LÝ THUYẾT TỔ HỢP VÀ ĐỒ THỊ - NGÔ ĐẮC TÂN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

NGÔ ĐẮC TÂN Viện Tòán học

HƯ

NG

ĐẠ O

TP .Q UY

Trung tâm Khoa học Tự nhiên và Công nghệ Quốc gia

NH ƠN

BỘ SÁCH CAO HỌC - VIỆN TOÁN HỌC

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

HÓ

A

10

00

B

TR Ầ

N

LÝ THUYẾT TỔ HƠP VÀ ĐÓ THỊ

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘ!

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

HỘI ĐỔNG BIÊN TẬP

TP .Q UY

___ ^ GS T rần Đức Vần (Chủ tịch) PGS Phan Huy Khải (Thư ký) GS Hà Huy Khoái

ĐẠ O

GS Phạm Hữu Sách GS Ngô Việt Trung

NG

GS Hoàng Tụy

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

HÓ

A

10

00

B

TR Ầ

N

HƯ

GS Đỗ Long Vân

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

TP .Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

T > * + • -fV Lời nói đau

NG

ĐẠ O

Cùng với sự phát triển với tốc độ nhanh của công nghệ thông tin, 'lý thuyết tổ hợp và đồ thị đã trờ thành các lĩnh vực toán học quan trọng và cần thiết cho nhiều lĩnh vực khoa học và ứng dụng. Đó là do lý thuyết tổ hợp là chiếc cầu nối giữa các bài toán cần được giải quyết với công cụ tính toán, còn đồ thị là mô hình trực quan để mô tả các quan hệ hai ngôi.

-L

Í-

HÓ

A

10

00

B

TR Ầ

N

HƯ

Nhiều bài toán hiện nay được giải quyết bằng cách qui chúng về các bài toán tổ hợp. Việc giải quýết được các bài toán tổ hợp này, thường có sự hỗ trợ của máy tính, sẽ dẫn tới lời giải cho bài toán ban đầu. Có thể dẫn sự chứng minh giả thuyết bốn màu ra đây đề minh hoạ. Từ 1850, Guthrie đã có nhận xét rằng có thể dùng bốn màu khác nhau để tô các tỉnh của vương quốc Anh sao cho không có hai tỉnh kề nhau nào cùng màu. Với nhận xét này, người ta đặt giả thuyết rằng có thể dùng bốn màụ khác nhau để tỏ màu mọi bản đồ bao gồm các quốc gia sao cho không có hai quốc gia kề nhau nào có cùng màu. Giả thuyết này đẳ thách thức cấc nhà toán học hơn 100 năm. Mãi tới tận năm 1977, Appel và Haken mới qui được bài toán tô màu bản đồ về việc xem xét trên 1900 cấu hình tổ hợp. Với việc sử dụng trên 1200 giờ máy tính để xem xét các cấu hình tổ hợp trên, Appel và Haken đã chứng minh được giả thuyết bốn màu.

ĐÀ N

TO ÁN

Trong khoảng mấy chục Ịiăm gần đâỵ, người ta đã quan tâm nhiều tới đồ thị và các ứng dụng của nó. Đó là do đồ thị đã chứng tỏ được là một mô hình hữu hiệu cho tính toán và tối ưu. Ngày nay khái niệm đồ thị đã xâm nhập không chì vào các lĩnh vực khoa học tự nhiên truyền thống như toán học, vật lý học hay hoá học, mà còn vào nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên và xã hội khác.

DI Ễ

N

Cuốn sách này được viết nhằm đáp ứng một phần nhu cầu tìm hiểu về lý thuyết tô’ hơp v.à đồ thị của nhiều đọc giả Việt Nam. Sách được hình thành trên cơ sở các bài giảng của tác giả từ những.năm 1996 tới nay cho các sinh viên Khoa Công nghê Tin hoc thuôc Viên Đai học Mỏr Hà Nội, các giáo viên theo học các lớp bồi dưỡng'sau đại học của sỏr

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Lý thuyết tổ hợp và đồ thị

TP .Q UY

NH ƠN

Giáo đục và Đào tạo Hải Phòng, các học viên cao học và .nghiên cứu sinh của Viện Toán học. Cuốn sách bao gồm 10 chương, trong đó 5 chương đầu đề cập tới các vấn đề của lý thuyết tổ hợp, 4 chương tiếp theo đề cập tới các vấn đề của lý thuỵết đồ thị và chương cuối cùng đề cập tới bài toán tồn tại của ly thuyết tổ hợp trên ngôn ngữ của lý thuyết đồ thị.

ĐẠ O

Các đọc giả có trình độ phổ thông trung học có thể đọc được ngay các Chương 1 và 6. Tuy nhiên đề đọc được các chương còn lại đòi hồi đọc giả phải có kiến thức của một số lĩnh vực toán học liên quan như đại số tuyến tính, đại số trừu tượng, . . . .

TR Ầ

N

HƯ

NG

Các Chương 2 và 3 là các chương độc lập với nhau. Đọc giả sau khi đọc xong Chương 1 có thể bỏ quá Chương 2 để đọc tiếp các chương tiếp theo hoặc có thề đọc tiếp Chương 2 rồi bỏ qua Chương 3 và đọc tiếp các chương sau. Các chương đề cập tới lý thuyết đồ thị (Chương 6,7,8 và 9) cũng độc lập với các chương đề cập tới lý thuyết tổ hợp (Chương 1,2,3,4 và 5). Đọc giả nào không quan tâm tới lý thuyết tổ hợp có thề đọc ngay từ Chương 6.

HÓ

A

10

00

B

Cuối mỗi chương đều có phần bài tập để đọc giả tự kiểm tra kiến thức thu nhận được của mình. Các bài tập không được đánh dấu là các bài tập tương đối đơn giản nhằm giúp đọc giả nắm được các khái niệm và kết quả trong chương. Các bài tập có đánh dấu (*) là các bài tập nâng cao đòi hỏi đọc giả phải có đôi chút suy nghĩ và sáng tạo. Còn các bài tập có đánh dấu (**) là các bài tập khó.

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

Tôi xin cảm ơn Hội đồng biên tập Bộ sách Cao học Viện Toán học và đặc biệt là Chủ tịch Hội đồng GS TSKH Trần Đức Vản đã động viên tôi hoàn chỉnh cáe bài giảng để viết thành sách và cho phép tôi in trong bộ sách này. Tôi cũng xin bày tồ lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Phạm Trà Ân, PGS TS Phan Huy Khải, GS TSKH Hà Huy Khoái, TS Lê Công Thành, GS TSKH Ngô Việt Trung, GS TSKH Hoàng Tụy, GS TSKH Đỗ Long Vân, GS TSKH Trần Đức Vân và nhiều đồng nghiệp khác đã dành không ít thời gian để đọc bản thảo và có nhiều nhận xét quý giá giúp tôi hoàn chỉnh cuốn sách này. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn GS v s Nguyễn Văn Đậo, chủ tịch Hội đồng Khoa học tự nhiên đã quan tâm đến bộ sách cao học của Viện Toán học, cảm ơn Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để giáo trình sớm được xuất bản. TS Nguyễn Hữu Điển, TS T ạ Duy Phượng và chị Vũ Thị Ái Vân

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Lời nói đầu

NH ƠN

5

TP .Q UY

đã giúp đỡ tôi trong việc soạn thảo và làm các thủ tục biên tập và in. Nhiều sinh viên và học viên dự các bài giảng của tôi đã phát hiện những chỗ không chính xác hoặc trao đổi với tôi về những chỗ khó hiểu. Những phát hiện và những thảo luận đó đã giúp tôi cải tiến cách trình bày để đọc giả dễ tiếp thu hơn. Tôi cũng xin có ỉời cảm ơn tới các đồng nghiệp, các sinh viên và học viên nói trên.

HƯ

NG

ĐẠ O

Cuốn sách chắc không khỏi có những thiếu sót. Tôi hoan nghênh và đánh giá cao các nhận xét của các đồng nghiệp và các đọc giả xa gần. Mọi nhân xét và góp ý xin gửi về địa chỉ: PGS TS Ngô Đắc Tân, Viện Toán học, 18 Đường Hoàng Quốc Việt, 10307 Hà Nội.

Ngô Đắc Tân

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

HÓ

A

10

00

B

TR Ầ

N

Hà Nội, 10 tháng 11 năm 2003

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

HÓ

A

10

00

B

TR Ầ

N

HƯ

NG

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

TP .Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ĐẠ O

M ục lục • •

3

NG

Lời nói đầu

19

HƯ

1 Các bài toán và kết quả tổ hơp cơ bản

19

N

' 1.1 Khái quát về tổ hợp .............................................................. 1.3 Một số bài toán đếm cơ bản

TR Ầ

1.2 Các qui tắc đếm cơ b ả n ................ ....................................... 25 ......................... ..................... 27

B

'1.3.1 Chỉnh hợp có lặp ..................................... .................. 27

00

1.3.2 Chỉnh hợp không lặ p ..................................................

27

A

........................................................... 30

HÓ

1.3.4 TỔ hợp có lặp

10

1.3.3 Tổ hợp không lặp ..................................................... 29 1.3.5

Hoán vị không l ặ p ................................................. : 32

Í-

1.3.6 Hoán vị có lặp . ....................................................... 33

-L

1.3.7 Phân hoạch của tập hợp. Số Stirling loại hai và số Bell ............ .................................... ..................... 34

TO ÁN

1.4 Một vài ứng dụng

......................... .............................. ...

