Los Superconductores - Luis Fernando Magaña

Los Superconductores Luis Fernando Magaña Solís Colección: La Ciencia para Todos. Ed. FCE, México 1997 COMITÉ DE SELECCIÓN EDICIONES PRÓLOGO A LA PRIMERA EDICIÓN PRÓLOGO A LA SEGUNDA EDICIÓN DEDICATORIA AGRADECIMIENTOS PREFACIO I. ¿QUÉ ES LA SUPERCONDUCTIVIDAD? II. LOS SUPERCONDUCTORES IDEALES III. LOS SUPERCONDUCTORES DUROS IV. ALGUNAS APLICACIONES DE LA SUPERCONDUCTIVIDAD LA SUPERCONDUCTIVIDAD EN IMÁGENES BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA COLOFÓN CONTRAPORTADA

C O M I T É

D E

Dr. Antonio Alonso Dr. Gerardo Cabañas Dr. Juan Ramón de la Fuente Dr. Jorge Flores Valdés Dr. Leopoldo García-Colín Scherer Dr. Tomás Garza Dr. Gonzalo Halffter Dr. Raúl Herrera

S E L E C C I Ó N

Dr. Jaime Martuscelli Dr. Héctor Nava Jaimes Dr. Manuel Peimbert Dr. Juan José Rivaud Dr. Julio Rubio Oca Dr. José Sarukhán Dr. Guillermo Soberón Coordinadora: María del Carmen Farías

E D I C I O N E S

Primera edición (la Ciencia desde México),1988 Tercera reimpresión,1995 Segunda edición (La Ciencia para Todos),1997 Portada: Dem Demostración del efect ecto Meissner ner. La mues uestra super superco cond nduct uctor oraa pued puedee ve vers rsee en la part partee infe inferi rior or inme inmers rsaa en nitr nitróg ógen eno o líqu líquid ido: o: en la part partee supe superi rior or,, a caus causaa de fuer fuerza zass magn magnét étic icas as,, se ve un imán imán "flo "flota tand ndo" o".. En segu segund ndo o plan plano, o, la fotografía de una cerámica superconductora, la llamada 1-2-3, de irio, bario y cobre, tomada por un microscopio electrónico. Fotografía de Alfredo Sánchez de una digitalización de imágenes preparada en el IFUNAM por el físico físico Lorenzo Lorenzo Juárez y el doctor José Reyes. La Ciencia para Todos es un proyecto y propiedad del Fondo de Cultura Económica, al que pertenecen también sus derechos. Se publica con los auspicios de la Secretaría de Educación Pública y del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología. D.F. © 1997 F ONDO

DE

CULTURA ECONÓMICA

Dr. Jaime Martuscelli Dr. Héctor Nava Jaimes Dr. Manuel Peimbert Dr. Juan José Rivaud Dr. Julio Rubio Oca Dr. José Sarukhán Dr. Guillermo Soberón Coordinadora: María del Carmen Farías

E D I C I O N E S

Primera edición (la Ciencia desde México),1988 Tercera reimpresión,1995 Segunda edición (La Ciencia para Todos),1997 Portada: Dem Demostración del efect ecto Meissner ner. La mues uestra super superco cond nduct uctor oraa pued puedee ve vers rsee en la part partee infe inferi rior or inme inmers rsaa en nitr nitróg ógen eno o líqu líquid ido: o: en la part partee supe superi rior or,, a caus causaa de fuer fuerza zass magn magnét étic icas as,, se ve un imán imán "flo "flota tand ndo" o".. En segu segund ndo o plan plano, o, la fotografía de una cerámica superconductora, la llamada 1-2-3, de irio, bario y cobre, tomada por un microscopio electrónico. Fotografía de Alfredo Sánchez de una digitalización de imágenes preparada en el IFUNAM por el físico físico Lorenzo Lorenzo Juárez y el doctor José Reyes. La Ciencia para Todos es un proyecto y propiedad del Fondo de Cultura Económica, al que pertenecen también sus derechos. Se publica con los auspicios de la Secretaría de Educación Pública y del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología. D.F. © 1997 F ONDO

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CULTURA ECONÓMICA

Carretera Picacho-Ajusco 227, 14200 México, D.F. ISBN 968-16-5329-7 Impreso en México

P R Ó L O G O

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P R I M E R A

E D I C I Ó N

A finales de 1986, en la reunión de la Sociedad Sociedad de Investigaci Investigación ón en Materiales en Boston, EUA, la comunidad científica internacional notó por primera vez un trabajo que fue publicado con anterioridad en una revista alemana pero que había pasado casi inadvertido. En él se mencionaba mencionaba la existencia existencia de un compuesto compuesto superconductor superconductor cuya temperatura crítica era cercana a los 40K. Este trabajo, que le valió el premio Nobel un año después a sus autores, K. A. Müller y J. C. Bednorz del Laboratorio IBM de Zurich, constituyó el inicio de una verdadera revolución científica. Una buena cantidad de grupos de inv investi estig gació ación n ingr ngresar esaron on desd desdee ento entonc nces es a las las fila ilas de la superconductividad. Los resultados, hasta la fecha de escribir este pról prólo ogo, go, han han sid sido rea ealm lmen ente te not notabl ables: es: se han han obt obteni enido ya superconductores a temperaturas críticas por arriba del nitrógeno líquido y las posibles perspectivas tecnológicas están a la vista y parecen ilimitadas. Desd esde el punto de vista cient entífico, la superconductividad pasó de ser un tema de poco interés desde el punto de vista aplicado, para convertirse a un tema primordial. El libro del doctor Fernando Magaña es la primera obra en idioma cast castel ella lano no que que trat trata, a, en form formaa acce accesi sibl blee al gran gran públ públic ico, o, el fenómeno de la superconductividad. La mayoría de las personas inte intere resa sada dass en tema temass cien cientí tífi fico cos, s, y aun aun los los miem miembr bros os de la comunidad científica, se habían interesado poco en el tema de la superc erconduct uctividad hasta que las notic oticiias y repo eportajes int interna ernaci cion onal ales es al resp especto ecto despe esperrtaro taron n su cur curiosi iosida dad. d. La supe superc rcon ondu duct ctiv ivid idad ad,, que que se habí habíaa cons consti titu tuid ido o en un tema tema de especialistas, de momento se convirtió en materia de interés para el gran público. El libro del doctor Fernando Magaña viene a ocupar un lugar muy importante en la bibliografía científica de habla hispana al presentar la superconductividad de manera amena y atractiva al lector interesado, lego en la materia. Magaña es un investigador que ha trabajado ya por muchos años en el campo de la superconductividad. El número y la calidad de sus trabajos le da la autoridad suficiente y la soltura en el tema que se demuestra en varias partes del libro. Asimismo, la alta calidad científica del autor le permite presentar, en términos sencillos, conceptos que podrían ser complicados. Sin duda el lector del presente libro encontrará un texto ameno, interesante, que le proporcionará gran cantidad de

información sobre la superconductividad, desde su trayectoria histórica hasta su desarrollo actual. La superconductividad ha producido ya importantes cambios en la ciencia que aún no hemos podido valorar totalmente. Muchos de los hábitos de la comunidad científica se han transformado por la presencia de este nuevo fenómeno. Al momento no sabemos cuál va a ser la trayectoria futura, pero, por ejemplo, la superconductividad ha alterado la manera en que los científicos se comunican. De tal modo que la mayoría de los trabajos actuales se leen en forma de preimpreso en lugar del tradicional artículo publicado. Éste es un campo en el que los artículos son ya, de entrada, obsoletos. Al mismo tiempo, la superconductividad ha permitido que un experimento, que en 1987 le valió el premio Nobel a sus autores, lo hayan podido realizar en sus laboratorios, en el mismo año, estudiantes de preparatoria. Éste es un caso sin precedente en la ciencia y seguramente nos coloca ante una nueva perspectiva: la posibilidad de que los estudiantes  jóvenes se familiaricen, desde el principio de sus estudios, con experimentos e ideas científicas de frontera. Por eso, el libro del doctor Fernando Magaña es un instrumento invaluable para todos aquellos que se interesan en el tema de la superconductividad y que desean informarse de las posibilidades de realizar investigaciones sobre dicho tema. Escrito de manera estupenda, este libro seguramente interesará a muchos futuros investigadores en el desarrollo de esta importantísima área de la ciencia. MIGUEL JOSÉ YACAMÁN

