Máximo Matemática 10 Ano Caderno de Fichas

Ma

a Augus u11sriG ta uerreiro ~re.,.

A n to m o

Pinto Srl va

Neves

Caderno de Ficha s

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• Porto Ed\tora

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Apresentação

Índice

Caro estudante

Domínio 1

[ ste Caderno de Fichas foi pensado para o ajudar a reforçar

a aprendizagem.

Domínio3

Domínios

Geometria analítica no plano

Lógica e teoria dos conjuntos

Funções

consolidar os conhecimentos e a preparar para os testes de avaliação. lntroducão à lógica.bivalente

[ ste instrumento de trabalho. apresenta-lhe:

Ficha p.:1r.:1prôlbcar1 F1ch.:> p.:1r.1pr;:ibc.Jr2 F1ch.:> p.:1r.1pr;:ibc.Jr3

• Fichas para praticar: conjunto de questões para adquirir destrezas em cálculo e resolução de problemas

Ficha do tosto 1

• Fichas de teste : conjunto de questões-tipo para rever conteúdos relevantes na preparação para os testes de avaliação.

4 6 8

to

Condições e conjuntos

[ stamos convictos que será mais um recurso a contribuir para que atinja o seu Máximo. Os autores

F1ch.:> p.:1r.1pr;:ibc.Jr4

12

F1ch.:> p.:1r.1 pr;:ibc.Jr5 F1ch.:> p.:1r.1pr;:ibc.Jr6 Ficha do tosto 2

14 16

t8

Referencial ortonormado. Distâncias no plano F1chJ p.Jr.J pr.:>t1cilr 15 44 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 16 46 Ficha de tosto 7

48

Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 17 50 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 18 52 Ficha de tosto 8

54

Vetores no plano F1chJ p.Jr.J pr.:>t1cilr 19 F1chJ p.Jr.J pr.:>t1cilr 20 Ficha de tosto 9

Ficha para praticar

•

Número do ficho/teste poro poder 1dcnt1f1cj-l;:i no mt:1nuJl. Assim, podcr,j s.Jbcr qu\Jndo pode rc.Jbz5-l.J.

Domínio2 Álgebra Radicais F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 7 F1ch.:> p;:ira pr.Jt1c.:Jr 8 Ficha de tosto 3

t!::

Poténcias de expoente racional F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 9 F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 10

Ficha de tosto'

tl

tJ

Operações com coordenadas de vetores F1chJ pJrJ prJt1cilr 21 62 F1chJ pJril prill1Cilr 22 Ficha de tosto 10

6' 66

Equação de uma reta no plano 26 28 30

F1chJ pJr.J pr.:>t1cilr 23 F1chJ pJr.J pr.:>t1cilr 24 Ficha de tosto 11

68 70

n

F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 29 F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 30 Fichado toste 1'

86 88 90

Transfor mações do gráfico de uma função F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 31 92 F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 32 Ficha do toste 15

9' 96

Monotonia e extremos de uma função F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 33 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 34 Ficha do toste 16

Função quadrática. Função módulo F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 35 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 36 Ficha do toste 17

98 100 t 02

º'

1 106

t 08

Função raiz quadrada. Função raiz cúbica. Operações com funções F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 37 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 38 Fichadotoste18

110 112

t14

Operações com polinómios F1ch.:> p;:ira pr.Jt1c.:Jr 11 F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 12 Ficha de tosto 5

Ficha do tosto

20 22 24

56 58 60

Generalidades sobre funções

32 34 36

Fator izacão de polinómi.os. Resolução de equações e inequações F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 13 38 F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 14 Ficha de tosto 6

40 42

Dom ínio4

Domínio6

Geometr ia analítica no espaço

Estatística

Referenciais cartesianos do espaço. Conjuntos de pontos do espaço F1chil p.ilr..1pr;:ibcJr25 Ficho poro probcor 26 Ficha de tosto 12

74 76 78

Somatórios. Média. Desvio-padrão. Percentis F1chJ pJr.J pr.:>t1cilr 39 F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 40 Ficha do toste 19

116 118

t 20

Cálculo vetorial no espaço F1chil p.ilr..1pr;:ibcJr27 Ficho poro probcor 28 Ficha de tosto 13

2

80 82 84

Soluções

t22

3

•

m

Lógic• e teorl• do1 conjuntos

Indique o' alor lógico de cada uma da; (>rOp!>içõe;.

ara praticar 1 µ: 0,2'< 0, I 1.1.

1.2.

,, : (- 1.21' .. o

lntroducao a logica bivalente

r: ( 21" >0

s: \. 38 1,414

4.4.

49 é um número quadrado perfeito e par.

4.5.

12 1 éumcuboperfeitoou 64 éumcuboperfoi10.

4.6.

7 édh isorde 343 e :;12 é múltiplo de 8 .

a) \erdadcira (indique iodasª' re-110s1as 110ssfl eis}.

Considere as proposições: C:on;iderc a> propo,lçõe' 11, /1, e e 1/: ": O; triângulo> i,6,celc' também ,;io 11inngulos equil:l1eros. /J: 0.7

e: (

~)' (

- 1

d: rr+ 1o>içôc>.

5.2.

l'raduza em linguagem natural, ;em uliliwr a i>.lla\'ra "1h 10: cada urna das pro1>0;.içôes e indique o seu valor lógico.

d: O quad r,1do de qualquer né1111cm real é um núme ro J'eal posilivo. &creva a negação de codn umn dns pmposiçf>es dadas e, em seguida, indique o seu valor lógico, bem como o d" >u•l negação.

a) _,, e) -/JVd Considere"' propo>lçõe' ,cguime-. /J: li é um numero primo

q: \. fü é um número irracional

r: i2 nimbolicamcnw c Indique o 1 alor lógico de cada uma das proposições. Considere as proposições p e q tais que 11 é fal>O, emão b=3.

2.2.

Se a+/1= 1, e ntão e;;; o.

2.3.

Se a= 3 ou a= 1, então b >O .

2.4.

Se a q é falsa

5.4.

q é falsa

ep

=> q é verdadeira

5.5.

q ''erdadeira

ep

~

q é falsa

5.6.

q é falsa

e q

~

p é verdadeira

2.12. 11'>- I amenos que 11 -q

3.4.

- p => q

l

.

l 3.5.

6

q

~

-q

3.6.

-p

~

q

•~ ;;

Considere as proposições p e q tais que:

p: 4'>8 e q:

:!.0sição "p a menos que q" e indique o seu valor lógico.

7

m

W lntroduçao à lógica bivalente

Lógica e teoria dos conjuntos

O Minóquio é um " primo" do célebre Pinóquio. Como é um rapaz mais moderado apenas mente às quintas-Feiras, sextas-feiras e sábados e fala a verdade nos outros dias da semana.

ara praticar 3 Determine o valor lógico de cada uma das proposições. 1.1.

-(31 =6

==}

1.2.

-(Vi= 1 se e somente se 1'=2)

1.3.

4";< 12

1.4.

2'; -(r /\ 1)

(A) Se amanhã não estiver sol, então não vou à praia.

8.3.

-((r => /1) V (1 => q))

8.4.

(q => 1) =>

rV p

(B) Amanhã não vai esLar sol ou vou à praia.

(e)

IJI Considere as proposições t e s ;

Amanhã vai estar sol e não vou à praia.

(D) Se amanhã estiver sol, então não vou à praia.

a

/: 0,3'=0,9

9.1.

=> q, é verdade que:

(A) q é condição suficienl e para p.

(- 1/\s)v(1/\-s)

9.2.

IIiJ Considere a proposição [a/\ ( - a V b)j => a .

(B) fJ é condição necessária para q.

(e) q não é condição necessária 1>ara 11. (o) fJ é condição suficiente para q.

Prove, sem recorrer a tabelas de verdade, que a prnposição é verdadeira.

EI Das quatro proposições seguintes, apenas uma não é equivalente à proposição a.

Ili Considere as proposições b, p e s:

Identifique-a.

10

s: nosições.

Considere as proposições fJ e q. Quando se afirma que fJ

lG (1 1~

1: Liga.

(A){a /\-/J) V (a/\ b)

/J: O Sport Lisboa e Benfica ganha a

(B){b => a) V b

.!

fJ: O Futebol Clube do !'orlo ganha a 1.• Liga.

(e) (a v /J) /\(a v - b) (o)(- a => 11) /\ (/J => a)

l

s: O Sporting Clube de Portugal ganha a I.' Liga.

•

Admitindo que

.

-(-b v(- p => s)) é uma proposição verdadeira, determine, jusliílcando, qual das equipas ganha a primeira liga,

11

m

UI Condiç:oes e conjuntos

Lógica e teoria dos conjuntos

Considere, em IR, as condições:

ara praticar 4

x'=i', x"'x, xEIN, xEIR, x~IR, xE0, x~0

Hesolva, em Z e em O, cada uma das equações. 1.1.

1.3.

e

x~Z

4.1.

Indique as que são universais, as que são possíveis e as que são impossíveis.

4.2.

Indique se é possível, impossível ou universal cada uma das condições.

- 3i'+2x= - I

a) i'=.r /\x~F!

2 - i'=O

e)

b) xE0V i'=i'

xEIR/\x~Z

d)

e) x"'xVxEIR

x~0V xEIN

1) X"'X/\xEIN

Escreva em linguagem simbólica e indique o seu valor lógico.

2.1.

2.2.

Exisle pelo 1ne11os urn nlunero natural 1ne11orque ·v2. Escreva aíir mações equivalentes à negação de cada urna das proposições, ulilitando as segundas leis de De Morgan.

·1bdo o nún1ero racional é un1 nú111ero i11teiro.

2.3.

Existe pelo menos um número real diíerenle dele próprio.

2.4.

·1bdos os números ímpares são primos.

l lá pelo menos um número racional maior que

2.6.

Existe pelo menos um n(unero real não negativo cujo dobro é não positivo.

2.8.

Existe pelo menos um português que não trabalha.

5.2.

Todos os portugueses do Norte de Portugal gostam de trabalhar.

5.3.

Nem Lodos os portugueses são ricos.

5.4.

Qualquer português gosta de gotar férias.

\/3.

2.5.

2.7.

5.1 .

Considere as condições •..=' + 1 >O,

i' >O, i' (O e .t' O

e) i'> O/\i'+ 1 >O

d) .ro

Considere as proposições: a: 'V 11 E IN, 211 + 1 é um número par

/;: 'VxEIR, i"+3>0

d: 3xEO: X' - 3=0

e: 3xEZ: (x+3)(2x - l )= O

Considere, em IR, as condições:

e: 'VxEIR , x+ 1 =x

aÇt): i' - 1=O

/;~~): x - l > O

c(x): x - 1 ares.

4.2.

Todos os triângulos são isósceles.

4.3.

Nem todos os números quadrados perfeitos formados por dois algarismos têm os algarismos distintos.

4.4.

Qualquer quadrilátero que tenha os quatro lados iguais também tem os quatro ângulos iguais.

4.5.

Todo o número natural que é divisor de 24 é divisor de 8 .

12.

Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições.

b) 3xE A: p(x)

a) V'xE A, q(x) 1.2.

x é um número divisor de

4.1.

