Los Numeros Racionales

Los Números Racionales

Universidad Central de Chile Carrera: Postítulo Mención en Matemática Asignatura: Didáctica de la Aritmética Profesora: Lorna Benavente Kennedy Alumno: Francisco Javier Oyarzun Retamal

Los Números Racionales ( ) Estos números racionales surgen por la necesidad necesi dad de expresar y resolver  problemas que no tienen solución en el conjunto c onjunto de los enteros, como por  . ejemplo la división de dos enteros; que el dividendo sea menor que el divisor  Es por esto que la definición de número racional es: ³Un número racional es todo número que pued e r e pr ese esentar se se como el  cociente d e dos enteros, enteros, con d enominador di stinto d e c ero´ . Se representa por el símbolo

Los Números Racionales ( ) Estos números racionales surgen por la necesidad necesi dad de expresar y resolver  problemas que no tienen solución en el conjunto c onjunto de los enteros, como por  . ejemplo la división de dos enteros; que el dividendo sea menor que el divisor  Es por esto que la definición de número racional es: ³Un número racional es todo número que pued e r e pr ese esentar se se como el  cociente d e dos enteros, enteros, con d enominador di stinto d e c ero´ . Se representa por el símbolo

Representación de los Números Racionales ( ) Representación según la recta numérica. numérica

Representación según teoría de conjuntos. conjuntos

El conjunto de los Números Racionales ( ) se subdivide en dos conjuntos los cuales son equivalentes, y estos son los Números decimales y los Números fraccionarios:

Las Fracciones o Números Fraccionarios: El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir  una totalidad en partes iguales, iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un depósito de gasolina o de algo.

-

Las partes de una fracción son las siguientes: Numerador:

indica indica el número número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero.

Línea Fraccionaria: Fraccionaria: Línea que separa a los dos enteros, sirve como una división Denominador: indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero.

Dentro

de las fracciones hay cuatro sub-divisiones y son las siguientes:

Fracciones Equivalentes

Las

fracciones equivalent es son aquell as fracciones que al  mul tipl icar o dividir numerador y d enominador el  val or d e l a fracción no cambia

Ejemplo:

Ejemplo:

Lectura de algunas Fracciones Fracción

Escritura

1/4

Un cuarto

1/5

Un uinto

1/2

Un medio

1/3

Un tercio

1/20

Un veinteavo

2/ 9

Dos novenos

23/140

Veintitrés ciento cuarentavo

R epresentación

grafica de algunas fracciones

1 2

5 8

3 5

5 6

=

=

=

=

=

=

=

Orden en los Números Racionales ( ) Los números racionales solamente se pueden ordenar cuando se encuentren como una fracción, ya que como número decimal no es posible establecer el mayor o el menor ya que estos números poseen cifras ilimitadas hacia la derecha. Para

ordenar los racionales se presentan dos casos:

a) Si los denominadores son iguales: En este caso será mayor la fracción que presente un numerador mayor . Ejemplo:

Ordenando esto de menor a mayor quedaría así:

b) Si los denominadores son distintos: En este caso lo primero que hay que realizar es igualar los denominadores, esto se realiza con el M.C.M. (mínimo común múltiplo) y luego se amplifican las fracciones para que todas tengan el mismo denominador . Ejemplo:

El M.C.M. de 4, 6 y 8 es 24

 Así que amplificamos todas las fracciones de modo que los denominadores queden igual a 24, esto resulta: Ordenamos estas fracciones de mayor a menor y quedan: Esto ordenado de mayor a menor en las primeras fracciones quedan así:

Otra forma de encontrar si las fracciones son mayores o menores es por  los productos cruzados: Ejemplo:

Se multiplican cruzado los términos Esto quedaría así: 6 x 7= 42 y 5 x 12 = 60 El primer término multiplicado se consideraría como la primera fracción y el segundo término como la segunda fracción Ordenando estas fracciones de menor a mayor quedaría así :

