Lógica Simbólica Primera parte 1 : 1. Definiciones
Materia: Lógica Simbólica parte
obs: 1ª
Autor:Edwin Aguiar
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Licenciatura en Informática
Lógica simbólica / lógica formal: La lógica moderna que,3 mediante el semestre: simbolismo lógico, o mediante un lenguaje formal, se ocupa de la forma lógica de los enunciados y sus relaciones, esto es, los razonamientos. Nombre que se da a la lógica moderna, basada en el desarrollo de lenguajes simbólicos y lenguajes formales y un grado elevado de matematización. Sus orígenes se remontan a G.W. Leibniz, a quien se atribuye haber usado por vez primera la expresión de «lógica matemática», pero su formulación propiamente matemática inicial se debe a G. Boole y G. Frege; ha mantenido un desarrollo incesante durante los siglos XIX y XX, sobre todo por obras de autores como G. Cantor, G. Peano, B. Russell, E. Zermelo, A. Church, R. Carnap y A. Tarski. La lógica elemental, o de primer orden, se divide en lógica de enunciados y lógica de predicados, o lógica cuantificacional,en la que sólo se cuantifican los predicados referidos a variables de individuo u objeto. Por encima de ella hay la lógica de orden superior o de predicados de segundo orden, que se caracterizan por introducir en la argumentación predicados de predicados y por cuantificar también las variables de predicado (ver ejemplo). La lógica de clases (predicados monádicos) y la lógica de relaciones (predicados poliádicos) son partes de la lógica de predicados. 2 Se basa en el análisis de las proposiciones, oraciones monádicas (o de un solo juicio) o poliácidas (varios juicios). Las proposiciones son afirmaciones llamadas enunciados, de carácter declarativo y que solo pueden ser verdaderas o falsas; no ambas. “Al lógico no le interesa el proceso de inferencia (de las proposiciones), sino las proposiciones que constituyen los puntos de partida inicial y terminal de este proceso, así como las relaciones existentes entre ellas”3 “La lógica matemática también llamada lógica simbólica o logística, puede definirse como la disciplina que formaliza el estudio de los métodos del razonamiento”4 1Corresponde a la unidad 1 de la materia
2Diccionario de filosofía Herder, 1996 3Irving Copi “Introducción a la Lógica” Eudeba 1969 4Dra Silvia M. Ojeda “lógica Simbolica” Apuntes de catedra UES21. Edwin M. Aguiar | página 1 | Apuntes de Lógica Simbólica
2. Introducción •
• • • • • •
Lógica de enunciados: Un enunciado es toda oración gramatical declarativa, esto es, aquella que es capaz de ser verdadera o falsa, dado que todo enunciado expresa -o significa- una proposición. El principio de bivalencia, uno de los fundamentos de la lógica clásica, establece además que todo enunciado, o proposición, ha de ser verdadero o falso, y no ambas cosas a la vez. Los enunciados pueden ser simples (atómicos o monádicas) o compuestos (moleculares o políadicas) y se simbolizan mediante letras de enunciado en minúsculas. Los enunciados se combinan entre sí mediante conectivas lógicas, también llamadas operadores (porque operan entre enunciados). No son considerados enunciados o proposiciones las órdenes, exclamaciones, interrogaciones u oraciones sin verbo conjugado. Las proposiciones no son entidades lingüísticas como las oraciones sino el instrumento de la lógica simbólica y sus múltiples relaciones. “3.13 A la proposición pertenece todo aquello que pertenece a la proyección, pero no lo proyectado. O sea, la posibilidad de lo proyectado, pero no lo proyectado mismo. Pues en la proposición no está contenido su propio sentido, sino la posibilidad de expresarlo. («El contenido de la proposición» significa el contenido de la proposición con significado) En la proposición está contenida la forma de su sentido, pero no su contenido.”5
3. Trabajando con proposiciones • • • • •
Las proposiciones se nombran con letras minúsculas p, q, r, s… Las oraciones que contienen un solo enunciado o proposición se denominan monádicas: “El concejal hablo ayer” Las oraciones con más de un enunciado son políadicas: “El concejal hablo ayer y dijo que hará el trabajo” En el último caso es posible descomponer la oración en dos enunciados: “El concejal hablo ayer” y “Dijo que hará el trabajo” La relación entre proposiciones se realiza mediante conectivos lógicos también llamado operadores, porque operan entre enunciados.
