efectuar el producto en el segundo miembro se obtiene el primero:

(x + 1) · (x - 1) = x · (x - 1) + (x - 1) = x 2 - x + x - 1 = x 2 - l. b) Al efectuar el producto en el segundo miembro se obtiene el primero:

(x-l)·(x 2 +x+l) = x·(x 2 + x+l) - (x 2 +x+l)

= x 3 + x 2 +x-x 2 -x-1 = x 3 - J.

o

• Nota: Obsérvese que también podríamos haber utilizado la regla de Ruffini en ambos casos.

Ejercicio 23 Estudiar la descomposición en factores de los polinomios siguientes:

Solución. a) El polinomio x 3 - x se puede escribir de la forma:

x 3 -x = (x 2 - l)·x = (x - l)·(x + l)·(x), puesto que x 2 - 1 = ( x - l) · ( x + l) (Ejercicio 22 , a). Así pues, el polinomio es reducible en factores. Los polinomios de primer grado x - 1 , x + l y x son factores irreducibles. Las raíces reales del polinomio son : x = 1 para el factor x - 1 , x = - 1 , para el factor x + 1 y x = O. b) El polinomio x 3 - 3x 2 + 2x no posee término independiente, así pues, se puede extraer x corno factor común.

x 3 -3x 2 +2x

=

x·(x 2 -3x + 2)

=

x-(x - l)·(x-2),

puesto que x = 2 y x = 1 son las soluciones de la ecuación de segundo grado x 2 - 3x + 2 = O, que puede expresarse de la forma (x - 1) · (x - 2) = O. Así pues, el pol inomio dado no es irreducible. Las raíces son x = O, x = 1 y x = 2 y corresponden a los factores x , x - 1 y x - 2 . o

2-8 Fracciones algebraicas

x2 - 2x + 2 y x - 3 , como ya se ha visto en el epígrafe 2-6, no son pero como x2 - 2x + 2 = (x - 3 )( x + 1) + 5, se tiene que el cociente

Dados los polinomios divisibles entre sí, 86

Fracciones algebraicas

T(x)

x2 - 2x+2 . . . . . . . - - - - , que no es un poi 111011110, se puede escnb1rde la s1gu1 e nte forma: x- 3

(x - 3)(x + 1) + 5 (x - 3)

T(x)

5 (x+ ]) + - - . (x - 3)

Definición. Sean P(x), S(x) dos polinomios , con S(x) ~ O. Una fracción algebraica es el cociente de los polinomios P(x) y S( x) y se representa por: T( ) = P(x) x S(x)

*

En la definición, los polinomios P, S pueden ser polinomios arbitrarios con tal que S O. Sin embargo, en el estudio de las fracciones algebraicas solamente será necesario analizar las ji-acciones algebraicas propias, es decir, aquellas para las cuales grad(P) < grad(S ). En efecto, en caso contrario, si grad (P) 2 grad(S), podemos efectuar la división e uclídea de P entre S, de tal forma que se puede escribir P = SQ + R, grad(R) < grad(S). Utilizando esta relación , la ·' a 1ge b ra1ca · T a d op t a 1a •,a rma T(x) -_ S(x)Q(x) + R(x) f•racc1on

S(x)

Q(x) + R(x), s1·e11do S(x)

R(x) , ., 1 b . . -S- una tracc1on a ge ra1ca propia. (x)

o

2-8.1 Descomposición en fracciones simples

3

1 ~+ , x- - 1

Dadalafracciónalgebraica T(x) =

el denominador se puede descompon er: x 2 - 1 algebraica se puede escribir de la forma T( x)

3x + l x2 - l

(x - 1) · (x + l). y por lo tanto , la fracción -ª-+_b_ ] X + 1

X -

En efecto, operando se obtiene

3x + 1 x2 - 1

e igualando obtenernos

numeradores,

a(x+l)+b(x-1) (x - l)(x+l)

3 x + 1 = ( a + b )x + a - b,

a+ b

3,

a- b

1.

(a+b)x+a - b x2 - 1

e

identificando

coeficientes,

y reso lviendo este sistema resulta a = 2, b = 1.

Esta resolución de sistemas se puede ver en el Tema O. En el Tema 5 se estudiarán más a fondo los sistemas de ecuaciones. Por tanto, lo que se obtiene la descomposición siguiente de T(x):

87

Tema 2. Polinomios. Fracciones algebraicas

2 1 T(x) = x - 1 + x + l ·

D

A esta descomposición, se le denomina la descomposición en fracciones simples de una fracción algebraica propia.

Descomposición en fracciones simples. Sean P y S dos polinomios que sólo tienen raíces simples, que son números reales. Entonces toda fracción algebraica propia _ P(x) T(x) - S(x), grad(P)

, se suprime en la matriz A la fila 2 y la columna 1, por tanto,

M21

=

* 1-1

La matriz complementaria del elemento a

166

[21 -1-IJ · 33

se obtiene al suprimir la fila 3 y la columna 3.

Cálculo de un determinante por los elementos de una fila o columna

l 2 *~

[

O2 *

D

***

Calculamos en una matriz de cuarto orden, la matriz complementaria del elemento a

11

.

En la matriz A se suprime la fila 1 y la columna 1. Por tanto,

* * * * * ª22 ª23 ª24 => * ª32 ª33 ª34 * ª42 ª43 ª44

ª11 ª12 ª13 ª14

A

ª21 ª22 ª23 ª24

=> A

ª31 ª32 ª33 ª34 ª41 ª42 ª43 ª44

M11

lª22 ª23 ª'j

ª32 ª33 ª34 . ª42 ª43 ª44

Definición. Dada la matriz cuadrada de orden n, A = ( aij) , llamaremos

matriz complementaria del elemento aij a la matriz cuadrada de orden n - 1 , que designaremos por M¡j que se obtiene al eliminar la fila i-ésima y la columnaj-ésima de A.

Definición. Dada la matriz cuadrada de orden n , A = ( aij) , se llama menor

complementario del elemento aij , al determinante de la matriz M¡j, IM¡jl.

Ejemplo 18 Para la matriz del ejemplo 16, tenemos que los menores complementarios de los elementos ª21 y a33 son:

2-1 1 -1

1 2

= -1,

= 2.

D

O2

Un último concepto que vamos a introducir en esta sección es el de adjunto del elemento ªii de una matriz cuadrada. Lo vemos primero con un ejemplo:

Ejemplo 19 Volvemos sobre la matriz A=

1o 2-1] [

2 3 , del ejemplo 16, y veamos quienes son los

-2 1 - 1

167

Tema 4. Matrices y determinantes

adjuntos de l elemento a 21 y a,3.

1 El adjuntodea 21 , se designa por A 21 y es el número (- 1/ + 1M 21 1 = (- 1/ · (-1) = 1, es decir, el adjunto del elemento a 21 es el menor complementario con su signo o con signo cambiado según que i + j (la suma de los índices de su fila y su columna) sea par o impar. Eladjuntodea33 será:A

33

= (-Il+

3

1M 33 1 =

(- 1/·(2) = 2.

D

Definición. Dada la matriz cuadrada de orden n , A = (a¡}, se llama adjunto del elemento aij, y se designa por A¡_¡ al determinante de la matri z M¡j,

IM¡jl,

anteponiendo: .- el signo(+) si i + j es par. .- el signo (-) si i + j es impar. En la práctica, para decidir el signo del adjunto de un elemento, resulta muy cómoda la siguiente regla (figura 4.6): se reconen los e lementos desde el primero hasta el señalado, en dirección horizontal o vertical (nunca oblicua), diciendo "más, menos, más, menos, ... ". En cada lugar se dice el signo correspondiente.

u~D~8 D

' ' '

D D D D D D u D D D [] D Figura 4.6

Al elemento señalado le conesponde signo(-). Quiere decir que su adjunto es su menor complementario cambiado de signo. 4-6.1 Desarrollo de un determinante por adjuntos

Es uno de los teoremas fundamentales sobre el valor de un determinante de cualquier orden.

168

Cálculo de un determinante por las elementos de una/ila o columna

El valor de un detenninante es igual a la suma de los productos de los e lementos de una línea cualquiera por los adjuntos respectivos . .- Desarrollo por la fila i: IAI = ai I Ai 1 + ai 2 Ai 2 + ... + ainA 111

.

.- Desarrollo por la columnaj: IAI = a ljA lj + a 2jA 2 j + ... + a 11 jAnj. En la práctica, convi ene desarrollar por la fila o columna que contenga más ceros , ya que los cálculos a realizar son menores.

Ejemplo 20

Calculemos el determinante de la matriz IAI

1-2 O- 3 2 1 4 -1

Desarrollamos por los elementos de la primera columna:

-3 2 4 -l

(Al

_O -2 1 + l -2 1 4 -1 -3 2

- 5- 1

- 6.

Volvemos a calcular [A l desarrollándolo esta vez por la segunda fila.

/Al

o

-2 1 4 - ]

-2

- 3 -1

1-2

6- 12

- 6,

1 4

que, naturalmente nos proporciona el mismo resultado.

D

Estamos ya en condiciones de calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n, en general. El procedimiento es el mismo: desarrollar por los menores compl ementarios de los elementos de una fila o columna cualquiera, con el signo que corresponda. Estos menores serán de orden n - 1, que hemos de desarrollar. Se va reduciendo así el orden de los menores en cada caso, hasta que llegamos a menores de orden 3, que sabemos calcular.

Ejercicio 21 Calcúlese el determinante de cada una de las siguientes matrices:

169

Tema 4. Matrices y determinantes

3 l O 125

2 2 A = [~,8 =

l 3J

[

yC=

] O- 1 2 O3 2 -2

.

[2 4 2 l 3 l 5 -4

3 5 1'.

Solución. Para calcular el determinante de la matriz A aplicamos la definición: IAI =

22

= 2 · 3 - (2 · l) = 4.

l 3 Para calcular el determinante de la matriz B aplicamos la regla de Sarrus, que únicamente es válida para matrices cuadradas de orden 3.

l O3 IBI =

l 2 5 3 5 l

l ·2· l + 0 - 5-3+3· 1 ·5 - (3·2·3) - (0 · l · l) - (l ·5·5) = 2 +O + 15 - 18 - O - 25 = - 26 . Para calcular el determinante de la matriz C aplicamos el desarrollo por una fila o una columna, concretamente por la primera fila:

+- + 1 O -1 2 IC I

O 3 2 -2

l 5 -4

2 4 2 3

= +¡ .

3 2 -2

O 2 -2

O3 -2

O3 2

4 2 1 l 5 -4

-O 2 2 1 3 5 -4

+(-1) 2 4 1 3 1-4

-2 2 4 2 3 15

Se tiene en cuenta una regla de signos y a cada elemento se le multiplica por el determinante que queda al suprimir la fila y la columna donde está el elemento. Calculamos ahora cada uno de los determinantes de orden tres con la regla de Sarrous:

3 2 -2 42 1

= 3·2·(- 4)+2-l-l+(-2)·4·5 - ((- 2)·2·1)-

l 5 -4 - (2 · 4 · ( - 4)) - ( 3 · 1 · 5) = - 41 .

170

Cálculo de un determinante por los elementos de una.fila o columna

O3 2

O 3 -2 2 4 1

53

2 4 2

3 1 -4

Así pues,

ICI = -

= -32.

3 15

41 - 53 + 64

- 30.

o

Ejercicio 22

Calcúlese el determinante:

3 -2 5 O 2 1 -3 o o - 2 -2 5 1 o 2 -2 3 4 o

IAI

-1 4 4 1

3 Solución. Observemos que la cuarta columna tiene tres ceros. Desarrollamos por esa columna. El determinante IAI será,

Y sustituyendo por los valores correspondientes, tenemos

IAI

3 2 =-(- 2) 5 -2

-2 5 - 1 3 1 -3 4 +2 2 1 o 1 o -2 3 4 3

-2 5 1 -3 -2 3 4

-1 4 4 3

y ahora calculamos, por separado, los dos determinantes de orden 4.

Buscamos lineas con ceros y observamos que la tercera fila de ambos contiene un cero, por tanto, los desarrollamos por esa tercera fila. 3 -2 5 - 1 2 1 -3 4 5 1 o 1 -2 3 4 3

5

-2 5 - 1 3 5 -1 3 -2 5 -1 2 -3 4 - 1 2 1 -3 4 -3 -2 4 3 -2 3 4 3 4 3

y, calculando los determinantes de orden 3, obtenemos: (5 · 82) - 1 · (- 147)-1 · 83 = 474. Por otra parte,

171

Tema 4. Matrices y determinantes

3 -2 2 1 o -2 -2 3

5 -1

-3 4 1 4 4 3

= 2

3 5 -1 2 -3 4 -2 4 3

+1

3 -2 -1 3 -2 5 2 4 - 4 2 1 -3 ' -2 3 3 -2 3 4

y, calculando los determinantes de orden 3, obtenemos:

2 · (-147) + 1 · (-7)- 4 · 83 = - 633. Por tanto,

[A[ = 2-474+2·(-633) = -318.

D

Definimos ahora el concepto de matriz adjunta

Definición. Dada la matriz cuadrada de orden n , A = ( aij) , se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj (A) , a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij , por su adjunto correspondiente A¡j . La adjunta de la matriz A = ( a¡} es Adj (A) = ( A¡} .

Ejemplo 23 2 Calculamos la matriz adjunta de la matriz A = [~ ¡

3 -2

~l;J

El determinante de la matriz A es [A[ = -2 *O. Se calculan los adjuntos de cada aij·

A¡¡=(+)

Az¡ = (-)

-2 2

32

=-4;A13=(+) 2 1 3 -2

= - 7;

-2 2 -2 2

= O ; A22 = ( +) 2 2 3 2

= -2 ; A23 = (-) 2 - 2 3 -2

= - 2;

1 O = 2;A12=(-) 20

A31 = (+) - 2 2 = -2. A 32 = (-) 2 2 1 O ' 2 O

172

=

4; A33

= ( +)

2 -2 2 1

= 6.

Propiedades de los determinantes

-71

2 -4 O -2 -2 · [ -2 4 6

D

4-7 Propiedades de los determinantes Enunciamos a continuación las propiedades de los determinantes cuya utilización facilita las operaciones de cálculo de los mismos. • El determinante de una matri z es igual al determinante de su matriz traspuesta, es decir IAI

= ¡At¡_

1

~!

1

=

1

~!

1

= -

2

.

De esta propiedad resulta inmediatamente que las propiedades que siguen son igualmente válidas si sustituimos en ellas la palabra.fila por la palabra columna. Por tanto hablaremos de "lineas". • Si los elementos de una línea de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número.

• Si todas las líneas de una matri z de orden n están multiplicadas por un mismo número A- el detenninante de la matriz queda multiplicado por)._, n.

= 32.

3 6 9 12

12 3 4

• Si todos los elementos de una linea están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

2 -2 1 5 -3 2 -3 4 -1

1+ 1 - 2 3+2 -3 2 2 + (- 5) 4 -1

1 -2 1

1-2

3 -3 2

2 4 -1

+

2 -3 2 -5 4 - ]

• El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas matrices.

IA. BI

=

JAI · IBI.

• Si en un determinante se permutan entre sí dos lineas, su determinante cambia de signo.

173

Tema 4. Matrices y determinantes

2 -2 1

2 -2 5 -3 2 -3 4 - 1

-3 4 - 1

5 -3 2

Se han intercambiado las filas 2 y 3. • Si un determinante tiene dos lineas iguales o proporcionales su determinante es cero.

4 -2 -8 4

= -2 4 -2 4 -2

O.

• Si los elementos de una linea son combinación lineal de las otras, es decir, son el resultado de sumar los elementos de las otras líneas multiplicadas por números reales, su detenninante es cero.

3 -5 2

o

-5 3 -2 -1 - 1 O

La fila 1 es F 1

• Si a los elementos de una linea se le suma una combinación lineal de otras lineas, su determinante no varía.

2 1 -2 O3 - 1

(F¡ ~ F¡ + (-2) · F 3 )

O -7 -6

=>

O 3 -1

25

1 4

14 2

25.

2

• El valor de un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

3 -2 - 1 O 1 4

3· 1·3

9.

O O 3

• Si los elementos de una línea son todos nulos, el valor del determinante es cero.

2 O1 5 O2

O.

D

- 3 O- 1

Ejercicio 24 Calcule, haciendo uso de las propiedades de los determinantes, hacer ceros en una fila o

174

Cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada por determinantes

O 2 -1 O

1 3

columna, el determinante de la matriz C

2 4

2 -4 1 4 -4 O 3 Solución. En la primera columna, buscamos la forma de transformar en cero el tercer y cuarto

elemento.

2 -1 o 3 2 4 2 -4 1 l 4 -4 o 3

o

o

ICI

(F 3 -. F3 -2 F2 )

-1 o 3 2 4 0 - 10 - 3-7 4 -4 o 3

o

2

(F 4

-.

F4 -4F 2 )

-1 o 1 3 2 4 O -10 -3 -7 O -16 - 8 -13 2

Al desarrollar por la primera columna, y teniendo en cuenta la regla de signos:

2 - 1 O -1 . - 1O - 3 - 7

ICI

16.

o

- 16 - 8 - 13

4-8 Cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada por determinantes En el apartado 4-4 hemos visto que una matriz cuadrada A de orden n es inversible, o que tiene inversa, si existe otra matriz cuadrada de orden n, que designaremos por A satisface A· A-

1

I ,

que

= A - l · A = I. La matriz A -I recibe el nombre de matriz inversa de la

matriz A. Las principales propiedades de la matriz A-

1

son:

Propiedades. La inversa de una matriz, si existe, es única. 1 -1

(A- )

= A.

(A. Bfl = 8 - 1. A - 1. El detenninante de una matriz inversible es el inverso del determinante de su 1 1 matnz mversa: = [Al .

..

IA-

1

• Cálculo de la matriz inversa. Una matriz cuadrada es inversible si y sólo si su

determinante es distinto de cero. Una vez asegurada la existencia de la matriz inversa, esta se calcula mediante la expresión:

175

Tema 4. Matrices y determinantes

Ejemplo 25 Vamos a calcular la matri z inversa de la matriz A

-_ [31

421~ _

Paso 1º. Se comprueba la condición necesaria y suficiente para que la matriz A sea inversible: IAI = 12 - 2 = 1O eje O. Paso 2°. Se calcula la matriz adjunta de la matriz A: A 11 =

(+)141 =

4; A 12 =

(-)111 =

Adj(A) = [Al¡ A12l =

- 1; A 21

(-)121 = - 2 ; A 22

(+ )131

3.

[4 -:,1]. - 2 .)

A21 A22J

Paso 3º. Se calcula la matri z traspuesta de la matriz Adj (A) :

-IJ

4 Adj(A) = [ -2 3

1.j

=> [Adj(A)] = [ 4 - 2 1

- 1 3

Paso 4°. Los resultados anteriores se sustituyen en la expresión A -

I

111 . [Adj(A}J1: o

Ejercicio 26 Dada la matriz A = [

~ -/

-1

J

~ i,

calcular su inversa.

3

Solución. Se procede de manera análoga al ejemplo anterior. Paso 1º. Se comprueba la condición necesaria y suficiente para que la matriz A sea inversible: IAI = 6 eje O. Por tanto, la matriz A tiene inversa.

Paso 2º. Se calcula la matriz adjunta de la matriz A:

176

Cálculo de la matriz inversa de una rnalriz cuadrada por determinantes

1

A11 = ( + )

A31

(- ) - 1

=

3 =

(+)

2; -1

- 13

3

A2 1

1

(-)

(+ ) - 1

=

4; A 22

- 2 ; A32

o

(+)

-13 =

o

(- )

o

- 1

1 ;A 23

(-)

1 ; A3 3

(+) O - 1 1 1

-1

1;

1

1.

Paso 3º. Se calcula la matri z traspuesta de la matriz Adj (A) :

Paso 4°. Los resultados anteriores se sustituyen en la expres ión A -

~

A-1

2 6 -4 · -4 1 1 = 6 2 l 1 2 6

[2 4-2J

4 -2 - 6 6 1

6 6

1 3 -2 3

l

[~[ · [Adj(A)]t:

2 - 1 3 3 1 6 6

l

1 1 1

6 6

3 6 6

Finalmente, comprobemos que la anterior matriz es A- 1: 1 2 - ]

-

-

-

3 3 3 -2 1 1 3 6 6

l}

X}•

o

1

3 6 6

Ejercicio 27 Hállese la matri z inversa de cada una de las siguientes matrices: 177

Tema 4. Matrices y determinantes

a)

b)

A

B

Solución. a) Matriz A. Una matriz es inversible si y sólo si posee detem1inante no nulo. Así pues, calculamos el determinante:

IAI

3 J

=

= 6 - 7 = - l c;,= Ü

7 2

=> A posee matri z inve rsa.

A continuación determinamos la matri z adjunta, es decir, aquella cuyos elementos de la matriz son los adjuntos de los elementos de la matriz A. Recordemos que el adjunto de un elemento es el valor del determinante que queda al suprimir la fila y la columna donde está situado dicho elemento y con el signo ( +) o (- ) según la regla de signo correspondiente al desarrollo por filas o columnas.

A= [3: ,-1 7

+3.

2+

Adj(A) = [

2

7 - ]·

-1 3

Se determina la matriz transpuesta de la matriz adjunta; se cambian filas por columnas: [Adj(Al =

[2 -IJ. -7 3

La matriz inversa es la matriz [ Adj (A)] t multiplicada por el inverso del determinante: A-1 = J__·[Adj(A)]t

IAI

=

__!__[2 -IJ

-1 -7 3

=

[-2 11_ 7 - 3J

b) lvlatriz B. Procedemos de forma análoga; se calcula el determinante,

1 -1 O

IBI

2 1 - 1

3+0+0 - 0 + 6+2

O 2 3

Se determina la matriz Adj(B): B

178

1 1 1' O

=> 8 posee matriz inversa.

Cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada por determinantes

8¡¡

~ -3, 1

+I

-1 821

8 3¡

Adj(8)

5 ; 81 2

o

3

2 3

8 22

- 1 o 8 1 - 1 1= 1 ; 32

+I

[5 -6 4] 3 3 -2

-1 =

~ -3l 1

+I

~~1

-1

2 -]

1 O

- 6; 813

3

1=

; 8 23

=

~

-1

1 ; 8 33

l~I [Adj(8)/

TI· 1

1 1 3

1 -2

4

1=

-2 ;

+I 2' - ! 1=

53

8- 1

~~1

+I

[- 6 3 1 '] 4 -2 3

5 11 6 11 4 11

3 11

3.

1 11

3 1 1 11 2 3 11 11

o

Ejercicio 28 (*) Calcúl ese el determinante de la siguiente matriz:

A

2 1 O 3 o 2 2 -4 7 o 5 4 2 -3 3 o 4 -2 4

- 1 2 2 2

Solución. Utilizamos el método de hacer ceros en una tila o columna, puesto que , si desan-ollamos directamente por una tila o columna, entonces tendríamos que calcular cinco determinantes de orden 4. Transformamos el determinante de forma que en la primera tila (que está formada por los números más pequeños) todos los elementos lleguen a ser cero menos el segundo (que es un 1). Para ello, se realizan las siguientes transformaciones: 2 1 O 3 - 1 o 2 2 -4 2

IAI

7 o 5 4 2 2 -3 3 o 2 4 -2 4

o (C 1 ~ C 1 -2C 2 )

-4 2 7 o 8 -3 8 -2

O 3 - 1 2 -4 2 5 4 2 3 o 2 4

179

Tema 4. Matrices y determinantes

o (C 4 ---+C 4 +3C ; )

-4 2 7 o 8 -3 8 -2

oo-1

o

2 2 2 5 10 2 3 6 2 4 4

oo o

-4 2 2 7 o 5 8 -3 3 8 -2 4

( C, - > C 5 + CJ

2 10 6 4

-4 7 = -1 8 8

4 2 - 1

2 2 5 10 3 6 4 4

4 2 -1 -1

- 1

En este determinante de orden cuatro hacemos cero en la primera fila igualmente:

IAI

-4 2 2 7 5 10 8 3 6 8 4 4

4 2 - 1 - 1

(C 2 - > Cc - CJ

o o

(C 1 ---+ C 1 + 2C 3 )

2 27 - 5 10 20 - 3 6 16 o 4

-4 o 2 7 - 5 !O 8 -3 6 8 o 4

o o

4 2

4 2 - 1 - 1

(C 4 ---+ C 4 -2C 3 J

-1 -1

o

2

27 - 5 10 -18 20 - 3 6 -13 16 o 4 -9

27-5 - 18

= -(2) 20 -3 - 13

(Al desarrollar por la primera fila).

16 O - 9

Así pues, IAI =

-10 .

D

4-9 Rango de una matriz Iniciamos esta sección viendo los conceptos de submatriz y menor de una matriz, necesarios en la definición de rango de una matriz.

Ejemplo 29

Dada la matriz A = [~

~ _21 ~ ~ ~l ,las siguientes matrices son algunas de las posibles

O1 l 3 O submatrices de la matriz A:

~J

3 ¡ 5 [1 3

41 _

ooJ

En B 1 se suprime fila 3ª y columnas 3", 4ª, 5ª y 6ª.

180

Rango de una matriz

En 8 2 se suprime las columnas 1", 2'\ 4ª y 5ª. En 8 3 no se suprime ninguna línea. En 8 4 se suprime fila 2ª y columnas 1ª y 3ª.

D

Definición. Se llama submatriz de una matriz A a toda matriz que se obtenga suprimiendo un cierto número, que puede ser nulo, de filas y un cierto número , que puede ser nulo, de columnas de la matriz A.

Ejemplo 30

l

l 2 1 O I;

Algunas de las submatrices de la matri z A =

- 2 3 4 - 1 O , son: 1 1 2 2 O O ~2 1 O 4

[ 1 2 1 O 1] .

En 8 1 se suprime la l ªfila y la 4ª columna. En 8 2 se suprime las columnas l ª y 3". En B 3 se sup rime las filas 2ª, 3ª y 4ª.

D

Definición. Se llama menor de una matriz A al determinante de cualquier submatriz cuadrada de la matriz A.

Ejemplo 31 Si A es la matriz del ejemplo 30 anteri or, entonces

dicha matriz y

1 2 1 -2 3 4

3 4 -2 1

es un menor de orden 3 de la matri z A.

es un menor de orden 2 de

D

1 12

181

Tema 4. Matrices y determinantes

Definición. Se llama rango de una matriz al orden de la mayor submatriz cuadrada con determinante no nulo de dicha matriz. • Nota: De la definición anterior resulta que el rango de una matriz es siempre menor o igual que el menor del número de filas y de columnas. • Damos a continuación, mediante un ejemplo, unas reglas prácticas para el cálculo del rango de una matriz.

Ejemplo32 Calculamos el rango de la matriz A

• Regla 1ª: En general, se puede descartar una línea sí: - Todos sus coeficientes son cero. - Existen dos líneas iguales. - Una línea es proporcional a otra. - Una linea es combinación lineal de otras. • Regla 2ª: Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero. Comoa 11 = J;t0 =>

la 1

d=

111 = l;tÜ =>

rango(A)?:l.

• Regla 3": Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su detenninante no sea nulo . 13

= 1 - 6 = -5

;t

O =>

rango(A) ?: 2.

2 1

• Regla 4ª: Tendrá rango 3 s1 existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Añadimos ahora la tercera fila. Puesto que

13 2 2 1 -1 O1 1

probamos con la cuarta columna:

182

= O,

Rango de una matriz

l 3 1

2 l 2 Ol 3

-15cf=0

3+2 + 0 - 0 - 2 - 18

=>

rango(A)23.

Por tratarse de una matriz de orden 3 x 6 , la mayor subrnatriz cuadrada tiene orden 3 x 3 , porconsiguiente, rango(A) = 3.

o

Ejercicio 33 Hállese el rango de las matrices

a) A =

[¡

'j

1 21 4

1 2 1

-4 1

O 1O

1 1- 1 1 OO b)

B

13 3 - 12 O 12 1

13 3

-4 c)

o

2 2 -2 2

e

-4 -4

1 O

oo

1 -4

Solución. El rango de una matriz es el orden del menor de mayor tamaño o mayor orden que no es nulo, es decir, se trata de obtener el mayor orden del determinante no nulo, que se pueda construir con subrnatrices de cada una de las matrices dadas. a) Matriz A. El mayor determinante que se puede construir con elementos de A es de orden 3, pues Ia matriz A es cuadrada de orden 3. Así pues, rango (A) :s; 3 . Estudiemos el valor del determinante de la matriz, aplicando la regla de Sarrus;

1 1 5

IAI

124

6 + 4 + 15-10-3-12

O,

13 3 por lo tanto, rango(A)

* 3 , es decir, rango( A) :s; 2 .

Si considerarnos el menor de orden 2,

1 1

12

1 , se observa que no es nulo. De esta

forma se establece que rango( A) = 2 .

b) Matriz B. Los elementos de la última columna son todos nulos, por tanto, el rango de la 12 1 O 1 1 1 -1 matriz B coincide con el de la matriz B

O

13 3 -12 12 1 O 1 2 2 -2 2 O

•

Calculemos por tanto el rango de la matriz B .

183

Tema 4. Matrices y determinantes

,;:

rango( B ) ~ mínimo { 5, 5}

5.

*

Además, como a 11 = 1 et O, se tiene que rango(B ) ~ l . 1 2

Ampliarnos con la segunda fila. Como

*

= -1 et O , resulta que rango( B )

~

2.

A mpli amos con la tercera fila. Puesto que l 2 1

1 1 -]

2 O,

o

12 1 O,

1 1 13 - 1

13 3

13 2

2 1 ampliamos con la cuarta fila

1- 1

12 O O,

12

2 1

O,

1 1 1 12 O

12 1 1- 1

ampliamos con la quinta fila

O,

1 1O

12

12 O

O,

2 2 -2

O,

1O

2 1

O Y

1 1 1

222

O,

I O

22O

*

resulta que rango(B) = rango( B ) = 2 . Al ser todos cero, ya no hay que ver qué pasa con las matrices 4 x 4 y 5 x 5. e) Matriz C. Calcularnos el determinante de la matriz C, hac iendo ceros;

o

-4 1 1 -4

ICI

1

O- 4 1 o -4

-4

o o

-4 1 -4

O, -4 1

-4

pues, si en un determinante toda una fila o columna esta constituido por ceros el determinante es nulo. Así pues, rango(C) 5. es decir, rango(C) ~ 4.

*

Elegimos un menor de orden 4, -]

-4 1 -4 1 -4 1 -4

184

( e 1 -H· 1 + e 2 + e 3 + e 4 )

1

- 1 -4 l -] -4 - ] 1 1 -4

Conceptos clave

( 12~F2+FI)

- 1 1 - 1 -4 - 1 -1

(r

-4 1 1 -4

3

~F

3

+F

- ]

1

(F4 ~ r4 + ¡· ¡)

De esta forma se tiene que rango( C)

1

1

o -5 o o o o -5 o o o o -5

)

(-1) · (- 5)

3

125 *-O.

4.

o

4-1 O Conceptos clave Matriz. Disposición rectangular de m · n elementos, en m filas y n co lumnas. Orden o dimensión de una matriz. Es el número de filas y de columnas que la forman. Matriz cuadrada. La matriz que ti ene igual número de filas que de columnas. Matriz unidad. La matriz cuadrada cuyos elementos son todos O, excepto los correspondientes a la diagonal principal que son 1. Matdz traspuesta. La que se obtiene al cambiar filas por columnas. Matriz inversa. Dada una matriz cuadrada, la matriz inversa es una matriz que multiplicada por la matri z original da la matriz unidad. Determinante. Es un número real que se asocia a cada matriz cuadrada y cuya obtención requiere el conocimiento de unas reglas espec íficas. Ad.junto de un elemento. Es el determinante que se asocia a cada elemento de una matriz cuadrada , afectado de un signo (+)o(-). Matriz adjunta. La que se obtiene al sustituir cada elemento de una matriz cuadrada por su adjunto. Matriz inversible. La matriz cuadrada cuyo determ inante es di stinto de cero. Esta condición equivale a que la matri z tiene inversa. Submatriz de una matriz. Toda matriz que se obtiene al suprimir un cierto número de lineas de la matriz original. Menor de una matriz. El determ inante de cualquier su bmatriz cuadrada de la matriz original. Rango de una matriz. El orden de la mayor submatriz cuadrada cuyo determinante es no nulo.

4-11 Autoevaluación

Problema 1

La matri z traspuesta de la matriz C

185

Temu 4. Matrices y determinantes

r~ ! ~

A) Ct =

- 2 2 -5 7 -1 8

B) No existe, pues C no es cuadrada

C)

e'

2

=

31

1

1 O 4

- 2 -5 2 7

O -1

Problema 2

Dad as la s matrices A

A)

[-36 11] 22 - 2

B) [-22

-111

- 5j

-5

Problema 3

2-3 -5¡ [

Dadas las matrices A = - 1 4

5

B

y

1-3-4¡ [

- 1 3 4 , los valores de A n y 8 11

1 - 3 -4

1 -3 - 4

con n E N son:

A)

A 11 = A y 8 11 = 8

B)

A 11

C)

11

A

=

O y Bn

=

O

= A yB = O 11

Problema 4

~ ~ ~ 1,son: - 2 1 -] J 1

Los adjuntos A21 y A13 de la matriz A= [

A)

186

A 21 = -1 yA 33

2

A utoevaluacirín

B)

A 21

1 y A 33 = 2

C)

A21

l

y A33 = - 2

Problema 5

r~ ~ - j, 2J

El determinante de la matri z A =

2

}

2 4 2

vale:

1

3 1 5 -4 A) IAI = 30

B) IAI = - 30

C) IAI = -25

Problema 6

3 -2 5 2 1 -3

El determinante IAI

A) IAI = - 318

o o

-1 4

o -2

1 -2 4

5

o

2

-2 3 4

o

1

, vale:

3

B) IAI = -280

C) IAI

148

Problema 7

2 - 2 2]

La matriz adjunta de la matriz A =

2 l

[

A)

B)

C)

Adj(A) =

o

es:

3 -2 2

-71

2 -4 O 2 -2 [ -2 4 6

2 -21 [

o 4 Adj(A) = -4 -2 -7 - 2 6 Adj(A) =

2-4-7; [ O -2 - 2

-2 4

6

187

Temo 4. lvforrices 1· derffminonres

Problema 8

o

La matriz in versa de la matriz A

[

1

- 1

1]

1 1 es:

- 1 1 3

1

2-]

- - .) ' 3 3 A) A-

1

-2

1

B) A -

1

3 6 6 1

-2 2 1 - - 3 3 3 -2 1 - 1 - 3 3 6

C) No tiene inversa

2 1- 1 3 6 6

1 -

3 6 6

Problema 9 3 2

La matriz A

A)

rango(A)

15: o o , tiene rango:

1- 1 2

[i

3 OO

B)

2

rango(A)

18

C)

rango(A)

3

C)

rango(A)

3

Problema 10

o

1O

1 1- 1 1

oo

12

La matriz A

1

1 3 3 - 1 2 O . tiene rango:

12 1 o 1O 2 2 - 2 2 oo A)

rango(A) = 2

B)

rango(A)

5

Soluciones del test

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ACCBBACACA

188

;;----------------------------Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

En este tema se estudian los sistemas de ecuaciones lineales y en particular algunos métodos de resolución de los mismos como el Teorema de Rouché-Frobenius y la Regla de Cramer. La resolución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la ciencia, en la tecnología y en la vida cotidiana. Son muchas las situaciones en las que se requiere el planteamiento y solución de tales sistemas pues la resolución de un sistema de ecuaciones lineales se convierte en un paso previo o intermedio a la aplicación de cualquier otra técnica específica para enfrentarse a problemas de mayor complejidad. Trataremos preferentemente el estudio de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

5-1 Ecuaciones lineales Una ecuación lineal es una igualdad con una o más incógnitas donde sólo aparecen números multiplicados por esas incógnitas y sumas de esos productos, así como números. Por ejemplo una ecuación lineal con tres incógnitas, x, y, z, es: 3x + 2y + 7z = 6 donde los números 3, 2, 7 son los coeficientes de las incógnitas y 6 es el término independiente. 5x + 2 = O es una ecuación lineal con una incógnita x; 5 es el coeficiente y 2 es el término independiente. 2/ + 3x + 5 = O no es una ecuación lineal pues aparece la incógnita x elevada al cuadrado. 7x + 2y = 24 es una ecuación lineal con 2 incógnitas, x, y. 3a + 154b = 15a + 12 es una ecuación lineal con 2 incógnitas, a, b. 2x - 6y + 5yz = O no es una ecuación lineal pues la incógnita y aparece multiplicada por la incógnita z.

189

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

- 3x - 3y + z + 2u -

2

v = 5 es una ecuación lineal con 5 incógnitas, x, y, z, u y v. Esta

3

ecuación lineal también puede escribirse - 3x 1 - 3x 2 + x 3 + 2x 4 - ~x 5 = 5 con las incógnitas x 1 , x 2 , x 3 , x 4 y x 5 .

Definición. Una ecuación lineal con n incógnitas es una igualdad de la forma a 1x 1 +a 2 x 2 + ... +anxn = b donde a 1, a 2, ... , an, son n números reales conocidos, que se denominan coeficientes de la ecuación, bes otro número real conocido que se llama término independiente y x 1, x 2, ... , xn son los números reales desconocidos y se denominan las incógnitas de la ecuación. Si b = O, la ecuación lineal se llama homogénea. 3 1 La ecuación - 3x - -y- -z

5

2

O, es una ecuación lineal homogénea, pues el término

independiente vale cero. o • Nota: En una ecuación lineal sus incógnitas tienen todas grado 1, es decir, no están elevadas a ninguna potencia, ni aparecen multiplicadas unas por otras.

Definición. Dados n números reales c 1, c 2 , ... , en, se dice que

es una solución de la ecuación lineal a 1x 1 + a 2 x 2 + ... + ªn xn = b , si al sus ti tu ir las incógnitas x 1, x 2, ... , xn por los números e 1, c2 , ... , en se obtiene una identidad,esdecirsi a 1c 1 +a 2 c 2 + ... +ancn = b.

Definición. Resolver una ecuación lineal consiste en hallar todas las soluciones de la misma. En general, dada una ecuación cualquiera, a la parte escrita antes del signo = se le denomina primer miembro de la ecuación y a la parte escrita después del signo = se le llama segundo miembro de la ecuación.

Ejemplo 1 Dada la ecuación no lineal (por tener incógnitas elevadas a exponentes distintos de I) 3/ + 2y - 1 = - 4y + 2x, la expresión 3/ + 2y- 1 corresponde al primer miembro de la D ecuación y la expresión - 4y + 2x al segundo miembro de la ecuación.

190

Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones y clasificación

Ejemplo2

a) El número 2 es una solución de la ecuación 7x - 5 = 9, pues al sustituir x por el valor 2 se obtiene una identidad 7 · 2 - 5 = 14 - 5 = 9 . Nótese que x = 2 es la única solución de la ecuación y que para encontrarla basta con despejar la variable x: 9+5 7x - 5 = 9-?7x =9 + 5-? X = - - = 2. 7 b) Una so lución de la ec uaci ón x - 2y + 5z = 3 es x = 3 , y = O, z = O, pues 3- (2 ·O) + (5 · O) = 3 . Pero x = O, y = 1, z = 1 tambi én es solución de dicha 3 . Como vemos, esta segunda ecuación tiene más de ecuación ya que 0 - (2 · 1)+(5 · 1) D una solución. • Si x 1 = c 1 , x 2

c 2 , ... , xn = en es una solución de la ecuación

para todo número real r *O , se tie ne qu e x 1 = c 1 , x 2 = c 2 , solución de la ecuación

... ,

x 11

en es también un a

rb.

D

Ejemplo 3

Una solución de la ecuación x + 2y- 5z = 4 es x = 5, y = 2, z = 1, pues 5 + (2·2) - (5·1) = 4. También x = 5, y= 2 , z = 1 , es so lución de la ecuación - 2x -4y + lüz = -8 yaque( - 2·5) + (- 4·2)+(10· 1) = - 8. o

5-2 Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones y clasificación Si considerarnos varias ecuaciones linea les, obtenemos lo que se denomina un sistema de ecuac iones lineales.

Ejemplo4

a) { 7 x + 2 Y - Sz = 1 es un sistema de 2 ecuaciones linea les con 3 incógnitas. 2x - y- z = O Resolver este sistema de ecuaciones es encontrar, si existen , los va lores de las incógnitas x, y, z que verifican simultáneamente la s dos ecuaciones.

191

Tt'11w 5. Sis remos de ecuaciones lin eales

b)

5x+2y-5z= 1 x + Jy + z = 4 es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas, x, y, z. o 2x - y - z = O

• La fórma general de escribir un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es: a l ¡X+ ª12y + a 1_,z = bl

a l IX I + a¡ 2X2 + a 13X3 = bl

ª21 X+ ª22Y + a23 z = b2 , o bien,

ª21X1 + a22X2 + ª23X3 = b2 a31 X1 + ª3 2X2 + a33X3 = b,_,

a3 IX+ ª32Y + ª33Z = b3

donde x, y, z son las incógnitas en la primera expresión y x 1, x 2, x 3 las incógnitas en la segu nda expresión del sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Los elementos a 11 , a 12 , a 13 , .... a 33 son los coeficientes de las incógnitas y b 1, b 2, b 3 los términos independientes. En general. Definición. Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a todo conjunto de ecuaciones lineales de la forma siguiente:

ª1 lxl + ª12X2 + ··· + ª1nxn = bl

r

l

ª21 x 1 + ª22X2 + ··· + ª2nxn = b2

'm 1' 1 + ,,.,, '2 + · · · + 'm" ,,.

~

bm

Los números reales a 11 , a 12 .... , a 11111 , son conocidos y reciben el nombre de rne/icienre.1· del sistema. Los números reales b 1, b2, ... , bm, también son conocidos y se les denomina términos independientes. Por último x 1, x 2, ... , x11 reciben el nombre de incógni1cts.

Definición. Reso!wr un sistema de ecuaciones lineales es hallar todos los valores de las incógnitas que verifican simultáneamente tocias las ecuaciones del sistema.

Definición. Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo cuando sus ténninos independ ientes son todos nulos. En caso contrario se dice que el sistema es 110 homogéneo. u

192

Sis lemas de ecuaciones lin eales. Solu ciones y clasific:ac:ión

Ejemplos

Elsistema

o o o

x-2y+3z-u + v 2x + z - 3u

es un sistema homogéneo de tres ecuaciones con

x+2y - 3 z - u - 2v (x. y, z. u, v) cinco incógnitas , cada una de las ecuaciones de es te sistema es lineal (no o aparecen ni potencias ni productos con incógnitas).

Ejemplo6 Veamos si los siguientes sistemas de ecuaciones están constituidos por ecuaciones lineales así como el número de ecuaciones y el número de incógnitas de cada sistema de ecuaciones.

a){x + 3y - 0,7z=7

x+y+z+t = 3 x+ y ·t = 7

b)

¡x+2y - 7z

x 2 + 2y + z 2 = O

z+ t = 2

¡

O

c)

a) Este sistema está compuesto por una única ecuación lineal con tres incógnitas (x , y, z son las incógnitas) puesto que no aparecen ni potencias , ni productos, ni cocientes de las incógnitas. b) Este sistema tiene la segunda ecuación no lineal puesto que aparece el producto y · t.

e) La segunda ecuación del sistema no es una ecuación lineal pues posee potencias x 2 e z2.

o

Ejercicio 7 Determinar cuáles de los siguientes sistemas de ecuaciones están constituidos por ecuaciones lineales. De éstos, indicar el número de ecuaciones y el número de incógnitas. x + 2y - 7z

a)

l 2

x + -y+O 3z

Solución.

