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LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
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Certificación “Yellow Belt”
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Objetivo Basándose en lo que cubre este curso, el participante podrá: •Describir la estrategia de mejoramiento Seis Sigma •Entender el papel del Yellow Belt en la iniciativa Seis Sigma •Conocer y relacionar los papeles y responsabilidades de Champion, Black Belt, Green Belt, Yellow Belt, White Belt y los miembros del equipo •Identificar proyectos con alta probabilidad de éxito •Entender la metodología DMAIC y cómo aplica en los proyectos de mejoramiento •Establecer y utilizar métricas •Ayudar en la administración de los proyectos y el cumplimiento de las metas
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Significado de Seis-Sigma Seis-Sigma representa una métrica, una filosofía
de trabajo, y
una meta.
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Significado de Seis-Sigma Como métrica, Seis-Sigma representa una manera de medir el desempeño de un proceso en cuanto a su nivel de productos o servicios fuera de especificación. Como filosofía de trabajo, Seis-Sigma significa mejoramiento continuo de procesos y productos apoyado en la aplicación de la metodología Seis-Sigma la cual incluye principalmente el uso de herramientas estadísticas además de otras más de apoyo. Como meta, un proceso con nivel de calidad Seis-Sigma significa estadísticamente tener un nivel de clase mundial al no producir servicios o productos defectuosos(*). (*) 0.00189 ppm, proceso centrado, 3.4 ppm, proceso con un descentrado de 1.5σ.
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SEIS SIGMA es una ESTRATEGIA DE NEGOCIO para satisfacer los requerimientos del CLIENTE
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Otros significados de niveles Sigma Sigma 6 5 4 3 2 1
PPM 3.4 233 6210 66,807 308,537 690,000
Costo de calidad 15, se presenta por propósitos ilustrativos.
PIEZA 3 4
5
PROMEDIO
1 21 24 20 27 24 A 2 20 23 21 27 23 PROM 20.5000 23.5000 20.5000 27.0000 23.5000 RANGO 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000
23.2000 22.8000 23.0000 0.8000
1 20 22 24 28 19 B 2 20 22 23 26 18 PROM 20.0000 22.0000 23.5000 27.0000 18.5000 RANGO 0.0000 0.0000 1.0000 2.0000 1.0000
22.6000 21.8000 22.2000 0.8000
1 C 2 PROM RANGO
21.0000 20.2000
19 18
23 22
20 19
25 24
18 18
Xb1 Rb1
Xb2 Rb2
Xb3 Rb3
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X =Xbb=(Xb1+Xb2+Xb3)/3= Rb(OP)=(Rb1+Rb2+Rb3)/3= Xbdiff=max(Xb1,Xb2,Xb3)-min(Xb1,Xb2,Xb3)= LSC(R)=D4(Rb)= LIC(Xb)=Xbb-A2(Rb)= LSC(Xb)=Xbb+A2(Rb)=
LIC(R)=0 (para 2 y 3 réplicas)
Rp
Promedio de la
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PIEZA (Xbp) Rb (OP)=
r= No.répl=
Xbdiff=MAX(Xb)-MIN(Xb)= LSC(R)=D4(Rb)=
D4=3.27 y A2=1.88 para 2 réplicas
LIC(R)=0
D4=2.58 y A2=1.023 para 3 réplicas
LIC(Xb)=Xbb-A2Rb=
LSC(Xb)=Xbb+A2Rb=
LSC(R) representa el límite para rangos individuales. Señalar los valores que exceden este límite y volver a realizar dichas mediciones.
N o .o p =
Xbb=
D 4=
A 2=
n = N o . p ie z a s =
X b fu e ra N o . p ts % d e lo s p u n t o s e s t á n
f u e r a d e lo s lí m it e s d e m e d ia s . M á s d e la m it a d in d ic a la c a p a c id a d d e l in s t r u m e n t o p a r a d e t e c t a r la v a r ia c ió n .
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No. de parte Nombre de la parte Característica Especificación
20-30
No. del calibrador Nombre del calibrador Tipo de calibrador Tol/6=
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VARIACION DEL EQUIPO (REPETIBILIDAD) VE=Rb*k1=
k1= k2=
k1=0.8862, r=2 k1=0.5908, r=3
k3= k1=Inverso de d2 usando m=r
VARIACION DE OPERADORES (REPRODUCIBILIDAD) VO=Raíz(((Xbdiff)(k2))^2-(VE^2/nr))= Si VO es negativo dentro de la raíz, hacer VO=0. k2=0.7071 p=2 operad. k2=0.5231 p=3 operad.
VO =
VE 2 (( Xbdiff )( k 2 )) − nr 2
k2=Inverso de d2*, m=p, g=1
REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD
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RR=Raíz(VE^2+VO^2)= n
k3
VARIACION DE PIEZAS (VP)
2
0.7071
VP=(Rp)(k3)=
3
0.5231
k3=Inverso de d2*, m=n, g=1
4
0.4467
VARIACION TOTAL (TOT)
5
0.4030
6
0.3742
7
0.3534
8
0.3375
9
0.3249
10
0.3146
TOT=Raíz(RR^2+VP^2)=
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VARIACION DEL EQUIPO (REPETIBILIDAD) EN %
Si se conoce la variación del proceso (6sigma) usarla en
VE(%)=100(VE/TOT)=
lugar de TOT haciendo TOT=6sigma/6. Si se quiere
VE(%)=100(VE/TOL)=
usar la tolerancia, poner TOL=tolerancia/6
VARIACION DE OPERADORES (REPRODUCIBILIDAD) EN % VO(%)=100(VO/TOT)=
Generalmente se usa TOT para el control del
VO(%)=100(VO/TOL)=
proceso y TOL para el control del producto
Si se conoce y se usa la variación del proceso,
Var.Parte = TOT 2 − RR 2
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REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD EN % RR(%)=100(RR/TOT)= RR(%)=100(RR/TOL)= VARIACIONDE PIEZAS EN % VP(%)=100(VP/TOT)= VP(%)=100(VP/TOL)= NOTAS RR(%) menor a 10, ok. Entre 10 y 30 depende de la aplicación. Mayor a 30 necesita calibrarse. DISCRIMINACION 1.41*(VP/RR)=
Mayor o igual a 5 es aceptable. (si r=2, 4 ó más es aceptable)
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Análisis de Atributos El análisis de atributos es la evaluación de un sistema de medición cuyos datos son atributos de los siguientes tipos: a) Escala nominal - resultados clasificados en categorías no ordenadas (2 ó más) para juzgar alguna característica como partido politíco de su preferencia, supermercado preferido, etc. Un caso particular es la escala binaria (defectuosa-no defectuosa, éxito-fracaso, etc.). b) Escala ordinal - resultados clasificados en categorías ordenadas (3 ó más) para juzgar alguna característica como nivel de ingreso anual, evaluación de un servicio, etc. siendo la escala numérica o no. En ambos estudios tomar un mínimo de 3 operadores, 30 piezas/eventos (algunas ligeramente fuera de especificación), y 3 evaluaciones por operador.
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Ejemplo Se realizará un estudio de atributos a un sistema de medición para evaluar cierta característica en una muestra de 30 piezas. Se seleccionaron a 3 operadores y cada uno evaluó 3 veces las mismas piezas en orden aleatorio. También se tiene la evaluación de un experto (referencia).
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Pza 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Operador 1 ND ND ND ND D D ND ND ND ND ND ND D D D D D D D ND ND D D D ND ND ND D D D ND ND D ND ND ND D D D ND ND ND D ND D
continúa...
Operador 2 ND ND ND D ND D D ND ND ND ND ND D D D D D D ND ND ND D D D ND ND ND D D D ND ND ND ND ND D D D D ND ND ND D ND ND
Operador 3 ND ND ND D ND ND ND ND ND D ND ND D D D D D D ND ND ND D D ND ND ND ND D D D ND ND ND ND ND ND D D ND ND ND ND ND D D
Experto ND D ND ND D D ND D ND D ND ND D ND ND
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Pza 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Operador 1 D ND ND ND ND ND ND ND ND D D D ND ND D ND ND ND ND ND ND ND ND ND D D D ND ND ND D ND D D ND ND ND ND ND ND ND ND D D D
Operador 2 ND ND ND D ND ND ND ND ND ND D D ND ND ND ND ND D D ND ND ND ND ND ND D D ND ND ND D ND ND ND ND ND D ND ND ND ND ND ND D D
Operador 3 ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND D D ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND
Experto ND ND ND ND ND ND ND ND D ND ND ND ND ND D
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1. Concordancia interna (operadores): -Operador 1: 22 de 30, 73.3% -Operador 2: 18 de 30, 60%, IC=(40.6, 77.34)% -Operador 3: 24 de 30, 80%, IC=(61.43, 92.29)% 2. Concordancia operadores vs. experto (%COE): -Operador 1: 21 de 30, 70%, IC=(50.6, 85.27)% -Operador 2: 18 de 30, 60%, IC=(40.6, 77.34)% -Operador 3: 22 de 30, 73.3%, IC=(54.11, 87.72)%
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Análisis detallado de errores: -Operador 1 (9 equivocadas): Mezcla=8, D-ND=1, ND-D=0 -Operador 2 (12 equivocadas): Mezcla=12, D-ND=0, ND-D=0 -Operador 3 (8 equivocadas): Mezcla=6, D-ND=0, ND-D=2
Op 1
D-D 23
2
21
3
14
ND-D 1 4.17% 3 12.5% 10 41.7%
Total 24 24 24
D-ND 12 18.2% 10 15.2% 5 7.6%
ND-ND 54
Total 66
56
66
61
66
(en base a las 90 evaluaciones de cada operador)
D-ND significa que el operador dijo que la pieza era D cuando en realidad era ND
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3. Concordancia global entre operadores 10 de 30, 33.3% 4. Concordancia global operadores vs. experto 10 de 30, 33.3%
Tabla de Decisión (para el operador) (MSA, 2002):
Decisión Aceptable Marginal Inaceptable
%COE ≥ 90 ≥ 80 < 80
%ND-D ≤2 ≤5 >5
%D-ND ≤5 ≤ 10 > 10
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Para este ejemplo,
Op 1 2 3
%COE 70 60 73.3
%ND-D 4.17 12.5 41.7
%D-ND 18.2 15.2 7.6
Conclusión Inaceptable Inaceptable Inaceptable
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Attribute Agreement Analysis for 1, 1_1, 1_2, 2, 2_1, 2_2, 3, 3_1, 3_2 Within Appraisers Assessment Agreement Appraiser 1 2 3
# Inspected 30 30 30
# Matched 22 18 24
Percent 73.33 60.00 80.00
95 % CI (54.11, 87.72) (40.60, 77.34) (61.43, 92.29)
# Matched: Appraiser agrees with him/herself across trials. Each Appraiser vs Standard Assessment Agreement Appraiser # Inspected 1 30 2 30 3 30
# Matched 21 18 22
Percent 70.00 60.00 73.33
95 % CI (50.60, 85.27) (40.60, 77.34) (54.11, 87.72)
# Matched: Appraiser's assessment across trials agrees with the known standard.
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Assessment Disagreement Appraiser # ND / D Percent # D / ND Percent # Mixed Percent 1 0 0.00 1 4.55 8 26.67 2 0 0.00 0 0.00 12 40.00 3 2 25.00 0 0.00 6 20.00 # ND / D: Assessments across trials = ND / standard = D. # D / ND: Assessments across trials = D / standard = ND. # Mixed: Assessments across trials are not identical. 4.55%=1 triada equivocada con 26.67%=8 de 30 piezas. 40%=12 25%=2 triadas equivocadas con 20%=6 de 30 piezas Between Appraisers # Inspected # Matched 30 10
D de 22 NDs del experto. de 30 piezas. ND de 8 Ds del experto.