Escreva em linguagem natural cada uma das proposições e indique, justificando, o seu valor lógico.

b) V' xE A, p(x)

a) 3xE A : q(x)

C:onsidereoconjumo IJ ={- 1, 1, 3, 9, 16, 19, 25} e as condições:

Considere as proposições:

/J(.t): x não é um número quadrado perfeito. q(.\'): x não é un'I nl1111ero prüno.

a: V'xEIR, X(2 => X(4

rÇt) : 2.1.

x é um número real menor que

b: V'xEFl, x'>4 => x>2

30 .

5.1 .

l demifique o val or lógico de cada uma das pro1>osições.

5.2.

Escreva a negação de cada uma das proposições sem utilizar o símbolo - .

Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições.

a) V'xE IJ , r(x)

b) 3xE IJ: p(x) e) V'xE IJ , q(x) Considere as proposições: 2.2.

Relativamente a cada uma das condições, indique se é possível não universal, impossível ou universal em IJ.

e : V'xEIN, lxl>4 => x .r - IO (O

p(x) , q(x),

r(x),

-p(x), -q(x) e -r(x) 6.1.

Escreva a negação de cada uma das proposições sem utilizar o símbolo - .

6.2.

Indique o valor lógico da negação de cada uma das pro1>osições obtidas em 6.1 ..

Escreva a negação de cada uma das proposições sem utilitar o símbolo - .

3.1.

Considere as proposições:

V'xEIR' , - 2x x>O

p: 311 E IN: 11 é m últiplo de 15 /\ 11 não é m últiplo de 5 . 3.2.

3.3.

q: V' x E IR,

V'xEZ 'X;tXl\x>O

V'xEIR, x - 1;tOV.t"(O

x é uma dílirna infinita não periódica => x é um número racional.

7.1.

Escreva a negação de cada urna das proposições anteriores.

7.2.

Indique o valor lógico da negação de cada urna das proposições obtidas em 7.1 ..

' ~

.

l

•~ ;;

14

15

•

&ta Cond1coes e conjuntos

Lógica e teoria dos conjuntos

Considere as condições definidas em IN:

P.r.aticar 6

.

C:on;idere o; to111u1110-= J\;{.tEZ:

2(A conjumo;.

r f

11- {xElll: 2.1 - 13elllc

1.2.

Heprc>entc e.ida um do' conjumo-; em ei.1ensão.

•)

,,

e)

A f'l /J

e) C\

b)

/J

d) "u /) 1) An/Jnc:no

IJ

Considere os seguintes conjuntos: /J: {AEIR: J - 2 ;A

C:on,idcre o; conjumo"

)2x}

Defino, sob a forma de intervalo ou de reunião de illlervalos dl\jumos, 0)

/J ;{.tEI/: x épriinot

5.1.

/J

5.2.

e:

5.3.

ii

5.4.

;\ \ /J

5.5.

f:u IJ

5.6.

ii \"

C:-lxEI/: ·' édivl\ordc 201 /J;lxEI/: (A 2.1.

1)(2.,

10)(.,

12)-0I

lle1>rese111e em extensão cada um dos conjunto;. A-{AEIR: A;(-1)', 11EINI

H.eprc!-ic11tc c1n C.\ten...tio O'-! conjunto°' J\, IJ, e e D.

ll~ {.,EIN,:

2.2.

c~(.,e{o, 1, 2. 31:

H.cprc~1ue c1n CÃtcn~o l"ada un1 do, conjuntos.

b) d)

•) Ã

e) li /)

;:'; 13.\ - 22}

x'-x:o}

une: /1

(Ãuê) Escre\ a o comrarrecíproco de cada uma da; propo;içôt.':>. 7.1.

C:on;idere o conjumo 1; {I , 2, 3

Se nes1e ª'ião existe algum pas.ageiro dOt'nte, cntl'OJX>Sições. 3.1.

3xEA: A .. A 6;0

3.2.

'lfAEA,

7.2.

x' 1 (0

t

3.4.

16

Qualquer pessoa presente nesta >ala que tenha um livro sabe ler.

3xEA: x+2)5

1 •

i

Demons1re 1>or comrarreclproco que: Se

Mt\IA IU( 1 -O.!

/1

e

111

são números naturais para o; quai;

11

+ 111 ê 1>ar, cn1:10 11 e 111

t~m a

mesma paridade.

17

•

W

Lógica e teoria dos conjuntos

Ficha de teste 2

-

li Qual das proposições seguintes não é verdadeira'! (A) 3xE Z: ~= - 4 X

10

(B) 3xE Z: i"( O

~

(e) 'o'xEIR, 2> - ~

Condiç:oes e conjuntos

Ficha de teste 2

a

lltili1.e um contraexemplo para mostrar que é falsa cada uma das proposições. 6.1.

'o'11EIN,

li

(D) 'o'11EIN, (- 1Y'( 1 6.2.

3G

(1 1~

.!. < 1 1

'o'xEIR\{ O}.-(x X

IJ Considere os conjuntos:

10

6.3.

3aEIN:

- a' é um número real 1>ositivo.

P ={11EIN : 211 - 3< 14 /\11 é ímpar}

li Sejam A e IJ dois subconjuntos do universo C/ = { 1, 2, 3 , 4 , 5, 6} tais que:

Q={xEZ: x=(- 1)"+11/\11EIN/\11 - 2 /\ x' < 4 é: (A) 'o'xE

z. X( - 2 /\i")4

(e) 'o'xEZ, X) - 2Vi"(4

(B) 'o'xE

10

z' X( - 2 =>

F={3, 4, 6, 8}

711+9 é um número natural par, então 11 é um

11

número natural ímpar.

10

(; ={ O, 4, 6, 10}

lliJ Escreva em linguagem natural a negação de cada uma das proposições. 10.1.

Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem escrever.

10.2. Qualquer que seja a pessoa, é necessário ser pobre para ser felit.

Qual das seguintes afirmações é ''erdadeira'I

18

IJ Demonstre, por contrarrecfproco, que se

(D) 'o'xEZ , x> - 2 => x' ) 4

EI Considere os conjuntos: E={I, 3, 4, 5}

x' < 4

(A) E\G={O, 6, IO}

(B) (Pn c;)UE={4 }

(c)(i;uf')nc; ={4, 6}

(o) c; \F={ o, 3, 8, 10}

m

Sendo A= { 1, 2, 3}. determine, justiíicando, o valorlógico de cada uma das proposições. 11.1.

3G

(1 1~

-(3xEA: x' +3x+ 1 =O)

11.2. -('o'xEA, x' +x=G)

19

~-----------~-----W

•

Álg _e_IN'll ________

F_

Radic•i• _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

lleduLa ao mesmo índice e escreva por ordem cre;ccntc o; radicai' ob1ido,,

P.JLaticar 7

5.1.

lltili1A111do um do. ohnbolo' 1.1.

-3< '\ 3 = (

< ou >, com1>le1e de modo a obter proposições' erdadeira;.

3)'

1.3.

'\loO

3.7.

\ , , po e

/»O

Simplifique.

KC o

4.6.

\ '3\':Í

1

4.1.

4.5.

6.4.

\ 'J '\'J

e

\Jãi, a>O

~ e\ffr;j!' a>O

\t 11'

\,;;

~ \!• 2) '

.11>0

8.4.

(\

~.a>O

8.6.

(Vt1' ~ ';:")', n>o

2

t

1 •

i

8 .5.

21

-

Determine o' alor e>.ato da área de um tri1lngulo equilátero cujo 1icrí111etro é:

ara praticar 8

6.1.

.r~

11.acionaliLc °" clcnominaclnre' ele cada uma das frações. 3 1.2. 2=,, x>O 1.1. ...; X'

1.3.

2

5- \

v'7.- \ 3 v7 \ 1

1.6.

\'.IB unidades

Mo0b a rorm.1 de uma 1Xltêncla de base natural. 2.1.

"

\'1

1

..

22

~

2.3.

Sejam a e b dois números reais positivo;. Mo;tre que: ô.1.

2.4.

1

'

a!xrrxa ' :a

c:alculc o valor de cada u1na do• rxpl'cs;ôes. 3.1.

1 16; + (...!...) (.:!...)" 19

25

IGx(~)'

5.ô.

5.5.

3.2.

11

'

1 ' )

.x a vvax a,,j'-,

. r-i-

ô.3.

6~ '1 + 0,0 l 'i- 1 6"·"

J=efa

\i'cr

(

(

1

a' ) • a '

.."r

: - - = v t1

0 1 >< 11"º 1 X /f

=(a X /1)'

ô.2.

li

ô.4.

'1\liix \)f,í i} X "'~ V t1° 1 = 2"r.:-2 V 1 ,,

h f/IJ

UI

Considere 3 ' = 2 . Determine o valor numérico de cada u111.1 da' C>lll'C>'1x.'li•amcnw;

\ 108 -2-

•

t

1 •

i

-

-

13

Ali~0Lência de base 5 é igual a:

o,t

li Na figura está represenLado um sólido que pode ser decomposlo no cubo

(o) s

(e) 5

[STllVOPQR] e na 1>irâmide quadrangular regular [AIJC:Dli]. Sabe-se que:

EJ Considere a igualdade (\/8+ v'2+ 1)' =a+úv'i, com a e /J n(unerosnaLurais. (B) a= 17 e IJ=3 (o) a=3 e IJ= 17

(e) a= 19 e ú=6

11'.11

• os vértices da base da pirâmide são os pon tos médios dos lados do quadrado [ OPQR];

a e /J são:

Os val ores de

(A) a=6eú=19

.,. A expressão

10

a

• o cubo tem volume igual a duas unidades cúbicas; e

• a pirâmide Lem vol ume igual a ~ unidades cúbicas.

'

Moslre que a altura da pirâmide é igual a 5 x 2 ' unidades.

~ X(\'.ia) ' : (- ãI)' , com a ;t O, é equival ente a: -~

(A) ~

(B) 'o/ã"

(e) ~

(o) ·'\l'ij'

r

"

B Na figura está represemado o retângulo [A JJC :o] .

v

r.

r.'11 . . . • . .. a7 X~ lliJll Se1am a e /J dois numeros reais posmvos. Mostre qu e , :

(vi.i) j

10

.---------~

Sabe-se que:

(/

a'x(-a')Í -

a' /J.

Y/i}

• M=6x41 e ÃÕ=3x"{fa; • [AC:] é uma diagonal do reLângulo. A

IJI Na figura está representado um Lrapézio isóscel es [ABC.D].

H

Qual das seguintes afirmações é ' 'erdadeira'I

(A)

a\/2.

A área do retângulo é igual a 1

(B) O perímetro do retângulo é igual a

IBVz .

(e) A diagonal do retângulo mede ·efiõ. (o) O comprimenlo do retângulo é igual ao triplo da largura.

30

Sabe-se que

j

.•

l

A/J=4'\f72,

/)-------.:r.

OC:=2; x3; e AO= 2 x 5; x·ef:i.

a\Y!i.

Moslre que a área do trapélio é igual a 1

A

L \

lG

H

,...

ZUl""I•

31

~-Ã-~-·-~--------------~----------------~----------w~~-~~~~ llllli,rnnclo a regra ele Ruífini determine o quociente e o rc>to ela eli'l'3tl de:

ara praticar 11 Con;,idereo;,polmómio' Jl(x)" A + 2.\

1.1.