36

1.4.1 Bài toán đếm tấ t cả các hàm từ một tập hữu hạn vào một tập hữu hạn ...... ....................................... 36

DI Ễ

N

ĐÀ N

1.4.2 Bài toán đếm tấ t cả các hàm đơn ánh từ một tập hữu hạn vào một tập hữu h ạ n ...............................37

1.4.3 Bài toấn đếm tấ t cả các hàm toàn ánh từ một tập hữu hạn lên một tập hữu h ạ n .................. ............... 37 1.4.4 Bài toán đếm các đường tăng dần của một lưới nguyên 1.4.5

......................3Ố

Hệ số nhị thức và hệ sốđa t h ứ c ............................. 40

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

MỤCLỤC

8

Nguyên lý Dirichlet và bài tòán tồn t ạ i ................................47

NH ƠN

1.5

Bài tậìp Chương 1 ..........................................................................50

Các kiến thức hỗ t r ợ ............................................................. 59 Chuỗi luỹ thừa hình t h ứ c ....................................... 60

2.1.2

Toán từ đạo hàm trong CN .................................... 67

2.1.3

Toán từ tích phân trong C N

2.1.4

Các toán từ thường gặp khác trong C N ...............73

2.1.5

Phép truy toán trong C N .......................................

ĐẠ O

2.1.1

.................................71

NG

2.1

59

TP .Q UY

2 Các phương pháp đếm dụng, hặm sinh

79

Phương pháp đếm bằng hàm sinh thông t h ư ờ n g ...........86

2.3

Phương pháp đếm bằng hàm sinh m ũ ..............................97

HƯ

2.2

TR Ầ

N

Bài tập Chương 2 ..........................................................................105 3 M ôt số phương pháp và kỹ thuật đ ếm cơ bản khác

109

Phương pháp đễm bằng nguyên lý bao

3.2

Phương pháp đếm bằng công thức nghịch đ ả o .............. 119

10

Công thức nghịch đảo nhị t h ứ c ............................... 121

3.2.2

Công thức nghịch đảo Stirling

3.2.3

Công thức sà n g ........................ ..........................

HÓ

A

3.2.1

TO ÁN

. ............................ 123 124

Í-

Một vài kỹ thuật cơ bản . . . ...............................................127

-L

3.3

hàm và loại trừ .109

00

B

3.1

3.3.1

Tính tổng bằng tỉch phân hữu h ạ n ........................ 128

3.3.2

Xác định hệ thức trong các dãy số bằng phiếm hàm tuyến t í n h ...........................................................133

DI Ễ

N

ĐÀ N

Bài tập Chương 3 . . . .................................................................... 136

4 Lý thu yết P ólya

139

4.1

BỔ đe B urnside............... ...............'....................................... 139

4.2

Đa thức chỉ số chu t r ì n h .....................................................146

4.3

Định lý đếm P ó ly a .............. ... ..........................................149

4.4

Đa thức chỉ số chu trình cho các nhóm 4.4.1

Cn, Đ n và s n. .155

Nhóm xyclic Cn . ..................................................... 156

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

MỤC LỤC

9 Nhóm nhị diện D n ................................................. ... 157

4.4.3

Nhóm đối xứng S n ............... .............................. ..

TP .Q UY

Bài tập Chương 4 ................................................................

NH ƠN

4.4.2

5 N ghịch đảo M õbius

158

159

163

Tập được sắp bộ p h ậ n ............................................................ 163

5.2

Đại số liên t h u ộ c .................. ............................................. ... 165

5.3

Nghịch đảo Mõbius trong tập được sắp bộ phận hữu hạn địa p h ư ơ n g ............................ ...................................................170

5.4

ứ n g dụng của công thức nghịch đảo cho bài toán đếm . . 176 Công thức tính giá trị cùa (fi-hkvaEuler 9...................... 327

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

HÓ

A

10

00

B

TR Ầ

N

HƯ

NG

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

TP .Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Chương 1

N

HƯ

NG

ĐẠ O

Các bài toán và kết quả tổ hơp cơ bán

10

00

B

TR Ầ

Trong chương này ta sẽ đề cập tới đối tượng nghiên cứu của lý thuyết tô’ hợp, các qui tắc và kết quả đếm cơ bản và nguyên lý Dirichlet cho bài toán tồn tại. Một vài ứng dụng của các kết quả đếm cơ bản nói trên cũng được xem xét.

K hái quát v ề tổ hơp

HÓ

A

1.1

TO ÁN

-L

Í-

Tư duy về tổ hợp ra đời rất sớm. ở Trung Quốc, vào thời nhà Chu người ta đã biết đến những hình vuông thần bí. Nhà triết học cổ hy lạp Kxenokrat, sống ờ thế kỷ t£ứ 4 trước Công nguyên, đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ một bảng chữ cái cho trước. Nhà toán học Pithagore và các học trò của ông đã phát hiện ra nhiều tính chất kỳ lạ của các số. Một kết quả nổi tiếng của trường phái này là kết quả mà ngày nay chúng ta gọi là định lý Pithagore.

DI Ễ

N

ĐÀ N

Tuy nhiên, có thể nói rằng lý thuyết tô’ hợp được hình thành như một ngành của toán học rời rạc chỉ vào quãng thế kỷ 17 bằng một loạt các công trình nghiên cứu nghiêm túc của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat,,Leibnitz, Euler.... Mặc dầu vậy, tổ hợp vẫn là lĩnh vực mờ nhạt và ít được chú ý tới trong quãng thời gian hơn hai thế kỷ. Từ khi máy tính phát triển và thịnh hành, tổ hợp đã trò thành một lĩnh vực toán ứng dụng với sự phát triển mạnh mẽ. Nó là chiếc cầu nối

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

20

Chuơng 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản

TP .Q UY

NH ƠN

giữạ các bài toán cần được giải quyết và công cụ tính toán là máy tính. Cụ thể là việc giải quyết các bài toán thực tế hay các bài toán trong các lĩnh vực khoa học thường được qui về việc giải quyết các bài toán tô hợp nào đấy.

ĐẠ O

Vì tổ hợp có liên quan tới nhiều vấn đề trong nhiều lĩnh vực của đời sống và các khoa học khác nhau nên khó có thề định nghĩa nó một cách hình thức chặt chẽ. Nói chung, lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu các cấu hình tổ hợp và các cấu trúc tồ hợp mà ta có thể định nghĩa chúng một cách khái quát như dưới đây. C ấu h ìn h t ổ h ợ p

10

V í d ụ 1.1. Giả sử

00

B

TR Ầ

N

HƯ

NG

Giả sử A i , . .. , A m là các tập bất kỳ, s là một sơ đồ sắp xếp (có thề là trực quan hình học hoặc có thề là trừ u tượng và được mô tả dưới dạng các qui tắc sắp xếp), còn R ị , ... , Rn là các điều kiện đã cho. Các" điều kiện này đặt các ràng buộc lên sự sắp xếp các phần từ của A \ , . . . , A m theo sơ đồ s. Khi đó một sự sắp xếp bất kỳ các phần tử của A \ , . .. , Am theo sơ đồ s thoả mãn các điều kiện R i , . .. ,Rn được gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập A i , . . . , Am. Nếu các phần tử của A 1, . . . , Arn đều thuộc tập A thì cấu hình tổ hợp trên A i , ... , A m thường được gọi ngắn gọn là cấu hình tổ hợp trên A.

HÓ

A

Ai ={ Vua trắng} , ^2 ={ Hậu trắng} ,

-L

Í-

^3 ={ Tượng trắng 1, Tượng trắng 2} , a 4 ={ Mã trắng 1, Mã trắng 2} ,

TO ÁN

a 5 ={ Xe trắng 1, Xe trắng 2} , ■

Ae ={ Tốt trắng 1, ... , Tốt trắng 8} ,

DI Ễ

N

ĐÀ N

'b

x

={ Vua đen} ,

Bq ={ Tốt đen 1, ... , Tốt đen 8} ; s là sơ đồ sắp xếp “bàn cờ vua 8 X 8 ô” ;

R u . . . ,Rn là các điều kiện được xác định bời luật cờ vua mà các quân cờ cạn thoả mãn khi chúng được sắp xếp vào các ô bàn cờ. Khi đó mỗi thế cờ là m ột cấu hình tổ hợp. □

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

1.1. Khái quát về tổ hợp

21

Sơ đò sắp xếp s là “3 hàng dọc, mỗi hàng có 6 vị trí”;

NH ƠN

V í d ụ 1.2. Giả sử A\ là tập hợp gồm 12 học sinh nữ và A 2 là tập hợp bao gồm 20 học sinh nam cùa một lớp;

TP .Q UY

Điều kiện i?i: 3 vị trí đầu của hàng 1 phải là nữ, 3 vị trí sau của hàng 1 phải là nam; Điều kiện i?2: ờ hàng 2, nam và nữ được xếp vào các vị trí xen kẽ nhau, nhưng vị trí đầu tiên phải là nam;

ĐẠ O

Điều kiện R 3 : 3 vị trí đầu của hàng 3 phải là nam, 3 vị trí sau của hàng 3 phải là nữ.

HƯ

NG

Khi đó mỗi cách sắp xếp thành hàng của các học sinh từ A\ và Ả 2 theo sơ đồ s thoả mãn các điều kiện,i?i, i?2, R 3 là một cấu hình tổ hợp. □

TR Ầ

N

C ấu trú c tổ h ơ p

10

00

B

Giả sử V là một tập bất kỳ. Ta ký hiệu &(V) là tập tấ t cả các cấu hình tổ hợp trên V (theo mọi sơ đồ sắp xếp s và mọi điều kiện R i , . . . ,Rn có thề). -Khi đó bộ ba G = ( V ,E ,f) được gọi là một cấu trúc tổ hợp trên V nếu V và Ẹ là các tập rời nhau, / là một hàm từ E vào $(V ) và V, E. f thoả mãn một số tiên đề xác định nào đó.

