LUGARES GEOMÉTRICOS YRESPUESTA EN FRECUENCIA -LIBRO
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LUGARES GEOMÉTRICOS Y RESPUESTA EN FRECUENCIA LUGARES GEOMÉTRICOS Y RESPUESTA EN FRECUENCIA LUGARES GEOMÉTRICOS Y RESP...
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TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I CAPÍTULO VI
LUGARES GEOMÉTRICOS Y RESPUESTA EN FRECUENCIA
Parte A: RELACIONES TENSIÓN-CORRIENTE TENSIÓN-CORRIENTE Parte B: RESPUESTA EN FRECUENCIA Parte C: ANÁLISIS EN LAS CERCANÍAS DE LA RESONANCIA Parte D: RESPUESTA RESPUESTA DEL CIRCUITO PARALELO
In! "#re Mar$a BUCCELLA D%re&t#r 'e (a C)te'ra 'e Te#r$a 'e C%r&*%t#+ I Fa&*(ta' Re%#na( Men'#,a Un%er+%'a' Te&n#(.%&a Na&%#na(
Men'#,a/ Se0t%e12re 'e 3445!-
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
ÍNDICE Parte A: RELACIONES TENSIÓN-CORRIENTE A.1 Oscilograma A.2 Lug Lugare ares s geom geomtr trico icos s !e las te" te"sio sio"es "es # !e las corrie"tes A.2.1 Proce!imie"to a"al%tico !e i"&ersi'" geomtrica A.2.2 A.2.2 Proc Proce!i e!imie mie"to "to gr( gr()ic )ico o !e i"& i"&ers ersi'" i'" geo geomt mtric rica a A. A .2.3 Lugares geomtricos circulares A.2.$ Lugares geomtricos !e las )u"cio"es eleme"tales ,si" r!i!as A.2.0 Lugares geomtricos !e las )u"cio"es eleme"tales ,co" r!i!as
3 3 $ $ * + / 1
Parte : RESPESTA EN 4RECENCIA .1 Circuito serie RL ,Resiste"cia I"!ucta"cia .2 Circuito serie RS ,Resiste"cia Elasta"cia .3 Cir Circui cuito to ser serie ie RLS ,Re ,Resis siste" te"cia cia I"! I"!uct ucta"c a"cia ia # Elasta"cia .3.1 5ariacio"es !e la cur&a e" )u"ci'" resiste"cia # !e la i"!ucta"cia . .3.2 Pu"tos !e ote"cia mita! . .3.3 I"creme"to !e la te"si'" e" reso"a"cia .3.$ 5olta7es i"!ucti&os # caaciti&os e" )u"ci'" !e la i"!ucta" i"!ucta"cia8 cia8 la caaci caaci!a! !a! # la ulsac ulsaci'" i'" .$ 9e)i"ici'" !e !e
13 13 1$
21 23
Parte C: AN;LISIS EN LAS CERCAN ,>C 9.2 Circuito aralelo !e !os ramas 9.3 E7emlo !e c(lculo
31 31 32 33
10 16 16 21
TOTAL: 3$ (gi"as.
673388894!'#&
P)! 3 'e 6
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Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
ÍNDICE Parte A: RELACIONES TENSIÓN-CORRIENTE A.1 Oscilograma A.2 Lug Lugare ares s geom geomtr trico icos s !e las te" te"sio sio"es "es # !e las corrie"tes A.2.1 Proce!imie"to a"al%tico !e i"&ersi'" geomtrica A.2.2 A.2.2 Proc Proce!i e!imie mie"to "to gr( gr()ic )ico o !e i"& i"&ers ersi'" i'" geo geomt mtric rica a A. A .2.3 Lugares geomtricos circulares A.2.$ Lugares geomtricos !e las )u"cio"es eleme"tales ,si" r!i!as A.2.0 Lugares geomtricos !e las )u"cio"es eleme"tales ,co" r!i!as
3 3 $ $ * + / 1
Parte : RESPESTA EN 4RECENCIA .1 Circuito serie RL ,Resiste"cia I"!ucta"cia .2 Circuito serie RS ,Resiste"cia Elasta"cia .3 Cir Circui cuito to ser serie ie RLS ,Re ,Resis siste" te"cia cia I"! I"!uct ucta"c a"cia ia # Elasta"cia .3.1 5ariacio"es !e la cur&a e" )u"ci'" resiste"cia # !e la i"!ucta"cia . .3.2 Pu"tos !e ote"cia mita! . .3.3 I"creme"to !e la te"si'" e" reso"a"cia .3.$ 5olta7es i"!ucti&os # caaciti&os e" )u"ci'" !e la i"!ucta" i"!ucta"cia8 cia8 la caaci caaci!a! !a! # la ulsac ulsaci'" i'" .$ 9e)i"ici'" !e !e
13 13 1$
21 23
Parte C: AN;LISIS EN LAS CERCAN ,>C 9.2 Circuito aralelo !e !os ramas 9.3 E7emlo !e c(lculo
31 31 32 33
10 16 16 21
TOTAL: 3$ (gi"as.