1.2.

1.3.

3 , /J(.tl "2.'

·' e C(x)=4:( - x' + 1.

Ol'ICrmlnc, na forma redu1lcla, o polinómio A(xl .. B(xJ + C:(xl, indique o respeti\O grau e 'crifiquc ;,e"' traia ele um polinómio completo.

J\ (x)"x' - .i+ 2x+ 6 por B(xl " 2.\ + 4;

5.3.

,\ (x)" - x'+ B:r'- ICU por B(x' =3x + 9 ;

.r~ f

Ociernunc, na fonna redu1lcla, o polinómio , \(x ) x c:(x) e indique o respetil o grau.

5,,,

Qual é ograudopolinómio R(x)x.\ C..). se R(x)" x"+ 2.t '- 3 e S (x) = 2 e 111 > 2?

Qual é a rclaçilo emrc o grau de R(.,). o de S (x) e o ele R(x) x S(x)? 5.6. C:on;,ide..c o;, polinómio' A(.•)" •

+ r,, +R e

/l(x) ~ U

A(A)"x' + x' - 2Vu - 2\/Í.\ + 2x + 2 1JOr lJ(A)" A- v2.

- 7x + 3.

Determine o 1>olinómlo C(.•) mi que: 2.1.

A (x) X /J(x) " C(.\)

2.2.

A(x)+ C(x)= 2.1 - I

2.3.

IJ(x)" C:(x) x (.• - 3)

Considere /'(x + l)=x' - 7x + 6. l'roveque / 1(x)"x'-!lx + 11.

1Jm 1JOlinómio l'(x) foi dividido porum binómio (J(x). i.cndo CJ(x)" x Huffinl, obtendo o seguinte esquema. lJLilitando o algmiuno da dlvl,.10 Inteira de polinómios, deLermine o quocieme e o reMo ela clivi>ão de: 3.1.

At\)" x '+ 3.1 ' 2.\ + l 11or 11(,1)" ·'

2;

3.2.

A (x)=x'- U + & por H(x),. x + 1;

3.3.

A (x) "x' + :i.,•- 2.\ + 1 11or /l(x)"

.t ' + 3 ;

3,,,

A (x)= - x' - 4x'+ 1 e B(x)= .l' - 6 ;

3 a

b

-4

"

ab

- IOt1

'"

2-lll

- 10

e

2~

40

fl.

lhlli1.ou se a regra de

Determine /'tx). 3.5.

Atr),. 2.t°+ A' - x ilOr

llt' l" -"+-' ;

3.6.

1\ ~r) =:r' - x -> l

3.7.

11i 11,. 2.t'+.l'- 2 por H(x)" 3x + 2 ;

3.8.

1\ (x '=- -x'+ - por B(x\=x'+ x -3. 3 2

x'

e B(xl =:U - 1; 1

Para cada wn do, casos, determine os número;, reai;, k e p de modo queº' 1l01inómio~ , \(x) e H(x)

sejam iguais. 8.1.

Afa) "!i•' - U + & - 4

e

Hú)" 5x' - 2 (2x - il' -(L+ 2)A' -11 - J

1Jtili1.anclo a n.'gm de Ruffini detennine o quociente e o resto da dhisão de A(x)= 2x' -3.t' + 1 jlOr lJ(.•) definido 1JOr:

,,1.

lJ(x); A

4.2.

B(A) = H 3

,,3.

lJ(x) = x

4.4.

B(x)"4x - 8

4.5.

32

/J(A) = 2.1 + i

4.6.

B(x)=x - I

t

1 •

C:onsidereospolinómios A(A)= - x' + v2ax' - 2\'Í1ó

i

lJtil ILando a regra de Ruffini, mostre que o r~to da dh i\jo de A (x) por ll(x)

Mt\IAIU( 1 -0J

3v211'. 11E IR \lOf e /l(x)"> + a .

é Igual a n' .

33

W Oporaçoes com polinómios

1Je1ermineos \alores reais de a e de ú e o maior n(uncro n•llural /1 de modo que o 1mllnómio i'(x) = x ax' + úx' - ú.i' + 2x - 1 seja di\ bfvel 1>0r (x - 1Í .

Ficha para praticar 12

.r~

Determine, ulili1.ando o teorema do fl'\10. o re + I;

.

1'(\ 2) Apreseme o valor pedido com denominador racional.

.!.

Determine o polinómio 11(.1) do quui-10 grau que admi1e os zeros simples - 3, - 2, e 1 4 da d ivi>iio 1>or 1 ê Jgunl o 10. Apre,en1e o na forma reduzida e ordenada.

x'

Determineª' rnf,c;, de

onde 11 > 2 e /1 E N •

9.1.

A(x)=- 2.>"+ 1.\' ' ·u " ' +2 (11E N e11>l) por H(A) =x - 1;

Sabe;,cque / 1(.\)"' Gx'

a>O

' - :?" ' - x + 1,

C:onsldel'e um ;>olinómio l'(x) tal que o reMo da divl;..io de 11(x) por .1 + 1 igualo 3.

e cujo rc.10

6 Jgunl n 7

e ;>or x

2é

Delel'mine o l'esto da divisão de l'(x) por (x + l){x - 2).

7i R.1 + 5 êdivisfvel por 3A ri.

/l(x) e c'creva o na forma l'(x)=a(x - b)(x - c)(x - d). .

3, mosire que k= -

+e.. 3

1

Considere o polinómio />(x) = x" ... x .,. 1 , onde 11 E N e 11 > 2 .

12.1.

l'm\equepara1odo o

lJelermine 1>ara que' alore' de 11 e li o 1>0linómlo i'(x) = re;,10 dJ dh 1>ào 1>0r x • 2 é igual a G.

3x' + ax" - úx + 1 é dh isí•el 1>0r x -

1 eo

a>O

selem:

/'(a)+ f'(- a) =2a" + 2, 'lf 11E N A11 é1>ar;

• />(a)+ f'(- a) =2, 'lf11E N A11 éím11ar.

t

C:on;,iderc o 1>olinómlo / 1(.1)= / ' Admitindo que "

34

(n

+ l )x" +32, onde a é um número real.

é rnlalc /1(.,), dete1m ine o resto da divisão de P(x) 1>or x- 1 .

1 •

i

12.2. Considel'e 11 = 6 . 1Je1ermine o quociente e o resto da divil>ão de / 1(x) por .1 '

1.

35

t!.I Operaçoes com polinómios

Álgebra

Ficha de teste 5

li Orestodadivisãodopolinómio P(x)=&t"-2x'+2x'-x+ 1 por LJ(x)=x-2 éum (B) par; (o) múltiplo de 6.

(A) primo;

(e)

(D 10

11l1111ero:

múlti1>lo de 3;

Ficha de teste 5

li u tilizando o algori tmo da divisão inteira de polinómios, determine o quociente e o resto da divisão de l '(x) = - 2x' + x' -

a paraoqualopolinómio l '{x) édivisívelpor x+2 é:

(A) - 2

(B) - ~

(e) - 5

(o) o

EI c;onsidere o polinómio l'(x)=.\" + ax' + úx' + Bx+ 4, onde a e /J são números reais.

2

Prove que se o polinómio l'(x) é um quadrado perfeito, emão a= /J - 4 . 10

Qual das aílr mações seguintes é verdadeira'!

II!J C;onsidere o polinómio l'(x) = x' + ax' + /Jx +e, onde a, /J e e são números reais.

(A) O polinómio P(x) tem grau 3, qualquer que seja o valor de a.

(B) O polinómio

(o) o polinómio

10.1.

Determineosvaloresreais

a, /J e e.

P{x) tem grau 2, para a= - 1 .

Considere os polinómios P(x) = x'

, Q(x) = .\" + :(' e ll(x) = 5X' + 3.1" .

10

10.2. Determine o valor exato de rncional.

Quais são os valores reais de a e de /J tais que ll(x) = al'(x) + /JQ(x) ·1

1

P(\Y2J- 2

. Apresente o valor pedido com denominador

(B) a= - 2 e IJ= - 5 (o) a= - 2 e IJ=5

(A) a=2 e IJ=5

(e) a=2 e IJ= - 5

D Considere um polinómio I' tal que:

m

Considere o polinómio />(x)=(2a + l )x'

P(x)+xP(2-x)=x'+3, V'xEIR

(A) 4

(e) 3 Considere o polinómio P(x)=(Cil"-4x+ t)'. Determine a soma dos coeílcienles do polinómio.

+(~- a).t"- 1, onde a E IR.

Sabe-se que o polinómio l '{x) é divisível por

Ovalorde l'{I) é iguala:

36

.,

(2 li)

Sabe-seque P(l )=O e P(-x)+ P(x)= O, V'xEIR.

P(x) tem grau 2, qualquer que seja o valor de a.

(e) o polinómio P(x) tem grau 3, para a* 1 .

a

111

A(x)=X'+Gx'+ 13.1"+24x+36 por Q(x)=(x+3)'

EJ Considere o polinómio P(x)=(a- l)x' +(a+ l)i'-a.~+a.

a

-

IJ lltili1.ando a regra de Rufílni, determine o quociente e o resto da divisão de:

EJ Considere o polinómio P(x)=ax' - 2x+ 36. Ovalorde

i' + x por JJ(x) = 4.t' - 2x.

(B) 2 (o) 1

11

"'

(l~ t lll)

x + 1.

a.

11.1.

Determineovalorde

11.2.

Considere o polinómio T(x)=2(x+

•t(x-~).

Mostre que o polinómio '/'(x) é igual ao polinómio P(x).

37

-~-·-~---------------~------------------~----------w ~~~~~~~~~·~nei~~-'_______________FD Sabe seque l'(x}"2x' - x' - 2ãx - l2 édivishel por 2.\ + 1.

Ficha para praticar 13

Determine as ra!Les de J>(x) e escreva-o na forma J>(xl" 11(.1 - b)(.. - r}(.. - ti}, onde a, /J, e e d são

.!' r

fatoriLe cad.i um dO'> 1JOlinómio' 1.1.

4x' 25

1.3.

X"

1.5.

1.7. 1.9.

1.2.

18 - 2x'

1.4.

i'-x'

2 - ii

u.

2x' + x - I

- 3i'+ 5.t + 2

1.8.

10.. + 25

i' ..

- 2x'

-a..-.. 10.1

nlunems reais.

f

Considere o polinómio l'(x}" x' - 2\ 6.1.

\"erifique que - \'Í é Uma das rafLes de i'\.t) .

6.2.

Detennine as outras rafJ.es de J>(x) e fatori/,e este polinómio.

lfu + 6 - 6x' 6.3.

1.10.

Z..... - 2A + ~\ 'Í.

2x' + 5x' + 4x'

Determine o 1>olln6111lo l'(x} do 1.cgundo grau q ue admite os ·1.eros simples -

~e

"'° ª' raí1e de l'h)

4.3. 4.4. 4.5.

38

9.1.

Detem1ineos,aloresreaisde b ede e .

9.2.

l'atorite o JlOlinómio J>(x),

9.3.

llesolva a equação P(x): 6 .