Í-

HÓ

A

V í d ụ 1.3. Giả sử V = { Wi,... ,vm} , E = { e I , ... , en} với V n E = 0. Ta cũng giả sử s là sơ đồ sắp xếp “cặp (xi,a;2)” và / là hàm từ E vao $(V)-

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

(a) Nếu với mọi e € E, f(e) là một cấu hình tổ hợp theo s trên các bản sao rời nhau A \ và A '2 cúa V thoả mãn Xi e Ai, X2 e Ả 2 , thì cấu trúc tổ hợp (V, E, f ) được gọi là một đa đồ thị có hướng với tập đỉnh V yà tập cung E. Nếu hàm / nói trên là đơn ánh, thì cấu trúc tổ hợp (V, E, ỉ ) được gọi là một đơn đồ thị có hướng và thường được gọi tắ t là đồ thị có hướng. (b) Nếu với mọi e € E, f(e ) là một cấu hình tổ hợp theo s trên Aỵ = V ;thoả mãn Xi € Ai, x 16, cấu hình tổ hợp này có tồn tại hay không đến nay vẫn chưa sáng tỏ. Việc tìm ra câu trả lời “có” hay “không có” cấu hình tổ hợp như thế với n > 16 là nội dung của bài toán tồn tại cho cấu hình tô’ hợp nói trên. □

Hiện nay, bài toán liệt kê cấu hình tổ hợp là một bộ phận quan trọng của lĩnh vực phần mềm ứng dụng, còn bài toán tối ưu tổ hợp thì đã phát triển thành một lĩnh vực độc lập gọi là tối ưu tổ hợp. Đối với bài toán tồn tại, một số lý thuyết đã hình thành cho một số lớp bài toán (lý thuyết Ramsey, lý thuyết chứng minh tồn tại bằng phương pháp không kiến thiết như phương pháp xác suất). Tuy nhiên, chưa có một lý thuyết thống nhất để giải quyết mọi bài toán tồn tại và có lẽ một lý thuyết nhự thế sẽ không có. Cũng vì sự hạn chế của khối lượng cuốn sách, trong tài liệu này ta chủ yếu tập trung vào bài toán đếm và bài toán tồn tại. WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

1.2. Các qui tắc đếm cơ bản

25

Các qui tắc đ ếm cơ bản

ĐẠ O

1.2

TP .Q UY

NH ƠN

Như vậy, những vấn đề được đề cập tới trong tài liệu riày chỉ là một phần khiêm tốn của lý thuyết tổ hợp theo nghĩa rộng. Tuy nhiên, đây lại là phần kinh điển và cơ bản nhất. Các vấn đề này là các vấn đề mà ta thường xuyên gặp phải trong mọi lĩnh vực lý thuyết và ứng dụng. Hy vọng rằng các vấn đề khác của lý thuyết tổ hợp không được đề cập ờ đây sẽ xuất hiện ở các tài liệu trong tương lai.

N

HƯ

NG

Giả sử A \ và A 2 là hai tập đã cho. Ta nói rằng giữa các phần tử của A\ và A i tồn tại tương ứng một-một nếu ta có thề sắp xếp tấ t cả các phần tử của cả Aị và A 2 thành các cặp dạng (ai , a2) với d]_ £ Ai, Ũ2 € A 2 sao cho các cặp nhận được đều rời nhau, tức là nếu (a, b) Ỷ (c>d) thì a Ỷ c,b ^ d.

TR Ầ

Từ định nghĩa của lực lượng bằng nhau ta có ngay qui tắc đếm cơ bản sau đây. '

B

1. Q ui tắ c tư ơ n g ứ n g m ộ t-m ộ t

10

00

Nếu tồn tại tương ứng một-một giữa các phần tủ của các tập hữu hạn Ai và A 2 , thì Aị. và A i có cùng số các phần tử.

HÓ

A

Bây giờ ta chứng minh hai qui tắc đếm cơ bản tiếp theo gọi là qui tắc cộng và qui tắc nhân.

Í-

2. Q ui tắ c cộ n g

TO ÁN

-L

Nếu A i , A 2 , . . . , A n là các tập hữu hạn đôi một rời nhau, tức là Ai C\Aj = ậ nếu i Ỷ j> thỉ \Ai u ... u A n \ = \Aị\ + 1^-2i H-----+ |Ai|>

ở đây Ij4.il là lực luợng (số các phần tử) của tập Ai.

DI Ễ

N

ĐÀ N

C h ứ n g m inh . Giả sử A i , . .. , A n là các tập hữu hạn đôi một rời nhau. Bằng qui nạp theo n, ta chứng minh rằng \Ai u ... u An I = ỊAiỊ + •••+ |AnỊ. Với n = 1, đằng thức trên hiển nhiên đúng. Với n = 2, đằng thức trên suy ra từ định nghĩa tổng của hai bản số. Giả sừ đẳng thức trên đã được chựng minh cho n = k > 2 và A i , . . . , Aỵ+\ là k + 1 tập hữu WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Chương 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bàn

26

= =

I(i4i u ... u Ak) u Ak+i\ \A\ u ... u Ak\ + |j4fc+i|

=

|Ẩi| + •••+ \Ak\ + |Ẩfc+i|.

TP .Q UY

ỊẨ! U . - . U A f c U ^ + i l

NH ƠN

hạn đôi một rời nhau. Khi đó (A\ u .. . u Ak) và Ak+I cũng rời nhau. Theo giả thiết qui nạp, ta có

□

ĐẠ O

Giả sừ A i , . .. , An là các tập hữu hạn bất kỳ. Ta định Ịighĩa tích Ưê các của A i , . . . , An, ký hiệu là A\ X A 2 X . .. X A n, là tập bao gồm tất cả các bộ có thứ tự ( ai , ữ2, ■■• , Cbn) gồm n thành phần ãị, 0 ,2 ,.. ■,an sao cho 2 và A i , . .. , Ak, là k'+ 1 tập hữu hạn bất kỳ. Khi đó theo giả thiết qui nạp

, .=

=

\(Aỉ X . .. X A k) X A k+l\ \Aì

X ... X

A k\\Ak+1\

|^ij|-^2| • • • |Afe||ylfc+i|.

Í-

HÓ

A

1^1 X ... X Ak -X A k+1\ =

TO ÁN

-L

Qui tắc cộng và qui tắc nhân cũng thường được phát biểu dưới dạng tương đương dưới đây. Việc chứng minh sự tương đương này không khó và xin dành cho đọc giả coi như bài tập.

ĐÀ N

Q ui t ắ c c ộ n g

DI Ễ

N

Giả sử tã có n hành động loại trừ lẫn nhau H 1, . . . , Hn, túc là không thề xảy ra hai hành động đồng thời. Ta cũng giả sừ rằng hành động Hi có ãị cách thục hiện. Khi đó hành động H: hoặc Hị xảy ra, hoặc i?2 xảy ra, . . . , hoặc Hn xẩy ra, có cả thảy ai+a ,2 + - ■-+ an cách thực hiện. Q ui t ắ c n h â n

Giả sử một hành động H bao gồm n giai đoạn kế tiếp và độc lập với nhau, trong đó giai đoạn thú i là hành động Hị. Ta cũng giả sử rằng WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

1.3. Một số bài toán đếm cơ bản

hành động Hi có ai cách thục hiện. Khi đó hành động H có cả thảy ai n.

TO ÁN

-L

(n)fc = i10, n

Ta định nghĩa hàm giai thừa n\ trên tập các số tự nhiên N = {0, 1, 2, . . . } như sau:

DI Ễ

N

ĐÀ N

' 0! = 1, n! = (n — l)!n với n = 1,2,3,...

và gọi là giai thừa của rít Sử dụng hàm giai thừa ta có thể viết gọn công thức tính (n)k■ Cụ thể là, (n)jfc =

n(n - 1) . . . (n - k + 1)

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

1.3. Một số bài toán đếm cơ bản

Vậy ta có f ra! , (n)fc = ị (n - *)! \ o,

ĐẠ O

nếu k < n,

TP .Q UY

n(n —1) . . . (n —k + 1)(n —k)(n — k — 1) . . . 2.1 (n — k)(n —/c —1) . . . 2.1 n! nếu k n.

HƯ

NG

V í d ụ 1 .12. Bài toán: Tìm số các số có 3 chữ số mà có thể xếp đưạc từ một chữ sổ 1, một chữ số 2, một chữ số 3, một chữ số 4 và một chữ số 5 bằng nhựa.

00

TỔ h ợ p k h ô n g lặ p

10

1.3.3

B

TR Ầ

N

G iải. Mỗi số có 3 chữ số có thề xếp được có thể coi là một chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số là 1, 2, 3, 4, 5. Vậy số các số có 3 chữ số có thể xếp được bằng (5)3 = ụr ^ gỊỊ = 3.4.5 = 60. □

HÓ

A

Giả sử A là một tập hữu hạn với |yl| = n, còn k là một số nguyên dương. Ta cũng giả sử Ai = A,

-L

Í-

s là sơ đồ sắp xếp “tập có k phần tử {XI,X 2 , *. ■,Xk}’\ R lằ điều kiện sắp xếp “x i G A \,X 2 €

,Xk Ễ

TO ÁN

Khi đó mỗi cấu hình tổ hợp trên Ai theo s thoả mãn R được gọi là một tổ hợp không lặp chập k của n phần tử của A. Tổ hợp không lặp thường được gọi đơn giản là tổ hợp.

