losas1d.pdf

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

4 DISEÑO DE VIGAS CONTINUAS Y LOSAS EN UNA DIRECCION 4.1 GENERALIDADES La aplicación mas inmediata de la teoría del diseño a flexión del hormigón armado es cuando se presentan problemas de vigas soportadas por varios apoyos y sistemas de losa que trabajan en una dirección, figura 4.1. Estos tipos de estructuras son únicas en el hormigón armado ya que a diferencia de otros materiales los ensambles son monolíticos, es decir no requieren conectores entre elementos y la transferencia de tensiones se realiza por continuidad estructural. P1

P2

L1

P3

L2

P4

Pi

Li

Pn

Ln

Figura 4.1.a. Viga continua y modelo de análisis estructural

 N!  N1

 N2

L1

Li

L N

Figura 4.1.b. Losa en una dirección apoyada en vigas o muros cargueros.

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A diferencia del diseño de secciones, en donde solo se consideraba un determinado momento, en estos casos se debe conocer la variación del momento flector que  prod  produc ucen en las las carg cargas as exte extern rnas as en toda toda la long longit itud ud del del elem elemen ento to.. El mome moment ntoo flec flecto torr vari variaa considerablemente desde el centro de la luz hasta los apoyos donde cambia de signo, es decir la tracción es en la parte superior de la sección. Igualmente cambia con la  pres  presen enci ciaa de las las carg cargas as viva vivas, s, situ situac ació iónn que que se debe debe cons consid ider erar ar en el dise diseño ño para para tene tenerr en cuenta las combinaciones mas desfavorables que puedan actuar en la estructura. La variación del momento en la longitud de los elementos se puede determinar usando el método aproximado de los coeficientes del ACI para revisiones o diseños preliminares de estructuras o mediante el uso de algoritmos matemáticos mas o menos complejos que requieren por lo general la ayuda de una calculadora programable o un computador. Todos estos procedimientos utilizan por lo general el análisis estructural elástico o de  pr  primer imer orde orden. n. En la prac practi tica ca exis existe tenn proc proced edim imie ient ntos os disp dispon onib ible less de anál anális isis is plás plásti tico co que que consideran la fisuracion de las secciones y la redistribución inelástica de tensiones pero estos no se van a considerar en este texto.

4.2 PATRON DE COLOCACIÓN COLOCACIÓN DE LAS CARGAS El primer problema a resolver es la determinación y colocación de las cargas que se van a considerar en el diseño. La carga muerta se estima con base en el peso propio de la estructura y en los elementos que siempre permanecerán sobre ella, esta carga es constante y no varia en posición. La carga viva por el contrario se estima con bases estadísticas y su valor debe estar de acuerdo al uso y ocupación de la estructura, varia continuamente de posición y el ingeniero debe considerar una disposición acertada de esta variación en la estructura. Con el fin de obtener las envolventes de los momentos y las cortantes se recomienda al lector estudiar el tema de las líneas de influencia tratadas en los cursos básicos del análisis estructural. Un método simple es colocar la carga viva de tal forma que se obtengan los valores mas desfavorables de momento flector en las mitades de la luces y en los apoyos. Para las mitades de las luces la carga viva se debe colocar en forma alternada, similar a un tablero de ajedrez, con esto se logran los mayores momentos positivos, figura 4.2.a y b. Los mayores momentos negativos en cada apoyo se logran colocando la carga viva en sus dos tramos adyacentes y alternándola en el resto de la estructura, figura 4.2.c. El diseño se realiza para las condiciones mas exigentes de los momentos negativos y positivos encontrados anteriormente.

4.3 MÉTODO DE LOS COEFICIENTES DEL ACI PARA CARGA VERTICAL Cuando se requieran realizar comprobaciones rápidas y dimensionamientos preliminares de los elementos estructurales antes de proceder a utilizar métodos complejos, es  prac  practi tico co y senc sencil illo lo util utiliz izar ar los los coef coefic icie ient ntes es de mome moment ntoo reco recome mend ndad ados os por por el ACI ACI los los cuales fueron obtenidos por comprobaciones elásticas considerando entre otros aspectos la aplicación alterna de cargas, indicada en el numeral anterior para lograr los máximos momentos positivos y negativos en la estructura. La expresión general para hallar los 2 momentos tiene la forma de M = coef. q L   donde q es la carga uniformemente distribuida y “ L ” la luz libre. El método permite hallar igualmente las fuerzas cortantes en cada tramo de la estructura continua con la expresión V = coef. q L / 2.

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Para la aplicación adecuada de estos coeficientes se deben cumplir las siguientes limitaciones geométricas y de carga en la estructura. Cuando no se cumple alguno de estos requisitos se debe utilizar un método de análisis hiperestatico como el de rigidez, matricial, solución de ecuaciones simultaneas.

• Se tengan mínimo dos luces • Las luces sean aproximadamente iguales y la mayor de dos luces adyacentes no debe exceder a la menor en mas del 20%. • Las cargas sean uniformemente distribuidas • La carga viva no exceda en mas de tres veces la carga muerta • Las secciones sean prismáticas. qm : Carga muerta qv : Carga viva

A

B

C

D

E

F

a) Patrón de carga viva con máximos momentos positivos en AB, CD y EF.

 b) Patr Patrón ón de carg cargaa viv vivaa con con máxi máximo moss mom momen ento toss pos posit itiv ivos os en BC y DE. DE.

c) Patrón de carga viva con el máximo momento negativo en B. Figura 4.2 Patrón de colocación de las cargas muertas y vivas en vigas continuas Comprobaciones realizadas con otros métodos de análisis indican que los valores de momento hallados por los coeficientes del ACI son conservadores mientras se mantenga el cumplimiento de las restricciones indicadas anteriormente. Es importante mencionar que los coeficientes propuestos tienen en cuenta la redistribución de momentos por efectos inelásticos y el ancho de los apoyos. Para el diseño cada coeficiente entrega dos diagramas de momento para cada luz, uno para los máximos momentos negativos y otro  para  para los los máxi máximo moss posi positi tivo vos. s. Sin Sin emba embarg rgoo el méto método do no perm permit itee entr entreg egar ar para para una una

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determinada luz los máximos momentos negativos que se presentan simultáneamente  baj  bajo la la acc acció iónn de de las las carg cargas as.. Tabla 4.1 Coeficientes ACI para el diseño de vigas vigas continuas y losas en una una dirección

Momento positivo Luces de borde Si el borde es discontinuo sin restricción Si el borde es discontinuo e integral con el apoyo Luces interiores Momento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior Cuando se tienen dos luces Para mas de dos luces Momento negativo en las otras caras de los apoyos interiores

Momento negativo en la cara de todos los apoyos para a) losas con luces que no excedan de 3.0 m y b) Vigas en donde la relación de suma de las rigidezes de columnas a suma de rigidezes de vigas no exceda de ocho en cada extremo de la luz. Momento negativo en la cara interior de los apoyos exteriores  para  para aque aquell llos os elem elemen ento toss vac vacia iado doss mon monol olít ític icam amen ente te con con sus sus apoy apoyos os Cuando el apoyo es una viga de borde o de respaldo Cuando el apoyo es una columna Cortante en al cara interna del primer apoyo interior

Cortante en las otras caras de los apoyos

qu × l n2

11 qu × l n2

14 qu × l n2

16 qu × l n2

9 q u × l n2 10 qu × l n2

11 qu × l n2

11

qu × l n2

24 qu × l n2

16 1.15 ×

qu × l n

2

qu × l n

2

ln  para momento positivo es la luz libre entre apoyos y para momento negativo es el  prom  promed edio io de las las dos dos luce lucess adya adyace cent ntes es.. qu es la carg cargaa mayo mayora rada da que que actú actúaa sobr sobree la estructura. El valor de la fuerza cortante para luces continuas se toma igual al obtenido en luces simplemente apoyadas a excepción de la cara exterior del primer apoyo interior en donde el valor se incrementa en un 15% debido al efecto del balance de los momentos

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Sin restricciónè Viga de borde è Columnaè

0 1 24 1 16

1 11 1 14 1 14

1 10

1 11

1 16

1 11

1 11

a) Vigas con mas de dos luces Sin restricciónè Viga de borde è Columnaè

0 1 24 1 16

1 11 1 14 1 14

1 9

1 9

1 11 1 14 1 14

0 1 24 1 16

 b) Viga Vigass con con dos dos luc luces es 1 12

1 14

1 12

1 12

1 16

1 12

1 12

c) Losas con luces menores de 3.0 m

Columnaè

1 12

1 14

1 12

1 12

1 16

1 12

1 12

d) Vigas en donde S Rigidez de columnas > 8 x S Rigidez de vigas en el nudo Figura 4.3 Coeficientes de momento momento en vigas continuas y los losas as en una dirección

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en vigas continuas ( 1.15 × ligeramente inferior

qu × l n

a

2 la

). La cortante en el apoyo exterior por lo general da obtenida por

análisis elástico

pero

conservadoramente asume el valor indicado para luces simplemente apoyadas (

el

qu × l n

2

método ).

