[Luiz Eloy (Auth.)] Método Dos Elementos Finitos

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ANÁLISE DE ESTRUTURAS

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Luiz Eloy Vaz

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ANÁLISE DE ESTRUTURAS

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ISBN 978-85-352-3929-4

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CIP-Brasil. Catalogação-na-fonte Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ V495m 

Vaz, Luiz Eloy 0  pWRGRGRVHOHPHQWRVÀQLWRVHPDQiOLVHGHHVWUXWXUDV Luiz Eloy Vaz. – Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. ,QFOXLELEOLRJUDÀD ISBN 978-85-352-3929-4 0pWRGRGRVHOHPHQWRVÀQLWRV 2. Teoria das estruturas.

10-5751

CDD: 620.0015 CDU: 62

Agradecimentos

Aos meus pais, Milton e Alice, pelo amor e carinho. A eles, o meu reconhecimento pelo exemplo, pela firme orientação e por não terem poupado esforços para me proporcionar uma boa formação. À minha esposa Regina, engenheira como eu, que em importantes momentos da minha vida profissional não hesitou em sacrificar temporariamente seus estudos e sua carreira para me acompanhar no doutorado na Alemanha e no pós-doutorado no País de Gales. Sem sua generosidade e apoio este livro não existiria. A ela, minha gratidão e amor. Aos meus mestres da graduação e pós-graduação. Na graduação da UFRJ, mestres como os professores José Luiz Cardoso, Ignacio de Loyola Benedicto Ottoni e Benjamin Ernani Dias despertaram meu interesse pela análise e pelo projeto de estruturas. No mestrado da Coppe/UFRJ, os professores Fernando Luis Lobo Carneiro e Fernando Venâncio Filho aguçaram meu interesse pela pesquisa. Meu agradecimento especial ao professor Venâncio que me iniciou no Método dos Elementos Finitos e abriu meus olhos para a sua enorme potencialidade. Aos professores José Oliveira Pedro, John Argyris e Ernest Hinton, que me receberam, respectivamente, para um estágio no Laboratório Nacional de Engenharia Civil de Lisboa, para o doutorado na Universidade de Stuttgart e para o pós-doutorado na Universidade de Wales em Swansea, minha profunda gratidão. Eles foram fundamentais para o meu amadurecimento acadêmico. Um especial carinho eu guardo pelo professor Kaspar Willam, da Universidade de Stuttgart, pela dedicada orientação e apoio durante a minha tese de doutorado. Hoje, o professor Kaspar Willam é professor na Universidade de Boulder, no Colorado. Aos meus colegas e parceiros em co-orientações e projetos de pesquisa. Devido à variedade dos temas de meu interesse e por ter trabalhado em três importantes universidades, como a PUC-RJ, a UFRJ e a UFF, eles são numerosos e de perfil diversificado. Não posso deixar de citar os professores Eurípedes do Amaral Vargas Jr., Luiz Fernando

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Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Martha, Marta de Sousa Lima Velasco e Giuseppe Guimarães Barbosa, da PUC-Rio, os professores Sergio Hampshire, Claudia Eboli e José Herskovits, da UFRJ, a professora Silvana Maria Bastos Afonso, da UFPE, e, mais recentemente, o Professor Emil Sanches, da UFF. Eles ajudaram a ampliar meus horizontes ao despertar meu interesse por novos temas de pesquisa. Ao Ivan Menezes, coordenador de projetos do Tecgraf PUC-Rio e meu ex-orientando de mestrado. Sua cuidadosa leitura dos manuscritos e valiosas sugestões o tornam praticamente um coautor do livro. Ao Paul Antezana, pela competente colaboração na edição do texto. Aos meus alunos de graduação e pós-graduação e meus orientandos de mestrado e doutorado. Eles foram o grande incentivo para meu contínuo aprendizado e crescimento acadêmico. Suas dúvidas e questionamentos me forçaram a compreender os conceitos com mais profundidade e clareza e a procurar um aperfeiçoamento didático. A todos os referidos e a muitos outros que não foram citados, meu sincero “muito obrigado”. Espero que este livro esteja à altura da valiosa contribuição de todos. À editora Elsevier, especialmente a André Gerhard Wolff e Vanessa Vilas Bôas Huguenin, pela confiança depositada no meu trabalho e pela oportunidade de publicar esta obra.

Prefácio

Este livro surgiu das notas de aulas que preparei para a disciplina Método dos Elementos Finitos que vem sendo ministrada por mim há cerca de 10 anos para alunos de graduação da especialidade de estruturas do curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica da UFRJ. Ao ser indicado para lecionar a disciplina me deparei com a dificuldade de escolher um livro-texto. Os materiais disponíveis propunham-se a ser uma excelente fonte de consulta para quem já conhecia o método, mas não uma ferramenta para iniciar um aluno de Engenharia que se interessasse pelo tema. Algumas vezes, eles usavam conhecimentos matemáticos que não eram do domínio dos alunos de graduação — como cálculo variacional — para apresentar o tema; outras vezes, por serem muito extensos e detalhados, dificultavam a compreensão da essência do método. Esta obra tem a intenção de fornecer ao leitor, seja ele um aluno de graduação, de pós-graduação ou um engenheiro em um primeiro contato com o assunto, um texto compreensível para aqueles que tiveram uma formação básica na área de análise de estruturas. Por formação básica nessa área considero conhecimentos em análise de estruturas hiperestáticas, resistência dos materiais e fundamentos da teoria da elasticidade. Alguns conhecimentos matemáticos que são tratados nos cursos básicos de Engenharia, mas, em geral, não com a profundidade necessária ao estudo do método, como integração numérica, são revistos no início do livro. Estou convencido de que a vasta difusão do uso de computadores nos projetos de Engenharia e a grande disponibilidade de programas comerciais para análise de estruturas pelo Método dos Elementos Finitos tornam o ensino do método nos cursos de graduação indispensável. Este livro pretende ser uma estrada menos sinuosa e íngreme para todos aqueles que pretendam entrar no universo dos elementos finitos.

CAPÍTULO

1

Introdução

O Método dos Elementos Finitos (MEF) para a análise de estruturas ganhou projeção internacional a partir de meados dos anos cinquenta do século XX com os trabalhos independentes e quase simultâneos do professor John Argyris, que trabalhava no Imperial College em Londres, e de um grupo de engenheiros da Boeing liderados pelo professor Ray W. Clough. No entanto, um trabalho sobre o problema de torção de Saint-Venant do matemático alemão Richard Courant, publicado em 1943, é considerado até hoje o pioneiro do método. Na época em que foi publicado, esse trabalho não teve, todavia, grande repercussão. Talvez esse fato possa ser atribuído ao pouco apelo dos métodos numéricos em um momento em que a indústria de computadores estava em fase embrionária. Não se pode, contudo, falar do desenvolvimento e da divulgação do método sem citar o prof. O. C. Zienkiewicz que trabalhou desde 1961 no campus de Swansea da Universidade do País de Gales, no Reino Unido. Seu livro publicado em 1967, intitulado “The Finite Element Methods for Engineering” ficou conhecido no meio acadêmico como “The Book”. O livro criou uma legião de seguidores do método em todo o mundo. No Brasil, a primeira tese sobre o MEF foi defendida na Coppe-UFRJ, em 1970. Ela foi apresentada pelo engenheiro Alcebíades Vasconcelos e foi desenvolvida em parte no Laboratório de Engenharia Civil de Lisboa. Alcebíades desenvolveu um programa para a análise de estruturas de estado plano com o uso do elemento triangular CST, resolveu alguns problemas a cuja solução se chega por meio da Teoria da Elasticidade e comparou os resultados obtidos pelo programa com os fornecidos pela Teoria da Elasticidade. O primeiro curso sobre o método foi ministrado também na Coppe-UFRJ pelo professor Fernando Venâncio Filho em 1971. O MEF foi um desenvolvimento natural da formulação em deslocamentos da análise matricial de estruturas reticuladas impulsionado pelo crescimento do uso de computa-

2

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

dores nas universidades, centros de pesquisa e na grande indústria. A semelhança entre os dois métodos consiste no uso comum dos conceitos de matriz de rigidez de elemento, montagem (assembly, em inglês) da matriz de rigidez da estrutura a partir da contribuição das matrizes de rigidez dos elementos e do conceito de cargas equivalentes nodais. O MEF distingue-se do seu precursor pela sua maior generalidade e por suas raízes nos métodos de energia e nos métodos aproximados. A análise matricial de estruturas reticuladas sistematizou o método clássico dos deslocamentos e unificou a metodologia para a análise de diferentes tipos de estruturas reticuladas, tais como treliças planas e espaciais, vigas e grelhas e pórticos planos e espaciais. O MEF, porém, foi bem mais além, ele pode ser usado para se formular tanto problemas de análise de estruturas reticuladas, como também de estruturas contínuas bi e tridimensionais. Sua generalidade não parou por aí, sua aplicação, que se iniciou em análise estática de estruturas de comportamento linear elástico, foi estendida à análise estática de estruturas com não linearidade física e geométrica e à análise dinâmica de estruturas. Ele também saiu da esfera da análise de estruturas e penetrou em outras áreas, como a engenharia geotécnica, a interação fluido-mecânica e as análises de fluxo térmico e hidráulico. Na área de análise de estruturas, a formulação do MEF pode ser feita a partir do Princípio da Mínima Energia Potencial Total, do Método de Resíduos Ponderados ou do Princípio dos Deslocamentos Virtuais. Ele usa os conceitos de “discretização” do contínuo e de “matriz de interpolação” que fornece os deslocamentos em um ponto no interior do elemento em função de seus deslocamentos nodais. O termo discretização se refere a um modelo com um número finito (discrete, em inglês) de incógnitas (deslocamentos nos nós do modelo) para a análise de meios contínuos em contraposição a uma análise com um número infinito de variáveis como as feitas pela Teoria da Elasticidade que usam funções contínuas, ou seja, com infinitas incógnitas como solução. Hoje em dia, existem inúmeros programas comerciais altamente sofisticados que fazem os mais diversos tipos de análise pelo Método dos Elementos Finitos, tais como o SAP, o Ansys, o Abaqus, o Nastran etc. No Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas da Escola Politécnica da UFRJ, está em desenvolvimento o sistema Salt sob a coordenação do professor Silvio de Souza Lima. O programa tem sido largamente utilizado na elaboração de diversos trabalhos de fim de curso de alunos do departamento. No Tecgraf, na PUC-Rio, há o sistema Mtool com gerador automático de malhas. Em minha opinião, a difusão do uso do MEF nas empresas e universidades tornou obrigatória a introdução de um curso sobre o método nas disciplinas de graduação em engenharias civil, mecânica, naval e aeronáutica. Este livro tem como objetivo servir de base para a disciplina “Introdução ao Método dos Elementos Finitos” que seria ministrada em um curso de graduação em Engenharia Civil na ênfase de Estruturas. O material é adequado para um curso de 16 semanas com 3 horas semanais. O Capítulo 2 faz uma revisão aprofundada de alguns fundamentos matemáticos já vistos no ciclo básico de Engenharia necessários ao longo do curso, como integração numérica. O Capítulo 3 mostra a evolução do Método dos Deslocamentos, desde as formulações clássicas para estruturas reticuladas até o MEF, visto como uma evolução do Método de Rayleigh-Ritz.

Capítulo 1

Introdução

3

O Capítulo 4 trata das formulações do método para a análise de estruturas planas, apresentando as formulações do elemento CST, de elementos das famílias Serendipity e de Lagrange. O Capítulo 5 apresenta formulações do método para análise de sólidos axissimétricos ou sólidos de revolução, mostrando as formulações de alguns elementos, como o Triangular de três nós e elementos da família Serendipity. O Capítulo 6 aborda formulações do método para análise de sólidos tridimensionais, desenvolvendo as formulações de alguns elementos, como o elemento tetraedro e o hexaedro. No Capítulo 7, são estudados elementos para a análise de placas à flexão, como o elemento retangular, baseado na Teoria de Kirchhoff, próprio para a análise de placas delgadas e os elementos da família Serendipity, baseados na Teoria de Mindlin e apropriados à análise de placas espessas. O Capítulo 8 trata do problema do cálculo do fator de carga crítica em estruturas. Formulações da matriz de rigidez geométrica são apresentadas para estruturas de pórticos planos e de placas, assim como exemplos numéricos. O Capítulo 9 contempla o estudo de análise dinâmica em estruturas. É apresentada a formulação para se obter as frequências e os modos próprios de estruturas em vibrações livres a partir da matriz de rigidez e da matriz de massa consistente para alguns elementos finitos. A obtenção da matriz de amortecimento também é tratada. Finalmente, são estudadas a análise modal e a análise por algoritmo de integração direta de Newmark de estruturas submetidas a vibrações forçadas. Exemplos referentes a todos os itens são apresentados. O Capítulo 10 aborda a análise de estruturas com comportamento não linear do material. O conceito de matriz de rigidez tangente é apresentado e um exemplo é resolvido com o uso do Método de Newton-Raphson. Espero com esse texto facilitar o aprendizado desse apaixonante e revolucionário tema que é o Método dos Elementos Finitos. Prof. Luiz Eloy Vaz Professor titular em Análise de Estruturas pela UFRJ até 2008 Professor adjunto da UFF a partir de 2009

CAPÍTULO

2

Fundamentos matemáticos

N

este capítulo, serão apresentados alguns tópicos da matemática utilizados na formulação do Método dos Elementos Finitos (MEF). Ao apresentar esses tópicos em um capítulo à parte nosso objetivo é enfatizar o fato de que esses tópicos não são inerentes ao método, são apenas ferramentas utilizadas pelo método. Eles já eram conhecidos há muito tempo antes do surgimento do método. A série de Taylor será aplicada em demonstrações, por exemplo, nos itens 3.4.3. e 10.3. As funções aproximadoras são a base dos métodos de integração numérica, que por sua vez é a ferramenta básica para o cálculo da matriz de rigidez e de massa, assim como do vetor KLJHYNHZLX\P]HSLU[LZUVKHPZKHTHPVYWHY[LKVZLSLTLU[VZÄUP[VZ

2.1 Aproximação de funções Este item demonstra como se obter funções aproximadoras de uma dada função. O MEF, como método numérico que fornece soluções aproximadas, utiliza algumas das funções aqui apresentadas para representar o campo de deslocamentos no interior do elemento. Além disso, essas funções são usadas para gerar os coeficientes dos métodos de integração numérica de Newton-Cotes e de Gauss, este último largamente utilizado pelo MEF.

2.1.1 Aproximação no entorno de um ponto x0 2.1.1.1 Aproximação por série de Taylor A aproximação de uma função f(x) de uma variável no entorno de um ponto x0 por série de Taylor é um recurso utilizado em diversas áreas da Matemática, da Física e da

Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos

5

Engenharia e será aqui apresentada para facilitar a compreensão de várias passagens matemáticas e demonstrações ao longo do texto. A série de Taylor será designada pela função s(x) e é definida pela seguinte expressão, s( x) = f ( x0 ) +

df ( x) dx

( x − x0 ) +

x= x 0

1 d 2 f ( x) 2 dx 2

x= x 0

( x − x0 )2 +;

(2.1)

A série foi truncada no termo dito de segunda ordem, assim chamado porque contém a derivada segunda de f (x). O termo genérico de ordem n seria: 1 d n f ( x) n! dx n

x= x 0

( x − x 0 )n ;

(2.2)

A aproximação é tanto melhor quanto mais próximo x estiver de x0 e quanto mais termos a série contiver. É possível observar as seguintes propriedades da função aproximadora s (x) no ponto x0. a) s( x0 ) = f ( x0 ); b)

c)

ds( x) dx

=

dx

dx

x= x 0

d 2 s( x) 2

df ( x)

= x= x 0

;

(2.3)

x= x 0

d 2 f ( x) dx 2

; x= x 0

E, assim, sucessivamente até o termo n, d)

d n s( x) dx n

= x= x 0

d n f ( x) dx n

; x= x 0

A generalização da série de Taylor para o caso em que a função f (x) é uma função de n variáveis contidas no vetor x com n elementos. A representação será truncada no elemento de segunda ordem. Neste caso, teríamos: s ( x ) = f ( x 0 ) + g ( x )tx=x ( x − x 0 ) + 21 ( x − x 0 )t H ( x )x=x ( x − x0 )2 ; 0

(2.4)

0

Onde g (x) é o vetor gradiente de f (x). O elemento g (x)i do vetor gradiente é obtido por: g ( x )i =

∂g ( x ) ∂xi

(2.5)

e H(x) é a matriz hessiana de f (x). O elemento H(x)ij da matriz hessiana é obtido por: H ( x)ij =

∂ 2 g (x) ∂xi ∂x j

(2.6)

6

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

2.1.1.2 Exemplo de aproximação de f(x) por série de Taylor Seja a função f (x) a uma variável dada a seguir a ser aproximada por série de Taylor no entorno do ponto x0 = p/4. A função será representada no domínio 0 ≤ x ≤ 1,5. f (x) = sin(x);

(2.7)

As derivadas de primeira, segunda e terceira ordem de f (x) são: df ( x) dx d 2 f ( x) dx 2 d 3 f ( x) dx 3

= cos( x);

(2.8)

= − sin( x);

(2.9)

= − cos( x);

(2.10)

As aproximações de f (x) por série de Taylor de primeira, segunda e terceira ordem no entorno de x0, aqui denominadas respectivamente s1(x), s2(x) e s3(x), podem ser obtidas fazendo-se uso das expressões (2.7) a (2.10) e da expressão geral definida em (2.1) e (2.2). S1 ( x) =

2 2

+

2 ⎛⎜ ␲⎞ ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎟⎠

(2.11)

2 ⎛⎜ ␲⎞ 2 ⎛⎜ ␲⎞ ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟− ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ ; S2 ( x) = + ⎟ 2 2 ⎝⎜ 4 ⎟⎠ 4 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 2

2

(2.12)

2 ⎛⎜ 2 ⎛⎜ 2 ⎛⎜ ␲⎞ ␲⎞ ␲⎞ ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ ; ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟− ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ − + S3 ( x) = 2 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎟⎠ 4 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 12 ⎜⎝ 4 ⎟⎟⎠ 2

2

3

(2.13)

As funções f (x), s1(x), s2(x) e s3(x), estão representadas na Figura 2.1 para efeito de comparação.

Figura 2.1 Função f (x) = sin (x) e suas aproximações s1(x), s2(x) e s3(x) no entorno de x = / 4.

Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos

7

2.1.1.3 Exemplo de aproximação de f(x, y) por série de Taylor Seja a função f (x, y) dada a seguir a ser aproximada por série de Taylor no entorno do ponto de coordenadas x0 = −0,5 e y0 = −0,5 . A função será representada no intervalo de −1 ≤ x ≤ 0 e −1 ≤ y ≤ 0. f (x, y) = (1−x2)(1−y2);

(2.14)

Essa função é denominada função bolha, pois, no domínio representado por um quadrado de lado 2 com centro na origem do sistema de coordenadas x y, ela é nula no contorno e positiva para pontos no interior com valor máximo de 1 no centro do quadrado. A Figura 2.2 esclarece.

Figura 2.2

Função f (x, y) = (1 − x2) (1 − y2).

O vetor gradiente g (x, y) e a matriz hessiana H(x, y) para a função f (x, y) dada estão indicados a seguir: ⎧ ⎪ ⎪ ∂f ( x , y ) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧−2 x(1 − y 2 )⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪; ⎪ g( x , y ) = ⎨ ⎬ ⎬ ⎨ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ f ( x , y ) − 2 1 − y ( x ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ y ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ H( x , y ) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

∂ ⎛⎜ ∂f ( x , y ) ⎞⎟⎟ ∂ ⎛⎜ ∂f ( x , y ) ⎞⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎟⎠ ∂x ⎝⎜ ∂y ⎟⎟⎠ ∂ ⎛⎜ ∂f ( x , y ) ⎞⎟⎟ ∂ ⎛⎜ ∂f ( x , y ) ⎞⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ∂y ⎝ ∂x ⎟⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎟⎠

⎤ ⎥ ⎥ ⎡ ⎥ ⎢ −2(1 − y 2 ) 4 xy ⎥=⎢ ⎥ ⎢ 4 2 xy y − (1 − x 2 ) ⎥ ⎣ ⎥ ⎥⎦

(2.15)

⎤ ⎥; ⎥ ⎥ ⎦

(2.16)

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Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

As aproximações de f (x, y) por série de Taylor de primeira e segunda ordem no entorno de (x0, y0), aqui denominadas respectivamente de s1(x,y) e s2(x,y), podem agora ser obtidas como no exemplo anterior. s1(x, y) = 1,3125 + 0,75x + 0,75y;

(2.17)

s2(x, y) = 1,1875 + 0,5x + 0,5y − 0,75x2 + xy − 0,75y2;

(2.18)

As figuras 2.3 e 2.4 mostram respectivamente as iso-curvas de f (x, y) e de s2 (x, y) com x e y variando de −1 a 0.

Figura 2.3

Isocurvas da função f (x, y) = (1 − x2) (1 − y2).

Figura 2.4

Isocurvas da função s2 (x, y) no entorno de x0 = −0.5 e y0 = −0.5.

Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos

9

2.1.2 Aproximação de funções no subdomínio a f x f b. Funções contínuas f (x) podem ser representadas por funções aproximadoras (x) em um dado intervalo a ≤ x ≤ b. Neste item, será mostrado como determinados polinômios, principalmente polinômios de Lagrange, podem ser usados para formar funções aproximadoras de f (x). 2.1.2.1 Aproximação de Vandermonde A aproximação de Vandermonde usa um polinômio completo do grau n para aproximar uma função qualquer f (x). Esse polinômio é dado por: (x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn;

(2.19)

Para que (x) seja uma função aproximadora de f (x), as duas funções devem ter o mesmo valor para os n + 1 pontos gerados xi no intervalo a ≤ x ≤ b, assim: (xi) = f(xi) = fi ;

i = 0, 1, …, n;

(2.20)

matricialmente, ⎡ ⎢ 1 x0 ⎢ ⎢ 1 x1 ⎢ ⎢  ⎢ ⎢ 1 x n ⎢⎣

⎤ ⎧ x02  x0n ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ 2 n x1 x1 ⎥ ⎪ ⎥ =⎪ ⎨   ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎪ xn2  xnn ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎩ ⎦ ⎪

⎫ ⎪ ⎧ a0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a1 ⎪ ⎪ ⎬= ⎪ ⎨ ⎪  ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ an ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎩

⎫ f0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f1 ⎪ ⎪ ⎬  ⎪ ⎪ ⎪ fn ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(2.21)

ou sucintamente, Va = f;

(2.22)

Que permite obter os coeficientes ai por: a = V−1 f;

(2.23)

onde, V é a matriz de Vandermonde, f o vetor com os valores da função f (x) e a o vetor dos coeficientes polinomiais. Portanto, esse procedimento para se obter os coeficientes ai de um polinômio de grau n que aproxima f (x) no intervalo a ≤ x ≤ b é denominado Método de Vandermonde. 2.1.2.2 Funções aproximadoras com uso de polinômios de Lagrange Dados n+1 pontos xi, i = 0,1,...n, em um intervalo a ≤ x ≤ b, é possível criar n+1 polinômios de Lagrange Li (x) de grau n, da forma: Li ( x) =

( x − x0 )( x − x1 )…( x − xi−1 )( x − xi+1 )…( x − xn ) ( xi − x0 )( xi − x1 )…( xi − xi−1 )( xi − x1+1 )i+1 ( xi − xn )

;

(2.24)

10

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Observe que: Li (xj ) = ij ;

(2.25)

Sendo ij o Delta de Dirac que vale 1 para i = j e 0 para i ≠ j. A representação gráfica de L4(x) é mostrada na Figura 2.5. A função é obtida para 7 valores de xi , nomeadamente, x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4 = 5, x5 = 6 e x6 = 7 o que fornece um polinômio do sexto grau que está representado no intervalo de 0 a 7.

Figura 2.5

Polinômio de Lagrange L4(x).

Polinômios de Lagrange podem ser usados para gerar funções aproximadoras de f (x). Observe que a função (x) dada por: n

␾( x) = ∑ Li ( x) fi ;

(2.26)

i=0

vale, em qualquer dos n+1 pontos xj, n

␾( x j ) = ∑ Li ( x j ) fi = f j ; i=0

devido à expressão (2.25). A Figura 2.6 apresenta f (x) e sua função aproximadora (x).

(2.27)

Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos

Figura 2.6

11

Aproximação de f (x) por (x) com uso de polinômios de Lagrange.

2.1.2.3 Exemplo de aproximação de funções por polinômios de Lagrange Nesse exemplo, o polinômio de sexto grau, dado por: f (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6;

(2.28)

será aproximado por combinações lineares de polinômios de Lagrange no intervalo de 0 ≤ x ≤ 1. Os polinômios de Lagrange usados na aproximação serão polinômios do segundo grau que passam por três pontos no intervalo escolhido. Inicialmente, os pontos escolhidos serão os pontos notáveis definidos na técnica de integração numérica de Newton-Cotes que será estudada no próximo item. Nessa técnica, os n + 1 = 3 pontos notáveis para n = 2 intervalos entre pontos no domínio a ≤ x ≤ b são gerados da seguinte maneira: „O ponto inicial é o ponto do início do intervalo:

x0 = a;

(2.29)

„O ponto final coincide com o fim do intervalo:

xn = b;

(2.30)

„O intervalo entre os pontos:

Δx =

(b − a) n

;

(2.31)

„Os pontos intermediários entre x0 e xn são gerados pela seguinte expressão:

xi = a + ix;

i = 1,…n − 1;

(2.32)

Para x de 0 a 1 e n = 2, os pontos notáveis são: x0 = 0;

x1 = 0,5;

x2 = 1;

(2.33)

12

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Os polinômios de Lagrange LNi(x) obtidos segundo a expressão (2.24) com pontos notáveis gerados pelas expressões de Newton-Cotes conforme (2.29), (2.30) e (2.31) são: ⎛ 1 ⎞⎟ LN 0 ( x) = 2⎜⎜⎜ x − ⎟⎟( x − 1); ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠

(2.34)

LN1(x) = 4x (x − 1);

(2.35)

⎛ 1 ⎞⎟ LN 2 ( x) = 2 x ⎜⎜⎜ x − ⎟⎟ ; ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠

(2.36)

A função aproximadora será então: N(x) = LN0(x)f(x0) + LN1(x)f(x1) + LN2(x)f (x2);

(2.37)

O nome da função aproximadora N(x) foi escolhido para designar polinômios de Lagrange com pontos notáveis definidos pela técnica de Newton-Cotes. Uma nova função aproximadora baseada em polinômios de Lagrange passando por três pontos será agora definida com os pontos notáveis obtidos pela técnica de Gauss conforme descrito no item 2.3.2. Gauss definiu os pontos notáveis para a função f () em um espaço paramétrico com intervalo de −1 ≤  ≤ 1. Para n = 3 pontos, os pontos notáveis de Gauss são: ␰ 1 = − 0, 6 ;

␰2 = 0;

␰ 3 = − 0, 6 ;

(2.38)

Os pontos de Gauss no espaço paramétrico xi se relacionam com os pontos de Gauss no espaço cartesiano xgi no intervalo a ≤ x ≤ b por: xgi =

a+ b 2

+

b−a 2

␰i ;

(2.39)

Logo, para o intervalo a ≤ x ≤ b, obtém-se: xg1 = 0,112792

(2.40)

xg2 = 0,5

(2.41)

xg3 = 0,887298

(2.42)

Criando-se os três polinômios de Lagrange LGi(x) passando pelos pontos notáveis de Gauss definidos em (2.40) com a regra dada em (2.24), pode-se obter a função aproximadora G(x), dada por: G(x) = LG1(x)f (x1) + LG2(x)f (x2) + LG3(x)f (x3);

(2.43)

O nome da função aproximadora G(x) foi escolhido para designar polinômios de Lagrange com pontos notáveis definidos pela técnica de Gauss. A Figura 2.7 mostra a função f (x) e as duas aproximações, N(x) e G(x). Observe que a aproximação G(x) está, ao longo de quase todo o domínio (exceto junto aos limites

Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos

13

a e b), mais próxima de f (x) do que a aproximação N(x) apesar das duas usarem o mesmo número de pontos notáveis.

Figura 2.7 Aproximações de f (x) por funções aproximadoras N (x) que usam polinômios de Lagrange passando por pontos notáveis de Newton-Cotes e funções aproximadoras G(x) que usam polinômios de Lagrange passando por pontos notáveis de Gauss.

2.2 Integração numérica A ideia básica da integração numérica é, inicialmente, aproximar a função f (x) a ser integrada no intervalo a ≤ x ≤ b por uma função  (x) e, em seguida, integrar  (x) no intervalo a ≤ x ≤ b ao invés de f (x).

∫

b a

b

f ( x)dx  ∫ ␾( x)dx ; a

(2.44)

As funções aproximadoras devem ter a característica de fácil integração e, por isso, são empregadas aqui funções polinomiais para aproximar f (x). A integração numérica se caracteriza também pelo fato da integral ser obtida apenas através do cálculo da função em alguns pontos notáveis do domínio a ≤ x ≤ b, multiplicados por pesos. Se, para n+1 pontos notáveis xi, i = 0,1, ..., n e os pesos forem wi, a integral I deve ser calculada por: n

I = ∑ f ( xi )wi ;

(2.45)

i=0

A Equação (2.45) justifica a expressão “integração numérica”, pois ela é obtida por produto e soma de valores numéricos.

2.2.1 Método de Newton-Cotes O Método de Newton-Cotes usa a função aproximadora definida na Equação (2.26) com uso de polinômios de Lagrange para obter os pesos wi da Equação (2.45).

14

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Para se compreender como os pesos são obtidos é preciso inicialmente conhecer algumas propriedades dos polinômios de Lagrange. Sejam n+1 pontos notáveis gerados no intervalo 0 ≤ x ≤ 1, denominados pontos notáveis de Newton xn, i , i = 0,1,...n, como: ⎧ ⎪ 1 ⎪ hn = ⎪ ⎪ ⎨ n , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩xni = ihn

i = 0, 1,…n;

(2.46)

É possível formar n+1 polinômios de Lagrange passando pelos pontos notáveis definidos por (2.46) que serão denominados de polinômios básicos de Lagrange-Newton lni(x). Os pontos notáveis gerados no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 são denominados também de pontos notáveis básicos. Vale ressaltar que com o uso da Equação (2.46) para gerar os n+1 pontos notáveis básicos, o intervalo 0 ≤ x ≤ 1 fica dividido em n partes iguais de comprimento hn, sendo que xn,0 = 0 e xn,n = 1. Sejam agora n+1 pontos xi , i = 0,1...n gerados no intervalo a ≤ x ≤ b como: ⎧ ⎪ (b − a) ⎪ h = ⎪ ⎪ , ⎨ n n ⎪ ⎪ = + x a i h ⎪ n ⎪ ⎩ ni

i = 0, 1,…n;

(2.47)

É possível formar n+1 polinômios de Lagrange Lni (x) do grau n passando pelos pontos notáveis de Newton-Cotes definidos por (2.47). Esses pontos gerados pela expressão (2.47) também são igualmente espaçados, mas com intervalos de hn, sendo que xn,0 = a e xn,n = b. A função aproximadora no Método de Newton-Cotes é a função (x) definida em (2.26) que é igual a f (x) nos pontos notáveis como foi mostrado em (2.27). Uma propriedade importante que relaciona os polinômios básicos de Lagrange-Newton lni (x), gerados no intervalo 0 ≤ x ≤ 1, com os polinômios de Lagrange Lni (x), gerados no intervalo de a ≤ x ≤ b é dada a seguir:

∫

b a

1

Lni ( x)dx = (b − a)∫ ln i ( x)dx ; i = 0, 1,…, n;

(2.48)

0

Usando-se a Equação (2.24) e a propriedade definida em (2.48), obtém-se:

∫

b a

b

f ( x)dx  ∫ ␾( x)dx = ∫ a

b a

n

n

∑ L n (x) f dx = (b − a)∑ f ∫ i

i=0

i

i=0

i

1 0

ln i ( x)dx ;

(2.49)

Definindo-se agora: 1

Cin = ∫ ln i ( x) dx ; 0

(2.50)

15

Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos

Chega-se a:

∫

b a

n

n

i=0

i=0

f ( x) dx  (b − a)∑ Cin fi ∑ Win fi ;

(2.51)

que é a fórmula de integração numérica de Newton-Cotes onde os n+1 pesos win para funções aproximadoras de grau n são dados por: Wnn = (b − a)Cin ;

(2.52)

i

Os valores de Cin , denominados pesos básicos de Newton, estão apresentados na tabela 2.1 para vários valores de i e n. Tabela 2.1

Pesos básicos do Método de Newton-Cotes.

n

C0n

C1n

C2n

C3n

1

1 2

1 2

2

1 6

4 6

1 6

3

1 8

3 8

3 8

1 8

4

7 90

32 90

12 90

32 90

C4n

7 90

2.2.2 Método de Gauss O Método de Gauss pode ser visto como uma modificação do Método de Newton-Cotes. As seguintes mudanças foram introduzidas por Gauss: a) O número de pontos notáveis foi reduzido para n no intervalo de integração. Os pontos notáveis são agora xi, i = 1,... ,n, ao invés dos n+1 pontos xi, i = 0,...,n, no Método de Newton-Cotes. O número n é o valor a ser escolhido que define o grau do polinômio de Lagrange a ser usado na integração numérica e, consequentemente, define a precisão desejada da integração numérica. b) O intervalo de integração dos pontos notáveis básicos mudou de 0 ≤ x ≤ 1 no Método de Newton-Cotes para −1 ≤ x ≤ 1 no Método de Gauss. c) A posição relativa dos pontos notáveis no intervalo de integração foi modificada. A variável x no intervalo de integração −1 ≤ x ≤ 1 no Método de Gauss tem sido denominada variável paramétrica . A variável paramétrica x se relaciona com a variável x da função f (x), a ser integrada no intervalo a ≤ x ≤ b, pela seguinte expressão:

16

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

x(␰) =

a+ b 2

+

b−a 2

␰

(2.53)

A mudança na posição relativa dos pontos notáveis introduzida por Gauss foi feita no intuito de produzir uma melhoria na precisão da integração numérica, o que, aliás, foi feito com significativo sucesso. É possível formar n polinômios de Lagrange passando pelos pontos notáveis de Gauss que serão denominados de polinômios básicos de Lagrange-Gauss lgi(). Os pontos notáveis gerados no intervalo −1 ≤  ≤ 1 são denominados de pontos notáveis básicos. Para se obter as novas posições dos pontos notáveis básicos (pontos notáveis no intervalo de −1 ≤  ≤ 1), Gauss começou por definir um polinômio P(x), de grau n, dado por: P( x) = ( x − x1 )( x − x2 )…( x − xn )

(2.54)

Observe que o polinômio P(x) definido em (2.26) tem o valor igual a zero nos pontos notáveis, ainda desconhecidos, xi, i = 1,...,n. A função aproximadora do Método de Gauss é definida como: n

␾( x) = ∑ Lgi ( x) fi + P( x)(␤0 + ␤1 x + ␤1 x 2 + + ␤n−1 x n−1 );

(2.55)

i=1

ou, simplificadamente, n

␾( x) = ∑ {Lgi ( x) fi + P( x)␤i−1 x i−1 };

(2.56)

i=1

Observe que a função aproximadora de Gauss (x) é um polinômio do grau 2n−1 que passa por apenas n pontos notáveis. Uma propriedade importante que relaciona os polinômios básicos de Lagrange-Gauss lgi(), gerados no intervalo −1 ≤  ≤ 1, com os polinômios de Lagrange Lgi(x), gerados no intervalo a ≤ x ≤ b é dada a seguir:

∫

b a

Lgi ( x) dx =

(b − a)

∫

1

−1

2

lg i (␰)d␰ ; i = 1,…, n;

(2.57)

Analogamente ao que foi feito na Equação (2.21), obtém-se:

∫

b a

b

b

f ( x) dx  ∫ ␾( x) dx = ∑ i=1 ∫ {Lgi ( x) fi + ␤i−1 P( x)x i−1 } dx ; a

n

a

(2.58)

Quando escrita em termos das variáveis paramétricas e fazendo uso de (2.56), a Equação (2.58) pode ser reescrita como:

17

Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos

∫

b a

⎫⎪ b 1⎧ ⎪ (b − a) n f ( x) dx  ∫ ␾( x) dx = ∑ i=1 ∫ ⎨⎪ Lgi (␰) fi + ␤i−1 P(␰)␰i−1 ⎪⎬ d␰ ; a −1 ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ 2 ⎭

(2.59)

Para obter os pontos notáveis, Gauss impôs a seguinte condição:

∫

1

−1

P(␰)␰i−1 dx = 0 ; i = 1,…, n

(2.60)

A equação (2.60) forma um sistema de n equações a n incógnitas que permitem o cálculo dos n pontos notáveis básicos de Gauss gi no intervalo −1 ≤  ≤ 1. Os pontos notáveis básicos de Gauss estão apresentados na Tabela 2.2 e podem ser transformados em pontos notáveis xgi no intervalo a ≤ x ≤ b como uso da expressão (2.53). Tabela 2.2

Pontos notáveis básicos do Método de Gauss

n

g1

1

0,5

2

g2

−1

1

3

3

g3

3

− 0,6

0

0,6

4

-0.861136321

-0.339980976

0.339980976

g4

0.861136321

Com as condições definidas em (2.60), a Equação (2.59) pode ser reescrita apenas como:

∫

b a

b

f ( x) dx  ∫ ␾( x) dx = ∑ i=1 fi n

a

(b − a) 2

∫

1

lgi (␰)d␰ = ∑ i=1 w ng fi ; n

−1

i

(2.61)

A Equação (2.61) define a expressão para a integração numérica de Gauss onde os n pesos de Gauss wg,i são dados por: wgn i =

(b − a) 2

∫

1

−1

lg i (␰) d␰ =

(b − a) 2

␣ gn i ;

(2.62)

Sendo os pesos básicos de Gauss ag,i obtidos por: 1

␣ ng i = ∫ lg i (␰) d␰ ; −1

A Tabela 2.3 apresenta os pesos básicos de Gauss.

(2.63)

18

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Tabela 2.3

Pesos básicos do Método de Gauss

αng, 2

αng, 3

n

αn , 1

1

2

2

1

1

3

5 9

8 9

5 9

4

0.347855

0.652145

0.652145

αng, 4

0.347855

2.2.3 Exemplos de integração numérica As integrais numéricas do polinômio de sexto grau dado no item 2.2.3 no intervalo de 0 ≤ x ≤ 1 serão obtidas para os métodos de Newton-Cotes e de Gauss. A integral exata dessa função no intervalo indicado, Iexata , vale: 1

I exata = ∫ f ( x) dx = 2 , 593 ; 0

(2.64)

As integrais numéricas serão feitas com 3 pontos notáveis sendo, portanto, os mesmos pontos notáveis do item 2.2.3, ou seja: „Para o Método de Newton-Cotes:

x0 = 0 ; x1 = 0, 5 ; x2 = 1;

(2.65)

Os pesos para a integração com 3 pontos podem ser obtidos com o auxílio das tabelas 2.1 para o Método de Newton-Cotes e 2.3 para o Método de Gauss. „Para o Método de Newton-Cotes (n = 2):

1 C02 = ; 6

4 C12 = ; 6

1 C22 = ; 6

(2.67)

Sendo os pesos wn2 = (b − a)Ci2 ;

(2.68)

i

Ou seja, com b − a = 1: wn2 = 0

1 6

wn2 = 1

4 6

1 wn2 = ; 2 6

(2.69)

Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos

19

A integral numérica pelo Método de Newton-Cotes com 3 pontos notáveis, INC3 é obtida por:

I NC 3 = wn2 f ( x0 ) + wn2 f ( x0 ) + wn2 f ( x0 ) = 2 , 656 ; 0

1

(2.70)

2

Para o Método de Gauss os pontos notáveis são: x1 = 0, 112792 ; x2 = 0, 5 ; x3 = 0, 887298 ;

(2.71)

Sendo os pesos w ng =

(b − a) 2

i

␣ ng ;

(2.72)

i

Ou seja, com b − a = 1 e n = 3: 5 8 5 ␣ 3g = ; ␣ 3g = ; ␣ 3g = ; 1 2 3 9 9 9

(2.73)

A integral numérica pelo Método de Gauss com 3 pontos notáveis, IG3 é obtida por: IG 3 = w 3g f ( x1 ) + w 3g f ( x2 ) + w 3g f ( x3 ) = 2 , 593 ; 1

2

(2.74)

3

Os erros relativos das integrais numéricas seriam: O erro da integral numérica de Newton-Cotes com 3 pontos, erroNC3, vale: erroNC 3 =

IG 3 − I exata I exata

= 0, 02445  2 , 4%;

(2.75)

O erro da integral numérica de Gauss com 3 pontos, erroG3, vale: erroNC 3 =

IG 3 − I exata I exata

= 1, 377 x10−4  0, 014%

(2.76)

2.3 Representação paramétrica de um quadrilátero Um quadrilátero no plano cartesiano pode ter uma representação matemática paramétrica. Como será visto mais adiante, para se representar um quadrilátero como o ilustrado na Figura 2.8 com o uso de coordenadas paramétricas, devem-se criar funções que descrevam as coordenadas cartesianas em termos de polinômios em coordenadas paramétricas.

20

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Figura 2.8

Mapeamento do ponto P(,η) do quadrado no espaço paramétrico para o ponto P(x,y) do quadrilátero no espaço cartesiano.

Os polinômios paramétricos para essa representação das coordenadas x e y devem ter 4 termos como será visto mais adiante. O termo do segundo grau escolhido para completar os 4 termos foi  em detrimento dos termos 2 e 2 porque ele é simétrico em relação aos dois eixos. x(␰ , ␩) = a1 + a2 ␰ + a3 ␩ + a4 ␰␩; y(␰ , ␩) = a5 + a6 ␰ + a7 ␩ + a8 ␰␩;

(2.77)

Ou matricialmente, ⎧a ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ ⎧x(␰ , n)⎪ ⎫ ⎪ ⎪ a 1 ␰ n ␰n 0 0 0 0 ⎥ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ; ⎨ ⎨ ⎬ = ⎢⎢ ⎥ ⎪a ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ y ( ␰ , n ) ␰ n ␰ n 0 0 0 0 1 ⎪ ⎪ 5⎪ ⎩ ⎭ ⎢⎣ ⎦⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪a6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ ⎪ 7⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪a8 ⎪ ⎩⎪ ⎭

(2.78)

Ou sucintamente, x(␰ , ␩) = Na(␰ , ␩)a ;

(2.79)

A escolha de polinômios de 4 termos com 8 coeficientes incógnitos ai pode agora ser justificada pelas 8 condições de contorno seguintes:

Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos

⎧ ⎪ x(−1,−1) = x1 ⎪ ⎪⎪ ⎪ y(−1,−1) = y1 ⎪ ⎪ ⎪ x(+1,−1) = x2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪y(+1,−1) = y 2 ⎨ ⎪ x(+1, +1) = x3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y(−1, +1) = y 3 ⎪ ⎪ ⎪ x(−1, +1) = x4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩y(−1, +1) = y 4

21

(2.80)

que podem ser reescritas usando-se a expressão (2.78), ⎫ ⎡ ⎧x ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y ⎢ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ x2 ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪y 2 ⎪ ⎨ ⎬ = ⎢⎢ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎢ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y ⎢ ⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ x ⎪ ⎪ 4⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎣ ⎩y 4 ⎪

1 −1

−1

1 0

0

0

0 1 −1 −1

0

0

0

1

1

−1

−1 0

0

0

0

0 1

1 −1

1

1

1

1 0

0

0

0

0

0

0 1

1

1

1 −1

1 −1 0

0

0

0

0

0 1 −1

1

0

0

0

⎧a ⎪ ⎫ 0 ⎤⎥ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ a 1 ⎥⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ 0 ⎥⎪ 3⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ a −1 ⎥ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎨ ⎬i ⎪ a 0 ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎥⎪ a ⎪ 6⎪ ⎥ ⎪⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎪a7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ − 1 ⎪a ⎪ ⎦ ⎪⎩ 8 ⎪ ⎪ ⎭

(2.81)

Ou sucintamente, c = A a;

(2.82)

a = A–1 c;

(2.83)

ou,

onde c é o vetor das coordenadas nodais. Substituindo-se a expressão (2.83) em (2.79), obtém-se: x (ξ,η) = Na (ξ,η)A–1 c;

(2.84)

x (ξ,η) = N (ξ,η) c;

(2.85)

N (ξ,η) = Na (ξ,η)A–1;

(2.86)

ou ainda,

sendo,

a matriz N(,) tem a forma:

22

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

⎤ ⎡ N ( ␰ , ␩) N2 ( ␰ , ␩) N3 ( ␰ , ␩) N 4 ( ␰ , ␩) 0 0 0 0 ⎥ ⎢ N( ␰ , ␩ ) = ⎢ 1 ⎥; ⎢ N1 ( ␰ , ␩) N2 ( ␰ , ␩) N3 ( ␰ , ␩) N 4 ( ␰ , ␩) ⎥ 0 0 0 0 ⎦ ⎣

(2.87)

Observando-se as equações (2.85) e (2.87) é possível escrever: 4 ⎧ ⎪ ⎪ x( ␰ , ␩ ) ½ ∑ N i ( ␰ , ␩ )xi ; ⎪ ⎪ ⎪ i=1 ⎨ 4 ⎪ ⎪ y( ␰ , ␩ ) ½ ∑ N i ( ␰ , ␩ )yi ; ⎪ ⎪ ⎪ i=1 ⎩

(2.88)

onde xi e yi são as coordenadas cartesianas nodais. As funções de interpolação Ni (,) são dadas por: 1 N 1 ( ␰ , ␩ ) = (1 − ␰)(1 − ␩); 4 1 N 2 ( ␰ , ␩ ) = (1 + ␰)(1 − ␩); 4 1 N 3 ( ␰ , ␩ ) = (1 + ␰)(1 + ␩); 4

(2.89)

1 N 4 ( ␰ , ␩ ) = (1 − ␰)(1 + ␩); 4

As expressões (2.88) permitem mapear um ponto P(,) do quadrado representado no plano paramétrico para um ponto P(x,y) no quadrilátero representado no plano cartesiano, como indicado na Figura 2.7. A Figura 2.9 apresenta a representação geométrica da função de interpolação N1(,). As outras funções de interpolação são análogas a N1(,), ou seja, elas valem 1 no nó i e 0 nos outros nós.

Figura 2.9

Função de interpolação N1(ξ,η).

Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos

23

Seja uma função (x,y). Se x e y forem definidos conforme as expressões (2.88), a relação entre as derivadas de  em relação às coordenadas cartesianas e as derivadas de  em relação às coordenadas paramétricas é dada pela regra da cadeia: ⎧ ∂␾ ∂␾ ∂x ∂␾ ∂y ⎪ ⎪ = + ; ⎪ ⎪ ∂␰ ∂x ∂␰ ∂y ∂␰ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ∂␾ ∂␾ ∂x ∂␾ ∂y ⎪ = + ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂␩ ∂x ∂␩ ∂y ∂␩

(2.90)

ou, matricialmente, ⎧ ∂␾ ⎪ ⎫ ⎡ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ∂␰ ⎪ ⎪ ⎢⎢ ⎪ ⎨ ⎪ ⎬= ⎢ ⎪ ∂␾ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ␩ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎢⎣

∂x ∂␰ ∂x ∂␩

⎫ ⎪ ∂y ⎤⎥ ⎧ ⎪ ∂␾ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ∂␰ ⎥ ⎪ ∂x ⎪ ⎪; ⎥ ⎨ ∂␾ ⎬ ∂y ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ∂ y ⎪ ∂␩ ⎥⎦ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭

⎡ ⎢ ⎢ J( ␰ , ␩) = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

∂x ∂␰ ∂x ∂␩

∂y ⎤⎥ ⎥ ∂␰ ⎥ ⎥; ∂y ⎥ ⎥ ∂␩ ⎥⎦

(2.91)

Sendo J(,) a matriz Jacobiana e, fazendo uso de (2.88), obtém-se: ⎡ 4 ∂N (␰ ,␩ ) ⎢ i xi ⎢∑ i ∂ ␰ ⎢ i=1 J( ␰ ,␩ ) = ⎢ ⎢ 4 ∂N i (␰ ,␩ ) xi ⎢ ∑i ⎢⎣ i=1 ∂␩

⎤ y ∑ i ∂␰ i ⎥⎥ ⎥ i=1 ⎥ 4 ∂N i (␰ ,␩ ) ⎥ ∑ i ∂␩ yi ⎥⎥ i=1 ⎦ 4

∂N i (␰ ,␩ )

(2.92)

ou, matricialmente,

⎡ N ( ␰ ,␩ ) , N ( ␰ ,␩ ) , N ( ␰ ,␩ ) , ␰ 2 ␰ 3 ␰ J( ␰ ,␩ ) = ⎢⎢ 1 ⎢ N 1 ( ␰ ,␩ ) ,␩ N 2 ( ␰ ,␩ ) ,␩ N 3 ( ␰ ,␩ ) ,␩ ⎣

⎡ ⎢ ⎢ ⎤ N 4 ( ␰ , ␩ ) ,␰ ⎥ ⎢ ⎥⎢ N 4 ( ␰ ,␩ ) ,␩ ⎥ ⎢⎢ ⎦ ⎢ ⎢⎣

x1 x2 x3 x4

y1 ⎤⎥ ⎥ y2 ⎥ ⎥; y 3 ⎥⎥ ⎥ y4 ⎥ ⎦

(2.93)

onde os subíndices  e ␩ significam as derivadas de Ni em relação a  e ␩ respectivamente. Sucintamente, (2.93) pode ser reescrita como: J (␰ , ␩) = DNx(␰ , ␩)X ;

(2.94)

A inversa da matriz Jacobiana é denominada (,), ⌫(␰ , ␩) = J (␰ , ␩)−1 ;

Ela transforma derivadas paramétricas de f em derivadas cartesianas de .

(2.95)

24

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

2.3.1 Cálculo numérico da área de um quadrilátero É possível demonstrar que o determinante da matriz Jacobiana é o fator de escala que transforma a área elementar dd no quadrado paramétrico em área elementar correspondente no quadrilátero do plano cartesiano dA, como indicado nas figuras 2.10 e 2.11 e expresso pela Equação (2.96). dA = det( J (␰ , ␩)) d␰ d␩;

(2.96)

Figura 2.10 Mapeamento da área elementar dξdη no plano paramétrico para a área elementar dA no plano cartesiano.

Figura 2.11 Área elementar dA no plano cartesiano.

O vetor a que liga o nó i ao nó j do quadrilátero elementar hachurado de área dA e o vetor b que liga os nós i e l na Figura 2.10 podem ser expressos por:

25

Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos

a=

b=

 ∂y  d␰ i + d␰ j ; ∂␰ ∂␰

(2.97)

 ∂y  d␩ i + d␩ j ; ∂␩ ∂␩

(2.98)

∂x

∂x

O módulo do produto vetorial a x b fornece a área elementar dA. ⎡ ⎢   ⎢ i J ⎢ ⎢ ∂x ∂y dA = a x b = ⎢⎢ d␰ d␰ ∂␰ ⎢ ∂␰ ⎢ ⎢ ∂x d␩ + ∂y d␩ ⎢ ∂␩ ⎢⎣ ∂␩

⎤ ⎥ k ⎥⎥ ⎥ 0⎥⎥ ; ⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎥⎦

dA = det( J(␰ ,␩ ))d␰ d␩ ;

(2.99)

(2.100)

A área do quadrilátero pode ser obtida por integração no plano paramétrico. A= ∫

1 −1

∫

1

dA =

−1

1

1

−1

−1

∫ ∫

det ( J (␰ ,␩ )) d␰ d␩ ;

(2.101)

O cálculo da área pode ser feito por integração numérica pelo Método de Gauss. Se forem usados ng pontos de Gauss com coordenadas paramétricas g,i e g,i e pesos de integração wg,,i e wg,,i, (2.101) pode ser reescrita como: ng

A = ∑ det( J (␰ g , ␩ g )) w g ,␰ w g ,␩ ; i=1

i

i

i

(2.102)

i

Para a integração numérica de uma função de 2 ou 3 variáveis podem-se usar os mesmos pontos e pesos notáveis de Gauss definidos nas tabelas de 2.1 e 2.3. Deve-se observar, no entanto, que ng = n2 e ng = n3 pontos serão gerados nos problemas com 2 e 3 variáveis, respectivamente. Para se gerar n2 pontos em funções de 2 variáveis, por exemplo, fixa-se cada valor de g,i e variam-se os n pontos notáveis g,i . Com funções em 3 variáveis o procedimento é análogo para se gerar n3 pontos.

2.3.2 Exemplo da transformação de derivadas paramétricas em derivadas cartesianas Seja o quadrilátero (trapézio) definido na Figura 2.12.

26

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Figura 2.12 Trapézio com base maior b, base menor a e altura h.

As coordenadas nodais do quadrilátero são: ⎧ ⎪ x1 = 0 ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x = 2; ⎪ ⎨ 2 ⎪ x3 = 6 ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩x 4 = 0

y1 = 2 ; y2 = 0;

(2.103)

y3 = 0; y4 = 6

Logo a matriz X vale: ⎡ ⎢ ⎢ X= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

0 2 6 0

2 0 0 6

⎤ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥⎦

(2.104)

Com o uso de (2.94) e (2.104), obtém-se a matriz Jacobiana: ⎡ 2 + n − 2 − n⎤ ⎥; J(␰ , ␩) = ⎢⎢ ⎥ 1 1 + ␰ − ␰ ⎢⎣ ⎥⎦

(2.105)

Para se determinar as derivadas de uma função de variáveis paramétricas φ(ξ,η) em relação às variáveis cartesianas x e y, pode-se usar a inversa da expressão (2.91), ou seja: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

ou, sucintamente:

⎫ ⎡ ∂␾ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎢ ⎬= ⎢ ∂␾ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ∂y ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎢⎣

∂x ∂␰ ∂x ∂␩

−1

⎧ ∂y ⎤⎥ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ∂␰ ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ ⎨ ∂y ⎥ ⎪⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ∂␩ ⎥⎦ ⎪ ⎪⎩

∂␾ ∂␰ ∂␾ ∂␩

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(2.106)

Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos

27

␾,c (␰ , n) = J (␰ , n)−1 ␾,p (␰ ,␩ );

(2.107)

␾,c (␰ , n) = ⌫ (␰ , n)␾,p (␰ ,␩ );

(2.108)

Ou, ainda,

Seja a função φ(ξ,η) dada por:

␾,c (␰ , n) = 3␰ + 4␰␩ + 5␩ + 2␰ 2 + ␩2 ;

(2.109)

cujo gradiente em relação às variáveis paramétricas é dado por: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␾,c (␰ , n) = ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎪ d␾ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧3 + 4 ␩ + 2␰⎪ ⎫ d␰ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬; ⎬= ⎪ ⎪ 4␰ + 5 + 2 ␩⎪ d␾ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ d␩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(2.110)

Deseja-se agora calcular as derivadas cartesianas de f(x,h) no ponto de coordenadas paramétricas  = 0 e  = 0. O gradiente em relação às variáveis cartesianas pode ser obtido por:

␾,c (0, 0) = ⌫ (0, 0) ␾,p (0, 0)

(2.111)

⎧3⎪ ⎫ ⎡ 0, 25 0, 50 ⎤ ⎪ ⎥; ␾,p (0, 0) = ⎪⎨ ⎪⎬ e ⌫ (0, 0) = ⎢⎢ ⎥ ⎪ ⎪ − 0 2 5 0 , 50 5 , ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪

(2.112)

Dado que:

A equação (2.111) resulta em: ⎧3, 25⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ␾,c (0, 0) = ⎪⎨ ⎬ ⎪ ⎪ 1 , 75 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

(2.113)

2.3.3 Exemplo do cálculo numérico da área de um quadrilátero Seja, novamente, o quadrilátero definido na Figura 2.12. A área do trapézio é dada pela largura média x a altura: Área =

( a + b) 2

h=

(2 6 + 6 2 ) 4 2 2

2

= 16 ;

(2.114)

O determinante da matriz Jacobiana relativa ao quadrilátero da Figura 2.12, dada em (2.105) vale:

28

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

det J (␰ , ␩) = 4 + 2 ␩;

(2.115)

Usando-se uma integração 2 x 2 no plano, ou seja, 4 pontos de Gauss como indicado na Figura 2.13: ⎧ ⎪ −1 −1 ⎪ ␰1 = ; ␩1 = ; ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ 1 −1 ⎪ ␰2 = ; ␩2 = ; ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎨ ⎪ −1 1 ⎪ ␰3 = ; ␩3 = ; ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ; ␰4 = ; ␩4 = ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎩

(2.116)

Ponto de Gauss

Figura 2.13 Posição dos pontos notáveis de Gauss no quadrilátero do plano paramétrico.

e pesos de Gauss wg,,i e wg,,i, i = 1,...,4, todos iguais a 1 como definido na Tabela 2.3. A área do quadrilátero pode ser calculada por: ng

A = ∑ det( J (␰ g , ng )) w g ,␰ w g ,␩ = 16 i=1

i

i

i

i

(2.117)

que corresponde ao resultado exato calculado em (2.102). As formas dos quadriláteros não devem exceder limites de distorção para que não ocorram erros numéricos na integração numérica. Em geral, recomenda-se que os ângulos internos devem estar entre 45º e 135º, e a razão entre o maior e menor lado não deve ser superior a 3.

CAPÍTULO

3

A evolução do método dos deslocamentos

O

Método dos Elementos Finitos (MEF) tratado neste livro pertence à família do Método dos Deslocamentos ou Método da Rigidez onde deslocamentos são escolhidos como incógnitas. Todos os membros dessa família se caracterizam por ter como equação fundamental a equação de equilíbrio cujas incógnitas são deslocamentos generalizados. Entendem-se aqui por deslocamentos generalizados, grandezas cinemáticas, tais como, deslocamentos lineares, rotações etc. Os membros dessa família formam uma árvore genealógica, com novos métodos gerados a partir dos métodos mais antigos. De certa maneira, a evolução do método ao longo do tempo segue as leis da evolução de Darwin, com mutação e seleção. Os novos membros da família desses métodos herdam as características de seus antecessores, mas sofrem pequenas mudanças que só são bem sucedidas se forem bem adaptadas às condições existentes. Um exemplo disso é que a Análise Matricial de Estruturas (AME) e o MEF só tiveram larga aceitação quando os computadores atingiram uma fase de elevado grau de desenvolvimento, apesar de este último ter surgido antes dessa fase. Este capítulo procura mostrar como se deu a evolução do Método dos Deslocamentos, desde as primeiras formulações até o MEF. É surpreendente ]LYPÄJHYJVTVHZT\KHUsHZJVUJLP[\HPZZqVWLX\LUHZLTJVTWHYHsqVHV enorme crescimento do potencial do método.

3.1 Método básico A análise de estruturas usa três equações básicas, nomeadamente equações de compatibilidade, de equilíbrio e constitutivas, também chamadas de relação tensão-deforma-

30

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

ção. O método dos deslocamentos caracteriza-se por usar a equação de equilíbrio como equação fundamental, ou seja, aquela de onde são obtidas as incógnitas primárias do problema, a partir das quais, todas as outras respostas serão obtidas. As incógnitas primárias são os deslocamentos por meio dos quais é possível obter deformações, tensões, resultantes de tensões etc. O método básico da família do método dos deslocamentos consiste em manipular as três equações básicas da análise de estruturas de modo a colocar todas as informações disponíveis nas equações de equilíbrio com deslocamentos livres como incógnitas. O número de deslocamentos livres é chamado de grau de liberdade da estrutura. Neste item e em outros que seguem, a estrutura apresentada na Figura 3.1 é utilizada para ilustrar a resolução do método. Trata-se de uma treliça plana simples com quatro barras e dois graus de liberdade, os deslocamentos horizontal e vertical do nó C.

Figura 3.1

Treliça com 2 graus de liberdade.

As equações de compatibilidade relacionam grandezas cinemáticas, nesse caso os deslocamentos nodais livres d1 e d2 na direção horizontal e vertical com alongamentos/encurtamentos δi das barras i. Os deslocamentos são supostos positivos com os sentidos indicados na Figura 3.1. Os alongamentos serão considerados positivos e os encurtamentos negativos. As expressões para os δi das quatro barras são obtidas projetando-se os deslocamentos nodais nas direções das barras, assim: ⎧ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ␦1 (d1 , d2 ) = d1 − d2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ␦2 (d1 , d2 ) = d1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 2 2 ; ⎪ ␦3 (d1 , d2 ) = d1 + d2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ␦4 (d1 , d2 ) = −d1 + d2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎩

(3.1)

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

31

A segunda equação de compatibilidade relaciona os alongamentos/encurtamentos das barras δi com as deformações longitudinais ␧i. Da resistência dos materiais:

␧=

␦1 Li

;

(3.2)

Como os comprimentos das barras são: ⎪⎧⎪L = L 2 ⎪⎪ 1 ⎪⎪L = L ⎪⎨ 2 ; ⎪⎪L = L 2 3 ⎪⎪ ⎪⎪L = L 2 ⎪⎩ 4

(3.3)

⎧ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ d1 − d2 ⎪ ⎪ 2 2 = 1 (d − d ) ⎪ ␧ 1 (d1 , d2 ) = ⎪ 2 ⎪ 2L 1 L 2 ⎪ ⎪ ⎪ d ⎪ ⎪ ␧ 2 (d1 , d2 ) = 1 ⎪ ⎪ L ⎪ ⎪ ⎪ ; ⎨ 2 2 ⎪ d1 + d2 ⎪ 1 ⎪ 2 2 = ⎪ ( d + d2 ) ␧ 3 (d1 , d2 ) = ⎪ ⎪ 2L 1 2 L ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ −d1 + d2 ⎪ ⎪ 2 = 1 (−d + d ) 2 ⎪ ␧ 4 (d1 , d2 ) = 1 2 ⎪ ⎪ 2L L 2 ⎪ ⎩

(3.4)

Chega-se a:

Para efeito de simplificação, a lei constitutiva usada nesse trabalho será a lei de Hooke, Assim, para cada barra, i vale:

␴ i = E ␧i ;

(3.5)

Ou, em termos de esforços normais Ni, Ni A

=E

␦i Li

;

(3.6)

Onde E é o módulo de elasticidade do material, A, a área de seção transversal (as duas grandezas supostas constantes para todas as barras), Ni o esforço normal e Li o comprimento da barra i. Substituindo-se para cada barra i, δi dado em (3.1) em (3.6), obtém-se:

32

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

⎧ ⎪ EA ⎪ ⎪ ⎪⎪N 1 (d1 , d2 ) = 2 L (d1 − d2 ) ⎪ ⎪ E A d1 ⎪ ⎪ N (d , d ) = ⎪ ⎪ 2 1 2 L ; ⎨ ⎪ EA ⎪ ⎪ d d ) ( ) N d d ( , = + ⎪ 2 2 3 1 ⎪ 2L 1 ⎪ ⎪ EA ⎪ ⎪ N 4 (d1 , d2 ) = (−d1 + d2 ) ⎪ ⎪ 2L ⎪ ⎩

(3.7)

As equações de equilíbrio são obtidas para as direções horizontal e vertical no nó C. Os sentidos das forças axiais Ni que atuam nas barras i, são admitidos a princípio como de tração. Para se escrever as equações de equilíbrio, valem, no entanto, os sentidos indicados na Figura 3.2.

