Losas-Ejercicios resueltos

HORMIGÓN ARMADO I PRÁCTICA / Tema: TP 7 - LOSAS EJERCICIOS RESUELTOS Juan Francisco Bissio

Introducción: Independientemente de las soluciones analíticas y el análisis por elementos finitos, existe una gran cantidad de métodos para el cálculo de solicitaciones en losas y sistemas de losas, muchos de los cuales se han visto en las clases teóricas. Casos muy sencillos de losas (como la del Ej 01), con condiciones estrictas de borde (perfectamente articulados o perfectamente empotrados) se pueden resolver con cualquiera de las tablas disponibles, de la misma manera que no resulta dificultosa la implementación del método de cargas en damero. Lamentablemente, las condiciones ideales a las que están restringidos estos métodos los hacen de aplicación muy poco frecuente, en particular al último. Para los casos más frecuentes y ordinarios de losas con continuidad, los métodos aplicables son el de las Fajas y el de la Líneas de Rotura. El primero de ellos, restringido al comportamiento elástico, presenta también algunas limitaciones derivadas de la compatibilidad geométrica, las cuales deben ser cuidadosamente revisadas a la hora de decidir su aplicación. El Método de las Líneas de Rotura es probablemente el más versátil, requiriendo de cualquier manera el respeto estricto de las condiciones reglamentarias, por tratarse de un método plástico. En la página web de la Cátedra se puede descargar una ayuda m1 = ε1 my de cálculo (losas-rotura.xls ) que permite ahorrar tiempo de cálculo en la utilización del método. La nomenclatura utilizada es la que mx se muestra en la figura de la izquierda. (igual que en la guía de Trabajos Prácticos). Ly my m3 = ε3 mx m4 = ε4 mx m2 = ε2 my Lx

Ej 01) Determinar las solicitaciones en una losa de dimensiones : Lx = 7m Ly=4 Ly=4.5 .55m 5m,, emp empot otra rada da en uno uno de de los los bord bordes es de 4.50 4.50m, m, y con con una una car carga ga de de dis diseñ eño o 2 tU = 10 kN/m  . Por tratarse de una losa con condiciones estrictas de borde, se pueden aplicar directamente los coeficientes de Marcus (ver la tabla tabla en la guía de Trabajos Trabajos Prácticos). Prácticos). Ly / Lx = 4.55m / 7.0m = 0.65 α = 0.0143 β = 0.0654

De la tabla se obtiene:  = 0.3086 κ  =

MUx = α * tU * Lx2 = 0.0143 * 10 kN/m 2 * (7m)2 = 7.01 kNm/m 2 2 2 MUy = β  * tU * Ly  = 0.0654 * 10 kN/m  * (4.55m)  = 13.54 kNm/m Y el momento en el apoyo: MU apoyo  = κ  *  * tU * Lx2 / 8 = 0.3086 * 10 kN/m 2 * (7m)2 / 8 = 18.90 kNm/m 1

Ej 02) Calcular las solicitaciones en el sistema de losas de la figura, en el que ambas tienen el mismo espesor:

Las cargas actuantes en ambas losas valen: Losa L1: Losa L2:

tU = 9.5 kN/m2 tU = 4.5 kN/m2

En primer término se tratará de resolver el problema utilizando el método de las fajas, que son las que se muestran en la figura.

Cargas actuantes en cada faja: Para la losa L1 es Ly / Lx = 5m / 7.15m = 0.70. Se debe utilizar la tabla correspondiente a un borde empotrado, de donde se obtiene:

κ  = 0.3751 ρ = 0.6249  ν x = 0.6412  ν y = 0.7448 Y las cargas valen, entonces: tU xL1 = 9.50 kN/m2 * 0.3751 = 3.56 kN/m2 tU yL1 = 9.50 kN/m2 * 0.6249 = 5.94 kN/m2 Mientras que para L2: Ly / Lx = 1 y por lo tanto (usando la misma tabla):