'

o o

b) jx + y = X·

y

c)

\0

x+y +t y+z- t 2x + y + z y - z+t

1

10

o 1 4

a) Cada una de las ecuaciones de este sistema es lineal (no aparecen ni potencias ni productos con incógnitas) , así pues, es un sistema de dos ecuaciones con (x, y , z) tres incógnitas.

b) La segunda ecuación no es lineal (posee un producto de las incógnitas x, y). e) Cada una de las ecuaciones de este sistema es lineal (no aparecen ni potencias 111 productos con incógnitas), así pues, es un sistema de cuatro ecuaciones con (x, y, z, t) cuatro incógnitas. o

193

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

Definición. Se dice que 3 números reales c 1, c 2 y c 3 (también se escribe x = c 1 , y = c 2 , z = c 3 ) son una solución del sistema ª11x + ª12y+a¡3z=b1 ª21x + ª22Y+ª23z=b2

(l)

ª3 1x + ª32Y + ª33Z = b3 cuando son solución de todas y cada una de las 3 ecuaciones que lo forman. Es decir, c 1, c 2 y c 3 es una solución del sistema (1) cuando al sustituir x, y, z por e 1, c 2, c3 respectivamente, se verifican las siguientes identidades: ª11C¡ + a¡2C2 + a13C3:b¡ ª21 el + ª22C2 + ª23C3 - b2

1

aJ I C¡ + a32C2 + a33C3 = b3

• Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es solución de cada una de sus D ecuaciones. Discutir un sistema de ecuaciones es estudiar todas las soluciones que pueden presentarse en él, dependiendo del número de ecuaciones, del número de incógnitas y de las relaciones existentes entre unas y otras.

Definición. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es compatible cuando admite al menos una solución e incompatible cuando no tiene solución. Un sistema compatible es compatible determinado si tiene una única solución. En el caso de tener más de una solución se dice compatible indeterminado. Ya se ha dicho que el proceso de hallar la solución o las soluciones de un sistema de ecuaciones se denomina resolver dicho sistema. • En un sistema de ecuaciones sólo puede darse una de estas tres situaciones: - no tiene solución - tiene una única solución - tiene infinitas soluciones. • En un sistema homogéneo x 1 = O, x 2

O, ... , xn

O siempre es solución del sistema. D

194

Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones y clasfficación

Ejemplos

X+ y + a) {x+3y+z = 7

= 3

Z

c) {

y+z=2

b) {

z = 4

x+2y - z

o

1x + y+ 0,3z =

o

son sistemas de ecuaciones lineales compatibles. a) Se trata de un sistema de una ecuación con tres incógnitas que es compatible, puesto que existe solución para el sistema. Para comprobar esto basta considerar que y toma el valor 2 y que z toma el valor O, entonces x debe tomar el valor l. Es decir x = l , y = 2 , z = O , es una solución del sistema. Existen más soluciones de este sistema, por ejemplo x = 7 , y = O, z = O . Concretamente, basta tomar cualquier par de números a y p, entonces x = 7 - p - 3 a, y = a , z = p , es una solución del sistema. Así pues, el sistema es compatible indeterminado. b) El sistema posee solución. Por la tercera ecuación z = 4. Por la segunda ecuación

necesariamente y = -2. Despejando x en la primera ecuación se obtiene que x sólo puede valer l. Así pues, el sistema es compatible determinado, con solución: x = 1 , y = - 2, z = 4. e) El sistema posee solución, por ejemplo, x = O, y = O, z = O. Luego, se trata de un sistema compatible. Existen más soluciones. Basta considerar z = O y se obtienen las ecuaciones X+ 2y =

Ü

y

1

2x + y

= O

de las cuales los valores x = 2 e y = -1 las verifican. Es más, para cualquier número a se tiene que x = 2a, y = - a, z = O son solución del sistema. Así pues, se trata de un sistema compatible indeterminado. o

Ejercicio 9 Comprobar que son incompatibles los sistemas de ecuaciones lineales:

b)

r

x+y y

ty+2z ~

y+2 x+3

x+y = 7

c)

7 2x + y - z = 3 y+z=7 z = 2

Solución. a) Los valores de x e y que verifican las dos primeras ecuaciones se obtienen al resolver

195

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

¡ ¡ ¡ x+y

2x-y

1

1-

X

y

7 => 2x-7

y

y=> 2x - 7

1 -X

1-x =>

¡y = 3x

por tanto, los dos únicos números que verifican estas ecuaciones son x =

~

e y

5 3

Los valores de x e y que verifican las dos últimas ecuaciones se obtienen a]resolver 2x - y= 7 { 2x - 7 = y { 2x - 7 = y { y= 2x - 7 { y=7 { -x + 2y = 7=> 2y=7+x => 2(2x-7) = 7+x => 3x=21 => x=7 por tanto, los únicos números que verifican estas ecuaciones son: x = 7 e y = 7. Así pues, no existe ningún par de números que verifiquen las tres ecuaciones, es decir, el sistema es incompatible. b) De la primera ecuación se obtiene que x = 2 y de la segunda que y = 3. Sin embargo, estos dos valores no verifican la tercera ecuación (pues x = 2, y = 3 , 2 + 3 cf. 7 ). Este sistema es incompatible. e) De la última ecuación se tiene que z = 2, de la penúltima (una vez que se sabe que z = 2) se obtiene que y = 5, de la segunda (una vez que se sabe que z = 2 e y = 5) se obtiene x = O. Ahora bien, x = O, y = 5 y z = 2 no verifican la primera ecuación, puesto que O + 5 + 2 . 2 cf. 7 . Así pues, este sistema es incompatible. o

5-3 Sistemas equivalentes El concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes y los criterios que permiten pasar de unos a otros son fundamentales para la resolución de los mismos .

Definición. Dos sistemas compatibles de ecuaciones son equivalentes si ambos tienen las mismas soluciones, es decir, toda solución del primer sistema es también solución del segundo sistema, y toda solución del segundo es también solución del primero. Dos sistemas equivalentes han de tener el mismo número de incógnitas, no siendo necesario que tengan el mismo número de ecuaciones. Si se cambia el orden de las ecuaciones el sistema que resulta es equivalente.

Definición. Si un sistema está formado por las ecuaciones E 1 , E 2 , ... , En, una combinación lineal de dichas ecuaciones es la ecuación

donde a, b, ... , h son números reales.

196

Sistemas equivalentes

Con frecuencia interesará obtener un sistema equivalente al sistema dado inicialmente, para que el segundo sea más sencillo de resolver. 5-3.1 Reglas de obtención de sistemas equivalentes

Dado un sistema compatible de ecuaciones lineal es, una forma de obtener sistemas equivalentes es aplicar alguno de los siguientes criterios:

• Primero: Si se multiplican todos los coejicienres y el término independiente de una cualquiera de sus ecuaciones por un mismo número distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al primero.

Ejemplo 10 3x - y + z-u = 1 -z+u = -2 2x - X+ y - 2z = 3

( 1)

Al multiplicar la segunda ecuación por - 2, se obtiene el sistema

3x - y + z - u (2) +2Z - 2U = 4 - X+ y - 2z 3 Al multiplicar la primera ecuación de este segundo sistema por 5, se obtien e -4 X

15x - 5y+5z-5u = 5 - 4x +2z - 2u 4 - x + y-2z 3

(3)

Los sistemas ( 1), (2) y (3) son equivalentes.

o

• Segundo: Si se cambia el orden de sus ecuaciones, resulta un sistema equivalente al de partida.

Ejemplo 11 3x - y + z - u=l 2x - z + u=-2 -x + y - 2z=3

( 1)

2x - z + u=-2 3x - y + z- u=l - X + y - 2z= 3

Los sistemas ( 1), (2) y (3) son equivalentes.

(2)

2x -z + u=-2 - X+ y - 2z= 3

(3)

3x - y + z - u= 1 o

• Tercero: Si se cambia el orden de sus incógnitas, el sistema que se obtiene es equivalente al de partida.

197

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 12

¡

3x-y + z- u= l 2x - z + u=-2 - X+ y - 2z = 3

¡

3x + z- y-u = l

( 1)

2x-z + u=-2 - X - 2z + y= 3

¡

-u + z-y + 3x = l

(2)

u- z + 2x =-2

(3)

-2z + y - x= 3

Los sistemas ( 1), (2) y (3) son equivalentes.

D

• Cuarto: Si una ecuación es combinación lineal de fas otras, puede suprimirse, y el sistema resultante es equivalente al primero.

Ejemplo 13

¡

10x+lly + l2z

En el sistema

2x + 2y- 3z = O

, la primera ecuación se obtiene sumando las otras

8x + 9y + l5z = 1

dos, luego puede suprimirse y resulta un sistema equivalente al dado.

D

• Quinto: Si en un sistema de ecuaciones a una ecuación se le suma una combinación lineal de las otras, entonces el sistema que se obtiene es equivalente al de partida.

Ejemplo 14 Consideremos el siguiente sistema:

¡

2x-y + z= l

x - ~y +z=7

i

( l)

- X + y - 3-z =- ]

Sustituyamos la primera ecuación del sistema E 1 por la ecuación que se obtiene sumando a la primera ecuación la tercera multiplicada por 2, ( E 1 -> E 1 + ( 2 E 3 ) (Et )

=>

( 2 · E3 )

=>

( E 1 + 2 · E3 )

):

2x - y+ z = 1

- 2x + 4y- 6z = - 2 Ox + 3 y - 5 z = -1

es decir 3 y - 5 z

- 1 ( nueva primera

ecuación E' 1 ). Al sustituir esta última ecuación en el sistema ( l ), obtenemos el sistema:

198

Sistemas equivalen/es

3y~5z= - 1

(E'¡)

:? + z= 7

(E'2)

X -

1

- x+2y - 3z=- l

(2)

(E'3)

Los sistemas ( 1) y (2) son equivalentes. Las ecuaciones del sistema (2) las denotamos por E' 1, E' 2, E' 3 respectivamente. Sustituyamos ahora, por ejemplo, la segunda ecuación E' 2 por la ecuación que resulta de multiplicar por - 2 (distinto de cero) dicha (segunda) ecuación y de sumarle la primera multiplicada por 3 y la tercera multiplicada por - 4, (E' 2 -t - 2E' 2 + 3 E' 1 - 4 E' 3 ): (3 · E' 1 )

=>

(- 2·E' 2 )

=>

-2x + y - 2z = - 14

( - 4·E' 3 )

=>

4x - 8y + l 2z =

9y - 15z = -3

4

Haciendo3E' 1 +(-2)E' 2 + (- 4)E' 3 seobtienelaecuación2x + 2y - 5 z = -13. Al sustituir la segunda ecuación de (2) por esta nueva ecuación obtenemos el sistema:

¡

3y - 5z = -1 2x+2y - 5z = - 13 - x + 2y - 3z = -1

(3)

que es equivalente al sistema (2) , y por tanto al sistema ( 1). Es decir, (E¡) ( E2) ( E3 )

1

El -t El+ (2 E3 )

2x - y+,~J 1 x - -y+z=7

- X

=>

+ ; y - 3 Z =- l

E'2 -t ( -2 E') + ( 3 E' I ) + ( -

=>

4 E' J )

¡

3y - Sz =- 1 1 -y + z=7 2 - X + 2 y - 3 z=- J X -

3y - 5z = -1 2x+2y - 5z = -13 -x + 2y-3z = -]

=>

o

Ejercicio 15 Estudiar, aplicando las propiedades anteriores, cuáles de los siguientes pares de sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes:

199

Tema 5. Sistemas de ec11acio11es lineales

2x + 1 - -X + 3

X + y+ z = 2 a)

2x - y + J z = 1

b)

¡

X+ y +

7

2

X+ 2y-

7

3

¡ l

e)

7

2x - y

2

4x + y

16

x + y+z

2x + 3y

2x - y+ J z = 1 x+y

2y + 2z = 4 1 1 1 -y - - Z = - 6 2 6 2 5

-5y + 5z = - 5

x+y

7

4x -2y = 4

Solución. a) Al multiplicar la primera ecuación por 2 se obtiene un sistema equivalente al primero

x+y + z=2 { 2x - y + 3z = 1 y al multiplicar nuevamente por

(.E'- ~ !6 E'-,) 7

(i: 1 ~ 2 E 1 )

=>

~

¡

2x+2y + 2z = 4 => 2x-y + 3z= 1

la segunda ecuación de este último sistema obte nemos

2x + 2y + 2z = 4

2

-X -

=>

{

6

1 3 1 -y + - z = 6

6

=>

6

2x + 2y + 2z = 4 1 1 l 1 => - X - -y + -Z = 3 6 2 6

s i se multiplica la segunda ecuación del último sistema por - 1 ,

=> se obtiene el se gundo sistema de este apartado. Así pues, se trata de un par de sistem cquiva lentes . b) La primera ecuación de los dos sistemas es la misma y la segunda ecuación del segun< sistema es la suma de las dos primeras del primer sistema:

( x +-y+- z = 2) + ( x + 2y - z = 3) que s ign ifica ( x +y+ z) + ( x + 2 y - z) = 2 + 3. La tercera ecuación del segundo sistema es la tercera ecuación m e nos dos veces la segun< ecuación del primer sistema:

- 2(x+-2y-z = 3)+(2x-y+3z = l) => - 5y +5z = - 5. Por tanto. se trata de sistemas equivalentes. e) En el primer sistema se observa que la tercera ecuación es la suma de dos veces primera ecuación y de la segunda ecuación. Así pues , cualquier par de valores que verifiql!(

200

Métodos de reso /11ción de sistemas

las dos primeras ecuaciones también deben verificar la tercera. Por lo tanto. el sistema de tres ecuaciones es equivalente al sigui ente sistema de dos ecuaciones

x + y=7 {

2x - y= 2

El seg undo sistema se obtiene al multiplicar por dos la segunda ecuación del anterior sistema. Luego . son dos sistemas equiva le ntes. o

Propiedades. Si en un si stema se efectúan una o varias de las tran s formaciones siguientes: 1.- cambiar el orden de sus ecuaciones. 2.- cambiar el orden de sus incógnitas. 3.- multiplicar los coeficientes y el término independiente de una ecuación por un número distinto de cero. 4.- sustituir una ecuación del sistema por la ecuación que resulta al multiplicar aquélla por un número real distinto de cero y sumarle otras ecuaciones del sistema multiplicadas por números reales cualesquiera . 5.- suprimir una ecuación que depende de las otras. Entonces el sistema de partida se tran sforma en otro siste ma equivalente. Desde este momento evitaremos la nomenclatura E' 1, E" 1, E'" 1 pasando a indicar por E 1• E2, E 3 las ecuaciones correspondientes al último sistema transformado.

5-4 Métodos de resolución de sistemas Los métodos más elemental es de resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas son los métodos de sustitución , ig ualación y reducción. Veámo slos con un ejemplo en un s istema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Ejemplo 16 Resolvernos por el método de sustitución, igualación y reducción el sistema

4x - 5y = 2 { 5x + 3y=21 a) Aplicamos el método de sustitución. - Paso primero: Elegimos una ecuación y despejarnos una de las incógnitas .

4x - Sy = 2

=> 4x = Sy + 2

=> x=5y + 2 4

.

- Paso segundo: El valor hallado de x lo sustituirnos en la otra ecuación.

201

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

5x + 3y

21

=> 5 (5\+ 2) + 3 y = 21

=> 25y+ 12y = 21 · 4 - 10

=> 25\+ 1O+ 1!y

=> 37y = 84 - 10

21 =>

74 => y = 37 = 2 .

- Paso tercero: Conocido el va lor de y lo sustituimos en e l va lor de x obtenido en el paso pnmero. X

= 5y + 2 = (5 · 2) + 2 = 12 = 3 4 4 4 .

Los valores de x e y que verifican las ecuaciones del sistema son x = 3 , y

2.

b) Resolvemos ahora el sistema por e l método de igualación. - Paso primero: Despejamos en las dos ecuaciones la misma incógnita.

4x-5y=2 5x + 3y=21

=> 4x = 5y + 2

=> x = 5y + 2

=> 5x = - 3y + 21

4

=> x

- 3y + 21 5

- Paso segundo : Igualamos ambas ecuac iones.

5y + 2 4

-3y + 2 1 => 5(5y + 2) 5

4(-3y + 21) =>

25y+ 10 = - l2y +84 => 25y + 12y = 84 - 10

74 => y = 37 = 2.

- Paso tercero: El valor de y lo sustituimos en cualquiera de las ec uac iones obtenidas en el paso primero:

x = 5y + 2 = (5 · 2) + 2 = ~ = 3 4 4 4 . e) Por últi m o, resolvem os el s istema por el método de reducción. - Paso primero: Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por 5.

12x-15y = 6

25x + l5y = l05.

- Paso segundo: Sumamos mi embro a mi embro las dos ecuaciones.

l2x- 15y = 6 25x + 15 y = 105

=> 37x = 111

- Paso tercero: Sustituimos este valor de x en cualquiera de las ecuac iones del sistema.

5x+3y=21 => 5 · 3 + 3y = 21 =>3 y = 2 1 - 15 => y

6

3=

2. o

• Método de reducción: La resolución de sistemas de ecuaciones utilizando las 202

Métodos de resolución de sistemas

transformaciones vistas en el apartado 5-3 se conoce como método de reducción.

Ejemplo 17 Veamos la resolución de los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de reducción:

a)

¡

2x + 3y - X+ 2y

¡

2x+3y + 4z = 10

1

b)

3

3x-2y + 2z = 9

4x + 4y - 3z = 2

a) Se desea transformar e l sistema en otro equivalente que posea una ecuación en una única incógnita. En este caso, el sistema formado por la ecuación primera, E 1 (2x + 3y = 1), y la ecuación segunda, E 2 ( - x + 2 y = 3), es equivalente al sistema formado por las ecuaciones E1 + 2E 2 y E2, donde E 1 + 2E 2 se expresa como (2x + 3y = 1) + 2(- x + 2y = 3) , es

decir, como 2x+3y-2x + 4y = 1 +6

f 2x + 3y = 1 l - X+ 2y = 3

o

7y = 7.

7y = 7 => { -x + 2y = 3

1 { y= 1 y= => { x = 2y-3=> x=-1·

Así pues, la solución del sistema es x = - 1 , y = 1 , y además es única. b) Resolvemos este sistema nuevamente por el método de reducción. Ya hemos visto como con la notación E 3 -+ E 3 - 2E 1 representamos la sustitución de la ecuación tercera por la resta de la tercera ecuación menos dos veces la primera ecuación.

¡

2x+3y+4z = 10 3x - 2y + 2z = 9 4x+4y - 3z

(E2-+2E2- 3E ¡)

=>

(E

3

-+ E3 - 2 E ) 1

=>

j2x + 3y+4z 3x - 2y + 2z

2

j

10 9

- 2y - llz= - 18

2x+3y + 4z = 10 - 13y - 8z = -12 -2y - ll z

-18

¡

5-~y - 2z

X

-13y - 8z = -12.

-2y-llz = -18

Para conocer la solución del sistema formado por las ec uaciones E 1, E2, E 3 debemos conocer primero la solución del sistema: (E

- 13y-8z = - 12

13y+8z= 12

{ - 2y-llz = - 18

2y + llz = l8

1

-+ 2E¡ - 13 E2 )

=>

203

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

{

- l2 7z=-210

~

2y + ll z= l8

1

z = l27 210 11 y 9z

~

1

z = 2127 ]0

12 127

y

12 , z 127

210 127.

2

-

12

ill

Así pues , la única solución del sistema inicial es: x = s - ~( -_g_) -2210 = 233 y 2 127 127 127 '

o

Ejemplo 18 Resolvemos por el método de reducción los siguientes sistemas de ecuaciones: X+ y + 2z =

J

b)

2x-3y-z = 3

a)

a) Realizamos las siguientes transformaciones:

¡

(E ~ 2

2 x- 3y - z = 3

3x - 2 y + z

1

x+2y

3

3 x -3 y= 2

3x - 2y+z=4

X+ y + 2 z = ]

2x + y

E2 - 2 E¡)

¡

X+ y + 2z = J

- 5y-5 z = 1

~

3x-2y + z = 4

4 X + y + 2z =

J

X+ y + 2z =

~

- 5y-5z

5y + 5z = -1

- 5y - 5z

Se trata de un sistema con más incógnitas que ecuaciones, en estos casos, se resuel ve haciendo una de las tres incógnitas igual a un parámetro a y dejando las otras en función del mismo parámetro,

¡

1 - y - 2z 1

X+ y+ 2z = 1

- --z 5 = a

5y + 5z = - I

z = a

El sistema es compatible indeterminado, y para cada valor de a obtenemos una solución. b) Realizamos las siguientes transformaciones:

2x + y = l X+ 2y = 3 3x - 3y=2

204

(E ~ 2

E - 2 E¡ ) 2 ~

¡

2x + y -3x = 1

3x - 3y = 2

(E

3

~ c3 + ~

3E ¡)

.Métodos de resolución de sistemas

se produce una contradicción x

1

3 y

X

~. Así pues, el sistema es incompatible.

o

Exponemos a continuación el método de sustitución y el método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones. • Método de sustitución: En primer lugar, despejamos una incógnita en una de las ecuaciones del sistema y después, sustituimos su valor en el resto de ecuac iones del sistema.

Ejemplo 19

Aplicamos el método de sustitución para la resolución de los siguientes sistemas de ecuaciones: 2x + y = 7 { X - 3y = 2

a)

j

b)

3x+2y+z~4 x - y + 3z-2 2x + y - z = 1

a) Resolvemos el sistema por el método de sustitución, (de una de las ecuaciones se despeja una incógnita) de 2x + y = 7 se obtiene y = 7 - 2x y (se sustituye esta incógnita en la otra ecuación obteniéndose una ecuación con una única incógnita) al sustituir y por 7 - 2x en laecuación x-3y = 2 se tiene:

x - 3(7 - 2x) = 2 => x - 21 + 6x

2 => 7x

23 => X=

Sustituimos en y = 7 - 2x el valor obtenido de x. Así pues, y = 7 - 2(

!)