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A una década del boom causado por el descubrimiento de los superconductores de altas temperaturas (y aquí convendría aclarar que estamos hablando de temperaturas tan gélidas como -100°C, lo cual sin embargo eliminó el prejuicio de que la superconductividad sólo podría existir muy cerca del cero absoluto) hemos aprendido algunas lecciones importantes. Una, que las teorías científicas tienen cada vez más corta duración, aun la famosísima y laureada de Bardeen, Cooper y Schrieffer no resultó aplicable a los nuevos semiconductores. Otra, que, como la lechera, no debemos vender las aplicaciones tecnológicas de un nuevo descubrimiento científico hasta haberlo "ordeñado" exhaustivamente, el maravilloso mundo que nos prometía trenes flotantes sobre campos magnéticos producidos por superconductores no ha arribado... todavía. Una tercera lección es que no debemos nunca limitarnos a seguir los caminos lógicos e iluminados por la ortodoxia reinante para intentar nuevos descubrimientos. Recuerdo que a principios de los años

ochenta asistí a un coloquio en Florida, EUA, que impartía Mathias (un profeta de la superconductividad en esa época). Le pregunté entonces acerca de experimentos en los que no usaban metales sino óxidos como superconductores. Mathias los descartó con una sonrisa. Esto me recordó una anécdota de un testigo presencial del regaño de Wolfgang Pauli a sus alumnos Uhlenbech y Goulsmidth cuando le anunciaron que iban a proponer el "absurdo" concepto de que el electrón tenía spin, o sea, un momento angular semientero. Eppure... el spin semientero de los componentes de la materia y los superconductores de alta temperatura se mueven. Y en el segundo caso estoy seguro que se descubrirán nuevos superconductores y cambiarán la tecnología (y la economía) del próximo milenio. ¿Dónde aparecerán?, tal vez donde menos los esperamos. La única predicción segura en la ciencia es que sus avances continuarán siendo impredecibles. Me hago estas consideraciones al leer la segunda edición del libro de Luis Fernando Magaña a casi un decenio de aparecida la primera. El libro, que fue el primero en español acerca de este tema, no ha perdido ninguna de sus cualidades y sigue siendo esencial para la bibliografía de difusión científica en nuestra lengua. Con la misma frescura, interés y amenidad de la primera edición, Fernando Magaña combina dos cualidades: la del investigador original que contribuye al desarrollo de su disciplina y la del divulgador capaz de dialogar y atraer al público en general a un tema de alta complejidad técnica y científica. Lo consigue recurriendo a un estilo ameno y ligero, sin que esto signifique que se aleja del fondo real del tema. Si bien no es excepcional que un científico sea capaz de dialogar con personas ajenas a su disciplina y transmitir información útil en forma accesible, tampoco es del todo común. Esto requiere de dos cualidades que Fernando Magaña posee: la primera, conocer a fondo la materia, pues sólo puede presentar en forma correcta y sencilla un tema científico aquel que lo conoce en toda profundidad, y la segunda, el don de comunicar y presentar en forma atractiva los temas que desarrolla Los superconductores en su segunda edición continuará atrayendo y ayudando a nuevas generaciones de  jóvenes a este fascinante campo de estudio. OCTAVIO NOVARO PEÑALOSA

P R E F A C I O

La superconductividad es uno de los descubrimientos más fascinantes de la ciencia del siglo XX. Pertenece a la familia de descubrimientos de la física capaces de cambiar la manera de vivir de la humanidad. Su gama de aplicaciones es amplísima, pero

abarca esencialmente tres tipos: la generación de campos magnéticos intensos, la fabricación de cables de conducción de energía eléctrica y la electrónica. Dentro del primer tipo tenemos usos tan espectaculares como la fabricación de sistemas de transporte masivo levitados, esto es, trenes que flotan sobre sus rieles sin tener fricción con ellos, haciendo factible alcanzar las velocidades que desarrollan los aeroplanos. En el segundo está la posibilidad de transmitir energía eléctrica desde los centros de producción, como presas o reactores nucleares, hasta los centros de consumo, sin pérdidas de ningún tipo en el trayecto. Para el tercer tipo podemos mencionar la posibilidad de fabricar supercomputadoras extremadamente veloces. Es muy probable que para los primeros años del siglo XXI atestiguaremos, de nuevo, la influencia de un descubrimiento científico en la manera de vivir del ser humano. Esto se puede afirmar, en especial, a raíz del hallazgo en 1986 de los materiales superconductores cerámicos que tienen temperaturas de transición al estado superconductor superiores a la temperatura de ebullición del nitrógeno líquido (que es, aproximadamente, de 77 Kelvin o, lo que es lo mismo, -196°C. Se utiliza la palabra Kelvin para definir la temperatura absoluta), lo que significa una gran simplificación en la construcción de los aparatos en que se emplee el fenómeno de la superconductividad, al compararlas con las temperaturas de transición más altas conocidas anteriormente de 23 Kelvin. Pero, ¿qué es la superconductividad? Es un estado de la materia, como lo es el estado líquido o el estado sólido, en el cual no existe resistencia eléctrica. Esto significa que no hay disipación de energía al pasar corriente eléctrica por un material superconductor. Además, no permite que el campo de fuerza de un imán penetre en su interior (esto último se conoce como efecto Meissner). Esta combinación de efectos eléctricos y magnéticos recibe el nombre de estado superconductor.

Su descubrimiento se remonta a principios del siglo XX, en 1911, y está íntimamente ligado a la obtención de muy bajas temperaturas (cercanas al cero absoluto) en el laboratorio. Fue el doctor H. K. Onnes (quien nació en 1856 y murió en 1926), de la Universidad de Leyden, Holanda, su descubridor. El doctor Onnes obtuvo el premio Nobel de Física en 1913 "por sus investigaciones de las propiedades de la materia a bajas temperaturas que condujeron, entre otras cosas, a la producción de helio líquido". Había logrado, en 1908, licuar el helio y este hecho lo llevó a su descubrimiento de la superconductividad en el mercurio al enfriarlo a la temperatura del helio líquido (-269°C, aproximadamente). No fue sino hasta 1957 que pudo entenderse el origen del fenómeno, al menos en lo que respecta a lo que ahora conocemos