DI Ễ

N

ĐÀ N

Như vậy, một tổ hợp chập k của n phần tử cửa A có thể được xem nhữ là một tập con lực lượng k của A. Vì vậy, nếu ta ký hiệu số các

tổ hợp chập k của n phần từ của A bằng

1 thì để tính

ta có

thể lập luận như sau. Mỗi chỉnh hợp chập k của n phần tử của A có thể coi là một cách thực hiện của hành động H “tạo ra chỉnh hợp” bao gồm hai giai đoạn kế tiếp nhau Hi và H 2 sau đây: Giai đoạn Hi'. Tạo ra tập con lực lượng k của A Theo

định nghĩa

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

cách thực hiện giai đoạn Hi;

của tổ hợp, ta thấy ngay rằng có

NH ƠN

Chuơng 1. Các bài toán và kết quả tồ hợp cơ bản

30

( n\ k\ = J (n - ft)! : (k - k)l [ 0,

nì k\(n - k)\ ’

Vì vậy,

„

- n’ nếu k > n.

NG

/X

(fc)fe. Suy ra

ĐẠ O

Theo nguyên lý nhân, (n)fc =

TP .Q UY

Giai đoạn H2: Tạo ra chỉnh hợp chập k của k phần tử của tập con B được tạo ra ờ giai đoạn H 1. Ta có [k)k cách thực hiện giai đoạn H 2 theo định nghĩa.

HƯ

Như ta đã nói ở trên, mỗi tổ hợp chập k của n phần tử của A có thể đưạc xem như là một tập con lực lượng k của A. Vì vậy, Ị^n^j chính

TR Ầ

N

bằng số các tập con lực lượng k của A. Với k = 0, vì chỉ có một tập con của A lực lượng 0 là tập rỗng, nên ta có thể định nghĩa một cách tự nhiên rằng

= 1. Khi đó đẳng thức

00

B

cho cả k = 0.

= - ị -— — cũng đúng

HÓ

A

10

V í d ụ Ị . 13. Bài toán: Trong mặt phằng cho 10 điểm khác nhau sao cho không có bà điềm nào thẳng hàng. Hỏi có thề lập được bạo nhiêu tam giác khác nhau với các đỉnh thuộc 10 điểm đó?

TO ÁN

-L

Í-

G iải. Ta tương ứng mỗi tập con lực lượng 3 của tập gồm 10 điểm đã cho với tam giác có các đỉnh thuộc các điểm của tập con đó. Dễ thấy rằng tương ứng này là tựơng ứng một-một giữa cáe phần từ của tập tấ t cả các tập con lực lượng 3 của tập gồm 10 điểm đã cho và tập tấ t cả các tạm giác với các đỉnh thuộc 10 điểm đó. Theo qui tắc tương ứng một-một số các tam giác có thề lập được bằng f ^ j

ĐÀ N

8-9-10 2- 3

120 .

3!(10 —3)! □

TỔ h ợ p có lặp

DI Ễ

N

1 .3 .4

=

_

10!

Trước hết ta mờ rộng khái niệm tập hợp. Một sự tụ tập các vật có bản chất tuỳ ý, trong đó có thể có những vật không phân biệt được với nhau (và có thể coi như là sự lặp lại của

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

1.3. Một số bài toán đếm cơ bản

V í d u 1.14. Ả = {a, a, a, b, c, c} là một đa tập với IA\ = 6.

TP .Q UY

cùng một vật), được gọi là đa tập hợp hay ngắn gọn là đa tập. Các vật trong đa tập cũng được gọi là các phần tử. Ta cũng dùng các phương pháp xác định tập hợp để xác định đa tập. Nhưng đối với đa tập ta cần xác định số các phần tử không phân biệt được với nhau. Số lượng các phần tử của một đa tập A cũng được gọi là lực lượng của A và được ký hiệu là IAị.

NH ƠN

31

□

ĐẠ O

Theo định nghĩa, hiển nhiên mỗi tập cũng là đa tập, nhưng ngược lại, một đa tập có thể không là tập hợp. Chẳng hạn, đa tập A ở trên không là tập hợp.

HƯ

NG

Nếu các phần tử của một đa tập A đều là phần tử của một tập B, thì ta sẽ nói rằng A là đa tập trên B. Chằng hạn, đa tập A ở trên là một đa tập trên tập B = {a, b, c}.

TR Ầ

N

Giả sử A là một tập hữu hạn với |A| = n, còn k là một số nguyên dương. Ta cũng giả sử A i , A 2 , . . . ,Ak là các bản sao rời nhau của A, k

phần từ

B

là s ơ đ ồ s ắ p x ế p “đ a t ậ p c ó

{XI,X2 , ■■• £ * } ” •.

00

s

10

R là điều kiện sắp xếp “x \ € Ả i,X2 € Ả2 , ... ,Xk € A k” .

HÓ

A

Khi đó mỗi cấu hình tổ hợp trên A i , A 2 ,. .: ,Ak theo s thoả mãn R được gọi là một tổ hợp có lặp chập k của n phần tử của A.

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

Như vậy theo định nghĩa, một tổ hạp có lặp chập k của n phần tử của A có thể coi là một đa tập lực lượng k với các phần tử đều thuộc A. Ký hiệu số các tổ hợp có lặp chập k của n phần tử của Ẵ bằng CRỈ^. Ta cũng nhận xét rằng nếu A = { a i, CL2, • •. , CLrì]ì thì một đa tập B lực; lượng k với các phần từ đều thuộc A hoàn toàn được xác định nếu số lần xuất hiện trong B của mỗi ai, i — 1,2,. .. ,n, được xác định. Giả sử d\ xụất hiện m i lần, M cũng là hàm toàn ánh. Do đó, / cũng là song ánh từ N lên M . Ngược lại, mỗi song ánh f : N - ì M cũng là một hàm đơn ánh từ N vào M . Như vậy, ta có tương ứng một-một giữa các phần tử của tập tấ t cả các hàm đơn ánh và tập tấ t cà các hàm song ánh từ N vào M . Vậy ta có:

HÓ

A

Số tấ t cả các hàm song ánh / : N -» M với \N\ = \M\ = m bằng (m)rn = mĩ.

Í-

B à i to á n đ ế m t ấ t cả các h à m to à n á n h t ừ m ộ t tậ p h ữ u h ạ n lên m ộ t tậ p h ữ u hạn

-L

1 .4 .3

TO ÁN

Bài toán: Giả sử N và M là hai tạp hữu hạn với \N\ = n và \M\ = m. Hãy tìm số các hàm toàn ánh / : N —>M. G iải. Giả sử M = {&1, . .. bm} và / : N -¥ M là một hàm toàn ánh.

DI Ễ

N

ĐÀ N

Ta định nghĩa quan hệ ~ trên N như sau: a i ~

(12

khi và chỉ khi

f(a \) — /(■M : Ni —» f ( N i ) = /(ữ j) với Oj € Nị. Dễ thấy rằng / là một song ánh giữa N và M*. Ngược lại, một phân hoạch WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Chương 1. Các bài toán và kết quả tồ hợp cơ bản

38

NH ƠN

N của N thành m khối cùng với một song ánh / : /V —ị M xác định đúng một hàm toàn ánh ỉ : N -» M : dị !-> f(a,ị) = / ([ai]) với [oj] là khối của phân hoạch N chứa a.ị.

TP .Q UY

Tóm lại, một hàm toàn ánh, / ỤVi-ì M có thể coi là một cách thực hiện của một hành động H “tạo ra hàm toàn ánh” bao gồm hai giai đoạn Hị và Ho như sau:

ĐẠ O

Giai đoạn H\\ Tạo ra một phân hoạch N của N gồm ra khối. Theo định nghĩa của số Stirling loại hai, ta có S ( n ,m ) cách thực hiện giai đoạn Hi.

NG

Giai đoạn B.1 '. Tạo ra một hàm song ánh f : N —ì M . Như ta đã tính ờ bài toán đếm tất cả các hàm đơn ánh, ta có rrủ cách thực hiện giai đoạn H 2 -

HƯ

Theo nguyên lý nhân, ta có:

TR Ầ

N

Số các hàm toàn ánh / : N —> M với -jiV| = n và \M\ = m bằng m\S{n,m ).

S(n,k)(m)k.

A

k= 0

HÓ

Đ in h lý 1.2. m " =

10

00

B

Bây giờ ta có thể chứng minh một kết quả tổ hợp quan trọng sau đây.

TO ÁN

-L

Í-

C h ứ n g m inh. Giả sử N và M là các tập hợp với \N\ = n và \M\ = m và F là tập tấ t cả các hàm f : N M . Ký hiệu Fk = { / s F I |/(iv )| = k}, k = 1,.. .TO. Khi đó FkC\Fi = 0 nếu k Ỷ l v ằ F = F 1 UF 2 U. ■.UFm. Theo nguyên lý cộng, |F | = |F1 U . . . U F m| = |F1| + --- + |Fm|.

ĐÀ N

Mỗi / € Fk có thể coi là một cách thực hiện của hành động H “tạo ra các hàm thuộc F)” bao gồm hai giai đoạn Hi và H 2 như sau: Giai đoạn Hị-. Tạo ra tập con K c M lực lượng k. Theo định nghĩa cách thực hiện Hỵ.