Operaciones con Números Racionales ( ) Adición y Sustracción de números racionales (fracciones) con el mismo denominador  Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Adición

Sustracción

Operaciones con Números Racionales ( ) Adición y Sustracción de números racionales (fracciones) con distinto denominador  En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador  (M.C.M), luego se amplifica ambas fracciones para obtener el mismo denominador y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.. Adición

Sustracción

Propiedades de la adición en los Números Racionales ( ) 1° Clausura: Clausura: Al sumar cualquier número racional (fracción o decimal) con otro se obtendrá un número que pertenece al conjunto de los racionales. Ejemplo:

2° Elemento Neutro: Neutro: Al sumar cualquier número racional con un cero permanecerá el mismo número racional. Ejemplo:

Propiedades de la adición en los Números Racionales ( ) 3° Conmutativa: Conmutativa En la adición, el orden de los Sumando no altera la Suma, en la conmutatividad solamente se utilizan solo 2 sumandos.

Ejemplo:

Propiedades de la adición de los Números Racionales ( ) 4° Asociativa: Asociativa En la adición, cuando se suman 3 o mas sumando el resultado es el mismo, independientemente del orden que tengan los sumandos. Ejemplo:

Propiedades de la adición en los Números Racionales ( ) 5° Inverso Aditivo: Aditivo Todo número racional sumado con su opuesto o inverso es igual a cero. Ejemplo:

Operaciones con Números Racionales ( ) Multiplicación de números racionales (fracciones)

. Se multiplican los numeradores y también se multiplican los denominador 

Ejemplo:

Propiedades de la multiplicación en los Números Racionales ( ) 1° Clausura: Clausura: Al multiplicar cualquier número racional (fracción o decimal) con otro se obtendrá un número que pertenece al conjunto de los racionales. Ejemplo:

2° Elemento Neutro: Neutro: Al multiplicar cualquier número racional con un número uno permanecerá el mismo número racional. Ejemplo:

Propiedades de la multiplicación en los Números Racionales ( ) 3° Conmutativa: Conmutativa En la multiplicación, el orden de los factores no altera el producto, en la conmutatividad solamente se utilizan solo 2 factores. Ejemplo:

Propiedades de la multiplicación en los Números Racionales ( ) 4° Asociativa: Asociativa En la multiplicación, cuando se multipliquen 3 o mas factores el producto será el mismo, independientemente del orden que tengan los factores. Ejemplo:

Propiedades de la multiplicación en los Números Racionales ( ) 5° Inverso multiplicativo: multiplicativo Todo número racional multiplicado con su opuesto o inverso es igual a uno. Ejemplo:

6° Elemento Absorbente del cero: cero Todo número racional multiplicado por  cero es igual a cero, y este termino tiene que ser distinto de cero.

Ejemplo:

Propiedades de la multiplicación en los Números Racionales ( ) 7° Distributiva: Distributiva La propiedad distributiva establece que multiplicar una suma por un número racional da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número racional y después sumar todos los productos. Ejemplo:

Operaciones con Números Racionales ( ) División de números racionales (fracciones) En la división de fracciones se multiplica cruzado el numerador por el segundo denominador, el resultado de la multiplicación queda como numerador y también se multiplican el denominador por el numerador de la segunda fracción y este resultado queda como denominador . Otra forma de obtener la división de fracciones, es invirtiendo la segunda fracción y el signo de división se convierte en multiplicación. Forma 1

Ejemplo:

Forma 2

Ejemplo:

Otra explicación del porque se multiplican las divisiones fraccionarias .

Actividad I. Calcula

1.-

2.-

3.-

4.-

las siguientes operaciones con números racionales (fraccionario):

II.

C l

1.-

2.-

3.-

l l

i

i

t

di i i

(fr

i

ri ):

III.

Resuelve las siguientes operaciones con números racionales (fraccionario):

a).-

b).-

c).-

IV.

l

l

i

i

t

oper

iones

r

r

i

:

b).

).

Adi ión ± ± inver so ditivo

Multipli

ión - Distributiv

d).

c).

