Lógica+C..

Este libro está pensado para los estudiantes de Lógica de las facultades de Filosofía e Informática y, en general, para quienes se acercan a la lógica por vez primera. El texto, que se apoya en numerosos ejemplos y ejercicios, es accesible, interdisciplinar y moderno en su concepción, poniendo especial énfasis en la semántica. Aporta técnicas sencillas de prueba: diagramas de Venn para láTóglca dé predicados monários y tableaux semánticos, cálculos de resolución y de deducción natural, tanto para la'lógica preposicional como para la de primer orden. Contiene varios apéndices con un glosario, un índice analítico y unas notas históricas sobre los fundamentos de la lógica en el siglo xx. Le acompaña un CD interactivo con más de 2.000 ejercicios y sus soluciones, así como un documento con los teoremas habituales de la metalógica.

María Manzano Antonia Huertas

Lógica para principiantes

María Manzano es catedrática de Lógica en la Universidad de Salamanca v A nt onia Huertas es profesora de Lógica en la UOC. Ambas se doctoraron en la Universidad de Barcelona y realizaron estudios postdoctorales en Berkeley y Amsterdam, respectivamente.

El libro universitario Alianza Editorial

Filosofía y Pensamiento Alianza Editorial

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

GENERAL

La respuesta es que sí, pero también que la Lógica es más que eso: todos nosotros, supuestos seres racionales, empleamos la lógica cuando razonamos, asimilamos o procesamos la información que recibimos del entorno, cualquier tipo de información —somos lógicos porque somos seres humanos—. Tradicionalmente se definía Hombre = Animal+Racional y sabemos que el comportamiento racional implica el uso de la lógica como herramienta. Mas allá de las etimologías, atendiendo a los usos presentes de las palabras, Racionalidad =^ Lógica En sentido coloquial se usa el adjetivo lógico no sólo para describir las reglas del razonamiento correcto, sino en una gran variedad de casos, más en concordancia con el uso original del "logos" de los griegos, relacionándolo con el lenguaje, la doctrina, la estructura del conocimiento, la razón, etc. Comentario 1 Durante el siglo XX la lógica fue retomando su extensión y amplitud originales estudiándose en ella no sólo el razonamiento matemático sino también fenómenos de gestión y transmisión de información, de toma de decisiones y de la acción, y en general en casi todos los contextos gobernados por reglas. Siguiendo esta línea de extensión del concepto de lógica, nosotros en el capítulo 7 nos beneficiamos de las ventajas del razonamiento diagramático, visual. Utilizamos para ello varias aplicaciones informáticas, tanto propias como ajenas . 1

E n sentido estricto La Lógica es también una disciplina en sí misma, una de las grandes ramas del conocimiento. Lógica = estudio de la consecuencia —esto es, la que se ocupa de los razonamientos válidos o correctos— Lógica = estudio de la consistencia —a, saher, lns ronjirntos-rie n-penciag miáronte,- cnriHentec, catisfaciblcc .Puesto que en el campo de la lógica se cifra no sólo el razonamiento atemporal y estático de la matemática, sino también el temporal del razonamiento aplicado al mundo real, el metateórico de nuestra reflexión sobre la lógica misma, el filosófico de nuestra reflexión sobre el pensamiento y el dinámico sobre los resultados de la ejecución de acciones, o los procesos de transmisión de información, no hay una única lógica, sino multitud do ellas. 1

Ver ]¡i d i r e c c i ó n

http :

//araaie.usal.es

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1.1. ¿QUÉ ES LA LÓGICA?

Comentario 2 En un curso introductorio sólo nos ocupamos de la lógica clásica, tanto de la preposicional como de la de primer orden; el tránsito de una a otra será pausado, haciendo una parada en la lógica de primer orden de predicados monarios y con una sola variable, usando como cálculo los diagramas de Venn. E n sentido funcional Para definir "una" Lógica se introduce un lenguaje artificial; con alfabeto y reglas gramaticales de formación de fórmulas y se atribuye significado a las expresiones del lenguaje mediante interpretaciones semánticas o modelos. Dichas interpretaciones nos permiten afirmar, en algunos casos, que de ciertos conjuntos de fórmulas —que se toman como hipótesis— se siguen ciertas fórmulas como conclusión. Es decir, que son consecuencia semántica de las hipótesis consideradas. Lógica = Gramática+Semántica En algunas ocasiones se puede definir un cálculo deductivo para simplificar el proceso de extraer conclusiones a partir de hipótesis. Por supuesto, se desea que el cálculo sea una réplica mecanizable de dicho proceso; es decir, equivalente —con los mismos resultados—. Semántica

