Lógica Simbólica Segunda parte 1 :
Materia: Lógica Simbólica parte
obs: 2ª
Autor:Edwin Aguiar
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Licenciatura en Informática Aclaraciones: Antes de iniciar la segunda parte de este apunte 3 deseo dejar en claro semestre: que existe una manifiesta desorganización, ya que el programa de la cátedra dice una cosa pero no aclara los pormenores de donde y que estudiar, más que una vaga idea de la bibliografía. Los apuntes y seminarios brindados por el campus abordan parcialmente los temas y no permiten dilucidar si las soluciones propuestas por el alumno son las correctas o no; en pocas palabras el diseño es penoso. A esto se suma que posee errores de confección que han resultado en una confusión cuando se pretende estudiar seriamente. Espero que este apunte sirva a quienes vienen detrás, no solo a comprender la Razonamiento deductivo Un razonamiento deductivo es aquél de cuyas premisas se pretende que suministran pruebas concluyentes para afirmar la verdad de su conclusión. Un razonamiento deductivo puede ser válido o inválido.2 Por una cuestión intrínseca de coherencia, se desprende que no podrá ser ambos al mismo tiempo.
Valido o no valido Con las nociones introducidas hasta aquí, se dispone ya de un lenguaje formalizado, con el que es posible expresar cualquier razonamiento de lógica de enunciados; basta indicar los métodos que deciden cuáles son las secuencias de fórmulas que representan un razonamiento válido. Sobre estas secuencias de fórmulas, es posible hacer afirmaciones de tipo semántico, basadas en la atribución de la noción de verdad, o bien de tipo sintáctico, basadas en la noción de equivalencia. Las primeras son propias de los métodos semánticos, y las segundas de los sintácticos.
Métodos semánticos 1) Un razonamiento es válido si, siempre que sus premisas son verdaderas, la conclusión también es verdadera, y no es posible que, con premisas verdaderas, la conclusión pueda ser falsa. 2) Un razonamiento válido es, en consecuencia, una implicación formalmente válida. Por lo mismo, un razonamiento es válido, si la premisa semántica que forman sus premisas y su conclusión constituye una tautología. Una premisa es una afirmación (hecha en metalenguaje) sobre un conjunto de fórmulas 1Corresponde a la unidad 2 y 3 de la materia 2Irving Copi op. cit. Edwin M. Aguiar | página 1 | Apuntes de Lógica Simbólica
lógicas (las premisas y la conclusión), utilizando el signo de «consecuencia lógica». Por ejemplo, el razonamiento siguiente:
p→q p ∴q
p: Ana sueña q: Ana duerme
Representado en el cuadro lateral (se explica más adelante), se lee «Si Ana sueña, duerme. Ana está soñando, por tanto duerme» En general se afirma que si los enunciados (premisas) son verdaderos, lo es también la conclusión.
En matemática un razonamiento deductivo adopta la forma de una argumentación en la cual las premisas Pn concluyen en una implicación Q siendo las primeras proposiciones que se denominan premisas del argumento y Q la conclusión del argumento. Si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también lo es.
