Lugares Geométricos de Inmitancias Des Con W Changed1.

 

 ESCUELA POLITECNICA NACIONAL  ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES 

 ANALISIS DE CIRCUITOS 1

TEMA: CONSULTA

 ALUMNO:

LUGARES GEOMÉTRICOS

HERRERA ORDOÑEZ GABRIEL ALEJANDRO

 SEMESTRE:

TERCERO

2005

 

Lugares Geométricos de Inmitancias Otra fo Otra form rma a de var aria iarr la inmi inmita tanc ncia ia de ex exci cita taci ción ón (imp (imped edan anci cia a o admitancia), es mediante la variación de parámetros. Será conveniente entonces considerar a la frecuencia fija, al igual que la excitación. Según la expresión: 1-1 Z

= R + j  jX X,

donde:

R  = R e (Z)

y X = I m (Z)

La variación de R (resistencia) o de X (reactancia) permite obtener en el plano complejo Z el lugar geométrico respectivo. El plano inverso de Z es plano complejo Y, donde sus coordenadas son: Re(Y)= G (conductancia) e Im(Y)=B (susceptancia)  También:

 Z  =  R +  jX  =

1 G +  jB

=

G2 G

2

+  B 2

=  j

G2 G

2

+  B 2

(1-16)

  Donde:  

 R

=

G2 G2

 X  = −

+  B 2 G2

G2

+  B 2

(1-17) (1-18)

1.2.1 Resistencia variable y reactancia fija Considerando el dipolo de la figura 1.11, se tiene:  Z ab

=  R +  jX 

Siendo: x= XL-XC, considerar un inductivo o un capacitivo.

se debe predominio predominio

Si: XL>XC , el lugar geométrico de Zab se lo ve en la figura 1.12.  

Si  XC>XL, el lugar geométrico de Zab se lo ve en la figura 1.13

 

Según (1-18):

 X  L

G L2

Donde:

 B L

=− G L

2

+  B L2 +

+  B L 2

 B L  X  L

 X C 

 

= 0 

 BC 

=− GC 

2

GC 2 +  BC 2 −

+  BC 2  BC   X C 

 

=0

(1-19)

Las ecuaciones (1-19) representan la ecuación de una circunferencia con coordenadas del centro y valor del radio, dado por: 2

 

 

2

2

        ( G L + 0) +  B L + 1    =  1      2 X  L    2 X  L     C  L 0, −

1 2 X  L

;   r  =

1 2 X  L

2

        (GC  + 0 ) +  BC  − 1    =  1    2 X C     2 X C     

2

2

 

C C  0,

1 2 X C 

;   r  =

1 2 X C 

La representación gráfica de esta circunferencia se las ve en las figuras 1.14 y 1.15 respectivamente. Además los ejes G (cond Además (conducta uctancia ncia)) y B (suscep (susceptanc tancia) ia),, represe representa nta el plano complejo Y (admitancia), que corresponde al plano inverso de Z (impedancia). Las cir circun cunfer feren encia cias s 1-1 1-19, 9, son ili ilimit mitada adas s o rep repre resen sentad tadas as po porr sem semiicirc circun unfe fere renc ncia ias s (fig (figur uras as 1.14 1.14 y 1.15 1.15)) po porr la va vari riac ació ión n qu que e tien tiene e R (resistencia) en el rango 0 ≤ R < ∞ , (rango positivo) y por ende también la G variará en forma inversa en el rango positivo, ∞ > G ≥ 0   Respecto a los ángulos, debe notarse que estos son los mismos pero de signo cambiado. Así:

φ  L

= tg  −1

 X  L

 R  Z  L =  Z  L ∠φ  L Y  L

=

1

 Z  L

∠−φ  L

 

 X C 

φ C 

= tg −1

 Z C 

=  Z C  ∠−φ C 

Y C 

=

1.2.2Resistencia fija y Reactancia variable

1  Z C 

 R

∠φ C 

 

Considerando el dipolo de la figura 1.16, se tiene:

 Z ab

=  R +  jX 

− ∞ < X  < ∞

La figura 1.17 demuestra el lugar ab ge geom rico als var aria reaomét ctaétri nc ico a de en Z lo líiar mritela s especificados.