como superconductores convencionales (para distinguirlos de los descubiertos más recientemente, los superconductores cerámicos), cuando. J. Bardeen (fallecido en 1991), L. Cooper y R. Schrieffer enunciaron su teoría de la superconductividad, que ahora se conoce como teoría BCS, en su honor. A Bardeen, Cooper y Schrieffer se les otorgó el premio Nobel de Física en 1972 por su teoría, que se basa en la existencia de los llamados pares de Cooper, que son parejas de electrones ligados entre sí y que se forman, según la teoría BCS, por la interacción atractiva de dos electrones inducida por un fonón. En 1986, J. C. Bednorz y K. A. Müller, en un laboratorio de investigación de la compañía IBM en Zurich, Suiza, hicieron el descubrimiento de los materiales superconductores cerámicos que han alcanzado ya temperaturas de transición superconductoras por arriba de la temperatura de ebullición del nitrógeno líquido (de hecho, ya se tienen temperaturas de transición por arriba de los 134 Kelvin) y que hace ya muy atractiva y factible la utilización de los materiales superconductores, con todas sus maravillosas propiedades, en la vida diaria del ser humano. Por su descubrimiento, a J.C. Bednorz y K. A. Müller se les otorgó el premio Nobel de Física de 1987. Aunque ya se sabe con certeza que en estos materiales (como en los materiales superconductores convencionales) existen los pares de Cooper, que son los responsables del estado superconductor, todavía no se conoce el mecanismo (o combinación de mecanismos) de su formación. En este trabajo se pretende describir, de manera sencilla, lo que es el fenómeno de la superconductividad, con sus principales características y aplicaciones. Las partes en forma de transcripción y en tipo menor tratan temas destinados a personas que saben un poco de mecánica cuántica o de física del estado sólido, y pueden ser excluidas de la lectura sin perder continuidad. Por último, es necesario mencionar que el descubrimiento y estudio de los superconductores, con la secuela de todas sus enormes y fascinantes posibilidades de aplicación y su correspondiente efecto económico, constituye uno de los ejemplos más claros de que una de las inversiones más redituables que puede realizarse en cualquier país es la investigación. LUIS FERNANDO MAGAÑA SOLÍS México, D.F., a 28 de febrero de 1997 

I . ¿ Q U É E S L A S U P E R C O N D U C T I V I D A D ?

HISTORIA EL DESCUBRIMIENTO de la superconductividad es uno de los más sorprendentes de la historia de la ciencia moderna. Está íntimamente ligado con el interés de los físicos del siglo XIX en licuar todos los gases conocidos en aquel tiempo. Era ya bien sabido que la inmensa mayoría de los gases sólo podrían licuarse a temperaturas muy por debajo de cero grados centígrados. La licuefacción de los gases permitiría estudiar los fenómenos que se presentan en los materiales a temperaturas muy bajas. Un par de años antes de la guerra de EUA contra México, esto es, en 1845, Michael Faraday de la Royal Institution de Londres pudo, finalmente, perfeccionar una técnica para licuar gases que 23 años antes había encontrado en forma accidental. Sin embargo, esta técnica no resultaba fácil para la licuefacción del helio (He), del hidrógeno (H), del oxígeno (O 2), del nitrógeno (N2), del metano (CH4), del monóxido de carbono (CO), ni del óxido nítrico (NO), que eran los únicos gases que faltaban por licuar de todos los que se conocían en aquella época y, en consecuencia, tampoco el aire había sido licuado. Sin embargo, para 1867 el francés Luis Cailletet fue el primero en licuar oxígeno (90.2K o -182.96°C) y realizar descubrimientos que mostraron la posibilidad de licuar el aire, que a la postre dieron origen al método que permitió licuar de manera sencilla y adecuada el gas helio. En el mismo año de 1877, y siguiendo un método diferente del de Cailletet, el suizo Raoul Pictet también pudo licuar oxígeno. Para 1898, James Dewar de la Royal Institution de Londres pudo licuar hidrógeno, que tiene una temperatura de ebullición de 20.8K, que corresponde aproximadamente a -252.36°C. Fue diez años después, en 1908, cuando Heike Kamerlingh Onnes pudo, por primera vez en el mundo, obtener helio líquido que tiene una temperatura de ebullición de 4.22K, recuérdese que el cero absoluto equivale a -273.16°C. Este logro se realizó en la universidad de Leyden, Holanda y abrió el paso a Onnes para su descubrimiento de la superconductividad.

Figura 1. Heike Kamerlingh Onnes. Descubridor de la superconductividad en 1911.

Con el helio líquido Kamerlingh Onnes pudo ya disponer de un baño térmico a muy bajas temperaturas y se dispuso a investigar las propiedades de la materia a esas temperaturas. Seleccionó, como uno de los temas de sus investigaciones a bajas temperaturas, el comportamiento de la resistividad eléctrica de los metales. Esto se debió a que la medición de esta propiedad se puede realizar con relativa facilidad a cualquier temperatura y, también, a que el tema de la resistividad eléctrica de los metales era, ya en aquel tiempo, de considerable importancia. Las teorías existentes en esos tiempos sobre la resistividad eléctrica de los metales se encontraban en un estado bastante rudimentario. Se pensaba que eran probables cualquiera de las tres posibilidades mostradas en la figura 2 para el comportamiento de la resistividad al disminuir la temperatura.

Figura 2. Comportamientos posibles del valor de la resistividad eléctrica de un metal al disminuir su temperatura, de acuerdo con las ideas prevalecientes alrededor de 1908.

Se decía que la curva A de la figura 2 ocurriría si la resistencia eléctrica se debía completamente a la dispersión que los electrones sufrían por las vibraciones de la red atómica. Se esperaba que la curva B pudiera ocurrir si las dispersiones de los electrones por las impurezas que estuvieran presentes fuesen importantes. La curva C se produciría si los electrones de conducción, esto es, los electrones libres de moverse por el metal, disminuyeran rápidamente al disminuir la temperatura. Esto último sería posible, se pensaba, si al disminuir la temperatura, y con ella la energía de movimiento de los electrones, éstos pudieran ir quedando atrapados alrededor de los iones en el metal. Kamerlingh Onnes se dispuso a averiguar, por medio de la experimentación, cuál era la verdadera variación de la resistividad con la temperatura. Para comenzar, decidió examinar la primera hipótesis. Para esto seleccionó el mercurio para estudiarlo, porque era el metal más puro que podía obtenerse en esa época. Cuando observó que la resistividad eléctrica del mercurio a una temperatura inferior a 4.22K era menor, por un factor de 10 -11, que su valor correspondiente a una temperatura un poco arriba de 4.22 K, pensó que había verificado la validez de la hipótesis A de la figura 2. Investigaciones posteriores le mostraron a Onnes que la resistividad no disminuía de manera continua, como se indica en la curva A de la figura 2, sino que desaparecía muy abruptamente a una temperatura de 4.15K. Por otro lado, también observó que este comportamiento no se alteraba al introducir impurezas en la

muestra de mercurio. Bien pronto se dio cuenta de la existencia de un nuevo estado del mercurio, en el cual no había resistividad eléctrica. A este nuevo estado lo llamó estado superconductor. Así  nació el estudio de los superconductores. LOS

MATERIALES SUPERCONDUCTORES

La transición del estado normal al estado superconductor puede ser tan bien marcada como que el cambio tenga lugar en un intervalo de un diezmilésimo de 1 K. En el cuadro 1 se muestra un conjunto de materiales superconductores con sus correspondientes temperaturas de transición. Nótese el enorme salto en el valor de T c  cuando empezaron a prepararse aleaciones con tierras raras (como el itrio), con cobre y oxígeno. Hay algunas características de los materiales superconductores del tipo metálico (primera parte del cuadro 1, que no cambian con la transición al estado superconductor, entre ellas podemos señalar las siguientes: 1) El patrón de difracción de los rayos X no cambia. Esto indica que

no hay cambio en la simetría de la red cristalina. Tampoco hay cambio en la intensidad del patrón de difracción, lo que indica que prácticamente no hay cambio en la estructura electrónica. 2) No hay cambio apreciable en las propiedades ópticas del material,

aunque éstas están usualmente relacionadas con la conductividad eléctrica. 3) En ausencia de un campo magnético aplicado sobre la muestra,

no hay calor latente en la transición.