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VI - RESPU RESPUESTA ESTA EN FRECUE FRECUENCIA NCIA Parte A - RELACIONES TENSIÓN-CORRIENTE TENSIÓN-CORRIENTE 5I - A.1 - Oscilograma. E" muc?os casos las co"!icio"es i"sta"t("eas !e termi"ales !e u"a re! se estu!ia" !e ma"era m(s co"&e"ie"te e" )u"ci'" !e u"a relaci'" e=l%cita e"tre la te"si'" # la corrie"te. Por e7emlo8 si te"emos: e,t @ Em(= cos ,t e i,t @ Im(= cos ,t i e=iste e=i ste e" e"tre tre ell ellas as u"a rel relaci aci'" '" !e) !e)i"i i"i!a !a Bue se elimi"a"!o el tiemo. Resulta as% u"a gr()ica Bue e" u" osciloscoio8 u"a !e)le=i'" alime"ta!a or otra roorcio"al a la corrie"te8 la cur&a oDte"i!a !e elimi"ar el tiemo e" las !os e=resio"es. Elegimos como re)ere"cia la te"si'": e,t @ Em(= cos t
,e @
i,t @ Im(= cos ,t
,i @
ue!e e= ue!e e=lic licit itar ar o!emos a"aliar la te"si'" # la es la resulta"te
,1
i,t @ Im(= cos cos t Im(= se" se" t i,t @ ia,t iD,t ia,t @ Im(= cos cos t
e" )ase co" e,t
iD,t @ Im(= se" se" t 9e la te"si'" oDte"emos:
e" cua!ratura co" e,t
,2
e,tFEm(= @ cos t # !e la corrie"te e" cua!ratura:
,3
iD,tF,Im(= se" @ se" t !e ,3 o!emos o"er:
,$
ia,t @ G,Im(= cos FEm(=H e,t
,recta or el orige"
ia,t @ G R F,R2 2H e,t Suma"!o las e=resio"es ,3 # ,$ ele&a!as al cua!ra!o se tie"e: Ge2,tFEm(=H GiD2,tF,Im(=2 se"2 H @ 1 ecuaci'" !e u"a elise "ormal cu#os semie7es so" Em(= e Im(= se" . Como la corrie"te total es la suma !e amDas8 su rerese"taci'" gr()ica es u"a elise i"cli"a!a ?acia la recta. Tie"e su ce"tro e" el orige" !e coor!e"a!as ero sus e7es "o coi"ci!e" co" los !el sistema. Est( Es t( i" i"sc scri rit ta a e" el re rect ct(" ("gu gulo lo !e 2E 2Em( m(= = o or r 2I 2Im( m(= = # es ta"ge"te al mismo e" cuatro u"tos Bue correso"!e" a los &alores m(=imos !e e,t # !e i,t8 u"tos Bue se ue!e" e=resar e" )u"ci'" !el ("gulo !e la ime!a"cia. Si est este e ("g ("gulo ulo es os ositi iti&o &o ,i" ,i"!uc !ucti& ti&a a la co corri rrie"t e"te e atr atrasa asa resecto !e la te"si'" # la elise se traa e" se"ti!o a"ti?orario. El e7e !e la elise "o coi"ci!e "i co" la recta i a,t "i co" 673388894!'#&
P)! 6 'e 6
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Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
la !iago"al !el rect("gulo Bue la circu"scriDe. Para )actor !e ote"cia , @ F2 la corrie"te e" )ase i a,t es "ula # se oDtie"e la elise "ormal. Si el )actor !e ote"cia es u"itario resulta "ula la como"e"te e" cua!ratura iD,t # la gr()ica se re!uce a la recta ia,t.% %2&#+
IMA>+en IMA>+en EMA>+en
EMA>
e
# !e : K @ 1F @ 1F,> 7 @ ,> - 7F,>2 2 @ R 7 co": R @ >F,>2 2 @ -F,>2 2
5I - A.2.2 - Proce!imie"to gr()ico !e i"&ersi'" geomtrica Jemos &isto Bue la arte imagi"aria !e es !e sig"o ouesto al !e la !e K or lo Bue geomtricame"te co"&ie"e realiar la i"&ersi'" e" !os asos ri"ciales. Primero se oDtie"e el co"7uga!o !e 8 : LN
>
7
R
R
2
I
2
7
I R
2
I
2
luego se oDtie"e suDstitu#e"!o or - es !ecir oDte"ie"!o la image" !e co" resecto al e7e >. Se ue!e e&itar traDa7ar e" el la"o comle7o ?acie"!o &arios asos i"terme!ios e" el la"o real. 9el u"to R 7 !el la"o comle7o K se toma" R # !etermi"a"!o u" u"to e" el la"o real R- ,geomtricame"te igual al K ero co" coor!e"a!as reales. e!ia"te las ecuacio"es: > @ RF,R2 2Q @ -F,R2 2Q # @ - se oDtie"e" las coor!e"a!as !e u" la"o real >-. Esto es la i!ersi" ge#m&trica .Para oDte"er el u"to > - 7 !el la"o comle7o "o ?a# m(s Bue camDiar !e "omDre a los e7es oDte"ie"!o rimero el u"to ,>8 # luego ?alla"!o su image" co" resecto al e7e real > se oDtie"e ,>8- o sea @ > 7.
Pr#cedimiet#' E" el la"o a rocesar se traa co" ce"tro e" el orige" u"a circu")ere"cia !e ra!io u"itario8 ara lo cual se !eDer( traDa7ar co" la misma escala e" amDos e7es ortogo"ales. 9es!e el orige" se traa u"a semirrecta Bue ase or el u"to ,m al Bue se !esea oDte"er la i"&ersi'". Pue!e" ocurrir !os casos: Bue el u"to Bue!e )uera o !e"tro !e la circu")ere"cia u"i!a!. Si Bue!a )uera: se traa or el u"to u"a !e las ta"ge"tes osiDles a la circu")ere"cia. 9el u"to !e ta"ge"cia ,"8 Bue ue!e recisarse te"ie"!o e" cue"ta Bue la ere"!icular a la ta"ge"te e" ese u"to asa or el orige"8 se traa u"a ere"!icular a la semirrecta Om Bue !etermi"a e" su i"tersecci'" co" sta el u"to m Bue es la i"&ersi'" gr()ica Dusca!a. Si Bue!a !e"tro: se traa u"a ere"!icular a la semirrecta !es!e el u"to. 9es!e la i"tersecci'" !e sta co" la circu")ere"cia u"i!a! se traa u"a ta"ge"te a la misma cu#a i"tersecci'" co" la semirrecta Om !e)i"e la i"&ersi'" !esea!a como u"to m.