4.4 LOSAS EN UNA DIRECCIÓN En las estructuras de hormigón armado la losa es el típico sistema estructural horizontal que permite recibir directamente las cargas verticales, debidas al peso de los elementos y al uso y ocupación de la edificación y llevarlas al sistema vertical de soporte estructural seleccionado para la edificación tal como el pórtico resistente a momentos, los muros estructurales, la mampostería y los sistemas mixtos. La losa puede estar o no apoyada perimetralmente, en el primer caso descansa directamente sobre columnas generando la conocida placa plana y la losa plana las cuales se estudiaran mas adelante como losas bidireccionales. En el segundo caso la losa  pued  puedee apoy apoyar arse se en viga vigass o muro muross los los cual cuales es pued pueden en esta estarr en todo todo el perí períme metr troo o no. no. Cuando la losa se apoya en dos lados únicamente se tiene la losa unidireccional y las cargas van en sentido perpendicular a las vigas o muros de apoyo, figura 4.4. Viga A

Viga B

Viga C

Dirección Losa

Losa

Vigas Figura 4.4 Losa en una una dirección apoyada apoyada sobre vigas vigas

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Cuando se tienen vigas o muros en todos los bordes de la losa la acción estructural es en dos direcciones. Sin embargo en este caso la acción depende de la relación luz larga,  b lb, a luz corta, la, la cual indica que para relaciones la /  b lb  > 2 la losa bidireccional se puede analizar como unidireccional porque mas del 90% de la carga se dirige a las vigas en la dirección corta de la losa. Las losas de hormigón armado pueden también ser macizas o aligeradas. El sistema de losa maciza es muy utilizado en pavimentos y puentes pero muy poco en edificios por las altas cargas debidas al peso propio y los altos costos en materiales. Las losas aligeradas son bastante utilizadas en la construcción de edificios por las ventajas que genera en ahorro de materiales, disminución del peso y mejora en aislamientos térmicos y acústicos. Los sistemas aligerados en una y dos direcciones se encuentran patentados  por  por el inst instit itut utoo del del acer aceroo para para el horm hormig igón ón arma armado do de los los Esta Estado doss Un Unid idos os ( CRSI CRSI)) y se les conoce comercialmente como los sistemas nervados ( Joist System) en una y en dos direcciones. Los documentos que respaldan su uso como el CRSI # 42 dan los criterios de diseño para diferentes configuraciones de losa lo mismo que las características de los aligerantes, recubrimientos y detallado del refuerzo. Un sistema típico aligerado en una dirección se indica en la figura 4.5.  Nerv  Nervio ioss o vigu viguet etas as Viga A

Viga B

Viga C

Losa nervada

Vigas Figura 4.5 Losa nervada en una dirección apoyada sobre sobre vigas Ya que las cargas en las losas unidireccionales van en la dirección corta del modulo o  pane  panell de losa losa,, esta esta se pued puedee anal analiz izar ar estr estruc uctu tura ralm lmen ente te como como una una viga viga cont contin inua ua de anch anchoo

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unitario si es maciza o de ancho igual al ancho de aleta si es nervada. Se puede utilizar el método de los coeficientes del ACI si se cumplen las hipótesis u otro método de análisis elástico. El refuerzo esta constituido en general por dos capas de acero en forma de malla que atienden las solicitaciones externas ( refuerzo principal) y los problemas de retracción y cambios de temperatura (refuerzo secundario). El acero principal va en dirección perpendicular a las vigas de apoyo y el secundario es normal al refuerzo  prin  princi cipa pal.l. En gene genera rall las las losa losass de edif edific icio ioss no requ requie iere renn refu refuer erzo zo por por cort cortan ante te por por las las altas áreas de carga que se manejan pero en los sistemas nervados hay casos donde la cortante es critica y se debe atender convenientemente. Los espesores de losa y vigas se  pued  pueden en sele selecc ccio iona narr inic inicia ialm lmen ente te de la tabl tablaa 3.4 3.4 y los los anch anchos os unit unitar ario ioss util utiliz izad ados os para para los los diseños de losas macizas unidireccionales pueden ser 0.25, 0.50 y 1.00 m. En la practica se prefiere el ancho de 1.0 m y los diseños se refieren por tanto a esta franja típica.

4.5 PROCEDIM PROCEDIMIENTO IENTO GENERAL DE DISEÑO A FLEXIÓN 4.5.1 Dimensionamiento Dimensionamiento estructural Con el fin de evitar grandes deflexiones y cumplir los requisitos exigidos para atender la flexión y la cortante se define inicialmente el espesor de la losa y las vigas usando los valores recomendados en la tabla 3.4. Si se trata de una losa maciza de define un ancho de franja unitario b, si es losa aligerada la franja queda definida al seleccionar el ancho del nervio, bw, y las dimensiones del aligerante ( largo, ancho y alto) y si es viga se define un ancho mayor o igual a 250 mm.

Ejemplo 4.1 Para la losa unidireccional de la figura 4.6 definir cuales cuales pueden ser las dimensiones estructurales iniciales considerando solo los requisitos geométricos. A

A´

A”

B

B´

B”

C

C´

C” D

D´

D”

E

1

8m 2 8m

8. 3

8m 4 3 @ 4.0 m

3 @ 4.5 m

3 @ 4.5 m

Figura 4.6 Planta típica para el ejemplo 4.1

3 @ 4.0m

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Solución: La edificación esta compuesta de pórticos viga - columna que conforman el sistema estructural resistente a momento y losas en una dirección que se apoyan en vigas cargueras intermedias. Las vigas principales 1,2 ,3 y 4 reciben además de su  prop  propio io peso peso las las carg cargas as de las las viga vigass inte interm rmed edia iass A´, A´, A” A”,, B´, B´, B”, B”, C´, C´, C”, C”, D´, D´, D” y las las vigas de amarre espacial A, B, C y D soportan su propio peso. a) Dimensionamiento de la losa maciza. Utilizando la tabla 3.4 para losas macizas en una dirección los espesores mínimos son: Luz AB è h ≥ h

≥

400 = 167.mm  Para el tramo de borde 24

400 = 143.mm  Para el tramo central 28

Luz BC è h ≥

450 = 161.mm  en todos los tramos 28

Por simetría el espesor recomendado de la losa es h ≥ 167 mm. El valor se debe redondear al múltiplo de 25 mm mas cercano è  Sea h = 150 mm. Se asume una ancho de franja para el análisis estructural y el diseño de b = 500 mm. La sección de franja se muestra en la figura 4.7. Franja típica h =150 mm  b Figura 4.7 Sección de losa maciza y franja típica del ejemplo 4.1  b) Dime Dimens nsio iona nami mien ento to de la losa losa alig aliger erad ada. a. Inic Inicia ialm lmen ente te se defi define nenn las las cara caract cter erís ísti tica cass del del nervio y el tipo de aligerante de acuerdo al numeral 8.11 del código del ACI. En resumen se debe cumplir que:

• el ancho del nervio debe ser mayor o igual a 100 mm y su altura menor o igual a

tres y medio veces el ancho. • El espaciamiento libre entre nervios debe ser menor o igual a 0.75 m • Cuando se utilicen ladrillos de arcilla o bloques de hormigón huecos como aligerantes y su resistencia es mayor o igual a la del hormigón de los nervios, el espesor de la losa sobre el aligerante debe ser mayor o igual a un doceavo de la separación libre entre nervios o 40 mm. • Si se utilizan otros aligerantes o formaletas removibles el espesor de la losa sobre el aligerante debe ser igualmente mayor que la doceava parte de la separación de los nervios o 50 mm.