4) Las propiedades elásticas y de expansión térmica no cambian en

la transición.

Por otro lado, hablando de los materiales de la primera parte del cuadro 1, hay algunas propiedades que cambian en la transición al estado superconductor como: a) Las propiedades magnéticas (que cambian radicalmente). En el estado superconductor puro prácticamente no hay penetración de flujo magnético en el material; b) el calor específico, que cambia discontinuamente a la temperatura de transición. En presencia de un campo magnético se produce también un calor latente de la transformación; c) todos los efectos termoeléctricos desaparecen en el estado superconductor, y d) la conductividad térmica cambia discontinuamente cuando se

destruye la superconductividad en presencia de un campo magnético. CUADRO 1.

Sustancia

Temperatura crítica (K)

W ( wolframio )

~0.01

Ir ( iridio )

0.014

Ti ( titanio )

0.39

Ru ( rutenio )

0.49

Zi ( zirconio )

0.55

Cd ( cadmio )

0.56

Os ( osmio)

0.66

U ( uranio )

0.68

Zn ( zinc )

0.88

Mo ( molibdeno )

0.92

Ga ( galio )

1.09

Al ( aluminio )

1.19

Th ( toi-io )

1.37

Re ( renio )

1.70

In ( indio )

3.40

Sn ( estaño )

3.72

Hg ( mercurio )

4.15

Ta ( tantalio )

4.48

V ( vanadio )

5.30

La ( lantano )

5.91

Pb ( plomo )

7.19

Tc ( tecnecio )

8.20

Nb ( niobio )

9.46

 Aleación

V3 Ga

15.00

V3 Si

17.10

Nb3 Sn

18.30

Nb3 Al

18.80

Nb3 Ga

20.30

Nb3 Ge

23.30

Ba La4 Cu5 O13.4

35.00

YBa2 Cu3 O7

90.00

YBa4 Cu5 Ox

98.00

Tl2 Ba2 Ca Cu2 O8

99.00

Bi2 Sr2 Ca2 Cu3 O10

110.00

Tl2 Ba2 Ca2 Cu3 O10

125.00

Hg Ba2 Ca2 Cu3 O8+x

133.00

La clase de aleaciones que se señalan en los últimos lugares del cuadro 1 son del tipo cerámico y de reciente descubrimiento. No se esperaba que materiales de este tipo pudieran tener temperaturas de transición al estado superconductor tan elevadas. Por ello es que no se habían explorado con anterioridad. A principios de 1987 comenzó a informarse sobre temperaturas de transición tan altas como las mostradas al final del cuadro 1, a partir del compuesto cerámico BaLa4 Cu5 O13.4, que había sido sintetizado y dado a conocer en 1986. Estos nuevos materiales son bastante complicados, en su estructura y propiedades. Su estudio y comprensión se ha ido realizando con bastante dificultad desde su descubrimiento. Aún, no se entiende claramente cómo ocurre la transición al estado superconductor. Hay indicios de que es posible lograr una temperatura de transición aún más elevada que las indicadas en el cuadro 1. Parece ser que el oxígeno desempeña un papel crucial en la aparición del estado superconductor y en el alto valor de la temperatura crítica, junto con el cobre. También se empieza a tener la certeza de que el efecto de dimensionalidad es muy importante. Esto quiere decir que en estos materiales los fenómenos dominantes para la superconductividad ocurren en dos dimensiones. Este espacio bidimensional corresponde a las capas de la estructura del material donde se encuentran el cobre y el oxígeno. La obtención de este tipo de materiales superconductores se inició en Suiza, China y EUA, la tecnología que implica su preparación es sencilla y está al alcance de los países del llamado Tercer Mundo, esto es, países que, cómo México, no tienen gran desarrollo industrial. Sin embargo, la investigación relacionada con la creación de nuevos materiales cerámicos superconductores de una temperatura de transición al estado superconductor cada vez más alta requiere una gran inversión y un esfuerzo conjunto y coordinado de científicos de diversas especialidades. Esta conjunción y coordinación de esfuerzos es difícil de lograr en nuestro país por el número relativamente bajo de científicos que tenemos.

Figura 3. Heike Kamerlingh Onnes en su laboratorio, frente a su licuefactor de helio

En el Instituto de Investigaciones en Materiales y en el Instituto de Física, ambos de la Universidad Nacional Autónoma de México, se ha logrado la preparación de estos materiales muy poco después de su descubrimiento. Sin embargo, a diez, años de este importante hallazgo, muy pocos investigadores en México permanecen trabajando en este campo. Las investigaciones en la aplicación de estos materiales ni siquiera se iniciaron (salvo por unos pocos casos de esfuerzos individuales que no han podido continuarse), a pesar de que el universo de las aplicaciones tecnológicas de los superconductores es amplísimo, como veremos con detalle más adelante. SUS

DIFERENCIAS

Existen diferencias importantes entre los superconductores que permiten clasificarlos en dos grandes grupos. Ciertos metales; en particular los que tienen bajas temperaturas de fusión y son mecánicamente suaves y de fácil obtención en un alto grado de pureza y libres de esfuerzos mecánicos internos, exhiben semejanzas en su comportamiento en el estado superconductor. Estos materiales superconductores reciben el nombre de superconductores ideales, superconductores Tipo I, o suaves.

Por otro lado, el comportamiento de muchas aleaciones y de algunos de los metales superconductores más refractarios es complejo e individual, particularmente con respecto a la forma cómo resultan

afectados en el estado superconductor en presencia de un campo magnético. A estos superconductores se les ha dado el nombre de superconductores Tipo II, o si la superconductividad se conserva aun bajo la influencia de campos magnéticos intensos, se les conoce con el nombre de duros o de campo intenso. Para entender mejor estas diferencias, veamos cómo un campo magnético aplicado afecta a cada uno de los tipos de superconductores que hemos mencionado. Para ello describiremos brevemente lo que es el efecto Meissner-Oschenfeld. En 1933, W. Meissner y R. Oschenfeld encontraron experimentalmente que un superconductor se comporta de manera tal que nunca permite que exista un campo de inducción magnética en su interior. En otras palabras, no permite que un campo magnético penetre en su interior. El campo magnético en el interior de un superconductor no sólo está congelado, sino que vale siempre cero. Una consecuencia inmediata de lo anterior es que el estado de magnetización del material que pasa por la transición superconductora no depende de los pasos que se hayan seguido al establecer el campo magnético. Esta consecuencia marca también la diferencia fundamental entre lo que es un conductor perfecto y lo que es un superconductor. Por conductor perfecto entendemos un material cuya resistencia eléctrica es igual a cero. En tanto que un superconductor, además de presentar resistencia cero, presenta también el efecto Meissner-Oschenfeld. Se puede demostrar fácilmente que, en un conductor perfecto, el campo magnético tiene un valor constante, esto es, está congelado en su interior, pero no necesariamente vale cero, y esto trae como consecuencia que su estado de magnetización dependa necesariamente de los pasos, que se hayan seguido para magnetizarlo. Para entender más claramente la diferencia entre un conductor perfecto y un superconductor; veamos qué ocurre cuando tratamos de magnetizar un conductor perfecto y cuando tratamos de magnetizar un superconductor. Consideremos primero al conductor perfecto, esto es, pensemos que la transición nos lleva únicamente a un estado de resistencia cero sin el efecto Meissner-Oschenfeld.

Figura 4. Penetración del campo magnético B, en el interior de un material considerado solamente como conductor perfecto (es decir que sólo presenta resistencia eléctrica igual a cero, pero no el efecto Meissner), al pasar por la temperatura de transición.

