Lugares-Geométricos

DAEZEGO

 ELECTROTECNIA  ELECTROTE  ELECTROTEC CNIA NIA

APUNTE --  4  - UNIDAD  UNIDAD 4 

2012

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DIAGRAMAS CIRCULARES Estos diagramas se emplean cuando alguno de los componentes de un circuito cambia su valor ó cuando varía la frecuencia del mismo. Estos diagramas representan el lugar geométrico de todos los vectores impedancias y admitancias que puede tener un determinado circuito, por este motivo también se conocen como diagramas de impedancias-admitancias. También se verá que en dichos diagramas también pueden representar los lugares geométricos de tensiones, corrientes y potencias.

CIRCUITO SERIE Para comenzar a desarrollar este tema consideremos el siguiente circuito serie RLC el cual se encuentra excitado por una tensión eficaz constante U como se muestra en la figura.

          La impedancia del circuito viene dada por la expresión  Se ve claramente que si cambia alguna de las propiedades o la frecuencia, entonces también cambiará Z lo cual implica que cambie la admitancia correspondiente Y. Entonces vamos a construir un diagrama para ver el comportamiento de  ante el cambio de alguna de sus propiedades. Para ello vamos considerar el caso en que varía, por ejemplo, la capacidad mientras que las demás permanecen constantes. Vemos que tenemos un valor de impedancia Z para la cual la reactancia capacitiva es nula y sólo tenemos reactancia inductiva, las cuales se grafican en el eje vertical. Notamos también que la impedancia posee cierta resistencia R la que se mide en el eje horizontal. A medida que vamos incrementando la reactancia capacitiva notamos que la impedancia pasa a ser Z’, luego Z’’ y así sucesivamente. Al variar la reactancia capacitiva desde 0 hasta ∞, los extremos de los vectores impedancia determinan una recta, paralela al eje vertical, la cual representa el lugar geométrico (L.G) de la impedancia para este circuito particular. En nuestra figura dicho lugar geométrico lo indicamos con color marrón. Consideremos el mismo circuito RLC serie pero ahora la propiedad que varía es la resistencia, mientras las demás permanecen constantes. La resistencia varía entre 0 y ∞. Cuando R vale 0 sólo tenemos reactancia inductiva, ya que consideremos que ésta es mayor que la reactancia capacitiva y por ello el comportamiento del circuito resulta ser inductivo. A medida que incrementamos el valor de resistencia vamos obteniendo los distintos vectores impedancia Z’, Z’’, etcétera. De esta manera la recta que forman los extremos de todos los vectores posibles constituye el lugar geométrico de la impedancia para este caso. 2

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Ahora nos interesa construir el diagrama de admitancias correspondiente al circuito RLC serie que planteamos al principio. Como sabemos la admitancia Y es la inversa de la impedancia Z. Entonces para una impedancia dada, su correspondiente admitancia se grafica con el mismo desfasaje pero con signo contrario como se muestra en la figura. Podemos ver que para la admitancia el eje horizontal representa la conductancia, mientras que el eje vertical la susceptancia. La impedancia y la admitancia tienen escalas diferentes, las cuales son definidas según las necesidades o son especificadas en el enunciado del problema a resolver. Como veremos en breve los circuitos

más complejos tienen diagramas más

elaborados por lo que suelen superponerse los lugares geométricos de Z con los de Y. Entonces para evitar este solapamiento de curvas, nosotros vamos a graficar las impedancias en un semiplano derecho y las admitancias en el semiplano izquierdo. De esta manera el diagrama anterior quedaría como se muestra en la figura. Hemos indicado claramente las convenciones de signos que usaremos para construir los diagramas y posteriormente realizar las mediciones que necesitemos. El semieje horizontal izquierdo se corresponde con las conductancias, que son positivas y aumentan hacia la izquierda. De manera similar, el semieje horizontal derecho se corresponde con las resistencias, que son positivas y aumentan hacia la derecha. Por otro lado, el semieje vertical superior indica las reactancias y susceptancias positivas, mientras que el semieje vertical inferior se corresponde con las reactancias y susceptancias negativas. Para construir el lugar geométrico de Y a partir del lugar geométrico de Z debemos recordar los conceptos vistos en mapeo conforme. En la figura se muestran las transformaciones que más usaremos:

Las transformaciones son duales, es decir que si, por ejemplo tenemos una recta que no pasa por el origen en el semiplano izquierdo la misma se transforma en una circunferencia que pasa por el origen en el semiplano derecho. Esto es lo que se indican con las flechas en cada caso. Otra cosa por recordar es que en la transformación conforme los puntos más cercanos se vuelven los más lejanos al aplicar la transformación. Además cada lugar geométrico tiene su propia escala.

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Veamos como queda representado el lugar geométrico de Y para nuestro caso en que varía la capacidad, el cual analizamos al principio y conocemos el lugar geométrico de Z. Para trazar el L.G de Y consideramos que el L.G de Z es una recta infinita que no pasa por el origen, entonces al transformarla sabemos que se convertirá en una circunferencia que pasa por el origen. Ahora bien, hay que considerar sólo la parte que realmente pertenece al L.G de Z para así tener el verdadero L.G de Y. En la figura podemos apreciar ambos lugares geométricos: Se han incluido algunos “rayos” que se intersectan con los

lugares

geométricos

de

Z

e

Y,

y

pasan

necesariamente por el origen de coordenadas. Los rayos que parten del origen e intersectan el L.G de Z son impedancias que se corresponden para distintos valores de reactancia capacitiva. Mientras que los rayos que parten del origen (que son continuación de los anteriores) y que se intersectan con el L.G de Y son las admitancias para distintos valores de reactancia capacitiva, las cuales se corresponden con sus respectivas impedancias. Antes de seguir hay que aclarar el tema referente a las escalas de los diagramas. Por lo general siempre se elije la escala de impedancias (Ω /cm) y también la de admitancia (℧ /cm), para luego poder calcular las corrientes, tensiones y potencias en base a dichas escalas. Recordar que las escalas de impedancia y admitancia no son iguales, de lo contrario uno de los diagramas resultaría muy pequeño debido a la relación inversa que guardan Z e Y.

Escalas de tensión, corriente y potencia Consideremos nuestro circuito pasivo RLC serie que presentamos al principio, donde hemos construido los diagramas de impedancia para el caso de que varíe la capacidad, y luego para el caso en que varíe la resistencia. Además dijimos que debemos elegir una escala de impedancia y de admitancia para armar los diagramas, las cuales no necesariamente deben ser iguales. Vamos a utilizar el diagrama circular que construimos para el caso en que C varía desde 0 hasta ∞.

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Si queremos ver como varía la corriente en el diagrama circular, debemos recordar que la corriente en nuestro circuito serie, según la ley de Ohm, tiene por expresión:

I  U∙Y Entonces vemos que a la corriente le corresponde el mismo lugar geométrico que Y pero está afectada por un factor de escala U. Dicho esto, podemos determinar el valor de corriente midiendo en el diagrama la admitancia y multiplicándola por el valor de U aplicado al circuito. Entonces la escala de corriente podemos escribirla como:

Esc I  U ∙ Esc Y ; donde U es la magnitud de la tensión aplicada Con el mismo razonamiento podemos determinar la escala para la potencia aparente S del circuito. Para ello recordemos la expresión de la potencia aparente:

S  U∙I

; pero I  U ∙ Y entonces resulta

S  U ∙ U ∙ Y  U ∙ Y Al ver la expresión anterior nos damos cuenta que la potencia aparente tiene el mismo lugar geométrico que la admitancia pero difiere en la escala. Además vemos que la escala de potencia aparente es:

Esc S  U  ∙ Esc Y Así tenemos que el L.G. de la admitancia es proporcional con el L.G. de la corriente y también con el de la potencia aparente. Esto lo hemos indicado en la figura.