673388894!'#&
P)! 7 'e 6
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Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
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B 1 = %ner+%.n e#1tr%&a 'e 1
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R
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G
&%r&*neren&%a *n%'a' 1 L
BL
Reacta"cia I"!ucti&a 673388894!'#&
P)! 8 'e 6
Susceta"cia I"!ucti&a 46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
BC
>C Reacta"cia Caaciti&a
Susceta"cia Caaciti&a
5emos Bue se cumle Bue la e"!ie"te !e las cur&as es siemre ositi&a8 es !ecir ?acia arriDa # a la !erec?a. Para las comDi"acio"es !e i"!ucta"cia # caaci!a! se oDtie"e" las gr()icas siguie"tes. Para los eleme"tos e" serie se cumle la misma roie!a! ara la reacta"cia # ara la susceta"cia. 8 or !uali!a!8 o!emos !ecir Bue lo mismo ocurre co" los eleme"tos uestos e" aralelo. A las cur&as las !e)i"e" los olos ,i")i"itos # los ceros # la escala &ertical la !a otro u"to cualBuiera. El Teorema !e la reacta"cia !e 4oster !ice Bue "i"gu"a otra cur&a ue!e asar or los mismos olos # ceros a me"os Bue !i)iera e" la escala &ertical. B
X
Reacta"cia Serie L-C
Susceta"cia Serie L-C
Las reglas ge"erales so": 1 E" to!as oDser&amos Bue la e"!ie"te es siemre ositi&a8 arriDa # a la !erec?a. 2 Los olos # ceros est(" siemre alter"a!os a lo largo !el e7e . 3 E"co"traremos siemre u" olo o u" cero e" amDos e=tremos8 es !ecir ara )recue"cia cero # ara )recue"cia i")i"ita. 4%sicame"te ?a# u" cero ara @ si e=iste u" cami"o Bue "o ase or u" caacitor. Ja# u" cero ara @ si ?a# u" cami"o Bue "o co"te"ga u"a i"!ucta"cia. 673388894!'#&
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Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
9eDe recalcarse Bue as% como ?a# u"a sola )orma !e c%rculo o !e recta ?a# u"a sola )orma !e cur&a !e reacta"cia ,o susceta"cia. S'lo u"a recta ue!e asar or !os u"tos8 u"a circu")ere"cia or tres8 # u"a cur&a !e reacta"cia o susceta"cia or los olos # ceros eseci)ica!os.
5I - A.2.0 - Lugares geomtricos !e las )u"cio"es eleme"tales ,co" r!i!as. Si co"si!eramos u"a i"!ucta"cia e" serie co" u"a resiste"cia su ime!a"cia estar( !a!a or la e=resi'": K @ R 7L Por co"siguie"te la a!mita"cia ser( la rec%roca comle7a: @ 1 F K @ 1 F , R 7L La rimera e=resi'" es la !e u"a semirrecta e" el la"o K mie"tras Bue la otra es u" semic%rculo e" el la"o Q lo Bue ue!e o"erse e" e&i!e"cia escriDie"!o ,R7L@1 # !i&i!ie"!o or R Bue!a 7LFR @ 1FR Bue i"!ica Bue ara cualBuier &alor !e )recue"cia se )orma u" tri("gulo rect("gulo Bue tie"e la ?iote"usa !e &alor co"sta"te. N'tese Bue la rimera est( e" el semila"o ositi&o # la segu"!a e" el "egati&o !eDi!o al ?ec?o !e ser e=resio"es comle7as.
X
(Z)
(Y)
B 1/2R0
(
L
Y
1/R0
Y R0
G
?YL;R4
(
R
Para el circuito aralelo R8 L8 C8 !e tres ramas &eremos Bue co" la )recue"cia &ar%a ta"to la arte resisti&a como la reacti&a !e la ime!a"cia: L
>
7
K
>
>
2
2
7
>
2
2
R
7I
Po!emos oDte"er e"to"ces los siguie"tes !iagramas: R
0 673388894!'#&
0.99 1.0 Parte resisti&a !e la ime!a"cia 1.01 P)! 54 'e 6
f/f 0 46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
X
f/f 0 0.99
0
1.0
1.01
Parte reacti&a !e la ime!a"cia X
f/f 0 =0. 99
f/f 0 =1.0
f=0 f=
R
f/f 0=1.01 Ime!a"cia e" el la"o K
E" el circuito si" r!i!as la reacta"cia camDia !e sig"o e" la )recue"cia !e reso"a"cia8 e" )@)8 co" !isco"ti"ui!a! i")i"itaQ co" r!i!as el camDio se ?ace me"os Drusco. E" to!os los casos Bue rerese"tamos el la"o !e ime!a"cias o a!mita"cias la )recue"cia "o aarece como &ariaDle ero se ue!e i"!icar soDre las cur&as.
RE)LAS )ENERALES : 1Cua"!o el lugar geomtrico es u"a cur&a cerra!a la )recue"cia aume"ta e" el se"ti!o !el relo78 cua"!o es aDierta aume"ta ?acia arriDa. 2Los lugares geomtricos emiea" # termi"a" ,e" ) @ o e" ) @ sea e" el e7e ?orio"tal o e" el i")i"ito. E" su ri"ciio # e" su )i"al la cur&a es ?orio"tal o &ertical. El circuito aralelo !e !os ramas se comorta !e la misma ma"era Bue el !e tres ramas cerca !e la )recue"cia !e reso"a"cia. La rama C es u"a recta # la R-L u"a semicircu")ere"cia. La a!mita"cia es la suma !e amDas ara ca!a )recue"cia. Para la ime!a"cia tie"e la )orma Bue se muestra.
673388894!'#&
P)! 55 'e 6
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Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI B X R
Z
Y@?CH5;r()ico "ormalia!o ara circuito R-L serie
673388894!'#&
P)! 56 'e 6
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Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
5I - .2 - Circuito serie RS ,Resiste"cia Elasta"cia.
R
S
TamDi" a"aliamos !el &alor aDsoluto !e la ime!a"cia # !e su ("gulo !e )ase: VKV @ GR2 ,SF2H1F2 @ arctg ,SFR
ge"eralicemos toma"!o la ime!a"cia relati&a: VKVFR @ G1 ,SFR2H1F2 9e esta ma"era &emos Bue ta"to la ime!a"cia relati&a como su ("gulo !e )ase so" )u"cio"es !e SFR. ODser&amos Bue ta"to la co"sta"te !e tiemo8 @ RFS8 como la )recue"cia i"ter&ie"e" co" igual imorta"cia. Su ro!ucto es a?ora la i"&ersa !e la &ariaDle # e" )u"ci'" !e sta el comortamie"to &ar%a !es!e el resisti&o uro ,K @ R8 co" @ al caaciti&o uro ,K @ SF8 co" F2:
;R ;R
9 6 3 5 S;R
4
5;T
Si i"&ertimos la &ariaDle oDte"emos u"a rerese"taci'" gr()ica a"(loga al estu!io a"terior8 Bue "os ser&ir( ara to!os los casos # to!as las )recue"cias8 es !ecir Bue o!emos oDte"er u" gr+(ic# ui!ersal # #rmali,ad# .