En ausencia de campo magnético externo, tomemos la muestra a una temperatura T  mayor que la temperatura de transición., Tc  al estado de resistencia cero del conductor perfecto (figura 4(a)). Luego, enfriemos la muestra a una temperatura T < T c , e introduzcamos un campo magnético (figura 4(b)). Como en el instante en que ocurrió la transición al estado de conductor perfecto el campo magnético en el interior de la muestra era cero, permanecerá con ese valor y, por tanto, el campo magnético será excluido del interior de la muestra. Finalmente, suprimamos el campo magnético aplicado, manteniendo la temperatura por debajo de T c (figura 4(c)). Obtendremos que el campo magnético en el interior de la muestra sigue siendo cero. Ahora tomemos la muestra nuevamente a una temperatura T > T c  pero con un campo magnético externo aplicado distinto de cero (figura, 4(d)). Después, enfriemos la muestra a una temperatura T  < T c  (figura 4(e)). El campo magnético en el interior de la muestra sigue siendo el mismo que había antes de enfriarla. Finalmente, suprimamos el campo magnético, aplicado (figura 4(f)). Lo que ahora ocurre es que se generan corrientes superficiales en la muestra de tal modo que el campo en el interior de ella tenga el mismo valor que tenía antes de bajar la temperatura a T < T c  .

Por lo anterior podemos afirmar que si la transición nos llevara simplemente a un conductor perfecto (esto es, a la ausencia del efecto Meissner-Oschenfeld en la transición), el estado de magnetización de la muestra dependerá de la manera en que se alcance el estado final. Ahora consideremos que la transición, además de llevar la muestra a un estado de resistencia eléctrica cero, nos indica la existencia del efecto Meissner-Oschenfeld.

Figura 5. Penetración del campo magnético, B, en el interior de un material que es un superconductor (es decir, que presenta resistencia eléctrica igual a cero y además el efecto Meissner), al pasar la temperatura de transición.

Primeramente, tomemos la muestra a una temperatura T > T c  sin la presencia de un campo magnético aplicado (figura 5(a)). Después, enfriemos la muestra hasta T < T c  e introduzcamos un campo magnético, como se indica en la figura 5(b). Por el efecto MeissnerOschenfeld se inducirán corrientes superficiales en la muestra de manera tal que el campo en su interior sea cero. Posteriormente, suprimamos el campo magnético aplicado (figura 5(c)). Las corrientes superficiales desaparecen y el campo magnético en el interior de la muestra es cero. Intentemos ahora el otro camino. Tomemos la muestra a una temperatura T > T c  en presencia de un campo magnético aplicado, como se ve en la figura 5(d). Después, enfriemos la muestra hasta una temperatura T < T c  (figura 5(e)). Tendremos que, por el efecto Meissner-Oschenfeld, se inducirán corrientes superficiales en la muestra de manera que el campo en el interior de ella sea cero.

Posteriormente, suprimamos el campo externo (figura 5(f)); Tendremos que las corrientes superficiales desaparecen y que el campo magnético en el interior de la muestra vale cero. Como acabamos de ver, debido al efecto Meissner-Oschenfeld, el estado de magnetización de la muestra no depende de la manera en que se llegue al estado final. Es claro que un superconductor es, además de un conductor perfecto, una sustancia en un estado en el que se presenta el efecto Meissner-Oschenfeld.

Figura 6. Walter Meissner. Descubridor del efecto que lleva su nombre en los superconductores.

Es necesario señalar que, si bien existe una clara diferencia entre lo que es un superconductor y un conductor perfecto, los únicos conductores perfectos que se han encontrado hasta ahora en la naturaleza son, precisamente, los superconductores. Aún no se descubren conductores perfectos solamente, es decir, materiales con resistencia cero y sin que presenten el efecto MeissnerOschenfeld.

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EL

L O S

S U P E R C O N D U C T O R E S I D E A L E S

CAMPO MAGNETICO CRÍTICO

TAMBIÉN correspondió a Heike Kamerlingh Onnes observar que a cualquier temperatura T, tal que T < T c  el estado superconductor podía ser destruido por la aplicación de un campo magnético con intensidad mayor que cierto campo magnético crítico. Por otro lado, también notó que a cualquier temperatura T < T c  en ausencia de un campo magnético, el estado superconductor podía destruirse aumentando la corriente por arriba de un valor crítico y, asimismo, que la temperatura de transición superconductora, T c  disminuía cuando la corriente que pasaba por el superconductor crecía. Los efectos de las corrientes eléctricas y de los campos magnéticos sobre el estado superconductor no son ajenos entre sí, ya que la disminución del valor de T c, con el aumento de la corriente, se debe al campo magnético que la corriente produce. Experimentalmente se encuentra que el valor del campo crítico depende de la temperatura, cayendo de un valor H o, a temperaturas muy bajas, hasta un valor de cero para la temperatura de transición T c.  Los datos experimentales revelan que la variación del campo crítico con la temperatura queda bastante bien descrita (dentro de 2% o 3%) por una parábola de la forma:

(1)

donde H c  es el campo magnético crítico y H o es el campo crítico extrapolado al cero absoluto. Cada material puede ser caracterizado por sus valores de T c  y de H o y, conociendo éstos, se puede utilizar la ecuación (1) para encontrar el campo crítico a cualquier temperatura. Es de hacer notar que las curvas experimentales de la variación del campo crítico con la temperatura no son exactamente parábolas y para describirlas de una manera más precisa de la ya señalada se requeriría un polinomio en potencias de la temperatura, que en general es de grado diferente de 2. Para la mayoría de los cálculos es suficiente con utilizar la ecuación (1). CUADRO 2.

Sustancia

H o ( Gauss )

Ir

20

Cd

30

Ga

51

Zn

53

Os

65

Ru

66

Al

99

Th

168

Tl

171

Re

199

In

293

Sn

309

Hg ( fase

β

)

340

Hg ( fase

α

)

411

Pb

803

Ta

830

W

1070

V

1370

Te

1410

La

1600

Nb

1944

U

2000

V3 Ga

20.8 x 10 4

V3 Si

17.10 x 104

Nb3 Sn

18.30 x 104

Nb3 Al

18.80 x 104

Nb3 Ge

36.0 x 10 4

Nb3 ( AlGe )

41.0 x 10 4

YBa2 Cu3 O7

90.0 x 10 4

Bi2 Sr2 Ca2 Cu3 O10

140.0 x 10 4

Tl2 Ba2 Ca2 Cu3 O10

220.0 x 10 4

El cuadro 2 muestra los valores del campo crítico de algunas sustancias para el valor extrapolado a T = 0 K. LA

ENERGÍA DE LA TRANSICIÓN

Hemos visto en el capítulo anterior que, en virtud del efecto Meissner-Oschenfeld, el estado de magnetización de un material en el estado superconductor depende sólo de la temperatura de la muestra y del campo magnético aplicado, y no de la manera en que se llega a esos valores. Es posible, por tanto, aplicar argumentos termodinámicos al estudio del comportamiento de un material en el estado superconductor utilizando como variables la temperatura y el campo magnético. Sabemos que para comprimir un gas en el interior de un cilindro a presión constante tenemos que realizar un trabajo ∆W = P ∆V, donde P es la presión y ∆V es el cambio en el volumen del gas contenido en el cilindro. Del mismo modo, cuando aplicamos un campo magnético a una muestra el trabajo realizado por unidad de volumen de la muestra es ∆W  = -HdM , el signo menos sólo indica que cuando la magnetización aumenta (dM >0 ) el trabajo se está realizando sobre el sistema. Con lo anterior se puede encontrar fácilmente el cambio en la energía libre del material al pasar de un estado a otro. Este cambio

está dado por el trabajo realizado por el campo magnético aplicado a la muestra. Se encuentra que la cantidad requerida de energía, a temperatura constante, para destruir el estado superconductor, y cuando en el estado inicial existe un campo magnético aplicado, es:

(2)

En la ecuación (2), µo, es una constante que vale 4 π X 10 -7 henry / metro y es la constante de permeabilidad magnética del vacío; H c  es el campo magnético crítico para una temperatura dada y ∆Gns es el cambio en la energía de la muestra al pasar del estado superconductor al estado normal, por medio de la aplicación de un campo magnético. Si inicialmente el campo magnético aplicado es cero, H c = 0, y la ecuación (2 nos da, para este caso, la energía total requerida para destruir el estado superconductor, tendremos que, por unidad de volumen, la diferencia de energía entre el estado normal y el estado superconductor es µ0H c(T)2  /2. Para tener una idea de la magnitud de la energía, hallemos su valor para el plomo y el aluminio. Si suponemos T = 0, para plomo, H c (0) = 803 Gauss y ∆Gns

= 2.5 x 104 erg/cm3 = 1.16 x 1016 ev/cm3.

Es muy ilustrativo pasar esta energía a ev / átomo, para comparar con las energías típicas de las partículas en el material. Tenemos que hallar el número de partículas de plomo en 1 cm 3. Para esto, recordemos que 1 mole de Pb tiene 207 gr y que la densidad del plomo es de 11.4 gr/cm 3. Por otro lado, el número de Avogadro es 6.03 x 10 23 átomos/mole. Con estos datos encontramos que en, 1 mole de plomo hay 3 X 10 22 átomos aproximadamente. De aquí que: ∆Gns

= 5 x 10-7 ev / átomo.

Ahora bien, la energía típica de un electrón en el interior de un metal se puede tomar como la energía de Fermi para ese metal. Para Pb es de aproximadamente 5 ev. Por otro lado, la energía típica de un ion en el material se puede tomar como K BΘD,donde KB es la constante de Boltzmann y QD es una constante típica del material que se llama la temperatura de Debye. Para Pb la energía típica de un ion resulta ser de 10 ev. De lo anterior podemos darnos cuenta de que la energía involucrada en la transición superconductora es mucho menor que la energía típica de una partícula en el metal. Veamos ahora el caso del aluminio. Para este metal la energía de transición al estado superconductor es de 1.4 x 10 -9 ev/átomo. La energía de Fermi para aluminio es de 1 ev aproximadamente y la energía típica de un ion resulta ser de 5.91 x 10 -2 ev/átomo. Nuevamente vemos que la energía de transición al estado superconductor, por partícula, resulta ser mucho menor que las energías típicas de las partículas en el metal. La magnitud de la energía para la transición al estado superconductor fue una de las pautas para el establecimiento de una teoría microscópica de la superconductividad. EL

DESORDEN

Sabemos, a partir de la termodinámica, que una medida del orden o del desorden en un sistema, la da el valor de la entropía. Si un sistema en un estado dado tiene un valor para la entropía mayor que el valor para el mismo sistema en otro estado, se dice que el segundo estado es más ordenado que el primero. De este modo, si los iones de un metal presentan un arreglo periódico, este estado tendrá menor entropía (y por tanto mayor orden) que el metal en estado líquido. Una de las primeras preguntas que surgieron cuando se descubrió la superconductividad fue si el estado superconductor es más ordenado (o desordenado) que el estado normal; se puede responder estimando el cambio en la entropía del material al pasar del estado normal al estado superconductor. Haciendo unos cálculos termodinámicos sencillos se puede demostrar que el cambio en el valor de la entropía por unidad de volumen al pasar del estado superconductor al estado normal, ∆Sns, está dado por:

Ahora bien, podemos hacer uso de la expresión de la variación del campo magnético crítico en función de la temperatura para hallar dH c  /dT, ecuación (1) y obtenemos que:

y por tanto, ∆Sns > 0, lo cual significa que la entropía en el estado superconductor, es menor que la entropía en el estado normal. En otras palabras, el estado superconductor es más ordenado que el estado normal del material. Sin embargo, ya vimos anteriormente que una de las propiedades del material que no cambia al pasar al estado superconductor es la estructura cristalina, lo que significa que el mayor ordenamiento que se presenta en el material al pasar al estado superconductor no se debe a un mayor ordenamiento de la red cristalina, ya que ésta no sufre cambio alguno. El ordenamiento tiene que ser de la otra componente del material, de la parte que corresponde a los electrones. Podemos esperar que los electrones lleguen a un estado de mayor ordenamiento del que tienen en estado normal. Este hecho también dio una pauta para el establecimiento de una teoría microscópica de la superconductividad. EL

CALOR ESPECÍFICO

Al igual que en un metal en el estado normal, el calor específico de un metal en el estado superconductor consiste, básicamente, en una contribución de la red de iones del metal (o red cristalina), C r, y una contribución electrónica, C el . De este modo, siC es el calor específico de un metal en el estado normal: C = C r  + C el . A bajas temperaturas se tiene que C el  = γ T donde γ   es una constante para cada material, T  es la temperatura medida en Kelvin y C r  =  A(T  /ΘD)3, donde  A es una constante numérica para todos los metales y ΘD es la temperatura de Debye. Experimentalmente se encuentra que la contribución electrónica al calor específico en el estado superconductor está dada por:

donde B y D son constantes del material. Esta variación exponencial de la contribución electrónica al calor específico es radicalmente distinta de la correspondiente en el estado normal y también, por cierto, típica de la contribución electrónica al calor específico de un material semiconductor. Ésta era otra indicación de que algo extraordinario estaba ocurriendo con los electrones al pasar el material al estado superconductor. Esta variación del calor específico, en su parte correspondiente a los electrones, también sentó una importante pauta para el establecimiento de una teoría microscópica de la superconductividad.

Figura 7. Variación del calor específico del estaño. El aplicado es cero para el caso superconductor, S . El aplicado es mayor que el campo magnético crítico para como función de la temperatura. Nótese el salto en específico.

LOS

campo magnético campo magnético el caso normal, N , el valor del calor

IONES Y LA TRANSICIÓN

Una indicación de que los iones del metal influyen de alguna manera en el cambio de comportamiento de los electrones al pasar al estado superconductor la dio el que fue llamado efecto isotópico. Para entenderlo, recordemos que un isótopo es una variedad de un elemento químico que, teniendo el mismo número de protones, en el núcleo atómico, difiere del elemento químico en el número de