Multipli ión ± ± inver so multipli tivo

Adi ión ± ± Asoci tiv

Potencias de Números Racionales (

)

Potencias de exponente entero positivo y base racional En las potencia de Números Racionales ( ), los dos términos tanto el numerador con el denominador se amplifica o potencia tantas veces diga el exponente Exponente: Indica cuantas veces se multiplicara la base Exponente racional.

Base Racional: Racional Es aquel termino el cual se multiplicara tantas veces le indique el exponente.

Ejemplo:

Potencias de Números Racionales (

)

Potencias de exponente entero negativo y Base entera En las potencia de Números Enteros ( ), cuando el exponente es negativo, el termino entero (por naturaleza el entero es un numero racional con denominador 1) se ³convierte´ en su inverso multiplicativo, luego los dos términos tanto el numerador con el denominador se amplifica o potencia tantas veces diga el exponente. Ejemplo:

Potencias de Números Racionales (

)

Potencias de exponente entero negativo y Base Racional En las potencia de Números Racionales ( ), cuando el exponente es negativo, ³ el numerador pasa a ser denominador y el denominador pasa a ser numerador´, esto ocurre por el inverso multiplicativo, luego los dos términos tanto el numerador con el denominador se amplifica o potencia tantas veces diga el exponente.

Ejemplo:

Potencias s Potencias

de

er os

ac cionales (

de exponente r acional positivo y Base

)

acional

En las potencia de Números Racionales ( ), cuando el exponente es racional es equivalente a decir la raíz del numero racional y se expresa de la siguiente forma. Ejemplo:

³Alg unas d e esta pot encias al  r esol ve   r l as pued en dar N úmeros Irracionales´ 

Potencias de Números Racionales (

)

Potencias de exponente racional negativo y Base Racional En las potencia de Números Racionales ( ), cuando el exponente es racional y negativo es equivalente a decir la raíz del numero racional con invertir las fracciones por su inverso multiplicativo y se expresa de la siguiente forma. Ejemplo:

³Alg unas d e esta pot encias al  r esol ve   r l as pued en dar N úmeros Irracionales´ 

Propiedades de Potencias de Números Racionales ( ) Potencias de exponente cero y Base Racional En las potencia de Números Racionales ( ), cuando el exponente es cero es igual a 1.

Ejemplo:

Potencias de exponente uno y Base Racional En las potencia de Números Racionales ( ), cuando el exponente es uno es igual a la misma fracción. Ejemplo:

Pr opiedades

de Potencias de Númer os acionales ( )

Multiplicaciones

de Potencias de i distinto exponente

ual

ase

acional

En las multiplicaciones de potencia de Números Racionales ( ), se conserva la base y se suman los exponentes.

Ejemplo:

Propiedades de Potencias de Números Racionales ( ) Multiplicaciones de Potencias de igual Exponente y distinta Base Racional En las multiplicaciones de potencia de Números Racionales ( ), se conserva el exponente y se multiplican las bases.

Ejemplo:

Propiedades de Potencias de Números Racionales ( ) División de Potencias de igual Base Racional y distinto Exponente En las divisiones de potencia de Números Racionales ( ), se conserva la base radical y se restan los exponentes.

Ejemplo:

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Download With Free Trial

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Download With Free Trial

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Download With Free Trial

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Download With Free Trial

Partes de un Número Decimal

4 ´, 0 : 5 = 0 , 8 40´´, 0 40 - 40 0 //

Parte Decimal: Decimal Es el número que se encuentra en la parte derecha de la coma decimal.

Coma Decimal: Decimal Es el signo el cual separa la parte entera de la cifra decimal.

Parte entera entera: Es todo número que se encuentra en la parte izquierda de la coma decimal

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Download With Free Trial

Clasificación de Números Decimales Los números decimales se pueden clasificar en números decimales finitos e infinitos: a) Números decimales finitos: Son aquellos que tienen fin, es decir, no hay un número que se repita. Ejemplos: 4,56 ; 0,0003 ; 2,9876 : 0,1 ; 3,42 , etc.