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El espesor de la losa aligerada se obtiene de la tabla 3.4: Luz AB è h ≥ h

≥

400 = 216.mm  Para el tramo de borde 18.5

400 = 190.mm  Para el tramo central 21

Luz BC è h ≥

450 = 214.mm  en todos los tramos 21

Por simetría el espesor recomendado de la losa es h ≥ 216 mm. El valor se debe redondear al múltiplo de 25 mm mas cercano è Sea h = 200 mm. La selección del aligerante depende de criterios económicos y constructivos disponibles en el sitio de la construcción. El uso de cajas de madera, bloques de poron ( icopor ),  bloq  bloque ue pref prefab abri rica cado doss de horm hormig igón ón,, ladr ladril illo loss de arci arcill llaa y form formal alet etas as recu recupe pera rabl bles es en metal, fibra o madera constituyen solo algunos ejemplos de las posibilidades en este campo. En este ejemplo se puede usar como aligerante ladrillos de arcilla de seis huecos con dimensiones 200 x 150 x 400 mm con resistencia a compresión menor que la del hormigón del nervio. La sección de losa dimensionada se indica en la figura 4.8.  b = 50 500 mm

50 mm

h = 200 mm

100 mm

400 mm

100 mm Ladrillos de arcilla

Figura 4.8 Sección típica de losa aligerada en una dirección del ejemplo 4.1 El ancho de franja queda definido como b = 400 + 100 = 500 mm. c ) Dimensiones de las vigas principales. Las vigas 1, 2, 3 y 4 tienen luces de 12.0 m y soportan las vigas intermedias que reciben la losa. Utilizando la tabla 3.4: Para el tramo AB y DE è h ≥

1200 = 649.mm 18.5

Para el tramo BC y CD è h ≥

1350 = 643.mm 21

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La altura se puede asumir como h = 700 mm con el fin de tener alguna reserva de sección para atender la flexión y la cortante. El ancho de la viga por lo general se define con base en las dimensiones de las columnas o muros portantes. En general este ancho debe ser al menos 100 mm menor que el de las columnas (por refuerzo del nudo) o igual al de los muros. Si las columnas se asumen de b = h =500 mm se puede utilizar un ancho de viga de b = 400 mm. Ver sección de vigas principales en figura 4.9.a. d) Dimensiones de las vigas intermedias. Estas vigas tienen luces de 8.0 m y se apoyan en las vigas principales. De la tabla 3.4: 800 = 432.mm 18.5 800 = 381.mm Para el tramo 2-3 è h ≥ 21 Se puede asumir un espesor de h = 500 mm y un ancho de b = 300 mm. La sección de las vigas intermedias se puede ver en la figura 4.9.b.

Para los tramos 1-2 y 2-3 è h ≥

h=500 mm

h = 700 mm

 b = 300 mm  b = 400 mm a) Sección vigas principales

b) Sección vigas intermedias

Figura 4.9 Secciones de vigas del ejemplo 4.1

4.5.2 Determinación de las cargas en losa y vigas Las cargas que actúan en la losa se deben al peso propio mas las cargas vivas definidas de acuerdo al tipo de uso y ocupación de la edificación. El peso propio para la losa se determina conociendo sus dimensiones y los valores promedio sugeridos para las divisiones interiores, acabados y las instalaciones. El peso propio de las vigas se determina con las dimensiones iniciales. Las cargas vivas se asumen de acuerdo a los valores establecidos localmente por estudios estadísticos y se presentan en un código o norma de construcción ( NSR-98).

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Ejemplo 4.2  Determinar las cargas en losa y vigas para el ejemplo 4.1. Considerar 3 hormigón armado con una densidad de 2.4 Mg /m . En la losa aligerada usar un peso de 2 2 ladrillos de 1.0 kN/ m . En general usar un peso de divisiones de 1.5 kN/ m   y acabados 2 e instalaciones de 1.2 kN/ m . Solución: Se determinaran las cargas para el diseño de: a) losa maciza b) la losa aligerada c) las vigas intermedias y d) las vigas principales. a) Cargas de diseño de la losa maciza. 2 Peso de la losa: qm , pp = 2.4 × 0.15 × 9.8 = 3.5.k N / m 2 Peso de divisiones, acabados e instalaciones: qm , adic. = 1.5 + 1.2 = 2.7kN / m

2 Carga muerta total en losa: q m = qm, pp + qm, adic. = 3.5 + 2.7 = 6.2kN  / m

R / La carga muerta en la losa es de 6.2 kN/ m2. R/ La carga viva es de acuerdo al NSR-98 para vivienda de 1.8 kN/ m 2. Para una franja de diseño de 0.50 m la carga muerta es de q m  = 6.2 x 0.5 = 3.1 kN/m y la carga viva es de qv = 1.8 x 0.5 = 0.9 kN/m. qm = 3.1 kN/m

A

A´ 4.0 m

qv = 0.9 kN/m

A” 4.0 m

B 4.0 m

B´ 4.5 m

B” 4.5 m

Figura 4.10 Cargas de diseño para la losa maciza maciza del ejemplo 4.2  b) Carg Cargas as de dise diseño ño de la losa losa alig aliger erad ada. a. 2 Peso losa de recubrimiento: qm , rec. = 2.4 × 0.05 × 9.8 = 1.18kN / m  0.10 × 0.15   Peso nervio: qm  ,nerv. =   × 2.4 × 9.8 = 0.71k N / m2   0.50  

C 4.5 m

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2 Peso aligerante: qm , alig . = 1.0 kN/m 2 Peso divisiones, acabados e instalaciones: qm , adic. = 1.5 + 1.2 = 2.7k N / m

R/  Carga muerta total: q m = 1.18 + 0.71 + 1.0 + 2.7 = 5.6k N / m 2 es decir una disminución del 10% del peso de la losa maciza para las mismas condiciones geométricas. Si se requiere disminuir el peso propio se puede utilizar otro aligerante o una formaleta recuperable. Por ejemplo con cajas de madera común no recuperable de dimensiones 150 x 750 x 1000 mm se tiene: 2 q m, adic. = 2.7k N / m qm,rec. = 1.18 kN/m2 qm,alig.= 0.15 kN/m2

 0.10 × 0.15   =  × 2.4 × 9.8 = 0.47k N / m 2   0.75  

qm  ,nerv.

q m, torta = 0.02 × 2.4 × 9.8 = 0.47 k N / m

2

R/  La carga muerta total es de q m  = 4.97 kN/m2  que equivale a una disminución del  peso  peso prop propio io en 20% 20% res respec pecto to a la la los losaa mac maciz izaa equ equiv ival alen ente te.. Se puede reducir aun mas el peso propio considerando el caseton recuperable. En este 2 ultimo caso la carga por peso propio es de qm = 1.18 + 2.70 + 0.47 = 4.35 kN/m  con una disminución del 30% del peso propio de la losa maciza. En este ejemplo se va a trabajar con el caseton no recuperable para una carga por peso 2  prop  propio io de qm = 4.97 kN/m .

R/ La carga viva es igual al caso de losa maciza: q v = 1.8 kN/m2 Con franjas de ancho 0.75 m

è qm = 4.97 x 0.75 = 3.7 kN/m

qv = 1.80 x 0.75 = 1.4 kN/m

qm = 3.7 kN/m

A

A´ 4.0 m

qv = 1.4 kN/m

A” 4.0 m

B 4.0 m

B´ 4.5 m

B” 4.5 m

Figura 4.11 Cargas de diseño para la losa aligerada del del ejemplo 4.2

C 4.5 m

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c) Cargas de diseño de las vigas intermedias. Estas vigas reciben como carga las reacciones de la losa mas el peso propio de la viga. Utilizando el método aproximado de los coeficientes del ACI se estimaran las cargas inicialmente para el caso de losa maciza y luego la losa aligerada. Vigas A y E : qm =

3.1 × 4.0 + 0.3 × 0.5 × 2.4 × 9.8 = 12.4 + 3.5 = 15.9k N / m × 2 0.5 qv

Vigas A´ y D” : qm = 1.15 ×

=

0.9 × 4.0 = 3.6k N / m 2 × 0.5

3.1 × 4.0 3.1 × 4.0 + + 0.3 × 0.5 × 2.4 × 9.8 = 30.2 k N / m 2 × 0 .5 2 × 0.5

0.9 × 4.0 0.9 × 4.0 + = 7.7k N / m 2 × 0.5 2 × 0.5 3.1 × 4.0 + 0.3 × 0.5 × 2.4 × 9.8 = 28.3k N / m Vigas A” y D´ : qm = 2 × 2 × 0.5 qv

