LOGICA PROPOSICIONAL

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PRESENTACIÓN

Este módulo preparado por el equipo de docentes del Área de Matemática, del Departamento de Formación General de la Universidad César Vallejo  – Piura  – Piura tiene como propósito ayudarte a mejorar tus habiliades lógico matemáticas. El contenido está dividido en 8 capítulos los cuales son : Lógica Proposicional, Introducción al Algebra, Ecuaciones, Inecuaciones, Razones y Proporciones, Conjuntos, Relaciones y Funciones e Introducción a la Geometría  Analítica, se desarrollarán desarrollarán en las sesiones de aprendizaje aprendizaje de acuerdo al sílabo correspondiente. Cada uno de los temas desarrollados contiene ejemplos desarrollados paso a paso, así como problemas de aplicación, talleres de ejercicios, talleres de problemas que serán desarrollados en clase y las actividades actividades te servirán para afianzar tu aprendiazaje. aprendiazaje. Si al terminar cada tema no has logrado comprender el material, revísalo nuevamente hasta que logres afianzar tus conocimientos, puedes consultar a tu profesor, de esta manera podrás reafirmar o complementar complementa r la comprensión de algún tema. Ten presente que estos contenidos sirven particularmente para garantizar el éxito indispensable en el estudio de las matemáticas enseñadas en el nivel universitario, universitario, por eso se te exhorta a estudiar y resolver los talleres t alleres y actividades de cada capítulo.

L o s a u t o r es es .

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ÍNDICE PRESENTACIÓN CAPÍTULO 01: LÓGICA PROPOSICIONAL El interruptor ELEMENTOS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Introducción 1.1 La lógica como ciencia 1.2 La lógica proposicional Taller de ejercicios  Actividad

01 08 09 09 10 11 23 26

FORMALIZACIÓN PROPOSICIONAL Introducción 1.3 Casos especiales de formalización Taller de ejercicios  Actividad

30 30 32 34 36

VERDAD FORMAL Introducción 1.4 Esquemas moleculares 1.5 Tablas de verdad 1.6 Evaluación de esquemas moleculares 1.6.1 Mediante tablas de verdad 1.6.2 Mediante método abreviado Taller de ejercicios  Actividad

39 39 39 39 41 42 44 45 48

EQUIVALENCIAS LÓGICAS Introducción 1.7 Leyes de equivalencia 1.8 Simplificación de esquemas moleculares Taller de ejercicios Bibliografía

51 51 51 54 55 56

CAPÍTULO 02: INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA ¿En qué se aplica el álgebra? OPERACIONES COMBINADAS EN  Introducción 2.1 Operaciones combinadas con números naturales naturales 2.2 Operaciones combinadas con números enteros 2.3 Operaciones combinadas con números racionales Taller de ejercicios  Actividad

58 59 59 59 59 61 62 62

CONCEPTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA Introducción 2.4 Teoría de exponentes Taller de ejercicios  Actividad

64 64 64 66 67

PRODUCTOS NOTABLES

68

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA Introducción 2.5 Productos notables Taller de ejercicios  Actividad

68 69 70 71

FACTORIZACIÓN Introducción 2.6 Factor común monomio 2.7 Factor común polinomio 2.8 Trinomio cuadrado perfecto 2.9 Aspa simple 2.10 Diferencia de cuadrados 2.11 Suma o diferencia de cubos 2.12 Método de los divisores comunes Taller de ejercicios  Actividad

72 72 72 72 73 74 74 74 75 77 77

FRACCIONES ALGEBRAICAS Introducción 2.13 Fracción algebraica 2.14 Simplificación de fracciones algébricas 2.15 Operaciones con fraciones algebraicas 2.15.1. Adición y sustracción de fracciones algebraicas 2.15.2. Multiplicación y división de fracciones algebraicas 2.15.3. Operaciones combinadas de fracciones algebraicas Taller de ejercicios  Actividad Bibliografía

78 78 78 78 79 79 79 80 80 81

CAPÍTULO 03: ECUACIONES ¿Por qué utilizamos la letra “x” para representar un valor desconocido? desconocido ? ECUACIONES Introducción 3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita 3.1.1 Ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros Taller de ejercicios 3.1.2 Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios Taller de ejercicios 3.1.3 Ecuaciones de primer grado con denominadores compuestos Taller de ejercicios 3.2 Sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas 3.2.1 Métodos de resolución a) Método de reducción o de sumas y restas. Taller de ejercicios b) Método de sustitución. Taller de ejercicios  Actividad 3.3 Ecuaciones de segundo grado 3.3.1 Ecuación de segundo grado incompleta Taller de ejercicios 3.3.2 Ecuación de segundo grado completa 3.3.2.1 Solución de ecuaciones de segundo grado por factorización Taller de ejercicios 3.3.2.2 Solución de ecuaciones de segundo grado por fórmula general

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82 84 85 85 86 87 88 88 90 91 91 91 92 93 94 95 97 97 98 98 98 99 99

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA Taller de ejercicios. 3.3.2.3 Solución de ecuaciones de segundo grado completando cuadrados Taller de ejercicios  Actividad 3.4 Problemas con ecuaciones de primer grado Taller de problemas  Actividad 3.5 Problemas con ecuaciones de segundo grado Taller de problemas  Actividad 3.6 Ecuaciones polinómicas 3.6.1 Ecuaciones polinómicas de grado superior a dos 3.6.2 Regla de Rufiini Taller de ejercicios  Actividad Bibliografía

CAPÍTULO 04: INECUACIONES Las tres cajas de caramelos INTERVALOS Introducción 4.1 Desigualdades 4.2 La notación de intervalo 4.3 Operaciones entre intervalos Taller de ejercicios

100 101 102 103 104 105 107 109 109 111 112 112 114 114 115 116

118 119 119 119 119 121 125

INECUACIONES DE PRIMER GRADO  Introducción 4.4 Inecuaciones de primer grado Taller de ejercicios  Actividad

126 127 127

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Introducción 4.5 Inecuaciones de segundo grado

129 129 129

APLICACIONES DE LAS INECUACIONES Taller de problemas  Actividad

132 133

INECUACIONES POLINÓMICAS Introdución 4.6 Inecuaciones polinómicas 4.6.1 Método de los puntos críticos para resolver problemas 4.6.2 Inecuaciones con factores cuadráticos irreductibles Taller de ejercicios  Actividad Bibliografía CAPITULO 05: RAZONES Y PROPORCIONES Las proporciones del hombre Introducción 5.1 Razón

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135 135 135 135 139 140 141 141 143 144 144

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Serie de razones geométricas equivalentes Propiedades de las razones geométricas Problemas resueltos Proporción Propiedades de las proporciones Taller de problemas  Actividad

145 145 146 147 148 149 150

CAPÍTULO 06: CONJUNTOS ¿Por qué agrupamos? CONJUNTOS Introdución 6.1 Idea intuitiva de conjunto 6.2 Notación de un conjunto 6.3 Relación de conjuntos 6.3.1 Relación de pertenencia 6.3.2 Realción de inclusión 6.3.3 Relación de igualdad 6.4 Clases de conjuntos 6.4.1 Conjunto universal 6.4.2 Conjunto vacio o nulo 6.4.3 Conjunto unitario 6.4.4 Conjunto finito 6.4.5 Conjunto infinito 6.5 Conjunto potencia 6.5.1 Propiedades del conjunto potencia Taller de ejercicios 6.6 Operaciones con conjuntos 6.6.1 Intersección 6.6.2 Unión 6.6.3 Diferencia 6.6.4 Diferencia simétrica 6.6.5 Complemento de A Taller de ejercicios 6.7 Problemas de aplicación de conjuntos Taller de problemas  Actividad

153 154 154 154 154 154 154 155 155 157 157 157 157 157 157 158 158 159 160 160 161 163 164 165 166 167 169 170

CAPÍTULO 07: RELACIONES Y FUNCIONES El problemas de la señora Benitez RELACIONES Introducción 7.1 Preliminares 7.2 Relación 7.3 Relaciones de   en  Taller de ejercicios

173 174 174 175 176 177 182

FUNCIONES Introducción 7.4 Dominio y rango de una función real 7.5 Función lineal 7.6 Función cuadrática 7.6.1 Cálculo del rango de la función cuadrática 7.6.2 Gráfica de una función cuadrática 7.7 Función exponencial

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184 184 186 187 189 189 189 191

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 7.7.1 Gráfica de una función exponencial 7.8 Función logarítmica 7.8.1 Gráfica de una función logarítmica  Actividad Bibliografía

192 194 197 197 200

CAPÍTULO 08: INTRODUCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ¿Qué es la geometría analítica? GEOMETRÍA ANALÍTICA Introducción 8.1 Fórmula de la distancia entre dos puntos 8.2 Fórmula del punto medio 8.3 Pendiente de una recta Taller de ejercicios

202 203 203 203 204 205 206

LA RECTA Introdución 8.4 Formas de la ecuación de una recta 8.4.1 Forma punto pendiente 8.4.2 Forma de dos puntos 8.4.3 Forma pendiente ordenada al origen 8.4.4 Forma coordenadas al origen 8.4.5 Ecuación de una recta vertical 8.4.6 Forma general de la ecuación de una recta 8.5 Distancia de un punto a una recta 8.6 Relación entre dos rectas en el plano 8.7 Problemas resueltos Taller de ejercicios

207 207 207 208 208 208 208 209 209 210 210 210 212

LA PARÁBOLA Introducción 8.8 Elementos de la parábola 8.9 Formas de la ecuación de la parábola 8.9.1 Forma canónica 8.9.2 Forma ordinaria 8.9.3 Forma general de la recta 8.10 Problemas resueltos Taller de ejercicios  Actividad

214 214 214 215 215 217 219 219 221 222

LA CIRCUNFERENCIA Introducción 8.11 Elementos de la circunferencia 8.12 Formas de la ecuación de una circunferencia 8.12.1 Forma canónica 8.12.2 Forma ordinaria 8.12.3 Ecuación general de la circunferencia 8.13 Problemas resueltos Taller de ejercicios  Actividad Bibliografía

223 223 223 224 224 224 224 225 227 228 228

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En el interior de una habitación hay una bombilla. Fuera hay tres interruptores, y sólo uno de ellos enciende la bombilla. Nosotros estamos fuera y sólo podemos entrar una vez a la habitación. ¿Cómo averiguar el interruptor que enciende la bombilla?

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ELEMENTOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL L a hi stori a hace a los hombr es sabios; l a poesía, in geniosos; las matemáti cas, sutiles; la f il osofía natu ral, pr ofun dos; la m oral , graves; l a lógica y retóri ca, hábil es para l a lu cha.

