Longitud de una elipse

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LONGITUD DE UNA ELIPSE En el presente artículo daremos justificación a una fórmula de aproximación para la longitud de una elipse de semiejes a y b. La fórmula es: ≈ π ⋅ ( A + B) , donde a +b y B= 2

es la longitud de la elipse, A =

a 2 + b2 . 2

Longitud de Arco. DEFINICIÓN 1. Una función f es lisa en un intervalo si su derivada f ′ es continua en todo el intervalo. El significado intuitivo, en la definición anterior, es el de que: variaciones pequeñas de x tienen como consecuencia variaciones pequeñas en la pendiente f ′( x ) de la recta tangente a la gráfica de f. Lo que significa que en la gráfica de una función lisa no hay esquinas o picos. Si f es una función lisa en [a ; b] , a los puntos A( a , f (a )) y B( b, f (b)) se les llama extremos de la gráfica. Obtengamos la fórmula para la longitud de un arco, de extremos A y B. Para ello consideremos una partición P del intervalo [a ; b] , determinada por los puntos, a = x 0 , x1 ,… , x n = b y sean Qi ( xi , f ( xi )) , i = 0,1,… , n , puntos de la curva asociados a esta partición, tenemos entonces n + 1 puntos Q0 , Q1 , ... , Qn sobre la gráfica. Al conectar cada Qi−1 con Qi mediante un segmento se obtiene una línea quebrada cuya longitud será: n

(

)

n

L P = ∑ d Qi −1 , Qi = ∑ i =1

{(

i =1

(x

i

− x i −1

) + [ f ( x ) − f ( x )] 2

2

i −1

i

)}

Sea P = max x i − xi −1 , la norma de la partición. Si P es pequeña, entonces Qi - 1 está cerca de Qi , para cada i , y LP será una buena aproximación de la longitud de arco entre A y B. Lo anterior nos permite definir adecuadamente el concepto de longitud de arco, diciendo: La longitud de arco entre A y B, escrito Lba , es el límite lim L P P →0

) + [ f ( x ) − f ( x )] al aplicar el teorema del valor medio a la función f sobre el intervalo [ x , x ] se tiene f ( x ) − f ( x ) = f ′( w )( x − x ) = f ′( w ) ∆x donde w ∈ ( x ; x ) y ∆x = x − x (

n

)

n

L P = ∑ d Qi −1 , Qi = ∑

Ahora bien como

i =1

i =1

(x

i

2

2

− x i −1

i −1

i

i −1

i

i −1

i

i

i −1

i

i

i

i −1

i

i

i

i

de modo que LP se puede escribir

Leonardo Sáenz

1

i −1

CIDEM Centro de Investigación y Desarrollo del Estado de Michoacán n

LP = ∑ i =1

( ∆ x ) + [ f ′ ( w ) ∆x ] 2

i

i

2

i

[ ( )]

n

= ∑ 1 + f ′ wi i =1

2

⋅ ∆x i

y al tomar límite cuando P → 0 obtenemos la integral: Lba = lim L P = lim P →0

[ ( )]

n

P →0

∑

1 + f ′ wi

i =1

2

⋅ ∆x i =

∫

b

a

1 + [ f ′( x )] ⋅ dx 2

Pongamos esto como una definición. DEFINICIÓN 2. Sea f una función lisa en un intervalo [ a ; b ]. La longitud de arco de la gráfica de y = f(x), entre A y B, esta dada por Lba = ∫

b

a

1 + [ f ′( x )] ⋅ dx 2

Ejemplo. Apliquemos la fórmula anterior para obtener la longitud de una elipse de semiejes a y b. x2 y2 Consideremos la elipse 2 + 2 = 1 . Al despejar la variable y se tiene a b b y=± a2 − x2 a y considerando únicamente el arco de A(0, b) a B( a ,0) , que se encuentra en el primer cuadrante, tendremos b y= a 2 − x 2 con 0 ≤ x ≤ a a La longitud de este arco nos dará la cuarta parte de la longitud de la elipse, que, de a

acuerdo a la fórmula de la Definición 2., sería:

4

= L = a 0

∫

1 + y ′ ( x ) ⋅ dx 2

0

y como y ′( x ) =

(− x)

b a

y ′( x ) =

a2 − x2 b2 x2

2

(

a2 a2 − x2

)

entonces a

4

=

∫

1+

0

= 4∫

a

0

haciendo

(

b2 x 2

a2 a2 − x2

)

⋅ dx

a 4 − a 2 x 2 + b2 x 2 ⋅ dx a2 a2 − x2

(

)

x = asinθ , se tiene; dx =a cosθ dθ y a 2 - x 2 = a 2 (1 - sin 2θ ) = a 2 cos2 θ

se tiene

Leonardo Sáenz

2

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= 4∫

(

)

a 4 + b 2 − a 2 a 2 sin 2θ

π

2 0

a 2 ⋅ a 2 cos 2 θ

π

( (b 1+

⋅ a cosθdθ

) ) sin θ ⋅ dθ

= 4 ∫ 2 a 2 + b 2 − a 2 sin 2θ ⋅ dθ 0

= 4a ∫

π

2 0

2

− a2 a

2

2

En una elipse los parámetros a, b y c satisfacen la relación a2 = b2 + c2 ó b2 - a2 = - c2 empleando esto tendríamos = 4a ∫