(p1∧p2∧p3∧p4…∧pn)→q El argumento es válido, por ende, si las premisas son verdaderas. En consecuencia una vía para demostrar la validez argumentativa es demostrar que la proposición es una tautología. Un ejemplo3: p: Rogelio estudia q: Rogelio juega tenis (primitivas)
proposiciones
r: Rogelio aprueba el examen p1: Rogelio estudia, entonces aprobara el examen p2: Rogelio no juega tenis, estudia premisas p3 Rogelio reprobó el examen Simbolización: p1: p→r
p2: ¬q→p
p3: ¬r
[(p→r)∧(¬q→p)∧(¬r)]→q o resumido: [(p1)∧(p2)∧(p3)]→q 3Grimaldi Ralph, op. cit pg 77 Edwin M. Aguiar | página 2 | Apuntes de Lógica Simbólica
atómicas
Resumiendo: Argumento válido es aquel cuya forma es tal que no admite premisas verdaderas y conclusión falsa. Como la validez de un argumento es propiedad de su forma, un argumento válido no deja de serlo por el hecho de tener premisas falsas y conclusión verdadera, o premisas falsas y conclusión falsa. primitiva s
P
P1
P2
3
Conjunto de premisas
argumentación
p q r ¬ ¬ (p→r (¬q→ [(p1)∧(p2)∧(p3 [(p1)∧(p2)∧(p3)] →q ) p) q r ) 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 La tabla de verdad nos revela el resultado de esta argumentación como una tautología, lo que significa la validez de los argumentos. Cuando p→q es una T° (Tautología) se dice que “p implica lógicamente a q”; esto es en símbolos p⇒q Grimaldi en su texto (pag. 79) dice que “podemos evitar la idea de tautología diciendo que p implica lógicamente a q si q es verdadera cuando p es verdadera” “Una clase importante de proposiciones compuestas consiste en las que siempre son verdaderas sin importar el valor de verdad de las variables (proposiciones atómicas) p,q,etc. Este tipo de proposiciones compuestas reciben el nombre de tautología. ¿Por qué habrían de interesarnos las proposiciones que siempre son verdaderas y por tanto bastante aburridas? La respuesta es que tendremos que tratar con proposiciones que se ven algo complicadas y esperamos mostrar que son verdaderas, por lo tanto una manera de hacerlo será utilizando otras proposiciones que se sabe son siempre verdaderas.”4 Hay que diferencias entre la implicación lógica y la implicación, así como también en la doble implicación lógica de la bicondicionalidad a secas. Una expresión P⇒Q o P⇔Q significan que ambas son una tautología, es
4Wrigth y Ross op. cit pag. 75 Edwin M. Aguiar | página 3 | Apuntes de Lógica Simbólica
decir que son equivalentes entre si sus tablas de verdad, mientras que P→Q o P↔Q son simples implicaciones de proposiciones compuestas que pueden o no tener tablas de verdad similares.
Algunas tautologías5: ((p→q)∧(q→p))↔(p↔q) (p→q)↔((p∧¬q)→(¬p)) p↔(¬p→p) p q
0 0 1 1 De
0 1 0 1 los
(p→q)↔((¬q)→(¬p))
p↔((¬p)→(q¬∧q))
p→ q
q→ p
p↔q
(p1∧p2 )
(p1∧p2)↔ q
p1
p2
q
premi sas
conclusió n
1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 cuales tenemos que…
(p∧¬p)→q
1 1 1 1
((p→q)∧(q→p))⇔(p↔q) es e cir que “(p1∧p2) implica lógicamente a (q)” ya que se cumple lo anunciado en líneas precedentes, ya que la forma proposicional es una tautología. Lógicamente a medida que se complican más las proposiciones las tablas de verdad se hacen más extensas, ya que con 5 proposiciones atómicas (p, r, s, t, u en el ejemplo de Grimaldi [(p→r)∧(r→s)∧(t∨¬s)∧(¬t∨u)→ ¬p] se requerirían 32 filas, sin contar las columnas para las premisas. Por ello se establecen las reglas de inferencia. Las reglas de inferencia En los razonamientos reglamentados por la lógica, cada una de las leyes lógicas que permiten pasar de una fórmula a otra en un cálculo deductivo o en una inferencia inductiva. Si se trata de un cálculo axiomático formalizado, son las reglas de transformación que, junto con las definiciones de los términos y las reglas sintácticas de formación de términos, permiten la obtención de teoremas. Tanto la lógica de 5Criado y Muñoz, op. cit pg 31 y ssgtes. Edwin M. Aguiar | página 4 | Apuntes de Lógica Simbólica
enunciados como la lógica de predicados se conciben como un sistema deductivo compuesto de reglas de inferencia. Se habla indistintamente de reglas de inferencia o de leyes lógicas. Dichas reglas determinan, pues, cuáles son los pasos correctos en una deducción, o inferencia deductiva según los diversos sistemas del cálculo lógico. En los sistemas axiomáticos llamados de la «primera generación», bastan dos reglas: de separación (modus ponens) y de sustitución. En el método de deducción natural, para la lógica de enunciados (mas adelante ver las reglas) y la lógica de predicados se distingue entre reglas básicas y reglas derivadas. Aquí tratare de algunas de ellas. Estas reglas, que poseen varios métodos y nombres, nos permiten utilizar técnicas de simplificación para resolver en menos pasos lo que llevaría muchos más. Es importante considerar que: p q (p∧q ) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 •
(p∧q)→ p 1 1 1 1
(p∧q)→ q 1 1 1 1
Las evaluaciones solo se efectúan sobre las filas en que las proposiciones atómicas se demuestran con valores de verdad 1.