5Ludwig Wittgenstein “Tractatus Logico—Philosophicus” Alianza, Madrid 1973, Edwin M. Aguiar | página 2 | Apuntes de Lógica Simbólica
Hay principios básicos “ocultos sutilmente”6 basados obviamente en el Algebra de Boole:7 1. Principio de identidad: si un enunciado es verdadero, entonces es verdadero
2. Principio de contradicción: dadas dos preposiciones contradictorias entre 3.
sí, no pueden ser ambas verdaderas. Ningún enunciado puede ser verdadero y falso Principio de tercero excluido: dadas dos proposiciones contradictoras entre sí, no pueden ser ambas falsas. Un enunciado o es verdadero o es falso.
4. El lenguaje formal de la lógica simbólica Consta de símbolos y de reglas de formación de formulas que trabajan con las proposiciones primitivas o atómicas. Es posible obtener nuevas proposiciones a partir de las existentes mediante dos maneras: 1. Transformando la proposición primitiva en su negación, es decir p en ¬p (“no p”), en cuyo caso ¬p ya no es considerada primitiva. 2. Combinando dos o más proposiciones primitivas en una compuesta mediante los conectivos lógicos. 1. Símbolos 1.1. Las letras de enunciados 1.2. Operadores o conectivos lógicos 1.3. Elementos auxiliares 2. Reglas de formación de formulas 2.1. Toda letra de un enunciado es una formula bien formada del lenguaje y constituye, un enunciado simple (fbf)
2.2.Si p es una fbf, ¬p también lo es 2.3.Si p y q, también lo son (p∧q), (p∨q), (p⊻q), (p→q) y (p↔q) 2.4. Ninguna otra expresión es una formula bien formada.
6Dra Silvia M. Ojeda, apuntes de cátedra, página 2. A ella pertenecen los razonamientos 2 y 3 mientras que el 1° y las itálicas del 2 y 3 son de Irving Copi, op. cit. 7Cálculo lógico, inventado por Georg Boole para la lógica de enunciados y la lógica de clases, que constituye el precedente y el fundamento de la lógica moderna o lógica matemática. Boole considera que los enunciados pueden expresarse como ecuaciones simples y los razonamientos como un sistema de ecuaciones. Edwin M. Aguiar | página 3 | Apuntes de Lógica Simbólica
5. Los conectivos lógicos conectivo negación conjunción
símbolo ¬ ∧
enunciación ¬p (“no p”) p∧q
Disyunción inclusiva Disyunción exclusiva Implicación o condicional
∨
p∨q
Ejemplos y observaciones / estados lógicos (*) “no” / NOT “y”, eventualmente “pero, además, aunque” / AND “y/o” de carácter inclusivo, “este y aquel”. / OR
⊻
p⊻q
“o” de carácter excluyente, “este o este” / XOR
→
p→q
“entonces”, es reemplazable por una coma “,”o también por “es suficiente”, “es una condición suficiente”, ”solo si”, “es necesario”, La primera enunciación es la hipótesis de la implicación y la segunda su conclusión. “si y solo si”, “es necesario y suficiente para” , se puede abreviar “sii” (si y solo si)
Doble ↔ p↔q implicación o bicondicional (*) Estados lógicos se refiere a la electrónica digital y lenguajes de programación en general
Ejemplos de los conectivos lógicos p= “El concejal hablo ayer” q= “Dijo que hará tal cosa” Proposic Oración molecular conjuncion ión ¬p∧¬q “El concejal NO hablo ayer”y “NO Dijo que hará tal cosa” ¬p∧q “El concejal NO hablo ayer”y “Dijo que hará tal cosa” p∧¬q “El concejal hablo ayer”y “NO Dijo que hará tal cosa” p∧q “El concejal hablo ayer”y “Dijo que hará tal cosa” Proposic Oración molecular disyunción inclusiva ión ¬p∨¬q “El concejal NO hablo ayer” y/o “NO Dijo que hará tal cosa” ¬p∨q “El concejal NO hablo ayer” y/o “Dijo que hará tal cosa” p∨¬q “El concejal hablo ayer” y/o “NO Dijo que hará tal cosa” Edwin M. Aguiar | página 4 | Apuntes de Lógica Simbólica