π

2 0

c2 1 − 2 sin 2θ ⋅ dθ a

y puesto que la excentricidad de la elipse se define como ε =

c , podemos escribir a

π

= 4a ∫ 2 1 − ε 2 sin 2θ ⋅ dθ 0

(1)

La integral que figura en la expresión anterior, es una de las llamadas integrales elípticas, la cual no se puede expresar en términos de funciones elementales, pero, obviamente, se puede calcular con técnicas numéricas o consultando directamente tablas de integrales elípticas. Una expresión para determinar la longitud de una elipse se puede obtener, haciendo lo siguiente: Para la integral elíptica que figura en (1), al aplicar la serie binomial 1− u = 1−

1 1 2 1⋅ 3 3 1⋅ 3 ⋅ 5 4 u− u − u − u − 2 2⋅4 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅6⋅8

donde u < 1

(2) , el radical

1 − ε 2 sin 2θ ⋅ quedaría

1 1 4 4 1⋅ 3 6 6 1⋅ 3 ⋅ 5 8 8 1 − ε 2 sin 2θ = 1 − ε 2 sin 2θ − ε sin θ − ε sin θ − ε sin θ − 2 2⋅4 2⋅4⋅6 2 ⋅4 ⋅6⋅8 de manera que (1) se puede escribir π

1 4 4 1⋅ 3 6 6 1⋅ 3 ⋅ 5 8 8 ⎡ 1 ⎤ = 4a ∫ 2 ⎢1 − ε 2 sin 2θ − ε sin θ − ε sin θ − ε sin θ − ⎥ ⋅ dθ 0 2⋅4 2⋅4⋅6 2 ⋅4 ⋅6⋅8 ⎣ 2 ⎦ π π π ⎡ π ⎤ 1 1 2 4 4 1⋅ 3 2 6 6 = 4a ⎢ ∫ 2 dθ − ∫ 2 ε 2 sin 2θ dθ − − ε sin θ d θ ε sin θ dθ − ⎥ ∫ ∫ 0 2 0 2⋅4 0 2⋅4⋅6 0 ⎣ ⎦

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3

CIDEM Centro de Investigación y Desarrollo del Estado de Michoacán y, ahora, empleando la fórmula de Wallis para las integrales de potencias del seno; que establece: ⎧ (n − 1)( n − 3) ⎪ π ⎪ n(n − 2)(n − 4) n 2 ∫0 sin xdx = ⎨ (n − 1)(n − 3) ⎪ ⎪ n(n − 2)(n − 4) ⎩

4⋅2

,

5⋅ 3 5⋅ 3

⋅

si n es impar

π

4⋅2 2

,

si n es par

, la expresión para la longitud de la elipse quedaría 1 π 3⋅1 4 1⋅ 3 π 5 ⋅ 3 ⋅1 6 ⎡π 1 π 1 ⎤ ε − ε − ⎥ = 4a ⎢ − ⋅ ⋅ ε 2 − ⋅ ⋅ ⋅ 2⋅4 2 4⋅2 2⋅4⋅6 2 6⋅4⋅2 ⎣2 2 2 2 ⎦ ⎡ ⎛ 1⎞ 2 2 ⎛ 1⋅ 3 ⎞ 2 ε 4 ⎛ 1⋅ 3 ⋅ 5 ⎞ 2 ε 6 ⎛ 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⎞ 2 ε 8 ⎤ − ⎥ −⎜ −⎜ = 2π a ⎢1 − ⎜ ⎟ ε − ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⋅ 4 ⎠ 3 ⎝ 2 ⋅ 4 ⋅ 6⎠ 5 ⎝ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8⎠ 7 ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥

(2 ′)

con la cual podemos aproximar la longitud de la elipse, siendo mejor la aproximación, entre más términos se tomen de la serie. LA APROXIMACIÓN : ≈ π ⋅ ( A + B) Veamos como, en efecto, la cantidad π ⋅ ( A + B ) es una buena aproximación para la longitud de una elipse. a +b Aquí, A = , es la media aritmética de los semiejes a y b , y 2 B=

a 2 + b2 2

Puesto que ε =

, es la media cuadrática. c , entonces a c2 a 2 − c2 b2 2 = 2 , y 1− ε = 1− 2 = a a2 a b ; b = a 1− ε 2 1− ε 2 = a

y por lo tanto

(

b⎞ ⎛ 2 Aπ = π ⋅ ( a + b ) = π ⋅ a ⎜ 1 + ⎟ = π ⋅ a 1 + 1 − ε 2 ⎝ a⎠

y si desarrollamos

)

