Logica

Logica • non P: ¬ P, quae vera est si P falsa est

2 Deductio et syllogismus Deductio est ratiocinatio ex axiomatibus. Syllogismus est forma simplicima deductionis. Partes syllogismi hae sunt: propositio, adsumptio, conclusio. Propositio et adsumptio sunt principia. Si verae sunt, et si forma syllogismi valida est, conclusio quoque vera est.

2.1 De generibus propositionum Propositionum definitarum quauor genera sunt. Genus A est affirmatio universalis: omnes R sunt P. Genus E est negatio unversalis: nullum R est P. Genus I est affirmatio particularis: aliquae R sunt P. Genus O est negatio particularis: aliquae R non sunt P. Exempla: Omnes homines sunt mortales. -- propositio generis A

Gregorius Reisch, Margarita Philosophica, Saeculum 16

Nullus homo est angelus. -- propositio generis E

Logica est ars abstracta de relationibus inter propositiones. Logica classica vel Aristotelica complectitur de discernendo verum a falso. Logica moderna divisa est in logica mathematica et in logica philosophica.

Sunt homines qui milites sunt. -- propositio generis I : inter homines, sunt milites et fortasse sunt alii qui non sunt milites

Nomen a verbo graeco λόγος derivatur, quod verbum “sermo” vel “argumentum” significat; ἡ λογικὴ τέχνη est ergo “ars verborum” vel “ars ratiocinationis.” Dialectica (quae ars fuit pars trivii inter artes liberales mediaevales), est logica in disputationibus adhibita.

Sunt homines qui non sunt milites. -- propositio generis O: inter homines, non omnes sunt milites; fortasse etiam nulli sunt milites

Propositio quae de uno modo homine, vel de una re, tractat est universalis: Cicero est mortalis est proposi1 Logica propositionum tio generis A quia dicit Omnes homines qui sunt Cicero sunt mortales -- etiamsi copia hominum-qui-suntLogica propositionalis logicam simplicissimam de proCicero unum tantum elementum habet. positionibus tractat, et de coniunctiones earum. Sit P et Q propositiones; tunc possumus cernere utrum “P et In propositionibus generis A, subiectum R dicitur distriQ,” “P vel Q,” “non P” verae propositiones sint annon. butum, quod propositio de omnibus talibus rebus tractat. Praedicans P autem non distribuitur, quod propoMos est symbolis uti: sitio de omnibus talibus rebus non tractat. In proposi• P et Q: P ∧ Q, quae vera est si P vera est, et Q vera tionibus generis E, et subiectum R et praedicans P distributa sunt. In propositionibus generis I, nec subiecest tum R nec praedicans P distributum est. In propositio• P vel Q: P ∨ Q, quae vera est si P vera est, aut Q nibus generis O, praedicans P distributus est, subiectum vera est, aut ambo R non distributum est. 1

2

2

DEDUCTIO ET SYLLOGISMUS

1. Propositiones non ambo negativae sunto. 2. Si altera propositio sit negativa, conclusio esto negativa; si conclusio sit negativa, una propositio (vel maior vel minor) esto negativa. (Si ambo propositiones affirmativae sunt, igitur, conclusio quoque affirmativa erit.) 3. Terminus medius distribuatur saltem in una propositione. 4. Terminus quisque qui distribuatur in conclusione distributus esto in propositione.[1]

Quadratus ubi quattuor genera propositionum inter se opponunt. * Genus A: quilibet homo est albus. * Genus E: nullus homo est albus. * Genus I: quidam homo est albus. * Genus O: quidam homo non est albus.

2.2

Definitio syllogismi

Syllogismus tres propositiones habet: propositio vel maior propositio; adsumptio vel minor propositio; et conclusio. Subiectum conclusionis est terminus minor syllogismi; praedicans conclusionis est terminus maior. Hoc est, conclusio dicit utrum Minor sit Maior annon. Propositio maior terminum maiorem continet; propositio minor vel adsumptio terminum minorem continet. Hic est syllogismus, exempli gratia: 1. Omnes homines sunt mortales.

Syllogismus noster supra validus est. (1) Propositiones sunt affirmativae, non ambo negativae. (2) od propositiones non sunt negativae, conclusio est affirmativa. (3) Terminus medius H distribuitur in propositione maiore. (4) Terminus minor C distribuitur in conclusione, et in adsumptione. Hoc est exemplum syllogismi non validi: 1. Omnes homines sunt mortales. 2. Feles meus est mortalis. Conclusio: Feles meus est homo. are? Terminus medius (“mortalem esse”) numquam distribuitur. Est praedicans propositionis maioris, generis A—sed in propositione generis A praedicans non distribuitur. Similiter, terminus medius est praedicans adsumptionis. Numquam ergo distribuitur: syllogismus regulam tertiam non consequitur. Aliud exemplum:

2. Cicero est homo. Conclusio: Cicero ergo est mortalis.

1. Nullus feles est homo.

2. Sunt homines qui non sunt canes. Conclusio est propositio generis A ubi R = “Cicero” et P = “mortalem esse.” Terminus maior syllogismi est “morConclusio: Nullus feles est canis. talem esse.” Propositio maior hunc terminum habet: est propositio (1). Terminus minor est “Cicero"; propositio minor vel adsumptio est propositio (2), ubi termi- amquam conclusio vera est, syllogismus non est vanum minorem invenimus. Tertius terminus est “termi- lidus --- regulam primam non consequitur, quod ambo propositiones negativae sunt. nus medius"; hoc in syllogismo est “hominem esse.” Aliud: Schema huius syllogismi est ergo:

2.3

1. omnes H sunt M -- propositio maior, generis A

1. Omnes homines sunt mortales.

2. omnes C sunt H -- adsumptio, generis A

2. Nullus feles est homo.

Conclusio: omnes C sunt M -- generis A

Conclusio: Nullus feles est mortalis.

Validitas

Syllogismus non est validus quia regulam quartam non consequitur. Terminus maior, “mortalem esse,” in conomodo scimus utrum syllogismus validus sit? Regu- clusione distribuitur, quod conclusio est generis E, sed lae hae sunt: numquam in propositionibus distribuitur.

2.5

Versus “Barbara celarent ...”

3 Terminus medius nunc est “mortalem esse,” quod praedicans est et maioris et minoris. Habemus ergo syllogismum secundae figurae. Aliud: 1. Nullus angelus est mortalis. 2. Omnes angeli sunt boni. Conclusio: Sunt boni qui non sunt mortales. Propositio maioris est generis E cuius subiectum est terminus medius, “angelum esse.” Adsumptio, generis A, terminum medium quoque subiectum habet. Conclusio est generis O et syllogismus est tertiae figurae. Aliud: 1. Omnes homines sunt mortales.

Nullus angelus est mortalis.

2.4

Figurae syllogismorum

2. Nullus mortalis est angelus. Conclusio: Nullus homo est angelus.

Hoc in syllogismo terminus medius est “mortalem esSyllogismi conclusio semper et terminum minorem et se” quod praedicans est propositionis maioris, subiecterminum maiorem continet; terminus minor est sutum propositionis minoris. Est ergo syllogismus quarbiectum conclusionis. Terminus medius in propositiotae formae. nibus apparet; potest esse vel subiectum vel predicans harum propositionum. auor figurae exstant:

2.5 Versus “Barbara celarent ...”

• Prima figura: terminus medius est subiectum propositionis, praedicans adsumptionis. Versus est qui omnes syllogismos valides describit. Plures versiones exstant, inter quos hic: • Altera figura: terminus medius est predicans propositionis et adsumptionis. Barbara, Celarent, Darii, Ferioque • Tertia figura: terminus medius est subiectum proprioris; positionis et adsumptionis. Cesare, Camestres, Festino, Baroco secundae; • arta figura: terminus medius est praedicans Tertia Darapti, Disamis, Datisi, Fepropositionis, subiectum adsumptionis. lapton, Bocardo, Ferison habet. arta inExempli gratia, super addit Bramantip, Camenes, Dimaris, Fe1. Omnes homines sunt mortales. sapo, Fresison.[2] 2. Cicero est homo. Conclusio: Cicero ergo est mortalis.

Vocales verborum genera propositionum dant. Hoc est, barbara significat tres propositiones generis A, et ferio Terminus medius est “hominem esse"; est subiec- significat propositionem maiorem generis E, minorem tum propositionis (maioris) et praedicans adsumptionis generis I, conclusionem generis O. Cum regulis supra (propositionis minoris). Hic est ergo syllogismus pri- dictis de positione termini medii possumus omnes syllogismos cernere, utrum validi sint annon. mae figurae. Aliud:

Exempli gratia,

1. Omnes homines sunt mortales.

1. Omnes homines sunt mortales.

2. Nullus angelus est mortalis.

2. Cicero est homo.

Conclusio: Nullus angelus est homo.

Conclusio: Cicero ergo est mortalis.

4

8

Hic syllogismus, ut iam videmus, validus est in figura prima: est barbara.

BIBLIOGRAPHIA

6 Vide etiam • Demonstratio mathematica

Aliud: 1. Omnes homines sunt mortales. 2. Feles meus est mortalis.

• Elenchus • Scientia (ratio)

Conclusio: Feles meus est homo.

7 Notae Ut iam videmus, hic non validus est (quod terminus medius numquam distribuitur). Terminus medius est praedicans amborum propositionum: syllogismus est ergo secundae figurae. Propositiones autem sunt generum A, A, A, quod non ad secundam figuram pertinet. Gulielmus Sherwoodensis dicitur versum scripsisse; versio eius est fere: Barbara celarent darii ferio baralipton Celantes dabitis fapesmo frisesomorum; Cesare campestres festino baroco; darapti Felapton disamis datisi bocardo ferison[3]

3

Logica mathematica

Logica mathematica est pars principalis fundamentorum mathematicae (aliae partes principales fundamentorum mathematicae sunt theoria copiarum, theoria exemplarum, theoria categoriarum, theoria facultatis calculandi). Logicae mathematicae motivatio est studium systematum deductivorum axiomatum ope formalium linguarum.