estado falso Falso Falso verdader o estado falso verdader o verdader o
p∨q
“El concejal hablo ayer” y/o “Dijo que hará tal cosa” Proposic Oración molecular disyunción excluyente ión ¬p⊻¬q “El concejal NO hablo ayer” o “NO Dijo que hará tal cosa” ¬p⊻q “El concejal NO hablo ayer” o “Dijo que hará tal cosa” p⊻¬q “El concejal hablo ayer” o “NO Dijo que hará tal cosa” p⊻q “El concejal hablo ayer” o “Dijo que hará tal cosa” Proposic Oración molecular implicación ión Si “El concejal NO hablo ayer” entonces “NO Dijo que hará ¬p→¬q tal cosa”
¬p→q p→¬q p→q
Si “El concejal NO hablo ayer” entonces “Dijo que hará tal cosa” Si “El concejal hablo ayer” entonces “NO Dijo que hará tal cosa” Si “El concejal hablo ayer” entonces “Dijo que hará tal cosa”
Proposic Oración molecular doble implicación ión Si “El concejal NO hablo ayer” si y solo si “NO Dijo que hará ¬p↔¬q tal cosa”
¬p↔q p↔¬q p↔q
Si “El concejal NO hablo ayer” si y solo si “Dijo que hará tal cosa” Si “El concejal hablo ayer” si y solo si “NO Dijo que hará tal cosa” Si “El concejal hablo ayer” si y solo si “Dijo que hará tal cosa”
verdader o estado falso verdader o verdader o falso estado verdader o verdader o falso verdader o estado verdader o falso falso verdader o
Los valores 0 están sugeridos por la negación ¬p y ¬q para poder recrear la tabla
Edwin M. Aguiar | página 5 | Apuntes de Lógica Simbólica
6. tablas de verdad de los conectivos lógicos y explicaciones Los conectivos lógicos y la negación, poseen una forma de determinar sus valores de verdad, es decir de verdad o falso, representados por 1 y 0 ó V y F respectivamente. Esta operatoria está basada en la notación binaria, por razones obvias. p 0
q 0
¬p 1
p∧q 0
p∨q 0
p⊻q 0
p→q 1
p↔q 1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
La negación invierte el valor de verdad de la proposición, la conjunción solo da resultado 1 ó valor de verdad cuando los dos enunciados son verdad. La disyunción inclusiva otorga el valor de verdad siempre que haya un término de verdad en la proposición compuesta y falsa cuando no hay ninguno. La disyunción exclusiva es verdad cuando hay dos proposiciones diferentes y falsa cuando son iguales. La implicación siempre es verdad salvo cuando el primer enunciado es verdad y el segundo falso, pues “no queremos que una proposición verdadera nos conduzca a pensar en algo que es falso”.8 Finalmente la doble implicación es verdad solo cuando las dos proposiciones primitivas son iguales, si son distintas el valor de verdad es falso; a la inversa que la disyunción excluyente. En relación a la implicación “lo que afirma un enunciado hipotético (recordemos que la implicación posee dos términos siendo el primero la hipótesis de la implicación y la segunda su conclusión o antecedente y consecuente respectivamente) es que su antecedente implica su consecuente. No afirma que su antecedente sea verdadero, sino solamente, que si el antecedente es verdadero, entonces su consecuente también es verdadero. Tampoco afirma que el consecuente sea verdadero sino solamente que el consecuente lo es si el antecedente es verdadero.