FRANCI S BACON

Introducción Cuando escuchamos la palabra “Lógica” inmediatamente la asociamos, al menos a la mayoría de personas les pasa esto, con la idea o noción de razonamiento. Aunque esta relación nos puede servir de primera aproximación, hoy en día esto puede ser considerado desbordado por la enorme extensión y diversidad que ha alcanzado esta disciplina, sobre todo en la tecnología e informática. Lo cierto es que uno puede razonar correctamente sin ni siquiera haber estudiado lógica. Y esto no es un caso aislado. Por ejemplo, en el mundo deportivo se ejecutan maniobras difíciles, a veces increíbles, sin que los atletas sepan de las leyes físicas que les permiten ejecutar dichas maniobras. Algo similar ocurre en lógica. Entonces, ¿por qué estudiar lógica?... Básicamente por dos razones que expongo a continuación: Primero, porque un estudio adecuado de ésta la enfocará tanto como una ciencia y como un arte. Esto significa que es menester aplicar las técnicas y criterios aprendidos a nuestros propios razonamientos, lo cual a su vez nos da una menor posibilidad de cometer errores que aquella persona que nunca ha estudiado lógica. Esta posibilidad disminuye aún más cuando estudiamos y analizamos los métodos incorrectos de razonamiento, las llamadas falacias, pues su conocimiento nos ayuda efectivamente a evitarlas y nos ayuda a conocer, con sólo escuchar, lo que pasa en realidad en la otra persona. La otra razón tiene que ver con nuestra necesidad tecnológica. Todos sabemos, por ejemplo, que cuando una plancha se está calentando demasiado debemos bajarle la graduación. Y no necesitamos que se nos diga qué entendemos por “calentando demasiado” (basta con acercar un poco la mano, si es que la ropa no huele ya ha quemado) o cuál es esa temperatura. Hasta aquí no hay problema. Pero como humanos que somos, no nos quedamos contentos con eso. Para no estar tan pendientes de que si la plancha está muy caliente o no, es mejor tener una que automáticamente baje su temperatura cuando ésta se está elevando demasiado y la eleve cuando baja más de lo necesario. Aquí la situación cambia. Ahora necesitamos precisar lo que antes era obvio para nosotros y “traducirlo” de alguna forma en un “lenguaje” en que la plancha nos entienda. Es aquí donde se hace imprescindible el uso de las ciencias formales (la lógica y la matemática) y naturales. Parece un tanto extraño que se deba recurrir a una ciencia formal como la lógica, pero lo cierto es que las

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA instrucciones se dan naturalmente en su lenguaje. Si no conocemos ese lenguaje, no podremos conseguir nuestro objetivo. Claro que aún queda otro camino: esperar que otro lo haga y luego comprársela. Esa ha sido, en general, la tendencia de nuestro país. Si queremos cambiar y generar nuestra propia tecnología, el estudio de la lógica, entre otras ciencias, es fundamental. Por supuesto que para lograr lo anterior se requiere de una lógica más potente que la lógica proposicional, que es la que se expone en este módulo. Pero aunque ya de por sí ésta nos permite comprender los procesos informáticos en los que tiene aplicación, su estudio nos facilita la comprensión de lógicas más avanzadas, como la lógica borrosa por ejemplo, y nos proporciona ideas para la generalización de conceptos y técnicas a esas lógicas. Y todo este emocionante viaje empieza aquí, con la lógica proposicional.

1.1

La lógica como ciencia Si reparamos en las ciencias que la humanidad ha creado y cultivado, advertimos que presentan cinco características invariables:

CIENCIA Conjunto Ordenado y Sistematizado de Conocimientos Conocimientos de Validez Universal

Objeto Propio de Estudio

Método de Estudio

Leyes Propias

Figura 1.1 Características de una ciencia

 Aunque pueden interrelacionarse, lo que distingue a una ciencia de otra (lo que me permite decir: “yo soy matemático y tú abogado”) es básicamente el objeto de estudio. Basándose en este criterio, Mario Bunge [Bu] clasifica a las ciencias en dos grandes grupos: Fácticas (su objeto de estudio está en la realidad física o social) y Formales (cuyo objeto de estudio es ideal o abstracto)

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CIENCIAS FORMALES

CIENCIAS  NATURALES CIENCIAS FÁCTICAS

CIENCIAS SOCIALES

O B J E T O D E E S T U D I O

Entes Ideales (Matemáticas, Lógica)

Fenómenos Naturales (Física, Química, Geología,…)

Fenómenos Sociales (Sociología, Derecho,…)

Figura 1.2. Clasificación de las ciencias según su objeto de estudio

De lo anterior, podemos decir que la lógica es una ciencia formal, cuyo objeto de estudio son los métodos y los principios usados para determinar la validez o invalidez de los argumentos1.

1.2

La lógica proposicional La lógica proposicional es una rama de la lógica clásica que estudia las proposiciones, sus posibles valores de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad. Definición 1.1 Enunciado Es toda frase u oración. Ejemplo 1.1 (a) Lima es la capital del Perú (b) El doble de 3 es 5 (c) ¿Qué hora es? (d) ¡Auxilio! (e) x 2 7 (f) x2 2 Dentro de los enunciados podemos distinguir los siguientes tipos

Definición 1.2 Enunciado abierto Es aquel enunciado que presenta variables2  y que en sí mismo no es ni verdadero ni falso, pero que al asignarle un valor a aquellas, resulta ser verdadero o falso, pero no ambos. Se abrevia por E. A .

1

ARGUMENTOS: representaciones mentales que relacionan conceptos y juicios (premisas) de modo que permiten derivar otros juicios (conclusiones). 2

El término “variable” abarca los pronombres en tercera persona (él,ella,ellos,ellas) (*)

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA Otra forma de caracterizar a los enunciados abiertos es considerarlos como aquellos enunciados que admiten la posibilidad de convertirse en una proposición (en el sentido de la definición 1.4) cuando cada variable asume un valor determinado. Ésa es la razón por la que también se conocen como funciones  proposicionales. Un enunciado será verdadero (o falso) si lo que afirma coincide (o no) con la realidad.

Ejemplo 1.2 (a) Él se fue a Lima Es un E.A pues no se se indica quién es él. En este caso, el pronombre “Él” actúa como variable. Si por ejemplo, hacemos que “Él” se refiera a Luis, el enunciado sería “Luis se fue a Lima”, enunciado del cual se puede hablar de que sea verdadero o falso dependiendo si Luis se ha ido a Lima o no (b) x 2y 7 Es un E.A pues si 2 2 3

x

2  y

y 3  el enunciado se convierte en la proposición

7  la cual es, en los números reales, falsa

Definición 1.3 Enunciado cerrado Es toda definición3, por lo que su valor de verdad es siempre verdadero, pues así se ha convenido. Se admiten también como enunciados cerrados a aquellos enunciados cuya verdad se aceptan sin demostración. Ejemplo 1.3 (a) El seno de un ángulo agudo es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.. Enunciado cerrado. (b) El triángulo no es un polígono de tres lados. No es un enunciado cerrado por dos razones: No es una definición y no es una proposición simple. (c) El triángulo es un polígono de tres lados Enunciado cerrado. Se trata de la definición de triángulo.

Definición 1.4 Proposición Es el significado de un enunciado que tenga la propiedad de ser verdadero o falso, pero no ambas. Ejemplo 1.4 (a) Todos los peruanos son demócratas Es una proposición universal (debido al artículo todos) y afirmativa (el verbo está afirmado). (b) Algunos osos comen carne

3

 Recuerde que una definición siempre tiene  sentido positivo, es decir, siempre es de la forma: “El objeto tal es …”, no de la forma “El objeto tal no es …”

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA Es una proposición particular (artículo algunos) y afirmativa (el oso panda es hervíboro). (c) Miguel Grau murió en el combate de Abtao Es una proposición singular (Miguel Grau es nombre propio) y afirmativa. (d) Io es una satélite de Júpiter Es una proposición singular y afirmativa. (e) La Luna no es un planeta Proposición singular (la Luna es el nombre del satélite terrestre. Aquí “la” no funciona como artículo) y negativa. (f) El 28 de Julio de 1821 se proclamó la independencia del Perú Proposición singular (se refiere sólo al 28 de julio de 1821 y no a otro 28 de  julio) y afirmativa. (g) Los mamíferos no son vertebrados Proposición universal (artículo definido “los”) y negativa. Específicamente hablando, no se consideran como proposiciones a los deseos, dudas, interjecciones, preguntas, pedidos, súplicas, órdenes, las doxas o enunciados de opinión o valoración (por ejemplo, “los mejores jugadores son de la UCV ”), los enunciados que usan  personajes ficticios 4  (por ejemplo, Romeo se suicidó por Julieta), los refranes, los proverbios, los enunciados abiertos, las pseudoproposiciones (oraciones declarativas sin sentido), las descripciones definidas, las supersticiones, mitos y los filosofemas  o enunciados filosóficos. El porqué de estas exclusiones debe quedar claro al tener en cuenta la función del lenguaje que predomina en ellos. De la definición 1.3, todo enunciado cerrado es una proposición simple, con valor de verdad siempre verdadero, pero no lo recíprocamente.

Ejemplo 1.5 (a) La Virgen de la Puerta es milagrosa  A pesar de ser una oración declarativa, es sólo un enunciado (b) El río suena cuando piedras trae Es un enunciado (refrán) (c) El gato negro trae mala suerte Enunciado (Superstición) (d) ¿Qué es la lógica? Enunciado. Es una pregunta. (e) Debemos honrar a nuestros héroes. Enunciado. Según el contexto, puede ser una oración imperativa o exhortativa.

4

  No así los enunciados que se refieren a personajes ficticios desde el punto de vista real. Por ejemplo: ‘Romeo’ es un personaje de una obra literaria o los duendes son personajes ficticios . Éstas son proposiciones.

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA (f) Sea en hora buena Enunciado. Oración desiderativa En el lenguaje común, las oraciones se combinan para formar otras más complejas. Es natural esperar que lo mismo ocurra con las proposiciones. Para realizar estas combinaciones, definimos lo siguiente.

Definición 1.5 Términos de enlace o conectores Son aquellos términos que sirven para enlazar una o más proposiciones y así formar otras más complejas. Básicamente son 7 los conectores empleados. En la siguiente tabla aparecen sus nombres y la forma “más pura” como aparecen en el lenguaje.