Figura 3.2

Equilíbrio do nó C.

As equações de equilíbrio são: „Na direção horizontal:

∑F

h

= 0;

− N1

2 2

2

− N2 − N3

2

2

+ N4

2

+ P = 0;

(3.8)

„Na direção vertical:

∑F

v

= 0;

N1

2 2

− N3

2 2

− N4

2 2

= 0;

Substituindo-se as expressões (3.7) em (3.9) e manipulando-as, obtém-se:

(3.9)

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

⎧ ⎪ 2 , 061 E A 0, 354 E A ⎪ d1 − d2 = P ⎪ ⎪ ⎪ L L ; ⎨ ⎪ 1, 061 E A −0, 354 E A ⎪ = 0 d d + ⎪ 2 1 ⎪ L L ⎪ ⎩

33

(3.10)

A expressão (3.10) é a equação fundamental do método dos deslocamentos para a análise da treliça plana da Figura 3.1. Matricialmente, ela pode ser reescrita como: ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ P⎫ E A ⎡⎢ 2 , 061 −0, 354 ⎤⎥ ⎧ ⎪= ⎪ ⎪d1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬; ⎬ ⎨ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 d L ⎢⎣−0, 354 1, 061 ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪ ⎩ 2⎪

(3.11)

⎧⎪d ⎫⎪ P L ⎧ ⎪ ⎪ 0, 515⎫ ⎪ 1 ⎪= ⎪ ⎪ ⎬; ⎨ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎪d ⎪⎪ E A ⎪ , 0 171 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪⎩ 2 ⎪⎭

(3.12)

Cuja solução é:

Com os deslocamentos d1 e d2 é possível obter agora todas as respostas da estrutura em termos de alongamento/encurtamento, na expressão (3.1), deformações, em (3.4), tensões, em (3.5), e esforços normais Ni, em (3.7). Tais valores estão indicados a seguir: ⎫ ⎧␦ ⎪ ⎫ ⎧+0, 243⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␦ + 0, 515⎪ P L⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬; ⎨ ⎬= ⎨ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + ␦ 1 778 , E A ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 0 243 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␦ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪ ⎭ ⎩ 4⎪

(3.13)

⎫ ⎧␧ ⎪ ⎪ ⎪⎧⎪+0, 172⎪⎫⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␧ 2 ⎪⎪ P ⎪⎪⎪+0, 515⎪⎪⎪ ⎪ ⎬; ⎨ ⎨ ⎬= ⎪ ␧ 3 ⎪⎪ E A ⎪⎪+0, 343⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎩−0, 172 ⎭⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩␧ 4 ⎪

(3.14)

⎫ ⎧␴ ⎪ ⎫ ⎧+0, 172⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␴ , 0 515 + P ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎬; ⎨ ⎬= ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ , 0 343 ␴ + A ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ , 0 172 − ⎪ ⎪ ⎪ ␴ ⎪ ⎭⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎩ 4⎪

(3.15)

⎫ ⎧N ⎪ ⎫ ⎧+0, 172⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N , + 0 515 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎬; ⎨ ⎬= P⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N + , 0 343 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − , 0 172 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪ ⎭ ⎩ 4⎪

(3.16)

34

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

3.2 Método clássico O método clássico é essencialmente o mesmo que o método básico. Sua contribuição foi no sentido de sistematizar, ou seja, organizar, ou ainda criar uma metodologia que possa ser aplicada da mesma forma a todas as estruturas. O método usa os conceitos de estados auxiliares e de superposição de efeitos. Inicialmente, devem-se identificar os graus de liberdade da estrutura. Em seguida, um estado auxiliar j é criado para cada grau de liberdade impondo-se um valor unitário para o grau de liberdade dj, enquanto os outros são mantidos nulos. Resultantes das forças internas resistentes que atuam nas barras aparecem nas direções dos graus de liberdade. A força interna na direção i devido ao deslocamento unitário na direção do grau de liberdade dj é chamada de coeficiente de rigidez kij. Além disso, um estado auxiliar 0 é criado para as cargas atuantes com todos os graus de liberdade mantidos fixos. As forças resultantes que atuam nos nós na direção do grau de liberdade dj nesse estado são denominadas cargas nodais fj. Como os estados auxiliares não são autoequilibrados o equilíbrio é conseguido com a superposição de efeitos. Assim, somando-se os produtos das forças internas resultantes (nas direções dos graus de liberdade) correspondentes a cada estado auxiliar j por dj, a soma deve ser igual às forças aplicadas (nas direções dos graus de liberdade) no estado auxiliar 0. Em termos físicos, isso significa que os deslocamentos que surgem na direção dos graus de liberdade dj devem ser tais que as forças internas equilibrem as forças aplicadas. A aplicação das ideias descritas no exemplo do item 3.1 ajuda a esclarecer o método. „Estado auxiliar 1, d1 = 1.

Figura 3.3

Termos k11 e k21 da matriz de rigidez da treliça.

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

35

„Estado auxiliar 2, d2 = 1.

Figura 3.4

Termos k21 e k22 da matriz de rigidez da treliça.

Para se obter os coeficientes kij (força interna resultante na direção i devida a um deslocamento unitário na direção j) procede-se da seguinte maneira: inicialmente, calculam-se os alongamentos/encurtamentos das barras dij (alongamento/encurtamento na barra i devido a um deslocamento unitário na direção do grau de liberdade dj) de forma análoga ao que foi feito para se obter os alongamentos/encurtamentos em (3.1). „Para o estado auxiliar 1.

⎧ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ␦11 = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ␦21 = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 2 ; ⎪ ␦31 = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 2 ⎪ ␦41 = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎩

(3.17)

⎧ ⎪ − 2 ⎪ ⎪ ␦12 = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ␦ 0 = ⎪ 22 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 2 ; ⎪ ␦32 = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ␦42 = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎩

(3.18)

„Para o estado auxiliar 2.

36

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Utilizando-se a relação constitutiva é possível calcular os esforços normais nas barras Nij (esforço normal na barra i devido a um deslocamento unitário na direção do grau de liberdade dj) com uma expressão análoga a (3.6). N ij = E A

␦ij

;

(3.19)

⎧ ⎪ EA ⎪ N 11 = ⎪ ⎪ 2L ⎪ ⎪ ⎪ EA ⎪ ⎪ N = ⎪ ⎪ 21 L ; ⎨ ⎪ EA ⎪ N 31 = ⎪ ⎪ 2L ⎪ ⎪ ⎪ −E A ⎪ ⎪ N 41 = ⎪ ⎪ 2L ⎩

(3.20)

⎧ ⎪ −E A ⎪ N 12 = ⎪ ⎪ 2L ⎪ ⎪ ⎪ N 22 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ EA ; ⎪ N 32 = ⎪ ⎪ 2L ⎪ ⎪ ⎪ EA ⎪ N 42 = ⎪ ⎪ ⎪ 2L ⎩

(3.21)

Li

Assim: „Para o estado auxiliar 1.

„Para o estado auxiliar 2.

Os coeficientes de rigidez kij (esforço na direção i para um deslocamento unitário na direção j) são calculados utilizando-se as equações de equilíbrio no nó C. Assim, das equações de equilíbrio na direção horizontal e vertical da Figura 3.5, da correspondente a d1 = 1 obtém-se, respectivamente, os coeficientes k11 e k21.

Figura 3.5

Forças no nó C para d1 = 1 e d2 = 1.

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

37

„Para o estado auxiliar 1, Figura 3.5a.

⎧ ⎪ EA ⎪ k11 = 2 , 061 ⎪ ⎪ ⎪ L ; ⎨ ⎪ EA ⎪ , k = − 0 354 ⎪ 21 ⎪ L ⎪ ⎩

(3.22)

„Para o estado auxiliar 2, Figura 3.5b.

⎧ ⎪ EA ⎪ k12 = −0, 354 ⎪ ⎪ ⎪ L ; ⎨ ⎪ E A ⎪ k 22 = 1, 061 ⎪ ⎪ L ⎪ ⎩

(3.23)

„O estado auxiliar 0, fornece:

⎧ ⎪ ⎪ f1 = P ; ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ f2 = 0

(3.24)

A superposição de efeitos, que deve garantir o equilíbrio das forças resistentes e aplicadas, pode agora ser escrita como: ⎤⎪ ⎧d ⎪ ⎫ ⎪ ⎫ ⎡k ⎧f ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 11 k12 ⎥ ⎪ 1⎪ ⎬= ⎨ 1 ⎬; ⎢ ⎥⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣ k 21 k 22 ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩d2 ⎪ ⎭ ⎪ ⎩ f2 ⎪ ⎭

(3.25)

ou com os valores da estrutura sendo analisada: ⎫ ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ E A ⎡⎢ 2 , 061 −0, 354 ⎤⎥ ⎧ ⎪d1 ⎪ ⎪ = ⎪ P⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎪ ⎬; ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 1, 061⎥⎦ ⎪ L ⎣⎢−0, 354 ⎪ ⎩0 ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩d2 ⎪ ⎭ ⎪

⎫ P L⎪ ⎧ ⎧0, 515⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪d1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 , 171 d E A ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪⎩ 2 ⎪ ⎪ ⎭

(3.26)

A expressão (3.26) é idêntica à expressão (3.11), como não poderia deixar de ser. Desse modo, as respostas das estruturas obtidas pelo método básico dadas pelas expressões de (3.12) a (3.16) serão as mesmas.

3.3 Método da análise matricial 3.3.1 Formulação da análise matricial A análise matricial de estruturas reticuladas sistematizou as operações matemáticas da análise de estruturas fazendo uso da álgebra matricial que opera com vetores e matrizes. Ela introduziu diversos conceitos novos na análise de estruturas. Toda a sistematização se baseia na ideia de sistema local e sistema global de coordenadas.

38

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Com esse conceito definido, é possível estabelecer matrizes de rigidez de elemento nos sistemas local e global, assim como vetores de forças nodais de elemento nos sistemas local e global. A partir das contribuições das matrizes de rigidez e dos vetores de forças nodais de elemento no sistema global, pode-se montar a matriz de rigidez bem como o vetor de forças nodais da estrutura. Deslocamentos nodais também são definidos nos sistemas local e global. Uma equação de equilíbrio da estrutura no sistema global fornece os deslocamentos nodais. Uma vez obtidos os deslocamentos nodais da estrutura, as forças atuantes nas extremidades dos elementos podem ser determinadas. O sistema local de coordenada é definido quando se escolhe os nós inicial e final do elemento. Na Figura 3.6, os nós 1 e 2 são, respectivamente, o nó inicial e o nó final do elemento ou barra. O eixo x local fica então definido na direção da barra e com sentido positivo de 1 para 2. O eixo y é perpendicular a x, com o vetor do sentido positivo fazendo 90 graus a partir de x no sentido anti-horário. O sistema global dado pelos eixos X e Y é definido usualmente da seguinte maneira: X tem direção horizontal e sentido positivo da esquerda para a direita, e Y tem direção vertical e sentido positivo de baixo para cima. O sistema global não é obrigatoriamente o definido anteriormente, podendo ser escolhido outro que seja mais conveniente. A estrutura de treliça plana tratada até aqui tem dois graus de liberdade por nó. Ao nó 1 são associados os deslocamentos 1 e 2 e ao nó 2, os deslocamentos 3 e 4. A Figura 3.6 indica os sentidos positivos dos 4 componentes do vetor de deslocamentos dl, no sistema local, e dg, no sistema global. O ângulo ␣ define a rotação do eixo da barra em relação ao sistema global. Associados aos vetores de deslocamentos, são criados também os vetores de forças nodais fl, no sistema local, e fg , no sistema global.

Figura 3.6

Graus de liberdade no sistema global e local.

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

39

Os vetores dos deslocamentos de elemento no sistema local dl e global dg podem ser relacionados pela matriz de rotação R, como indicado a seguir: ⎧d ⎪ ⎫ ⎪ ⎫ ⎧d ⎪ ⎪ ⎤ ⎪⎪ g 1 ⎪ ⎡ c s ⎪ l1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ dg 2 ⎪ ⎪ ⎪ d ⎥ ⎢ ⎪ s c 0 0 ⎥ ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬= ⎢ − ⎬; ⎨ l2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎢ d d c s 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ g 3 l 3 ⎥ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎢ s c − 0 0 ⎦ ⎣ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ d d ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ l4 ⎪ g 4 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪

(3.27)

dl = R d g ;

(3.28)

Ou, sucintamente:

Como o trabalho é um escalar que independe do sistema de coordenadas, ele deve ser o mesmo nos sistemas local e global. Wg = Wl ;

(3.29)

d g t f g = d l t fl ;

(3.30)

Substituindo (3.28) em (3.30), obtém-se:

d g t f g = ( R d g )t fl = d g t R t fl ;

(3.31)

f g = R t fl ;

(3.32)

As expressões (3.28) e (3.32) formam o princípio da contragradiência que pode ser enunciado como: “Se uma matriz transforma deslocamentos globais em locais, sua transposta transforma forças locais em globais.” A matriz de rigidez do elemento de treliça plana no sistema local para o elemento m, Kl,m é dada em (3.33). Ela é obtida da definição dos coeficientes de rigidez kl,m(ij). O coeficiente kl,m(ij) significa a força na direção do deslocamento local i para um deslocamento unitário aplicado na direção do deslocamento local j, mantendo os outros deslocamentos locais nulos. ⎡ 1 ⎢ Em Am ⎢ 0 ⎢ K lm = Lm ⎢⎢ −1 ⎢⎣ 0

0 −1 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥⎦

(3.33)

40

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Onde Em é o módulo de elasticidade do material, Am a área da seção transversal e Lm o comprimento da barra m. A equação de equilíbrio da barra que relaciona deslocamentos, forças e a matriz de rigidez no sistema local de coordenadas é dada por: ⎡ 1 ⎢ Em Am ⎢ 0 ⎢ Lm ⎢⎢ −1 ⎢⎣ 0

0 −1 0 0 0 1 0 0

⎧f ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ dl ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ lm ⎪ m1 ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪dl ⎪ fl ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ m ⎪ ⎪ m ⎪⎪ ⎥⎪ ⎨ 2 ⎬= ⎨ 2 ⎬; ⎥⎪ fl ⎪ d ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ m3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ lm3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ fl ⎪ dl ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ m4 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ m4 ⎭ ⎪ ⎩ ⎭

0 0 0 0

Ou, sucintamente:

(3.34)

Kl dl = fl ; m

m

(3.35)

m

A matriz de rigidez do elemento m no sistema global de coordenadas Kg pode ser m obtida como explicado a seguir. Substituindo-se (3.28) em (3.35), obtém-se: Kl Rm d g = fl ; m

m

(3.36)

m

Pré-multiplicando-se ambos os lados de (3.36) por Rmt , chega-se a: Rmt K l Rm d g = Rmt fl ;

(3.37)

K g dg = fg ;

(3.38)

K g = Rm t K l Rm ;

(3.39)

m

m

m

Usando (3.32), obtém-se:

m

m

m

Onde, m

m

A partir da matriz de rigidez e das forças nodais de cada elemento k no sistema global é feita então a montagem da matriz de rigidez K e das forças nodais f globais da estrutura em função da conexão entre os elementos (incidência), obtendo-se a equação de equilíbrio global da estrutura. Kd= f;

(3.40)

Sendo d os deslocamentos da estrutura no sistema global de coordenadas. Uma vez obtido d, é possível calcular os deslocamentos nodais de cada elemento no sistema global d g e girar esses deslocamentos para o sistema local dl via (3.28) e calcular as m m forças de extremidade finais em cada elemento no sistema local fl via (3.35). m

3.3.2 Aplicação da análise matricial A aplicação das ideias descritas no exemplo do item 3.1 ajuda a esclarecer o método. A treliça plana estudada nesse item é reproduzida mais uma vez na Figura 3.7.

Capítulo 3

Figura 3.7

A evolução do Método dos Deslocamentos

41

Treliça plana com 2 graus de liberdade.

O sentido positivo do eixo local x das barras é definido como: Barra 1: do nó A para o nó C; Barra 2: do nó B para o nó C; Barra 3: do nó D para o nó C; Barra 4: do nó E para o nó C (Figura 3.8). Os comprimentos Lm da barra m são: L1 = L 2 , L2 = L, L3 = L 2 e L4 = L 2 . As matrizes Rm das quatro barras são: ⎡ ⎢ 2⎢ ⎢ R1 = 2 ⎢⎢ ⎢⎣

1 −1 1 1 0 0 0 0

⎡ ⎢ ⎢ R2 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

0 1 0 0

1 0 0 0

⎡ 1 ⎢ 2 ⎢ −1 ⎢ R3 = 2 ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 0 1 0

0 0 ⎤⎥ 0 0 ⎥⎥ ; 1 −1 ⎥ ⎥ 1 1 ⎥⎦ 0 0 0 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥⎦

1 0 1 0 0 1 0 −1

0 0 1 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎡ −1 1 0 0 ⎤⎥ ⎢ 2 ⎢ −1 −1 0 0 ⎥⎥ ; ⎢ R4 = 0 −1 1 ⎥⎥ 2 ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 0 −1 −1 ⎥⎦

(3.41)

42

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Figura 3.8

Sistemas de coordenadas locais das barras.

Usando a expressão (3.39) para se obter as matrizes de rigidez de elemento no sistema global e somando apenas os termos referentes às duas últimas linhas e colunas de cada matriz (isso se explica porque os nós iniciais de todas as barras estão vinculados e, portanto seus deslocamentos são nulos), obtém-se a matriz de rigidez da estrutura no sistema global K relativa aos dois graus de liberdade do nó C, dada em (3.42). A equação de equilíbrio da estrutura é a mesma já obtida em (3.26), o que conduz aos mesmos resultados. K=

E A ⎡⎢ 2 , 061 −0, 354 ⎤⎥ ; 1, 061 ⎥⎥⎦ L ⎢⎢⎣ −0, 354 E A ⎡⎢ 2 , 061 1 −0, 354 1, 061 L ⎢⎢⎣ −0, 354 ⎧ ⎧0, 515⎪ ⎫ ⎪ ⎪ d1 ⎫ ⎪ P L⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬= ⎨ ⎪ ⎨ ⎬; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E A d , 0 171 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎩ 2 ⎪⎭

⎫ ⎧ ⎧d ⎪ ⎫ ⎤⎪ ⎪ ⎪ P⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ = ; ⎨ ⎬ ⎨ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 0 d ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎩ 2⎪

(3.42)

3.4 Método de Castigliano O Método de Castigliano é assim chamdo em homenagem ao segundo teorema de Carlo Alberto Castigliano, que, em 1873, demonstrou que a derivada da energia de deformação de uma estrutura em relação ao deslocamento di é igual a força externa da estrutura na mesma direção. A demonstração foi feita para estruturas com comportamento linear elástico, mas ela é válida também para materiais elásticos não lineares. Nesse item, a demonstração será estendida a estruturas de material elástico não linear.

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

43

Esse teorema representou um importante passo no desenvolvimento da análise de estruturas porque ele mostrou um novo caminho, baseado em teoremas de energia, para se formular um método para análise de estruturas. Esse caminho levou ao MEF.

3.4.1 Energia de deformação Para efeito de simplificação, a apresentação do Segundo Teorema de Castigliano será feita aqui para o caso particular de uma estrutura de treliça. Nesse tipo de estrutura, somente uma componente de deformação e de tensão atua no elemento de barra, nomeadamente, a deformação e a tensão normal longitudinal, ou seja, trata-se de um problema unidimensional para efeito da relação tensão x deformação. Seja a relação tensão x deformação apresentada na Figura 3.9. A solicitação externa levou a tensão atuante até o valor final ␴ m que corresponde à deformação final ␧m na barra m da treliça.

Figura 3.9

Energia de deformação específica U0 da barra m.

A energia de deformação específica U 0 na barra m é definida como: m

U 0 (␧ m ) = ∫ m

␧m 0

␴ (␧ m )d␧ m ;

(3.43)

O adjetivo “específica” deve-se ao fato de U 0 ser, em termos de unidades, um trabam lho por unidade de volume. A energia de deformação da barra m, Um, é obtida integrando-se no volume da barra. U m ( ␧m ) = ∫ U 0 (␧m )dVm ; Vm

m

(3.44)

Para se obter a energia de deformação U relativa a toda a treliça, somam-se os Um de todas as barras, de 1 a nb, onde nb é o número de barras da estrutura. U (␧ 1 , ␧ 2 , …, ␧ m ) = ∑ m=1U m (␧ m ); nb

(3.45)

44

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Onde ␧ m é a deformação final da barra m. Como a deformação final da barra, ␧ m depende do alongamento/encurtamento longitudinal final da barra ␦m , como expresso em (3.2), que, por sua vez, ␦m depende dos deslocamentos nodais finais das extremidades da barra no sistema global de coordenadas di como exemplificado em (3.4), a expressão (3.45) pode ser reescrita como: U (d1 , d2 , …, dn ) = ∑ m=1U m (␦m ); nb

(3.46)

Onde n é o número de graus de liberdade da estrutura de treliça. A energia de deformação da estrutura corresponde fisicamente à energia armazenada na estrutura quando ela se deforma, caso não haja perda de energia, ou seja, para um sistema conservativo. Essa energia é responsável pela volta da estrutura a sua configuração inicial, antes da aplicação das cargas, quando estas são retiradas da estrutura.

3.4.2 Trabalho externo O trabalho externo total W em uma estrutura de treliça plana pode ser obtido somando-se os trabalhos externos Wi referentes aos graus de liberdade i da estrutura. W (d1 , d2 , …, dn ) = ∑ i =1 Wi ; = n

∑ ∫

di

n

i =1

0

fi (ui ) dui ;

(3.47)

Onde n, como anteriormente, é o número de graus de liberdade da estrutura. A Figura 3.10 esclarece.

Figura 3.10 Trabalho externo associado ao grau de liberdade i.

3.4.3 Segundo teorema de Castigliano Substituindo doravante a notação do deslocamento final d por d para efeito de simplificação, a energia de deformação (3.46) e o trabalho externo (3.47) em uma estrutura de

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

45

treliça plana, como visto nos itens 3.4.1 e 3.4.2, podem ser escritos como uma função do vetor dos deslocamentos nodais finais da estrutura no sistema global de coordenadas d com n componentes. Expandindo-se W(d) em série de Taylor até o termo de primeira ordem, é possível expressar o incremento de W(d) como: W (d + ␦d ) = W (d ) +

∂W (d )t ∂d

∂d ;

(3.48)

∂W (d )t

ΔW (d ) = W (d + ␦d ) − W (d ) =

∂d

␦d ;

(3.49)

Procedendo-se da mesma maneira para U(d), obtém-se: U (d + ␦d ) = U (d ) +

∂U (d )t ∂d

ΔU (d ) = U (d + ␦d ) −U (d ) =

␦d ;

∂U (d )t ∂d

(3.50)

␦d ;

(3.51)

Pelo princípio da conservação de energia em sistemas conservativos, todo trabalho externo realizado é armazenado na estrutura em termos de energia de deformação. Assim, o incremento de trabalho externo é igual ao incremento de energia de deformação, logo:

ΔW (d ) = ΔU (d );

(3.52)

Ou seja, ∂W (d )t ∂d

∂U (d )t

␦d =

␦d ;

∂d

(3.53)

Ou, ainda, para uma variação arbitrária δd, ∂U (d )

=

∂di

∂W (d ) ∂di

;

(3.54)

O teorema da integral de Newton diz que: f ( a) =

∂

∫ ∂a

a 0

f ( x) dx ;

(3.55)

Logo, utilizando-se esse teorema, pode-se escrever: ∂W (d ) ∂di

=

∂ ∂di

∫

di 0

f (ui ) dui = fi (di ) = fi ;

(3.56)

46

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Onde, como foi redefinido no início desse item, di em (3.56) é o valor final da variável deslocamento nodal ui e fi é a força final associada ao deslocamento di. Com o uso de (3.54) e (3.56), obtém-se finalmente a expressão do Segundo Teorema de Castigliano: ∂U (d ) ∂di

= fi ;

(3.57)

Ou, grupando-se todas as equações (3.59) correspondentes aos n graus de liberdade em uma só equação: ∂U(d ) ∂d

= f;

(3.58)

Observa-se que o termo à esquerda da expressão (3.58) corresponde ao vetor das forças internas resistentes, doravante denominado fr (d), e o termo à direita, corresponde ao vetor das forças solicitantes, doravante denominado fs. fr (d ) = fs ;

(3.59)

A expressão (3.59) fornece um método de análise de estruturas denominado Método de Castigliano. A expressão fornece n equações que permitem obter as n incógnitas do problema, ou seja, os n deslocamentos nodais di, i = 1, ..., n. Se a estrutura tiver um comportamento linear, as equações (3.59) fornecem um sistema de n equações algébricas lineares, caso o comportamento seja não linear, n equações não lineares são obtidas. O sistema de n equações não lineares pode ser resolvido, por exemplo, pelo método de Newton-Raphson para se obter as n incógnitas do problema, ou seja, os n deslocamentos nodais di, i = 1, ..., n. A aplicação do método na análise da treliça plana da Figura 3.1 ajuda a esclarecer as expressões descritas anteriormente.

3.4.4 Aplicação do método de Castigliano A lei de Hooke para materiais linear-elásticos permite escrever:

␴ (␧ ) = E ␧ ;

(3.60)

A energia de deformação específica U0 pode ser escrita em função da deformação final da barra m. Empregando-se novamente a notação ␧m para representar o valor final da grandeza ␧m, chega-se a: U 0 (␧ m ) = ∫

␧m 0

␴ (␧ m ) d␧ m = ∫

␧m 0

E ␧ m d␧ m = E

A energia de deformação Um para a barra m vale:

␧m 2 2

(3.61)

Capítulo 3

U 0 (␦m ) = ∫ E

␧m 2

dVk = ∫

2

vm

47

A evolução do Método dos Deslocamentos

lm 0

∫

A

E

␧m 2 2

dA dx =

1E A 2 Lm

␦m 2 ;

(3.62)

Usando as equações de compatibilidade para a treliça da Figura 3.1 descritas em (3.1) e abandonando mais uma vez, para efeito de simplificação, o sobrescrito − para representar valores finais das variáveis, obtém-se: ⎧ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ␦1 (d1 , d2 ) = d1 − d2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ( , ) ␦ d d d = ⎪ 2 1 2 1 ⎪ ⎪ ⎨ 2 2 ; ⎪ ( , ) ␦ d d d d = + ⎪ 2 3 1 2 1 ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ␦4 (d1 , d2 ) = −d1 + d2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎩

(3.63)

E as expressões dos comprimentos das barras dadas em (3.3), podem-se escrever: ⎞ ⎛ 1 E A ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ ⎟⎟ ; d d U 1 (d1 , d2 ) = ␦1 (d1 , d2 ) = − ⎜ 2 2 L1 2 L 2 ⎜⎝ 1 2 2 ⎠ 2

1E A

U 2 (d1 , d2 ) =

2

1E A 2 L2

␦2 (d1 , d2 )2 =

1E A 2 L

(d1 )2 ;

(3.64)

(3.65)

⎛ ⎞ 1 E A ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ ⎟⎟ ; U 3 (d1 , d2 ) = ␦3 (d1 , d2 ) = + d2 ⎜⎜d1 2 L3 2 L 2⎝ 2 2 ⎠

(3.66)

⎛ ⎞ 1 E A ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ ⎟⎟ ; U 4 (d1 , d2 ) = ␦4 (d1 , d2 ) = + d2 ⎜⎜−d1 2 L4 2 L 2⎝ 2 2 ⎠

(3.67)

2

1E A

2

2

1E A

2

Usando-se (3.46) para se obter a energia de deformação total da estrutura, obtém-se: 2 2 2 ⎧⎪⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎫⎪ ⎜⎜ 1 E A ⎪⎪⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ 2 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ ⎪⎪ 2 ⎟⎟ + 2 (d1 ) + ⎜d1 ⎟⎟ + ⎜−d ⎟⎟ ⎬ U (d1 , d2 ) = − d2 + d2 + d2 ⎨⎜d ⎜⎜ 2 2 L 2 ⎪⎪⎜⎜⎝ 1 2 2 ⎟⎟⎠ 2 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 1 2 2 ⎟⎟⎠ ⎪⎪ ⎝ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎩

(3.68)

Aplicando-se agora a expressão (3.57) do Segundo Teorema de Castigliano, obtém-se: ∂U (d ) ∂d1

=

⎫ ⎧⎛ ⎞ 3 2 ⎟⎟ 2 ⎪⎪⎪ E A ⎪⎪⎪⎜⎜ ⎟⎟ d1 − d2 ⎬ = P; ⎨⎜⎜1 + ⎪⎪ 4 ⎟⎟⎠ 4 L ⎪⎪⎜⎝ ⎪⎩ ⎪⎭

(3.69)

48

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

∂U (d ) ∂d2

=

⎫ ⎧ E A⎪ 2 3 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ d1 + d2 ⎪ ⎬ = 0; ⎨− ⎪ L ⎪ 4 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

(3.70)

Ou, ainda, E A ⎡⎢ 2 , 061 −0, 354 1, 061 L ⎢⎢⎣ −0, 354

⎧d ⎪ ⎫ ⎪ ⎧ P⎪ ⎫ ⎤⎪ 1⎪ ⎥⎪ ⎬= ⎪ ⎨ ⎪ ⎬; ⎥⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎩0 ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩d2 ⎪ ⎭ ⎪

⎫ ⎧d ⎪ ⎧0, 515⎪ ⎫ ⎪ ⎪ 1 ⎪= P L ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬; ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 171 , d E A ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎭ ⎩⎪ 2 ⎪

(3.71)

Que é idêntica a (3.26).

3.5 Princípio dos deslocamentos virtuais 3.5.1 Incrementos da energia de deformação O princípio dos trabalhos virtuais será demonstrado neste item para estruturas de treliça. Uma barra de treliça m é carregada até que a deformação final ␧ m seja atingida como indicado na Figura 3.11. A tensão atuante correspondente é ␴ m (␧ m ). A energia de deformação específica produzida na barra é U 0 . Imagine agora que um incremento de m tensão ␦␴ m seja aplicado à barra a partir de ␴ m. Um incremento de deformação ␦␧ m correspondente ocorre na barra.

Figura 3.11 Incremento de energia de deformação específica ⌬U0,m da barra m.

O incremento total da energia de deformação específica ΔU 0 correspondente à aplim cação de ␦␴ m pode ser escrito como:

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

1 ΔU 0 = ␴ m (␧ m )␦␧ m + ␦␴ m␦␧ m + erroU 0 (␦␧ m ) m m 2

49

(3.72)

ou, ΔU 0 = ␦U 0 1 + ␦U 0 m

m

2 m

+ erroU 0 (␦␧ m )

(3.73)

m

onde

␦U 0 1 = ␴ m (␧ m )␦␧ m ;

(3.74)

1 ␦U 0 2 = ␦␴ m␦␧ m ; m 2

(3.75)

m

Os termos ␦U 0 1 e ␦U 0 2 são denominados incremento de primeira e de segunda orm m dem de U 0 , respectivamente. O termo de primeira ordem corresponde à área do retânm gulo vertical hachurado representado na Figura 3.11. O termo de segunda ordem corresponde à área do triângulo maior na mesma figura. A área em cinza corresponde ao erro cometido no cálculo do incremento total erroU 0 . m Como a energia de deformação da barra m da treliça Um é obtida pela integração no volume da barra da energia de deformação específica, obtém-se: ΔU m = ∫

Vm 0

ΔU 0 dVm ;

(3.76)

m

Logo, ΔU m = ∫

Vm 0

␴ m (␧ m )␦␧ m dVm + ∫

Vm

1 2

0

␦␴ m ␦␧ m dVm + ∫

Vk 0

erroU 0 (␦␧ m ) dVm ;

(3.77)

m

ou ΔU m = ␦U m 1 + ␦U m 2 + erroU m (␦␧ m );

(3.78)

onde

␦U m 1 = ∫

Vm 0

␦U m 2 = ∫

␴ m (␧ m )␦␧ m dVm ;

Vm 0

1 2

␦␴ m ␦␧ m dVm ;

(3.79)

(3.80)

A energia de deformação de toda estrutura com m barras pode ser obtida somando-se a energia de deformação de todas as barras, assim:

50

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

ΔU = ∑ m=1 ΔUm ; nb

(3.81)

Logo, ΔU = ∑ m=1 ␦U m 1 +∑ m=1 ␦U m 2 + ∑ m=1 erroU m (␦␧ m );

(3.82)

ΔU = ␦U 1 + ␦U 2 + erroU ;

(3.83)

nb

nb

nb

ou

onde

␦U 1 = ∑ m=1 ∫

Vm

nb

0

␦U 2 = ∑ m=1 ∫

␴ m (␧ m )␦␧ m dVm ;

Vm

nb

1 2

0

␦␴ m ␦␧ m dVm ;

(3.84)

(3.85)

As expressões (3.84) e (3.85) podem ser generalizadas para o caso em que há várias componentes de tensão, por exemplo, ␴x, ␴y e ␶xy, e de deformação, por exemplo, ␧x, ␧y e ␥xy atuando em um elemento infinitesimal do elemento m da estrutura com n elementos. Nesse caso pode-se escrever:

␦U 1 = ∑ m=1 ∫ ne

␦U 2 = ∑ m=1 ∫ ne

Vm 0

Vm 0

␴ m t ␦␧ m dVm ;

1 2

␦␴ m t ␦␧ m dVm ;

(3.86)

(3.87)

Onde ␴m, ␦␴m e ␦␧m representam, respectivamente, os vetores das componentes de tensão atuantes, dos incrementos das componentes de tensão atuantes e dos incrementos das componentes de deformação no elemento m.

3.5.2 Incrementos do trabalho externo Os incrementos do trabalho externo podem ser obtidos pelo raciocínio análogo ao desenvolvido no item anterior para a energia de deformação. Uma força é aplicada em um dado grau de liberdade i até produzir um deslocamento final di como representado na Figura 3.12. A força atuante correspondente à di é fi. O trabalho externo produzido correspondente ao grau de liberdade i é Wi. Imagine agora que um incremento de força ␦ fi é aplicado à força fi. Um incremento de deslocamento ␦ di ocorre no grau de liberdade correspondente.

Capítulo 3

Figura 3.12

A evolução do Método dos Deslocamentos

51

Incremento de trabalho externo ⌬Wi.

O incremento total do trabalho externo ΔWi correspondente à aplicação de ␦ fi no grau de liberdade i pode ser escrito como: 1 ΔWi = fi␦ di + ␦ fi␦ di + erroWi (␦ di ); 2

(3.88)

ΔWi = ␦Wi1 + ␦Wi2 + erroWi (␦ di )

(3.89)

␦Wi1 = fi␦ di ;

(3.90)

1 ␦Wi2 = ␦ fi␦ di ; 2

(3.91)

ou

onde

Os termos ␦Wi1 e ␦Wi2 são denominados respectivamente incremento de primeira e de segunda ordem de Wi. O termo de primeira ordem corresponde à área do retângulo vertical hachurado representado na Figura 3.12. O termo de segunda ordem corresponde à área do triângulo maior na mesma figura. A área em cinza corresponde ao erro cometido no cálculo do incremento total erroWi. O trabalho externo correspondente a toda a treliça com n graus de liberdade pode ser obtido somando-se o trabalho externo de todos os graus de liberdade, assim: ΔW = ∑ i =1 ΔWi ; n

Logo,

(3.92)

52

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

ΔW = ∑ i =1 ␦W 1i + ∑ i =1 ␦W i2 +∑ i =1 erroWi (␦ di );

(3.93)

ΔW = ␦W 1 + ␦W 2 + erroW (␦ di );

(3.94)

␦W 1 = ∑ i =1 fi␦ di ;

(3.95)

n 1 ␦W 2 = ∑ i =1 ␦ fi ␦ di ; 2

(3.96)

n

n

n

ou, ainda,

onde, n

As expressões (3.95) e (3.96) podem ser escritas usando-se vetores:

␦W 1 = f t ␦d ;

␦W 2 =

1 2

␦f t ␦d ;

(3.97)

(3.98)

Onde f , ␦d e ␦f representam, respectivamente, os vetores das forças solicitantes nodais finais, dos incrementos dos deslocamentos nodais e dos incrementos das forças nodais.

3.5.3 Formulação do princípio dos deslocamentos virtuais O princípio dos deslocamentos virtuais baseia-se no princípio de conservação de energia. Seu enunciado é o seguinte: “Para toda estrutura, o incremento de primeira ordem da energia de deformação é igual ao incremento de primeira ordem do trabalho externo.” A aplicação do princípio não se limita a sistemas conservativos. Matematicamente, ele pode ser expresso por:

␦U 1 = ␦W 1 ;

(3.99)

Para o caso geral em que há várias componentes de tensão e deformação atuando em um elemento infinitesimal de um elemento m de uma estrutura com n elementos, a expressão (3.99) pode ser escrita como: n␧

∑∫ m=1

Vm 0

␴ m t␦␧ m dVm = f ␦d ;

(3.100)

As grandezas ␦␧m e ␦d em (3.100) são cinemáticas, virtuais e compatíveis enquanto que as grandezas ␴ m e f são ditas estáticas, reais e em equilíbrio. O termo virtual é sinônimo de potencial, ou seja, pode vir a acontecer, não real. As grandezas ␦␧m e ␦d estão relacionadas

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

53

por equações de compatibilidade já que as componentes de ␦d produzem as componentes de ␦␧m. As grandezas reais ␴ m e f estão relacionadas por equações de equilíbrio já que as tensões reais ␴ m são produzidas pelas forças reais f .

3.5.4 Exemplo da aplicação do princípio dos deslocamentos virtuais Inicialmente serão deduzidas as equações de compatibilidade entre as deformações virtuais ␦␧m das barras m e os deslocamentos virtuais nodais ␦di dos graus de liberdade i. As expressões são análogas às expressões (3.4), substituindo-se as grandezas reais por grandezas virtuais. ⎧ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ␦ d1 − ␦ d2 ⎪ ⎪ 2 2 = 1 (␦ d − ␦ d ) ⎪ ␦␧ 1 (␦ d1 , ␦ d2 ) = ⎪ 2 ⎪ 2L 1 L 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␦d ⎪ ⎪ ␦␧ 2 (␦ d1 , ␦ d2 ) = 1 ⎪ ⎪ L ⎪ ⎪ ⎪ ; ⎨ 2 2 ⎪ ␦ d1 + ␦ d2 ⎪ ⎪ 2 2 = 1 (␦ d + ␦ d ) ⎪ ␦␧ 3 (␦ d1 , ␦ d2 ) = ⎪ 2 ⎪ 2L 1 ⎪ L 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ −␦ d1 + ␦ d2 ⎪ ⎪ 1 ⎪ 2 2 ␦␧ 4 (␦ d1 , ␦ d2 ) = = (−␦ d1 + ␦ d2 ) ⎪ ⎪ ⎪ 2 L L 2 ⎪ ⎩

(3.101)

As tensões reais são expressas em função dos deslocamentos reais. Elas podem ser obtidas por meio de novas expressões (3.4) multiplicadas pelo modo de elasticidade E para transformar deformação em tensão pela lei de Hooke. ⎧ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ d1 − d2 ⎪ ⎪ 2 2 = E (d − d ) ⎪ ␴ 1 (d1 , d2 ) = E ⎪ 2 ⎪ 2L 1 L 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E d1 ⎪ ⎪ ␴ 2 (d1 , d2 ) = ⎪ ⎪ L ⎪ ⎪⎪ ; ⎨ 2 2 ⎪ + d2 d1 ⎪ ⎪ 2 2 = E (d + d ) ⎪ ␴ 3 (d1 , d2 ) = E ⎪ 2 ⎪ 2L 1 ⎪ L 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ −d1 + d2 ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 = E (−d + d ) ␴ 4 (d1 , d2 ) = E ⎪ 1 2 ⎪ ⎪ 2L L 2 ⎪ ⎩

(3.102)

Substituindo (3.101) e (3.102) na expressão (3.100) e integrando-se no volume de cada barra, ou seja, multiplicando-se por A Lm, pois as tensões são constantes no volume de cada barra m, e considerando que o termo à direita em (3.100) vale P ␦d1, chega-se a:

54

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

⎧ ⎫ ⎤ ⎤ ⎡ ⎞ ⎪⎡⎛ ⎪ ⎪ 3 2 ⎥ E A⎪ 3 2 ⎟⎟ 2 ⎥ 2 ⎢⎜⎜ ⎢ ⎪ ⎟⎟ d1 − d1 + d2 ⎥ ␦ d2 ⎪ d2 ⎥ ␦ d1 + ⎢− ⎨⎢⎜⎜1 + ⎬ = P ␦ d1 ; ⎟ ⎪ ⎪ ⎥ 4 L ⎪⎢⎜⎝ 4 ⎟⎠ 4 ⎥ ⎢ 4 ⎪ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

(3.103)

Como ␦d1 e ␦d2 são arbitrários, deve-se ter: ⎧⎛ ⎫ ⎞ ⎪⎜⎜ ⎪ E A⎪ 3 2 ⎟⎟ 2 ⎪ ⎪ ⎪ = P; ⎟ + − 1 d d ⎨⎜⎜ ⎟⎟ 1 2⎬ ⎪ L ⎪ 4 4 ⎟⎠ ⎜ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ ⎭

(3.104)

⎛ ⎞ E A ⎜⎜ 2 3 2 ⎟⎟ ⎟⎟ = 0 ; − d + d ⎜ L ⎜⎜⎝ 4 1 4 2 ⎟⎟⎠

(3.105)

⎤⎧ ⎪d ⎫ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ P⎫ ⎪ ⎪; 1⎪ ⎥⎪ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎥ ⎪d ⎪ ⎪0 ⎬ ⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ 2⎪ ⎭ ⎪

(3.106)

Ou, matricialmente, E A ⎡⎢ 2 , 061 −0, 354 1, 061 L ⎢⎢⎣ −0, 354

⎫ P L⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ 0, 515⎫ ⎪ ⎪d1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬; ⎨ ⎬= ⎪ ⎪ ⎪⎪d ⎪ 0 171 , E A ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎭ ⎩⎪ 2 ⎪

que é, de novo, a mesma expressão (3.26) que conduz aos mesmos resultados anteriores em termos de deslocamentos nodais di nos graus de liberdade i e de mesmos alongamentos/encurtamentos ␦m, deformações ␧m, tensões ␴m e esforços normais Nm nas barras m conforme obtido no item 3.1.

3.6 Método da mínima energia potencial total 3.6.1 Energia potencial total A energia potencial total ⌸(d) é definida para sistemas conservativos como: ⌸(d ) = U (d ) + Wp (d );

(3.107)

Onde U(d) é a energia de deformação da estrutura, como definido em (3.44) e (3.46), e Wp(d) é o trabalho potencial das forças externas, dado por: Wp (d ) = − f t d ;

(3.108)

Novamente, os sobrescritos −, utilizados para representar valores finais das variáveis são retirados para efeito de simplificação. Em sistemas conservativos, U(d) é a energia que traz a estrutura de volta à configuração inicial caso as forças externas sejam retiradas da estrutura. Wp(d) é o trabalho potencial, ou seja, aquele que seria realizado caso a estrutura voltasse a sua configuração inicial e as cargas permanecessem atuando sobre ela. Assim, ⌸(d) é a energia total necessária para trazer de volta a estrutura a sua configuração inicial com as cargas atuando sobre ela.

Capítulo 3

55

A evolução do Método dos Deslocamentos

3.6.2 O princípio da mínima energia potencial total O princípio da mínima energia potencial total enuncia que os deslocamentos d de uma estrutura em equilíbrio estável tornam mínima a energia potencial total da estrutura. Em outras palavras, uma estrutura que está em equilíbrio estável se deformou de modo a gastar o mínimo de energia potencial total. Matematicamente, a condição de primeira ordem de mínimo de uma função é dada por: ∂⌸(d ) ∂d

= 0;

(3.109)

Ao combinar as expressões (3.58), (3.59), (3.107) e (3.109) pode-se escrever: ∂⌸(d ) ∂d

=

∂U (d ) ∂d

+

∂Wp (d ) ∂d

= fr (d ) − fs = 0 ;

(3.110)

Observe que a expressão (3.110) é idêntica à expressão (3.59). Isso significa que os deslocamentos da estrutura em equilíbrio estável d satisfazem a equação de equilíbrio (3.59) e minimizam a energia potencial total. Quando se usa a expressão (3.110) para obter os deslocamentos d da estrutura, diz-se que a estrutura foi calculada pelo método da mínima energia potencial total.

3.6.3 Aplicação do princípio da mínima energia potencial total A energia de deformação total da estrutura foi obtida no item 3.4.4, (vide expressão (3.68)), ou seja: 2⎫ 2 ⎧⎛ ⎪ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎜⎜ 1 EA⎪ 2 2 ⎟⎟ 2 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ ⎪ ⎪ ⎪⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 2 (d1 ) + ⎜d1 ⎟⎟ + ⎜−d1 ⎟⎟ ⎬ ; U (d1 , d2 ) = − d2 + d2 + d2 ⎨⎜⎜d1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎪ 2 L 2 ⎪⎝⎜ 2 2 ⎟⎠ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ ⎪ ⎜⎝ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

A energia potencial total é dada por:

⌸(d1 , d2 ) = U (d1 , d2 ) − P d1 ;

(3.111)

Aplicando o princípio da mínima energia potencial total, obtém-se: ⎫ ⎧⎛ ⎞ ⎜ ⎪ ⎪ 3 2 ⎟⎟ 2 ⎪ E A⎪ ⎪ ⎟⎟ d1 − d2 ⎪ ⎬− P = 0; ⎨⎜⎜⎜1 + ⎟ ⎪ 4 ⎟⎠ 4 ∂d1 L ⎪⎪⎜⎝ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎪ ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ∂⌸(d) E A ⎪ 2 3 2 ⎪ ⎪ = d + d ⎪ ⎬ = 0; ⎨− ∂d2 L ⎪ 4 1 4 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭

∂⌸(d)

=

(3.112)

ou E A ⎡⎢ 2 , 061 −0, 354 1, 061 L ⎢⎢⎣ −0, 354

⎤⎧ ⎪d ⎫ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ P⎫ ⎪ ⎪; 1⎪ ⎥⎪ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎥ ⎪d ⎪ ⎪0 ⎬ ⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎩ 2⎪ ⎭ ⎩ ⎪

⎧ ⎫ ⎧0, 515⎫ ⎪ ⎪ ⎪ P L⎪ ⎪d1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬= ⎨ ⎬; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 171 , d E A ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎭ ⎩ 2⎪

(3.113)

56

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

As expressões (3.112) e (3.113) são, respectivamente, idênticas às expressões (3.67) e (3.68) e conduzem à mesma solução em termos de deslocamentos d1 e d2, bem como de alongamentos/encurtamentos, deformações, tensões e esforços normais que dependem de d1 e d2.

3.7 Método de Rayleigh-Ritz O método de Rayleigh-Ritz representou um grande passo na evolução do método dos deslocamentos, pois contribuiu decisivamente para o aparecimento do MEF. O método de Rayleigh-Ritz é, na essência, o método do princípio da mínima energia potencial total, mas, a pequena modificação introduzida nesse último permitiu um grande avanço. Para uma melhor compreensão do método, o exemplo da treliça usado até aqui vai ser substituído por um novo exemplo de análise de uma viga em balanço representada na Figura 3.13.

Figura 3.13 Viga em balanço de inércia variável.

Para fazer a análise da viga da Figura 3.13 pelo método do princípio da mínima energia potencial total é preciso, inicialmente, obter a expressão para a energia de deformação de uma viga. A viga, supostamente, deve satisfazer a hipótese de Bernoulli (1705), a qual considera que “seções transversais retas permanecem planas e normais à tangente ao eixo fletido da viga”. O deslocamento vertical do eixo da viga ao longo do comprimento é descrito pela função v(x). Da resistência dos materiais, sabe-se que a deformação longitudinal ␧(x,y) no ponto da seção x e cota y é dada por:

␧ ( x , y ) = −y v "( x);

(3.114)

Sendo, v"( x) =

d 2 v( x) dx 2

;

(3.115)

Capítulo 3

57

A evolução do Método dos Deslocamentos

A energia de deformação específica de um material linear elástico com módulo de elasticidade E, é dada por: ␧ ␧ 1 U 0 (␧ ) = ∫ ␴ (␧ ) d␧ = ∫ E ␧ d␧ = E ␧ 2 0 0 2

(3.116)

Para um ponto da seção x e cota y da viga à flexão: 1 U 0 ( y , v( x)) = E (−y v"( x))2 2

(3.117)

A energia de deformação da viga pode ser obtida por: U ( v( x)) = ∫

L 0

∫

1 A

E (−y v"( x))2 dA dx ;

2

(3.118)

ou U ( v( x)) =

1

∫ 2

L 0

E I v"( x)2 dx ;

(3.119)

onde L é o comprimento da viga e I o momento de inércia da seção da viga, dado por: I = ∫ y 2 dA;

(3.120)

A

Como no exemplo em estudo, a inércia da seção varia ao longo do comprimento, a energia potencial total da viga pode ser obtida por: ⌸( v( x)) =

1

∫ 2

5 0

E I a v" ( x)2 dx +

1

∫ 2

10 5

E I b v"( x)2 dx − P v( x)

x =10

;

(3.121)

Observando a expressão (3.121), verifica-se que a energia potencial total da viga ⌸ é função da função que descreve a deformação do eixo da viga v (x), ainda desconhecida. Uma função de função é denominada um funcional. Esse problema difere radicalmente do problema resolvido no item 3.6.3, quando a estrutura a ser resolvida era uma treliça e ⌸ , dado em (3.111), era uma função das variáveis d1 e d2. Do ponto de vista matemático o problema anterior da treliça era um problema de minimização de uma função de duas variáveis. O problema da viga é um problema de minimização de um funcional da função v (x). Trata-se agora de encontrar a função v (x) e não mais apenas as variáveis d1 e d2 que minimizam ⌸. Esse é um problema clássico de cálculo variacional, e sua solução está fora do escopo deste livro. Como então resolver o problema da viga à flexão? É aqui que surge a ideia básica do método de Rayleigh-Ritz: a função v (x) que representa a elástica da viga é descrita por uma função aproximadora. As funções aproximadoras devem satisfazer as seguintes condições:

58

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

a) Devem ser funções polinomiais ou trigonométricas que satisfaçam às condições de contorno em deslocamento da viga. b) Devem ter derivadas contínuas até a ordem n-1, sendo n a maior ordem de derivação da função no funcional ⌸ (no caso n = 2). c) Devem ser definidas em todo o domínio do problema. A solução “exata” para o deslocamento ␦ na extremidade livre da viga da Figura 3.13 é 1875. Primeira tentativa: A primeira função aproximadora adotada é um polinômio de segundo grau. v ( x ) = ␣1 x 2 ;

(3.122)

Vale observar que a função satisfaz às condições de contorno em deslocamento do problema: a) v( x)

x= 0

= 0;

(3.123)

b) v'( x)

x=0

= 0;

(3.124)

Substituindo v"( x) = 2 ␣1 ;

(3.125)

na expressão (3.121), e integrando-se, chega-se a: ⌸(␣1 ) = 30 ␣1 2 − 1000␣1 ;

(3.126)

Vale observar que agora ⌸ é uma função do parâmetro ␣1 e não mais da função v (x). Isso significa que o problema a ser resolvido é um problema de mínimo de função e não mais de mínimo de um funcional. Essa é a contribuição do método aproximado de Rayleigh-Ritz. Aplicando-se agora o princípio da mínima energia potencial total, o qual afirma que a configuração deformada minimiza a energia potencial total de uma estrutura em equilíbrio estável, obtém-se: d ⌸ (␣1 ) d ␣1

= 0 → ␣1 = 16, 66 ;

(3.127)

logo v( x) = 16, 66 x 2 ;

(3.128)

Capítulo 3

59

A evolução do Método dos Deslocamentos

e, portanto,

␦ = v( x)

x=10

= 1666 ;

(3.129)

Observa-se que o erro no cálculo de ␦ em relação à solução exata é muito grande: erro =

1875 − 1666 1875

= 11, 1%;

(3.130)

Da resistência dos materiais sabe-se que: M( x) = −E l v" ( x);

(3.131)

Assim, no trecho (a), = −2 x 2 x16, 66 = −66, 66 ;

(3.132)

= −1x 2 x16, 66 = −33, 33 ;

(3.133)

M a ( x)

0≤x≤5

M b ( x)

5≤x≤10

A Figura 3.14 compara os momentos da solução aproximada e da solução correta (viga isostática). Os momentos são constantes ao longo de x nos dois trechos porque v (x) é uma função do segundo grau.

Figura 3.14

Diagrama de momentos na viga associado a v (x) definido em (3.128).

Observação: a solução é ruim tanto em termos de deslocamentos quanto em termos de momentos. A aproximação dos momentos é ainda pior porque ela é obtida de derivadas de funções aproximadoras. Segunda tentativa: No problema estudado a solução é muito simples porque a viga é isostática. No caso de uma viga altamente hiperestática de vários vãos com inércias diferente em cada vão e cargas distribuídas, a solução não é trivial e não estará disponível para se saber se a

60

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

solução aproximada é boa ou não. Nesse caso, o procedimento a seguir é usar uma função aproximadora mais “rica” e verificar a mudança na resposta. Quando, ao se refinar a solução, a resposta não melhora significativamente, a solução anterior já pode ser considerada boa. Na segunda tentativa, a função aproximadora é um polinômio do terceiro grau dado por: v( x) = ␣1 x 2 + ␣2 x 3 ;

(3.134)

Vale observar que a função satisfaz às condições de contorno em deslocamento (3.123) e rotação (3.124). Substituindo v "( x) = 2␣1 + 6␣2 x ;

(3.135)

em (3.121) e integrando-se, chega-se a: ⌸(␣1 , ␣2 ) = 30␣12 + 750␣1␣2 + 6750␣22 − 1000␣1 − 10000␣2 ;

(3.136)

Vale observar que P agora é uma função dos parâmetros ␣1 e ␣2. Aplicando-se o princípio da mínima energia potencial total, obtém-se: ∂⌸(␣1 , ␣2 ) ∂␣1 ∂⌸(␣1 , ␣2 ) ∂␣2

= 0;

(3.137)

= 0;

(3.138)

Que fornece,

␣1 =

800

e ␣2 =

33

−20

;

(3.139)

x3 ;

(3.140)

33

Logo, v( x) =

800 33

␦ = v( x)

x2 −

x =10

20 33

= 1818 ;

(3.141)

Usando-se (3.131), chega-se a: Ma

⎛ 1600 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = −97 , 0 ; = − 2 ⎜⎜ x= 0 ⎝ 33 ⎟⎟⎠

(3.142)

Capítulo 3

Ma

Mb

Mb

A evolução do Método dos Deslocamentos

61

⎛ 1600 120 x ⎜⎜ = − 2 − x= 5 ⎜⎜⎝ 33 33

5 ⎞⎟⎟ ⎟⎟ = −60, 6 ; ⎟⎠

(3.143)

⎛ 1600 120 x = −⎜⎜⎜ − ⎜⎝ 33 33

5 ⎞⎟⎟ ⎟⎟ = −30, 3 ; ⎠⎟

(3.144)

x= 5

x=10

⎛ 1600 120 x 10 ⎞⎟ ⎟⎟ = −12 , 1; = −⎜⎜⎜ − ⎜⎝ 33 33 ⎟⎟⎠

(3.145)

A comparação entre os momentos da solução aproximada e da solução exata (viga isostática) está apresentada na Figura 3.15.

Figura 3.15

Diagrama de momentos na viga associado a v (x) definido em (3.140).

Observações: 1) A solução melhorou significativamente em termos de deslocamentos, mas continua ruim em termos de momentos. Não é coincidência que o deslocamento na extremidade livre seja inferior ao da solução exata, pois a aproximação torna a estrutura mais rígida. 2) O problema na descontinuidade no diagrama de momentos na solução aproximada continua. A descontinuidade acontece porque v (x) e, consequentemente, sua segunda derivada, é contínua no domínio enquanto que a rigidez EI é descontínua em x = 5. 3) O problema identificado revela uma limitação do método de Rayleigh-Ritz que é o de trabalhar com apenas uma função contínua no domínio. Para se superar o problema é preciso usar duas funções, uma no trecho (a) e outra no trecho (b), impondo condições de continuidade em x = 5 para v (x) e para sua primeira derivada em relação a x, mas, liberando a curvatura para ser descontínua.

62

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Terceira tentativa: Serão usadas duas funções cúbicas aproximadoras, uma para o trecho (a) e outra para o trecho ( b): v a ( x ) = ␣1 x 2 + ␣ 2 x 3

→ 0 ≤ x ≤ 5;

(3.146)

v b ( x ) = ␣ 3 + ␣ 4 x + ␣ 5 x 2 + ␣6 x 3

→ 5 ≤ x ≤ 10 ;

(3.147)

Vale observar que a função va (x) satisfaz às condições de contorno em deslocamento definidas em (3.123) e (3.124). Além disso, serão impostas as seguintes condições de continuidade em x = 5. va

x= 5

= vb

va '

x= 5

= vb '

x= 5

(3.148)

;

x= 5

;

(3.149)

Essas duas condições permitem reduzir o número de parâmetros incógnitos de 6 para 4. Os parâmetros ␣5 e ␣6, por exemplo, podem ser escritos em função dos outros parâmetros. Aplicando-se o princípio da mínima energia potencial total, obtém-se: ∂⌸(␣1 , ␣2 , ␣3 , ␣ 4 ) ∂ ␣1 ∂⌸(␣1 , ␣2 , ␣3 , ␣ 4 ) ∂ ␣2 ∂⌸(␣1 , ␣2 , ␣3 , ␣ 4 ) ∂ ␣3 ∂⌸(␣1 , ␣2 , ␣3 , ␣ 4 ) ∂ ␣4

=0

(3.150)

=0

(3.151)

=0

(3.152)

=0

(3.153)

É possível obter os parâmetros a1, a2, a3 e a4 que, substituídos em (3.146) e (3.147), fornecem: va ( x) = 25 x 2 −

vb ( x) = 25(10 x − 25) −

10 12

x3 ;

(3.154)

⎞⎟ 10 ⎛⎜ 300 1000 ⎞⎟⎟ 80 00 10 ⎛ 1000 300 ⎜⎜ x− (25 − 10 x + x 2 ) − ⎜⎜⎜ − x + x 2 ⎟⎟ ; (3.155) ⎟⎟ + ⎟⎟⎠ 12 ⎜⎝ 4 4 ⎟⎠ 16 6 ⎜⎝ 4 4

Nota-se que

␦ = vb

x =10

= 1875;

(3.156)

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

63

é a solução exata para o deslocamento na extremidade livre. O diagrama de momentos correspondentes às expressões (3.154) e (3.155) também é exato. Observações: a) O uso de duas funções aproximadoras va(x) e vb(x) permitiu obter a solução exata do problema porque foi possível representar a descontinuidade que existe na derivada segunda da função elástica em x = 5. O procedimento usado na terceira tentativa foi o de melhorar a precisão da solução usando duas funções aproximadoras, uma para cada trecho da viga, em vez de continuar a aumentar o grau do polinômio da função v(x) no domínio de 0 a L. Mesmo usando um polinômio do quarto grau para v(x) não se pode obter a solução exata porque haverá ainda uma descontinuidade na segunda derivada de v(x) o causará uma descontinuidade no diagrama de momento, uma vez que há uma descontinuidade na rigidez EI da viga. b) Posto como está, o método de Rayleigh-Ritz ainda não é um método dos deslocamentos, no sentido clássico, porque as incógnitas não são os deslocamentos. c) Com o uso de duas funções no domínio o método deu um grande passo para se aproximar do método dos elementos finitos. Na verdade o domínio foi “discretizado” em dois subdomínios, ou elementos. d) Para transformar definitivamente o método de Rayleigh-Ritz no MEF, o método de Rayleigh-Ritz precisa substituir as incógnitas ai pelos graus de liberdade da estrutura di.

3.8 O MEF para vigas A ideia básica do modelo de elementos finitos para a estrutura consiste em usar funções aproximadoras, descritas em subdomínios ou elementos finitos, para descrever os campos de deslocamento da estrutura. A melhora da solução deve ser obtida com o uso de mais subdomínios ou elementos e não apenas com o uso de polinômios de mais alto grau. Para sistematizar as operações matemáticas do problema, as funções aproximadoras devem ser descritas em cada subdomínio por funções de interpolação previamente definidas. Para o trecho de viga de comprimento L que, posteriormente, será denominado elemento finito de viga, representado na Figura 3.16, escreve-se, inicialmente, a função aproximadora de terceiro grau em função dos parâmetros do polinômio ␣i, i = 1, ..., 4.

Figura 3.16

Elemento finito de viga.

64

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

v( x) = ␣1 + ␣2 x + ␣3 x 2 + ␣ 4 x 3 ;

(3.157)

Para se escrever a função aproximadora em função dos deslocamentos nodais, as seguintes condições de contorno são impostas de acordo com a Figura 3.17: ⎧ ⎪ v x=0 = d1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v ' x = 0 = d2 ; ⎨ ⎪ v x=10 = d3 ⎪ ⎪ ⎪⎪ = d4 ⎪v ' ⎩⎪ x=10

(3.158)

Ou, matricialmente, ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

1 0 1 0

0 0 0 1 0 0 L L2 L3 1 2 L 2 L2

⎧␣ ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ d1 ⎫ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ d ␣ ⎥⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ 2⎪ ⎥ ⎨ ⎬= ⎨ ⎬; ⎥⎪ ⎪ ⎪ ␣3 ⎪ ⎪d3 ⎪⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎦⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ d ␣ ⎪ ⎭ ⎪⎩ 4 ⎪ ⎭ ⎩ 4⎪

(3.159)

A solução de (3.159) fornece os ␣i em função dos deslocamentos nodais di. Substituindo os ␣i obtidos da solução de (3.159) em (3.157), chega-se a: v( x) = ␾1 ( x) d1 + ␾2 ( x) d2 + ␾3 ( x) d3 + ␾4 ( x) d4 ;

(3.160)

sendo, ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ␾1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␾ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪␾3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪␾4 ⎩⎪

⎛ x ⎞⎟ ⎛ x ⎞⎟ ( x) = 1 − 3 ⎜⎜⎜ ⎟⎟ + 2 ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎝ L ⎟⎠ ⎜⎝ L ⎟⎟⎠ x2 x3 ( x) = x − 2 + 2 L L 2 3 ⎛ x ⎞⎟ ⎛ x ⎞⎟ ( x) = 3 ⎜⎜⎜ ⎟⎟ − 2 ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ L ⎟⎟⎠ ⎜⎝ L ⎟⎟⎠ 2

( x) =

x3 L2

−

3

(3.161)

x2 L

As funções são denominadas funções de interpolação de viga. Qualquer função v(x) que descreva a elástica de um trecho de viga pode ser escrita em função das funções ␾i(x). As funções de interpolação de viga têm um significado cinemático que é comum a todas as funções de interpolação de todos os elementos finitos: “␾i(x) representa o campo de deslocamentos no interior do elemento para di = 1 mantendo-se todos os outros deslocamentos dj = 0, j | i.” Na Figura 3.17, onde as quatro funções de viga fi(x) estão representadas, pode-se constatar essa propriedade das funções de interpolação.

Capítulo 3

Figura 3.17

65

A evolução do Método dos Deslocamentos

Funções de forma ou de interpolação do elemento finito de viga.