673388894!'#&
P)! 5 'e 6
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Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
;R
9 6 3
;R
5
R;S
4
T
>r()ico "ormalia!o ara circuito R-C serie
5I - .3 - Circuito serie RLS ,Resiste"cia I"!ucta"cia # Elasta"cia
R
L
S
Este caso e=ige u" estu!io m(s comleto. La ime!a"cia es8 como saDemos: K @ R 7,L C @ R 7 la arte L C @ @ L - SF8 es la reacta"cia !el circuito # la "ica Bue co"tie"e a la )recue"cia a"gular ,omegaQ las como"e"tes so": L @ L # C @ - SF E" el marge" !e )recue"cias e" Bue la reacta"cia es ositi&a el circuito reso"!er( i"!ucti&ame"te # e" el Bue sea "egati&o8 or lo co"trario8 el comortamie"to ser( caaciti&o. Po!emos rerese"tar la reacta"cia , # sus como"e"tes e" u" gr()ico e" )u"ci'" !e . L ser( u"a recta , L # C u"a ?irDola eBuil(tera ,-SF
673388894!'#&
P)! 59 'e 6
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
>L L
4
-S;
>C
Reacta"cias ara circuito R-L-C serie
Por su arte o!emos rerese"tar la &ariaci'" !e la ime!a"cia !e la siguie"te )orma:
>L > R
4
4
>C
Como"e"tes !el circuito R-L-C serie JaDr( u" &alor ara el cual L @ -C8 es !ecir Bue @ Q tal situaci'" la te"!remos ara la )recue"cia a"gular llama!a !e res#acia e i"!ica!a como e" la cual: L - SF @
673388894!'#&
P)! 57 'e 6
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Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
e=resi'" !e la Bue oDte"emos: @ ,SFL1F2 @ ,1FLC1F2
5alor coi"ci!e"te co" la ulsaci'" "atural Bue oDser&amos e" el estu!io !el tra"sitorio !e los circuitos !e segu"!o or!e". Si el circuito es e=cita!o co" u"a seXal !e esta )recue"cia u"a &e !esaareci!o el tra"sitorio8 es !ecir e" rgime" erma"e"te8 reso"!er( como si )uera resisti&o uro #a Bue las reacta"cias ?a" si!o mutuame"te ca"cela!as. La ime!a"cia !el mismo ser( m%"ima #8 co"secue"teme"te8 la corrie"te ser( m(=ima suuesta u"a te"si'" !e e=citaci'" !e amlitu! co"sta"te. 9ecimos or esto Bue rese"ta reso"a"cia serie o !e corrie"te. A"alicemos e"to"ces la corrie"te8 ero ree=resemos rimero la ime!a"cia !el mo"ta7e: K @ R,1 7,1FRL - SF si te"emos e" cue"ta Bue @ SFL ser( S @ L # co" ello: K @ R,1 7,1FR,L - L saca"!o L como )actor com" !el ar"tesis i"ter"o: K @ R,1 7,LFR, - Esta e=resi'" "os sugiere el uso !e la )recue"cia relati&a F@ como &ariaDle8 #a Bue la resuesta !ee"!e s'lo !e ella # "o !el &alor articular !e la )recue"cia a"gular. La corrie"te ue!e a?ora ser e=resa!a como: VIV@
E
1
R
L 1A R cu#a rerese"taci'" gr()ica8 la cur!a
2
2
1 - de selecti!idad 8 ue!e te"er o
"o u" u"to !e i")le=i'" e"tre el orige" # el &alor !e la aDscisa @1. La co"!ici'" Bue marca el l%mite e"tre ellas ue!e !etermi"arse ?alla"!o la i"tersecci'" e"tre la cur&a # la recta ta"ge"te a ella e" el orige"8 # ?acie"!o Bue esta i"tersecci'" ocurra e" el orige" ara Bue !esaareca. La e"!ie"te al orige" la oDte"emos !eri&a"!o la corrie"te resecto a la &ariaDle # ?acie"!o sta igual a cero8 la Bue resulta: VIV
@
@
E
R
R L
la i"tersecci'" e"tre la recta ta"ge"te al orige" # la cur&a Bue!ar( !e)i"i!a or la co"!ici'": R
L
1
@ 1
L A R
2
-
1
2
!e la cual o!emos !ese7ar : 2 @ 2 - ,RFL2
Bue ara @ resulta Bue la co"!ici'" l%mite est( !a!a or: 673388894!'#&
P)! 5 'e 6
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
RFL @
2
I E;R
4
5
Cur&a !e selecti&i!a! ara RFL U I E;R
4
5
Cur&a !e selecti&i!a! ara RFL E" este ltimo tratamie"to &emos Bue la caracter%stica !e la cur&a !e selecti&i!a! est( !a!a or la relaci'" LFR8 or lo Bue o!emos utiliarla como u" ar(metro !e la misma # as% !e)i"imos el (act#r de selecti!idad como: @ LFR Las )recue"cias a"gulares corrie"te si se cumle Bue:
1
#
2
!a"
el
mismo
&alor
!e
1F - F1 @ - 2F F2
es !ecir Bue: ,1 2,1F -F,12 @ ara lo cual ?a# !os co"!icio"es: 1
1 @ - 2
)recue"cia "egati&a8 !escartaDle8 #
2 1F @ F12 Bue se resuel&e como: @ ,1 21F2 lo Bue eBui&ale a estaDlecer Bue la cur&a es geomtricame"te simtrica co" resecto a la ulsaci'" !e reso"a"cia8 .
673388894!'#&
P)! 58 'e 6
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
5I - .3.1 - 5ariacio"es !e la cur&a e" )u"ci'" !e la resiste"cia # !e la i"!ucta"cia. Si traamos !isti"tas cur&as !e selecti&i!a! ara u" circuito serie8 !o"!e &ariamos solame"te la resiste"cia &eremos Bue la misma re!uce su amlitu! # su agu!ea a me!i!a Bue la resiste"cia aume"ta ,aDa7o8 iBuier!a.
E;R L
R
4igura 5I--$.1a
4igura 5I--$.1D
Si e" camDio &ariamos la i"!ucta"cia !e7a"!o )i7a la resiste"cia ,arriDa8 !erec?a8 # a7usta"!o la caaci!a! ara "o &ariar la )recue"cia !e reso"a"cia8 oDser&amos Bue la amlitu! !e la cur&a "o &ar%a8 ero si &ar%a la )orma !e ella ?aci"!ose m(s agu!a a me!i!a Bue aume"ta la i"!ucta"cia8 o se re!uce la caaci!a! !el circuito. E" resume". La resuesta e" reso"a"cia !ee"!e solame"te !e R mie"tras Bue )uera !e ella casi e"terame"te !e las reacta"cias L8 SF8 o !e ,LS1F2. El car(cter ge"eral !e la !iscrimi"aci'" !ee"!e !e la relaci'" RFL Bue8 si la e=resamos relati&ame"te a la )recue"cia !e reso"a"cia8 "os lle&a "ue&ame"te a la !e)i"ici'" !e 8 el )actor !e selecti&i!a! o !e mrito !el circuito.