8Ralph P. Grimaldi “Matemáticas Discretas y Combinatoria” ed. 2000 s/d. pag. 53 Edwin M. Aguiar | página 6 | Apuntes de Lógica Simbólica
El significado esencial de un enunciado hipotético reside en la relación de implicación9 que se afirma entre el antecedente y el consecuente, en este orden”…”La prueba de la falsedad de un enunciado hipotético puede hacerse cuando su antecedente es verdadero, pues si su consecuente es falso mientras que el antecedente es verdadero, queda demostrada la falsedad del enunciado hipotético mismo”.10
7. Construcción de tablas de verdad La construcción de tablas de verdad es el método de resolución para determinar qué valores de verdad asume la proposición compuesta o molecular que planteamos. Hay que tener en cuenta que su construcción es un proceso de pasos intermedios, desde lo simple a lo complejo. Una de las precauciones a tener en cuenta es la inversión de las formulaciones. Un ejemplo ilustrara este punto: p
q
p→ q 1 1 0 1
q→ p 1 0 1 1
0 0 0 1 1 0 1 1 p q r ( ( r⊻(p→ r⊻(q→ p→q q→p q) p) ) ) 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 La reciproca de la implicación11 es la inversión de las preposiciones en la evaluación de la tabla de verdad. Esto se puede observar en la tabla adjunta donde el valor de la segunda y tercera fila cambian significativamente. Aquí se ha demostrado el efecto 9Implicación, de implicar: Contener, llevar en sí, significar. DRAE 22ª ed. 2003 10Irving Copi op. cit. 11Dra Silvia M. Ojeda, apuntes de cátedra, pag. 11 op. cit. Edwin M. Aguiar | página 7 | Apuntes de Lógica Simbólica
de una inversión, que si ocurre dentro de una proposición mas grande, puede dar a un arrastre del error que invalide todo el resultado, por ejemplo si r⊻(p→q) u otra expresión donde la interpretación dentro del paréntesis es errónea, lo cual es muy fácil de suceder. En este caso el error de arrastre daría el siguiente fallo ejemplificado en la segunda tabla de verdad construida al efecto. En ella se aprecia que la inversión involuntaria de la evaluación arrastro cada vez el error hasta invalidar el resultado final en la columna séptima. Debido a este error es que se debe tomar precauciones al efectuar nuestras tablas de verdad, procurando no dar vuelta las proposiciones cuando las examinamos, ya que el orden de los términos si altera el resultado final. En otras palabras las evaluaciones dentro de la oración molecular no es conmutativa. También se ha observado que de dos proposiciones con cuatro posibles estados, tenemos tres proposiciones con ocho posibles estados. Al ser un sistema de notación binaria (o base 2) la cantidad de combinaciones de la tabla de verdad está relacionada directamente con el numero de proposiciones involucradas en base a la formula 2n donde “n” es el numero de proposiciones atómicas o simples. Una recomendación es que en lugar de usar V-F se usen los dígitos 1 y 0, y que la enumeración de estados siga el incremento natural de los números binarios, para no cometer el error de olvidar algún estado o crear mal la tabla. El orden binario es el siguiente para tres dígitos: 000 001 010 011 100 101 110 111; para cuatro: 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111, esto es 24= 16 combinaciones posibles ordenadas incrementalmente.12 En un ejercicio de la cátedra en el apunte Lógica Simbólica pagina 3 item 7º la respuesta es E. Porque siete proposiciones simples dan por resultado 27=128 filas de la tabla de verdad y un dolor de cabeza binario. Como evaluar las formulaciones complejas Cualquier formulación que posea más de dos enunciados debe descomponerse en partes que sean funcionales y que respeten la lógica, por ejemplo 12La culpa no es mía, lo invento Leibniz Edwin M. Aguiar | página 8 | Apuntes de Lógica Simbólica