κ  = 0.7143 ρ = 0.2857  ν x = 0.6652  ν y = 0.7619 tU xL2 = 4.50 kN/m2 * 0.7143 = 3.21 kN/m2 tU yL2 = 4.50 kN/m2 * 0.2857 = 1.29 kN/m2

2

Solicitaciones en las fajas: Las fajas F2 y F3 son vigas simplemente apoyadas: Faja F2: MUy L1 = 5.94 kN/m2 * 5 2 / 8 * 0.7448 = 13.81 kNm/m Faja F3: MUy L2 = 1.29 kN/m2 * 5 2 / 8 * 0.7619 = 3.06 kNm/m La faja F1 es una viga continua de dos tramos, que puede calcularse mediante cualquier  procedimiento o programa de hiperestáticos. En este caso se utilizarán las expresiones presentadas en la guía de TP: MUx L1-L2 = -(3.56 * 7.15 3 + 3.21 * 53 ) / [8 * (7.15m + 5m)] = -17.52 kNm/m (Momento de apoyo) R A = 3.56 * 7.15m/2 – 17.52 / 7.15 = 10.28 kN/m RC = 3.21 * 5m/2 –17.52 / 5 = 4.52 kN/m MUx L1 = 10.28 2 /(2 * 3.56) * 0.6412 = 9.51 kNm/m MUx L2 = 4.52 2 /(2 * 3.21) * 0.6652 = 2.12 kNm/m El diagrama de momentos flectores en la faja F1 se indica en la figura de la izquierda. Debido a las condiciones de carga y la diferencia de luces, la flecha en el centro del tramo de la losa L2 -señalado con un Momentos círculo)- es negativa (hacia arriba), mientras que la flecha en el mismo punto, pero calculada sobre la faja F3, será positiva por  ser una viga simplemente apoyada. Es decir  que existe una incompatibilidad geométrica Flechas insalvable que hace inaplicable el método. Observar que no es necesario tener  momentos negativos en todo el tramo para que se produzca una flecha negativa en el centro del mismo.

De manera que se calcularán las solicitaciones por el método de Rotura. Se comienza por la losa de menores dimensiones y menor carga, de manera tal que el momento en el apoyo entre ambas losas no condicione el momento de tramo de la que se calcula en segundo término. Proceder en forma inversa alargaría el proceso de cálculo pues el momento de apoyo de la losa más importante podría no llegar a ser equilibrado por la losa más pequeña, obligando a disminuírlo volviendo atrás en el proceso iterativo.

Losa L2: Se adoptará ε = -1 para el único apoyo con momentos negativos. El resto de los ε  valdrá cero, naturalmente. Los valores usuales de ε para apoyos continuos van entre -2 y -1. ε1 = 0 ε2 = 0 ε3 = -1 ε4 = 0 Utilizando las expresiones de la Guía de TP: ar = 2 * 5.00m / [ (1-0) 1/2 + (1-0)1/2 ] = 5.00m br = 2 * 5.00m / [ (1+1) 1/2 + (1-0)1/2 ] = 4.142m mx / my ≈ (Ly/Lx)2 = 1

è

Γ  = 1

my =4.50 kN/m2 5.00 * 4.142 * 1 / [ 8 (1+ 5.0/4.142 + 4.142/5.00)] = 3.84 kNm/m Y el resto de los momentos: mx = 1 * my = 3.84kNm/m 3

m1 = ε1 * my = 0 * 3.84 = 0 m2 = ε2 * my = 0 m3 = ε3 * mx = -1 * 3.84 = -3.84 kNm/m m4 = ε4 * mx = 0

Losa L1: En esta losa el momento m4 está impuesto puesto que debe coincidir con el m3 de la losa L 2. Es decir que será m4 = ε4 * mx = -3.84 kNm/m. mx / my ≈ (Ly/Lx)2 = (5/7.15) 2 = 0.49