Percent 33.33
95 % CI (17.29, 52.81)
# Matched: All appraisers' assessments agree with each other. All Appraisers vs Standard # Inspected # Matched 30 10
Percent 33.33
95 % CI (17.29, 52.81)
# Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard.
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Ejercicio Se realizó un estudio para evaluar cierto sistema de medición visual (por atributos) y se obtuvo la siguiente información:
Pieza 1 2 3 4 5 6 7 8
Operador 1 D ND ND ND D D D D ND ND D D ND ND D D
Operador 2 ND ND ND D D D ND ND ND ND D D ND ND D D
Experto ND ND D D ND ND ND D
La muestra tomada es muy pequeña, al igual que el número de operadores. Se tomó así por propósitos ilustrativos solamente.
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1. Concordancia interna (operadores): -Operador 1: -Operador 2: 2. Concordancia operadores vs. experto (%COE): -Operador 1: -Operador 2:
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Análisis detallado de errores: -Operador 1 ( -Operador 2 (
Op 1
D-D
equivocadas): Mezcla= equivocadas): Mezcla=
ND-D
Total
, D-ND= , D-ND=
D-ND
, ND-D= , ND-D=
ND-ND
Total
2 (en base a las 16 evaluaciones de cada operador)
D-ND significa que el operador dijo que la pieza era D cuando en realidad era ND
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3. Concordancia global entre operadores 4. Concordancia global operadores vs. experto
Tabla de Decisión (para el operador) (MSA, 2002):
Decisión Aceptable Marginal Inaceptable
%COE ≥ 90 ≥ 80 < 80
%ND-D ≤2 ≤5 >5
%D-ND ≤5 ≤ 10 > 10
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Para este ejercicio,
Op 1 2
%COE
%ND-D %D-ND
Conclusión
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FLUJO DE LA METODOLOGÍA D M
Definir problema Proceso capaz
Describir proceso
N
M
Medición capaz y estable
N
Mejorar
I
Optimizar
I
Validar la mejora
S
A A
Determinar variables significativas Evaluar estabilidad y capacidad del proceso
Proceso estable S
C N
Eliminar causas especiales
C
Controlar el proceso
Mejorar continuamente
S
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A DETERMINAR LAS VARIABLES SIGNIFICATIVAS Las variables del proceso definidas en el punto 2 deben ser confirmadas por medio de Pruebas de Hipótesis, Análisis de Varianza, Diseño de Experimentos y/o estudios Multivari, para medir la contribución de esos factores en la variación del proceso. Una vez encontradas los factores críticos, se ajusta el proceso y se reduce su variación.
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PRUEBAS DE HIPOTESIS (PH) E INTERVALOS DE CONFIANZA (IC) -Definición de Prueba de Hipótesis. Procedimiento estadístico usado para tomar una decisión, en base a una muestra, en cuanto al valor que puede tener algún parámetro (media, varianza, proporción, o diferencia entre medias o proporciones, o cociente entre varianzas), o sobre la distribución que puede tener la población de donde provienen los datos.
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Elementos de una PH 1. Las hipótesis. La que se desea probar (Ho), y su complemento (Ha). 2. La(s) muestra(s). La información que se obtiene de la población o poblaciones. 3. El estadístico de prueba (EP). Es una variable aleatoria que resume la información de la muestra. 4. La región de rechazo de Ho (RRHo). Es una parte de la distribución de referencia en la cual si el EP se encuentra ahí, se rechaza Ho. 5. La decisión. Decidir si se rechaza o no a Ho. 6. El nivel de confianza de la prueba (1- α ).
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Tipos de errores y sus probabilidades en una PH
α = p(Error tipo I) α = p(Rechazar Ho Ho verdad) β = p(Error tipo II) β = p(Aceptar Ho Ho falsa)
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PH e IC para una media Región de rechazo de Ho (RRHo)
Ho: µ = µ 0
Ha: µ > µ 0
Z > Zα
t > t α ,n −1
µ < µ0
Z < − Zα
µ ≠ µ0
Z > Z α / 2 t > t α / 2 , n −1
X − µ0 a ) n ≥ 30 EP: Z = S n
t < − t α , n −1
IC = X ± Z α / 2 S
n
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b) n < 30, población normal b1) Varianza conocida X − µ0 EP: Z = IC = X ± Zα / 2 σ σ n n b2) Varianza desconocida X − µ0 EP: t = S n
IC = X ± t α / 2 ,n −1 S
n
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Ejemplo De una muestra de n=50 cabezas se obtuvo Xb=415.192 para la cota 134 de cubado y s=0.012. ¿Presentan estos datos evidencia suficiente que sugiera que en promedio la cota 134 está centrada en su valor nominal de 415.2? Usar un nivel de confianza de 95%.
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Ho : µ = 415.2 Ha : µ < 415.2 X − µ0 EP : Z = S n 415.192 − 415.2 Z= = −4.71 0.012 50 − 4.71 vs. − Zα = −Z0.05 = −1.645
Z RR Ho α=5%=0.05
-4.71 -1.645
0
Como -4.71 µ 2
Z > Zα
t > t α , n1 + n 2 − 2
µ1 < µ 2
Z < − Zα
µ1 ≠ µ 2
Z > Z α / 2 t > t α / 2 , n1 + n 2 − 2
a ) ( n1 , n 2 ) ≥ 30 EP: Z =
IC = X1 − X 2 ± Z α / 2
t < − t α , n1 + n 2 − 2
X1 − X 2 2 1
2 2
S S + n1 n 2
S12 S 22 + n1 n 2
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b ) ( n1 , n 2 ) < 30, población normal y varianzas desconocidas
b1) σ 1 = σ 2
Sp =
X1 − X 2 EP: t = 1 1 Sp + n1 n 2 2 1
( n1 − 1)S + ( n 2 − 1)S n1 + n 2 − 2
2 2
1 1 IC = X1 − X 2 ± t α / 2 , n1 + n 2 − 2Sp + n1 n 2
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b2) σ 1 ≠ σ 2
EP: t =
IC = X1 − X 2 ± t α / 2 ,gl S S + n1 n 2 2 1
gl =
2
2 2
S12 S 22 + n1 n 2 S12 S 22 + n1 n 2
2
2
S S n1 n2 + n1 − 1 n 2 − 1 2 1
X1 − X 2
2 2
Considerar estos grados de libertad (gl) para determinar la RRHo.
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Ejemplo Se desea comparar las medias de la cota 134 en dos turnos diferentes. Se tomó una muestra de 10 cabezas del primer turno y 12 cabezas del turno 2 de donde se obtuvo Xb(t1)=415.21, s(t1)=0.017 Xb(t2)=415.18, s(t2)=0.018 Probar la hipótesis de igualdad de cotas promedio. Usar alfa=5%. Calcular el IC correspondiente.
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Ho : µ 1 = µ 2
Ha : µ 1 ≠ µ 2
X1 − X 2 EP : t = 1 1 Sp + n1 n 2
(n1 − 1)S12 + (n 2 − 1)S22 Sp = n1 + n 2 − 2
9(0.017) 2 + 11(0.018) 2 Sp = =0.01756 10 + 12 − 2 415.21 − 415.18 t= = 3.99 RR Ho 1 1 0.01756 + α/2=0.025 10 12
t α / 2,n1 +n 2 −2 = t 0.025, 20 = 2.086
t RR Ho α/2=0.025
-2.086
0
2.086 3.99
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como 3.99 es mayor que 2.086, se rechaza la igualdad de las medias de los 2 turnos. 1 1 IC = 415 .21 − 415 .18 ± ( 2.086 )( 0.01756 ) + 10 12 = ( 0.01432 , 0.0457 ) Como el valor cero no está incluido en el intervalo, se rechaza la igualdad de las medias de las dos poblaciones. 95% CI for difference: (0.014319, 0.045681) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 3.99 P-Value = 0.001 DF = 20 Both use Pooled StDev = 0.0176
Ejercicio Resolver el mismo problema considerando el caso de varianzas diferentes y comparar los resultados. Resp.: T-Value = 4.01 P-Value = 0.001 DF = 19. (0.014351, 0.045649). Misma conclusión que el ejemplo.
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PH e IC para proporciones
Requisito: np>5 y n(1-p)>5
a ) n ≥ 30 (una proporción) Región de rechazo de Ho (RRHo)
Ho: p = p 0
EP: Z =
Ha: p > p 0
Z > Zα
p < p0
Z < − Zα
p ≠ p0
Z > Zα / 2
X − np 0 np 0 (1 − p 0 )
IC: p$ ± Z α / 2
X=número de éxitos en la muestra
p$ (1 − p$ ) n
X p$ = n
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b ) ( n1 , n 2 ) ≥ 30 (diferencia entre proporciones) Región de rechazo de Ho (RRHo)
Ho: p1 = p 2
EP: Z =
Ha: p1 > p 2 p1 < p 2
Z < − Zα
p1 ≠ p 2
Z > Zα / 2
p$ 1 − p$ 2 1 1 p$ (1 − p$ ) + n1 n 2
IC: p$ 1 − p$ 2 ± Z α / 2
Z > Zα
X1 p$ 1 = n1
p$ 1 (1 − p$ 1 ) p$ 2 (1 − p$ 2 ) + n1 n2
X2 p$ 2 = n2 X1 + X 2 p$ = n1 + n 2
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Ejemplo Se desea saber si existe diferencia entre la fracción defectuosa producida en dos diferentes líneas de vaciado de cabezas. Se observó que el número de cabezas defectuosas de la línea 1 fue 7 de un total de 727, y en la línea 2 fue 11 de un total de 1339. Usar alfa 5% y calcular el correspondiente IC.
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Ho : p1 = p 2 X1 pˆ1 = n1
Ha : p1 ≠ p 2
X2 pˆ 2 = n2
EP : Z =
pˆ1 − pˆ 2 1 1 pˆ (1 − pˆ ) + n1 n 2
7 11 pˆ1 = = 0.00963 pˆ 2 = = 0.008215 727 1339 X1 + X 2 7 + 11 pˆ = = = 0.008712 n1 + n 2 727 + 1339 Z=
0.00963 − 0.008215 1 1 0.008712 (1 − 0.008712 ) + 727 1339
= 0.3305
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Z RR Ho α/2=0.025
RR Ho α/2=0.025
-1.96
IC : pˆ 1 − pˆ 2 ± Z α / 2
0.3305
Como 0.3305 >1.96=Z(α α/2), no se rechaza la igualdad de la fracción defectuosa en las dos lineas.