Por ejemplo: (p∧q)→p: observamos que utilizando solo la cuarta fila ya sería suficiente para evaluar la proposición compuesta, que es una tautología y que equivale lógicamente entre sí. Esta primera regla de inferencia se conoce que como “Modus Ponens”. Modus ponens es una expresión latina que significa «modo que afirma» y que se aplica a la regla de inferencia de lógica de enunciados, que tiene el esquema descripto arriba. p La regla halla su expresión en forma de notación de una tabla: Si “p” es verdadera Si “p→q” es verdadera p → Y “p→q” es verdadera y “p” es verdadera q Por lo tanto “q” es verdad por lo tanto “q” es verdadera p →p q ¬ ¬ (p→q p∧(p→q (p→q)∧ q p q ) ) ¬q Edwin M. Aguiar | página 5 | Apuntes de Lógica Simbólica
p ∴ q ∴
0 0
1
1
1
0
1
0 1
1
0
1
0
0
1 0
0
1
0
0
0
1 1
0
0
1
1
0
Otra manera de definir el modus ponens es el hecho que p∧(p→q) implica lógicamente a q, así como el modus tollens (p→q)∧¬q implica lógicamente a ¬p lo cual es confuso hasta que se demuestra con la tabla de verdad En el primer caso (modus ponens) cuando p es verdad y p→q es verdad, q es verdad; en el segundo (modus tollens) cuando p y p→q es verdad ¬p es verdad, ya que p=0, ¬p=1 p Modus Tollens: o método de la negación → q Se puede leer como si p →q ( o al revés) es verdadera, y p (o q) no es verdadera Por lo tanto q (o p) no es verdadera, en un ejemplo más concreto con el p primer ejemplo de la izquierda: → “Si Juan es bello y maravilloso, entonces gana el amor de María; Juan no q es bello ni maravilloso, por lo tanto no ganara el amor de María” o ¬ p también “Si Juan es bello y maravilloso, entonces gana el amor de María; Juan no gana el amor de Maria, por lo tanto Juan no es bello ni maravilloso” ¬ q Existen otras reglas de inferencia a destacar: ∴ p∨q Silogismo disyuntivo: [(p∨q)∧¬p]→q ó ¬ 6 ¬p [(p∨q)∧¬q]→p q ∴q Se enuncia P o Q no P siendo el resultado cuando p y q poseen un valor de verdad de 1 la implicación lógica de q. Un ejemplo ∴ es: ¬ Canta o Baila / No baila / Canta ó Canta o baila / No canta/ Baila p claramente surge la utilidad de este silogismo disyuntivo o “modus tollendo ponens” (modo que afirma negando). Esta ley de inferencia se usa cuando hay que evaluar dos posibilidades y descartar una de 6Apuntes de catedra Edwin M. Aguiar | página 6 | Apuntes de Lógica Simbólica
ellas si no es verdadera7 obviamente la otra debe ser verdadera. La tabla de verdad que corresponde al silogismo disyuntivo. p q ¬ ¬ (p∨q (p∨q)∧ [(p∨q)∧¬p p q ) ¬p ]→q 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 La Regla o ley de contradicción: p ¬ F ¬ (¬p→F°) p ° p→F° →p 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 Si tenemos una contradicción F° siendo implicada por ¬p, es decir ¬p→F° obtenemos una tautología Esta regla indica que si tenemos la proposición ¬p y la implicamos con la contradicción dando resultado verdadero, entonces ¬p es falsa, puesto que F° es falsa. También se la denomina reducción al absurdo o demostración por contradicción. ¬p→F° implica lógicamente a p, tal como se advierte en la tabla adjunta. Otro ejemplo es la proposición siguiente: p⇒[¬p→(q∧¬q)]
p q ¬ ¬ (q∧¬ [¬p→(q∧ p q q) ¬q)] 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 En ella advertimos que implicamos lógicamente a p, siendo la idea demostrar una proposición –la conclusión del argumento- mostrando que si esa proposición es falsa, entonces llegaríamos a deducir una consecuencia imposible. Entonces el desarrollo argumental de uan hipótesis, ya tratada al inicio de esta sección:
(p1∧p2∧…pn)→q 7Grimaldi Ralph, op. cit. Pag. 86 Edwin M. Aguiar | página 7 | Apuntes de Lógica Simbólica
Quedaría así:
(p1∧p2∧…pn∧¬q)→F° p∧q ∴p
Así la resultante de la contradicción es por oposición la verdad, tal como se advierte en la tabla precedente.