.t '+ 3x'+ li' + tt'+ 3x + 1, "l>endoque - 1 éum.rerodemulliplicidade 3; - 2.1'+ z...- .. 20.1 + Ui, ,abcndoqueédlvlsf,el JlOr x - 4; - x' + i ' • 5.1 + 3, 'ohcndo que é dlvl~hel llor.1 3 .

t

1 •

i 39

-~-·-~--------------~----------------------------w ~~~~~~~~~·~nei~~-'______________FD Considere o polinómio P(x)=x'- 17x' + 16.

.r~

C:on;idereospolinómio-. 11(,)= x'-2.t'-., e IJ(x)=x'-.t'- 4.\ +4. 1.1.

\'crifiqucquc

1.2.

Dctcrminc ai. outra' raf'c' de /l(xl e íatorlJ.e este polinómio.

1.3.

Hesohaainequaçjo /ll.t)lin6mio A(>) e r~h a a inequação A(x)) O.

C:on;idereal>quaçilo "'

6.1.

-4

!>ào raf'e' do polinómio

FI, cada uma das inequaçõe!.. 1

-7x1le

15+2.t

Considere os polinómios: .1

que smlsfn1,em o equação dada.

He;olva, e m FI, cuda uma dn' equoçi\es. 3.1.

.1'-x

3.3.

:U' =7x' - 2

A{x) - {2.l- l){x'- 1)

IJ(x)=x' -:...-' + 3.u 9

c:(x)=4x'- t2i'-x+ 3

JJ(x) = (x' - 1O.>" + 9)(4.>"

9.1.

6=0

3.2.

-2.1''+6x'+ 8= 0

3,,,

2x'+(2x- lf=xtlinómio

C:on;idcreo1>olinómlo 1(.\ = 2x

2.l'+ t b'+h-12.

Sabe·>equco1>0linórnio l(t) édl\;,r,el por

.1+

tn•l.

a) Indique, justificando, o' alor lógico de cada uma da> pmpo,içól•,,

t. b) Indique, justificando, o valorlógico da pm1>>iç.:.o -(p /\ r)

, ,1.

Dt>ternunco,alorrealde 1..

, ,2.

i'a10ri1.e o 1>hn6mio H.t) e re)> O.

9.3.

Seja,\ oconjumodefinidopor

=

(1 V -q\.

A={-3. - 1, ~· ~· I, 3}.

ldemifique o' alor lógico de cada wna da> pmpo'>içõc>. Sabe·>e que /J(.1) ê um 1iolinómlo do 1erceiro grau com um único .tero tal que 'lfxE fl, /J(.>)>O

.1 E )5, ... oo[.

40

(4.1 21) /J(x)( O

5.2.

( .1'

3) /l{x)> O

5.3.

(i'-6.• + 5) /1(.1') 0linómio D (x).

i

e: \f.tEJ\, ..t ésolução daequação A(x)x /J(x) xC(x);O.

1 •

He;ol\ a cada umJ da' condlçé>e•. 5.1.

=

a : 3x E A : • é rait. do polinómio H(x).

ti: 3.1EA:

.1

ésoluçãodaequação - /1(.1)= 0.

41

tz1 Fatorizaçao de polinómios. Resoluçao de equaçoes e inequaçoes

Álgebra

Ficha de teste 6

e

li O conjunto-solução da inequação x' > 9 é: (A) )- 3, 3(

(B) )3, +oo(

(e) J- oo, - 3(U]3, +oo[

(o) ]o, +oo[

10

EJ Considere os quadros de sinais dos polinómios P(x) e T(x). -oo

-oo

+

+

- 1

o

+

IJ C;onsidere o polinómio l'(x) = .i' + x' - 5x' - i' + Bx - 4 .

~

õ 1

t

o 2

4

6.2.

l'atorize o polinómio P(x) e resolva a inequação P(x);;. O.

o

o

4

j

+

IJ Considere o polinómio T(x)=3x'- 13.i' +7x- I. As dimensões de um paralele1>fpedo retângulo são as raf1,es do polinómio T(x).

(B) )- oo, - 3)U{- qu[2, 4)

(e) (- 3, 2)U{4}

(o) ]- oo, - 3)U(2, 4)

T(~)= O.

8.1.

Veriílqueque

8.2.

Determine as dimensões do paralelepípedo.

8.3.

Admita que

10

(B) (x+3)(x-~)(x+ 1)

(o) 2(x-3)(x- ~)lano m unido de um referencial ortonormado, a elipse de equação 9x' + 25j' =225.

1E1 Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a elipse de equação

8.1.

, i

~ + - = 1 e o triângulo [PP,rJ , onde P, e f~ sãoos focosdaelipsee Pé o pomo de 25

Mostre que o ponto P de coordenadas ( 3, -

~;) pertence à elipse e, em segu ida,

determine o valor da distância d, sendo d = l'P, + l'P, e P, e P, os focos da elipse.

9

coordenadas (2, - 6) . A área do triângulo (P 1:,fJ é igual a:

(A)

48

(B) 24

(e) 18

(o) 36

8.2.

Determine as coordenadas dos vértices Q e R da elipse que pertencem ao eixo das abcissas e calcule a área do t riângulo [l'QR], tal que P ( 3, -

48

M~ I AIOC:í·OI

~2 ) . 49

•

tu Semiplanos Equaçoes e inequaç:oes cartesianas de subconjuntos do plano

Geometria analitica no plano

Considere, num plano munido de um referencial ortonormJdo, os quadrados [ABC:D] e [Ef"G//].

ara praticar 17

Salle se que: ldenliílque e deílna analllicamcme, u11ll1A111do equações e inequações cartesianas, cada um d0> conjulllO> de po1110> do Ilia no. l'ont0> cuja; abcb-.1' "'º 'uperiote\ a

1.1.

3

. r

• o llOnto B lem coordenadas (O, 2); • o llOnto D tem coordenadas (O, - 8);

f

1.2.

Pont0> cuja' ordenada' \.lo n.io \Ullerion-; a 2

1.3.

1'01110> cuja' ordcnada' ...:10 11;10 lnferlore-. aos simétricos das abcissas

• °' 1énices do quadrado [EFGlI] são 0> ponto> médio' dos lados do quadrado [ABCD] a que JleAencem. 4.1.

lndiqueascoordenadasdospontos A, C:, L, I', (,e//.

Rewe.ente gt'Omclfic:amcme cada um do\ conjuntos de tlOntos do plano definido> pelas M'gllilll1'1> condiçõe;,. 2.1.

.1> 21\.1(3

2.3.

2.5.

A -2y-xVy-2

2.8.

3y-x)3Ax>-3A2-y)O

2.10.

xy>O

2.12.

r-9/>o

4.3.

Mosue que uma equação da medialrit do .egmcmo de reta ( (ili]

4.4.

Defina analilicamenleo círculo inscrilo no quadrado

5.1.

Defina. (lOr meio de uma condição. a regi.io sombreada da figura, incluindo a fronleira.

5.2.

Detem1ine o valor exato da medida de comprimento do segmemo de reta [AB].

Em qual da' otlÇOC' *Kuime-.1l0dc c\lar representado. em referencial onononnado. o conjumo de tl0nt0> deílnido tJeti\ amente, °"

11 .

Sal>e se que:

.r~

• IJ

é o pomo médio de [AC);

• li

• J\ é o ponto médio de [ D.\f) ;

f

3.1.

lltili1..ando a rc11ra do par.1lclogramo ou a regra do triângulo, construa o \etor ti• tal que t; + ti·= ti .

3.2.

é o pomo médio de [1c;);

• CJ é o ponto médio dc [/I J .

Complete de modo a obter propo>i~ \l'rdadeira>.

o)

J\ + /11 ; ...

o)

. -· ,\L+ .. , ; ,\fG

b)

+ 111-= IJ

Admila que Alf = 3 e

.,vi = 4.

e

8

A

Determine:

u.li

b)

/,. e)

--

L--- ~ "

i--

AF

Slmpliílque.

4.3.

,; • 1 • 1-+2v+-11 - - u 3 2 3

4.2.

23- (.1.- 3yi) - -31(- 9.>+-y . 32 ·)

4 .4.

IJ Considere

OS\ etores

Na foguray~tá ~cprc\4?lllara os quais JJÓ = aÂÚ + /JJJc: são:

3

~

• Au=a, IJC;=IJ e C:Á =c (e) - 5i;

qual foi dividido em nove triângulos equiláteros iguais. Também estão assinalados os polllos O e li.

3

-

e

Sabe-se que:

H

IJ Na figura está represelllado um triângulo equilátero [AJJC:] , o

3

10

ti= - .!. FI i + ÜÍ.

(B) - c;;i

(A) a=~ e IJ= !

Ficha de teste 9

'°

(1 lt)

a tem o mesmo sentido de JJ (o) Se ). ;;; - 1 , então llã ;;. /J'll

).>O, enLão lã > llill

Na figura está represelllado um retângulo (11/JC:O) , o qual íoi dividido em quatro retângulos iguais. /)

IJ Considere, num 1>lano munido de um referencial ortonormado, o polígono definido

10

analilicamente pela condição x ;;; 2 /\ y ;;; 2x /\ y ;;.- x - 1 .

e

G

Represellle geometricamente esse polígono e dete1m ine o valor exalo da medida da sua área.

H

H

A

li C ~onsidere, nun1plano rnunido de un1 referencial orlonorn1ado, os pontos P(- l , v'2- 1)

Qual das afirmações seguintes é falsa'!

(A)

e

E,. - c;c;= Ü 1-

-

(B) 11c'; -1fli = c;( -

(e) 110 + Ili =AI

2

Determine os valores reais de k tais que o ponto CJ pertence à bissetriz dos quadranLes pa res.

9.2.

Admita que

(o) .!. DÚ - (;[.·=o· 2

EI Considere o vetor ti tal que Tt = ·\12(v'2 a+2\/2 1))- 4 (a-~ b). Tt é colinear com w. Qual dos seguinLes vetores 1>ode ser o vetor w·1 (A) - 2a - Gli (e) Gã + 1a1j (e) - 2ã + 101> (o) 4a - 121> Sabe-se que

0nto D.

4.2.

Considere o' e1or Ü• tal que 1i>= c:ri - DÚ. Octcnninc a norma do \etor ,;.,

4.3.

Mostre que a circunferência definida pela l'quaçao .t' + l médio do segmento de reta [AC:).

f

- x + 3y

2 =O tem centro no ponto

1 ·2·

-11=-1 --1•

2

3

Considere, num plano munido de um referencial ononormado, o vemr 1i (- 1 , 3). C:orn,idere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos: 3) e

A( 1, 2), /J(- 4,

De1ermine as coordenadas do vetor colinear a 1i:

c:(1. - ~)

Determineª' cooi dcrmda' do vetor: 2.2.

2.3.

, · = 2il(; 3/JJ\ .. (.'/j

2.4.

5.1.

de sentido contrário e de norma 10;

5.2.

com o mesmo sentido e de norma 6.

ü =AT- /j{;

Num 11lano munido de um referencial cartesiano, sabe >C queº' ponmi. i1(4, vérllces consecu1ivos do quadrado [AlJC:D) .

.

1 2 ...,... W=-lJA--UI 3 5

O

C:ori>idcre, num 1>lano mL111ldo de um referencial ortonormado de origem o. os ponto> X( 1 • 0) e r(O. 1) e O>\CtOtC> t!. = ()_\ e ,; = oi-.

cemro do quadrado si1ua-se no eixo

O)'

e tem ordenado

5) são

1.