r⊻(p→q) p q r ( p→q ) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1
r⊻(p→ q) 1 0 1 0 0 1 1 0
Conviene primero realizar la secuencia de los valores de verdad en los tres términos, luego la expresión dentro del paréntesis –de manera correcta- y finalmente la evaluación de r y la disyunción excluyente con el resultado previo del paréntesis (p→q) En este caso tenemos que además de 9 filas (incluyendo el encabezado de las expresiones) debemos considerar cinco columnas, tres para las proposiciones primitivas y dos, una para el paréntesis (p→q) y la tercera con la evaluación completa r⊻(p→q), quedando de esta manera desplegada la tabla de verdad Ejemplos de Tablas de verdad p q (p∧q ¬(p∧ (p∨q ¬(p∨ ) q) ) q) 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 Extraídas del Seminario 2 pagina 3 ejercicio 2a y 2b: ¬(p∧q) y ¬(p∨q) 2g= [(p∨q)∧r]→[p∧(¬q)] Descompongamos la formulación en pasos de evaluación:
Edwin M. Aguiar | página 9 | Apuntes de Lógica Simbólica
A La tabla de verdad (*)a a Orden de A B A
A a a
[(p∨q)∧r]→[p∧(¬q)]
evaluación:
p
q
r
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
(p∨q ) 0 0 1 1 1 1 1 1
[(p∨q)∧ B r] 0 0 0 1 0 1 0 1
C
D
(¬ [p∧(¬ q) q)] 1 E 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
C
E
[(p∨q)∧r]→[p∧(¬ D q)] 1 1 1 0 1 1 1 0
(*) seuo13 7. Tautología, Contradicción y Contingencia Tautología es cuando en una tabla de verdad todos los valores de verdad son verdad, se simboliza con la letra T°, por otra parte Contradicción es lo opuesto, cuando en una tabla de verdad todos los valores son falsos, su símbolo es F° y Contingencia es cuando hay valores falsos y verdaderos en la tabla de verdad. Tautología: (del griego tautó, lo mismo, y logos, término) Literalmente, decir lo mismo dos veces. En sentido amplio, toda proposición analítica o todo enunciado (explícitamente) analítico, es decir, cualquiera de aquellos enunciados analíticos que lo son en virtud de su forma, no por el significado de sus términos. En sentido estricto, es una verdad lógica, 13Seuo: no es un apellido coreano, es el acrónimo de “salvo error u omisión” (p∨q) que sale en los tickets de los cajeros automáticos y que predispone a quien lo lee a entender que el sistema puede, podrá y pudo fallar. Edwin M. Aguiar | página 10 | Apuntes de Lógica Simbólica
o una verdad formal, o aquel esquema lógico o aquella forma lógica, cuyos ejemplos de sustitución son todos verdaderos. En lógica en el cálculo de enunciados, una fórmula es tautológica si es verdadera para cualquier asignación de valores de verdad, o para cualquier interpretación.14 p ¬ p p ∨¬p 0 1 1 1 0 1 p q
( q→p ) 0 0 1
(p→(q→ p)) 1
0 1
0
1
1 0
1
1
1 1
1
1
Ejemplo: 1) p “venceremos” p∨¬p = Venceremos o no venceremos Ejemplo 2) (p→(q→p)) Las tautologías poseen su utilidad en las demostraciones matemáticas en donde afirman la validez de argumentos listados en premisas. Si las premisas son verdaderas, la conclusión del argumento lo es también. Se puede ejemplificar esto como lo siguiente: donde p1…pn son las premisas y q la conclusión 1 2 3 del argumento. En símbolos se representa así15 n