NOMBRE

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

FORMA BÁSICA El N e g a d o r   “…no…” El C o n j u n t o r   “...y…” El D i s y u n t o r i n c l u y e n t e   “…o…” El D i s y u n t o r e x c l u y e n t e   “…o…o…” El I m p l i c a d o r   “…si…entonces…” El R e p l i c a d o r   “…si…” El B i i m p l i c a d o r   “…si y sólo si…” Tabla 1.1. Tipos de Conectores o Términos de Enlace

Obviamente, dada la diversidad de nuestro lenguaje, hay varios sinónimos para los conectores mostrados en la tabla 1.1. Las tablas 1.2 a 1.8 muestran algunos sinónimos empleados para referirse a cada uno de éstos. P y Q son proposiciones.

Negadores Internos  

No P Nunca P

 

Jamás P Tampoco P

Negadores Externos  



   

Es absurdo que P Es inconcebible que P Es innegable que no P No es el caso que P Es imposible que P Es mentira que P Es incorrecto que P

De ninguna  forma se da P Es incierto que P No es inobjetable que P En modo alguno P No ocurre que P No es innegable que P Es refutable P Es negable que P



 







 











Es inadmisible que P No acaece que P No acontece que P. Es sofisma que P No es verdad que P Es erróneo que P

Tabla 1.2. Sinónimos del Negador

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El Conjuntor        



 

PyQ P incluso Q P pero Q P aunque Q P al igual que Q P tal como Q P tanto que Q Cierto que P lo mismo que Q Simultáneamente P con Q P más aún Q Siempre ambos P con Q

  



      

P también Q P así como Q P vemos que también Q P al mismo tiempo que Q P sin embargo Q P es compatible con Q P aún cuando Q Sin que P tampoco Q P además Q P igualmente Q Tanto P como cuanto Q

P al mismo modo Q   P de la misma manera Q P no obstante Q P sino Q No sólo P sino también Q P asimismo Q P a pesar de que Q P a la vez que Q P aún cuando Q P a la par que Q

 

  

    

Tabla 1.3. Sinónimos del Conjuntor

El Disyuntor Incluyente     

 

PoQ P a menos que Q A menos que P, Q P salvo que Q P y bien, o también Q P ya bien Q P, de lo contrario también Q

      

P o también Q P a no ser Q P o sino Q P o en todo caso Q P y/o Q P a no ser que Q O P o Q o ambos

  

P excepto que Q P o incluso Q P o a la vez Q

En sentido incluyente 

 

P alternativamente Q P o bien Q Como mínimo P o Q

Tabla 1.4. Sinónimos del Disyuntor incluyente

El Disyuntor Excluyente   

  

oPoQ o bien P o bien Q P o Q (en sentidos excluyentes) P o solamente Q P o únicamente Q P salvo que unicamente Q

 







P o sólo Q   P a menos que solamente Q P no es equivalente a Q No es equivalente P con Q P no biimplica a Q

En sentido excluyente 



 



P excepto que solo Q P a menos que solo Q P salvo Q P alternativamente Q P o bien necesariamente Q

Tabla 1.5. Sinónimos del Disyuntor Excluyente

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El Implicador  









 

Si P entonces Q Siempre que P por consiguiente Q Ya que P bien se ve que Q Con tal P es obvio que Q Cuando P así pues Q Toda vez que P es consecuente Q Excepto que P, Q Para P es condición necesaria Q

 

     





En cuanto P por tanto Q   Cada vez que P consiguientemente Q Ya que P es evidente Q De P derivamos Q P implica Q Si P, Q Dado P por eso Q Como quiera que P por lo cual Q P es condición suficiente para Q P impone a Q

Cuando P, Q Como P, Q De P, Q Suponiendo que P, Q P sólo si Q Sólo P si Q P es condición suficiente de Q Una condición necesaria para P es Q En el caso de que P en tal sentido Q

   

  





Tabla 1.6. Sinónimos del Implicador

El Replicador     



Sólo si P, Q P si Q P porque Q P siempre que Q Es condición necesaria P para Q No P a menos que Q

      

P para Q Para P es suficiente Q P puesto que Q P dado que Q P supone que Q P es suficiente para Q P en tanto Q

      

P pues Q P en vista de Q P como Q P por cuanto Q P debido a que Q P cada vez que Q P en razón de Q

Tabla 1.7. Sinónimos del Replicador

El Biimplicador  



P si y sólo si Q   P siempre y cuando Q   P se define lógicamente como Q

  

 

P es igual que Q P es idéntica a Q P es condición necesaria y suficiente para Q P es equivalente a Q Sólo si P entonces Q







P siempre que y sólo cuando Q P porque y sólo porque Q P entonces y sólo entonces Q

Tabla 1.8. Sinónimos del Biimplicador

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Definición 1.6 Proposiciones Simples y Compuestas Una proposición es s i m p l e o atómica   si no tiene conectivos lógicos en su estructura. Si los presenta, se denomina c o m p u e s t a o m o l e c u l a r  . El siguiente gráfico muestra las relaciones entre enunciado, enunciado abierto , enunciado cerrado y proposición. ENUNCIADO

ENUNCIADO  ABIERTO PROPOSICIÓN PROPOSICIÓN SIMPLE

PROPOSICIÓN COMPUESTA

ENUNCIADO CERRADO

Figura 1.3. Relación entre enunciado, enunciado abierto, enunciado cerrado y proposición

Las proposiciones simples pueden ser:

a) Predicativas Si al sujeto se le atribuye una cualidad o descripción, es decir, se afirma una característica respecto a él. b) Relacionales Establecen una relación entre dos o más sujetos que tienen una misma categoría gramatical. Al sujeto se le compara con otro mediante términos relacionales La siguiente tabla muestra algunos términos relacionales.

TÉRMINOS RELACIONALES Igual

Vecino de

Amigo de

Siamés

Semejante a

Amar

Juntos

Compadre de

Contemporáneo de

Compañero de

Similar a

Hermano de

Gemelo de

Correligionario de

Camarada de

Tio de

Mayor que

Menor que

Colega de

Sobrino de

Interrelacionados

Mellizo de

Unidos

Más … que…

Tabla 1.9. Algunos términos relacionales

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA Ejemplo 1.6 (a) Lima es la capital del Perú. Proposición simple predicativa (b) El Perú es más rico que Bolivia Proposición simple relacional (Relación comercial) (c) Los felinos son más carnívoros que los primates. Relación simple relacional (Relación alimenticia) (d) Vallejo fue contemporáneo de Mariátegui. Relación simple relacional (Relación temporal) (e) Ica está al sur de Lambayeque. Relación simple relacional (Relación espacial) (f) Rebeca y José obsequian una bicicleta a su sobrino. Relación simple relacional (ambos le han obsequiado) (g) Juan y Sara se aman. Relación simple relacional

(Relación afectiva)

 A su vez, las proposiciones compuestas se clasifican en:

a) Negativas Si tienen al conector monádico “ n o ”. Decimos monádico pues sólo necesita de una proposición para ser una expresión bien formada. Pueden ser: a.1 Simples Si presenta negador interno, es decir, la negación va en el verbo. (ver tabla 1.2) a.2 Compleja Si tiene negador externo, es decir, la negación va al inicio de una proposición simple o compuesta. Se construye con sinónimos de “no” (ver tabla 1.2) a.3 Por prefijo Si el término predicado va antecedido por un prefijo que indica negación La siguiente tabla muestra los prefijos que indican negación

Prefijo

Ejemplo

a  –

a político

d e s  –

d es arreglar

d i s  –

d is conforme

(p) seudo  –

(p) seudo profeta

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA i  – in  – im  –

in   justo i lógico

Tabla 1.10. Prefijos que indican negación

Ejemplo 1.7 (a) Los felinos no son herbívoros Es una proposición compuesta negativa simple. Negador interno “no”. (b) Es mentira que en el Perú hay democracia. Es una proposición compuesta negativa compleja. Negador externo “Es mentira que”. (c) Es absurdo que Juan sea amigo de Luis Es una proposición compuesta negativa compleja. Negador externo “Es mentira que”. (d)  Alejandro es un amoral Es una proposición compuesta negativa por prefijo. Prefijo que indica negación “…a moral”. (e) Este libro está desactualizado Es una proposición compuesta negativa por prefijo. Prefijo que indica negación “…d es actualizado”.

b) Conjuntivas Si tienen el conector diádico “… y …”. Diádico pues necesita de dos proposiciones para tener sentido. Las comas ( , ) y los puntos seguidos ( . ) significan muchas veces una conjunción.

Ejemplo 1.8 (a)  Aravis es médico y Juan es abogado Es una proposición compuesta conjuntiva. (b) Perú y Brasil son países sudamericanos. Es una proposición compuesta conjuntiva. La oración puede ser reescrita como: “Perú es un país sudamericano y Brasil es país sudamericano”. Observa la redundancia. (c) Los mamíferos y los reptiles son vertebrados y hervíboros Es una proposición compuesta conjuntiva. La oración puede ser reescrita como: “Los mamíferos son vertebrados y los mamíferos son herbívoros y los reptiles son vertebrados y los reptiles son herbívoros ”. Nota la gran redundancia que existe. No obstante, éste es el realmente el significado de la oración. Cabe resaltar que hay en realidad cuatro proposiciones simples. (d) Vallejo fue escritor, poeta y revolucionario. Es una proposición compuesta conjuntiva. La oración puede ser reescrita como “Vallejo fue escritor y Vallejo fue poeta y Vallejo fue revolucionario”

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(e) Los claveles y los pájaros son flores y animales respectivamente. Es una proposición compuesta conjuntiva. Puede ser reescrita como “Los claveles son flores y los pájaros son animales”

c) Disyuntivas incluyentes o débiles Si tienen el conector diádico “…o …” en sentido incluyente, esto es, cuando ambas proposiciones pueden ser ciertas a la vez, es decir, al menos una es cierta. Se clasifican en: Las comas ( , ) a veces significan disyunción. El contexto aclarará si se trata de una conjunción o de una disyunción.

