Logika_matematyczna

May 14, 2018 | Author: Radoslaw | Category: If And Only If, Logic, Formalism (Deductive), Theoretical Computer Science, Mathematics
Share Embed Donate


Short Description

O logice matematycznej. Głównie dla osób z liceum chcących ją zrozumieć....

Description

������ ������������ ��������� T� ����������� ���� �������� �ł����� � ��ś�ą � �������� ����ł ś������� �����ą���� ��������ć �����ę ������� �����ą, ��� � �������� ���������� ���� ����������� �����ą �� ���������� ��� ������ (�.��. �������� �OR ���� NOR), � ������� � ������ ś������� ��ę ��� ��������. O���������� �� �ł������ ��������� ���ę��� �� ������� ���� ��� ����� ć�������� �� ������������� ��������� ���� � �������������.

���� ������� 1. P��ę��� ������ �������� � �ł�ż����� � ������ �������������. �������������. ................................................. ........................................................................ ......................... 1 � ���������� ���ń �������� .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. ................................ ......... 3 2. �����ś�� �������� ���ń ��������. ................................................ ........................................................................ ............................................... .............................................. ......................... 3 3. F������� �������������. .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. ........................................ ................. 5 � ������� ............................................ ................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. ........................................ ................. 6 � ���������� ............................................... ...................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. ................................ ......... 9 � ����������� ............................................. .................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. ................................ ......... 9 � ���������� ............................................ ................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. .................................. ........... 10 � �������ż��ść ............................................... ...................................................................... .............................................. ............................................... .............................................. ...................... 11 4. R������� ���ń � ����� �������� (����������). .................................................. ......................................................................... ............................................. ...................... 12 � ������ ���������������� (���������) ................................................. ........................................................................ .............................................. .......................... ... 12 � ����� ���� ���������� .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. .................................. ........... 13 � ������ ���� ������� (�����������) .................................................................... ........................................................................................... ...................................... ............... 14 � ��������� ������ ���� ���������� ................................................. ........................................................................ .............................................. .................................. ........... 15 � �������� ��� � N�� .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. .......................................... ................... 16 � ����������� �����ś�� ���������� ���������� �������� ������������� ����ż�ń ����ż�ń .................................................... ....................................................... ... 18 5. F���� ��������. ............................................... ...................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. .......................... ... 20 � ��������� ����� � ���� ��������� ................................................ ....................................................................... .............................................. .............................................. ........................... .... 20

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ �

������ ���ę��� ������ �������� � �ł�ż����� � ������ �������������� ������ ������ (� ������ �������������) � ����ż���� � ������ ��ż�� ������������� ���������ć, ���������ć,

ż� ���� ��������� ��� ��ł����� ��.: 2 + 3 = 18 18 L����� 12 ���� �����ą ����������ą. L����� −4 ���� �������� �� −1.

� ������ ��ł����� � ������ ��ł����� � ������ ���������

� ������ ������������� ����ę���ą ����� ������ ��������ą��, ��������ą��, ����� �����, ����� ��ń��ą ��ę �����ą. Ż���� ������ ��� ���ą�� ��� ������������� ��� ���� ������� � ���������� ������ �������������, ���ć ���� ������� � ���������� ��������� �ę���� ���������. P�������� �� ��ą? ��ź ��! C����ł��� ��ś �� ����ł� ����.

� �� ��� ���� ������ � ���������� ������ �������������, �� ��� ���� ��� ��������ą�� � �� ��� ���� ������ � ���������� ������ �������������, �� ��� ���� ��� ��������ą�� � �� ��� ���� ������ � ���������� ������ �������������, �� ��� ��ż�� �� ������������� �����ć ��� ���� ��� ��������� ��� ��ł�����, ���ć  ���� ������� ��������ą���. ��������ą���.

Ćwiczenie: K���� � ����ż����� ���ń, �ą �������� � ���������� ������ �������������? O�������ź ���������.

�) L����� �ł���ć? �) N�� ��� ����! �) K�� �� �� �������. �) C��ę ����ź���ć �� �������. �) P����� �� ���ść �� ����ż����. �) ����� �ł�ż� �� ����������� �����. �) K����ę ������� ��ż�� ���ąć 12 ���� �� ��ł. ���.: �) ���, �� ��� ��� ���� ����ń����� �����ą. �) ���, �� ��� ���� ����ń����� �����ą. �) ���, �� ��� ��ż�� � ��� ������������� ���������ć ��� ���� ��������� ��� ��ł�����, ������ ����, ż� ��ń��� ��ę �����ą. �) ���, �� ��� ��ż�� � ��� ������������� ���������ć ��� ���� ��������� ��� ��ł�����, ������ ����, ż� ��ń��� ��ę �����ą. �) ���, �� ��� ��ż�� � ��� ������������� ���������ć ��� ���� ��������� ��� ��ł�����, ������ ����, ż� ��ń��� ��ę �����ą. �) ���, �� ��ń��� ��ę �����ą � ������ ��� ��ż�� � ��� ������������� ���������ć, ż� ���� ���������. �) ���, �� ��ń��� ��ę �����ą � ��������� ��ż�� � ��� ������������� ���������ć, ż� ���� ��ł�����.

������ �ł�ż��� � ������ ��������� � ������������ ����� ���ń �������� �� .: ����� ś����� �ł�ń�� , ��ę� ����ę ��ę �������ć. �������ć.

� ����ż���� �����ł����� �������� ������ ������  ���� �� �ł��� ���ę� � ��ę��, �, ��ś ������ ����ę���� �� �ł���� ���ę��. O�� ������ ������ ���������� � ����ż����� ������� ���������.

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ �

���������� ���ń ��������



������ ������ � ������ ������������� ������� ��ę ��ł��� �������� �������� ������������ ��������ą� �� ������ . ��� ��� �������� ������� ������ ����ę���ą�� � ������ �ł�ż���� ����ż� �������ć ������ą , ����ę��� ������ą , ������� ������ą  ���. � ������ �������������, �� ������� �ę������ ������ć ��������� ����������. ����������.







� ������������ �����������, ��. � ��������� ������� �ł�ż�����: T���� ś����� �ł�ń�� ��� ����� ��� ś����� �ł�ń��. ������������� ���� �� ��������� � ������ ������� �������, �� ������ ���� ������������� ����������. � ������ �������� ��ś ��������� �ę���� ���������, � ����ż���� ������ �ą 2 ������ ������ (��� ����ż����� ������� ������� ����). Ćwiczenie: I�� ���ń �������� � ���������� ������ ������������� ����ę���� � ����ż����� �������� �ł�ż�����?

�) T� �����ł� ���� ������� � ��������� ���� ��� ł����. �) � ����� 13 ��� �� ��� �������� �������ł�� ���� � ����ęł�� ����ć ��ę �ę���� ����ń������. �) M�� 17 ��� ��� 19 ��� ��� 21 ���. �) J����� ��ł������� ��� ��� ������ ��ł������� ��� ������ ���������ą. �) M��� ���������� ��� �� �ł��� ���������� �� �������� �� �����, �� ����ą�� ł������, ��ż ��� �� �������� �����  ��ż ��� ��������� � �������. �������. �) N� ���ł ����� C����C��ę, ��� ��� ��� �� ��� �� �����, �� ����� ����� ������ę ��� ���ę. ���.: �) 2 ������ ������. �ą ��� ����������� �ł���� ���. ���. �) 2 ������ ������. �ą ��� ����������� �ł���� ���. �) 3 ������ ������. ��ż�� ���� ����������� �ł���� �����. �) 2 ������ ������ � ���������� ������ �������������: ������� ��ł�������� ���� ������� ���������ą�, ��� 3 ������ ������ � ���������� ��������� �ę���� ���������. ������ł������ ������: ���� ������ ��ł�������� ���� ������������� ������ł������ ����������: ������� ��ł��������. �) 4 ������ ������. �ą ��� ����������� �ł�����: ����, ���ż ����, �����. �) 4 ������ ������. � ą ��� ����������� �ł�����: ���� ��� �, ����, �����.