(p ∧p ∧p … ∧p )→q
Entre los posibles grupos de condiciones de verdad, hay dos casos extremos. En uno la proposición es verdadera para todas las posibilidades de verdad de las proposiciones elementales. Nosotros decimos que las condiciones de verdad son tautológicas. En el otro caso la proposición es falsa para todas las posibilidades de verdad: las condiciones de verdad son contradictorias. La proposición muestra aquello que dice: la tautología y la contradicción muestran que no dicen nada. [...] Tautología y contradicción no son figuras de la realidad. No
14Diccionario Herder op. cit 15Grimaldi, op. cit. Edwin M. Aguiar | página 11 | Apuntes de Lógica Simbólica
representan ningún posible estado de cosas. En efecto, una permite todos los posibles estados de cosas; la otra, ninguno.16 Contradicción Es la inversa de la tautología, es decir cuando todos los elementos de la tabla de verdad son falsos. Un ejemplo de contradicción: p∧¬p u otra más compleja ¬((p∧q)→p) p q p ¬q p (p∧q ((p∧q)→ ¬((p∧q)→ ∧¬p ) p) p) 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 En sombreado oscuro la resolución de ambos dos ejemplos
Contingencia Es cuando los valores de la tabla de verdad son verdaderos y falsos. Cualidad de aquellos enunciados que no están determinados a ser verdaderos o falsos, o no son necesariamente verdaderos o falsos; esto es, que no son ni tautologías ni contradicciones. Una de las modalidades de los enunciados (contingencia lógica) o de las modalidades aléticas (necesario, imposible y contingente). 8. Reciproca, contrarecíproca En las proposiciones de implicancia o condicional p→q 17 vimos que no es lo mismo que q→p (pagina 6 de este apunte) ya que la tabla de verdad cambia significativamente. A esta inversión de proposiciones se la llama reciproca. A su vez la expresión ¬q→¬p se denomina contrarecíproca. La tabla de verdad demuestra que el condicional (implicación) no es conmutativo p q ¬ ¬ p→ q→ ¬q→¬ p∧ q∧ p∨ q∨ p⊻ q⊻ p q q p p q p q p q p 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 16Ludwig Wittgenstein op. cit. 17Ejemplos extraídos de Kenneth Ross y Charles Wrigth “Matemáticas Discretas” Prentice Hall s/d; Regis Criado y Roberto Muñoz “Un cuatrimestre de Matemáticas Discreta” U. Rey Juan Carlos, 2005 Edwin M. Aguiar | página 12 | Apuntes de Lógica Simbólica
En la tabla precedente se pueden apreciar los condicionales p→q, q→p y ¬q→¬p respectivamente implicación original, (contraria) 18 reciproca y contrareciproca; apreciándose sus valores en la tabla luego de la operación lógica. En la proposición molecular p→q, tal como marca la implicación, p es el antecedente y q el consecuente. Se advierte que la implicación no es conmutativa, mientras que la conjunción y las disyunciones inclusivas y excluyentes si lo son. En algunos textos19 también se denomina contrapositiva a la contrarreciproca. Al observar por segunda vez es posible determinar que a distintas operaciones lógicas se ofrecen resultados coincidentes en todos sus valores de verdad, en estos casos de manera muy sencilla. De allí que se hable de equivalencias. 9. Equivalencias p q ¬ ¬p p→ p ∨q q 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 Tenemos ¬p∨q y p→q, veamos la tabla de verdad. En ella observamos que los valores de la tabla de ¬p∨q coinciden con los de p→q. Se dicen que son equivalentes y se simbolizan ¬p∨q ≡ p→q. En otras notaciones es común ver ¬p∨q ⇔p→q, lo cual no debe confundirse con el signo de doble implicación o bicondicionalidad. p q p↔q 0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1