Ejemplo 1.9 (a) La ingeniería es una ciencia o la medicina es un arte. Es una proposición compuesta disyuntiva incluyente. (b) La matemática o la biología son ciencias exactas. Es una proposición compuesta disyuntiva incluyente. La oración puede ser reescrita como: “La matemática es una ciencia exacta o la biología es una ciencia exacta”. (c) Los hongos son causantes de enfermedades o ayudan en el metabolismo. Es una proposición compuesta disyuntiva incluyente. Se puede reescribir como: “Los hongos son causantes de enfermedades o los hongos ayudan en el metabolismo” (d) Los peruanos o los ecuatorianos son pacifistas o buscan el desarrollo. Es una proposición compuesta disyuntiva incluyente. Al reescribirla como: “Los peruanos son pacifistas o los ecuatorianos son pacifistas o los peruanos buscan el desarrollo o los ecuatorianos buscan el dearrollo”. Se observa que hay en realidad cuatro proposiciones simples.

d) Disyuntivas excluyentes o fuertes Si tienen el conector diádico “…o …” en sentido excluyente, es decir, cuando ambas proposiciones no  pueden ser ciertas al mismo tiempo. Pueden ser reconocidas por las siguientes características: d.1 Por su forma Se presentan los siguientes casos: d.1.1 La forma “o…o…” Esta forma incluye el caso cuando la segunda “o” es reemplazada por un sinónimo de la “o” inclusiva, es decir, con alguno de los sinónimos de la tabla 1.5.(ejemplos 1.9 – (a) y 1.9 – (c))

d.1.2 La forma “… o + término modificador… ”  Algunos términos modificadores son sólo, únicamente, solamente, exclusivamente, prioritariamente, … (ejemplo 1.9 – (b))

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d.2 Por su contenido Si las proposiciones no pueden ser verdaderas a la vez (ejemplo 1.9 – (d)) Ejemplo 1.10 (a) O la ingeniería es una ciencia o es una técnica. (b) David es ingeniero o únicamente es político. (c) Marleny es actriz salvo que solamente sea médico. (d) Perú está en América o Europa. e) Implicativas5 o proposiciones hipotéticas Si tienen el conector diádico “ s i …e n t o n c e s  …”. La proposiciones entre estos términos reciben nombres especiales.

Si

Antecedente Razón Suficiente Condición Suficiente Proposic ión Condicion adora Prótasis

entonces

Consecuente Razón Necesaria Condición Necesaria Propos ición Condicion ada Apódosis

Observemos ahora el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.11 (a) Si todos los hombres son mortales y Sócrates es hombre, entonces Sócrates es mortal. (b) Si Kai es soltero, entonces no está casado. (c) Si coloco en un ácido papel de tornasol azul, entonces el papel de tornasol se volverá rojo. (d) Si nuestro equipo pierde el partido, entonces te entrego mil soles. Existen otros términos linguísticos para representar a la proposición implicativa. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.12 (a) Porque la oferta aumenta, por eso los precios disminuyen. (b) La demanda aumenta únicamente porque los precios aumentan. (c) Es suficiente construir la democracia para respetar la constitución. (d) Condición necesaria para construir la democracia es respetar la constitución f) Replicativas Si tienen el conector diádico “… s i …”. La proposiciones a ambos lados del si  reciben nombres análogos a los de las implicativas. Consecuente Razón Necesaria Condición Necesaria

si

Antecedente Razón Suficiente Condición Suficiente

Ejemplo 1.13 Las siguientes proposiciones son replicativas

5

  Algunos autores las llaman condicionales para distinguirlas de aquellas, a las que denominan implicativas, donde el antecedente se relaciona lógicamente con el consecuente. A éstas estamos llamando argumentos.

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA (a) (b) (c) (d)

No hay tuberculosis, puesto que no hay infección de bacilos. Para matricularse es suficiente tener dinero. Es necesario matricularse para tener dinero. Condición suficiente para matricularse es tener dinero.

g) Biimplicativas Si tienen el conector diádico “…s i y s ó l o s i  …”. Se pueden usar los sinónimos de la tabla 1.8. También se consideran biimplicativas las proposiciones de la forma “ Para … e s c o n d i c i ón n e c e s ar i a y s u f i c i e n t e  …” Ejemplo 1.14 (a) Para ser profesional es suficiente y necesario ser buen estudiante. Proposición compuesta biimplicativa

La siguiente figura resume los tipos de proposiciones simples y compuestas que aparecen en nuestro lenguaje.

Predicativas Simples Relacionales Negativas Conjuntivas Disyuntivas Incluyentes Disyuntivas Excluyentes Compuestas

Implicativas Replicativas Biimplicativas

Figura 1.4. Tipos de Proposiciones

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 19/01/2012

TALLER DE EJERCICIOS Subtítulo

1.

Clasifica los siguientes enunciados. Para aquellos que sean proposiciones, indica su valor de verdad. 1.1. El almanaque “Bristol” es una publicación a nual. 1.2. El Perú es un país austral y occidental. 1.3. Recoge ese lápiz 1.4. x y 5 1.5. 2 5 6 1.6. Hola que tal 1.7. x2 1 10 1.8. Sócrates nació en Atenas 1.9. x 2 5y , para y 2 . 1.10. x 2 5 , para x 2 . 1.11. Sen2 x Cos2 x 1 1.12. x 3 9 , si x 5 1.13. x y z , si x 3, y 4 1.14. La raíz cuadrada de -1 es un número imaginario. 1.15. Cuzco es una ciudad arqueológica. 1.16. El símbolo del oro es Au 1.17. x2 y 2 5  es la ecuación de una circunferencia de radio 5. 1.18. Marte es el dios de la guerra. 1.19. Romeo amó a Julieta. 1.20. Según la mitología griega, “Bóreas” es el dios del viento del Norte. 1.21. Vete a comprar pan 1.22. Centauro es una constelación austral. 1.23. Atardece. 1.24. Carlos Marx es autor de la Iliada. 1.25. 7 es número primo. 1.26. Cristóbal Colón conquistó el Perú 1.27. Anochece 1.28. ¡Hace mucho calor! 1.29. La radio es un medio de información. 1.30. La matemática es una ciencia.

2.

Clasifica las siguientes proposiciones, si lo fuesen, en simples o moleculares 2.1. Fobos es un satélite de Marte. 2.2. Andrómeda y la Vía Láctea son galaxias. 2.3. Julio C. Tello descubrió el Señor de Sipán. 2.4. Los dos grandes aportes de los romanos fueron el derecho y el cristianismo. 2.5. Los videos no son pruebas judiciales. 2.6. Si se calientan las aguas de la costa central y meridional entonces se producirá el fenómeno del Niño. 2.7. La filosofía es una forma de pensamiento propio del hombre. 2.8. Tarapoto pertenece a Loreto. 2.9. El cerebro y el corazón son órganos vitales 2.10. Irán y Libia elevan el precio del petróleo. 2.11. Londres es la capital de Inglaterra. 2.12. Juan y María serán elegidos miembros de la asamblea. 2.13. No es cierto que Amanda sea economista. 2.14. Si hace frío entonces nos enfermamos 2.15. La uretra no se extiende desde la vejiga al exterior del organismo.

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 2.16. 2.17. 2.18. 2.19. 2.20.

Los riñones son los mayores órganos excretores del cuerpo. La uretra es más larga en los hombres que en las mujeres. Las nebrinas son unos tubos microscópicos que filtran la sangre. Cada riñón está compuesto de millones de nebrinas. El término “honrado” es igual a “honesto”.

3.

Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones simples predicativas o relacionales 3.1. Los átomos tienen núcleo. 3.2. La Tierra gira sobre su eje. 3.3. Los sapos son peces. 3.4. La Luna es un planeta. 3.5. Es falso que el lobo sea animal. 3.6. Los vertebrados son mamíferos a no ser que sean cuadrúpedos. 3.7. Caín fue filicida y Edipo parricida. 3.8. El hombre perdurará en este mundo. 3.9. Sócrates o Platón escribieron los Diálogos. 3.10. Sócrates fue maestro de Aristóteles. 3.11. Perú tiene la mayor tasa de analfabetos en Latinoamérica. 3.12. Máncora es un balneario que pertenece al departamento de Piura. 3.13. Piura está al sur de Tumbes. 3.14. Piura es un departamento rico en fosfatos. 3.15. Huanca y Hueso, ambos fueron perros de Simón Robles. 3.16. 5x 8x 12 , donde x 4 . 3.17. El dios Osiris representa al Sol. 3.18. La hormona vasoperina sube la presión arterial. 3.19. Pedro nació en Lima 3.20. Piura está al noroeste de Iquitos

4.

Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones negativas 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11. 4.12. 4.13. 4.14. 4.15.

5.

No ocurre que haga frío, o el viento es caliente. No iré al cine o no vendrás a la casa. El 10101 nunca será divisible por 2. Juan y Carlos no son condiscípulos Rubén y Luís son inmorales No se da el caso que estudias medicina e ingeniería Carlos no fue a trabajar y no visitó a Maria. Es falso que, Carlos fue a trabajar y visitó a Maria. No es cierto que, Carlos trabaja, y María estudia. Si Carlos fue a trabajar entonces no visitó a María. De ninguna forma, Pedro es matemático No ocurre que 2 1.73 . Juan es menor que Pablo, no obstante 2 8 No sólo los gases son invisibles sino también inodoros. Es sofisma que, el latón es un metal.

Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones conjuntivas 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9.

es una potencia par, n  ; pero 3n es una potencia impar, n  . Javier no es piadoso ya que no paga sus deudas. Sólo si la Luna se ve blanca, retiene la luz solar. Alfonso Ugarte ni corrió ni se entrego frente al enemigo del sur. Carlos tiene vocación de filósofo aunque no aprecie a los pensadores griegos. Maria ama a Juan empero Juan ama a Rosa. Tritón es satélite del planeta Neptuno. Derecho, Hotelería e Ingeniería son algunas escuelas de la UCV – Piura. José Santos Chocano nació en Lima el 14 de mayo de 1875 y murió en Santiago de Chile el 13 de diciembre de 1934.

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. 6.

De ninguna manera se firmará el TLC con Estados Unidos. No es cierto que garúe y que luego llueva. Juan es menor que Jorge sin embargo Jorge es mayor que Luís. Julio César y Marco Antonio fueron contemporáneos. Platón y Aristóteles fueron discípulos de Sócrates. Los montes Urales separan Europa de Asia pero África se separa de Asia por el canal de Suez.

Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones disyuntivas incluyentes 6.1. Estudio pero no aprendo 6.2. Carlos o Juan pero no ambos 6.3. Hace frío ya que llueve 6.4. No es posible que cante o baile 6.5. Juan estudia o trabaja. 6.6. En los anfibios, el padre y la madre custodian los huevos. 6.7. Los anfibios son vivíparos u ovíparos 6.8. Los animales son vertebrados o invertebrados. 6.9. Los carnívoros son omnívoros o sólo herbívoros. 6.10. La sal de mesa o cloruro de sodio.

7.

Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones disyuntivas excluyentes 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5.

8.

Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones implicativas 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7.

9.

Luís es futbolista o tenista. La ventana del aula es triangular o cuadrangular. Ingresarán a la UCV los que aprueben el examen de ingreso o únicamente los que estén exonerados de él. Recibirás el dinero o la casa pero no ambas cosas. Javier es futbolista o voleybolista

Iré a Cajamarca sólo si salgo de vacaciones. Si la aritmética es consistente, la geometría también lo es. El hoyo de la capa de ozono seguirá creciendo si seguimos contaminando nuestro medio ambiente. La contaminación favoreció la aparición de seres complejos, pero es perjudicial para la vida humana. Las escuelas fueran creadas por Carlomagno para educar a los privilegiados. María será buena estudiante si no memoriza las preguntas. Juan puede cursar Matemática Aplicada a la Seguridad de Redes Informáticas sólo si está en tercer curso de carrera.

Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones replicativas 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5.

Si hay gasolina en el tanque, mi automóvil funciona. Mi automóvil sólo funciona si hay gasolina en el tanque. Si hay gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automóvil funcione. Para que el automóvil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque. Qué haya gasolina en el tanque implica que mi auto funcione.

10. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones biimplicativas 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5.

Si hay anabolismo, hay catabolismo. Sólo si hay anabolismo, hay catabolismo. Hay anabolismo si y sólo si hay catabolismo. Hay catabolismo siempre y cuando hay anabolismo Hay anabolismo es equivalente decir a que hay catabolismo.

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 10.6. Abel estudia siempre y cuando Luis trabaje 10.7. El que llueva es condición suficiente para obtener buenas cosechas 10.8. Hace calor equivale a decir que aumentó la temperatura 10.9. Es aniversario patrio si y sólo si es 28 de julio. 10.10. El que transpire es condición necesaria de que camine.

1.

Clasifica los siguientes enunciados. Para aquellos que sean proposiciones, indica su valor de verdad. 1.1. Amanece. 1.2. Él tiene mucha hambre. 1.3. Ama a tú prójimo como a ti mismo. 1.4. El hijo de Carlos V. 1.5. El hijo primogénito de Luis VIII 1.6. Las águilas de América del Norte son carnívoras. 1.7. 93. 1.8. ¿Cuántos alumnos tiene la UCV filial Piura? 1.9. ¡No puedo creer que campeone Alianza Lima! 1.10. El creador indiscutible de la lógica matemática fue el inglés George Boole. 1.11. Romeo amó a Julieta según la obra literaria. 1.12. Ven ahora. 1.13. Nunca debo olvidar el ayer. 1.14. Mañana la veré. 1.15. Mañana es viernes. 1.16. El amor es hermoso. 1.17. Mi anhelo es ver al Perú como un país exportador. 1.18. El Perú es un país eminentemente agrario. 1.19. El actual presidente del Perú 1.20. Ella ama a Luís 1.21. El caballero Carmelo 1.22. La esposa de Túpac Amarú fue fusilada 1.23. ¡Ojalá regreses el próximo año! 2 a2 2ab b2 . 1.24. a b 1.25. Hace frío. 1.26. Esta tiza es de color negro. 1.27. Alcánzame el libro de Historia. 1.28. Él ganó la maratón. 1.29. El hombre es inmortal. 1.30. Ella, Carmen, es comerciante

2.

Clasifica las siguientes proposiciones, si lo fuesen, en simples o moleculares 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9.

El Perú es un país rico en petróleo y en minerales. Si trabajas en las minas es obvio que tendrás mejor nivel de vida. La economía ecuatoriana no está dolarizada. Juan y Raúl son socios. Edgar y Alex son poetas. El Huascarán es un nevado. Yungay pertenece a Ancash. Juan y Carlos no son condiscípulos Harry Potter es un pequeño mago.

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18.

García Márquez escribió cien años de soledad. Juan y María ambos serán elegidos miembros de la asamblea. La boca es el acceso al tubo digestivo. La dentadura es la encargada de triturar los alimentos. La deglución es el acto de tragar. Dalila mató a Sansón. Juan Velasco derrocó a Belaúnde. Las capas de la tierra son tres: corteza, manto y núcleo. El régimen de los ríos es variable y está condicionado por la escasez o la abundancia de agua. 2.19. Los distintos climas de la tierra son: ecuatorial, tropical, desértico, templado y polar. 2.20. La agricultura es extensiva o intensiva. 3.

Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones simples predicativas o relacionales 3.1. El bronquio derecho se divide en tres ramas. 3.2. La biología es una ciencia práctica. 3.3. El aire entra a los pulmones y proporciona oxígeno a las células del organismo. 3.4. Los hongos tienen pared celular o capilar. 3.5. El aire expulsado de los pulmones elimina el dióxido de carbono del organismo. 3.6. Los dos huesos más delgados de la parte inferior de la pierna se conoce como tibia y peroné. 3.7. Los huesos fusionados del cráneo encierran en su interior el encéfalo. 3.8. La pared del intestino delgado tiene muchas proyecciones pequeñas llamadas vellosidades. 3.9. El hígado puede convertir glucosa en glucógeno. 3.10. Lima es una de las ciudades más modernas de América. 3.11. El estómago es la parte del sistema digestivo. 3.12. Bolivia está entre Brasil y Uruguay. 3.13. Simón Bolívar fue el héroe de Arica. 3.14. El agua y el aceite se mezclan. 3.15. 25 32 42 3.16. El agua se evapora por el calor. 3.17. 18 es un número par. 3.18. El carbono y el hidrógeno son elementos químicos. 3.19. Grau y Bolognesi son héroes. 3.20. George Washington y Thomas Jefferson fueron presidentes de EE.UU 3.21. Víctor Raúl Haya de la Torre y Oscar Benavides fueron antagonistas políticos. 3.22. Benito Mussolini y el Fascismo. 3.23. En 1936 Alemania y Japón firmaron un pacto anticomunista. 3.24. La Segunda Guerra Mundial la ganaron la URSS, Gran Bretaña, EE.UU. y Francia. 3.25. El área lateral de un cilindro de revolución se obtiene multiplicando la longitud de la circunferencia por la altura del cilindro.

4.

Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones negativas 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10.

No ocurre que, las aguas de la corriente peruana sean calientes Es falso que, lo dicho por los políticos es verdad José Evaristo es infiel Indudablemente la ciencia es útil a la sociedad Absurdo es que 2 5 En forma alguna Deysi estudia Ingeniería. Es mentira que 5 3 La mayoría de buitres no tienen garras. Es falso que los buitres tienen picos muy fuertes. Es mentira que los buitres esperan que la putrefacción ablande un cadáver.

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 4.11. 4.12. 4.13. 4.14. 4.15. 5.

Brasil no venció a Perú en vóley No es cierto que Perú venció a Brasil en vóley Perú no venció a Brasil en vóley No es cierto que, Brasil venció a Perú en vóley. El cilindro es una figura del espacio formado por líneas curvas asimismo por líneas rectas.

Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones conjuntivas 5.1.

El avión es un medio de transporte seguro, aunque sus accidentes son fatales. 5.2. El Perú es libre y soberano para tomar sus decisiones 5.3. Andrés es callado, aunque divertido. 5.4. El león es animal acuático y/o mamífero. 5.5. El pez es acuático al igual que el elefante es terrestre. 5.6. No sólo Colón es descubridor sino también Magallanes lo fue. 5.7. Marte es planeta a no ser que Júpiter también lo es. 5.8. El sistema inmunológico utiliza mecanismos de defensa: la inmunidad innata así como la inmunidad adquirida. 5.9. Si José mejora su economía, podrá inscribirse al instituto. 5.10. Trabajo sin embargo estudio. 5.11. Viajaré a España si obtengo visa de estudio. 5.12. Termino la secundaria y postulo a la universidad 6.

Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones disyuntivas incluyentes 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

7.

Pedro es responsable a menos que Juan también lo sea. Juan es responsable excepto que Pedro también lo sea. Salvo que Pedro sea responsable, Juan, lo es. Juan no es responsable o Pedro es responsable. Pedro es responsable a la vez Juan no es responsable.

Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones disyuntivas excluyentes 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

El libro de álgebra es voluminoso o interesante Luis es alto o bajo O aceptas el aumento o te vas del trabajo Juan trabaja o estudia. Juan trabaja o sólo estudia. El Huascarán se encuentra en la Cordillera Oriental de los Andes o se encuentra en la Cordillera Occidental. 7.7. O bien la lactosa se encuentra en la leche o bien se encuentre en el vino. 7.8. Paty es casada o es soltera 7.9. El movimiento de rotación de la tierra lo hace a 28 km por minuto o lo hace a 30 km por segundo 7.10. O el Perú hace la guerra o Ecuador es pacifista 8.

Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones implicativas 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8.

Una condición suficiente para que Julio visite Cuenca es que visite las Casas Colgantes. Si se estudia lógica, mejorará nuestra forma de razonar. Sólo si vas a la Iglesia, eres creyente Un número es par si es divisible por 2 Una figura es un triángulo siempre que tenga exactamente 3 lados El sol es 1 300 000 veces más grande que la Tierra. Cuando la Luna está en conjunción, entonces ocurre un eclipse de sol. Estudiaré en Ia Cepre Vallejo por lo tanto ingresaré a la UCV.

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9.

Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones replicativas 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6.

Se prohíbe usar celular en clase porque atenta contra la disciplina Si el avestruz tiene mayor tamaño pero es un ave, no vuela. La pena de muerte está justificada porque se están cometiendo atrocidades. El cuadrado de 3 ó 16. Es imposible que 3 7  si 5 9 . Luis es profesor y trabaja en la UCV.

10. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones biimplicativas 10.11. Abel estudia siempre y cuando Luis trabaje 10.12. El que llueva es condición suficiente para obtener buenas cosechas 10.13. Hace calor equivale a decir que aumentó la temperatura 10.14. Es aniversario patrio si y sólo si es 28 de julio. 10.15. El que transpire es condición necesaria de que camine.

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FORMALIZACIÓN PROPOSICIONAL La matematica es el desarrollo de todos los tipos de razonamiento formal, necesario y deductivo”.

ALFRED NORTHWHI TEHEAD

Introducción En esta sección, aprenderemos a traducir un argumento expresado en palabras de nuestro lenguaje a el lenguaje formal de la lógica. Este enfoque no es nuevo. Desde que se descubrieron las estructuras del pensamiento, el desarrollo de la ciencia ha experimentado un crecimiento notable. Tómese el siguiente ejemplo:

“La ley de la gravedad de Newton nos dice también que cuanto más separados estén los cuerpos menor será la fuerza gravitatoria entre ellos. La ley de la gravedad de Newton establece que la atracción gravitatoria producida por una estrella a una cierta distancia es exactamente la cuarta parte de la que produciría una estrella similar a la mitad de distancia. Esta ley predice con gran precisión las órbitas de la Tierra, la Luna y los planetas.”6 Estas 77 palabras pueden ser resumidas en la siguiente expresión: F

G

m1m 2 d2

Obviamente, para poder entender ésta última fórmula, debemos conocer el lenguaje formal en la que está planteada así como su contenido semántico. Pero la ventaja es que esta fórmula se entiende en cualquier idioma.