DI Ễ

N

của tổ hợp, ta có

Giai đoạn H2: Tạo ra một hàm toàn ánh / : N K . Theo bài toán đếm các hàm toàn ánh từ một tập hữu hạn lên một tập hữu hạn, ta có k\S(n, k ) cách thực hiện giai đoạn H 2

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

1.4. Một vài úng dụng

______39

y (0,n)

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

(m,n)

(m,0)

HƯ

NG

( 0 ,0 )

TR Ầ

N

Hình 1.1: Ví dụ một lưới nguyên và một đường tăng dần từ (0, ọ) tới (to, n)

B

Theo nguyên lý nhân, l-Ffel = ị ^ j k ì S ( n , k ) = S(n,k)(m)k. Do đó,

A

10

00

|F | = S(n, k)(m)k. Theo bài toan đếm tấ t cả các hàm từ một tập hữu hạn vào một tập hữu hạn, |F | = m n. Vì S(n, 0) = 0, 5(n, k) = 0 nếu k > n, (m)fc = 0 nếu k > m, nên ta nhận được

HÓ

■ n

|F | = S(n, 0)(m)o +

Í-

m

n

S(n, k)(m)k

k~ 1

B à i to á n đ ế m các đ ư ờ n g tă n g dần củ a m ộ t lư ớ i n g u y ên •

ĐÀ N

1 .4 .4

□

TO ÁN

-L

^~^S(n,k){m)k■ k=0

DI Ễ

N

Xét một lưới trên m ặt phẳng có hệ toạ độ Đề các vuông góc baoígồm các đường thẳng nằm ngang có tung độ là số nguyên và các-đường thẳng đứng có hoành độ là số nguyên. Ta gọi tắ t lưới này là lưới nguyên. Giao điểm của các đường thằng ngang và các đường thẳng đứng củ.a lưới được gọi là các điểm lưới. Ta đồng nhất các điểm với biểu diễn toạ độ của chúng (Hình 1.1).

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Chương 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản

40

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

Ta gọi đoạn thẳng từ một điểm lưới tới một điềm lưới khác gần nhất là một đoạn lưới. Như vậy là nếu một đầu m út của đoạn lưới có toạ độ là (a, b) thì đầu mút kia của đoạn lưới có toạ độ hoặc là (a —1, b) hoặc là (a + 1, 6) hoặc là (a, 6 —1) hoặc là (a, 6 + 1). J JỊ Giả sừ (m, n) là một điểm lưới cố định với m v à n không âm. Ta định nghĩa một đường tăng dần của lưới nguyên từ điểm (0, 0) tới điểĩii (m , n ) là một dãy có thứ tự các đoạn lưới e i, 02,.. ‐ , thoả mãn các điều kiện sau đây: (i) e\ có một đầu mút là điểm (0, 0), còn e/o có một đầu mút là điểm

(m,n);

HƯ

NG

(ii) Ẽị có điểm chung với cả eị-i và ei+ 1 với mọi i = 2, . . . , k — 1, tức là các đoạn lưới trên tạo thành một đường liền từ (0, 0) tới (m , n );

B

TR Ầ

N

(iii) Khi ta đi từ (0,0) tới (to, n) theo đường tạo ra bởi các đoạn lưới ej, e2, ... , e/c hoặc hoành độ hoặc tung độ của mỗi điểm lưới trên đường này tăng lên 1 so với toạ độ tương ứng của điểm ngay trước nó.

Số các đường tăng dần từ (0,0) tới (m, n )

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

HÓ

A

10

00

Ta nhận thấy ngay rằng mỗi đường tăng dần từ (0,0) tới (m, n) có m lần để tăng hoành độ và n lần đề tăng tung độ cho các điểm của nó. Do đó, mỗi đường như vậy bao gồm đúng m + n đoạn lưới trong đó có đúng m đoạn lưới nằm ngang. Nếu ta tương ứíig mỗi đường tăng dần từ (0, 0) tới (to, n) với một dãy nhị phân như sau: đoạn lưới nằm ngang tương ứng với 0, còn đoạn lưới thẳng đứng tương ứng với 1, thì dễ thấy rằng tương ứng đó là tương ứng một-một giữa các đường tăng dần nói trên và các dãy nhị phân độ dài m + n với m chữ số 0. Đến lượt mình, mỗi dãy nhị phân như thế hoàn toàn được xác định bởi tập các vị trí của chữ số 0. Vì vậy,

1 .4 .5

H ệ số n h ị th ứ c v à h ệ s ổ đ a th ứ c

Gịả sử N và M là hai tập đã cho, còn A và B là các tập con của M thoả mãn A n B = (Ị) vầ A u B = M (A hoặc B có thể là tập rỗng). Ta cũng giả sử rằng \N\ = n, ịMỊ = m, |À| = a và \B\ = b. Khi đó m - a + b.

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

1.4. Một vài úng dụng

41

|F | = |JFo| + |F1| + . - + |Fn |.

TP .Q UY

NH ƠN

Theo bài toán đếm tấ t cả các hàm / : N - ị M ta có tấ t cạ m n = (a + b)n hàm như vậy. Bây giờ ta đếm các hàm này bằng một cách khác. Giả sử F là tập tấ t cả các hàm / : N —ì M, Fị = { / € F I / ánh xạ đúng ỉ phần tử của N vào A} (i = 0,. .. , n ). Khi đó Fị n Fj = ậ nếu ỉ j và F = Fq u F i u ... u Fn. Theo nguyên lý cộug,

Mỗi hàm / e Fo cũng là hàm từ N vào B. VI vậy, |Fo| = bn.

được / ánh xạ vào A này cồ thề được chọn bằng

ĐẠ O

Mỗi hàm / G Fi ánh xạ đúng một phần từ của N vào A. Phần tử cách và có a khả

NG

năng cho ảnh của nó. Còn lại n —1 phần tử của Ar được ánh xạ vào B 1

N

HƯ

và do đó có ò” ‐1 cách ánh xạ. Vì vậy, I-Fil — ị ^ j a bunn

TR Ầ

Mỗi hàm / G Fi ánh xạ đúng i phần từ của N vào A. Có thể chọn i phần tử của N có ảnh bởi / trong A bằng ị ^ j cách và có a} khả năng

B

cho ảnh của chúng. Còn lại n —i phần từ cùa N được ánh xạ vào B và cách ánh xạ. Suy ra, |Fj| = ị ^ j á ibn~i. Vì vậy

10

00

do đó có

( n \ cib*-*.

HÓ

A

(a + b)n = |F| = \F0\ + • • ■+ \Fn\ = Ề

xuất hiện với tư cách là hệ số của

-L

Í-

Ta thấy rằng số tô’ hợp

TO ÁN

atbn~i trong khai triển (a + b)n của nhị thức (a + 6). Vì thế mà nó cũng còn được gọi là hệ số nhị thức. Bây giờ ta chứng minh một số tính chất cơ bản của hệ số nhị thức.

ĐÀ N

(i) Tính chất đối xứ ng của hệ số nhi thức

DI Ễ

N

Với mọi 0 < k < n, ta có

^ n k j'

Chứng minh. (n\ \JfeJ

_ _

n! n! fc!(n - k)} = (n - k)\k\ n\ : n , (n —fc)![n —(rỉ —fc)]! \ n — k

n

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Chương 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản

42

Vái mọi 0 < 1 < k, ta có ( £ ) Q " 1

n\ kl _ n! = k!(n - kỹ. ' lì(k - l ỹ ~ (n - k)\l\(k - ly. ’ n\ (n —1 )\ nì = l\{n - l)\ ' (k - l)\(n - kỹ. ~ l\(k - l)\(n - kỹ. '

ĐẠ O

in \/k \ (k jụ j n \ (n - ỉ\ l)\k -l)

■ị).

TP .Q UY

C h ứ n g m in h . Ta có

=

NH ƠN

(ii) T ín h c h ấ t tíc h c ủ a hê số n h ị th ứ c

Từ hai đẳng thức ở trên ta suy ra đẳng thức cần chứng minh.

□

TR Ầ

N

HƯ

NG

Với l — 1, từ tính chất tích của hệ số nhị thức ta nhận được đồng nhất thức sau cho k > 1 :

(iii) Đ ồng n h ấ t th ứ c V an d erm o n d e /m\ (

n \

( m \ fn \

fm + n

00

B

m \ /n \

A

10

C h ứ n g m in h . Giả sừ M và N là các tập thoả mãn \M\ = m, |iVj = n và M n ./V = 0. Khi đó \M u N\ = m + n.

TO ÁN

-L

Í-

HÓ

Nếu k < m + n và F là tập tấ t cả các tập con lựclượng k của M u N , thì ta ký hiệu Fị = {A e F I A chứa đúng i phần tử của M }, 1 = 0 ,... ,k. Khi đó Fi n Fj = 0 nếu ị 7£ j và F = Fo u Fi u ... u FkDo đó \F\ = |ib| + |F!| + ••• + \Fk\. Mỗi tập con trong Fi nhận được bằng cách chọn ỉ phần tử từ M và h

ỉ phần tử từ N để làm phần tử của Ĩ1Ó. Do đó ỊFị| =

^

71

•

DI Ễ

N

ĐÀ N

Suy ra

ổGM7U"-. +- +T ô' D

Thay n = 1 vào đồng nhất thức Vandermonde ta nhận được đồng nhất thức Pascal sau đây.