Para ilustrar o uso das funções de interpolação de viga ␾i(x) na análise de uma viga, o exemplo da Figura 3.17 será reanalisado com o uso dessas funções de interpolação.

Figura 3.18

Graus de liberdade da viga em balanço modelada por 2 elementos finitos.

Observando que se deve usar L = 5 (comprimento de cada trecho) nas expressões de ␾i(x) para se obter as funções va(x) e vb (x), pode-se escrever para a viga da Figura 3.18: v␣ ( x) = ␾3 ( x) d1 + ␾4 ( x) d2 ;

(3.162)

vb ( x) = ␾1 ( x) d1 + ␾2 ( x) d2 + ␾3 ( x) d3 + ␾4 ( x) d4 ;

(3.163)

66

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Considerando as duas funções distintas va(x) e vb (x), respectivamente nos trechos (a) e (b), e integrando-as em x de 0 a L = 5 em cada trecho (subdomínio do trecho ou elemento finito) e observando-se que a força P atua no sentido negativo da direção de d3 , pode-se escrever a expressão da energia potencial total ⌸(d1, d2, d3, d4) como: ⌸(d1 , d2 , d3 , d4 ,) =

1

∫ 2

5 0

E I␣ v␣ "( x)2 dx +

1

∫ 2

5 0

E I b vb "( x)2 dx + P d3

(3.164)

Substituindo na expressão (3.166) EIa, EIb e P pelos seus valores numéricos, efetuando as integrais e usando o princípio da mínima energia potencial total como descrito em (3.109), obtém-se: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

36

6

−12

125 6

25 12

125 −6

25 −12

5 −6

25 12

125 −6

25 2

125 6

25

5

25

−6 ⎤⎥ ⎥ 25 ⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎪d ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎫ 1⎪ 2 ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ d 0 ⎪ ⎪ 5 ⎥⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ = ⎬; ⎬ ⎨ ⎨ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 6 ⎥ ⎪d3 ⎪ ⎪−10⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 25 ⎥ ⎪ d ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ 4⎭ ⎥ 4 ⎥ ⎥ 5 ⎥⎦

(3.165)

ou, K d = f;

(3.166)

Sendo K a matriz de rígidez da viga, d o vetor dos deslocamentos nodais e f o vetor das cargas nodais. Essa solução é “exata” e coincide com a última solução obtida para o método de Rayleigh-Ritz.

␦ = d3 = 1875;

(3.167)

Para se obter o sistema de equações equivalente ao sistema (3.165), mas para apenas um elemento de comprimento L e rigidez EI, fazendo uso das funções de interpolação de viga ␾i(x) e com os deslocamentos nodais de di conforme descrito na Figura 3.17, repete-se o procedimento descrito a partir de: v( x) = ␾1 ( x)d1 + ␾2 ( x)d2 + ␾3 ( x)d3 + ␾4 ( x)d4 ;

(3.168)

Seguindo os mesmos passos anteriores com ⌸(d1, d2, d3, d4) dado agora por: ⌸(d1 , d2 , d3 , d4 ,) =

Chega-se a:

EI 2

∫

L 0

4

v"( x)2 dx − ∑ f i di ; i =1

(3.169)

Capítulo 3

⎡ 12 E I ⎢ ⎢ L3 ⎢ ⎢ 6EI ⎢ ⎢ L2 ⎢ ⎢ −12 E I ⎢ ⎢ L2 ⎢ ⎢ −6 E I ⎢ ⎢ L2 ⎢⎣

A evolução do Método dos Deslocamentos

6EI

−12 E I

L2 4EI

L3 −6 E I

L −6 E I

L2 12 E I

L2 2EI

L3 6EI

L

L2

−6 E I ⎤⎥ ⎥ L2 ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪d ⎪ ⎪ f1 ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ 2 E I ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪d ⎪ ⎪ f ⎪ ⎪ L ⎪ 2⎪ 2⎪ ⎥⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬; ⎥ ⎪ ⎪ f3 ⎪ 6 E I ⎥ ⎪d3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ L d f ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4⎭ 4⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎥ 4EI ⎥ ⎥ L ⎥⎦

67

(3.170)

Observe que a matriz K obtida em (3.170) é a mesma matriz de rigidez do elemento de viga da análise matricial de estruturas e que o termo Kij pode ser obtido de: L

K ij = E I ∫ ␾1 "( x)␾ j "( x) dx 0

(3.171)

3.9 O método dos resíduos ponderados de Galerkin Como visto no item anterior, quando existe um funcional e um correspondente princípio de mínimo associado a um dado problema de engenharia, o MEF pode ser formulado com as funções que representam os campos incógnitos descritas por funções de interpolação de variáveis nodais. Alternativamente, as equações do MEF podem ser obtidas diretamente das equações diferenciais do problema. A vantagem desse enfoque é que o método pode ser aplicado a uma gama de problemas para os quais não há um funcional disponível. Seja um problema unidimensional representado pela equação diferencial dada a seguir, onde u(x) é uma função incógnita no domínio do problema. L(u( x)) = 0

(3.172)

Com as condições de contorno dadas por: C(u( x)) = 0

(3.173)

Uma função aproximadora ua(x) que aproxima u(x) no domínio do problema e que contenha n parâmetros incógnitos pode ser escrita como: ua ( x) = ∑ i =1 N i ( x)di ; n

(3.174)

Onde Ni(x) são as funções de interpolação das variáveis nodais di que passam a ser as incógnitas do problema. Matricialmente, a expressão (3.176) pode ser reescrita como: ua ( x) = N ( x)1 xn d nx 1 ;

(3.175)

68

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

A expressão (3.175) representa a função aproximadora aplicada em um subdomínio ou em um elemento no MEF. Ao usar (3.175), o campo u(x) está sendo representado por um elemento apenas. A opção de usar somente um elemento no domínio é feita aqui apenas para simplificar a apresentação do método dos resíduos ponderados, mas não é uma limitação do método. Em geral, vários elementos podem ser usados para representar o campo das funções incógnitas. Quando se substitui a função aproximadora ua(x) dada em (3.175) na expressão (3.172), a expressão não deve satisfazer a igualdade em todo o domínio do problema fornecendo o que se costuma chamar de função resíduo R(x) da solução. L(ua ( x)) = R( x) ≠ 0 ;

(3.176)

Os melhores valores de di são aqueles que reduzem a função resíduo R(x) de uma forma integral no domínio do problema. Como, no entanto, há n incógnitas di para o problema, são necessárias n equações para obtê-las. Uma maneira de se obter as n equações é usar n funções de ponderação Wi(x) e, consequentemente, n equações da forma:

∫ W (x)R(x) dx = 0; i

(3.177)

v

A expressão (3.177) é a equação fundamental do método dos resíduos ponderados. No método de Galerkin usa-se: Wi ( x) = N i ( x),

i = 1, …n;

(3.178)

Ou seja, as funções de ponderação Wi(x) são iguais às funções de interpolação Ni(x).

3.9.1 Exemplos de aplicação do método de Galerkin 3.9.1.1 Equação de equilíbrio de uma barra de treliça Seja a barra de treliça tracionada com área da seção transversal A e módulo de elasticidade do material E representada na Figura 3.20.

Figura 3.19 Barra tracionada.

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

69

A equação de equilíbrio das forças horizontais para um elemento dx da barra é dada por: ⎛ d ␴ x ( x) ⎞⎟⎟ ⎜⎜ dx⎟⎟ A − ␴ x ( x) A = 0 ; ⎜⎜␴ x ( x) + ⎟⎟⎠ dx ⎜⎝

(3.179)

ou d ␴ x ( x) dx

A = 0;

(3.180)

A lei de Hooke fornece:

␴ x ( x) = E ␧ x ( x);

(3.181)

E a equação de compatibilidade:

␧ x ( x) =

d u( x) dx

(3.182)

;

logo, substituindo (3.182) em (3.181) e, em seguida, (3.181) em (3.180), chega-se a: EA

d 2 ux ( x) dx 2

= 0;

(3.183)

Que representa a equação diferencial do problema no domínio 0 ≤ x ≤ L. A solução de equações diferenciais conduz a dois tipos de problema, nomeadamente: problema de valor de contorno e problema de valores iniciais. O problema de valor de contorno só necessita da especificação das condições de contorno para sua solução, enquanto o de valores iniciais precisa também das condições iniciais das variáveis definidas no espaço do tempo. A expressão (3.183) representa um problema de valor de contorno. As condições de contorno naturais desse problema são:

␴ x ( x) A ␴ x ( x) A

x= 0

= −P ;

(3.184)

= P;

(3.185)

x= L

Seja o campo u(x) aproximado pela função de interpolação ua(x) dada por: ua ( x) = N 1 ( x)u1 + N 2 ( x)u2 = ∑ j =1 N j ( x)u j ; 2

(3.186)

Sendo as funções de interpolação dadas por, x N 1 ( x) = 1 − ; L

(3.187)

70

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

N 2 ( x) =

x L

(3.188)

;

Os deslocamentos u1 e u2 são os dois parâmetros incógnitos. A Figura 3.20 ilustra as funções de interpolação N1(x) e N2(x) da função aproximadora ua(x).

Figura 3.20 Funções de interpolação do deslocamento longitudinal u (x).

Nesse caso, a expressão (3.176) vale: L(ua ( x)) = R( x) = EA

d 2 ua ( x) dx 2

= EA

d2 dx 2

(∑

2 j =1

)

N j ( x)u j ;

(3.189)

ou L(ua ( x)) = EA∑ j =1 N j ( x) ,, u j ; 2

(3.190)

Onde cada sobrescrito vírgula representa uma derivada da função em relação a x. O método de Galerkin fornece duas equações:

∫

L 0

L

N i ( x)R( x) = EA∫ N i ( x)∑ j =1 N j ( x),, u j dx = 0, i = 1, 2 ; 2

0

(3.191)

A derivada do produto de duas funções f(x) e g(x) em relação a x, vale: ⎡ f ( x) g( x)⎤ = f ( x), g( x) + f ( x) g( x), ; ⎣⎢ ⎦⎥

(3.192)

f ( x) g( x), = ⎡⎢ f ( x) g( x)⎤⎥ − f ( x), g( x); ⎣ ⎦

(3.193)

,

logo, ,

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

71

Integrando os dois lados de (3.193) de 0 a L, obtém-se:

∫

L 0

f ( x) g( x), dx = ∫ ⎡⎢ f ( x) g( x)⎤⎥ dx − ∫ f ( x), g( x) dx ; ⎦ 0 ⎣ 0

(3.194)

f ( x) g( x), dx = ⎡⎢ f ( x) g( x)⎤⎥ − ∫ f ( x), g( x) dx ; ⎣ ⎦0 0

(3.195)

L

L

ou

∫

L

L

L

0

A expressão (3.195) é conhecida na matemática como técnica de integração por partes. Sejam: ⎧ f ( x) = N ( x) ⎪ ⎪ i ⎪ ⎨ 2 ⎪ g( x) = ∑ j =1 N j ( x),, ui ; ⎪ ⎪ ⎩

(3.196)

Considerando (3.196), (3.191) e (3.195), chega-se a: L

EA∫ N i ( x)∑ j=1 N j ( x),, u j dx = 2

0

∫

L 0

; i = 1,...2

(3.197)

L 2 2 ⎡ ⎤ EA ⎢ N i ( x)∑ j=1 N j ( x),, u j ⎥ − EA∫ N i ( x)∑ j=1 N j ( x),, u j = 0 0 ⎣ ⎦0 L

Examinando-se a primeira parcela à direita de (3.197) e considerando que: N 1 ( x ), =

−1

N 2 ( x ), =

L 1 L

;

(3.198)

;

(3.199)

Obtém-se, para i = 1: ⎤ ⎡⎛ EA x ⎞⎟⎛⎜ u − u1 ⎞⎟⎟⎥ ⎢ =− EA ⎢⎜⎜⎜1 − ⎟⎟⎜⎜ 2 (u − u1 ) = −P ; ⎟ ⎥ ⎟ ⎟ ⎜ ⎢⎜⎝ l ⎟⎠⎜⎝ L ⎟⎠⎥ L 2 ⎦0 ⎣

(3.200)

⎡⎛ ⎞⎛ u − u ⎞⎤ EA ⎟ ⎢ x ⎟⎜ 1 ⎟⎥ EA ⎢⎜⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ 2 (u − u1 ) = P ; ⎟⎟⎥ = − ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎢⎝ L ⎠⎜⎝ L ⎠⎥ L 2 ⎦0 ⎣

(3.201)

L

E, para i = 2: L

72

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

A segunda parcela à direita de (3.197) pode ser reescrita como: L

EA∫ N i ( x), ∑ j =1 N j ( x), u j = ∑ j =1 K ij u j , i = 1, 2 ; 2

2

0

(3.202)

onde, L

K ij = EA∫ N i ( x)N j ( x) dx ; 0

(3.203)

Considerando agora (3.200), (3.201) e (3.202), é possível reescrever (3.197) na forma matricial como: K d = f,

(3.204)

onde K, d e f são, respectivamente, a matriz de rigidez do elemento de treliça no sistema local de coordenadas, o vetor dos deslocamentos nodais e o vetor das cargas nodais, dados por: K=

⎧ ⎧−P⎪ ⎫ ⎪ ⎪u ⎫ ⎪ E A ⎡⎢ 1 −1 ⎤⎥ ⎪ ; d =⎪ ⎨ ⎪ ⎬; ⎨ 1 ⎬; f = ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎦ L ⎣ −1 ⎪ ⎪ ⎩P⎪ ⎭ ⎪ ⎪⎭ ⎩u2 ⎪

(3.205)

O sistema de equações lineares algébricas dado em (3.204) representa as equações de equilíbrio de uma barra de treliça no seu sistema local. 3.9.1.2 Equações de equilíbrio de uma barra de viga A equação diferencial de equilíbrio de uma viga sem cargas atuantes é dada por: EI

d 4 v( x) dx 4

= 0,

(3.206)

E é o módulo de elasticidade do material da viga, I é o momento de inércia da seção transversal e v(x) a função que descreve os deslocamentos transversais da viga. As condições de contorno naturais do problema são: EI

EI

EI

EI

d 2 v( x) dx 2

x= 0

d 3 v( x) dx 3

x= 0

d 2 v( x) dx 2

x= L

d 3 v( x) dx 3

x= L

= M1 ;

(3.207)

= −Q1 ;

(3.208)

= M2 ;

(3.209)

= −Q2 ;

(3.210)

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

73

Usando-se a função aproximadora dada em (3.168),

va ( x) = ␾1 ( x)d1 + ␾2 ( x)d2 + ␾3 ( x)d3 + ␾4 ( x)d4 ; Onde as funções de interpolação ␾i(x) são as que estão descritas em (3.161) e repetindo-se o procedimento análogo ao que foi adotado no item anterior, ou seja, aplicando-se o método de Galerkin, é possível chegar a um sistema de equações lineares algébricas que representa as equações de equilíbrio de uma barra de viga, sendo agora o elemento Kij da matriz de rigidez dado por: L

K ij = E I ∫ ␾i "( x)␾ j "( x)dx 0

(3.211)

Observa-se que a expressão dada em (3.211) coincide com o resultado obtido em (3.171) para o coeficiente de rigidez Kij obtido pelo MEF.

3.10 Generalização do MEF 3.10.1 Formulação geral do MEF O MEF descrito no item anterior será generalizado nesse item de modo que ele possa ser aplicado também a estruturas contínuas bi e tridimensionais. Inicialmente, as seguintes hipóteses são introduzidas para o contínuo: a) O contínuo é idealizado como formado por elementos com diferentes formas geométricas, como triângulos, quadriláteros, tetraedros etc. (os elementos finitos), ligados por alguns nós situados no contorno. b) Matrizes de interpolação para o elemento m (matriz Nm), cujos termos são funções conhecidas como funções de interpolação ou de forma, que fornecem os campos de deslocamento (vetor um) no interior dos elementos em função dos deslocamentos nodais do elemento dm, ou seja, um = Nm dm. c) O vetor das deformações no interior dos elementos (vetor ␴m) pode ser obtido por derivação dos campos de deslocamentos um em relação às coordenadas do sistema gerando a expressão ␧m = Bm dm. d) As tensões no interior dos elementos (vetor ␴m) são obtidas a partir das deformações por meio de relações constitutivas. Para um corpo homogêneo e um material de comportamento linear elástico, é possível definir apenas uma matriz constitutiva C que relaciona as deformações a as tensões no elemento por ␴m = C ␧m. Para materiais isotrópicos, os termos da matriz C dependem apenas dos seguintes parâmetros mecânicos do material: E, módulo de elasticidade longitudinal e ␯, coeficiente de Poisson. e) Uma matriz de rigidez (matriz Km) e um vetor de cargas equivalentes nodais fm para o elemento podem ser obtidos a partir das matrizes geradas Nm , Bm e C.

74

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

f) As matrizes de rigidez e as cargas nodais equivalentes de cada elemento são combinadas adequadamente de forma a montar a matriz de rigidez global Kg e o vetor global de cargas nodais fg da estrutura. g) Os deslocamentos globais são calculados da equação de equilíbrio global da estrutura Kg dg = fg. A partir do vetor dos deslocamentos global da estrutura dg é possível recuperar deslocamentos nodais de cada elemento dm, e, em seguida, os calcular todas as respostas da estrutura em termos de deformações e tensões em qualquer ponto da estrutura fazendo uso das equações anteriores. A expressão da matriz de rigidez para um elemento finito pode ser obtida por meio da expressão (3.100) do princípio dos deslocamentos virtuais generalizado. Ela está repetida a seguir, mas em uma forma mais geral para que os vetores das forças volumétricas q, superficiais p e das forças nodais f, possam ser considerados na formulação do problema. Além disso, considera-se que a estrutura possui apenas um elemento, de modo que se adota nb = m = 1 em (3.100).

∫

V1 0

V1

␦␧ 1 t ␴ 1 dV1 = ∫ ␦ u1 t q1 dV1 + ∫ 0

⌫1 0

␦ u1 t p1 d⌫ 1 + ␦ d1 t f1 ;

(3.212)

As integrais em V1 e ⌫1 significam, respectivamente, integrais no domínio e no contorno do elemento 1. Nas expressões a seguir, será abandonado o subescrito 1 referente ao único elemento por questão de simplicidade. Lendo com atenção os itens de (a) a (h) descritos anteriormente, as seguintes expressões podem ser escritas relativas às grandezas virtuais: ␦u = N ␦d

(3.213)

␦␧ = B ␦d ;

(3.214)

Para as grandezas reais, as expressões são u = N d;

(3.215)

␧ = B d;

(3.216)

␴ = C ␧ =C B d;

(3.217)

Substituindo as expressões de (3.213) a (3.217) na expressão (3.212), chega-se a: ⌫k V ⎛ V ⎞ ␦ d t ∫ B t C B dVd = ␦ d t ⎜⎜ ∫ N t q dV + ∫ N t p d⌫ + f ⎟⎟⎟; ⎜⎝ 0 0 0 ⎠

(3.218)

Por ser arbitrário, o vetor dos deslocamentos virtuais nodais transposto ␦dt que aparece nos dois lados da expressão (3.215) pode ser eliminado da equação, o que resulta em: K d = fq + f p + f ;

(3.219)

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

75

onde V

K = ∫ B t C B dV ; 0

(3.220)

V

fq = ∫ N t q dV ; 0

⌫

fp = ∫ N t p d⌫ ; 0

(3.221) (3.222)

Nas expressões mencionadas, K é a matriz de rigidez do elemento, fq o vetor das forças nodais equivalentes às cargas de volume, fp o vetor das forças nodais equivalentes às cargas de superfície e f o vetor das forças nodais propriamente ditas. Uma vez calculado d em (3.219), u, ␧ e ␴, podem ser obtidos pelas expressões (3.215), (3.216) e (3.217), respectivamente.

3.10.2 Critérios de convergência do MEF As funções de interpolação ou funções de forma da matriz de interpolação N são como funções aproximadoras do método de Rayleigh-Ritz. A diferença entre as duas funções está nos parâmetros incógnitos. Enquanto no método de Rayleigh-Ritz os parâmetros incógnitos são coeficientes generalizados, no MEF, eles são os deslocamentos nodais. Nos dois métodos, todavia, as funções tentam aproximar as soluções “exatas”. No método de Rayleigh-Ritz, melhores soluções são obtidas quando se usam polinômios de mais alto grau ou uma série trigonométrica com mais termos como funções aproximadoras. No MEF, resultados mais precisos são esperados quando se usa uma malha mais refinada de elementos. Não podemos esquecer, todavia, que em ambos os casos as soluções são aproximadas. Uma estrutura modelada por elementos finitos é uma estrutura, em geral, mais rígida que a estrutura real porque as funções aproximadoras usadas para representar os campos de deslocamento, na maioria das vezes, não conseguem reproduzir o campo real de deslocamentos. Assim, elas impõem restrições à livre deformação da estrutura de modo que ela possa minimizar sua energia potencial total. Para garantir que as soluções convirjam para a solução “exata” no MEF alguns critérios devem ser satisfeitos na sua escolha. Antes de apresentar os critérios de convergência a serem satisfeitos para que a solução aproximada via MEF convirja para a solução “exata”, é conveniente falar de completidade de um polinômio. Um polinômio f(x,y) no espaço bidimensional será utilizado para esclarecer o conceito de completidade de um polinômio. O triângulo de Pascal mostrado na Figura 3.21 ilustra os termos de um polinômio completo do terceiro grau.

Figura 3.21

Triângulo da Pascal com os termos do polinômio completo p (x,y).

76

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

O polinômio dado a seguir é um polinômio incompleto do terceiro grau, pois não possui todos os termos do polinômio completo, ou seja: f ( x , y ) = ␣1 + ␣2 x + ␣3 y + ␣ 4 x 2 + ␣5 xy + ␣6 y 2 + a7 x 3 + ␣8 y 3 ;

(3.223)

Para que seja completo ele deveria ter também os termos x2y e y x2. Seja ␾(x,y,z) uma função aproximadora que descreve o campo de deslocamentos de um elemento e P(␾(x,y,z)) a energia potencial total de uma estrutura modelada com elementos formulados com essas funções. Suponha que ⌸(␾(x,y,z)) contenha derivadas de ordem m de ␾(x,y,z). Para que a solução se aproxime da solução exata da estrutura quando se refina a malha com esses elementos, alguns critérios precisam ser satisfeitos. Esses critérios, denominados critérios de convergência, são os seguintes: „Critério 1: dentro de cada elemento, a função aproximadora ␾(x,y,z) precisa con-

ter um polinômio completo de grau m. „Critério 2: na fronteira entre elementos, deve haver continuidade ␾(x,y,z) e de

suas derivadas até a ordem m − 1. „Critério 3: seja uma malha de elementos submetida a condições de contorno

compatíveis com valores constantes de qualquer das derivadas de ordem m de ␾(x,y,z). Então, quando a malha é refinada, cada elemento deve reproduzir essas deformações constantes. O critério 1 assegura que ␾ será contínua dentro do elemento e é necessário (mas nem sempre suficiente) para garantir a satisfação do critério 3. O critério 2 é satisfeito para qualquer malha para elementos compatíveis (conforming elements). Elementos incompatíveis (nonconforming elements) devem se tornar compatíveis com o refinamento da malha. Muitos elementos bem sucedidos de placa à flexão são incompatíveis com relação às rotações na fronteira para malhas pouco refinadas, mas tornam-se compatíveis com o refinamento da malha. O critério 3 é satisfeito para a grande maioria dos elementos. Ele pode ser usado para testar os critérios 1 e 2 no que se denomina “Patch test” na literatura.

3.10.3 Montagem da matriz de rigidez global e do vetor global de cargas equivalentes nodais O MEF herdou da análise matricial de estruturas reticuladas a técnica de montagem da matriz de rigidez global da estrutura a partir da contribuição das matrizes de rigidez local de cada elemento da malha. Isso foi possível porque no modelo de elementos finitos, assim como na análise matricial de estruturas, a estrutura é representada por elementos conectados entre si por meio de nós. Na análise matricial de estruturas, os elementos são barras com dois nós nas extremidades, no método dos elementos finitos, eles são polígonos ou poliedros e os nós estão em geral no contorno (normalmente nos vértices) dos elementos. As palavras polígono, poliedro e vértice são usadas aqui de forma livre, uma vez que alguns elementos podem ter lados curvos ou superfícies laterais curvas. Há também a possibilidade de haver nós no interior do elemento em alguns elementos finitos, mas esse caso também se adapta bem à técnica de montagem.

Capítulo 3

77

A evolução do Método dos Deslocamentos

Duas ideias básicas são utilizadas para a montagem da matriz de rigidez global: a) Associar a cada nó da estrutura graus de liberdade que dependem do número do nó. Em análise de estruturas bidimensionais, por exemplo, cada nó tem dois graus de liberdade, nomeadamente deslocamento horizontal (eixo x) e deslocamento vertical (eixo y). Ao nó de número i na estrutura são, normalmente, associados os graus de liberdade 2i − 1, na direção horizontal, e 2i, na direção vertical. Para estruturas tridimensionais em que cada nó tem três graus de liberdade associados, respectivamente, aos eixos x, y e z, os deslocamentos do nó i são associados aos graus de liberdade 3i − 2, 3i − 1 e 3i. A Figura 3.22 esclarece.

Figura 3.22

Graus de liberdade associados ao nó i no triângulo e no tetraedro.

b) Associar a numeração local dos nós em cada elemento à numeração global dos nós a nível global, ou seja, da estrutura. A associação da numeração local dos nós do elemento com a numeração global dos nós da estrutura é feita pela matriz de incidência Inc. A matriz Inc indica como o elemento se conecta com a estrutura. Supondo-se que o modelo da estrutura tem ne elementos e que cada elemento tem n nós, a matriz de incidência teria ne colunas e n linhas. Seja o elemento triangular de número m com três nós nos vértices do elemento com numeração local 1, 2 e 3 no sentido anti-horário (no próximo capítulo será mostrado porque se numeram os nós do elemento triangular dessa maneira). A escolha de qual será o nó 1 é arbitrária, mas, uma vez definido, as posições dos outros dois ficam determinadas pela regra do sentido anti-horário. Na malha de elementos finitos da estrutura os nós correspondentes têm numeração 10, 12 e 15, por exemplo. Para esse exemplo, a coluna m da matriz Inc teria 10, 12 e 15 na primeira, segunda e terceira linha, respectivamente, como indicado a seguir: linha 1 linh ne ⎡  a   ⎤ m    linha ⎥ ⎢ ⎢ nó 1 elemento 1 10 nó 1 elemento ne ⎥ ⎥ ⎢ Inc = ⎢ nó 2 elemento 2 … 12 …nó 2 elemento ne ⎥ ; ⎥ ⎢ ⎢ nó 3 elemento 3 15 nó 3 elemento ne ⎥⎦ nxm ⎣

(3.224)

A Figura 3.23 ilustra a relação entre as numerações local e global dos nós do elemento.

78

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Figura 3.23 Relação entre as numerações local e global dos nós do elemento m.

Com a regra (a) os graus de liberdade do elemento (local) e global seriam os indicados na Figura 3.24.

Figura 3.24 Relação entre os graus de liberdade local e global do elemento m.

Com as regras (a) e ( b) é possível agora criar uma expressão que relaciona os 6 graus de liberdade no sistema local com os 6 graus de liberdade do sistema global para os 3 nós do elemento m que serão armazenados na matriz de ponteiros dg cujo elemento dgi,m representa o grau de liberdade na direção global correspondente ao grau de liberdade do elemento i = 1,..,6 do elemento m = 1,...,ne, ou seja: ⎧dg = 2 ⎪ ⎪ 1 ,m ⎪ ⎪ ⎪ dg =2 ⎪ 2 ,m ⎪ ⎪ ⎪ ⎪dg 3 ,m = 2 ⎨ ⎪ dg 4 ,m = 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dg 5 ,m = 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dg = 2 ⎪ ⎩ 6 ,m

Inc1,m − 1 Inc1,m Inc2 ,m − 1 Inc2 ,m Inc3 ,m − 1 Inc3 ,m

;

(3.225)

Capítulo 3

A evolução do Método dos Deslocamentos

79

Usando os valores de incidência Inc definidos na coluna m da expressão (3.224), a expressão (3.225) passa a armazenar os seguintes valores: ⎧dg = 19 ⎪ ⎪ 1 ,m ⎪ ⎪ ⎪ dg = 20 ⎪ 2 ,m ⎪ ⎪ ⎪ ⎪dg 3 ,m = 23 ; ⎨ ⎪ dg 4 ,m = 24 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dg 5 ,m = 29 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dg = 30 ⎪ ⎩ 6 ,m

(3.226)

Os valores correspondentes aos graus de liberdade globais da expressão (3.226) são os valores representados na Figura 3.25. Com os graus de liberdade do sistema global armazenados na matriz dg pode-se proceder a montagem sistemática da matriz de rigidez global Kg a partir das contribuições das matrizes dos elementos no sistema local Ke como indicado a seguir: ⎧ ⎪ m = 1,…, ne ⎪ ⎪ ⎪ i = 1,…, 6 ⎪ ⎪ ; ⎨ j = 1,…, 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Kg = Kg + Ke ⎪ i,j dgi , m , dg j , m ⎪ ⎪ ⎩ dgi ,m ,dg j ,m

(3.227)

Observa-se que, pela expressão (3.227), o termo Ke 2,5 da matriz de rigidez local do elemento m da Figura 3.25, por exemplo, será somado ao termo K20,29 da matriz global. Vale notar que esse mesmo termo da matriz de rigidez global pode receber contribuições de outros elementos da malha e por isso a rigidez global deve ser acumulada com as contribuições das matrizes de rigidez do sistema locais dos elementos. Analogamente, o vetor global de cargas nodais equivalentes fg deve ser acumulado com as contribuições dos vetores das cargas equivalentes nodais que atuam no elemento fe pela expressão. ⎧ ⎪ ⎪ m = 1,…, ne ⎪ ⎪ ⎪ i = 1,…, 6 ; ⎨ ⎪ ⎪ f f f = + ⎪ g g dg ei ⎪ ⎪ i ,m ⎩ dgi ,m

(3.228)

CAPÍTULO

4

Problemas de estado plano

4.1 Introdução Estruturas de estado plano ou chapas são estruturas bidimensionais, ou seja, aquelas em que uma dimensão, denominada espessura t, normalmente medida na direção do eixo z do sistema de coordenadas cartesiano, é muito menor do que as outras duas medidas nas direções dos eixos x e y do plano xy como indicado na Figura 4.1. As forças atuantes nessas estruturas agem também no plano xy. Exemplos de estrutura de estado plano em E ngenharia Civil são as vigas-parede e uma fatia de espessura constante de uma barragem de gravidade ou de um muro de arrimo.

4.1.1 Equações de compatibilidade Os campos de deslocamento dessas estruturas são u(x,y) e v(x,y), respectivamente nas direções dos eixos x e y como mostra a Figura 4.1.

Figura 4.1

Chapa plana de espessura t com plano médio no plano xy.

Capítulo 4

Problemas de estado plano

81

As componentes do vetor de deformações de interesse nesse problema são x, y e xy, nomeadamente deformações longitudinais nas direções dos eixos x e y e a deformação de distorção no plano xy. As equações de compatibilidade são dadas por: ⎧ ⎪ ∂u ⎪ ⎪ ␧x = ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ ; ⎨␧ y = ⎪ y ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u ∂v ⎪ ⎪ ␥ xy = + ⎪ ⎪ ∂y ∂x ⎪ ⎩

(4.1)

Ou, matricialmente,

⎧ ␧ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ␧y ⎪ ⎪ ⎪ ␥ ⎪ ⎪ ⎩ xy

⎡ ⎢ ⎫ ⎢⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎬= ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎭ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂ ∂x 0 ∂ ∂y

⎤ 0 ⎥⎥ ⎥ ⎧ ⎫ ∂ ⎥⎥ ⎪ ⎪ u ⎪ ⎪ ⎬; ⎥⎨ ⎪ ∂y ⎥ ⎪ v ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎥ ∂ ⎥ ⎥ ∂x ⎥⎦

(4.2)

ou, sucintamente,  = L u;

(4.3)

Onde  é o vetor das deformações, L a matriz operadora de derivação e u o vetor dos deslocamentos.

4.1.2 Equações constitutivas Existem dois tipos de estruturas planas: as que estão em estado plano de tensão e as que estão em estado plano de deformação. As estruturas em estado plano de tensão caracterizam-se por apresentarem tensão normal nula, z = 0, na direção do eixo z normal ao plano xy onde se localiza sua superfície média. As deformações associadas à direção do eixo z são livres, nesse caso, z ≠ 0. As estruturas em estado plano de deformação, ao contrário, têm deformação impedida na direção do eixo z, z = 0, e tensões normais, z ≠ 0. 4.1.2.1 Estado plano de tensão As componentes de tensão que caracterizam um estado plano são x , y e xy , respectivamente, a tensão normal na direção x, a tensão normal na direção y e a tensão cisalhante. Dois parâmetros são suficientes para descrever o comportamento mecânico das estruturas em estado plano, caso elas tenham um comportamento isotrópico e linear elástico, que são o módulo de elasticidade longitudinal E e o coeficiente de Poisson . Se um elemento infinitesimal dxdy de uma estrutura em estado plano de tensões no plano xy estiver submetido ao seguinte estado de tensão longitudinal x ≠ 0 e y = xy = 0,

82

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

ou seja, a um estado uniaxial de tensão na direção x, estando a estrutura livre para se deformar em todas as direções, ela irá se alongar na direção x segundo a lei de Hooke:

␧x =

␴x

(4.4)

E

E encurtar-se na direção y, segundo o efeito de Poisson:

␧ y = −␯␧ x = −␯

␴x

(4.5)

E

Devido à propriedade de isotropia e de comportamento linear elástico do material, que permite a superposição de efeitos, caso o estado de tensão seja x ≠ 0 e y ≠ 0, ou seja, um estado biaxial de tensões, obtém-se: ⎧ ⎪ ␴ x ␯␴ y ⎪ ⎪ ␧x = − ⎪ ⎪ ⎪ E E ⎨ ⎪ ␴y ␯␴ ⎪ ⎪ ␧y = − x + ⎪ ⎪ E E ⎪ ⎩

(4.6)

Se o elemento estiver submetido a dois binários de tensões cisalhantes que, por condições de equilíbrio, devem ser autoequilibrados como representado na Figura 4.2, seus ângulos retos irão fechar ou abrir de:

␥ xy =

Figura 4.2

2(1 + ␯ ) E

␶ xy =

␶ xy G

;

Representação da deformação por cisalhamento.

(4.7)

Capítulo 4

83

Problemas de estado plano

O parâmetro G é denominado módulo de elasticidade transversal e depende de E e  como indicado a seguir: G=

E 2 (1 + ␯ )

;

(4.8)

As relações constitutivas podem ser escritas matricialmente: ⎧ ⎪ ␧x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ␧y ⎪ ⎪ ⎪ ␥ ⎪ ⎪ ⎩ xy

⎫ ⎪ ⎡ 1 −␯ ⎪ 0 ⎪ ⎢ ⎪ 1 ⎪ 1 0 ⎬ = ⎢⎢ −␯ ⎪ E⎢ 0 ⎪ 0 2( ( 1+ ) ␯ ⎪ ⎣ ⎪ ⎪ ⎭

⎪ ⎤⎧ ⎪ ␴x ⎥⎪ ⎪ ␴ ⎥⎪ y ⎥⎨ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎦ ⎪ ␶ xy ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬; ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎪

(4.9)

ou, sucintamente,  = D ;

(4.10)

Onde D é a matriz de elasticidade referente ao estado plano de tensão. A inversa da matriz D relaciona o vetor das tensões com o vetor das deformações:  = D−1  = C ;

(4.11)

A equação (4.11) representa o que se chama de lei de Hooke generalizada, pois ela representa uma generalização para o caso de estado plano de tensão da lei de Hooke unidimensional. Nessa equação, C = D−1 é denominada matriz constitutiva para o estado plano de tensão, dada por: ⎡ 1 ␯ 0 ⎢ ⎢ ␯ 1 C= 0 ⎢ 1 −␯ 2 ⎢ 1 −␯ ⎢ 0 0 ⎢ 2 ⎣ E

⎤ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(4.12)

4.1.2.2 Estado plano de deformação Como visto anteriormente, o estado plano de deformação é caracterizada por, z ≠ 0 e z = 0, logo, a partir de: ⎧ ⎪ ␴x ␯ ␴y ␯ ␴z ⎪ ⎪ − − ␧x = ⎪ ⎪ E E E ⎪ ⎪ ⎪ ␴ ␯␴ ␯␴ ⎪ y ⎪ ␧y = − x + − z ⎪ ⎪ ⎪ E E E ; ⎨ ⎪ ␯ ␴x ␯ ␴y ␴ ⎪ ⎪ − + z ␧y = − ⎪ ⎪ E E E ⎪ ⎪ ⎪ 2 ( 1 ) + ␯ ␶ ⎪ xy ⎪ ␥ xy = ⎪ ⎪ E ⎪ ⎩

(4.13)

E, considerando z = 0, obtém-se: z = (x + y);

(4.14)

84

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Substituindo (4.14) nas duas primeiras equações (4.13), obtém-se: ⎧ ␴ ⎪ ␴ ⎪ ␧ x = (1 − v 2 ) x − v(1 + v ) y ⎪ ⎪ E E ⎪ ⎪ ␴ ; ␴ ⎪ ⎨ ␧ y = −v(1 + v ) x + v(1 − v 2 ) y ⎪ E E ⎪ ⎪ 2(1 + v) ⎪ ␶ xy Yxy = ⎪ ⎪ E ⎪ ⎩

(4.15)

ou, ainda, matricialmente: ⎧ ⎪ ␧x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ␧y ⎪ ⎪ ⎪ Y ⎪ ⎪ ⎩ xy

⎧⎪ ⎫ ⎪ ⎡ 1− ␯ ⎪ −␯ 0 ⎤⎥ ⎪⎪ ␴ x ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ 1+ ␯ ⎢ ⎪ − ␯ 0 ⎥⎥ ⎪⎨ ␴ y ⎬= ⎢ −␯ 1− ⎪ ⎪ E ⎢ ⎪ 0 0 2 ⎥⎦ ⎪⎪ ␶ ⎣ ⎪ ⎪⎪ xy ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭⎪

(4.16)

ou, sucintamente,  = D ;

(4.17)

Multiplicando ambos os lados da expressão (4.17) por D−1 = C, chega-se a uma equação análoga à expressão (4.11) onde a matriz C é agora denominada matriz constitutiva para uma estrutura em de estado plano deformações, dada por: ⎡ 1− ␯ 0 ␯ ⎢ ⎢ ␯ E − 1 0 ␯ ⎢ C= (1 − 2 ␯) (1 + ␯)(1 − 2 ␯) ⎢⎢ 0 0 ⎢ 2 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(4.18)

4.2 Elemento triangular de deformação constante O elemento triangular de 3 nós representado na Figura 4.3 é chamado na literatura de triângulo de deformação constante (CST, constant strain triangle) por razões que serão explicadas mais adiante.

Figura 4.3

Elemento CST (constant strain triangle).

Capítulo 4

Problemas de estado plano

85

Os campos de deslocamento que descrevem os deslocamentos no interior do elemento são polinômios lineares em x e y da forma: u( x , y ) = a1 + a2 x + a3 y ;

(4.19)

v( x , y ) = a4 + a5 x + a6 y ;

ou, matricialmente,

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ u( x , y ) ⎪ ⎢ 1 x y 0 0 0 ⎥ ⎪ ⎪ ⎬= ⎢ ⎥⎨ ⎪ v( x , y ) ⎪ x y 0 0 1 1 ⎪ ⎪ ⎭ ⎢⎣ ⎦⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎪⎪ a1 ⎫ ⎪ ⎪ a2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a3 ⎪ ⎪ ⎬; a4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(4.20)

ou, sucintamente, u(x, y) = Na(x, y)a;

(4.21)

A escolha de polinômios lineares de 3 termos com 6 coeficientes incógnitos ai, 3 para cada campo de deslocamento, pode agora ser justificada pelas 6 condições de contorno a seguir: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

u( x1 , y1 ) = u1 v( x1 , y1 ) = u1 u( x2 , y 2 ) = u2 v( x2 , y 2 ) = v2

;

(4.22)

u( x3 , y 3 ) = u3 v( x3 , y 3 ) = u3

que podem ser reescritas usando-se a expressão (4.19), ou seja: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ ⎡ u1 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ v1 ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢⎢ u2 ⎪ ⎪= ⎢ ⎬ ⎢ v2 ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ u3 ⎪ ⎢ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ v3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎢⎣

1 x1

y1

0

0

0

0

1 x1

1 x2

y2

0

0

0

0

1 x2

1 x3

y3

0

0

0

1 x3

0

0 0 0

⎧ 0 ⎤⎥ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ y1 ⎥ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ 0 ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎥ y2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ 0 ⎥⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ y 3 ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎩ ⎦⎪

⎫ a1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a2 ⎪⎪ ⎪ ⎪ a3 ⎪ ⎪ ⎬; a4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(4.23)

ou, sucintamente, d = A a;

(4.24)

86

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

ou a = A−1 d;

(4.25)

onde o vetor d contém os deslocamentos nodais, ou seja: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ d =⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ u1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v1 ⎪ ⎪⎪ ⎪ u2 ⎪ ⎪ ⎬; v2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(4.26)

Substituindo a expressão (4.25) em (4.21), obtém-se: u(x, y) = Na(x, y)A−1 d;

(4.27)

u(x, y) = N(x, y) d;

(4.28)

N(x, y) = Na(x, y)A−1;

(4.29)

ou, ainda,

Sendo que,

A matriz N(x, y) tem a forma: ⎡ N (x, y) N 2 (x, y) N 3 (x, y) 0 0 0 ⎢ N( x , y ) = ⎢ 1 ⎢ N 1 (x, y) N 2 (x, y) N 3 (x, y) 0 0 0 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(4.30)

Observando-se as equações (4.28) e (4.30) é possível escrever: ⎧ 3 ⎪ ⎪ ⎪ u( x , y ) = ∑ N i ( x , y )ui ⎪ ⎪ i=1 ⎨ 3 ⎪ ⎪ v( x , y ) = ∑ N i ( x , y )vi ⎪ ⎪ ⎪ i=1 ⎪ ⎩

(4.31)

onde, ui e vi são os deslocamentos nodais relativos aos eixos x e y, respectivamente. As funções de interpolação Ni(x,y) são dadas por:

Capítulo 4

Problemas de estado plano

⎧ ⎪ ( y x − y 2 x3 ) y 2 − y 3 x3 − x2 ⎪ ⎪ y; N 1 (x, y) = 3 2 + + ⎪ ⎪ 2 * area 2 * area 2 * areea ⎪ ⎪ ⎪ ( y x − y 3 x1 ) y 3 − y 1 x1 − x 3 ⎪ ⎨ N 2 (x, y) = 1 3 + + y; ⎪ 2 * area 2 * area 2 * area ⎪ ⎪ ⎪ ( y x − y 1 x 2 ) y 1 − y 2 x 2 − x1 ⎪ ⎪ y; + N 3 (x, y) = 2 1 + ⎪ ⎪ 2 * area 2 * area 2 * area ⎪ ⎩

87

(4.32)

onde a variável área representa a área do elemento triangular cuja expressão pode ser obtida pelo seguinte determinante dado: ⎡ 1 ⎢ 1⎢ x Area = ⎢ 1 2⎢ ⎢⎣ y1

1 x2 y2

⎤ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ y3 ⎥ ⎦ 1 x3

(4.33)

Deve-se ter o cuidado de numerar os nós do elemento no sentido anti-horário para que o resultado da expressão (4.33) seja positivo. Como visto anteriormente, a matriz de rigidez de um elemento finito qualquer pode ser obtida por: K=∫

B t C B dv ;

(4.34)

v

onde B é a matriz de compatibilidade cinemática que transforma deslocamentos nodais em deformações no interior do elemento  = B d;

(4.35)

e C é a matriz constitutiva que transforma o vetor de deformações  em vetor de tensões  para o material de comportamento linear elástico (lei de Hooke) e a integral é efetuada no volume do elemento.  = C ;

(4.36)

Substituindo u(x, y) e v(x, y) dado em (4.31) em (4.3), obtém-se: (x, y) = L N(x, y) d;

(4.37)

onde L é a matriz operadora de derivação definida em (4.3). A expressão (4.37) pode ser reescrita como: (x, y) = B d;

(4.38)

o que permite concluir que para o elemento em questão, a matriz B é obtida aplicando-se a matriz operadora de derivação L à matriz N(x, y), B = L N(x, y);

(4.39)

88

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

resultando em: ⎡ ⎢ N 1 ( x , y ), x ⎢ B=⎢ 0 ⎢ ⎢ N (x, y) ,y ⎢⎣ 1

0 N 1 ( x , y ), y N 1 ( x , y ), x

0 N 2 ( x , y ), y

N 2 ( x , y ), x 0 N 2 ( x , y ), y

N 2 ( x , y ), x

N 3 ( x , y ), x 0 N 3 ( x , y ), y

0 N 3 ( x , y ), y N 3 ( x , y ), x

⎤ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥⎦

(4.40)

onde Ni(x, y), x e Ni(x, y), y representam a derivada de Ni(x,y) em relação à x e y, respectivamente, e estão explicitadas a seguir: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

N 1 ( x , y )x = N 1 ( x , y )y = N 2 ( x , y )x = N 2 ( x , y )y = N 3 ( x , y )x = N 3 ( x , y )y =

y2 − y3 2 * area x3 − x2 2 * area y 3 − y1 2 * area ; x1 − x 3

(4.41)

2 * area y1 − y 2 2 * area x 2 − x1 2 * area

A matriz de rigidez é dada por: K = t ∫ B t C B dA ;

(4.42)

A

no caso de a espessura t ser constante na área do elemento. Nesse contexto, a integração da matriz de rigidez é trivial devido ao fato de a matriz B ser constante, ou seja, independente de x e y para o elemento em questão, o que permite reescrever (4.42) como: K = t Bt C B Área;

(4.43)

Caso a espessura t não seja constante no interior do elemento ela pode ser representada por uma interpolação dos valores nodais ti analogamente àquela adotada para os campos de deslocamento. 3

t( x , y ) = ∑ N i ( x , y )ti ;

(4.44)

i =1

Nesse caso, seria necessário recorrer a uma integração numérica para efetuar a integração. Uma alternativa à integração numérica, que fornece bons resultados, seria adotar

Capítulo 4

Problemas de estado plano

89

uma espessura média igual a um terço da soma dos valores nodais. Para estruturas em estado plano de deformação adota-se t igual a uma unidade de comprimento.

4.3 Elementos da família Serendipity Um elemento finito é dito isoparamétrico quando as mesmas funções de interpolação são usadas para interpolar não apenas grandezas cinemáticas (deslocamentos), como é usual nos elementos convencionais, mas também as grandezas geométricas (no caso coordenadas). A família desses elementos é chamada de família Serendipity, uma referência ao conto persa infantil Os três príncipes de Serendip. Esta história conta as aventuras de três príncipes do Ceilão, atual Sri Lanka, que viviam fazendo descobertas inesperadas, cujos resultados eles não estavam procurando realmente. Graças à sua capacidade de observação e sagacidade, descobriam “acidentalmente” a solução para dilemas impensados. Essa característica tornava-os especiais e importantes, não apenas por terem um dom especial, mas por terem a mente aberta para as múltiplas possibilidades. Como será visto mais adiante, para um elemento quadrilateral como o representado na Figura 4.4, os campos que descrevem as coordenadas cartesianas devem ser polinômios de 4 termos em coordenadas paramétricas para cada coordenada.

Figura 4.4

Elemento isoparamétrico de 4 nós da família Serendipity.

Assim, os polinômios paramétricos são: u(␰ ,␩ ) = a1 + a2␰ + a3␩ + a4␰␩ ; v(␰ ,␩ ) = a5 + a6␰ + a7␩ + a8␰␩ ;

ou, matricialmente,

(4.45)

90

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⎡ 1 ␰ ␩ ␰␩ 0 0 0 0 ⎤ ⎪ ⎪ u(␰ , ␩ ) ⎪ ⎥ ⎢ = ⎨ ⎬ ⎥ ⎢ v(␰ , ␩ ) ⎪ ␰ ␩ ␰␩ 0 0 0 0 1 ⎪ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩⎪

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(4.46)

ou, sucintamente, u(, ) = Na(, )a;

(4.47)

A escolha de polinômios de 4 termos com 8 coeficientes incógnitos ai pode agora ser justificada pelas 8 condições de contorno seguintes: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

u(−1,−1) = u1 v(−1,−1) = v1 u(+1,−1) = u2 v(+1,−1) = v2

(4.48)

u(+1, +1) = u3 v(+1, +1) = v3 u(−1, +1) = u4 v(−1, +1) = v4

que podem ser reescritas pela expressão (4.46). ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪= ⎢ ⎬ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢⎣ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

1 −1 −1 1 0 0 0 0 1 1 −1 −1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 −1 1 −1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 −1 −1 1 0 0 0 0 1 1 −1 −1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 −1 1 −1

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎨ ⎥⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(4.49)

ou, sucintamente, d = A a;

(4.50)

Capítulo 4

Problemas de estado plano

91

ou a − A−1 d;

(4.51)

onde o vetor d contém os deslocamentos nodais. Substituindo a expressão (4.51) em (4.47), obtém-se: u(␰ ,␩ ) = Na(␰ ,␩ ) A−1d ;

(4.52)

u(␰ ,␩ ) = N (␰ ,␩ )d ;

(4.53)

N (␰ ,␩ ) = Na(␰ ,␩ ) A−1 ;

(4.54)

ou, ainda,

sendo,

A matriz N(,) tem a forma: ⎤ ⎡ N (␰ , ␩ ) N 3 (␰ , ␩ ) 0 N 4 (␰ , ␩ ) N 2 (␰ , ␩ ) 0 0 0 ⎥ N(␰ , ␩ ) = ⎢⎢ 1 ⎥ (4.55) N ( ␰ , ␩ ) ␰ ␩ ␰ ␩ N ( ␰ , ␩ ) N N ( , ) ( , ) ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 0 3 4 1 2

Observando-se as equações (4.55) e (4.53) é possível escrever: 4 ⎧ ⎪ ⎪ u(␰ , ␩ ) = ∑ N i (␰ , ␩ )ui ; ⎪ ⎪ ⎪ i =1 ⎨ 4 ⎪ ⎪ v(␰ , ␩ ) = ∑ N i (␰ , ␩ )vi ; ⎪ ⎪ ⎪ i =1 ⎩

(4.56)

Analogamente, as coordenadas x(,) e y(,) podem ser escritas em função das coordenadas nodais, ou seja: 4 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪x(␰ , ␩) = ∑ N i (␰ , ␩)xi ⎪ ⎪ i=1 ⎨ 4 ⎪ ⎪ y(␰, ␩) = ∑ N i (␰ , ␩)yi ⎪ ⎪ ⎪ i=1 ⎩

(4.57)

onde, xi e yi são as coordenadas nodais e ui e vi são os deslocamentos nodais relativos aos eixos x e y, respectivamente.

92

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

As funções de interpolação Ni(,) são dadas por: 1 N 1 (␰ , ␩ ) = (1 − ␰ )(1 − ␩ ); 4 1 N 2 (␰ , ␩ ) = (1 + ␰ )(1 − ␩ ); 4 1 N 3 (␰ , ␩ ) = (1 + ␰ )(1 + ␩ ); 4

(4.58)

1 N 4 (␰ , ␩ ) = (1 − ␰ )(1 + ␩ ); 4

As expressões (4.57) permitem mapear um ponto P(, ) do quadrado representado no plano paramétrico para um ponto P(x, y) no quadrilátero representado no plano cartesiano como indicado na Figura 4.4. A Figura 4.5 apresenta a representação geométrica da função de interpolação N1(, ). As outras funções de interpolação Ni(, ) são análogas a N1(, ), ou seja, elas valem 1 no nó i e 0 nos outros nós.

Figura 4.5

Função de interpolação N1(x, y).

Seja uma função (x,y). Se x e y forem definidos conforme as expressões (4.56), a relação entre as derivadas de quanto às coordenadas cartesianas e as derivadas de no tocante às coordenadas paramétricas é dada pela regra da cadeia: ⎧⎪ ∂␾ ∂␾ ∂x ∂␾ ∂y ⎪ = + ; ⎪ ⎪ ∂x ∂␰ ∂y ∂␰ ⎪ ∂␰ ⎪ ⎨ ⎪ ∂␾ ∂␾ ∂x ∂␾ ∂y ⎪ = + ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂␩ ∂x ∂␩ ∂y ∂␩

ou, matricialmente,

(4.59)

Capítulo 4

⎧ ∂␾ ⎪ ⎫ ⎡ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ∂␰ ⎪ ⎪= ⎢ ⎨ ⎬ ⎢ ⎪ ∂␾ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ∂ ␩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎢⎣

Problemas de estado plano

⎫ ⎪ ∂y ⎤⎥ ⎧ ⎪ ∂␾ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ∂␰ ⎥ ⎪ ∂ x ⎪ ⎪ ⎪; ⎥ ⎨ ∂␾ ⎬ ⎪ ∂y ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ∂␩ ⎥⎦ ⎩⎪ ∂y ⎪ ⎭

∂x ∂␰ ∂x ∂␩

93

(4.60)

Pode-se definir agora a matriz jacobiana J(, ) como: ⎡ ⎢ ⎢ J(␰ ,␩ ) = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

∂x ∂␰ ∂x ∂␩

∂y ⎤⎥ ⎥ ∂␰ ⎥ ⎥; ∂y ⎥ ⎥ ∂␩ ⎥⎦

(4.61)

⎤ ⎥ y ∑ ∂␰ i ⎥⎥ i=1 ⎥; 4 ∂N (␰ , ␩ ) ⎥ i ∑ ∂␩ yi ⎥⎥ i=1 ⎥⎦

(4.62)

e, utilizando (4.56), obtém-se: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ J(␰ ,␩ ) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

4

∑ i=1 4

∑ i=1

∂N i (␰ ,␩ ) ∂␰ ∂N i (␰ ,␩ ) ∂␩

4

xi xi

∂N i (␰ ,␩ )

ou, matricialmente, ⎡ N (␰ , ␩ ) ,␰ J(␰ , ␩ ) = ⎢⎢ 1 ⎢⎣ N 1 (␰ , ␩ ),␩

N 2 (␰ , ␩ ),␰ N 2 (␰ , ␩ ),␩

N 3 (␰ , ␩ ),␰ N 3 (␰ , ␩ ),␩

N 4 (␰ , ␩ ),␰ N 4 (␰ , ␩ ),␩

⎡ ⎤ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣

x1 x2 x3 x4

y1 y2 y3 y4

⎤ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥⎦

(4.63)

onde os subscritos  e  significam, respectivamente, a derivada em relação a  e . Sucintamente, (4.63) pode ser reescrita como: J (␰ ,␩ ) = DNx(␰ ,␩ )X ;

(4.64)

Observando (4.60), pode-se deduzir que a inversa da matriz jacobiana (,), dada por,

⌫ (␰ ,␩ ) = J (␰ ,␩ )−1 ;

(4.65)

transforma derivadas paramétricas de em derivadas cartesianas de . Sendo assim, pode-se escrever: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ u, x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⌫ (␰ ,␩ ) u, y ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎬ = ⎢⎢ ⎪ v,x ⎪ ⎢⎣ 0 ⌫ (␰ ,␩ ) ⎪ ⎪ ⎪ v, y ⎪ ⎪ ⎭

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎥⎨ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ u,␰ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u,␩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ v,␰ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v,␩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(4.66)

94

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

observa-se que as submatrizes em (4.66) tem dimensão 2 × 2. Sucintamente, a expressão (4.66) pode ser escrita como: u,c (␰ ,␩ ) = ⌫ u(␰ ,␩ )u, p (␰ ,␩ );

(4.67)

onde, u,c é o vetor que contém as derivadas cartesianas das componentes de deslocamentos u e v, u,p o vetor que contém as derivadas paramétricas das componentes de deslocamentos u e v e ⌫u a matriz que transforma derivadas paramétricas dos deslocamentos em derivadas cartesianas dos deslocamentos. As expressões (4.56) permitem escrever: ⎫ ⎧u ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤⎪ ⎪ ⎧⎪ u ⎫ ⎡ N (␰ , ␩ ) ⎪ N N N 0 ( ␰ , ␩ ) 0 ( ␰ , ␩ ) 0 ( ␰ , ␩ ) 0 ⎪ ⎪ ⎪⎪ ,␰ ⎪ ⎥ ⎪ u2 ⎪ ⎢ 1 ,␰ 2 ,␰ 3 ,␰ 4 ,␰ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎢ N (␰ , ␩ ) 0 N 2 (␰ , ␩ ),␩ 0 N 3 (␰ , ␩ ),␩ 0 N 4 (␰ , ␩ ),␩ 0 ⎪ ⎪ v2 ⎪ ⎪ ⎪⎪ u,␩ ⎪ 1 ,␩ ⎪; ⎪ ⎥ ⎪ ⎢ ⎬ ⎨ ⎬= ⎢ ⎥⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ u ⎪ u ( ␰ , ␩ ) 0 N ( ␰ , ␩ ) 0 N ( ␰ , ␩ ) 0 N ( ␰ , ␩ ) 0 N ⎥ ⎢ ⎪ ⎪ 1 ,␰ 2 ,␰ 3 ,␰ 4 ,␰ ⎪ 3 ⎪ ⎪⎪ ,␰ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎪ u ⎪ ⎢ v3 ⎪ 0 N 3 (␰ , ␩ ),␩ 0 N 4 (␰ , ␩ ),␩ ⎥⎥ ⎪ 0 N 1 (␰ , ␩ ),␩ 0 N 2 (␰ , ␩ ),␩ ⎪ ⎪ ⎪ , ␩ ⎢ ⎪ ⎪⎩ ⎪ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v ⎪ ⎪ ⎪ 4⎪ ⎭ ⎩

(4.68) ou, sucintamente: u, p (␰ ,␩ ) = DNd(␰ ,␩ )d ;

(4.69)

sendo d o vetor dos deslocamentos nodais. Foi mostrado no Capítulo 2 que o determinante da matriz jacobiana é o fator de escala que transforma a área elementar dd no quadrado paramétrico em área elementar correspondente no quadrilátero do plano cartesiano dA, como indicado a seguir. dA = det( J (␰ , ␩ ))d␰ d␩ ;

(4.70)

Como visto anteriormente, a matriz de rigidez de um elemento finito qualquer pode ser obtida por: K=∫ B tCBdv;

(4.71)

onde B é a matriz de compatibilidade cinemática que transforma deslocamentos nodais em deformações no interior do elemento. As componentes do vetor de deformações

Capítulo 4

Problemas de estado plano

95

podem ser escritas em função do vetor que contém as derivadas dos deslocamentos u(x, y) e v(x, y) em relação as coordenadas x e y, ou seja: ⎧ ␧ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎪ ⎪ ␧ ⎨ y ⎪ ⎪ ⎪ ␧ ⎪ ⎪ ⎩ xy

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬⎪ ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

⎧ u ⎪ ⎪ ⎫ ⎪ ,x ⎪ ⎪ ⎡ 1 0 0 0 ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ u, y ⎢ ⎪ ⎪ ⎥ ⎢ = ⎨ ⎬ ⎢ 0 0 0 1 ⎥⎪ ⎪ v ⎪ ⎪ ,x ⎢⎣ 0 1 1 0 ⎥ ⎪ ⎪ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ v ⎪ ⎪ ⎩ ,y

(4.72)

ou, sucintamente,

␧ (␰ ,␩ ) = H u,c (␰ ,␩ );

(4.73)

Usando-se agora (4.67) e (4.69), a expressão (4.73) pode ser reescrita como:

␧ (␰ , ␩ ) = H ⌫ u(␰ , ␩ ) DNd(␰ , ␩ )d ;

(4.74)

O que permite concluir que a expressão para a matriz de compatibilidade cinemática B (,), para o elemento em questão, vale, B(␰ ,␩ ) = H ⌫ u(␰ ,␩ )DNd(␰ ,␩ );

(4.75)

e a matriz de rigidez pode ser dada por: K = t∫

1 −1

∫

1 −1

B (␰ , ␩ )t C B(␰ , ␩ )det( J (␰ , ␩ )) d␰ d␩

(4.76)

sendo t a espessura do elemento. Caso t varie no interior do elemento, ele pode ser interpolado de forma análoga aos deslocamentos e incorporado à integral A integração da matriz de rigidez é feita no plano paramétrico por integração numérica porque, para o elemento isoparamétrico, as funções em questão estão definidas nesse espaço. A integração da matriz de rigidez é feita por integração numérica pelo método de Gauss. Se forem usados ng pontos de Gauss com coordenadas paramétricas g e g e pei i sos de integração w e w , a expressão (4.76) pode ser reescrita como: i

i

ng

K = t∑ B (␰ g , ng )t C B (␰ g , ng ) det ( J (␰ g , ng ))w␰ wn ; ; i =1

i

i

i

i

i

i

i

i

(4.77)

Caso a espessura t varie no interior do elemento, ela pode ser interpolada de forma análoga aos deslocamentos e incorporada ao somatório que efetua a integração numérica. O elemento finito isoparamétrico quadrilateral pode ter lados curvos quando possui 8 nós, sendo 4 nos “vértices” do quadrilátero e 4 sobre os “lados” como indicado na Figura 4.6. Isso acontece porque o mapeamento do quadrilátero de 8 nós no plano paramétrico se torna um “quadrilátero” de lados curvos no plano cartesiano como será mostrado adiante.

96

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Figura 4.6

Elemento isoparamétrico de 8 nós da família Serendipity.

Para esse elemento de 8 nós, os polinômios paramétricos devem ter 8 termos para descrever o campo de deslocamento u(, ) e 8 termos para descrever o campo de deslocamento v(, ). Observando o triângulo de Pascal que representa os termos de um polinômio no plano , como indicado na Figura 4.4, podem-se escolher os seguintes 8 termos para os dois campos de deslocamento conforme indicado na Equação (4.78).