6.1.

De1ermine as coordenadas dos ponto; (.' e D.

6.2.

Defina, analiticamente, a circunferência in;crita no qu.idrado (MIC'IJ).

6.3.

Detennine as coordenadas do' etor ti tal que:

,ui

4) e ll( 3,

211 = 2'\C

y

Na figura está representado o retângulo [AHC/J), di\ idido cm >eh qu.1drado- Igual,, t

l

Sabese,lixadoumcertoreferencialortonormado,quc ,1(1, 2), 1/ 0, \

.; o

\ ('~

t

7.1.

X

t

62

3.1.

Hc1nc;c111c o' ctor 1i de coo1denada~ (- 4 , 1) e origem no ponto 1'(2, -3) .

3.2.

llCjlfC•Clllcowtor ,; dc coo1 denada~ (2, ·3) eex1remidadeno 11onto Q(5, - 1) .

•

i

li'!\ 2, O.

Oetennine as coordenadas dos 1X>nt0> r, .li e I.

.

7.2.

Detennine as coordenadas do' etor 1 tal que /·,Ú- 1 =-21.IÍ .

7.3.

De1ermine o valor real de k tal que DÍ + k ,vi=- 11/ .

7.4.

Liscre1 a a equação redu,dda da circunfer~ncia in.criw no quadmdo [/JC:/li].

1

2e /)

H

e í.

-:\t A

li

,,

H

63

m

UI Operaçoes com coordenadas de vetores

Geometria analítica no plano

Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o vetor ü (- 2, 2\/3) e os pontos 11{- 1, k) e IJ(l, - 2), onde k é um n(unero real. Na figura está representado um paralelogramo [AJJmo da reia s que 1em abcissa - 2.

1.3.

Indique, para cada uma da, retas, as coordenadas de um' etor diretor.

1.,.

E>ercva a cqu,1çt10 reduzida da rern s.

1.5.

Indique cvc111uals l}Ol'e' de 1·c1n' parnlelas.

6.1.

2. 4\.Zl, 1E R

.\

1 )'

2

1

p: -= -

Considere as proposições: a: A reta I' tem decli\e negalho. b : A reta r é paralela à reta s . e: A reta I' interseta o ei).o Oy no ponto de ordenJda 3 . Identifique o' ator lógico da propo>içllo - a V ú

= e = (- /J ~ a/\ r) .

6.2.

De1ermine as coordenadas do ponto da reta s que tem abcl''ª nula.

6.3.

Defina analiticamente o conjunto de ponto; do plano que pe1·1enccm h 1·c1a 11 e cujo proclu10 das coordenadas é um número real negativo.

C:on;idcre, num referendai cor1c,1nno do plano, a reta r definida por (.l , y) = t(3, - &) , t E IR Determine à equação rcdu1ldn da reia s, paralela à reta r, que interseta o eixo O.\ no me>mo 1>01110 que a reia /J de cquaç;10 •elO~

ti (- 1 , 4 , O) e ,; ( 2 , 3 ,

~).

5.3.

Detenninc a~ roordl.'nada' do ve1or:

2.1.

1i11alqucu"""Ú 21; +1i; 5.4.

2.2.

2.3.

Determine uma equação do plano mediador do M'gmcmo de reia [Ali). Ap1eseme a equação na forma ox + /Jy + e:: + ti"' O, onde 11 , /J , r e ti ,;io numeros reais.

.

1

1 •

•

x ta que '2"' + 11 "

b) Ueiennine o valor exalo do volume da C>ÍCl'tá rcprc>cniaclo um pri,ma hcxngonal regular

. y. t.11que 3 11• " 2 y. 1 11. + 21M.

2

Considere a esfera li, tal que o seu centro é o ponto ti e icm mio Igual a U:.

a) 1'-screva a inequação redutida da esfera li, .

(AIJC/Jli /'C;l/l}LM].

2

Sabe -se que: • a base [e ;111/LM] está contida no plano xOy; • a base [AHDtF] está contida no plano de equação : "' 16;

C:on>idere. fixado um rdcrenclal ortonormado do espaço. 01eior 1i(2\ Í , 3, \'31.

. a aresta (c;11) es1ácontidanoeixo Oy;

Determineª' coordenada' do 1e1or colinear a 1i de sentido conlrário ao de li e de norma 3\ 1i.

• o he>.ágono [ilHCJJl:f] tem perúnetm igual a 36 unidade>; • o ponto e; tem coordenadas (O, 2. O) e o pomo I tem abci»a negali1a. 6.1.

Mostre que as coordenadas do 1>0nto M >ão -3\

'3,

1 , Ol eª' do pomo /J ...to

G\J , 8 , 161.

C:on;1dcre. fixado um referencial ortonormado do espaço. as retas definidas do modo M?gUime e, parJ cada uma dela;, Indiqueª' coordenadas de dois 1 e1ores diretores e de dois 1mmos. 4.1.

.1 ...

1"' º" ·"' 2

4.2 .

.1 .. G/\y + 2"0

4.3.

1

2'")'/\ Z- 3 " 0

t

1 •

i 82

6.2.

Determine uma equação vetorial da reta G.\I.

6.3.

Determine uma equação do plano mediador do M'gmcmo de reia [M/J). Apreseme a equação pedida na forma ax + by + r: + '' " O. onde n, i>, r e ti sJo númeios reais.

83

•

W

Geometria analítica no espaço

Ficha de teste 13

li Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere os ''elores ü (2, 4 , - 1) e v(- 3, 1 , - 2) e o ponto T(2, - 1 , - 4) .

Sabendo que o pomo R é tal que (A) (12, - 4, 8)

TR = - ti - 2 ti,

(B) (2, - 5, 9)

Cálculo vetorial no espaço

Ficha de teste 13

(D

a Fixado um referencial orlonorn1ado do espaço, determine, se existir,

10

quais são as coordenadas do ponto R'I

(e) (6, -

1 , 1)

(o) (4, - 6, 5)

EJ Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, uma rela r 1>aralela ao eixo Oy . Qual das seguintes condições pode definir a rela r ·1 (A) (x, y, z)=(2, O, 4)+ ). (1, O, 1) , ). E IR

(B) y = 2/\ z =2 (e) (x, y, z)=(3 , 3, 3)+ ). (1, O, O), ). E IR

e

10

que os vetores

e

ti (2,

k + ·\13,

1) e ti ( k,

3,

O valor real de

k tal

~) sejam colineares.

li Na figura está representada uma 1>irâmide quadrangular regular [AJJC:DE]. Sabe-se, fixado um referencial ortonormado do espaço, que: • P é o centro da base da pirâmide e tem coordenadas (- 2, 1, - 1);

• o ponto A tem coordenadas (- 2, - 2, 2) ; • o vetor

FE

tem coordenadas (- 1 , 2, 2). ()

(o) x=2/\ z =3

EI Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, a esfera definida por:

10

7.1.

Determine as coordenadas do 1>on10 li .

7.2.

Escreva um sistema de equações paramétricas que defina a reta que passa pelo 1>on10 A e é paralela à reta EP.

(x - 1)' +(y- 2)' +(z- 3)' ( 44

y

e

Sabe-se que o segmento de rela [All] é um diâmetro dessa esfera e que IJ(4, 1, 2) . Quais são as coordenadas do ponto A ·1 (A) (1, 2, 3)

(B)(- 2, 3, 4)

(C) (10, - 1 , O)

7.3.

Calcule o volume da 1>irâmide [AIJC:Dli] .

7.4.

Escreva a inequação redulida da esfera de centro no 1>onlo

(o) (- 3, 2, - 4)

a Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, a reta s definida por:

10

e: e raio õ'!.

(x, y, z)=(2, 3, 4)+ ,l. (O, O, 1) , ).EIR

Qual das condições seguimes define uma reta estritamente 1>aralela à rela s ·1

(A) x=2/\y=3

E1 Considere, fixado um referencial ortonormado do es1>aço, as retas r e s definidas por:

(B) x=2/\ z =4

(e) x =- 1 Ay= - 2

"'

(11 +20

X= 1 + 2À

(D) x= - 3/\ z= - 4

r:

llJ Considere, fixado um referencial 01tonormado do espaço, a superfície esférica definida por:

10

y=3 + 2Â, ).E F! z =3À

s : (x , y , z) = (3, 5, k)+ t(- 4 , - 4, - 6) , tEIR/\kEIR

8.1.

Determine as coordenadas do 1>on10 da rela r que tem a ordenada nula.

8.2 .

Determine, caso exista, o valor real de k para o qual as retas r e s são coincidemes.

x' + I + i'+ 2x - 6z- 3 =O Sejam A e e: os pomos tais que: • A é o ponto de menor abcissa onde a supe rfície esférica interseta o eixo Ox;

.l IJ

• C: é o centro da superfície esférica.

Quais são as coordenadas do vetor (A){2, O, 3)

84

q

Aontos de interseção do plano a com eixos Ox e Oy respetivamente. Delermineumaequaçãovetorial darela AIJ sendo a : 3x - 6y + 5z = 12.

85

ua Cencrahdades sobre funçoes

--

C:onOr Jlx) = - .!.,. + 2a, onde " ~ urna corNante real. 3 Sabe seque Jl- 6)= - 4.

P.llaticar 29 C:on;idereostoniulllo' l =( · 2 , - 1. 3} e tJ~ { 1, 1.1.

~

\7 , \ iõ}.

C:on;idcre a; propo,içõe,

J

11: O 1>arordcnado (3 ,

1 1X'nence a ,\ x B . q: O par ordenado ( 1 , 1) penence a A " IJ e a /J' . ldclllifiquco•alorlógicodapro1>,ição (- p

==>

4.1.

Detennine o •alor de a.

4.2.

l\lostre que a função fé injeti•a.

f

q) A (pvq -q).

IJI ição: q: Não é' erdade que a função 11 nao admita hl\eNl.

Calcule:

b) (lr og)(- 2)

Caracwrl;c

5.3.

e:aracteri1.e a função in\el'Sa de: o) J

ª' íunçÕt~ rcpre,cmodo, num referencial o n o no nnado, pane do grafico de uma função f dcfinidil em IR . e>bocc o KrMico d.1 funçfiO f ' , funçno lnversa de f. y

6.1.

11(x)=!'« - 2 e (/opJ(x)= - 15.r+7

6.2.

11(x) =4.\ - 1 e (/o,~(x) =Bx + :i

6.3.

11(x)= 3 - x e (fopJ(x) = - 18 + 12x - 2x'

EI Considere as funções f e R tais que: C:on;idere a; íuriçôc' real' de' aro;hel real f e R debfinidasem fl por Jlxi= 4.t e g(x) =- ~ . 3 4.1. Mo>IJ'C que J e R 'Mio 1:iennui.hels.

4.2.

11: fl\{3} -

:o

fl 1

.\ ...._,,. .-::3

Calcule:

7.1.

MoslJ'e que a função fé injelha e caracterite a função

7.2.

c:aracteri1.e a função R•f.

J ', ím CNI de J

e) (gof ')(24)

j 4.3.

Calcule o v.ilor exato de ___J;_'_(R_)_ _~ e apresente o valor pedido com denomi nador racional.