������ �������� � ������ ��������ą�� ��������ą�� � ������ ��ż�� ������ ������ �� ��ę ������������� �����ć �����ć ����

��������� ��� ��ł�����. P����ł��� ���ń ����������: 

  ł

  �����. ������  5 ���� ��ę���� �� 0  ��� ����   

 �����  ������ ����������� � ������ �������������.    

ł

����� ��� �ł�ż� �� ����������� �����.   

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ �

������ �����ś�� �������� ���ń ��������� O����� ����� �������� ���ł����� �����ę �����������ą �� �����ł����� ������ �ł�ż�����: � ł�ż�����:







S���� 2 < 5 � 5 < 8, �� 2 < 8.  

 

 

P������ż ����ż��� ������ ��ł��� ��ę � ������ ���ń ��������, ��ę� ��ż�� �� ������ć ������: S����

 �  �� .

� ������ ���:

: 2 < 5 : 5 < 8 : 2 < 8. D�������: P� �������� ��������� (����� �� ��������� �������) �������� �����ł ���������. K�ż���� ������ �������� ������������ �����ę 0 ��ś�� ���� ��� ��ł�����, ��ł����� , ��� �����ę 1 ��ś�� ���� ��� ���������. ���������. ������  �ą� ��ę �� �����ł������� ������ ���ń � ������ ���������� ���������� ���������: 2 + 3 = 18 18 L����� 12 ���� �����ą ����������ą. L����� −4 ���� �������� �� −1.

� ������ ��ł�����; � ������ ��ł�����; � ������ ���������;

 = 0  = 0  = 1

P������������ ������ �������� ����� ������ � ����� �����, ���. 0  ��� 1, ���� ��������� ����� � ������ ��������� ś������, ����ą �� �ę������ ��ę �������ć. � ������ ������������� �������� ������� ������ ���������ś�����, ����� ��������ł���� �����ę ��������ś����ą ������� ������� �����ś�� ��������� � (��ł������). Ćwiczenie: O���ś� �����ś�� �������� �������� ���ń ��������. ����������ź. ���ń, ��� ������ ������ ������ �� �����ść �������ą 0 ��� 1.�

�) M�� ���ń����� 16 ���. �) L����� 8 ���� �������� �� 0. �) B����� �� ����������. �) L���ę �ł���ć. �) O� ����� �� ����� ����� ���ę. �) P���������� ������� �������� � ������ −16 ���� ����� −4. ���.: �) ����ż��� �� C�����; �) 0 (��ł��); �) 1 (������); �) ����ż��� �� C�����; �) ����ż��� �� C�����; �) 0 (��ł��).

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ �

������ �������� �������������� ����ą� ��ż � ����������� ������� �������� ������ ������������� �����, ż� � ������ �ł�ż��� ��ł����ą ��ę � ������������ ����� ���ń �������� ������������� �����ś �ł���� ��� ����ą �ł��. P����ł����� � ������: T���� ś����� �ł�ń��, �ł�ń��, ��ę� ����ę ��ę �������ć. �������ć. ������ ������ (����ż����� �� ��������) �ą ����������� �ł���� ��ę� ��ę�,, � �� �����ł�� � ������: S���� 2 < 5 � 5 < 8, �� 2 < 8. ������ ������ �ą ����������� �ł����� �� � �� ���� ��� ����� (��� ����ż����� ������� ��������). ������ �ł�ż��� ���ą ��ć ���ż� ����������� �ł���� ���� � ����� ��.: T���� ������ ��� ����� ��� ��ś�ę � ��� �� �ę���� �����. M�� 16 ��� ��� 17 ��� ��� ������ ��ł������� ��� ��� ���ł� �� ������� ��������. � ������ �������� ��������� �ę���� ��������� ���� ��ę��� ����������� ������� �ł��� ��� ������ ���� �łę���. P���� �ł����� � ����ż���� ������ ���������� �ę���� ��������� ������ł�� �����ę��� ������� �ł��� ����� ��� ����ą������ �� ����� �ł����. T�������� � ������ �������� ������ ������������� � ��������� ������ �łę�� ��� ��. � ��ę� ��� ������������� ������ �ł�ż��� ��ł����ą�� ��ę ��. � 40 ���ń �������� ��ż� ��ć �� ��ż��� ����� ����������� �ł���� ����� ������ ����, ż� �ł��� �� ����ą�� �ż 39 ���� � ��� ������. � ������ ������������� �� ������������ ���ń �������� ��ść ��ę�� � �ż��� ��ę �ł��� ���ę� ���ę��. �. P������ż 2 + 3 = 5 � 3 + 2 = 5 ��ę� ��������� ���� ����������. S���� ������ 2 ���� ��ę���� �� 0, ��ę� ���� ��������. ��� ����� �ł�� ��. ������� ������� � ����, ż�� ż�� ��� ������ ������ � ����� ����� ����. ��� �. � ������� ����� �������������, ����������� ������� ���������� � ������ ������� �������� ����� �����, ��� ���� ��� ���� �� ������� �������������. T� �� ����ę���� � �������� �ł�ż����� ��ę��� �������� ��������, ������ ��ę � ����������  ���������� ������� ��������� . T����� �� ������ ��������ć, ż� �����ł����� � ������: ����������, ż� ����ę ��ć ���ę.� ��������� �������������� ���� ����ż���� ����������, ż�� ������ ����, ż� ��� ���� ��� ��ę��� �������� ��������. ������� ������������� � ����� �ł��� ��� ����� �ł�� ����ą���� �����ś������ ����� ������� �������.

� ��� ������� �������� ������������� ����ż����� ������� ��������.

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ �

M����� ������ ����ę��ć, ż� �������� ������������� ����ę���ą ����� � ���� �������� ����������. P����ł����� �ł��� ���ę�� ��� �ę���� ��������� �������������� ��ś�� �������� ��� �ż��� ��. � ������: U����� �� �����ć, ��ę� ���� ��! �� ������ �� ��� ���� ��������ą�� (��� ���� ����ń����� �����ą). Ćwiczenie: ����ż��� ������� �������� �������� ������������� � ����ż����� �ł�ż����� �������� ����������.

�) T� �����ł� ���� ������� � ��������� ���� ��� ł����. �) � ����� 13 ��� �� ��� �������� �������ł�� ���� � ����ęł�� ����ć ��ę �ę���� ����ń������. �) M�� 17 ��� ��� 19 ��� ��� 21 ���. �) J����� ��ł������� ��� ��� ������ ��ł������� ��� ������ ���������ą. �) M��� ���������� ��� �� �ł��� ���������� �� �������� �� �����, �� ����ą�� ł������, ��ż ��� �� �������� �����  ��ż ��� ��������� � �������. �������. �) N� ���ł ����� C����C��ę, ��� ��� ��� �� ��� �� �����, �� ����� ����� ������ę ��� ���ę. ���.: �)

�� �����ł� ���� ������� � ��������� ���� ��� ł����.

�)

� ����� 13 ��� �� ��� �������� �������ł�� ���� � ����ęł�� ����ć ��ę �ę���� ����ń������.