Nos resta determinar las escalas para las tensiones de los diferentes elementos del circuito. Como el circuito que estamos analizando es serie la corriente es única. Además sabemos que la tensión en el resistor está en fase con la misma. Entonces según la ley de Ohm tenemos que

U   ! ∙ I  ! ∙ U ∙ Y Así vemos que la escala de tensión en el resistor es:

Esc U   ! ∙ U ∙ Esc Y  ! ∙ Esc I Entonces el L.G. de UR se corresponde también con el de admitancia, corriente y potencia aparente.

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Conociendo esto podemos determinar la ubicación de la tensión del generador en nuestro diagrama circular. Para ello nos valdremos del concepto de resonancia. Cuando se produce la misma sabemos que la reactancia se hace nula por lo que la impedancia resulta ser resistiva pura y dichos puntos se indican por las intersecciones de los L.G. con el eje horizontal. Según nuestro circuito vemos que existe un valor de C que hace que la impedancia sea resistiva pura. Entonces sobre el resistor se produce una caída de tensión que coincide con la tensión del generador dado que los elementos reactivos intercambian energía entre ellos. De esta manera se obtiene el punto (único) donde se encuentra la tensión del generador. Esto se muestra en la siguiente figura:

Hasta ahora hemos determinado el L.G. de UR nos resta por determinar el lugar geométrico de las tensiones en el inductor y en el capacitor para lo que se necesitan trazar dos curvas nuevas. Para determinar la tensión en el inductor vale recordar que U"   #$% ∙ I, donde la j hace rotar 90°, que en nuestro caso es en sentido horario debido a la convención que hemos establecido para construir el diagrama de admitancia. Como la rotación es de 90° sabemos que el diámetro de nuestro círculo representativo de UL se halla sobre el semieje vertical superior, pero lo que no sabemos es el tamaño que tiene, ya que no coincide con el tamaño que tiene el L.G de UR. Entonces para construir el círculo con el tamaño adecuado necesitamos conocer una “cuerda” de dicho círculo ya que conocemos la ubicación del diámetro pero no sabemos dónde se encuentra el centro. La cuerda de una circunferencia se construye uniendo dos puntos arbitrarios de la misma. Una vez conocida la cuerda se marca un punto en la mitad de la misma. Luego se hace pasar por dicho punto una línea perpendicular a la cuerda y donde ésta se intersecta con el eje que contiene al diámetro tenemos el centro de nuestro círculo. La distancia entre el centro y cualquiera de los dos puntos es el radio de la circunferencia.

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Bien, volviendo al tema de determinar el

L.G. de UL  ya tenemos las herramientas para poder construirlo.

Dijimos que conocemos la dirección del diámetro, que es el semieje vertical positivo, pero nos falta conocer los dos puntos para poder trazar la cuerda. Uno de los puntos es el origen de coordenadas y el otro punto lo obtenemos para un valor de XC=0, el cual representa un caso particular en nuestro circuito. Entonces para

XC=0 hallamos el vector representativo de UR

y sabemos que dicha tensión más la que se produce en el inductor debe ser igual a la tensión del generador. Uniendo el extremo del vector

UR  con el punto de U  tenemos el vector

representativo de UL lo cual se muestra en la figura. Trasladando el vector

UL  al centro de coordenadas vamos a

obtener que el mismo se intersecta con el

L.G. de Y y dicha

intersección nos determina el otro punto que estamos buscando para trazar la cuerda. De esta manera, con el procedimiento explicado anteriormente, hemos construido el importante es saber qué parte de la circunferencia forma el

L.G. de UL. Lo

L.G. de UL y cual no, para ello debemos mapear

algunos puntos y así darnos cuenta que parte debemos considerar. Nos resta determinar ahora el L.G. de la tensión en el capacitor. Este caso no es tan sencillo como el anterior dado que no conocemos de antemano la dirección del diámetro ni tampoco los puntos de la cuerda. Para encontrar los datos que necesitamos partiremos de la expresión de la tensión en el capacitor