5I - .3.2 - Pu"tos !e ote"cia mita!. ODser&a"!o la cur&a !e selecti&i!a! &emos Bue la corrie"te es m(=ima ara la )recue"cia !e reso"a"cia o. La ote"cia !esarrolla!a soDre el circuito tamDi" resulta m(=ima ara esa co"!ici'"8 # e" ge"eral8 al &ariar co" la corrie"te al cua!ra!o8 o!emos !ecir Bue seguir( u"a &ariaci'" seme7a"te a la !e ella. Ja# !os u"tos !e esecial i"ters Bue so" aBuellos e" Bue la ote"cia acti&a !esarrolla!a e" el circuito es la mita! !e la !esarrolla!a e" reso"a"cia. Esos u"tos se co"oce" como $ut#s de $#tecia mitad 8 o !el +Y !e la corrie"te8 # co" ellos se !e)i"e" los e=tremos !el llama!o ac# de .ada !el circuito reso"a"te. Para Bue tal cosa ocurra la corrie"te !eDer( ser "ecesariame"te igual a la corrie"te e" reso"a"cia8 I8 !i&i!i!a or 2 .
673388894!'#&
P)! 5 'e 6
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI I E;R E;R
4
5
Z
Pu"tos !e ote"cia mita! # a"c?o !e Da"!a Te"%amos la e=resi'" !e la corrie"te e" el circuito como igual a: VIV@
E
1
R
2
1A: ara Bue este &alor sea igual a I F 2 el !e"omi"a!or !el segu"!o trmi"o !eDe ser igual a 2 . Lo Bue eBui&ale a !ecir Bue ?aDr( !os )recue"cias ara las cuales se cumle Bue: 2
2,F - F2 @ 1 elimi"a"!o el cua!ra!o # oera"!o te"emos:
Q 0 -
0
0
1 Q 0 =
multilica"!o or ! 2
:
- : @
ecuacio"es !e segu"!o gra!o Bue resol&emos: a.
2
:
A - : @
1 @
-1A
2
1 A $ : 2 :
D.
2
:
- - : @
2 @
1A
2
1 A $ : 2 :
como el ra!ical es ma#or Bue 1 te"!remos u"a soluci'" &(li!a ,ositi&a cua"!o a!otemos el sig"o ositi&o !el mismo or ello ?emos !esec?a!o las solucio"es Bue aarecer%a" al tomar los sig"os "egati&os. Co" estos resulta!os el a"c?o !e Da"!a resulta: Z @ - @ F @ RFL
5I - .3.3 - I"creme"to !e la te"si'" e" reso"a"cia. 673388894!'#&
P)! 34 'e 6
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
E" reso"a"cia resultaDa Bue la ime!a"cia !el circuito es K,@R8 si la corrie"te es I8 la te"si'" e" Dor"es !el circuito ser( 5, @ RI Bue es la misma te"si'" E alica!a al circuito. E" la i"!ucta"cia or su arte ser(: 5L, @ 7LI @ 5L, @ 7LI reemlaa"!o L @ R te"!remos: 5L, @ 7RI @ 75, # ara el caacitor resultar(: 5C, @ - 75, Esto "os ermite !e)i"ir a tamDi" como el (act#r de s#.retesi" e" reso"a"cia8 Bue saDemos "o es el m(=imo &alor Bue a!Buiere la te"si'" soDre los eleme"tos reacti&os.
5I - .3.$ - 5olta7es i"!ucti&os # caaciti&os e" )u"ci'" !e la i"!ucta"cia8 la caaci!a! # la ulsaci'". La te"si'" e" la i"!ucta"cia est( !a!a or: E " L
V 5L V @ V I " L V @
2
2 R A ,L A C .
Su m(=imo &alor ser( ara la )recue"cia Bue ?ace m(=ima la e=resi'" resecto !e L. Para ello ?acemos: 5L @ E L
1 2
2
-E
R A ,L A C .
1 2 2 R A ,L A C .
L ,L A C. @
L
@
2
2
R A ,L A C .
3
,L A C. @
L,L A C.
2 R A ,L A C . 2
2
2 R A ,L A C .
3
3 2
@ R2 A ,L A C .
2
2 R A ,L A C .
or lo ta"to: L @
2 2 R A C
C lo cual imlica Bue ocurre ara u"a )recue"cia ma#or Bue la !e reso"a"cia. Esta )recue"cia a"gular la o!emos oDte"er o"ie"!o la e=resi'" i"icial e" )u"ci'" !e : V 5L V @
EL 2 R A ,L -
1
C
2
.
su m(=imo &alor ser( ara la )recue"cia Bue ?ace m(=ima la e=resi'" resecto !e . Es !ecir:
673388894!'#&
P)! 35 'e 6
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
5L
@
EL 2 R A ,L -
1
C
2
.
EL
1
2 R A ,L -
,L 3
. 2
1
1 .,L A .@ 2 C C
C
1 2 2 ,L . - , . C @ E L 1 1 2 2 . R A ,L C e=resi'" Bue "os ermite oDte"er la )recue"cia Dusca!a:
V5
L @ ma=
Jacie"!o lo roio ara e"co"trar( el m(=imo ara: C @ -
2 2 R A L
L
2 S2
@
2LS - R
la
#
2
te"si'"
V5 @ ma= C
@
e"
el
caacitor
se
2LS - R 2 2
2L
es !ecir ara u"a )recue"cia me"or a la !e reso"a"cia8 Bue est( geomtricame"te !isuesta co" la a"terior resecto !e la !e reso"a"cia. E" reso"a"cia las te"sio"es soDre la i"!ucta"cia # el caacitor so" iguales # ouestas8 ero "o tie"e" su m(=imo sal&o ara el caso i!eal co" R @ . JaD%amos oDte"i!o la )recue"cia ara la cual es m(=ima la te"si'" e" la i"!ucta"cia: 2 S2
V5 @ ma= @ L
2LS - R
2
2 $ L2
@
2 2 L2 - R
2
e=resa!a e" )u"ci'" !el :
L
@
V5 @ ma= L
2 2 :2
@
2 :2 - 1
la ecuaci'" !e la te"si'" e" la i"!ucta"cia8 e=resa!a tamDi" e" )u"ci'" !el )actor !e mrito8 es:
5L @ E
:
1 A : ,
-
.2
reemlaa"!o or L oDte"emos la te"si'" m(=ima e" la i"!ucta"cia como: 5L ma= @ E
2 :2 $ :2 - 1
?acie"!o lo roio ara el caacitor oDte"emos el mismo &alor ero ouesto al !e la i"!ucta"cia: 5C ma= @ E
673388894!'#&
P)! 33 'e 6
2 :2 $ :2 - 1
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
Cua"!o el )actor !e mrito !ecrece lo ?ace" tamDi" los &alores m(=imos # se ale7a" !e la )recue"cia !e reso"a"cia. Cua"!o es igual a 1F 2 el m(=imo ?a !ecreci!o al &alor E !e la te"si'" alica!a8 ara &alores me"ores !e los m(=imos ocurre" e" @ ara la te"si'" soDre el caacitor # ara @ ara la te"si'" e" la i"!ucta"cia.