= 1.15 ×

qv

Viga B : qm =

= 2×

0.9 × 4.0 = 7.2k N / m 2 × 0.5

3.1× 4.0 3.1 × 4.5 + + 0.3 × 0.5 × 2.4 × 9.8 = 39.9k N / m 2 × 0 .5 2 × 0.5 qv

=

0.9 × 4.0 0.9 × 4.5 + = 7.7k N / m 2 × 0 .5 2 × 0.5

Viga B´ y C” : qm = 2 × qv

3.1 × 4.5 + 0.3 × 0.5 × 2.4 × 9.8 = 31.4k N / m 2 × 0.5

= 2×

0.9 × 4.5 = 8.1k N / m 2 × 0.5

Por simetría ya se tienen las otras cargas de las vigas. La tabla 4.2 presenta el resumen. Tabla 4.2 Cargas de diseño en vigas intermedias del del ejemplo 4.2. 4.2. Losa maciza maciza método método coeficientes ACI Carga (kN/m) qm qv

A

A´

A”

B

B´

B”

C

15.9 3.6

30.2 7.7

28.3 7.2

39.9 7.7

31.4 8.1

31.4 8.1

31.4 8.1

qt

19.5

37.9

35.5

47.6

39.5

39.5

39.5

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

qm = (15.9 => 39.9 ) kN/m

1

qv = (3.6 => 8.1) kN/m

2

3

8.0 m

8.0 m

4 8.0 m

Figura 4.12 Cargas de diseño en vigas vigas intermedias del ejemp ejemplo lo 4.2 Tabla 4.3 Cargas de diseño diseño en vigas intermedias intermedias del ejemplo 4.2. Losa aligerada VIGA Carga (kN/m) qm qv

A

A´

A”

B

B´

B”

C

13.4 3.7

24.7 8.0

23.3 7.5

24.5 7.9

25.7 8.4

25.7 8.4

25.7 8.4

qt

17.1

32.7

30.8

32.4

34.1

34.1

34.1

d) Cargas en las vigas principales. La carga de estas vigas esta conformada por el peso  prop  propio io mas mas las las reac reacci cion ones es de las las viga vigass inte interm rmed edia ias. s. Las Las viga vigass prin princi cipa pale less llev llevan an la carg cargaa a las columnas o muros respectivos. Utilizando el método de los coeficientes del ACI:

Vigas 1 y 4: qm = 0.7 × 0.4 × 2.4 × 9.8 = 6.6k N / m  pm , A´

=

 pv , A´

 pm , B´

=

=

 pv , B´

30.2 × 8.0 = 120.8k N  2 7.7 × 8.0 = 30.8k N  2

31.4 × 8.0 = 125.6k N  2

=

8.1× 8.0 = 32.4 k N  2

Las otras cargas se obtienen por simetría:

 pm , A"

=

 p v, A"

 pm , B"

=

=

 pv , B "

28.3 × 8.0 = 113.2 k N  2 7.2 × 8.0 = 28.8k N  2

31.4 × 8.0 = 125.6 k N  2

=

8.1 × 8.0 = 32.4k N  2

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

121 kN 31 kN

113 kN 29 kN

126 kN 32 kN

126 kN 32 kN

126 kN 126 kN 113 kN 121 kN 32 kN 32 kN 29 kN 31 kN

qm = 6.6 kN/ m

A

B 12 m

C

D

12 m

12 m

E 12 m

Figura 4.13 Cargas de diseño en viga principal # 1 del ejemplo 4.2

121 kN 31 kN

113 kN 29 kN

126 kN 32 kN

126 kN 32 kN

126 kN 126 kN 32 kN 32 kN

qm = 6.6 kN/ m

A

B 12 m

C 12 m

D 12 m

Figura 4.14 Cargas de diseño en viga principal # 4 del ejemplo 4.2

Vigas 2 y 3: qm = 0.7 × 0.4 × 2.4 × 9.8 = 6.6k N / m  p m, A´

= 2.15 ×

 pv , A´

 p m, B´

30.2 × 8.0 = 260k N  2

= 2.15 ×

= 2.15 ×

7.7 × 8.0 = 66k N  2

31.4 × 8.0 = 270k N  2

 pm , A"

= 2.15 ×

 pv , A"

 pm , B"

28.3 × 8.0 = 243k N  2

= 2.15 ×

= 2.15 ×

7.2 × 8.0 = 62k N  2

31.4 × 8.0 = 270k N  2

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

 pv , B´

= 2.15 ×

8.1 × 8.0 = 70 k N  2

 pv , B"

= 2.15 ×

8.1 × 8.0 = 70k N  2

Las otras cargas se obtienen por simetría: 260 kN 66 kN

243 kN 62 kN

270 kN 70 kN

270 kN 70 kN

270 kN 270 kN 243 kN 260 kN 70 kN 70 kN 62kN 66 kN

qm = 6.6 kN/ m

A

B

C

12 m

12 m

D 12 m

E 12 m

Figura 4.14 Cargas de diseño en viga principal # 2 del ejemplo 4.2

260 kN 66 kN

243 kN 62 kN

270 kN 70 kN

270 kN 70 kN

270 kN 270 kN 113 kN 121 kN 70 kN 70 70 kN 29kN 31 kN

qm = 6.6 kN/ m

A

B 12 m

C 12 m

D 12 m

E 12 m

Figura 4.15 Cargas de diseño en viga principal # 4 del ejemplo 4.2

4.5.3 Momentos y cortantes cortantes en losa y vigas La determinación de los momentos flectores que generan las cargas en las diferentes secciones criticas de la estructura se realiza utilizando el análisis estructural elástico. Si se cumplen las hipótesis, el método de los coeficientes del ACI es una excelente herramienta para iniciar el proceso de calculo. Si se dispone de un procedimiento de análisis estructural mas elaborado es conveniente utilizarlo en lugar del método

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

aproximado. Es importante comparar algunos resultados obtenidos con ambos métodos  para  para juz juzgar gar la la bon bonddad del del pro proce cedi dimi mien ento to apro aproxi xima mado do.. a) Losa. La planta de la losa dispone de una serie de franjas típicas o nervios, con geometría similar, los cuales se deben analizar combinando adecuadamente las cargas muertas y vivas de tal forma que se obtengan los máximos momentos positivos y negativos en las diferentes secciones de la estructura.  b) Vig Vigas. as. Se util utiliz izaa igua igualm lmen ente te el pro procedi cedimi mien ento to de aná análisi lisiss dis disponi ponibl blee y comb combin inaando ndo adecuadamente las cargas se obtienen los máximos momentos y cortantes en la estructura.

Ejemplo 4.3 Para la losa del del ejemplo 4.1 determinar determinar los momentos flectores y las fuerzas cortantes para el diseño de la losa y las vigas. Solución: La losa solo tiene una franja típica la cual se analizara por el método de rigidez y por el método de los coeficientes del ACI. Aprovechando la simetría solo se dan los resultados de momento para la mitad de la franja típica de losa. a) Momentos y cortantes en la losa. Considerando las posibles combinaciones de carga viva y muerta se obtienen para la mitad de la franja de losa ocho estados. Los dos  prim  primer eros os para para obte obtene nerr los los máxi máximo moss mome moment ntos os posi positi tivo voss en cada cada tram tramoo de fran franja ja y los los seis restantes para lograr los máximos momentos negativos, figura 4.16. En la tabla 4.4 se resumen los valores obtenidos para las combinaciones de carga  prop  propue uest stas as.. Igua Igualm lmen ente te la tabl tablaa 4.5 4.5 pres presen enta ta los los mome moment ntos os util utiliz izan ando do el méto método do aproximado de los coeficientes del ACI. Se puede notar como la diferencia entre ambos  proc  proced edim imie ient ntos os vari variaa entre entre el 0.5% 0.5% y 33% 33% que que en much muchos os caso casoss prác práctic ticos os es acep acepta tabl blee dada la variabilidad en la estimación de las cargas y en el cumplimiento en obra de la resistencia del hormigón y del acero. Tabla 4.4 Momentos de diseño losa maciza del ejemplo 4.3. Método de rigidez Momentos en kNx m / (ancho de franja) Comb. # 1 2 3 4 5 6 7 8

MA

M1/2

MA´

M1/2 MA” M1/ 2

MB

M1/ 2

MB ´

M1/2

MB”

M1/2

MC

0.00 6.89 0.00 4.11 0.00 6.26 0.00 4.29 0.00 6.83 0.00 4.13 0.00 6.89 0.00 4.11

7.53 7.58 9.12 7.12 7.68 7.54 7 .54 7.54 7.57

0.00 3.94 3.39 3.25 1.21 3.88 1.01 3.93

4.37 1.25 1.40 3.76 3.56 1.47 4.31 1.27

6.53 7.19 7.29 6.11 8.75 6.59 6.69 7.15

2.28 5.68 5.64 2.43 5.11 4.92 4.9 2 2.48 5.63

7.75 7.57 7.55 7.86 7.16 9.68 7.19 7.72

5.47 1.90 1.91 5.43 2.05 4.77 4.71 2.10

7.42 7.47 7.47 7.39 7.58 6.91 9.52 6.91

1.95 5.57 5.57 1.96 5.53 2.14 4.82 4.80

7.52 7.52 7.51 7.52 7.49 7.65 6.97 9.61

5.37 5.19 4.78 7.01 4.78 5.35 5.32 5.20

Los valores en negrilla y sombreados son los máximos obtenidos en todas las combinaciones de carga y son los que controlan el diseño.

