Losa Maciza

EJEMPLO DE LOSAS MACIZAS SIN DESPIECE

Simbología Empleada  As - = Área de la armadura en compresión, cm².  As + = Área de la armadura en tracción, cm².  As mín = Área de acero mínima. b = espesor. bw = Ancho del alma de una sección. r = recubrimiento. Fy = Esfuerzo cedente en el acero. qb = Cuantía mecánica que produce la falla balanceada. q’opt = Cuantía mecánica óptima.

q mín = Cuantía mecánica mínima = 14/f’ c. S = Separación entre estribos. Vu = Fuerza cortante actuante. Vc = Fuerza cortante resistente por el concreto. Veje = Fuerza cortante actuante en el eje. c

= Peso específico del concreto.

K = Rigidez. f’c = Resistencia máxima del concreto.

q = carga distribuida a lo largo del tramo.

2

Cm = Carga muerta. Cv = Carga viva. h = Altura de la sección. Ku = Profundidad especifica del eje neutro en el agotamiento. K1 = Coeficiente de equivalencia. K2 = Profundidad específica del centro de compresión. K3 = Coeficiente de relación, de resistencia al concreto. L = Longitud entre apoyo. L mac = Longitud de macizado. Mu = Momento actuante último. Mu + = Momento actuante positivo. Mu - = Momento actuante negativo. Me = Momento de empotramiento. pp = Peso propio.

3

Cálculo de las solicitaciones Procedimiento de cálculo por el método de Cross. Fórmulas utilizadas para obtener los datos del diagrama.

Rigidez = K Caso # 1 Empotrado – Articulado K = 1_  L L

Caso # 2 Empotrado – Empotrado K = 3 _  4L K en el volado = 0 Factor de distribución = F d (La suma = 1) Fd =

K1 K1 + k2

y

Fd =

k2 ___  k1 + k2

Factor de transporte = F t Ft =

½ Empotramiento 0 Articulaciones. 1/2 1/2

1/2

Momento de Empotramiento (M E = M apoyos) Emp – Emp =

WL 2 __  12

4

1/2

1/2

0

Emp – Vinculado =

WL2 ___  8

WL 2 ___  2

Volado = M en el vínculo = 0

Momento de Empotramiento Total MET =

Me

Corte Isostático (Ambos lados) En el tramo V I = W * L_  2 En el volado VI = W * L Corte Hiperestático (+ -; - +) VH =

ME TOTALES __  L

En el volado VH = 0 Corte Total (Ambos lados) VT =

VI +

VH

Reacciones R=

(VT IZQ + VT DER)

Momento en el tramo M TRAM = (VT IZQ)2  – M  APOYO IZQ 2W

5

Sentido de armado de Losa Y X  A.- Luz más corta, caso favorable, Sentido X.

0.80

C 4.00

LMT-1

8.80

B

A

LMT-3

LMT-2

4.00

1.20

3.30

3.00

3.00

3.00

1 3.00

2 10.50

6

3

4 3.00

LOSA MACIZA Losa LMT-1

1.20

3.00

3.30

L1

L3 L2

L1

Volado

L3

 Ambos extremos continuos  Ambos extremos continuos

L4

Un extremo continuo

L2

L4

h L/10 h=120/10

12

h L/28 h=300/28

10,71

h L/28 h=330/28

11,79

h L/28 h=300/24

 _  h= h1+h2+h3+h4 4  _  h= 12cm+10,71cm+11,79cm+12,50cm 4  _ _  h= 11,75cm donde; h= Altura Promedio Losa LMT-2

1.20

3.00

3.00

1.30

L1

L3

7

12,50

L2

L1

Volado

h L/10 h=120/10

12

L2

 Ambos extremos continuos

h L/28 h=300/28

10,71

L3

Volado

h L/10 h=130/28

13

Simplemente apoyada h L/20 h=300/20

15

 _  h= h1+h2+h3 3  _  h= 12cm+10,71cm+13cm 3  _  h= 11,90cm Losa LMT-3

3.00

L1

Resumen: Del análisis de las tres losas, se puede tener dos (2) alternativas.  Alternativa #1:

Se diseña cada losa independientemente con el espesor 

calculado por deflexión.  Alternativa #2:

Se realiza un promedio de las tres losas con el objeto de

homogeneizarla para obtener un solo espesor.