4

Historia

[1] Runkle, p. 143 [2] E pagina illius artz Hill School [3] Secundum paginam anglicam

8 Bibliographia • Barwise, Jon. 1977. Handbook of Mathematical Logic. Amstelodami: North Holland. ISBN 072042285X • Benne, Deborah J. 2004. Logic Made Easy: How to Know When Language Deceives You. Novi Eboraci: Norton. ISBN 0393057488 • Curry, Haskell B. 1958. Combinatory Logic. Amstelodami: North Holland. ISBN 0720422086 • Curry, Haskell B. 1963. Foundations of Mathematical Logic. Novi Eboraci: McGraw-Hill. OCLC 526475 • De Boer, Karin, et Ruth Sonderegger, edd. 2012. Conceptions of Critique in Modern and Contemporary Philosophy. Houndmills: Palgrave Macmillan. ISBN 9780230245228 • Doxiadis, Apostolos, et Barry Mazur. 2012. Circles Disturbed: e Interplay of Mathematics and Narrative. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691149042

Aristoteles systema logicae Organon in libris de Analytica (priore et posteriore), de Interpretatione, de Categoriis enuntiavit.

• Manoscu, Paolo. 2010. e Adventure of Reason: Interplay between Philosophy of Mathematics and Mathematical Logic, 1900-1940. Oxonii: Oxford University Press. ISBN 9780199546534

5

• Mendelson, Ellio. 1964. Introduction to Mathematical Logic. Princeton: Van Nostrand. OCLC 259359

Libri •

, Guillelmus de Ockham • Tractatus Logico-Philosophicus, Ludwig Wigenstein

• Paerson, Douglas. 2012. Alfred Tarski: Philosophy of Language and Logic. Houndmills: Palgrave Macmillan. ISBN 9780230221215 • Runkle, Gerald. 1978. Good inking: An Introduction to Logic. Novi Eboraci: Holt Rinehart and Winston. ISBN 0-03-023066-7

5 • Styazhkin, N. I. 1969. History of Mathematical Logic from Leibniz to Peano, editio anglica. Cantabridgiae: MIT Press. ISBN 0262-19057-5 • Tieszen, Richard L. 2011. Phenomenology, Logic, and the Philosophy of Mathematics. Novi Eboraci: Cambridge University Press. ISBN 0521837820 • Turing, Alan M. 2001. Mathematical Logic. In serie Collected Works, R. O. Gandy et C. E. M. Yates, edd. Amstelodami et Novi Eboraci: Elsevier Science. ISBN 0444504230.

9

Nexus Externi • ASL, Societas Americana pro logica symbolica • FoLLI, Societas Europaeana pro logica • Logica apud PhilPapers • Logic Museum • De Syllogismis apud artz Hill School of eology

6

10

10 10.1

TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES

Text and image sources, contributors, and licenses Text

• Logica Source: https://la.wikipedia.org/wiki/Logica?oldid=2919494 Contributors: Suisui, Andre Engels, Aphaia, Iustinus, Cato~lawiki, Robbot, Palica, Porcarius, ‫חופש‬, Rolandus, Jasonc65, UV, ijs!bot, Escarbot, JAnDbot, TXiKiBoT, Rolandus, VolkovBot, Rafaelgarcia, Synthebot, EDUCA33E, SieBot, Idioma-bot, AlleborgoBot, PipepBot, Dbuckner, BodhisavaBot, UVbot, MelancholieBot, LaaknorBot, Luckas-bot, Ptbotgourou, Xqbot, ArthurBot, D'ohBot, KamikazeBot, LilyKiy, Joerbot, TjBot, Shilling.jake, EmausBot, ZéroBot, Amahoney, JackieBot, WikitanvirBot, Movses-bot, CocuBot, MerlIwBot, Dexbot, MCaecilius, Columbensis, Addbot, AMahoney bot, BenKovitz et Anonymous: 8

10.2

Images

• Fasciculus:Gregor_Reisch,_Margarita_Philosophica,_Typus_Logice.jpg Source: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/ 4/44/Gregor_Reisch%2C_Margarita_Philosophica%2C_Typus_Logice.jpg License: Public domain Contributors: ? Original artist: Gregor Reisch • Fasciculus:Johannesmagistris-square.jpg Source: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ca/Johannesmagistris-square. jpg License: Public domain Contributors: Opus proprium Original artist: Peter Damian • Fasciculus:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg Source: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Nuvola_apps_ edu_mathematics-p.svg License: GPL Contributors: Derivative of Image:Nuvola apps edu mathematics.png created by self Original artist: David Vignoni (original icon); Flamurai (SVG convertion) • Fasciculus:Paris-Museum_Carnavalet710.JPG Source: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Paris-Museum_ Carnavalet710.JPG License: CC BY-SA 3.0 Contributors: Opus proprium Original artist: GFreihalter • Fasciculus:Wikisource-logo.svg Source: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg License: CC BYSA 3.0 Contributors: Rei-artur Original artist: Nicholas Moreau

10.3

Content license

• Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0