2

23 7 3

7

El proceso de transformaciones reali zadas con el sistema es el sigu iente:

{

2x + y= 7 X - 3y = 2

{

y= 7-2x

=>

{

y = 7 - 2x X- 3y = 2

=>

[Y 7· ,(2i)

=>

X

23 7

Así pues, la única solución del sistema es x =

y = 7 - 2x x - 3(7 - 2x) = 2

y

e

7x = 23

{

=> X

23

7 '

=>

3 7 23 7

3 y = -7·

b) Resolvemos el sistema por sustitución (utilizamos la incógnita más fácil de despejar en alguna ecuación).

205

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

3x + 2y -r z = 4 x - y+ 3z = 2 {

J3x + 2y + z = 4 =::>

l

x -- y+ 3z = 2

2x + y - z = 1

y

3x + 2( 1 - 2x + z) + z

4

¡

x - (1 - 2x + z) + 3z = 2

=::>

l - 2x + z

¡

-x+3z=2

=::>

y = 1 - 2x + z

y3x + 2z=3 = 1 - 2x + z

Las dos primeras ecuaciones constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Ahora se resuelve este sistema:

f -x+3z = 2::::, \ 3x+2 F

3

5 x = 3z - 2::::,

{ 3x + 2F

3

x = 3z - 2

::::,

{ 3(3, - 2)+2F3

x=3z - 2 ::::,

{

lO . As1. pues, 1a umca ' . so 1uc1on . ' de 1sistema . JI es x

y

5

Jl ' y

, ~ _9_

llr9

Basta sustituir en la ecuación y = 1 - 2x + z, los valores x =

5

11

x = II

1

11

y z = il para obtener

10

Jl'z

9 JI

o

Ejercicio 20 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales b) {

a) { 3x + 2y = 5 2x- y = 3

3x+2y + z= 4_ x-y + 3z = l

Solución. a) Resolvernos el sistema por el método de igualación, (de las ecuaciones se despeja una misma incógnita y se igualan las expresiones obtenidas construyéndose una ecuación en una incógnita):

3x + 2y = 5 {

2x - y = 3

::::,

l

x = 5 - 2y 3 X

::::,

¡5 - 2 y = ~ 3 2

3+y

3+y

-2-

X=

-2-

Se resuelve la primera ecuación en una incógnita en el último sistema 5 - 2y _ 3 + y - - - --::::,

3

2

2(5 - 2y)=3(3 + y)

y al sustituir el valor de y en la segunda ecuación , x

206

=::>

10 - 4y=9 + 3y =::> 3 -t- y - - , obtenemos x 2

y=-7 ,

11 . A, s1 pues,

7

Métodos de resolución de sistemas

1a umca ' . so 1uc10n . ' d e1sistema . es x = 1l

7

,

Y

l

7.

b) El sistema tiene más incógnitas que ecuaciones. Consideremos una ecuación más, por ejemplo, z = a donde a representa a un número real arbitrario.

I 1

¡

3x+2y = 4-a

3x + 2y + z = 4

::::;,

y+ 3z = 1

X -

x - y=l - 3a

3x+2y = 4-a X

1

= ] - 3a + y

3(1-3a+y)+2y = 4-a

=>

z = a

1

3-9a+3y+2y = 4-a X= 1-3a+y

1 Así pues, x =

=>

z = a 6

5-

z=a

8 sª , y = 51 + sª

7

=>

X = 1-3a + y

z = a 5y = 1 + 8a X= 1-3a+y. { z = a

z = a, son las soluciones del sistema.(Existen

infinitas soluciones del sistema, basta cambiar el valor que toma el parámetro a para encontrar varias temas de números que verifican las dos ecuaciones del sistema). Este es un sistema compatible indeterminado. o

Ejercicio 21 Resolvcc pm el método de sustitución el sistema, {

2x-y + z = 2 X+ 2y-z = 1 - 3x+y-3z=-3

Solución. Se despeja, por ejemplo, la incógnita y en la primera ecuación y obtenemos: y = 2x + z-2

(1)

Sustituyendo y por ese valor en las ecuaciones segunda y tercera, resulta el siguiente sistema: x+2(2x + z - 2) - z = 1 { -3x+(2x+z-2)-3z = -3

5x + z = 5 ::::;, { -x-2z = - 1

Despejamos por ejemplo x en la segunda ecuación y obtenemos: X

= 1 -2z

(2)

y sustituyendo en la primera, resulta

5(1-2z)+z = 5 ::::;, 5- lüz+z

5 ::::;, -9z

o ::::;,

z

O. 207

Temo 5. Sistemas de ecuaciones lineales

Sustituyendo ahora en (2) resulta

x = 1 - (2 · O) = 1 , y sustituyendo x , zen (1) por sus valores x

1, z

O, se tiene:

y=2+0-2 = 0. Luego la solución del sistema es x = 1 , y = O, z = O . Como e l sistema tiene una única so lución se trata de un sistema co mpatible dete1111inado, según las definiciones del apartado 5-2. o

• Método de Gauss: Resolver un sistema den ecuaciones con n incógnitas por el método de Gauss consiste en obtener mediante las transformaciones que aparecen en el apartado 5-3, otro sistema equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita me nos que la anterior. La transformación se hace paso a paso construyendo una cadena de sistemas equivalentes y el sistema obtenido tendrá una ex presión "triangular", o tambi én conocida como forma "escalonada".

• No ta: S i e l coeficiente a 11 de la primera incógnita de la primera ecuación es cero la primera transformación consiste en cambiar el orden de las ecuaciones ele forma que el nuevo b 11 sea distinto de cero. En el caso n = 3, se trata de obtener, (al apl icar las transformaciones del apartado 5-3), el siste ma triangular (2), c 11 x + c 12 y + c 13 z = cll

ª 11x+ ª12y+a¡3 z = b1

C22 Y + C23Z = d2 ,

ª 21x+ ª22Y+ª23z = b 2

1

C33Z = cl 3

ª31x+ ª32y +a33z = b 3

( 1)

(2)

y se resuelve este último sistema de ecuac iones. Si se trata de un sistema de n ecuaciones con n incógn itas la ex pres ión "triangular", o "escalonada "es : C12X2 +

... +clnxn = d¡

C22 X2 + · · · + c2nxn = d 2

(siendo e 1 1 ctc O , c 22 *O , ...... , c 11 _ 1 11 _ 1 ctc O, cnn ctc O) y se resue lve este último sistema de ecuaciones. o

208

Afétodos de resolución de sistemas

Ejercicio 22

2x-y-3z= 1 _ x + 2y _ z= 5

Reso lver por el método de Gauss el sistema

1

3x +y+ z= 1

Solución. Co mo el coeficiente de x en la primera ecuación es diferente de cero no es necesario camb iar el orden de la s ecuac iones. Multiplicamos la primera ec uación por 1

2x - y - 3z= l ( I ) E l -+ -2E I - x+2y-z = 5 3x+y+z=l =>

1

3

1

3

5

11

X-

3

~

:

1

::?- 2z= 2

( r 2 -+

E2

+

L 1)

=>

- X+ 2y- z= 5

3x + y+z = 1 1

3

1

3

5

11

x-2y - 2z= 2

x-2y -2z =2

( c -+t: 3

2y - 2z=2

3

- 3E 1 )

2y - 2z = 2

=>

5

3x+y+z=l

11

1

2y + 2 z=- 2

Obsérvese como en las dos últimas ec uaciones no aparece ya la incógnita x. Para simplificar los cálculos podemos, en primer lugar, multiplicar por 2 las dos últimas ecuaciones, y seguidamente la segunda la dividimos por 3:

( E 2 -+2E2)

=> (E

3

-+

2E 3 )

1

3

1

1

3

1

x - 2y - 2z = 2

x - 2y - 2z= 2

5

3y - 5z= ll 5y + ll z=- l

=>

11

=>

Y - 3z= 3

5y + 11 z=- 1

Restamos a la tercera ecuación la segu nda multiplicada por 5:

( E,-+ .)

=> E, -5E?) -

5 y- 3z

11 3

.)

58 Z 3

-

58 3

De la tercera ecuación obtenemos que z = -1 . Sustituyendo z por - 1 en la segunda

209

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

ecuación tenemos:

y- ~(-1)=131

---+

Por último, sustituyendo y por 2 y z por -1 en la primera ecuación resulta:

Luego la solución del sistema es x = O , y

2,z

-1.

o

Ejemplo23 Aplicamos el método de Gauss en la resolución del sistema

5x-5y-6z 5 5 x + 3 y - z = 1O

1

3x + 2y+ 7z = 2 Si se cambia el orden de escritura de las incógnitas se obtiene un sistema equivalente y si se cambia el orden de escritura de las ecuaciones se obtiene otro sistema equivalente. 5x-5y-6z

5

5x+3y- z { 3x + 2y + 7z

10

(se cambia el orden de las incógnitas para escribir números pequeños en primer lugar)

2

-6z + 5x- 5y

5

- z+5x+3y

10

1 7z + 3x + 2y = 2

(se cambia el orden de las ecuaciones para escribir números pequeños arriba)

-z+5x+3y=10( E --, __ _,,_ E + 7E¡ )1-z+5x+3y=lO(E---+E-6E¡) 2 2 3 3 - 6z+5x-5y = 5 => - 6z+5x-5y = 5 => 38x + 23y = 72 1 7z + 3x + 2y = 2

1 1

+ 5x + 3y = 10 -25x-23y = -55 38x + 23y = 72 z

(se han conseguido coeficientes cero para la zen las dos últimas ecuaciones)

Cambiamos el orden de las variables nuevamente,

z+3y+ 5x = 10 (E3---+E3-E2) 23y + 25x = 55 => 23y + 38x = 72

1

z

+ 3y + 5x = 10 23y+25x = 55 13x = 17

(se ha conseguido un sistema que posee una ecuación con una incógnita, otra con dos incógnitas y otra con tres incógnitas). Se resuelve este sistema 210

Métodos de resolución de sisrenws

3y + 5x -

1O

55 25 23 - 23x

165 299

=

z

290 y = 299

17 13

17 13

X

o

Ejercicio 24 Resolver por el método de Gauss el siguiente sistema homogéneo

X+ 2y +

Z

=

Ü

2x + 2y + 3z = O j 3x + 4y + 4z = O

Solución.

¡

X+ 2y +

o

Z

(E 2 ~E 2 -2 E¡) ~

2x+2y+ 3z = O

jx+2y + Z = Ü -2y + z = O

3x + 4y + 4z = O (r: 3 ~E 3 -3E¡)

~

{ X+ 2y

+

Z

=

-2y +z=O

(se ha suprimido la última ecuación por ser igual a la segunda)

Ü

- 2y + z = O

El sistema tiene más incógnitas que ecuaciones. Consideremos una ecuación más, por ejemplo, z = a donde a representa a un número real arbitrario.

{ X+ 2y + Z = Ü -2y + z = O

¡

~

x+ 2(~) = -a

Así pues, x =

a

y=

z = a

-2a , y

X+ 2y = -a

+ 2y ~ -a

- 2y = -a z = a

~

l

-a

y = -2

~

z = a

x: :2a

~

2

l, ¡

y - 2 z = a

a

2 'z = a son las soluciones del sistema. (Existen infinitas

soluciones del sistema, basta cambiar el valor que toma el parámetro a para encontrar varias temas de números que verifican las dos ecuaciones del sistema). Este es un sistema compatible indeterminado. o

211

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

5-5 Matrices asociadas a un sistema de ecuaciones Antes de dar la definición general de las matrices asociadas a un sistema de ecuaciones exponemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 25 2x + y-z-2u = x-y-3z+u

- 12

x - y - z-u

- 6

x+y+z+u ampliada las siguientes:

10

El sistema

tiene por matriz de los coeficientes y matriz

~_\ =~ ~2 _;2] 1 - 1 -1 -] -6 r

2 1 - 1 -2, 1 -1 -3 1 : -1 -1 ~1

r

1

matriz de los coeficientes

10

matriz ampliada

D

Definición. Dado el sistema de m ecuaciones con n incógnitas ª1 ¡X¡+ ª12X2 + ... + ª1nXn = b¡ a21Xl + a22X2 + ... + ª2nXn = b2 ªm¡X¡ + ªm2X2 + ... + ªmnxn = bm se denomina matriz de coeficientes y matriz ampliada de dicho sistema a las siguientes matrices: a¡ I ª12

ªin

a¡ I ª12

ª111 b¡

ª21 ª22

ª2n

ª21 ª22

ª2n b2

ªmi ªm2

ª11111

ªmi ªm2

ªmn bm

matriz de coeficientes

matriz ampliada

• Los coeficientes y término independiente de la ecuación i-ésima situados en la matriz ampliada fonnan la fila i-ésima de dicha matriz. Los coeficientes que multiplican a la incógnitaj-ésima forman la columna j-ésima.

212

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

En el ejemplo 25 la fila tercera está formada por 1 -1 -1 -1 -6 y la columna cuarta por

- 2 l -1 [

D

• Al referimos a las matrices asociadas a un sistema de ecuaciones "la ordenación de las

incógnitas ha de ser la misma en todas las ecuaciones". Notas históricas

Car! Friedrich Gauss (] 777-1855) fue un matemático, fisico y astrónomo alemán que por sus numerosas e importantes aportaciones puede ser considerado el mayor de los matemáticos de todos los tiempos. Entre sus muchas contribuciones está el teorema que asegura que toda ecuación polinómica de grado n tienen raíces complejas.

5-6 Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas de la forma siguiente: al ]XI+ a¡2X2 + ... + ª1nXn

= b¡

ª21X1 + ª22X2 + ... + ª2nxn

= b2

ªm I xl + ªm2X2 + · · · + ªmnxn

= bm

podemos considerar su matriz de coeficientes

A

ª11

ª12 ... ªIn

ª21

ª22· .. ª2n

y las matrices columna

X

y

B

teniendo en cuenta ahora lo estudiado en el tema 4 acerca del producto y la igualdad de matrices, se puede dar la siguiente expresión matricial del sistema anterior: ª11

ª12"'

ªin

X¡

b¡

ª21

ª22···

ª2n

X2

b2

ªml ªm2"' ªmn

xn

bm

213

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

o abreviadamente, en su expresión matricial

A·X=B Una n-upla ( c 1, c 2, ... , c 11 ) es una solución del sistema anterior cuando A · C

B, siendo

e

o

Ejemplo 26 2x - 5y + 4z + u = - 3 Escribimos la expresión matricial del sistema

x - 2y + z - u= 5 x-4y + 6z+2u = 10

La matriz de coeficientes, la matri z columna de las incógnitas y la matriz de los ténninos independientes son respectivamente:

A

[

2-54 ll 1 -2 l - 1

1 -4 6 2

Por tanto , la expresión matricial del sistema anterior será A · X

l

B , es decir,

[2-5 4-1l rxJ ¡-3¡ 1 -2 1

1 -4 6 2

y z

u

5 ·

o

10

• Nota: La notación matricial presenta la ventaja de no tener que escribir de forma reiterada las incógnitas.

Ejercicio 27 Estudiar el sistema de ecuaciones dependiendo del valor que tenga el número real a.

214

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

¡

ax + y+ 3z = 3 X -

y-

Z

=

Ü .

5x-3y-2z = 6

Solución. Utilizamos el método de Gauss para estudiar las soluciones del sistema dependiendo del valor que tenga el número a; a no es una incógnita, sino que es un número, por tanto se trata de un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas x, y, z. Primero reordenamos incógnitas y ecuaciones, para reescribir el sistema de tal forma que se opere con el número a lo menos posible; interesa dejar a como coeficiente de la última variable en la última ecuación.

¡

ax+ y+3z - 3

¡

3 O =>

x-y-z=O

5x-3y-2z = 6

Z-

y+

X =

Ü

-2z-3y+5x = 6.

= 6

3z + y+ax = 3

2 2 -1 -1 1 (E 3 ~ E 3 - 2E2) ¡-1 -1 -1 -1 1 -2 - 3 5 6 O -1 3 6 => O -1 31 6 · => [ [ O O a - 3 -9 3 1 a 3 (E 3 ~ E3 + 3E¡) O - 2 3+a 3 Mediante todas las transformaciones hechas al sistema se obtiene el sistema equivalente

º)

(E

º[

~ E - 2E¡)

-¡

z-y +

X

º,

= Ü

-y+3x=6

(a-3)x=-9

En este sistema aparece una expresión absurda si a= 3, concretamente, O= - 9, luego en este caso se trata de un sistema incompatible.

Si

a, 3, entonces se tiene,

¡:

3x - 6 -9 a-3

-9-6a -9 6a a-3 a-3 a - 3 -9 -9-6a y = 3 a-3 - 6 a-3 z =

x-y

=>

X

=

-9 a-3

Por tanto, si a = 3 el sistema es incompatible, mientras que si a compatible y determinado.

*3

el sistema es o

Ejercicio 28 De una caja que contiene piezas de dos tipos A, B, se desea determinar su peso y el peso de cada una de las dos piezas. Para ello se sabe: a) Dos cajas y una pieza A pesan 19 kilogramos. b) Una pieza A y una caja de la cual se han sacado dos piezas B pesan 6 kilogramos. c) Tres cajas, una pieza A y tres piezas B pesan 34 kilogramos. 215

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

Solución. Si designamos por x el peso de la caja, y el peso de la pieza A y z el peso de la pieza B, entonces los apartados a), b) y c) se pueden expresar de la siguiente forma: a) b)

j2x+y => X+ y-2z

j c)

19 6

3x+y+3z = 34

Resolvemos este sistema por el método de Gauss,

l 219: []1 -23 31 346 Ü

F2--+F2-F1

=> ¡;

3

--+ ¡; - F ¡ 3

[l

Ü 2 191 O -2 -1 -13 Ü 3 1 15

=>

l o 2 191 0-2 - 1 - 13· [ O O -1 -9

El sistema es equivalente al sistema y

1

+ 2x = 19 -2z-

X = -1.3 ::::;, - X= -9

y

j

19-2x = 1

zx=l32-x=2

= 9

Resultado que permite afirmar: La caja pesa 9 Kg, una pieza del tipo A pesa 1 Kg y una pieza del tipo B pesa 2 Kg. o

5-7 Método de Cramer La regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones. La base teórica no resulta sencilla pues en su demostración es necesana la utilización de la matriz inversa, sin embargo el uso de la misma es sencillo pues emplea el cálculo de determinantes y da lugar a una forma operativa útil y fácil de recordar. Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es de Cramer cuando tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y además el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. La solución x 1,x 2 , ... ,x 0 de todo sistema que cumpla las condiciones anteriores viene dada por:

siendo: 1

Al

el determinante de la matriz de los coeficientes.

1A 11 el determinante de la matriz que se obtiene sustituyendo la primera columna de la matriz de los coeficientes por la matriz de los términos independientes.

IA2 /

el determinante de la matriz que se obtiene sustituyendo la segunda columna de la matriz de los coeficientes por la matriz de los términos independientes.

/A 11 / el determinante de la matriz que se obtiene sustituyendo la n-ésima columna de la matriz de los coeficientes por la matriz de los términos independientes. o 216

Mé1odo de Crw11 er

Ejemplo 29

Consid eremos un sistem a de dos ec uac iones con dos in cóg nitas

IA I

Portanto, x

/A1 I

w

2 1

- h" ü: /A i/

1 -1

2 1 O- 1

·lJ

_ /

x+y= 2 X - y = Ü 2

/J\ 2/ =

o-]

- 2.

o

2 -2 -2

o

IA2/

w

1: y

1- 1

-2 -2

1.

- 1

n • Esquema de la dem ostración de la regla de Cramer . desde la ex pres ión matric ial de un siste ma de ecuaciones : A X = B => (A

- 1

·A) · X

=

1

A - · (A· X) = (A 1

A- · H =>

1· X

- 1

=

· B ) => 1

A- · B

=>

X

A-

1

•

B

Reg la de Cramer. Si un sistema de ecuaciones lin ea les, con igual número de ec uac iones que de in cógnitas, verifi ca que su matri1 de coefic ientes tiene determin ante di stinto de cero, ento nces di cho sistema adm ite una úni ca solu ción y ésta viene dada po r:

siendo [Al el determinante de la matri z de los coeficientes y /A;/ el determinante de la matri z que se obti ene sustituyendo la i-és im a co lumn a de la matri z de los coeficien tes por la matriz de los términ os indepe ndi entes.

Ejemplo 30

2x - y+ z = 3 Res olvamos por la reg la de Cra mer el siste ma

x -"- 3 y - 2z = O . 4 x-3y +

7

=

Pri merame nte se comprueba que se tra ta de un sistema de Cra mer, es dec ir que el rango de la matri z de coeficientes coincid e co n el núm ero de ecuaciones y co n el num ero de incógnitas, para ell o, escribirnos el sistem a de forma matricial , 217

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

y se estudia el rango de A. Estudiamos inicialmente el determinante de A. 2-1 1 1 3 -2 4 -3 1

IAI

- 12;,tO.

6 + 8 - 3-12+1-12

Al ser IAI ;,t O se tiene que rango(A) = 3 . Luego, es un sistema de Cramer. Aplicamos la regla de Crarner. ~ -31 [

_i)

4 -3 1

J

1 2 3 1 coeficientes de x, 2 coeficientes de y, 3 coeficientes de z, de cada ecuación.

3 -] 1 o 3 -2 1-3 1

1 X = IAI .

z =

2-] 3 1 3 o 4 -3

1

IAI.

Las soluciones son

X

5 , y 6

= -

5 6

1 IAI.

y

2 3 1 1 O- 2 4 1 1

11 , 6

19 6 11 , z 6

19

o

6'

Ejercicio 31

Roso lve,· poc d método de Crnmec, el ,;stema de ecuac;ones

j

2x - y+z = 1 X+ 2y - 3z = Ü

y - 2z Solución. El determinante de la matriz de coeficientes es:

IAI

2 -1 1 2 -3

O 1 -2

218

- 8 + 1 + 6 - 2 = -3.

3

Teorema de Rouché-Frobenius

Como IAI = -3 -et- O, el sistema anterior es un sistema de Cramer; tiene una única solución que viene determinada por:

X

=

y

z -

1

IAI

1 o 2 -3 3 1 -2 1 -1

(-D (- ~)

2 1 1 1 O- 3 O3 -2 2 -] 1

o

2 o 1 3

Luego la solución del sistema es x

(- D( - 4+9-6+3)

( - D(3+]8+2)

2

- 3'

23 - 3 '

16 ( - Dc12+1+3) - - 3.