8

Esta alternativa es la que en nuestro trabajo estamos asumiendo. Para determinar el espesor real por este criterio se realizará un promedio de las alturas de cada caso. hprom= h1+h2+h3 3 hprom= 11,75cm+11,90cm+15cm = 12,88 13cm. 3 hprom= 13cm.

9

Análisis de carga del nivel techo. Sentido de las pendientes

4.40

6.85

8.80

5.25 10.50

h mayor

Y

P

0,03

6,85 mts

10

Longitud Diagonal 6.85 6.85 6.85

h menor 

Longitud Promedio

0,167

0,03

0,99

0,065

0,095

0,03

0,062

0,0343

0,0643

0,03

0,047

Pendiente  Asumida

Y

2%

0,137

1% 0,5%

h mayor

Para 2% Tg

Para 1% =_ Y _ 6.85 Y= 0,02 * 6.85

Y= 0,01 * 6.85 Y= 0,065

Y= 0,137

Longitud promedio = h mayor + h menor_  2 Según el análisis arriba realizado para nuestro caso asumimos una P=1%, la cual nos resulta un espesor = 0,062

0,06

Se tomara este valor por ser el valor medio entre los otros dos.

Comentario: Aunque en algunas bibliografías el espesor del empendientado no se calcula, sino que se asume en unos 5 cm. en nuestro trabajo se explica el porque es conveniente calcularlo. Al asumir un espesor  se podría estar cometiendo un error en las estimaciones de carga por este concepto ya que se ha observado en revisiones de proyectos que han

11

pasado por nuestras manos, que casi siempre asumen la pendiente sin chequear que con esa pendiente asumida los espesores resultantes sobrepasan el espesor especificado en el análisis de carga, esto puede traer  como consecuencia que la carga asumida sea inferior a la realmente calculada, por lo tanto consideramos que es conveniente realizar un estudio más cuidadoso cuando se este diseñando cualquier estructura donde este involucrado el empendientado. El empendientado en cualquier proyecto de Ingenieria hay que tomarlo en cuenta porque un ambiente de techo donde no existe simplemente se formaran lagunas de agua y/o pozos los cuales poco apoco irán dañando la impermeabilización trayendo como consecuencia menor vida útil y cambios más frecuentes de material, por lo que generara más costos de mantenimiento.

12

Nivel Entrepiso.

C

0.80

LME-1

4.00

B 4.00

3.40

A

LME-3

LME-2

1.20

3.00

3.30

1

2

3.00

3

4

Por tener la misma configuración que la losa de techo esta tendrá un espesor de 13 Cm. según el criterio de deflexión.

13

 Análisis de carga nivel techo. Losa Maciza

Carga Muerta Losa 0,13 m * 2500 Kg/m³

325 Kg/ m²

Friso 0,015 m * 2000 Kg/m³

30 Kg/ m²

Relleno + Empendientado 0,06 * 2000 Kg/m³

120 Kg/ m²

Impermeabilizante (3 Capas)

15 Kg/ m² 490 Kg/ m²

Carga viva Vivienda

175 Kg/ m²

Mayoración de la carga q= 1,4CM + 1,7CV q= 1,4 (490 Kg/ m²) + 1,7 (175 Kg/ m²) q= 983,5 Kg/ m² q= 983,5 Kg/ m² * 1 ml de ancho = 984,5 Kg/ml q= 985 Kg/ ml W pared = peso pared * h pared * f Mcm Peso pared = 230 Kg/ m², obtenido del anexo. W pared = 230 Kg/ m² * 1,20 m * 1,4 = 386,4 = 390 Kg/m 390 Kg/m 985 Kg / ml 1.20