neutrones que se encuentran en el mismo núcleo. El efecto isotópico, descubierto en 1950, consiste en que, para un mismo elemento, la temperatura crítica varía de una manera que es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa del isótopo de ese elemento. Así, aunque la red atómica misma no muestra ningún cambio en los superconductores ideales, resultó muy claro que debía desempeñar un papel importante en el cambio de comportamiento de los electrones de conducción en el metal. SUPERELECTRONES De lo que hemos visto anteriormente es claro que algo ha de ocurrir con los electrones del material en estado normal para que se dé el paso al estado superconductor, algo que los vuelva superelectrones, de manera que nada los disperse dentro del material. Pero es claro que no dejan de ser electrones, ya que al subir la temperatura por arriba de la temperatura crítica del material, al aplicar un campo magnético con una intensidad mayor que la del campo magnético crítico correspondientes, o al aplicar una corriente por arriba de la corriente crítica, el material vuelve a su estado normal y, por tanto, también los electrones. Para entender cómo podemos tener superelectrones, imagine que va caminando por un sendero que presenta obstáculos a su paso: grandes pedruscos, agujeros, etc. Le cuesta trabajo avanzar pues cae al tropezar con los diversos obstáculos, o bien los tiene que rodear. Existe una resistencia a su avance, pues resulta lento y penoso y le cuesta mucha energía, tanto más como mayor número de obstáculos tenga que superar. Ahora suponga que no camina solo, sino en parejas. Así, cuando un miembro de la pareja caiga en un bache, el otro lo ayudará a salir y podrán reanudar su marcha. Así, brazo con brazo, será más fácil sortear los obstáculos del camino. Claro que puede darse el caso en que ambos caigan víctimas de sendos obstáculos y su avance se vea totalmente frenado, al menos por un tiempo breve. Ahora supongamos que en lugar de avanzar en parejas lo hace en tercetos, en cuartetos, en quintetos, etc. Será aún más difícil que el terceto, cuarteto, el quinteto, etc., sea detenido en su camino, porque tendrían que caer todos los elementos del conjunto simultáneamente, víctimas de los obstáculos. Como consecuencia, al trasladarse brazo con brazo los más que se puedan; disminuirá la resistencia a nuestro avance. Lo señalado en el párrafo anterior puede considerarse válido para el caso de los electrones y la manera de disminuir la resistencia del material a su paso. Podemos pensar que los superelectrones son los electrones en un estado en el que se encuentran unidos entre sí en grandes conjuntos para su avance en el material, de manera que no pueden ser dispersados por nada dentro de él. Así, podemos decir

que la transición al estado superconductor lleva a los electrones a amarrarse en grandes enjambres que no encuentran resistencia a su paso por el material, que nos lleva a un estado en el que los electrones se atraen mutuamente. ¿Es esta atracción entre dos electrones posible? La respuesta es sí y la analizaremos con más detalle en la siguiente sección. ELECTRONES

QUE SE ATRAEN

En esta sección se dará un argumento de plausibilidad acerca de la ocurrencia de una interacción atractiva entre dos electrones en el metal y se presentará un resumen de lo que se conoce como el Par  de Cooper , que constituyó el paso teórico que abrió el camino hacia la teoría microscópica de la superconductividad dada por Bardeen, Cooper y Schrieffer en 1957. Veamos primero cómo está constituido el metal cristalino (recuérdese que el término cristalino se refiere al hecho de que existe en el metal un arreglo periódico de los iones que lo constituyen). Tenemos iones y electrones. Los iones son los átomos, inicialmente neutros, del elemento, pero desprovistos de sus electrones más exteriores, de manera que el resto, esto es, el núcleo y los demás electrones que permanecían ligados, constituyen los iones en el metal. Queda claro, por tanto, que los iones tienen carga positiva. Surge la pregunta de cómo ese conjunto de iones positivos que presentan repulsiones de tipo coulombiano, por tener el mismo signo de carga, puede constituir una estructura estable. La respuesta radica en el papel de los electrones en el metal. Los electrones, que cada átomo cedió para formar el metal, son compartidos por todos los iones. De esta manera, los electrones pueden viajar libremente por el metal a través de los iones positivos. Los electrones, que forman un gas dentro del metal enmascaran o apantallan la carga de cada ion positivo; de esta manera, cada ion positivo se siente atraído hacia una nube de carga negativa y la interacción efectiva entre los iones, mediada de este modo por los electrones; resulta de atracción. Claro que para separaciones muy cortas entre los iones, la nube electrónica que rodea a cada ion es muy delgada, de manera que la nube electrónica no alcanza a enmascarar (o a apantallar) la carga del ion, y la interacción, para estas distancias cortas entre dos iones, es de repulsión. En la figura 8 vemos una gráfica del potencial efectivo de interacción típico en función de la distancia, para dos iones en un metal. Existe un mínimo en la energía de interacción que es mucho más profundo que los demás mínimos presentes. Este mínimo corresponde

usualmente a la separación de equilibrio de los iones. Alrededor de este mínimo se encuentran vibrando los iones del metal, en constante agitación.

Figura 8. Potencial efectivo de interacción típico entre dos iones de metal. En este caso el metal es aluminio. El cálculo, de primeros principios de esta interacción se realizó en el Instituto de Física de la UNAM.

Es usual, en el estudio de los sólidos, utilizar lo que se llama la aproximación armónica. Esta consiste, fundamentalmente, en hacer un desarrollo en serie de Taylor del potencial de la interacción efectiva entre una pareja de iones en el metal. De esta manera, si V(R) es el potencial de interacción entre dos iones del metal y hacemos el correspondiente desarrollo, alrededor de la posición de equilibrio que llamaremos R0: V(R) = V(R0 ) + V'(R0 ) (R - R0 ) + V'' (R0 ) (R R0 )2 /2+ ..., donde V' (R0), V"(R0) son, respectivamente, la primera y la segunda derivadas del potencial con respecto a la separación de los iones calculadas en la posición de equilibrio, R0. Si suponemos oscilaciones pequeñas alrededor de la posición de equilibrio (lo cual puede satisfacerse para temperaturas lejanas y por abajo de la temperatura de fusión del metal), podemos despreciar todos los términos de grado superior a 2. Por otro lado, dado que en R0 existe un mínimo, V'(R0) = 0, obtenemos que:

Pero V(R0) es una constante y el origen de medición del potencial puede ser elegido a nuestro arbitrio. Escojamos el origen de modo que V(R0) sea cero. Así: V(R) = V''(R0 )(R - R0 )2 /2 y esta expresión corresponde al potencial producido por un resorte, esto es, el potencial de un oscilador armónico. Podemos decir que, a temperaturas convenientes (muy por debajo de la temperatura de fusión del material), la forma efectiva en que dos iones interactúan dentro del metal es semejante a si estuvieran unidos por un resorte. Con esto queda claro el significado de la aproximación armónica. Dentro de esta aproximación podemos imaginar al metal como un arreglo periódico de iones donde cada ion queda unido a otro por medio de un resorte, como se muestra en la figura 9. De este modo la red queda como un arreglo tridimensional de osciladores armónicos. Así, las propiedades dinámicas de la red de iones en el metal puede ser estudiada analizando las propiedades dinámicas de la red tridimensional de osciladores armónicos acoplados (figura 9). Se sabe, de la mecánica clásica, que este tipo de arreglos de osciladores, al igual que la cuerda vibrante de una guitarra, presenta modos normales de vibración. Recuérdese que un modo normal de vibración es una manera de vibrar del sistema en el cual todas las partículas oscilan con la misma frecuencia. Cuando se hace el análisis, siguiendo los métodos de la mecánica cuántica, de la dinámica de la red de osciladores armónicos, se encuentra que la energía de vibración está cuantizada. El cuanto (en latín quantum) de energía de vibración del arreglo tridimensional de osciladores recibe el nombre de fonón, en analogía al de fotón, que corresponde al cuanto de vibración del campo electromagnético que da origen a la radiación luminosa. De esta manera, cuando hablemos de fonones, nos estaremos refiriendo a la energía de vibración de la red de iones de la red cristalina

Figura 9. Esquema que representa la aproximación armónica para un sólido.

Resulta claro que cuando hablamos de la interacción electrón-fonón estaremos, en esencia, hablando de las colisiones de los electrones con los iones, puesto que al chocar los electrones con los iones se generan vibraciones en el arreglo tridimensional de osciladores. Por otro lado, las oscilaciones en la gráfica de la interacción efectiva entre dos iones mostrada en la figura 8, para distancias grandes (mayores que la correspondiente al primer mínimo) tienen una frecuencia bien definida e igual a 2K F  donde K F  es el vector de onda de Fermi. Estas oscilaciones, que se deben al apantallamiento electrónico, reciben el nombre de oscilaciones de Friedel en honor a quien las estudió por primera vez. De lo señalado anteriormente para la interacción efectiva entre iones, resulta muy claro cómo los iones de la red cristalina pueden llegar a tener una interacción efectiva de atracción por la acción de los electrones y presentar, de este modo una estructura estable para el metal. Si ahora nos preguntamos cómo podemos llegar a tener una interacción de atracción entre los electrones de un metal para alcanzar el estado superconductor, de manera natural pensaremos que tiene que ocurrir por la acción de los iones de la red cristalina.