88

.11h0i)+ !R•Jl(- ~

l •

~

Considere a função f, real de variá\ el real, definida e m fl 1>or Jlx)= 1.1 • a, o nde a E IR.

Sahendoque ifof)(a)= 19a - 4, determine o valor real de a .

89

W Generalidades sobre funcoes

Funções

Ficha de teste 14

-

li Considere os conjuntos A={xEIR: 1 ções poderá corres1>onder à representação gráfica da função

(A)

.,

li Considere a runção definida em IR por l1 (x)=x' - 4 . ' a função inversa da

f

'·1

(B) y

I J considereaseguinLeíunçãofonde A={- 3, - 2, - 1,

f:A -

(e)

(o)

X

IJ

8.1.

ldelllifique o valor lógico da proposição: Afimção f admite inversa.

8.2.

Defina a runção

f

por um gráíico.

IJ Considere as funções f, g e /1 definidas em IR por: j(x)= 1- x

Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira'!

3G

(1 11)

X '-" X + 1

y

a

o, q e /J={- 2, - 1, o, 1, 2}.

11(x)=i' - x+2

l1 (x)=2x+3

Sabe-seque (ll o(gof))(a)=47, onde aEIR.Determineovalor de a. 10

(A) ·1bda a runção real de variável real injeLiva é Lambém sobrejeLiva. (B) 'lbda a runção real de variável real sobrejetiva é també m injetiva.

(e) ·1bda a runção real de variável real bijeLiva é Lambém sobrejeLiva. (o) 'lbda a runção real de variável real injeLiva é Lambém bijetiva.

90

. i

II!J HelaLivamellle a um conju nto A sabe-se que (( 1, 2), (4 , 2)} C A' e que o cardinal de A' é igual a 9. Represenle em extensão o conjunto A' .

..,""'..... 91

W Transformacoes do gráfico de uma funçao

Na figura está represemada, num 1>lano munido de um rcícrcnclal ortonormado, a função/.

Ficha para praticar 31 1•.iracada uma da;, fullçól"> real' de \arl•h el real, ª'erlgue se é par, ímpar ou nem par nem ímpar. 1.1.

/ (xl=- :;.,

1.2.

/ (xl = - 6x'

~ J

Esboce o gráfico cartesiano de cada uma dai. funçõe;, e indique o r"'pefüo domínio e contradomínio. 5.1.

a ü1 =flx + 1)

5.2.

b(..11 - Jlx- 2)

5.4.

1/Ü)=--Jlx)

5.6.

g(x):./(- A)

5.8.

i(x)=- l +j(- .1110 /'(x , y) do plano associa o ponto,,. (3.\ , y) e obtenha wna e•1>rc;>ào analhica 1>ara a funçào lt .

Consldereumafunção/dedomlnio fl econtradomlnio [ 6 , 1) .

Seja G, •l( 6, 2), ( 3, 1.1.

Heprc>entc IJOlllo

1.2.

1.3.

Explique como pode obter o gráfico de cada wna da; funçõe> a panirdo gr:lílco da funçnto /''(~ x , y).

f

Na figura e>t:l 1·cp1c,c111ada, num refe1encinl ononormado, pa rte do gráfico da função f que intcri.cia o

eixo Ox no; ponto> de abcl;.sa O gráfico de fé, c m ) oo, paralela oo eixo 0.1. 2.1.

~

4 e 2 e o eixo Oy no 1>onto de ordenada 2 .

!fl.\

indique o comradom!nio das funções definida; 1>ela; cxprc>.,.-,L'\:

4.3.

j(x)-aflx)

4.2.

/1(.1); - j(.1) 1o

4.4.

111(x)•fl2.•)- 6

1]. L11na ;.emlrreta de declive positivo e em (3, +oo[ uma semirreta Na figura está reprnsemado, num referencial ortonorm•tdo, o gráfico da funç;io f de dom!nio [ 6, !i).

ª'

Con;,idc1c, nl11dn, f1111çí1cs 8 e /1 deílnidas 1>or R(.•) • fl2.l) e lt(x) • :if(x) .

)'

a) indique o co111mdomlnio das funçcies 8 e lt.

Considere as funções 8, 11 e j tais que: s(x) ~ fl..\ + 2)

y

j (x)• - flx) + 1

5.1.

lndiqueodornlniodasfunções fl , /1 ej .

5.2.

indique o comradomlnio das funções g. /1 e j.

e) Quant.1;, ;.oiuçõe'i tem a equação /t(x) = - 3 ·1

2.2.

Con;,iderc a funç.Jo j definida 1>r j (x)- Jlx + a)- b, onde a , IJE fl.

a) bbocc o gráfico da funçao j para a- 1 e b= - 2 e indique o seu donúnio e contradomhlio.

5.3.

-~

Calcule:

·>8 - 8).. 11(- 8 )+j (- 2)

b) Indique°' 'alort.., real' de a e de /J 1>ara os quais a função}:

.................

b) g (0) .. 1t(12 jl - 1))

b1) não Mn 1.ero';

Considere a função f cujo gráfico é o segmento de reta (,lfJ). '>t'ndo , \ (- 3 , 2) e /1(5 , 6 ) .

b2) tc1n uma Infinidade de 1eros; b3) iemco111radomínlo

J.

6.1. 6.2.

2.3.

llc1Jl'c;,cntc o 11r:lfico cone,lano das funções:

a) 111(.\)•A x)

94

1ndique o domínio e o contradomlnio da função/.

oo, o) . 1isl>0ce o gráfico de cada uma da; funçõe>. •) s(xl - - flx - 1)

b) /1(x); fl.2.\)

4

b) 11(.1)- - j(x)

95

W

Funções

Ficha de teste 15

(D

li Considere duas funções reais de variável real f e g, ambas de domínio IR .

10

Sabe-se que: • fé uma função pare g é uma função ímpar;

• ft3)= - I e g(- 4)=2.

Transformaçoes do gráfico de uma funçao

Ficha de teste 15

a

~

= j

O gráfico de uma função afim interseta o eixo Ox no polllo de abcissa 4 e o eixo Oy no ponto de ordenada 5 .

6.1.

!'"

b) os1.erosdafunção g definida por g(x)= - ftx+2).

Qual das seguintes afirmações é ''erdadeira'I

(A) ft- 3)+ g(- 4)= 1

(e) f(3) .;:;- .!.

(B) ft3) + g(4) = 3

g(4)

(o) s'x, /\f(x,}=f(x,}

b) Indique o zero da função /1 definida por h(x} =

~~).

Considere a função g definida por g(x}= - f(- x}+ 1 . a) Indique o domínio e o contrndomínio da função g. Considere urna função j definida em IR tal que a sua tabela de variação e o seu quadro de sinais são: b) E.~tude a função g quanto à monotonia e existência de extremos.

"

Sugcscào: raça um esboço do gráfico d:i função g .

j(x)

Na figura está representado, num referencial cartesiano, o gráfico da função g.

2.1.

Estude a função g quanto à existência de extremos relativos.

2.2.

Considere a função /1 definida por il(x} = -

j\x + 1}.

" j(x)

y

-oo

/ -oo

2

"'

-3

o

o

- 1

-2

+

o

t

/

4

+oo

"' -oo

-ol +

o

Esboce o gráfico de uma função j que seja compatível com as informações contidas nas tabelas.

a) Indique o domínio e o contrndomínio da função li. b) Faça um esboço do gráfico da função h. e) E.~tude a função h quanto à monotonia.

100

Considere a função f definida em IR por .f\xJ=(k' - 3 - 2Vi)i', onde kE IR. X

Mostre que o gráfico da função f tem a concavidade voltada para baixo para kE )- 1 -

\/2,

1 + \/2(.

101

e,J Monotonia e extremos de uma funcao

Funções

Ficha de teste 16

-

li Considere a função f, definida em IR, por j{x) = ( 12- 11\/3) x + 5 , com /1 E IR.

10

A runção fé estritamente decrescente em IR se e somente se:

12

(B) p> - -

(A) 114V3

(o) 11 1

e

!

X

(B) k< 1

b

IJ Na figura está representado, em referencial ortonormado, o gráfico da função J.

6.3.

(A) k> - 1

li

!

IJ -----X

(e)

Identifique o val or lógico das proposições p, q,

a) p .Y

o

A runção f tem exatamente dois máximos relativos.

(B) y

:::-::::,~ r

···-··-··- ..... :::: 7-:·:; 4._____ 7 . .. ....... ,_.... ... l : :

r: A função f tem um mínimo relativo para x= e.

e:

"'

(11 +20

y

q: ft/J) é o máximo absoluto da runção f.

Em qual das figuras seguintes poderá estar representado, num referencial caJ'lesiano, o gráfico da função f '!

(A)

domínio (a, d) .

11: A função f tem um mínimo relati' 'º para x= a.

10

-

EI Na figura está representado, num rererencial cartesiano, o gráfico de uma runção f de Considere as proposições:

\/3

, }{a) é mínimo absoluto; • fé crescente em

~

= j í"

-12

IJ De uma função f, de domínio (a, /J). sabe-se que: ,f

Ficha de teste 16

, indique o sent ido de concavidade do gráfico de 7.2.

f.

J.

Considere a função g como sendo a restrição da função f ao interval o )- 2, 4 a) Estude a função g quanto à monotonia. b) Indique o contradomínio da runção g. e) Indique os extremos relativos da função g.

103

~~-~ ------------------------------------------~W ~*q~~~~~~m~• Represeme sob a íorma de intervalos ou uniao de ime" alo' o conjumo 'oluçfio de cada uma das condições em R .

Ficha para praticar 35

ª'

Deternunc coordcnjda' do 'énlce e Indique uma equação do eixo de simetria da> parábola> que definem o gráfico de tJda uma da.' funçõe-.. 1.1.

fl,.tl; 3x

1.3.

... /1 (.\ );-2- 1

1.5.

12.l

1.2.

1.4.

m(x);x•-lx -2

1.6.

3

g(x1=4x' - 8.t•4

.' r !

f

/l,.t) ..

-5(.... ~r

2.2.

2.,., 1 ;;.o

2

6.4.

- 1.1'

6.5.

2 (.l - l)'- 2O 3 2 1

6.7.

2.f-9.\(5

6.8.

--+ h(8 2

6.9.

x(I +4.l')0

x'• 2O. Apreseme os' aiores pedidos na íorma de intervalo de nt'11ncro' 1cai;.

2.3.

lt(x); ·.-'+ 3.1

2.4.

4 1 J"(x) =x, +-x-3 2

Uctcnninc º'valore' 1·cal' 111 para os qunis a [unção quadrática J, definida em R, 1>or

idere a funçjo /, ddinlda em IR, 1>0r /l,.t) ~ 2 _. + 1 • 6 . 5.1.

Defina. analillcameme, a função f ..em utih1.ar módulos.

5.2.

Ucterm111c

5.3.

Considere uma função f de donúnio R e de contradomlnio [ 6, 2).

lll!l>oh a a> condiçóc\:

a) fl.x)"'

104

º"e'°' de f. 1

Indique o contradom(nio das funções definida> 1>ela> >t'j!Uillll"> cxprc"ric,.

t

9.1.

g(x) ~l/l>l[

•

9.2.

il(x)~ -[/(x)+2

b) Jl.x)(2

1

e) Jl,.t) > 1

i 105

~ ~~q~~~~-~~

_

_F_u_n_ç_õ_e_s_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

l'aracada,alorreal a, diferentedelero,ede k, .icxprc;,,âo Jt•)= âo j(x) = - .\" • li.\ - 7. 1.1.