�)

��� 17 ��� ��� 19 ��� ��� 21 ���.

�)

������ ��ł������� ��� ��� ������ ��ł������� ��� ������ ���������ą.

�)

���� ���������� ��� �� �ł��� ���������� �� �����, �� ����ą�� ł������, ��ż ��� �� �������� ������ż ��� ��������� � �������.

�)

�� ���ł ����� C����C��ę, ��� ��� ��� �� ��� �� �����, �� ����� ����� ������ę ��� ���ę.

� ������ ������������� �������� ���ą ����ą ����ę � ������. D�� ������� ������ �������� �������ą 4 ��ż�� �������� �������������. F������� �������������.  F������� �� �������� �����ł����� �������� ��: ,  ,  ,  . D���ł���� ���� ��������� �� ������ ������ �������  ���ą��� ���������ć �����ść �������ą 0 ��� 1 ����������� ����ż��� �������.

   



 �

 

    0 0

0 1

1 0

1 1

P���ż��ą ������ę ����ż� �������ć � ���� ������, ż� ���� �����ść ������ �������� ���ę�� ����ł���� ��������: � � � �

 �� ������ �����ść 0, �������ż��� �� ����, ��� ������  �����ł� ���������� �����ść �������� 0 ��� 1  �� ������ �����ść �����ą � �����ś��ą �������ą ������  ���. ���  = 0, ��  = 0, ���  = 1, ��  = 1  �� ������ �����ść ��������ą �� �����ś�� ��������� ������  ���. ���  = 0, ��  = 1, ���  = 1, ��  = 0  �� ������ �����ść 1, �������ż��� �� ����, ��� ������  �����ł� ���������� �����ść �������� 0 ��� 1. 

N����ę���ą ���ę � ������ ������������� ������� ������� ��������� �������� , ����� ��������ą�� �����ść ��� �����ą ������ �������� �� ��������ą. F������ ��� ������ ��ę ������ą (�������������) � �����ęś���� ������� ��ę �� �������� ��� ��� �N���. F������ ������� ������� ��ę ����������, ����������, ż�� ż��, ��� ����� �  ���� ��ę��� ������� � ����� ���: ���� ���� �.







P�����ść�� ��ę�, ż� ������ą  ��������� ������ ������: �J����� ��ł��������.



������� ������ ������ ��������� �  �ę���� ������ć: �N��������, ż� ������ ż� ������ ��ł��������. ������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ �



P������, ż� �  ����� �J����� ���������ą.� ���� �łę���. A�� ������ ��������ć � �� �� ������, ��������ę �����ą ����� ����ę: N����������� ���� J����: � J����, ��� ������� ���� �������ą���? J�ś ���������: � J�� ��� ������, � ���� ���. �������: T� �� ���������ł J�ś ���� ��������. N�� ���� �� ������ ��������ź �� ������� ������������. � ������ ��������� ���� ��������. J�ś�� ���� ������ �J����� ��ł�������.� � ������ ���� ���������ć, �� ��� ��� ż��� ����ć �J����� ���������ą.� M����� ������ć �N�� ������ ��ł�������.� ��� �N�� ������, ż� ������ ��ł���� ����.�. � ���������� ����� ��� �������ś�� ������ ����������ą���� ���� ������� �������ż�� �� ����������ą����.

  J�ś�� ������ą  ��������� ������ ������ �� �������� �����ł�� 90 ������� �� 100 ��ż������.�, �� ������ � �ę���� J�ś�� ������ą  ��������� ������ ������ �L���ę ����.�, �� ������ �  �ę���� ������ć �N��������, �N��������, ż� ����ę ż� ����ę ����.�

������ć �N��������, �N��������, ż�  ż�  � �������� �����ł�� 90 ������� �� 100 ��ż������.� ������ �������ż�� ������������ �ę���� ������ć: �N� ����� ��� �����ł�� ���ł����� 90 �������.�



J�ś�� ������ą  ��������� ������ ������ �� �������� �����ł�� ��ę��� ��ż 90 ������� �� 100 ��ż������.�, �� ������ �  �ę���� ������ć �N��������, �N��������, ż� � ż� � �������� �����ł�� ��ę��� ��ż 90 ������� �� 100 ��ż������.� ������ ������ ��ż�� �� ������������ �ę���� ������ć: �� �������� �����ł�� ���ł����� 90 ������� ��� �����.�



Ćwiczenie: N����� ������ę (������������) �������� ������ ���� ������ �������ż�� �� ������������.

�) M�� 5 �ł. �) M�� ����� �� �� ���ę S�����ł��. �) L���ę �����ć. �) ��żę ��ę��� ��ż 100 ��. �) L���ę ����� �������� � ���������. �) M�� BM� ��� A���. �������� ����� � ���� ���������� ��������.� O��.: �������:

������ �������ż�� �������:

�)

���������, ż� ��� 5 �ł.

��� ��� ���ł����� 5 �ł.

�)

���������, ż� ��� ����� �� �� ���ę ������ł��.

��� ����� �� ���� ���ę ��ż ������ł��.

�)

���������, ż� ����ę �����ć.

��� ����ę �����ć.

�)

���������, ż� ��żę ��ę��� ��ż 100 ��.

��żę ���ł����� 100 �� ��� �����.

�)

���������, ż� ����ę ����� �������� � ���������.

��� ����ę ������ ���������� � ������������.

�)

���������, ż� ��� B�� ��� A���.

��� ��� B�� � ��� ��� A���.

 

P��������� �����, ż� ���� ���� ��� ������ ������:  �  ����������� ��������� ��������������. J�ś�� ������� ���� ��ę��� ����� �������� �������� �� ������ ��ę �� ��������������� ���������������.. P������� ��� ��������  ���������������� ��ż� ��ż� �� ���������ć �����ś�� �������� 0 ��� 1 ����ż��� �� �����ś�� ���������� ���ń ��������. � ������ ������������� ��������� ���������������� ���� ���ł����� 16. O������� �� ���������: ∆, ∆ , …, ∆ � �������� ������ ����� ��� ���ą:

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ �





� Δ� �

 � Δ� �

 � Δ� �

 � Δ� �

 � Δ� �

 � Δ� �

 � Δ� �

 � Δ� �

 � Δ� �

 � Δ�� �

 � Δ�� �

 � Δ�� �

 � Δ�� �

 � Δ�� �

 � Δ�� �

 � Δ�� �

   









































































































































 � ��� �

 � ��� �

 � � �

 � A�� �

����������:

 � ⊻ �

 � ⇔ �

 � �� �

 � ⇒ �

 � ∧ �

 � ∨ �

C����������: �����ą� ��������� �� ����ż��� ������ �������� �� ���ł�� ���, ����ć, ż� � ������� ��������� ��������� ���� �� �������� ������ 0 � 1. � ������� ������ ���� �� �������� �� ��� 0 � �� ���� 1. � ������� ������� ���� �� �������� �� 4 ���� � �� 4 �������, ��ś � �������� ������� ���� ������� 8 ��� � 8 �������. ���� ������ �����ą�������� ����� ��� ���� �����������. B����� �� �� ���. ��������� �������� ����������� ����� (������ �������) � ������� �� ��������� ������� ���� �����ś�� ��������� ��� ����� ż� ����� ��������� ����ą�� �łą� � ����ł������ ��� �������. ��ł� ����. D��ę�� ������� ��������� ����ł������ �������, ��� ������� ��������� �����ś�� ��������� ��������ą� �� ������� � ������ ������, � ��ń��ą� �� �������� � ���� �� ���������.