1.96
pˆ 1 (1 − pˆ 1 ) pˆ 2 (1 − pˆ 2 ) + n1 n2
= 0 . 00963 − 0 . 008215 ± 1 . 96
0 . 00963 (1 − 0 . 00963 ) 0 . 008215 (1 − 0 . 008215 ) + 727 1339
= ( − 0 . 00717 , 0 . 01 )
Como el valor cero sí está incluido en el intervalo, no se rechaza la igualdad de las proporciones defectuosas en las dos líneas.
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Test and CI for Two Proportions Sample 1 2
X 7 11
N 727 1339
Sample p 0.009629 0.008215
Difference = p (1) - p (2) Estimate for difference: 0.00141352 95% CI for difference: (-0.00717497, 0.0100020) Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = 0.33 PValue = 0.741
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PH e IC para varianzas a) Una varianza, población normal ( n < 30) Región de rechazo de Ho (RRHo)
Ho: σ 2 = σ 20
Ha: σ 2 > σ 20
χ 2 > χ α2 ,n −1
σ 2 < σ 20
χ 2 < χ12− α ,n −1
σ 2 ≠ σ 20
χ 2 > χ α2 / 2 ,n −1 o χ 2 < χ12− α / 2 ,n −1
2 ( n − 1 )S EP: χ 2 = σ 20
( n − 1)S2 ( n − 1)S2 IC: 2 ; 2 χ α / 2 , n −1 χ1− α / 2 ,n −1
El IC con Minitab es: stat-basic stat-graphical summary
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b) n ≥ 30 Ho: σ = σ 0
Región de rechazo de Ho (RRHo)
Ha: σ > σ 0
S − σ0 EP: Z = σ0 2n S S ; IC: Z Z 1 + α / 2 1 − α / 2 2n 2 n
Z > Zα
σ < σ0
Z < − Zα
σ ≠ σ0
Z > Zα / 2
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c) Cociente de varianzas de poblaciones normales ( n1 , n 2 ) < 30
Ho: σ12 = σ 22 2 1
Ha: σ > σ
2 2
Región de rechazo de Ho (RRHo)
F > Fα ,n1 −1,n 2 −1
σ12 < σ 22
F < F1− α ,n1 −1,n 2 −1
σ12 ≠ σ 22
F < F1− α / 2 ,n1 −1,n 2 −1 o F > Fα / 2 ,n1 −1,n 2 −1
S12 EP: F = 2 S2 2 2 S S1 1 Fα / 2 , n 2 −1, n1 −1 IC: 2 ; 2 S2 S2 Fα / 2 ,n1 −1,n 2 −1
Si el valor 1 no está en el IC, se rechaza la igualdad de las varianzas
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d ) ( n1 , n 2 ) ≥ 30 Región de rechazo de Ho (RRHo)
Ho: σ1 = σ 2 S1 − S2 EP: Z = 1 1 Sp + 2 n1 2 n 2
Transformación de F 1 F1− α / 2 ,n1 −1,n 2 −1 = Fα / 2 ,n2 −1,n1 −1
Ha: σ1 > σ 2
Z > Zα
σ1 < σ 2
Z < − Zα
σ1 ≠ σ 2
Z > Zα / 2
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Ejemplo Probar Ho : σ = 0 . 010 vs Ha : σ > 0 . 010 para los datos de la cota 134 de cubado (s=0.012, suponer n=20). Usar alfa 5%. Suponer población normal y proceso estable. ( n − 1)S 2 19 ( 0 .012 ) 2 EP : χ = = = 27 .36 2 2 σ0 0 .010 2
χ2
χ α2 , n −1 = χ 02.05 ,19 = 30 .14
Como 27.36 no es mayor que 30.14, no se rechaza Ho, es decir, no se rechaza que la desviación estándar sea 0.010.
RR Ho α =0.05 0
27.36
30.14
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Ejercicio Se desea comparar las dispersiones de la cota 134 en dos turnos diferentes. Se tomó una muestra de 10 cabezas del primer turno y 12 cabezas del turno 2 de donde se obtuvo Xb(t1)=415.21, s(t1)=0.017 Xb(t2)=415.18, s(t2)=0.018 Probar la hipótesis de igualdad de la dispersión de cotas. Usar alfa=5%. Calcular el IC correspondiente. Resp.: F-Test (normal distribution). Test statistic = 0.89, p-value = 0.878 No se rechaza la igualdad de las varianzas de los dos turnos.
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ANALISIS DE VARIANZA Una de las maneras de comparar procesos o grupos, a través de la comparación de sus medias, es usar una técnica llamada Análisis de Varianza (ANOVA) desarrollada por R. A. Fisher a principio de los años 20. Esta técnica consiste en descomponer la variación total de los datos en (a) la variación interna o natural (referencia) de los grupos, y (b) la variación entre grupos de medias, para, al comparar esos dos tipos de variación, decidir si existe diferencia o no entre las medias que se están analizando.
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Anova de un factor Ejemplo. Análisis de la variable temperatura de precalentamiento a 3 niveles con respecto a la dureza de las piezas
Temp. 1 2 3
1 2.05 1.98 2.07
Réplicas 2 2.03 1.99 2.05
3 2.02 2.00 2.05
yi
s2i
2.033333
0.0002333
1.990000
0.0001000
2.056667
0.0001333
y = 2. 0267 Los niveles 1, 2 y 3 corresponden a 390, 400 y 410°C respectivamente
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(TRATAMIENTOS, GRUPOS O NIVELES)
VARIACION TOTAL
Nivel 1
Nivel 2
2.05 2.03 2.02
1.98 1.99 2.00
Nivel 3 2.07 2.05 2.05
VARIACION INTERNA
Suma
6.10
5.97
6.17
Media
2.033
1.99
2.057
VARIACION ENTRE NIVELES
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Descomposición de la variación SST=Variación Total. SSt=Variación entre grupos (tratamientos o niveles de un factor). SSE=Variación natural (Error). Referencia. (Variación Interna= variación aleatoria + error de medición).
SST=SSt+SSE
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2 2 y (Suma total ) SST = ∑ ∑ y ij2 − = ∑ (Cada dato) 2 − N N
∑ y i 2 y 2 ∑ (Cada suma de grupo) 2 (Suma total) 2 SSt = − = − n N n N SSE = SST − SSt
N=Número total de datos. n=Número de datos por grupo (réplicas). gl(SST) = N − 1 a=Número de niveles del factor gl(SSt) = a − 1 (tratamientos o grupos). gl(SSE) = gl(SST) − gl(SSt) = N − a
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2 Suma total ( ) SST = ∑ ( Cada dato) 2 − N 2 18 24 ( . ) = ( 2. 05) 2 + ( 2. 03) 2 +..... + ( 2. 05) 2 − = 0. 0078 9 2 2 ( Cada suma de grupo ) ( Suma total ) ∑ SSt = − n N ( 6.1) 2 + (5. 97 ) 2 + ( 6.17 ) 2 (18. 24) 2 = − = 0. 006867 3 9
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Tabla Anova Fuentes de Variación
SS
gl
Tratamientos(t)
SSt
a −1
Error (E)
SSE
N−a
SST
N −1
(por diferencia)
Total
MS
F
SSt MSt = a −1 SSE MSE = N−a
MSt MSE
MS=Medida de variación promedio F=Comparación entre variación interna (error) y la variación entre grupos (tratamientos).
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Para el ejemplo: Fuentes de Variación
SS
gl
MS
F 22.08
Tratamientos(t)
0.006867
2
0.003434
Error (E)
0.000933
6
0.000156
0.00780
8
(por diferencia)
Total
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Región de rechazo (RR) y decisión Comparar F vs F(tablas): . F(tablas)= Fα,gl ( t ),gl ( E ) = F0.05,2 ,6 = 514 Decisión:
RR 5.14
Como 22.08 es mayor que 5.14, se rechaza la igualdad de las medias de los procesos. Es decir, la variable temperatura afecta la dureza media de las piezas. 22.08
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0.6
Valor p (p-value) Probabilidad de tener un valor así si Ho es cierta
0.5
DistF
0.4 0.3
Región de rechazo de Ho α (α=5%=0.05) =5%=0.05)
0.2
p-value=0.000... p-value=0.002 0.1 0.0 0
5
F(0.05,2,6)=5.14
10
15 EntradaF
20
25
F(anova)=22.08
Como el p-value LSE o X < LIE
LE es el límite de especificación más cercano a la media del proceso
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Ejemplos. Evaluación gráfica de Cp y Cpk LIE
LSE
LIE
LSE
Cp=Cpk=2
a
Cp=Cpk=1
a
a
LIE
a LSE
Cp=2 Cpk=1 a
a
a
a
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Ejercicio. Evaluación gráfica de Cp y Cpk LIE
LSE
Cp= Cpk= a
a
a
LIE
a
a
LSE
Cp= Cpk= a
a
a
a
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
LIE
LSE
Cp= Cpk= a
a
LIE
a
a
LSE
Cp= Cpk= a
a
2a
2a
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Estudios a largo/corto plazo Subgrupos para calcular la desviación estándar interna (Cp y Cpk) 6
Índices de CAPACIDAD
Datos
5
4
3
2 Index
10
s (corto plazo)
20
30
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Subgrupos para calcular la desviación estándar global (Pp y Ppk) Índices de DESEMPEÑO
6
Datos
5
4
3
2 Index
10
20
30
s (largo plazo)
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Ejemplo Se evaluará la capacidad y el desempeño del proceso de múltiples de admisión para la característica de dureza de los mismos. LIE=1, LSE=3. Después de verificar la estabilidad y la normalidad de las 100 muestras de dureza (se deja como ejercicio):
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Xbar/R Chart for Dureza Sample Mean
2.5
2.0
X=1.939
1.5
Subgroup
Sample Range
3.0SL=2.475
-3.0SL=1.403 0
10
20
2
3.0SL=1.964
1
R=0.9288
0
-3.0SL=0.00
Se observa un proceso estable y la normalidad no es rechazada (no se muestra)
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X = 1 .939
R = 0 .9288
σˆ ( corto ) = s ( corto ) =
R 0 .9288 = = 0 .3993 d2 2 . 326
LSE − LIE 3 −1 = = 0 .835 Cp = 6 s ( corto ) 6 ( 0 .3993 ) 2
s=
∑1N ( x i − X) = n −1
c 4 ( N = 100) =
LE − X Cpk =
3s ( corto )
=
1 − 1 . 939 = 0 .784 3( 0 .3993 )
(1.855 − 1.939) 2 + ..... + (1.105 − 1.939) 2 = 0.3884 100 − 1
4(100 − 1) = 0.9974 4(100) − 3
s(l argo) =
LSE − LIE 3 −1 Pp = = = 0 .8562 6s ( larg o ) 6 ( 0 .3893 )
s 0.3884 = = 0.3893 c 4 ( N) 0.9974
Ppk =
LE − X 3s ( larg o )
=
1 − 1 .939 3( 0 .3893 )
= 0 .8040
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Interpretación clásica de Cp y Cpk Si Cp(Pp) es mayor que Cpk(Ppk), el proceso no está centrado en el objetivo. Si son aproximadamente iguales, entonces el proceso está centrado. Si Cp o Cpk es menor a 1, el proceso es incapaz. Si Cp o Cpk está entre 1 y 1.33, el proceso es apenas capaz. Si Cp o Cpk es mayor a 1.33 el proceso es capaz. El índice Cpk prevalece sobre Cp para tener la evaluación real (actual) del proceso.