Siempre que se divida el numerador por el denominador, y la división termine y se obtenga resto cero, la división es exacta y su resultado será un decimal finito. Un

decimal finito representa una fracción decimal.

Clasificaci n de Números Decimales b) Números decimales infinitos: son aquellos números que no se acaban, es decir, hay uno o varios números que se repiten infinitamente. Por

ejemplo: 0,333333..... es infinito por que el 3 se repite indefinidamente.

Estos números son divisiones inexactas. No representan una fracción decimal.

Los

decimales infinitos pueden ser: infinitos puros, infinitos peri dicos e infinitos semiperi dicos.

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Download With Free Trial

Clasificación de Números Decimales Infinitos b) Números decimales infinitos semiperiódicos: En estos decimales aparecen una o más cifras antes del período. El número formado por dichas cifras se llama ante-período (es un número que está entre la coma y la rayita).

Ejemplo:

 Al conjunto de los números racionales sólo pertenecen los números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos. Los decimales infinitos puros pertenecen al conjunto de los números irracionales, porque no pueden transformarse en fracción. Ejemplo:

El valor decimal de 

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Download With Free Trial

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Download With Free Trial

Transformación

de un número decimal infinito semiperiódico en fracción

Primero

el numerador de la fracción se obtiene, al igual que en el caso anterior, restando al número la parte entera y el ante-período, o sea, todo lo que está antes de la ³rayita´. Luego el denominador  de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. Como siempre, el resultado se expresa como fracción irreductible (no se puede simplificar más) o como número mixto.

Ejemplo:

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Download With Free Trial

Operaciones con Números Racionales ( ) Multiplicación de Números Racionales (decimales) Se multiplica como que no hubieran números decimales, solo se multiplica de normalmente, pero la diferencia radica que al resultado final se ³le suman´ todas las cifras decimales y se ³le agregan´ al resultado final colocando la coma decimal dependiendo de todos los espacios que exista entre los decimales.

48,54 x 3,45 24270 19416+14562² 167,4630

Operaciones con Números Racionales ( ) División de Números Racionales (decimales) Existen 4 tipos de divisiones de decimales y son las siguientes: División de dos números enteros con cuociente decimal: Dependiendo

de los signos se conserva el signo que predomine y se realiza la división de la siguiente manera: Primero

Ejemplo:

4 4¶ ,0

: 8 = 0,5 : 8 = 0,5

40¶, 0 : 8 = 0,5 - 20 0//

consideramos que todo numero natural es un número decimal con infinitos ceros, los cuales no se escriben; luego de esto consideramos la parte entera del dividendo y realizamos la división, si el número entero es mayor que el divisor se realiza la división, cuando se llegue a un número el cual no se pueda dividir por el divisor se agregara la coma decimal y el número entero que estaba de resto se le agrega un cero y se continua la división hasta que el resto sea cero; y si el numero entero considerado es menor que el divisor se agrega un cero al cuociente y se le acompaña de una coma decimal, al realizar  esto la coma decimal se mueve un espacio a la derecha y el número entero se ³vuelve´ mayor que el divisor y podemos realizar la división normalmente hasta que obtengamos un resto cero o la división sea infinita (periódica o semiperiódica).

Operaciones con Números Racionales ( ) División de Números Racionales (decimales) División de un número decimal por un numero entero Lo que se realiza es amplificar al número entero tantas veces como números decimales tenga el decimal con el cual estamos operando, así ambos términos se ³transforman´ en números enteros y se realiza la misma operación que en el caso anterior .  Así por ejemplo, si queremos dividir, lo que hacemos es dividir; estos números hay que amplificarlos por 100 por los dos números decimales que riene y luego operar con dichos números como si fueran enteros.

7,14 : 2 = 3,57 7,14 x 100 : 2,00 x 100= 714 : 200 = 3,57

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Download With Free Trial

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Download With Free Trial