5I - .$ - 9e)i"ici'" !e . 9e mome"to ?emos e"co"tra!o tres e=resio"es Bue !e)i"e" al Da7o !isti"tos co"cetos: @ LFR Q @ F,2 - 1 # @ V5LF5V @ V5CF5V La ltima "o ue!e co"si!erarse como D(sica ues "o tie"e &ali!e ara circuitos aralelosQ la rimera tamoco es &(li!a ara ese caso. La segu"!a es mu# r(ctica # se !etermi"a or me!icio"es )%sicas. Ja# u"a cuarta relaci'" Bue es alicaDle a to!o sistema reso"a"te8 sea este acstico8 mec("ico o elctrico8 li"eal o "o. Est( !a!o e" Dase a relacio"es !e e"erg%a # "o ue!e ?aDer u" co"ceto m(s D(sico # simle. La e"erg%a almace"a!a e" u" circuito reso"a"te es co"sta"te au"Bue &ar%a el camo mag"tico # el elctrico. No ?ace )alta e"tregar e"erg%a al circuito !es!e el e=terior ara la caaci!a! # la i"!ucta"cia8 s'lo es "ecesario reo"er la !isia!a e" la resiste"cia ,r!i!a. Por esto se !e"omi"a circuitos ta/ue a los reso"a"tes8 e" articular a los aralelos. Si la corrie"te e" el circuito es: i @ Im(= cos,t la e"erg%a e" la i"!ucta"cia e" ca!a i"sta"te ser(: ZL @ W L i2 @ W L Im(=2 cos2,t # e" el caacitor te"!remos Bue la te"si'" es: e @ GIm(=F,CH se",t # la e"erg%a resulta e": ZC @ W C e2 @ W GIm(=2F,2CH se"2,t la e"erg%a total ser(: Z @ ZL ZC @ W Im(=2 GL cos2,t ,1F,2C se"2,tH Bue ara @ saDie"!o Bue L @ 1F2C resulta: Z @ W Im(=2 GL cos2,t,1F2C se"2,tH @ @ W Im(=2 LGcos2,tse"2,tH @ @ W Im(=2 L @ W Im(=2F2C @ Co"sta"te La ote"cia !isia!a est( !a!a or: P @ I2 R @ ,Im(=F 2 2 R @ W Im(=2 R la e"erg%a es ote"cia or tiemo8 luego ara u" er%o!o te"!remos8 recor!a"!o Bue T@1F): ZR @ W Im(=2 R,1F) 673388894!'#&
P)! 36 'e 6
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
Si relacio"amos la e"erg%a almace"a!a a la !isia!a e" u" ciclo oDte"emos: ZFZR @ G,W Im(=2 LF,W Im(=2 RH ) @ L )FR multilica"!o or 2 llegamos a: ,2 ) LFR @ , LFR @ co" lo Bue oDte"emos la !e)i"ici'" ge"eral !e : : 2
673388894!'#&
E"erg%a almace"a!a E"erg%a !isia!a or ra!i(" !e tiemo
P)! 3 'e 6
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
Parte C' AN0LISIS EN LAS CERCANÍAS DE RESONANCIA I5 - C.1 - I"tro!ucci'" JaD%amos uesto Bue la ime!a"cia o!%a escriDirse como: K @ R 7L, - 1F !o"!e @ )recue"cia relati&a @ . E" reali!a! la resiste"cia es tamDi" )u"ci'" !e la )recue"cia # ser( m(s correcto e=resarla como: K @ R GRFR ,7LFR, - 1FH !o"!e R es la resiste"cia e)ecti&a e" reso"a"cia Bue i"clu#e to!os los e)ectos !isiati&os !el circuito. Po!emos a?ora re!e)i"ir al )actor !e cali!a! como: @ LFR llegamos a: K @ R GRFR 7, - 1FH I"tro!ucimos a?ora u" "ue&o s%mDolo ara rerese"tar "o a la )recue"cia si"o a la !i)ere"cia e"tre sta # la !e reso"a"cia8 es !ecir la M!esi"to"iaci'"M8 ero la e=resaremos e" )orma relati&a a la !e reso"a"cia. TraDa7aremos co" la desit#i,aci" (racci#al : # @ , - F
co" esto resulta: F @ 1 #
,F-,F @ 1 # - 1F,1 # @ #,2#F,1# Bue al i"tro!ucirla e" la e=resi'" !e la ime!a"cia !a: K @ RGRFR 7#,2#F,1#H ,1 e=resi'" e=acta # ge"eral ara el circuito serie R8 L8 S.
5I - C.1.1 - Aro=imacio"es. 1[ La resiste"cia ue!e ser r(cticame"te co"sta"te co" la )recue"cia8 lo Bue ocurre ara au!io)recue"cias8 # e" tal caso: R @ R @ cte. co" lo Bue: K @ RG1 7#,2#F,1#H ,2 2[ La resiste"cia ue!e ser roorcio"al a la )recue"cia8 aro=ima!ame"te cierto ara ra!io)recue"cia ,e)ecto elicular8 # as%: RFR @ F @ 1 # luego: K @ R G,1# 7#,2#F,1#H ,3 Ni"gu"a !e las !os ltimas e=resio"es es &(li!a ara to!as las )recue"cias ero ue!e" utiliarse seg" el caso.