2

- 3, y

23 - 3'z

16 - 3.

D

Notas históricas

Gabriel Cramer(l 704-1752) fué profesor de Matemáticas en Ginebra y puede calificársele como uno de los iniciadores del estudio de la Geometría Analítica. Su método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales aparece por primera vez en su libro "Introducción al Análisis de las Curvas Algebraicas".

5-8 Teorema de Rouché-Frobenius El teorema de Rouché-Frobenius permite poder conocer si un sistema de ecuaciones tiene solución y en caso afirmativo saber cuántas son, en función del rango de la matriz de coeficientes y del rango de la matriz ampliada asociadas al sistema.

Teorema de Rouché-Frobenius. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución es que la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada tengan el mismo rango . Si el rango r coincide con el nº de ecuaciones ( r = n) el sistema es compatible determinado y si r < n, entonces el sistema es compatible indeterminado. Si los rangos no coinciden el sistema es incompatible.

219

T!!mo 5. Sist emas de ecuaciones lineales

Ejercicio 32 2x - 5y + 4z + u =

Discutir y resolver, en su caso, el sistema

3

x-2y+z - u = 5 x-4y+6z + 2u = 10

l

Solución. Las matrices de coel1cientes y ampliada son respectivamente:

A =

[

2 -5 4 l 1 -2 1 - 1

y

B =

1 -4 6 2

21 -5-2 41 - 11 -3 j 5 · [1 - 4 6 2 10

Nótese que, en todo sistema, la matriz de coeficientes es una submatriz de la matriz ampliada y. por tanto, rango (A) ~ rango ( B) . En este caso además, rango (A) ~ rango (B) 2 -5

Como a 11

y

=- 4 + 5

~

mínimo{ 3, 5

:= 3.

1 ;te O,

_ ')

2 -5 4 1-2 1

- 24 - 16 - 5 + 8 + 8 + 30

1 *O.

1 -4 6

resulta que 3 = rango (A) ~ rango (B) ~ 3 y, por tanto, rango(/\) = rango (B) = 3 y el sistema es compatible. Además , como el número (n) de incógnitas del sistema es 4, se tiene rango (A) = rango (B) = 3 < 4 y, por tanto, el sistema es compatible indeten11inado. Reso lva mos ahora el sistema. Como los coeficientes que componen el menor no nulo de ord en 3 que sirvió para detenrnnar el carácter del sistema. corresponden a las incógnitas x. y. z. se considera el sistema 2x-5y + 4z x - 2y+z

- 3-u 5+u

x-4y+6z = I0 - 2u

en el que las incógnitas son x, y, z. Resolviendo este sistema mediante la regla de Cramer, resulta: - 3- u

-5

4

5+u

-2 -4

6

10 - 2u X

220

124 + l 6u,

Teorema de Rouché-Frobenius

-3-u 5+u 10-2u

2

y=

-5 -2 -4

2 1

4 1 6

= 75 + 9u, z =

1

-3-u 5+u 10-2u

31 + 3u.

1

Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema inicial es

{ ( 124 + 16 u, 75 + 9 u, 3 1 + 3 u, u) : u

E

R} .

D

• Resultado que permite discutir los sistemas homogéneos, en general: Todo sistema homogéneo admite la solución (O, O, ... .,0), que se denomina solución

trivial. Por otra parte, de la Regla de Cramer resulta que si un sistema homogéneo, con igual número de ecuaciones que de incógnitas es tal que su matriz de coeficientes tiene determinante distinto de cero, entonces dicho sistema no admite ninguna solución distinta de la trivial.

Propiedad. Un sistema homogéneo posee solución distinta de la trivial si, y sólo si, el rango de su matriz de coeficientes es estrictamente menor que el, número de sus incógnitas.

rango

ª11

ª12···

ªin

ª21

ª22···

ª211

< n.

ªml ªm2··· ªmn

• Nota: De lo anterior resulta que todo sistema homogéneo, que posee alguna solución distinta de la trivial, es compatible indeterminado.

Ejercicio 33 ¿Tienen solución no nula los siguientes sistemas homogéneos? X

a)

-

y-

Z

=

4x + 5y- 3z

Ü

3x + 2y- 8z = O 2x+ y-5z = O

b)

t

O

2x + y

2x + 2y-z

O. = O

Solución.

a) Que el sistema es compatible está claro pues los valores x = O, y verifican la ecuación y, por tanto, constituyen una solución del sistema. Escribimos el sistema en forma matricial,

O, z

o,

221

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

A·X

B

[

3I -21 -- 811

2

-5

· [xj y

[ºj

z

O

O ,

y determinamos el rango de la matriz de coeficientes A, que forzosamente coincide con el rango de la matriz ampliada A , pues ésta aporta una columna de ceros, y cualquier menor que la contenga se anula. 1 -1 - 1

IAI

3 2 -8 2

- 10 - 3+16+4+8-15

O,

-5

así pues, rango (A) "# 3 . Ahora bien, al tomar el menor de orden 2,

l -1

5 "#O

2+3

3 2

,

se tiene que rango (A) = 2 . Por lo tanto se trata de un sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones; con un grado de libertad, una incognita actúa como si fuera un parámetro, es decir, una variable se sustituye por un parámetro. Además, el sistema es equivalente al formado por las ecuaciones que intervienen en el menor no nulo que determina el rango: X{

y - z=

Ü

3x+2y-8z = O

Podemos considerar que la incógnita z actúa como un parámetro, es decir, z = ), , entonces el sistema se reescribe de la forma: X - y= A 3x + 2y = 8A

{

=>

{

X = A+ y 3(A + y) + 2y = 8A

=>{

X = )., + y 3A+3y + 2y = 8A

=> {

X= A +y

y=A

Luego, las soluciones del sistema dependen de un único parámetro: x =

n ; y=

A; z = A.

b) Que el sistema es compatible está claro pues los valores x = O, y verifican la ecuación y, por tanto, constituyen una solución del sistema. Escribimos el sistema en forma matricial ,

A·X

B

222

-31 [xj _ [ºj

4251 o · y - o , [

22 - 1

z

O

O, z = O,

Teorema de Rouché-Frobenius

y determinamos el rango de la matriz de coeficientes A, que forzosamente coincide con el

rango de la matriz ampliada A, pues ésta aporta una columna de ceros, y cualquier menor que la contenga se anula.

4 5 -3 2 1 O 2 2 -1

IAI

o,

así pues, rango (A) ,;,. 3 . Ahora bien, al tomar el menor de orden 2,

4 5 2 1

4-10

-6 *-O,

se tiene que rango (A) = 2, que es menor que el nº de incógnitas y, por tanto, el sistema homogéneo es compatible indeterminado, infinitas soluciones, con un grado de libertad. El menor elegido con determinante distinto de cero, permite afirmar que la 3ª ecuación del sistema de ecuaciones es combinación lineal de la 1ª y 2ª ecuaciones, por tanto se puede suprimir. Obtenemos el sistema equivalente { 4 x + 5 Y = 3 z 2x +y= O sistema que se resuelve mediante la regla de Cramer:

X=

3z 5

4 3z

o

2

1

-6

3z -6

z 2

'

y=

o

-6

-6z -6

z.

Podemos considerar que la incógnita z actúa como un parámetro, es decir, z las soluciones del sistema dependen de un único parámetro:

x=

A,

2

1c. Luego,

;y=1c;z=1c.

o

Ejercicio 34 Discutir el siguiente sistema de ecuaciones y resolverlo en los casos en que sea posible.

¡

2x + y

1

X+ y-2z

1

3x +y+ az = b

223

Tema 5. Sisternas de ecuaciones lineales

Solución.

A -X

Üj

B [

21 1 ] -2 · [XJ y

3 1 a

[]]1

A

b

z

2 1 O 1-2

Se estudia el determinante de la matriz de coeficientes IAI

a - 2.

3 1 a Luego , si a* 2, entonces rango(A) = 3 y rango(A) tiene un sistema compatible y determinado. de solución,

o X

1

1

IAI

b

a

1

o

2 1 -2b + 2 a- 2

2

1

3 . Así pues, e n e l caso a* 2 se

l

y

IAI

1

1 -2

3 b a

a+ 4b - 6 a- 2

2

1 IA I

z

Sea a

3

b

b- 1 a-2

2. Se estudian los menores de orden 3 de la matriz A :

2 1 O 1 1-2

IAI

2 1 1

o

1

3

3 l 2

b- 1 b

1

1 O

2 O 1

1-2 1 3 2 b

= - 4 b + 4 = -4 ( b - 1)

Estos menores se anulan para b

Sia

2 , entonces rango( A)

rango(A)

2

y

I l

si b

*1

2 y b

*l,

rango(A)

3

rango(A) = 2

se tiene un sistema incompatible, es

* rango(A).

En el caso a = 2 y b

224

=2-2b = - 2(b-l)

l.

si b = 1

Por tanto, en el caso de a

1

1 - 21 1 2 b

1 se tiene un s istema compatible indeterminado. con un grado de

Concepros clm ·e

libertad, rango(A) = rango(A)

2, equivalente al sistema,

2x + y = 1 { x+y-2z =

Elegida x como la incógnita que actúa ele parámetro , x

¡

1-n

y

->

cuyas soluciones son:

X

y = l - 21. f.

=

z

Y- 2z = l - "-

"-

A, se tiene,

y

2

1-n

z =

IJ

5-9 Conceptos clave Solución de un sistema. Conjunto ele valores que verifican tocias y cada una de las ecuaciones. Discusión de un sistema. El estudio de todas las posibilidades ele solución que pueden darse en el sistema. Sistema compatible determinado. Sistema que tiene una solución única. Sistema compatible indeterminado. Sistema que tiene in linitas soluciones. Sistema incompatible. Sistema que no tiene solución. Método de Gauss. Co11junto de transformaciones que permiten pasar de un sistema general a otro triangular equivalente. Sistema homogéneo. Sistema en el que todos los términos independientes de las ecuaciones valen cero. Regla de Cramer. Se aplica en sistemas con igual núm ero de ecuaciones que de incógnitas, y tales que la matriz de coeficientes tien e determinante distinto de cero. El sistema admite una única solución. Paran = 3: X

= IAxl . Y = ~ . IAI ' IAI '

Z

= IAzl IAI

Teorema de Rouché-Frobenius. Un sistema no homogéneo es compatible si y só lo si el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el ran go de la matriz ampliada. Si el sistema es compatible y res ese rango común: si r = n . el sistema es compatible determinado si r < n , el sistema es compatible indeterminado Si los rangos son distintos, el sistema es incompatible.

225

Tema 5. Sistemas de ecuaciones lineales

5-1 O Autoevaluación

Problema 1 Los sistemas de ecuaciones

¡

X+ y+ Z + t = 3

a)

b)

X+ y· t = 7

JX+ 2y- 7z

l

=

Ü

x 2 + 2y + z 2 = O

z +t = 2

x+y +t= y+z-t = 2x +y+ z = y-z+t =

c)

1

10 O

1 4

verifican: A) Los sistemas a) y c) son sistemas de ecuaciones lineales. B) El sistema b) es un sistema de ecuaciones lineales. C) El sistema c) es un sistema de ecuaciones lineales.

Problema2 Los pares de sistemas de ecuaciones

a)

J X+ y+

Z

= 2

l2x-y+3z =

b)

J ::

2:: : : :

l2x-y+3z=l

¡

x+y=7

c)

¡

2x + 3y

= 5

-5y+ 5z = -5

2x-y=2

J

4x+y = 16

l4x-2y=4

x+y=7

verifican: A) El par a) son sistemas de ecuaciones equivalentes. B) El par b) no son sistemas de ecuaciones equivalentes. C) El par c) no son sistemas de ecuaciones equivalentes.

226

x+y+z=2

A utoevaluación

Problema 3

La solución (x 1,y 1,z 1) del sistema de ecuaciones

j

2x + 3y + 4z

10

3x - 2y + 2z

9

4x+4y-3z

2

verifica:

B) y 1 > O

Problema 4

¡

X+ y+ 2z

El sistema

2x - 3y - z

3 es:

3x - 2y + z = 4

A) Compatible determinado B) Compatible indeterminado C) Incompatible

Problema 5

5x - 5y - 6 z

La solución ( x 1,y 1,z 1) del sistema de ecuaciones

j

5

5x + 3 y - z = 1O verifica: 3x +2y + 7 z = 2

A)

X¡

165 299

B) y 1 < O

C)

o> Z¡

Problema 6

El sistema

j

X+ 2y + Z

Ü

2x + 2y + 3z = O verifica: 3x + 4y + 4z = O

A) Es compatible determinado. B)

x 1 = -2a. , y 1 = ~ , z 1 = a. son las soluciones del sistema.

C) Es incompatible.

227

Temu 5. Sistemas de ecuaciones lineales

Problema 7

cxx + y + 3z = 3 x - y - z = O verific a:

El siste ma

5x - 3y - 2z = 6 A)

Si a = 3 el sistema es compatible indeterminado.

B) Si a

c1c

- 9 - 9 - 6a 6a ) 3. ( - - .- - - . - - es la so lución del sistema. a - 3 a - 3 a - 3

C) Si a

c1c

3 el si stem a es incompatible.

Problema 8

3x+ 2y + z = 4 La solución ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) del si stema de ecuacione s

x - y + 3z = 2 verifica:

2x + y - z = B) Z ¡ + Y1 > Ü

C)

0 > Z 1 +X I

Problema 9

4x + Sy- 3z = O El sistema

2x + y 2 x+ 2y - z

A)

O verifica: O

(x 1 .y 1 ,z 1 ) = (3 A,-6 A). ) noes soluciónde lsistema.

(- ~, A.A) no es solución del sistema. (0.0,0) es la única solución del si stema.

Problema 10 El sistema

228

2x + y X+ y - 2z 3x + y+ az

verifica:

b

A 11Toe\·u/11uc ió11

A)

Es compatible indeterminado para a * 2 .

B)

Es compatible determinado para a = 2 y b * 1 .

C) Es compatible indeterminado para a

=

2 y b

=

1.

Soluciones del test

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CAABCRBBAC

229

-fii------------------Tema 6. Geometría vectorial del plano

Consideremos dos magnitudes fisicas como la temperatura y la velocidad instantánea de un cuerpo. La primera podemos medirla con un número en una escala conveniente, y así decimos que una temperatura es de - 13º grados. Sin embargo, para describir una velocidad necesitamos no sólo una cantidad, 124 Km/h, sino también debemos indicar la dirección y el sentido del cuerpo en movimiento. Las magnitudes del primer tipo, como la temperatura, se llaman escalares y las del segundo, como la velocidad, vectoriales. Las magnitudes vectoriales dan una información geométrica adicional mediante unos objetos matemáticos que se llaman vectores. En este tema se introducen los vectores del plano y en el siguiente se estudiarán los vectores del espacio tridimensional. Hemos visto como se pueden describir los puntos mediante coordenadas. Las soluciones de ecuaciones o sistemas de ecuaciones determinan conjuntos de coordenadas que corresponden a figuras u objetos geométricos. La Geometría Analítica, que es la geometría que usa las coordenadas, trata de estudiar las propiedades geométricas de las figuras mediante propiedades algebraicas de las ecuaciones correspondientes. Con ayuda de los vectores veremos como a cada recta del plano le podemos asociar una ecuación lineal de la forma ax+ by+ c = O, con a, b, c ER tales que (a, b) 7' (O, O). Además, cada ecuación lineal como la anterior determina unívocamente una recta del plano. El hecho de que dos rectas del plano se corten en un punto se puede expresar por una condición de compatibilidad de un sistema de dos ecuaciones lineales que determinan a estas rectas. Usando ecuaciones y fórmulas explicaremos como se resuelven algunos problemas geométricos en el plano.

6-1 Vectores del plano Sean A y B dos puntos diferentes del plano. Llamaremos vectorfijo AB al segmento de origen A y extremo B. Según esta definición, el vector fijo AB es distinto al vector fijo BA, ya que se trata de segmentos "orientados". Observemos que los dos segmentos tienen la misma

231

Tc111u

n ( ,'co111cll'ia 1·cc/ol'io/ del ¡¡fono

longitud pero sus sentidos son opuestos. El vector fí_jo J\B se representa gnílicamcnte mediante una !lecha de A a B. B

A

Figura 6.1

Sean A' y B' otros dos puntos del plano y consideremos el vector fijo A'B'. Diremos que dos \'ecto1Ts tijos AB y A'B' so n equivalentes si son paralelos y ti enen la misma longitud y el mi smo sentido. Otra forma más precisa de definir equivalencia de vectores es:

Definición. Los vectores f·i jos AB y J\'B' son eq 11irnlen1e.1 si lo s puntos medio s de los seg mentos AB' y A'B co inciden. La ligur·a 6.2 muestra dos vectores lijos equivalentes y otros dos no equivalentes:

B

B

B'

···········•·········· A

A

no equi\·alentes

:•.. equivalentes A'

Figura 6.2

A'~B

En el primer caso AB y A'B' son equivalentes y en el segundo no. De la figura 6.2 deducimos que es necesa rio que ambos vectores fijos sean paral elos y ele igual longitud Pero esto 110 basta como muestra la tigura 6.3.

232

Vectores del p/01111

B

A~·\.\

\\/A B'

Figura 6.J Con lo que hemos dich o anteriormente se ju st ifica la sigui ente expresión tradicional para definir equi va lencia de vectores: Dos vecto res son equivalentes si tien en la mi sma longitud, están sobre r·ec ta s paralelas o coincidentes y ti enen el "mismo sentido". Aunque esta definición de eq uivalenci a funciona bien para los vectores de l plano, vamos a ut ilizar otra en términos de las coordenadas de lo s puntos A. B. A' y B', que tien e la ventaja de que puede ge nera li zarse al espacio : Definición. Sean A, B, A' y B' cuatro puntos del plano de coordenada s (a 1, a 2), (b 1, b2 ), (a' 1• a' 2 ) y (b' 1• b' 2). respectivamente. Diremos que el vector fijo AB es ec¡11ivole111e al vector fij o A'B ' si y sólo si

(b 1 - a 1, b2 -a 2 ) = (b' 1 -a' 1, b' 2 - a'2l, Con esta definición se satisfacen las siguientes propiedades: • Todo vector fijo AB es equ iva lente a sí mismo. • Si AB es equivalente a A'B' entonces A'B' es equivalente a AB. • Si AB es eq uivalente a A'B' y A'B' es eq uiv alente a A"B" . entonces AB es equivalente a A"B". Definición. El conjunto de todos los vectores fijos equivalentes a uno dado AB

recibe el nombre de vector libre. Cada un o de los vectores fijos perteneci entes a ese conjunto se llam a representome del vector libre.

233

Tema 6. Geometría vectorial del plano

A partir de ahora designaremos los vectores libres por letras "negritas": v, w. Sean A y B dos puntos del plano de coordenadas (a 1, a 2 ) y (b 1, b 2 ) respectivamente. Consideremos el punto P de coordenadas (b 1 - a 1, b2 - a 2) y el punto 0(0, O), origen de coordenadas. El vector fijo OP es equivalente al vector fijo AB , luego OP es un representante del vector libre v AB formado por todos los vectores fijos equivalentes a AB. Además diremos que (b 1 - a 1, b 2 - a 2) son las coordenadas del vector libre v AB y escribiremos vA 8 = (b 1 -a 1,b2 -a2 ) . Es claro que para cada punto del plano, P, de coordenadas ( a, b) existe un vector libre w = (a, b).

En la figura 6.4 aparecen representantes de los vectores libres v = (2, l) y w = (-2, 2).

Q . ·--····· ..... 2 .1 p

-2

o

2

Figura 6.4

Definición. Dos vectores libres v y w son iguales si y sólo si sus coordenadas son iguales, es decir, v = (a, b) y w = {c, d), son iguales si y sólo si a = c y b = d.

Ejemplo 1 Sean A = (2 , 4) y B = (5 , 3) dos puntos del plano, entonces el vector fijo AB es un representante del vector libre v = (S-2,3 - 4)=(3 , -l). o

Ejemplo2 Dado el vector libre v = (

234

J3 , - 1) y el punto A= (-3, 4) vamos a hallar el punto B tal que el

Vectores del planc

vector fijo AB sea representante del vector v. Sea B(a, b) el punto buscado. Sabemos que v=(a-(-3), b-4)=(a+ 3, b-4), debe ser igual a ( Jj , -1 ). Igualando las respectivas coordenadas obtenemos a b = 3. Por tanto, el punto Bes ( Jj - 3, 3).

J3-3 ) D

Puesto que las coordenadas de un punto y las de un vector se escriben del mismo modo hay que tener cuidado en no confundir el punto P con el vector OP.

Ejemplo 3 Sean los vectores v = (5, 3) y w =(A+ 3 µ, - A+µ). ¿Qué valores deben tener A yµ pan que v = w? Por la condición de igualdad de dos vectores se tiene que 5 = A+ 3 µ, 3 = -A.+µ, y resolviendo este sistema obtenemos los valores A= - 1 y µ = 2.

D

El vector libre de coordenadas (O, O) se llamará vector nulo y se representará por O. Sea el vector v de coordenadas (a, b). Podemos calcular la longitud de v mediante e Teorema de Pitágoras. La longitud de v se representa por JI vil y se llama módulo o norma dé v.

Definición. El módulo o norma del vector v = (a, b) es el número llvll =

Ja 2 +b 2 ,

donde se toma la raíz positiva.

• Nota: llvll es una magnitud escalar, es decir un número.

Ejemplo4 Hállese el módulo de los siguientes vectores: v 1 =(5,12),

v 2 =(Ji.,3),

v 3 = (4,0) y v 4 =(0,-3).

llvi 1

J52 + 12 2 = Jl69

1h11

2 JcJi.) + 32 =

= 13 ,

,/2+9

=

Ju, 23t.