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

1.4. Một vài ứng dụng (iv) Đ ồng n h ấ t th ứ c P ascal m\ / m k) + {k-

Dề thấy rằng với mọi n > 0,

= 1 và

= 1. Vì vậy, từ đồng'

TP .Q UY

fm + 1 k

NH ƠN

43

nhất thức Pascal ta nhận được tam giăc sau đây gọi là tam giác Pascal:■ cho các hệ số nhị thức:

ĐẠ O

= 1

= 2

e;

= 3

HƯ

c; = 6

= 4

= 3

(í

g;

= 1

= 4

= 1

TO ÁN

-L

Í-

HÓ

(v) C ác công th ứ c tổ n g

A

10

00

B

= 1

= 1

N

= 1

g:

TR Ầ

= 1

NG

= 1

ĐÀ N

C h ứ n g m in h . Liên tiếp áp dụng đồng nhất thức Pascal, ta nhận được fn + k + l \ _

V

- V

k )

f n + k\

\k-ĩ)

/ n + k \ í n + k — 1\ V k j + \ Jfe ‐ 1 ) +

DI Ễ

N

k )

f n + k\

_

í n + k —1 \ \ k‐ 2 )

/'n + k \ in + k - l \ in + k - 2 \ _L { k ) + \ k ~ l ) + \ k - 2 ) + '" W

'

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

NH ƠN

Chuơng 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản

44

Tương tự, để nhận được công thức tổng thứ hai, ta cũng-.liên tiếp áp dụng đồng nhất thức Pascal như sau: n + fc + l n —1 k+ĩ

n

+|V |+

n —1

'n ■U

ri k

N

HƯ

NG

ĐẠ O

k+2 k+1 k+1 + Ả: k+1 k k A: + 1 + k+1 fc + 1 k + k

TP .Q UY

n+ 1 k+ 1

TR Ầ

Đằng thức cuối cùng có được do

= 0.

I n ì oĩư'

B

Tiếp tục, trong khai triển (a + ò)" = 1= 0

\* .

ta thay a =

HÓ

A

10

00

□ 1, 6 = 1 và nhận được công thức tổng thứ ba. n fn \ Công thức khai triển (a + 6)" = ( - I albn~l không những đúng i=0 \®/ cho các số nguyên kảsông âia a~và b, m à còn đúng trong tình huống tổng quát hơn được chứng minh trong định lý sau đây.

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

Đ in h lý 1.3 (C ông th ứ c n h i th ứ c ). Giả sử X và y là hai phần tử bất kỳ của một vành giao hoán K có đơn vị 1 và n là một số nguyên duơng. Khi đó (x + y)n = ỵ , ( f ) ). x' y n . i=0 v J

C h ứ n g m in h . Ta chứng minh công thức trên bằng qui nạp theo n. Với n = 1, công thức trên là hiển nhiên đúng. Giả sử công thức trên đã được chứng minh là "đúng cho n = k. Khi đó .k (x + y ) k + 1 = (X. + y)k(x + y ) = )x h / ' ^ (:X + y) k—i+1

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

1.4. Một vài ứng dụng

45

NH ƠN

k- 1

TP .Q UY

x k + 1 + ]P -

ĐẠ O

x i+y - i +

NG

Do có đồng nhất thức Pascal , ta có

HƯ

vậy, ta có thể tiếp tục các đằng thức trên và nhận được:

'

00

i=0 v

□

B

TR Ầ

N

(x + y ) k + 1

HÓ

A

10

Với K là trường số thực R, X = — 1, 2/ = 1, từ công thức nhị thức của Định lý 1.3 ta nhận được công thức tổng sau:

»“ G K M

3 - © + -"+ < - < ) +/ " +(- i r C:)-

-L

Í-

Công thức tổng này nói lên rằng trong một tập hữu hạn bất kỳ, số các tập con lực lượng chẵn bằng số cặc tập con lực lượng lẻ.

ĐÀ N

TO ÁN

Trong trường hợp vành K là R, công thức nhị thức có thể tổng quát hoá cho (x iỊr y)a với a là một số thực bất kỳ. Vì công thức nhị thức hiển nhiên là đúng cho trường hợp X = 0 hoặc y — 0 nên ta có thể giả thiết rằng X / 0, y Ỷ 0- Khi đó (X + y)ự = x a ^1 + —^ và ta có thể qui việc khai triểa.'(ầ.4- y)“ về việc kh.ai triển ^1 + - ^ . Ta có

DI Ễ

N

định lý sau đây. Đinh lý 1.4. Giả sử t € R thoả mãn |í| < 1 và a € R là một số thục bất kỳ. Khi đó \ .. CO a (a - 1) - ■• (ạ - m + !)• m (i+i)“ = i + x ; m!

m=1

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Chuơng 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản

46

NH ƠN

Ta không chứng minh Định lý này ờ đây. Đọc giả quan tâm tới chứng minh của Định lý trên có thể tìm thấy chứng minh này trong các giáo trình về giải tích toán học.

thức và được ký hiệu là

'

-

\

a ( a - l ) ( a - 2 )...(a -m + ĩ), I

____ .

, UV/U

a)Ị ì 1,=nẻu ,mm!=; 0, m

ĐẠ O

(a)m

. Như vậy

TP .Q UY

Số a ( a —l) ( a —2) . . . ( o i —m + l)tthường được ký hiệu là (a )m. Các hệ số của lũy thừa của t trong'chuỗi ở trên cũng được gọi là hệ số nhị

MV

HƯ

NG

(o, nếu m là số nguyên âm.

B

TR Ầ

N

Bằng cách cân bằng hệ số của tm trong hai vế của đẳng thức (1 + t)a = (1 + í )Q_1 + í( l + í )“ ‐1 ta nhận được hệ thức

10

00

Hệ thức này là một tổng quát hoá của đồng nhất thức Pascal cho a là một số thực bất kỳ.

-L

Í-

HÓ

A

Tương tự, bằng cách cân bằng hệ số của tm trong hai vế của đẳng thức (1 + t)a+ỊÌ = (1 + í)“ (l + 1 )0 , ta nhận được hệ thức

TO ÁN

Hệ thức này là tổng quát hoá của đồng nhất thức Vandermònde cho a và /3 là các số thực bất kỳ.

ĐÀ N

Công thức nhị thức có thề tổng quát hoá lên thành công thức đa thức. ■

DI Ễ

N

Đ ịn h lý 1.5 (C ông th ứ c đ a th ứ c ). Giả sử X I , X 2 , ■■. , X m là các phần tứ bất kỳ của một vành giao hoán K có đơn vị 1 v à n là một số nguyên duơng. Khi đó

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

1.5. Nguyên lý Dirichlet và bài toán tồn tại

(xi + x 2 + ---+ X k )n =

((xi + ■■■+ Xh-l) + x kk)) n + Xk-l) + X

= Ế ( f j ( x i + - - - + x k- 1ý x r . i~ 0 ' S Ạ

(z H -----+ aĩfe_i)’ =

*lj*2>• • • )*fc-1

1>0

*1^0,-..

NG

nH— Hfc_i=i

£

~**-l *** •

• ■

x k-l

x k

00

B

TR Ầ

íl -I-----i-2í. 1 =7

V í 1* ? -

N

£ ( ? ) [

== n —i ta được

HƯ

Thay công thức này vào công thức trên và đặt ( * i + - + * * ) n -=

ĐẠ O

Theo giả thiết qui nạp, ta có

TP .Q UY

C h ứ n g m in h . Ta chứng minh công thức đa thức bằng qui nạp theo TO. Với m = 2, công thức đa thức đúng vì khi đó nó trỏ- thành công' thức nhị thức. Giả sử công thức đã được chứng minh cho m = k — 1. Khi đó theo công thức nhị thức, ta có

NH ƠN

47

(

ìíc ị1^ 2 •••Zfc-

□

A

10

y

-L

Í-

HÓ

n Vì Số các hoán vị có lặp Ị . . . I xuất hiện với tư cách là hệ V I, *2i • • ■1i-m) số của X1 X2 ■■. Zto trong công thức đa thức nên nó cũng được gọi là hệ số đa thức.

E

Ị^ m >0 v ^ ÌĨ4--- him” 71

n ) - . w

m

N guyên lý D irichlet và bài toán tồn tai

DI Ễ

N

1.5

ĐÀ N

TO ÁN

Nếu trong công tliức đa thức ta thay Xi = 1, X 2 — 1, • • • , x m = 1 thì ta nhận được công thức tổng cho các hệ số đa thức sau:

Trong các bài toán đếm, bài toán ìiệt kê cũng như bài toán tối ưu tổ hợp, sự tồn tại của các cấu hình tổ hợp là hiển nhiên và công việc chính

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Chương 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản

48

TP .Q UY

NH ƠN

của chúng ta là đếm, là liệt kê các cấu hình hay tìm một cấu hình tối ưu nhất. Tuy nhiên, trong rất nhiều bài toán tổ hợp, việc chỉ ra sự tồn tại của cấu hình dạng nêu trong bài toán là hết sức khó khăn. Chằng hạn, trong Ví dụ 1.10 c ấ u hình tổ hợp là cách xếp 2n vật vào n X n giao điểm của lưới sao cho không- cỏ"bal vật nào thẳng hàng. Việc tồn tại của các cấu hình như thế đến nay người ta mới biết cho những n < 15.

ĐẠ O

Để giải quyết các bài toán tồn tại, nguyên lý sau đây, được gọi là nguyên lý Dirichlet hay cũng gọi là nguyên lý chuồng bồ câu, tỏ ra rất có hữu ích. N g u y ê n lý D ỉrich let (N g u y ê n lý ch uồn g b ồ câu)

TR Ầ

N

HƯ

NG

Giả sử n và k là các số nguyên duơng. Khi đó, nếu ta xếp ụ vật vào k cái hộp thì bao giờ ta củng tỉm đuợc ít nhất một hộp chứa không ít r72*-Ị r7i"i hơn vât đó, à đây -p là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoăc bằng k ' n 3 0 k-

00

B

C h ứ n g m in h . Dễ thấy rằng — < J- + 1. Do đó, nếu không có hộp K rC nào trong số k hộp đó chứa không ít hơn ị"^~Ị vật, thì

□

HÓ

Mâu thuẫn.