Según la ecuación (1-17) se tendrá:  R = G2

+  B 2 −

G  R

G G

2

+  B 2

en forma general donde:

= 0 , ecu ecuaci ación ón de un una a cir circun cunfer ferenc encia, ia, con co coor orde denad nadas as del

centro y valor del radio, dado por: 2

     G − 1     2 R   C 

2

+ ( B + 0 )

1 ,0 2 R

;

2

=      1    2 R   r  =

(1-20) 1 2 R

La gráf gráfic ica a de la ec ecu uac ació ión n (1-2 (1-20) 0) se lo ve en la figu figura ra 1. 1.18 18,, que que corresponde al lugar geométrico de la admitancia Yab. Siendo una recta, una circunferencia de radio infinito, su inversión de otra circunferencia. De ahí que se concluye con el hecho de que la inversión de una circunferencia es otra circunferencia. Según los desarrollos geométricos consideraciones de inversión: 



se

tiene

las

siguientes

Una recta que pasa por el origen de coorden coordenadas, adas, tiene su inversa una circunferencia de radio infinito, es decir otra recta. Figuras 1.19 a) y b) Una recta paralela al un eje de coordenadas, tiene como inverso una un a cir circun cunfer ferenc encia ia de ra radio dio fin finit ito o ub ubica icado do sobre sobre el otro otro eje de coordenadas, como se puede ver en las figuras 1.12, 1.13, 1.14, 1.15, 1.17, 1.18

 



Una circunferencia puede ser invertida mediante la inversión

Se de debe be ad adve vert rtir ir qu que e C’ (cen (centr tro o circ circun unfe fere renc ncia ia inve invert rtid ido) o) no es la inversión de C (centro de circunferencia) y que además la distancia ab (diámetro circunferencia invertido) no es la inversa de la distancia AB (diámetro de circunferencia) 

In Inver versió sión n de un una a cir circun cunfer ferenc encia ia med median iante te el uso de la fór fórmu mula la general.

Así, la ecuación de una circunferencia en el plano Z viene dado por la ecuación: ( R −  Ro ) 2 + ( X  −  Xo ) 2 = r 2 (1-21) donde: C   R,  Xo y r  = radio de la circunfere ncia   La ecuación (1-21) se lo presenta en forma más general por la ecuación:  A  R 2

+  X  2 + CR +  DX  + E  = 0

(1-22)

Según (1-16), (1-1 (1-17), 7), (1-18), se tiene q que: ue:

 

 Z  =

 

 R

=

1 Y 

G Y 

2

Y  = Z  −1  

 

 X  = −

 

 B Y 

2

 

→

→ 

plano inverso

Y 2

= G 2 +  B 2

Reemplazando en (1-22) los equivalentes R y X, se consigue lo siguiente: 2

 A   G

 

2

+  B Y 4

     + C Y G2 −  D Y  B2 +  E  = 0  

  1  + C  G − D  B + E  = 0   , finalmente Y 2  Y 2   Y 2

 A

2  E (G

+ B 2 ) − D  DB B + CG + A = 0

representa la ecuación de (circunferencia invertida).

una

(1-23)

circunferencia

en

el

plano

y

EJEMPLO.- Hallar el lugar geométrico inverso del gráfico dado por la

figura 1.21

 

donde:

C Y   r Y  

0.75 , 0.5 −

0.25

=

también: ( G − 0.75 ) 2 + ( B + 0.5 ) 2 = ( 0.25 ) 2   Desarrollando: (G 2 + B 2 −1.5G + B + 0.75 = 0 =1

 A

C  =−1.5

donde los coeficientes son:

 D =1  E  =0.75

Utilizando la ecuación inversa, se tiene que: 0.75 ( R 2

+  X  2 ) −  X  −1.5 R + 1 = 0 ,

reordenando de forma de ver las coordenadas del centro y el valor del radio, se ve que:

C 

2

2

2

( R −1) + ( X  − 0.667 ) = ( 0.333 ) , siendo

 1,0.6 6  r  = 0.3 3 3  Z 

 Z 

aquí los puntos m’, S’ no existen, puesto que en el plano Y M’ y S’ tampoco existen. Entonces la región de circunferencia válida en el plano Z es: el recorrido: m, S, q’, n, n’ y q (línea llena). Otra for Otra forma ma de ob obten tener er el lugar lugar geo geomé métri trico co inver inverso so es media mediante nte la inversión de tres puntos. Así en la figura 1.21, se tiene: =0 .5 −  j 0 .5

M   N 

=0. 75 −  j 0. 25

Q

=1.0 −  j 0 .5

El inverso de estos puntos será:

m

=

n

=

q

=

1

M  1

 N  1 Q

=1 +  j1

=1.2 +  j 0.4

= 0.8 +  j 0.4

 

Represent Repres entan ando do est estos os pu punt ntos os en el plano plano Z y med median iante te co const nstru rucci cción ón geométrica se determina el centro de circunferencia y por ende el lugar geométrico inverso (figura 1.23) Las coordenadas del centro (Cz) y el valor del radio se determinará gráficamente. No se debe perder de vista que los puntos que los puntos invertidos deben caer sobre los mismos ángulos pero de signo cambiado