␰ ␰ ␰ Figura 4.7

3

1

␩

␰␩

2

␰ ␩ 2

␩3 ␰␩

2

␩3

Triângulo da Pascal e termos do polinômio completo p(, ).

u(␰ , ␩ ) = a1 + a2 ␰ + a3␩ + a4 ␰ 2 + a5␰␩ + a6␩ 2 + a7 ␰ 2␩ + a8␰␩ 2 ; v(␰ , ␩ ) = a9 + a10␰ + a11␩ + a12␰ 2 + a13␰␩ + a14␩ 2 + a15␰ 2␩ + a16␰␩ 2 ;

(4.78)

A escolha dos 6 primeiros termos do polinômio é obvia, pois eles formam um polinômio de segundo grau completo. Para completar os 8 termos, é preciso escolher mais 2 termos do terceiro grau. A justificativa para a escolha dos 2 termos  2 e 2 pode ser dada pelo fato de serem simétricos e mais neutros dos que os termos  3 e 3 e por conterem as duas variáveis  e . A representação matricial fornece:

Capítulo 4

⎧ ⎪ v(␰ , n)⎫⎪⎪ ⎡ 1 ␰ ␩ ␰ 2 ␰␩ ␩ 2 ␰ 2␩ ␰␩ 2 ⎪ ⎨ ⎬= ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 ⎪ ⎩u(␰ , n)⎪⎭ ⎣

Problemas de estado plano

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥⎪ ⎨ 2 2 2 2 1 ␰ ␩ ␰ ␰␩ ␩ ␰ ␩ ␰␩ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16

97 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (4.79) ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

ou, sucintamente, u(,) = Na(,)a;

(4.80)

A escolha de polinômios de 8 termos com 16 coeficientes incógnitos ai pode agora ser justificada pelas 8 condições de contorno seguintes: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

u(−1, −1) = u1 v(−1, −1) = v1 u(+1, −1) = u2 v(+1, −1) = v2 u(+1, +1) = u3 v(+1, +1) = v3 u(−1, +1) = u4 v(−1, +1) = v4 u(−0, −1) = u5 v(−0, −1) = v5 u(+1, −0) = u6 v(+1, −0) = v6 u(−0, +1) = u7 v(−0, +1) = v7 u(−1, −0) = u8 v(−1, −0) = v8

que podem ser reescritas usando-se a expressão (4.79), como:

(4.81)

98

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

⎧⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 u5 v5 u6 v6 u7 v7 u8 v8

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎬ = ⎢⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

1 −1 −1 1 0 0 0 0 1 1 −1 −1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 −1 1 −1 0 0 0 0 1 0 −1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0

1 −1 −1 0 0 0 1 −1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 −1 −1 0 0 0 1 1 −1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 −1 0

0 0 1 1 0 0 1 −1 0 0 1 1 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 −1 −1 0 0 0 1 −1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎥⎨ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (4.82)

ou, sucintamente, d=Aa

(4.83)

a − A−1 d

(4.84)

ou

Onde o vetor d é o vetor dos deslocamentos nodais. Substituindo a expressão (4.84) em (4.80), obtém-se: u(,) − Na(,)A−1 d;

(4.85)

u(,) − N(,) d;

(4.86)

N(,) − Na(,)A−1;

(4.87)

Ou, ainda,

sendo

A matriz N(,) tem a forma: ⎡ N (␰ , ␩ ) 0 0  N 8 (␰ , ␩ ) 0 N 2 (␰ , ␩ ) ⎢ N(␰ , ␩ ) = ⎢ 1 ⎢ 0 0  0 N 1 (␰ , ␩ ) N 2 (␰ , ␩ ) N 8 (␰ , ␩ ) ⎣

⎤ ⎥ ⎥; ⎥ ⎦

(4.88)

Capítulo 4

Problemas de estado plano

99

Observando as equações (4.87) e (4.88) é possível escrever: 8 ⎧ ⎪⎪ u(␰ , ␩ ) = ∑ N i (␰ , ␩ )ui ; ⎪ ⎪ ⎪ i =1 ⎨ 8 ⎪ ⎪ v(␰ , ␩ ) = ∑ N i (␰ , ␩ )vi ; ⎪ ⎪ ⎪ i =1 ⎩

(4.89)

Analogamente, as coordenadas x(, ) e y(, ) podem ser escritas em função das coordenadas nodais, ou seja: 8 ⎧ ⎪ ⎪ x(␰ , ␩ ) = ∑ N i (␰ , ␩ )xi ; ⎪ ⎪ ⎪ i =1 ⎨ 8 ⎪ ⎪ y(␰ , ␩ ) = ∑ N i (␰ , ␩ )yi ; ⎪ ⎪ ⎪ i =1 ⎩

(4.90)

onde, xi e yi são as coordenadas nodais e ui e vi são os deslocamentos nodais relativos aos eixos x e y, respectivamente. As funções de interpolação Ni(, ) são dadas por: 1 1 1 N 1 (␰ , ␩ ) = (1 + ␰ )(1 − ␩ ) − N 8 (␰ , ␩ ) − N 5 (␰ , ␩ ); 4 2 2 1 1 1 N 2 (␰ , ␩ ) = (1 + ␰ )(1 − ␩ ) − N 5 (␰ , ␩ ) − N 6 (␰ , ␩ ); 4 2 2 1 1 1 N 3 (␰ , ␩ ) = (1 + ␰ )(1 + ␩ ) − N 6 (␰ , ␩ ) − N 7 (␰ , ␩ ); 4 2 2 1 1 1 N 4 (␰ , ␩ ) = (1 − ␰ )(1 + ␩ ) − N 7 (␰ , ␩ ) − N 8 (␰ , ␩ ); 4 2 2 1 N 5 (␰ , ␩ ) = (1 − ␰ 2 )(1 − ␩ ); 2 1 N 6 (␰ , ␩ ) = (1 + ␰ )(1 − ␩ 2 ); 2 1 N 7 (␰ , ␩ ) = (1 − ␰ 2 )(1 + ␩ ); 2 1 N 8 (␰ , ␩ ) = (1 − ␰ 2 )(1 + ␩ 2 ); 2

(4.91)

100

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

As expressões (4.90) permitem mapear um ponto P(,) do quadrado representado no plano paramétrico para um ponto P(x,y) no “quadrilátero” representado no plano cartesiano como indicado na Figura 4.6. Na Figura 4.8, a representação geométrica da função de interpolação N1(,) para o elemento de 8 nós é apresentada como uma combinação da função de interpolação N1(,) do elemento de 4 nós (primeiro termo da expressão de N1(,) para 8 nós) e das funções N5 (,) e N8(,). As outras funções de interpolação Ni(,) são análogas a N1(,), ou seja, elas valem 1 no nó i e 0 nos outros 7 nós.

Figura 4.8 Funções de interpolação N1(, ), N5(, ) e N8(, ) do elemento isoparamétrico de 8 nós.

A matriz jacobiana definida na expressão (4.61) vale agora: ⎡ 8 ∂N (␰ ,␩ ) ⎢ i xi ⎢∑ ∂␰ ⎢ i=1 J(␰ ,␩ ) = ⎢ ⎢ 8 ∂N (␰ ,␩ ) ⎢ i ⎢∑ ∂␩ ⎢⎣ i=1

ou, matricialmente,

⎤ yi ⎥⎥ ∂␰ ⎥ i=1 ⎥; ⎥ 8 ∂N (␰ , ␩ ) i y ∑ ∂␩ i ⎥⎥⎥ i=1 ⎦ 8

∑

∂N i (␰ ,␩ )

(4.92)

Capítulo 4

⎡ N (␰ , ␩ ) ⎢ ,␰ J(␰ , ␩ ) = ⎢ 1 ⎢ N (␰ , ␩ ) ,␩ ⎣⎢ 1

N 2 (␰ , ␩ ),␰

Problemas de estado plano

 N 8 (␰ , ␩ ),␰

N 2 (␰ , ␩ ),␩ … N 8 (␰ , ␩ ),␩

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

y1 ⎤⎥ ⎥ y2 ⎥ ⎥ y 3 ⎥⎥ ⎥ y4 ⎥ ⎥; y5 ⎥ ⎥ y6 ⎥⎥ ⎥ y7 ⎥ ⎥ y8 ⎥ ⎦

101

(4.93)

onde os subscritos  e  significam a derivada em relação a  e , respectivamente. Sucintamente, (4.93) pode ser reescrita como: J(,) = DNx(,) X;

(4.94)

Uma vez obtida J(,), pode-se chegar a (,):

(,) = J(,)−1;

(4.95)

e as derivadas cartesianas dos deslocamentos por: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ u, x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡⌫ (␰ , ␩ ) u, y ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ = ⎢⎢ v, x ⎪ ⎢⎣ 0 ⎪ ⎪ ⎪ v, y ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤ 0 ⎥⎪ ⎪ ⎨ ⌫ (␰ , ␩ )⎥⎦⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ u, ␰ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u,␩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬; v ,␰ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v,␩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(4.96)

Observe que as submatrizes em (4.96) tem dimensão 2 × 2. Sucintamente, (4.96) pode ser escrita como: u,c(,) = u(,)u,p(,);

(4.97)

As expressões (4.90) permitem escrever: u,p(,) = DNd(,)d;

(4.98)

onde ⎡ N (␰ ,␩ ) ⎢ 1 ,␰ ⎢ ⎢ N (␰ ,␩ ) ,␩ DNd( ␰ , ␩ ) = ⎢⎢ 1 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

0

N 2 ( ␰ , ␩ ),␰

 N 8 ( ␰ , ␩ ),␰

0

0

N 2 ( ␰ , ␩ ),␩  N 8 ( ␰ , ␩ ),␩

0

N 1 ( ␰ , ␩ ),␰

0



0

N 8 ( ␰ , ␩ ),␰

N 1 ( ␰ , ␩ ),␩

0



0

N 8 ( ␰ , ␩ ),␩

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ; (4.99) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

102

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

e, o vetor d, ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ d =⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

u1 v1 u2 v2  u8 v8

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪; ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(4.100)

Como já visto anteriormente, o determinante da matriz jacobiana é o fator de escala que transforma a área elementar dd no quadrado paramétrico em área elementar correspondente no quadrilátero do plano cartesiano dA, como indicado a seguir. dA = det ( J(,)) d d;

(4.101)

A matriz de compatibilidade cinemática é agora dada por: B(,) = H u(,) DNd(,);

(4.102)

E a matriz de rigidez: K = t∫

1 −1

∫

1 −1

B(␰ , ␩ )t C B(␰ , ␩ )det( J (␰ , ␩ )) d␰ d␩ ;

(4.103)

sendo t a espessura do elemento. A integração da matriz de rigidez é feita no plano paramétrico por integração numérica pelo Método de Gauss. Se forem usados ng pontos de Gauss com coordenadas paramétricas g e g e pesos de integração w e w , a expresi i i i são (4.103) pode ser reescrita como: ng

K = t∑ B(␰ g , ␩ g )t C B (␰ g , ␩ g )det( J (␰ g ␩ g ))w␰ w␩ ; i =1

i

i

i

i

i

i

i

(4.104)

i

4.4 Elementos da família de Lagrange A família dos elementos lagrangeanos é assim denominada porque as funções de interpolação desses elementos podem ser facilmente geradas por produtos de polinômios de Lagrange. Polinômios de Lagrange de primeiro grau podem ser obtidos com o uso das coordenadas dos pontos notáveis 0 = −1 e 1 = 1 no eixo , como indicado a seguir: L␰ 0 (␰ ) =

(␰ − ␰ 1)

1 = (1 − ␰ ); (␰ 0 − ␰ 1) 2

(4.105)

Capítulo 4

L␰ 1 (␰ ) =

(␰ − ␰ 0) (␰ 1 − ␰ 0)

Problemas de estado plano

1 = (1 + ␰ ) ; 2

103

(4.106)

O polinômio de Lagrange Li() tem a propriedade de valer 1 na coordenada i e 0 nas coordenadas j , para j ≠ i. A Figura 4.9 esclarece.

Figura 4.9

Polinômio de Lagrange L0() para 2 pontos.

Analogamente, polinômios de primeiro grau de Lagrange L0() e L1() podem ser gerados com o uso das coordenadas dos pontos notáveis 0 = −1 e 1 = 1 no eixo  como indicado a seguir: L␩0 (␩ ) =

L␩1 (␩ ) =

(␩ − ␩ 1)

1 = (1 − ␩ ) (␩ 0 − ␩ 1) 2 (␩ − ␩ 0)

1 = (1 + ␩ ) (␩ 1 − ␩ 0) 2

(4.107)

(4.108)

Uma forma simples e sistemática de obter funções de interpolação, também denominadas de funções de forma, para elementos finitos pode ser por meio de produtos de polinômios lagrangeanos. A função de interpolação N1(,) no plano paramétrico para o elemento quadrilátero representado na Figura 4.5 pode ser obtida por: 1 N 1 (␰ , ␩ ) = L␰ 0 (␰ )L␩0 (␩ ) = (1 − ␰ )(1 − ␩ ); 4

(4.109)

Analogamente, as demais funções Ni(,), i = 2,..4, são dadas por: 1 N 2 (␰ , ␩ ) = L␰ 1 (␰ )L␩0 (␩ ) = (1 + ␰ )(1 − ␩ ); 4

(4.110)

1 N 3 (␰ , ␩ ) = L␰ 1 (␰ )L␩1 (␩ ) = (1 + ␰ )(1 + ␩ ); 4

(4.111)

104

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

1 N 4 (␰ , ␩ ) = L␰ 0 (␰ )L␩1 (␩ ) = (1 − ␰ )(1 + ␩ ); 4

(4.112)

Observe que as funções de interpolação do elemento de 4 nós da família de Lagrange são idênticas às funções de interpolação do elemento de 4 nós da família Serendipity dadas em (4.58). Os elementos são, portanto, iguais e isoparamétricos. Os polinômios de Lagrange do segundo grau aqui denominados de L0(), L1() e L2() são gerados com o uso das coordenadas notáveis 0 = −1, 1 = 0 e 2 = 1 no eixo  como indicado a seguir: L␰ 0 (␰ ) =

L␰ 1 (␰ ) =

L␰ 2 (␰ ) =

(␰ − ␰ 1)(␰ − ␰ 2) (␰ 0 − ␰ 1)(␰ 0 − ␰ 2) (␰ − ␰ 0)(␰ − ␰ 2) (␰ 1 − ␰ 0)(␰ 1 − ␰ 2) (␰ − ␰ 0)(␰ − ␰ 1) (␰ 2 − ␰ 0)(␰ 2 − ␰ 1)

;

(4.113)

;

(4.114)

;

(4.115)

O polinômio de Lagrange Li() tem a propriedade de valer 1 na coordenada i e 0 nas coordenadas j, para j | i. A Figura 4.10 esclarece.

Figura 4.10 Polinômio lagrangeano L  0(  ) para 3 pontos.

Analogamente, polinômios de Lagrange L0(), L1() e L2() podem ser gerados com o uso das coordenadas dos pontos notáveis 0 = −1z, 1 = 0 e 2 = 1 no eixo  como indicado a seguir: L␩0 (␩ ) =

L␩1 (␩ ) =

(␩ − ␩ 1)(␩ − ␩ 2) (␩ 0 − ␩ 1)(␩ 0 − ␩ 2) (␩ − ␩ 0)(␩ − ␩ 2) (␩ 1 − ␩ 0)(␩ 1 − ␩ 2)

;

(4.116)

;

(4.117)

Capítulo 4

L␩2 (␩ ) =

Problemas de estado plano

(␩ − ␩ 1)(␩ − ␩ 2) (␩ 0 − ␩ 1)(␩ 0 − ␩ 2)

;

105

(4.118)

Procedendo de maneira análoga àquela utilizada com polinômios de Lagrange de primeiro grau, funções de interpolação Ni(,) no plano paramétrico podem ser geradas para o elemento “quadrilátero” de 9 nós. O elemento pode modelar lados curvos. O elemento possui 8 nós no contorno, sendo 4 nos “vértices” do “quadrilátero” e 4 sobre os “lados” e um nó central como indicado na Figura 4.11. O nó central é necessário porque as funções Ni(,) valem zero em  = 0 e  = 0.

Figura 4.11 Mapeamento do ponto P(,) do quadrilátero no plano paramétrico no ponto P(x, y) do “quadrilátero” de lados curvos no plano cartesiano.

A função de forma N1(,) no plano paramétrico pode ser obtida por: N1(,) = L0()L0()

(4.119)

A função N1(,) que vale 1 no nó 1 e 0 nos demais nós, está representada na Figura 4.12.

Figura 4.12

Função de interpolação N1(,) do elemento lagrangeano de 9 nós.

106

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Analogamente, as demais funções Ni(,), i = 2, ..., 9, são dadas por: N 2 (␰ , ␩ ) = L␰ 2 (␰ )L␩0 (␩ ) ;

(4.120)

N 3 (␰ , ␩ ) = L␰ 3 (␰ )L␩2 (␩ ) ;

(4.121)

N 4 (␰ , ␩ ) = L␰ 0 (␰ )L␩2 (␩ ) ;

(4.122)

N 5 (␰ , ␩ ) = L␰ 1 (␰ )L␩0 (␩ ) ;

(4.123)

N 6 (␰ , ␩ ) = L␰ 2 (␰ )L␩1 (␩ ) ;

(4.124)

N 7 (␰ , ␩ ) = L␰ 1 (␰ )L␩2 (␩ ) ;

(4.125)

N 8 (␰ , ␩ ) = L␰ 0 (␰ )L␩1 (␩ ) ;

(4.126)

N 9 (␰ , ␩ ) = L␰ 1 (␰ )L␩1 (␩ ) ;

(4.127)

Uma vez definidas as funções de interpolação Ni(,),a formulação dos elementos de 4 ou 9 nós segue o mesmo padrão do elemento isoparamétrico da família Serendipity. Sendo nnos , o número de nós do elemento, pode-se escrever: nno s ⎧ ⎪ x(␰ , ␩ ) = ∑ i =1 N (␰ , ␩ )i xi ; ⎪ ⎪ ⎨ nno s ⎪ y(␰ , ␩ ) = ∑ i =1 N (␰ , ␩ )i yi ; ⎪ ⎪ ⎩

(4.128)

nno s ⎧ ⎪ u(␰ , ␩ ) = ∑ i =1 N (␰ , ␩ )i ui ; ⎪ ⎪ ⎨ nno s ⎪ v(␰ , ␩ ) = ∑ i =1 N (␰ , ␩ )i vi ; ⎪ ⎪ ⎩

(4.129)

e,

onde, xi e yi são as coordenadas nodais do nó i relativas aos eixos horizontal x e vertical y, respectivamente; e ui e vi são os deslocamentos nodais do nó i relativos aos eixos x e y, respectivamente. A expressão (4.129) pode ser reescrita como: u(,) = N(,) d;

(4.130)

Onde a matriz N(,) tem a forma com nnos sendo o número de nós do elemento. ⎡ N (␰ , ␩ ) 0 0  N n n o s (␰ , ␩ ) 0 N 2 (␰ , ␩ ) ⎢ 1 N (␰ , ␩ ) = ⎢ ⎢ 0 0 N 1 (␰ , ␩ ) N 2 (␰ , ␩ ) 0 N n n o s (␰ , ␩ ) ⎣⎢

⎤ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥⎦

(4.131)

Capítulo 4

Problemas de estado plano

107

E o vetor d é definido como: ⎧ u ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ v1 ⎪ ⎪ ⎪ u2 ⎪ ⎪ d =⎪ ⎨ v2 ⎪ ⎪ ⎪  ⎪ un n o s ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v ⎪ ⎪ ⎩ nno s

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(4.132)

Usando a matriz jacobiana J(,) já utilizada nos elementos da família Serendipity, ⎡ ∂x ⎢ ⎢ ∂␰ J(␰ ,␩ ) = ⎢⎢ ⎢ ∂x ⎢ ⎢⎣ ∂␩

∂y ⎤⎥ ∂␰ ⎥⎥ ; ∂y ⎥⎥ ⎥ ∂␩ ⎥⎦

(4.133)

e, generalizando para um elemento de nnos nós, obtém-se: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ J(␰ ,␩ ) = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

nnos

∂N i (␰ ,␩ )

i=1

∂␰

nnos

∂N i (␰ ,␩ )

i=1

∂␩

∑ ∑

xi

xi

nnos

∂N i (␰ ,␩ )

∑ i=1

∂␰

nnos

∂N i (␰ ,␩ )

i=1

∂␩

∑

yi

yi

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(4.134)

ou, matricialmente, ⎡ N (␰ , ␩ ) ⎢ ,␰ J(␰ , ␩ ) = ⎢ 1 ⎢ N (␰ , ␩ ) ,␩ ⎣⎢ 1

N 2 (␰ , ␩ ),␰

 N nnos (␰ , ␩ ),␰

N 2 (␰ , ␩ ),␩  N nnos (␰ , ␩ ),␩

⎡ x ⎢ ⎤⎢ 1 ⎥ ⎢ x2 ⎥⎢ ⎥⎢  ⎦⎥ ⎢ ⎢ xnnos ⎢⎣

y1 y2  y nnos

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

(4.135)

onde os subscritos  e  significam a derivada em relação a  e , respectivamente. Sucintamente, a expressão (4.135) pode ser reescrita como: J(,) = DNx(,) X;

(4.136)

Como já visto anteriormente, a inversa da matriz jacobiana (,) que como J(,) tem dimensão 2x2, é obtida da operação:

(,) = J(,)−1;

(4.137)

transforma derivadas paramétricas de uma função em derivadas cartesianas da mesma função. Sendo assim, pode-se escrever:

108

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

u, x u, y v, x v, y

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡⌫ (␰ , ␩ ) ⎪ ⎪ ⎬ = ⎢⎢ ⎪ ⎢⎣ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤ 0 ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⌫ (␰ , ␩)⎥⎥⎦ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

u,␰ u,␩ v ,␰ v,␩

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪; ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(4.138)

ou, sucintamente, u,c(,) = u(,)u,p(,);

(4.139)

Onde, u,c é o vetor que contém as derivadas cartesianas das componentes de deslocamentos u e v, u,p o vetor que contém as derivadas paramétricas das componentes de deslocamentos u e v e ⌫u a matriz 4x4 que transforma derivadas paramétricas dos deslocamentos em derivadas cartesianas dos deslocamentos. As expressões (4.129) permitem escrever: u,p(,) = DNd(,)d;

(4.140)

onde, DNd(,) é uma matriz que contém as derivadas das funções de interpolação em relação às coordenadas paramétricas com o seguinte aspecto: ⎤ ⎡ N (␰ , ␩ ) N 2 (␰ , ␩ ),␰ 0 0  N nnos (␰ , ␩ ),␰ 0 ⎥ ⎢ 1 ,␰ ⎥ ⎢ N (␰ , ␩ ) 0 N ␰ ␩ 0  N ␰ ␩ 0 ( , ) ( , ) ⎥ ,␩ 2 ,␩ nnos ,␩ DNd(␰ , ␩ ) = ⎢⎢ 1 0 N nnos (␰ , ␩ ),␰ ⎥⎥ 0 N 1 (␰ , ␩ ),␰ 0 N 2 (␰ , ␩ ),␰ ⎢ ⎢ 0 N 1 (␰ , ␩ ),␩ 0 N 2 (␰ , ␩ ),␰ 0 N nnos (␰ , ␩ ),␩ ⎥⎥ ⎢⎣ ⎦ (4.141)

Em analogia a (4.102) a matriz B de compatibilidade cinemática pode ser escrita como: B(,) = H u(,) DNd(,);

(4.142)

Como já visto anteriormente, o determinante da matriz jacobiana é o fator de escala que transforma a área elementar dd no quadrado paramétrico em área elementar correspondente no quadrilátero do plano cartesiano dA, como indicado a seguir. dA = det(J(,))dd;

(4.143)

A partir da matriz B e da expressão (4.143) pode-se obter a matriz de rigidez como nos itens anteriores. A expressão para a integral numérica também é análoga às que foram obtidas para o elemento “Serendipidy”:

4.4.1 Condensação da matriz de rigidez Os elementos da família Serendipity e lagrangeana de 4 nós com funções de interpolação formadas por polinômios bilineares (produto de 2 funções lineares) são idênticos. Todavia,

Capítulo 4

Problemas de estado plano

109

o elemento lagrangeano cujas funções de interpolação são formadas por produtos de polinômios quadráticos gera um elemento de 9 nós diferente do elemento Serendipity de 8 nós. O elemento lagrangeano de 9 nós pode, porém, ser transformado num elemento de 8 nós com a eliminação do nó 9 interno. Usando o índice c para indicar os 8 nós do contorno e o índice i para indicar o nó interno 9, as equações de equilíbrio do elemento podem ser escritas como: ⎧ d ⎪ ⎫ ⎪ ⎤⎪ ⎡ K ⎧ f ⎪ ⎫ ⎪ c ⎪ ⎢ cc K ci ⎥ ⎪ ⎪ c ⎪ ⎪ ⎪ ⎬= ⎪ ⎨ ⎬; ⎥⎨ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ K ic K ii ⎥ ⎪ f d ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ i i ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎦⎩ ⎣ ⎭ Explicitando di na segunda equação em (4.147), obtém-se:

di = Kii−1( fi − Kicdc );

(4.144)

(4.145)

A substituição de (4.148) na primeira equação em (4.147), fornece: (Kcc − KciKii−1Kic)dc = (fc − KciKii−1fi);

(4.146)

Krr dc = fr ;

(4.147)

ou, sucintamente,

Onde, Kr é a matriz de rigidez reduzida e fr o vetor das cargas nodais reduzidas, onde os graus de liberdade referentes ao nó 9 foram excluídos. Krr = Kcc − Kci Kii−1Kic ; fr = fc − Kci Kii−1fi;

(4.148) (4.149)

A técnica de condensação reduz o número total de nós do elemento lagrangeano “quadrático” para 8, mas não o torna igual ao elemento Serendipity de 8 nós.

4.5 Exemplos de problemas de estado plano 4.5.1 Estudo de uma viga em balanço, influência do refinamento da malha nos resultados

Figura 4.13

Viga em balanço.

110

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Solução pela teoria da elasticidade Considere a viga espessa em balanço de largura estreita da Figura 4.13 com uma carga concentrada P aplicada na extremidade livre. A distribuição de tensões na viga é dada por:

␴ x (x, y) = −

P(L − x)y I

;

(4.150)

␴(x, y) = 0; (por hipótese)

␶ xy ( x , y ) =

⎞ P ⎛⎜ h2 ⎜⎜ − y 2 ⎟⎟⎟ ⎟⎟ 2 I ⎝⎜ 4 ⎠

(4.151) (4.152)

Sendo I o momento de inércia da seção transversal dado por: I=

bh3 12

(4.153)

;

o deslocamento vertical total da linha elástica da viga v(x) obtido para y = 0 é dado pela soma da parcela devida à flexão, vb(x), com a parcela decorrente do cisalhamento, vs(x), logo: v(x) = vb(x) + vs(x);

(4.154)

A parcela devida à flexão é dada por: vb ( x) = −

Px 3 6EI

+

PL x 2 2 EI

;

(4.155)

e a devida ao cisalhamento: v s ( x) =

␣S P GA

x;

(4.156)

sendo E o módulo de elasticidade longitudinal, s a relação entre a tensão (ou deformação) de cisalhamento no eixo da viga (y = 0) e a tensão (ou deformação) média de cisalhamento da seção transversal e G o módulo de elasticidade transversal. Os valores de G e s podem ser obtidos em função do coeficiente de Poisson . A expressão para o cálculo de G é: G=

E 2(1 + v)

;

(4.157)

Capítulo 4

Problemas de estado plano

111

Determinações rigorosas do valor de s pela teoria da elasticidade fornecem para a seção retangular o seguinte valor:

␣S =

12 + 11v

(4.158)

10(1 + v)

O deslocamento no ponto do eixo neutro e na extremidade livre (x = L e y = 0) pode ser estimado para vigas em balanço por:

␦ = v( x , y )

y = 0 , x= L

=

PL3 3EI

+

␣S PL GA

;

(4.159)

Dados do problema: b = 1; h = 3; L = 12; E = 20000; v = 0,2; P = 1; Resultados da teoria da elasticidade Tensão no ponto A, x = 0,5 e y = 1,5. x(0,5; 1,5) = −7,667; Deslocamento na extremidade livre . = 0,0134; A elástica v (x) com as parcelas correspondentes à deformação por flexão, vb(x), e à deformação por cisalhamento, vs(x), estão representadas na Figura 4.14.

Figura 4.14

Elásticas da viga em balanço.

112

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

5HVXOWDGRVGDVDQÀOLVHVSRUHOHPHQWRVðQLWRV Para as análises da viga em balanço por elementos finitos, são geradas 12 malhas, 6 malhas com elementos isoparamétricos de 4 nós e 6 com elementos CST. As malhas são numeradas de 1 a 6 para cada tipo de elemento. As malhas dos elementos isoparamétricos de 4 nós estão representadas na Figura 4.15. a) Malhas de elementos isoparamétricos: as distribuições dos elementos adotadas para as malhas são dadas na Tabela 4.1, onde neh é o número de elementos na direção horizontal, nev o número de elementos na direção vertical e ne o número total de elementos. Tabela 4.1

Distribuições dos elementos na malha

malha

neh

nev

ne

1

3

1

3

2

6

2

12

3

6

3

18

4

12

3

36

5

12

6

72

6

24

10

240

Figura 4.15 Malhas de elementos isoparamétricos de 4 nós.

Capítulo 4

Problemas de estado plano

113

b) Malhas de elementos CST: as malhas de elementos CST são geradas dividindo-se cada quadrado das malhas de elementos isoparamétricos em 2 triângulos como indicado na Figura 4.16. Dessa forma são geradas as malhas de 1 a 6 com, respectivamente, 6, 24,36, 72, 144 e 480 elementos.

Divisão do quadrado em 2 triângulos

Figura 4.16

Formação da malha de triângulos.

Observações: a) Todos os resultados são obtidos com o programa MTOOL. b) As tensões referentes às malhas 1 a 5 são calculadas no interior dos elementos que contém o ponto A (0.5; 1.5). c) As tensões referentes à malha 6 são calculadas com a média dos valores dados nos pontos no interior dos elementos na vizinhança do ponto A (0.5; 1.5) porque o nó dos modelos recai sobre esse ponto. d) As tensões estão representadas no gráfico em valor absoluto. Nos resultados dos programas elas aparecem com valor negativo por serem de compressão. Os deslocamentos verticais na extremidade livre estão representados na Figura 4.17 para as 6 malhas estudadas. Os pontos i de 1 a 6 no eixo horizontal representam as malhas de 1 a 6. Os valores dTi, e dQi, marcados no eixo vertical, representam, respectivamente, os deslocamentos na extremidade livre para as malhas i de elementos triangulares e quadrilaterais. A linha horizontal tracejada representa o valor dado pela teoria da elasticidade do deslocamento vertical na extremidade livre . Analogamente, a tensão x no ponto A de coordenadas (0.5; 1.5) está representada na Figura 4.18 para as 6 malhas estudadas. Os pontos i de 1 a 6 no eixo horizontal representam as malhas de 1 a 6. Os valores Ti, e Qi, marcados no eixo vertical, representam, respectivamente, as tensões no ponto A para as malhas i de elementos triangulares e quadrilaterais. A linha horizontal tracejada representa o valor dado pela teoria da elasticidade para a tensão no ponto A, e. Como era de se esperar, com o refinamento da malha, os resultados convergem para os resultados previstos pela teoria da elasticidade. Os elementos isoparamétricos de 4 nós fornecem melhores resultados do que os elementos CST, apesar das malhas i de elementos CST apresentarem o dobro dos elementos das correspondentes malhas de elementos isoparamétricos de 4 nós. Isso se deve ao campo de deslocamentos mais rico do elemento

114

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

quadrilateral em relação ao do elemento CST. Mesmo com 240 elementos quadrilaterais e com 480 elementos triangulares os resultados não atingem os valores teóricos.

Figura 4.17 Deslocamentos verticais na extremidade livre para as malhas i.

Figura 4.18 Tensão x no ponto A(0,5; 1,5) para as malhas i.

4.5.2 Exemplo da barra tracionada, elemento CST Dados do problema: módulo de elasticidade, E = 20000; coeficiente de Poisson, v = 0,2; carga P = 10 largura da seção transversal, b = 1; altura da seção transversal, h = 1 comprimento da barra, 2L = 4. Dados do modelo de elementos finitos: nnodes = 6 (número de nós); nelem = 4 (número de elementos)

Capítulo 4

Figura 4.19

Problemas de estado plano

115

Malha adotada.

Solução do problema pela resistência de materiais A = Área da seção Transversal A = h ⋅ b A = 1 F = Força resultante axial F = 2 P F = 20

␴=

F

 = 20 A ␴  = Deformação axial ␧ =  = 0,001 E = Alongamento de barra =  ⋅ 2L = 0,004  = Tensão axial

:VS\sqVWVYLSLTLU[VZÄUP[VZ A solução é apresentada em pseudolinguagem de programação. Leitura ou definição da matriz das coordenadas nodais x. Na linha i da matriz x estão as coordenadas xi (primeira coluna) e yi (na segunda coluna) do nó i. ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0 0 2 2 4 4

0 1 0 1 0 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

O vetor das forças nodais f e a matriz de rigidez global K são inicializados (zerados). A variável gdl é o número total de deslocamentos nodais, livres e fixos, que no caso do problema plano é de 2 vezes o número de nós. A notação i = j...n, significa que será criado um ciclo (loop), onde a variável i varia de j até n.

116

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

gdl = 2 ⋅ nnodes i = 1..gdl fi = 0 j = 1..gdl Ki,j = 0 A matriz constitutiva C é calculada para o estado plano de tensão. ⎡ 1 v ⎢ E ⎢⎢ v 1 C= 1 − v 2 ⎢⎢ 0 0 ⎢ ⎣

0 0 1− v 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

A matriz de incidência Inc é definida. O elemento Incij da matriz contém o número do nó i do elemento j, sendo os nós numerados no sentido anti-horário. ⎡ 1 1 3 3 ⎤ ⎥ ⎢ Inc = ⎢ 4 3 6 5 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣ 2 4 4 6 ⎥⎦

As vinculações ou restrições da estrutura são definidas. A variável ndirres define o número de deslocamentos restringidos enquanto o vetor nres com ndirres elementos define as direções que devem ser vinculadas. A cada nó i são associadas duas direções, nomeadamente, direção 2.i-1 e direção 2.i. ndrres = 3 ⎧ ⎪ ⎪ 1 nres = ⎪ ⎨ 2 ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎩

(números de restrições) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ (Direções restringidas) ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

A matriz de rigidez local do elemento m é calculada. m = 1..nelen Constantes da matriz de compatibilidade cinemática Bm do elemento m são calculadas. x21m = x( Inc

2 ,m

),1

− x( Inc

x13 m = x( Inc

1 ,m

),1

− x( Inc

1 ,m

),1

3 ,m

),1

x32 m = x( Inc

3 ,m

− x( Inc ),1

y12 m = x( Inc

1 ,m

),2

− x( Inc

2 ,m

),2

3 ,m

),2

− x( Inc

1 ,m

),2

y 31m = x( Inc

y 23 m = x( Inc

2 ,m

2 ,m

− x( Inc ),2

3 ,m

),1

),2

1 am = .( x21 .y 31 − x13 .y12 ) m m m m 2

sendo am a área do elemento.

Capítulo 4

Problemas de estado plano

117

A matriz Bm do elemento m é definida. ⎡ ⎢ y 23 m ⎢ ⎢ Bm = ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ x32 m ⎢⎣

0

y 31

0

0

x13

y12

m

x32

m

y 23

m

x13

m

0 m

x21

0 m

m

y 31

x21

m

m

y12

m

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥⋅ ⎥ 2⋅a m ⎥ ⎥ ⎦⎥

A matriz de rigidez do elemento Ke(m) do elemento m é definida. Ke(m) = BTm ⋅ C ⋅ Bm ⋅ am ⋅ b Os ponteiros que relacionam os graus de liberdade i do elemento m (i de 1 a 6) com os graus de liberdade do elemento m na malha da estrutura dgi,m são calculados. dg1,m = 2 ⋅ Inc1,m − 1 dg 2 ,m = 2 ⋅ Inc1,m dg 3 ,m = 2 ⋅ Inc2 ,m − 1 dg 4 ,m = 2 ⋅ Inc2 ,m dg 5 ,m = 2 ⋅ Inc3 ,m − 1 dg6 ,m = 2 ⋅ Inc3 ,m

Montagem da matriz de rigidez da estrutura K Para i = 1..6 j = 1..6 K dg

i ,m

, dgj,m

= K dg

i ,m ,

dg j ,m

+ Ke( m)i , j

Os valores não nulos do vetor das forças nodais são definidos. f9 = P f11 = P Introdução dos vínculos na matriz de rigidez com a técnica do número grande: k = 1..ndirres K nres

k

, nresk

= 106 ⋅ K nres

k

, nresk

118

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Cálculo do vetor dos deslocamentos nodais da estrutura d: ⎡7 , 385 ⋅ 10−10 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎢ −10 ⎥ ⎢7 , 385 ⋅ 10 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ −2 ⋅ 10−4 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 2 ⋅ 10−3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥⎥ −1 ⎢ d=K ⋅ f; d=⎢ 2 ⋅ 10−3 ⎥⎥ ⎢ ⎢ −4 ⎥ ⎢ −2 ⋅ 10 ⎥ ⎥ ⎢ 4 ⋅ 10−3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0⎥ ⎥ ⎢ −3 ⎥ ⎢ 4 10 ⋅ ⎥ ⎢ ⎢ −2 ⋅ 10−4 ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣

Cálculo do vetor dos deslocamentos nodais dem do elemento m: m = 1..nelem ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dem = ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

ddg

1

,m

ddg

2

,m

ddg

3

,m

ddg

4

,m

ddg

5

,m

ddg

6

,m

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Cálculo do vetor de deformações m e do vetor de tensões m no elemento m. m = Bm ⋅ dem m = C m Valores de m e m obtidos para o elemento 4. ⎧ ⎪ 1 ⋅ 10−3 ⎪ ⎪ ␧ 4 = ⎨ −2 ⋅ 10−4 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎩

⎫ ⎧ ⎪ ⎪ 20 ⎪ ⎪; ␴ = ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ 0 4 ⎪ ⎪ −15 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −4969 ⋅ 10 ⎭

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Deve-se observar que os resultados reproduzem os resultados da resistência dos materiais.  = 0,001,  = 20 e = 0,004

Capítulo 4

Problemas de estado plano

119

4.5.3 Exemplo de cálculo de cargas equivalentes nodais, elemento isoparamétrico bilinear. Programa em pseudolinguagem de programação. Vetor das cargas equivalentes nodais fc para cargas concentradas no interior do elemento. Pontos notáveis e pesos de Gauss: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ xg = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ ⎧⎪ −1 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ; = ␩ g ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

⎫ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ; w = ␰ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎭

1 1 1 1

⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ; w ␩ = ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎪ ⎩

Coordenadas nodais:

Figura 4.20

x1 = 0

x2 = 2

x3 = 2

x4 = 0

y1 = 0

y2 = 0

y3 = 1

y4 = 1

Dimensões do elemento.

1 1 1 1

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

120

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Matriz de coordenadas nodais: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ X=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

y 1 ⎤⎥ ⎥ x2 y 2 ⎥ ⎥ x3 y 3 ⎥ ⎥ x 4 y 4 ⎥⎦ x1

Espessura: t = 1 Funções de interpolação e suas derivadas: 1 N 1 (␰ , ␩ ) = ⋅ (1 − ␰ ) ⋅ (1 − ␩ ); 4 1 N 2 (␰ , ␩ ) = ⋅ (1 + ␰ ) ⋅ (1 − ␩ ); 4 1 N 3 (␰ , ␩) = ⋅ (1 + ␰ ) ⋅ (1 + ␩ ); 4 1 N 4 (␰ , ␩ ) = ⋅ (1 − ␰ ) ⋅ (1 + ␩ ); 4

N 1 (␰ , ␩ ),␰ = N 2 (␰ , ␩ ),␰ = N 3 (␰ , ␩ ),␰ = N 4 (␰ , ␩ ),␰ =

∂ ∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰

N 1 (␰ , ␩ );

N 1 (␰ , ␩ ),␩ =

N 2 (␰ , ␩ ); N 3 (␰ , ␩ ); N 4 (␰ , ␩ );

∂

N (␰ , ␩ ); ∂␩ 1 ∂ N 2 (␰ , ␩ ),␩ = N (␰ , ␩ ); ∂␩ 2 ∂ N 3 (␰ , ␩ ),␩ = N (␰ , ␩ ); ∂␩ 3 ∂ N 4 (␰ , ␩ ),␩ = N (␰ , ␩ ) ∂␩ 4

Matriz de interpolação N(,) com as funções de interpolação: ⎡ N (␰ , ␩ ) N 2 (␰ , ␩ ) N 3 (␰ , ␩ ) N 4 (␰ , ␩ ) 0 0 0 0 ⎢ N 1 (␰ , ␩ ) = ⎢ 1 ⎢ N 1 (␰ , ␩) 0 0 0 N 2 (␰ , ␩ ) N 3 (␰ , ␩ ) N 4 (␰ , ␩ ) 0 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Matriz com as derivadas paramétricas das funções de interpolação DNx(,) para obtenção da matriz jacobiana J(,):

⎡ N (␰ ,␩ ) ⎢ ,␰ DNx(␰ ,␩ ) = ⎢ 1 ⎢ N (␰ ,␩ ) ,␩ ⎢⎣ 1

N 2 (␰ ,␩ ),␰

N 3 (␰ ,␩ ),␰

N 2 (␰ ,␩ ),␩

N 3 (␰ ,␩ ),␩

Matriz jacobiana J(,) e inversa da jacobiana ⌫(,): J(,) = DNx(,) ⋅ X

(,) = J(,)−1 Cálculo do determinante de J(,): det J(,) = |J(,)|

N 4 (␰ ,␩ ),␰ ⎤⎥ ⎥ N 4 (␰ ,␩ ),␩ ⎥ ⎥⎦

Capítulo 4

Problemas de estado plano

121

Vetor das cargas equivalentes nodais fc relativas às cargas concentradas fcx e fcy aplicadas no ponto P de coordenadas  P = 1/2 e  P = 2/3 no interior do elemento.

Figura 4.21

Cargas concentradas no ponto P(P,P).

1 2 ␰ P = ; ␩P = ; 2 3

f cx = 20 ;

f cy = 30

⎫ ⎧ 0, 833 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ , 1 2 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 , 5 ⎪ ⎪ ⎫ ⎧ f cx ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3, 75 ⎪ T⎪ ⎪ ⎪ ; = f c = N (␰ P ,␩ P) ⎨ f c ⎬ ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ 12 , 5 ⎪ f cy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 18, 75 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 , 167 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6 , 25 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ Como se pode verificar a seguir, as cargas equivalentes nodais formam um sistema estaticamente equivalente às cargas aplicadas:

Somatório das forças horizontais:

fc1 + fc3 + fc5 + fc7 = 20

Somatório das forças verticais:

fc2 + fc4 + fc6 + fc8 = 30

122

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Vetor das cargas equivalentes nodais fq relativas às cargas distribuídas qx e qy no interior do elemento

Figura 4.22 Cargas distribuídas na área do elemento.

qx = 2; qy = 3 Resultantes: área = 2 Qx = qx ⋅ área ⋅ t; Qy = qy ⋅ área ⋅ t;

Qx = 4 Qy = 6

Integração de Gauss na área do elemento:

⎧ ⎪ qx ⎫ ⎪ ⎪ ⋅ t ⋅ det J (␰ ,␩ ) f q p g(␰ ,␩ ) = (␰ ,␩ )T ⋅ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ qy ⎪ ⎭

4

f q∑ i =1

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ fqpg(␰ , gi , ␩ gi ) ⋅ w␰ i w␩i ; f q = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

1 1, 5 1 1, 5 1 1, 5 1 1, 5

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Capítulo 4

Problemas de estado plano

123

Como se pode verificar a seguir, as cargas equivalentes nodais formam um sistema estaticamente equivalente às cargas aplicadas: Somatório das forças horizontais:

fq1 + fq3 + fq5 + fq7 = 4

Somatório das forças verticais:

fq2 + fq4 + fq6 + fq8 = 6

Vetor das cargas equivalentes nodais fp relativas às cargas distribuídas px e py aplicadas ao longo do bordo  = 1 do elemento.

Figura 4.23

Cargas distribuídas ao longo do bordo  = 1 do elemento.

px = 2; py = 3 Resultantes: L = comprimento do bordo; Px = px ⋅ L ⋅ t; Px = 2 Py = py ⋅ L ⋅ t; Py = 3

L=1

Integração de Gauss ao longo do bordo  =1 do elemento: ⎧ px ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⋅ t ⋅ det J (1, ␩ ) fppg(1, ␩ ) = N (1, ␩ )T ⋅ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ py ⎪ ⎭

124

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

2

fppg = ∑ i =1

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ fppg(1, ␩ gi ) ⋅ w␩i ; fq ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

0 0 1 1, 5 1 1, 5 0 0

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Como se pode verificar a seguir as cargas equivalentes nodais formam um sistema estaticamente equivalente às cargas aplicadas: Somatório das forças horizontais:

f p1 + f p3 + f p5 + f p7 = 2

Somatório das forças verticais:

f p2 + f p4 + f p6 + f p8 = 3

4.5.4 Exemplo de placa circular vazada, elemento isoparamétrico bilinear. Problema de sólido de revolução resolvido como problema de estado plano Dados: re = 20;

Figura 4.24

ri = 10;

pe = pi = p = 10;

Placa circular vazada.

E = 20000;

v = 0,2;

t=1

Capítulo 4

Problemas de estado plano

125

Solução pela teoria da elasticidade

␴␪

(r = p⋅ (r

2

i 2 e

+ re2 ) + ri2 )

; ␴r

(r = p⋅ (r

2

i 2 e

+ re2 ) + ri2 )

; ␶ xy = 0

␴ ␪ = −10 ; ␴ r = −10 ; ␶ xy = 0 ␴ z = 0

␶ xy 1 1 ␧ r = (␴ r − v␴ ␪ ); ␧ r = (␴ ␪ − v␴ r ); Yxy E E G

1 ␧ z = − ( v␴ r = + v␴ ␪ ) E

␧ r = −4 ×10−4 ; ␧␪ − 4 ×10−4 ; Yxy = 0 ; ␧ z = 2 ×10−4

ur ( r ) =

r E

(1 − v)

p (ri2 − ri2 )

(r

i

2

− ri2 )

Observação: como as componentes de tensões r e  são ortogonais e do mesmo valor (−10) e rz é nulo, o circulo de Mohr em cada ponto se reduz a um ponto no eixo , logo x , y = −10, xy = 0. Função de deslocamento ur(r) ao longo de r.

Figura 4.25

Gráfico da função ur(r).

126

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Solução por elementos finitos Malha de elementos finitos utilizada para a análise do problema.

Figura 4.26 Malha adotada com uso da dupla simetria do problema.

Dados: nnodes = 25; nelem = 16; gdl = 2 ⋅ nnodes; ri = 10; re = 20; )r = (re – ri)/4; Inicialização: i = 1..gdl fi = 0 j = 1..gdl Ki,j = 0 Geração das coordenadas nodais A matriz n(i,j) armazena a numeração dos nós. O primeiro nó gerado é n(1,1) = 1. Quando i varia de 2 a 5 com j mantido igual a 1, os outros nós sobre a circunferência com mesmo r são gerados. Os nós com mesmo j formam uma linha reta que passa pela origem

Capítulo 4

127

Problemas de estado plano

do sistema de coordenadas e tem inclinação constante em relação ao eixo X. Em seguida, com j = 2, os nós com r = ri + )r são gerados e assim sucessivamente com raios iguais para pontos de mesmo j. A matriz r (i,j) armazena os raios dos nós n(i,j). O vetor (i) armazena os ângulos em radianos com o eixo X das retas que contém os pontos com mesmo i. j = 1..5 i = 1..5 n(i , j) = i + ( j − i) ⋅ 5 ; r (i , j) = ri + ( j − 1) ⋅ ⌬r ; ␣ (i) =

␲ −␲ ⋅ (i − 1) + 2 8

Finalmente, pode-se escrever: xn( i , j ) = r(i , j) ⋅ cos(␣(i)); y n( i , j ) = r(i , j) ⋅ sin(␣(i))

Geração da matriz das coordenadas nodais X: i = 1..nnodes Xi,1 = xi;

Xi,2 = yi

Pontos notáveis e pesos de Gauss: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␰ g = ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬; ␩g = ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

⎫ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ; w␰ = ⎪ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎨ ⎬ ; w␩ = ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

⎫ ⎪ 1 ⎪ ⎪⎪ 1 ⎪ ⎬⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎭

13 14 19 18

17 18 23 22

Matriz de incidência: ⎡ ⎢ ⎢ Inc = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

1 2 7 6

2 3 8 7

3 4 6 7 8 9 11 12 4 5 7 8 9 10 12 13 9 10 12 13 14 15 17 18 8 9 11 12 13 14 4 16 17

14 15 20 19

16 17 22 21

18 19 24 23

19 20 25 24

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

128

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Definição das funções de interpolação e suas derivadas: 1 1 N 1 (␰ , ␩ ) = ⋅ (1 − ␰ )(1 − ␩ ); N 3 (␰ , ␩ ) = ⋅ (1 + ␰ )(1 + ␩ ) 4 4 1 1 N 2 (␰ , ␩ ) = ⋅ (1 + ␰ )(1 − ␩ ); N 4 (␰ , ␩ ) = ⋅ (1 − ␰ )(1 + ␩ ) 4 4 N 1 (␰ , ␩ ),␰ = N 2 (␰ , ␩ ),␰ = N 3 (␰ , ␩ ),␰ = N 4 (␰ , ␩ ),␰ =

∂ ∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰

N 1 (␰ , ␩ ); N 1 (␰ , ␩ ),␩ = N 2 (␰ , ␩ ); N 2 (␰ , ␩ ),␩ = N 3 (␰ , ␩ ); N 3 (␰ , ␩ ),␩ = N 4 (␰ , ␩ ); N 4 (␰ , ␩ ),␩ =

∂ ∂␩ ∂ ∂␩ ∂ ∂␩ ∂ ∂␩

N 1 (␰ , ␩ ) N 2 (␰ , ␩ ) N 3 (␰ , ␩ ) N 4 (␰ , ␩ )

Definição da matriz DNd(,) e DNx(,): ⎡ N (␰ , ␩ ) 0 0 0 0 N 2 (␰ , ␩ ),␰ N 3 (␰ , ␩ ),␰ N 4 (␰ , ␩ ),␰ ⎢ 1 ,␰ ⎢ ⎢ N (␰ , ␩ ) N 2 (␰ , ␩ ),␩ N 3 (␰ , ␩),␩ N 4 (␰ , ␩ ),␩ 0 0 0 0 ,␩ ⎥ DNd(␰ , ␩ ) = ⎢⎢ 1 0 N 2 (␰ , ␩ ),␰ 0 N 3 (␰ , ␩ ),␰ 0 N 4 (␰ , ␩),␰ N 1 (␰ , ␩ ),␰ 0 ⎢ ⎢ ⎢ N 2 (␰ , ␩ ),␩ N 3 (␰ , ␩ ),␩ N 4 (␰ , ␩ ),␩ 0 N 1 (␰ , ␩ ),␩ 0 0 0 ⎣⎢

⎡ N (␰ , ␩ ) ⎢ ,␰ DNx(␰ , ␩ ) = ⎢ 1 ⎢ N (␰ , ␩ ) ,␩ ⎢⎣ 1

N 2 (␰ , ␩ ),␰

N 3 (␰ , ␩ ),␰

N 2 (␰ , ␩ ),␩

N 3 (␰ , ␩ ),␩

N 4 (␰ , ␩ ),␰ ⎤⎥ ⎥ N 4 (␰ , ␩ ),␩ ⎥ ⎥⎦

Definição da matriz H e da matriz constitutiva C para o problema de estado plano de tensões: ⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎢ E H=⎢ 0 0 0 1 ⎥; C= ⎥ ⎢ 1− v2 ⎢⎣ 0 1 1 0 ⎥⎦

Ciclo para gerar as matrizes dos elementos: m = 1..nelem

⎡ 1 v ⎢ ⎢ v 1 ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎣

0 0 1− v 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Capítulo 4

Problemas de estado plano

Coordenadas nodais do elemento m: x1e (m) = X Inc

1 ,m

,1

; y1e (m) = X Inc

x2 e (m) = X Inc

2 ,m

,1

; y 2 e (m) = X Inc

x3 e (m) = X Inc

3 ,m

,1

4 ,m

,1

x4 e (m) = X Inc

1 ,m

,2

2 ,m

,2

; y 3 e (m) = X Inc

3 ,m

,2

; y 4 e (m) = X Inc

4 ,m

,2

Matriz Xe(m) com as coordenadas nodais do elemento m: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ X e ( m) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

x1e (m) y1e (m) ⎤⎥ ⎥ x 2 e ( m) y 2 e ( m) ⎥ ⎥ x3 e (m) y 3 e (m) ⎥⎥ ⎥ x 4 e ( m) y 4 e ( m) ⎥ ⎦

Matriz jacobiana J(,,m) e sua inversa (,,m) para elemento m: J(,,m) = DNx(,) ⋅ Xe(m)

(,,m) = J(,,m)−1 Geração da matriz u(,,m). ⎡ ⌫ (␰ , ␩ , m) ⎢ 1,1 ⎢ ⎢ ⌫ (␰ , ␩ , m)2 ,1 ⌫ u (␰ , ␩ , m) = ⎢⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

⌫ (␰ , ␩ , m)1, 2

0

0

⌫ (␰ , ␩ , m)2 , 2

0

0

0

⌫ (␰ , ␩ , m)1,1

⌫ (␰ , ␩ , m)1, 2

0

⌫ (␰ , ␩ , m)2 ,1 ⌫ (␰ , ␩ , m)2 , 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Matriz de compatibilidade cinemática B(,,m) do elemento m: B(,,m) = H ⋅ u(,,m) ⋅ DNd(,) Calculo do determinante de J(,,m) para o elemento m: det J(,,m) = |J(,,m)| Cálculo da matriz de rigidez no ponto de coordenadas , do elemento m: Kep(,,m) = B(,,m)T ⋅ C ⋅ B(,,m) ⋅ t ⋅ det J(,,m)

129

130

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Matriz de rigidez do elemento m: 4

K e (m) = ∑ K ep (␰ pgi , ␩pgi , m) ⋅ w␰ i ⋅ w␩i i =1

Montagem da matriz de rigidez da estrutura Ponteiros: dg1, m = 2 ⋅ Inc1, m − 1; dg 2 , m = 2 ⋅ Inc1, m dg 3 , m = 2 ⋅ Inc2 , m − 1; dg 4 , m = 2 ⋅ Inc2 , m dg 5 , m = 2 ⋅ Inc3 , m − 1; dg6 , m = 2 ⋅ Inc3 , m dg7 , m = 2 ⋅ Inc 4 , m − 1; dg 8 , m = 2 ⋅ Inc 4 , m

i = 1..8 j = 1..8 K dg

i ,m

, dg j ,m

= K dg

i ,m

, dg j ,m

+ K e (m)i , j

Vinculação pela técnica do número grande: ndirres = 10 Direções restringidas: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dres = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩

1 10 11 20 21 30 31 40 41 50

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

k = 1..ndirres K dres

k

, dresk

= 106 ⋅ K dres

k

, dresk

Vetor das forças nodais equivalentes f: pi = p ⋅

␲ ␲ ⋅ ri ; pe = p ⋅ ⋅ re 8 8

Capítulo 4

Problemas de estado plano

Nós da face interna:

f1 =

⎛ ␲ ⎞⎟ ⎛ ␲ ⎞⎟ p cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ; f 2 = i sin ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2 2

pi

f9 =

pi 2

cos(0); f10 =

pi 2

sin(0)

i = 2..4 f2⋅i−1 = picos((i));

f2⋅i = pisin((i))

Nós da face externa: f 41 =

⎛ ␲ ⎞⎟ ⎛ ␲ ⎞⎟ −p cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ; f 42 = e sin ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2 2

−pe

f 49 =

−pe 2

−pe

cos(0); f 50 =

2

sin(0)

i = 2..4 f40+2⋅i−1 = −pecos((i));

f40+2⋅i = −pesin((i))

Cálculo do vetor de deslocamentos nodais d da estrutura: d = K−1 ⋅ f Cálculo dos vetores dos deslocamentos nodais de(m) do elemento m: m = 1..nelem ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ de ( m) = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

d( dg

1 ,m

)

d( dg

1 ,m

)

d( dg

2 ,m

)

d( dg

3 ,m

)

d( dg

4 ,m

)

d( dg

5 ,m

)

d( dg

6 ,m

)

d( dg

7 ,m

)

d( dg

8 ,m

)

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

131

132

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Cálculo dos vetores de deformação e de tensão no elemento m: (,,m) = B(,,m) ⋅ de(m);

(,,m) = C ⋅ (,,m)

Resultado para o elemento 1 com coordenadas paramétricas  = 0 e  = 0: ⎧ ⎪ −4 , 105×10−4 ⎪ ⎪ ⎪ ␧ (0, 0, 1) = ⎨ −4 , 105×10−4 ⎪ ⎪ −4 ⎪ ⎪ ⎩ −1, 218×10

⎫ ⎧ ⎪ ⎪ −10, 262 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ; ␴ (0, 0, 1) = ⎪ ⎨ −10, 262 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − , 0155×10−7 1 ⎪ ⎩ ⎪ ⎭

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Deve-se lembrar que a solução por elementos finitos modelou o problema como um problema de estado plano de tensão. Desse modo, os resultados fornecidos em termos de deformação e tensão referem-se a componentes de deformação x, y e xy e correspondentes componentes de tensão x, y e xy. Todavia, as componentes de tensão x, y e xy correspondem exatamente às componentes de tensão r ,  e r do problema axissimétrico resolvido pela teoria da elasticidade uma vez que o círculo de Mohr se degenera em um ponto que torna os resultados independentes do sistema de coordenadas adotado, tanto para tensões como para deformações. Pode-se observar que os resultados da solução por elementos finitos se aproximam bastante dos resultados teóricos dados pela teoria da elasticidade. O problema resolvido como problema de estado plano não fornece as componentes de deformação e de tensão na direção z. r = −4 × 10−4;

 = −4 × 10−4;

 = −10;

r = 10;

xy = 0;

xy = 0;

z = 2 × 10−4

z = 0

4.5.5 Exemplo de barra tracionada modelada por elemento de Lagrange de 9 nós Coordenadas paramétricas notáveis: 0 = −1;

1 = 0;

2 = 1;

0 = −1;

1 = 0;

2 = 1;

Polinômios de Lagrange: L␰ 0 (␰ ) = L␰ 1 (␰ ) = L␰ 2 (␰ ) =

(␰ − ␰ 1 )(␰ − ␰ 2 ) (␰ 0 − ␰ 1 )(␰ 0 − ␰ 2 ) (␰ − ␰ 0 )(␰ − ␰ 2 ) (␰ 1 − ␰ 0 )(␰ 1 − ␰ 2 ) (␰ − ␰ 0 )(␰ − ␰ 1 ) (␰ 2 − ␰ 0 )(␰ 2 − ␰ 1 )

Capítulo 4

L␩0 (␩ ) = L␩1 (␩ ) = L␩2 (␩ ) =

Problemas de estado plano

133

(␩ − ␩1 )(␩ − ␩2 ) (␩0 − ␩1 )(␩0 − ␩2 ) (␩ − ␩0 )(␩ − ␩2 ) (␩1 − ␩0 )(␩1 − ␩2 ) (␩ − ␩0 )(␩ − ␩1 ) (␩2 − ␩0 )(␩2 − ␩1 )

Representação gráfica do polinômio de Lagrange L  2( ). Observa-se que ele vale 0 nas coordenadas paramétricas −1 e 0 e 1 na coordenada paramétrica +1:

Figura 4.27

Polinômio lagrangeano L  2( ).

Figura 4.28

Elemento langrageano de 9 nós no plano paramétrico.

134

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Funções de interpolação do elemento: N 1 (␰ ,␩ ) = L␰ 0 (␰ ) ⋅ L␩0 (␩ ); N 4 (␰ ,␩ ) = L␰ 0 (␰ ) ⋅ L␩2 (␩ ); N 7 (␰ ,␩ ) = L␰ 1 (␰ ) ⋅ L␩2 (␩ ); N 2 (␰ ,␩ ) = L␰ 2 (␰ ) ⋅ L␩0 (␩ ); N 5 (␰ ,␩ ) = L␰ 1 (␰ ) ⋅ L␩0 (␩ );

N 8 (␰ ,␩ ) = L␰ 0 (␰ ) ⋅ L␩1 (␩ );

N 3 (␰ ,␩ ) = L␰ 2 (␰ ) ⋅ L␩2 (␩ ); N 6 (␰ ,␩ ) = L␰ 2 (␰ ) ⋅ L␩1 (␩ );

N 9 (␰ ,␩) = L␰ 1 (␰ ) ⋅L␩1 (␩ );

Representações gráficas das funções de interpolação N2(,) e N9(,):

Figura 4.29 Função N2( ,) e N9(,).

Coordenadas nodais: x1 = 1; x2 = 5; x3 = 5; x4 = 1; x5 = 3; x6 = 5; x7 = 3; x8 = 1; x9 = 3 y1 = 1; y2 = 1; y3 = 3; y4 = 3; y5 = 1; y6 = 2; y7 = 3; y8 = 2; y9 = 2 Parâmetros geométricos e mecânicos: espessura t = 1; módulo de elasticidade E = 1.000; coeficiente de Poisson  = 0,2; carga distribuída p = +10 no bordo  = +1. Matriz das coordenadas nodais X: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ X = ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

⎪ y1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ y2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y4 ⎪ ⎪ ⎪ y5 ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ y6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y7 ⎪ ⎪ ⎪ y8 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Capítulo 4

Figura 4.30

Problemas de estado plano

Malha de 1 elemento e dados do problema.

Pontos notáveis e pesos de Gauss:

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␰ pg = ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ − 0, 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0, 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 0, 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ;␩ pg = ⎪ ⎬ ⎨ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 0, 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0, 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 0, 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

− 0, 6 − 0, 6 − 0, 6 0 0 0 − 0, 6 − 0, 6 − 0, 6

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ;wx = ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎬ ;w␩ = ⎨ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎬ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎭

135

136

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Matriz constitutiva C e matriz H do problema de estado plano de tensões: ⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎢ E H=⎢ 0 0 0 1 ⎥; C= ⎥ ⎢ 1− v2 ⎢⎣ 0 1 1 0 ⎥⎦

⎡ 1 v ⎢ ⎢ v 1 ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎣

0 0 1− v 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Derivadas paramétricas das funções de interpolação:

N 1 (␰ ,␩ ),␰ = N 2 (␰ ,␩ ),␰ = N 3 (␰ ,␩ ),␰ = N 4 (␰ ,␩ ),␰ = N 5 (␰ ,␩ ),␰ = N 6 (␰ ,␩ ),␰ = N 7 (␰ ,␩ ),␰ = N 8 (␰ ,␩ ),␰ = N 9 (␰ ,␩ ),␰ =

∂ ∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰

N 1 (␰ ,␩ );

N 1 (␰ ,␩ ),␩ =

N 2 (␰ ,␩ ); N 2 (␰ ,␩ ),␩ = N 3 (␰ ,␩ );

N 3 (␰ ,␩ ),␩ =

N 4 (␰ ,␩ ); N 4 (␰ ,␩ ),␩ = N 5 (␰ ,␩ );

N 5 (␰ ,␩ ),␩ =

N 6 (␰ ,␩ );

N 6 (␰ ,␩ ),␩ =

N 7 (␰ ,␩ ); N 7 (␰ ,␩ ),␩ = N 8 (␰ ,␩ );

N 8 (␰ ,␩ ),␩ =

N 9 (␰ ,␩ );

N 9 (␰ ,␩ ),␩ =

∂ ∂␩ ∂ ∂␩ ∂ ∂␩ ∂ ∂␩ ∂ ∂␩ ∂ ∂␩ ∂ ∂␩ ∂ ∂␩ ∂ ∂␩

N 1 (␰ ,␩ ) N 2 (␰ ,␩ ) N 3 (␰ ,␩ ) N 4 (␰ ,␩ ) N 5 (␰ ,␩ ) N 6 (␰ ,␩ ) N 7 (␰ ,␩ ) N 8 (␰ ,␩ ) N 9 (␰ ,␩ )

Matriz DNd(,): ⎡ N (␰ , ␩ ) ⎢ 1 ,␰ ⎢ ⎢ N (␰ , ␩ ) ,␩ DNd(␰ , ␩ ) = ⎢⎢ 1 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

0

N 2 (␰ , ␩ ),␰

0



0

0

N 2 (␰ , ␩ ),␩

0



0

N 1 (␰ , ␩ ),␰

0

N 2 (␰ , ␩ ),␰

N 1 (␰ , ␩ ),␩

0

N 2 (␰ , ␩ ),␩  N 9 (␰ , ␩ ),␰

 N 9 (␰ , ␩ ),␰

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Capítulo 4

Problemas de estado plano

137

Matriz DNx(,):

⎡ N (␰ ,␩ ) ⎢ ,␰ DNx (␰ ,␩ ) = ⎢ 1 ⎢ N (␰ ,␩ ) ,␩ ⎢⎣ 1

 N 9 (␰ ,␩ ),␰ ⎤⎥ ⎥  N 9 (␰ ,␩ ),␩ ⎥ ⎥⎦

N 2 (␰ ,␩ ),␰ N 2 (␰ ,␩ ),␩

Matriz jacobiana J(,) = DNx(,) ⋅ X Determinante da matriz jacobiana J(,). det J(,) = |J(,)| Inversa da matriz jacobiana (,).