6

Tomado de “Historia del Tiempo” de  S. Hawking

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA En este apartado, uniremos los conceptos de proposición y conectivos lógicos con sus homónimos formales.

Definición 1.7 Formalización proposicional Es el proceso mediante el cual se identifican proposiciones simples y estructuras lógicas proposicionales, asignándoles un símbolo del lenguaje formal de la lógica proposicional y organizándolos con los signos auxiliares de dicho lenguaje La asignación de la que habla la definición anterior es la siguiente: La relación entre conectivos lógicos y conectores es la siguiente:

Nombre

Forma

Símbolos

Negador

“no”



Conjuntor

“... y ...”

.

Disyuntor Incluyente Disyuntor Excluyente

&

K

 A

“… o …” “o … o …”

Implicador

“si … entonces …”

Replicador

“… porque …”

Biimplicador

N

C

E

“… si y sólo si …” Tabla 1.11. Conectivos lógicos y su significado semántico

Si al formalizar no queda claro cuál es el conectivo dominante, se debe utilizar la siguiente convención: , 

, 

Mayor jerarquía

, 



Menor jerarquía

Figura 1.5. Jerarquía de conectivos lógicos

Veamos un ejemplo de formalización

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA Ejemplo 1.15 “La Teoría de la Comunicación interviene en diversas ciencias del hombre y en la tecnología; ya que se debe a que haya sido propuesta para servir de campo unificador de las ciencias sociales, ofreciendo a éstas tanto un lenguaje como una  problemática común” Solución: Paso 1:

I d en t i f i c a r l a s p r o p o s i c i o n e s s i m p l e s y a s i g n a r l es v ar i a b l es

p: q:

La Teoría de la Comunicación interviene en diversas ciencias del hombre La Teoría de la Comunicación interviene en la tecnología La Teoría de la Comunicación ha sido propuesta para servir de campo unificador de las ciencias sociales La Teoría de la Comunicación ofrece a las ciencias sociales un lenguaje común La Teoría de la Comunicación ofrece a las ciencias sociales una problemática común

r:

s: t:

Paso 2:

I d en t i f i c a r l o s c o n e c t i v o s l óg i c o s p r e s e n t es

“La Teoría de la Comunicación interviene en diversas ciencias del hombre y  en la tecnología; ya que se debe a que  haya sido propuesta para servir de campo unificador de las ciencias sociales , ofreciendo a éstas tanto un lenguaje como una  problemática común” La forma es: “… y …; ya que se debe a que …, … tanto … como … ” Paso 3:

p

1.3

Escribir la fórmula lógica corresp ond iente 

q

r

s

t

Casos especiales de formalización Como regla general, la formalización debe ser literal, es decir, tal y como está escrito. No valen las equivalencias. Hay casos especiales con los siguientes conectivos

1.3.1  





El negador La doble negación de una proposición simple la convierte en una compuesta. Los negadores externos no necesitan de la presencia de una coma para indicar a qué proposiciones afectan. Las expresiones lingüísticas de doble negación (innegable, inobjetable, no es inadmisible, no es mentira que,… ) se formalizan como tales. Las expresiones con prefijos de negación se formalizan.

Ejemplo 1.16 (a) Es mentira que Lucy no es profesora p : Lucy es profesora Formalización:

 

p

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA Observa que Es mentira que…   es un negador externo. Dado que  es unario, cuando no hay confusión, se suelen obviar los paréntesis. Según esto, lo anterior se escribe   p (b) No es falso que si Luís no compra un automóvil entonces no podrá ir a Máncora además no abrazará a su novia. p : Luis compra un automóvil q : Luis va a Máncora r: Luis abrazará a su novia.  q  r  Formalización:    p Observa que el negador externo de doble negación No es falso que… se formaliza como tal. Además, como no hay signos de puntuación en el interior de la oración, afecta a toda ella, por lo que es el conectivo dominante. Dado que   tiene mayor jerarquía que el  , es el conectivo dominante dentro del corchete. (c) Es imposible que llueva hoy, ya que hace tiempo no hay sequía. p : Llueve hoy q : Hace tiempo que hay sequía Formalización:  p  q Observa que el negador externo Es imposible que…  afecta a toda la parte de la oración hasta antes de la coma. (d) Es innegable que los vertebrados son reptiles p : Los vertebrados son reptiles. Formalización:   p (e) Ender es infeliz p : Ender es feliz. Formalización:  p

1.3.2 





El conjuntor Cuando se usan comas y el último conector es “ y ”, las comas se formalizan como conjunciones. Una excepción a la regla anterior: Cuando una oración usa términos relacionales, aún cuando aparezca el término “y”, se formaliza como una proposición simple. No se formaliza cuando la relación es del tipo causal y temporal.

Ejemplo 1.17 (a) Pinino y Minily son amigos p : Pinino y Minily son amigos Formalización: p (b) Leonardo Da Vinci fue ingeniero, escritor y pintor . p : Leonardo Da Vinci fue ingeniero. q : Leonardo Da Vinci fue escritor. r : Leonardo Da Vinci fue pintor.

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA Formalización: p q r 

1.3.3 

El disyuntor Cuando se usan comas y el último conector es “ o ”, las comas se formalizan como disyunciones.

Ejemplo 1.18 Leonardo Da Vinci fue ingeniero, escritor o pintor . p : Leonardo Da Vinci fue ingeniero. q : Leonardo Da Vinci fue escritor. r : Leonardo Da Vinci fue pintor. Formalización: p q r 

19/01/2012

TALLER DE EJERCICIOS Subtítulo

Realiza lo indicado: 1.

Formalizar el enunciado: “El hígado es la glándula más grande del cuerpo humano además depura la sangre”.

2. Formalizar : “Alguien, nadie, alguno, algo y cualquiera son pronombres indefinidos”. 3. Formalizar: “De que una figura geométrica tenga cuatro lados iguales se deriva que es un cuadrado o un rombo, pero si la figura geométrica tiene cuatro lados iguales así como cuatro ángulos rectos es obvio que es un cuadrado” 4. La proposición: “Es absurdo que la caja toráxica este formada por menos de 11 pares de costillas dado que éstas se unen por delante al esternón”. Se formaliza:  p q  no es la formalización de: 5. El siguiente esquema: r (a) La sangre es un liquido de color rojo, puesto que no esta constituido por plasma incluso por hematíes. (b) Los dientes caninos nunca tienen la corona aplanada sin embargo la tienen en forma de pirámide cuadrangular por lo tanto su función es desgarrar los alimentos. (c) Las neuronas jamás son unidades funcionales del corazón aun cuando lo sean del riñón por lo tanto actúan como un filtro. (d) El 12 es numero par dado que no es divisible por 5 además es un número compuesto.

6.

Formalizar: “El coseno y la secante  juntas son razones inversas, a menos que su producto no sea igual a uno”.

7. Formalizar: “La progresión geométrica no es creciente si su razón esta entre 0 y 1, salvo que su razón es mayor que 1, por consiguiente es creciente” 8.

Formalizar la proposición: “Cuando el Perú firme el tratado de libre comercio así pues exportará sus productos al extranjero a pesar de que los congresistas se oponen, excepto que exporte sus productos al extranjero”.

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 9. Formalizar: “Dado que la magnitud que caracteriza al movimiento es la velocidad por eso la cinemática estudia al movimiento, además hay movimiento rectilíneo al igual que circular” 10. Formalizar: “Si el agua pasa de estado líquido a sólido entonces se solidifica, asimismo si pasa de estado gaseoso a líquido implica que se condensa” 11. “Toda vez que un catión es un átomo que nunca ha perdido electrones, por consiguiente posee un número de cargos positivas siempre y cuando el catión es un átomo que ha perdido electrones”. Hallar su fórmula lógica. 12. Formalizar: “Si la pendiente del ángulo de inclinación de una recta es positiva, es evidente que el ángulo es agudo debido a que si no es positiva, derivamos que el ángulo es obtuso”: 13. El siguiente esquema p q r  es la formalización de: (a) Hablas o callas en tu defensa, a pesar de que eres inocente. (b) El ángulo es agudo u obtuso, o también el ángulo es recto. (c) Viajas a Puno o Tumbes, al mismo tiempo que sales de vacaciones. (d) La mesa es redonda o cuadrada, tanto que es de madera. Dar como respuesta las inobjetablemente inciertas. 14. Formalizar: “El diámetro de una circunferencia no es menor que cualquier cuerda sólo si mide dos radios igualmente el radio es la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia” 15. Formalizar la proposición: “Es inadmisible que la energía eólica aprovecha la fuerza del viento de la misma manera que la energía solar utiliza las radiaciones solares”. 16. Formalizar: “El transporte puede ser terrestre, marítimo y aéreo, además requiere de infraestructura siempre que y sólo cuando el gobierno se encargue de la construcción y no del mantenimiento de la infraestructura”. 17. Formalizar: “Las hienas o los buitres se alimentan de presas muertas por eso los necrófagos no contribuyen a la contaminación del medio ambiente al igual que es innegable que los buitres se alimenten de presas muertas”. 18. Formalizar la proposición: “Los meteoritos son de composición rocosa o metálica, igualmente los cometas están formados de polvo cósmico” . 19. Formalizar: “Raúl postula al pedagógico o a la UCV dado que se preparó en la Cepre, pero ni postula al pedagógico ni a la UCV es evidente que no se preparó en la Cepre”. 20. Hallar la fórmula de: “La sacarosa y la lactosa son glúcidos implica que los glucidos contienen azúcares, salvo que ni la sacarosa ni la lactosa son glúcidos, por eso los glucidos jamás contienen azucares”. 21. Formalizar: “Ni el occipital ni el frontal son músculos del tórax porque y solo porque ambos son músculos cutáneo del cráneo”. 22. Formalizar: “El hueso calcáneo y astrágalo juntos pertenecen al tarso del pie” 23. Formalizar la proposición “El duodeno no forma parte del intestino grueso en vista que pertenece al intestino delgado igualmente el yeyuno pertenece al intestino delgado”. 24. Formalizar el argumento: “O Juan es arquitecto o Maria es enfermera; aún cuando, es absurdo que Maria sea enfermera”.

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 25. Formalizar : “Si llegas temprano o tarde, de todas maneras no juegas y te vas a entrenar. Si te vas a entrenar así pues tu madre se molestará”. 26. Formalizar la proposición: “Si estudias en el colegio Harvard y en la Cepre Vallejo, ingresarás a la UCV. Pero si no estudias en el colegio Havard ni en la Cepre Vallejo, no ingresarás a la UCV. Por lo tanto ingresarás a la UCV”. 27. Formalizar el argumento: “La Arena, la Unión y Sechura son el m edio Piura, sin embargo son zonas arrozeras”. 28. “Si te preparas a conciencia, serás un buen alumno; pero si no estudias y pierdes tiempo, tus resultados serán malos”. Hallar su fórmula lógica 29. “Si en el Perú aumentan las exportaciones, por consiguiente aumentan los puestos de trabajo. Sin embargo en el Perú no aumentan las exportaciones”. Se formaliza: 30. Simbolizar la proposición: “Gerardo no trabaja o sólo se preocupa por su salario, a menos que trabaja si gana más de S/. 750 mensuales”

Realiza lo indicado: 1.