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

1.2 qm + 1.6 qv = 5.16 kN / m

A

A´ 4.0 m

A” 4.0 m

1.2 qm = 3.72 kN/m

B 4.0 m

B´ 4.5 m

B”

C

4.5 m

4.5 m

a) Combinación # 1 : Máximos momentos positivos en luces 1,3 y 5. 5.16 kN/m

A

A´ 4.0 m

3.72 kN/m

A” 4.0 m

B 4.0 m

B´ 4.5 m

B”

C

4.5 m

4.5 m

 b) Co Comb mbin inaación ción # 2 : Máxi Máximo moss mome momenntos tos pos posit itiv ivos os en luc luces 2,4 2,4 y 6. 5.16 kN / m

A

A´ 4.0 m

A”

B

3.72 kN/m

B´

B”

4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m c) Combinación # 3 : Máximo momento negativo en A´ 5.16 kN / m

A

A´ 4.0 m

C

A”

B

B´

4.5 m 3.72 kN/m

B”

4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m d) Combinación # 4 : Máximo momento negativo en A” Figura 4.16 Combinaciones de carga carga para la losa del ejemplo 4.3

C 4.5 m

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

5.16 kN / m

A

A´ 4.0 m

3.72 kN/m

A”

B

4.0 m

4.0 m

B´ 4.5 m

B” 4.5 m

C 4.5 m

e) Combinación # 5 : Máximo momento negativo en B 5.16 kN / m

A

A´ 4.0 m

A” 4.0 m

3.72 kN/m

B 4.0 m

B´ 4.5 m

B” 4.5 m

C 4.5 m

f) Combinación # 6 : Máximo momento negativo en B´ 5.16 kN / m

A

A´ 4.0 m

3.72 kN/m

A” 4.0 m

B 4.0 m

B´ 4.5 m

B” 4.5 m

C 4.5 m

g) Combinación # 7 : Máximo momento negativo en B” 5.16 kN / m

A

A´ 4.0 m

A”

B

3.72 kN/m

B´

B”

4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m h) Combinación # 8 : Máximo momento negativo en C

C 4.5 m

Figura 4.16 Combinaciones de carga para la losa del ejemplo 4.3. Continuación

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

Tabla 4.5 Momentos de diseño losa maciza del ejemplo 4.3. Método coeficientes ACI Momentos en kNx m / ( ancho de franja) Comb.

MA

M1/ 2

MA´

MA´

M1/2

MA”

MA”

M1/2

MB

MB

M1/2

MB ´

Unica Unic a

3.44

5.90

8.25

7.51 7.51

5.16

7.51

7.51

5.16

7.51

9.50

6.53

9.50

Momentos en kNx m / (ancho de franja) Comb.

MB´

M1/ 2

MB”

MB”

M1/2

MC

Unica Unic a

9.50

6.53

9.50

9.50

6.53

9.50

Tabla 4.6 Comparación Comparación de los momentos de diseño en losa maciza del ejemplo 4.3 Metodo

Momentos en kNx m / ( ancho de nervio) MA

M1/2

MA´

M1/2 MA” M1/ 2

MB

M1/ 2

MB ´

M1/2

MB”

M1/2

MC

Rigide Rig idezz 0.00 6.89 Aprox. 3.44 5.90 Dif. % --14

9.12 7.88 13

3.94 7.01 4.37 5.16 7.51 5.16 31 7 18

8.75 8.51 3

5.68 6.53 15

9.68 9.50 2

5.47 6.53 19

9.52 9.50 0.2

5.57 6.53 17

9.61 9.50 1.0

Por simetría no se colocan los valores para las otras luces. El momento MA  no se puede comparar por la diferencia de hipótesis en cada método.  b) Mome Moment ntos os y cort cortan ante tess en viga vigass inte interm rmed edia ias. s. En la tabl tablaa 4.2 4.2 y la figu figura ra 4.12 4.12 se indicaron las cargas muertas y vivas que soportan las vigas intermedias utilizando los coeficientes del ACI (si se dispone de métodos mas elaborados se pueden precisar mas estos valores, utilizando por ejemplo el método de rigidez). Para este ejemplo se continuara utilizando los coeficientes del ACI indicado en la figura 4.3 caso a) cuando existe viga de borde. La tabla 4.6 entrega los valores obtenidos de los momentos de diseño para las vigas intermedias.

1.2 qm + 1.6 qv

1

8.0 m

2

8.0 m

3

8.0 m

Figura 4.17 Caso único carga de diseño en vigas intermedias, ejemplo 4.3

4

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

Tabla 4.7 Momentos Mayorados en en vigas intermedias. Método coeficientes del ACI

Viga A A´ A” B B´, B”, C, C´, C” D D´ D” E

M1 66 129 121 161 135 161 121 129 66

Momentos en kN x m M1-2 M2 M2 M2-3 114 159 145 99 222 311 283 194 208 291 265 182 275 385 350 241 231 324 295 203 275 385 350 241 208 323 323 208 222 345 345 222 114 177 177 114

M3 145 283 265 350 295 350 121 129 66

M3 159 311 291 385 324 206 206 -------------------

M3-4 114 222 208 275 231 147 ---- ------ ------

M4 66 129 121 161 135 86 ------------------ -

Tabla 4.8 Cortantes Mayoradas en vigas intermedias. Método coeficientes del ACI Cortantes en kN Viga V1-2 V2-1 V2-3 V3-2 V3-4 V4-3 A 99 114 99 99 114 99 A´ 194 223 194 194 223 194 A” 182 209 182 182 209 182 B 241 277 241 241 277 241 B´, B” , C, C´, C” 203 233 203 203 233 203 D 241 277 241 241 148 129 D´ 182 209 209 182 --------------- -D” 194 223 223 194 --------------- -E 99 114 114 99 --------------- -c) Momentos y cortantes en vigas principales. Estas vigas soportan, además de su peso, las cargas que le transmiten las vigas intermedias representadas por las cortantes de la tabla 4.8. Los momentos y cortantes se deben obtener con un método hiperestatico de análisis estructural. En este ejemplo ya no se puede utilizar el método de los coeficientes del ACI por la presencia de cargas concentradas en las luces. 99 kN 182 kN 203 kN 194 kN 241 kN

203 kN 203 kN

203 kN 182 kN 99 kN 203 kN 241 kN 194 kN

q m = 7.9 kN/ m

A

B 12 m

C 12 m

D 12 m

E 12 m

Figura 4.18 Cargas Mayoradas en viga principal # 1 del ejemplo 4.2

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

Para resolver el ejemplo se considera una estructura de un solo piso con altura de 3.5 m y columnas de b = h = 500 mm. Las vigas son de 400 x 700 mm. El análisis estructural se realiza solo para carga vertical utilizando el método matricial de rigidez y los resultados de los momentos y cortantes de diseño se muestran en las tablas 4.9 y 4.10 para todos los pórticos de la edificación. Además el ejemplo se resuelve para las cargas indicadas en la figura 4.19 sin realizar ninguna combinación ya que el efecto de las vigas intermedias es fijo en las posiciones indicadas y solo varia la magnitud por efectos de la presencia o no de la carga viva. Como la relación qv / qm  es baja ( < 0.30) se puede indicar que el efecto de la carga viva, en este caso, es leve en la alteración de los esfuerzos internos de vigas y columnas. Port.1 Port.2 Port.3 Port.4