A

10

71- * (riì - 1) < * ( * + 1 -

TO ÁN

-L

Í-

V í d ụ 1.19. Bài toán: Trong mặt phằng cho 6 điểm khác nhau. Ta nối các điểm này với nhau từng đôi một bằng các cung màu xanh hoặc màu đỏ một cách ngẫu nhiên. Chứng minh rằng ta luôn tìm được 3 điểm sao cho các cung nối chúng có cùng một màu. (Ta nói rằng 3 điềm đó tạo thành tam giác cùng màu xanh hoặc đ ỏ ).:

DI Ễ

N

ĐÀ N

Gi^i. Giả sử 6 điềm đã cho là Po, P i,P 2, Pzì Pi, p$- Xét 5 cung nối Po

với các điềm còn lại là Pi, P 2 , P3, Pi, P*,- Vì các cung đó chỉ có thể là r 5' xanh hoặc đồ, nên thẹo nguyên lý Dirichlet có ít nhất - = 3 cung

trong số 5 cung đó có cùng một màu, chằng hạn màu xanh,.. Không làm mất tộih tổng quát ta có thể giả thiết rằng các cung Po-Pii -P0-P2, P0 P3 là màu xanh. Nếu một trong 3 cung P 1 P2 , P 1 P3 , P 2 P3 có một cung màu xanh, thì nó cùng với hai trong ba cung PqPi, P0P2 và PqP's tạo thành các “cạnh” cùng màu xanh của một “tam giác” . Trong trường hợp ngược lại, các cung nối các điểm Pi, P2 , P3 với nhau có cùng màu đỏ. □ WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

1.5. Nguyên lý Dirichlet và bài toán tồn tại Nguyên lý Dirichlet có thể được mờ rộng như sau.

NH ƠN

49

N g u y ên lý D ir ic h le t m ở’ rộng (N g u y ê n lý chu ồng b ồ câu m ở rông)

ĐẠ O

TP .Q UY

Giả sử A ị , A 2 , . . . ,Ak là các tập con của một tập hữu hạn s sao cho mỗi phần tử của s chứa trong ít nhất t tập con Aị. Khi đó, trung í|Sị bình công của Ij4iị, |j42|, • ■. , \Ak\ ít nhất bằng - 7—. K C h ứ n g m in h . Giả sử p là tập tấ t cả các cặp (s, Ai) với s £ Aị. Ta đếm số-phần từ của p bằng haị cách. Một mặt,

Ip ỉ =

£

E

k

m

)

^:

h

£ | { i € {1,2,... ,fc} I s e Ai}\ ses

N

=

ỉ s ễ

HƯ

Í= 1 s € S

NG

k___

TR Ầ

> J > = ẾI5 Ises

00

B

Mặt khác,

e

TO ÁN

-L

Í-

HÓ

A

10

1^1 =

Ề

k (s >^) ỉ s ễ

=

£ i { s | se A i}\ i= 1

=

í> li= 1

^> ỉ

ĐÀ N

Từ hai kết quả trên suy ra k

Ei^ỉr^ i=1

DI Ễ

N

Vì vậy trung bình cộng của |j4j|, ỊAỉị, •

ít nhất bằng

t\s\

„

n

Nguyên lý Dirichlet nhận được từ nguyên lý Dirichlet mỏr rộng khi í = 1. Từ chứng minh của nguyên lý Dirichlet mồ rộng ta cũng thậy ngay rằng nếu mỗi s € s chứa đúng trong t tập COĨ1 Ai, i = 1, 2, , . . ,k, thì trung bình cộng của \A i\,\A 2\, ... ,\Ak\ bằng

. Áp dụng nguyên

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Chương 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản

50

NH ƠN

lý Dirichlet mờ rộng ta có thể chứng minh được sự tồn tại của nhiều cấu hình tổ hợp khác nhau.

TP .Q UY

V í d u 1.20. Bài toán: Ở trên một vòng tròn có 12 vị trí là vị trí 1, vị trí 2, ... , vị trí 12 nối tiếp nhau theơ cỂiều quay của kim đồng hô theo đúng thứ tự kể trên. Ta đặt các số 1, 2, . .. , 12 lên 12 vị trí đó một cách ngẫu nhiên. Chứng minh rằng ta luôn tìm được ba số liền nhau trong cách xếp đó sao cho tổng của chúng lợn hơn hoặc bằng 20.

HƯ

NG

ĐẠ O

G iải. Giả sử số được xếp vấo vị trí i là dị. Khi đó ta đặt a,i quả bóng vào vị trí i và ký hiệu Ai là tập tất cả các quả bóng ờ vị tri i, i + 1 và i + 2, ở đây i,ỉ + l , i + 2 được lấy theo modulo 12. Ta cũng ký hiệu s = A \ u A%u .. . u A ị 2 - Khi đó Aị C s và mỗi s e S chứa đúng trong 3 tập con Aị. Vì vậy, theo nguyên lý Dirichlet mờ rộng, trung bình cộng của |t4 i|,\A 2 \ , , \ A12\ bằng

TR Ầ

N

•Mặt khác, ta có

= 78.

00

B

|S| = 1 + 2 + 3 + ■• • + 12 =

3 78

= 19,5. Suy

10

Vì vậy, trung bình cộng của |Ai|, 1^ 2!,... , 1^ 12! bằng

Í-

HÓ

A

ra, tồn tại Ai sao cho \Aị\ > 20, tức là tồn tại ba số liên tiếp trong cách xếp các số 1, 2, . . . ,12 lên vòng tròn sao cho tổng của chúng lớn hơn hoặc bằng 20. □

TO ÁN

-L

B ài tâp Chương 1

ĐÀ N

1.1 Một nhóm sinh viên gồm n nam và n nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tấ t cả sinh viên của nhóm đó thành một hàng sao cho nam nữ đúng xen nhau? h ị I) /

DI Ễ

N

1.2 Trong bảng chữ cái tiếng Anh có 21 phụ âm và 5 nguyên âm. Hồi có bao nhiêu xâu gồm 6 chữ thường chứa: (a) đúng một nguyên -âm? (b) đúng hai nguyên âm? (c) ít nhất một nguyên âm? (d) ít nhất hai nguyên âm? WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Bài tập Chương 1

51

NH ƠN

1.3 Một tổ bộ môn có 10 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một hội đồng gồm 6 uỷ viên, trong đó (a) số uỷ viên nam bằng số uỷ viên nữ?

TP .Q UY

(b) số uỷ viên nam ít hơn số uỷ viên nữ?

1.4 Có bao nhiêu xâu nhị phân chứa đúng tám số 0 và mười số 1 và ngay sau mỗi số 0 nhất thiết phải là số 1?

ĐẠ O

1.5 Có bao nhiêu xâu nhị phân chứa đúng năm số 0 và mười bốn số 1 và ngay sau mỗi số 0 nhất thiết phải là hai số 1 liên tiếp?

HƯ

NG

1.6 Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 10 chứa ít nhất ba số 0 và ít nhất ba số 1?

TR Ầ

N

1.7 Để làm biển đăng ký xe người ta sử dụng 26 chữ cái tiếng Anh £ từ A tới z và 10 chữ số từ 0 tới 91 Hỏi có bao nhiêu biền đăng ịQ ký xe chứa 3 chữ cái tiếp theo là 3 chữ số nếu mỗi chữ cái hoặc chữ số xuất hiện trong biển số không quá một lần?

Í-

(b) 12 chiếc túi?

HÓ

(a) 6 chiếc túi?

A

10

00

B

1.8 Trong một cửa hàng bán túi đựng hàng có các loại túi sau: loại đựng gạo, loại đựng trứng, loại đựng muối, loại đựng vừng, loại đựng hạt cải/ loại đựng nho, loại đựng đường và loại đựng bột mì. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mua:

-L

(c) 24 chiếc túi?

TO ÁN

(d) 12 chiếc túi sao cho mỗi loại có ít nhất một chiếc? (e) 12 chiếc túi sao cho ít nhất có 3 chiếc là loại đựng trứng và không quá 2 chiếc là loại đựng muối?

DI Ễ

N

ĐÀ N

1.9 Trong một két đựng tiền có những tờ 1 nghìn, 2 nghìn, 5 nghìn, 10 nghìn, 20 nghìn, 50 nghìn và 100 nghìn. Hơn thế nĩra, mỗi loại tiền đó có ít nhất 5 tờ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ két đựng tiền đó nếu các tờ tiền cùng loại là không phân biệt và thứ tự mà các tờ tiền được chọn ra là không quan trọng?

1.10 Phương trình Xỵ + X2 + Xz = 11 có bao nhiêu pghiệm nguyên không âm? ^

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

u

. Chuơng 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản

52

NH ƠN

1.11 Một nhà xuất bản có 3000 bản giống hệt nhau của một cuốn sách _ 5**I toán học rời rạc. Hỏi có bao nhiêu cách cất chúng vào 3 kho ỈƠOD"! khác nhau?

(a)

TP .Q UY

1.12 Phương trình Xi + X2 + X;ị.+ Xa M- X5 = 21 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm sao cho 1?

XX >

(c) 0 < XI < 10? (d) 0 < X\ < 3, 1 < X2 < 4 và £3 > 15?

ĐẠ O

(b) Xi > 2 cho mọi i = 1,2,3,4,5?

HƯ

NG

1.13 Bất đẳng thức Xi + X2 + X3 < 11 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?

TR Ầ

N

1.14 Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1 000 000 có tổng các chữ số của nó bằng 19? ■

B

1.15 Chứng minh rằng số cách xếp n đồ vật khác nhau vào trong ^ k hộp khác nhau sao cho có ĩii vật được xếp vào hộp thứ i với = 1, 2,. .. , k bằng I n \ n i , n 2ì... , n kJ

), ờ đây 711+712 + .. .+Uk = n.