p→ q 1 1 0 1
q→ p 1 0 1 1
(p→q)∧(q→ p) 1 0 0 1
18En algunas bibliografías también se dice que la reciproca es ¬p→¬q (Georffrey Acevedo González, UNAD Bogota 2007), el concepto vertido en la tabla es de Prof. Dra Silvia Ojeda, apuntes de catedra, pag. 11 19Ross y Wrigth, op. cit.; Irving Copi, op. cit. Edwin M. Aguiar | página 13 | Apuntes de Lógica Simbólica
Una situación más compleja de equivalencias es la siguiente20: p↔q ≡ [(p→q)⋀(q→p)] En la tabla de verdad queda demostrado que ambas expresiones son equivalentes, lo que nos lleva a pensar que hay ciertas estructuras que representan a otras, aquí la doble implicación p↔q por dos implicaciones reciprocas en conjunción [(p→q)⋀(q→p)]. Esto lleva a formular las leyes de la lógica, como “la negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones”21 10. Leyes de Morgan, leyes de equivalencias Estas leyes permiten22: 1. El cambio del operador en operador de disyunción y viceversa 2. Las proposiciones conjuntivas o disyuntivas a las que se aplican las leyes de Morgan pueden estar afirmadas o negadas (en todo o en parte)
¬(p∨q)≡(¬p∧¬ q) ¬(p∧q)≡(¬p∨¬ q) (p∨q)≡¬(¬p∧¬ q) p q ¬ p 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0
¬ q 1 0 1 0
(p∨q ) 0 1 1 1
En el cuadro lateral las Leyes de Morgan y sus equivalencias. Observese que la tercera y la cuarta son –al igual que el pase de signos algebraicos en ecuaciones- un cambio de signos dado por la doble negacion. Veamos las tablas de cada una de estas leyes ¬(p∨ q) 1 0 0 0
(¬p∧¬ q) 1 0 0 0
La primera Ley de Morgan establece que una proposición disyuntiva negada totalmente equivale (nos permite transformarla) a una conjuntiva negada en todos sus términos23: p q ¬ ¬ (p∧q ¬(p∧ (¬p∨¬ 20Grimaldo, op. cit pag.62 21Ley de Morgan, http://www.paginasdefilosofia.com 22Ley de Morgan, http://www.paginasdefilosofia.com 23O si se prefiere “con cada uno de sus términos negados” en oposición a la negación total del primer término que es negada después de la operación de disyunción o conjunción (N del A) Edwin M. Aguiar | página 14 | Apuntes de Lógica Simbólica
0 0 1 1
0 1 0 1
p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
) 0 0 0 1
q) 1 1 1 0
q) 1 1 1 0
¬(p∨q)≡(¬p∧¬q)
p q ¬ p 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0
¬ q 1 0 1 0
(p∨q (¬p∧¬ ) q) 0 1 1 0 1 0 1 0
La segunda Ley de Morgan es la proposición conjuntiva totalmente negada que equivale a la disyuntiva negada en todos sus términos: ¬(¬p∧ ¬q) 0 1 1 1
¬(p∧q)≡(¬p∨¬q)
La tercera y la cuarta son similares, con la salvedad que el primer enunciado es “afirmado”, esto es (p∨q) , para lo cual su equivalencia es la segunda expresión doblemente negada ¬(¬p∧¬q) p ¬ p
¬ ¬ p 0 1 0 1 0 1 Ley de la doble negación: como su nombre lo indica es la doble negación, que equivale a una afirmación (como en la vida real): ¬¬p≡p p q ¬ ¬ p∧ q∧ p∨ q∨ p⊻ q⊻ p q q p q p q p 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 Leyes conmutativas: hemos visto (pag 10) que la implicación no ofrecía esta propiedad, los demás conectivos si, como se puede apreciar en la tabla adyacente
Edwin M. Aguiar | página 15 | Apuntes de Lógica Simbólica