1 − ε 2 con la serie binomial (2), se tiene

1 1 4 1⋅ 3 6 1⋅ 3 ⋅ 5 8 1− ε 2 = 1− ε 2 − ε − ε − ε − 2 2⋅4 2⋅4⋅6 2 ⋅4 ⋅6⋅8

y por lo tanto

Leonardo Sáenz

4

CIDEM Centro de Investigación y Desarrollo del Estado de Michoacán 1 1 4 1⋅ 3 6 1⋅ 3 ⋅ 5 8 ⎛ ⎞ 2 Aπ = π ⋅ a ⎜ 2 − ε 2 − ε − ε − ε − ⎟ ⎝ ⎠ 2 2⋅4 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6⋅8 1 2 1 1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 ⎛ ⎞ ε − ε4 − ε6 − ε8− ⎟ = 2π ⋅ a ⎜ 1 − ⎝ 2⋅2 ⎠ 2⋅2⋅4 2⋅2⋅4⋅6 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 6⋅8 ⎛ ⎝

π ⋅ A = π ⋅ a⎜1 −

1 2 1 1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 ⎞ ε − ε4 − ε6 − ε8− ⎟ ⎠ 2⋅2 2⋅2⋅4 2⋅2⋅4⋅6 2 ⋅ 2 ⋅4 ⋅6⋅8

(

(3)

)

De manera análoga, y teniendo en cuenta que b 2 = a 2 1 − ε 2 , podemos escribir

(

)

a2 + a2 1− ε 2 a 2 + b2 π ⋅B =π =π = π ⋅ a 1 − 21 ε 2 2 2

y aplicando la serie binomial (2) al radical

1 − 21 ε 2 , se obtiene

2 3 4 ⎡ ⎤ 1 2 1 ⎛ 1⎞ 4 1⋅ 3 ⎛ 1⎞ 6 1⋅ 3 ⋅ 5 ⎛ 1⎞ 8 π ⋅ B = π ⋅ a ⎢1 − ε − ⎜ ⎟ ε − ⎜ ⎟ ε − ⎜ ⎟ ε − ⎥ 2 ⋅ 4 ⎝ 2⎠ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⎝ 2⎠ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⎝ 2⎠ ⎢⎣ 2 ⋅ 2 ⎥⎦

(4)

sumando (3) y (4) se tiene 1 1 ⎡ (1 + 12 )ε 4 − 1 ⋅ 3 (1 + 14 )ε 6 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 (1 + 18 )ε 8 − 2 2⋅2⋅4 2⋅2⋅4⋅6 2⋅ 2⋅ 4 ⋅6⋅8 ⎣ ⎡ ⎤ 1 1 ⎛3⎞ 4 1⋅ 3 ⎛ 5 ⎞ 6 1⋅ 3 ⋅ 5 ⎛ 9 ⎞ 8 = π ⋅ a ⎢2 − ε 2 − ⎜ ⎟ε − ⎥ ⎜ ⎟ε − ⎜ ⎟ε − 2 2⋅2⋅4⎝ 2⎠ 2⋅2⋅4⋅6⎝ 4⎠ 2⋅ 2⋅ 4⋅6⋅8 ⎝ 8 ⎠ ⎣ ⎦ 2 2 4 6 ⎡ ⎛ 1 ⎞2 ⎤ 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 9 ⎛ 1⋅ 3 ⎞ ε ⎛ 1⋅ 3 ⋅ 5 ⎞ ε = 2π ⋅ a ⎢1 − ⎜ ⎟ ε 2 − ⎜ − − ε8 − ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⋅ 4 ⎠ 3 ⎝ 2⋅ 4 ⋅6 ⎠ 5 2⋅ 2⋅ 2 ⋅ 4⋅6⋅8⋅8 ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦

π ( A + B ) = π ⋅ a ⎢2 − ε 2 −

comparando este resultado con el de la longitud dada en (2’), vemos que coincide en los cuatro primeros términos de la serie y por lo tanto π ( A + B) ≈ . Nótese que el quinto término, el que contiene a ε8, en π ( A + B) tiene como coeficiente a 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 9 45 = = 0.01098633 y el término similar en el desarrollo de , 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 8 4096 2 175 ⎛ 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⎞ 1 tiene como coeficiente a ⎜ = 0.00152588 , los cuales ya no ⎟ ⋅ = ⎝ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⎠ 7 16384 coinciden EJEMPLO Para una elipse de semiejes a = 10 y b = 8 , tendríamos c2 a 2 − b2 36 ε2 = 2 = = = 0.36 2 100 a a

Leonardo Sáenz

5

⎤ ⎥ ⎦

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y de acuerdo a (1) , la integral elíptica sería π

= 40 ∫ 2 1 − ( 0.36 ) sin 2 θ ⋅ dθ 0

consultando el valor de la integral en tablas de integrales elipticas, se tiene ≈ 40 (1.418083394 ) = 56.72333576 Si empleamos la aproximación π ( A + B) tendremos A=

a +b =9 2

(

y

B=

a 2 + b2 = 82 2

)

≈ π 9 + 82 ≈ 56.722665 ≈ 56.723 la aproximación π ( A + B) da , como puede verse, tres decimales correctos.

Leonardo Sáenz Baez

Leonardo Sáenz

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