10

00

i

HÓ

A

1.16 Có bao nhiêu cách phân phối năm đồ vật khác nhau vào ba hộp giống nhau?

Í-

1.17 Có bao nhiêu cách phân phối năm đồ vật giống nhau vào ba hộp giống nhau?

m n = y^5(n,fc)(m )fc.

fc=o

ĐÀ N

TO ÁN

-L

1.18 Tìm các số 5(5, k) cho k = 0, i., 2,3,4,5 bằng cách đếm trực tiếp các phân hoạch và bằng cách sử dụng đồng nhất thức

DI Ễ

N

1.19 (*) Bằng cách đếm số!'các hàm từ tập lực lượng n vào tập lực lượng m + 1 bằng hai cách, hãy chứng minh đồng nhất thức (m + l r =

1.20 Xét tích (a2 + ò3 + c4)10. Hãy tìm các hệ số của a4ò6c24, a6ò12c12 và a 12ò9c . - . .. . WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Bài tập Chương 1

53

Ảỵ

u . . . u Áp\

'

(ii) Ai n Ạj = 0 nếu i Ỷ j-

TP .Q UY

(i) N =

NH ƠN

1.21 (*) Một cách chia tập N' thành p khối là một bộ có thứ tự gồm 'p , A p) của N, trong đó một số tập con có thể tập con (Ai, Ậ 2 , là tập rỗng, thoả mãn các điều kiện sau:

NG

ĐẠ O

Chứng minh rằng số các cách chia (Ai, A%,... ,A P) của N với \N\ = n, \Ak\ = ik cho k = 1,2;... ,p, là hệ số đa thức

HƯ

1.22 (*) Chứng minh rằng

k\s(n, k) = S2 (■ - n

•V

N

t—' \ Ì l , Ĩ 2 , . . . ,ik j

00

10

1.23 Chứng minh rằng

B

TR Ầ

ờ đây tổng được lấy theo tấ t cả các bộ có thứ tự (ii,Ì 2 , - ■■, ik) gồm k thành phần là các số nguyên dương sao cho i\ + Ì 2 + ■■• + ik = n. ■

= n (^ k

v k biểu diễn được qua k ổố ữj trước nó. VI thế, phép truy toán được gọi là có bậc bằng k.

HÓ

A

10

V í d ụ 2.2. Xét F(x) — Fo + F\X + F2 X2 + F3 X3 -ị---- với F0 — 0, Fi = 1 và Fn = Fn‐ 1 + Fn - 2 với mọi n >2. Khi đó F(x) thoả mãn phép truy toán tuyến tính thuần nhất bậc 2 với hệ thức truy hồi Fn—Fn- 1 —Fn _ 2 = 0 cho mọi n > 2.

-L

Í-

Số Fj nói trên được gọi là số Fibonacci thứ j . 00

Ta nói rằng a(x) =

TO ÁN

□

j=

0

aj x^ s C N hay dãy số ao, ai, a.2. . . . thoả mãn

DI Ễ

N

ĐÀ N

một phép truy toán tuyến tính không thuần nhất bậc k nếu tồn tại các hằng số Co, Ci,. . . , Ck € và hàm g : N sao cho với mọi n > k ta có

c

c

k

^ j= 0

+ g(n) = 0.

Đẳng thức trong định nghĩa trên cũng được gọi là hệ thức truy hồi cho phép truy toán tuyến tính không thuần nhất. V í d ụ 2.3. Xét a(x) = Ỵ2 ữj xi , ờ đây ãj = j=0

k 2 cho mọi j e N. Khi A:=0

đó a(x) thoả mãn phép truy toán tuyến tính không thuần nhất bậc 1

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

2.1. Các kiến thức hỗ trợ .

81

NH ƠN

với hệ thức truy hồi an — an‐ 1 — r ĩ — 0 cho mọi n > 1. (& = 1, c0 = l , C i = - l , 5 ( n ) . = - n 2 .)

□

TP .Q UY

Phép truy toán mà không là tuyến tính thuần nhất và cũng không là tuyến tính không thuần nhất được gọi là phép truy toán không tuyến oo

aj xl hay dãy số ao, ai, 0 ,2 , ■. ■ thoả mãn phép t.ruy j =0 toán không tuyến tính / bậc k, tức là

ĐẠ O

tính. Nếu a{x) =

f ( n , ao, a i , . . . , an, 0, 0, . . . ) = 0

HƯ

NG

cho mọi n > k, thì đằng thức này cũng được gọi là hệ thức truy hồi cho 7 -

TR Ầ

N

V í d u 2.4. Ta định nghĩa số Catalan thứ n, ký hiệu là Cn, là số cách chèn n cặp ngoặc tròn vào tích X \ X 2 . . . x n+1 của n + 1 số sao cho mỗi . lần nhân chỉ có đúng hai thừa số. Chẳng hạn, ta có các cách chèn các cặp ngoặc tròn sau đây vào tích X 1 X 2 X 3 X 4 : X i

) ,

( ( x 2x 3 ) x 4 ) ) .

00

{ { x i { x 2x z ) ) X i ) , ( x i

D ễ t h ấ y r ằ n g , Ci =

10

N h ư v ậ y , C3 = '5 .

( ( ( £ 1 2 :2 ) 0:3 )

B

{ x 1 ( x 2 ( x 3 x 4 ) ) ) , ( ( x 1x 2 ) ( x 3 x 4 ) ) ,

C2 =

2.

Đ ể c h o tiệ n sử

1.

A

d ụ n g , t a đ ịn h n g h ĩ a Co =

1,

TO ÁN

-L

Í-

HÓ

Ta nhận xét rằng mỗi cách chèn n cặp ngoặc tròn vào tích X1X2 ... .Tn+1 của n + 1 số chứa một cặp ngoặc ngoài cùng.mà thực hiện phép nhân tích c ủ a fc + l s ố đ ầ u X1X2 ■■■Xk+1 với t íc h c ủ a n —k s ố s a u Xfc+ 2#fc+ 3 . . . Xn + 1, ồ đây k có thể là 0 ,1, . . . , n —1. Số cách chèn các cặp ngoặc tròn vào t íc h X\X2 ■. -Xk+1 là Ck, c ò n s ố c á c h c h è n c á c c ặ p n g o ặ c t r ò n v à o t íc h Xk+2Xk+ 3 • --Xn+1 là Cn-k- 1- V ì v ậ y t a n h ậ n đ ư ợ c Cn =

CQCn-1

+

C ịC n -2

+

C ìC n -S

+ • • • + C n - lC o -

□

DI Ễ

N

ĐÀ N

Đây là hệ thức truy hồi không tuyến tính.

Các kết quả dưới đây cho phép ta tìm lời giải của một số phép truy toán tuyến tính thuần nhất. Đ ịn h lý

2 . 17 . Giả sứ x k

—

C l, C2 , . . ■ , Cfc e C ix k

1 — C 2X

k

C là các số sao cho phuơng trình 2 — • • ■ — Cfc = 0

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Chương 2. Các phương pháp đếm dùng hàm sinh

82

00

C2Ũ.TI—2

C\CLn —\

^k^"n~k

~ĩ ' ' *

cho mọi n >

—

0

k khi và chi khi a-n — otir™ + ữ2^2 + • • ■+ OikXk

à đây a i , ữ 2 , . .. ,Oik là nghiệmcủa hệ phương

ĐẠ O

cho mọi n = 0, 1, 2, , trình tuyến tính

TP .Q UY

ăn

NH ƠN

có k nghiệm phân biệt r i , r 2, - • • ,ĩ’k- Khi đó a(x) — ]T) a,jxi là một lời j =0 của p/iép truy toán tuyến tính thuần nhất bậc k với hệthức truy hồi

HƯ

^Xk'-ak-

N

íx i + T 2 lX2 -\-------h

NG

X ị + X 2 -\-------b x k = ao, n x i + r 2 x 2 -ị-----+ rkx k = ai,

TR Ầ

N h ậ n x é t. Hệ phương trình tuyến tính trên có định thức

10

jfc‐1 *1

00

D =

1 7*2 „2 2

B

1 n rị2

•

2

1 Tk 2 rk n.k- 1 rk

Í-

HÓ

A

Định thức này là định thức Vandermonde và được tính theo công thức D = ỊJ (ri - rẳ). 'ỉ>j

TO ÁN

-L

Vì r j , r 2, . .. , là các số đôi một khác nhau, nên -D 7= 0. Do đó hệ phương trình tuyến tính trên là hệ Cramer. Vì thế nó luôn có duy nhất m ộ t n g h i ệ m C*1 , » 2 , . . - ,

OLỵ.

ĐÀ N

C h ứ n g m in h . Giả sử an = a\r'i -t+ • • • + Q-ki'k cho mọi n = 0 , 1, 2, . . . , ờ đây O í ị Jo ? 2 j ... , a / Ị là nghiệm của phương trình tuyến tính nói trên. Khi đó, với n > k, ta có

DI Ễ

N

o-n -

=

C i d n - I -------------CkCLn - k = ( a i r " ^-----------b ock r l ) -

C i(a ir " _1 +

■■■■+

2

C1&71—1

^2^71—2 = 0

khi và chỉ khi a„ = airỊỊ + a 2(n - 1 )7*0

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

của phép truy toán tuyến tính thuần nhất bậc 2 với hệ thức truy hồi

1

cho

m ọ i n

.. ÍX

=

0 , 1, 2 , . . . ,

ĩ ớ

đ a y Oil

=

ro

v à

0.2

CL\ — ữo^o

= ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ .

r0

C h ứ n g m in h . Giả. sử a „ = a i r Q + «2(71 — 1)7*0 ch ° m