99 213 213 99

194 417 417 194

182 241 203 391 518 436 391 518 436 182 241 203

A

203 203 436 436 436 436 203 203

B

3.5 m

203 436 436 203

203 436 436 203

241 518 369 129

182 418 182 -----

C

194 99 446 228 194 99 ----- ----

D

E

qm = 7.9 kN / m

12 m

12 m

12 m

12 m

Figura 4.19 Cargas en Pórticos del ejemplo 4.3. 4.3. Método de rigidez

Tabla 4.9 Momentos en los pórticos del ejemplo 4.3. Método matricial de rigidez

Pórtico 1 2 3 4

MA 358 704 693 363

MAB MB 400 696 792 1369 797 1375 409 688 688

Momentos en kN x m MB MBC MC MC MC D 655 313 627 628 313 1294 621 1236 1233 615 1273 611 1276 1303 693 643 301 301 662 729 433 433

MD 655 1315 1111 386

MD MDE ME 696 400 358 1436 849 754 858 364 311 ------- ------- -------

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

Tabla 4.10 Cortantes en los pórticos del ejemplo 4.3. Método matricial de rigidez

Pórtico 1 2 3 4

VA-B 209 400 399 210

VB-A 262 502 504 260

Cortantes en kN VB-C VC -B VC -D B- C 253 248 248 488 479 476 483 484 499 249 252 279

VD-C 253 490 467 221

VD-E 262 531 279 -------

VE-D 209 427 192 -------

4.5.4 Determinación y selección del refuerzo a flexión en losa y vigas La determinación del refuerzo a flexión tanto en la losa como en las vigas se inicia colocando en cada elemento el refuerzo mínimo necesario para cada sección y comprobando si con este refuerzo se cumple la exigencia de momento solicitada por las cargas externas. En caso afirmativo se coloca este refuerzo mínimo en caso negativo se debe determinar una cantidad de refuerzo mayor por alguno de los procedimientos explicados en la teoría del diseño a flexión del hormigón armado. En todos los casos se debe comprobar con el acero colocado el cumplimiento de F.M n = Mu .

a) Refuerzo en la losa. El refuerzo mínimo a flexión en losas se define como el equivalente al de retracción y temperatura el cual depende de la resistencia a fluencia del acero utilizado. Si fy = 280 MPa o 350 MPa è ?min  = 0.0020 Si fy = 420 MPa o malla electrosoldada è ?min  = 0.0018 Si fy > 420 MPa è ?min  = (0.0018 x 420 ) / fy En ningún caso la cantidad de refuerzo en losas debe ser menor que 0.0014 ( b x h ). Este refuerzo no debe separarse mas de tres veces el espesor de la losa ni 450 mm. En general el refuerzo practico de losas lo constituyen las barras # 3 , 4 y # 5.

Ejemplo 4.4 Determinar el refuerzo de la losa maciza del ejemplo ejemplo 4.1 considera considerando ndo un un hormigón de f´c = 21 MPa y un acero de fy = 420 MPa. Usar un d´= 25 mm 2 Solución: El refuerzo mínimo para esta losa es:  A s , min = 0.0018 × 500 × 150 = 135mm 2 Es decir se deben colocar 135 mm   de acero en cada cada franja franja de b = 500 mm. Si Si se asume acero # 4 ( As = 129 mm2) la separación de barras es de 129 / 135 x 500 = 478 mm. Sin embargo como la separación máxima es de 450 mm la cantidad de acero # 4 que se  podr  podría ía colo coloca carr como como refu refuer erzo zo míni mínimo mo en la losa losa es: es: barr barras as # 4 cada cada 450 450 mm que 2 equivalen a 129 / 0.45 = 287 mm   / m ( 287 x 0.5 = 143.5 mm2 / franja). La cuantía de refuerzo refuerzo ? = 287 / ( 1000 x 125) =0.0023 (? = 143.5 / ( 500 x 125) = 0.0023 ).

Para esta cuantía ( ? = 0.0023 ) la capacidad en flexión de la losa es:

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

φ M n

0.0023 × 420     = 0.90 × 0.0023 × 420 × 1000 ×125 2 × 1 − 0.59 ×  = 13.2 × 106 N .mm 21    

El resultado indica que con barras # 4 cada 0.45 m la capacidad supera a la requerida  por  por las las carg cargas as exter externa nass ( tabl tablaa 4.5 4.5 ). Si se usan usan barr barras as de meno menorr diám diámet etro ro por por ejem ejempl ploo la 2 # 3 (As = 71 mm ) è  la separación de barras es (71 / 135) x 500 = 263 mm è Si se colocan # 3 @ 0.30 m la cuantía es ? = (71 / 0.30) / ( 1000 x 125) = 0.0019 y el valor del momento es: Φ  Mn = 11.0 kN.m que aun es alto en esta losa. Los códigos ACI y NSR recomiendan colocar en cualquier caso una cantidad de 2 refuerzo siempre mayor que 0.0014 x b x h = 210 mm   / m ( ó # 3 @ 0.35 ). La tabla 4.11 resume las cantidades de refuerzo por flexión que se deben colocar en la losa.

Tabla 4.11 Momentos y refuerzo en la losa maciza del ejemplo 4.4 Nudo

A

Centro

A´

Centro

A”

Centro

B

Mu (kN.m) As

Φ.Mn (kN.m)

3.44 3.44 # 3 @ 0.35 0.35 9.4

5.90 # 3 @ 0.35 9.4

7.88 # 3 @ 0.35 9.4

5.16 # 3 @ 0.35 9.4

7.51 # 3 @ 0.35 9.4

5.16 # 3 @ 0.35 9.4

8.51 # 3 @ 0.35 9.4

Nudo

B

Centro

B´

Centro

B”

Centro

C

Mu (kN.m)

8.51

6.53

9.50

6.53

9.50

6.53

9.50

As

# 3 @ 0.35

# 3 @ 0.35

# 3 @ 0.30

# 3 @ 0.35

# 3 @ 0.30

Φ.Mn (kN.m)

9.4

9.4

10.93

9.4

10.93

# 3 @ 0.35 # 3 @ 0.30 9.4

10.93

Perpendicular al refuerzo de flexión se debe colocar el acero de retracción y temperatura que equivale a # 3 @ 0.40 m. La figura 4.20 ilustra la disposición en planta y en corte de la colocación del refuerzo en la losa. Un valor importante para comparar la economía en el diseño estructural de una losa es la cantidad de refuerzo por metro cuadrado. Este índice o factor por lo general varia entre 5 kg y 10 kg en losas típicas típicas de edificios comerciales y de vivienda. Para este ejemplo el valor se obtiene así:

 F r 

=(

1.0 1.0 1.0 ).barras / m × 0.560k g / m = 6.4 kg / m2 + + 2× 0.35 0.35 0.35

R/ La cantidad de refuerzo por metro cuadrado de losa es de 6.4 kg.

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

A

A´

A”

B

1

As flexión # 3 @ 0.35 m Arriba # 3 @ 0.35 m Abajo As retracc. y Temp. # 3 @ 0.35 m

2 # 3 @ 0.35 m

# 3 @ 0.35 m

# 3 @ 0.35 m

# 3 @ 0.30 m

# 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m

# 3 @ 0.35 m

# 3 @ 0.35 m

Figura 4.20 Detalle del refuerzo en el panel de losa AB12 del ejemplo 4.4

Ejemplo 4.5  Determinar el refuerzo de la losa aligerada del ejemplo 4.1 considerando un hormigón de f´c = 21 MPa y un acero de fy = 420 MPa. Usar un d´= 250 mm Solución: En la figura 4.11 se indicaron las cargas de diseño para analizar los nervios de la losa aligerada, falta por determinar los momentos y el refuerzo. En la tabla 4.12 se muestran los momentos (método de los coeficientes) y el refuerzo requerido en cada nervio utilizando la metodología del diseño de secciones no rectangulares. La figura 4.22 muestra así mismo el detallado del refuerzo en la losa. La sección de cada nervio y los datos requeridos para determinar la capacidad a flexión de la sección se indican en la figura 4.21. El refuerzo mínimo para cada nervio es 2 2 0.0018 x 500 x 200 = 180 mm   que se puede cubrir con una barra # 5 ( As = 200 mm ). Con este refuerzo la capacidad en flexión en la mitad de la luz es de φ   Mn (+) = 12.9 kN.m y en el apoyo es de φ  Mn (-) = 11.4 kN.m. Con otras barras la capacidad es:

• As = 2 # 4 (As = 258 mm 2) è φ Mn (+) = 16.5 kN.m è φ Mn (-) = 14.1 kN.m • As = 1 # 6 (As = 284 mm 2) è φ Mn (+) = 18.1 kN.m è φ Mn (-) = 15.2 kN.m • As = 2 # 5 (As = 400 mm 2) è φ Mn (+) = 25.0 kN.m è φ Mn (-) = 19.3 kN.m

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

 b = 500 mm hf  =  = 50 mm h = 200 mm

As

εc

c

d = 175 mm

ε s = ε t  bw = 100 mm Figura 4.21 Sección típica de de los nervios de la losa losa aligerada

Tabla 4.12 Momentos y refuerzo en losa aligerada del ejemplo 4.5. Nudo

A

Centro

A´

Centro

A”

Centro

B

Mu (kN.m) As Φ.Mn (kN.m)

4.45 1#5 11.4

7.63 1#5 12.9

10.20 1#5 11.4

6.68 1#5 12.9

9.72 1#5 11.4

6.68 1#5 12.9

11.01 1#5 11.4

Nudo

B

Centro

B´

Centro

B”

Centro

C

Mu (kN.m)

11.01

8.45

12.30

8.45

12.30

8.45

12.30

As

1#5

1#5

2#4

1#5

2#4

1#5

2#4

Φ.Mn (kN.m)

11.4

12.9

14.1

12.9

14.1

12.9

14.1

El refuerzo por retracción y temperatura, que va perpenticular al de flexión, y esta localizado a 25 mm del borde superior de la losa, tiene una cuantía de 0.0018 x 1000 x 2 50 = 90 mm   que equivalen a una barra # 3 @ 71 / 90 = 0.79 m. Como el espaciamiento de este refuerzo debe ser menor o igual a 5 x hf   = 5 x 50 = 250 mm => se debe colocar una barra # 3 @ 0.25 m para un Asrt  = 71 / 0.25 = 284 mm2 y cuantía ? = 0.0057.

b) Refuerzo en vigas . Ya que las vigas son vaciadas monolíticamente con la losa ellas deben analizarse como secciones T y L para momento positivo y como sección rectangular para momento negativo ( si se analizan para cualquier momento como rectangulares es porque no hay transferencia de tensiones entre la losa y la viga efecto que produce una disminución en la capacidad en flexión de la sección ).

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

A

A´

A”

B

1

Fr  =  = 6.3 kg

2 # 3 @ 0.25 m

1#5

1#5

Aligerante

Figura 4.22 Detalle del refuerzo en el panel de losa AB12 del ejemplo 4.5

Ejemplo 4.6  Diseñar a flexión las vigas intermedias del ejemplo 4.1. è  Con una capa 2 de refuerzo a tracción la cuantía de refuerzo mínimo es 0.0033 x 300 x 435 = 431 mm 2 la cual se puede cubrir con 2 barras # 6 ( As = 2 x 284 = 568 mm ). Con este refuerzo la cuantía es de ρ = 0.0043 y la sección se analiza así: Ancho efectivo de aleta. aleta. Para vigas T paralelas se tiene: tiene: b≤

luz 

4

⇒b≤

8000 ⇒ b ≤ 2000.mm 4

(b − bw ) ≤ 8 × h f   ⇒ b ≤ 16 × 50 + 300 ⇒ b ≤ 1100.mm 2 (b − bw ) l n ≤ ⇒ b ≤ l n + bw ⇒ b ≤ 3700 + 300 ∴ b ≤ 4000.mm 2 2 El valor de diseño es b = 1100 mm. Considerando la viga B que es la mas solicitada solicitada => Sea c = hf  =  = 50 mm => c / dt =0.115 < 0.300 y a = 42.5 mm

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

275 × 106. N .mm = 1758.mm2 ó 2 # 8 + 2 # 7 = 1794 mm 2  A s = 42.5     0.90 × 420 ×  435 −   2     ρ

a

=

=

1794 = 0.0037 (1100 × 435)

0.0037 × 420 × 435 = 38.mm 0.85 × 21

è

c

=

38 = 45.mm 0.85

Se comprueba que la hipótesis inicial es correcta y que el eje neutro esta en la aleta por lo tanto la sección es rectangular. Se pueden perfeccionar mas los cálculos y asumir una relación ( c / dt ) = 45 / 435 = 0.103 => c = 0.103 x 435 = 45 mm y a =38 mm

=

 A s

0.85 × 21 ×1100 × 38 = 1777.mm2 420

a

=

1794 × 420 = 38.mm 0.85 × 21 ×1100 ε t 

φ . M n

ó As = 2 # 8 + 2 # 7 = 1794 mm

c

=

2

38 = 45.mm 0.85

 435 − 45   = 0.003 ×    =  0.0260 > 0.005 ⇒ Cumple!   45  

38     = 0.90 × 0.85 × 21× 1100 × 38 ×  435 −  = 279 ×10 6 N .mm = 279.k N .m 2    

El requerimiento es Mu = 275 kN.m el cual se cumple satisfactoriamente. Para momento negativo la sección es rectangular y el mayor momento se encuentra en la viga B apoyo # 2 con un valor de ( 385 + 350) / 2 = 368 kN.m. Sea c / dt  = 0.300 => c = 0.300 x 435 = 130.5 mm y a = 130.5 x 0.85 = 111 mm.  A s

=

0.85 × 21 × 300 ×111 = 1415.mm 2 ⇔  A s = 2#8 + 1#7 = 1407.mm 2 420

a

=

1407 × 420 = 110.mm 0.85 × 21 × 300 ε t 

= 0.003 ×

c

=

110 = 129.mm 0.85

435 − 129 =  0.0071 > 0.005 ⇒ cumple! 129

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

φ . M n

110     = 0.90 × 0.85 × 21× 300 × 110 ×  435 −   = 201 ×10 6. N .mm = 201.k N .m 2    

Se concluye que la capacidad mecánica de la viga es un 55% de la exigida por las cargas externas, y se debe modificar la sección. Una primera alternativa es considerar el refuerzo a compresión y aumentar al máximo admisible la relación c / d t  =>  => Sea c / dt  = 0.375 => c = 163 mm y a = 139 mm 0.85 × 21 × 300 × 139 = 1772.mm2 420 139      M n1 = 1772 × 420 ×  435 −   = 272 × 106. N .mm 2      A s 1

=

El M u  = 368 kN.m > 0.90 x 272 = 245 kN.m => sección con A´s: Sea d´= 65 mm φ . M 2

= 368 − 245 = 123.kN .m

 163 − 65   = 0.003 ×   = 0.0045 > 0.0020 ⇒  f   s´ = f   y   65   123 × 106 ´ = 879.mm2 ó Usar 2 # 8 = 1020 mm 2  A s = 0.90 × 420 × (435 − 65) ´

ε s

 A s

= 1772 + 879 = 2651.mm 2

ó Usar 2 # 11 + 1 # 9 = 2685 mm

2

Sin embargo en el apoyo la viga recibe parte del refuerzo positivo de la mitad de la luz constituido por 2 # 8 + 2 # 7 que se puede utilizar como refuerzo a compresión en la zona de momento negativo. En este caso las dos barras # 8 se deben llevar hasta el apoyo para garantizar el trabajo del doble refuerzo. Revisando la sección doblemente reforzada se tiene: ρ min . = 0.0033 ρ

=

2685 = 0.0206 300 × 435

ρ´

=

1020 = 0.0078 300 × 435

(ρ − ρ ´ ) = (0.0206 − 0.0078 ) = 0.0128 0.85 × 0.85 × 21 × 65 612 × = 0.0172 420 × 435 (612 − 420 ) ´ ´ Se cumple que (ρ − ρ ) < 0.0172 ⇒  f   s < f  y

´

 f   s

 0.85 × 0.85 × 21× 65  = 612 × 1 − = 354. MPa < 420 MPa  0.0128 × 420 × 435 

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

a

=

2685 × 420 − 1020 × 354 = 143.mm 0.85 × 21 × 300 ε t 

 M n

= 0.003 ×

c

=

143 = 168.mm 0.85

(435 − 168) = 0.0048 ≅ 0.0050 168

143     = (2685 × 420 − 1020 × 354 ) ×  435 −  + 1020 × 354 × (435 − 65) = 412 ×10 6 N .mm 2    