Esta conclusión se ve reforzada por la existencia del efecto isotópico, que ya hemos mencionado en una sección anterior. Sabemos que en el vacío existe una repulsión entre electrones. En el interior de un metal, como ya vimos, tenemos un gas de electrones. De esta manera la interacción electrón-electrón se da en presencia de todos los demás electrones de conducción (o sea, los que tienen libertad de desplazarse por el metal, los que no están ligados a los núcleos). La presencia de los demás electrones es tomada en cuenta, con razonable precisión al estudiar los sólidos, a través de las aproximaciones conocidas como teoría de perturbaciones y teoría de respuesta lineal, por la utilización de una función dieléctrica. La función dieléctrica sirve para tomar en cuenta el efecto de apantallamiento electrónico. En el espacio físico, el de configuración, el potencial coulombiano de repulsión está dado por e2 /r, donde e es la carga electrónica y r  es la separación entre los electrones. Esta repulsión coulombiana queda representada en el espacio de Fourier por 4 p/q2. Cuando tomamos en cuenta la presencia de los demás electrones, la repulsión coulombiana entre un par de ellos pasa a ser 4π /[q2 e(q)]. Esto es, dividimos el potencial coulombiano entre la función dieléctrica, e(q), del gas de electrones. Es usual que tengamos e(q)> 1, lo que significa que la intensidad de la interacción entre los electrones se ve reducida en el espacio de Fourier. Aunque el signo de la interacción, no cambia, sino que sigue siendo repulsiva. Así queda muy claro que si es posible una interacción de atracción entre dos electrones en el metal, deberemos examinar el efecto de la red de iones sobre los electrones. Consideremos primeramente un electrón que viaja a través de la red cristalina, como se muestra en la figura 10. Este electrón va tirando de cada ion positivo a su paso, generando una onda de perturbación en la red. Ahora veamos con más detalle a un electrón dentro de la red cristalina (figura 10). Este electrón moverá hacia él a los iones vecinos creando, localmente, un aumento en la densidad de carga positiva, de manera tal que otro electrón que pase por la vecindad de esta región podrá ser atraído por el desbalance de carga positiva existente. Tendremos así que la interacción efectiva entre los dos electrones es de atracción, por la mediación de la red. Podemos pensar que la interacción electrón-fonón-electrón puede ser responsable de una interacción de atracción entre dos, electrones.

Figura 10. Electrón que, al viajar, puede atraer a otro electrón por medio de la red de iones con lo cual puede dar lugar a un par de Cooper.

De hecho, en 1956 L. N. Cooper demostró que, de existir una interacción atractiva entre dos electrones en un metal, estos electrones pueden permanecer ligados el uno con el otro. También demostró que el radio del estado ligado de los dos electrones es del orden de 104 (varios miles de distancias interiónicas en la red cristalina), que es, prácticamente, una magnitud microscópica. Si pudiéramos llegar a un estado del material en que existieran pares de Cooper, es claro que tendríamos un superconductor ya que, por su enorme tamaño, habría una enorme cantidad de traslapes entre los pares de Cooper, creándose gigantescos enjambres de electrones unidos que no verían resistencia a su paso. En relación con la atracción entre dos electrones como paso hacia el estado superconductor, en 1956 L. N. Cooper estudia y resuelve el siguiente problema, que marcó un paso muy importante en el entendimiento de la superconductividad y que es conocido actualmente como el par de Cooper. Cooper se pregunta que ocurriría si a un sistema de electrones que se encuentra llenando el mar de Fermi (recordemos que el mar de Fermi se refiere al conjunto de estados electrónicos ocupados hasta el nivel de la energía de Fermi), le añadiéramos dos electrones más, con la suposición de que los electrones del mar de Fermi se mantuvieran rígidamente en sus estados, de manera que estos estados no puedan ser accesibles; es decir, que están prohibidos a los dos electrones adicionales por el principio de exclusión de Pauli. En otras palabras, en este problema

se toma un mar de Fermi pasivo, o sea, no se hace caso de todas las interacciones y perturbaciones que dos electrones adicionales pudieran tener en los electrones que ocupan el mar de Fermi. El problema del par de Cooper constituye un problema ideal que, sin embargo, contiene todos los ingredientes importantes involucrados en el problema de la superconductividad. Constituye, esencialmente un problema de dos cuerpos que, sin embargo, toma en cuenta la presencia de los demás electrones. Los dos electrones que se agregan se suponen con energías muy cercanas a la energía de Fermi; pero por fuera de la superficie de Fermi asociada al metal. De este modo, la energía del estado base del nuevo sistema de N +2 0 partículas es E 0(N)+2E  , F  donde E (N) es la energía del estado base del sistema original de N electrones. Se hace la suposición de que los dos electrones adicionales interaccionan a través de un potencial de dos cuerpos V(X 1 - X  2) y se hace la aproximación de un gas de electrones libres para el estado inicial del sistema, que es una representación razonable para el estado normal de un metal. Se impone la condición de que los dos electrones introducidos son tales que han de tener ímpetus lineales de igual magnitud pero de sentido contrario y que tengan espines opuestos. La conveniencia de esta condición es la siguiente: el estado base del metal normal tiene ímpetu lineal igual a cero y espín igual a cero (para metales simples) y si no se impusiera esta condición el sistema de N  + 2; partículas exhibiría corriente y espín netos diferentes de cero. La interacción entre los electrones se toma como atractiva sin averiguar ni interesarse, por el momento, en el camino que lleve a ella, en cómo puede llegarse a dar esta atracción entre dos electrones en el material. Para entender mejor el modelo que se escoge para la interacción pasemos al espacio de Fourier, en donde denotaremos la interacción como V( K 1 - K 2). Consideremos la esfera de Fermi de radio K F correspondiente a la energía de Fermi E F, como se muestra en la figura 11 y alrededor de esta esfera, un cascarón esférico con un espesor de hw D, donde h es la constante de Planck dividida entre 2π y w D es la frecuencia de Debye. Nótese que el espesor del cascarón es mucho menor que el radio de la esfera de Fermi en virtud de las magnitudes de E F  y de hw D. El potencial se escoge de manera tal que V(K 1 - K 2 ) = 0, cuando K 1 y K 2 están fuera del cascarón de espesor hw D , y V(K 1 - K 2 ) = -V , donde V  es una constante positiva, si K 1 y K 2 están dentro del cascarón. Nótese que así, si K 1 y K 2 están ambas dentro

del cascarón esférico, la atracción entre los electrones del par es constante. Con este modelo, resolviendo el problema cuántico de la función de onda del par y el problema de valores propios de la energía del par, se encuentra que siempre existe un estado ligado, sin importar qué tan débil sea la atracción entre los electrones, esto es, sin importar qué tan pequeña sea la constante V  Se encuentra que la energía del estado ligado está dada por:

donde f= N(O)V , siendo N(O) la densidad de estados electrónicos para el nivel de Fermi. El valor de f  puede ser aproximado como  pn x 10-6, donde  p es la resistividad de alta temperatura y n es la densidad electrónica del material. El valor típico de f resulta de 0.3 y así vemos que E resulta ser