673388894!'#&
P)! 39 'e 6
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
3[ E" el ra"go !e las )recue"cias cerca"as a reso"a"cia la !esi"to"iaci'" )raccio"al8 #8 es eBueXa comar("!ola co" la u"i!a! # las tres e=resio"es se re!uce" a: K @ R,1 72# ,$ To!as !a" ara la )recue"cia !e reso"a"cia la misma ime!a"cia K @ R. Calcula"!o la a!mita"cia a artir !e la e=resi'" ,$ oDte"emos: @ 1FK @ F,1 72# ,0 !o"!e es la a!mita"cia e" reso"a"cia. La )igura !e aDa7o a la iBuier!a muestra la &ariaci'" !el m'!ulo !e la a!mita"cia e" )u"ci'" !e la )recue"cia a"gular8 utili("!ose la escala logar%tmica ara esta ara oDte"er u"a cur&a simtrica resecto !e la )recue"cia reso"a"te. ie"tras Bue la )igura !e la !erec?a "os muestra la &ariaci'" !el ("gulo !e )ase.
Y
Y
P#&a+ Pr'%'a+
M*&Ja+ Pr'%'a+
Pr'%'a+ Y4
4
( F
Y4 4
( F
(s til resulta la e=resi'" !e la a!mita"cia relati&a: F @ 1F,1 72#
673388894!'#&
P)! 37 'e 6
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
5I - C.2 - Cur&a u"i&ersal !e reso"a"cia. Puesto Bue la )orma !e la cur&a !e reso"a"cia es8 ese"cialme"te8 la misma ara to!os los circuitos ue!e rerese"tarse la resuesta !e to!os e" u"a sola cur&a. El resulta!o !e gra)icar la a!mita"cia relati&a !a!a or la e=resi'" e" )u"ci'" !el ro!ucto # 8 !esi"to"iaci'" )raccio"al relati&a8 es la llama!a cur!a ui!ersal de res#acia . Las como"e"tes real e imagi"aria !e esta cur&a se e"cue"tra racio"alia"!o la ecuaci'" ,*:
@
ReGF H @
>
@
1 1 A 72 :
1 1 A ,2 :
#.
2
#
1 - 72 :
@
1 A ,2 :
ImGF H @
#
# .2 @
- 2 : # 1 A ,2 : # .
2
la mag"itu! total es: VV
@
1 A ,2 : # .2 1 A ,2 : # .
2
@
1 1 A ,2 : # .2
E" estas e=resio"es aro=ima!as el error es Dasta"te eBueXo8 me"or !el 1Y ara cualBuier )recue"cia si el )actor !e cali!a! es igual o ma#or !e 2. Para u" @ 1 el error es algo suerior al !oDle. Y;Y4 ;4 5!4
4!4 4!9 4!
T#ta(
4!3 Rea( 4!4 -3!4
-5!9
-5!4
-4!9
4!9
5!4
5!9
3!4
@#K4
I1a! -4! -4!9
Cur&a "i&ersal !e Reso"a"cia
673388894!'#&
P)! 3 'e 6
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
La Cur&a "i&ersal !e Reso"a"cia "os muestra las cur&as oDte"i!as co" las e=resio"es ,+8 ,/ # ,6. El u"to e" Bue las cur&as !e susceta"cia # !e co"!ucta"cia se crua" es !e suma imorta"cia. Las ecuacio"es ,+ # ,/ muestra" Bue >F # F so" iguales cua"!o @ # es igual a \W. Si @ W ser( >F @ W # F @ -WQ # si @ -W ser( >F @ W # F @ W. Para amDos u"tos resulta F @ 1F 2 @ 8++ # el ("gulo !e )ase es !e F$ o $0[. Estos u"tos so" llama!os8 e" )u"ci'" !e la corrie"te8 !el +Y. E" )u"ci'" !e la ote"cia so" los llama!os !e ote"cia mita!8 or ser la ote"cia acti&a la mita! !e la !iso"iDle e" reso"a"cia. La !ista"cia ?orio"tal e"tre los u"tos !e ote"cia mita! es: ,#2 - #1 @ 1 # es u"a me!i!a !el a"c?o !e la cur&a !e reso"a"cia or lo Bue se !e"omi"a ac# de .ada . E" ella ,1 - 2F @ 1F # or ello el )actor !e mrito o cali!a! !a u"a i!ea !e la selecti&i!a! !el circuito. ,#2 - #1 @ 1 @ @ G,2 - F - ,1 - FH @ ,2 - - 1 F @ 1 luego ser(: @ F,2 - 1 @ F Z ,..s. co" Z @ a"c?o !e Da"!a8 Bue Bue!a !e)i"i!o e"to"ces como: Z @ F @ RFL
,..s.
es !ecir Bue el a"c?o !e Da"!a8 e" ulsacio"es or segu"!o Bue!a !etermi"a!o or la relaci'" e"tre la resiste"cia # la i"!ucta"cia o: @ 2)F,2)2 - 2)1 @ ) F Z ,J Z @ )F @ RF2L ,Jert
5I - C.3 - E7emlo !e c(lculo. 9a!o el circuito serie !e la )igura8 e" el Bue R@1]8 L@.1J# # C@.14!8 calcular: a la )recue"cia !e reso"a"ciaQ D la ime!a"cia e" reso"a"ciaQ c el )actor !e mritoQ ! el a"c?o !e Da"!aQ e las )recue"cias cua!ra"talesQ # ) la )recue"cia ara la m(=ima te"si'" soDre la i"!ucta"cia.
R
L
C
a La )recue"cia !e reso"a"cia est( !a!a or:
673388894!'#&
P)! 38 'e 6
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
) @ F2 @ G1FLCH1F2 F 2 @ G1F.111-+H1F2F*.2/32 @ ) @ 1sF*.2/32 @ 1061.00 Jert. D La ime!a"cia e" reso"a"cia est( !a!a !irectame"te or la resiste"cia !el circuito: K @ R @ 1] c El )actor !e mrito es: @ ^ LFR @ 1.1F1 @ 1 ! El a"c?o !e Da"!a lo o!emos !etermi"ar !e la e=resi'": Z @ 2 - 1 @ RFL @ 1F.1 @ 1s. @ 106.1 J. e Las e=resio"es:
1
@
)recue"cias
cua!ra"tales
2
-1A
1 A $ :
@
2
#
2 :
1A
las
oDte"emos
!e
las
1 A $ :2 2 :
1 @ G-1,1$1F2HF,2F1 @ 6012.0s 2 @ G1,1$1F2HF,2F1 @ 1012.0s
Co" esos resulta!os las )recue"cias so": )1 @ 101$ J.