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De acuerdo a los resultados, se observa que el proceso no es capaz realmente ni potencialmente. El porcentaje defectuoso se puede estimar como: p(X < 1) + p(X > 3) 1 − 1.939 3 − 1.939 = p Z < + p Z > 0.3993 0.3993 = p( Z < −2.35) + p( Z > 2.66) = 0.0094 + 0.0039 = 0.0133 = 1.33%
Las probabilidades normales se obtuvieron usando la tabla Z del apéndice.
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Process Capability Analysis for Dureza LSL
Process Data USL
3.00000
Target
2.00000
LSL Mean
1.00000 1.93897
Sample N
USL ST LT
100
StDev (ST)
0.399312
StDev (LT)
0.389393
Potential (ST) Capability Cp
0.83
CPU CPL
0.89 0.78
Cpk
0.78
Cpm
0.85
Overall (LT) Capability
1.0
1.5
Observed Performance
2.0
2.5
Expected ST Performance
3.0 Expected LT Performance
Pp
0.86
PPM < LSL
0.00
PPM < LSL
9349.73
PPM < LSL
7946.41
PPU
0.91
PPM > USL
0.00
PPM > USL
3940.28
PPM > USL
3216.74
PPL
0.80
PPM Total
0.00
PPM Total
Ppk
0.80
13290.01
PPM Total
11163.15
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Ejercicio En base a los datos del ejercicio de la gráfica XR (lecturas individuales), evaluar la capacidad para el proceso de lanzamiento de monedas cuya especificación es LSE=20 cms. Evaluar estabilidad y normalidad de los datos.
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MÉTRICA DE SEIS SIGMA Rendimiento de un proceso (Yield)
El rendimiento tradicional de un proceso se obtiene dividiendo el número de piezas que salen bien entre el número de piezas que entran. Ejemplo Obtener el rendimiento tradicional del siguiente proceso
200
180 Yield=180/200=0.90=90%
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Rendimiento de Primera-Vez (First-Time Yield, YFT ) El rendimiento de primera vez corresponde al número de piezas hechas bien la primera vez en cada fase del proceso Ejemplo Obtener el YFT del siguiente proceso
YFT=197/200=0.9850 177/197=0.8985 172/177=0.9718 172/172=1.00
200
197 3
177 20
172 5
Unidades defectuosas
172 0
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Rendimiento En-Cadena (Rolled Throughput Yield, YRT )
El rendimiento en cadena es el producto del rendimiento en cada paso del proceso. Dicho rendimiento no incluye retrabajos. Ejemplo YRT=(0.985)(0.8985)(0.9718)(1)=0.86=YFT=172/200
YFT=197/200=0.9850 177/197=0.8985 172/177=0.9718 172/172=1.00
200
197 3
177 20
172 5
Unidades defectuosas
172 0
Rendimiento En-Cadena (Rolled Throughput Yield, YRT ) --incluyendo retrabajo--
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
El rendimiento en cadena es el producto del rendimiento en cada paso del proceso. Dicho rendimiento sí incluye retrabajos. Ejemplo YFT=192/200=0.96 177/197=0.8985 172/177=0.9718 169/172=0.9826 YRT=(0.96)(0.8985)(0.9718)(0.9826)=0.8237
200
197
177
172
172
5 3
Retrabajo
3 20 5 Unidades defectuosas
0
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
La fabrica “oculta” El concepto de la fábrica oculta surge cuando una compañía está utilizando recursos adicionales por no hacer bien sus productos a la primera vez. Al retrabajo o al desperdicio se le considera como la fábrica oculta.
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Ejemplo Para el proceso anterior la fábrica “escondida” se encuentra en los pasos 1 y 4 y representan área de oportunidad de mejoramiento en ese mismo orden. YFT=192/200=0.96 177/197=0.8985 172/177=0.9718 169/172=0.9826
200
197
177
172
172
5 3
Retrabajo
3 20 5 Unidades defectuosas
0
YRT=82.37% representa el porcentaje de piezas que serán producidas sin defectos la primera vez.
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Elementos de la Métrica de defectos dpu dpmu dpo dpmo YFT
dpu=defectos por unidad (promedio) dpu=Número de defectos/Número de unidades dpmu=defectos por millón de unidades = (dpu)(106) dpo=defectos por total de oportunidades(i) dpo=Número de defectos/Número de oportunidades totales(i) dpmo=defectos por millón de oportunidades dpmo=dpmu/Número de oportunidades por unidad=(dpo)(106) YFT= rendimiento de primera-vez YFT=[1-dpmo/106] n (Mangin, 1999) (n=número de oportunidades de defectos por unidad) Número de oportunidades totales(i)=(No. de oportunidades)(No. Unidades)
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La diferencia entre dpmu y dpmo es que una unidad puede tener varias oportunidades de cometer defectos. Por ejemplo si en cierto proceso se encontraron 10 defectos en una muestra de 100 unidades, dpu=10/100=0.1 (defectos por unidad) dpmu=(dpu)(106)=100,000 (defectos por cada millón de unidades) Si en cada unidad, existen 10 posibilidades (pasos del proceso, número de partes que lo forman, etc.) de ocurrencia de un defecto, dpmo=dpmu/10=10,000 (defectos por cada millón de oportunidades) Si cada unidad solamente tiene una oportunidad en la que pueda ocurrir algún defecto, dpmo=dpmu.
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Originalmente ppm significa unidades defectuosas por cada millón, independientemente del número de defectos en dichas unidades. Actualmente el objetivo de Motorola es tener 3.4 ppm considerando ppm como el número de defectos(*) por cada millón de unidades. En este caso, ppm=dpmu. Si cada unidad se compone de cierto número de oportunidades de ocurrencia de un defecto, entonces ppm=dpmo.
(*)si cada unidad defectuosa tiene solamente un defecto entonces ppm significa tanto unidades defectuosas como número de defectos por millón de unidades
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Ejemplo de atributos En la fabricación de cierto tipo de tarjetas electrónicas impresas, se tienen las siguientes oportunidades de cometer errores: -componentes equivocados -componentes mal soldados -componentes mal insertados -soldadura faltante OPORTUNIDADES TOTALES
100 20 10 120 250
De una muestra de 3000 tarjetas se encontró un total de 85 defectos dpu=85/3000=0.0283 dpmo=(0.0283/250)(106)=(0.0001132)(106)=113.2 YFT=(1-113.2/106)250=0.972
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Transformación de dpmo a nivel sigma 113.2 ppm=113.2/106=0.0001132=1.13(10-4) Buscando en la tabla Z del apéndice se obtiene Z=3.69
0.0001132
0
Z=3.69
Este proceso tiene un nivel de calidad de 3.69 sigma
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Procedimiento para atributos 1. De ser necesario(*) expresar dpmo en notación científica con un entero y dos decimales. 2. Buscar el valor Z en la tabla Z del apéndice
(*) si el valor en el cuerpo de la tabla Z está en notación científica
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Ejemplo integrador Se analizará el siguiente proceso de preparar café fresco en una cafetera automática y servirlo: 1
2
Poner filtro de papel
Poner el café
5
6
Esperar
4
3
Vaciar el agua
Encender la cafetera
Servir el café
Considerar que la muestra de 100 preparaciones fue en un período largo de tiempo. Es decir, se incluyeron todas las fuentes de variación posibles en este proceso. Es un estudio largo
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
1. Identificación de CTQs (proceso: preparar y servir café) Temperatura adecuada del café y llenado adecuado 2. Definir oportunidades de defectos
Paso 1 2 3 4 5 6
Descripción Op. de error Poner filtro de papel 2 Poner el café 1 Vaciar el agua 1 Encender la cafetera 1 Esperar 2 Servir el café 2 Total 9
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3. Buscar defectos en productos o servicios 95 100 97 94 93 1
2
3
Poner el café
Vaciar el agua
2
Poner filtro de papel
1
93
91
4
5
6
Encender la cafetera
Esperar
Servir el café
3 2 1 1 0 2 4. y 5. Calcular dpmo individual y su conversión a niveles sigma De manera individual: 97 1
2
YFT=95/100=0.95 dpu=(5/100)=0.050000
Poner filtro de papel
dpmo=(0.050000/2)(106)=25,000
100
0.05/2=0.025=2.5(10-2). Z=1.96
3
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Ejercicio 2
95 YFT=
Poner el café
dpu=
dpmo=
97
2
Z=
94 3
1
YFT= 93/95=0.9789 dpu=(2/95)=0.021053
Vaciar el agua
dpmo=(0.021053/1)(106)=21,053
95
0.021053/1=0.021053=2.11(10-2). Z=2.03
1
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93
4 Encender la cafetera
Ejercicio YFT=
dpu=
dpmo=
94
Z=
1
5
93
Esperar
YFT= 93/93=1.0 dpu=0 dpmo=0
93
0
Z tiende a infinito (prácticamente Z=4.5)
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
6
91
Servir el café
YFT= 91/93 =0.9785 dpu=(2/93)=0.021505 dpmo=(0.021505/2)(106)=10,753
93
2
0.021505/2 =0.010753=1.08(10-2). Z=2.30
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6. Resumen del análisis Caract. Defectos Unidades Oport. Tot. Oport. 1 5 100 2 200 2 2 97 1 3 2 95 1 95 4 1 94 1 94 5 0 93 2 186 6 2 93 2 TOTAL 12 9 858
dpu 0.050
dpo dpmo dpmu Z Zshift 0.025000 25000 50000 1.96 3.46
0.021 0.011 0.000
0.021053 0.010638 0.000000
21053 21053 2.03 10638 10638 2.30 0 0 4.50
3.53 3.80 6.00
123815
3.70
---
Suma Zshift=1.5 es el factor de corrección para tener el equivalente a un estudio a corto plazo.
Total dpo=Total de defectos/Total de oportunidades. El número de defectos por millón de oportunidades (dpmo) de todo el proceso es (Total dpo)(106)=13,986 y corresponde a un nivel de 2.20 sigma.
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Para todo el proceso, tomando en cuenta el retrabajo: YFT(proceso)=(1-13,986/106)9=0.8809=88.09%
7. Detección de áreas de oportunidad Orden del proceso Fase Poner filtro Poner café Vaciar agua Encender Esperar Servir
dpmo 25000 20619 21053 10638 0 10753
Sigma 1.96 2.04 2.03 2.30 6.00 2.30
Orden en base a sigma Fase Poner filtro Vaciar agua Poner café Servir Encender Esperar
dpmo 25000 21053 20619 10753 10638 0
Sigma 1.96 2.03 2.04 2.30 2.30 6.00
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FLUJO DE LA METODOLOGÍA D M
Definir problema Proceso capaz
Describir proceso
N
M
Medición capaz y estable
N
Mejorar
I
Optimizar
I
Validar la mejora
S
A A
Determinar variables significativas Evaluar estabilidad y capacidad del proceso
Proceso estable S
C N
Eliminar causas especiales
C
Controlar el proceso
Mejorar continuamente
S
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I OPTIMIZAR Y ROBUSTECER EL PROCESO Si el proceso no es capaz, se deberá optimizar para reducir su variación. Se recomienda usar Análisis de Regresión, Diseño de Experimentos, y Superficies de Respuesta.