Cálculo

Comentario 3 El proceso puede ser el inverso: Introducir primero el lenguaje y las reglas del cálculo, y posteriormente las interpretaciones o modelos. La historia de la lógica está plagada de ejemplos de las dos clases. Simplificando, la visión de la lógica clásica, especialmente la que anima la Teoría de Modelos es la que aquí se ha expuesto; el planteamiento sintáctico alternativo es el que se usó en el pasado para introducir los Sistemas de Lógica Modal y se sigue usando actualmente en algunas lógicas para la informática, la filosofía y la I.A. Metalógica Una Lógica es una herramienta que nos sirve para computar razonamientos, especialmente cuando el rigor y la precisión son imprescindibles. Esto sucede en matemáticas, filosofía, informática, etc. Pero es también un objeto de estudio; podemos ver qué propiedades tiene el lenguaje, si el concepto de consecuencia se puede retener mediante las reglas de un cálculo, si hay cálculos más efectivos, incluso si existen algoritmos capaces de suplirlos. Estudiaremos las denominadas metapropiedades de: corrección, completud y decidibilidad. Por supuesto, para hacerlo necesitamos tomar cierta distancia, observar los lenguajes formales desde la atalaya del metalenguaje. Estos estudios se conocen con el nombre genérico de Metalógica; aquí los he distribuido en los apéndices C y D, que están en el CD que acompaña a este libro —je, je—; consultad regularmente la biblioteca digital http://logicae.usal.es del proyecto Summa Logicae por si se producen novedades y actualizaciones.

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

1.1.2.

GENERAL

1.1. ¿QUÉ ES LA LÓGICA?

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Ayer, hoy y mañana

Pasado E) estudio de la lógica se remonta a los filósofos griegos; en el Organon de Aristóteles se estudian los principios del silogismo. A mediados del siglo XIX Boole (1815-1864) creó el primer cálculo lógico para la lógica proposicional. La lógica en sentido moderno nace afinalesdel siglo XIX y principios del XX. Dentro de la lógica se distinguen tres grandes ramas y una rama externa que incluye los estudios sobre ella. Se puede resumir en un cuadro como el que sigue (figura 1.1).

FUNDAMENTOS

SISTEMAS

—. '

y

y

L y Va, A -¡Na C := Ma

En primer orden será fácil demostrar la validez del razonamiento. La lógica de primer orden contiene a la proposicional, pero es más potente. A esta lógica dedicaremos la tercera parte de este libro. En la segunda se introducen algunos conceptos de teoría de conjuntos que son necesarios para definir adecuadamente la semántica de los lenguajes de primer orden y estudiamos los razonamientos lógicos con diagramas de Venn, que nos servirán para analizar argumentos expresados en un lenguaje cuya complejidad se sitúa entre la proposicional y la de primer orden. En este contexto se presentarán los silogismos. Lenguajes de orden cero, de primero y de segundo orden En la lógica clásica hay varias categorías de lenguajes: proposicional, de primer orden, de segundo orden, etc. El de primer orden añade al proposicional la capacidad de analizar las fórmulas atómicas mediante relatores, functores y constantes y la cuantificación sobre individuos. El de segundo orden añade al anterior la. facultad de cuantificar sobre conjuntos y relaciones. ¿Qué lenguaje necesitamos? Depende de para qué, lo veremos más adelante en la página 262. ¿Se pueden expresar en primer orden todas las propiedades imaginables de las estructuras matemáticas? ¿Sirve la lógica de primer orden para axiomatizar toda la matemática? La respuesta es que no. El lenguaje de la lógica de segundo orden es más expresivo que el de primer orden y éste que el de orden cero. Sin embargo, las propiedades lógicas de estos lenguajes van decreciendo: mientras que la lógica proposicional posee un cálculo deductivo correcto, completo y es decidiblc, la de primer orden posee un cálculo correcto y completo, pero ya no es decidible, y la de segundo orden ni es decidible ni posee un cálculo completo. Conclusión 35 Una lógica es como una balanza (figura 1.2): en un platillo se pone, el poder expresivo de la lógica y en el otro las propiedades lógicas. En la lógica proposicional pesan más las propiedades lógicas, en la. de segundo orden la capacidad expresiva, mientras que la de primer orden está más equilibrada. Sabiendo esto somos nosotros los que decidiremos qué lógica, necesitamos, qué virtudes nos interesa conservar. En este libro introductorio nos hemos quedado en. la de primer orden y consideramos que es la opción acertada} . s

H a y quienes reservan el vocablo "consistente" para el calculo deductivo, significando la

propiedad que nosotros llamaremos de " c o r r e c c i ó n " ; esto es, que como teoremas l ó g i c o s s ó l o se deriven en él t a u t o l o g í a s .

