Longitud de Cuerda
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Longitud de Cuerda con integrales...
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Longitud de la curva Si la derivada de la función f , f ', ', es continua en el intervalo [ a, b], se dice que f es es alisada en dicho intervalo. Lo anterior implica que la gráfica de una función alisada f carece de vértices en el intervalo. Se denomina arco de una curva continua a la porción comprendida entre dos de sus puntos. Como en el arco AB.
Para hallar la longitud de un segmento de recta, basta con averiguar el número de veces que un segmento rectilíneo, que toma como unidad de medida de longitud, se puede superponer sobre el segmento. Lo anterior no es posible hacerlo si se trata de m edir un arco. Para medir la longi tud de un segmento rectilíneo en el plano, cuyos extremos son los puntos P1(x1,y1) y P 2(x2,y2), se puede utilizar la fórmula de distancia entre dos puntos:
Ahora para hallar la longitud de una curva pensaremos que la curva está compuesta de pequeñas r ectas que nos darán una respuesta aproximada.
Usamos diferenciales en la ecuación de la recta, y desarrollamos.
Entonces reemplazamos:
Por la definición de la integral definida se tiene que
Por lo que sea la función y=f(x) alisada en [a, b], la Longitud , L, de arco de la curva f entre los dos puntos que responden al [a, b], está dada por: L=
Ejemplos: 1) Hallar la longitud del arco de curva Solución:
en el intervalo [0, 1].
2) Encuentre la longitud del arco de la curva 9y2=4x3 del origen al punto (3,2√ 3) Solución
3) Halle la longitud de arco de la curva 8y = x4 + 2x-2 desde el punto donde x=1 al punto donde x=2. Solución
4) Halle la longitud del arco de la curva / + / Solución
= 1 del punto x=1/8 hasta x=1
5) Encuentre la longitud del arco de la curva y=(1/3)(x2+2)3/2 desde el punto x=0 al punto x=3. Solución
Ejercicios Propuestos
1.
Determinar la longitud del arco de
= / en el intervalo [1,8]
2.
Determinar la longitud del arco de
= / 1 en el intervalo [0,4]
3.
Calcular la longitud de curva de 9
= (3 )
4.
Calcular la longitud del arco de
= 1 + 6/ en el intervalo [0,1]
5.
Calcular la longitud del arco de
= ln(sec)
6.
Determinar la longitud de arco de:
= ( + 1) en [0,1]
7.
Determinar la longitud de arco de
= ( + 2)/ en [0,4]
8.
Determinar la longitud de arco de
= ( + 1)/ en [0,2]
9.
Determinar la longitud de la figura ( 4) + ( 3)
= 64
10. Determinar la longitud de arco de 24 48 = 0 en [2,4]
Respuestas: √ −
1. 33,24
6.
2. 9,07 3. 4. 6,10 5. 0,88
7. 76/3 u 8. 22/3 u 9.16
10.
Bibliografía ESPINOZA RAMOS, EDUARDO. (2008). “Análisis Matemático II”. Editorial Servicios Gráficos JJ. Lima -Perú
PURCELL VARBERG, RIGDON. (2007). “Cálculo Diferencial e Integral”. Editorial Pearson Educación. México Electrónica 1. https://www.ditutor.com/definidas/teorema_medio.html 2. http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/TeoremaValorMedio.htm 3. http://ed21.webcindario.com/CalculoIntegral/teorema_del_valor_medio_para_la_integral_defi nida.htm 4. http://ed21.webcindario.com/CalculoIntegral/longitud_de_arco_de_la_grafica_de_una_funcion. htm 5. https://docs.google.com/document/d/1avTqMWJ1G7bKAV9xxZZCWqbszhVXmWwHIKhH_FatYq M/edit?hl=es#
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