3.00

3.00

3.00

14

LMT - 1 390 Kg/m 985 Kg / ml 1.20

1

0

K

2

3.00

0.25

0.25

0,45 0,55

0,55 0,45

1/2 -1177,2 0

1/2 -1108,13 893,89

1177,2

1/2 -893,89 1108,13

588,60 -168,46 -205,90

-102,95

-30,61

-61,21 -50,08

13,77 16,83

8,42

-2,315

-4,63 -3,789

1,042 1,273

0,637

-0,175

-0,35 -0,287

0,079 0,096

0,048

-0,013 -1177,2 1177,2

Met VI VH Vt R

0

4 3.00

0.3

0 1

Ft ME

3

3.30

-0,026 -0,022

-673,10 673,10

-1053,95 1053,95

1572 1477,5

1477,5 1625,25

1625,25 1477,5

1477,5

168,03

-168,03 -115,42

115,42 351,32

-351,32

1309,47 1509,83

1740,67 1828,82

1126,18

1572 1645,53 197,30

484,07

643,81 1828,82 Kg

1645,53 Kg

1509,83 Kg

V=0 390 Kg 1126,18 Kg 1309,47 Kg 1572 Kg 1177,20 Kg-m

Met

673,10 Kg-m

1740,67 Kg 1053,95 Kg-m

197,30 Kg-m 484,07 Kg-m

15

643,81 Kg-

Definición del espesor de losa de techo (criterio por deflexión).

dnec =

M f’c.b* kopt

Donde: M= momento más desfavorable F’c= resistencia especifica del concreto a compresión

b= ancho de la losa Kopt= 0,1447; valor obtenido para una cuantía mecánica optima ver  pag. Entonces: dnec =

1177,20 Kg/m 210 Kg/cm² * 1m * 0,1447

= 6,22

6,50 cm.

H necesario = dnec + 3 cm (Recubrimiento) H necesario = 6,50 cm + 3 cm = 9,50 cm. Espesor real

e real

=

e losa criterio deflexión + e

losa criterio flexión

2

e real

= 13 + 9,50 = 11,25 cm 11,50cm. 2 d útil = Esp losa - rec d útil = 11,50 cm - 3cm = 8,50 cm.

16

Dimensionar la carga para nuevo espesor. qu (Kg/m²) de CM = 490 para espesor de 13 cm. qu (Kg/m²) de CM = ¿ para espesor de 11,5 cm. pp losa esp (11,50 cm) = 0,115 m * 2500 Kg/ m³ = 287,5 Kg/m² pp losa esp (13 cm) = 0,13 m * 2500 Kg/ m³ = 325 Kg/m² qu (Kg/m²) de CM = 490 + pp losa esp (11,50 cm) - pp losa esp (13 cm) = qu (Kg/m²) de CM = 490 Kg/m² + 287,5 Kg/m²- 325 Kg/m² qu CM = 452,5 Kg/m² qu (Kg/m²)= 1,4CM + 1,7CV qu (Kg/m²)= 1,4 (452,50 Kg/ m²) + 1,7 (175 Kg/ m²) qu = 931 Kg/ m²

935 Kg/ m²

Es necesario llevar 935 Kg/ m² a ml de ancho. qu (Kg/ ml)= 935 Kg/ m² * 1 ml de ancho = 935 Kg/ ml ES DE ACLARAR QUE AL DISEÑAR CON UN ESPESOR DE 11.5 CMS. ES INDISPENSABLE CALCULAR LA FLECHA DE LOS TRAMOS DE LAS LOSAS QUE NO CUMPLAN CON LO ESTABLECIDO EN LA SECCION 9.6.1 “ESPESORES MINIMOS DE LOSAS Y VIGA ” TABLA 9.6.1 NORMAS DE CONCRETO ARMADO VENEZOLANAS 2006 PAGINA 61.

17

LMT - 1 390 Kg/m 935 Kg / ml 1.20

1

0

K

2

3.00

0.25

0.25

0,45 0,55

0,55 0,45

1/2 -1141,2 0

1/2 -1051,88 848,52

1141,2

1/2 -848,52 1051,88

570,60 -165,26 -201,98

-100,99

-28,15

-56,30 -46,07

12,67 15,48

7,74

-2,13

-4,26 -3,48

0,96 1,17

0,59

-0,16

-0,32 -0,27

0,07 0,09

0,045

-0,01 -1141,2 1141,2

Met VI VH Vt R Mt

0

4

3.00

0.3

0 1

Ft ME

3

3.30

-0,025 -0,02

-632,84 632,84

-1002,04 1002,04

1512 1402,5

1402,5 1542,75

1542,75 1402,5

1402,5

169,45

-169,45 -111,88

111,88 334,01

-334,01

1233,05 1430,87

1654,63 1736,51

1068,48

1512 1571,95

1068,48

180,20

462,03

610,52 1736,51 Kg

1571,95 Kg

1430,87 Kg

V=0 390 Kg 1068,48 Kg 1233,05 Kg 1512 Kg 1141,20 Kg-m

Met

632,83 Kg-m

1654,36 Kg 1002,04 Kg-m

180,20 Kg-m 462,03 Kg-m

18

610,52 Kg-m

Distribución del acero en losa maciza de techo (LMT  – 1) Puntos de Inflexión M= -qx² + Veje x - Meje 2 Tramo 1-2 M= -935x² + 1571,95x – 1141,20 = 0 2 X1= 2,30 X2= 1,06