Formalizar: “Si Juan va al estadio, pierde tiempo y dinero. Si no va al estadio entonces irá al cine. Por lo tanto pierde dinero”.

2.

Simbolizar la siguiente proposición: “Cuando obtenga mi titulo pedagógico entonces ingreso a la carrera magisterial, pero no ingreso a la carrera magisterial; en consecuencia, no obtuve mi titulo pedagógico”.

3.

Simbolizar la siguiente proposición: “Si los alumnos estudian y no hay paros, el ciclo terminará en la fecha señalada y los alumnos podrán trabajar”.

4.

Formalizar: “Si el chofer estaba embriagado, entonces no es cierto que la empresa controla a su personal o que lo somete a una cuidadosa selección”.

5.

Dada la siguiente proposición: “Piura no es una ciudad limpia ni ordenada, porque sus habitantes no tienen cultura higiénica además la policía municipal no colabora”. Hallar su fórmula lógica.

6.  Al formalizar: “Si Luis obtiene buenas notas en la Cepre Vallejo, entonces no es cierto que alcanza una beca o se cambia a otra academia”. Se obtiene una proposición molecular del tipo: 7.

Formalizar la siguiente proposición: “Si aumenta el caudal del río Rímac, entonces, Simbolizar: “Es absurdo que los estudiantes son aplicados si y sólo si se dedican a estudiar, pero si no se dedican a estudiar en consecuencia no son aplicados”.

8.

Formalizar la siguiente lectura: “Aprendo una parte de la música de Mozart ya que estudio su música. Por lo tanto, aprendo una parte importante de la música clásica”.

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 9.

Formalizar la siguiente oración: “Si la gente no piensa en la crisis, entonces el deporte la distrae. Si el fútbol es una distracción de masas, entonces puede ser propiciado por los beneficiados de la crisis”.

10. Formalizar: “Si Amanda contesta ésta pregunta, será una pregunta fácil; sin embargo ésta pregunta es fácil y engañosa dado que Amanda no la contestó”. 11. Formalizar: “Es imposible que llueva hoy, ya que hace tiempo no hay precipitaciones”. 12. Formalizar: “Si en Marte no hay agua, entonces no hay vida; en consecuencia, no hay oxigeno ni agua”. 13. Formalizar: “No es falso que si Jorge no compra un yate entonces no podrá ir a la isla Galápagos además no encontarará a su familia”. 14. Formalizar: “O bien Irán eleva el precio del petróleo y Egipto disminuye sus aprovisionamientos o no es el caso que Jordania pida más ayuda norteamericana y  Arabia Saudita compre otros quinientos aviones de guerra”. 15. Formalizar: “A menos que Chile convoque a una reunión de países latinoamericanos, Brasil protesta ante la ONU”. 16. Formaliza la proposición: “José es empresario de la misma manera que María es secretaria”. 17. Formalizar: “En modo alguno Perú clasifica al próximo mundial de fútbol”. 18. Formalizar: “O viajamos a España a trabajar o no viajamos a Francia a pasear“. 19. Formalizar: “Es condición suficiente que hace calor para ir a la playa. Aunque para ir a la playa es condición necesaria que necesitemos dinero” 20. Formalizar: “Luisa es hábil a menos que domina la computadora“. 21. Formalizar la proposición “De ninguna forma se da que el gobierno de Caracas interviene en otros países americanos”. 22. Formalizar la proposición “Para esperarte en el cine es condición necesaria  que llegaremos tarde a cenar. Por eso te espero en el trabajo” 23. Formalizar: “Javier ni es responsable, ni es activo. En consecuencia Javier no encuentra trabajo” 24. Formalizar: “No acontece que, llueve hoy sólo si mañana estará nublado”. 25. Formalizar: “Es absolutamente incierto que, si el dólar sube entonces los precios no suben” 26. Formalizar la proposición “Tanto los gobiernos de Chile como de Ecuador no acatan los tratados internacionales” 27. Dada la proposición “Los protones tiene carga eléctrica negativa”, hallar su fórmula lógica.

positiva o

únicamente

28. Formalizar la proposición “La lógica no es una ciencia exacta es compatible que la matemática es una ciencia exacta”

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 29. Formalizar: “Es absurdo que, sea condición necesaria que Bertha sea una representante de ventas para que sea profesora universitaria a dedicación exclusiva” 30. Formalizar: “Una condición necesaria para 7 3 10  es 5 x 2 10 ” 31. Formalizar: “Es absurdo que si ayer no fuimos a la biblioteca es obvio que no conseguimos el libro de química” 32. Formalizar la proposición: “No es verdad que, sea absurdo que, no acontece que Mario estudia sistemas en la UCV”. 33. Formalizar la siguiente proposición: “No es verdad que el óxido no resulta de la combinación de un metal con el oxígeno, y no pertenece a las funciones químicas orgánicas”. 34. Formalizar la proposición: “Un kilómetro no equivale a 1000 metros, no obstante si voy muy rápido por la autopista implica que me accidentaré”. 35. Formalizar: “Es absurdo que, si la tarde está nublada entonces lloverá, sin embargo el clima ni está favorable para el patinaje ni la pista está preparada para el partido de fútbol”. 36. Hallar la formalización correcta de: “La filosofía no es equivalente a la ontología, sin embargo basan sus estudios en el pensamiento”. 37. Formalizar: “Para que Javier tenga estudios de maestría en Gestión empresarial es condición necesaria que no sea economista de profesión”. 38. Formalizar:“Aunque llueva iré a visitarte. Pero no llueve” 39. Formalizar la proposición: “Condición suficiente para que los gases al igual que los líquidos no sean dúctiles ni maleables, es que no sean fluidos” 40. Formalizar la proposición: “Es absurdo que, José no sepa tocar el arpa y no componga melodías; puesto que es un músico excelente”.

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VERDAD FORMAL Cuando l as leyes de la matemática se refi eren a l a realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a l a reali dad.

ALBERT EINSTEI N 

Introducción Los razonamientos formulados en el lenguaje cotidiano son a menudo difíciles de evaluar debido a la naturaleza vaga y equívoca de las palabras usadas, a la anfibología de su construcción, a los modismos engañosos que pueden contener, a su estilo metafórico posiblemente confuso y al elemento de distracción derivado de cualquier significación emotiva que se les pueda atribuir. Aún cuando puedan resolverse estas dificultades, subsiste el problema de determinar la validez o invalidez de los argumentos. Para soslayar esas dificultades, es conveniente crear un lenguaje simbólico artificial libre de esos defectos, al cual puedan traducirse los enunciados y argumentos del lenguaje natural. El primer paso para esto es la formalización de argumentos (y todo lo que implica). Lo que sigue es desarrollar métodos para resolver el problema de su validez. 1.4 Esquemas moleculares Definición 1.8 Esquema molecular  La combinación de variables y conectivos lógicos por medio de los signos de agrupación se denomina e s q u e m a m o l e c u l a r  . En cada esquema molecular solo uno de los conectivos es el de mayor jerarquía y es el que le da nombre a dicho esquema.

Ejemplo 1.19 q r  (a)  p El conectivo de mayor jerarquía es condicional . (b)

p

q



r

p

El conectivo dominante es (c)



p q

, por lo que es un esquema molecular



, es un esquema molecular bicondicional .

p r  

 Al ser exterior, el conectivo dominante es molecular negativo.



, por lo tanto, es un esquema

Como se aprecia en los ejemplos anteriores, el conectivo dominante es aquél que carece de paréntesis externos.

1.5

Tablas de verdad Una vez que hemos formalizado a las proposiciones conviene tener una manera precisa de saber cuándo sus fórmulas que los representan son verdaderas. Recordemos que de la misma definición de proposición, éstas pueden ser o bien verdaderas o bien falsas, pero no ambas. Si tomamos dos o más proposiciones, el valor de verdad de la proposición compuesta dependerá del valor de verdad de las proposiciones que la conforman. Una forma sencilla de determinar esta dependencia es utilizar las llamadas tablas de verdad .

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA Definición 1.9 Tabla de verdad La tabla de verdad   es un arreglo en filas y columnas (matriz) que permite determinar el valor de verdad de una proposición compuesta mediante la evaluación de todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones simples que la conforman. La tabla de verdad tiene la siguiente estructura: Fórmulas Simples ( n fórmulas)

Fórmula Compuesta

Matriz de valores de verdad de las fórmulas simples ( 2n filas)

Matriz de valores de Verdad

Figura 1.6. Estructura de una tabla de verdad

Para representar los valores de verdad   utilizaremos los símbolos V y F , los cuales provienen de las palabras verdadero y falso respectivamente. Una modificación de esta convención, que es bastante útil para las aplicaciones, es colocar “1” en vez de V y “0” en lugar de F .

Nota Si hay n  proposiciones simples en una fórmula compuesta, entonces la tabla de verdad correspondiente a ésta tiene 2n  filas. Dado que toda fórmula compuesta utiliza los conectivos de la tabla 1.16, es suficiente disponer de las tablas de verdad de éstos. Empecemos con el negador. Lo interpretaremos como un cambio en el valor de verdad de una proposición. Por consiguiente su tabla de verdad es la siguiente:

p



p

V

F

F

V

p 1 0



p

0 1

Tabla 1.12. Tabla de verdad del negador 

Esto sugiere la siguiente tabla de verdad para la conjunción(en el sentido de la lógica proposicional):

p

q

p q

p

q

p q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

Tabla 1.13. Tabla de verdad de la conjunción

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Página 40

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA La siguiente tabla de verdad generaliza estas circunstancias:

p

q

p q

p

q

p q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

Tabla 1.14. Tabla de verdad de la disyunción débil

Podemos entonces definir la siguiente tabla de verdad para la disyunción fuerte.

p

q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

p

q

p

q

1 1 0 0

1 0 1 0

p

q

0 1 1 0

Tabla 1.15. Tabla de verdad de la disyunción fuerte

La tabla de verdad para la implicación es la siguiente:

p

q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

p

q

p

q

1 1 0 0

1 0 1 0

p

q 1 0 1 1

Tabla 1.16. Tabla de verdad de la implicación.