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DIAGRAMA DE DISPERSIÓN Definición Gráfica simple entre 2 variables. Objetivo Visualizar el tipo y el grado de relación o predicción entre dos variables.
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.
..
..
. ..
..
.
.. .
.
Tipos de relación
Directa
Inversa
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Grados de relación
. .
.. .. ...
Fuerte
... .. . . .. .. Débil
.. . . ... .... ... .......... Nulo
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Ejemplo. Suponer que en base a estudios previos, se encontró que las variables significativas –con respecto a la dureza de los múltiples de admisión- fueron la temperatura de precalentamiento y el tiempo de solidificación. Determinar el tipo y el grado de relación entre la dureza y el tiempo de solidificación. t-S olid 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Dureza 4.5 4.3 3.8 3.6 3.4 2.9 2.9 2.4 2.2 2.1 2.0
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Diagrama de Dispersión
Dureza
4
3
2
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
t-Solid
Se observa una relación inversa y fuerte entre dureza y tiempo de solidificación.
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Ejercicio Realizar un diagrama de dispersión e interpretarlo, para la siguiente información de temperatura de precalentamiento y dureza. Determinar el tipo y el grado de relación entre dichas variables. Temp 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400
Dureza 1.5 1.8 2.1 2.3 2.6 3.1 3.4 3.7 3.9 4.2 4.5
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Interpretación De acuerdo con el Statistical Quality Control Handbook de Western Electric, 1956, es necesario considerar que: 1.- Aunque se aprecie una relación fuerte, no necesariamente indica relación de causa y efecto entre esas variables. La relación causa-efecto se obtiene del conocimiento del proceso. 2.- Si no se aprecia una relación significativa, puede deberse a que realmente no exista correlación, o que la cantidad y/o el rango de los datos sea insuficiente.
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Causalidad y Casualidad Causalidad implica una relación de causa-efecto entre las variables, Casualidad no. P Ejemplos a) Presión vs Temperatura
. .
.. .. ... T
(causalidad bilateral)
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c) No. de cigueñas vs No. de b) Consumo de electricidad en verano vs Temperatura ambiente nacimientos (durante 100 años)
C
. .
.. .. ...
T (causalidad unilateral)
N
. .
.. .. ... C
(casualidad)
Cuando no existe causalidad el modelo no se puede usar para controlar el proceso pero sí para predecirlo.
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Análisis de Regresión Técnica usada para relacionar a través de un modelo, una o más variables independientes con una variable dependiente (respuesta). Usos de la regresión 1. Descripción. Representar el comportamiento de un proceso. 2. Predicción y estimación. Predicción es en base a un valor x desconocido. Estimación es en base a un valor conocido de x. 3. Control. Para obtener cierta respuesta deseada del proceso.
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Modelo de regresión de un factor
y = β0 + β1x + ε y=variable dependiente a modelar (respuesta) x=variable independiente (predictor de y) ε=componente de error (medición + natural). VA. β0=intersección. Si los datos incluyen cero, representa la media de la distribución de y cuando x=0. No tiene sentido si los datos no incluyen cero. β1=pendiente. Es el cambio en la media de y por cada cambio unitario de x.
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Estimación de los parámetros del modelo Por medio del método de mínimos cuadrados que consiste en minimizar el error del modelo se obtienen
ˆβ = Sxy 1 Sxx
βˆ 0 = y − βˆ 1 x
(Σx )(Σy) Sxy = Σxy − n yˆ = βˆ 0 + βˆ 1x
2 ( Σ x ) Sxx = Σx 2 − n
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Ejemplo. En el caso del ejemplo de dureza (y) vs la temperatura de precalentamiento y el tiempo de solidifcación, se obtiene(*)
Y = 7.05455 - 0.263636X
R-Sq = 97.8 %
Dureza
4
3
2
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
t-Solid
(*) es importante realizar todas las pruebas estadísticas al modelo resultante.
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( Σ x )( Σ y ) 165 (34 .1) = 482 .5 − = − 29 .0 Sxy = Σ xy − n 11 2 2 Σ ( x ) ( 165 ) = 2585 − = 110 .0 Sxx = Σ x 2 − 11 n ˆβ = Sxy = − 29 .0 = − 0 .2636 1 Sxx 110 .0 ˆβ = y − βˆ x = 34 .1 + 0 .2636 165 = 7 .054 0 1 11 11 yˆ = βˆ + βˆ x = 7 .054 − 0 .2636 x 0
1
Dureza = 7 .054 − 0 .2636 tSolid Por cada unidad de aumento en el tiempo de solidificación, la dureza disminuirá 0.2636 unidades. Como el rango de los datos no incluye x=0, el valor de 7.054 no tiene un significado particular.
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Ejercicio Obtener el modelo de regresión para el comportamiento de la variable de respuesta “tiempo en el aire” vs. las variables significativas en el experimento de los helicópteros de papel. Modelo=promedio+((ef. signif)/2)X
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Superficies de Respuesta Conjunto de técnicas estadísticas usadas para encontrar una región óptima de operación del proceso. En el caso del proceso de los múltiples, en el diseño de experimentos realizado se encontró que los factores significativos son la temperatura de precalentamiento y el tiempo de solidificación. A pesar de haber ajustado el proceso, su capacidad no alcanzó el nivel deseado (Cpk min 1.33), debido a variación excesiva en el proceso. Se usará la técnica de Superficies de Respuesta para explorar una mejor región de operación en donde la variación de dureza sea menor
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Se corrió el siguiente diseño central compuesto en el cual se tomaron 5 múltiples por prueba. La columna dureza representa la media de las 5 lecturas por prueba TEMP TSOLI D Dureza 380 20 1.8 390 20 2.0 380 30 3.1 390 30 5.1 377.929 25 5.0 392.071 25 4.3 385 17.9289 1.2 385 32.0711 2.2 385 25 1.8 385 25 2.1 385 25 1.9 385 25 2.0 385 25 2.1
ln(s) -2.300 -1.880 -0.087 -0.446 -1.533 -0.820 -1.550 -0.033 -1.290 -0.970 -2.020 -2.120 -2.130
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El modelo en unidades codificadas es Dureza = 1.8 + 0.1513 Temp + 0.7268 Tsolid + 1.35 Temp2
6 5 4
Dureza
3 2 1
30 25 380
TEMP
385
20 390
TSOLID
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Contour Plot of Dureza
30
TSOLID
5 25 4 3 20
2
380
385
390
TEMP
Se observa una nueva región de operación con dureza=2 (objetivo)
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De acuerdo con el análisis de ln(s), la variable temperatura de precalentamiento no resultó significativa. Y = 4.33639 - 0.616169X + 1.52E-02X**2 R-Sq = 69.8 %
ln(s)
0
-1
-2
20
25
30
TSOLID
Del Modelo, Ln(s) min=-1.984, s=0.1375 (vs 0.399 del estudio de capacidad)
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Contour Plot of Dureza
30
TSOLID
5 25 4 3 20
2
380
385
390
TEMP
La región óptima de operación tanto para la Temperatura de precalentamiento como para el tiempo de solidificación se muestran en la figura (Temp=380.57, Tsolid=20)
FLUJO DE LA METODOLOGÍA
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
D M
Definir problema Proceso capaz
Describir proceso
N
M
Medición capaz y estable
N
Mejorar
I
Optimizar
I
Validar la mejora
S
A A
Determinar variables significativas Evaluar estabilidad y capacidad del proceso
Proceso estable S
N
Eliminar causas especiales
C
Controlar el proceso
C
Mejorar continuamente
S
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I VALIDAR LA MEJORA En este paso es necesario confirmar la mejora del proceso a través de volver a realizar estudios de capacidad. Una vez validada la mejora, se implementarán las nuevas condiciones de operación del proceso.
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En el caso de los múltiples de admisión, para las condiciones óptimas de operación seleccionadas se obtuvo la siguiente información i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2.0930 1.8967 1.9101 2.0945 1.9313 1.9503 2.0074 2.0116 2.1123 2.1411 2.1519 2.0690 2.0306 1.9453 2.1498 1.8678 2.0821 1.9152 1.8134 2.0681
2.2384 1.8162 1.9163 1.9946 1.9816 1.7892 1.9077 1.9547 1.8605 2.1652 2.1148 2.1715 1.9841 1.7282 2.0178 1.9924 2.1007 2.2845 2.0346 1.9301
Dureza 1.9747 2.1971 1.8395 1.8865 2.0660 1.9305 2.0613 2.0210 1.8948 1.9214 2.1014 1.8356 1.8507 1.7544 2.2217 2.0942 2.0623 1.8238 1.9544 1.8646
Prom edio
1.9441 1.9567 2.0935 1.9123 2.0294 1.9705 2.1237 1.8565 1.9743 2.1073 1.7264 1.9888 2.0109 2.1473 2.1051 1.7545 2.1340 2.2202 2.0199 1.8440
1.9726 1.8568 2.0662 2.1600 1.9742 1.7745 2.1257 1.9397 2.0222 2.1494 1.7959 1.8470 1.9572 1.8996 1.9294 2.1232 2.2071 2.1036 2.0475 2.2100 Prom edio
2.045 1.945 1.965 2.010 1.997 1.883 2.045 1.957 1.973 2.097 1.978 1.982 1.967 1.895 2.085 1.966 2.117 2.069 1.974 1.983 1.997
Rango 0.294 0.381 0.254 0.274 0.135 0.196 0.218 0.165 0.252 0.244 0.426 0.336 0.180 0.419 0.292 0.369 0.145 0.461 0.234 0.366 0.2819
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Xbar/R Chart for Dureza Sample Mean
2.2
3.0SL=2.159
2.1 2.0
X=1.997
1.9 -3.0SL=1.834
1.8 Subgroup
0
10
Sample Range
0.6
20
3.0SL=0.5962
0.5 0.4 0.3
R=0.2819
0.2 0.1 -3.0SL=0.00
0.0
Proceso estable
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Normal Probability Plot .999
Probability
.99 .95 .80 .50 .20 .05 .01 .001 1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
Durez Av erage: 1.99661 StDev : 0.128275 N: 100
Anderson-Darling Normality Test A-Squared: 0.338 P-Value: 0.497
Proceso distribuido normalmente
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
LSL
Process Data USL
3.00000
Target
2.00000
LSL
1.00000
Mean
1.99661
Sample N
Process Capability Analysis for Dureza
USL ST LT
100
StDev (ST)
0.121212
StDev (LT)
0.128599
Potential (ST) Capability Cp
2.75
CPU
2.76
CPL
2.74
Cpk
2.74
Cpm
2.60
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Overall (LT) Capability Pp 2.59
Observed Performance PPM < LSL 0.00
Expected ST Performance PPM < LSL 0.00
Expected LT Performance PPM < LSL 0.00
PPU
2.60
PPM > USL
0.00
PPM > USL
0.00
PPM > USL
0.00
PPL Ppk
2.58 2.58
PPM Total
0.00
PPM Total
0.00
PPM Total
0.00
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
¿Cómo resultó el estudio de capacidad de los lanzamientos de la moneda? ¿Se puede mejorar? ¿Cómo?