Temo ó. Geomerrío vectorial del plano

1h11

J42 + o

=

,/)6

Jo+ (- 3 ) 2

=

4'

= ,/9 = 3.

o

Los dos últimos casos del ejemplo anterior muestran que si una ck las coordenadas es nula, el módulo del vector es simplemente el valor absoluto de la otra coordenada.

Figura 6.5

Definición. Dado un vector v llamaremos vector op11es ro de v al vec tor que tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido opuesto al de v. Designaremos el vector w opuesto de v por-v. En coordenadas: si v = (a, b) entonces las coordenadas de - v son (- a, - b ).

Ejemplo 5 Co nsideremos los vectores u = (5 , 2) , v = (3 , 4) y w = (0, 2). Dibujar representantes de los vec tores tL v y w. CalcLilese la norma de dichos vectores. La primera coordenada del vector se va lora sobre el eje hori zo ntal y la segu nda sobre el eJe ve rti ca l.

V

· · ······ ········ ··- ~ u

w

.

Figura 6.6 Por la definición de no1111a se tiene:

236

.

Opel'uciones con 1'eC/ol'e.1

l ull =

Js 2 + 2 2 = J29 ,

llvll

5,

llwll

2

[]

6-2 Operaciones con vectores Sean tres puntos diferentes de l plano A, By C. Consideremos los vectores fijos AB y BC. El Vf'c lor rnma de ambos será el vector AC , como muestra la figura 6.7

A

Figura 6.7

Definición. Sean los vectores Iibres v = (a, b) y w = ( c, d). Su suma es el vector

v + w = (a + c,b+d). Crálicamente el vector v + w es una de las diagonales del paralelogramo formado por los vectores v y w y dos lados parale los a ellos y de la misma longitud. En la figura 6.8 vemos la relación geométrica entre v , w y v + w. b+d

l_______________________________________

d

o

a

c Figura 6.8

Esta forma de calcular la suma de dos vectores se conoce por regla del paralelogramo.

237

Tema 6. Geometría vectorial del plano

Ejemplo6 Sean los vectores v 1 = (3, 2), v 2 = (5, 6) y v 3 = (-5, 4). Entonces

v 1 +v 2 = (8,8) y v 1 +v 3 =(-2 , 6).

o

• Para todo par de vectores v y w se verifica que: v + w=w + v. Para hallar la diferencia de dos vectores v = (a, b) y w = ( c, d) efectuamos la suma de v con el opuesto de w, que sabemos que es - w = (-c, -d). Por tanto v-w=v+ (-w) = (a, b)+ (-c, -d) = (a - c, b-d). Gráficamente, el vector fijo cuyo origen es el extremo de w y su extremo el extremo de ves un representante de v -w, como se muestra en la figura 6.9:

Figura 6.9 Se comprueba fácilmente que v - w y w - v son vectores opuestos. Otras propiedades que satisface la suma de vectores son:

• (v 1 + v2) + v3 = v 1 + (v 2 + v 3),

para vectores cualesquiera v 1, v 2 y v3 .

• v +O= O+ v = v,

para todo vector v.

• v + (- v) = (-v) + v = O,

para todo vector v.

Sean el vector v = (a, b) y el número natural n. Definimos el producto den por v como la suma den copias del vector v:

n·v=v+v + ... +v

=

(a, b) + (a,b)+ ... +(a,b)

=

(n·a,n·b).

Podemos generalizar esta definición extendiéndola al producto de un número real A por un vector v del siguiente modo:

Definición. El producto de un número real "A por un vector v vector cuyas coordenadas son las de v multiplicadas por "A: "A· v="A· (a, b)= ("A· a, "A· b),

238

"A

E

R.

= (a,

b) es otro

Operaciones con vectores

Diremos que v y Á v son proporcionales.

Ejemplo 7 Dado el vector v = (3, -2), efectuemos el producto de v por los siguientes números reales:

2, rr ,- Ji y 1/4. 2 · (3 ,-2) = (6 , -4), 7! · (3 , - 2) = (3 rr , -2 rr), (- Ji)· (3 ,-2)=(-3

Ji ,2 Ji),

( 1/4) · (3, - 2) = (3 /4, - 1/2).

o

Si representamos gráficamente todos los vectores del ejemplo anterior, observaremos que, en cada caso, v y Áv tienen la misma dirección, el sentido de ambos es el mismo o el opuesto según que Á sea positivo o negativo, respectivamente, y el módulo de Á v es mayor o menor que el de v según que IAI sea mayor o menor que 1. El producto de un escalar por un vector satisface las siguientes propiedades, donde Á y µ son números reales y v, w son vectores: • Á (v

+ w) = Av+), w .

• (Á + ~i)v = Áv+µv. • Á(µv) = (Áµ)v. • J V= V .

• o. V= O. •(-l)·v=-v.

Ejercicio 8 Dados los vectores u= (5 , 2), v = (3, 4) y w = (O, 2), hallar las coordenadas de los vectores u + v, v - u y 2u + 3v - 4w. Solución. u + v = (5,2) + (3 , 4) = (5 + 3, 2 + 4) = (8,6), v-u = (3 , 4) - (5 , 2) = (3 , 4) + (- 5,-2) = (3 - 5,4 - 2) = (- 2, 2), 2u + 3v-4w = 2·(5,2) + 3·(3,4)-4-(0, 2) = (10,4) + (9, 12) - (0, 8) = (19, 8).

o

239

Te ma 6. CC'ometriu \'ffforial e.Ir'! p lono

Ejemplo 9

J3 ,

Sea n tres vectores de coord enadas u = (a, 5), v = ( l) y w = ( 1, b ). Determinar a y b de form a q ue e l vector 2u - v + 3w te nga coo rdenadas ( 5, 2) . S olución. En primer lugar determin a mos las coordenadas de l vecto r 2u - v + 3w: 2 u-v + 3w = 2(a . 5)-(J3 , 1) +3(1 , b ) =

= (2a-J3 + 3 , I0 -1 +3b ) = (3- JJ + 2a . 9 -r3 b) . He mos de ha llar los va lo res ele a y de b para que este vec tor te nga coordenadas (5 . 2), entonces (3 - JJ + 2a , 9 + 3b) = (5, 2) o loquees lomismo 2a -J3 +3 = 5 y 9+3b =2. Lu ego :

2 + J3 2

a=---

1

+

J3 2

y

b-

2- 9 3

7 3

D

6-3 Producto escalar /\ ho ra det1nimos e l producro c\colar, ll amado as í porqu e e l res ultado de l prodLtcto ele dos vecto res no es un nue vo vecto r s in o un núm e ro real , es dec ir. un esca la r. Definición. Dacios los vec tores v = (a, b) y w = (c, el), se defin e el producto cscular de v y w como e l núm ero re a l a · e + b · d. E n símbo los :

v•w = (a. b)•(c , d)=a·c+b·d.

Ejemplo 10 Sea n los vectores v 1 = (2. 4 ), v 2 = (- 3, 5) y v 3 = ( O, 3 ). Calcul e mos los pro du ctos esca lares de cada dos de e llos. Vi• V2 = 2 . (- 3 ) + 4 . 5 = J 4 , V¡ • V3 =

2 . Ü + 4 · 3 = ] 2,

V2 •V :; =

(- 3) · Ü + 5 · 3 = J 5.

D

Pu esto que e l producto de núm eros rea les satisface la pro pi edad conmutati va , se tien e que v•,v = ,y • v . Estudi a mos ah ora el si gn ifi cado geo métri co del produ cto esca la r de dos vec tores del pl ano. Cons ide re mos la fi g ura 6.1 O

240

/Jroducto escalar

d

L_____ ________________________ _ w

b ------- -- ---

a

c Figura 6.10 Sabemos por la definición del coseno qu e cos CI. =

a M =

a

cos p

- - - - , w1=0

seno.

- - - - , V;,é

~'

( V i= o )

y. análogamente

c

Jc2 + d 2 b

~

Ü

el se np = ~ , wi=O "El ángulo" entre v y w es p - o.. Explicamos ahora e l porqué de las com illas: estamos considerand o los representantes de v y w s ituados en e l origen de coordenadas y "el ángulo" es uno de los determinados por la s semirrectas que conti enen a los vectores. De las fórmulas trigonom étricas tenem os que cos W- o.) = cosp coso.+ senf:l se na, y sustitu ye nd o por las expresiones anteriores:

c a d b cos(P-o.) = - - - - · - - - - + - -- - - - - - + d2 + b2 + d 2 Ja2 + b2

Jc2

Ja2

Jc2

a·c + b·cl ~

,,¡a - -;- o- ,,¡~ c-+d~ El num erado r ele la expresión anterior es precisamente e l producto esca lar v • w _ Por tanto, cos(P- a)

V• W

l vll · l wll '

y de aquí. V• W

l vll · llwll · cos(P -

a).

241

Tema 6. Geometría vectorial del plano

Podemos enunciar entonces: Teorema. El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

De lo anterior se deduce que 2

v • v = llvll , para todo vector v.

En la figura anterior los dos vectores están situados en el primer cuadrante, y el ángulo que forman es agudo, pero la interpretación es la misma aunque estén situados en diferentes cuadrantes, como podemos ver en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 11 Sean v = (6, 2 ,/3 ) y w = (- ,/3 , 1). Su producto escalar es v • w = 6 · (- ,/3 ) + (2 ,/3 ) · 1 =

-

4 ,/3 ,

y, por tanto, el coseno del ángulo que forman v y w es cosa

(- 4),/3

(- 4),/3

- ]

J48J4

8,/3

2'

y de aquí obtenemos que a= 120º. Si dibujamos v y w, podemos apreciar que v está situado en el primer cuadrante y w en el segundo. o Se sugiere representar gráficamente los vectores dados en el ejemplo anterior. Definición. Dos vectores no nulos que forman un ángulo de 90º son perpendiculares u ortogonales.

Teorema. La condición necesaria y suficiente para que dos vectores no nulos sean ortogonales es que su producto escalar sea cero.

Obsérvese que si dos vectores no nulos tienen productor escalar cero entonces el coseno del ángulo a que forman tiene que ser Oy por tanto a= 90º.

Ejemplo 12 Sean v 1 = (3, -2), v2 = (-4, -6), v3 = (3, 4) y v4 = (2, b). Se tiene que v 1 y v2 son ortogonales ya que v 1 • v2 = O. Por ser v 1 • v3 = 1 1'- O, los vectores v 1 y v3 no son ortogonales. El vector v 4 será ortogonal al vector v I para un cierto valor de b: "'-._-,;;"'-._~~-~-¾,

es decir, para b = 3. Para cualquier otro valor de b, los dos vectores no son ortogonales. 242

o

Producto escalar

Veamos ahora otras dos propiedades del producto escalar. Sean u, v y w tres vectores cualesquiera y 'A un número real. • (A· v) • w =A· (v • w). • u•(v+w) = u•v+u•w.

Ejercicio 13 Dados los vectores v = ( 1, 3) y w = (- 6, b) hállese el valor de b para que v y w sean ortogonales. Solución. Para que v y w sean ortogonales su producto escalar debe ser cero, así pues,

(l,3)•(-6,b) = -6 + 3b = O, de donde b=2.

o

Definición. Diremos que dos vectores son colineales cuando tienen representantes situados sobre la misma recta.

Anteriormente vimos que v y A·v son colineales. También se verifica que si v y w son colineales entonces w = A·v. Teorema. Dos vectores no nulos v y w son colineales si y sólo si v = (a, b) y w = (A a, A b ), donde A es un número real no nulo. Como hemos apuntado antes, en este caso se dice que v y w son proporcionales.

Según que A sea positivo o negativo, los dos vectores tendrán el mismo sentido y formarán un ángulo de Oº, o sentidos opuestos y formarán un ángulo de 180º.

Ejercicio 14 Determinar aquellos vectores de norma 2 tales que su producto escalar con el vector de coordenadas ( l, l) es 1. Solución. Sean (x, y) las coordenadas de un vector en las condiciones pedidas. Por tener

norma 2 se tiene

Jx

2

+ y 2 = 2, luego x 2 + y 2 = 4.

Porotra parte, como ( x, y) · ( 1, 1) = 1, entonces x + y Se han de verificar simultáneamente las ecuaciones

=

l.

x2 + y2 = 4

X + y = 1. y De la segunda ecuación despejarnos la incógnita y: y= l - x, y sustituimos en la primera, obteniendo la ecuación: x 2 + ( I - x)2 = 4.

Al desarrollar el cuadrado, la ecuación se reescribe como 2x 2 - 2x - 3 = O, con soluciones

243

Tema 6. Geometría vectorial del plano

x=

2 - J4°+24

4

=

2-Jis

4

1-J/

=~

,x=

2 + J4°+24

4

2+

Ji§

1 + J¡

-2-.

4

De y = 1 - x se obtienen los valores de y para cada valor de x: 1+

J¡

y = -2-

e

1- J/

y

2

Luego, la s soluciones son:

1- J/J ( l +J/ 2 ' 2

y

( 1-2J/ ' l +J/) 2

o

.

Ejercicio 15 Sean dos vectores de coordenadas v = ( /3 formen un ángulo de

i

, l) y w = ( 1, b ). Determinar b para que v y w

radianes.

Solución. De la definición del producto escalar se obtiene que el coseno del ángulo

(jl

formado por v y w viene dado por: V· W

COS x - 2y + 1 = O. o

Ejercicio 28 Sea r la recta con ecuaciones param étricas

X {

= ] - 2t ·.

y = 2

+t

a) Determinar dos puntos en la recta y un vector de dirección de ésta. b) Hállese una ecuación implícita de la rectar.

Solución. Los puntos de r son los de coordenadas (x, y) qu e sat isface n e l sistema y ba sta hacer que t recorra los números reales para obtener los pares (x, y ) que son coordenadas de puntos de r. a) Si t = O, entonces x = 1 e y = 2, lu ego ( 1, 2) es un punto , P. de la recta . Si t = - 1, entonces x = 3 e y = 1, luego (3, 1) es un punto. Q, de la rectar. De las ec uaciones param étricas se observa que los puntos de r ti enen sus coordenadas de la fo rma (x , y) = ( 1 - 2t, 2 + t). por tant o, (x, y)= ( L 2) + t(-2 , l ). Así pues, de la última ig ualdad resulta que un vector de direcc ió n es (-2. 1). Todos los vectores proporcionales a (-2. 1) y no nulos so n los vectores de dirección der. h) Sí e liminamos el parám etro t de las ecuaciones pararnétr icas, sumando la primera ecuación mas dos veces la segunda, obtenemos una ecuación impl íc íta: x + 2y = 1 - 2t + 4 + 2t => x + 2y - 5 = O. u

6-7 Posiciones relativas de dos rectas en el plano Cons id ere mos dos rectas r y s del plano.

Definición. Las rectas r y s son paralelas, r

11

s, si y sólo s i D(r) = D(s).

Si v es un vector de dirección de r y w es un vector de dirección de s, r y s son paral e las si y solo si v y w son proporcionales.

255

Tema ó. Cc:ometría vfc'ctorial del plano

En la figura 6.16 representamos dos rectas paralelas. V

s

V

Figura 6.16 Si r y s son dos rectas paral elas y ti enen un punto en común A E r n s, entonces r y s co in cid en. Dicho en otras palabra s. si r 11 s entonces (r = s) ó (r ns = 0 ). Supongamos que r es una recta cuya dirección está determinada por el vector no nulo v = (v 1, v 2 ). Entonces r admitirá una ecuación implícita de la fi.irma v2 x - v 1 y+ c = O, donde c E R, y toda rectas paral ela a r (y por tanto, con la misma dirección que r) tiene una ecuación implícita de la forma v2 x - v I y+ d = O, con d E R. Las rectas r : a x + b y + c = O y s : a' x + b' y + c' = O son paralelas si y solo si ( a, b) y (a', b') so n vectores proporcionales.

Ejemplo 29 Hallemos una ecuación implícita de la rectas que pasa por el punto A = (2 , 1) y es paralela a la rectar de ecuación 2 x + 3 y - 1 = O. La ecuación buscada será de la forma 2 x + 3 y+ k = O, con k E R que debernos determinar. Como A E s. entonces 2 ·2 + 3 · 1 + k = O, luego k = - 7. Por tanto, un a ec uación implícita de la rectas es s : 2 x 3 y - 7 = O. -1..

• Obsérvese que hemos escritos: 2 x 1- 3 y - 7 = O, para indicar la "rectas cuya ecuación es". En este tema y en el siguiente usaremos a veces esta notación para indicar un objeto geométrico (recta, plano, etc.) y su ecuación .

Ejercicio 30 Escríba se una ecuación implícita de la rectas que contiene al punto A = (3, 1) y es paralela a la rectar de ecuac ión 2x - y + 1O= O. Solución. Las rectas paralel as a la recta 2x - y + 10 = O son aquellas que ti enen una ecuación cartesiana o implícita de la fo rm a 2x - y + c = O. Así pues , la recta s tiene una ecuación ca rt es iana ele la forma men cionada. Comos pasa por A= (3, 1). entonces la s coordenadas de este punto verifican la ecuación obtenida 2x - y+ e= O, es decir 2 · 3 - 1 +e = O, luego c = - 5. Una ec uación cartesiana de la rectas es, por consiguiente, 2x - y - 5 = O.

256

o

Posiciones relativas de dos recias en el plano

• Rectas paralelas al eje de ordenadas. Tienen como vector director v = (O, v2), por lo que las

ecuaciones paramétric~s son de la forma

. Una ecuación cartesiana es:

x + c = O, donde c

- a 1 • (Ver figura 6.17). x + c=O

(O, O) Figura 6.17

(a 1, O) = (- c, O)

• Rectas paralelas al eje de abscisas. Tienen como vector director v = (v 1, O), por lo que las ecuaciones paramétricas son

x = a 1 + v 1t y = ª2 y+c

Una ecuación cartesiana es:

O.

y + c=O

(O, a2) = (0, -c) (O , O)

Figura 6.18

Ejercicio 31 Hallar unas ecuaciones paramétricas de la rectar que pasa por los puntos (O, 1) y (3 , 1). Determínese una ecuación implícita der. Solución. Como los puntos A = (O, 1) y B = (3, 1) están en la recta r, entonces el vector v AB = (3 , 1 ) - (O, 1) = (3 , O) es un vector de dirección de la recta . Si (x, y) son las coordenadas de un punto de la recta tenemos: 3

(x, y) = (O, 1) + t (3, 0) => (x, y) = (3t, 1) => { : = / , que son unas ecuaciones paramétricas de la rectar. Por tanto, una ecuación implícita de res y = 1 . Luego, res una recta horizontal que corta al eje de ordenadas e n (O, 1) (ver la figura

257

Tema 6. Geometría vectorial del plano

6.19).

(O, 1)

r

Figura 6.19 D

Supongamos ahora que nos dan las ecuaciones implícitas de dos rectas del plano: r: ax+ by+ c = Oy s: a' x + b' y+ c' = O, y deseamos conocer la posición relativa de ambas rectas, es decir como están situadas una respecto a la otra, por ejemplo si se cortan en un punto o si son paralelas. Un primer paso es saber si tienen puntos en común, o puntos de corte. Un punto que pertenezca a ambas rectas deber tener coordenadas que verifiquen a la vez las ecuaciones de las dos rectas. Por ello, si un punto A(x, y) está en las dos rectas, se tiene que el par (x, y) es solución del sistema: ax+ by+ c = O { a'x + b'y + c' = O Vamos a estudiar el sistema. Sea C la matriz de los coeficientes:

[:. :] y A la matriz ampliada:

a b cj

l

a' b' c'

*

*

Como (a, b) (O, O) y (a', b') (O, O), entonces rango (C) ~ 1. Además, como en todo sistema, se tiene la relación: rango (C) ::; rango (A).

• Caso a) rango (A)= 1 (= rango (C) pues rango (C)

~

1 y rango (C) ::; rango (A)).

En este caso el sistema ax+ by+ c O { a'x + b'y + c' = O es compatible indeterminado. Por tanto, r = s. En este caso las dos rectas coinciden. Obsérvese que las ecuaciones son proporcionales y definen la misma recta.

• Caso b) rango (A)= 2 y rango (C) =l, entonces r ns= 0. En este caso, las rectas r y s son paralelas y distintas. Como ya habíamos adelantado: Las rectas r : ax + b y + c = O y s : a' x + b' y+ c' = Oson paralelas si y solo si (a, b) y (a', b') son vectores proporcionales, que es lo que ocurre en los casos a) y b ).

• Caso e) rango (A) = rango (C) = 2; basta con saber que rango (C) = 2, pues al ser

258

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

rango (C) ::;; rango (A) se tiene que rango(A) = 2. El sistema es compatible determinado. Entonces r y s se cortan en un único punto Q. En este caso, se dice que las rectas r y s son secantes. En la figura 6.20 se representan dos rectas secantes.

Figura 6.20

• En el caso c) las coordenadas del punto Q son la solución del sistema : ax + by + c = O { a'x + b'y + c' = O

Ejemplo 32 Las rectas r: 2 x - 3 y+ 1 = O, s: 4 x - 6 y+ 3 = O, son paralelas y distintas, ya que

4- 6J1

1 l4 - 6 3'J

2 3 2 3 = 1 , y rango rango [ -

= 2

o

Ejemplo 33 Las rectas r: 2 x + 3 y- 5 = O, s : 6 x + 9 y - 15 = O, coinciden ya que

[! !--155]

=

I

o

Ejercicio 34 Las rectas r: x - 2 y + 4= O, s : x - y + 1= O, son secantes, ya que 2 rango [ ' - ] = 2. 1-1 Resolviendo el sistema:

259

Tema 6. Geometría vectorial del plano

x-2y + 4 = O { x-y+l = O obtenemos el punto de intersección Q = (2, 3).

D

6-8 Problemas métricos en el plano Comenzaremos obteniendo la distancia de dos puntos en el plano. Dados dos puntos A= (a 1, a2) y B = (b 1, b2 ) del plano, sabemos que

d(A, B) = llv ABI IUtilizando el Teorema de Pitágoras:

llv ABII

2

2

= Jcb 1 - ª1 ) + (b2 - ª2) ·

Por consiguiente, la distancia entre los puntos A y B viene dada por

d(A, B)

Ejemplo 35 Si A= (-1, 1) y B = (3, 4), entonces d(A,B) = ,/(3+1) 2 +(4-1) 2

=JE=

5.