U&   #'& ∙ I  # ∙ U&   # ∙

I $(

; pero I 

U )!  #$%  *+$(,

I U  $( #$( ∙ )!  #  $ %  * +$ (,

La expresión anterior la podemos invertir para que nuestra variable que es C aparezca en el numerador y sea más fácil de interpretar su representación gráfica. Entonces resulta:

*  #$( ∙ )!  #$%  *+$(,  #$!(  $%(  *   U& U U Observando la expresión vemos el numerador representa la ecuación de una recta, por lo cual nos resulta más sencillo graficarla. Entonces necesitamos conocer 2 puntos de la misma. Dichos puntos los hallamos para los siguientes valores de C:

(-.*

y

(

/ 01 "



. # ∙ 0" 7

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Los valores hallados los dividimos por U y así obtenemos el

L.G. de

1/UC que es la recta que se muestra en la figura. Podemos interpretar a dicha recta como aquella que mapeada nos da la circunferencia que representa el  L.G. de U C.  Notamos que queda definido un ángulo β y

además un ángulo α que se define entre una recta perpendicular al L.G.

de 1/UC

y que pasa por el origen. Por relación entre rectas

perpendiculares estos ángulos son iguales y tienen por expresión:

2  3 . 452   453 ; de la figura tenemos que /+6

452  6+0" 

 0" 

7 2  89  Es

decir

que

la

dirección

del

diámetro

de

la

circunferencia que estamos buscando es α  que coincide con la dirección φ Z de la impedancia para el caso en que  X C = 0. Necesariamente se tiene que uno de los puntos de  

la cuerda es el centro de coordenadas. El otro punto se obtiene para el valor en el cual la recta corta al eje horizontal, que como vimos antes se corresponden con un punto de resonancia, que se mapea en el

punto U. De

esta manera hemos encontrado la dirección del diámetro y los dos puntos que componen la cuerda de nuestra circunferencia. En la figura se puede apreciar el

L.G. de

UC  donde hemos incluido las perpendiculares a las cuerdas para cada caso. Una manera de comprobar que hemos construido bien las curvas de UL y UC es midiendo los segmentos formados entre el centro de coordenadas y los cortes al eje vertical. Es necesario que ambos sean iguales ya que representan el valor de tensión para el caso de resonancia, que como sabemos deben ser iguales. Otra cosa importante es saber como medir las tensiones UL y UC para los distintos valores que toma C. Para un determinado valor de capacidad, llamémoslo C1, obtenemos una impedancia Z1 que mapeada resulta en la admitancia Y1. Como sabemos los lugares geométricos de Y, S, I y UR son proporcionales, es decir que al conocer Y1 también conocemos I1, S1 y UR1. Para determinar la tensión en el capacitor y en el inductor lo que debemos hacer es trazar una perpendicular al rayo Z1-Y1 que pase por el origen cuya intersección con los lugares geométricos de UC y UL nos determinan la UL1 y UC1 que estamos buscando. 8

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En la figura hemos graficado el diagrama circular completo para el circuito serie RLC cuando varía la capacidad C desde 0 a ∞. También incluimos los vectores para dos valores distintos de C y además se muestra claramente como obtener los valores de tensión en el capacitor y en el inductor.

¿Por qué se debe trazar la perpendicular al rayo Z-Y? Como sabemos, el L.G. de I es proporcional al de Y, entonces las caídas de tensión en los elementos reactivos

siempre

dirección

de

la

están

perpendiculares

corriente.

Para

ambos

a

la

casos

considerados se ve que la tensión en el inductor adelanta a la corriente y que la tensión en el capacitor atrasa a la misma. Recordar que el sentido

 de giro es horario para los diagramas de admitancias . Por último, vemos que los valores C1 y C2 hacen que la impedancia sea capacitiva y por ello es de esperar que la corriente del circuito se encuentre adelantada a la tensión aplicada. Si miramos los vectores Y1 eY2, que también representan a las corrientes I1 e I2  en cada caso, vemos que están adelantados respecto de la tensión aplicada.