# )2 @ 1*+3.1 J
ABu% o!emos oDser&ar Bue el c(lculo "os muestra Bue la Da"!a "o est( e=actame"te ce"tra!a co" la )recue"cia !e reso"a"cia. La cur&a u"i&ersal !e reso"a"cia "os ?aDr%a !a!o ce"tra!a8 !a"!o u" error mu# i")erior al 1Y. ) La )recue"cia ara la cual es m(=ima la te"si'" e" la i"!ucta"cia est( !a!a or:
V5 @ ma= @ L
2 S2 2
2LS - R
@
2 $ L2 2 L - R 2
2
2
@ G,211$F,2.11+ - 1H1F2 @
@ 120.1s. )L @ 1060.0 J.
673388894!'#&
P)! 3 'e 6
46;48;aa
Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
NOTAS 1 CO2ENTARIOS
673388894!'#&
P)! 64 'e 6
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Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
Parte D' RESPUESTA DEL CIRCUITO PARALELO I5 - 9.1 - Circuito aralelo !e tres ramas ,> C Este circuito tie"e u"a similitu! sorre"!e"te co" el serie. To!as las e=resio"es so" !uales # lo mismo ue!e !ecirse !e las cur&as. 9e este mo!o cualBuier e=resi'" e"co"tra!a ara el circuito serie ue!e ser utilia!a ara el aralelo. El roceso rec%roco ue!e8 or suuesto8 tamDi" realiarse.
G
C
La a!mita"cia est( !a!a or: @ > 7C 1F,7L @ > 7,C -1FL La reso"a"cia resulta !e la co"!ici'" !e susceta"cia "ula: C - 1F,L @
Bue correso"!e a la )recue"cia: @ ,1FLC1F2
Y BC B G
Y4
4
BL
673388894!'#&
P)! 65 'e 6
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Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
Para esta )recue"cia a"gular la a!mita"cia ser( m%"ima # co" ello la te"si'"8 ara corrie"te !e e=citaci'" co"sta"te8 ser( m(=ima. Esto !etermi"a el "omDre !e res#acia de tesi" e" co"traosici'" al !e res#acia de c#rriete Bue correso"!e al circuito serie. Co"&ie"e ?acer "otar Bue el roDlema !e ele&a!as te"sio"es !esarrolla!as e" el circuito serie se correso"!e aBu% al !e ele&a!as corrie"tes a tra&s !e los eleme"tos reacti&os. El )actor !e mrito es8 ara este mo"ta7e: 9 @ ,CF> @ RF,L u" alto 9 imlica8 como e" el circuito serie8 u"a Da7a r!i!aQ es !ecir aBu% u"a ele&a!a resiste"cia aralelo.
I5 - 9.2 - Circuito aralelo !e !os ramas Este circuito aralelo &isto tie"e escasa utili!a! r(ctica or cua"to "o es estrictame"te realiaDle. La i"!ucta"cia tie"e "ecesariame"te resiste"cia Bue ue!e8 a to!os los e)ectos8 rerese"tarse m(s e)icame"te e" serie. Las r!i!as e" el caacitor so" rerese"taDles me7or e" aralelo8 au"Bue so" "ormalme"te !esreciaDles co" la tec"olog%a actual. El circuito aralelo LC r(ctico es el llama!o circuito ta"Bue8 o $aralel# de d#s ramas.
R
L
C
Los )e"'me"os !e reso"a"cia so" similares al !e tres ramas. La cur&a u"i&ersal !e reso"a"cia sigue alic("!ose8 ero co" u" error ligerame"te suerior. E" s% mismo es u" circuito reso"a"te serie Bue as' a aralelo or u" camDio e" sus termi"ales. La a!mita"cia !e e"tra!a al circuito es: 1 7 C 1 1 7C R 7L L L 7C R R 7L R 7L 1 7L RC
a esta ltima e=resi'" llegamos resol&ie"!o la rimera # !i&i!ie"!o amDos )actores or 7L. Para el caso !e )actor !e mrito ele&a!o ,Da7a r!i!a # cerca !e la reso"a"cia resulta Bue R UU L 8 co" lo Bue oDte"emos la e=resi'" aro=ima!a: 673388894!'#&
P)! 63 'e 6
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Te#r$a 'e (#+ C%r&*%t#+ I - In! "#re M! B*&&e((a - Ca0$t*(# VI
@ ,CFLGR 7,L - 1FCH igual8 sal&o la co"sta"te CFL8 a la Bue te"%amos ara la ime!a"cia !el circuito serie. La cur&a u"i&ersal !e reso"a"cia !iDu7a!a ara la a!mita"cia !e reso"a"cia serie rerese"ta e"to"ces la ime!a"cia !e reso"a"cia aralelo. El )actor CFL "o imlica "i"gu"a co"!ici'" a!icio"al #a Bue !esaarece al co"si!erar la ime!a"cia relati&a. 9e la ltima e=resi'" resulta Bue la ime!a"cia e" reso"a"cia es: K @ LF,RC Bue utilia"!o el co"ceto !el @ LFR !el circuito serie resulta: K @ ,L @ ,1FC @ R 2 es !ecir Bue la ime!a"cia e" reso"a"cia es al cua!ra!o &eces la resiste"cia e" reso"a"cia.
5I - 9.3 - E7emlo !e c(lculo. 9a!o el circuito aralelo !e !os ramas !e la )igura8 e" el Bue R @ 1]8 L @ .1J# # C @ .14!8 calcular: a la )recue"cia !e reso"a"cia # D la ime!a"cia e" reso"a"cia.
R
L
C
Si calculamos la )recue"cia !e reso"a"cia e" )orma aro=ima!a8 usa"!o la misma e=resi'" !el circuito serie te"!remos Bue: ) @ F2 @ G1FLCH1F2 F 2 @ G1F.111-+H1F2F*.2/32 @ ) @ 1sF*.2/32 @ 1061.00 Jert. Si el c(lculo lo imagi"aria "ula8 ser(:
?acemos
alica"!o
el
co"ceto
!e
1 7 C 1 L L 7C R R 7L 1 7L RC
Racio"alia"!o # toma"!o la arte imagi"aria oDte"emos:
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P)! 66 'e 6
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arte
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