3,00-2,30 = 0,70

Tramo 2-3 M= -935x² + 1430,87x – 632,83 = 0 2 X1= 2,52 X2= 0,53

3,30-2,52 = 0,78

Tramo 3-4 M= -935x² + 1736,51x – 1002,04 = 0 2 X1= 3,00 X2= 0,71

3,00-3,00 = 0

19

LMT - 1 390 Kg 935 Kg / ml

1

1.20

MuMu UU qq JJ AsAs Asmín

2

3.00

1141,20

3

3.30

632,83 180,20

462,03 0,042

0,075 0,012 0,088

0,030

0,013

0,077 0,046 0,955

0,972

3,75

0,98 2,03 2,83

20

0,97

3,27 1,47

0,57

610,52 0,04

0,034

0,99

3.00

0,066

0,048

0,948

1002,04

4

3,27

Cálculo de losa maciza nivel techo (LMT  – 2) W pared = peso de pared * h pared * f Mcm W pared = 230 Kg/m² * 2,30 * 1,4 = 740,50 ~ 745 Kg/m² 745 Kg/m² * 1 ml de ancho = 745 Kg/ml. Se considera una pared de 2,30 mts. de altura para evitar accidentes en el vacío de la escalera y colocar un techo que sirva de protección de lluvias y sol.

21

LMT - 2 390 Kg/m

745 Kg/m 935 Kg / ml

1

1.20

M

2

3.00

1141,20

1758,58

390,00 1402,50

1402,50 745,00

1112,00 0 -205,79

V R

1512,00

1.30

0 1215,50 205,79

1196,71

1608,29

2708,71

1906,05

3568,79 1960,50 Kg

1196,71 Kg

745 Kg

V 390 Kg

1,28

Y 1512 Kg

1608,29 Kg 1758,58 Kg-m

1141,20 Kg-m 375,31 Kg-m

+

X= V__  W

X= 1196,71

X= 1,28

935

22

LMT - 3 935 Kg / ml

3 fv

4

3.00

+= 0; V A + VB – 935 * 3 = 0

V A + VB = 2805,00 Kg.

MA + 1402,50 Kg

= 0;  – 935 * 3 * 1,5 + 3 V B = 0

VB = 1402,50 Kg.

V A = 1402,50 Kg.

V=0

1402,50 Kg

M=0

Mmáx=1051,88 Kg-m

MUMU UU+ QQ+ JJ+  AS AS+

0 0 0 0 0

1051,88 0,069

0 0 0

0,081

0

0,952

0

3,459 2,83

 ASMÍN

23

Nivel Entrepiso.

C

0.80

LE-1

4.00

B

4.00

3.40

LE-3

LE-2

A 1.20

3.00

3.30

1

2

3.00

3

4

Por tener la misma configuración que la losa de techo esta tendrá un espesor de 13 Cm. según el criterio de deflexión.

24

Determinación del espesor de losa por el criterio de deflexión nivel planta de entrepiso. En vista que la configuración de las losas nivel entrepiso es la misma que la del nivel techo el espesor calculado por el criterio de deflexión en el techo será el mismo que el de entrepiso, por lo tanto el espesor de la losa por el criterio de deflexión será igual a 13 cm.

