Lógica Simbólica Tercera parte 1 : Lógica de Predicados
Materia: Lógica Simbólica parte
obs: 3ª
Autor: Edwin Aguiar
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Licenciatura en Informática Parte de la lógica que tiene como objeto el estudio de la consecuencia semestre: 3 lógica entre enunciados, cuando para decidirla no basta considerar la estructura global de ellos sino que es necesario conocer la estructura interna de cada uno. Es en consecuencia el estudio de las inferencias validas que se basan en la estructura interna de los enunciados. Grimaldi2 considera que “la frase x + 2 es un entero par” no es necesariamente verdadera o falsa, ya que depende de una variable, la que sustituirá a x por un valor que influirá en la determinación de la verdad. A esta frase se la denomina “proposición abierta”. Copi3 afirma que este tipo de enunciados del estilo “Todos los humanos son mortales, Sócrates es humano, por lo tanto Sócrates es mortal” aunque evidente en su valor de verdad es de difícil interpretación mediante la lógica de enunciados aplicada hasta ahora. Porque la validez del razonamiento no depende de la manera que se componen las proposiciones atómicas; dependen de su estructura lógica interna lo cual obliga a una formulación específica de enunciación. La proposición “Sócrates es humano” atribuye a un individuo una propiedad determinada. Utilizando la gramática el individuo es el sujeto, y las atribuciones consisten en adjetivos y sustantivos -que en lo lógico no poseen mayores diferencias- constituyen el predicado. También el predicado puede ser un verbo. Una primera enunciación de esta construcción nos permite crear la siguiente expresión: H(x) que significa “Sócrates es humano”. A este ejemplo se le denomina “función proposicional” A diferencia de la lógica de enunciados, no dispone de un procedimiento mecánico o algorítmico universal como lo son las tablas de verdad para 1Corresponde a la unidad 3 de la materia 2Grimaldi Ralph, op. cit. Pag. 98 3Copi Irving op. cit Edwin M. Aguiar | página 1 | Apuntes de Lógica Simbólica
decidir si una formula cualquiera es universalmente valida. La única manera de probar esto es por medio de la deducción. Esto lleva a replantear la interpretación simbólica de esta rama de la lógica mediante un esquema de signos y símbolos. Función proposicional Tal como en los algoritmos, una función carga valores de entrada y salida. Esta conexión sirve para trasladar esos valores llamados variables (x,y,z) de difícil determinación de verdad a una proposición lógica en la cual es posible determinar su valor de verdad. Sin embargo mediante la función proposicional se transforman en proposiciones evaluables. Analizando los ejemplos del silogismo “Todos los humanos son mortales, Sócrates es humano, por lo tanto Sócrates es mortal” se podría descomponer en los siguientes factores o funciones proposicionales: X es mortal: M(x) donde la propiedad “mortal” es atribuida a Sócrates, quien es la variable x; X es hombre: H(x) donde nuevamente a x, Sócrates.
la
propiedad
hombre
es
asignada
Otro ejemplo ha de clarificar más aun el panorama: “Todos los números primos son impares, 3 es un número impar, 3 es un numero primo” Tenemos que podemos crear funciones proposicionales de la siguiente manera4 X es un numero primo P(x) X es impar
I(x)
3 es primo
P(3)
5 es impar
I(5)
5 es primo
P(5)
Donde P es primo, I es impar, es decir las propiedades del predicado y las variables x son las asignaciones particulares de los números afirmados como proposiciones capaces de ser evaluadas en sus valores de verdad. La asignación de un valor a x es la
4Al igual que el paradigma de programación orientada a objetos, que debemos distinguir las propiedades de ellos de sus valores asignados y de los eventos, que en cierto modo definen el ámbito o universo de alcances: universal o existencial. N del A. Edwin M. Aguiar | página 2 | Apuntes de Lógica Simbólica
Se dice que las constantes son los objetos concretos del universo o existencia; mientras que las variables son objetos genéricos. Finalmente un predicado es una sentencia que involucra variables, de modo tal que sustituyéndolas por constantes se transforman en proposiciones. Esto es “cuantificar” Cuantificar: (De cuanto, pronombre relativo de cantidad).1. tr. Expresar numéricamente una magnitud.2. tr. Introducir los principios de la mecánica cuántica en el estudio de un fenómeno físico.3. tr. Fil. Explicitar la cantidad en los enunciados o juicios.(DRAE 22ª ed.) La determinación del valor de verdad se realiza mediante la cuantificación. Esta es un procedimiento que mediante en el cual se suman o agrupan juicios o proposiciones. Cuando se habla de funciones proposicionales es necesario definir el conjunto de referencia o ámbito5. Así “x” entra dentro del ámbito de los números, Sócrates en el de los hombres. A ese conjunto se lo llaman conjunto universal. En el ejemplo de x o de Sócrates existe a su vez acotaciones, por ejemplo en el universo de la humanidad, dentro del conjunto de filósofos y a su vez de origen griego etc. Lo mismo con x según su naturaleza. El conjunto universal es U y contiene a los demás. Los cuantificadores establecen esta taxonomía en existencial y universal, según la pertenencia de la evaluación. Juicio
Lingüísticamente
Cuantificador
Universal afirmativo
Todo, todos
∀x
Universal negativo
Ningún, ningunos
¬∀x
Existencial afirmativo
Algún, algunos si
∃x
Existencial negativo
Algún, alguno no
¬∃x
5En programación C++ y otros lenguajes se denomina “Scope” que se puede traducir como ámbito, alcance y alude a la acción de esa variable mas allá de un modulo o conjunto acotado (local) de rutinas o Global. Edwin M. Aguiar | página 3 | Apuntes de Lógica Simbólica
Considerando la expresión “Para todo objeto x de un universo U se verifica P(x)” estamos aludiendo a un cuantificador universal de manera que es expresado6 como
∀x ∈U P(x)
“para todo elemento x que pertenece al universo U
P(x) es verdad”
∃x ∈U P(x)
“para un elemento (o existe un elemento) x del
universo U tal que la proposición P(x) es verdad Notación simplificada de la cátedra En los apuntes de cátedra en el ejemplo tenemos que el conjunto U está formado por los estudiantes de la UES217, en este caso la cuantificación existencial : P(x): x es responsable donde x son los estudiantes de la UES21 ∃x p(x) significa “(Hay) Algunos estudiantes de la UES21 (que) son responsables” La cuantificación universal de la expresión P(x) es: ∀x p(x) significa “Todos los estudiantes de la UES21 son responsables”. En esta notación se ha omitido la inclusión “pertenecen a (∈U)” Negación de proposiciones cuantificadas Si se quisiera decir que todos los alumnos de la universidad no son responsables, debe utilizarse la expresión ∀x (¬p(x)) mientras que si solo se desea referenciar que algunos solamente no son responsables se utiliza la cuantificación existencial: ∃x (¬p(x)) Sin embargo “no todos los alumnos son…” equivale a “algunos alumnos no son…”:
¬[∀x p(x)]
equivale a ∃x, (¬p(x))
¬[∃x p(x)]
equivale a ∀x, (¬p(x))
6Según distintas notaciones al apunte de cátedra 7Pag.20 y sig. Edwin M. Aguiar | página 4 | Apuntes de Lógica Simbólica
La negación de una proposición, al igual que en lógica de enunciadoses la incorporación del negativo, por ejemplo: ¬(P(x)) “X es deportista” su negación “X no es deportista”, lo que destaca la cátedra es que esta es una nueva función proposicional, pues existe una variable (x)
Edwin M. Aguiar | página 5 | Apuntes de Lógica Simbólica
