Los Elementos de Euclides

 

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EUCLIDES

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M UcloY escasas dice que

son las no t i cias que s e t ie n e n de la vi vid d a de E uclide s . l' ro -

floreció bajo Ptol o m eo 1  y, p o r t a11to e   el periodo 306-285 que fue el de la goberna c ió11 del f   da d o r de l a dina st ía de lo s el M u s e o de Al e jandría ; y c u é nt as e ldgidas, el cual lo ii1vitó a profesar e que al preguntarle en c i erta ocasió11 si para p ara ap render Ce o 111etría no h abrla

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un ca1n i110 más corto q u e el de los El e m entos, Eu cl ides le respo nd i ó: • Eri Geomet rí ría a no liay i g ú   c amino esp ecial para pa ra l o s r ey e s . • Ta111b i h1 se di c e qu e er a m o desto y amabl e co n t odo el mu n do, e s p e  cialmee nte con quie11es d e mostrah a   a f ic ión p o r l o s est11dios ma t e   d t ícos . cialm A es t as p o bres i11dica ci o11es de orige11 gri eg ego o l w y que agre gar las de i11dicaci f11e11tes drabes que aseguran que Eucl id e s era lzijo lzij o de Neucrate s y n ie t o de Ze n a rc o, /1eleno nacido en Tiro y d o111iclliad o e n D am a sco ; 1w ti c i as que r e c o ge el Libro de los J11dices Kita b-al - f i hrst), d onde se l e e   adem d s   que la madre del geómetra se llamaba B er e n i ce .

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Modernamente, la revista Bibliothe c a Ma t hemati c a , de Estoco lm o   ha publicado tres estudios: uno de H . S u te r : Einigc s a us Nassi r ed - Din Euklidausgabe; 111 1892, en donde también d ice que Eu clide s era na n a tural de Tiro ; otro de G . /1inge: Die Lebenszcit Euklids, x , 191 0   q uien, apoydndose en razones filoJógicas sostiene que el g e óm e t ra naci nació ó p o r los años de 375 antes de / . C. compuso los El ementos e nt re 33 330 0 320 finalme11te en un tercer trabajo, X I I I   18 1 2 con el mi s m o t i t ulo que l anterior T. Vogt limita la vida de Eucl i des al período 3 6 5 -32 5 y sitúa la redacció11 de la obra en los últimos añ o s de su vida . Hoy parece poderse afirmar que Eu cl ides es t ud i ó en A t e as   do n d e conoció los últimos resplandores de su foco ci c i e ntífico   pas an d o l ue go a Aleja ndrí a bajo la prote c ci ó n de los l ~ i d L a f eclra 111ds probabl e d e sr. mu er erte te es la de 275 a n tes de C.

l

Su o bra más notable   a la

c11a/ d rbe la i

o r talidad   es la ti tulada 689

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.......

..

 

 

834

CIENTIFICOS G R I E G O S . - T O M O 1

EUCLIDES.-ELEMENTOS

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7. Si Ln número •s parte de otro un   tercero la misma parte de un · cuarto, lo r1man1n r1man1nt1 t1 del primero tercero es la misma parte de lo reman1nt1 del segundo y cuarto ».

sumando b

5. Si un número cuar to, primera cuarto juntos n.

parl• d• otro tercero lo mismo parle d1 ' t1rc1ra junto s s1rdn lo mismo porte del segundo

y,

por tanto,

o

m

  b+d),

m c--d,

a--b;

n

ea

n

m

c - - (b+d).

a

n

»Ea el teorema an'1010 al S relativo a

l ·--b, ae tJene

"

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diferencias, de modo que

c--d,

n

1

n

  b-d),

Teorema an'1010 al 6 relativo a las diferencias. De la hipdtul1 m a--b;

n

•••

lu

1

a-e--

1 c--d,

d - c + c + c + ... ..". +c,

1

"

a+c) + :-: + ( o + c ) ,

1t Traduciendo los 5egmentos euclídeos a nú n úmeros, la demostración de esce teorema se reduce a lo siguiente : SI es

ae deduce inmediatamente:

b - o + o + a + .".. +a;

+ (o+c) + a+c- -

'

Sobre esta cuestldn fundamental del lib. vn hay un trabafo de Zl unmN en el Jol tln de la Academia de Clenclaa de Dinamarca: •Sur la constltutlon des Jlyrea arlthmitlquea d'Euclldu. Copenha1ue, 1910. ' n En len1uaje moderno: SI • divide a b y ea e un equldlvlaor de 4, la suma •+e ea el 1nl11110 equldiYl1or de b +d. ••Toda esta palabrería-y hemos suprimido las repetlclones--se puede 1lnte tl1ar aar: D1dos loa cu1tro ndmeros o, b, e y d tales que sea n

d • (o+c)

de donde

'

Sea A un número parte de BG y D otro número la misma parte de otro EZ que A de BG. Si se divide BG en números BH y H G iguales a A y EZ en números ET y TZ iguales a D el total de los números de BG ser;l Igual al de los de EZ y por ser BH igual a A y E T igual a D ser;l BH y E T juntos iguales a A y D juntos, y por la misma razón HG y TZ juntos i uales tambiin a A y D juntos, y como hay el mismo Dd· mero de partes A en JG que de partes D ea EZ. ns1llla q . e las p u t de BG y EZ junto• son como A y D juntos; luego el mdltiplo BG de A es el mismo que BG y EZ juntos de A y D juntos, l.q.q.d. 11•

1 o--b.

83S

6. Si un número •s una fracción d1 otro un l•rcero la misma fracdón d1 un cuarto, •I primera t1rc1ro juntos serdn lo misma fracddn del segundo del cuarto juntos ·

F10. llO llO.. .

GEOMETRIA

11 Si un número IS una fracción d1 otro y un tercero la misma fracd d n d1 un cuarto, lo r1manent1 del primero y tercero IS la misma frac d d n d • lo rfmanente del segundo cuarto 11 •

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DE

m

c--d

n

n

m

a-e--   b-d) .

n

11

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980

C IE N T IFIC O S GRIF GOS

 

TOMO

1

sible formar un ángulo sólido con cuatro cuadrados porque llenan el planq. Con tres pentágonos equiláteros y equiángulos se forma el lingulo só  lido del dodecágono, pero es imposible formarlo con cu atro porque sien do el ¡fogulo del pentágono equilátero igual a un recto y un q u in to de recto, los cuatro valen más d e cu atro rec tos, lo cual es imposible.

Y por la misma razón de absurdidad no se puede cons truir ningún c.tro o ~ u l o sólido con polígonos equiláteros y equilin

E

gulos.

Que

el

ángulo

del

pentligono

equilátero y equi