(,) = J(,)−1 Matriz ⌫u(,). ⎡ ⌫ (␰ , ␩ ) ⎢ 1,1 ⎢ ⎢ ⌫ (␰ , ␩ )2 ,1 ⌫ u (␰ , ␩ ) = ⎢⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

⌫ (␰ , ␩ )1, 2

0

0

⌫ (␰ , ␩ )2 , 2

0

0

0

⌫ (␰ , ␩ )1,1

⌫ (␰ , ␩ )1, 2

0

⌫ (␰ , ␩ )2 ,1 ⌫ (␰ , ␩ )2 , 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Matriz de compatibilidade cinemática B(,). B(,) = H ⋅ (,) DNd(,) Cálculo da matriz de rigidez no ponto de coordenadas paramétricas ,. Kp(,) = B(,)T ⋅ C ⋅ B(,) ⋅ t ⋅ det J(,) npg

K = ∑ Kp(␰ pgi , ␩ pgi ) ⋅ w␰ i ⋅ w␩i i =1

Partição da matriz de rigidez em submatrizes correspondentes aos graus de liberdade c do contorno (nós de 1 a 8) e graus de liberdade i correspondentes ao nó interior 9: ⎡ K ⎢ K = ⎢ cc ⎢ K ic ⎣

K ci ⎤⎥ ⎥ K ii ⎥ ⎦

138

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Matriz de rigidez condensada Krr: Krr = Kcc − Kci ⋅ Kii−1 ⋅ Kic Vetor das forças equivalentes nodais f: 1

f 3 = p ∫ N 2 (1, ␩ ) d␩ = 3, 333 −1 1

f 5 = p ∫ N 6 (1, ␩ ) d␩ = 13, 333 −1 1

f11 = p ∫ N 3 (1, ␩ ) d␩ = 3, 333 −1

Partição e cálculo do vetor das cargas equivalentes nodais condensadas fr: ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ fc ⎪ ⎪ ⎪ f =⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ f ⎪ ⎪ i ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

fr = fc − Kci ⋅ Kii−1 ⋅ fi Introdução dos vínculos na matriz de rigidez condensada com a técnica do número grande: K rr = 106 ⋅ K rr ; K rr = 106 ⋅ K rr ; K rr = 106 ⋅K K rr ; K rr = 106 ⋅ K rr 15 ,15 ; 1 ,1

1 ,1

2 ,2

2 ,2

7 ,7

7 ,7

5 ,5

Cálculo do vetor dos deslocamentos condensados dr: dr = Krr−1 ⋅ fr Cálculo do vetores de deslocamentos do contorno dc e do nó interno di: dc = d r ;

di = Kii−1 (fi − Kic ⋅ dc)

Cálculo do vetor de deslocamentos d: ⎧⎪ d ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ d = ⎪⎨ c ⎪ ⎬ ⎪⎪ d ⎪ ⎪⎩ i ⎪ ⎪ ⎭

Cálculo das deformações e tensões no ponto de coordenada paramétrica ,: (,) = B(,) ⋅ d (,) = C ⋅ (,)

Capítulo 4

139

Problemas de estado plano

O resultado exato é x = 10, y = xy = 0: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ d = ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

9, 841×10−9 0 0, 036 −2 , 753×10−4 0, 036 −2 , 629×10−3 9,8 841×10−9 −2 , 904 ×10−3 0, 019 6, 498×10−3 0, 039 1, 452 ×10−3 0, 019 −3, 554 ×10−3 1, 122 ×10−8 1, 452 ×10−3

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ 9, 718×10−3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ; ␧ (0, 0) = ⎨ −2 , 102 ×10−3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9, 685 ⎪ ⎪ ; ␴ (0, 0) = ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ −0, 165 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

CAPÍTULO

5

Sólidos de revolução ou axissimétricos

5.1 Introdução Sólidos axissimétricos ou de revolução são sólidos gerados pela revolução de uma figura plana em 3600 em torno de um eixo, chamado eixo de revolução ou de axissimetria (em geral o eixo z) como indicado na Figura 5.1.

Figura 5.1

Tubo circular de seção vazada gerado pela revolução em torno do eixo z de um retângulo.

Muitas estruturas desse tipo podem ser encontradas na Engenharia Civil, tais como calotas esféricas utilizadas em coberturas de estádios, cilindros ocos, fechados no topo e na base, usados como reservatórios de água e silos para armazenar alimentos, sapatas e estacas cilíndricas, entre outros.

Capítulo 5

Sólidos de Revolução ou Axissimétricos

141

Na Engenharia Mecânica, muitos componentes de instalações industriais são sólidos de revolução, como tubos cilíndricos, vasos de pressão, entre outros.

5.1.1 Equações de compatibilidade Os campos de deslocamento de um sólido de revolução são u(r,z), na direção do eixo radial r, e w(r,z), na direção do eixo vertical z. Três componentes de deformação dos sólidos de revolução são análogas às componentes do problema de estruturas de estado plano. São elas: ⎧ ⎪ ∂u ⎪ r = ⎪ ⎪ ∂r ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ = w . ⎨ z ⎪ ∂r ⎪ ⎪ ⎪ ∂u ∂w ⎪ rz = + ⎪ ⎪ ∂z ∂r ⎪ ⎪ ⎩

(5.1)

As componentes r , z e rz são denominadas, respectivamente, deformação longitudinal radial, deformação longitudinal vertical e distorção no plano rz. Todavia, a componente de deformação característica dos sólidos de revolução é a de deformação circunferencial θ. Sejam o anel de seção transversal A e raio r representados na Figura 5.2.

Figura 5.2

Deformação do anel de raio r para um deslocamento radial u.

Quando um ponto da seção transversal se desloca na direção radial do valor u, o anel aumenta de raio e, consequentemente, de comprimento, o que produz a seguinte deformação circunferencial θ:  =

2 (r + u ) − 2    r u = . 2   r r

(5.2)

Agora, é possível reescrever as componentes de deformação do problema em questão como:

142

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

⎧ ⎪  r = u, r ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ⎪  = ⎪ ⎪ , ⎨ r ⎪ ⎪  z = w,z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  = u, z + w , r ⎪ ⎪ ⎩ rz

(5.3)

⎧⎪ ∂u ⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ∂r ⎪ ⎪ ⎫ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ r ⎪ u ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  ⎪; ⎪ ⎪ r  ⎪ ⎬ ⎨ ⎬= ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂w  w ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ z ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ z ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎩ rz ⎪ ⎪ ⎪⎪ ∂u ∂w ⎪ ⎪ + ⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎩ ∂z ∂r ⎪

(5.4)

ou, matricialmente,

ou, alternativamente, ⎧ ⎫ ⎪ ⎡ ⎪ ⎪ r ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪  ⎪ ⎪ ⎬= ⎢ ⎨ ⎪ ⎢ ⎪ z ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎪ ⎪  ⎪ ⎪ rz ⎩ ⎭

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 1 0

⎫ ⎧ ⎪ u, r ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤ ⎪ 0 ⎥⎪ u ⎪ ,z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 / r ⎥⎥ ⎪ ⎨w,r ⎬ ⎪ ⎥ 0 ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪w ⎪ ,z ⎪ 0 ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ⎪ ⎭ ⎩ ⎪

(5.5)

ou, sucintamente,  = H (r)u,c ;

(5.6)

5.1.2 Equações constitutivas Como visto anteriormente, usando a lei de Hooke e o efeito de Poisson, obtém-se: ⎧ ⎪  v  v  z ⎪ ⎪ − r = r − ⎪ ⎪ E E E ⎪ ⎪ ⎪ v v z   r ⎪ + −  = − ⎪ ⎪ ⎪ E E E ⎨ ⎪ v  r v  v  z ⎪ ⎪ − + z = − ⎪ ⎪ E E E ⎪ ⎪ ⎪ 2 1 v + ( )  ⎪ rz rz = ⎪ ⎪ E ⎪ ⎩

ou, matricialmente,

(5.7)

Capítulo 5

Sólidos de Revolução ou Axissimétricos

⎧ ⎪ ⎪ r ⎫ ⎡ 1 −v −v ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪  1 v v − − 1 0 ⎪ ⎬ = ⎢⎢ ⎨  ⎪ ⎪ ⎪ 1 0  z ⎪ E ⎢ −v −v ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ v + 0 0 0 2 1 ( ) ⎪ ⎪ ⎣ ⎪ ⎭ ⎩rz ⎪

⎧ ⎪ ⎪ ⎫ y ⎪ ⎤⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ y ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎬; ⎥⎨ ⎪ ⎪  ⎪ ⎥⎪ y ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪  xy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪

143

(5.8)

ou, sucintamente,  = D ;

(5.9)

 = D−1  = C  ;

(5.10)

consequentemente,

A matriz constitutiva C para a análise de sólidos de revolução é: ⎡ 1− v v v 0 ⎢ ⎢ v v 1− v 0 ⎢ E ⎢ v C= v 1− v 0 (1 + v)(1 − 2 v) ⎢⎢ (1 − 2 v) 0 0 ⎢ 0 2 ⎣⎢

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

(5.11)

5.2 Elemento da família Serendipity de 4 nós Os elementos da família Serendipity são isoparamétricos, ou seja, as funções de interpolação são usadas para representar a geometria e a cinemática do elemento. 4 ⎧ ⎪ ⎪ r( , ) = ∑ N i ( , )ri ; ⎪ ⎪ ⎪ i=1 ⎨ 4 ⎪ ⎪ z( , ) = ∑ N i ( , )zi ; ⎪ ⎪ ⎪ i=1 ⎩

(5.12)

e 4 ⎧ ⎪ ⎪ u( , ) = ∑ N i ( , )ui ; ⎪ ⎪ ⎪ i=1 ⎨ 4 ⎪ ⎪ w( , ) = ∑ N i ( , )wi ; ⎪ ⎪ ⎪ i=1 ⎩

(5.13)

onde, ri e zi são as coordenadas nodais relativas aos eixos axissimétrico r e vertical z, respectivamente, e ui e wi são os deslocamentos nodais relativos aos eixos r e z, respectivamente. As funções de interpolação Ni(␰,␩) são dadas por:

144

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

1 N 1 ( , ) = (1 −  )(1 − ); 4 1 N 2 ( , ) = (1 +  )(1 − ); 4 1 N 3 ( , ) = (1 +  )(1 + ); 4 1 N 4 ( , ) = (1 −  )(1 + ); 4

(5.14)

As expressões (5.12) a (5.14) permitem mapear um ponto P(␰,␩) do quadrado representado no plano paramétrico para um ponto P(r,z) no quadrilátero representado no plano cartesiano como indicado na Figura 5.3.

Figura 5.3

Mapeamento de um ponto P(␰,␩) do quadrilátero no plano paramétrico para um ponto P(r,z) do quadrilátero no plano cartesiano.

Seja uma função ␾(x,y). Se x e y forem definidos conforme as expressões (5.12), a relação entre as derivadas de ␾ quanto às coordenadas cartesianas e as derivadas de ␾ em relação às coordenadas paramétricas é dada pela regra da cadeia: ⎧ ∂ ∂ ∂r ∂ ∂z ⎪ ⎪ ; = + ⎪ ⎪ ∂ ∂r ∂ ∂z ∂ ⎪ ⎨ ⎪ ∂ ∂ ∂r ∂ ∂z ⎪ ; = + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂ ∂r ∂ ∂z ∂

(5.15)

⎧ ∂ ⎪ ⎫ ⎡ ∂r ∂z ⎤ ⎧ ⎪ ⎪ ∂ ⎫ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎢ ⎪ ∂ ⎪ ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ r ⎥ ⎢ ⎨ ⎪ ⎬; ⎨ ⎬= ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎢ ∂r ∂z ⎥ ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ∂ ∂ ⎪ ⎭ ⎥⎦ ⎪⎩ ∂z ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎢⎣

(5.16)

ou, matricialmente,

Capítulo 5

145

Sólidos de Revolução ou Axissimétricos

Pode-se definir agora a matriz jacobiana J(␰,␩) como, ⎡ ∂r ∂z ⎤ ⎥ ⎢ ⎢ ∂ ∂ ⎥ ⎥; ⎢ J( , ) = ⎢ ⎥ r z ∂ ∂ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ ∂ ∂ ⎥⎦

(5.17)

e, utilizando (5.13), obtém-se: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ J( , ) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

4

∑ i=1 4

∑ i=1

∂N i ( , ) ∂ ∂N i ( , ) ∂

⎤ ⎥ z ∑ ∂ i ⎥⎥ i=1 ⎥; 4 ∂N ( , ) ⎥ i ∑ ∂ zi ⎥⎥ i=1 ⎥⎦ 4

ri ri

∂N i ( , )

(5.18)

ou, matricialmente,

⎡ N ( , ) ⎢ 1 , J( , ) = ⎢ ⎢ N ( , ) ⎢⎣ 1 ,

N 2 ( , ),

N 3 ( , ),

N 4 ( , ),

N 2 ( , ),

N 3 ( , ),

N 4 ( , ),

⎡ ⎢ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ⎢ ⎢ ⎢⎣

r1 r2 r3 r4

z1 ⎤⎥ ⎥ z2 ⎥ ⎥; z3 ⎥⎥ z4 ⎥⎥ ⎦

(5.19)

onde os subescritos, ␰ e ,␩ significam a derivada em relação a ␰ e ␩, respectivamente. Sucintamente, a expressão (5.19) pode ser reescrita como: J ( , ) = DNx( , )X ;

(5.20)

Como já visto, a matriz ⌫(, ), dada por:

 ( , ) = J ( , )−1 ;

(5.21)

transforma derivadas paramétricas de ␾ em derivadas cartesianas de ␾. Sendo assim, pode-se escrever:

⎫ ⎧u ⎪ ⎪ ⎪ ,x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡  ( , ) ⎪ u ⎪ 0 ,y ⎪ ⎪ ⎬ = ⎢⎢ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ w 0  (  , ) ⎢⎣ ⎪ ,x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ,y ⎪

⎫ ⎧u ⎪ ⎪ ⎪ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤⎪ ⎪ ⎪ u , ⎪ ⎥⎪ ; ⎨ ⎥ ⎪w ⎬ ⎪ ⎪ ,  ⎦⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪

(5.22)

onde 0 é uma matriz de zeros de dimensão 2×2. O determinante da matriz jacobiana é o fator de escala que transforma a área elementar d␰d␩ no quadrado do plano paramétrico em área elementar correspondente no quadrilátero do plano cartesiano dA, como indicado a seguir.

146

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

dA = det( J ( , ))d d

(5.23)

Sabendo que a matriz de rigidez de um elemento finito qualquer pode ser obtida por: K = ∫ B t C B dv;

(5.24)

o passo a ser dado é a obtenção da matriz de compatibilidade cinemática B, ou seja: (5.25)

 = B d; onde d é o vetor dos deslocamentos nodais. ⎧ ⎪ ⎪ u1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪v 2 ⎪ ⎪ d = ⎨ ⎬; ⎪ ⎪ u ⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ⎪ ⎪ 4⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪v ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪ 4 ⎪ ⎭

(5.26)

Inicialmente, a expressão (5.22) é expandida para: ⎫ ⎧u ⎪ ⎪ ⎪ ,x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎪ ⎪ u, y ⎪  ( , )2 x 2 ⎪ ⎪ ⎢⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨w , x ⎬ = ⎢ 02 x2 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ w,y ⎪ ⎢ 01x 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎣ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩u ⎪

02 x2

02 x1

 ( , )2 x 2

02 x1

02 x2

11 x 1

⎧u ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤⎪u ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ , ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎬; ⎥ ⎨w, ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ w ⎪ ⎥⎦ ⎪ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ⎪ ⎭ ⎩ ⎪

(5.27)

ou, sucintamente, u,c ( , ) =  u( , )u, p ( , );

(5.28)

onde, u,c é o vetor que contém as derivadas cartesianas das componentes de deslocamentos u e w, além da componente u na última linha; u,p é o vetor que contém as derivadas paramétricas das componentes de deslocamentos u e w, além da componente u na última linha; e ⌫u(␰,␩) é a matriz que transforma derivadas paramétricas dos deslocamentos em derivadas cartesianas dos deslocamentos e iguala u a u na última linha. As expressões (5.13) permitem escrever:

Capítulo 5

Sólidos de Revolução ou Axissimétricos

147

⎧⎪u ⎫⎪ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ ⎪⎪w ⎪⎪ ⎤ ⎡ ⎫ N ( , ) ⎧u ⎪ ⎪ N 2 ( , ), N 3 ( , ), N 4 ( , ), 0 0 0 0 ⎥ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ ⎢ 1 ⎪ , , ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪⎪u ⎪⎪ ⎪ ⎢⎢ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪⎪ 2 ⎪⎪ u, ⎪ N 1 ( , ), N 2 ( , ), N 3 ( , ), N 4 ( , ), 0 0 0 0 ⎪ ⎪ ⎥ ⎪w ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨w, ⎬ = ⎢ 0 N 2 ( , ), 0 N 3 ( , ), 0 N 4 ( , ), ⎥⎥ ⎨ 2 ⎬ ; N 1 ( , ), 0 ⎪ ⎪ ⎥ ⎪⎪u3 ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎢ w, ⎪ 0 N (  , ) 0 N (  , ) 0 N (  , ) 0 N  ( , ) ⎪ ⎪ 1 , 2 , 3 , 4 , ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪w ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪⎪ 3 ⎪⎪ ⎪ ⎢ N ( , ) ⎪ 0 N 3 ( , ) 0 N 4 ( , ) 0 0 N 2 ( , ) ⎪ ⎥⎦ ⎪⎪u ⎪⎪ ⎭ ⎢⎣ 1 ⎩u ⎪ ⎪⎪ 4 ⎪⎪ ⎪⎪w ⎪⎪ ⎪⎩ 4 ⎪⎭ (5.29) ou, sucintamente: u, p ( , ) = DNd( , )d ;

(5.30)

Substituindo, então, as expressões (5.28) e (5.30) na expressão (5.6) chega-se a:

 ( , ) = H ( , ) u( , )DNd( , )d ;

(5.31)

onde H(␰,␩) é a matriz H(r) dada em (5.5), mas agora com r = r(␰,␩). Observando-se (5.31), pode-se concluir que, para o elemento em questão, a matriz de compatibilidade cinemática vale: B( , ) = H ( , ) u( , )DNd( , );

(5.32)

e a matriz de rigidez pode ser dada por: K=∫

1

−1

∫

1

−1

B( , )t C B( , )2 r( , )det( J ( , ))d d ;

(5.33)

A obtenção da matriz de rigidez se dá por integração numérica no plano paramétrico pelo método de Gauss. Se forem utilizados ng pontos de Gauss com coordenadas paramétricas ␰g e ηg e pesos de integração w e w , a expressão (5.33) pode ser reescrita como: i

i

i

i

ng

(

)

K = ∑ B( g , g )t C B( g , g )2 r( g , g )det J ( g , g ) w w ; i=1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

(5.34)

i

5.3 Exemplo de sólido de revolução, placa circular vazada Exemplo – placa circular vazada, sólido de revolução elemento Serendipity isoparamétrico quadrilátero de 4 nós elemento. Observação: O problema é um problema de sólido de revolução e é mais convenientemente modelado com elementos de sólido de revolução. No Capítulo 4, esse mesmo

148

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

problema é tratado como problema de estado plano de tensão com 16 elementos isoparamétricos, modelado como problema de sólido de revolução usando apenas 1 elemento. Dados: „Parâmetros mecânicos e espessura:

v = 0, 2 ; E = 20000 ; h = 1; G =

E 2(1 + v)

„Pressão externa e interna

pi =

pe =

p = 10 ;

„Dados geométricos:

ri = 10 ; re = 20 r1 = ri ; r2 = re ; r3 = re ; r4 = ri z1 = 0 ; z 2 = 0 ; z 3 = h ; z 4 = h „Cargas equivalentes nodais:

pi =

Figura 5.4

2 ⋅ ⋅ r1 ⋅ p ⋅ h 2

; pe =

2 ⋅ ⋅ re ⋅ p ⋅ h 2

Malha de 1 elemento de sólido de revolução.

Capítulo 5

Sólidos de Revolução ou Axissimétricos

Solução pela teoria de elasticidade

 r = −10

  = −10

 rz = 0

z = 0

 r = −0, 0004  = −0, 0004  rz = 0  z = 0, 0002 ur (r) = −0, 0004 ⋅ r

:VS\sqVWVYLSLTLU[VZÄUP[VZLSLTLU[VSerendipity bilinear de 4 nós Matriz de coordenadas nodais X: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ X=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

r1 r2 r3 r4

z1 ⎤⎥ ⎥ z2 ⎥ ⎥ z3 ⎥⎥ z4 ⎥⎥ ⎦

Pontos notáveis de Gauss: ⎧ 1 ⎪ ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⎧1⎪ ⎫ ⎧1⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  pg = ⎨ ⎬ ⎬ ; pg = ⎨ ⎬ ; w = ⎨ ⎬ ; w = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ 1⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎭ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎭ ⎩ ⎩

Matriz constitutiva C: ⎡ 1− v 0 v v ⎢ ⎢ v 1 − 0 v v ⎢ E ⎢ v C= 1− v 0 v (1 + v)(1 − 2 v) ⎢⎢ (1 − 2 v) 0 0 ⎢ 0 2 ⎣⎢

Funções de interpolação e suas derivadas paramétricas:

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

149

150

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

1 1 N 1 ( , ) = (1 −  )(1 − ) N 3 ( , ) = (1 +  )(1 + ) 4 4 1 1 N 2 ( , ) = (1 +  )(1 − ) N 4 ( , ) = (1 −  )(1 + ) 4 4 N 1 ( , ), = N 2 ( , ), = N 3 ( , ), = N 4 ( , ), =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

N 1 ( , )

N 1 ( , ), =

N 2 ( , )

N 2 ( , ), =

N 3 ( , )

N 3 ( , ), =

N 4 ( , )

N 4 ( , ), =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

N 1 ( , ) N 2 ( , ) N 3 ( , ) N 4 ( , )

Raio no ponto paramétrico de coordenadas ␰,␩: r( , ) = N 1 ( , ) ⋅ r1 + N 2 ( , ) ⋅ r2 + N 3 ( , ) ⋅ r3 + N 4 ( , ) ⋅ r4

Matriz DNd(␰,␩): ⎤ ⎡ N ( , ) N 2 ( , ), N 3 ( , ), N 4 ( , ), 0 0 0 0 ⎢ 1 ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢ N ( , ) ⎥ N (  , ) N (  , ) N (  , ) 0 0 0 0 1 , 2 , 3 , 4 , ⎢ ⎥ ⎢ DNd( , ) = ⎢ 0 N 2 ( , ), 0 N 3 ( , ), 0 N 4 ( , ), ⎥⎥ N 1 ( , ), 0 ⎢ ⎥ ⎢ N 2 ( , ), N 3 ( , ), N 4 ( , ), ⎥ 0 N 1 ( , ), 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ N ( , ) ⎥ N (  , ) 0 N (  , ) 0 N (  , ) 0 0 ⎢⎣ 1 ⎥⎦ 2 3 4

Matriz DNx(␰,␩): ⎡ N ( , ) ⎢ , DNx( , ) = ⎢ 1 ⎢ N ( , ) , ⎢⎣ 1

N 2 ( , ),

N 3 ( , ),

N 2 ( , ),

N 3 ( , ),

Matriz jacobiana J(␰,␩) e sua inversa ⌫(␰,␩): J ( , ) = DNx( , ) ⋅ X

 ( , ) = J ( , )−1 Matriz H(␰,␩) e matriz ⌫u(␰,␩):

N 4 ( , ), ⎤⎥ ⎥ N 4 ( , ), ⎥ ⎦⎥

Capítulo 5

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ H ( , ) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡  ( , )  ( , ) 0 0 ⎢ ⎤ 1 ,1 1 ,2 ⎢ ⎥ ⎢  ( , )2 ,1  ( , )2 ,1 ⎥ 0 0 ⎢ ⎥ 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ; ( , ) =   0 0  ( , )1,1  ( , )1,2 r( , ) ⎥ u ⎢ ⎢ ⎥ 0 0 0 1 0 ⎥ ⎢ 0 0  ( , )2 ,1  ( , )2 ,2 ⎢ 0 1 1 0 0 ⎥⎦ ⎢ 0 0 0 0 ⎣ 1 0 0 0

151

Sólidos de Revolução ou Axissimétricos

0 1

0 ⎤⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1 ⎥⎦

Matriz de compatibilidade cinemática B(␰,␩): B( , ) = H ( , ) ⋅  u ( , ) ⋅ DNd( , )

Cálculo do determinante de J(␰,␩) no ponto de coordenadas cartesianas P(␰,␩): det J ( , ) = J ( , )

Cálculo da matriz de rigidez no ponto de coordenadas cartesianas P(␰,␩): K p ( , ) = B( , )T ⋅ C ⋅ B( , ) ⋅ 2 ⋅ ⋅ r( , ) ⋅ det J ( , )

Matriz de rigidez K: 4

K = ∑ Kp( pgi , pgi ) ⋅ w i ⋅ w i i=1

Introdução dos vínculos com a técnica de números grandes. Vale observar que os deslocamentos verticais dos números 1 e 2 estão sendo restringidos: K 2 ,2 = 106 ⋅ K 2 ,2 K 4 ,4 = 106 ⋅ K 4 ,4

Cargas equivalentes nodais: ⎧ p ⎪⎫ ⎪ ⎪ i ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −pe ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪⎬ f =⎨ ⎪ −pe ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p ⎪ ⎪ i ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

Cálculo dos deslocamentos nodais:

152

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

⎧ ⎪ ⎪ −4 ×10−3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 3 ⎪ −8×10 ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ −1 ⎪ ⎪ d = K ⋅ f ; d =⎨ ⎬ − 3 ⎪ ⎪ 8 10 − × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −4 ⎪ ⎪ 2 10 × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −3 ⎪ ⎪ ⎪ 4 10 − × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −4 ⎪ ⎪ ⎪ 2 × 10 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

Cálculo das deformações e tensões no ponto de coordenadas cartesianas ␰,␩: ␧(␰,␩) = B(␰,␩) · d; ␴(␰,␩) = C · ␧(␰,␩) Resultados no ponto ␰ = 0 e ␩ = 0:

⎧⎪−4 ×10−4 ⎫⎪ ⎫⎪ ⎧⎪ −10 ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪−4 ×10−4 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 10 − ⎪⎬ ⎪⎬ ;  (0, 0) = ⎪⎨  (0, 0) = ⎪⎨ ⎪⎪−1, 506×10−15 ⎪⎪ ⎪⎪ 2 ×10−4 ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩ − 3, 41×10−15 ⎪⎪⎪⎭ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎭ 0 Vale observar que a solução dada pela teoria da elasticidade é reproduzida exatamente aqui utilizando-se apenas um elemento finito isoparamétrico de quatro nós.

CAPÍTULO

6

Sólidos tridimensionais

6.1 Introdução Exemplos de sólidos tridimensionais (3D) em Engenharia Civil são: blocos de estaca, sapatas, blocos de fundações de máquinas, etc. As análises de sólidos 3D por elementos finitos são, ainda hoje, pouco utilizadas devido a dificuldade na geração da malha. Ultimamente, grandes avanços têm sido feitos com o aparecimento de programas para a geração automática de malhas tridimensionais.

6.1.1 Equações de compatibilidade Os campos de deslocamento de um sólido são u(x,y,z), v(x,y,z) e w(x,y,z), respectivamente na direção dos eixos x, y e z. As componentes de deformação são dadas por: ⎧ ⎪ ∂u ⎪ x = ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ⎪ v ∂ ⎪ ⎪ y = ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ⎪ w ∂ ⎪ z = ⎪ ⎪ ∂z ⎪ ; ⎨ ∂u ∂v ⎪ ⎪  = + ⎪ xy ⎪ ∂y ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ∂v ∂w ⎪ ⎪  yz = + ⎪ ⎪ ∂z ∂y ⎪ ⎪ ⎪ ∂u ∂w ⎪ ⎪ +  zx = ⎪ ⎪ ∂z ∂x ⎩

(6.1)

Capítulo 6

Sólidos Tridimensionais

154

Em notação vetorial: ⎫ ⎧ u ⎧ ⎪⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ,x x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  v ⎪ ⎪ ⎪ y ⎪ ,y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  w ⎪ ⎪ ⎪ y ⎪ ,z ⎬; ⎨ ⎬= ⎨ ⎪ ⎪ ⎪  xy ⎪ ⎪ u,y + v,x ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  yz ⎪⎪ ⎪⎪v,z + w,y ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w , x + u, z ⎪  ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ zx ⎪ ⎩ ⎪⎭ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

(6.2)

ou, matricialmente, ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  y ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬= ⎪ ⎨ ⎪  xy ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  yz ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  ⎪ ⎪ zx ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪

∂ ∂x 0

0 ∂ ∂y

0

0

∂

∂

∂y

∂x

0 ∂ ∂z

∂ ∂z 0

⎫ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ u⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂z ⎪⎪ ⎪ v⎪ ⎬; ⎬⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ w ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ⎭

(6.3)

ou, sucintamente:

=L u;

(6.4)

Em (6.4), ␧ é o vetor das deformações, L a matriz operadora de derivação e u o vetor das componentes de deslocamentos.

6.1.2 Equações constitutivas A lei de Hooke e o efeito de Poisson permitem escrever na forma matricial: ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎡ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪  y ⎪⎪⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ z ⎪ = 1 ⎢⎢ ⎨ ⎬ ⎪  xy ⎪⎪ E ⎢⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪  yz ⎪⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎣ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ zx ⎪ ⎭

1 −v −v 0 0 0 0 0 0 −v 1 −v 0 0 0 −v −v 1 0 0 2(1 + v) 0 0 0 0 0 0 0 2(1 + v) 0 0 0 0 0 0 2(1 + v)

⎧ ⎪ ⎫ ⎪ ⎤⎪ ⎪ x⎪ ⎪ ⎥⎪  y ⎪⎪⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪  z ⎪⎪⎪ ⎪ ⎥ ⎨ ⎬; ⎥ ⎪ ⎪ xy ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ yz ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ zx ⎪ ⎭

(6.5)

155

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

ou, sucintamente,

 = D ;

(6.6)

A relação inversa pode ser expressa por:

 = D−1  = C  ;

(6.7)

sendo C a matriz constitutiva para um material isotrópico e linear elástico de uma estrutura 3D, dada por: ⎡ 1− v 0 v v ⎢ ⎢ v 1− v 0 v ⎢ ⎢ v 1− v 0 v ⎢ ⎢ (1 − 2 v) 0 0 ⎢ 0 E ⎢ C= 2 (1 + v)(1 − 2 v) ⎢⎢ 0 0 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎢ 0 ⎣⎢

0 0 0 0 (1 − 2 v) 2 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ (1 − 2 v) ⎥ ⎥ ⎥⎦ 2 0 0 0

(6.8)

6.2 Elemento tetraedro O elemento tetraedro de 4 nós representado na Figura 6.1 para problemas de sólidos tridimensionais também apresenta deformação constante assim como o elemento triangular de 3 nós para o problema de estado plano como será visto adiante.

Figura 6.1

Elemento tetraedro e seus graus de liberdade.

Capítulo 6

Sólidos Tridimensionais

156

Os campos que descrevem os deslocamentos no interior do elemento são polinômios lineares em x, y e z, ou seja: u( x , y , z) = a1 + a2 x + a3 y + a4 z ; v( x , y , z) = a5 + a6 x + a7 y + a8 z ;

(6.9)

w( x , y , z) = a9 + a10 x + a11 y + a12 z ;

ou, matricialmente, ⎫ ⎧a ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ ⎪⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ ⎤ ⎡ 5 ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 x y z ( , , ) u x y z ⎥ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a6 ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨v( x , y , z) ⎬ = ⎢ 0 0 0 0 1 x y z 0 0 0 0 ⎥ ⎨ ⎪ ⎬; ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪a7 ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ( , , ) w x y z 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x y z ⎥ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ a8 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a11 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ 12 ⎪

(6.10)

u( x , y , z) = Na( x , y , z)a ;

(6.11)

ou, sucintamente,

A escolha de polinômios lineares de 4 termos com 12 coeficientes incógnitos ai pode agora ser justificada pelas 12 condições de contorno seguintes: ⎧ ⎪ u( x1 , y1 , z1 ) = u1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v( x1 , y1 , z1 ) = v1 ⎪ ⎪ ⎪ w ( x 1 , y 1 , z1 ) = w 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u( x2 , y 2 , z2 ) = u2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v( x3 , y 3 , z2 ) = v2 ⎪ ⎪ ⎪ w( x 3 , y 3 , z 2 ) = w 2 ⎪ ⎪ ; ⎨ ⎪ u( x3 , y 3 , z3 ) = u3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v( x3 , y 3 , z3 ) = v3 ⎪ ⎪ ⎪ w( x 3 , y 3 , z 3 ) = w 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u( x4 , y 4 , z4 ) = u4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v( x4 , y 4 , z4 ) = v4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩w( x4 , y 4 , z4 ) = w 4

(6.12)

157

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

que podem ser reescritas usando-se a expressão (6.9) como: ⎫ ⎡⎢ 1 ⎧u ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢0 ⎪ ⎪ v1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w1 ⎪ ⎢⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢1 ⎪ ⎪ u ⎢ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢0 ⎪ v2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢0 w ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ = ⎢⎢ ⎨ 2⎪ ⎪ u3 ⎪ ⎢1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v3 ⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢0 w ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ u4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎢1 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v ⎢0 ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎣⎢ 0 ⎩w 4 ⎪

⎫ x1 y1 z1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤⎥ ⎧ ⎪a ⎪ 1 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 0 1 x 1 y 1 z1 0 0 0 0 ⎥ ⎪ a ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ 0 0 0 0 0 0 0 1 x 1 y 1 z1 ⎥ ⎪ a ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ x 2 y 2 z2 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎪a ⎪ ⎪ 4 ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 0 1 x 2 y 2 z2 0 0 0 0 ⎥ ⎪ a 5 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 1 x 2 y 2 z2 ⎥ ⎪ a6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬; ⎥⎨ ⎪ x3 y 3 z3 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎪a7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a 0 0 0 1 x 3 y 3 z3 0 0 0 0 ⎥ ⎪ 8 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ 0 0 0 0 0 0 0 1 x3 y 3 z3 ⎥⎥ ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ a10 ⎪ x4 y 4 z4 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ a ⎥ 0 0 0 1 x4 y 4 z4 0 0 0 0 ⎪ 11 ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ a ⎪ 0 0 0 0 0 0 0 1 x4 y 4 z4 ⎥ ⎪ 12 ⎪ ⎭ ⎩ ⎦

(6.13)

ou, sucintamente, d = A a;

(6.14)

a = A−1 d ;

(6.15)

ou,

onde o vetor d contém os deslocamentos nodais. ⎫ ⎧u ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪w ⎪ ⎪ d = ⎨⎪ 2 ⎪ ⎬; ⎪ u3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩w 4 ⎪

Substituindo a expressão (6.15) em (6.11), obtém-se:

(6.16)

Capítulo 6

Sólidos Tridimensionais

158

u( x , y , z) = Na( x , y , z) A−1 d ;

(6.17)

u( x , y , z) = N ( x , y , z) d ;

(6.18)

N ( x , y , z) = Na( x , y , z) A−1 ;

(6.19)

ou, ainda,

sendo,

A matriz N(x,y,z) tem a forma: ⎤ ⎡ N ( x ,y ,z) 0 0 0 0 … N 4 ( x ,y ,z) 0 0 N 2 ( x ,y ,z) ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ N( x ,y ,z)= ⎢ ⎥; 0 0 0 N 2 ( x ,y ,z) 0 0 N 4 ( x ,y ,z) 0 N 1 ( x ,y ,z) … ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 N ( x , y , z ) 0 0 N ( x , y , z ) … 0 0 N ( x , y , z ) 4 1 2 ⎥⎦ ⎣⎢

(6.20) Observando as equações (6.18) e (6.20) é possível escrever: 4 ⎧ ⎪ ⎪ u( x , y ) = ∑ N 1 ( x , y )ui ; ⎪ ⎪ ⎪ i=1 ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎨v( x , y ) = ∑ N 1 ( x , y )vi ; ⎪ i=1 ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ w ( x , y ) = N 1 ( x , y )wi ; ⎪ ∑ ⎪ ⎪ i=1 ⎪ ⎩

(6.21)

onde ui, vi e wi são os deslocamentos nodais relativos aos eixos x, y e z, respectivamente. O volume do elemento é representado pela variável Vol cuja expressão pode ser obtida pelo determinante: ⎡ ⎢ ⎢ 1⎢ Vol = ⎢ 6 ⎢⎢ ⎢ ⎢⎣

1 x1

y1

1 x2

y2

1 x3

y3

1 x4

y4

z1 ⎤⎥ ⎥ z2 ⎥ ⎥; z3 ⎥⎥ z4 ⎥⎥ ⎦

(6.22)

Usando mais uma vez a expressão geral para a matriz de rigidez de um elemento finito qualquer, ou seja: K = ∫ B t C B dv

(6.23)

v

onde B é a matriz de compatibilidade cinemática que transforma deslocamentos nodais em deformações no interior do elemento, ou seja:

159

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

=Bd

(6.24)

C é a matriz constitutiva que transforma o vetor de deformações  em vetor de tensões  para o material de comportamento linear elástico (lei de Hooke). =C

(6.25)

No caso de um problema 3D, as componentes do vetor de deformação  são dadas pela expressão (6.3) que está representada a seguir na forma matricial. (x , y , z) = L u(x , y , z) ;

(6.26)

onde L é a matriz operadora de derivação. Substituindo-se (6.18) em (6.26) obtém-se: (x , y , z) = L N(x , y , z)d ;

(6.27)

A expressão (6.27) pode ser reescrita como:  = B d;

(6.28)

o que permite concluir que para o elemento em questão vale, B = L N ( x , y , z);

(6.29)

B6 x 12 = ⎡⎢ B1 B2 B3 B4 ⎤⎥ ; ⎣ 6x3 6x3 6x3 6x3 ⎦

(6.30)

sendo a matriz B dada por:

onde as submatrizes Bi representam a parcela de B relativa ao nó i, dada por: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢⎢ Bi = ⎢ 6 Vol ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

bi

0

0

ci

0

0

ci

bi

0

di

di

0

0 ⎤⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ di ⎥⎥ ⎥; 0 ⎥ ⎥ ci ⎥ ⎥ bi ⎥⎥ ⎦

(6.31)

Os coeficientes bi, ci e di são dados por: 1 yi bi = − 1 y k 1 yl

zj zk ; zl

(6.32)

Capítulo 6

xj

1

Sólidos Tridimensionais

160

zj

ci = + x k

1 zk

xm

1 zm

xj

;

(6.33)

yj

1

di = − xk

yk

1 ;

(6.34)

xm

yl

1

Os nós i, j, k e l seguem a sequência “i j k l i j k l .....”. Assim, se a numeração local dos nós 1, 2, 3 e 4 corresponder aos nós globais 7, 9, 12, 15, B1, que corresponde ao nó 7 global, será formada com as coordenadas dos nós j = 9, k=12 e l=15. Já B2 , que corresponde ao nó 9 global, será formada com as coordenadas dos nós j=12, k=15 e l=7 e assim sucessivamente. A numeração dos nós do elemento deve seguir a seguinte regra: olhando do nó i para os nós do triângulo oposto, os nós devem ser vistos no sentido horário para que o volume calculado pela expressão (6.22) seja positivo. A integração da matriz de rigidez é trivial devido ao fato de a matriz B ser constante, ou seja, independente de x, y e z para o elemento em questão, o que permite reescrever (6.23) como: K = B tC B Vol;

(6.35)

6.3 Elemento hexaedro O hexaedro é um elemento da família Serendipity de elementos isoparamétricos. Ele está representado na Figura 6.2.

Figura 6.2

Elemento hexaedro.

161

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

As coordenadas paramétricas dos nós desse elemento são dadas por: ⎧ = −1; ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪  = 1; 2 ⎪ ⎪ ⎪  = 1; ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 =−1; ⎨ ⎪  5 =−1; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  6 = 1; ⎪ ⎪ ⎪  7 = 1; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 8 =−1;

1 = −1; 1 =−1 2 = −1; 2 =−1 3 = 1; 3 =−1  4 = 1; 4 =−1 5 = −1; 5 = 1

;

(6.36)

6 = −1; 6 = 1 7 = 1; 7 = 1 8 = 1; 8 = 1

As funções de interpolação são: 1 N i ( , , ) = (1 +  i  )(1 + i )(1 + i ); 8

(6.37)

As coordenadas de um ponto no interior do elemento podem ser obtidas por interpolação das coordenadas nodais: 8 ⎧ ⎪ ⎪ x( , , ) = ∑ N i ( , , )xi ; ⎪ ⎪ ⎪ i=1 ⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎨y( , , ) = ∑ N i ( , , )yi ; ⎪ i=1 ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ z (  ,  , ) = N i ( , , )zi ; ⎪ ∑ ⎪ ⎪⎩ i=1 ⎪

(6.38)

Assim como os deslocamentos em pontos interiores podem ser obtidos por interpolação dos deslocamentos nodais: 8 ⎧ ⎪ ⎪ u( , , ) = ∑ N i ( , , )ui ; ⎪ ⎪ ⎪ i=1 ⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎨v( , , ) = ∑ N i ( , , )vi ; ⎪ i=1 ⎪ ⎪⎪ 8 ⎪ w( , , ) = ∑ N i ( , , )wi ; ⎪ ⎪ i=1 ⎪ ⎩⎪

(6.39)

A matriz jacobiana J(␰,␩,␨) é expressa como: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ J( , , ) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂x

∂y

∂ ∂x

∂ ∂y

∂ ∂x

∂ ∂y

∂

∂

∂z ⎤⎥ ⎥ ∂ ⎥ ⎥ ∂z ⎥ ⎥; ∂ ⎥ ⎥ ∂z ⎥ ⎥ ∂ ⎥⎦

(6.40)

Capítulo 6

Sólidos Tridimensionais

162

com

( , , ) = J ( , , )−1 ;

(6.41)

Substituindo as expressões (6.38) em (6.40), chega-se a:

⎡N N N N N N N N ⎢ 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ⎢ J( , , ) = ⎢ N 1, N 2,, N 3 , N 4 , N 5 , N 6 , N 7 , N 8 , ⎢ ⎢N N N N N N N N ⎢ 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ⎣

⎡x ⎢ 1 ⎢ ⎢ x1 ⎢ ⎤ ⎢⎢ x1 ⎥⎢ ⎥ ⎢ x1 ⎥⎢ ⎥⎢ x ⎥⎢ 1 ⎥⎢ ⎦ ⎢ x1 ⎢ ⎢ x1 ⎢ ⎢x ⎢⎣ 1

y 2 z3 ⎤⎥ ⎥ y 2 z3 ⎥ ⎥ y 2 z3 ⎥⎥ ⎥ y 2 z3 ⎥ ⎥; y 2 z3 ⎥ ⎥ y 2 z3 ⎥⎥ ⎥ y 2 z3 ⎥ ⎥ y 2 z3 ⎥⎥ ⎦

(6.42)

ou, sucintamente, J ( , , ) = DNx( , , )X ;

(6.43)

Derivando-se as expressões (6.39) em relação às coordenadas paramétricas, chega-se a: ⎡ N ⎧⎪u ⎫ ⎢ 1, ⎪ ⎪⎪ , ⎪ ⎢ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ N ⎪ ⎪⎪u, ⎪ ⎢ 1, ⎢ N ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ u ⎢ 1, ⎪⎪ , ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎪ ⎪ ⎢ 0 ⎪ v ⎪⎪ , ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎨v, ⎬ = ⎢ 0 ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ 0 ⎪⎪v ⎪ ⎢ ⎪ ⎪⎪ , ⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎪⎪w ⎪ ⎢ ⎪ ⎪⎪ , ⎪ ⎢ ⎪ ⎪⎪w ⎪ ⎢ 0 , ⎪ ⎢ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎪w ⎪ ⎪ , ⎪⎩ ⎪ ⎭ ⎢⎣ 0

0

0

N 2 ,

0

0

N 8 ,

0

0

0

0

N 2 ,

0

0

N 8 ,

0

0

0

0

N 2 ,

0

0

N 8 ,

0

0

N 1,

0

0

N 2 ,

0

…

0

N 8 ,

0

N 1,

0

0

N 2 ,

0

…

0

N 8 ,

0

N 1,

0

0

N 2 ,

0

…

0

N 8 ,

0

0

N 1,

0

0

N 2 ,

0

0

N 8 ,

0

N 1,

0

0

N 2 ,

0

0

N 8 ,

0

N 1,

0

0

N 2 ,

0

0

N 8 ,

⎤⎪ ⎫ ⎧u ⎪ ⎥⎪ 1⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ v1 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ w1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪u ⎪ ⎪ 2⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ v2 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ; (6.44) ⎥⎨ ⎪ ⎥ ⎪w2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪  ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ u 8 ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ v8 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪w ⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ 8⎪ ⎭ ⎩

ou, sucintamente, u, p ( , , ) = DNd( , , ) d ;

(6.45)

Sabendo que a matriz ⌫(␰,␩,␨) transforma derivadas paramétricas de ␾ em derivadas cartesianas, pode-se escrever:

163

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

⎧ ⎪ ⎪ u, x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ⎪ ,y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u, y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎪ ⎪ v, x ⎪ ⎪ ⎢ ( , , ) ⎪ 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨v,y ⎬ = ⎢⎢ 0

( , , ) 0 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0

( , , ) ⎢⎣ v ⎪ ⎪ , z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w ,x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w ⎪ ,y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w,z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪

⎫ ⎧u ⎪ ⎪ ⎪ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤⎪ v , ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪⎨v ⎪ ; ⎥ ⎪ , ⎬ ⎥⎪ ⎪ ⎪ v, ⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w ⎪ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w ⎪ , ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪

(6.46)

Onde a matriz 0 é uma matriz com valores nulos e de dimensão 3x3. Sucintamente, (6.46) pode ser reescrita como: u,c ( , , ) = u ( , , )u, p ;

(6.47)

onde u,c é o vetor que contém as derivadas cartesianas das componentes de deslocamentos u, v e w, u,p o vetor que contém as derivadas paramétricas das componentes de deslocamentos u, v e w e ⌫u(, , ) a matriz que transforma derivadas paramétricas dos deslocamentos em derivadas cartesianas dos deslocamentos. É possível demonstrar também que o determinante da matriz jacobiana é o fator de escala que transforma o volume elementar d␰ d␩ d␨ no espaço paramétrico em volume elementar correspondente no espaço cartesiano dV = dx dy dz, como indicado a seguir. dV = det( J ( , ,  )) d d d ;

(6.48)

As componentes de deformação em um problema tridimensional expressas em (6.2) podem ser escritas alternativamente como:

⎧ ⎪  ,x ⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎪ ⎪  ,y ⎪⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ,z ⎪ ⎨ ⎬= ⎢ ⎪  ,xy ⎪⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪  ⎪ ⎢ , yz ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  ⎪ ⎪ , zx ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0

⎧ ⎪ ⎪ u, x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ⎪⎪ ,y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤⎪ u ,z ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪v ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ ,x ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎨v , y ⎬ ; ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ v ⎪ , z ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ w,x ⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w ⎪ ,y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w,z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪

(6.49)

Capítulo 6

Sólidos Tridimensionais

164

ou, sucintamente, (␰,␩,␨) = H u,c (␰,␩,␨)

(6.50)

Usando (6.47) e (6.45), a expressão (6.50) pode ser reescrita como: ( , , ) = H u( , , )DNd( , , )d ;

(6.51)

o que permite concluir que para o elemento em questão, a matriz B vale, B( , , ) = H u( , , )DNd( , , );

(6.52)

A obtenção da matriz de rigidez se dá por integração numérica no espaço paramétrico pelo método de Gauss. Se forem usados ng pontos de Gauss com coordenadas paramétricas  g ,  g e g pesos de integração w , w , w a matriz de rigidez pode ser escrita i i i i i i como: ny

(

)

K = ∑ B( g , g , g )t C B( g , g , g )det J ( g , g , g ) w , w , w ; i=1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

6.4 Exemplo de barra tracionada modelada com sólido tridimensional, elemento hexaedro

Figura 6.3

Malha de 1 elemento para o problema.

(6.53)

165

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Coordenadas paramétricas

Coordenadas cartesianas

 1 = −1; 1 = −1; 1 = −1

x1 = −1;

y1 = −1;

 2 = 1;

2 = −1; 2 = −1

x2 = 1;

y 2 = −1; z2 = −1;

 3 = 1;

3 = 1;

3 = −1

x3 = 1;

y 3 = 1;

z3 = −1;

 4 = −1;  4 = 1;

4 = −1

x4 = −1; y 4 = 1;

z4 = −1;

z1 = −1;

 5 = −1; 5 = −1; 5 = 1

x5 = −1; y 5 = −1; z5 = 1;

 6 = 1;

6 = −1; 6 = 1

x6 = 1;

y6 = −1; z6 = 1;

 7 = 1;

7 = 1;

7 = 1

x7 = 1;

y7 = 1;

z7 = 1;

 8 = −1; 8 = 1;

8 = 1

x8 = −1; y 8 = 1;

z8 = 1;

Dados: P = 10 ; v = 0, 2 ; E = 20000 ; a = 2 (lado do cub bo).

Funções de interpolação trilineares e suas derivadas: 1 1 N 1 ( , , ) = (1 +  1 ⋅  )(1 + 1 ⋅ )(1 + 1 ⋅ ); N 5 ( , , ) = (1 +  5 ⋅  )(1 + 5 ⋅ )(1 + 5 ⋅ ); 8 8 1 1 N 2 ( , , ) = (1 +  2 ⋅  )(1 + 2 ⋅ )(1 + 2 ⋅ ); N 6 ( , , ) = (1 +  6 ⋅  )(1 + 6 ⋅ )(1 + 6 ⋅ ); 8 8 1 1 N 3 ( , , ) = (1 +  3 ⋅  )(1 + 3 ⋅ )(1 + 3 ⋅ ); N 7 ( , , ) = (1 +  7 ⋅  )(1 + 7 ⋅ )(1 + 7 ⋅ ); 8 8 1 1 N 4 ( , , ) = (1 +  4 ⋅  )(1 +  4 ⋅ )(1 + 4 ⋅ ); N 8 ( , , ) = (1 +  8 ⋅  )(1 + 7 ⋅ )(1 + 8 ⋅ ); 8 8

N 1, ( , , ) = N 2 , ( , , ) = N 3 , ( , , ) = N 4 , ( , , ) = N 5 , ( , , ) = N 6 , ( , , ) = N 7 , ( , , ) = N 8 , ( , , ) =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

N 1 ( , , );

N 1, ( , , ) =

N 2 ( , , ); N 2 , ( , , ) = N 3 ( , , );

N 3 , ( , , ) =

N 4 ( , , ); N 4 , ( , , ) = N 5 ( , , );

N 5 , ( , , ) =

N 6 ( , , );

N 6 , ( , , ) =

N 7 ( , , ); N 7 , ( , , ) = N 8 ( , , );

N 8 , ( , , ) =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

N 1 ( , , );

N 1, ( , , ) =

N 2 ( , , ); N 2 , ( , , ) = N 3 ( , , );

N 3 , ( , , ) =

N 4 ( , , ); N 4,, ( , , ) = N 5 ( , , );

N 5 , ( , , ) =

N 6 ( , , );

N 6 , ( , , ) =

N 7 ( , , ); N 7 , ( , , ) = N 8 ( , , );

N 8 , ( , , ) =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

N 1 ( , , ); N 2 ( , , ); N 3 ( , , ); N 4 ( , , ); N 5 ( , , ); N 6 ( , , ); N 7 ( , , ); N 8 ( , , );

Capítulo 6

Sólidos Tridimensionais

Matriz DNx (␰,␩,␨): ⎡ N ( , , ) N ( , , ) … N ( , , ) ⎢ 1, 2 , 8 , ⎢ DNx( , , ) = ⎢ N 1, ( , , ) N 2 , ( , , ) … N 8 , ( , , ) ⎢ ⎢ N ( , , ) N ( , , ) … N ( , , ) ⎢ 1, 2 , 8 , ⎣

Matriz jacobiana J (␰,␩,␨) sua inversa ⌫(,, ): ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ J ( , , ) = DNx( , , ) ⋅ X ; X = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4

x5

y5

x6

y6

x7

y7

x8

y8

z1 ⎤⎥ ⎥ z2 ⎥ ⎥ z3 ⎥⎥ ⎥ z4 ⎥ ⎥ z5 ⎥ ⎥ z6 ⎥⎥ ⎥ z7 ⎥ ⎥ z8 ⎥ ⎦

( , , ) = J ( , , )−1 Determinante da matriz jacobiana: det J ( , , ) = J ( , , )

Matriz H e matriz 0: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ H=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎡ 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ : Zero = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Matriz ⌫u(␰,␩,␨): ⎡ ( , , ) Zero Zero ⎢ ⎢

u ( , , ) = ⎢ Zero

( , , ) Zero ⎢

(  , , ) Zero Ze e ro ⎢⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

166

167

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Matriz DNd (␰,␩,␨): ⎤ ⎡ N ( , , ) 0 0 0 0 … 0 N 2 , ( , , ) ⎥ ⎢ 1, ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ N ( , , ) 0 0 N 2 , ( , , ) 0 0 … 0 ⎥ ⎢ 1, ⎥ ⎢ N ( , , ) 0 0 N   0 0 … 0 ( , , ) ⎥ ⎢ 1, 2 , ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 N 1, ( , , ) N 2 , ( , , ) 0 0 … ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 … 0 N 1, ( , , ) N 2 , ( , , ) DNd( , , ) = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 N 1, ( , , ) 0 0 N 2 , ( , , ) 0 … 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢   0 0 N   … N   0 0 N ( , , ) ( , , ) ( , , ) ⎥ ⎢ 2 , 8 , 1 , ⎥ ⎢ ⎢ N 2 , ( , , ) … N 8 , ( , , ) ⎥ 0 0 N 1, ( , , ) 0 0 ⎥ ⎢ ⎢ N 1, ( , , ) N 2 , ( , , ) … N 8 , ( , , ) ⎥⎥ 0 0 0 0 ⎢⎣ ⎦

Matriz de compatibilidade cinemática B(␰,␩,␨): B( , , ) = H ⋅ u ( , , ) ⋅ DNd( , , )

Matriz constitutiva C: ⎡ 1− v v c ⎢ ⎢ v 1 v v − ⎢ ⎢ v 1− v v ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ 0 E ⎢ C= ⎢ (1 + v)(1 − 2 v) ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢⎣

0 0 0 1− 2 v 2 0 0

0 0 0 0 1− 2 v 2 0

Matriz de rigidez no ponto P(␰,␩,␨): Kp( , , ) = B( , , ) ⋅ C ⋅ B( , , ) ⋅ det J ( , , )

Pontos notáveis e pesos para integração de Gauss: npg = número de pontos de Gauss npg = 8

(opção de 8 pontos de Gauss = 2 x 2 x 2)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1− 2 v ⎥ ⎥ ⎥⎦ 2 0 0 0

Capítulo 6

Sólidos Tridimensionais

168

⎧ ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎫ 1 ⎫ 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ − ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ 3⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ 3⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧1⎪ ⎫ ⎫ ⎧1⎪ ⎫ ⎧1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ 3 ⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ 1⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ; w g = ; w g = ; w g = ; ;  g =⎨  g = g   = ⎨ ⎪ ⎬; ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 1 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ 3 ⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ 1⎪ 1⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 3⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎭ ⎩ ⎩ 3 ⎪ ⎩ 3 ⎪ npg

K = ∑ Kp( gi , gi , gi ) ⋅ w gi ⋅ w gi ⋅ w gi ; i=1

npg

Vol = ∑ detJ( gi , gi , gi ) ⋅ w gi ⋅ w gi ⋅ w gi ; i=1

Volume do elemento: Vol = 8 Vetor das cargas nodais f : i = 1..24 fi = 0 Forças P na direção do eixo y nos nós 3, 4, 7 e 8: f8 = P;

f11 = P;

f20 = P;

f23 = P

Restrições: i = 1..6 Ki,i = 106 ⋅ Ki,i K14,14 = 106 ⋅ K14,14;

K17,17 = 106 ⋅ K17,17;

Observe que no loop, os 3 deslocamentos nas direções x,y e z dos nós 1 e 2 e os deslocamentos na direção y dos nós 5 e 6 estão sendo restringidos.

169

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Cálculo do vetor de dos deslocamentos d: d = K−1 ⋅ f Cálculo das deformações e tensões no ponto P(,, ):

 ( , , ) = B( , , ) ⋅ d  ( , , ) = C ⋅  ( , , ) Resultados no ponto P(0,0,0): ⎫ ⎧ 9, 553×10−11 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −9 ⎪ ⎪ × 1 , 157 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −11 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − × , 9 553 10 ⎪ ⎪ ⎪ −9 ⎪ ⎪ 1, 157 ×10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ −4 ⎪ ⎪ ⎪ − × 1 , 374 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −4 ⎪ ⎪ ⎪ × 9 , 883 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −5 ⎪ ⎪ −1, 524 ×10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⎧−8, 968×10−5 ⎪ ⎪ ⎪ 1, 374 ×10−4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −4 ⎪ ⎪ −4 ⎪ ⎪ × 9 , 88 3 10 ⎪ ⎪ 4 , 979 × 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −5 ⎪ −4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −1, 524 ×10 ⎪ −1, 021×10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪; d =⎨ ⎬ ;  (0, 0, 0) = ⎨ ⎬ −4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1, 374 ×10 ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ , × 1 157 10 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 −2 , 117 ×10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ −4 ⎪ ⎪ ⎪ − 1 , 374 × 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1, 157 ×10−9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −4 ⎪ ⎪ ⎪ − 2 , 117 × 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −5 ⎪ ⎪ −8, 383×10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1, 003×10−3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −4 ⎪ ⎪ − × 2 , 117 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 5 ⎪ ⎪ × 8 . 383 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ × 1 , 003 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 , 117 ×10−4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

⎫ ⎧0, 206⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪  (0, 0, 0) = ⎪⎨ ⎬ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

Solução da resistência dos materiais:

y =

4P 2

a  y = 10 ;

; y =

y

; dy =  y ⋅ a E  y = 5×10−4 ; dy = 1×10−3

Solução do modelo em elementos finitos:

 (0, 0, 0)2 = 10 ;  (0, 0, 0)2 = 4 , 979×10−4 ; d = 9, 883×10−4

CAPÍTULO

7

Placas à flexão

7.1 Introdução Placas à flexão são estruturas bidimensionais, ou seja, têm uma dimensão, a espessura h ou t, geralmente medida na direção do eixo z, muito menor do que as outras duas dimensões medidas no seu plano médio localizado no plano xy. O que difere essas estruturas das de estado plano, ou chapas, é a direção das cargas que atuam sobre elas. Enquanto nas estruturas de estado plano as cargas atuam no mesmo plano da estrutura, nas placas à flexão, as cargas atuam na direção da normal ao seu plano médio, ou seja, na direção do eixo z. Exemplos de estruturas de placas à flexão na Engenharia Civil são as lajes de concreto armado, os tabuleiros de pontes, os radiers etc. Há duas teorias que descrevem o comportamento das lajes, a teoria de Kirchhoff e a de Mindlin. A primeira é usada para a análise de placas delgadas, e a segunda pode ser usada para placas delgadas e espessas.

7.2  Teorias de placa à flexão Para classificar uma placa à flexão como delgada ou espessa usa-se o parâmetro r = L / t, sendo L o menor vão da placa e t sua espessura. Quando r ≥ 20, diz-se que a placa é delgada, caso contrário, é espessa. Um critério análogo pode ser usado para classificar uma viga. Vigas com r ≤ 5 são denominadas vigas-parede.

Capítulo 7  Placas à flexão



171

7.2.1  Teoria de Kirchhoff A teoria de Kirchhoff para placas à flexão corresponde à teoria de Euler-Bernoulli para vigas. Nesta última, a principal hipótese é que a seção transversal da viga se mantém plana e perpendicular à tangente da linha elástica na configuração deformada. 7.2.1.1  Hipóteses cinemáticas e equações de compatibilidade As hipóteses cinemáticas da teoria de Kirchhoff são: „„Qualquer ponto P(x,y) na superfície média da placa move-se apenas na direção z,

ou seja, tem apenas deslocamento vertical w(x,y). „„A deformação longitudinal vertical é nula em qualquer ponto da placa, ou seja,

z = 0. „„Uma linha reta e normal à superfície média antes do carregamento e que corta

o plano médio da placa no ponto P(x,y), permanece reta e normal ao plano tangente à superfície média nesse ponto após a aplicação do carregamento. Uma consequência importante dessa última hipótese é que as deformações cisalhantes gyz e gxz são nulas. Com base na terceira hipótese, as seguintes expressões que descrevem os campos de deslocamento das placas à flexão podem ser escritas:



  ∂ w( x , y )   u( x , y , z) = −z   ∂x  ;   ∂ w( x , y ) (7.1)   v( x , y , z) = −z   ∂y  

A Figura 7.1 demonstra que xy é o plano médio da placa. A origem do sistema de coordenadas local x, y, z foi colocada no ponto P(X,Y,0) do plano médio do sistema de coordenadas globais X, Y, Z. A reta vertical que passa por esse ponto, nesse caso o eixo z local, girou positivamente, seguindo a definição dos sentidos das derivadas de w,x e w,y, respectivamente em torno do eixos y e x. Observe-se que os sentidos positivos das rotações produzem, para valores positivos de z, deslocamentos u e v fora do plano médio negativos, o que justifica os sinais negativos em (7.1).

Figura 7. 1  Sentido positivo das derivadas parciais de w(x,y).

