Longitud de Arco, Centroide; Trabajo: Cálculo 2

CÁLCULO 2

Longitud de Arco, Centroide;  Trabajo  T rabajo

¿Se podrá determinar la longitud de arco del cable eléctrico entre las dos torres?

Responda las siguientes preguntas: •

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¿Cómo calcular la longitud de una circunferencia de radio r  ? ¿Cómo hallar al ecuación de un arco  parabólico? ¿Cómo calcular la longitud de un arco parabólico?

Hallar el perímetro y el centro de masa de la placa de metal cuya forma es igual al de la región limitada por las graficas:  f(x) =  ! x" #  g $ x%= x &"

LOGRO DE SESIÓN 'l finali(ar la sesión el estudiante resuel)e problemas )inculados a ingeniería calculando la longitud de arco* el centroide de regiones  planas

y

el

traba+o

mecánico*

usando el cálculo de integrales definidas,

LONGITUD DE ARCO Deinici!n: Si f’ es continua en -a*b. entonces la longitud de arco de la curva f desde $a*f$a%% hasta el punto $b*f$b%% es el valor de la integral 

 L =

b

∫  a

/ + $ f 0$ x%% dx "

"O"ENTO # CENTRO DE "ASA DE UNA L$"INA %LANA Deiniciones:

Sea f y g  funciones continuas tal 1ue  f $ x % ≥ g $ x% en -a* b. * y considere la lámina plana de densidad  ρ  limitada por las gráficas de y= f $ x% * y= g  $ x% ya ≤ x ≤ b /, 2os momentos respecto a los e&es  x  e y son:

 M x =

/

b

" "   dx − $ %. $ %. f x g x ∫    " a

 ρ 

b

∫  x [ f $ x% − g $ x%]dx

 M  y =  ρ 

a

"O"ENTO # CENTRO DE "ASA DE UNA L$"INA %LANA ", 3l centro de masa $ x* y % es dado por   x =

donde

 M  y m b

y

 y =

 M x m

∫  [ f $ x% − g $ x%]dx

m =  ρ 

a

es la masa de la lámina,

 Trabajo

¿Cuánta energía es necesaria para la ejecución de una tarea?  Trabajo realizado por una grúa

Trabajo e realiza trabajo cuando una fuerza desplaza un objeto.

Fuera constante Si una fuerza constante F  desplaza un objeto una distancia D, en la dirección de la fuerza, el trabajo W realizado por la fuerza es

W

= F ×D

Fuera !ariable Si una fuerza !ariable de "anera continua, F(x), desplaza un objeto una distancia D, en la dirección de la fuerza, el trabajo W realizado por la fuerza se obtiene La fuerza !ar#a confor"e el objeto ca"bia de posición

a

=  x4 < x/ < L < xn −/ < xn =

b

$

a

$i%&

Ci

$i

b

)l trabajo a lo largo del i%+si"o inter!alo

Co"o

'aciendo n  ( b )l trabajo W  realizado por una fuerza F"#$  *ue !ar#a de for"a continua, es dado por

∫ 

W = F $ x% ×dx a

La Le% de &oo'e La fuerza

F para co"pri"ir o estirar un resorte es

proporcional

al

desplaza"iento

=  ×x

respecto a su posición de e*uilibrio.

 F

producido

Los resortes se dise-an para entregar una fuerza, para e"pujar, para tirar, torcer o al"acenar energ#a.

(je)plo *+

Si la longitud natural de un resorte es ,/" 0 si es necesaria una fuerza de & 1e2ton para "antenerlo estirado ,", encuentre el trabajo eco al estirar el resorte de su longitud natural a una longitud de .5". 67&1

,ri)ero+ 8or la Le0 de 'oo9e

 F = ! x /4 = 4,4" ! 

,/"

544 = ! 

-egundo+ ,5 "

 F $ x% = 544 x 4,6

W =

∫ 544 x ×dx 4

,3"

=""* 5

Trabajo 6uerza Constante

W

= F ×D

6uerza ariable

 F  = m ×a  ρ  =

b

∫ 

W  =  F ' x( ×dx a

m " 

 F  =  ρ  ×"  × a .ensidad del agua

 gr gr !g = *+++ =* =  ρ  = * ) cm l l

/,-.

lb pies )

 #  = m ×g 

EJEMPLO Trabajo /ecánico 0 1o)beo de Líuidos

 y = 54 x

(je)plo 2+