CIRCUITO PARALELO El razonamiento es análogo al que utilizamos para resolver el circuito serie. El único cuidado que debemos tener es que en los circuitos paralelos no podemos sumar impedancias sino que debemos sumar admitancias. Entonces debemos graficar el L.G. de cada impedancia, luego mapear cada L.G. por separado para obtener los L.G. de las admitancias correspondientes. Seguidamente sumamos gráficamente todos los L.G. de las admitancias y de ser necesario mapeamos la admitancia total para así obtener el L.G. de la impedancia total. Para el análisis vamos a considerar el circuito paralelo de la figura y la propiedad que variaremos desde 0 hasta ∞ es la resistencia R que se encuentra en la rama capacitiva. Por tratarse de un circuito paralelo la tensión en cada impedancia será la tensión del generador. Con el mismo razonamiento comenzaremos a construir el diagrama. 9

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Primero graficamos los L.G de cada impedancia, Z1 y Z2  y, después trazamos sus correspondientes admitancias, Y1 e Y2:

Ahora, como dijimos al principio, si queremos hallar el L.G de la impedancia total NO PODEMOS sumar las impedancias directamente ya que se trata de un circuito paralelo. Debemos primero sumar las admitancias para hallar la admitancia total: Para sumar Y1 e Y2  debemos sumar sus correspondientes L.G. Lo que hacemos es sumarle a cada vector de Y2 el vector Y1 y así obtenemos el L.G de YT. Vemos que se produce una traslación del L.G de Y2. Esto se debe a que Y1 es constante para cualquier valor de C.

Ya encontramos la admitancia total por lo que estamos en condiciones de obtener el L.G de ZT. Para ello mapeamos el L.G de YT: Para hacer el mapeo es conveniente completar el círculo que representa al L.G de Y T el cual no pasa por el origen y por ello se mapea en otro círculo que no pasa por el origen. Para hacer esto conviene tirar un rayo que pase por el centro del círculo de YT, dicho rayo también contendrá al centro del otro círculo. El punto 1 por ser el más lejano se mapea en el más cercano 1’. Lo opuesto sucede con el punto 2 que se mapea en 2’. De esta forma hemos determinado el diámetro del círculo que representa al L.G de ZT. Necesariamente el círculo debe contener a Z1. Por último se mapea algún otro punto para saber con qué región debemos quedarnos. Entonces el diagrama sin las líneas auxiliares resulta el siguiente: 10

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Por último tenemos que los L.G de las admitancias son proporcionales a los L.G de las respectivas corrientes por los motivos que hemos visto antes. Entonces para un determinado valor de nuestra variable R si deseamos conocer, por ejemplo, las corrientes seguimos el mismo procedimiento que hicimos antes.

La siguiente figura muestra los valores de admitancias para dos valores diferentes de R.

Cabe aclarar que los diferentes valores siempre se miden desde el origen de coordenadas hacia su correspondiente curva. Todo lo referente a las escalas de cada parámetro que dijimos antes, se aplican aquí también. Nuevamente las intersecciones con los ejes representan puntos de resonancia donde en este caso por tratarse de un circuito paralelo la corriente es mínima, caso contrario a lo que sucede en los circuitos serie.

CIRCUITOS DONDE VARÍA LA PULSACIÓN Ya hemos analizado los diagramas de impedancia-admitancia para los circuitos serie y paralelo cuando varía sólo una de las propiedades o parámetros mientras los demás permanecen constantes. Ahora analizaremos algunos casos donde lo que varía es la pulsación.