172

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

As deformações de um elemento infinitesimal de um plano de cota z paralelo ao plano médio da placa podem agora ser obtidas de (7.1) como:   ∂u   = −z w,xx x =   ∂u    ∂v  = −z w,yy ; (7.2)  y =  ∂y    ∂u ∂v   + = −2 z w,xy  xy =   ∂y ∂x  



ou, matricialmente,       w,xx   x                = − z w  y  ; (7.3)  ,yy             xy  2 w,xy            



ou, sucintamente,

 = −z kK ; (7.4)



Onde  é o vetor das deformações num dado ponto da placa e kK o vetor que contém as curvaturas da teoria de Kirchhoff relativas a um ponto do plano médio da placa que está na mesma reta vertical que o ponto onde foi calculado . Na placa à flexão, como na viga, atuam momentos fletores e esforços cortantes. Esses últimos produzem tensões cisalhantes verticais e, consequentemente, distorções gxz e gyz, que podem ser obtidas com o uso de (7.1) por:



  ∂w ∂u   xz = + = w, y − w, y = 0   ∂x ∂z  ;  (7.5)  ∂w ∂v   0 = + = w − w =  yz , x , x  ∂y ∂z  

Observando-se as expressões (7.5), conclui-se que, segundo a teoria de Kirchhoff, as distorções gxz e gyz são nulas, o que é próximo da realidade somente em placas à flexão delgadas e que, portanto, essa teoria só deve ser aplicada nesse caso. 7.2.1.2  Equações constitutivas Considerando a lei de Hooke e o efeito de Poisson e que um elemento infinitesimal dxdy e espessura dz distante z do plano médio da placa é uma miniestrutura em estado plano de tensão, é possível escrever:



 1 v     x       E  v 1   =   y   (1 − v 2 )  0 0           xy   

0 0 1− v 2

    x        ; (7.6)     y          xy   

Capítulo 7  Placas à flexão



173

ou, ainda,  1 v      x      v 1 − z E       y  = 2   (1 − v )  0 0           xy   



0 0 1− v 2

 w    , xx       w, yy    (7.7)     2 w, xy        

ou, sucintamente:

 = Ck  k = −z Ck kk ;



(7.8)

Vale observar que, segundo (7.8), as tensões variam linearmente ao longo da altura da placa e são nulas em z = 0. Assim como na viga, as resultantes de tensão (esforços internos) são obtidas por:        Mx      t  x         z dz ;  = ∫ 2t  y  My     −      2   M xy   xy            



(7.9)

Utilizando-se a expressão (7.8), obtém-se:

Mk = −

t3 12

Ck kk = −Dk kk ; (7.10)

sendo

Dk =

t3 12

Ck ; (7.11)

onde Mk é o vetor dos momentos num ponto da superfície média da placa e Dk é a matriz constitutiva ou rigidez à flexão de placas pela teoria de Kirchhoff. A expressão (7.11) equivale à expressão para vigas:

M = −EI k = − D k ; (7.12)

A expressão (7.5) indica que a teoria de Kirchhoff resulta em tensões cisalhantes txz e tyz nulas no mesmo elemento infinitesimal, uma vez que as distorções gxz e gyz são nulas, ou seja:



  E   xz =  =0   2 ( 1 + v) xz   ; (7.13)   E   yz =  =0   2 (1 + v) yz   

174

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Com tensões cisalhantes nulas, os esforços cortantes Qx e Qy também deveriam ser nulos, já que os esforços cortantes são obtidos a partir da integração das tensões cisalhantes ao longo da altura da viga: t    2  Q =  ∫− t  xz dz = 0 x   2 ; (7.14)  t   2  Qy = ∫ t  yz dz = 0   −  2 



Esse fato é uma inconsistência da teoria de Kirchhoff que, se aplicada às vigas, também levaria à mesma conclusão.

7.2.2  Teoria de Mindlin A teoria de Mindlin para placas à flexão corresponde à teoria de Timoshenko para vigas. Nessa última, a principal hipótese é que a seção transversal da viga se mantém plana, mas não necessariamente perpendicular à tangente da linha elástica na configuração deformada. 7.2.2.1  Equações de compatibilidade As hipóteses cinemáticas da teoria de Mindlin são: „„Qualquer ponto P(x,y) na superfície média move-se apenas na direção z, ou seja,

tem apenas deslocamento vertical w(x,y). „„A deformação longitudinal vertical é nula em qualquer ponto da placa, ou seja,

z = 0. „„Uma linha reta e normal à superfície média antes do carregamento e que corta o pla-

no médio da placa no ponto P(x,y) permanece reta após a aplicação do carregamento. A teoria de Mindlin difere da teoria de Kichhoff pela terceira hipótese cinemática que não vincula a rotação da reta vertical que passa por P(x,y) às derivadas do deslocamento vertical w(x,y). As rotações da teoria de Mindlin no entorno dos eixos x e y, denominadas respectivamente por x e y , têm seus sentidos positivos conforme indicado na Figura 7.2.

Figura 7. 2  Sentido positivo das rotações x e y.

Capítulo 7  Placas à flexão



175

Com as rotações assim definidas, os deslocamentos u(x,y,z) e v(x,y,z) são dados por: u( x , y , z) = z    y ; (7.15)   v ( x , y , z ) = – z   x  

e as deformações,

  ∂u  = z  y ,x x =   ∂x    ∂v   = −z  x ,y y =   ∂y     = ∂u + ∂v = z ( − ); (7.16)  xy y ,y x ,x  ∂y ∂x    ∂w ∂v   + = w , y − x  yz =   ∂y ∂z    ∂w ∂u   + = w,x +  y  xz =   ∂x ∂z  



ou, matricialmente,      x         y         xy  =        yz             xz     



z 0 0 0 0

0 z 0 0 0

0 0 z 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

   y ,x         –   x , y         y , y − x , x    ; (7.17)      − w      ,y x       + w   y      ,x

ou, ainda,

 T       b    = TM kM =  b    0       s 

  0   k     b  , (7.18)  k Ts       s 

onde o vetor das deformações  foi subdividido em dois vetores b e s, o primeiro será associado aos momentos fletores (bending), e o segundo associado aos esforços cortantes (shear, em inglês); TM é uma matriz de transformação subdividida em 2 submatrizes, Tb e­ Ts e kM o vetor das curvaturas de Mindlin, subdividido em 2 vetores, kb e­ ks. Vale ressaltar agora que as curvaturas associadas às deformações gxz e gyz só são nulas caso:



   yz = w,y − x = 0   ; (7.19)    xz = w,x +  y = 0   

176

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

ou seja, quando vale a hipótese de Kirchhoff de que as rotações  são dadas pelas derivadas de w. Como as distorções g não são necessariamente nulas pela Teoria de Mindlin, as tensões cisalhantes e os esforços cortantes também não serão nulos. 7.2.2.2  Equações constitutivas Substituindo a expressão de b , dada em (7.18), na expressão (7.8), obtém-se:

 b = −z Cb kb ; (7.20)



onde o índice k referente a Kirchhoff, foi substituído por b, referente à flexão (bending). Substituindo (7.20) em (7.10), chega-se a:

MM = −

t3 12

Cb kb = −Db kb ; (7.21)

A matriz Db corresponde à matriz DK da teoria de Kirchhoff. O índice M em MM está relacionado a Mindlin, ou seja:  1 v  E  v 1 Db = 12 (1 − v 2 )  0 0   t3



0 0 1− v 2

   (7.22) ;    

Reescrevendo (7.13) como:  E        2 ( 1 + v)  yz    =         xz    0  



   w +     y  ,x   ; (7.23)    w −  E   , y x      2 (1 + v)  0

ou, sucintamente,

 s = Cs  s = Cs ks ; (7.24)



e, aplicando-se (7.14), obtém-se:  E   Q     2 (1 + v)  y  = t       Qx   0   



    w,x +  y        ; (7.25)    w,y − x  E      2 (1 + v)   0

ou, ainda,

QM = Ds ks ; (7.26)

Capítulo 7  Placas à flexão



177

onde,



 E   2 ( 1 + v)  Ds = t   0   

     ; (7.27)  E  2 (1 + v)   0

e QM é o vetor dos esforços cortantes; Ds é denominada matriz de rigidez ao cisalhamento e ks é o vetor das “curvaturas” de cisalhamento. A expressão (7.25) indica que a teoria de Mindlin permite o cálculo dos esforços cortantes em placas à flexão. Reunindo agora as expressões (7.21) e (7.26) em uma única, chega-se a:

  M    M  =  – Db      0       QM 

 k  0      b  ; (7.28)   Ds     ks  

7.3 Elemento retangular de placas à flexão pela teoria de Kirchhoff A relação entre as derivadas w,x e w,y e as rotações x e y para o sistema de coordenadas definido na Figura 7.3 é dado por:

    −w    ,y   x    =    (7.29)      w     y     ,x  

Figura 7.3  Relação entre as derivadas parciais de w(x,y) e as rotações x e y­.

178

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

          wi  wi             di =   x  = −w,y  ; (7.30) i  i            w,xx    i      yi  



O vetor d que contém os deslocamentos nodais dos 4 nós tem 12 componentes, ou seja, wi, x,i e y,i, para i = 1, ..., 4 como representado na Figura 7.4. Como já visto anteriormente, o polinômio que descreve w(x,y) deverá ter 12 termos também, assim:

Figura 7.4  Elemento retangular de placa à flexão pela teoria de Kirchhoff.

w( x , y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 xy + a6 y 2 + a7 x 3 + a8 x 2 y + a9 xy 2 + a10 y 3 + a11 x 3 y + a12 xy 3 ;

(7.31)



A opção pelos dois termos de quarta ordem x3y e xy3 pode ser justificada pelo fato de eles serem simétricos e conterem as duas variáveis x e y, o que não poderia ser obtido com dois dos três termos restantes de quarta ordem, x 4, y 4 e x 2 y 2. Matricialmente, (7.31) pode ser reescrita como:



w( x , y ) = {1 x y x 2

xy y 2

x3

x 2 y yx 2

y3

a       12    a  3 3  x y x y}   ; (7.32)          a      12 

Capítulo 7  Placas à flexão



179

ou, w( x , y ) = Na( x , y )a ; (7.33)



Usando as condições de contorno dadas pela expressão (7.30) nos 4 nós i, em (7.32), obtêm-se: d = A a ; (7.34)



Sendo A uma matriz 12×12 dada a seguir:

              A=               

1 x1

y1

x12

x1 y 1

y12

x13

x12 y1

x1 y12

y13

x13 y1

x1 y13

0

0

−1

0

−x1

−2 y1

0

−x12

−2 x1 y1

−3 x12

−x13

−3 x1 y12

0

1

0

2 x1

y1

0

3 x12

2 x1 y 1

y12

0

3 x12 y1

y13

1 x2

y2

x22

x2 y 2

y 22

x23

x22 y 2

x2 y 22

y 22

x23 y 2

x 3 y 23

0

0

−1

0

−x2

−2 y 2

0

−x22

−x23

−3 x2 y 22

0

1

0

2 x2

y2

0

3 x22

2 x2 y 2

y 22

0

3 x22 y 2

y 23

1 x3

y3

x32

x3 y 3

y 22

x33

x32 y 3

x3 y 32

y 22

x33 y 3

x3 y 33

0

0

−1

0

−x3

−2 y 2

0

−x32

−x33

−3 x3 y 32

0

1

0

2 x3

y3

0

3 x32

2 x3 y 3

y 32

0

3 x32 y 3

y 33

1 x4

x4

x42

x4 y 4

y 32

x43

x42 y 4

x4 y 42

y 32

x43 y 4

x4 y 43

0

0

−1

0

−x4

−2 y 3

0

−x42

−x43

−3 x4 y 42

0

1

0

2 x4

y4

0

3 x42

2 x4 y 4

3 x42 y 4

y 43

−2 x2 y 2 −3 x22

−2 x3 y 3 −3 x22

−2 x4 y 4 −3 x32 y 42

0

              (7.35)               

ou, ainda, a = A−1 d ; (7.36)



Substituindo (7.36) em (7.33), chega-se a: w( x , y ) = N a( x , y ) A –1 d ; (7.37)

ou,

w( x , y ) = N ( x , y ) d ; (7.38)

onde,

N ( x , y ) = N a( x , y ) A−1 ; (7.39)

180

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Com w(x,y) definido em (7.38), pode-se agora, aplicando-se a expressão (7.3) repetida a seguir em (7.40), obter a matriz B(x,y) que relaciona as deformações  com os deslocamentos nodais d, ou seja:       w,xx   x                ( x , y , z) =  y  = −z  w,yy  (7.40)            xy  2 w,xy            



Usando (7.32) em (7.3), chega-se a: a     1       a  2     a3          a   4       a     5        y 0 0 − 6 xy 0 x 0 0 − 2 0 0 − 6 − 2y   x       a        6  0 0 0 0 −2 0 0 −2 x −6 y 0 6 xy    ; (7.41)  x  = −z       a7        0 0 0 2 0 0 4x 4y 0 6 x 2 6 y 2         xy    a  8     a9         a10         a11        a  12      ou,

 ( x , y , z) = −z Q( x , y ) a ; (7.42)



Substituindo a em (7.42) com o uso de (7.36), obtêm-se:

 ( x , y , z) = −z Q( x , y ) A−1 d ; (7.43)

ou, sucintamente,

 ( x , y , z) = −z B( x , y ) d ; (7.44)

onde,

B( x , y ) = Q( x , y ) A−1 . (7.45)

Capítulo 7  Placas à flexão



181

As componentes de tensão, sx, sy e txy, reunidas no vetor s, podem ser obtidas pré-multiplicando-se o vetor das deformações  pela matriz constitutiva C para estado plano de tensão, o que resulta em:

 ( x , y , z) = z C B( x , y ) d ; (7.46)



Com foi feito até aqui, o princípio dos deslocamentos virtuais será aplicado para se obter a matriz de rigidez do elemento. Para tal é necessário a obtenção do vetor das deformações virtuais d definido em função do vetor dos deslocamentos nodais virtuais dd como:

 ( x , y , z) = z B( x , y )  d ; (7.47)



O princípio dos deslocamentos virtuais fornece:

∫ 



t

 dv =  d t f ; (7.48)

v

Com o uso de (7.46) e (7.47), a expressão (7.48) pode ser reescrita como:

 d t ∫ z 2 B( x , y )t C B( x , y ) dv d =  d t f ; (7.49)



v

ou, t/2

∫ ∫



A

z 2 B( x , y )t C B( x , y ) dz dA d = f ; (7.50)

−t / 2

ou, finalmente, K d = f ; (7.51)

onde, observando-se (7.45),

k = A –1 t K 0 A−1 ; (7.52)

Com,

K 0 = ∫ Q( x , y )t D Q( x , y ) d A ; (7.53)



A

e

D=

t3 12

C ; (7.54)

182

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

sendo K é a matriz de rigidez do elemento. Os termos que contém as coordenadas nodais xi e y­i que estão na matriz A, foram removidos da integral em (7.52). O produto Q(x,y)t D Q(x,y) pode ser feito facilmente e a integral obtida pelo método de Gauss ou de forma explícita, caso a espessura t seja constante. Melosh apresentou pela primeira a matriz de rigidez do elemento retangular de uma forma explícita. Para a integral de Gauss deve-se fazer: x( ) = a + a    ; (7.55)    y( ) = b + b 

A matriz jacobiana é dada por:

   J ( , ) =    



∂y   ∂   a 0 = ∂y   0 b  ∂ 

∂x ∂ ∂x ∂

  ; (7.56)  

O determinante da matriz jacobiana é o fator de escala que transforma o integrando elementar ddh em dxdy e usando (7.57), chega-se a: detJ ( , ) = ab ; (7.57)



7.4 Elemento da família Serendipity pela teoria de Mindlin Como visto anteriormente, as equações de compatibilidade da teoria de Mindlin são dadas por:      x             y        xy  =         yz                 xz 



z 0 0 0 0

0 z 0 0 0

0 0 z 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

       y ,x       −     y ,x       y ,y − x ,x    (7.58)     w −     y x       w,x +  y       

ou, ainda,

      b  = T k =  Tb    M M    0      s  

  0   k     b  ; (7.59)  k Ts       s 



Capítulo 7  Placas à flexão

183

Como na teoria de Mindlin as rotações x(x,y) e y(x,y) são independentes dos deslocamentos verticais w(x,y) enquanto na teoria de Kirchhoff as rotações são obtidas das derivadas de w(x,y) em relação a x e y, são necessários três campos de deslocamento, nomeadamente, w(x,y), x(x,y) e y(x,y), para descrever o comportamento cinemático da placa à flexão. Como o elemento é isoparamétrico, o campo de deslocamentos é descrito em coordenadas paramétricas. Assim, adota-se:



nnos    w( ,  ) = ∑ N i ( ,  )wi    nnos  nnos    x ( ,  ) = ∑ N i ( ,  ) x ; (7.60) i  nnos   nnos     y ( ,  ) = ∑ N i ( ,  ) y  i  nnos 

onde nnos é o número de nós do elemento e as funções de interpolação Ni(,h) são as mesmas do elemento finito isoparamétrico para estado plano de tensão e deformação visto no Capítulo 5. A Figura 7.5 representa o elemento de 4 nós.

Figura 7.5  Elemento isoparamétrico de 4 nós de placa à flexão pela teoria de Mindlin.

A expressão (7.60) separa os vetores de deformações  e de curvatura k e a matriz de transformação T, respectivamente, em subvetores b, s e kb, ks e nas submatrizes Tb, Ts, onde os subscritos b e s se referem respectivamente à flexão (bending) e ao cisalhamento (shear). Os subvetores kb e ks são definidos aplicando-se (8.1) como indicado a seguir:

184



Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

 0 0  nnos  kb ( , ) = ∑  0 −N i ( , ),y  i=1   0 −N i ( , ),x   N ( ,  )  ,x kb ( ,  ) = ∑  i    ( , ) N i =1 ,y  i nnos



  N i ( , ),x   w   i        0 ; (7.61)   xi      N i ( , ),y        yi 

    w  i N i ( ,  )        x  ; (7.62) i   0 −N i ( ,  )      y    i   0

Observa-se que em (7.61) e (7.62) aparecem derivadas das funções de interpolação Ni que são funções das variáveis paramétricas  e h, em relação às variáveis cartesianas x e y. Isso não é possível de ser obtido diretamente como visto anteriormente. Inicialmente, as derivadas de Ni(,h) em relação às variáveis paramétricas  e h são calculadas e depois, as derivadas em relação às variáveis cartesianas x e y são obtidas com o uso da matriz jacobiana, como indicado a seguir:

N ( ,  )    N ( ,  )     i ,x  ,  −1  i     ; (7.63)    = J ( ,  )      N (  ,  ) (  ,  ), N   ,y         i  i 

As expressões (7.61) e (7.62) podem ser reescritas sucintamente como:

kb ( , ) = Bb ( , ) d ; (7.64)



ks ( , ) = Bs ( , ) d ; (7.65)

onde d é o vetor dos deslocamentos nodais de 12 componentes, ou seja, wi, x,i e y,i, para i = 1,...,4. A expressão (7.63) pode ser reescrita como:

DNc( , ) = J ( , )−1 DNx( , ); (7.66)

onde DNx( , ) contém as derivadas paramétricas das funções de interpolação e DNc( , ) as derivadas cartesianas dessas mesmas funções. Usando (7.64) e (7.65), a expressão (7.59) pode ser reescrita como:

 b ( ,  , z) = z Bb ( , ) d ; (7.67)



 s ( ,  ) = Bs ( ,  ) d ; (7.68)



Substituindo as expressões (7.67) e (7.68), respectivamente, em (7.8) e (7.24), obtêm-se as expressões:

 b ( ,  , z) = z Cb Bb ( ,  ) d ; (7.69)

Capítulo 7  Placas à flexão





185

 s ( , ) = Cs Bs ( , ) d ; (7.70)

As expressões mencionadas permitem formular a matriz de rigidez do elemento quadrilateral para a análise de placas à flexão pela teoria de Mindlin. Como anteriormente a formulação será obtida a partir do princípio dos deslocamentos virtuais. para deslocamentos nodais virtuais dd, as deformações virtuais no interior do elemento podem ser obtidas como o uso das expressões (7.67) e (7.68), ou seja:

 b ( ,  , z) = z Bb ( , )  d ; (7.71)



 s ( ,  ) = Bs ( ,  )  d ; (7.72)

É conveniente aplicar o princípio dos trabalhos virtuais, separando os trabalhos referentes à flexão e à deformação cisalhante como indicado a seguir:

∫  v

t b

 b dv + ∫  s t  s dv =  d t f ; (7.73) v

Substituindo (7.69), (7.70), (7.71) e (7.72) em (7.73) e, manipulando-se as equações, chega-se a:

 d t ( ∫ Bb ( , )t ∫ A

t/2 t/2

z 2 Cb dt Bb ( , ) dA +∫ Bs ( , )t ∫

t/2

−t/2

A

Cs dt Bs ( , ) dA) d =  d t f ; (7.74)

Como dd é um deslocamento arbitrário, ele pode ser eliminado da equação (7.74). Em seguida, integrando-se ao longo da altura t e considerando que:

Db =

t

3

12

Cb e Ds = t Cs ; (7.75)

chega-se a ( ∫ Bb ( ,  ) t Db Bb ( ,  ) dA +∫ Bs ( ,  )t Ds Bs ( ,  ) dA) d = f ; (7.76)



A

v

ou, ainda,

( K b + K s ) d = f ; (7.77)

onde,

K b = ∫ Bb ( , )t Db Bb ( , ) dA; (7.78) A



K s = ∫ Bs ( , )t Ds Bs ( , ) dA; (7.79) A

186

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

As matrizes K­b e Ks são denominadas, respectivamente, de matriz de rigidez à flexão e ao cisalhamento. Como as matrizes Bb e Bs são funções das variáveis paramétricas  e h, as integrais em (7.78) e (7.79) serão feitas numericamente pelo método de Gauss. Logo:

(



kb = ∑ igb=1 Bb  g , g



ks = ∑ igs=1 Bb  g , g

ngb

ngs

(

i

i

i

) D B (

gi ,

i

) D B (

gi ,

t

b

b

t

s

s

)

(

i

)

(

i

)

i

)

i

 g det J  g , g w wn ; (7.80) i

i

i

 g det J  g , g w wn ; (7.81) i

i

i

onde ngb e ngs são os números de pontos de Gauss para integrar, respectivamente, Kb e Ks,  g e  gi são as coordenadas paramétricas dos pontos notáveis de Gauss, w e w , i i i são os pesos de Gauss associados às coordenadas paramétricas  e  g , respectivamente,

(

gi

)

i

e detJ  g , g é o determinante da matriz jacobiana nos pontos de Gauss. i

i

Quando se usa o elemento isoparamétrico “quadrilateral” de 4 a 8 nós para resolver problemas de placa à flexão delgada (relação vão/espessura, L/t ≥ 20) é comum ocorrer um problema numérico conhecido na literatura como locking ou travamento. Nesses casos, a matriz de rigidez de cisalhamento fica dominante, o que não deveria ocorrer, e a solução perde precisão drasticamente. É possível corrigir esse erro com uma técnica chamada de integração seletiva, isto é, usa-se um número de pontos de Gauss menor para integrar Ks do que Kb. A Tabela 7.1 indica como se deve fazer a integração no caso de elementos de 4 e 8 nós. Tabela 7.1  Regras para integração de Gauss

Elemento

4 nós

8 nós

Tipo de integração

Regra de integração Kb

Ks

seletiva

2×2

1×1

cheia

2×2

2×2

seletiva

3×3

2×2

cheia

3×3

3×3

É possível também evitar travamento quando se respeita a desigualdade indicada a seguir:

r=

gdl rs

≥ 1; (7.82)

onde gdl é o número de “graus de liberdade” da malha e rs é o número total de “restrições de cisalhamento” (shear) na malha. O cálculo de rs é feito como indicado a seguir:

rs = 2 x nel x ngs; (7.83)

Capítulo 7  Placas à flexão



187

onde nel é o número de elementos da malha. Observe que ao se reduzir ngs em (7.83), r cresce em (7.82) o que favorece a satisfação da desigualdade.

7.5  Exemplos de placa à flexão 7.5.1  Elemento retangular (teoria de Kirchhoff)

Figura 7.6  Malha de 1 elemento retangular da teoria de Kirchhoff.

Dados:

a = 5 ; b = 5 ; P = 1; v = 0.0 ; E = 1000 ; t = 2

Coordenadas nodais: x1 = 0 ;



x2 = 0 ;

x3 = 2 a ;

y1 = 0 ; y 2 = 2 b ; y 3 = 0 ;

x4 = 2 a y 4 = 2b

188

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Matriz A:               A=              

1 x1

y1

x12

x1 y 1

y12

x13

x12 y1

x1 y12

y13

x13 y1

x1 y13

0

0

−1

0

−x1

−2 y1

0

−x12

−2 x1 y1

−3 x12

−x13

−3 x1 y12

0

1

0

2 x1

y1

0

3 x12

2 x1 y 1

y12

0

3 x12 y1

y13

1 x2

y2

x22

x2 y 2

y 22

x23

x22 y 2

x2 y 22

y 22

x23 y 2

x 3 y 23

0

0

−1

0

−x2

−2 y 2

0

−x22

−2 x2 y 2

−3 x22

−x23

−3 x2 y 22

0

1

0

2 x2

y2

0

3 x22

2 x2 y 2

y 22

0

3 x22 y 2

y 23

1 x3

y3

x32

x3 y 3

y 32

x33

x32 y 3

x3 y 32

y 33

x33 y 3

x3 y 33

1

0

−1

0

−x3

−2 y 3

0

−x32

−2 x3 y 3

−3 y 32

−x33

−3 x3 y 32

0

1

0

2 x3

y3

0

3 x32

2 x3 y 3

y 32

0

3 x32 y 3

y 33

1 x4

y4

x42

x4 y 4

y 42

x43

x42 y 4

x4 y 42

y 43

x43 y 4

x4 y 43

1

0

−1

0

−x4

−2 y 4

0

−x42

−2 x4 y 4

−3 x42

−x43

−3 x4 y 42

0

1

0

2 x4

y4

0

3 x42

2 x4 y 4

y 42

0

3 x42 y 4

y 43

Matriz Q:



 0 0 0 −2 0 0 −6 x −2 y 0 0 −6 xy 0  Q( x , y) =  0 0 0 0 −2 0 −2 x −6 y −6 xy 0 0 0   0 0 0 0 2 0 0 4x 4y 0 6x2 6y 2 

Matriz constitutiva D:  1 v   v 1 tE  D= 2  12(1 − v )  0 0   3



0 0 1− v 2

       

Matriz K0 p(x,y): k0 p( x , y) = Q( x , y)T ⋅ D ⋅ Q( x , y)



Pontos notáveis e pesos de Gauss para integração 2x2.

 g1 = −

1 3

;

 g2 =

1 3

;

 g1 = −

1 3

; g2 =

1 3

      

                            

Capítulo 7  Placas à flexão



wg 1 = 1 wg 2 = 1



x( ,  ) = a + a ⋅  ; y( ,  ) = b + b ⋅ 



xg 1 = a + a ⋅  g 1; yg 1 = b + b ⋅  g 1 xg 2 = a + a ⋅  g 2 ; yg 2 = b + b ⋅  g 2



det J = a ⋅ b

Matriz de rigidez K:

K 0 = ( K 0 p( xg 1, yg 1) ⋅ wg 1 ⋅ wg 1 + K 0 p( xg 1, yg 2) ⋅ wg 1 ⋅ wg 2) ⋅ det J



K 0 = K 0 + K 0 p( xg 2 , yg 1) ⋅ wg 2 ⋅ wg 1 + K 0 p( xg 2 , yg 2) ⋅ wg 2 ⋅ wg 2) ⋅ det J K = ( A –1 )T ⋅ K 0 ⋅ A –1

Introdução dos vínculos: i = 1..6 K i ,i = 106 ⋅ K i ,i

Vetor das cargas nodais.



 0         0         0       0         0       0    f =    P       0         0       P         0       0      

Cálculo do vetor dos deslocamentos nodais d:

189

190

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

d = K –1 ⋅ f

Resultados:

  7 , 388×10−10         0       – 8   × 1 10      −9    × 6 , 399 10       0       −8   × 1 10   d =    0, 1     −10     − × 1 103 , 1 0       , 0 015         , 0 1    −9    9, 34 ×10         , 0 015    



Rotação  x e deslocamento vertical  da teoria das placas à flexão devidos às forças concentradas aplicadas P:

P = 2 ; B = 2b ;



I=

b =

P ⋅ L3 3⋅ E ⋅ I

;

 b = 0, 1;

L = 2 a; h = t

B ⋅ h3 12

 bx =

P ⋅ L2 2⋅E⋅I

;

 bx = 0, 015

Resultado da solução por elementos finitos: d7 = 0, 1 d9 = 0, 015





7.5.2 Elemento Serendipity, isoparamétrico bilinear (teoria de Mindlin) Dados: „„Coordenadas cartesianas e paramétricas:

x1 = 0 ;

x2 = 10 ;

x3 = 10 ;

x4 = 0 ;

y1 = 0;

y2 = 0;

y 3 = 10 ;

y 4 = 10

 1 = −1;  2 = 1;

 3 = 1;

1 = −1; 2 = –1; 3 = 1;

 4 = −1 4 = 1

t = 2, 0

Capítulo 7  Placas à flexão



Figura 7.7  Malha de 1 elemento isoparamétrico bilinear da teoria de Mindlin.

„„Parâmetros mecânicos:

E = 1000 ;

v = 0, 0 ;

G=



E 2(1 + v)

;

D=

E ⋅ t3 12(1 − v 2 )

„„Matrizes constitutivas Db e Ds:



 D v⋅D 0   0 v⋅D D Db =   (1 − v) ⋅ D  0 0  2

    G⋅ t 0   ; Ds =  1.2   t   0 G⋅    1 .2 

       

„„Funções de interpolação bilineares e suas derivadas:



1 N 1 ( ,  ) = (1 +  1 ⋅  ) 1 + 1 ⋅  ); 4 1 N 2 ( ,  ) = (1 +  2 ⋅  ) 1 + 2 ⋅  ); 4 1 N 3 ( ,  ) = (1 +  3 ⋅  ) 1 + 3 ⋅  ); 4 1 N 4 ( ,  ) = (1 +  4 ⋅  ) 1 +  4 ⋅  ); 4

N 1, ( ,  ) = N 2 , ( ,  ) = N 3 , ( ,  ) = N 4 , ( ,  ) =

d d d d d d d d

N 1 ( ,  ) = N 2 ( ,  ) = N 3 ( ,  ) = N 4 ( ,  ) =

d d d d d d d d

N 1 ( , n) N 2 ( , n) N 3 ( , n) N 4 ( , n)

191

192

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas „„Matriz DNx (,h) e X:

 N ( ,  ) N ( ,  ) N ( ,  ) N ( ,  )  2 , 3 , 4 , DNx ( ,  ) =  1,  N ( ,  ) N ( ,  ) N ( ,  ) N ( ,  ) 2 , 3 , 4 ,  1,,

  ;  



    X=    

x1 x2 x3 x4

y1   y2   y 3  y 4  

„„Matriz jacobiana J(,h):

J ( ,  ) = DNx( ,  ) ⋅ X



„„Cálculo do determinante de J(,h) no ponto de P(,h):

det J ( ,  ) =|J ( ,  )|



„„Cálculo da inversa da matriz jacobiana  ( ,  ) e da matriz DNx (,h):

 ( ,  ) = J ( ,  )–1



DNx( ,  ) =  ( ,  ) ⋅ DN ( ,  ) :



„„Matrizes de compatibilidade cinemática de flexão B b ( ,  ) e de cisalhamento B s ( ,  ) :

 0 0 0 DNx( , )1,1 0 DNx( , )1, 2 ... DN s ( , )1, 4   Bb (  , ) =  0 −DNx( , )2 ,1 0 0 −DNx( , )2 , 2 0 ... 0   0 −DNx( , ) DNx( , )2 ,1 0 −DNx( , )1, 2 DNx( , )2 , 2 ... DN s ( , )2 , 4  1,1  DNx( , ) 0 N 1 ( , ) DNx( , )1, 2 0 N 2 ( , ) ... N 4 ( , )  1,1 Bs (  , ) =   DNx( , )1,1 – N 1 ( , ) 0 DNx( , )2 , 2 −N 2 ( , ) 0 ... 0 

           

„„Matrizes de rigidez relativas respectivamente à rigidez à flexão e ao cisalhamento

respectivamente: Kpgb( ,  ) = Bb( n)T ⋅ Db ⋅ Bb( ,  ) ⋅ det J ( ,  )



Kpgs( ,  ) = Bs( n)T ⋅ Ds ⋅ Bs( ,  ) ⋅ det J ( ,  ) „„Matriz de rigidez total no ponto de Gauss:



Kpg ( ,  ) = Kpgb( , n) + Kpsgs( ,  )

Capítulo 7  Placas à flexão



Usando dois pontos de integração de Gauss para Kb e Ks (integração cheia). Pontos Notáveis e pesos de Gauss.

 pg 1 = pg 1 =



1 3 1 3

1

;  pg 2 = ;

pg 2 =

;  pg 3 =

3 −1 3

−1

; pg 3 =

3 1

;  pg 4 =

3

−1

; pg 4 =

; 3 −1 3

;

w g 1 = 1 w g 2 = 1; w g 3 = 1 w g 4 = 1 w g 1 = 1; w g 2 = 1; w g 3 = 1; w g 4 = 1 „„Matrizes de rigidez de flexão Kb e de cisalhamento Ks:



Kb = kpgb( pg 1, pg 1) ⋅ w g 1 ⋅ w g 1 + Kpgb( pg 2 , pg 2) ⋅ w g 1 ⋅ w g 2 Kb = Kb + Kbgb( pg 3, pg 3) ⋅ w g 3 ⋅ w g 1 + Kpgb( pg 4 , pg 4) ⋅ w g 4 ⋅ w g 2 Ks = Kpgs( pg 1, pg 1) ⋅ w g 1 ⋅ w g 1 + Kpgs( pg 2 , pg 2) w g 1 ⋅ w g 2 Ks = Ks + kpgs( pg 3, pg 3) ⋅ w g 3 ⋅ w g 1 + Kpgs( pg 4 , pg 4) w g 4 ⋅ w g 2 „„Matriz de rigidez total:



K = Kb + Ks „„Introdução dos vínculos com a técnica dos números grandes:

i = 1..6



K i ,i = 106 ⋅ K i ,i „„Forças nodais (momentos fletores unitários aplicados nas direções 8 e 11):

i = 1..12 fi = 0 f8 = 1



f11 = 1

193

194

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas „„Cálculo do vetor dos deslocamentos nodais d1:

 −1, 314 x 10−9       −10    2 , 628 x 10        0      −9    1 , 314 x 10 −    −10    628 10 2 , x         0 −1   d1 = K ⋅ f ; d1 =   −3   −1, 314 x 10        2 , 628 x 10−4        0      −3    1 314 10 , x −    −4   2 , 628 x 10          0    



„„Usando dois pontos de integração de Gauss para Kb e um para Ks (integração

seletiva):



Kb = Kpgb( pg 1, pg 1) ⋅ w g 1 ⋅ w g 1 + Kpgb( pg 2 , pg 2) ⋅ w g 2 ⋅ w g 2 + Kpgb( pg 3, pg 3) ⋅ w g 3 ⋅ w g 3 + Kpgb( pg 4 , pg 4)⋅ w g 4 ⋅ w g 4

 pg 1 = 0 pg 1 = 0 w g 1 = 2 w g 1 = 2 ;





Ks = Kpgs( pg 1, pg 1) ⋅ w g 1 ⋅ w g 1 K = Kb + Ks „„Introdução dos vínculos:

i = 1..6



K i ,i = 106 ⋅ K i ,i

Capítulo 7  Placas à flexão



195

„„Cálculo do vetor dos deslocamentos nodais d2:

   −1, 5×10−8      −9   3 × 10         0      −8    − 1 , 5 × 10     9 −   3 × 10         0 −1   d2 = K ⋅ f ; d2 =     0 0 , 1 5      −3    × 3 10       0         0 015 ,     − 3   3×10         0   



Resultados da teoria das placas à flexão Rotação x e deslocamento vertical δ devidos ao momento aplicado M. M = 2;

b =

M . L2



2 El

b = 10 ;

L = 10 ;

;  b = 0, 015 ;  bx =

M ⋅L El

I=

b ⋅ t3 12

;  bx = 3× 10−3

Resultados dos modelos de elementos finitos Integração cheia: d17 = 5, 855×10−4



d18 = 9, 462 ×10−3

Integração seletiva: d 2 7 = 0, 015 d 2 8 = 3×10−3



Observações: a) Comparando os resultados “exatos” de δ e x com os valores correspondentes no vetor d, verifica-se uma grande diferença em relação aos resultados da primeira análise, obtida com integração cheia, e resultados iguais para esses valores na segunda análise, feita com integração seletiva. b) Na primeira análise ocorreu locking ou travamento da solução.

CAPÍTULO

8

Análise de estabilidade

8.1 Introdução A seleção de pilares é muitas vezes a parte crucial de um projeto de uma estrutura porque qualquer falha pode ocasionar efeitos catastróficos. Pilares “esbeltos” podem falhar por “flambagem” elástica, isto é, por deslocamento lateral excessivo com comportamento linear do material. Esforços axiais influenciam significativamente os deslocamentos laterais em pilares assim como forças de compressão podem produzir deslocamentos transversais indesejáveis em chapas e cascas. Forças de tração podem diminuir esses deslocamentos, e forças de compressão tendem a aumentá-los ou mesmo induzi-los. Para que se possa avaliar o efeito das cargas axiais em pilares é preciso realizar uma análise não linear geométrica com equações de equilíbrio escritas na configuração deformada. Nessa análise, supõe-se que os deslocamentos laterais são pequenos o suficiente para validar a obtenção das equações de equilíbrio na configuração indeformada. A hipótese de grandes deslocamentos e pequenas deformações tem sido suficiente para avaliações precisas da carga crítica por flambagem. A flambagem de chapas pode ocorrer em almas ou mesas de perfis metálicos. Cilindros de seção transversal circular vazada de parede fina comprimidos axialmente também devem ser analisados quanto à instabilidade por flambagem elástica.

Capítulo 8 Análise de Estabilidade

197

8.2 Obtenção da carga crítica em pilares via solução das equações diferenciais 8.2.1 Carga crítica no pilar ideal (engaste – extremidade livre ou pilar em balanço com carga centrada) Um pilar engastado na base e com a extremidade do topo livre está representado na Figura 8.1. A carga de compressão aplicada no topo do pilar é P, a rigidez à flexão da seção transversal é EI, sendo E o módulo de elasticidade longitudinal e I o momento inércia à flexão, e o seu comprimento L. A Figura 8.1.a representa a configuração deformada do pilar quando a carga vertical P é menor do que a carga crítica Pcr. A Figura 8.1.b representa a sua configuração deformada quando a carga P atinge a carga crítica. Quando isso acontece diz-se que ocorreu a flambagem do pilar. A deformada do pilar é representada por v(x). O deslocamento horizontal na extremidade livre é . Para calcular a carga crítica em pilares, a equação de equilíbrio deve ser escrita na configuração deformada. Da resistência dos materiais sabe-se que, para uma seção transversal distando x da base do pilar o momento interno, Mint(x) é dado por: Mint ( x) = El v ,, ( x);

(8.1)

onde v,,(x) representa a curvatura da seção calculada pela derivada segunda de v(x) em relação a x.

Figura 8.1

Pilar engastado na base e livre no topo (pilar ideal).

198

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

O momento externo na mesma seção x é dado nesse caso por: Mext ( x) = P(␦ − v);

(8.2)

Para que haja equilíbrio em todas as seções: Mint ( x) = Mext ( x);

(8.3)

El v ,, ( x) = P(␦ − v( x));

(8.4)

logo,

Fazendo-se: k2 =

P El

,

(8.5)

a expressão (8.4) pode ser reescrita como: v ,, ( x) + k 2 v( x) = k 2 ␦ ;

(8.6)

A solução da equação diferencial ordinária (8.6) é dada pela soma da solução homogênea vH(x) com a solução particular vp(x), ou seja: v( x) = vH ( x) + vp ( x);

(8.7)

⎧v ( x) = C sin ( kx) + C cos ( kx) ⎪ ⎪ H 1 1 ; ⎨ ⎪ ␦ v ( x ) = ⎪ p ⎪ ⎩

(8.8)

onde,

Assim, a solução total vale: v( x) = C1 sin ( kx) + C2 cos( kx) + ␦ ;

(8.9)

A primeira derivada de v(x) é expressa por: v , ( x) = C1 k cos ( kx) − C2 k sin ( kx);

(8.10)

Cujas condições de contorno são: Em x = 0 ; v( x) = 0 ;

(8.11)

Em x = 0, v , ( x) = 0 ;

(8.12)

Capítulo 8 Análise de Estabilidade

199

Aplicando as condições de contorno em (8.10), chega-se a: C2 = −␦ ;

(8.13)

C1 = 0 ;

(8.14)

Introduzindo as constantes C1 e C2 em (8.9), obtém-se: v( x) = ␦ (1 − cos( kx));

(8.15)

A expressão (8.15) representa o modo de flambagem da coluna, ou seja, a forma com que ela flamba. Para x = L, v(L) = , logo,

␦ cos( kL) = 0 ;

(8.16)

A equação (8.16) permite duas soluções como indicado a seguir: ⎧ ⎪ cos( kL) ≠ 0 e ␦ = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ou ; ⎨ ⎪ ⎪ cos( kL ) = 0 e ␦ ≠ 0 ⎪ ⎪ ⎩

(8.17)

A primeira das duas possibilidades mostradas caracteriza uma situação de repouso ou estabilidade, pois  | 0. Essa solução não fornece nenhuma informação quanto à carga crítica de flambagem. A segunda produz uma situação de flambagem ou instabilidade, já que  | 0 e, portanto, há um deslocamento lateral indeterminado da extremidade livre. Essa solução informa sobre a carga crítica de flambagem, pois: cos( kL) = 0 → kL =

␲ ␲2 ␲ 2 El → ( kL)2 = →P= ; 2 4 4 L2

(8.18)

Quando P atinge o valor dado em (8.18), a carga é denominada de carga crítica Pcr por ser a carga que produz a flambagem ou instabilidade da coluna. Como o valor de  é indeterminado para P = Pcr , a curva P x  é dada em azul na Figura 8.2. A interpretação física dessa curva é que nenhum deslocamento lateral ocorre com P f Pcr , ou seja,  = 0 nesse caso. Todavia, quando P = Pcr ,  se torna indeterminado e a coluna flamba. Se a solução desse problema tivesse sido obtida pela expressão mais precisa da curvatura da seção . k=

v ,, ( x) (1 + v ( x) ) ,

2

;

3

(8.19)

2

e não k = v ,, ( x);

(8.20)

200

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

como foi usado anteriormente em (8.1), a relação P x  seria representada pela curva vermelha da Figura 8.2.

Figura 8.2

Relação P x  para a curvatura dada por (8.19).

8.2.2 Fórmula geral para carga crítica em pilares Procedendo de modo análogo ao apresentado no item anterior, cargas críticas em pilares podem ser obtidas para diversos tipos de condições de contorno. Uma fórmula geral interessante que pode ser aplicada a uma variedade de pilares é dada a seguir: Pcr =

␲2 E I ( K L) 2

(8.21)

;

onde K é o fator de comprimento efetivo e KL = Le o comprimento efetivo (ou de flambagem) do pilar. A Tabela 8.1 apresenta vários valores de K para diversos tipos de condições de contorno em pilares. A Figura 8.3 mostra pilares com diferentes condições de contorno, seus respectivos modos de flambagem e comprimentos efetivos Le. É interessante observar que os comprimentos efetivos representam distâncias entre seções de curvatura ou momento nulo do modo de flambagem. No pilar ideal, a figura foi espelhada para mostrar a distância entre as seções real e virtual de curvatura nula. Tabela 8.1

Valores de K para diversos tipos de condições de contorno

Tipo de pilar

K

Ideal

Biarticulado

Engaste-rótula

Biengastado

2

1

0,7

0,5

201

Capítulo 8 Análise de Estabilidade

Figura 8.3

Comprimentos de flambagem Le para pilares com diferentes condições de contorno.

Observação: as soluções obtidas por meio das equações diferenciais são importantes por vários aspectos: a) Permitem uma compreensão conceitual do problema. b) São úteis nos cursos de engenharia como primeiro contato com o problema. c) Fornecem soluções que são benchmarks a serem atingidos por outros métodos. Todavia, a restrição a esse método reside na sua capacidade limitada de resolver problemas mais complexos em termos de cargas e condições de contorno.

8.2.3 Tensões críticas em pilares Uma vez obtida a carga crítica de um pilar, é possível calcular a tensão crítica definida como:

␴ cr =

Pcr A

=

␲2 E I A Le 2

=

␲2 E ⎛ L ⎞⎟ ⎜⎜ e ⎟ ⎜⎜⎝ r ⎟⎟⎠

2

=

␲2 E ␭2

;

(8.22)

sendo r o raio de giração da seção transversal e  a esbeltez do pilar, dados por: r=

I A

e

␭=

Le r

;

(8.23)

O conceito de tensão crítica introduz o parâmetro de esbeltez , tão importante como medida da sensibilidade do pilar à carga crítica. A fórmula mencionada é chamada função de Euler e graficamente representa a curva de Euler como indicado na Figura 8.4.

202

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Figura 8.4

Tensões críticas em pilares em função da esbeltez .

A Figura 8.4 é bastante esclarecedora quanto aos possíveis modos de colapso de um pilar. Pilares com índice de esbeltez elevados,  v lim, atingem o colapso por flambagem elástica quando a tensão atuante atinge a tensão crítica da curva de Euler antes da tensão resistente. Por outro lado, pilares curtos,  < lim, têm colapso plástico, pois a tensão atuante atinge a tensão resistente ao escoamento ou esmagamento antes da tensão crítica de Euler.

8.3 Método aproximado de Rayleigh-Ritz para cálculo da carga crítica em pilares Como visto no Capítulo 3, o Método de Rayleigh-Ritz usa funções aproximadoras para as deformadas para obter soluções que se aproximam das soluções analíticas quando refinadas, ou seja, quando polinômios de grau mais elevado ou séries trigonométricas com mais termos são usados como funções aproximadoras. Foi visto também que o método pode ser formulado a partir de princípios de energia. Inicialmente, será deduzida a expressão do deslocamento axial elementar d (na direção do eixo x) relativo a um comprimento dx da coluna para um deslocamento lateral dv (na direção do eixo y) da extremidade superior do trecho dx como representado na Figura 8.5. A deformação axial da coluna devida à carga P será desprezada.

Figura 8.5

Relação entre dx, dv, dΔ e v,x.

Capítulo 8 Análise de Estabilidade

203

dx 2 = (dx − dΔ)2 + dv 2 ;

(8.24)

dx 2 = dx 2 − 2 dxdΔ+ dΔ2 + dv 2 ;

(8.25)

ou

A parcela d2 pode ser desprezada em (8.25) porque o incremento d tem uma ordem de grandeza muito inferior a dx e dv, o que permite escrever: dΔ =

1 dv 2 2 dx

1 dv 2

=

2 dx 2

1 dx = v,x 2 dx ; 2

(8.26)

O deslocamento vertical  na extremidade livre do pilar devido aos deslocamentos verticais incrementais d pode ser obtido por integração, ou seja: L

Δ = ∫ dΔ ;

(8.27)

0

Δ= ∫

L 0

1 2

( v,x )2 dx ;

(8.28)

A energia potencial total do pilar é dada por PE = U + Wp , isto é, PE( v( x)) =

EI 2

∫

L 0

v, xx dx − PΔ

(8.29)

ou PE( v( x)) =

EI 2

∫

L 0

v, xx dx − P ∫

L 0

1 2

( v , x)2 dx ;

(8.30)

O princípio da mínima energia potencial total estabelece que se a estrutura estiver em equilíbrio estável, v(x) minimiza o funcional PE(v(x)). Posto dessa forma, o problema é de cálculo variacional. Usando uma função aproximadora para representar v(x), o problema passa a ser como encontrar o mínimo de uma função (método de Rayleigh-Ritz). A função aproximadora deve satisfazer as condições de contorno em deslocamento até a ordem de derivação “n-1”, sendo n a maior ordem de derivação que aparece em PE(v(x)).

8.3.1 Exemplo 1 do método de Rayleigh-Ritz Seja obter uma estimativa da carga crítica para o pilar ideal representado na Figura 8.1 pelo método de Rayleigh-Ritz. A função aproximadora adotada para representar o modo de flambagem da coluna é: v( x) =

␦ x2 ; L2

(8.31)

204

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

A função satisfaz as condições de contorno até a ordem n-1 = 1, ou seja, deslocamento transversal e rotação.  é o parâmetro incógnito. As derivadas primeira e segunda de v(x) são respectivamente: v, x ( x) =

2␦ x

e v,xx ( x) =

L2

2␦ L2

;

(8.32)

Substituindo as derivada de v(x) em PE(v(x)) e integrando-as, chega-se a: PE(␦ ) =

2 E I ␦2 L3

−

2 P ␦2 3L

;

(8.33)

Aplicando-se a condição de mínimo, obtém-se: d PE(␦ ) d␦ 4EI␦ 3

L

−

= 0;

4 P␦ 3L

= 0;

(8.34)

(8.35)

ou ⎛3 E I ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 − P⎟⎟⎠␦ = 0 ; L

(8.36)

A equação (8.36) tem duas soluções possíveis: ⎧ ⎪ 3EI ⎪ ␦ = 0 para P ≠ 3 ⎪ ⎪ L ⎪ ⎪ ⎪ ; ou ⎨ ⎪ ⎪ 3 E I ⎪ ⎪ P = 2 e ␦ indeterminado ⎪ ⎪ L ⎪ ⎩

A segunda solução corresponde, fisicamente, a uma situação de flambagem da coluna, pois produz deslocamento lateral. Logo, a estimativa para Pcr pelo método de Rayleigh-Ritz para a função aproximadora dada em (8.33) é: Pcr =

3EI L2

;

(8.37)

Vale observar que, como a coluna flamba com P = Pcr , a possibilidade de ter Pcr >

3EI L2

.

(8.38)

Capítulo 8 Análise de Estabilidade

205

Não tem interesse físico. Como vimos no item 8.2.1., a solução exata desse problema é: Pcr =

␲2 E I



2

4L

2 , 47 E I L2

;

(8.39)

A aproximação obtida representa um erro de 20%, o que é considerado muito alto.

8.3.2 Exemplo 2 do método de Rayleigh-Ritz A nova função aproximadora adotada é:

␦ ( 3 L x2 − x3 ); 2 L2

v( x) =

(8.40)

Sendo , de novo, o deslocamento lateral da extremidade livre. A função satisfaz as condições de contorno do problema. Repetindo o procedimento anterior, chega-se a: PE(␦ ) =

3 E I ␦2 2 L3

3 P ␦2

−

5L

;

(8.41)

Aplicando-se a condição de mínimo, obtém-se: Pcr =

5EI 2 L2

;

(8.42)

o que significa um erro de 1,2%, que pode agora ser considerado satisfatório. Observação: o método de Rayleigh-Ritz, além de simples, permite o tratamento de vários casos muito complexos de serem tratados via solução da equação diferencial, tais como pilar com inércia variável, com descontinuidades de inércia, com cargas diversas, dentre outros. A grande limitação do método é, todavia, a escolha de uma função aproximadora adequada, capaz de cobrir todo o domínio da estrutura. A solução para esse problema foi obtida com o MEF, como visto no Capítulo 3.

8.4 MEF para o cálculo da carga crítica em pilares Para um pilar de pórtico plano, a deformação ␧ (x), considerando o alongamento axial devido à flexão da barra, é dada por:

␧ ( x ) = u, x ( x ) +

(v 2 1

)

2

,x

( x) − y v,xx ( x);

(8.43)

206

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

O termo do meio da expressão (8.43) tem o significado da deformação produzida em um segmento de barra de comprimento dx devido a um deslocamento transversal dv, como ilustrado na Figura 8.5. Assim, a parcela de ␧ (x) em questão vale:

␧ ( x) =

ds − dx dx

=

dΔ dx

1 = ( v , x )2 ; 2

(8.44)

Na expressão (8.43), u(x) é a função que descreve o deslocamento axial e v(x) a função que descreve o deslocamento transversal do elemento. Descrevendo u(x) e v(x) em função dos deslocamentos nodais do elemento, como representado na Figura 8.6, vem:

Figura 8.6

Elemento finito de um elemento de pórtico plano.

u( x) = ␾1 ( x)d1 + ␾4 ( x)d4 ;

(8.45)

v( x) = ␾2 ( x)d2 + ␾3 ( x)d3 + ␾5 ( x)d5 + ␾6 ( x)d6 ;

(8.46)

⎛ x ⎞⎟ ␾1 ( x) = ⎜⎜⎜1 − ⎟⎟⎟ ; ⎝ L⎠

(8.47)

sendo

⎛ x ⎞⎟ ⎛ x ⎞⎟ ␾2 ( x) = 1 − 3⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + 2⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ; ⎝L⎠ ⎝L⎠ 2

␾3 ( x ) = x − 2

x2 L

3

+

x ␾4 ( x ) = ; L

x3 L2

;

(8.48)

(8.49)

(8.50)

Capítulo 8 Análise de Estabilidade 2 3 ⎛ x ⎞⎟ ⎛ x ⎞⎟ ␾5 ( x) = 3⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ − 2⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ; ⎝L⎠ ⎝L⎠

␾6 ( x) = −

x2 L

+

x3 L2

207

(8.51)

;

(8.52)

onde i (x) são as funções de interpolação para os deslocamentos nodais. A energia de deformação U de uma viga é dada por: U=

1 2

∫ E ␧ ( x)

2

dv ;

(8.53)

v

Substituindo a expressão dada em (8.43) para ␧ (x) em (8.53), observa-se que:

∫ dA = A; ∫ y dA = 0; ∫ y A

A

2

dA = I ;

A

∫Eu

,x

dA = N ;

(8.54)

A

onde N é a força axial, positiva na tração, e os termos v,x4 são desprezados por serem pequenos em comparação com os demais. Assim, chega-se a: U=

1

∫ 2

L 0

A E u,x ( x)2 dx +

1

∫ 2

L 0

N v,x ( x)2 dx +

1

∫ 2

L 0

El v,xx ( x)2 dx ;

(8.55)

Substituindo agora (8.45) e (8.46) na expressão (8.55) e manipulando-se as equações, obtém-se:

(

)

1 U = d t Ke + K g d ; 2

(8.56)

onde Ke é a matriz de rigidez elástica convencional do elemento de, formada a partir do primeiro e terceiro termos de U, e Kg é a chamada matriz de rigidez geométrica formada a partir do segundo termo de U, ou seja: ⎡ EA ⎢ ⎢ L ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ K e = ⎢⎢ ⎢ −E A ⎢ L ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣

0

0

12 E I

6EI

3

2

L 6EI

L 4EI

L2

L

0

0

−12 E I

6EI

3

2

L 6EI

L 2EI

L2

L

−E A L 0 0 EA L 0 0

0 −12 E I L3 6EI L2 0 12 E I L3 −6 E I L2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 6 E I ⎥⎥ ⎥ L2 ⎥ 2 E I ⎥⎥ ⎥ L ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ −6 E I ⎥⎥ ⎥ L2 ⎥ 4 E I ⎥⎥ ⎥ L ⎥⎦ 0

(8.57)

208

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ Kg = N ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

0 0 0 0 0 0

0 36

0 1

30 L 1

10 4L

10 0 −36

30 0 1

30 L 1

10 −L

10

30

0 0 0

0 −36

0 1

30 L −1

10 −L

10 0 36

30 0 −1

30 L −1

10 4L

10

30

0 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

(8.58)

Com a aplicação do teorema de Castigliano, vem ∂U ∂ di

= fi ;

(8.59)

sendo di um deslocamento nodal e fi a força externa relativa à direção de di, chega-se a:

(K

e

)

+ Kg d = f ;

(8.60)

A expressão (8.60) fornece o sistema de equações de equilíbrio para uma barra. Para a solução de um pórtico qualquer, a matriz de rigidez global do pórtico deve ser formada a partir da contribuição apropriada das matrizes de cada barra. O sistema de equações de equilíbrio obtido para o pórtico é não linear, pois a matriz de rigidez geométrica Kg depende do esforço axial na barra N que, por sua vez, depende dos deslocamentos axiais na extremidade da barra, ou seja, Kg(d). A solução do sistema deve ser obtida por métodos apropriados para a solução de sistemas de equações não lineares como o método de substituições sucessivas, o método de Newton-Raphson, o método quase-Newton como o BFGS, dentre outros. O primeiro passo dessa análise, em qualquer dos métodos, consiste em uma análise linear elástica do pórtico para se determinar a força normal em cada barra. Essa análise é executada com a matriz de rigidez global representada somente pela matriz de rigidez elástica Ke. Para cada barra, pode-se calcular a força normal atuante N e formar a matriz de rigidez geométrica Kg. Em uma segunda iteração, a matriz de rigidez total da estrutura K seria representada pela soma das matrizes de rigidez elástica Ke e da matriz de rigidez geométrica Kg obtida da primeira iteração. Com as novas matrizes de rigidez, um novo vetor de deslocamentos é calculado. Esse processo é repetido iterativamente até a convergência do vetor dos deslocamentos d. A expressão (8.60) também pode ser usada para a determinação do fator de carga crítica . Esse fator representa a majoração das cargas nodais f necessária para produzir flambagem elástica na estrutura. Para se determinar , é conveniente reescrever a expressão (8.60) como:

(K + ␭ K )Δd = 0 e

g

(8.61)

209

Capítulo 8 Análise de Estabilidade

Apesar de o vetor de cargas nodais f não estar presente em (8.61) ele não é dispensado do cálculo de  O vetor f é usado numa primeira etapa da análise para se determinar os esforços normais N em cada barra. Os esforços normais N serão necessários para se formar as matrizes de rigidez geométrica Kg de cada barra e, a partir dessas, a matriz Kg da estrutura. Se o vetor das cargas nodais f for majorado do fator , os esforços normais N e conseqüentemente a matriz de rigidez geométrica Kg das barras também devem ser majorados proporcionalmente de . Isso acontece porque nessa primeira etapa, os esforços normais N são determinados por uma análise linear com a matriz de rigidez da estrutura representada somente pela matriz de rigidez elástica Ke. Fisicamente, a expressão (8.65) pode ser interpretada da seguinte maneira. Uma forma aproximada de se realizar uma análise não linear é através de uma análise linear incremental explícita. Nesse processo, a matriz de rigidez é atualizada para a carga f e, em seguida, um novo incremento de carga f é aplicado à estrutura para o cálculo do novo incremento de deslocamentos d. A Figura 8.7 esclarece o procedimento para um sistema de um grau de liberdade.

Figura 8.7 Representação a um grau de liberdade da matriz de rigidez total K para um incremento de carga Δf a partir de uma carga f.

Para um sistema de n graus de liberdade, o cálculo de d para um incremento de carga f a partir de uma carga f pode ser obtido com a expressão (8.60), reescrita como: ( K e + ␭ K g )Δd = Δf ;

Na situação de carga crítica, a Figura 8.7 deve ser substituída pela Figura 8.8.

(8.62)

210

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Figura 8.8

Situação para  = crit.

Nesse caso, a expressão (8.62) seria atualizada para: ( K e + ␭ K g )Δd = 0;

(8.63)

A expressão (8.63) coincide com a expressão (8.61). Ela responde à seguinte pergunta: Qual o fator de carga  que precisa ser aplicado às cargas nodais f para que a estrutura produza deslocamentos não triviais, d | 0, mesmo sem incremento nas cargas atuantes, f = 0? O problema expresso em (8.67) recai em um problema geral de autovalor cuja solução fornece n autovalores  e n autovetores  que representam d), sendo n a dimensão das matrizes Ke e Kg. O menor autovalor calculado é o fator de carga crítica e o autovetor associado ao menor autovalor é o modo de flambagem que representa o modo ou a forma de flambagem da estrutura.

8.5 MEF para cálculo da carga crítica em placa à flexão Seja a placa à flexão submetida às forças de membrana (forças que atuam no plano da placa), como ilustrado na Figura 8.9.

Figura 8.9

Esforços no plano da placa à flexão.

Capítulo 8 Análise de Estabilidade

211

Para se obter uma matriz de rigidez geométrica para um elemento de placa à flexão, deve-se proceder de forma análoga ao que foi feito para um elemento de pórtico plano. Isso significa incorporar na expressão da energia de deformação U da placa à flexão o trabalho feito pelas forças de membrana nos deslocamentos produzidos no plano da placa pelos deslocamentos transversais ao plano médio da placa (deslocamentos verticais na direção do eixo z). Nesse item, apenas a expressão da matriz geométrica da placa à flexão Kg será deduzida já que a matriz elástica Ke já foi apresentada no Capítulo 7. O elemento estudado será o elemento da família Serendipity de 4 nós para a teoria de Mindlin. Em analogia à expressão (8.48), as deformações no plano médio da placa, associadas às pequenas rotações w,x e w,y , são dadas por:

(

)

(

) dx

2 1 w( x , y ),x dx 1 ␧ x (x, y) = =2 = w( x , y ) , x 2 dx dx

dΔxx

1 w( x , y ) , y ␧ y (x, y) = =2 dx dx dΔyy

Yxy ( x , y ) =

dΔxy dy

=

(

2

;

(8.64)

( w( x , y ) ) ; 2

(8.65)

2

=

= w( x , y ),x w( x , y ),y dy dy

)

1

2

,y

= w( x , y ) , x w ( x , y ) , y ;

(8.66)

sendo w(x,y) o deslocamento transversal na direção do eixo z. A Figura (8.10) ilustra as diferentes componentes de deslocamento.

Figura 8.10

Movimentos horizontais devidos a w,x e w,y.