TABIQUERIA

RELLENO + ACABADO

 Análisis de carga losa de entrepiso. pp losa = esp *

concreto = 0,13m * 2500 Kg/m³

relleno + acabado = esp * friso = esp *

= 325 Kg/m²

mortero = 0,05m * 2000 Kg/m³ = 100 Kg/m²

mortero = 0,015m * 2000 Kg/m³

= 100 Kg/m²

tabiquería = carga mínima recomendada por las normas

= 150 Kg/m² 605 Kg/m²

Cv = ambiente de vivienda

= 175Kg/m²

25

qu (Kg/m²)

= 1,4CM + 1,7CV

qu (Kg/m²)

= 1,4 (605,00 Kg/ m²) + 1,7 (175 Kg/ m²)

qu (Kg/m²)

= 1144,50 Kg/ m² 1150 Kg/ m²

qu (Kg/ml)

= qu (Kg/ m²) * 1 ml ancho de losa = 1150 Kg/ml.

Determinación de la carga en el Volado. WV = peso de pared (Kg/m²) * h pared * f mCM peso pared = pared de arcilla esp = 15cm, frisada por ambas caras. WV (Kg/ml) =230 Kg/m² * 1,20m *1,4 = 386,40 Kg/ml WV = 390 Kg/ml.

Determinación de la carga de pared de la escalera (Nivel entrepiso) W pared = peso de pared (Kg/m²) * h pared * fMcm. Peso pared = pared de arcilla esp = 10 cm, frisada por ambas caras. W pared = 180 Kg/m² * 2,70m *1,4 = 680,40 Kg/ml WV = 685 Kg/ml.

26

LME - 1 390 Kg/ml 1150 Kg / m

1

1.20

0

K

2

3.00

0.25

0.25

0,45 0,55

0,55 0,45

1/2 -1296,00 0

1/2 -1293,75 1043,63

1296,00

-1043,63 1293,75

648,00 -179,05 -218,83

-109,42

-98,88

-197,75 -161,79

44,50 54,38

27,19

-7,48

-14,96 -12,24

3,37 4,11

2,06

-0,57

-1,13 -0,93

0,26 0,31

0,16

-0,045

Met VI VH Vt R Mt

0

4

3.00

0.3

0 1

Ft ME

3

3.30

-0,09 -0,07

-1296,00 1296,00

-776,67 776,63

-1118,73 1118,72

1770,00 1725,00

1725,00 1897,50

1897,50 1725,00

1725,00

-173,11 -103,66

103,66 372,91

-372,91

1551,89 1793,84

2001,16 2097,91

1352,09

173,11 17770 1898,11

1352,09 270,44

622,44

794,86 2097,91 Kg

1898,11 Kg

1793,84 Kg

V=0 390 Kg 1352,09 Kg 1551,89 Kg 1770 Kg 1296,00 Kg-m

776,63 Kg-m

2001,16 Kg 1118,72 Kg-m

Met 270,44 Kg-m 622,44 Kg-m

27

794,86 Kg-m

Cálculo del d necesario dnec =

M f’c.b* kopt

Donde: M= momento más desfavorable F’c= resistencia especifica del concreto a compresión

b= ancho de la losa

pag.

Kopt= 0,1447; valor obtenido para una cuantía mecánica optima ver 

dnec =

1296,00 Kg/m 210 Kg/cm² * 1m * 0,1447

= 6,53

7,00 cm.

H necesario = dnec + 3 cm (Recubrimiento) H necesario = 7,00 cm + 3 cm = 10,00 cm. Espesor real e real = e losa criterio deflexión + e losa criterio flexión 2 e real = 13,00 + 10,00 = 11,50 cm. 12,00 cm. 2 d útil = Esp losa - rec d útil = 12,00 cm - 3cm = 9,00 cm.

28

Dimensionar la carga para nuevo espesor.

qu (Kg/m²) de CM = 605 para espesor de 13,00 cm. qu (Kg/m²) de CM = ¿ para espesor de 12,00 cm. qu (Kg/m²) de losa esp 12,00 cm = 605 + pp losa esp (12 cm) - pp losa esp (13 cm) qu (Kg/m²) de CM = 605 Kg/m² + 0,12 m * 2500 Kg/m² - 0,13 m * 2500 Kg/m² qu (Kg/m²) de CM = 580 Kg/m² qu (Kg/m²)= 1,4CM + 1,7CV qu (Kg/m²)= 1,4 (580,00 Kg/ m²) + 1,7 (175 Kg/ m²) qu = 1109,50 Kg/ m² 1110,00 Kg/ m² qu (Kg/ ml)= 1110 Kg/ m² * 1 ml de ancho = 1110 Kg/ ml

ES DE ACLARAR QUE AL DISEÑAR CON UN ESPESOR DE 11.5 CMS. ES INDISPENSABLE CALCULAR LA FLECHA DE LOS TRAMOS DE LAS LOSAS QUE NO CUMPLAN CON LO ESTABLECIDO EN LA SECCION 9.6.1

“

ESPESORES MINIMOS DE LOSAS Y VIGA

”

TABLA 9.6.1

NORMAS DE CONCRETO ARMADO VENEZOLANAS 2006 PAGINA 61.