è

Γ  = 1.43

Se puede encarar una solución analítica del problema, planteando que: ε4 = -3.84/mx = -3.84/(0.49 * my) = -7.84/my e introduciendo esta relación en las ecuaciones del método de rotura. Sin embargo es más sencillo iterar de la manera que se muestra a continuación: Considerando que se comenzó por la losa de menores dimensiones y carga, resulta evidente que -para obtener igual momento en el apoyo continuo- deberá ser ε4 mayor que -1 (porque en la losa anterior se tomó ε3=-1). Por lo tanto se tomará, como valor de partida, ε4=-0.75 Primera iteración: ε1 = 0 ε2 = 0

ε3 = 0

ε4 = -0.75

ar = 2 * 7.15m / [ (1-0) 1/2 + (1-0)1/2 ] = 5.00m br = 2 * 5.00m / [ (1-0) 1/2 + (1+0.75)1/2 ] = 6.156m my = 9.50 kN/m 2 *5.0 * 6.156 * 1.43 / [ 8 (1+ 5.0/1.43/6.156+ 1.43 *6.156/5.0)] = 15.70 kNm/m è mx = 0.49 my = 7.68 kNm/m por lo tanto sería m4 = -0.75 * 7.68 = - 5.76 que difiere del buscado . Para hacer la segunda iteración, como ya se tiene un valor de mx de la primera, se estima:

ε4 = -3.84 / 7.68 = -0.50 Segunda iteración: ε1 = 0 ε2 = 0

ε3 = 0

ε4 = -3.84/7.68 = -0.50

ar = 2 * 7.15m / [ (1-0) 1/2 + (1-0)1/2 ] = 5.00m br = 2 * 5.00m / [ (1-0) 1/2 + (1+0.50)1/2 ] = 6.428m my = 9.50 kN/m 2 *5.0 * 6.156 * 1.43 / [ 8 (1+ 5.0/1.43/6.428+ 1.43 *6.428/5.0)] = 16.14 kNm/m è mx = 0.49 my = 7.89 kNm/m por lo tanto sería m4 = -0.50 * 7.89 = - 3.95 que difiere menos del 5% del valor objetivo y por lo tanto se puede detener el proceso de iteración manual. Luego los valores finales de las solicitaciones quedan como sigue: my = 16.14 kNm/m mx = 0.49 my = 7.89kNm/m m1 = ε1 * my = 0 m2 = ε2 * my = 0 m3 = ε3 * mx = 0 m4 = ε4 * mx = -3.95kNm/m (difiere menos del 5% del m3 de la losa L 2) El alumno puede realizar una iteración con el siguiente valor de ε4 = -3.84 / 7.89 = -0.49 y obtendrá my = 16.16kNm/m, mx = 7.90kNm/m y m4 = -3.85kNm/m. Este valor más ajustado de ε4 está ligeramente por encima del máximo reglamentario (-0.50), pero la diferencia es muy pequeña 4

y se puede aceptar. En caso de que la diferencia hubiese sido mayor, se debería haber adoptado en la losa L2  un valor de ε3 = -1.25, por ejemplo (recordar que se tomó arbitrariamente ε3 = -1 para esta losa) de manera tal que en L1 resultase ε4 dentro de los límites reglamentarios. Las armaduras se calculan utilizando las expresiones de flexión simple, considerando una sección rectangular de ancho b=1m y la altura correspondiente. Así, las armaduras que se obtienen son por metro de ancho de losa, es decir, en cm 2/m (recordar del TP1 que ése es el modo en que se indican las armaduras para losas).

Ej 03) Las losas de la figura son simétricas respecto al apoyo común. Las armaduras y materiales de las mismas son los siguientes: f’c=25 MPa fy=  420 MPa d=0.09m  Asx tramo = db8 c/14 Asy tramo = db10 c/19.5

As

caballetes  =

db8 c/32

En el apoyo se levanta la mitad de la armadura de cada tramo. Siendo tD  = 4.50kN/m2, determinar la máxima sobrecarga que se puede aplicar a ambas losas. Considerar que la misma se aplica simultáneamente a ambas (no se carga alternadamente). Momentos resistentes de las secciones: con la armadura disponible, los Md de las diferentes secciones se determinan considerando una sección rectangular de ancho b = 1m:

Momento M x tramo M y tramo M  apoyo

As (cm2/m) 3.57 4.03 5.36

ka

mn

Mn

MU

0.079 0.089 0.118

0.076 0.085 0.111

13.07 14.68 -19.07

11.76 13.21 -17.16

a) Determinación utilizando las tablas de Marcus: Como se trata de dos losas simétricas (porque se aplica la sobrecarga en ambas simultáneamente), se puede resolver el problema estudiando una sola losa, por ejemplo L1, empotrada en el lado contiguo. En ese caso: Ly / Lx = 1 y de la tabla se obtiene:

α = 0.0334

β = 0.0272

κ  = 0.7143

MUx tramo = α * tU * Lx2 = 0.0334 * t U * (4.5m)2 = 0.676 * tU MUy tramo = β  * tU * Ly2 = 0.0272 * t U * (4.5m)2 = 0.551 * tU Y el momento en el apoyo: MU apoyo  = κ  * tU * Lx2 / 8 = 0.7143 * t U * (4.5m)2 / 8 = 1.81 * t U

5

Comparando estos momentos solicitantes mayorados con los resistentes de cada sección se determina tU : 0.676 * t U ≤ 11.76 0.551 * t U ≤ 13.21 1.81 * tU ≤ 17.16

è è è

tU ≤ 17.4 kN/m2 tU ≤ 23.97 kN/m2 tU ≤ 9.48 kN/m2

Es decir que la sección del apoyo es la que limita la resistencia del conjunto. De allí se deduce:

tL ≤ ( 9.48 - 4.5 * 1.20 ) / 1.60 = 2.55 kN/m2 Y se verifica que 1.4 tD < 1.2 tD + 1.6 tL

b) Determinación utilizando el método de Rotura En el apartado anterior se vió que la resistencia del conjunto de la estructura estaba limitada por la resistencia de una sección, la del apoyo. Pero ante la aplicación de la sobrecarga máxima determinada, las otras dos secciones presentan una seguridad mayor que la mínima, o lo que es lo mismo decir, no se encuentran aprovechadas al máximo de su potencial. Esto es así debido a que en la solución elástica (método de las fajas, tablas de Marcus, etc) las relaciones entre los momentos de tramo entre sí, y entre éstos y los de apoyo, son constantes y no una variable del problema. El método de Rotura, en cambio, permite variar estas relaciones dentro de los límites reglamentarios, por lo que es posible aprovechar de una mejor manera la distribución de resistencia de la estructura. El procedimiento es como se muestra a continuación: MU x tramo / MU y tramo = 11.76 / 13.21 = 0.89. El valor recomendado para esta relación de momentos es aproximadamente (Ly / Lx) 2 = 1, es decir que el valor 0.89 es aceptable. La relación entre el momento de apoyo y el de tramo vale: Siendo -2 < -1.46 < -0.5 resulta aceptable. ε4 = -17.16 / 11.76 = -1.46 y ε1 = ε2 = ε3 = 0, por las condiciones de borde. Observesé que cuando se dimensiona, se estima el valor de Mx / My = (Ly / Lx)2 , pero en este caso ya se tienen los momentos resistentes en el tramo, y por lo tanto se calcula con los mismos, como se hizo más arriba. Por lo tanto, Mx / My = 0.89

è

Γ  = 0.89 -1/2 = 1.06

ar = 2 * 4.5m / [ (1-0) 1/2 + (1-0)1/2 ] = 4.50m br = 2 * 4.5m / [ (1-0) 1/2 + (1+1.46)1/2 ] = 3.50m my = 13.21 kNm/m = tU * 4.5 * 3.50 * 1.06 / [ 8 (1+ 4.5/1.06/3.50+ 1.06 * 3.5/4.5)] è

tU = 19.20 kN/m2

tL ≤ ( 19.2 - 4.5 * 1.20 ) / 1.60 = 8.63 kN/m2 Es decir que la utilización del método de Rotura, al permitir el aprovechamiento integral de todas las secciones (dentro de los límites reglamentarios), dá como resultado una sobrecarga 3.38 veces mayor que un método elástico, en el que la resistencia del conjunto está limitada por la de la sección relativamente más debil, o con menor seguridad frente a las solicitaciones elásticas.