J�� ����ć �������� ���ą ����� ����������, � �������� � ���� ���ż� �����. O�� O� � ���: Δ � ������� N�� Δ � ������� ����������� ���������ą���: ⊻ (������� ���) Δ � ������� ����������: � Δ � ������� ����������: ∧ (������� A��) Δ � ������� �������ż��ś��: ⇔ Δ � ������� ����������: ⇒ Δ � ������� �����������: ∨ (������� O�)

J�ś�� ������ � �������� �������������� (����� �� � ����ż���� �������), �� �����ę���� ��������� � ������ ������� ������� ��������ą ����� �� ����� �� ��� �����ł� ��������� ���������: Δ , Δ , Δ, Δ. J�� �� ����� �� ������������ ���� ������, �����, ż� �ą 4 �������� ���������������� � ���� 16 ��������� �������� ���������, �����, ż� ����� ���� ��� 20. C� �������, �ż 18 � ���� 20���� ��������� ��ż�� ����������ć �ż����ą� ��� łą����� ����� �������ł��� ��. �������� ������ �� ������� � �����������. �������: C�ł� ������ ������������ ������ ��ę ��łą����� �� ����������������� ��������� ������� ���� ��������������� ��������� �����������. A�� ��� ��������ć ����� ż����, ��� ������ ������ ��ę��� �ż��� ��ę ���ż� �������� ����������, ���������� ���� ������ ��ż��ś��, ���ć ��ż�� � ���� ��ż�� ����ą��ć �ż����ą� ����� ������� � �����������. J�ś�� ������ ����ć ������������ �����ę �����������ą, ��� ������ ����������� �� ������ł�� ������ć �� ����ęć. ���������, ż� ������ę���� ����� ��� �������� � ������� ����������� �������:

    

    

����������: �����:

� Δ9 �

 � Δ10 �

 � Δ12 �

 � Δ15 �

0 0 0 1

1 0 0 1

1 1 0 1

0 1 1 1

 � ∧ �

 � ⇔ �

 � ⇒ �

 � ∨ �

���������� �������ż��ść ���������� �����������

����, ż� ������ą �����ś�� ��������� 0 ���� �����ść �������� 1 � ���������. T� ���ł����� �������� �� ������ ����ć �� ����ęć.

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ �

���������� ���������� � ������ �ł�ż��� ������ł� � ����� ���ń �������� ��łą������� ��������� ����������: ∧.  

 ∧ 





 

F������ ���������� ���������: ���, ����� ����ż��� �����  ∧  �������: ��� � ���. K��������� ���� ��������� ����� �����, ��� ��������� ������ �� ���� ������ �ą ���������. P����ł��: 





   ���� � ������ ���� ś���� . �� � ������� ������� ���� ����ł� ����ł� � ��  ���ł ���� �� 28 ���  � ��������� 

G���� ���ć�� ����� � ����ż����� ���ń �������� ��� ��ł� ��������� ��� ��� ��ż�� ��ł��� ������������� ����ś��ć ��� ���� ��� ��������� ��� ��ł�����, ������� ���������� ���� ���������� ���ń �������� ��ł��� ��ł����� (���ł��� �����ść �������ą 0). P����ł��: 

�ł



   ���� ���� ś���� . �� � ������� ������� ���� ����ł� ����ł�  � ��  ���ł ���� �� 28 ���  � ���������

       �ę  ż ć  ś � ść ą   łą  ń �

O������� ������ ������ � ����ż���� �����ł����� ��� ���� ��ę ������������� ����ś��ć �ł���� �������� ��� ���ł���. C����� � ��, ż� ��� ���� ������������, ��� ������ � ����� ś����� �� ��ł�� ���� ���������, ��� ����� � ����ś ��� �����. J�� ������� �� ������� ś���� ����� ��� ����, � �� �����ł�� �� S������ ���� �� ����. N�����ą �������� ���������� (��� ������ą ����������) ���� ������� ����������� � ����� ����� 3) �� ������� 13. ����������� ����������� � ������ �ł�ż��� ������ł� � ����� ���ń � ��ń �������� ��łą������� ��������� �����������: ∨.  

 

∨





F������ ����������� ���������: �����. A���������� ���� ��ł����� ����� �����, ��� ��������� ������ ������ �ą ��ł� ����� � �����  � �� ���������� �������ł��� ����������� ���� ���������. T� ���� ��ż�� ��ż �����������ć � ������ ���� ����ż��: ����������� ���� ���������, ��� ������������ ����� ������ ������ ���� ���������.

P����ł��:  



ł

  ������� ������ ������� 28 .  28 ���� ��ę���� ��� ����� 

N�����ą �������� ����������� (��� ������ą �����������) ���� ����� �� ���������� � ����� ����� 3) �� ������� 13. ������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ �

���������� ���������� � ������ �ł�ż��� ������ł� � ����� ���ń �������� ��łą������� ��������� ����������: ⇒.  

 ⇒   

J�ś�� ������� ���������� ���� ����ę��� ����� �������� ��������  � � �, �� �� ������������ ������ł��� � ��� ������ ������ �ł�ż�����, �ż����� ������� �� ������ł���ń:

 

     

�  ��������� �  ����ą�� � �  ������ � ��ż���  ��

S����� ����� �� �������ą ������ę, � ���ł������ �� ������ę � ���������ą. �����ż, ż� �����ś�� ���������� ��ż�� ł���� ������ę��ć. I��������� ���� ��ł����� (�� �����ść �������ą 0) ����� �����, ��� �������� ������ �������� (����������)  ���� ���������, � ������ (����ę����) ��ł����� � � �������ł��� ����������� ���� ���������. ���������. I�����  I����� �ł��� �������� ��� ��� ������� �������ć � ������ ��ł���. � �ł���. � ������ ��� ��ż� ������ć ��ł��.

��� �������: � ��������� ����������, ��ś�� ���������� ���� ���������, �� ����ę���� ��� ��ż� ��ć ��ł�����.

N� ������������� ���� ����� ����� ����� �����ł����: 2 = 3  /  ⇒  4=9  ł

ł

  ⇒  9 =9



−3 = 3 / ł



� � ��ł��� ��ż� ������ć ������



  ⇒  4 =4

2 = 2  / 

� � ��ł��� ��ż� ������ć ��ł��

� � ������ ��ż� ������ć ������ (� ��� ���������ł����� �ą �������� ������ł���)



N� � �����ł ����� ��������� ��� � ������ ������ ��ł��. J��� � ��� ����� ����� �������. N�� �������� ż���� ��������� ������ ��������, ����� �� ���������� ���������ł������� ��ł��� ������ ��ł�����. ����� �� �� ������ ��� ��ż� ������ć ��ł���. ��ł�� �.

     

 

� ��������� ����������, ��ż�� ���� �������ść ���ń ��������. M��������� �����:  ⇒   �� ��� �� ���� ��  ⇒ . M�ż�� ��������� ������ ���������� �������ć, ��� ������� ������ �������ć ���ż� �������ść ���ń ��������. I����� �ł��� ������� ����ć  ⇒  ��ż�� ������ć  ⇐ , � ������� ����ć  ⇒  ��ż�� ����ć  ⇐ . Tę ��������ą �������� ��ę �������� ����������ą � ����� ��� ����������ą �������ą�, � �ę ����������ą ����������ą � ������ ��� ��������� ��ą �����ą� ��� ������ ����������ą�. J�ś�� ������ ����� �ł��� ������������ �� ������ ���� �� ��ś�� ���������ę � �����, � ��ś�� ������ ���������ć, ż� ������ ��� � ���������ę � ����, �� ������ ������ �����������ć �� �����.