La capacidad de la sección es 0.90 x 412 = 371 kN.m > 368 kN.m => Se acepta. Revisando los momentos producidos por las cargas externas mayoradas , tabla 4.6, se  pued  puedee conc conclu luir ir que que las las dime dimens nsio ione ness de 300 300 x 500 500 son son adec adecua uada dass para para las las viga vigass intermedias ya que las cantidades de refuerzo permiten obtener un comportamiento dúctil de la estructura. Procediendo de igual manera a la anterior en la tabla 4.13 se  pres  presen enta tann las las cant cantid idad ades es de acer aceroo req reque ueri rida dass en en tod todas as las las vig vigas as inte interm rmed edia iass ind indic icad adas as.. Tabla 4.13 Refuerzo a flexión en viga vigass intermedias. f´c = 21 MPa

Viga

Apoyo 1  Centro

Apoyo2  Centro Apoyo3  Centro Apoyo4

1-2

A A´ y A”

2#6

3#6

2#8 3#8

B B´, B”, C, C´, C”

2#8+ 1#6

4#8

2#8 3#8

D D´

2#8

4#8

2#8 3#8

D” E

2#8

3#8

2#6 3#6

2-3

4#6 4#8 2#8 2 # 10 + 1 # 11 3#8 3 # 10 3#8 3 # 10 3#8 3 # 10 3#8 3 # 10 3#8 4#8 3#6

2#6 3#8 3#8 3#8 4#8

3-4

4#6 4#8 2#8 2 # 10 + 1 # 11 3#8 3 # 10 3#8 3#8

3#6

2#6 2#8

3#8 4#8

2#8+ 1#6 2#8

3#8 2#6

2#6

4#6 ----

2#6

----

----

2#6

----

----

----

3#8 3#8 3#6

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

1.9 m

5.0 m

2#6

4#6

A 4#6

3#6 1

2#6

8.0 m

2

A´

2#6

3#6 3

8.0 m

4

4#6 450 mm

Losa 3

3#6 Sección A-A´

300 mm Figura 4.23.a Refuerzo para la viga intermedia A 2#8

4#8

A

3#8

4#8

3#8

1

2

A´

2#8

3#8 3

4

4#8 450 mm

Losa 3

3#8 Sección A-A´

300 mm Figura 4.23.b Refuerzo para las vigas intermedias A´, A”

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

A 2#8+1#6

2 # 10 + 1 # 11

2 # 10 + 1 # 11

4#8 1

3#8

3#8

2

2#8+1#6

4#8

A´

3

4 3#8

Losa

2 # 10 + 1 # 11

450 mm 3

4#8 Sección A-A´

300 mm Figura 4.23.c Refuerzo para la viga intermedia B A 3 # 10 3 # 10

2#8

4#8 1

3#8

3#8 2

2#8

4#8

A´

3

3#8

3 # 10 450 mm

Losa 3

3#8 Sección A-A´

300 mm Figura 4.23.d Refuerzo para las vigas intermedias B´, B”, C, C´ y C”. C”.

4

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

Ejemplo 4.7 Diseñar Diseñar a flexión las vigas principales del ejemplo 4.1. Utilizar un hormigón de f´c = 21 MPa y un acero de fy = 420 MPa. Solución: La sección de estas vigas es de b = 400 mm y h = 700 mm con una altura efectiva d = 635 mm para refuerzo en una capa y d´ = 65 mm para el refuerzo a compresión. Las cantidades de refuerzo limite son:

• As min. = 0.0033 x 400 x 635 = 838 mm 2 ó 2 # 8 => Φ Mn = 233 kN.m Para una relación c / dt  = 0.300 => As = 2752 mm

2

ó 4 # 10 =>

Φ Mn = 667 kN.m

Se puede apreciar en la tabla 4.9 que las vigas 1 y 4 quedan cubiertas por las estas cantidades de acero pero las vigas 2 y 3 requieren cantidades muy superiores. Si se utiliza el doble refuerzo solo se logra aumentar hasta un 30% la capacidad en flexión  por  por lo lo que que es nece necesa sari rioo aum aumen enta tarr las las dimen dimensi sion ones es de la secc secció ión. n. Sea b = 500 mm y h = 800 mm =>

• As min. = 0.0033 x 500 x 735 = 1213 mm 2 ó3 # 8 => Φ Mn = 404 kN.m Para una relación c / dt  = 0.300 => As = 3983 mm

2

ó 8 # 8 =>

Φ Mn = 985 kN.m

En el limite admisible cuando c / d t   = 0.370 y et   = 0.0051 Φ Mn = 1150 kN.m para sección simplemente reforzada. Se concluye que la sección 500 x 800 mm para las vigas 2 y 3 es adecuada para absorber los momentos producidos por las cargas externas. A pesar de que al modificar las dimensiones de la sección varia la carga muerta por el aumento del peso propio, es necesario revisar los cálculos anteriores para hacer las modificaciones respectivas. En este ejercicio se continuara el diseño sin esta revisión con el fin de mostrar como es el procedimiento general hasta lograr el diseño adecuado. La tabla 4.14 ilustra el refuerzo de las vigas principales y la figura 4.24 muestra la  posi  posici ción ón y el el det detal alla lado do para para cada cada una. una. Tabla 4.14 Refuerzo en las vigas principales principales del ejemplo 4.1

Viga

A

1 ( 400 x 700 )

4#8

A-B

B 4 # 10

4#8

2 ( 500 x 800 )

3# 11

4 ( 400 x 700 )

4#8

4 # 10

4#8

5 # 10 + 3 # 11

5 # 10 + 3 # 11

3 # 11 4 # 11

6 # 11 4 # 10

6#8

2 # 11 2 # 11

4#8 ----

4#8

3#8

E

4#8

4 # 10

4 # 10

D-E

4 # 10

5 # 10 + 3 # 11

5 # 10 + 3 # 11

D

3#8

4 # 10

4 # 11

C-D

6#8

5 # 10 + 3 # 11

3 # 11

C

3#8

4 # 11

3 ( 500 x 800 )

B-C B-C

4#8

----

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

3m

8m

4#8

4 # 10

8m

8m

3m

6#8

4 # 10

4#8

4#8

3#8

3#8

12 m

12 m

12 m

A

B

C

4#8 12 m D

E

4 # 10 ( 4 # 8 )

700 mm Amarres transversales # 3 ( Cortante + Torsión ) 4#8(3#8) 400 mm

Figura 4.24 Refuerzo requerido en las vigas 1 y 4 del ejemplo 4.1

A

3m

8m

3 # 11

6 # 11 4 # 10

3 # 10

12 m

12 m B

8m

8m

5 # 11

6# 11 3 # 10

3 # 11 4 # 10

12 m C

3m

12 m D

E

LOSA LOSAS S EN UNA UNA DIRE DI RECC CCIÓ IÓN N ESTRUCT ESTRUCTURA URAS S DE HORMI HORMIGÓN GÓN 1  ________  ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __

6 # 11 ( 3 # 11)

800 mm Amarres transversales # 3 ( Cortante + Torsión ) 4 # 10 500 mm Figura 4.25 Refuerzo requerido en las vigas 2 y 3 del ejemplo 4.1

4.5.5 Planos y detalles del sistema estructural diseñado Los esquemas del detallado del refuerzo, colocación, recubrimientos, ganchos, anclajes y conexiones de los diferentes elementos del sistema estructural se deben presentar en formatos adecuados a las oficinas de planeación locales para su legalización y oficialización ante las autoridades competentes. Los esquemas junto con las memorias de calculo deben estar firmadas por el ingeniero estructural quien es el responsable de la estabilidad y confiabilidad de la estructura. Igualmente deben estar convenientemente revisadas por un perito antes de someter a la aprobación de la oficina estatal. Los dibujos, planos e instructivos de campo deben realizarse en hojas de papel Albanene de tamaño 700 x 500 mm ( media hoja de plano) o de 1000 x 1400 ( hoja completa). En general en una hoja se acomodan la planta y sección típica de losa, los nervios o viguetas y las vigas. En otra hoja se pueden acomodar las columnas, muros, escaleras y detalles especiales de nudos y por lo general la fundación, vigas de amarre y muros de contención van en una hoja aparte. Como ilustración se presenta en la figura 4.26 los planos de una edificación en donde se  pued  puedee apre apreci ciar ar la form formaa gene genera rall como como esto estoss se pued pueden en dist distri ribu buir ir en cada cada una una de la hoja hojas. s. Es importante anotar que cada plano debe contener recomendaciones generales sobre materiales, procesos constructivos, cargas y características de obra.