LUGARES GEOMÉTRICOS DE INTENSIDADES DE CORRIENTE Y DE POTENCIAS COMPLEJAS Como un Como una a ap apli lica caci ción ón má más s dire direct cta a de los los luga lugare res s ge geom omét étri rico cos s de in inmi mita tanc ncia ias, s, ap apar arec ecen en lo los s lu luga gare res s ge geom omét étri rico cos s de inte intens nsid idad ad de corri cor rient ente e y de po poten tencia cia co comp mplej leja. a. Así la las s ex expr presi esion ones es obten obtenid idas as del del dipolo de la figura 1.24, serán:

La ecuación (1-24) nos dice que el lugar geométrico de la intensidad de corriente I es igual al lugar geométrico de la admitancia Y multiplicada por el voltaje de excitación V (considerado fijo, al igual que la frecuenci frecuencia a ω ). La ecu ecuaci ación ón (1(1-25 25)) no nos s dic dice e qu que e el lugar lugar geom geométr étrico ico de la po poten tencia cia compleja S es igual al lugar geométrico imagen de la intensidad de corriente (I*) multiplicado por el voltaje de excitación V.

1.3.1Lugares 1.3.1 Lugares geométricos de Intensidades de Corriente

 

Considerando nuevamente la ecuación (1-24), se tiene que:  I  = Re ( I ) +  j Im( I )

= VY  = V ( G +  jB ) = VG + jVB , donde:

Re ( I )

=VG Im ( I ) = VB Además si se considera

( )  I 

( )  I 

=

V   G

=V   B

V   =V   ∠ 0

componente de favor

 I 

componente del favor

 I 

referencia, entonces

en fase con

V  

a ±90 ° de

V  

El plano correspondiente a estas últimas relaciones se demuestra en las figuras 1.25 a) y b)

Para el caso de que: V   =V   ∠+ , los planos correspondientes serán los dados por las figuras 1.26, a) y b) Se puede concluir entonces, que todos los puntos del plano Y terados en el valor V   corresponderán a puntos en el plano. EJEMPLO.- Determinar el lugar geométrico de la intensidad de Corriente  I 

en la red de la figura 1.27

Por lo tanto, al intercambiar el lugar geométrico de Yab y multiplicando por V   , se obtiene el lugar geométrico de  I  . El lugar geométrico de Yab está dado por la figura 1.28.

 

El lugar geométrico de

está dado por la figura 1.29.

 I 

Del luga Del lugarr ge geom omét étri rico co de  I  se pu pued ede e saca sacarr al algu guna nas s rela relaci cion ones es importantes, importan tes, como:  I  ,  I  en fase con V   (puntos de corte), nunca en fase con V   (no hay puntos de corte). míni im ma

Por construcción gráfica, el módulo mínimo de  I  está ubicado en la re rect cta a qu que e un une e el orig origen en de co coor orde dena nada das s (O (O)) co con n el ce cent ntro ro de la semici sem icircu rcunfe nferen rencia cia (Cr (Cr). ). El mó módu dulo lo va en enton tonces ces des desde de el or orig igen en de coordenadas hasta la intersección con la semicircunferencia. Así:

 I mín

O C  I 

=O P  =O C  I  − P C  I 

=

O M  2

+ ( M  N  + N C  I  )

O M 

donde:

φ  I 

mín

Y mín

Y mín

=  I 1

  +  I 1   

cos φ I 1 ,

cos φ  I 1

+

= N C  I  = radio =

V  2 R2

por lo tanto:

V  2 R2

2     − V  ,   2 R2  

2

 X 1  R1

, entonces: 2

2

Y 1  sen φ  I 1

  +  Y 1  

cos φ  I 1

+

1 2 R2

2

  1     − 2 R 2  

         

∠−φ  I 

Y 1  sen φ  I 1

mín

  +  Y 1  

= 180 ° − 2φ  I  = 180 ° − 2tg −1 2

2

 I 1  sen φ  I 1

= tg −1

= V 

2

=

=

2

  = V      

 I mín

 I mín

M  N 

 P C  I 

=V   Y   1

φ  I 1

o a su vez

y

1

 I 1

 

2

=  I 1  sen φ I  ,

 I mín

además:

, donde:

cos φ  I 1

2

  1   + −   2 R2   2 R2 1

 X 2 (I (Im m ín )  R2

Por otro lado C2 y C2’ en la figura 1.30, corresponden a valores de capacidad a los cuales el voltaje de excitación entran en fase.

V  

y la corriente total

 

Para que se cumpla esta condición de 2 puntos de corte, se tiene que: V 

2 R2

> I m ( I 1 )

(1-27)

Para el caso de un punto de corte: se tiene que: V 

2 R2

= I m ( I 1 )

(1-28)

Para que nunca exista corte de la semicircunferencia, se tiene que: V 

2 R2



 R12

+  X 12

2 X 1

∀  X  2

para

∀  X  2

 

Finalmente, cuando V   e  I  entran en fase, se dice que la red está en resonancia o que ha alcanzado el factor de potencia unitario.