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FLUJO DE LA METODOLOGÍA D M
Definir problema Proceso capaz
Describir proceso
N
M
Medición capaz y estable
N
Mejorar
I
Optimizar
Determinar variables significativas
I
Validar la mejora
Evaluar estabilidad y capacidad del proceso
C
Controlar el proceso
C
Mejorar continuamente
S
A A
Proceso estable S
N
Eliminar causas especiales
S
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C CONTROLAR Y DAR SEGUIMIENTO AL PROCESO Monitorear y mantener en control al proceso. Desarrollar AMEF y Planes de Control, poka-yoke e incluir técnicas afines como Control Estadístico de Procesos, Precontrol y otras.
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Definición general del AMEF El Análisis de Modo y Efecto de Falla de (AMEF) es una técnica analítica que tiene la finalidad de identificar y evaluar todos los modos potenciales de falla*, sus causas y efectos para prevenir o corregir dichas fallas a través del establecimiento de acciones específicas y mecanismos de control (C,F,GM 1995; Ford 1991). (*) es la manera en la que el componente, sistema o subsistema pueden fallar en el cumplimiento de los requerimientos del diseño.
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Beneficios del AMEF
(Aldridge, Taylor 1991)
-Reducción de costos internos debido a retrabajos por no hacerlo bien la primera vez. -Reducción del número de quejas y costos por garantías. -Aumento de la satisfacción del cliente. -Confianza en que los productos de la compañía son producidos basados en métodos de producción robustos y confiables.
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Definiciones Modo de falla: es la manifestación de la falla. Efecto de la falla: es la consecuencia de la falla Causa de la falla: es lo que provoca la falla
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Ejemplo. Múltiples de admisión Descripción del proceso/
Modo de Falla Potencial
Efecto(s) Potenciales de Fallas
S e v
C Causa(s)/ l Mecanismos a de Falla s Potenciales
Función Precalentar molde a 400°C
Temperatura diferente a 400°C
Pieza con dureza inadecuada
5
C Falta de calibración del controlador
Preparar el molde para que el aluminio se deslice adecuadamente
Temperatura inestable
Pieza con fugas
8
Controlador errático
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Evaluación de SEVERIDAD, OCURRENCIA y DETECCION para PROCESO EVAL. SEVERIDAD 10 Peligro al operador, operación insegura del producto. Sin aviso 9 Peligro al operador, operación insegura del producto. Con aviso 8 100% producto puede ser defectuoso. Producto inoperable 7 Menos del 100% producto es defectuoso. Producto operable, bajo rendimiento 6 Menos del 100% producto es defectuoso. Producto operable, sin confort 5 Menos del 100% producto es retrabajo. Producto operable, poco confort 4 Menos del 100% producto es retrabajo. Mal acabado y ruidos menores. Muy notable 3 Menos del 100% producto es retrabajo menor. Mal acabado y ruidos menores.Notable 2 Menos del 100% producto es retrabajo menor. Mal acabado y ruidos menores. Poco notable 1 No afecta
OCURRENCIA Muy alta, >=1/2. Cpk=0.33 Alta, 1/8. Cpk>=0.51 Alta, 1/20. Cpk>=0.67 Moderada, 1/80. Cpk>=0.83 Moderada, 1/400. Cpk>=1.00 Moderada, 1/2000. Cpk>=1.17 Baja, 1/15,000. Cpk>=1.33 Baja, 1/150,000. Cpk>=1.50 Remota, =1.67
DETECCION Casi imposible Muy remota Remota Muy baja Baja Moderada Moderada alta Alta Muy alta Casi segura
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O c u r r
Controles actuales del Proceso
2
Mantenimiento preventivo programado
6
Mantenimiento preventivo programado
D R e P t N e c 2 20
6 288
Acciones
Responsabilidad
Recomendadas
y Fecha de Terminación
Ninguna
Revisar y reparar o cambiar el controlador
NA
Mantenimiento Feb. 200X
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RESULTADOS DE ACCIONES S O D Acciones tomadas e c e v u t r c
R P N
NA
Controlador revisado. Se cambió el sensor principal de temperatura
8
1
6
48
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Ejercicio Proceso: poner el despertador para levantarse a las 6 am para asistir a una junta de trabajo muy importante. Pasos del proceso: -ajustar despertador -levantarse
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Información a clasificar: 4 modos/ 2 efectos/ 4 causas -quedarse dormido
-confusión de hora
-olvido
-no despertarse a tiempo
-desvelado
-no levantarse al oir alarma
-no llegar a tiempo
-hora incorrecta
-no activar alarma
-enfermo
Severidad=8 para todos los efectos
Descripción del
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
proceso/
Propósito
Modo de
Efecto(s)
S
C
Causa(s)/
Falla
Potenciales
e
l
Mecanismos
Potencial
de Fallas
v
a
de Falla
s
Potenciales
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Ejercicio ...
Información a clasificar: 4 controles/ 2 acciones -tomar vitaminas -cambiar marca de vitaminas -no aceptar compromisos entre semana -ajustar al llegar a casa -pedir a otra persona que lo valide -verificación visual
Ocurrencia=5, 2, 3, 4 en ese orden Detección= 4 para todos los controles Poner acción recomendada solamente si RPN>100. Recordar que independientemente del RPN se tendrá acción correctiva si la severidad es 9 ó 10
O
Controles
D
R
Acciones
Responsabilidad
c
actuales
e
P
Recomendadas
y Fecha
u
del Proceso
t
N
r (Prevención y
e
r
c
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Detección)
de Terminación
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Plan de Control Elementos de la producción 1.- Mano de Obra. 2.- Materiales. 3.- Máquinas (herramientas, posiciones, aditamentos). 4.- Métodos (instrucciones, set-up, mantenimiento preventivo, medición). 5.- Medio Ambiente.
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Importancia del control
M.Ambiente
Materiales
Máquinas
CONTROL
Métodos
Mano de Obra
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Control Llevar a cabo acciones encaminadas a mantener una situación en un estado deseado
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Ejemplo de Plan de Control. Múltiples de admisión COMPAÑIA/ PLANTA MULTIMEX
Departamento
9Feb99
Vaciado
Ultima rev.
Proceso
Formación
Parámetro Temperatura de precalentamiento Lugar
Fecha
Crítico Sí
Especificación 395-405°C
MEDICION Registro Frecuencia
Máquina Formato Cada de vaciado RV-25 pieza
Muestra
1
Preparado por
Hoja T. Idos 1 /5 Aprobado por No. Documento
R. Ureca MEDICION Instrumento Termopar
V-132 Responsable Operador de vaciado
Método de control
Plan de reacción
Gráfica XR
Ajustar el control central
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Poka-Yoke(Shingo, 1986) Poka = errores (inadvertencia) Yoke = a prueba
PREVENCION DE ERRORES
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Conceptos * La mayoría de los errores son -errores de falta de atención (no-advertencia). Ejemplos: no me fijé, no me di cuenta, no sabía. *Relación entre errores y defectos -cometer un error puede resultar en un defecto.
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Errores y defectos ERROR No poner agua al radiador
DEFECTO Sobrecalentamiento del motor
No colocar empaque en manguera Fuga de agua No colocar todos los tornillos
Vibración
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Funciones de poka-yoke Ejemplos a) Predicción Ejemplo: colocar un cassette al revés. Detener, controlar y advertir: el cassette topa, no puede entrar. La persona se da cuenta. b) Detección Ejemplo: un inspector electrónico rechaza una botella por tener una partícula en el interior. Detener, controlar y advertir: la botella es desviada de la línea y suena una alarma.
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Tipos de inspección Tipos de inspección... *Sistemas de Verificación Sucesivas (el producto es examinado en la siguiente estación). *Sistemas de Auto-Verificación (usando poka-yoke el operador se auto-verifica). -En la fuente (eliminan defectos al evitar que un error se transforme en un defecto).
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Inspecciones en la fuente Inspecciones en la fuente Las inspecciones en la fuente son usadas para: * corregir errores en las condiciones de operación (producto, personas, métodos, tiempo, espacio), para * impedir que los errores se transformen en defectos. Así se logra el cero defectos.
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Ejemplo de inspección en la fuente Instalación de un flotador en un carburador Carburador
Flotadores
Tapas Fotocelda
Operario
Compuerta
La compuerta se abre cuando se toma un flotador. Shingo (1986)
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Ciclos de acción Verificar y retroalimentar
Realizar acciones
Defectos
Errores
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Ciclos de acción... Verificar y retroalimentar
Realizar acciones
Errores
Defectos
Acción
Verificar y retroalimentar
Errores
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FLUJO DE LA METODOLOGÍA D M
Definir problema Proceso capaz
Describir proceso
N
M
Medición capaz y estable
N
Mejorar
I
Optimizar
I
Validar la mejora
S
A A
Determinar variables significativas Evaluar estabilidad y capacidad del proceso
Proceso estable S
N
Eliminar causas especiales
C
Controlar el proceso
C
Mejorar continuamente
S
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C MEJORAR CONTINUAMENTE Una vez que el proceso es capaz, se deberán buscar mejores condiciones de operación, materiales, procedimientos, etc. que conduzcan a un mejor desempeño del proceso. El nuevo desempeño deberá manifestarse a través de un incremento en la capacidad del mismo, en una reducción de costos y en una mayor satisfacción del cliente.
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REFERENCIAS Brassard M. (1989). The Memory Jogger Plus+. GOAL/QPC. Bedell E., Phan H. Six Sigma Process Control. Motorola Semiconductor Products Sector 1993. Hosotani K. The QC Problem Solving Approach. 3A Corp. 1992. Ford, GM, Chrysler. Measurement Systems Analysis. Reference Manual. 2d ed 1995. Chrysler Corp., Ford Motor Co., General Motors Corp. Potential Failure Mode and Effects Analysis. 2d. ed. 1995. Ford Motor Co. Análisis del Modo y Efecto de Falla Potencial. 1991. Aldridge J., Taylor J. “The Application of Failure Mode and Effects Analysis at an Automotive Components Manufacturer”. International Journal of Quality and Reliability Management, Vol. 8 No. 3, 1991.
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
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TABLA F (Alfa 5%) Num.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88 242.98 243.90 244.69 245.36 245.95 246.47 247.3
19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.40 19.41 19.42 19.42 19.43 19.43 19.44 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.76 8.74 8.73 8.71 8.70 8.69 8.67 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.94 5.91 5.89 5.87 5.86 5.84 5.82 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.70 4.68 4.66 4.64 4.62 4.60 4.58 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.03 4.00 3.98 3.96 3.94 3.92 3.90 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.60 3.57 3.55 3.53 3.51 3.49 3.47 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.31 3.28 3.26 3.24 3.22 3.20 3.17 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.10 3.07 3.05 3.03 3.01 2.99 2.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.94 2.91 2.89 2.86 2.85 2.83 2.80 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.82 2.79 2.76 2.74 2.72 2.70 2.67 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.72 2.69 2.66 2.64 2.62 2.60 2.57 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.63 2.60 2.58 2.55 2.53 2.51 2.48 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.57 2.53 2.51 2.48 2.46 2.44 2.41 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.51 2.48 2.45 2.42 2.40 2.38 2.35
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TABLA F (Alfa 5%) Num.