1.2.

Ol>termlnc a;, cuordc11.1da' do' 1>0n1oo; do gr:lfico da função f cujas ordenadas ;ão 16 'eLl.,, >upcriorc; à; àbch.\ J'-

Considere a= - 1 e k= - 4 edetermineocontradomín1odcf.

4.2.

Considere a= 2 e k = 3 e indique o; inte" alo; de monotonia de/.

define urna função

.

r f

Con;,idcrc a funç:t0 li definida 1>0r 11(.t) = f{.t + 1).

a) Octcrminc ª' coordenadas do \énlce da 1>arál>0la que define graficamente a funç-.iO R. b) Octcrminc

Na figura está representada. num referencial can1"1>i.u10, parlc da reia r definida pela equação )'= - 2.1 + 8 .

º' 1.ero. da função R.

l:ll como a figura sugere

e e o são os ponto> de cuonlenada'

( 1, O) e (O, 8).

e) btudc a funçao li qua1110 à monotonia e à exis1ência de extremos relati•o>. 1.3.

4.1.

Ã.

Sal>e se que: • o 1>01110

C:on;ldcrea função /1definida1l0r /1(.t)=f( >) 2. a) Octcnnlnc ª'coordenadas do vér1lce da par:ll>0la que define graficamente a função lt.

A

1>enence ao eixo 0.1 ;

• o 1>01110 B pertence ao eixo CJy; • o 1>01110 t• desloca-se ao longo do segmento de reta (en;,.ir.un cada uma num número real.

Con;idert' a funç.io R, definida, em Fl, 1>ela e•pre.são 11!x)= 2 • XI + x - 1 .

~ cre..ceme,

Mostre que a área do retângulo [C>Al'IJ] é d.1da, e1n função de

l4x+ 11;..5

2.3.

11: A função li

5.1.

Sejam x e y , respeti\'amente, os número; em que a Oiana e a Carolina pensaram.

- ~]

t

1 •

i

Sal>e-se que a soma do dobro do número que a Oiana 1>cn,ou com o número que a Carolina pensou é igual a 8 . De1ermine os números em que cada uma pen;ou admitindo ainda que o produto deles é o máximo po;;,ível.

107

W

Funções

Ficha de teste 17

li Considere a função quadrática, definida em IR, pela expressão f(x)=X' - 5x + 6. (A) (3, 2)

(B)

(i, -~)

EJ Considere a função f: )- 4, 3) -

(C) (~,

10

As coordenadas do ponto do gráfico de f de menor ordenada são:

1)

10

Qual dos seguintes conjuntos corresponde ao colllradomfnio da função f ·1

(A) (15, 36(

(e)(- 12, 36(

(c) [ 15,36)

Ficha de teste 17

10

7.2.

A n IJ

6.2.

A UIJ

Averigue se a função f tem 1.eros.

Estude a função f quanto à monotonia e à existência de extremos relativos. SugcsU\o: C:omccc por fazer um esboço do gráfico da função f

.Y

Qual das funções seguintes poderá definir a função represelllada'I

(l~ + U)

. . a funçao_f defirnda . por: f(x)= {- zi' - 4.~+6 se x;;;o li Considere x+5 se x>O 7.1.

de domínio IR.

lG

Represenle e1n extensão:

(D) (- 12,36)

EJ Na figura está represelllada, num referencial orlonormado, parle do gráfico de uma função

-

IJ Considereosconjuntos: A={xEIN: lx-21(4} e IJ={xEIN : x - 71< 2} 6.1.

(o) (2, 3)

IR definida pela expressão f(x)=3i' - 12.

Funçao quadrática. Funçao módulo

.

(A) J(x)= - x - al+a (B) g(x)=lx - a - a

IJ Na figura estão representados um triângulo isósceles [AJJC:] e um retângulo [DGFli).

(e) h(x)=lx-a +a (o) j(x)= - x - al- a

/

, a base [A/J) do triângulo [A/Jc:) mede 6 unidades;

a

10

Considereasfunçõesfe g, definidas em IR, por f(x)=x e g(xJ=l.t' - JI.

(e) 1

• a altura do triângulo [A/Jc:), relativa à base [AIJ). mede 4 unidades;

, os vértices li e r: do retângulo pertencem, respetivamente, a [AC:) e [IJC:).

A sorna das abcissas desses dois polllos é igual a :

v5

r.

• o lado [oc;) do retângulo está contido em [AIJ);

Os gráficos de f e g têm dois pontos em comum.

(A) -

~

(1 li)

Sabe-se que:

(e) -

1

(o)

v5

Seja x a distância do polllo A ao ponto D (x E )o, 3().

8.1.

EI Considere a função f definida por:

Mostre que a área do retângulo (oc;r:li) , em função de x, é dada por

A(x)=Bx - ~i'.

10

3

f(x)=

As imagens dos objetos O,

f(

108

~e

x+\V:i

se

'V'4

se x=.!.

x-

se x;;.1

l

. 1 +·'efci

x;;;o 2

8.2.

Determine o valor de x para o qual a área do retângulo é máxima e calcule essa área.

8.3.

Determine o conjulllo de valores de x para os quais a á rea do retângulo [oc;FJ;) é .1gua1ou .111 ~er1or . a 9..

1 ordenadas por ordem decrescellle é:

(A) f{O) > 1) >f(~)

(B) f(O)>!(~)> f(l)

(C) f{l)>f{O)>f(~)

(D)

!(~)>f( I)>f(O)

2

Apresente a sua resposta uliliwndo a notação de illlervalos de números reais.

109

W

Represente sob a forma de imervalos ou reunião de intcrv.tlos o conjunto bflluç.10 das seguintes condições.

Ficha para praticar 37 C:on;idere a íunçJo / , real de 'arl.i,el real, definida por / (x) .. 6 - 2\ ~. 1.1.

Dl>tcrmlnc o domínio e o contradomínio da função/.

1.2.

Mo;trC que a íunç;.o fé lnjetl\ a.

1.3.

Funçao raiz quadrada. Funçao raiz cúbica. Operaçoes com runçóes

5.1.

.r~ f

5Jbcndo que fé bijcli,a, carac1ert1e a função f

considere a. funções f e g definidru. por j{x); \

, imersa da função/.

C:on;idere a função ic. real de 'arl:h el real, deílnida por g(1) " \'' 1 - • + 2 . 2.1.

Determine o domínio e o contradomínio da função g.

2.2.

l'aça um c>lloço do gránco da íu nç~o R e estude a quamo: a) ao ;cmhlo da cnnca' Idade do seu gr;lOco;

5.2.

\ x' - 3.\t.4!ro>.

6.3.

Determineovalorde (fg)(4).

\

1

b l.

C:onsidereasfunçõesfe g definidas por}(>)" ~ e g(.I); ~ G. Determine o domínio da função [. R

b) à 111onmonln;

e) 2.3.

11 exiM~ncla de ex11·cmos

rnlni lvos.

No figura está representada, num referencial ortonormodo, 11or1e do gráfico da função f definida por f{x)" yr.;:;: e do função g defi nida por g(x)= 1- .t.

Carncicrltc o funçüo R ' , ilwe1..a da funçJo g.

Sabe seque: , o grMico de f imersela o ei>.o O.\ no r>onto A ;

Re;oha a;;cguimc, cqu.tçóc,. 3.2.

\~=4

1,t ; li

3.,,

1 = 2.l - \ :c' +5.\ + 1

2 - .t 2\ ;--j = O

3.6.

\ 1 - \x' - x'=x - I

3.1.

\~ ; 3

3.3.

\'~

3.5.

• o gr:Uico de g interseta o eixo Ox no ponto U; • o pomo e: é o ponto de interseção dos gráficos de fede li· Determine a área do triângulo [ABC:] .

llesoh a a equação ~ '.; + 2\ '.; = 1 . Suges1lo: \ub,ti1ua na equa~o ~ ; por .t' e rew l\-a a equJ\do J o 2.• grJu otn1J.t

Coni.idere a; funçôe> f e R dcílnlda.' 1l0r }(.t)=2.l' - !i• + 3 e g(x) =\ x - 1 . , ,1.

, .2.

Carae1cri1.e

Con;ldcrc

ª' funçó f, li e li deOnlda' 1>0r: lr(x) = \. 5+4X

j(.\ = \'i;J

.r~

Dl1ermi1w o domínio da' fun«H"> /, 11 e Ir.

1.2.

Determine f

1.3.

lle;oha a l'quaçáo ll(A)= 7.

1.4.

O gráfico carw,lano da íunçào Ir lncersern a hissetri.< dos quadrantes ímpares num ponto, quando repre'>l'mad0r j(x) = ..' - h - 1 .

Con;idere a; funçóc'> f e 11 definida' 1>0r /(,\) = \. ttJ - 1 e 11(x)= \.A - 1 .

112

3.1.

Determine o domínio da' funçre>eme o •alor pedido com de11ominado1 racional.

1(v2J

ª'

t

7.2.

Decermine os extremos relativos da f unçao p. definida por 11(.1) = 1/(.1); .

li funçiln li não tem 1eros a menos que a função j tenha .. 3.5.. 4. 5.1.

u

..

~~. 4 • !i q, f.al'-d! r • t 1) f' (::) 41 f ~ e ) f b) f' (::) f' ~ I ' ' t : ) .t P fl U => 11•!! 2.2. a•b• I ~ t'(U a-.tVa•I' =>li>U 2.4. •< 1 ~ b.-1 Ac•O) a• IUl\!l1

4.2:.

J'

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l.Ü\

11.

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7.

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4.4.

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4.1.

124

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·~~· !.!.) •

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')

J.

'J

I

J.

'J,

1

J.

.1 j ··1 • a-s. 1.z. e. 1. i , ..--\-~· 11

1.1. 11l: /10):(1 é mínimo rela1kn de _f

a)

eédecreM:enteem [-:s. 1) eem [:s. 5)

c) R(l)s-:u émínlmoab!IOlutode g(i.arnbém,núnlmorelamt>): R\U)so é m.ãidmoahsoluto de g (t.1mbém é mb:lmorelati\t>).

e) • Crei;cen1eem )-oo, - 1) eem [O. 1) eédec1l?i;ce111eem [-l, u] eem [ 1.... 00[ . 5.2.

.1:

) J.. \·2,- \ l"( qb1\ a .. -\.2va - .. \ -l e) n s -'" -Va= \li1 1

1.1. ll. li.): X•2

lhl-7 1-; 1 ~ 1~ 17

Traru.laç.aode\'elor

...,:,

,

:

·····-·

a nE

7.2.

b)

a) o; s)-oo, :t]: ~-}-oo, 11) b) - 2 e 1: - 1 e l. , resi>edv;unente e) Uma lnfinl.;L1de de !IOloçl'les. a) D,.•A; 4=)-oo, 5) b1! nEAl\fJE):L +oo( bZ) aEH/\'1=- 1 b3 nEAl\fJ=:t

:

-.

u.