Las leyes asociativas como su nombre lo indica, permiten establecer las equivalencias entre expresiones utilizando esta conocida propiedad matemática que se puede resumir en estas formulaciones para disyunción inclusiva y conjunción (*): [(p∨q)∨r]≡ [p∨(q∨r)] [(p∧q)∧r]≡ [(p∧(q∧r)] p q r (p∨q [(p∨q) ) ∨r] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
(q∨r ) 0 1 1 1 0 1 1 1
[p∨(q∨ r)] 0 1 1 1 1 1 1 1
(p∧q [(p∧q) ) ∧r] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
(q∧r ) 0 0 0 1 0 0 0 1
[p∧(q∧ r)] 0 0 0 0 0 0 0 1
(*) No se da en la implicación, doble condicional y disyunción excluyente p
q
r
(q∧r)
p∨(q∧r) (p∨q)
(p∨r)
(p∨q)∧(p∨ r) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Leyes distributivas: algo compleja en la formulación porque son proposiciones moleculares en las que intervienen las disyunciones inclusivas y las conjunciones de la siguiente manera: [p∨(q∧r)]≡[(p∨q)∧(p∨r)] [p∧(q∨r)]≡[(p∧q)∨(p∧r)] (la demostración de la primera formulación)
Edwin M. Aguiar | página 16 | Apuntes de Lógica Simbólica
p
q
r
(q∨r)
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 1 0 1 1 1
p∧(q∨r) (p∧q) 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 1 1
(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 1
(p∧q)∨(p∧ r) 0 0 0 0 0 1 1 1
A estas dos demostraciones se pueden agregar dos formulaciones con implicaciones, que se dan a continuación:
[p→(q∧r)]≡[(p→q)∧(p→r)]
[p→(q∨r)]≡[(p→q)∨(p→r)]
p
q
r
(q∧r )
[p→(q∧ r)]
(p→q )
(p→r )
(p→q)∧ (p→r)
(q∨r )
[p→(q∨r )]
[(p→q)∨(p→r) ]
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 1 1 0 0 0 1
1 1 1 1 0 0 1 1
1 1 1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 0 0 1
0 1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1 1
p (p∨p (p∧p ) ) 0 0 0 1 1 1 La ley de idempotencia establece que (p∨p)≡p (p∨p)≡p También se la suele formular como (p∨p)⇔p (p∨p)⇔p (No confundir con la doble implicación, ya que a veces se confunden los símbolos en determinadas notaciones según la bibliografía). Leyes de neutro: establecen que una proposición en disyunción (inclusiva) con una Contradicción equivale a esa proposición atómica; p∨F°≡p o una proposición atómica en conjunción con la Tautologia es equivalente a la proposición atómica: p∧T°≡p Edwin M. Aguiar | página 17 | Apuntes de Lógica Simbólica
Leyes inversas: por otra parte si a la proposición atómica la formulamos en una conjunción o disyunción inclusiva con su negativa obtenemos la contradicción: p∨¬p≡T° p∧¬p≡F° Leyes de dominación: en una proposición molecular donde la atómica se disyunta con una Tautología se obtiene una equivalencia tautológica: p∨T°≡T° Por la contraparte una conjugación de una Contradicción da por resultado equivalente a una Contradicción: p∧F°≡F° Leyes de absorción: finalmente hay equivalencias que formuladas equivalen a la proposición atómica inicial: p∨(p∧q)≡p p∧(p∨q)≡p ¿Cuál es la utilidad de estas leyes? La sustitución en formulaciones complejas por sus equivalentes más simples y resolver de manera eficaz cuando el ejercicio es largo y sujeto a errores. Leyes inversas
p
¬ p
0 1 1 0 Obs:
Leyes de neutro
Leyes de dominación
Leyes de absorción
p ∨¬p
p ∧¬p
p ∨F°
p ∧T°
p∨F°
p∧T°
p
q
p∧q
p∨q
p∨( p∧q)
1 1 T°
0 0 F°
0 1
1 1
0 1
0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 1
0 1 1 1
0 0 1 1
p∧( p∨q)
Los resultados de las diversas leyes se pueden apreciar gráficamente en la tabla superior, en donde por ejemplo, las leyes de absorción resultan evidentes si se comparan los resultados con las columnas de p∧q y p∨q con p∨( p∧q) y p∧( p∨q) respectivamente.
Edwin M. Aguiar | página 18 | Apuntes de Lógica Simbólica
0 1 1 1