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3.63 3.59 3.55 3.20 3.20 3.20 3.19 3.19 3.18 3.18 3.18 3.17 3.17 3.16 3.16 3.16 3.16 3.15 3.15
3.24 3.20 3.16 2.81 2.81 2.80 2.80 2.79 2.79 2.79 2.78 2.78 2.78 2.77 2.77 2.77 2.76 2.76 2.76
3.01 2.96 2.93 2.58 2.57 2.57 2.57 2.56 2.56 2.55 2.55 2.55 2.54 2.54 2.54 2.53 2.53 2.53 2.53
2.85 2.81 2.77 2.42 2.42 2.41 2.41 2.40 2.40 2.40 2.39 2.39 2.39 2.38 2.38 2.38 2.37 2.37 2.37
2.74 2.70 2.66 2.31 2.30 2.30 2.29 2.29 2.29 2.28 2.28 2.28 2.27 2.27 2.27 2.26 2.26 2.26 2.25
2.66 2.61 2.58 2.22 2.22 2.21 2.21 2.20 2.20 2.20 2.19 2.19 2.18 2.18 2.18 2.18 2.17 2.17 2.17
2.59 2.55 2.51 2.15 2.15 2.14 2.14 2.13 2.13 2.13 2.12 2.12 2.12 2.11 2.11 2.11 2.10 2.10 2.10
2.54 2.49 2.46 2.10 2.09 2.09 2.08 2.08 2.07 2.07 2.07 2.06 2.06 2.06 2.05 2.05 2.05 2.04 2.04
2.49 2.45 2.41 2.05 2.04 2.04 2.03 2.03 2.03 2.02 2.02 2.01 2.01 2.01 2.00 2.00 2.00 2.00 1.99
2.46 2.41 2.37 2.01 2.00 2.00 1.99 1.99 1.99 1.98 1.98 1.97 1.97 1.97 1.96 1.96 1.96 1.96 1.95
2.42 2.38 2.34 1.97 1.97 1.96 1.96 1.96 1.95 1.95 1.94 1.94 1.94 1.93 1.93 1.93 1.92 1.92 1.92
2.40 2.35 2.31 1.94 1.94 1.93 1.93 1.93 1.92 1.92 1.91 1.91 1.91 1.90 1.90 1.90 1.89 1.89 1.89
2.37 2.33 2.29 1.92 1.91 1.91 1.90 1.90 1.89 1.89 1.89 1.88 1.88 1.88 1.87 1.87 1.87 1.86 1.86
2.35 2.31 2.27 1.89 1.89 1.88 1.88 1.88 1.87 1.87 1.86 1.86 1.86 1.85 1.85 1.85 1.84 1.84 1.84
2.33 2.29 2.25 1.87 1.87 1.86 1.86 1.85 1.85 1.85 1.84 1.84 1.83 1.83 1.83 1.82 1.82 1.82 1.82
2.30 2.26 2.22 1.84 1.83 1.83 1.82 1.82 1.81 1.81 1.81 1.80 1.80 1.79 1.79 1.79 1.78 1.78 1.778
Denom.
16 17 18 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
TABLA NORMAL ESTANDAR N(0,1). AREA A LA DERECHA DE Z Z 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50
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0.50000 0.46017 0.42074 0.38209 0.34458 0.30854 0.27425 0.24196 0.21186 0.18406 0.15866 0.13567 0.11507 0.09680 0.08076 0.06681 0.05480 0.04457 0.03593 0.02872 0.02275 0.01786 0.01390 0.01072 0.00820 0.00621
0.49601 0.45620 0.41683 0.37828 0.34090 0.30503 0.27093 0.23885 0.20897 0.18141 0.15625 0.13350 0.11314 0.09510 0.07927 0.06552 0.05370 0.04363 0.03515 0.02807 0.02222 0.01743 0.01355 0.01044 0.00798 0.00604
0.49202 0.45224 0.41294 0.37448 0.33724 0.30153 0.26763 0.23576 0.20611 0.17879 0.15386 0.13136 0.11123 0.09342 0.07780 0.06426 0.05262 0.04272 0.03438 0.02743 0.02169 0.01700 0.01321 0.01017 0.00776 0.00587
0.48803 0.44828 0.40905 0.37070 0.33360 0.29806 0.26435 0.23270 0.20327 0.17619 0.15151 0.12924 0.10935 0.09176 0.07636 0.06301 0.05155 0.04182 0.03363 0.02680 0.02118 0.01659 0.01287 0.00990 0.00755 0.00570
0.48405 0.44433 0.40517 0.36693 0.32997 0.29460 0.26109 0.22965 0.20045 0.17361 0.14917 0.12714 0.10749 0.09012 0.07493 0.06178 0.05050 0.04093 0.03288 0.02619 0.02068 0.01618 0.01255 0.00964 0.00734 0.00554
0.48006 0.44038 0.40129 0.36317 0.32636 0.29116 0.25785 0.22663 0.19766 0.17106 0.14686 0.12507 0.10565 0.08851 0.07353 0.06057 0.04947 0.04006 0.03216 0.02559 0.02018 0.01578 0.01222 0.00939 0.00714 0.00539
0.47608 0.43644 0.39743 0.35942 0.32276 0.28774 0.25463 0.22363 0.19489 0.16853 0.14457 0.12302 0.10383 0.08691 0.07214 0.05938 0.04846 0.03920 0.03144 0.02500 0.01970 0.01539 0.01191 0.00914 0.00695 0.00523
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0.46414 0.42465 0.38591 0.34827 0.31207 0.27760 0.24510 0.21476 0.18673 0.16109 0.13786 0.11702 0.09853 0.08226 0.06811 0.05592 0.04551 0.03673 0.02938 0.02330 0.01831 0.01426 0.01101 0.00842 0.00639 0.00480
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00 4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00
0.00466 0.00347 0.00256 0.00187 0.00135 0.000968 0.000687 0.000483 0.000337 0.000233 1.592E-04 1.079E-04 7.248E-05 4.822E-05 3.179E-05 2.076E-05 1.344E-05 8.619E-06 5.478E-06 3.401E-06 2.114E-06 1.303E-06 7.931E-07 4.796E-07 2.882E-07
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0.00427 0.00317 0.00233 0.00169 0.00122 0.000874 0.000619 0.000434 0.000302 0.000208 1.418E-04 9.587E-05 6.420E-05 4.260E-05 2.800E-05 1.824E-05 1.177E-05 7.530E-06 4.773E-06 2.949E-06 1.827E-06 1.123E-06 6.834E-07 4.100E-07 2.455E-07
0.00415 0.00307 0.00226 0.00164 0.00118 0.000845 0.000598 0.000419 0.000291 0.000200 1.364E-04 9.214E-05 6.165E-05 4.086E-05 2.684E-05 1.747E-05 1.126E-05 7.198E-06 4.558E-06 2.811E-06 1.740E-06 1.068E-06 6.492E-07 3.890E-07 2.327E-07
0.00402 0.00298 0.00219 0.00159 0.00114 0.000816 0.000577 0.000404 0.000280 0.000193 1.312E-04 8.855E-05 5.919E-05 3.920E-05 2.572E-05 1.672E-05 1.077E-05 6.879E-06 4.353E-06 2.680E-06 1.657E-06 1.016E-06 6.167E-07 3.719E-07 2.224E-07
0.00391 0.00289 0.00212 0.00154 0.00111 0.000789 0.000557 0.000390 0.000270 0.000186 1.262E-04 8.509E-05 5.682E-05 3.760E-05 2.465E-05 1.601E-05 1.031E-05 6.574E-06 4.156E-06 2.554E-06 1.577E-06 9.706E-07 5.857E-07 3.528E-07 2.108E-07
0.00379 0.00280 0.00205 0.00149 0.00107 0.000762 0.000538 0.000376 0.000260 0.000179 1.214E-04 8.175E-05 5.455E-05 3.606E-05 2.362E-05 1.533E-05 9.857E-06 6.282E-06 3.968E-06 2.434E-06 1.501E-06 9.230E-07 5.582E-07 3.346E-07 1.997E-07
0.00368 0.00272 0.00199 0.00144 0.00103 0.000736 0.000519 0.000362 0.000251 0.000172 1.167E-04 7.854E-05 5.236E-05 3.458E-05 2.263E-05 1.467E-05 9.426E-06 6.002E-06 3.787E-06 2.319E-06 1.429E-06 8.776E-07 5.300E-07 3.173E-07 1.891E-07
0.00357 0.00264 0.00193 0.00139 0.00100 0.000711 0.000501 0.000350 0.000242 0.000165 1.123E-04 7.545E-05 5.025E-05 3.316E-05 2.168E-05 1.404E-05 9.014E-06 5.734E-06 3.615E-06 2.209E-06 1.359E-06 8.343E-07 5.032E-07 3.009E-07 1.791E-07
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Alfa gl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
TABLA t de Student 0.250
0.200
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.0005
1.000
1.376
1.963
3.078
6.314
12.706
31.821
63.656
636.578
0.816
1.061
1.386
1.886
2.920
4.303
6.965
9.925
31.600
0.765
0.978
1.250
1.638
2.353
3.182
4.541
5.841
12.924
0.741
0.941
1.190
1.533
2.132
2.776
3.747
4.604
8.610
0.727
0.920
1.156
1.476
2.015
2.571
3.365
4.032
6.869
0.718
0.906
1.134
1.440
1.943
2.447
3.143
3.707
5.959
0.711
0.896
1.119
1.415
1.895
2.365
2.998
3.499
5.408
0.706
0.889
1.108
1.397
1.860
2.306
2.896
3.355
5.041
0.703
0.883
1.100
1.383
1.833
2.262
2.821
3.250
4.781
0.700
0.879
1.093
1.372
1.812
2.228
2.764
3.169
4.587
0.697
0.876
1.088
1.363
1.796
2.201
2.718
3.106
4.437
0.695
0.873
1.083
1.356
1.782
2.179
2.681
3.055
4.318
0.694
0.870
1.079
1.350
1.771
2.160
2.650
3.012
4.221
0.692
0.868
1.076
1.345
1.761
2.145
2.624
2.977
4.140
0.691
0.866
1.074
1.341
1.753
2.131
2.602
2.947
4.073
0.690
0.865
1.071
1.337
1.746
2.120
2.583
2.921
4.015
0.689
0.863
1.069
1.333
1.740
2.110
2.567
2.898
3.965
0.688
0.862
1.067
1.330
1.734
2.101
2.552
2.878
3.922
0.688
0.861
1.066
1.328
1.729
2.093
2.539
2.861
3.883
0.687
0.860
1.064
1.325
1.725
2.086
2.528
2.845
3.850
0.686
0.859
1.063
1.323
1.721
2.080
2.518
2.831
3.819
0.686
0.858
1.061
1.321
1.717
2.074
2.508
2.819
3.792
0.685
0.858
1.060
1.319
1.714
2.069
2.500
2.807
3.768
0.685
0.857
1.059
1.318
1.711
2.064
2.492
2.797
3.745
0.684
0.856
1.058
1.316
1.708
2.060
2.485
2.787
3.725
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
SOLUCIONES
Ejercicio
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Y
Y= Posición del tirador
Fuerza del tiro
Distancia a la pared
Tipo y tamaño de Práctica moneda del tirador
Y= f(x1,x2,x3,x4,x5)
Distancia de lanzamiento
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Describir el proceso: lanzamiento de monedas
Inicio
Seleccionar moneda
Colocarse en posición
Lanzar moneda Medir distancia
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Matriz Proceso-Variables Paso
Proceso
Variables
1
Seleccionar moneda Tamaño y peso de la moneda
2
Colocarse en pos.