212

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Para se obter a expressão da matriz geométrica, será considerada apenas a parcela referente ao trabalho das forças de membrana Nx, Ny e Nxy nas deformações associadas ␧x, ␧y e xy. Assim: ⎧1 ⎪ ⎨ w( x , y ) , x U=∫ ⎪ ⎪ ⎩2 A ⎪

(

)

2

Nx +

( w( x , y ) ) N 2 1

2

,y

y

⎫ ⎪ ⎬ dA; + w( x , y ),x w( x , y ),y N xy ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(8.67)

ou, alternativamente, t ⎛⎧ ⎫ ⎡⎢ N ⎜⎜⎪w( x , y ) ⎪ ⎪ x ,x ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ U = ∫ ⎜⎨ ⎬ ⎢ ⎢ N w( x , y ) , y ⎪ 2 A ⎜⎜⎜⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎢⎣ xy ⎝⎪

1

⎫⎞⎟⎟ ⎪ N xy ⎤⎥ ⎧ w( x , y ) , x ⎪ ⎪ ⎪ ⎟ ⎪ ⎪ ⎥⎨ ⎬⎟⎟ dA; ⎪ N y ⎥ ⎪w( x , y ), y ⎪⎪⎟⎟⎟ ⎥⎦ ⎪ ⎩ ⎭⎪⎠

(8.68)

No elemento de 4 nós da família Serendipity, o campo de deslocamentos transversais w(x,y) é representado no plano paramétrico por: 4

w(␰ ,␩ ) = ∑ N i (␰ ,␩ )wi

(8.69)

i=1

As derivadas paramétricas de w( , ) são dadas por: ⎫ ⎡ N (␰ ,␩ ) ⎪⎧⎪w(␰ ,␩ ) ⎪ ⎢ 1 ,␰ ,␰ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬⎢ ⎪⎪w(␰ ,␩ ) ⎪ ⎢ N (␰ ,␩ ),␩ ,␩ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣⎢ 1

N 2 (␰ ,␩ ),␰

N 3 (␰ ,␩ ),␰

N 4 (␰ ,␩ ),␰

N 2 (␰ ,␩ ),␩

N 3 (␰ ,␩ ),␩

N 4 (␰ ,␩ ),␩

⎫ ⎧w ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎤⎪ ⎪ ⎪w ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎥⎪ ⎬; ⎨ 2⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪w3 ⎪ ⎪ ⎦⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w ⎪ 4 ⎭ ⎩ ⎪

(8.70)

ou, sucintamente, ⎫ ⎧w ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⎧ ⎪ w(␰ ,␩ ),␰ ⎪ ⎪ ⎪ w2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎬ = DNx(␰ ,␩ )⎨ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ w(␰ ,␩ ),␩ ⎪ w3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w ⎪ ⎭ ⎩ 4⎪

(8.71)

As derivadas cartesianas de w( , ),x e w( , ),y podem ser obtidas das derivadas paramétricas de w( , ), e w( , ), por meio da pré-multiplicação pela matriz ⌫ ( , ) obtida como indicado a seguir. ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ X=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

x1 x2 x3 x4

y1 ⎤⎥ ⎥ y2 ⎥ ⎥ y 3 ⎥⎥ y 4 ⎥⎥ ⎦

J (␰ ,␩ ) = DNx(␰ ,␩ ) ⋅ X

(8.72)

(8.73)

Capítulo 8 Análise de Estabilidade

213

⌫ (␰ ,␩ ) = J (␰ ,␩ )−1

(8.74)

⎧ ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ w( x , y ) , x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪w(␰ ,␩ ),␰ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬; ⎨ ⎨ ⎬ = ⌫ (␰ ,␩ )⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w ( x , y ) w ( ␰ , ␩ ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ , y , ␩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎩ ⎭

(8.75)

⎧ ⎪ ⎪ w1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧w( x , y ) ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ w ⎪ ⎪ ,x ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎨ ⎬ = ⌫ (␰ ,␩ )DNx(␰ ,␩ )⎨ ⎬ ; ⎪ ⎪ ⎪ w( x , y ) , y ⎪ w3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩w 4 ⎪

(8.76)

⎧w( x , y ) ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ,x ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = G(␰ ,␩ )d ; ⎪ ⎪ w ( x , y ) ⎪ ,y ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

(8.77)

G(␰ ,␩ ) = ⌫ (␰ ,␩ )DNx(␰ ,␩ );

(8.78)

⎫ ⎧w ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w2 ⎪ ⎪ d =⎨ ⎪ ⎬; ⎪ w3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w ⎪ 4 ⎭ ⎩ ⎪

(8.79)

Assim,

Logo,

ou,

onde,

e

Substituindo-se (8.77) em (8.68) chega-se a: 1 U = dt K g d ; 2

(8.80)

sendo, ⎡ N ⎢ x K g = ∫ Gt ⎢ ⎢ N A ⎣⎢ xy

N xy ⎤⎥ ⎥ G dA; Ny ⎥ ⎦⎥

(8.81)

A integração em (8.81) pode ser feita no plano paramétrico. Kg = ∫

⎡ N x t ⎢ ( , ) G ␰ ␩ ⎢ ∫ −1 −1 ⎢ N ⎢⎣ xy 1

1

N xy ⎤⎥ ⎥ G(␰ , ␩ )det J (␰ , ␩ ) d␰ d␩ ; Ny ⎥ ⎥⎦

(8.82)

214

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

A integração em (8.82) pode ser feita numericamente pelo método de Gauss. Observa-se que a matriz geométrica em (8.82) independe das propriedades do material.

8.6 Exemplos de análise de estabilidade por elementos finitos 8.6.1 Carga crítica em pilar ideal

Figura 8.11 Pilar ideal estudado com um elemento.

Dados: E = 1000; Matriz de rigidez elástica ⎡ 12 ⋅ I 6⋅I 12 ⋅ I ⎢ − 3 ⎢ 3 2 L L L ⎢ ⎢ 6⋅I 4⋅I 6⋅I ⎢ − 2 ⎢ 2 L L Ke = ⎢⎢ L 12 ⋅ I ⎢ − 12 ⋅ I − 6 ⋅ I ⎢ L3 L2 L3 ⎢ ⎢ 6⋅I 2⋅I 6⋅I ⎢ − 2 ⎢ 2 L L ⎢⎣ L

L = 9;

I = 2;

A=1

Matriz de rigidez geom métrica 6 ⋅ I ⎤⎥ ⎥ L2 ⎥ 2 ⋅ I ⎥⎥ ⎥ L ⎥; 6⋅I ⎥ − 2 ⎥⎥ L ⎥ 4 ⋅ I ⎥⎥ ⎥ L ⎥⎦

⎡ 36 3 ⋅ L −36 3⋅L ⎢ 1 ⎢ 3 ⋅ L 4 ⋅ L2 −3 ⋅ L −L2 ⎢ Kg = 36 −3 ⋅ L 30 ⋅ L ⎢⎢ −36 −3 ⋅ L ⎢⎣ 3 ⋅ L −L2 −3 3 ⋅ L 4 ⋅ L2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

215

Capítulo 8 Análise de Estabilidade

Vínculos para pilar ideal. Ke1,1 = 106 ⋅ Ke1,1 ;

Kg1,1 = 106 ⋅ Kg1,1 ;

Ke2 ,2 = 106 ⋅ Ke2 ,2 ; Kg 2 ,2 = 106 ⋅ Kg 2 ,2 ;

:VS\sqVWVYLSLTLU[VZÄUP[VZJVT\TLSLTLU[V Cálculo do vetor dos autovalores  do problema de autovalor generalizado. Ke ␾ = ␭1 Kg ␾ ; ⎧61, 382 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 246 914 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␭1 = ⎨ ⎬ ⎪ 794 , 591⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 740 735 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

:VS\sqVWLSHYLZPZ[vUJPHKVZTH[LYPHPZ!

␭2 =

␲ 2 ⋅E⋅I

4 ⋅ L2 ␭2 = 60, 923

Comparação: Carga crítica por elementos finitos: Pcrit1 = min(␭1) = 61, 382

Carga crítica pela resistência dos materiais: Pcrit 2 = ␭2 P − Pcrit 2 erro = crit 1 Pcrit 2 erro = 7 , 552 ×10−3

Por que Pcrit1 é maior que Pcrit2? Porque o MEF, ao aproximar a deformada, fornece modelos mais rígidos do que os “exatos”. Solução com L = 3. L=3 Matriz de rigidez elástica ⎡ 12 ⋅ I 6⋅I 12 ⋅ I ⎢ − 3 ⎢ 3 2 L L L ⎢ ⎢ 6⋅I 4⋅I 6⋅I ⎢ − 2 ⎢ 2 L L L ⎢ Ke = ⎢ I I 12 ⋅ 6 ⋅ 12 ⋅I ⎢ − − 2 ⎢ 3 3 L L L ⎢ ⎢ 6⋅I I 2 ⋅ 6⋅I ⎢ − 2 ⎢ 2 L L ⎢⎣ L

Matriz de rigidez geom métrica 6 ⋅ I ⎤⎥ ⎥ L2 ⎥ 2 ⋅ I ⎥⎥ ⎥ L ⎥; 6⋅I ⎥ − 2 ⎥⎥ L ⎥ 4 ⋅ I ⎥⎥ ⎥ L ⎥⎦

⎡ 36 3 ⋅ L −36 3⋅L ⎢ 1 ⎢ 3 ⋅ L 4 ⋅ L2 −3 ⋅ L L2 − ⎢ Kg = 36 −3 ⋅ L 30 ⋅ L ⎢⎢ −36 −3 ⋅ L ⎢⎣ 3 ⋅ L −L2 −3 3 ⋅ L 4 ⋅ L2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

216

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

nnodes = 4

gdl = 2 ⋅ nnodes

Inicialização: i = 1..dl j = 1.. gdl KGei , j = 0 KGgi , j = 0

Incidência: ⎡ ⎤ nelem = 3 ; Inc = ⎢ 1 2 3 ⎥ ⎢ 2 3 4 ⎥ ⎣ ⎦

Figura 8.12 Malha do pilar ideal com 3 elementos.

Ponteiros: m = 1, …, nelem dgi , m = 2 ⋅ Inc1, m − 1 dg 2 , m = 2 ⋅ Inc1, m dg 3 , m = 2 ⋅ Inc2 , m − 1 dg 4 , m = 2 ⋅ Inc2 , m

Capítulo 8 Análise de Estabilidade

217

Matriz de rigidez global:

KGedg KGg dg

i ,m

i ,m

,dg j , m

,dg j , m

i = 1..4 j = 1..4 = KGedg

i ,m

= KGgedg

,dg j , m

i ,m

+ Kei , j

,dg j , m

+ Kg i , j

Vínculos pilar ideal: KGe1,1 = 106 ⋅ KGe1,1 ;

KGg1,1 = 106 ⋅ KGg1,1 ;

KGe2 ,2 = 106 ⋅K KGe2 ,2 ; KGg 2 ,2 = 106 ⋅ KGg 2 ,2 ;

Cálculo do vetor dos autovalores  do problema de autovalor generalizado: Ke ␾ = ␭1 Kg ␾ ⎫ ⎧ 1, 221×10 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ ⎪ , × 7 151 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ , × 3 586 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 60 , 93 ⎪ ⎪ Pcrit = ⎨ ⎬ ⎪ 552 , 436 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ ⎪ 2 , 222 10 × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ 1, 595×10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ 6 , 667 10 × ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ Pcrit = min(␭1)

Carga crítica por elementos finitos: Pcrit1 = 60, 93

Carga crítica pela resistência dos materiais: Pcrit 2 =

␲ 2 ⋅E⋅I

4 ⋅ ( 3 L) 2 Pcrit 2 = 60, 923 erro =

Pcrit 1 − Pcrit 2 Pcrit 2

erro = 1, 028×10−4

Percebe-se que com mais elementos, ou seja, com o refinamento da malha o erro relativo diminui.

218

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

8.6.2 Estudo de um pilar biarticulado Dados: E = 1000 ; L = 10 ;

I = 2; A = 1

Figura 8.13 Malha do pilar biarticulado com 3 elementos.

dois elementos. Matriz de rigidez elástica ⎡ 12 ⋅ I 6⋅I 12 ⋅ I ⎢ − 3 ⎢ 3 2 L L L ⎢ ⎢ 6⋅I I 4 ⋅ 6 ⋅I ⎢ − 2 ⎢ 2 L L Ke = ⎢⎢ L I I 12 ⋅ 6 ⋅ 12 ⋅I ⎢ − − 2 ⎢ 3 3 L L L ⎢ ⎢ 6⋅I 2⋅I 6⋅I ⎢ − 2 ⎢ 2 L L ⎢⎣ L

Matriz de rigidez geom métrica 6 ⋅ I ⎤⎥ ⎥ L2 ⎥ 2 ⋅ I ⎥⎥ ⎥ L ⎥; 6⋅I ⎥ − 2 ⎥⎥ L ⎥ 4 ⋅ I ⎥⎥ ⎥ L ⎥⎦

⎡ 36 3⋅L 3⋅L −36 ⎢ 1 ⎢ 3 ⋅ L 4 ⋅ L2 −3 ⋅ L −L2 ⎢ Kg = 36 −3 ⋅ L 30 ⋅ L ⎢⎢ −36 −3 ⋅ L ⎢⎣ 3 ⋅ L −L2 −3 3 ⋅ L 4 ⋅ L2

Matriz de rigidez elástica e geométrica do pilar. L = 5;

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Capítulo 8 Análise de Estabilidade

Montagem direta das matrizes KGe e KGg. ⎡ 12 ⋅ I ⎢ ⎢ L3 ⎢ ⎢ 6⋅I ⎢ ⎢ 2 ⎢ L ⎢ 12 ⋅ I ⎢ − ⎢ L3 KGe = ⎢⎢ ⎢ 6⋅I ⎢ 2 ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ KGg = ⎢ 30L ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

6⋅I 2

L 4⋅I −

L 6⋅I 2

L 2⋅I L 0 0

−

12 ⋅ I

6⋅I

3

−

0

2

L 6⋅I

L 2⋅I

L2 12 ⋅ I 12 ⋅ I + 3 L3 L 6⋅I 6⋅I − 2 + 2 L L 12 ⋅ I − 3 L 6⋅I

L 6⋅I 6⋅I − 2 + 2 L L 4⋅I 4⋅I + L L 6⋅I − 2 L 2⋅I

L2

L

0 −

12 ⋅ I

−

L3 6⋅I

L2 12 ⋅ I

L3 6⋅I − 2 L

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ 6 ⋅ I ⎥⎥ ⎥ L2 ⎥ 2 ⋅ I ⎥⎥ ⎥ L ⎥ 6⋅I ⎥ − 2 ⎥⎥ L ⎥ 4 ⋅ I ⎥⎥ ⎥ L ⎥⎦ 0

36 3⋅L 3⋅L −36 0 0 3 ⋅ L 4 ⋅ L2 −3 ⋅ L −L2 0 0 3⋅L −3 ⋅ L + 3 ⋅ L −36 −36 −3 ⋅ L 36 + 36 3 ⋅ L −L2 −3 ⋅ L + 3 ⋅ L 4 ⋅ L2 + 4 ⋅ L2 −3 ⋅ L −L2 0 0 36 −36 −3 ⋅ L −3 ⋅ L 0 0 3⋅L −L2 −3 ⋅ L 4 ⋅ L2

192 480 −192 480 0 0 480 1, 6×103 −480 800 0 0 0 480 −192 −192 −480 384 480 800 0 3, 2 ×103 −480 800 0 0 192 −192 −480 −480 −480 1, 6×103 0 0 480 800

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎡ 0, 24 0, 1 −0, 24 0, 1 0 0 ⎢ ⎢ 0, 1 0, 667 −0, 1 −0, 167 0 0 ⎢ ⎢ −0, 24 −0, 1 0 , 48 0 − 0 , 24 0 ,1 KGg = ⎢⎢ 0 1, 33 −0, 1 −0, 167 ⎢ 0, 1 −0, 167 ⎢ , 0 0 − 0 , 2 4 − 0 1 0, 24 −0, 1 ⎢ ⎢ , , , , 667 0 0 0 1 − 0 167 − 0 1 0 ⎢⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ KGe = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

Vínculos do pilar ideal. KGe1,1 = 106 ⋅ KGe1,1 ;

KGg1,1 = 106 ⋅ KGe1,1

KGe5 , 5 = 106 ⋅ KGe5 , 5 ; KGg 5 , 5 = 106 ⋅ KGe5 , 5

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥

219

220

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Cálculo do vetor dos autovalores  do problema de autovalor generalizado. K e ␾ = ␭1 K g ␾ ; ⎫ ⎧ 4 , 8×103 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ , × 2 574 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 198, 887 ⎪ ⎪ ␭1 = ⎪⎨ ⎬ ⎪ ⎪ 800 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 799, 999 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 960 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

Carga crítica por elementos finitos. Pcrit1 = min(␭1) Pcrit1 = 198, 89

Carga crítica pela resistência dos materiais. Pcrit 2 =

␲ 2 ⋅E⋅I 4 ⋅ ( 2 L) 2

Pcrit 2 = 197 , 392

Erro relativo. erro =

Pcrit 1 − Pcrit 2 Pcrit 2

erro = 7 , 552 ×10−3

+LZSVJHTLU[VSH[LYHSLTWPSHYIPHY[PJ\SHKVJVTJHYNHL_JvU[YPJHP = 50 Solução da resistência dos materiais

k=

P EI

;

k = 0, 158

exc = 0, 1 (excentricidade da carrga); ⎛ ⎛ k ⋅ 2 L ⎞ ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ␦ = exc ⎜⎜sec⎜⎜⎜ − 1⎟ ; ␦ = 0, 042 (deslocamento) ⎜⎝ ⎝ 2 ⎟⎟⎠ ⎟⎠

Capítulo 8 Análise de Estabilidade

:VS\sqVWVYLSLTLU[VZÄUP[VZ ⎫ ⎧0⎪ ⎫ ⎧ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 − P exc − ⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 ⎪ f =⎪ ⎬ ⎨ ⎪ ⎬; f = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 P exc ⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪ ⎭ ⎩

Matriz de Rigidez Tangente: KGt = KGE + (−P)KGg ⎧ ⎪ ⎪ 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 016 − , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 042 − , −1 ⎪ ⎪ d 1 = KGt ⋅ f ; d 1 = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 , 016 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

Comparação:

␦ = 0, 042

:VS\sqVKH9LZPZ[vUJPHKVZ4H[LYPHPZ

d13 = −0, 042

Solução em elementos finitos: Análise linear:

⎫ ⎧ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 013 − , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −0, 031⎪ −1 ⎪ ⎪ d 2 = KGe ⋅ f ; d 2 = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 013 , ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

Erro da análise linear: erro =

(d 2 3 − d13 ) d13

erro = −0, 258 (ou 25,8%)

Deslocamento lateral do pilar com carga muito próxima à carga critica. P = 197 KGt = KGE + (−P)KGg

221

222

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

d = KGt −1 ⋅ f ;

⎧ ⎪ ⎪ 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 081 − , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 438 − , ⎪ ⎪ ntos são excessivamente grandes) d =⎨ ⎬ (os deslocamen ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 081 , ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

8.6.3 Estudo da flambagem de uma placa à flexão, elemento Serendipity isoparamétrico bilinear A flambagem de uma placa à flexão será estudada com um modelo de 1 elemento finito. A matriz de rigidez elástica Ke da placa à flexão é dada pelo elemento da teoria de Mindlin e a matriz geométrica Kg é a do elemento isoparamétrico bilinear.

Figura 8.14 Flambagem de placa à flexão com modelo de 1 elemento.

Dados: „Coordenadas paramétricas dos nós do elemento:

␰ 1 = −1; ␰ 2 = 1;

␰ 3 = 1; ␰ 4 = −1;

␩1 = −1; ␩2 = −1; ␩3 = 1; ␩ 4 = 1; „Pontos notáveis e pesos de Gauss: „w1 = 2 (peso para 1 ponto de integração). „w2 = 1 (peso para 2 pontos de integração).

Capítulo 8 Análise de Estabilidade „Coordenadas nodais e espessura t:

x1 = 0 ; x2 = 10 ; x3 = 10 ; x4 = 0 ; y1 = 0 ; y 2 = 0 ;

y 3 = 10 ; y 4 = 10 ;

t = 3 (espessura)

„Forças por unidade de comprimento aplicadas no plano médio:

Nx = −10 Ny = −10 Nxy = 0 „Matriz das coordenadas nodais X:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ X=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

x1 x2 x3 x4

y1 ⎤⎥ ⎥ y2 ⎥ ⎥ y 3 ⎥⎥ y 4 ⎥⎥ ⎦

„Matrizes constitutivas Db e Ds:

⎡ D v ⋅D 0 ⎢ 0 Db = ⎢⎢ v ⋅ D D ⎢ (1 − v) ⋅ D ⎢ 0 0 ⎢ 2 ⎣

⎡ ⎢ G⋅ t ⎤ 0 ⎢ ⎥ 1, 2 ⎥ ; Ds = ⎢ ⎢ ⎥ t ⎢ ⎥ 0 G⋅ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1, 2 ⎥ ⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

onde v = 0;

E = 1000 ;

G=

E 2(1 + v)

= 500 ;

D=

E t2 12(1 − v 2 )

= 2250

Funções de interpolação bilineares e suas derivadas. d 1 N 1 (␰ , ␩ ) = (1 + ␰ 1 ⋅ ␰ )(1 + ␩1 ⋅␩); N 1,␰ (␰ , ␩ ) = d␰ 4 d 1 N 2 (␰ , ␩ ) = (1 + ␰ 2 ⋅ ␰ )(1 + ␩2 ⋅␩ ); N 2 ,␰ (␰ , ␩ ) = d␰ 4 d 1 N 3 (␰ , ␩ ) = (1 + ␰ 3 ⋅ ␰ )(1 + ␩3 ⋅␩); N 3 ,␰ (␰ , ␩) = d␰ 4 d 1 N 4 (␰ , ␩ ) = (1 + ␰ 4 ⋅ ␰ )(1 + ␩ 4 ⋅␩ ); N 4 ,␰ (␰ , ␩ ) = d␰ 4

N 1 (␰ , ␩ );

N 1,␩ (␰ , ␩ ) =

N 2 (␰ , ␩ ); N 2 ,␩ (␰ , ␩ ) = N 3 (␰ , ␩ );

N 3 ,␩ (␰ , ␩ ) =

N 4 (␰ , ␩ ); N 4 ,␩ (␰ , ␩ ) =

d d␩ d d␩ d d␩ d d␩

N 1 (␰ , ␩ ); N 2 (␰ , ␩ ); N 3 (␰ , ␩ ); N 4 (␰ , ␩ );

223

224

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas „Matriz DNx( , ).

⎡ N (␰ , ␩ ) N (␰ , ␩ ) N (␰ , ␩ ) N (␰ , ␩ ) ⎢ 2 ,␰ 3 ,␰ 4 ,␰ DNx(␰ , ␩ ) = ⎢ 1,␰ ⎢ N (␰ , ␩ ) N (␰ , ␩ ) N (␰ , ␩ ) N (␰ , ␩ ) 2 ,␩ 3 ,␩ 4 ,␩ ⎢⎣ 1,,␩

⎤ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥⎦

„Matriz jacobiana: J(␰,␩)

J (␰ , ␩ ) = DNx(␰ , ␩ ) ⋅ X „Cálculo do determinante de J(␰,␩) no ponto P(␰,␩):

det J (␰ , ␩ ) = J (␰ , ␩ ) „Cálculo da inversa da matriz jacobiana ⌫(␰,␩) no ponto P( , ):

⌫ (␰ , ␩ ) = J (␰ , ␩ )−1 „Cálculo da matriz G( , ) no ponto P( , ):

G(␰ ,␩) = ⌫ (␰ ,␩)DNx ⎡⎣␰ ,␩⎤⎦ ; ⎡0 0 Dx(␰ ,␩)1,1 0 0 Dxx(␰ ,␩)1,2 0 0 Dx(␰ ,␩)1,3 0 0 Dx(␰ ,␩)1,4 ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 −Dx(␰ ,␩)2 ,2 0 0 −Dx(␰ ,␩)2 ,3 0 0 −Dx(␰ ,␩)2 ,4 0 Bb(␰ ,␩ ) = ⎢ 0 −Dx(␰ ,␩)2 ,1 ⎥ ⎢ ⎢ 0 −Dx(␰ ,␩) Dx(␰ ,␩) 0 −Dx(␰ ,␩) Dx(␰ ,␩) 0 −Dx(␰ ,␩) Dx(␰ ,␩) 0 −Dx(␰ ,␩) Dx(␰ ,␩) ⎥ ⎢⎣ 1 ,1 2 ,1 1 ,2 2 ,2 1 ,3 2 ,3 1,4 2 ,4 ⎥ ⎦ ⎡ Dx(␰ ,␩ ) 0 0 N 1 (␰ ,␩ ) Dx(␰ ,␩ )1,2 N 2 (␰ ,␩ ) … N 4 (␰ ,␩ ) ⎢ 1 ,1 Bs(␰ ,␩ ) = ⎢ ⎢ Dx(␰ ,␩ )2 ,1 −N 1 (␰ ,␩ ) 0 Dx(␰ ,␩ )2 ,2 −N 2 (␰ ,␩ ) 0 … 0 ⎢⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Kpgb(␰ , ␩ ) = Bb(␰ , ␩ )T ⋅ Db ⋅ Bb(␰ , ␩ ) ⋅ det J (␰ , ␩ ) Kpgs(␰ , ␩ ) = Bs(␰ , ␩ )T ⋅ Ds ⋅ Bs(␰ , ␩ ) ⋅ det J (␰ , ␩ )

Usando dois pontos de integração de Gauss para Kb e um ponto para Ks (integração seletiva). Pontos notáveis e pesos de Gauss: „Para integração 1 × 1.

␰ pg 1 = 0 ; ␩pg 1 = 0 ; w␰ 1 = 2 ; w␩ g 1 = 2 ; Ks = Kpgb(␰ pg 1,␩ pg 1) ⋅ w␰ g 1 ⋅ w␩ g 1

Capítulo 8 Análise de Estabilidade

225

„Para integração 2 × 2.

␰ pg 1 = ␩pg 1 =

1 3 1

; ␰ pg 2 = ; ␩pg 2 =

1 3 −1

; ␰ pg 3 = ; ␩pg 3 =

−1 3 1

; ␰ pg 4 = ; ␩pg 4 =

−1 3 −1

3 w␰ g 1 = 1;

3 w␰ g 2 = 1;

3 w␰ g 1 = 3 ;

3 w␰ g 4 = 1

w␩ g 1 = 1;

w␩ g 2 = 1;

w␩ g 3 = 1;

w␩ g 4 = 1

Kb = Kpgb(␰ pg 1,␩ pg 1) ⋅ w␰ g 1 ⋅ w␩ g 1 + Kpgb(␰ pg 2 ,␩ pg 2) ⋅ w␰ g 2 ⋅ w␩ g 2 + Kpgb(␰ pg 3,␩ pg 3) ⋅ w␰ g 3 ⋅ w␩ g 3 + Kpgb(␰ pg 4 ,␩ pg 4)⋅ w␰ g 4 ⋅ w␩ g 4

Matriz de rigidez total. Ke = Kb + Ks

Introdução dos vínculos com a técnica dos números grandes. i = 1..6 Kei ,i = 106 ⋅ Kei ,i

Matriz N dos esforços no plano. ⎡ N ⎢ x N=⎢ ⎢ N ⎢⎣ xy

N xy ⎤⎥ ⎥ Ny ⎥ ⎥⎦

Matriz de rigidez geométrica Kgp( , ) no ponto P( , ). ⎡ Dx (␰, ␩) 0 0 Dx (␰, ␩) 0 0 Dx (␰, ␩) 0 0 Dx(␰, ␩) 0 0 ⎤ ⎥ ⎢ 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 G (␰, ␩) = ⎢ ⎥ ⎢ Dx(␰, ␩)2 ,1 0 0 Dx(␰, ␩)2 , 2 0 0 Dx(␰, ␩)2 , 3 0 0 Dx((␰, ␩)2 , 4 0 0 ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ Kgp(␰ , ␩ ) = G(␰ , ␩ )T ⋅ N ⋅ G(␰ , ␩ ) ⋅ det J (␰ , ␩ )

Cálculo das matrizes de rigidez geométrica do elemento. Kg = Kpg (␰ pg 1, ␩pg 1) ⋅ wg␰ 1 ∗ wg␩1 + Kpg (␰ pg 2 , ␩pg 2) ⋅ wg␰ 2 ∗wg␩ 2 + Kpg (␰ pg 3, ␩pg 3) ⋅ wg␰ 3 ∗ wg␩ 3 + Kpg (␰ pg 4 , ␩pg 4) ⋅ wg␰ 4 ∗ wg␩ 4

Cálculo dos dois menores autovalores e do autovetor associado ao menor autovalor do problema de autovalor generalizado. Ke ␾ = ␭ Kg ␾

226

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

⎧1, 816 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␭ = ⎨8, 583 ⎬; ⎪ ⎪ ⎪ 7⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩8, 117 ×10 ⎪ ⎭

⎧ ⎪ ⎪ 7 , 247 ×10−9 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −9 ⎪ ⎪ , 7 247 × 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −9 ⎪ ⎪ −8, 533×10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −9 ⎪ ⎪ ⎪ , 2 47 × 10 − 7 ⎪ ⎪ ⎪ −9 ⎪ ⎪ −9, 824 ×10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −9 ⎪ ⎪ −8, 533×10 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ␾ =⎨ ⎬ ⎪ ⎪ , 0 663 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ , 0 073 − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −0, 136 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ , − 0 718 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0, 063 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ , − 0 136 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

Coeficiente de Rayleigh .

␭R = ␾ ( 1) ⋅ Ke ⋅␾ 1 ⋅(␾ ( 1) ⋅(−Kg )⋅␾ 1 ) T

T

␭R = 1, 816

−1

CAPÍTULO

9

Análise dinâmica de estruturas

9.1 Introdução Algumas solicitações que atuam sobre as estruturas produzem acelerações que geram forças de inércia não desprezíveis associadas às acelerações. Exemplos desse tipo de solicitação são cargas móveis em pontes, ventos, ondas, correntes e sismos. Cargas harmônicas com frequência de excitação próxima às frequências próprias ou naturais da estrutura produzem em efeito de ressonância que pode produzir grandes deslocamentos e esforços nas estruturas. Muitos são os exemplos de colapso de estruturas produzidos por solicitações dinâmicas, especialmente por terremotos. Um famoso desastre produzido pelo vento foi o da ponte de Tacoma em Washington. A ponte pênsil de 1.600 metros de comprimento desabou em 7 de novembro de 1940, alguns meses após sua inauguração. O colapso foi devido à ação de ventos que sopravam a uma velocidade de aproximadamente 65 km/h. A ponte começou a apresentar movimentos torsionais e acabou por colapsar. A ponte Rio-Niterói teve de ser equipada com sistemas massa-mola de modo a alterar suas propriedades dinâmicas porque ela sofria fortes oscilações com ventos que sopravam a aproximadamente 60 km/h vindos da direção da entrada da baia de Guanabara. Neste item, será mostrado como se podem calcular as propriedades dinâmicas de estruturas de comportamento linear elástico modeladas por elementos finitos em vibrações livres, nomeadamente as frequências e modos naturais. Expressões para o cálculo da matriz de massa e da matriz de amortecimento necessárias para o cálculo dessas propriedades dinâmicas serão apresentadas. A resposta da estrutura para vibrações forçadas pode ser obtida com o uso dessas matrizes pelos métodos de superposição modal ou por meio de algoritmos de integração direta. A análise modal para vibrações forçadas é tratada brevemente neste capítulo.

228

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

9.2 Equação de equilíbrio em análise dinâmica Para chegar ao sistema de equações de equilíbrio de uma estrutura em análise dinâmica, o princípio dos deslocamentos virtuais será extendido com a inclusão do trabalho virtual das forças reais de inércia fI nos deslocamentos virtuais u, assim:

∫

Vk 0

Vk

␦␧ t␴ dVk =∫ ␦ ut fI dVk + ␦ d t f ; 0

(9.1)

Como visto anteriormente, no método dos elementos finitos, o campo de deslocamentos no interior dos elementos u é definido pela interpolação dos deslocamentos nodais d como: u = N d;

(9.2)

onde a matriz N é a matriz de interpolação dos deslocamentos nodais. Derivando-se duas vezes em relação ao tempo os dois lados da expressão (9.2), chega-se ao campo das acelerações no interior do elemento u obtido por interpolação das acelerações nodais: u = Nd ;

(9.3)

Em analogia a (9.2) os campos dos deslocamentos virtuais são dados por: u = N d;

(9.4)

Segundo o princípio de D’Alembert, as forças de inércia reais por unidade de volume são dadas por: fI = −␳u = −␳ Nd ;

(9.5)

Onde  é a densidade de massa do material. Substituindo as expressões (9.4) e (9.5) na expressão do princípio dos deslocamentos virtuais (9.1) para um elemento e desenvolvendo o lado esquerdo da expressão como no Capítulo 3, obtém-se:

␦ d t Kd = −␦ d t ∫

Vk 0

␳ N t N dVk d + ␦ d t f ;

(9.6)

ou eliminando dt, que aparece em todas as parcelas, Kd + Md = f ;

(9.7)

onde M é a matriz de massa do elemento dada por: M=∫

Vk 0

␳ N t N dVk ;

(9.8)

Capítulo 9 Análise dinâmica de estruturas

229

A expressão (9.7) representa o sistema de equações de equilíbrio dinâmico. A expressão completa inclui as forças de dissipação ou de amortecimento. A equação inteira é dada por: K d + C d + M d = f ;

(9.9)

onde C é a matriz de amortecimento do elemento.

9.3 Matriz de massa do elemento de viga A matriz de massa dada em (9.8) é dita consistente porque o campo das acelerações é consistente com o campo de deslocamentos, ou seja, obtido por derivação do campo de deslocamentos. Utilizando as funções de interpolação para o elemento de viga i(x) definidas em (3.163), a matriz de interpolação do elemento N é expressa como: N(x) = {1(x)

1(x)

1(x)

1(x)};

(9.10)

A matriz de massa consistente para o elemento de viga pode ser obtida substituindo-se a expressão (9.10) em (9.8) e integrando cada termo, o que resulta em: ⎡ 22 L ⎢ 156 ⎢ m ⎢ 22 L 4 L2 M= ⎢ 420 ⎢ 54 13L ⎢ ⎢ − 13L − 3L2 ⎢⎣

⎤ − 13L ⎥ ⎥ 13L − 3L2 ⎥ ⎥; 156 − 22 L ⎥⎥ − 22 L 4 L2 ⎥⎥⎦ 54

(9.11)

onde m é a massa total do elemento dada por AL sendo A, a área da seção transversal da viga e L o seu comprimento. Uma formulação mais simples para a matriz de massa da viga é a denominada matriz de massa concentrada (lumped) que é obtida colocando-se partes mi da massa total do elemento m =  A L nos nó i de forma que a soma dos mi seja igual a m. A mais simples entre as matrizes de massa concentrada é formada colocando-se as frações de massa mi associadas apenas aos graus de liberdade de deslocamento vertical e não às rotações. Neste caso, a matriz de massa é dada por: ⎡ ⎢ ⎢ m⎢ M= ⎢ 2⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

⎤ 1 0 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 0 0 ⎥ ⎥; 0 0 1 0 ⎥⎥ 0 0 0 0 ⎥⎥⎦

(9.12)

230

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

9.4 Matriz de massa do elemento triangular CST Uma matriz de massa concentrada para o elemento CST pode ser obtida colocando-se um terço da massa total em cada nó. Esse procedimento conduz à seguinte matriz de massa: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ␳ At ⎢ M= ⎢ 3 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

(9.13)

sendo A, a área do elemento e t, a espessura. Como o elemento tem i graus de liberdade por nó, um deslocamento horizontal e outro vertical, a soma das massas mi em cada direção, tem que ser igual a m =  A L. A matriz de massa consistente desse elemento obtida com o uso de (9.8) é dada por: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ␳ At ⎢ M= ⎢ 12 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

2 0 1 0 1 0

0 2 0 1 0 1

1 0 2 0 1 0

0 1 0 2 0 1

1 0 1 0 2 0

0 1 0 1 0 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

(9.14)

9.5 Matriz de massa do elemento Serendipity quadrilateral de 4 nós Uma matriz de massa concentrada para esse elemento pode ser definida colocando-se um quarto da massa total em cada termo dos 8 termos da diagonal da matriz. Cada um desses termos corresponde a um grau de liberdade do elemento, sendo 2 graus de liberdade por nó. Esse procedimento conduz à seguinte matriz de massa: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ␳ At ⎢ M= ⎢ 4 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

(9.15)

Capítulo 9 Análise dinâmica de estruturas

231

A matriz de massa consistente para um elemento Serendipity deve ser obtida por integração de Gauss de: M=∫

1

−1

∫

1

−1

␳ N (␰ ,␩ )t N (␰ ,␩ )t det J (␰ ,␩ )d␰ d␩ ;

(9.16)

sendo t a espessura do elemento.

9.6 Frequências e modos de vibração naturais A matriz de massa da estrutura pode ser obtida a partir das matrizes de massa dos elementos da malha usando a mesma técnica empregada para a montagem da matriz de rigidez global. A equação de equilíbrio da estrutura para a situação de vibrações livres, ou seja, sem cargas externas aplicadas ( f = 0) e não amortecidas (C = 0) e graus de liberdade não restringidos é: Kd + Md = 0;

(9.17)

Essa estrutura apresenta movimentos harmônicos da forma: d = d0 sin(w0t);

(9.18)

sendo d0 o vetor do modo de vibração e w0 a frequência natural associada. A derivada segunda do vetor d em relação ao tempo, fornece: d = −w02 d0 sin(w0 t)

;

(9.19)

Substituindo-se (9.18) e (9.19) em (9.17), e denominando-se  = w02, chega-se a: (K − M )d0 = 0;

(9.20)

Como no problema de cálculo da carga crítica estudado no Capítulo 8, aparece de novo um problema de autovalor. A solução desse problema fornece n (dimensão das matrizes K e M) autovalores i e n autovetores i que representam os modos próprios ou naturais de vibração, isto é, a forma que a estrutura vibra com frequência igual à raiz de i.

9.7 Matrizes de amortecimento Amortecimento em estruturas acontece devido a mecanismos dissipadores, tais como histerese do material, fricção em juntas e microfissuras no material. Apesar de o amortecimento não ser do tipo viscoso (amortecimento devido ao movimento de um corpo sólido

232

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

mergulhado em um fluido) ele é matematicamente tratado como tal, ou seja, representado pelo produto de uma constante de viscosidade do fluido c pela velocidade do corpo. A matriz de amortecimento C é convenientemente representada por uma função linear das matrizes K e M, ou seja: C = K + M;

(9.21)

Essa forma de representar o amortecimento, denominada amortecimento proporcional ou de Rayleigh, é conveniente porque a matriz definida em (9.21) é ortogonalizável, ou seja, pode ser transformada em uma matriz diagonal no espaço cuja base é formada pelos n autovetores do sistema (9.20). Isso é verdade porque as matrizes K e M também possuem essa propriedade, a qual é fundamental para a análise dinâmica modal em sistemas com vibrações forçadas, ou seja, com f ≠ 0. Para um sistema massa-mola, com massa m e mola de rigidez k oscilando livremente em um fluido de viscosidade c, o amortecimento crítico é dado por:

␰=

c 2 mw

;

(9.22)

Sendo w a frequência própria do sistema massa-mola não amortecido dada obtida em (9.20). ( k − ␭m)d = 0 → ␭ =

k m

para d ≠ 0 → w =

k m

;

(9.23)

O amortecimento crítico é o valor de c que muda o movimento da estrutura de oscilatório ou subcrítico ( ≤ 1) para não oscilatório ( = 1). Valores de  maiores do que 1 caracterizam movimento supercrítico de amplificação das oscilações. Se o coeficiente c for definido pela expressão de Rayleigh, tem-se: 1⎛ ␤ ⎞⎟ c = ␣ k + ␤m → 2 mw␰ = ␣ k + ␤m → ␰ = ⎜⎜⎜␣w + ⎟⎟ ; w ⎟⎟⎠ 2 ⎜⎝

(9.24)

O procedimento para se obter  e  é o seguinte: inicialmente, as n frequências próprias da estrutura wi são determinadas com a solução do problema de autovalor definido em (9.20). Em seguida, as duas primeiras frequências próprias (as duas menores) são utilizadas para se escrever o sistema de equações dado a seguir: ⎧ ⎪ ⎪ ␤ ⎞⎟ 1 ⎛⎜ ⎪ ⎪ ␰ = ⎜⎜␣ w1 + ⎟⎟⎟ ; ⎪ ⎪ w1 ⎟⎠ 2 ⎜⎜⎝ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ␤ ⎞⎟ 1 ⎛⎜ ⎪ ⎪ ␰ = ⎜⎜␣ w2 + ⎟⎟⎟ ; ⎪ ⎪ w2 ⎠⎟ 2 ⎜⎜⎝ ⎪ ⎪ ⎩

(9.25)

A solução do sistema definido em (9.25) fornece os coeficientes  e . O valor de  deve ser fixado para a determinação de  e . Esse valor depende do material da estrutura e do

Capítulo 9 Análise dinâmica de estruturas

233

nível de tensões. Em estruturas de aço rebitadas ou soldadas e estruturas de concreto armado e protendido, o valor de  varia de 2 a 15%. O engenheiro de projeto deve ser responsável pela definição do valor de  e, se necessário, deve recorrer a ensaios para obtê-lo.

9.8 Análise modal de estruturas para vibrações forçadas Seja a expressão (9.20) escrita, respectivamente, para dois autovalores diferentes ␭i e ␭j e seus autovetores associados ␾i e ␾j, (K − iM)␾i = 0;

(9.26)

(K − jM)␾j = 0;

(9.27)

A pré-multiplicação de (9.25) por jt e (9.26) por it fornece: ␾jt (K − iM)␾i = 0;

(9.28)

␾i (K − jM)␾j = 0;

(9.29)

t

Devido à simetria de K e M a soma de (9.28) e (9.29) pode ser escrita como: (i − j) ␾it M ␾j = 0;

(9.30)

Como i e j são diferentes pode-se concluir de (9.30) que: ␾it M ␾j = 0;

(9.31)

Substituindo-se (9.31) em (9.29), percebe-se que: ␾it K ␾j = 0;

(9.32)

Consequentemente, levando em conta (9.21), (9.31) e (9.32), chega-se a: ␾it C ␾j = ␾it (␣K + ␤M) ␾j = 0;

(9.33)

Grupando-se todos os n autovetores ␾i do sistema em uma única matriz de autovetores ⌽, ou seja, ⌽ = [␾1 ␾2 … ␾n];

(9.34)

é válido escrever, em vista do exposto, que: tK = Kd;

(9.35)

tM = Md;

(9.36)

tC = Cd;

(9.37)

234

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Onde Kd, Md e Cd são matrizes diagonais. Verifica-se assim, que a pré-multiplicação pela da transposta de e pós-multiplicação por , transforma as matrizes K, M e C em matrizes diagonais. Diz-se então que a matriz é ortogonal em relação a essas matrizes. Caso o vetor dos deslocamentos nodais d seja representado na base , ou seja: d = y;

(9.38)

onde o vetor y representa as coordenadas de d na base F. Derivação dos dois lados de (9.38) em relação ao tempo fornece: d = ⌽ y ;

(9.39)

d = ⌽ y ;

(9.40)

Substituindo-se (9.38), (9.39) e (9.40) em (9.9), chega-se a: K ⌽ y + C ⌽ y + M ⌽ y = f ;

(9.41)

Pré-multiplicando-se (9.41) pela transposta de , obtém-se:

⌽ t K ⌽ y + ⌽ t C ⌽ y + ⌽ t M ⌽ y = ⌽ t f ;

(9.42)

Devido à ortogonalidade de em relação às matrizes K, M e C, (9.42), pode-se reescrevê-la como: K d y + Cd y + M d y = fy;

(9.43)

onde fy = ⌽ t f

(9.44)

Diz-se que o sistema de equações diferencias definido em (9.43) é desacoplado porque as equações são independentes já que as matrizes Kd, Md e Cd são diagonais. Cada equação de (9.43) pode ser escrita para a componente i do vetor y como: K d yi + Cd y i + M d yi = fy ; i

i

i

i

(9.45)

Uma vez obtida a solução de (9.45) ao longo do tempo para cada componente i, as respostas em termos de deslocamento, velocidade e aceleração na base original pode ser recuperada com o uso, respectivamente de (9.38), (9.39) e (9.40). A técnica anteriormente descrita para a análise dinâmica de estruturas para vibrações forçadas é denominada de análise modal.

235

Capítulo 9 Análise dinâmica de estruturas

9.9 Análise dinâmica por algoritmo de integração direta Por conveniência, a equação de equilíbrio para a análise dinâmica (9.9) será reescrita aqui na seguinte forma: Ku + Cv + Ma = f(t);

(9.46)

onde K é a matriz de rigidez, C a matriz de amortecimento, M a matriz de massa e u, v e a são respectivamente, os vetores de deslocamento, de velocidade e de aceleração, e f(t) o vetor de cargas nodais aplicadas. Quando se usa algoritmos de integração direta para a solução do sistema de equações diferenciais de segunda ordem dado em (9.46), um sistema de equações algébricas deve ser resolvido em cada passo de tempo para se obter as respostas no fim do intervalo. O algoritmo de Newmark será usado nesse item para resolver (9.46) por integração direta. No método de Newmark as seguintes equações cinemáticas são adotadas: ⎧ ⎪ ⎤ ⎡⎛ 1 ⎞⎟ ⎪ ⎪ u1 = u0 + ⌬t v0 + ⌬t 2 ⎢⎢⎜⎜⎜ − ␣ ⎟⎟a0 + ␣a1 ⎥⎥ ; ⎪ ⎪ ⎟ ⎟⎠ ⎨ ⎥⎦ ⎢⎣⎜⎝ 2 ⎪ ⎪ ⎪ = + ⌬ t 1 − ␦ + ␦ v v {( ) a a } ⎪ 1 0 0 1 ⎪ ⎩

(9.47)

Em (9.47), t é o intervalo de tempo entre o instante inicial t0 e final t1, ou seja: ⌬t = t1 − t0;

(9.48)

u0, v0 e a0 são, respectivamente, o vetor de deslocamentos, velocidades e acelerações no instante inicial t0 enquanto que u1, v1 e a1 são as mesmas grandezas no instante t1. As variáveis  e  são os parâmetros do algoritmo. Um dos mais populares algoritmos da família dos algoritmos de Newmark é aquele que considera  = ½ e  = ¼. Esse algoritmo é incondicionalmente estável. Para esses valores de  e , as expressões (9.47) podem ser reescritas como: ⎧ ⎪ ⌬t 2 ⎪ ⎪ [a + a1 ]; u = u + ⌬ t v + ⎪ 0 0 ⎪ 1 4 0 ⎨ ⎪ ⌬t ⎪ v1 = v0 + {a0 + a1 } ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎩

(9.49)

Explicitando-se a1 na primeira das equações (9.49) e substituindo na segunda, obtém-se: ⎧ ⎪ 4 4 ⎪ ⎪ a = (u − u0 ) − v0 − a0 ; ⎪ ⎪ 1 ⌬t 2 1 ⌬t ⎨ ⎪ 2 ⎪ v1 = (u1 − u0 ) − v0 ⎪ ⎪ ⎪ ⌬t ⎪ ⎩

(9.50)

236

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Substituindo-se as expressões de v1 e a1 dadas em (9.50) na equação de equilíbrio dinâmico dada (9.46) para o instante t = t1, ou seja, Ku1 + Cv1 + Ma1 = f1;

(9.51)

e, reagrupando os termos, obtém-se: ⎤ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎢ K + 2 C + 4 M ⎥ u = ⎢ 2 C + 4 M ⎥ u + ⎢C + 4 M ⎥ v + Ma + f ; 0 1 1 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 ⌬t ⌬t ⎥⎥⎦ 0 ⌬t ⌬t ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⌬t ⎥⎦ ⎢⎣

(9.52)

A expressão (9.52) é resolvida em cada passo t fornecendo a solução no instante t1 em termos da carga f1 no instante t1 e das respostas u0, v0 e a0 no instante t0.

9.10 Exemplos de análise de vibrações livres 9.10.1 Cálculo da matriz de massa consistente, placa de estado plano, elemento Serendipity bilinear

Figura 9.1

Dimensões e malha do elemento estudado.

Capítulo 9 Análise dinâmica de estruturas

237

Pontos notáveis e pesos de Gauss: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␰ g = ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ ⎧ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎬; ␩ g = ⎨ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

Coordenadas nodais: x1 = 0; x2 = 2; x3 = 2; y1 = 0; y2 = 0; y3 = 1; Espessura :

t = 1;

⎫ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ; w␰ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ 3 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎭

1 1 1 1

⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ; w␩ = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

1 1 1 1

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

x4 = 0; y4 = 1;  = 100;

massa específica:

Matriz de coordenadas nodais: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ x=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

y 1 ⎤⎥ ⎥ x2 y 2 ⎥ ⎥ x3 y 3 ⎥ ⎥ x 4 y 4 ⎥⎦ x1

Funções de interpolação e suas derivadas: 1 N 1 (␰ ,␩ ) = ⋅ (1 − ␰ ) ⋅ (1 − ␩ ); 4 1 N 2 (␰ ,␩ ) = ⋅ (1 + ␰ ) ⋅ (1 − ␩ ); 4 1 N 3 (␰ ,␩ ) = ⋅ (1 + ␰ ) ⋅ (1 + ␩); 4 1 N 4 (␰ ,␩ ) = ⋅ (1 − ␰ ) ⋅ (1 + ␩ ); 4

N 1 (␰ ,␩ ),␰ = N 2 (␰ ,␩ ),␰ = N 3 (␰ ,␩ ),␰ = N 4 (␰ ,␩ ),␰ =

∂ ∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰

N 1 (␰ ,␩ ); N 2 (␰ ,␩ ); N 3 (␰ ,␩ ); N 4 (␰ ,␩ );

N 1 (␰ ,␩ ),␩ =

∂

N (␰ ,␩ ); ∂␩ 1 ∂ N 2 (␰ ,␩ ),␩ = N (␰ ,␩ ); ∂␩ 2 ∂ N 3 (␰ ,␩ ),␩ = N (␰ ,␩ ); ∂␩ 3 ∂ N 4 (␰ ,␩ ),␩ = N (␰ ,␩ ) ∂␩ 4

Matriz de interpolação N(,): ⎡ N (␰ ,␩ ) N 2 (␰ ,␩ ),␰ N 3 (␰ ,␩ ),␰ N 4 (␰ ,␩ ),␰ 0 0 0 0 ⎢ ,␰ N (␰ ,␩ ) = ⎢ 1 ⎢ N 1 (␰ ,␩ ),␰ N 2 (␰ ,␩ ),␰ N 3 (␰ ,␩ ),␰ N 4 (␰ ,␩ ),␰ 0 0 0 0 ⎢⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

238

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Matriz DNx(,): ⎡ N (␰ ,␩ ) ⎢ ,␰ DNx(␰ ,␩ ) = ⎢ 1 ⎢ N (␰ ,␩ ) ,␩ ⎢⎣ 1

N 2 (␰ ,␩ ),␰

N 3 (␰ ,␩ ),␰

N 2 (␰ ,␩ ),␩

N 3 (␰ ,␩ ),␩

N 4 (␰ ,␩ ),␰ ⎤⎥ ⎥ N 4 (␰ ,␩ ),␩ ⎥ ⎦⎥

Matriz jacobiana J(,): J(,) = DNx(,) ⋅ X Matriz inversa da jacobiana (,): (,) = J(,)−1 Cálculo do determinante da matriz jacobiana no ponto P(,): det J (,) = |J (,)| Matriz de massa consistente Mp(,) no ponto P(,): Mp(,) =  ⋅ N(,)T ⋅ N(,) ⋅ det J(,) ⋅ t Areap(,) = det J(,) Matriz de massa consistente M do elemento: 4

M = ∑ Mp(␰ gi ,␩ gi ) ⋅ w␰ i ⋅ w␩i i=1

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ M = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

44.444 0 22.222 0 11.111 0 22.222 0

0 44.444 0 22.222 0 11.111 0 22.222

22.222 0 44.444 0 22.222 0 11.111 0

0 22.222 0 44.444 0 22.222 0 11.111

11.111 0 22.222 0 44.444 0 22.222 0

0 11.111 0 22.222 0 44.444 0 22.222

22.222 0 11.111 0 22.222 0 44.444 0

4

Area = ∑ Areap(␰ gi ,␩ gi ) ⋅ w␰ i ⋅ w␩i ; Area = 2 i=1

Massa total do elemento: massa = Area ⋅  ⋅ t;

massa = 400

Massa total associada aos deslocamentos horizontais Mh: 8

Mh = ∑ ( M1,i + M3 ,i + M5 ,i + M7 ,i ); Mh = 400 i=1

0 22.222 0 11.111 0 22.222 0 44.444

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Capítulo 9 Análise dinâmica de estruturas

239

9.10.2 Cálculo de frequências e modos próprios, placa de estado plano, elemento Serendipity bilinear

Figura 9.2 Dimensões e malha do elemento de placa livre para calculo das frequências e modos próprios.

Pontos notáveis e pesos de Gauss: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␰ g = ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ ⎧ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪; ␩ g = ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

Coordenadas nodais: x1 = 0; x2 = 2; x3 = 2;

x4 = 0;

y1 = 0; y2 = 0;

y4 = 1;

y3 = 1;

⎫ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ; w␰ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎭

1 1 1 1

⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ; = w ␩ ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

1 1 1 1

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

240

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Espessura :

t = 1;

massa específica:

 = 100;

Matriz de coordenadas nodais: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ X=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

y 1 ⎤⎥ ⎥ x2 y 2 ⎥ ⎥ x3 y 3 ⎥ ⎥ x 4 y 4 ⎥⎦ x1

Funções de interpolação e suas derivadas: 1 N 1 (␰ ,␩ ) = ⋅ (1 − ␰ ) ⋅ (1 − ␩ ); 4 1 N 2 (␰ ,␩ ) = ⋅ (1 + ␰ ) ⋅ (1 − ␩ ); 4 1 N 3 (␰ ,␩ ) = ⋅ (1 + ␰ ) ⋅ (1 + ␩); 4 1 N 4 (␰ ,␩ ) = ⋅ (1 − ␰ ) ⋅ (1 + ␩ ); 4

N 1 (␰ ,␩ ),␰ = N 2 (␰ ,␩ ),␰ = N 3 (␰ ,␩ ),␰ = N 4 (␰ ,␩ ),␰ =

∂ ∂␰ ∂

N 1 (␰ ,␩ );

∂␰ ∂ ∂␰ ∂ ∂␰

N 2 (␰ ,␩ ); N 3 (␰ ,␩ ); N 4 (␰ ,␩ );

N 1 (␰ ,␩ ),␩ =

∂

N (␰ ,␩ ); ∂␩ 1 ∂ N 2 (␰ ,␩ ),␩ = N (␰ ,␩ ); ∂␩ 2 ∂ N 3 (␰ ,␩ ),␩ = N (␰ ,␩ ); ∂␩ 3 ∂ N 4 (␰ ,␩ ),␩ = N (␰ ,␩ ); ∂␩ 4

Matriz de interpolação N(,): ⎡ N (␰ ,␩ ) N 2 (␰ ,␩ ),␰ N 3 (␰ ,␩ ),␰ N 4 (␰ ,␩ ),␰ 0 0 0 0 ⎢ ,␰ N (␰ ,␩ ) = ⎢ 1 ⎢ N 1 (␰ ,␩ ),␰ N 2 (␰ ,␩ ),␰ N 3 (␰ ,␩ ),␰ N 4 (␰ ,␩ ),␰ 0 0 0 0 ⎣⎢

Matriz de interpolação DNx(,):

⎡ N (␰ ,␩ ) ⎢ ,␰ DNx(␰ ,␩ ) = ⎢ 1 ⎢ N (␰ ,␩ ) ,␩ ⎢⎣ 1

N 2 (␰ ,␩ ),␰

N 3 (␰ ,␩ ),␰

N 2 (␰ ,␩ ),␩

N 3 (␰ ,␩ ),␩

N 4 (␰ ,␩ ),␰ ⎤⎥ ⎥ N 4 (␰ ,␩ ),␩ ⎥ ⎦⎥

Matriz jacobiana J(,): J(,) = DNx(,) ⋅ X Inversa da matriz jacobiana (,): (,) = J(,)−1 Cálculo do determinante da matriz Jacobiana no ponto P(,): det J (,) = |J (,)|

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

241

Capítulo 9 Análise dinâmica de estruturas

Matriz de massa consistente Mp(,) no ponto P(,): Mp(,) =  ⋅ N(,)T ⋅ N(,) ⋅ det J(,) ⋅ t Areap(,) = det J(,) Matriz de massa consistente M do elemento: 4

M = ∑ Mp( ␰ gi , ␩ gi ) ⋅ w␰ i ⋅ w␩i i=1

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ M = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

44.444 0 22.222 0 11.111 0 22.222 0

0 44.444 0 22.222 0 11.111 0 22.222

22.222 0 44.444 0 22.222 0 11.111 0

0 22.222 0 44.444 0 22.222 0 11.111

11.111 0 22.222 0 44.444 0 22.222 0

0 11.111 0 22.222 0 44.444 0 22.222

22.222 0 11.111 0 22.222 0 44.444 0

0 22.222 0 11.111 0 22.222 0 44.444

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

4

Area = ∑ Areap(␰ gi ,␩ gi ) ⋅ w␰ i ⋅ w␩i ; Area = 2 i=1

Massa total do elemento: massa = Area ⋅  ⋅ t;

massa = 400

Massa total associada aos deslocamentos horizontais Mh: 8

Mh = ∑ ( M1,i + M3 ,i + M5 ,i + M7 ,i ); Mh = 400 i=1

⎤ ⎡ N (␰ ,␩ ) 0 0 0 0 N 2 (␰ ,␩ ),␰ N 3 (␰ ,␩ ),␰ N 4 (␰ ,␩ ),␰ ⎥ ⎢ 1 ,␰ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ N (␰ ,␩ ) N 2 (␰ ,␩ ),␩ N 3 (␰ ,␩ ),␩ N 4 (␰ ,␩ ),␩ 0 0 0 0 1 ,␩ ⎥ ⎢ DNd(␰ ,␩ )= ⎢ ⎥ ␰ , ␩ ) 0 N ( ␰ , ␩ ) 0 N ( ␰ , ␩ ) 0 N ( ␰ , ␩ ) N ( 0 ⎢ 1 ,␰ 2 ,␰ 3 ,␰ 4 ,␰ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ N 2 (␰ ,␩ ),␩ N 3 (␰ ,␩ ),␩ N 4 (␰ ,␩ ),␩ ⎥ 0 N 1 (␰ ,␩ ),␩ 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣

Matrizes u(,) e H: ⎡ ⌫ (␰ ,␩ ) ⎢ 1 ,1 ⎢ ⎢ ⌫ (␰ ,␩ )2 ,1 ⌫ u (␰ ,␩ ) = ⎢⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

⌫ (␰ ,␩ )1,2

0

0

⌫ (␰ ,␩ )2 ,2

0

0

0

⌫ (␰ ,␩ )1,1

⌫ (␰ ,␩ )1,2

0

⌫ (␰ ,␩ )2 ,1 ⌫ (␰ ,␩ )2 ,2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

242

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

⎤ ⎡ ⎢ 1 0 0 0 ⎥ H = ⎢⎢ 0 0 0 1 ⎥⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣ 0 1 1 0 ⎥⎦

Matriz de compatibilidade cinemática B(,): B(,) = H ⋅ u(,) ⋅ DNd(,) Problema de estado plano de tensões. Parâmetros mecânicos: v = 0,2;

E = 20000;

Matriz constitutiva C: ⎡ ⎢ 1 v ⎢ E ⎢⎢ v 1 C= 1 − v 2 ⎢⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ 1− v ⎥ ⎥ 2 ⎥⎦ 0

Cálculo da matriz de rigidez no ponto de Gauss P(,): Kp(,) = B(,)T ⋅ C ⋅ B(,) ⋅ t ⋅det J(,) Matriz de rigidez do elemento: npg

K = ∑ Kp(␰ pgi ,␩ pgi ) ⋅ w␰ i ⋅ w␩i i=1

Matrizes de massa e de rigidez da placa livre: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ M=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

44.444 0 22.222 0 11.111 0 22.222 0

0 44.444 0 22.222 0 11.111 0 22.222

22.222 0 44.444 0 22.222 0 11.111 0

0 22.222 0 44.444 0 22.222 0 11.111

11.111 0 22.222 0 44.444 0 22.222 0

0 11.111 0 22.222 0 44.444 0 22.222

22.222 0 11.111 0 22.222 0 44.444 0

0 22.222 0 11.111 0 22.222 0 44.444

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Capítulo 9 Análise dinâmica de estruturas

243

⎫ ⎧⎪ ⎪⎪ 1, 806×10 4 6, 25×103 −1, 389×103 −2 , 083×103 −9, 028×103 −6, 25×103 −7 , 639×103 2 , 083×103 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ 3 4 3 4 3 4 3 4 ⎪⎪ 6, 25×10 3, 056×10 2 , 083×10 1, 111×10 −6, 25×10 −1, 528×10 −2 , 083×10 −2 , 639×10 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ 3 3 4 3 3 3 3 6, 25×103 ⎪⎪ ⎪⎪ −1, 389×10 2 , 083×10 1, 806×10 −6, 25×10 −7 , 639×10 −2 , 083×10 −9, 028×10 ⎪⎪ ⎪⎪ −2, 083×103 1, 111×10 4 −6, 25×103 3, 056×10 4 2 , 083×103 −2 , 639×10 4 6, 25×103 −1, 528×10 4 ⎪⎪ ⎪ K =⎨ ⎬ ⎪⎪ −9, 028×103 −6, 25×103 −7 , 639×103 2 , 083×103 1, 806×10 4 6, 25×103 −1, 389×103 −2 , 083×103 ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ −6, 25×103 −1, 528×10 4 −2 , 083×103 −2 , 639×10 4 6, 25×103 3, 056×10 4 2 , 083×103 1, 111×104 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ −7 , 639×103 −2, 083×103 −9, 028×103 6, 25×103 −1, 389×103 2 , 083×103 1, 806×10 4 −6, 25×103 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 2 , 083×103 −2 , 639×10 4 6, 25×103 −1, 528×10 4 −2 , 083×103 1, 111×10 4 −6, 25×103 3, 056×10 4 ⎪⎪⎪ ⎭ ⎩

Cálculo das frequências próprias e dos modos próprios de placa livre: Vetor dos autovalores ␭ do problema de autovalor generalizado: K = ␭M ⎫ ⎧⎪ ⎪⎪ 1, 25×103 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 592 , 239 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ 3 ⎪⎪ 1, 625×10 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ 2 , 533×103 ⎪⎪ ␭ = ⎪⎨ ⎬ ⎪⎪ 2 , 75×103 ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 1, 967 ×10−14 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ −1, 772 ×10−14 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 5, 372 ×10−14 ⎪⎪⎪⎭ ⎩

Os três autovalores nulos são associados aos movimentos de corpo rígido e devem ser descartados. A frequência circular fundamental será: w1 = ␭ min = 592 , 239 ; w1 = 24 , 336

Frequência natural fundamental: f1 =

w1 ; f = 3, 873 2␲ 1

Período fundamental: T1 =

1 f1

; T1 = 0, 258

244

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Matriz dos autovetores ⌽: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⌽ = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

0, 447 0, 224 0, 447 − 0, 224 − 0, 447 − 0, 224 − 0, 447 0, 224

0, 496 − 0, 5 0, 065 0 − 0 , 065 0 0, 496 − 0, 5 − 0, 496 0, 5 − 0, 065 0 − 0, 065 0 0, 496 0, 5 − 0, 496 − 0, 5 − 0, 065 0 0, 065 0 − 0, 496 − 0, 5 0, 496 0, 5 0, 065 0 0, 065 0 − 0, 496 0, 5

− 0, 492 0, 267 − 0, 036 − 0, 487 − 0, 492 0, 267 −3 − 7 , 429×10 0, 401 − 0, 506 − 0, 177 − 7 , 429×10−3 0, 401 − 0.506 − 0, 177 − 0, 036 − 0, 487

0, 059 − 0, 61 0, 059 0, 148 − 0, 32 0, 148 − 0, 32 − 0, 61

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Matrizes de massa e de rigidez de placa vinculada:

Figura 9.3 Dimensões e malha do elemento de placa vinculada para calculo das frequências e modos próprios.

Observação: para a introdução dos vínculos nas matrizes de massa e rigidez, as quatro primeiras linhas e colunas relativas aos graus de liberdade vinculados serão retiradas. ⎡ 44.444 0 22.222 0 ⎢ ⎢ 0 44 . 444 0 22 . 222 M=⎢ ⎢ 22.222 0 44.444 0 ⎢ ⎢⎣ 0 22.222 0 44.444 ⎧ 1, 806×10 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6, 25×103 K =⎨ ⎪ −1, 389×103 ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −2 , 083×10

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

6, 25×103 −1, 389×103 −2 , 083×103 3, 056×10 4 2 , 083×103 1, 111×10 4 3 4 −6, 25×103 1, 806×10 2 , 083×10 3, 056×10 4 1, 111×10 4 −6, 25×103

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Capítulo 9 Análise dinâmica de estruturas

Cálculo das frequências próprias e dos modos próprios de placa vinculada: „Autovalores ␭:

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␭ = ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

584 , 71 182 , 416 915, 56 942 , 911

⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

„Frequência circular fundamental:

w1 = 182 , 416 ; w1 = 13, 506 „Frequência natural fundamental:

f1 =

w1 2␲

; f1 = 2 , 15

„Período fundamental:

T1 =

1 f1

; T1 = 0, 465

„Autovetores ⌽.