p q ∴p∧q
Ley de conjunción, de simplificación
En esta la expresión p∧q es simplemente verdad si ambos términos son verdad. Si uno de ellos es falso o ambos, el resultado –por el carácter de la conjunción, también lo és. “Si p es verdadero y q es verdadero, p y q son verdaderos”8 Esta misma ley también posee un correlato, la ley de simplificación cuya exposición es el segundo cuadro. En este si p y q son verdaderos, p lo es también.
p q (p∨q p→(p∨q ) ) 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Ley de adicción p Donde p es verdad o no, p→q son verdad siempre, conforman una T°; de allí su nombre de ∴p∨q adicción, y se simboliza según el cuadro adyacente. El silogismo hipotético Esta ley es obra de Francis Bacon (1561-1626; expone principalmente en su obra Novum Organum), que buscaba un método la idea de una inducción progresiva y cuidadosa, que, partiendo de la más amplia posible recolección P Q p q r (p→q (q→r ) ) 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1
R P∧ Q 1 1
8Mi verdulero al revisar este apunte cuando envolvía las papas. N. del A. Edwin M. Aguiar | página 8 | Apuntes de Lógica Simbólica
S p→ r 1 1
R→ S 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p→q de datos (historia natural), establece inicialmente q→r correlaciones entre diversos hechos para, eliminadas las ∴p→r hipótesis no explicativas, llegar a establecer la «forma» o causa del fenómeno en cuestión. («Porque el conocimiento -dice- es una pirámide, cuyas bases son las historia naturales»)9. La resultante es un planteo por etapas que concluye con una tautología: [(p→q)∧(q→r)]→(p→r) Se lee “Si p entonces q, y q entonces r; por lo tanto p entonces r” p q ( ( (p→q)∧(q (p↔q) p→q q→p →p) ) ) 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 La ley de introducción a la equivalencia (p→q)∧(q→p)⇒(p↔q) donde las premisas implican p→q lógicamente a la bicondicional. La lectura de esta ley es “Si p q→p entonces q y si q entonces p; por lo tanto p si y solo si q” , un ∴p↔q ejemplo quizás ilustre mejor: p: María va a contraer matrimonio, q: Juan va a contraer matrimonio. “Si María va a contraer matrimonio, entonces Juan va a contraer matrimonio; y; Si Juan va a contraer matrimonio, entonces María va a contraer matrimonio. Por lo tanto María contrae matrimonio si y si solo si Juan contrae matrimonio “. Como en la vida real solo se pueden dar el sí, si ambos están de acuerdo o ninguno. p q p↔q 0 0
1
p→ q 0
(p↔q)→( p→q) 0
9Diccionario Herder de Filosofia Edwin M. Aguiar | página 9 | Apuntes de Lógica Simbólica
0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 La ley de eliminación de equivalencia Funciona en un sentido inverso, de la doble implicación se llega a la implicación lógica de sus términos, una implicación condicional: (p↔q)→(p→q)⇒(p→q) Ley de casos p q ¬ (p→q (¬p→ (p→q)∧ p ) q) (¬p→q) 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 La formulación de (p→q)∧(¬p→q) implica lógicamente a q de la siguiente manera: [(p→q)∧(¬p→q)]⇒q Abajo: la representación de la ley de eliminación de equivalencias y la ley de casos respectivamente. p→q p↔q Nota: ¬p→q Con estas últimas definiciones termina la segunda unidad del ∴q ∴p→q programa “razonamientos deductivos”10. El próximo apunte, el tercero, tratara sobre Lógica de Predicados. Cualquier sugerencia, corrección o aclaración que se pueda efectuar sobre el texto es bienvenida al correo
[email protected] ya que al ser un apunte básicamente es un texto expositivo sujeto a errores o a subjetividades.
10CEX008 Lógica Simbólica, Universidad Empresarial Siglo 21 Edwin M. Aguiar | página 10 | Apuntes de Lógica Simbólica