D

Dadas dos rectas r y s, definiremos lo que se entiende por ángulo entre ambas. El ángulo entre r y ses el menor de los ángulos formados por un vector u de dirección de r y un vector v de dirección de s. En la figura 6.21 representamos el ángulo a formado por dos rectas

r

Figura 6.21 Supongamos que a es el ángulo formado por las rectas r y s, y que u E D(r) y v E D( s), con u= (u 1, u 2 ) (O, O) y v = (v¡, v 2) (O, O). Entonces, el valor absoluto del producto escalar u• ves

*

260

*

Problemas métricos en el plano

lu•v l = ll ullllvllcosa y también

luego: Teorema. El ángulo entre las rectas r y s tiene por coseno:

¡u 1v 1 + u2 v2

1

cosa = R J v ~ + v~' donde u= (u¡, u2)

E

D(r) y v = (v ¡, v2)

E

D(s), son vectores no nulos.

Ejemplo 36 Para hallar el ángulo que forman las rectas r : 2 x + y - 1 = O, s : x - 2 y + 4 = O, tomamos los vectores u = (- 1, 2) E D(r) y v=(2 , l) E D( s) . Como u • v = (- 1) · 2 + 2 l = O, entonces cos a = O, es dec ir los dos vectores son ortogonales. Por tanto, las dos rectas r y s son perpendiculares. o En general, dadas las rectas r, s, tenemos que: Las rectas r y s son perpendiculares, si y sólo si u • v = O, siendo u v E D(s) dos vectores no nul os.

E

D(r) y

Dada una rectar: ax + b y + c = O, sabemos que u = (- b, a) es un vector no nulo en la dirección de r. Consideremos e l vector n = (a, b). Este vector ti ene las dos propiedades siguientes:

• u • n = (- b) · a+ a · b = O, es dec ir, n es ortogonal al vector u.

Definición. El vector n = (a, b) se llama un vector normal de r :a x+ b y+ c = O, y n es pues, un vector de dirección de cualquier recta perpendicular a r.

También n es ortogonal a todos los vectores de la direcc ión der.

Ejemplo 37 Dados el punto A= (2, 3) y la rectar de ecuaciones paramétricas 261

Tema 6. Geometría vectorial del plano

X = {

t

y= - 5t

entonces el vector u= ( 1, - 5) es un vector en la dirección de r y n = (5, 1) es ortogonal a u. Por tanto, una ecuación implícita de la rectas que pasa por el punto A y es perpendicular ar es 1 (x - 2) - 5(y - 3)=0, es decir x- 5 y + 13 = O. o Dadas las rectas r : a x + b y + c = O, y s : a' x + b' y + c' = O, se tiene que r y s son perpendiculares si y sólo si el producto escalar de los vectores (- b, a) y (- b', a') es igual a O, es decir si y sólo si a· a'+ b · b' = O. Por consiguiente: • Las rectas r y s son perpendiculares si y sólo si n • n' = O, siendo n y n' vectores normales de r y s, respectivamente.

Ejemplo 38 Las rectas r: x + y - 3 = O, y s : x - y + 1 = O, son perpendiculares pues n • n' = 1 · 1 + 1 · (- 1) = O.

o

Ejemplo 39 El eje X o eje de abscisas es la recta y = O, y el eje Y o eje de ordenadas es la recta x = O. Como sabemos, ambas rectas son perpendiculares, puesto que n • n' = O · 1 + 1 · O= O. o

Ejemplo 40 Una ecuación implícita de la recta que pasa por el punto A = ( 1, 0) y es perpendicular a la recta r : 3 x - 2 y - 1 = Oes 2 (x - 1) + 3 (y - O)= O, es decir 2 x + 3 y - 2 = O. o

• En general sir: ax+ by + c = Oes una recta y A(p, q) es un punto del plano, entonces: b(x - p) - a(y - q) = O es una ecuación implícita de la recta perpendicular ar y que pasa por el punto A.

Ejemplo41 Una ecuación implícita de la recta que pasa por el punto A = (2, - 3) y es perpendicular a la recta r : 7 x + y - 19 = O, es 262

Problemas métricos en el plano

(x - 2)- 7 (y+ 3) = O, es decir x - 7y-23 = 0.

o

• Por último estudiamos la distancia de un punto a una recta. Dados el punto C y la rectar, la distancia de C a res el número real d(C, r) = mínimo {d(C, P): P E r}. Se verifica que d(C, r) = d(C, Q), siendo Q el punto de corte de la recta r con la recta que pasa por C y es perpendicular ar. A continuación daremos una fórmula que nos permitirá calcular directamente la distancia de un punto a una recta a partir de las coordenadas del punto y de una ecuación implícita de la recta.

Teorema. Si C = (m 1, m 2) es un punto del plano y r: ax+ by + c = O es una ecuación implícita de una recta del plano, entonces _ jam 1 + bm 2 + cj d( e, r) ~ . ,._¡a2 + b2

• Nota: En la fónnula anterior si C está en la rectar, como a m 1 + b m 2 + c = O, nos queda que d(C, r) = O, como era de esperar.

EjE 1

, - 1) a la recta r : 2 x + 5 y + l = Oes d(C,r) = 12-3 + 5 · (-1) + II

J22 + 52

o

Ejemplo43 La distancia del origen 0(0 , O) a la rectar: 3 x + 4 y - 5 = O, es d(O, r) =

l-5 1

J32 + 42

5 = 1.

o

5

Ejercicio 44 Calcúlese la distancia entre el punto P = ( 1, 3) y la rectar de ecuación y - 2x - 5 = O.

263

Tema 6. Geometría vectorial del plano

Solución. La distancia del punto C( 1, 3) a la rectar : y - 2x - 5 = Oes d(C,r) = 13-2-1-51 = ~= ~J( - 2)2+¡2 {s

o

Js

Ejercicio 45 Averígüese cual es la posición relativa de las rectas r y s y si se cortan determínese el ángulo que forman entre sí. Las ecuaciones de r y s son respectivamente: a) r: x - y+ 2 = O; s: x - 3 = O. b) r: 2x - 3y - 13 = O; s: 3x + 2y = O. c)r:x-y=7; s:5x-5y=2. d)r:3x-y= l; s:6x-2y=2. Solución. Determinar la posición relativa de un par de rectas consiste en comprobar si son paralelas, se cortan o coinciden. El ángulo que forman las rectas r y s entre sí es, por definición, el menor ángulo formado por un vector de dirección de r, u, y un vector de dirección des, v. Si a es el ángulo formado por r y s, el ángulo formado por u y v es a o n - a (véase la

s Figura 6.22 figura 6.22). Por tanto, para calcular el ángulo entre dos rectas r y s basta tomar un vector de dirección de r, u, y un vector de dirección des, v, si el ángulo y, formado por u y v, es agudo, entonces y es el ángulo formado por r y s, si y no es agudo entonces n - y es el ángulo formado por r y s. a) Si hay puntos comunes en las dos rectas, entonces las coordenadas de esos puntos verifican cada una de las dos ecuaciones que representan a las rectas r y s. Así pues, hemos de resolver el sistema formado por las dos ecuaciones para determinar los posibles puntos comunes de las dos rectas: X {

X

y + 2 = Ü => { -3 = Ü

X X

y = -2 . = 3

Como el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo,

1 -]

= 1 , entonces 1 O el sistema tiene solución única y tal solución nos da las coordenadas del punto de corte de las dos rectas. De la segunda ecuación x = 3, y sustituyendo x en la primera se tiene que y= 5, luego (3, 5) es el punto de corte. Recordemos que, dada una recta con ecuación implícita ax+ by+ c = O, entonces el vector de coordenadas (a, b) es un vector ortogonal a cualquier vector de dirección de la recta, por tanto, los vectores de dirección tienen coordenadas (a' , b') que verifican a . a' + b . b' = O.

264

Prohlemas mérricos en el plano

Como caso particular se tien e que los vectores (-b, a) o (b, - a) son vectores de dirección de la recta pues cumplen que el producto escalar con el vector (a, b) es nulo. Los vectores de la dirección de r son aquellos cuyas coordenadas (x 0 , y 0 ) verifican la ecuación x 0 - Yo = O, tomamos x 0 = 1 y entonces 1 - Yo = O, de donde Yo = 1. Por tanto , v = ( 1, 1) es un vector de direcc ión der.

Los vectores de la dirección des son aquellos de coordenada s (x 1, y 1 ) que verifican x 1 = O. por eJe mplo, w = (O, 1). A co ntinuación determinam os el ángulo formado por v y w ,

v·w

cosa =

llvll l wll

( 1, 1) · ( O, 1)

=

JT+i Jo+t

Ji

1

=

Ji

=

2

~

ª

Ji

= are cos 2

Luego el ángulo que forman las recta r y ses ~ . b) Análogamente, {

2x-3y- 13 = O 3x + 2y = O

~

{ 2x-3y 3x + 2y

13

o

2 3 Corno la matriz de coeficientes, [ - ] , tiene rango 2, ya que su determinante es distinto

3 2 de cero, entonces el sistema posee solución única. Las rectas r y s se cortan en el punto A = (2 ,-3) que se obtiene al resolver el sistema. Los vectores (x, y) de la direcc ión de r verifican la igualdad 2 · x - 3 · y = O, tornarnos x = 3 y obtenemos y = 2, luego (3 , 2) es un vector de la dirección de r. Los vectores de dirección de s verifican 3 · x + 2 · y= O, y para x = 2 obtenemos y = - 3, luego (2, -3) es un vector de la direcc ión de s. Corn o el producto escalar de los dos vectores es nulo, entonces los vectores son ortogonales, y por tanto,

e l ángulo que forman r y s es

rr

2

,

es decir, las rectas so n

perpendiculares. e) Procedemos como en los apartados anteriores estudiando el sistema

x-y

7

{ 5x - 5y =2

que en este caso es un sistema incompatible, pues la matriz de los coeficientes tiene rango mi entras que la matriz ampliada tiene rango 2. Luego las rectas no tienen ningún punto en común, por lo que son rectas paralelas. d) Análogamente

estudiamos

el

sistema

3x -y = I {6x -2y = 2

que

es

compatible

indeterminado, pues la matriz de los coefic ientes y la matriz ampliada ti enen rango 1. Las dos ecuaciones del sistema son proporcionales, la segunda se obtiene de la primera multiplicando por 2. Así pues, ambas ecuaciones definen el mismo conjunto de puntos en el plano , es decir la misma recta. Luego las rectas r y s coinciden. D

265

Tema 6. Geometría vectorial del plano

Ejercicio 46 Dados dos puntos distintos del plano, A y B, se llama mediatriz del segmento determinado por A y B a la recta que pasa por el punto medio de dicho segmento y es perpendicular a la recta que contiene a los puntos A y B. a) Hállese la mediatriz del segmento detem1inado por los puntos A = ( 1, 3) y B = (5 , 7). b) Hállese una ecuación del conju nto de los puntos P del plano tales que d(P ,A) = d(P,B). siendo A y B los puntos del apartado a) . Comparar con el resultado de a).

Solución. a) El punto medio M del segmento determinado por A y B cumple que e l vector que une los puntos A y Mes la mitad del vector que une A y B. Así pues, si M = (x 0 • y 0 ) entonces VAM = (xo,Yo) - (1,3)

(x 0 ,y 0 ) - (l,3) =

y

VAB = (5 , 7) - (1,3) = (4,4),

1

1

2

2

(4,4) => (x 0 ,y 0 ) = (1,3)+

(4,4) = (3,5) =>M =(3 , 5).

Un vector en la dirección de la recta que pasa por los puntos A y B es v AB = (4 , 4), por tanto, un vector ortogonal es w = (- 4, 4) y la mediatriz es la recta de ecuac ión (x-3) = (y - 5)

-4

4

=> 4(x - 3)+4(y-5) = O => 4x + 4y - 32 = O.

b)Lacondiciónd(P,A) =d(P, B)esequivalentea (d(P,A)) 2 = (d(P,B)) 2 . Si P = (x, y) entonces la condición anterior se expresa como (x-1)2+(y-3) 2 = (x - 5) 2 +(y-7) 2 , y al desarrollarla, x 2 - 2x+ 1 +y 2 - 6y+9

=

x 2 - !Ox + 25 + y 2 - 14y +49 => Sx + Sy-64

=

O.

Esta última ecuación es, por tanto, la ecuación del conjunto de los puntos P del plano que verifican d(P, A)= d(P, B). Observemos que este conjunto es una recta. En e l apartado anterior hemos obtenido la recta 4x + 4y - 32 = O mientras que en éste el resultado ha sido la recta Sx + 8y - 64 = O. Obsérvese que 8x + 8y - 64 = 2(4x + 4y - 32) = O, y así 8x + 8y - 64 = O equivale a 4x + 4y - 32 = O, luego las dos rectas coinciden. Hemos probado que la mediatri z del segmento determinado por los puntos A y B coincide con el luga r geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos A y B. Esta conclusión es cierta para todo par de puntos distintos del plano, es decir, la mediatriz del segmento determinado por dos puntos distintos del plano es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dichos dos puntos. o

266

Conceptos clave

6-9 Conceptos clave Vector fijo AB. Segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo) . Equivalencia de vectores fijos. Sean los puntos del plano A(a 1, a 2) , B(b 1, b 2), A'(a' 1, a' 2 ) y B '(b' 1, b' 2), A B es equivalente a A'B' (b 1 - a 1, b 2 - a 2) = (b' 1 - a' 1, b' 2 - a' 2).

Vector libre. Conjunto de todos los vectores fij os equival entes a un vector fijo dad o. Coordenadas de un vector libre. Dados A(a 1, a 2) y B(b 1, b 2 ), dos puntos del plano, el vector libre v AB tiene por coordenadas (b 1 - a 1, b2 - a 2 ).

llvll

+ Ja 2 + b 2 , siendo v = (a, b). Producto escalar de v y w. Es el número real v • w = a · c + b · d, siendo Módulo de un vector. Es el número

=

v = (a, b)yw=(c, d).

Vectores ortogonales. Aquell os que forman un ángulo de 90º.

v y w son o rtogonales v • w = O. Combinación lineal de v y w. El vector u= (x , y) es combinaci ón lin eal de v y de w s i existen dos números real es A yµ tales que u= Av + µ w. Vectores linealmente independientes. Sean v = (a, b) y w = (c, d),

v y w son linealmente independientes

a c b d

;t

0

Recta r. Queda determinada por un punto A y un vector no nulo v = (v 1, v 2 ) . .- Es el conjunto de puntos r = {P : v AP =tv , t E R} . .- La dirección de r es e l co nj unto de vectores D(r) = {t v = (t v 1, t v2 ) : t E R}.

Ecuaciones de una recta. X =

.- Ecuaciones paramétricas:

{

_

a 1 + tv¡

y - a 2 +tv 2

, donde A(a 1, a 2 ) es un punto de la

recta y v = (v 1 , v 2 ) es un vector de dirección y t

E

R

.- Ecuación implícita: ax + by + c = O. . - Una ecuación de la rectar que pasa por los puntos A(a 1, a 2 ) y B(b 1, b 2) es: x -a 1 b1-ª1

= O.

Y - ª 2 b2 - ª 2

Rectas paralelas. Cuando los vectores de direcc ión so n proporcio nales .

267

Tl'111u

6. Geo111 l' lría veclorial dl'I p/0110

Distancia entre dos puntos. Dados los puntos del plano A( a 1, a 2) y B(b 1, b 2)

= J(b 1 -a 1) 2 +(b 2 -a 2 ) 2 .

d(A,B)

Ángulo entre dos rectas r y s. El ángulo tiene por coseno: 1u1v1+u2v2 I

cosa donde u = ( u 1, u 2) y v respectivamente. Además.

=

=

µJv~ v;. +

( v 1•

v2) son vectores di rectores de r y s,

r y s son perpendiculares

u• v = O.

V cctor normal de r. Cualquier vector ( no nulo) perpendicular a r. Distancia de un punto Ca una rectar. Sea C = (111 1. 111 2 ) y r: ax + by+ c = O, d(C.r)

=

¡am 1 + bm 2 + c¡

6-1 O Autoevaluación

Problema 1

J3.

Sean tres vectores de coordenadas u = (a, 5), v = ( l) y w = ( 1, b). Obtener los valores de a y b de forma que el vector 2u - v + 3w tenga de coordenadas (5, 2 ).

J3

7

A)

a =

B)

a =

C)

No existen valores de b con la propiedad pedida en el enunciado.

1-

2

y b = - -

2·

Problema 2 Dados los vectores v ortogonal es .

= ( 1, 3)

y w

= (- 6 , b) hállese el valor de b para que

A)

b = 2.

B)

Para cualquier valor de b los vectores son ortogonales.

C)

b=

268

1 6

v y w sean

A utoevaluación

Problema 3 Determínese cuál de los siguientes vectores tiene norma 2 y su producto escalar con el vector de coordenadas ( 1, 1) es 1. A)

(J2 , J2)

B)

( t-2fi ' I+fi) 2

C)

( 1, O)

Problema 4 Sean los vectores de coordenadas v = ( J3 valer b para que v y w formen un ángulo de

A)

O

B)

i

, 1) y w = (1 , b ).

Obténgase cuánto tiene que

radianes.

J3 + 2

C)

J3 + 2 2

Problema 5 Estúdiese si independientes:

los siguientes

pares de

a)v=(3,2),w =(O, 1)

A) B)

a) independientes b) dependientes. a) dependientes b) depe ndi entes.

C)

a) dependientes b) independi entes.

vectores

son

linea lm e nte dependientes o

b) v = (O, O), w = (- 1, 1).

Problema 6 Determínese cual de las siguientes es una ecuación implícita de la rectar que pasa po r los puntosA = (l , O)y8=(3 , 1). A) X - 2 y = () B) X - 2 y+)= Ü C) X - 2 y - ) = 0

Problema 7 Obténgase cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación implíc ita de la recta s, que pasa por el punto A= (2, 1) y es paralela a la rectar de ecuación 2 x + 3 y - l = O. A) 2x+y-5= 0 B) 2x + 3y - 7=0 C) 2x+3y - 5 = 0

Problema 8 Sean A = (-1, 1) y 8 = (3, 4) dos puntos del plano. Señálese cuál de las siguientes respu estas es la distancia de A a 8:

269

Tema 6. Geometría vectorial del plano

A)

-1

B)

C)

25

5

Problema 9 Averígüese cuál es la posición relativa de las rectas r y s y si se cortan detennínese el ángulo que forman entre sí. Las ecuaciones de r y s son respectivamente: r: x - y + 2 = O

A) B) C)

s: x - 3 = O.

Se cortan formando un ángulo de 45º. Se cortan formando un ángulo de 30º. No se cortan.

Problema 10 Señálese cuál de los siguientes números es la distancia del punto C(3 , - 1) a la recta r: 2 x

A)

+ 5 y + 1 = O.

m 2

B).

__2_

m

C)

Soluciones del test

2 3 4 5 6 7 8 9 10 BABBACBCAB

270

4

m

- ;-----------------------------------.,

Tema 7. Geometría vectorial del espacio

El espacio donde nos movernos tiene tres dimensiones: "altura, anchura y profundidad" , por eso, para poder situar un punto en el espacio se necesitan tres números reales o coordenadas. Comenzaremos este tema definiendo coordenadas de un punto del espacio. Las definiciones y propiedades vistas para los vectores del plano se generalizan fácilmente para los vectores del espacio. Los vectores constituyen una herramienta muy importante en la geometría del espacio. Nos centraremos de modo preferente en e l estudio de los puntos, las rectas y los planos. A cada plano o recta del espacio, podemos asociarle respectivamente una ecuación o un sistema de ecuaciones lineales. De esta forma, el estudio de las propiedades geométricas de tales figuras se puede reducir al estudio de las propiedades algebraicas de sus ecuaciones correspondientes.

7-1 Espacio, puntos y coordenadas En el espacio, al igual que en el plano hay puntos y rectas , pero además hay otros objetos muy importantes : los planos. Un plano es un objeto del espacio, es decir un conjunto de puntos del espacio, formado por los puntos de una superficie que no se curve y que consideramos que se extiende ilimitadamente. Más adelante se dará una definición más matemática y precisa. En un plano hay rectas y puntos y las propiedades de dichas rectas y puntos son las que hemos estudiado en la geometría del plano. En este terna vamos a estudiar la geometría del espacio con la ayuda de las coordenadas. En otras palabras, vamos a estudiar geometría del espacio utili zando números reales. En prim e r lugar introducimos las coordenadas ele un punto en el espacio.

Ejemplo 1 En la figura 7.1 el punto P tiene coordenadas (3, 4 , 2). De modo infom1al, las coordenadas del punto P se miden sobre los ejes Ox , Oy y Oz corno muestra la figura.

271

Tema 7. Ceometria vectorial del espacio

Oz

2---------------- ... -..,.

.·' '

------,----,-º

·--------'

p .. ······

:2

2

'

---------------- -~····

}·/ 4

Oy

.·

Figura 7.1

Ox

D

Vamos a ilustrar un poco mejor el concepto de coordenadas para los puntos del espacio. Supongamos que querernos situar un punto P dentro de una habitación de planta rectangular. Necesitaremos tres medidas o coordenadas. Comen zamos por decidir qué paredes de la habitación nos servirán de referencia para medir las coordenadas. Considerarnos dos paredes que forman una esquina de la habitación y el suelo, es decir tres planos que se cortan en un punto. Además, suponernos que, al cortarse entre sí, los planos considerados forman tres rectas que son 011ogonales dos a dos; a estas rectas se les denomina ejes de coordenadas. El punto donde se cortan los ejes de coordenadas se denomina origen y lo designaremos por O. En primer lugar medimos la altura a la que está el punto P del suelo: para ello trazamos la recta r que pasa por P y es perpendicular al suelo. Qué existe tal recta y es única es una propiedad que suponemos conocida de los planos y rectas del espacio. La recta r co11a en un punto Q al plano del suelo, la distancia de Pal punto Q se llamará z (ver figura 7.2). De modo análogo se calculan los números x e y considerando rectas perpendiculares por P a las dos paredes que hemos tomado como referencia (figura 7.2). Los números obtenidos y ordenados en una terna: (x, y, z) , son las coordenadas del punto P. Oz R

. . ··

X -

3y -

Z -

8 =

Ü.

o

303

Tema 7. Geometría vectorial del espacio

Ejercicio 48 Hállese una ecuación del plano que pasa por los puntos P 1' = (2, 1, -1) y P2' = (1, 1, 2) y que es perpendicular al plano de ecuación 7x + 4y - 4z + 30 = O. Solución. Un vector de dirección del plano solicitado es el vector Vp, P' = (-1, O, 3). 1

2

Como este plano es perpendicular al plano n : 7x + 4y- 4z + 30 = Oy el vector u = (7, 4, -4) es un vector normal de n, y al ser ambos planos perpendiculares, u es otro vector de dirección del plano que nos piden.