' ^ I . a l ó g i c a de segundo orden, a s í como otras extensiones de la de primer orden, se e s t u d i a n en [14].

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

GENERAL

1.6. EJERCICIOS d)

DEL CD

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Régimen para una larga vida. Un periodista entrevista a un anciano centenario y éste le revela el secreto de su longevidad, que reside, según él, en su alimentación. El anciano dice: Si no bebo cerveza, entonces como pescado. Siempre que tomo cerveza y pescado, me abstengo de tomar helado. No como pescado, si tomo helado o no bebo cerveza.

Proposicional

¿Se puede seguir un régimen así? ¿ Podrías hacer el menú de un par de días? ¿Podrías hacer el menú de la semana?

Of4en Superior

Primer Of4en

e) La paradoja más antigua que se conoce es la de Epiménides, el cretense. Decía que todos los cretenses son mentirosos y que todas sus afirmaciones son mentiras. La contradicción aparece cuando uno se pregunta sobre la propia afirmación de Epiménides. ¿ Es también esta afirmación una mentira? Una forma fácil de verlo es así: Sea p el enunciado: "Estoy mintiendo". ¿Es consistente o inconsistente dicho enunciado? •

Figura 1.2: Balanza

1.6.

Ejercicios del C D

Los ejercicios siguientes están todos resueltos en el CD que acompaña a este libro , en el capítulo 1. Por limitación de espacio no hemos incluido en el libro ni tan siquiera los enunciados de todos los ejercicios que allí recogemos. En el CD hay tres bloques como el que sigue, dos de ellos vienen con solución y del otro sólo se suministra el enunciado. 19

INTRODUCCION GENERAL: 1.

CONSISTENCIA (1)

Consistencia e inconsistencia En cada uno de los siguientes ejemplos decidid cuál de los siguientes conjuntos de enunciados son consistentes y cuáles inconsistentes. a) Andrés es más joven que Antonio. Luis es mayor que Calixto. Calixto es más joven que Antonio. Luis es mayor que Antonio. b) Esta oración contiene cinco palabras. Esta oración contiene tres palabras. Una de laFT5racionés~cle esTF^er3cIo ^s ver3aclera, y sólo una. > c) La mecánica ncwtoniaña no puede ser correcta, si la mecánica einsteniana es correcta. La mecánica einsteniana es correcta si y sólo si el espacio es no-euclideano. El espacio es nc-euclideano, o la mecánica newtoniana es correcta. -

Enunciados tautológicos, contradictorios y contingentes Clasificad los siguientes enunciados según sean tautologías, contradicciones o contingentes. a)

Dos más dos es igual a cuatro.

b) Hoy es jueves o no es jueves. c)

El agua hierve a la temperatura de cien grados centígrados.

d)

Todo cuerpo sometido a la influencia de una fuerza constante adquiere un movimiento uniformemente acelerado.

c)

Me compro un coche y me voy de vacaciones equivale a decir que no es el caso que si me compro el coche no me voy de vacaciones.

3. Consecuencia En cada uno de los siguientes ejemplos decidid si el razonamiento consignado es o no correcto. a)

Si tú estás en Salamanca, no te encuentras en Andalucía. Tú estás en Castilla. Por lo tanto, Tú estás en Salamanca.

/')

Todos los casos examinados de caída libre de objetos siguen las leyes de Newton. Se ha examinado un extenso y variado grupo de casos de caída libre de cuerpos. Por consiguiente, Probablemente todos los casos de caída libre de objetos siguen las leyes de Newton.

_

E n este momento, puesto que los temas que se t r a t a r á n con detalle en el libro e s t á n sólo esbozados, los ejercicios p o d r í a n resultar d i f í c i l e s . Si a s í fuera, dejadlos, volved a ellos al acabar el cuarto c a p í t u l o . i 9

2.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

GENERAL

c)

Todos los juicios morales influyen en nuestras acciones y sentimientos. Ningún producto de la razón influye sobre nuestras acciones y sentimientos. Entonces, Ningún juicio moral es producto de la razón.

d)

La ciencia explica adecuadamente nuestra experiencia. Si la ciencia explica adecuadamente nuestra experiencia, la creencia en la existencia de un dios es innecesaria para explicar nuestra experiencia. Luego, La creencia en la existencia de un dios es innecesaria para explicar nuestra experiencia.

e)

Al lógico Ceferino le preguntaron: ¿amas a Queta, a Petra o a Rosana? Él pensó: los hechos son: Amo al menos a una de las tres. Si amo a Petra pero no a Queta, entonces amo a Rosana. O bien amo a Queta y a Rosana, o no amo a ninguna de las tres. Si amo a Queta, entonces también amo a Petra. Contestó: Amo a las tres.