29

LME - 1 390 Kg/ml 1110 Kg / m 1.20

1

0

K

2

3.00

0.25

0.25

0,45 0,55

0,55 0,45

1/2 -1267,20 0

1/2 -1248,75 1007,33

1267,20

1/2 -1007,33 1248,75

633,60 -176,48 -215,70

-107,85

-36,73

-73,46 -60,11

16,53 20,20

10,10

-2,78

-5,56 -4,55

1,25 1,53

0,77

-0,21

-0,42 -0,35

0,095 0,12

0,06

-0,017

Met VI VH Vt R Mt

0

4

3.00

0.3

0 1

Ft ME

3

3.30

-0,03 -0,027

-1267,20 1267,20

-773,76 773,74

-1183,72 1183,71

1722,00 1665,00

1665,00 1831,50

1831,50 1665,00

1665,00

-168,48 -124,24

124,24 394,57

-394,57

1500,52 1707,26

1955,74 2059,57

1270,43

168,48 1722,00 1829,48

1270,43 240,46

539,20

727,02 2059,57 Kg

1829,48 Kg

1707,26 Kg

V=0 390 Kg 1068,48 Kg 1500,52 Kg 1722 Kg 1267,20 Kg-m

Met

773,74 Kg-m

1955,74 Kg 1183,72 Kg-m

240,46 Kg-m 539,20 Kg-m 30

727,02 Kg-m

Determinación de los puntos de inflexión nivel entrepiso. Distribución del acero en losa maciza de techo (LME  – 1) Puntos de Inflexión M= -qx² + Veje x - Meje 2 Tramo 1-2 M= -1110x² + 1829,48x – 1267,20 = 0 2 X1= 2,30 X2= 0,99 Tramo 2-3 M= -1110x² + 1707,26x – 773,74 = 0 2 X1= 2,52 X2= 0,55 Tramo 3-4 M= -1110x² + 2059,57x – 1183,71 = 0 2 X1= 3,00 X2= 0,71

31

LME - 1 390 Kg/m 1110 Kg / ml

1

1.20

MuMu UU qq JJ AsAs Asmín

2

3.00

1267,20

539,20 0,045

0,074 0,014 0,087

0,070

0,036 0,969

0,99 3,93

0,043 0,082

0,052

0,949

727,02

0,032

0,016

0,049 0,95

0,979 2,35

0,71

32

0,97 3,66

1,62 3,00

3.00

1183,71

773,74 240,46

3

3.30

2,20

4

LOSA MACIZA DE TECHO # 2 NIVEL ENTREPISO. LME - 2 390 Kg/m

685 Kg/m 1110 Kg / ml

1

1.20

2

3.00

1.30

M

1267,20

1828,45 1665,00 685,00 0 1443,00

R

390,00 1665,00 1332,00 0 -187,08 1722,00 1477,92 3199,92

187,08

1477,92 Kg

1852,08 2128,00 3980,08 2118,00 Kg 685 Kg

V 1,33

390 Kg

Y 1722,00 Kg 1852,08 Kg 1828,45 Kg-m

1267,20 Kg-m 284,38 Kg-m

+

X = V = Corte W = Carga X = 1477,92 = 1,33 1110

33

Losa maciza de entrepiso (LME-3). 1110 Kg / ml

3 fv

4

3.00

+= 0; V A + VB – 1110,00 * 3 = 0

V A + VB = 3330,00 Kg.

MA +

= 0;  – 1110,00 * 3 * 1,5 + 3 V B = 0

VB = 1665,00 Kg. 1665,00 Kg

V A = 1665,00 Kg. V=0

1665,00 Kg

M=

Mmáx=1248,75 Kg-m

MU+ U+ Q+ J+  AS+  ASMÍN

0,069 1051,88 0,081 0,952 3,459 2,83

34

35