PRIMER CASO Consideremos el circuito paralelo de la figura en el cual varía la pulsación. Recordar que la impedancia es función de R, L, C y ω. Además vamos a hacer la consideración de que la resistencia R es menor que la resistencia crítica del circuito, esto es para que nuestro circuito sea oscilante y por ello posea puntos de resonancia, esto lo vimos en circuitos oscilatorios libres. Podemos definir dos impedancias, una por cada rama así como se observa en la figura. Para hallar la admitancia total debemos sumar las admitancias correspondientes a cada impedancia ya que se trata de un circuito paralelo. 11

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Como lo que varía es la pulsación resulta que tanto Z1  como Z2  son variables y por ende lo serán sus admitancias. Comenzamos graficando los L.G. de Z1, Z2, Y1 e Y2:

Lo siguiente es considerar diferentes valores de pulsación e ir sumando las admitancias para así encontrar el L.G. de YT.

Por cada valor que tomamos de pulsación obtenemos un único punto perteneciente al L.G. de YT. Al variar la pulsación desde 0 hasta ∞  obtenemos todos los puntos que representan el L.G. de YT  para el valor de R considerado. Eso es lo que se muestra en las figuras anteriores donde se considera una determinada pulsación y se suman las admitancias correspondientes a dicha pulsación para obtener el valor de YT. En la siguiente figura se muestra el L.G. de YT el cual fue construido con el procedimiento explicado en el párrafo anterior. Se incluyeron algunos rayos para indicar la construcción del diagrama.

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Veamos que sucede con nuestra curva si variamos el valor de R: El procedimiento de construcción es el mismo. Vemos que al aumentar el valor de resistencia a R’ sin superar a la resistencia crítica la curva se dispara cada vez más rápido pero sigue existiendo punto de resonancia. Si ahora consideramos una resistencia R’’ la cual es mayor que la resistencia crítica la curva se dispara y no existe punto de resonancia lo cual concuerda con lo visto en la “unidad de resonancia” de que si la resistencia del circuito supera a la resistencia crítica el circuito no oscila y por ello no puede existir la resonancia.

SEGUNDO CASO Analizaremos el siguiente circuito, que es una variante del que vimos en el primer caso. Se trata de un circuito paralelo de dos ramas donde la pulsación es variable. Además haremos la consideración de que R2  es mayor que R1  pero que no supera a la resistencia crítica. Nuestro objetivo es determinar el L.G. de YT  y para ello debemos sumar las admitancias Y1 e Y2 correspondientes a cada valor de pulsación. Entonces comenzamos por graficar los L.G. de Z1, Z2, Y1 e Y2:

Para hallar el L.G. de YT  debemos variar la pulsación desde 0 hasta ∞ y sumar las admitancias Y1 e Y2 correspondientes a cada valor de pulsación. Para cada valor de pulsación obtendremos un único punto que pertenece al L.G. de YT. En las siguientes figuras se observa el procedimiento:

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En la siguiente figura se muestra el L.G. de YT el cual se obtuvo con el procedimiento explicado en el párrafo anterior:

Veamos que sucede si variamos el valor de R2. Consideramos un R’2 el cual es mayor que R2 pero menor que la resistencia crítica. Luego consideramos un R’’2 cuyo valor supera a la resistencia crítica:

En la figura hemos graficado las curvas para los tres valores de R2 considerados. El procedimiento de construcción es el mismo para cada caso. Vemos que a medida que incrementamos el valor de R2 la curvatura del L.G de YT se vuelve menor. Además al superar el valor de la resistencia crítica notamos que no existe punto de resonancia.

Por último consideraremos el caso particular en que R2 = R1. Luego diremos que ambas coinciden con la resistencia crítica. El razonamiento para la construcción es siempre el mismo.

Vemos que cuando las resistencias son iguales y menores que la resistencia crítica obtenemos un círculo como L.G. de YT. Luego, cuando ambas resistencias toman el valor de la resistencia crítica se observa que el L.G. de Y’T  resulta un único punto y encima es un punto de resonancia. Entonces vemos que se para este caso particular en que las resistencias son iguales a la resistencia crítica se produce resonancia siempre independientemente del valor de pulsación que tome.

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