2.2.1.- Factor de Calidad (Qs) en redes R-L-C Serie

 

El factor de calidad se lo define como la capacidad de almacenamiento de en ener ergí gía, a, en un una a red, red, en un in indu duct ctor or o un ca capa paci cito tor, r, fren frente te a su disipación. QS 

≅ 2π 

 Energía máxima almacenada  Energía

(2-18)

disipada  por   período

Si se consideran las estructuras simples, representadas en las figuras 2.17 y 2.18 se tiene:

La energía disipada por período, (dipolo R-L y R-C) es el producto de la potencia media disipada en la resistencia multiplicad por el período (T). por lo tanto: 2

2

  I      I    1  Energía dada  por   período = r  máx   ∗ T  = r  máx   ∗   2     2    f    Energía máxima almacenada

=

 

= 1

1 2

⇒ dipolo  R − L Serie

2

 LI máx

(2-19)

(2-20)

⇒ dipolo  R − C  Serie (2-21)

2

CV máx

2 1

 Por lo

ta n to :

Q=

2π 

⋅

2

2  LI   L I má x 2

  I    1  R má x   ⋅   2    f 

=

w L  X L  R

=

 R

→

dipolo R −  L Serie

(2-22)

  1

= 2π  ⋅

2

2

CV máx 2

  I máx   1   ⋅   2    f  

 R

=

1

wCR wC R

=

 X C   R

→

dipolo R − C  Serie (2-23)

 

 NOTA. −

V C 

=  I C   X C 

 V máx     I máx   1   =      2     2  wC 

→

→

V máx

=

 I máx wC 

En una red R-L-C Serie, la energía disipada por período será igual a (219) y la energía máxima almacenada se lo verá en L o en C. Por lo tanto los factores de calidad dados por (2-22) y (2-23) sirven muy bien para una red R-L-C Serie. Por otro Por otro lado lado,, se pu pued ede e av aver erig igua uarr a qu que e frec frecue uenc ncia ia las las en ener ergí gías as almacenadas en L y C son iguales, esto es: 1 2  LI máx 2

1 2 = CV máx 2

2  I máx 1 = C  2 2 2 w C 

→

w=

1  LC 

= w0

Esto implica que la energía almacenada en una red en condiciones de resonancia, es constante. Esto se explica, por cuanto si el voltaje en el condensador crece, la corriente en el inductor decrece y viceversa. Por lo tanto, en condiciones de resonancia se tiene se tiene que:

Q0

=

 X  L0  R

=

 X C 0  R

=

w0 L  R

=

1 w0 CR

=

1

 L

 R

C 

(2-24)

Además, sustituyendo (2-24) en (2-10), se tiene:

V  L0

= I 0 w0 L =

V  r 

w0 L

= Q0V  = V C 

0

(2-25)

Las expresiones (2-25), representan los voltajes en L y C en condiciones de resonancia (figura 2.16). Las expresiones (2-22) y (2-23), definen el facto fac torr de cal calid idad, ad, y son exp expres resio iones nes prop proporc orcion ionale ales s a las po poten tencia cias s reactiva y activa. Por esta razón, el factor de calidad, también se lo define como la relación de potencias; así:

Q

≅

 Potencia reactiva (inductiva o capacitiva )  Potencia activa total 

2.2.2.- Curva Universal de Resonancia

(2-26)

 

Una curva de mayor importancia, donde se aprecia la variación de la frec frecu uencia cia y la cal aliidad de la red, se lla llama Cu Currva Un Univ ive ers rsal al de Resonancia. Para la red serie R-L-C, de la figura 2.3, se tiene: 1

 

Y (  jw )

además:

Y (  jw0 )

=

   

 R +  j  wL −

=

1  R

 L     wC   

(2-27)

= Y 0

(2-28)

Relacionando (2.27) y (2-28): Y (  jw ) Y 0

Y (  jw )

donde: Y 0

=

 R

=

   

 R +  j  wL −

 L     wC   

 R  L  , según (2-5) →    R +  j  wL −   wC     

2

w0

=

1

 LC 

Cabe introducir ahora, un término que haga visualizar la variación de la frecuencia de la excitación frente a la frecuencia de resonancia. A este término se le conoce con el nombre de DESINTONIZACION RELATIVA y representa la desviación por unidad de la frecuencia de la fuente ( ω ) desde la frecuencia de resonancia (ω 0), viene dado por: δ 

≅

w − w0 w0

=

w w0

−1

(2-30)

Utilizando (2-30) y reemplazando en (2-29, se consigue que: Y (  jw) Y 0

=

1

   

 R +  jQ0  (1 + δ ) −

    1 + δ    1

=

1 1 +  jQ0δ 

 2 + δ        1 + δ   

Si se considera desviaciones pequeñas (δ