Clasificad los siguientes argumentos según este esquema; los valores de las hipótesis y la conclusión son los que corresponden a la realidad, a los hechos conocidos.

1.6. EJERCICIOS

Hipótesis

c)

Si Newton propuso la mecánica cuántica, entonces Einstein propuso la mecánica clásica. Einstein no propuso la mecánica cuántica. Entonces, Einstein propuso la mecánica clásica.

d) e)

Todos los números impares son primos. (Demostraciones del chiste...) Ignoratio elenchii "Salamanca es una ciudad muy provinciana." "No, no es cierto. Salamanca tiene monumentos preciosos y tiene mucha marcha por las noches."

/)

Si Einstein era completamente calvo, entonces era un científico de origen judío. Einstein no era un científico de origen judío. Por tanto, Einstein no era completamente calvo.

g)

Juan come en exceso o engorda fácilmente. Juan engorda fácilmente. Por lo tanto, Juan no come en exceso.

h)

Si yo soy el Papa de Roma, entonces tú eres Papa Noel. Yo soy el Papa de Roma. Luego, Tú eres Papa Noel.

i)

Sócrates no murió envenenado o Platón escribió El Banquete. Platón escribió El Banquete. Entonces, Sócrates murió envenenado y Platón escribió El Banquete.

j)

O ningún diputado del Congreso vive en Madrid o Felipe González vive en Madrid. Felipe González vive en Madrid. Por lo tanto, Felipe González es un diputado del Congreso.

• k)

Algunos políticos son también filósofos. José María Aznar es un político. Luego, José María Aznar es un filósofo.

/)

Si Einstein sobrepasaba el metro ochenta de estatura entonces Einstein fue un famoso científico. Einstein fue un famoso científico. Por lo tanto, Einstein sobrepasaba el metro ochenta de estatura.

Falsa ¡2 4

Tipología de razonamientos incorrectos

Hipótesis

Conclusión -Vewiader*- ~P«im. G Verdadera 5 Falsa. 7 8

es decir, según sean correctos o no, y según el valor de verdad de las premisas y la conclusión en el mundo real. o)

Platón escribió la Ética a, Nicórnaco o Aristóteles escribió El Pangúele. Platón escribió la Etica a Nicórnaco. Entonces, Aristóteles escribió El Banquete.

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b) Todo número natural que termine en cero es múltiplo de 5. 10 es un número natural terminado en cero. Luego, 10 es múltiplo de 5.

Tipología de razonamientos correctos Conclusión Verdadera. Verdadera 1 Falsa 3

DEL CD

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

GENERAL

Los mamíferos tienen cuatro patas: El jabalí tiene cuatro patas. Entonces, El jabalí es un mamífero. Respuesta de un político a la pregunta de cuál fue la causa de que perdiera su escaño: "No tuve suficientes votos."

Capítulo 2

E l lenguaje de la lógica proposicional El objetivo de este capítulo es doble: la adquisición de un lenguaje artificial y la formalización en él de los enunciados del español. A diferencia de las lenguas naturales (como el castellano, el inglés, el catalán o el chino), será éste un lenguaje formal que contará con unas reglas de formación precisas. Lo usaremos en adelante como vehículo de razonamiento. El que vamos a introducir ahora es el lenguaje de la lógica proposicional —abreviadamente, LP—, también llamado de coneetores, y el análisis que se llevará a cabo con él será de un nivel muy abstracto, en donde sólo intervienen y se estudian unas pocas combinaciones de enunciados simples para formar enunciados complejos. De manera que ahora se cumple el primer acto de nuestro plan, nos situamos en el primer estadio del análisis lógico que a lo largo de todos estos capítulos llevaremos a efecto.

2.1.

Introducción

Características del lenguaje de la lógica proposicional 1. -Sólo nos interesarán las expresiones lingüísticas que describan un estado o expresen un pensamiento completo; es decir, nos limitaremos al uso declarativo del lenguaje. Nuestro lenguaje formal es muy pobre; no se puede traducir a él las preguntas, las exclamaciones, las dudas ni los chistes (bueno, tal vez mi amigo John Paulos sea capaz de hacerlo). 1

2.

Como contrapartida a su falta de riqueza, será muy preciso, carente por completo de ambigüedad o de doblez.

¿ H a b é i s l e í d o sus libros: Matltematics and Humor, y A M athcmaiician rcadü ihe Newspapcr! 1

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I Think The.refnre. 1 Laugh,

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