J

Como rango [- l O 3 = 2, entonces los vectores 7 4-4 dientes. Un vector ortogonal a ambos es el vector

Vp, P' , 1

2

e 1 -1 7 e2 O 4 e 3 3 -4

= ( O 4 _ -1 7 -17 3 -4 ' 3 -4 ' O 4

l

u son linealmente indepen-

J = (-12

'

17 - 4) ' '

que es, a su vez, un vector normal del plano solicitado, luego el plano tiene por ecuación: -12(x-2) + 17(y-l)-4(z+l) = O => -12x+l7y-4z+3 = O.

o

Ejercicio 49 Hállese una ecuación del plano que pasa por el punto Q 1' = (3, -1, 2) y que es perpendicular a cada uno de los planos n 1 : 2x - 3y + z = 4 y n 2 : x + 2y + 3z = 5. Solución. Sea n el plano solicitado. Como n es perpendicular a n 1, el vector u 1 = (2, -3, 1), normal de n 1, es vector de dirección de n, y como n es perpendicular a n 2 ,

el vector u 2 = ( 1, 2, 3) , normal de n2 , es vector de dirección de n. Además, los vectores u 1 . 1mente m . depen d"1entes, ya que rango ( 2 -3 31 y u 2 son lmea 1 2 Un vector normal den es el vector

u

= (

-3 2 1 3

2 1

13

J = 2.

2 1 -3 2

J

(- 11, - 5, 7).

Por consiguiente, una ecuación de n es -ll(x - 3)-5(y+l)+7(z - 2) =O=> -llx-5y+7z + I4

304

O.

D

Problemas métricos en el espacio

Ejercicio 50 Estúdiese si los pares de rectas siguientes se cortan, son paralelas, se cruzan o coinciden. a)

{:

c) {:

o o o o

{y= o z = 1

b) 1

{: + z = 2

d)

t ;t = y =

o o

= o z = 1

1

f:+z = 3

{X+ 2z = 5 z = 2

En los casos en que las rectas se corten, hállese el ángulo que forman. Solución. Estudiemos si las rectas se cortan, es decir, si existe algún punto común de ambas; para ello, las coordenadas de un punto común debe verificar a un tiempo las ecuaciones de las dos rectas.

a) En este caso se b""ª la solución del sistema

¡~ :~.

Pern este sistema es claramente

incompatible, pues O= z = 1 es absurdo. Así pues, las rectas o son paralelas o se cruzan. Un vector de dirección de la primera recta debe verificar {x = O , tomemos por ejemplo z = o u = (O, 1, O). Obsérvese que B = (O, 1, O) y A= (O, O, O) son dos puntos de la recta y que el vector que une los puntos A y B posee coordenadas (O, 1, O) - (O, O, O)= (O, 1, O). Un vector de dirección de la segunda debe verificar{y = O , por ejemplo, v = ( 1, O, O). z = o Como los vectores u y v son linealmente independientes, pues no son proporcionales, entonces las rectas no son paralelas, luego se cruzan.

b) En este caso, el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas

1~ :r

tiene

z = 1 solución única x = O, y= O, z = 1. Por lo tanto las rectas se cortan en el punto (O, O, 1). Veamos ahora qué ángulo forman las rectas al cortarse. Un vector de dirección de la primera recta debe verificar

{x = O, así pues, u= (O, O, 1) es un vector de dirección de y= o

dicha recta. Para la segunda recta {y = O , por tanto, v = ( 1, O, O) es vector de dirección de la z = o segunda recta. El ángulo de las dos rectas viene dado por el ángulo de los vectores u y v, es decir, es el ángulo a cuyo coseno es:

305

Tema 7. Geometría vectorial del espacio

lu · vi llull llvll

cosa. =

Luego, las rectas son perpendiculares.

o

X

c) Como el sistema

z

O es incompatible, pues l

=

x = O es absurdo, entonces las

X

X+ Z = 2 rectas o se cruzan o son paralelas.

Un vector de dirección de la primera debe verificar

. . ' P ara Ia segunc1a { vector (1e d irecc1on.

x X+ Z

X= 0 {z

=

o

, luego, u = (O, 1, O) es un

= O , y v = (O , 1, O) es vector de dºJrecc10n. .' = 0

Como los vectores son iguales, entonces las direcciones de las dos rectas coinciden, así pues, son rectas paralelas.

d) Estudiamos el sistema

1 3 +z : cuya matriz de los coeficientes: x + 2z - 5 z = 2

1:

r~ ~ ~1 102 001

tiene

rango 2, obsérvese que tiene una columna de ceros y la matriz ampliada:

l

'j

1l o Oo l 3

l O2 5

OO

2

tiene también rango 2, ya que la última columna se obtiene sumando a la primera dos veces la tercera. Luego , el sistema es compatible e indete1minado: las rectas coinciden. o

7-10 Conceptos clave Producto escalar de v = (x, y, z) por w = (x', y', z'). Es v • w = x · x' +y· y'+ z · z'.

Vectores linealmente independientes. Tres vectores v = (x, y, z), w = (x', y', z') y u = (x", y", z") son linealmente independientes si y solo si: x x' x" y y' y"

;t ()

z z' z" Base canónica. La formada por e 1 = ( 1, O, O), e 2 = (O, 1, O) y e 3 = (O, O, 1).

306

Con cepros cla ve

Producto vectorial. Si v = (x, y, z) y w = (x', y', z'), el producto vectorial es el vector:

vxw

El vector v x w es perpendicular a v y w. Ecuaciones paramétricas de un recta. Para una recta que pasa por A = (a 1,a 2,a 3 ) ytieneunvectordedirecciónv=(v 1, v2,v 3):

:: :~ : ::~, 1

con t

E

R

z=a 3 + t v 3

Plano 1t. Queda determinado por un punto A y dos vectores linealmente independientes, u y v: Es el conjunto de puntos: n = {P : v AP = t I u + t2 v : t 1, t 2 E R} . La dirección del plano n son los vectores D(n) = {t 1 u + t2 v , con t 1, t2 E R}. Ecuaciones paramétricas de un plano. Plano que pasa por el punto A = (a 1, a 2, a 3 ) y con los vectores u = (u 1, u2, u3) y v = (v 1, v 2, v3 ), linealmente independientes, en su dirección: X

= a I + t I U I + t 2 V¡

y : a2 + z - a3 +

1

t 1u 2 + t 2 v 2 , cont 1, t 2 E R t 1u 3 + t 2 v 3

Ecuación implícita o cartesiana de un plano. Es una ecuación de la forma: n 1 x + n2 y+n 3 z+n 0 = 0. Vector normal al plano. El vector n = (n 1, n 2, n 3 ) se ll ama vector normal al plano con ecuación n I x + n2 y + n 3 z + n0 =Oyes ortogona l a todos los vectores de la dirección del plano. Si u y v son vectores de dirección y linealmente independi entes de un plano entonces u x v es un vector normal de dicho plano .

307

Tema 7. Geometría vectorial del espacio

Ecuación cartesiana del plano que pasa por un punto A= (a 1, a2, a3) y tiene los vectores linealmente independientes u= (u 1, u2, u 3) y v = (v 1, v 2, v3) en su dirección:

O.

Planos paralelos. Decimos que dos planos re y p son paralelos si tienen la misma dirección, es decir: D( re)= D(p ). Si re y p son paralelos, admiten ecuaciones implícitas de la forma: re: n 1 x + n 2 y+ n3 z + n0 = O,

p: n 1 x + n 2 y+ n 3 z + n' 0 = O.

Posiciones relativas de dos planos. Dos planos en el espacio o bien son paralelos o bien son secantes. Ecuaciones implícitas o cartesianas de una recta. Son de la forma: ax + by+ cz + d = O { a'x + b'y + c'z + d' = O

Recta paralela a un plano. Si la dirección de la recta está contenida en la dirección del plano. Posiciones relativas de un plano y una recta. Un plano y una recta o bien son paralelos o bien se cortan en un punto único (secantes). Rectas que se cruzan. Dos rectas se cruzan, si y sólo si no son coplanarias. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio. Dos rectas en el espacio o bien son paralelas, o bien se cortan en un punto o bien se cruzan. Distancia entre dos puntos del espacio. La distancia entre los puntos A = (a 1, a 2, a 3) y B = (b 1, b 2, b 3) es:

Recta perpendicular a un plano. Una rectar y un plano re son perpendiculares sir es perpendicular a toda rectas contenida en el plano re. Si tomamos u E D(r), y ni= Oun vector normal de re, res perpendicular a re si y solo si u y n son proporcionales. Planos perpendiculares. Dados dos planos en el espacio con vectores normales n y n', respectivamente, dichos planos son perpendiculares si y sólo si n • n' =O. Distancia de un punto a un plano. Sea C = (c 1, c2, c3) y re el plano de ecuación n 1 x + n2 y+ n3 z + n 0 = O, entonces d( C, re) =

ln1 c¡ + n2c2 + n3c3 + nol

Jn2 + n2 + n2 1

308

2

3

Autoevaluación

7-11 Autoevaluación

Problema 1 Uno de los siguientes conjuntos está formado por las coordenadas de tres vectores linealmente dependientes: A) [(1 , 4, 1),(0, 3,2),(1 , 7, - 1)} 8) {(I, O. -1), (O. 2. 2) , (3. 2, - 1) }. C)

:(I. 1.0), (0.1.2).( - l , O. I) }.

Problema 2 Dados v = ( 1, -2b, 2) y w = (3, - 1, - 4c), determínese cuál de las siguientes afirmaciones es verdade ra:

~

Si b

8)

Si b = O y c =

C)

Ninguna de las anteriores afirmaciones es cie11a.

=

y c

entonces v y w son linealmente depe ndientes.

A)

= - ~

~

entonces v y w son ortogonales.

Problema 3 Dados los vectores v = ( 1, 2, - 1) y w = (- 3, 1, 4). Las coordenadas de v x w y w x v son: A)

(9. - 1, 7)y(-9. l,-7).

8)

(9,- l , -7)y(-9 , 1, 7).

C)

(9,-1. 7)y( - 9 , 1, 7).

Problema4 Las siguiente ecuación es una ecuación implícita del plano que pasa por A = (2, 1, 0) y tiene a los vectores u= ( 1, 1, 1) y v = (O, 2, - 1) en su dirección: A) - 3 x +y+ 2 z + 5 = O. B) - 3 x +y+ 2 z - 5 = O. C) - 3 x + y - 2 z + 5 = O.

Problema 5 Dígase cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta: A) Los planos rr : x + 2 y - 3 z = O y p : - 3 x - 6 y+ 9 z + 1 = O son secantes. 8)

C)

Los planos rr : x - 2 y+ 3 z = O y p : 2 x + y - z + 4 = O son secantes. Ninguna de las anteriores.

309

Tema 7. Geometría vectorial del espacio

Problema6 La siguiente ecuación es una ecuación implícita para el plano que pasa por el punto Q = (3 , 0, 1) yesparaleloalplano 3x-2y + 5z+l = O: A) 6x-4y+ lOz-28 = O. B) 3x - 2y + 5z - 28 = O. C) 3x-2y-5z-14 = O.

Problema 7 X= 3 + t y = 2 + 2t , y el plano rr: x - y + z + 1 = O. Obténgase cuál de las

z=l+t siguientes afirmaciones es correcta: A) r corta a rr en un punto único. B) r está contenida en rr. C) res paralela a rr y no contenida en rr.

Problemas Sea r la recta que pasa por los puntos P 1 = (2, 3, O) y P2 = (2, -9, 5) y s la recta que pasa por los puntos P3 = (-8, -3 , -1 O) y P4 = (- 8, 9, -15). Determínese cuál es la afirmación correcta: A) B) C)

Las rectas r y s se cruzan. Las rectas r y s se cortan en un punto. Las rectas r y s son paralelas.

Problema 9 La ecuación siguiente es una ecuación del plano que pasa por el punto Q 1 = ( 1, -3, 2) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos Q 2 = (O, O, 3) y Q 3 = ( 1, - 3, 2): A)

x - 3y-z - 8 = O.

B)

x - 3y + z - 12 = O.

C)

x - 3y + z-l = O.

Problema 10 La distancia del origen O al plano rr : 2 x - 4 y+ 4 z + 6 = Oes:

310

A utoevaluación

A)

1

Ji

B)

1

Ji

C)

1

Soluciones del test

2 3 4 5 6 7 8 9 10 BCAABACCAC

311

Índice de símbolos lx l m.c.d.(a 1, a2, ... ,an) m.c.m.(a 1, a 2 , ... ,a 0 )

3 4 6

m n

6

m/n

6

a

n

W1

V n. r

46

Pn

48

n!

48

en, r

50

12

(~)

50

13

VRn,r

52

E

20

líe

e

20 20 21

::J

21

0

21 21 21 21 21 23 23 25

N

z Q

p

n, n 1 , ... ,

n,

CRk, n (x +

y/

54 56 71

anxº + ... +a 1x + a 0

74

grad(P)

75 85

P(a) = O P(x) S(x)

87

seny

114

cosy

114

25

tgy

114

26

cotgy

114

Ac

26

secy

115

AxB

27

R

IAI fc,l(A) AuB AnB A-B

R2

28

R3

28

n

L

30

k=l CT

31

X

32

A

37

P(A/8)

40

cosecy

115

(a¡j)mxn

149

( ªij)

149

Mmxn

149

At Iq

151 160

A-1

163

IAI

163

det(A)

163

313

M IJ

167

A IJ

168

Adj(A) v = (x,y)

172 234 234

VAB

llvll v+w A·V V

•w

e 1, e 2 Vop

D(r) r

11

s

d(A, B) n

d(C, r)

v = (x , y, z)

e 1, e 2, e 3 vxw D(r) D(rr)

314

235 237 238 240 248 249 250 255 260 261 263 273 277 279 282 285

Índice de términos Abscisa, 128 Adjunto de un elemento, 168 Algoritmo de la división, 3 Ángulo, 99

lineal de ecuaciones, 196 lineal de vectores, 246 Combinaciones con repetición, 55 sin repetición, 50

agudo, 100

Complementario de un conjunto, 26

completo, 100

Conjunto de partes de un conjunto, 23

formado por dos rectas, 261 formado por dos rectas en el espacio, 301

universal, 22 Coordenadas, 128 de un punto, 272

llano, 100

Cosecante, 1 14

obtuso, 100

Coseno, 114

opuesto al lado, 104

Cotangente, 1 14

recto, 100

Cuadrantes del plano, 129

Ángulos complementarios, 119 Arco coseno, 122 cotangente , 122

Desviación media, 32 típica, 32

seno, 122

Determinante de una matriz, 163

tangente, 122

Diferencia de polinomios, 77 Dimensión de una matriz, 149

Base, 248 canónica, 248

Dirección de una recta, 250 Distancia de un punto a un plano, 302

canónica en el espacio, 277

de un punto a una recta, 263

en el espacio, 277

entre dos puntos, 98

Binomio, 70 al cuadrado, 70 al cubo, 71 de Newton, 71

entre dos puntos en el plano, 260 entre dos puntos en el espacio, 301 Divisibilidad de polinomios, 85 División Euclídea de polinomios, 80 Divisor de un número, 2

Cardinal de un conjunto, 23 Cateto, 110

Ecuación cartesiana del plano, 288

Centro de la circunferencia, 1O1

continua de una recta, 251

Circunferencia, 1O1

continua de una recta en el

Coeficientes, 190

espacio, 283

de Variación, 32

homogénea, 190

de un polinomio, 74

implícita, 253

de un sistema de ecuaciones lineales, 192 Combinación lineal, 275

implícita de un plano, 288 punto-pendiente, 251 Ecuaciones bicuadradas, 19

315

cartesianas de la recta, 294 implícitas de una recta, 294

Incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales, 192

lineales en una variable, 15

Inecuaciones lineales, 15

paramétricas de un plano, 287

Intersección de conjuntos, 25

paramétricas de una recta, 251 paramétricas de una recta en el espacio, 283 Eje de abscisas, 127 de ordenadas, 127 Ejes de coordenadas, 127

Lado opuesto a un ángulo del triángulo, 104 Lados del triángulo, 104 Ley de Laplace de la probabilidad, 39 de los grandes números, 35

de coordenadas en el espacio, 272 Elemento de una matriz, 149

Matrices multiplicables, 158

Elementos de un conjunto, 20

Matriz, 149

Espacio muestra!, 34

adjunta, 172

muestra! equiprobable, 35 Expresión decimal de un número

ampliada, 212

irracional, 9

antisimétrica, 152 columna, 150

decimal de un número racional, 8

complementaria, 167

matricial, 213

cuadrada, 150

Extremo de la semirrecta, 99

de coeficientes, 212

Extremos del segmento, 98

diagonal, 151 diferencia, 153

Factorial de un número, 48

fila, 150

Factorización de un número en factores

inversa, 162

primos, 5 Fracciones algebraicas, 87 algebraicas propias, 87 Frecuencia absoluta acumulada, 31

inversible, 163 nula, 151 opuesta, 151 producto, 158

absoluta acumulada, 33

simétrica, 152

relativa, 31

suma, 153

Función de probabilidad, 38

traspuesta, 151 triangular, 150

Grado de un polinomio, 75

triangular inferior, 150

Grados, 100

triangular superior, 150

Hexágono regular, 121 Hipotenusa, 11 O

unidad, 151 Máximo común divisor, 4 Media aritmética, 32

Incógnita de una ecuación, 190

316

Mediana, 32

Medida o longitud del segmento, 98 Menor complementario, 167 de una matriz, 181 Método de Gauss, 208 de reducción, 202 de sustitución , 205

del Complementario, 44 Probabilidad, 34 condicionada, 40 Producto cartesiano de conjuntos, 27 de número por vector, 238 de polinomios, 77

Mínimo común múltiplo , 6

escalar, 240

Moda , 32

escalar en e l espacio , 275

Monomio, 69

vectorial , 279

Muestra estadística, 29 Muestreo con reposición, 42

Puntos, 95 alineados, 284

Múltiplo de un número, 2 Radianes, 1O1 Norma de un vector, 235 de un vector en el espacio , 275 Número entero ,

Radio de la circunferencia, 1O1 Raíz de un polinomio , 85 enésima de un número real , 13

natural, 1

múltiple, 85

primo, 5

simple, 85

Números fraccionarios, 6

Rango de una matriz, 182 Razones trigonométricas, 1 14

Orden de una matriz, 149

Recta paralela a un plano, 296

Ordenada, 128

en el plano, 249

Origen de coordenadas, 127

y plano perpendiculares , 302

de coordenadas en el espacio, 272

y plano secantes, 297

Rectas, 95 Permutaciones con repetición, 53 sin repetición, 48 Plano, 95 en el espacio, 285 Planos coincidentes, 292

coplanarias , 299 paralelas, 96 paralelas en el espacio, 298 paralelas en el plano, 255 perpendiculares, 103

paralelos , 291

perpendiculares en el espacio, 301

perpendiculares, 302

perpendiculares en el plano , 261

Población estadística, 29 Polinomio, 74 irreducible, 85

que se cruzan , 299 secantes, 259 Regla de Cramer, 217

Potencia de un número real, 12

de Ruffini , 83

Principio de Adición, 44

de Sarrus, 164

de Multiplicación, 42

Resolver un sistema de ecuaciones

317

lineales, 192 una ecuación, 190 Resta de polinomios, 76 Secante, 115 Segmento, 98 Semirrecta, 99 Seno, 114 Sistema compatible, 194 compatible determinado, 194 compatible indeterminado, l 94 de ecuaciones lineales, 192 generador, 248 homogéneo, 192 incompatible, 194 Sistemas de ecuaciones lineales, 15 equivalentes, 196 Solución de un sistema de ecuaciones lineales, 194 de una ecuación, 190 Soluciones de la ecuación de segundo grado, 18 Subconjuntos, 21 Submatriz de una matriz, 181 Suceso, 34 complementario, 37 contrario, 37 elemental, 34 imposible, 37 seguro, 37 Sucesos independientes, 41 Suma de polinomios, 77 de vectores, 23 7 Tangente, 114 Teorema de Pitágoras, 110 de Rouché-Frobenius, 219 de Tales, 107 318

Término independiente, 190 Términos independientes de un sistema de ecuaciones lineales, 192 Transportador de ángulos, 99 Triángulo, l 04 equilátero, 120 Triángulos iguales, 104 semejantes, l 05 Unión de conjuntos, 25 Valor absoluto, 3 absoluto de un número real, 12 medio, 30 Variable estadística, 29 Variación sin repetición, 46 Variaciones con repetición , 52 Varianza, 3 2 Vector cero, 275 de dirección de una recta, 250 de posición, 249 de posición en el espacio, 282 fijo, 231 fijo en el espacio, 273 libre, 233 libre en el espacio, 273 normal de una recta, 261 normal del plano, 288 nulo, 235 opuesto, 236 opuesto en el espacio, 275 Vectores colineales, 243 Vectores fijos equivalentes, 232 fijos equivalentes en el espacio, 273 linealmente independientes y dependientes, 246 linealmente independientes en el

espacio, 275 ortogonales, 242 ortogonales en el espacio, 275 Vértice del ángulo, 99 Vértices del triángulo, 104

319

une