  

 

 

  

  

������ ������ � ������������:  ⇒  ����  ⇐  ��ż�� ���������ć. O�������� ������� ���������� � ������ ��� �����:

  �  ⇐ � � ���������� ������������� (�������ż�� ���������� �������) �  ⇒ �  � ���������� ��������� (�������ż�� ���������� ���������)

J�ś�� � ������ ��������� ������ �������� ���������� ����ę���� ������� ����������� ��� ���������� ��� �������, �� ��� �������� ���� ������������� � ����. O������ ��, ż� �� �ł�ś��� ����������, � ��� ���������� ��� ����������� ������� ���� ������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ ��

����ż���� �� ���ą � ����ą �����ę ������ ����, ż� ��� �� ��������. I����� �ł��� ��� ����ż��� ������ �ą ����� �������ż��:

 ∨  ⇒ � ∧   ∨  ⇒ � ∧  �������ż��ść �������ż��ść � ������ �ł�ż��� ������ł� � ����� ���ń �������� ��łą������� ��������� �������ż��ś�� ⇔.  �żś









�żść

F������ �������ż��ś�� ���������: ������ � ����� �����, ��� ��. J��� ������ ��� ��� ������ ���������� ��ł�� ż��� �� ������ ������� ���������� � ���� � �����. F������ ��� ��ż�� ������ ����ą��ć ���������ą ���������� � ���� � �����:

 ⇔  ≡  ⇐  ∧  ⇒  �� 3 ��������� � ����ż���� ������� ������ ����� �������ż���. ���� �� ������ ���. �����������.

�����ż��, ż� ��������� ������� (2 ������ ����ś����) ����, ż� �������ż��ść ���� ��������� ����� �����, ��� ��������� ������ ������ ���ą �ę ���ą �����ść �������ą, ��. ��� ��������� �ą ��ł����� ��� ��������� �ą ���������. J�ś�� � ������ ��������� ������ �������� �������ż��ś�� ����ę���ą ���� �������� ��. �������, ���������� ��� ������ ������, �� ������� �������ż��ś�� ���� ������������� � ����, � �� �ł�ś��� ��, � ��� ż���� � �������ł��� ��������� ���� ���� ���� ����ż���� �� �����ę ���ą � ����ą. G��������� ������ � ��, ż� ��� ������ �������ć �������� � ���������� ��� ����ę���� ����� ����� ������� �������ż��ś��. P����ł����� ����� �����ą�, ��� ����ż��� ������ �ą ����� ���� ����ż��:

 ∨   ⇒  ⇔ � ∧   ∨  ⇒  ⇔ � ∧  S��������� �� �������� �������ż��ś�� ���� ������� ����������� ��������� ��������: ≡. S����� ����������� ������  ���� �����, ��� ������ ������ć, ż� ���� �������ż��ś�� �ą ����� �������ż��.

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ ��

������ �������� ���ń � ����� �������� ������������� N� ����ą��� ���� ����������� ������ł��, ż� � ������ ������������� ������ ������ ������� ��ę ��ł��� ��������� � �������� ������������ ��������ą� �� ������� , , , … . O� ����� ������ ��������� ������ ������� ������ ��� � �ł�� ż��� �ę������ ��������ć ����� ������������.



� ����������� ������� ����� ��ż, ż� ������ � ������� ������ę � ��������� ������ ����� ������ ����. P����ł���� �� ����� �  ��������� ������ , ��ś ����� � � ��������� ������������ ������ . P�����ść��, ż� ������  �����:



 







J����� ��ł�������.



��ę� ������ �  �ę���� ������ć: N�� ������ N��  ������ ��ł�������. ��������ż���: ������� ���������ą.��

 

��ś � �  �ę���� ������ć: N��������, ż� ��� ż� ��� ������ ��ł�������. ��������ż���: ����������, ż� ������ ���������ą.� ����� ������� ��ł�������.��

�������: S���� ����� ����ą�� ����ż��� ������ �������� ��������� ���� ż� ���� ��ł�������, � ����� ����� ��� �� ���������, ��ę� � ������ ��ń����� ��ń� ���� ��������� ������ ����ą�����, �����, ż� ���� �� ł�������. � ������ �������� ������ �������������, ������������ ������������ ���� �������ż�� ������ ���ś�������. S����� ������� �������� ��ę �� � ���� ������:

  ⇔ 

� �



� ��������ść ���� ������ �������� ��ę ���������ą� ��������� ��ż���� �����ś�� ������ ���������� . P������ż ����������� �� ������� ������ ��������ś������, ��ę� ������   ��ż� ���������ć ����� ����ą � ����� �����ś�� ��. ��ż� ��ć ���� ����� 0 ���� 1. ��������� ��ę� �����ć ������ń�ą ������ę (������ ����������������) � �����ż�ć, ż� �������ż��� �� ���� ���  ���� ����� 0 ��� 1, ����� ��ń���� ������ �������� ����� 1.





������ ���������������� (���������)

   

A�� �����ć ������ę ����� �� ��� ��������� ����ż����: � �  ⇔  ������ �������� ��ę ���������ć �� � ��� ������� �ę����. N� ����ą��� ����� ��ę ��� � ���� ��, ż� � ������� ��� ����ę���� ����� ����� ������ ������  (�� ��� ����� ���� �������ż��ś��). T�� ��ę� �������� ������� ������� �ę���� �������ć ��������� ��ż���� �����ś�� ������  (�ę� �ą ����� ����). D�������� �������, ż� ���� ������������ ������  (�� �ę���� ����� �������) ���� ������������ ������������ (������� 3����). P�ź���� ������� �������ż��ść (��ł� �����), ����� �� ������ �ę���� ����ś��ć � ������ ���� ��. � �������� ��������. M��� ��ę� ���ą ������ę:







 � �� �� ⇔  0 1

A�� �����ł��ć �ę ������ę, ������ �� ����ęć ���ć �� ���� ������� ������� (�� �����ą�� ���������) ���� ������� ������ ��ż��ś�� (⇔). �������� �� ��ł� �������� � ���������� �������. M��� ��, ��������ę, ż� ������� ������� ���� ��ść �������ą 0 �� 1, � �����ść 1 �� 0. R������ż��ść ��ś ���� ����� 1 ��ś�� �� �� ���� �� ����� ������� ������� ⇔ �� ���ą ���ą �����ść �������ą ��� �� � � �� ���� �� ������� ������. ��� ���. �����ą ��, ��ż��� �����ł��ć ����ż��ą ������ę:

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ ��

 � �� �� ⇔  0

1

0

1

1

0

1

1

A������ ����ż���� �������:



N������ż��� �� ����, ��� ������ ������  ��������� �����ść �������ą 0 ��� 1, � ��������� �������� ����ł� ���� ��� ����� (��ż�� ������� �� ����������� ����� �ł��� ��������). O������ ��, ż� ������ ������������ ������������ ���� �������ż�� ������ ����ą�������. ������ �ł�ż��� ��. ����� ��� � ��������� �������� ����ż���� �������, ����� ������ ���� ��������� �������ż��� �� �����ś�� ���������� ���ń �������� � ��� ����ę���ą����, �������� ������ ��������� ��� ������ ���������ą. ����� �������� (����������) � ������ �ł�ż���, ����� ��������� ������ �����ść �������ą 1 �������ż���

�� �����ś�� ���������� ���ń ��������. K�ż�� ����� �������� ������ ��������ć, ���. ������ć ���� ���������ść � ��ż��� ���������. � ��� ���� �����ę� ś���� ������� ��ę ���. �����ę ����������������ą�, ����� ���� ��ę ����������ą ������ę �� ������ ������� ��ę ����� ������ 0 ��� 1. P����ł�� ������ ������� ���� � ������ �����ł �������������� ����� ��ż��. P���� �������� ��ż�� �������ć ���ż� �����ą ���� �������, ��� �� ���ł �� �����ą ������� ��ż�� ����� ���ń���ć ��ż� ��������. ����� ���� ����������

P���� �������� ������ą ���ż� ����� �����: �.�.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

����� ��������

����� ����� ����������

(����ż���� ����� ���� ������ ���������)

  ⇔  � ∧ �  ∨ �  ∧  ∨  ⇔  ∧  ∨  ∧    ∨  ∧  ∨   ∨  ∧  ⇔  �  ⇒ �  ⇒    ⇒     ∧  ⇒   ⇔  � ∨   ⇔ � ∧  ∧ �  �  � ∧   ⇔ � ∨  ∨ �  �  � �

����� ���������� ���������� ����� ��łą������ ���������ś�� ����� ��łą������� ś����� ����� ����������ś�� ���������� ����ę��� ����������� ����� ����������ś�� ����������� ����ę��� ���������� ����� ������������� ����� �����������ś�� ���������� ����� �� M������ ����� �� M������

N������� ����� �������� ��� ���ą ����. O�� �����ł��� ������ ����:

   ∨  2)   ⇒    ⇔ � ∨  3) � ⇒   ⇔   ∧ � 1)  ⇒

� �� ����� ���� ������ ��ż��. ����� ��ę �� �� ����ęć.

S�������ż����: D���������� ������� ����� ����� ���������ą � ������� 2) �������, �������, ż� ������ ������ ������ ��������ą ����� ������ ������ ś�� �� ��������� � ��������� ������� ����������� ������� ��ę � ������� ����������. ����������. ������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ ��

����ż�� ����� �� �����ą ������ ����������������� (����� �� �����ą �������), ż� �������� � ����ż����� ����ż�ń  ���� ������ ���������. A������ ������ ���� ����ż����:

 

1. M��� ��� ������ ������:  � , ����� �ę������ ����������ć ���� ������� (�� ������ �� ��ż���� ������ ���� �����), ���� 5 ������� (������ �������� �ę���� �������ć ���ł���� ������, ��ś 4 �������ł� ��������� ��ż���� ��������� ��� ���� ����� ���ń ��������: ��� ������ �ą ��ł�����, �������� ������ ���� ��ł����� � ������ ���������, �������� ������ ���� ��������� � ������ ��ł�����, � �ł�����, ��� ������ �ą ���������). 2. �������, ż� �� ������ ������� �������� ���������� ���� ����������� ����� ���ń, ��ę� ������ �����������ć ����� 3���ą ������ę �� �ę �ł�ś��� ����������ę ∨ . 3. �����ł� ��ż ����� ����������, ��ę� �������ą ��. 4��ą ������ę ������� ����������� �� �����ś�� ���ż� ����������.

  

R����� ��ę� ������ę:

  ∨     ∨   ⇒  0 0

0

1

0 1

1

1

1 0

1

1

1 1

1

1

O��� �����ł������ �������: � �� ������� ������� �������ś�� �� �������� 0 ��� 1 � �� ������� ��������� �������ś�� �� �������� �� ��� ���� � �� ���� ������� � ������ę 3���ą �����ł����� � ������� � ���� �������� �������, ����ę���ą� � ���, ż� ����������� ����� ���ń  ���� ��ł����� (����� 0) ����� �����, ��� ��������� ������ ������ �ą ��ł����� � ������ę �������ą �����ł����� � ������� � ������ę 1����ą � 3���ą (�������ść ���� ��ż�� �� ���� ���������ę), ����ę���ą� � ���, ż� � ��������� ���������� � ������ ��� ��ż� ������ć ��ł��.

  ∨  ���� ���������ą. �� �����ą ��� ����� ������ ���������, ż� ����ż����: �  ⇒  ⇔   ∧ � ����   ⇒  ⇔  � ∨   �ą ���ż� P������ż � ��������� �������� ����ł� ����� �������, ��ę� ��������ś��, ż� ����ż����  ⇒

������� ����������.

������ ��� ������ (�����������)

J�� ����ś���� ������ł�� ������ ���������������� ��� ���� �����ą �� �����ą ������ ��ż�� ��������ć, ��� ������ ����ż���� ���� ������ ���������. I��ą �����ą (��� � �������ą) ���� ������� ��� �������. P����� ��� �� ���, ż� ��� �� ���� �������� �������� �������ę �, ż� ���� � ��� ����ż���� ���� ��ł�����. ����� � ������ ��������� �������� �����:

   ∨  ���� ��ł�����.�

�����ż����  ⇒



J�ś�� ���� ��� ���������, �� ���� ������ ���� ����ż���� (� ��� ��������� ���� ��ą ����� ������ ) ���� ��ć ����� �����,, � ����� ��ł����� ����� ��ł�����.. T���� � ����� ��������� ���������� ���������� ����  ���� ��ł����� (������ � �������ą). P������ż ���� ����� �� ���� ���������, ��ę� �����, ż�  = 1. ����� �� ����  ��� � ������ ������ �������� ���������� ��ż �� �����ść �������ą 1, � �� �������, ż� �����������  ∨  ���� ���������, �� ���� ��������� � ����ś���� ����������� ��ł�ż�� ����, ż� ���� ��� ��ł�����.



 



  ∨  ���� ������ ��������� (���� ���������ą).

�������: P��������� �������� ���� �łę���, ��ę� ����ż����  ⇒

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ ��

A�� ��ż�� ��ł� ������ ��������ć �� ������ś�� � ����ż���� ��������, ������� ����� �������: ł





�����ż����

 

⇒ ( ∨ ) ���� ��ł�����.�





T���� ����ź��� ����ć, ż� �������� ������� � �������� �ł��� ���ł��� �ą �� ���ą � ���������ś��, �� ����������� ���� ��ł����� ����� �����, ��� ��������� ������ � ����� ������ �ą �����ą�� �ą ��ł�����. M����ę ��� ������ ������ ��ę��� ������������ ��ę �����, ��� ������ ������ć ���������ść �����ś ��� ������ń���� ��� ����� ��������� �������ś ������. Ćwiczenie: S�����ź (������ą �����ą), ��� ����ż��� ����ż���� �ą ������� ����������.

 �) � �)  �) �( �) �

 ⇔ �  �  ⇔ � �   ⇔     ) � ⇔ �( ) ( )�

 ∧



 ∨



∧ ∨

















��������� ������ ���� ����������

N��� ����� �������� ��ż��� ������ć � ������� � ��, ����� ��ż �����.   ��������� ����������ć ����ą � ������ ��������� �����ę ������������ ��. ������ć ������� ����ż���� ������� �������� �������� ����� ������ ������� (�������� ���������). J��� �����ł�� ���������� �������� ����� ����� ��ż ������ ����� ��. ����� ���������� ����������:

  ⇔ 

� �



� ������� ��ż��� �������  (� ��� ��������� ��� ��ż��� �����ć �����, �� ���� ����� � ���� �����) �������� ������������ ��� ��ż���� ����� ��������� ��� �� �ł��� ��.  ∨ . O�������� ������ ���� ����ż����:

   �� ∨   ⇔  ∨ 



����� �� ����������� ��. �����ą ���������������ą ���ż� ���ż� ��ę ���������ą. M�ł� ����. ������� �������  ��ż�� ������ć ����ż���� ��������ą�� ��. 20 ������� � �� �� ���������, ������ż �ę���� ���������ą. T��� ������ ������������ ������ ���������� ������� ��ż���� ����� ��� ��������, � ��� ����� ������������� ��ż�� ����� ���������� ����������. �������� ������� �ę �����ę ������������ �� �����ł����� ������� � ����� ���� �� M������. N� ���� ą��� ����:

 ∧  ⇔ � ∨ ∨ �  �    ∧ , � ������� �������  �������� ��.  ∨  ∧ . O���������� ����� ��� � ������� �������  �������� ��.   ⇒  �

��, �������� �������� ����������� ����ż����: �

 ⇒  ∧  ∧  ∨  ∧  ⇔ � ⇒  ∧  ∨ � ∨  ∧ 

����� �� ����������� ��. �����ą ���������������ą (��������ą) ���ż� ���ż� ��ę ���������ą.