Posición, distancia de la línea
3
Lanzar moneda
Ángulo, fuerza, velocidad
4
Medir distancia
Estabilidad y capacidad del sistema de medición
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Ejercicio de RR PROMEDIO DE LA
19.6667
22.6667
21.1667
26.1667
20.0000
Rp
PIEZA (Xbp) Rb (OP)=
6.5000 0.8000
r= No.répl=
Xbdiff=MAX(Xb)-MIN(Xb)=
2
p=No.op=
2.4000
D4=
3 3.27
n=No. piezas= LSC(R)=D4(Rb)=
2.6160
LIC(R)=0
LIC(Xb)=Xbb-A2Rb=
A2= 5
D4=3.27 y A2=1.88 para 2 réplicas D4=2.58 y A2=1.023 para 3 réplicas
20.4293
Xbb= 21.9333
LSC(Xb)=Xbb+A2Rb=
23.4373
1.88 Xb fuera No. pts
73.33
11 15
% de los puntos están
fuera de los límites de medias.
LSC(R) representa el límite para rangos individuales.
Más de la mitad indica la capacidad del
Señalar los valores que exceden este límite y volver a realizar dichas mediciones.
instrumento para detectar la variación.
No. de parte
No. del calibrador
Nombre de la parte
x
Nombre del calibrador
Característica
x
Tipo de calibrador
Especificación
20-30
Tol/6=
1.6666
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
VARIACION DEL EQUIPO (REPETIBILIDAD)
VARIACION DEL EQUIPO (REPETIBILIDAD) EN %
Si se conoce la variación del proceso (6sigma) usarla en
VE=Rb*k1=
0.7090
k1=0.8862, r=2 k1=0.5908, r=3
k1=
0.8862
k2=
0.5231
k3=
0.403
VE(%)=100(VE/TOT)=
23.78
lugar de TOT haciendo TOT=6sigma/6. Si se quiere
VE(%)=100(VE/TOL)=
42.54
usar la tolerancia, poner
k1=Inverso de d2 usando m=r
TOL=tolerancia/6
VARIACION DE OPERADORES (REPRODUCIBILIDAD) VO=Raíz(((Xbdiff)(k2))^2-(VE^2/nr))=
VARIACION DE OPERADORES (REPRODUCIBILIDAD) EN %
1.2353 VO(%)=100(VO/TOT)=
41.43
Generalmente se usa
Si VO es negativo dentro de la raíz, hacer VO=0.
TOT para el control del
k2=0.7071 p=2 operad. k2=0.5231 p=3 operad.
VO(%)=100(VO/TOL)=
74.12
proceso y TOL para el
k2=Inverso de d2*, m=p, g=1
control del producto
REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD
REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD EN %
RR=Raíz(VE^2+VO^2)=
RR(%)=100(RR/TOT)=
47.77
RR(%)=100(RR/TOL)=
85.46
1.4243 n
k3
VARIACION DE PIEZAS (VP)
2
0.7071 VARIACIONDE PIEZAS EN %
VP=(Rp)(k3)=
3
0.5231 VP(%)=100(VP/TOT)=
87.85
k3=Inverso de d2*, m=n, g=1
4
0.4467 VP(%)=100(VP/TOL)=
157.18
VARIACION TOTAL (TOT)
5
0.4030 NOTAS
6
0.3742 Mayor a 30 necesita calibrarse.
7
0.3534 DISCRIMINACION
8
0.3375
9
0.3249 1.41*(VP/RR)=
10
0.3146
2.6195
TOT=Raíz(RR^2+VP^2)=
2.9817
RR(%) menor a 10, ok. Entre 10 y 30 depende de la aplicación.
2.593
Mayor o igual a 5 es aceptable. (si r=2, 4 ó más es aceptable)
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Gage R&R Study - XBar/R Method %Contribution Source
VarComp
(of VarComp)
Total Gage R&R
2.01444
22.68
Repeatability
0.48393
5.45
Reproducibility
1.53051
17.23
Part-To-Part
6.86947
77.32
Total Variation
8.88391
100.00 Study Var
%Study Var
%Tolerance
StdDev (SD)
(6 * SD)
(%SV)
(SV/Toler)
1.41931
8.5159
47.62
85.16
Repeatability
0.69565
4.1739
23.34
41.74
Reproducibility
1.23714
7.4228
41.51
74.23
Part-To-Part
2.62097
15.7258
87.93
157.26
Total Variation
2.98059
17.8835
100.00
178.84
Source Total Gage R&R
Number of Distinct Categories = 2
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Gage R&R (Xbar/R) for Valor Reported by : Tolerance: M isc:
G age name: Date of study :
Xbar Chart by Operario
Sample Mean
28
1
2
3
24
UCL=23.44 _ _ X=21.93 LC L=20.43
20
R Chart by Operario Sample Range
3
1
2
3 UCL=2.614
2 1
_ R=0.8
0
LC L=0
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Attribute Agreement Analysis for Evaluación Within Appraisers Assessment Agreement Appraiser 1 2
# Inspected 8 8
# Matched 7 7
Percent 87.50 87.50
95 % CI (47.35, 99.68) (47.35, 99.68)
# Matched: Appraiser agrees with him/herself across trials. Each Appraiser vs Standard Assessment Agreement Appraiser 1 2
# Inspected 8 8
# Matched 6 5
Percent 75.00 62.50
95 % CI (34.91, 96.81) (24.49, 91.48)
# Matched: Appraiser's assessment across trials agrees with the known standard.
Assessment Disagreement
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Appraiser
# ND / D
Percent
# D / ND
Percent
# Mixed
Percent
1
0
0.00
1
20.00
1
12.50
2
1
33.33
1
20.00
1
12.50
# ND / D:
Assessments across trials = ND / standard = D.
# D / ND:
Assessments across trials = D / standard = ND.
# Mixed: Assessments across trials are not identical. Between Appraisers Assessment Agreement # Inspected 8
# Matched 5
Percent 62.50
95 % CI (24.49, 91.48)
# Matched: All appraisers' assessments agree with each other. All Appraisers vs Standard Assessment Agreement # Inspected # Matched 8 4
Percent 50.00
95 % CI (15.70, 84.30)
# Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard.
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Para este ejercicio,
Op 1
D-D 6
2
4
Op 1 2
%COE 75 62.5
ND-D 0 0.00% 2 33.3%
Total 6 6
D-ND 3 30.0% 3 30.0%
%ND-D %D-ND 0 33.33
ND-ND 7
Total 10
7
10
Conclusión
30
Inaceptable
30
Inaceptable
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Anova: Temperatura vs. Densidad One-Way Analysis of Variance Analysis of Variance for DENS Source DF SS MS TEMP 3 13.61 4.54 Error 8 27.30 3.41 Total 11 40.91
F 1.33
P 0.331
La temperatura no afecta la densidad de la aleación
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Multi-Vari Chart for Planicidad By Molde - Réplica 4
3
2
1
4
3
2
1
Cavidad Molde 1 2 3
Planicidad
30
20
10
0 1
2
Réplica
La cavidad 1 es consistentemente peor que las demás cavidades. El molde 3 presenta mejores valores de planicidad. Existe diferencia entre los valores de las dos réplicas.
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Multi-Vari Chart for Planicidad By Réplica - Cavidad Molde 3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
Réplica 1 2
Planicidad
30
20
10
0 1
2
3
4
Cavidad
Además de lo señalado en la gráfica anterior, existe menos variación entre las réplicas en el molde 3.
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
I Chart f or Interpretación 7
3.0SL=6.883
Individual Value
2 6
2.0SL=6.225 2 1.0SL=5.567
2
5
Mean=4.908 -1.0SL=4.250
4
-2.0SL=3.592 3
-3.0SL=2.933 0
10
20
30
40
50
60
Observation Number
2: corrida
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Solución a los ejercicios gráficos de capacidad Cp=2 Cpk=0 Cp=1 Cpk= -1 Cp=Cpk=0.5 Cp=2 Cpk= -1
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Preparación de café 2
95 YFT= 95/97=0.9794 dpu=(2/97)=0.020619
Poner el café
dpmo=(0.020619/1)(106)=20,619
97
2
93
4 Encender la cafetera
0.020619/1=0.020619=2.06(10-2). Z=2.04
YFT= 93/94=0.9894 dpu=(1/94)=0.010638 dpmo=(0.010638/1)(106)=10,638
94
1
0.010638/1=0.010638=1.06(10-2). Z=2.30
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Resumen del análisis (Preparación de café) Caract. Defectos Unidades Oport. Tot. Oport. 1 5 100 2 200 2 2 97 1 97 3 2 95 1 95 4 1 94 1 94 5 0 93 2 186 6 2 93 2 186 TOTAL 12 9 858
dpu 0.050 0.021 0.021 0.011 0.000 0.022
dpo dpmo dpmu 0.025000 25000 50000 0.020619 20619 20619 0.021053 21053 21053 0.010638 10638 10638 0.000000 0 0 0.010753 10753 21505 0.013986 13986 123815
Z Zshift 1.96 3.46 2.04 3.54 2.03 3.53 2.30 3.80 4.50 6.00 2.30 3.80 2.20 3.70
Suma Zshift=1.5 es el factor de corrección para tener el equivalente a un estudio a corto plazo. Total dpo=Total de defectos/Total de oportunidades. El número de defectos por millón de oportunidades (dpmo) de todo el proceso es (Total dpo)(106)=13,986 y corresponde a un nivel de 2.20 sigma.
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
Diagrama de dispersión Temperatura vs. Dureza
DUREZA
4.5
3.5
2.5
1.5 390
395
TEMP
Relación directa y fuerte
400
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
AMEF Descripción del proceso/
Modo de Falla Potencial
Efecto(s) Potenciales de Fallas
S e v
Hora incorrecta
No despertarse a
8
No activar alarma
tiempo
Propósito
Ajustar despertador
C l a s
Causa(s)/ Mecanismos de Falla Potenciales
Confusión de hora Olvido
Quedarse dormido
Levantarse
No levantarse al oir No llegar a tiempo la alarma,
8
Desvelado Enfermo
LEAN S IX S IGMA IN S TITUTE
O
Controles
D
R
Acciones
Responsabilidad
c
actuales
e
P
Recomendadas
y Fecha
u
del Proceso
t
N
r (Prevención y
e
r
c
Detección)
de Terminación
5 Verificación visual
4 160 Pedir a otra persona
2
4
Ajustar al llegar a casa
3 No aceptar 4
compromisos entre semana Tomar vitaminas
64
que lo valide
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Cambiar marca de 128 vitaminas
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