⎡ ⎢ ⎢ ⌽ = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

0, 383 0, 622 −0, 691 −0, 126 ⎤⎥ −0, 594 −0, 337 −0, 149 −0, 696 ⎥⎥ −0, 383 0, 622 0, 691 −0, 126 ⎥⎥ −0, 594 0, 337 −0, 149 0, 696 ⎥⎥⎦

„Coeficientes de Rayleigh.

⌳ = ⌽T ⋅ K ⋅ ⌽ ⋅ (⌽T ⋅ M ⋅ ⌽)−1 i = 1..4 ⎫ ⎧ ⎪ 584 , 71 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 182 , 416 ⎪ ⎪ ⎪ coef Ri = ⌳i ,i ; coef R = ⎨ ⎬ ⎪ 915, 56 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 942 911 , ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

245

246

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

9.10.3 Cálculo da matriz de amortecimento, placa de estado plano, elemento Serendipity bilinear Matrizes de massa e de rigidez de placa vinculada:

Figura 9.4 Dimensões e malha do elemento de placa vinculada para cálculo da matriz de amortecimento.

⎡ 0 22.222 0 ⎢ 44.444 ⎢ 0 44 . 444 0 22 . 222 ⎢ M=⎢ ⎢ 22.222 0 44.444 0 ⎢ ⎢⎣ 0 22.222 0 44.444 ⎧ 1, 806×10 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6, 25×10 4 K =⎨ ⎪ −1, 389×103 ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −2 , 083×10

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

6, 25×10 4 −1, 389×103 −2 , 083×103 3, 056×10 4 2 , 083×103 1, 111×10 4 1, 806×10 4 −6, 25×10 4 2 , 083×103 4 −6, 25×10 4 3, 056×10 4 1, 111×10

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Autovalores ␭ Autovetores ⌽ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␭ = ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

584 , 71 182 , 416 915, 56 942 , 911

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

⎡ 0, 383 0, 622 − 0, 691 − 0, 126 ⎤⎥ ⎢ ⎢ − 0, 594 − 0, 337 − 0, 149 − 0, 696 ⎥ ⎥ ⌽ = ⎢⎢ 0, 622 0, 691 − 0, 126 ⎥⎥ ⎢ − 0, 383 ⎢ − 0, 594 0, 696 ⎥⎥⎦ 0, 337 − 0, 149 ⎢⎣

247

Capítulo 9 Análise dinâmica de estruturas

Duas frequências circulares menores. Frequência circular fundamental: w1 = 182 , 416 ;

w1 = 13, 506

w1 = 584 , 71 ;

w 2 = 24 , 181

Amortecimento crítico:  = 0,05. Cálculo dos parâmetros  e : ⎡ ⎢ w1 1 ⎢⎢ W= ⎢ 2⎢ ⎢ w2 ⎢⎣

⎤ ⎥ ⎥ w1 ⎥ ; 1 ⎥⎥ ⎥ w 2 ⎥⎦ 1

⎧ ␰ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ac = ⎪ ⎨ ⎬; ⎪ ⎪ ␰ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

 = 2,653 × 10−3;

⎧ ⎪ ␣ ⎫⎪⎪ = W −1 ⋅ ac ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ␤ ⎪ ⎭

 = 0,867

Matriz de amortecimento: C=⋅K+⋅M ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ C =⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

86, 436 16, 584 15, 572 −5, 527 16, 584 119, 604 5, 527 48,7737 15, 572 5, 527 86, 436 −16, 584 −5, 527 48, 737 −16, 584 119, 604

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Propriedade de ortogonalização ou diagonalização de C: ⎡ 129, 596 4 , 784 ×10−15 −1, 11×10−14 −2 , 685×10−14 ⎢ ⎢ −15 76, 44 −1, 111×10−14 −1, 409×10−14 ⌽ T ⋅ C ⋅⌽ = ⎢⎢ 6, 474 ×10−14 −15 −9, 269×10 79, 725 −1, 605×10−13 ⎢ −1, 257 ×10 ⎢ −14 −1, 474 ×10−14 −1, 58×10−13 79, 575 ⎢⎣ −2 , 198×10

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

9.10.4 Exemplo de análise modal Nesse exemplo, a resposta dinâmica de um pórtico plano (modelo “shear building”) de 2 pavimentos para uma carga transiente será estudada pelo método da análise modal. O modelo shear building caracteriza-se por considerar a rigidez das vigas como infinita, tanto à flexão como para deformações axiais, assim como as deformações axiais dos pilares. Com essas hipóteses, só há um grau de liberdade por andar, ou seja, o deslocamento horizontal.

248

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Figura 9.5

Shear building estudado.

Dados: E = 20x10 7 (módulo de elasticidade do material dos pilares); b = 0.2 (largura da seção transversal dos pilares); h = 0.2 (altura da seção transversal dos pilares); L = 4 (altura dos pilares); m1 = 1.000 (massa total do primeiro pavimento); m2 = 800 (massa total do segundo pavimento); p0 = 2 (amplitude da força de excitação transiente); w0 = 0,5 (frequência da força de excitação transiente);  = 0,1 (amortecimento crítico); Força transiente p(t): p(t) = p0 ⋅ sin(0,5⋅t); Calculo da rigidez dos dois pilares ao deslocamento horizontal das extremidades: ⎛ 12 ⋅ E ⋅ I ⎞⎟ ⎟⎟ ; k = 2⎜⎜⎜ ⎜⎝ L2 ⎟⎟⎠

Capítulo 9 Análise dinâmica de estruturas

249

Gráfico da força transiente:

Figura 9.6

Gráfico da força transiente.

Matrizes de rigidez K, de massa M e de amortecimento C e vetor das forças solicitantes f (t): ⎡ K = ⎢ 2 ⋅ k −k ⎢ −k k ⎣ ⎡ 4 K = ⎢⎢ 8 ×10 4 ⎣ −4 ×10

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

−4 ×10 4 4 ×10 4

⎡ m 0 ⎤⎥ ⎢ M=⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 m2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎤ ⎡ 1×103 0 ⎥; M = ⎢ ⎥ ⎢ 0 800 ⎣ ⎦

⎤ ⎥; ⎥ ⎦

⎡ C=⎢ 0 0 ⎢ 0 0 ⎣ ⎪⎧ p(t) f (t) ⎪⎨ ⎪⎪ 0 ⎩

Cálculo dos autovalores e autovetores do sistema: ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ␭ = ⎪⎨ 112 , 17 ⎪⎬ ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 17 , 83 ⎪ ⎭

⎡ ⌽ = ⎢⎢ 0, 779 − 0, 541 0, 841 ⎢⎣ 0, 627

Coeficientes de Rayleigh: ⎡ ␾ ( 1)T ⋅ K ⋅␾ ( 1) ⎤ ⎥; ␭1 = ⎢⎢ T ⎥ ⎢⎣ ␾ ( 1) ⋅ M ⋅␾ ( 1) ⎥⎦

1 = 112,17

⎡ ␾ ( 2 )T ⋅ K ⋅␾ ( 2 ) ⎤ ⎥; ␭2 = ⎢⎢ T (2) (2) ⎥ ⎢⎣ ␾ ⋅ M ⋅␾ ⎥⎦

2 = 17,83

⎤ ⎥; ⎥ ⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎪⎫⎪ ⎬ ⎪⎪ ⎭

250

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Cálculo das frequências próprias:

␻1 = ␭1 ;

␻1 = 10, 591; ␻2 = ␭2 ;

␻1 = 4 , 223 ;

Definição do vetor de amortecimento crítico : ⎧⎪ ␰ ⎫ ⎪ ⎪; ␰ = ⎪⎨ ⎬ ⎪⎪ ␰ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

Cálculo dos coeficientes  e  de amortecimento proporcional de Rayleigh: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ W= ⎪ ⎨ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

1

␻1 1 ␻2

⎫ ⎪ ␻1 ⎪⎪⎪ ⎧ ␣ ⎫ ⎪ ⎪ −1 ⎪ ;⎪ ⎪ ⎬⎪ ⎨ ⎬ = W ⋅ ␰ ; a = 0, 604 ; ␤ = 0, 014 ⎪ ⎪ ⎪ ␤ ⎪ ⎭ ␻2 ⎪⎪⎪ ⎩⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Cálculo da matriz de amortecimento C: ⎡ 1, 684 ×103 −540, 044 C = a ⋅ M + ␤ ⋅ K ; C = ⎢⎢ 3 ⎢⎣ −540, 044 1, 023×10

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Matrizes do sistema desacoplado: ⎡ 1, 034 ×10 4 −9, 4 ×10−12 ⎤⎥ Kd = ⌽ T ⋅ K ⋅⌽ ; Kd = ⎢⎢ ⎥ −12 1, 531×10 4 ⎥⎦ ⎢⎣ −3, 942 ×10 ⎡ 1, 952 ×103 4 , 063×10−14 ⎤⎥ Cd = ⌽ T ⋅ C ⋅⌽ ; Cd = ⎢⎢ ⎥ −14 725, 06 ⎥⎦ ⎢⎣ −2 , 287 ×10 ⎡ 921, 447 −6, 006×10−14 Md = ⌽ T ⋅ M ⋅⌽ ; Md = ⎢⎢ −14 858, 553 ⎢⎣ −1, 207 ×10

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Frequências wi , razões de frequências i e amortecimentos ci do sistema desacoplado: m1 = 921, 447 ;

m2 = 858, 553

k1 = 1, 034 ×10 ; k 2 = 1, 034 ×10 4 5

w1 =

k1 m1

w1 = 10,591;

; ␤1 =

w0 w1

; w2 =

1 = 0,047;

k2 m2

; ␤2 =

w2 = 4,223;

w0 w2

;

2 = 0,118;

Capítulo 9 Análise dinâmica de estruturas

c1 = 1, 952 ×103 ;

c1 m1

= 2 , 118 ; c2 = 725, 06 ;

2 ⋅  ⋅ w1 = 2,118;

c2 m2

251

= 0, 845 ;

2 ⋅ 2 ⋅ w2 = 0,845

Amplitude das forças no sistema desacoplado: ␾1 = ␾(1) (primeira coluna de ⌽); ␾2 = ␾(2) (segunda coluna de ⌽); ⎧ ⎧ ⎫ ⎪ 1 ⎫ ⎪ ⎪ T⎪ ⎪ f y1 = p0 ((␾ 1))T ⎪ ⎨ ⎬ ; f y 2 = p0 ((␾ 2)) ⎨⎪ 1 ⎪ ⎬; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 ⎪ ⎩ 0 ⎪ ⎭ ⎭ f y1 = 1, 559 f y 2 = 1, 082

Resposta no sistema desacoplado: y 1(t) =

⎞⎟ fy1 ⎛⎜ 1 ⎟⎟((1 − (␤ )2 )sin(w ⋅ t) − 2 ⋅ ␰ ⋅ ␤ ⋅ cos(w ⋅ t)) ⎜⎜ ⎟ 1 0 1 1 0 2 2 k1 ⎜⎜⎝ (1 − (␤1 ) + (2 ⋅ ␰ 1 ⋅ (␤1 ) ⎟⎟⎠

y 2(t) =

⎞⎟ fy1 ⎛⎜ 1 ⎟⎟((1 − (␤ )2 )sin(w ⋅ t) − 2 ⋅ ␰ ⋅ ␤ ⋅ cos(w ⋅ t)) ⎜⎜ ⎟ 2 0 2 2 0 k 2 ⎜⎜⎝ (1 − (␤2 )2 + (2 ⋅ ␰ 2 ⋅ (␤2 )2 ⎟⎟⎠

Resposta no sistema acoplado: ⎧ y 1(t) ⎪ d(t) = ⌽ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ y 2(t)

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Respostas em deslocamento nos instantes t = 1, 2, 3, 4 e 5: ⎧ ⎪ 2 , 302 ×10−5 d(1) = ⎪ ⎨ −5 ⎪ ⎪ ⎩ 2 , 272 ×10

⎧ ⎫ −5 ⎪ ⎪ d(2) = ⎪⎪ 4 , 142 ×10 ⎨ ⎬ − ⎪⎪ 4 , 121×10 5 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

⎧ ⎪ 4 , 579×10−5 d( 4) = ⎪ ⎨ −5 ⎪ ⎪ ⎩ 4 , 587 ×10

⎧ 4 , 969×10−5 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ d(3) = ⎪ ⎨ ⎬ −5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4 , 962 ×10 ⎭

⎧ 3, 068×10−5 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ d(5) = ⎪ ⎨ ⎬ −5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 3, 089×10 ⎭

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

9.10.5 Exemplo de análise pelo algoritmo de integração numérica de Newmark O mesmo pórtico estudado no item anterior será agora analisado pelo método de integração direta. O algoritmo de Newmark apresentado no item 9.9 será utilizado na análise.

252

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Os dados são os mesmos do exemplo anterior, logo: ⎡ K = ⎢ 2⋅k ⎢ −k ⎣ ⎡ 4 K = ⎢ 8×10 4 ⎢ −4 ×10 ⎣

−4 ×10 4 4 ×10 4

⎤ ⎥; ⎥ ⎦

−k k

⎡ m M = ⎢⎢ 1 ⎢⎣ 0

⎤ ⎥; ⎥ ⎦

⎡ 3 M = ⎢ 1×10 ⎢ 0 ⎣

0 800

0 m2

⎤ ⎥; ⎥ ⎥⎦

⎡ 3 ⎤ ⎥ ; C = ⎢ 1, 684 ×10 ⎢ −540, 044 ⎥ ⎢⎣ ⎦

−540, 044 1, 023×103

Frequências naturais fi e períodos próprios Ti: f1 =

␻1 2 ⋅␲

T1 =

1 f1

f1 = 1, 686 ;

;

f2 =

␻2 2 ⋅␲

; T1 = 0, 593 ; T2 =

1 f2

;

f 2 = 0, 672 ;

; T2 = 1, 488 ;

Intervalo de integração máximo recomendável tmax:

⌬tmax =

Tmin 5

; ⌬tmax = 0, 119 ;

Algoritmo de integração direta de Newmark (aceleração constante). Condições iniciais: ⎧ 0 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ u0 = ⎪ ⎨ ⎬; ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 ⎪ ⎭

⎧ 0 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ v0 = ⎪ ⎨ ⎬; ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 ⎪ ⎭

⌬t = 0,1 (adotado);

⎧ 0 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ a0 = ⎪ ⎨ ⎬; ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 ⎪ ⎭

t0 = 0

Matriz de rigidez efetiva Kb: K b= K+

2 4 ⋅C + ⋅M ⌬t ⌬t 2

Vetor de pseudoforça q: ⎛2 ⎞⎟ 2 q(t 1 , u0 , v0 , a0 ) = ⎜⎜⎜ ⋅ C + ⋅ M ⎟⎟ ⋅ u0 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ ⌬t ⌬t

t1 = t0 + ⌬t;

⎛ ⎞ ⎜⎜C + 2 ⋅ M⎟⎟⋅ v + M ⋅ a + f (t ) ⎟⎟ 0 ⎜⎜ 0 1 ⎟⎠ ⌬t ⎝

t1 = 0,1

⎤ ⎥; ⎥ ⎥⎦

Capítulo 9 Análise dinâmica de estruturas

253

Cálculo dos vetores de deslocamentos u1, velocidades v1 e acelerações a1 no fim do passo: ⎫ ⎧⎪ 1, 972 ×10−7 ⎪ ⎪ u1 = ⎪ ⎨ ⎬ − 8 ⎪ ⎪ 2 , 633 10 × ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ 3, 944 ×10−6 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ v1 = ⎪ ⎨ ⎬ −7 ⎪ ⎪ 6 × 10 , 5 26 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ −5 ⎫ ⎪ ⎪ 7 , 888×10 ⎪ a1 = ⎪ ⎨ ⎬ −5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1, 053×10 ⎪ ⎭

u1 = Kb−1 ⋅ q(t1 , u0 , v0 , a0 ); v1 = a1 =

4

⌬t

2

2 (u − u0 ) v0 ; ⌬t 1

(u1 − u0 ) −

4

⌬t

v0 − a0 ;

Controle de equilíbrio em t1: ⎧ 0 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ K ⋅ u1 + C ⋅ v1 + M ⋅ a1 − f (t1 ) = ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

Força total:

Força resistente estática: ⎧ ⎪ 0, 015 K ⋅ u1 = ⎪ ⎨ ⎪ − ×10−3 6 835 , ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎧⎪ f (t1 ) = ⎨⎪ 0, 1 ⎪ ⎪ ⎩ 0

Inicialização do segundo passo: u0 = u1;

v0 = v1;

a0 = a1;

t1 = t0 + ⌬t;

t0 = t1

t1 = 0,2

Cálculo dos vetores de deslocamentos u1, velocidades v1 e acelerações a1 no fim do passo: u1 = Kb−1 ⋅ q(t1 , u0 , v0 , a0 ); v1 = a1 =

4

⌬t

2

2 (u − u0 )v0 ; ⌬t 0

(u1 − u0 ) −

4

⌬t 2

v0 − a 0 ;

⎧⎪ 1, 049×10−6 ⎪ ⎫ ⎪ u1 = ⎪ ⎨ ⎬ − 7 ⎪ ⎪ 2 , 204 10 × ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ 1, 31×10−5 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ v1 = ⎪ ⎨ ⎬ −6 ⎪ ⎪ × 10 , 3 354 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ −4 ⎫ ⎪ ⎪ 1, 043×10 ⎪ a1 = ⎪ ⎨ ⎬ −5 ⎪ ⎪ 4 , 601×10 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

Controle de equilíbrio em t1: ⎧ 0 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ K ⋅ u1 + C ⋅ v1 + M ⋅ a1 − f (t1 ) = ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

Força resistente estática:

Força total:

⎧ ⎪ 0, 075 K ⋅ u1 = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ −0, 033

⎧ 0, 2 ⎪ f (t1 ) = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 0

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

254

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Inicialização do terceiro passo: u0 = u1;

v0 = v1;

a0 = a1;

t1 = t0 + ⌬t;

t0 = t1

t1 = 0,3

Cálculo dos vetores de deslocamentos u1, velocidades v1 e acelerações a1 no fim do passo: u1 = Kb−1 ⋅ q(t 1 , u0 , v0 , a0 ); v1 = a1 =

4

⌬t

2

2

⌬t

( u0 − u0 ) v 0 ;

(u1 − u0 ) −

4

⌬t 2

v 0 − a0 ;

⎧⎪ 2 , 816×10−6 ⎫ ⎪ ⎪ u1 = ⎪ ⎨ ⎬ −8 ⎪ ⎪ 9 , 127 10 × ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎪ 2 , 223×10−5 ⎪ ⎪ v1 = ⎪ ⎨ ⎬ −5 ⎪ ⎪ 9 × 10 , 1 04 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎪ 7 , 832 ×10−5 ⎪ ⎪ a1 = ⎪ ⎨ ⎬ −5 ⎪ ⎪ 9 , 676 10 × ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

Controle de equilíbrio em t1: ⎧ ⎪ 0 ⎫ ⎪ ⎪ K ⋅ u1 + C ⋅ v1 + M ⋅ a1 − f (t1 ) = ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 ⎪ ⎭

Força total:

Força resistente estática: ⎪⎧ 0, 189 K ⋅ u1 = ⎪⎨ ⎪⎪ −0, 076 ⎩

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎧ 0, 299 ⎪ f (t1 ) = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ 0

u0 = u1;

v0 = v1;

a0 = a1;

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

t0 = t1

Observação: as iterações continuam com incremento de ⌬t = 0,1 até o instante t = 5. Os resultados nos instantes t = 1, 2, 3, 4 e 5 são: ⎧ ⎪ d(1) = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ d( 4) = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

2 , 555×10−5 2 , 657 ×10−5 4 , 694 ×10−5 4 , 764 ×10−5

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ d(2) = ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ d(5) = ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

3, 993×10−5 3, 892 ×10−5 3, 049×10−5 3, 053×10−5

⎧ 5, 083×10−5 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ d(3) = ⎪ ⎨ ⎬ −5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 5, 126×10 ⎭ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

Para efeito de comparação, os resultados da análise modal nos instantes correspondentes são: ⎧ ⎪ d(1) = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ d( 4) = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

2 , 302 ×10−5 2 , 272 ×10−5 4 , 579×10−5 4 , 587 ×10−5

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ d(2) = ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ d(5) = ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

4 , 142 ×10−5 4 , 121×10−5 3, 068×10−5 3, 089×10−5

⎧ 4 , 969×10−5 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ d(3) = ⎪ ⎨ ⎬ −5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4 , 962 ×10 ⎭ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

CAPÍTULO

10

Análise com comportamento não linear do material

A

lei de Hooke que considera uma relação constitutiva linear entre as deformações e as tensões só é válida para baixos níveis de tensão para a maioria dos materiais usados nas Engenharias Civil e Mecânica. Esses materiais entram em colapso por ruptura ou escoamento quando as componentes de tensão atingem um determinado nível. Perto do nível de tensões correspondente ao colapso, os materiais param de seguir a lei de Hooke e apresentam relações constitutivas não lineares. A teoria da plasticidade procura explicar o comportamento dos materiais na fase posterior ao comportamento linear elástico. Nesse capítulo um comportamento não linear mais simples será adotado para explicar como se deve proceder para realizar uma análise de estrutura onde o material tenha comportamento não linear. O material será considerado aqui como tendo um comportamento não linear elástico, ou seja, apesar de apresentar uma relação não linear entre tensão e deformação, o material tem um comportamento igual tanto na fase de carregamento quanto na de descarregamento. Nesse caso, não há dissipação de energia e é possível associar a um estado de deformação da estrutura uma energia de deformação e uma energia potencial total. Apesar de se tratar de um caso particular de comportamento não linear do material, o enfoque adotado não perde em generalidade porque os métodos adotados para a análise são basicamente os mesmos.

10.1 Sistema de equações de equilíbrio não linear A expressão (3.59), apresentada no Capítulo 3 para o método de Castigliano, é reescrita aqui com o uso do conceito de vetor de forças desequilibradas, fd (d), da seguinte forma: fd(d) = fr(d) − fs = 0;

(10.1)

256

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

A dedução no Capítulo 3 da expressão (3.59) para o método de Castigliano só é válida para estruturas para as quais é possível escrever uma expressão para a energia de deformação total da estrutura U. No entanto, essa expressão só pode ser obtida para estruturas com material de comportamento elástico, linear ou não linear, ou com não linearidade geométrica como apresentado no capítulo 8. Todavia, a expressão é mais geral e pode ser usada inclusive para estruturas com material de comportamento elastoplástico. Neste capítulo, no entanto, o exemplo estudado será o do material elástico não linear, já que a plasticidade está além do escopo deste trabalho. A expressão (10.1) fornece um sistema de n equações não lineares e n incógnitas. As incógnitas são as n componentes di do vetor de deslocamentos nodais. Trata-se de encontrar o vetor de deslocamentos d que vai anular o vetor das forças desequilibradas. Vale lembrar que, como visto no item 3.6.2. no método da mínima energia potencial total, a expressão (10.1) corresponde às condições de mínimo da energia potencial total P(d) da estrutura e, assim, o vetor d que satisfaz (10.1) pode ser interpretado também como o vetor que minimiza P(d).

10.2 Solução de sistemas de equações não lineares Como visto no item anterior, a resposta de uma estrutura de comportamento não linear do material em termos do vetor de deslocamentos nodais d pode ser obtida resolvendo-se o sistema de equações de equilíbrio não lineares dado em (10.1) ou minimizando-se a energia potencial total (d). Os dois procedimentos são equivalentes. O problema de minimização de uma função de n variáveis sem que as variáveis estejam submetidas a restrições é estudado na área de programação matemática e muitos algoritmos eficientes estão disponíveis para sua solução. Vale citar os algoritmos de primeira ordem do máximo declive (steepest descent) e de Fletcher-Reeves e o algoritmo de segunda ordem de Newton-Raphson. Algoritmos quase-Newton, especialmente o BFGS, têm sido também usados com sucesso para resolver esse tipo de problema. Para maiores detalhes, sobre esses algoritmos, recomenda-se consultar a literatura especializada. Neste item, o problema será tratado como solução de sistemas de equações não lineares e apenas o algoritmo de Newton-Raphson será apresentado. Algoritmo de Newton-Raphson Seja o vetor das forças desequilibradas fd(d) representado por uma expansão em série de Taylor de primeira ordem no entorno do vetor dk: fd (dk + ⌬dk ) = fd (dk ) +

∂fd (d ) ∂d

⌬dk ;

(10.2)

d =dk

ou, alternativamente,

⌬ fd (dk ) = fd (dk + ⌬dk ) − fd (dk ) =

∂fd (d ) ∂d

⌬dk ; d=dk

(10.3)

Capítulo 10

Análise com comportamento não linear do material

257

Como fs em (10.1) não depende do vetor d, (10.3) pode ser reescrita como:

⌬ fd (dk ) = fd (dk + ⌬dk ) − fd (dk ) =

∂fr (d ) ∂d

⌬dk ;

(10.4)

d=dk

A matriz que relaciona o incremento de deslocamentos )dk com o incremento de forças desequilibradas )fd(dk) tem uma interpretação física importante. O termo ij dessa matriz representa o incremento da componente i do vetor das forças internas resistentes )fr,i para um incremento unitário da componente j do vetor de deslocamentos nodais )dk,j mantendo-se nulas todas as outras componentes desse vetor. Por causa dessa interpretação física, e em analogia com a interpretação física da matriz de rigidez de estruturas com comportamento linear, essa matriz é denominada matriz de rigidez tangente Kt(dk ), calculada em d = dk, ou seja: K t (dk ) =

∂fr (d ) ∂d

;

(10.5)

d=dk

Usando-se (10.5), a expressão (10.2) pode ser reescrita como: fd(dk + ⌬dk) = fd(dk) + Kt(dk)⌬dk;

(10.6)

A ideia básica do método de Newton-Raphson é encontrar o vetor d que anula o vetor das forças desequilibradas fd(d) por meio de iterações sucessivas de (10.6). Assim: fd(dk) + Kt(dk)⌬dk = 0;

(10.7)

⌬dk = −Kt(dk)−1 fd(dk)

(10.8)

dk+1 = dk + ⌬dk

(10.9)

ou,

com o vetor d atualizado por:

A seguinte fórmula recursiva é gerada: dk+1 = dk − Kt(dk)−1 fd(dk)

(10.10)

As iterações são interrompidas quando um dado critério da convergência da solução é atendido. O critério de convergência normalmente adotado é que o erro do resultado da iteração k+1 em relação ao resultado da iteração k em termos da resposta em deslocamentos nodais deva ser menor que uma tolerância TOL prescrita, por exemplo, TOL = 10−4.

erro k =

dk+1 − dk dk

≤ TOL = 10−4 ;

(10.11)

258

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Nos métodos quase-Newton com aproximação da inversa, mencionados acima, a inversa da matriz de rigidez tangente Kt(dk )–1 é obtida de forma aproximada com o uso de informações passaGDVGRSURFHVVRLWHUDWLYRRTXHWRUQDRPpWRGRPDLVH¿FLHQWHGRTXHRPpWRGRGH1HZWRQ5DSKVRQ no qual a matriz Kt(dk ) tem de ser atualizada em cada iteração, e um novo sistema de equações deve ser resolvido para se obter )dk.

10.3 Exemplo de aplicação em treliça Seja a treliça plana, conforme estudada no Capítulo 3. A única diferença da treliça estudada neste item para a do Capítulo 3 é a relação constitutiva do material da treliça que será dada agora por: () = a − b sign() 2;

(10.12)

1HVVHFDVRDHQHUJLDGHGHIRUPDomRHVSHFt¿FDSDUDXPDGHIRUPDomRm da barra m U0(m ), GH¿QLGDHP pGDGDSRU U 0 (␧ m ) = ∫ m

␧m 0

a b a ␧ − b sign(␧ ) ␧ 2 d␧ = ␧ m2 − ␧ m3  2 3



ou a ⎛⎜ ␦ ⎞⎟ b ⎛⎜ ␦ ⎞⎟ U 0 (␦m ) = ⎜⎜ m ⎟⎟⎟ − ⎜⎜ m ⎟⎟⎟ m 2 ⎜⎜⎝ Lm ⎟⎠ 3 ⎜⎜⎝ Lm ⎟⎠ 2

3

(10.14)

sendo m o alongamento/encurtamento e Lm o comprimento da barra m. A energia de deformação Um, da barra m,GH¿QLGDHP YDOH U 0 (␦m ) = ∫ m

Vm

⎧a ␦ ⎪ ⎪ b ␦ ⎫ ⎪ ⎪ U 0 (␦m ) dvm = ⎨ ( m )2 − ( m )3 ⎬ Am Lm m ⎪ ⎪ 2 3 L L ⎪ ⎪ m m ⎪⎩ ⎪ ⎭

(10.15)

onde Am é a área da seção transversal da barra m. A energia de deformação total da estrutura U pode ser obtida pelo somatório das contribuições da energia de deformação Um de cada barra m, como: U = ∑ m=1U m ; ne

onde ne é o número total de elementos ou barras da treliça. A treliça estudada no Capítulo 3 é reproduzida na Figura 10.1.

(10.16)

Capítulo 10

Figura 10.1

Análise com comportamento não linear do material

259

Treliça estudada no capítulo com relação constitutiva dada em (10.12).

As equações de compatibilidade que relacionam os deslocamentos nodais com os alongamentos/encurtamentos das barras são as mesmas obtidas no Capítulo 3, ou seja: ⎧⎪ ⎪⎪ 2 2 − d2 ⎪⎪ ␦ 1 (d1, d 2) = d1 2 2 ⎪⎪ ⎪⎪ ␦ 2 1 2 1 ( , ) d d d = ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪ ␦ 3 (d1, d 2) = d1 2 + d 2 2 ; ⎪⎪ 2 2 ⎪⎪ ⎪⎪ 2 2 + d2 ⎪⎪ ␦ 4(d1, d 2) = −d1 2 2 ⎪⎪⎩

(10.17)

As expressões para a energia de deformação de cada barra m, Um(d1,d2), podem ser obtidas substituindo as expressões (10.17) em (10.15). A energia de deformação total da treliça pode ser calculada em seguida por meio de (10.16). O vetor das forças resistentes internas para a treliça pode ser obtido com o uso do teorema da Castigliano: fr (d ) =

∂U (d ) ∂d

;

(10.18)

Substituindo-se (10.18) em (10.5), chega-se a: K r (d ) =

∂ ∂U (d ) ( ) ∂d ∂d

(10.19)

O vetor das forças externas solicitantes fs é dado nesse caso por: ⎧ P1 ⎪ fS = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ P2

⎫ ⎪ ⎪ ⎬; ⎪ ⎪ ⎭

(10.20)

260

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

O vetor das forças nodais desequilibradas fd(d) é obtido com o uso de (10.1) e a matriz de rigidez tangente Kt(d) por (10.19). Os valores adotados para os parâmetros que definem a relação constitutiva, tensão versus deformação, dada por (10.12) está representada na Figura 10.2 para a = 10.000 e b= 1.600.000 usados no atual exemplo.

Figura 10.2 Gráfico da relação constitutiva ().

Os demais dados do problema são: L1 = L 2 ,

L2 = L, L3 = L 2 , L4 = L 2 com L = 1; P1 = P,

P2 =

P 2

, com P = 24 ;

(10.21)

(10.22)

A área da seção transversal A vale 1. A análise não linear da treliça é feita pelo método de Newton-Raphson. Depois de 6 iterações, partindo-se de d1 = d2 = 0, o erro obtido satisfaz a tolerância definida em (10.11). Os deslocamentos nodais obtidos são: d1 = 2,401 × 10−3 e d2 = 2,598 × 10−3; Substituindo-se d1 e d2 nas expressões (10.17), chega-se a:

(10.23)

Capítulo 10

Análise com comportamento não linear do material

⎧ ⎪ ␦1 (d1, d 2) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪␦2 (d1, d 2) ⎨ ⎪ ␦ (d1, d 2) ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪⎩␦ 4 (d1, d 2)

261

= − 1, 394 x 10−4 = 2 , 401 x 10−3 = 1, 394 x 10−4

;

(10.24)

= 3, 535 x 10−3

As deformações e tensões para a barra m, expressas, respectivamente, por m e m podem ser obtidas por:

␧ m (d1 , d2 ) =

␦m (d1, d2 ) Lm

;

(10.25)

m(d1, d2) = a m(d1, d2) − b sign(m(d1, d2)) m(d1, d2)2;

(10.26)

Com a substituição de d1 e d2 nas expressões (10.25) e (10.26), chega-se a: ⎧ ⎪ ␧ 1 (d1, d 2) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪␧ 2 (d1, d 2) ⎨ ⎪ ␧ (d1, d 2) ⎪ ⎪⎪ 3 ⎪ ⎩⎪␧ 4 (d1, d 2)

= − 9, 854 x 10−5 = 2 , 401 x 10−3 = 9, 854 x 10−5

;

(10.27)

= 1, 698 x 10−3

⎧␴ (d1, d 2) ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ␴ 2 (d1, d 2) ⎪ ⎨ ⎪ ␴ 3 (d1, d 2) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩␴ 4 (d1, d 2)

= − 0, 970 = 14 , 787

;

= 0, 970

(10.28)

= 12 , 367

Os esforços normais nas barras m dados por Nm são numericamente iguais as tensões, pois a área da seção transversal A vale 1, ou seja: Nm(d1, d2) = Am(d1, d2);

(10.29)

O erro nos componentes do vetor de cargas nodais desequilibradas fd(d1,d2) é da ordem de 10–6 para as direções horizontal e vertical mostrando que o equilíbrio está satisfeito.

10.4 Análise não linear detalhada da treliça Forças aplicadas: P = 24 P1 = P P2 =

P 2

262

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Comprimentos das barras: L = 1 L1 = L ⋅ 2

L2 = L L3 = L ⋅ 2 , L4 = L ⋅ 2

Área da seção transversal A e parâmetros mecânicos a e b da relação tensão × deformação: A = 1; a = 10 4; b = 1,6 × 106 5HODomRWHQVmR× deformação representada na Figura 10.2: () = a ⋅  − b ⋅ sign() ⋅  2 (QHUJLDGHGHIRUPDomRHVSHFt¿FDSDUDXPDGHIRUPDomR¿QDOGDEDUUDf :

∫

U 0 (␧ f ) =

␧f 0

a ⋅ ␧ − b ⋅ sign(␧ ) ⋅ ␧ 2 d␧

Equações de compatibilidade de m e m para a barra m:

␦1 (d1 , d2 ) = d1 ␦3 (d1 , d2 ) = − d1

␧ 1 (d1 , d2 ) = ␧ 3 (d1 , d2 ) =

2 2 2 2

2

− d2

+ d2

2 2 2

␦1 (d1 , d2 ) L1

␦3 (d1 , d2 ) L3

␦2 (d1 , d2 ) = d1 ␦4 (d1 , d2 ) = d1

␧ 2 (d1 , d2 ) = ␧ 4 (d1 , d2 ) =

2 2

+ d2

␦2 (d1 , d2 ) L2

␦4 (d1 , d2 ) L4

5HODomRFRQVWLWXWLYDGHm para a barra m:

␴ 1 (d1 , d2 ) = ␧ 1 (d1 , d2 ) − sign(␧ 1 (d1 , d2 )) ⋅ ␧ 1 (d1 , d2 )2 ␴ 2 (d1 , d2 ) = ␧ 2 (d1 , d2 ) − sign(␧ 2 (d1 , d2 )) ⋅ ␧ 2 (d1 , d2 )2 ␴ 3 (d1 , d2 ) = ␧ 3 (d1 , d2 ) − sign(␧ 3 (d1 , d2 )) ⋅ ␧ 3 (d1 , d2 )2 ␴ 4 (d1 , d2 ) = ␧ 4 (d1 , d2 ) − sign(␧ 4 (d1 , d2 )) ⋅ ␧ 4 (d1 , d2 )2

2 2

Capítulo 10

Análise com comportamento não linear do material

263

Energia de deformação Um da barra m: U 1 (d1 , d2 ) = a ⋅

2 3 A (␦1 (d1 , d2 )) b ⋅ A (␦1 (d1 , d2 )) ⋅ − ⋅ 2 3 L1 L21

U 2 (d1 , d2 ) = a ⋅

2 3 A (␦2 (d1 , d2 )) b ⋅ A (␦2 (d1 , d2 )) ⋅ − ⋅ 2 3 L2 L22

U 3 (d1 , d2 ) = a ⋅

2 3 b ⋅ A (␦3 (d1 , d2 )) A (␦3 (d1 , d2 )) ⋅ − ⋅ L3 2 3 L23

U 4 (d1 , d2 ) = a ⋅

2 3 A (␦ 4 (d1 , d2 )) b ⋅ A (␦ 4 (d1 , d2 )) ⋅ − ⋅ 2 3 L4 L24

Energia de deformação U da estrutura: U(d1, d2) = U1(d1, d2) + U2(d1, d2) + U3(d1, d2) + U4(d1, d2) Solução via método de Newton-Raphson Força interna resistente fr: ⎧ ⎪ ∂U (d1 , d2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂d1 ⎪ f r (d1 , d2 ) = ⎨ ⎪ ∂U (d1 , d2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂d2 ⎪ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

expressão (10.18)

Matriz de rigidez tangente: ⎡ ⎢ ∂ ⎢ ⎢ ∂d ⎢ 1 K r (d1 , d2 ) = ⎢ ⎢ ∂ ⎢ ⎢ ⎢ ∂d2 ⎣⎢

⎛ ∂U (d , d ) ⎞⎟ ⎜⎜ 1 2 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ ∂d1 ⎛ ∂U (d , d ) ⎞⎟ ⎜⎜ 1 2 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ ∂d1

Vetor das forças externas solicitantes fs: ⎧ P ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ fS = ⎪ ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ P ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

∂ ∂d1 ∂ ∂d2

⎛ ∂U (d , d ) ⎞⎟ ⎜⎜ 1 2 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ ∂d2 ⎛ ∂U (d , d ) ⎞⎟ ⎜⎜ 1 2 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ ∂d2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ expressão (10.19) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

264

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Vetor das forças desequilibradas fd : fd(d1, d2) = fr(d1, d2) − fs ,WHUDo}HVGRPpWRGRGH1HZWRQ5DSKVRQ ⎧ 0 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ d0 = ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 ⎪ ⎭

(valores iniciais)

⎧ 1, 441×10−3 ⎪ d1 = d0 − K t (d0 , d0 )−1 ⋅ fd (d0 , d0 ) d1 ⎪ ⎨ −3 1 2 1 2 ⎪ ⎪ ⎩ 1, 6122 ×10

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎧ 2 , 116×10−3 ⎪ d2 = d1 − K t (d1 , d0 )−1 ⋅ fd (d1 , d1 ) d2 = ⎪ ⎨ 1 2 1 2 ⎪ 09×10−3 ⎪ ⎩ 2 , 30 d2 − d1 TOL2 = TOL2 = 0, 448 d1

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

d3 = d2 − K t (d2 , d2 )−1 ⋅ fd (d2 , d2 ) 1

2

TOL3 =

1

2

d3 − d2

TOL4 =

2

1

2

d 4 − d3

TOL5 =

2

1

d5 − d 4 d4

⎧ 2 , 400038×10−3 ⎪ d4 = ⎪ ⎨ −3 ⎪ ⎪ ⎩ 2 , 597099×10

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

TOL4 = 0, 017

d3

d5 = d 4 − K t (d4 , d4 )−1 ⋅ fd (d4 , d4 ) 1

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

TOL3 = 0, 11

d2

d 4 = d3 − K t (d3 , d3 )−1 ⋅ fd (d3 , d3 ) 1

⎧ 2 , 358361×10−3 ⎪ d3 = ⎪ ⎨ −3 ⎪ ⎪ ⎩ 2 , 554843×10

2

⎧ 2 , 401345×10−3 ⎪ d5 = ⎪ ⎨ −3 ⎪ ⎪ ⎩ 2 , 598424 ×10 TOL5 = 5, 26×10−4

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

Capítulo 10

Análise com comportamento não linear do material

⎧ ⎪ 2 , 401346×10−3 d6 = ⎪ ⎨ −3 ⎪ ⎪ ⎩ 2 , 598425×10

d6 = d5 − K t (d5 , d5 )−1 ⋅ fd (d5 , d5 ); 1

TOL6 =

2

1

2

d6 − d 5

TOL6 = 5, 183×10−7

d5

TOL6 ≤ 10−4

(a convergência é satisfeita)

Graus de liberdade da última iteração: ⎧ ⎪ ⎪ d ⎫ ⎪ ⎪⎧⎪ 2 , 401345×10−3 ⎪ ⎪ ⎬= ⎨ ⎨ 1 ⎪ ⎪ ⎪ 2 , 598424 ×10−3 d2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎩ ⎩

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

Cálculo dos alongamentos/encurtamentos das barras m:

␦1 (d1 , d2 ) = −1, 394 × 10−4 ␦2 (d1 , d2 ) =

2 , 401 × 10−3

␦3 (d1 , d2 ) =

1, 394 × 10−4

␦4 (d1 , d2 ) =

3, 535 × 10−3

Cálculo das deformações das barras m:

␧ 1 (d1 , d2 ) = − 9, 854 × 10−5 ; ␴ 1 (d1 , d2 ) =

− 0, 97

␧ 2 (d1 , d2 ) = 2 , 401 × 10−3

␴ 2 (d1 , d2 ) = 14 , 787

␧ 3 (d1 , d2 ) = 9, 854 × 10−5

␴ 3 (d1 , d2 ) =

␧ 4 (d1 , d2 ) = 1, 698 × 10−3

␴ 4 (d1 , d2 ) = 12 , 367

0, 97

Cálculo das forças axiais nas barras m: N 1 (d1 , d2 ) = A

␴ 1 (d1 , d2 ); =

N 2 (d1 , d2 ) = A

␴ 2 (d1 , d2 ); = N 2 (d1 , d2 ) = 14 , 787

N 3 (d1 , d2 ) = A

␴ 3 (d1 , d2 ); = N 3 (d1 , d2 ) = 0, 97

N 4 (d1 , d2 ) = A

␴ 4 (d1 , d2 ); = N 4 (d1 , d2 ) = 12 , 367

N 1 (d1 , d2 ) = −0, 97

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

265

266

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Esforços internos resistentes e verificação do equilíbrio: ⎧ 24 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ fr (d1 , d2 ) = ⎪ ⎬; ⎨ ⎪ ⎪ 12 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

⎧ −3, 107 ×10−6 ⎪ fd (d1 , d2 ) = ⎪ ⎨ −6 ⎪ ⎪ ⎩ −2 , 666×10

⎫ ⎪ ⎪; ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

Solução gráfica (observa-se que o mínimo da função  está próximo de d1 = 0,0025 e d2 = 0,0025) (d1, d2) = U(d1, d2) − P1 ⋅ d1 − P2 ⋅ d2

Figura 10.3 Isocurvas da função  (d1,d2).

Capítulo 10

Análise com comportamento não linear do material

267

Solução minimizando a energia potencial total Estimativas iniciais para os deslocamentos: d1 = 0,001

d2 = 0,001

Ao minimizar a função (d1, d2) chega-se a: d1 = 2,401 × 10−3

d2 = 2,598 × 10−3

10.5 Análise não linear alternativa Alternativamente ao uso do teorema de Castigliano, o princípio dos deslocamentos virtuais pode ser usado para se obter o vetor das forças internas resistentes. Esse enfoque é mais geral porque nem sempre é possível obter a energia de deformação da estrutura, como é o caso dos materiais elastoplásticos. Como visto no capítulo 3, partindo-se da expressão (3.100) para o princípio dos Deslocamentos virtuais podem-se escrever para um elemento m:

∫

Vm 0

␦ ␧ mt␴ m (dm )dVm = fst␦ d ;

Usando-se a expressão de compatibilidade do MEF, ␦␧m = Bm␦d;

(10.30)

chega-se a:

∫

Vm 0

Bmt ␴ m (d m )dVm = fS ;

(10.31)

Dado que d é arbitrário e pode ser eliminado dos dois lados da expressão. Comparando a H[SUHVVmR FRPDH[SUHVVmR SHUFHEHVHTXH fr (d m ) = ∫ m

Vm 0

Bm t␴ m (d m )dVm ;

(10.32)

A expressão (10.32) é absolutamente geral e pode ser usada para se obter o vetor das forças resistentes internas fr de um elemento finito m de qualquer tipo em análise não m linear. A expressão (10.32) será agora particularizada para os elementos de viga do exemplo da Figura 10.1, onde: dm = Rmd;

(10.33)

268

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

⎡ cos ␣ ⎢ m Rm = ⎢ ⎢ − sin ␣m ⎣ Bm =

1 Lm

sin ␣m ⎤⎥ ⎥ cos ␣m ⎥ ⎦

(10.34)

(10.35)

{1 0};

␧m = Bmdm;

(10.36)

onde d é o vetor dos deslocamentos globais {d1, d2} do nó C, dm é o vetor dos deslocamentos QRQy¿QDOGRHOHPHQWRm no sistema local de coordenadas (x axial e y transversal), e m, é o ângulo que o eixo local do elemento m faz com o eixo xSRVLWLYRQRVHQWLGRKRUiULR9DOHOHPEUDUTXHRV VHQWLGRVGRVHL[RVORFDLVHVWmRGH¿QLGRVQD)LJXUD 6XEVWLWXLQGRVHDVH[SUHVV}HVGH D HP RYHWRUGDVIRUoDVLQWHUQDV¿FD GH¿QLGRQRVLVWHPDORFDOGRVHOHPHQWRV3DUDWUDQVIRUPDUDVIRUoDVLQWHUQDVGHYROWDSDUDRVLVWHPDJOREDORQGHDVIRUoDVDSOLFDGDVHVWmRGH¿QLGDVpQHFHVViULRSUpPXOWLSOLFDUfr por Rmt, como m GH¿QLGRHP DVVLP f r ( d) = ∫ m

Vm 0

Rmt Bmt␴ m ( Rm d )dVm = A Lm Rmt Bmt␴ m ( Rm d ) 



O exemplo descrito no item 10.5 será refeito agora com o vetor das forças internas dos elementos definido diretamente como em (10.37) sem o uso do teorema de Castigliano e a matriz de rigidez tangente Kt (d) obtida conforme a expressão (10.5).

10.6 Exemplo de análise não linear da treliça com a formulação do item 10.6 Dados: „Forças aplicadas:

P = 24 ; P1 = P ; P2 =

P 2

;

„Comprimentos das barras:

L1 = 2 ; L2 = 1; L3 = 2 ; L4 = 2 ; „Vetor das forças aplicadas:

⎧ P ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ fS = ⎪ ⎬; ⎨ ⎪ P2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

Capítulo 10

Análise com comportamento não linear do material

269

„Área da seção transversal das barras A e parâmetros a e b da relação tensão ×

deformação: A = 1; a = 104; b = 1,6 × 106 „Ângulos de inclinação das barras:

a1 = −

3 ␲ ␲ ; a2 = 0 ; a3 = − ; a4 = ␲ ; 4 4 4

„Matrizes de rotação Rm, matrizes de compatibilidade cinemática Bm, e deformações J m

das barras m com m = 

⎡ cos(␣ ) sin(␣ ) ⎢ m m Rm = ⎢ ⎢ − sin(␣m ) cos(␣m ) ⎣ Bm =

1 Lm

⎤ ⎥ ⎥; ⎥ ⎦

expressão (10.34)

{1 0};

expressão (10.35)

⎪⎧⎪ d ⎫⎪⎪ ␧ (m , d1 , d2 ) = Bm ⋅ Rm ⋅ ⎪⎨ 1 ⎪⎬ ⎪⎪ d ⎪⎪ ⎪⎩ 2 ⎪⎭

expressão (10.33) e (10.36)

Tensões X m e forças internas resistentes f m das barras m com m =  (m, d1, d2) = a ⋅ (m, d1, d2) − b ⋅ sign((m, d1, d2)) ⋅ 2(m, d1, d2) fm(m, d1, d2) = A ⋅ Lm ⋅ RmT ⋅ BmT ⋅ (m, d1, d2);

expressão (10.37)

Montagem do vetor das forças internas resistentes fr e das forças desequilibradas fd da estrutura a partir das contribuições dos vetores das forças internas resistentes fm da cada elemento m. fr (d1 , d2 ) = ∑ m=1 fm (m, d1 , d2 ); fd (d1 , d2 ) = fr (d1 , d2 ) − fs ; 4

Matriz de rigidez tangente Kt . ⎡ ∂ ⎢ f r (d1 , d2 )1 ⎢ ⎢ ∂d1 K t (d1 d2 ) = ⎢ ⎢ ∂ ⎢ f (d , d ) ⎢ ∂d r 1 2 2 1 ⎢⎣

⎤ f r (d1 , d2 )1 ⎥⎥ ∂d2 ⎥ ⎥ ⎥ ∂ f r (d1 , d2 )1 ⎥ ⎥ ∂d2 ⎥⎦ ∂

expressão (10.19)

270

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Solução via método de Newton-Raphson Valores iniciais dos deslocamentos: d0,1 = 0,001

d0,2 = 0,001

⎪⎧⎪ d d0 = ⎪⎨ 0 ,1 ⎪⎪ d ⎪⎩ 0 ,2

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬; ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

⎧ 1, 905×10−3 ⎪ d1 = d0 − K t (d0 , d0 )−1 ⋅ fd (d0 , d0 ); d1 = ⎪ ⎨ −3 1 2 1 2 ⎪ ⎪ ⎩ 2 , 085×10

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎧ ⎪ 2 , 293×10−3 d2 = d1 − K t (d1 , d1 )−1 ⋅ fd (d1 , d1 ); d2 = ⎪ ⎨ −3 1 2 1 2 ⎪ ⎪ ⎩ 2 , 492 ×10 d 2 − d1 TOL2 = ; TOL1 0, 199 d1

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎧ 2 , 393029×10−3 ⎪ d3 = d2 − K t (d2 , d2 )−1 ⋅ fd (d2 , d2 ); d3 = ⎪ ⎨ −3 1 2 1 2 ⎪ ⎪ ⎩ 2 , 593065×10 d3 − d2 TOL3 = ; TOL3 0, 0, 042 d2

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎧ ⎪ 2 , 400462 ×10−3 d 4 = d3 − K t (d3 , d3 )−1 ⋅ fd (d3 , d3 ); d 4 = ⎪ ⎨ −3 1 2 1 2 ⎪ ⎪ ⎩ 2 , 600607 ×10 d 4 − d3 TOL4 = TOL4 = 2 , 999×10−3 ; d3

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎧ 2 , 400503×10−3 ⎪ d5 = d 4 − K t (d4 , d4 )−1 ⋅ fd (d4 , d4 ); d5 = ⎪ ⎨ −3 1 2 1 2 ⎪ ⎪ ⎩ 2 , 600649×10 d5 − d 4 TOL5 = TOL5 = 1, 676×10−3 ; d4

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

TOL5 ≤ 10−4

(a convergência é satisfeita)

Capítulo 10

271

Análise com comportamento não linear do material

⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎧⎪ 2 , 400503×10−3 d1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬= ⎨ ⎨ ⎪ d ⎪ ⎪⎪⎩ 2 , 600649×10−3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ 2 ⎪

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

Cálculo das tensões e forças axiais nas barras m com m = 1, ..., 4. (m, d1, d2) = a ⋅ (m, d1, d2) − b ⋅ sign((m, d1, d2)) ⋅  2 (m, d1, d2) N(m, d1, d2) = A ⋅ (m, d1, d2); N (1, d1 , d2 ) = (−0, 985) N (2 , d1 , d2 ) = (14 , 785) N (3, d1 , d2 ) = (15, 001) N ( 4 , d1 , d2 ) = (−0, 985)

Verificação do equilíbrio: ⎧ ⎪ ⎪ 24 ⎫ ⎪ fr (d1 , d2 ) = ⎪ ⎬; ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ 12 ⎪

fd (d1 , d2 ) = fr (d1 , d2 ) − fS ;

⎧⎛ ⎪ ⎜ −2 , 989×10−6 fd (d1 , d2 ) = ⎪ ⎨⎜⎜ −6 ⎪ ⎜ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 1, 403×10

⎫ ⎞⎟⎪ ⎪ ⎟⎟⎟⎬ ⎟⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Índice de figuras

Figura 2.1: Função f(x) = sin(x) e suas aproximações s1(x), s2(x) e s3(x) no entorno de x = / 4. .......6 Figura 2.2: Função f(x,y) = (1 – x2) (1 – y2). ................................................................................ 7 Figura 2.3: Isocurvas da função f(x,y) = (1 – x2) (1 – y2). ............................................................ 8 Figura 2.4: Isocurvas da função s2(x,y) no entorno de x0 = – 0,5 e y0 = – 0,5. ............................... 8 Figura 2.5: Polinômio de Lagrange L4(x). .................................................................................... 10 Figura 2.6: Aproximação de f(x) por (x) com uso de polinômios de Lagrange. ..........................11 Figura 2.7: Aproximações de f(x) por funções aproximadoras N(x) que usam polinômios de Lagrange passando por pontos notáveis de Newton-Cotes e funções aproximadoras G(x) que usam polinômios de Lagrange passando por pontos notáveis de Gauss. ................................ 13 Figura 2.8: Mapeamento do ponto P(␰,␩) do quadrado no espaço paramétrico para o ponto P(x,y) do quadrilátero no espaço cartesiano. ...................................................................................... 20 Figura 2.9: Função de interpolação N1(␰,␩). ................................................................................ 22 Figura 2.10: Mapeamento da área elementar d␰d␩ no plano paramétrico para a área elementar dA no plano cartesiano. ........................................................................................................... 24 Figura 2.11: Área elementar dA no plano cartesiano. .................................................................. 24 Figura 2.12: Trapézio com base maior b, base menor a e altura h. ............................................... 26 Figura 2.13: Posição dos pontos notáveis de Gauss no quadrilátero do plano paramétrico. ........ 28 Figura 3.1: Treliça com 2 graus de liberdade. ............................................................................... 30 Figura 3.2: Equilíbrio do nó C. ..................................................................................................... 32 Figura 3.3: Termos k11 e k21 da matriz de rigidez da treliça. ......................................................... 34 Figura 3.4: Termos k21 e k22 da matriz de rigidez da treliça. ......................................................... 35

xvi

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Figura 3.5: Forças no nó C para d1 = 1 e d2 = 1. .......................................................................... 36 Figura 3.6: Graus de liberdade no sistema global e local. ............................................................. 38 Figura 3.7: Treliça plana com 2 graus de liberdade. ..................................................................... 41 Figura 3.8: Sistemas de coordenadas locais das barras. ................................................................ 42 Figura 3.9: Energia de deformação específica U0 da barra m. ....................................................... 43 Figura 3.10: Trabalho externo associado ao grau de liberdade i. .................................................. 44 Figura 3.11: Incremento de energia de deformação específica ΔU0,m da barra m. ........................ 48 Figura 3.12: Incremento de trabalho externo ΔWi. ...................................................................... 51 Figura 3.13: Viga em balanço de inércia variável. ........................................................................ 56 Figura 3.14: Diagrama de momentos na viga associado a v(x) definido em (3.128). ................... 59 Figura 3.15: Diagrama de momentos na viga associado a v(x) definido em (3.140). ................... 61 Figura 3.16: Elemento finito de viga. ........................................................................................... 63 Figura 3.17: Funções de forma ou de interpolação do elemento finito de viga. ............................ 65 Figura 3.18: Graus de liberdade da viga em balanço modelada por 2 elementos finitos. . ............ 65 Figura 3.19: Barra tracionada....................................................................................................... 68 Figura 3.20: Funções de interpolação do deslocamento longitudinal u(x). .................................. 70 Figura 3.21: Triângulo da Pascal com os termos do polinômio completo p(x,y). ......................... 75 Figura 3.22: Graus de liberdade associados ao nó i no triângulo e no tetraedro. ......................... 77 Figura 3.23: Relação entre as numerações local e global dos nós do elemento m. ........................ 78 Figura 3.24: Relação entre os graus de liberdade local e global do elemento m. ........................... 78 Figura 4.1: Chapa plana de espessura t com plano médio no plano xy. ....................................... 80 Figura 4.2: Representação da deformação por cisalhamento. ....................................................... 82 Figura 4.3: Elemento CST (Constant Strain Triangle). ............................................................... 84 Figura 4.4: Elemento isoparamétrico de 4 nós da família Serendipity. ...................................... 89 Figura 4.5: Função de interpolação N1(x,y). . ............................................................................... 92 Figura 4.6: Elemento isoparamétrico de 8 nós da família Serendipity. ...................................... 96 Figura 4.7: Triângulo da Pascal e termos do polinômio completo p(,). .................................... 96 Figura 4.8: Funções de interpolação N1(,),N5(,) e N8(,) do elemento isoparamétrico de 8 nós. ...................................................................................................................... 100 Figura 4.9: Polinômio de Lagrange L0() para 2 pontos. ......................................................... 103 Figura 4.10: Polinômio lagrangeano L0() para 3 pontos. ....................................................... 104 Figura 4.11: Mapeamento do ponto P(,) do quadrilátero no plano paramétrico no ponto P(x,y) do “quadrilátero” de lados curvos no plano cartesiano. . ...................................................... 105 Figura 4.12: Função de interpolação N1(,) do elemento lagrangeano de 9 nós. ..................... 105 Figura 4.13: Viga em balanço. .................................................................................................... 109 Figura 4.14: Elásticas da viga em balanço. ..................................................................................111 Figura 4.15: Malhas de elementos isoparamétricos de 4 nós. ......................................................112

Índice de figuras

xvii

Figura 4.16: Formação da malha de triângulos. ..........................................................................113 Figura 4.17: Deslocamentos verticais na extremidade livre para as malhas i. ............................114 Figura 4.18: Tensão x no ponto A(0,5; 1,5) para as malhas i. . .................................................114 Figura 4.19: Malha adotada. .......................................................................................................115 Figura 4.20: Dimensões do elemento. .........................................................................................119 Figura 4.21: Cargas concentradas no ponto P(P,P). .............................................................. 121 Figura 4.22: Cargas distribuídas na área do elemento. .............................................................. 122 Figura 4.23: Cargas distribuídas ao longo do bordo  = 1 do elemento. . ................................... 123 Figura 4.24: Placa circular vazada. ........................................................................................... 124 Figura 4.25: Gráfico da função ur(r). ......................................................................................... 125 Figura 4.26: Malha adotada com uso da dupla simetria do problema ........................................ 126 Figura 4.27: Polinômio lagrangeano L2(). .............................................................................. 133 Figura 4.28: Elemento langrageano de 9 nós no plano paramétrico........................................... 133 Figura 4.29: Função N2(,) e N9(,). .................................................................................... 134 Figura 4.30: Malha de 1 elemento e dados do problema. ............................................................ 135 Figura 5.1: Tubo circular de seção vazada gerado pela revolução em torno do eixo z de um retângulo. .............................................................................................................................. 140 Figura 5.2: Deformação do anel de raio r para um deslocamento radial u. ................................ 141 Figura 5.3: Mapeamento de um ponto P(,) do quadrilátero no plano paramétrico para um ponto P(r,z) do quadrilátero no plano cartesiano. ................................................................. 144 Figura 5.4: Malha de 1 elemento de sólido de revolução. ........................................................... 148 Figura 6.1: Elemento tetraedro e seus graus de liberdade. ......................................................... 155 Figura 6.2: Elemento hexaedro. .................................................................................................. 160 Figura 6.3: Malha de 1 elemento para o problema. . ................................................................... 164 Figura 7.1 Sentido positivo das derivadas parciais de w(x,y). ................................................... 171 Figura 7.2: Sentido positivo das rotações x e y. ....................................................................... 174 Figura 7.3: Relação entre as derivadas parciais de w(x,y) e as rotações x e y. . ...................... 177 Figura 7.4: Elemento retangular de placa à flexão pela teoria de Kirchhoff. .............................. 178 Figura 7.5: Elemento isoparamétrico de 4 nós de placa à flexão pela teoria de Mindlin. ........... 183 Figura 7.6: Malha de 1 elemento retangular da teoria de Kirchhoff. .......................................... 187 Figura 7.7: Malha de 1 elemento isoparamétrico bilinear da teoria de Mindlin......................... 191 Figura 8.1: Pilar engastado na base e livre no topo (pilar ideal). ............................................... 197 Figura 8.2: Relação P x  para a curvatura dada por (8.19). ..................................................... 200 Figura 8.3: Comprimentos de flambagem Le para pilares com diferentes condições de contorno. ..201 Figura 8.4: Tensões críticas em pilares em função da esbeltez . . .............................................. 202 Figura 8.5: Relação entre dx, dv, d⌬ e v,x. ................................................................................. 202 Figura 8.6: Elemento finito de um elemento de pórtico plano. ................................................... 206

xviii

Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas

Figura 8.7: Representação a um grau de liberdade da matriz de rigidez total K para um incremento de carga ⌬f a partir de uma carga f. ................................................................. 209 Figura 8.8: Situação para = crit. ............................................................................................. 210 Figura 8.9: Esforços no plano da placa à flexão. ......................................................................... 210 Figura 8.10: Movimentos horizontais devidos a w,x e w,y. .........................................................211 Figura 8.11: Pilar ideal estudado com um elemento. .................................................................. 214 Figura 8.12: Malha do pilar ideal com 3 elementos. ................................................................... 216 Figura 8.13: Malha do pilar biarticulado com 3 elementos. ....................................................... 218 Figura 8.14: Flambagem de placa à flexão com modelo de 1 elemento. ...................................... 222 Figura 9.1: Dimensões e malha do elemento estudado. .............................................................. 236 Figura 9.2: Dimensões e malha do elemento de placa livre para calculo das frequências e modos próprios. ................................................................................................................................ 239 Figura 9.3: Dimensões e malha do elemento de placa vinculada para calculo das frequências e modos próprios. ..................................................................................................................... 244 Figura 9.4: Dimensões e malha do elemento de placa vinculada para cálculo da matriz de amortecimento. ...................................................................................................................... 246 Figura 9.5: “Shear building” estudado. ................................................................................... 248 Figura 9.6: Gráfico da força transiente. ...................................................................................... 249 Figura 10.1: Treliça estudada no capítulo com relação constitutiva dada em (10.12). ............... 259 Figura 10.2: Gráfico da relação constitutiva (␧)....................................................................... 260 Figura 10.3: Isocurvas da função (d1,d2). ............................................................................... 266

Índice de tabelas Tabela 2.1: Pesos básicos do método de Newton-Cotes ................................................................. 15 Tabela 2.2: Pontos notáveis básicos do método de Gauss .............................................................. 17 Tabela 2.3: Pesos básicos do método de Gauss .............................................................................. 18 Tabela 4.1: Distribuições dos elementos na malha .......................................................................112 Tabela 7.1: Regras para integração de Gauss .............................................................................. 186 Tabela 8.1: Valores de K para diversos tipos de condições de contorno ....................................... 200

Referências bibliográficas

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