Verdadelras.; 3.2. e 3.4., íal!las.. l.1. e 3.l.

11w ..1(~x)

' 1

4.2.

Zemi;de _f: -2

b) TodMosnumeroi;reai"lolJ11en'lllo (- 1. 2)

mm.ai de coeflcien1e ! .

;

1.2.

.

1

4.1.

págs. 98 1 9lmd.a p.1ra b;dxo Por exemplo, um.i reflex.;10 de e11t0 Ox. A nn\'.1 funç.ao obtida. a funç.10 g, 'definida por R) 2.1. /(-l.1=2 émíni.J1·11Ht!latht>: _f('l) .. .i ém.ãxunore-la1kn; /(l)s- l 'núnimoab110lu1o(mínhnorelamt>) e /(ti)s 1 '~i:c:imorel ath·""O. 2.2. al O.•J..5. 5) e IJ\•l-5. 1)

1 x.._,. ;:'i

5.

X.._,. 1 -lX

3.5.

1.5.

•l

IJ,•(-.i. 5). q.[i.

• f:rescenteem (-ti, -i] eem (u, 1) ede~enteem [-2, u] eem(l.2(. • /(-ti)=- 1 'mínhnoab110lutn(,1aml1'!mmínlmorelamt>>. /(-21• 1 é má.idmo a!Y.oluto(é t.imhém máximo relathro)e /(o) .. 1 é mínimo relati\t> Porexem11lo;

•)[-i, - l )

b) -5

R•Í' Ju. •~[1v'i}- · H

_

5

c.R- • R x+ I

a)o

M·-:u-1'

c.1 . . u-:s.-21.(-2.-n..(1.11} fJ•ftVns- 1 "=H1.1},(1.2t.( 1. 11.(:.:: . 1t.(1, i 1.(:.::, 11. (t, 1). ( 1, 21. ( 1, 11}

1

3.3.

1.4.

1

6.3.

ftx)•:tx+t

-1.

•H

fJ.s(- 1. ~; f~ ..[-1, ~, q•(-;. 5J

:i\.·i

8.2. 9. 10.

7.

.((-v'i.-\íii.fv'i. \Hl.f:.v'i . . ui

1D 21 2.2.

1.3.

-1

L2.

Ot~. /

l

'" •I

t .L

a) 1 1, ')

b)

1- t

1

l(V 1.

+oof

z.s.

'"Hll (a/\ - ú)

Domín ios Funçócs .......................................................................................................................... 11

IJ Seja A o conjunto dos quadriláteros convexos.

•

Domin io6 Estotist1co ...................................................................................................................... 13

• I' = {X E A : • L ={XEA: • li= {X E A : • Q= { XEA:

...

l ·-"

~

....... li I> •

Considere os conjuntos: •

(O) /J =>a

X tem os lados paralelos dois a dois}

X tem os quatro lados iguais}

X tem os quatro ângulos retos} X temos dois lados paraleloseosdoisângulos retos } C:aracterile cada um dos conjuntos. 6.1 . Ln P

6.2. 11n P

6.4. tnQ

6.5. PUQ

6.3. tn 11

Soluções .......................................................................................................................... 16

2

3

li Lógica • t.oria dos conjuntos

-

Teste de avaliação 1

li Considere as proposições: p: Eslá quenle.

li

{10 111

q: Eslá sol.

Traduw para linguagem naLural cada uma das proposições.

a

~

< <

D Considere as seguintes proposições p e q: ,,, \YV125:~

§

f

""'10"

q: __ 7_= - 1+3\/2

2 2+3\/2 Das quatro proposições que se seguem apenas uma é falsa. ldenlifique-a.

7

7.1. (p /\ -q) ~ /J

7.2. (pv -q)

Teste de avaliação 2

'

(A) p ~ q

(B) pVq

(C) -p/\q

(O) -p

~

-q

(q/\ -p)

IJ Considere o conjulllo A definido por A = {x E tJ: x" - 4x =O}. Sem recorrer a uma Labela de verdade moslre cada uma das equivalências.

(Jual das seguinles proposições é verdadeira'!

8.1. (p ~ q)/\(p ~ r) ~ [p ~ (q /\ r)]

(A) 3x E A : x é raiz do polinómio x + 2

x é raiz do polinómio x - 2 (C) 3x E A : x é raiz do polinómio x' + 4 (B) 3x E A :

(D) 3x E A : x é raiz do polinómio x' + 2x

EI Considere que 4' = 3 . Qual é o valor de si ·1 8.2. p ~{qv r) ~ [(p/\ -q) ~ r]

(A) ~ g

(8) 4

(C) "\'13

(O) vJ 2

considereospolinómios A(x)=(x - 1)', /J(x)=-3x'+2x+ l e C:(x)=x'- 2x+I . O polinómio l'(x)= l3A(x)+ IJ(x)J' - 2C:(x) é igual a:

D Considere os conjuntos de números reais: A={xEFl: - 2x4 unidades quadradas, determ ine:

A

8

a) as coordenadas do ve101· V/J e do ponto D; b) uma equação vetorial da rela DV .

.·--n

El Seja fuma função de domínio f1 tal que - 1 é um zero de f e g a função definida por:

r......!"" ]

li Fixado um referencial ortonormado do espaço considere os pontos

....

G

H

--~-

1:i 2, - 3 , 1+ ·\13) e 1-( 2, 3, 1 + v'3) que são ''értices do cubo

11~

10

g(x)=f(x+2)+3, V'xEIR (Jual dos seguintes pontos pertence garamidamenl e ao gráílco da função g'!

•I

(A) (- 2, 3) (C) (-3,6)

ll+ l~ +IO+~I

(B) (-3,3) (D) (-2,2)

[A/JCOEfGl I) da ílgura ao lado. Sabe-se que: /)

• as faces do cubo são paral elas aos planos coordenados; • a cola de A é inferior à cota de li e a abcissa de li é inferior à abcissa de li.

r.

EJ (Jual das seguintes funções é decrescente'! (A) f: (- 3, 2) -

A

(C) g: (- 2, 4) -

;1c;.

b)

a esfera tangente a todas as faces do cubo.

7.4. Identifique analit icamente o conjunto dos pomos do espaço equidistantes de é, f' e

e;.

a

Sejam

Considere, num referencial ortonormadodo espaço, a reta

r definida por:

!;;:~4 +~'À 3z - 6= -

(C)

8.2. Os pomos A e /J são as extremidades de um diâmetro de uma esfera de cemro

r de cola 1 e /J é o pomo da reta r de abcissa f>.

a) Determine as coordenadas do ponto

e:.

b) Escreva a inequação reduzida dessa esfera.

10

(D) j: (- 3, 1)-IR

a

x'-"x'

e ú dois números reais quaisquer.

10

la+ úl;>lal+lúl la+ úlla+ 111

Ef1

2

8.1. Dele1m ine as coordenadas do pomo P, in terseção da rela r com o plano yOz.

A é o ponto da rela

fi

Qual das seguintes afirmações é verdadeira'!

(A)

a

x'-"x'- 6x+ 10

x~X:'- 4x+5

7.3. Deílna analit icamente:

a) o segmento de rela [111'];

(B) /1: (- 2, 1)-IR

IR

x '-"x'-2x

7.1. Dele1m ine as coordenadas dos restantes vértices do cubo. 7.2. Dele1m ine um sistema de equações paramétricas da reta

10

e:, onde

Q Considere a função f definida em [ 1 , + oo[ por j(x) = ·~.

10

Na figura abaixo está representada, num referencial ortonormado, parte do gráfico da função g de domínio IR. .Y A função g tem apenas dois extremos relativos. (Jual dos seguintes conjuntos corresponde ao domínio da função h = f o g '!

(A) )4, +oo(

(B)l - 2) U ( 4 , +oo(

(C) (4, + oo(

(D)(-2 , l)U(4, +oo(

X

11

a Estatística

1J Funç6n

Teste de avaliação 5

IJ Na figura está representado um retângulo (AIJC.D) e um ponto P pertenceme ao lado (AIJ). Sabe-se que:

:.1 _ s_ d ...--1 , 41

lh.1»

12

• Ãii= 12 e ÃÕ=4 • a distância do pomo P ao ponto IJ é igual a x;

A

p

X

Teste de avaliação 6 < <

IJ Considere as proposições p e q tais que:

§

1>: Todos os números primos são ímpares ou iguais a 2.

f

q: 3xEIR: - xosições é falsa·!

'

H

• o ponto P desloca-se ao longo do segmemo de reta (AJJ). nunca coincidindo com o pomo A; • d é a distância do ponto P ao pomo O.

(A) -p=>q

(B) -q

~

-,,

(C) p/\q

(O) IJV q => -q

IJ Considere o polinómio P(x)= - x' - ax' - 2/Jx - 2, onde a e ú são números reais não nulos.

Seja f a função de domínio (O, 12( definida por f(x)=Vx2 - 24x+ 160.

·-

""""' 11 • ll [ .- ...... 11 1

Sabe-se que o polinómio l'(x) é divisível 1>or x +a e por x - ú.

6.1. Mostre que d = f(x).

O valor de a - ú é igual a: (A)

6.2. Dete1m ine o valor real de x para o qual d = 5.

6.3. Determine a área do trapézio (P/JC.D) quando o pomo Pé equidistamedo ponto IJ e de O.

·--n

, . . . ...hl51

li Considere as funções g e f, definidas em Fl, por: () gx=x+2

""'•"

e J(

l - 2x

7.1. Resolva analiticamente, em )- oo , - 1(, a condição

~

(O) - 2

EJ Num plano munido de um referencial ortonormado tem-se que 11(1, 2) é o cemro de um quadrado, IJ(4 , 6) é um dos seus vértices e (IJC:) é uma diagonal desse quadrndo.

,.

(Juais são as coordenadas do ponto C: ·1 (B)(- 2, - 2)

(A) ( IO, 14)

se x;;. - 1

f(x) •lpA- 1/IVr

u ..\é

81; /J( 3,

.\ 2 fJ. 1.2. ,. 1+

~ • t.Vfq/\r) < > ÍI' Ll(qAl'I] 8.2. ,, >(1/ V rj ( > - ,, V (tf V r) ( ) ( ,, V ql V r (

1. (O)

e 111( 1,

1>19.9

(C)

r.+\]~81 2,J. ~+\ i.(( 1, '· ;+\];e, ~.J, l•\'T ..

l,

11{

wal ~ rWu

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93

11 .\r2

"'t4qu•'1llrC"n.ioo&.a ... iol.C"nl.1ot.,,.•.â1.furntC!.

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r.J

b) lx .t " ' " • 2. 8)+ k(I • 1 21. k

&.S- l~u.ulr.ttlo, fl'lii~ulu. k•~·Ult(•I, f'oir.-h·h,.;r.1t111> não ret;l~uJo. 1r. ••-110 rnA.n\.,'Ulul

12.. 1

4. (B)

(•)

11 .1

2. {A) (e)

3. (B) (C)

e.

7.

1•n111w~1\.-10 falw

11.2. 1•n'1MMl,•ICIÍi1J..w.

• 2. "

13.3 t

1' 2. 110

1 24ou

(

32 12ü) T'T

4. (B)

5. (C)

9. (A)

10. (C)

pog. 13

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