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ ��

�������� ��� � ���

N� ����ą��� ���� ����������� ����ł��, ż� ��������� �������� ������ � �������������� ��ż�� ����������ć �ż�� ���ą� ��łą����� �������� ������� � �����������. N�� ��������ł�� ������ ����, �� ��� �����ś�� ������� ��� ������ ����������, ��� ������ ���� �������. T���� ��ż �� �����, ��ę� �� ����ą��� ����ż�� ���������ść ������� ����ż�� ���:

 ���  ⇔ � ∨  J�� ������� (����� ������� �� ������� 8) ������� N�� ���� ��������� ����� �����, ��������� ������ ������ �ą ��ł���� ��, ��ś ����������� ���� ��ł����� ����� �����, ��� ��������� ������ ������ �ą ��ł�����. ����������ą� ������������ (����� ����ż���� �� ������ ������� �������� �������ż��ś��), ��������� ���ł����� ��, �� ���� �� ������� ����� �������� �������ż��ś�� � �� ��� ����������� �������. J�ś�� ������ ������ �� �������� ������ć ���������ść ���� ����ż���� �� �����ą �������, �� ������ �ą �����ć ���:  ⇔ �  �  ∨      ���   ∨  � ∨   ���  ⇔ 0 0

1

0

1

1

0 1

0

1

0

1

1 0

0

1

0

1

1 1

0

1

0

1

�������� �����, ��� �� �����ą ����������� � ������� �������ć ������� ���. J�� ������� � ������� ������������� �� ������� 8, ����ż����   ���� ��������� ����� �����, ��� �������� ������ ������ ���� ��ł�����, � ������ ���� ���������. R����� ��ę� ������ę: � �����ę:

  

 ⇔ �  �  ∨ �     ���  �  ∨ � � ∨ �  ���  ⇔ 0 0

0

1

1

0

1

0 1

1

0

0

1

1

1 0

0

1

1

0

1

1 1

0

0

1

0

1

Ćwiczenie: M����ą ���� � �łę��� ����� � ���� ������ �����������ą� ����� ������� ����������� � �������, ��ż�� ��� ��ą��ć �������� ∆ , ∆ , ∆ , ∆ , ∆  ������������ � ������� �� ������� 8.

������ ����� ��ś ������. S�������� ��������: �����������, ����������, ���������� ���� �������ż��ś�� ����ą��ć ����� ����� N�� ���� ������ą. N� ����ą��� �����ż��, ż� �����ś������ � ������� �� ������ 8, ����ć, ż�: �:

 ∨  ⇔ � ��� 

P���ż��ą �������ż��ść �������� ����� �������ą �����ą �, ��ś�� ��ź���� ����� ł���� �� ���� �����ć, � ����������ą  ��ż ��� �����ą����� ����� �ł��� � ��������ś�� ��ż �� �� �������ś��. P�����ź�� �� ���������� ����������. N� ����ą��� �����ż��, ż� �� ��������� ����� �� M ������ (������ 13) ����: �

 ∧  ⇔ � ∨ ∨ �  � 

N����ą� ���� ������ ��� �������ż��ś�� ���������:  ⇔  � � ∨  ∨ �  �   ∧  ⇔ �

� �

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ ��

N� ��������� ����� ���������� ���������� (������ 13), �������, ż� ���� ������ ���� ���ą ���������ą. M��� ��ę�:

 ∧  ⇔ �  ⇔  �� ∨  ∨ �  �  P�������� ��� ��ż ����� ����ą �����ę ����ż���� �������ż��ś�� ������ć �� �����ą �������� N��. � ��ś���� �������� �  �� �����ą ������� , ��ś �  �� �����ą ������� . M��� �������:









 ∧  ⇔ �  ⇔  � ∨  � �� ��������� ������ ����������� ����ś���� �����ą �, ����:

 ∧  ⇔  ���  C����ą� ������������, ������� �������  ������� � � ������� �������  ������� �. O���������� �����: �:  ∧    ⇔ �  ⇔  � ��� �  ��� � P�������� ��ż �� ���������� ����� ���������� � �������ż��ść. �������� ��ę ���������ą. � ����ś��������� ������� ��� �� �����������, �����, ż�:

 ⇒  ⇔ ( � ∨   

)

� �   

C����ą� ������������, �����������: �:

 ⇒  ⇔ �� ��� 

�����ł� ��ż ����� �������ż��ść � ������ �� ���� �����, ż� �� ����������� ���������� � ���� ������, �����, �� ���, ż�:

 ⇔  ⇔  ⇒  ∧  ⇐  �������   ⇒  �������� ������ę  � �������   ⇐  �������� ������ę . M��� ��ę�:  ⇔  ⇔  ∧   ⇔   ⇔  (�   ⇔ ( � ��� �) 

 ⇔  ⇔ � ⇒  ��� � ⇐   ⇔  ⇔ � ⇒  ��� � ⇒   ⇔  ⇔ ��� ���  ��� ��� ���  �:   ⇔     ⇔  � ���  ��� � ���  Ćwiczenie: F������� ∆ � ∆  (����� ������� �� ������� 8) ����ą� ��������� N�� ���� ������ą.

�����       ⇔   ⇔     �   �  �  �   ⇔ ��� ��� ��� � � �� ������������ ������� ��� �� �����ą ����������� (������� �� ������� ��), � ����� �ę ����������ę ����ą� ��������� ��� (����� �)� ��� �������ć ���� ���� ∆ �������� �� ��������� ������� �� ������ �, �����ż, ż� ���� �� ������ą ����������� ����� �� ��������� � ����ą� ��������ą ���������ę ��������� �����

Ćwiczenie: S�����ź �� �����ą �������, ��� �� ����� ����ż��� ����ż���� ��������� ���������� �������� A, B, C,

D ���� �� � ć�������� ����ż����� �ą ������������.

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ ��

O���������:

����������� �����ś�� ���������� �������� ������������� ����ż�ń

N� � ��������� ��ż ��ń��. J���ą � ��������� ������ � ������ ����ż� �������ć ���� ��, ż� �� ��ę��� ���ń �������� �� ���� ����ż����, ��� ��ę��� ���������� ������ ��������ć. A�� ��� ����ąć ż������ ������ ���� ��������ć �����ś�� �������� ���ń �������� � ����ą��� ���� ������ � �������� ��������� (��������). N�� ������ą� � �������ł� ����� ������� ����� � �������� ���������, ������ ����� ����, ż� ������ �� � �� �� � �������� ������ ������� ��������ć �� �������� 0 � 1, � ������������� ��������ć �� �������� �� 2 ���� � �� 2 �������, � �������� �������� �� 4 ���� � �� 4 �������, ����� �� 8 ��� � �� 8 ������� ���. ����ż��� �� ���� ��� ���ń �������� �ę���� � ����� ����ż����. ��� ������ ������ę ���������� �����ś�� ��� 4��� ���ń � ��ń ��������: 







































































































































�����ż��, ż� �������ą� �����ś�� ��� ��������, ������ś�� �� ������� � ������ ������ �� ������� � ������ ���������. I����� �ł��� ���� �����ść, ż� ��� ��� ����ę��ś��. S�������ż����:

I��ść ���������� ���ą ������ �����ż�ć � �������� ����������������� ����� ż� ��ę ������ 2 , �����   �� ������ ���ń ��������. G����ś�� ��ę� ����� 10 ���ń ��������, �� ������ ��ł��� ��������ć 2 = 1024 ���������.