6

Ej 04)  Para el sistema de losas de la figura, predimensionar y calcular solicitaciones utilizando el método de rotura y el de las fajas. Las cargas actuantes y los materiales son los siguientes: tL = 3.2 kN/m2 para L1 y L2, y tL = 5 kN/m2 para el voladizo L v

a) Predimensionamiento: Voladizo: 0.083m Losas:

d ≥  1.00m / 12 =

d ≥ 4.00m / 55 = 0.073m

Por lo tanto se adopta para todas las losas:h = 0.10m y t D = 1.6 + 0.10 * 24 kN/m 3 = 4 kN/m2 (Rigurosamente, se debería sumar a éste peso propio el del contrapiso, piso, etc.)

b) Solicitaciones Las solicitaciones se calcularán considerando las losas L 1 y L2 cargadas con la carga máxima (t U). El voladizo se considerará cargado con t U para dimensionar las armaduras del apoyo L 2 - L v, y con 0.9tD para el cálculo de los momentos en las losas L 1 y L2. tU = 1.2*4 + 1.6*3.2 = 9.9 kN/m2 para L1 y L2 tU = 1.2*4 + 1.6*5.0 = 12.9 kN/m2 para calcular el momento de apoyo LV -L2 tU = 0.9*4 = 3.6 kN/m2 en LV para calcular el momento de tramo en L2

b.1) Usando el método de las líneas de Rotura: En primer término se calcula el M U en el voladizo, ya que este momento actuará como solicitación impuesta en la losa L2. Para dimensionar la armadura del apoyo L 2-LV, se debe utilizar: MU voladizo  = 12.9 kN/m2 * 12 / 2 = 6.45 kNm/m Y para calcular los momentos en L1 y L2, se utilizará: MU voladizo  = 3.6kN/m2 * 12  / 2 = 1.80 kNm/m, valor que será más frecuente ya que el valor usado para la sobrecarga (5kN/m 2 en el caso de balcones) es de baja frecuencia de ocurrencia, en promedio una vez cada 50 años.

Momentos en L2: Como ya se comentó, cuando se calculan losas continuas utilizando el método de las Líneas de Rotura es conveniente comenzar por la de menores dimensiones, de manera tal que los momentos de apoyo que se impondrán a las contiguas no signifiquen para estas un desbalance respecto a sus momentos de tramo. Este principio, si bien no lo garantiza, ayuda a que en la mayoría de los casos se cumplan los límites impuestos por el reglamento a la relación entre momentos de apoyo y tramo. La losa L2  tendrá, entonces, un momento m 1=-1.80kNm/m impuesto por el voladizo L V, y una condición de continuidad en el borde 3. Los otros dos bordes tienen momento nulo. esto significa que ε2 = ε4 = 0, ε1 será un valor que no podrá ser elegido a discreción, sino que se deberá iterar  de manera tal que resulte m 1=1.80kNm/m, y tomaremos ε3 = -1. Para iterar hasta encontrar el valor de ε1 que concuerde con m1=1.80kNm/m, se adoptará un valor  de partida arbitrario ε1 =-1. Entonces será: 7

Primera iteración: ε1 = -1 ε2 = 0

ε3 = -1

ε4 = 0

ar = 2 * 4.00m / [ (1+1) 1/2 + (1-0)1/2 ] = 3.314m br = 2 * 4.00m / [ (1+1) 1/2 + (1-0)1/2 ] = 3.314m mx / my ≈ (Ly/Lx)2 = 1

è

Γ  = 1

my =9.90 kN/m2 *3.3142 * 1 / [ 8 (1+ 3.314/3.314 + 3.314/3.314)] = 4.53 kNm/m por lo tanto será m1 = -1 * 4.53 = -4.53kNm/m