A�� ��� ������ą��ć, ������ź�� �����ą ���������������ą, ��� ����ż���:

 ∨  ∧  ⇒  ∨  ∧ 

 ���� ���������ą. N� ����ą��� �����ż���, � ����ż���, ż� ���� 3 ������ ������, ��ę� �ę������ ������� ������ ż�ć 2  ����������. R����� ��ę� ������ę ���ą�ą 9 ������� (�� ����� � �ę���� ���� ������������ �� ���ł���� ������) � ���������� ��������� ��ż����ś�� ���� 3��� ���ń ��������. P���� ���������� ��ż ����� �������ł� ����ż���� ��ł�����. M��� ��ę� ������ę: 



    ∨   ∨  ∧   ∧   ∨  ∧ 

�  ⇒ �  ⇒  �

0 0 0

0

0

0

0

1

0 0 1

0

0

0

0

1

0 1 0

1

0

0

0

1

0 1 1

1

1

1

1

1

1 0 0

1

0

0

1

0

1 0 1

1

1

0

1

1

1 1 0

1

0

0

1

0

1 1 1

1

1

1

1

1

�� ��������� ������ �������, ż� ������ ����� ��� ����ż���� ��� ���� ���������ą (� ��������� �������� ��� ����ł� ���� �������). U����ł����ą� �������ą ������ę ������ ��ł� ����ę��ć �ł����� � ���, ż� ������ ����� ���� � �������� ��������������, ��� ��ż� ������ć ��ł�� � �������� 5����. � ��������� ���������� �������ść ����ż�ń ���� ��ż��. D�� ������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ ��

��� ��������� ����, ���������ł�� �� ������� ���� ����������. L�����ą L �������ł�� ���ą �����ę ��ń����� ������ �����, ��ś ������ą P �����ę ����ą. T���� ������������ ������ �������ń ���� ���������, � ������� ��ę �� �ł����� ��� ���� ����ż���� ���� ��ść �ł���� ��� � ���� ��� ���������� ��ę ���� �� ��ł������ �������.

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ ��

������ ����� ��������� ����� �������� �� ����ż���� ����� �ę���� ��ż�� �����ć � ��������� ������� / ��ł��� ��ś�� ������� ��ż��� �������

� ��� ����ę���ą��� ��������� ���ąś �����ść (��� ���������� �����ę). D�� �����ł��� ���������� ���ą ����ę �������ą:



L����� 3  ���� ��������.





� �����ż��, ż� ��� ��ż��� �����ć ��� �����ś�� ��������� (0 ��� 1), �� ��� ����� ���ą �����ą ���� . J�ś�� ��ś ������� ��������� ���ąś �����ę, �� ����� ����� �������� ���������� ��ć ����ą �������ą, � ������ �� ���� ��ę ����ż����� ��������� � ������ �ę������ ����� ������������� ���������ć, ż� ���� ��������� ��� ��ł�����. P����ł��� ������ ���� ����������:



� L����� 7  ���� ��������� ����� 3.



 � S��� T��� �� ���� . �� ��� ��������� �������  ����ż� ��������ć ��. �����, ������������, ����������, ���.� � J�ś F����� ���� . �� ��� ��������� �������  ����ż� ������ć ��. ����ę ���������� ��� �������.� �  ����ł� �������ł�. �� ��� ��������� �������  ����ż� ��������ć �������� �������, � ��� �����ę.�

F���� �������� ��ż� �������ć ��ę��� ��ż ����ą ������ę (������ą �������ą). P����ł��� ������ ���� ��:







� D��ś ��������� �������� �ę�ę ���ą��ć , � ����� �������ć . �������� �������   ��ż�� ������ć ��. �ł��� ������, ��ś ������� �������  ��ż�� �����ł����� ������ć ���������.�



 � M��� ����ż���� ���� , ��� ��� ��ł���� �� ℎ � .

� � ������ I� ����ł� ����������� ����ł�� ��ę  � � ���������� ���ł��

 

.



P������� ��� �������� ������� ��������� ��łą ������ą  ��� , ��� ����ę �������ą ��������� ��łą �����ą �����ą φ (��������: ��) ��� ψ (��������: ���). T�� ���� ��� ���� ���������, ��� � ���� ������ ��������� ����ż� �������ć ��� ����, � � ��� ������� ����� ������� ��� ������� ��.:

,  = D��ś ��������� �������� �ę�ę ���ą��ć , � ����� �������ć . � ���������� ����ł�� ��ę  � � ���������� ���ł�� . ,  = � ������ I� ����ł� �����������    , ℎ,  = M��� ����ż���� ���� , ��� ��� ��ł���� �� ℎ � .  = J�ś F����� ���� . J�� ��ę� ����ć, ������� ������� ����ę���ą���� � ������ ��������� ��ż��� ���������ć ��ż�� ����ż���� (���ż� ����� ��). ��������� �� ����ż���� ������� ��ż�� ����ą��ć ������� � ������ ��������� �������� ��������ą ����� ������� ���. R��������� ������� ��� ����ę �������ą:

 = J�ś F����� ���� . � ���������� ��ę, ��� ������ ��ż�� ����ż���� ����ż� �� ��� ���������: �) �) �) �) �) �)

������ą �ą��� ���������� ������ ����� �����ł��



� ���, �� �� ��������� ���� ����ż���� ������� ��������  ��������� ������ ��ł�����. � ���, �� �� ��������� ���� ����ż���� ���������� ������ ���ą�� ��ę �����ć ������� / ��ł���. � ���, �� �� ��������� ��������� ���� ����ż���� ����ż���� ���������� ������ ���ą�� ��ę �����ć ������� / ��ł���. � ���, �� �� ��������� ���� ����ż���� ���������� ������ ���ą�� ��ę �����ć ������� / ��ł���. � ���, �� �� ��������� ���� ����ż���� ���������� ������ ���ą�� ��ę �����ć ������� / ��ł���. � ���, �� ��������� ������ ��ł��� ���������� �����.

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ ��

J�� ����ć ���ś��� ����ż�ń ����� ����żą �� ��������� ��ż�� �����ę���ć �� ����� ��������ą ż� ����� �������� ������� ��ę � ������ ��ł����� ���� �����, ����� ��������ą, ż� � ���� �������� ����� ��ę ���������. J�ś�� ����ż���� ��������� �� ����� ��������� ������� ��� �������� ������, ż� ������ ��ę ��� ������� �������� ���, �� ������� ������, ż� ���ł��� ��� �ę ����ę �������ą. M�ż��� ����� ���������ć, ż� ����ż���� � ����ż����� ��������� �) ��� ���ł��� ������ ����� ���������, �� ���� ��ą ��������ą ���� ��, ż� J�ś F����� ��� ���� ������ą.

������ � ���� ����������

���������������������������

������ ������������

������ ��

View more...

Comments

Copyright ©2017 KUPDF Inc.
SUPPORT KUPDF