La biimplicación tiene el sentido de equivalencia. La elaboración de su tabla de verdad es sencilla y obvia:

p

q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

p

q

p

q

1 1 0 0

1 0 1 0

p

q 1 0 0 1

Tabla 1.17. Tabla de verdad de la biimplicación.

 Así, la biimplicación será verdadera cuando ambas proposiciones componentes tengan el mismo valor de verdad.

1.6

Evaluación de esquemas moleculares Hay varios métodos para evaluar el valor de verdad de un esquema molecular dado. Analicemos el primero de ellos.

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1.6.1 Mediante tablas de verdad Consiste en evaluar el valor de verdad del esquema a partir de los valores de verdad de sus fórmulas simples. Aunque es un método sencillo y mecánico, como establece el teorema 1.1, tiene la desventaja de aumentar exponencialmente su número de columnas a medida que crece el número de fórmulas simples. Definición 1.10 Matriz principal de un esquema molecular  Es la matriz formada por una sola columna que indica los valores de verdad del esquema. Su ubicación en la matriz de valores de verdad es debajo del conectivo dominante. Ejemplo 1.20 Hallar la matriz principal del siguiente esquema:



p q



p q

Solución:

p

q



1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0

p

q 1 0 0 0



1 1 1 1

q

p

0 0 1 1

1 0 1 1

1 0 1 0

1 2

2 3

4 El orden en que se llenan las columnas de la tabla de verdad es el siguiente (desde el conector más interno hasta el más externo): 1

:

Negación de p

2

:

Simultáneamente, la conjunción entre p  y q  junto con la disyunción entre  p  y q

3

:

La implicación entre las dos columnas obtenidas en

4

:

La negación de la columna obtenida en

2

3

En este caso, el esquema es negativo, por lo que la matriz principal del esquema es la matriz columna obtenida en 4 Observemos que para rellenar preliminarmente las otras columnas, hacemos uso de las tablas de verdad de los conectivos lógicos antes expuestos. Según los valores de verdad que tenga su matriz principal, los esquemas se clasifican como sigue:

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Definición 1.11

Esquema tautológico, contradictorio, contingente y consistente Un esquema molecular es tautológico   si su matriz principal sólo contiene valores 1. Se llama c o n t r a d i c t o r i o  si sólo presenta 0’s y se llama c o n t i n g e n t e  si

presenta 0’s y 1’s. Si presenta al menos un 1 en su matriz principal, el esquema se llama c o n s i s t e n t e  . Los esquemas tautológicos y contingentes son consistentes.

Ejemplo 1.21 (a)  p  q

p

p

q



1 1 0 0

1 0 1 0

q

p



0 0 1 1

0 0 0 1

0 1 0 1

1

p

q 0 1 1 0

q 1 0 0 0

1 2

2 3

Los números indican el orden en que se rellenan las columnas de la matriz de valores de la tabla de verdad. El esquema es contingente, luego es consistente. (b)

p

q

p

q

1 1 0 0

1 0 1 0



q



p

p

q 1 0 1 1



0 0 0 1

q

0 1 0 1



1 1 1 1

p

0 0 1 1

1 2

2 3 4 El esquema es tautológico, luego es consistente.

(c)

p



q



p



q



q

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA p

q

p

1

1

1

1

2

2

3

3

1 1 0 0



1 1 1 0

q

p



0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 1 0



1 1 0 0

1 1 0 1

q

0 1 0 1



0 0 0 0

0 1 0 1

1

1

q

1

2

2 3 4

5 El esquema es contradictorio.

1.6.2 Mediante el método abreviado Este método se basa en la definición de los conectivos mediante su tabla de verdad. Usualmente se usa para evaluar esquemas implicativos, así que funciona como un método para determinar la validez de un argumento. Recordemos que nuestro objetivo es determinar la validez o invalidez de argumentos deductivos. Debido a las limitaciones de este texto, no entraremos en detalles en la inferencia lógica, pero lo que sí será posible realizar con lo desarrollado hasta ahora es esto: una vez formalizado el argumento, procederemos a determinar su validez mediante la evaluación de su matriz de verdad. Si es una tautología, el argumento será válido. Basta que aparezca un 0 y el argumento será inválido. Te darás cuenta que aunque siempre va a funcionar, no siempre es lo más práctico, pues si el número de fórmulas smmples es elevado, el número de filas aún más. En estos casos lo más práctico es utilizar el método abreviado. Aunque casi siempre se emplean con implicaciones, esto no es una restricción. Si al encontrar los valores de verdad individuales de las variables no obtenemos contradicciones, el esquema es válido, de lo contrario será inválido. Los siguientes ejemplos aclaran esto. Ejemplo 1.22 (a) El siguiente esquema p de verdad de p

r q

Se tiene que: p

q

q

q





   

r



F  V

V

V

q



r

p r .es   falso, hallar el valor

p r





F.

F

F

    

   

F

V

  

V

 Analiza por qué se colocan de esa manera los valores V  y  F . Todo está basado en sus tablas de verdad. Observamos que no hay contradicción en los valores de verdad encontrados para  p q y r  . Si este esquema fuera la formalización de un argumento, dicho argumento sería válido. Además, nos ahorramos una matriz de 8 filas. ,

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA Luego p (b) Si

r

q

F

F

p F, q V, r p q

r



V.

V

F , hallar el valor de verdad del esquema

p

r  

Sólo basta evaluar los valores de verdad y no construir toda la tabla y ubicar la fila donde las variables tengan esos valores. Entonces tendremos lo siguiente: p q

r

(c) Si la proposición



p



p

r

s

F V

F



q



V

F

F V

V

r     es verdadera. Hallar el valor de

verdad de: 

Se tiene que: Entonces



q



p

r

p

s



p s r

    

s  y q r

r

V.

    V

r

p





q

    V

q



 Además q r

q

p



s



q



p s



p

q





F



r

p s

r



p s p s





p



p

p



s

p

F

F

V

V

V

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TALLER DE EJERCICIOS Subtítulo

1.

Sean las proposiciones p(x) 3 x  es un número par. q(y) y es un número primo. r(z) z  es divisor de 60. Indicar los valores de verdad de las siguientes proposiciones: (a) p(1) r(7) (b) q(11)

p(1) r(2)

2. Si la proposición  p q siguientes proposiciones: (a) p q r  (b) s p (c) q

r



r



s   es falsa. Indicar el valor de verdad de las

r 

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Página 45

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 3. Al resolver la tabla de verdad de: matriz principal. 4. De: p q contingente.

p

r

q





p

(b)



r

(c)



p



p

q , indicar el resultado de la

r ,  se afirma que es Tautológico, contradictorio,

5. Si la proposición compuesta:  p  r de verdad de r , p  y q  respectivamente. 6. Si la proposición  p q afirmaciones son ciertas? (a) p  q  es verdadera.

q



r



q

es verdadera, hallar el valor

q r     es verdadera. ¿Cuáles de las siguientes

q  es falsa r   es falsa.



p p r s 7. Si p q , q , r   y s  respectivamente?

8. Si p  q   es falsa, valores de verdad de: (a)  p q (b) m n (c) r p q

n es falsa y r

m



q  es verdadera. ¿Cuáles son los valores de p

p p q 9. El siguiente esquema p (a) No es tautológico. (b) No es contradictorio. (c) Su matriz principal es 0111. (d) Su matriz principal no es 0011.

x



x   es falsa. Determinar los

tiene como características:

10. Si x : número de valores verdaderos en la matriz principal de A. y : número de valores falsos en la matriz principal de A. Siendo A: p

(a)

 



p



y2

q

r

q



p

x3 r  es verdadera, se puede afirmar que:

r  es verdadero.

q

q 



q  es falso y q

p

(b) (c)

q

x y. x2

Hallar 11. Si



r 



p

q  es falso.

p  es falso

12. Del siguiente diagrama:

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Página 46

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA

p:

x

A

q: y r:

z

C

A A

B

C

B

C

Hallar los valores de verdad de: r  (a) p q (b)



p

(c) p

q r  

q

p

r  

13. Evaluar el siguiente esquema molecular y diga cuántos 1’s tiene su matriz principal: 

p



q

r

r



q

p

14. Sean p,q,r  y s proposiciones tales que:  p q   es verdadera, q   es falsa. Encontrar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: r s (a)   p q (b) q (c)





p r

p q

r 

r

15. Si la proposición: proposiciones p,q,r y

s

s



p s

q

r



r

s

s s es falsa, el valor de verdad de las

es:

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Página 47

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA

1. Dadas las proposiciones: r,s,w   y la proposición compuesta: p q  t q   que es verdadera. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? t s w q w (a)

2.

(b)

p

(c)

t

t s

q

w s

q

p

q

r

De la falsedad de: p



q



s , hallar los valores veritativos de p,q,r  y

r

s

.

3. Si p q F , q t F . ¿Cuáles de las siguientes proposiciones compuestas tienen el valor verdadero? (a)  p t s (b) (c)





p



p

q

q





p



t

p

p

q



q



t q t

4. Sean las proposiciones: p : x2 1 es un término algebraico q : El grado de x2 1 es dos Determinar el valor veritativo: q p (a) p q (b) 5.

p

q



q



p

Sabiendo que p   es verdadero y la proposición verdadera, hallar los valores de

6.

s

 y p s q

Si el siguiente esquema es falso p,qyr  respectivamente.

p

Sabiendo que: p q F y Da el valor de verdad de: p r q r q (a) (b) (c)

9.

p

q

p r

r



q

Si la expresión:

p

q

r

s

q



r

p

r  es

r  .

s r

7. Dados los siguientes esquemas verdaderos: p Calcule los valores veritativos de p,q  y r  8.

p

q

p

p

r ,  hallar los valores de

r , 



p



q

F

s

s

q

q

r

q  es falsa, las siguientes proposiciones son:

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Página 48

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA (a)



(b)



(c)



p s

r

p

t



r



p

p



q

q

p

10. De la falsedad de: p (a)

 

q

(b)

 

r

s



(a)



(b)





p s r

t





r



s , halle el valor de los siguientes esquemas:

q

p q

p



q

p

p



11. Si la expresión:





s

q



p



r

p  es falsa, las siguientes proposiciones son:

q

q

12. Un esquema molecular es tautología cuando su matriz está constituida: a) Sólo por valores falsos. b) Sólo por valores posibles. c) Sólo por valores verdaderos. d) Por valores falsos y verdaderos. e) Por valores necesarios y falsos. q p 13. Si la proposición:  p q de verdad de las siguientes proposiciones: q p q r   (a)   p q

(b) p (c)

q



p

r r



q

r    es falsa. Determine el valor

q q

r  

p

14. En relación a la proposición compuesta: S: puede afirmar que: S es una contradicción. S es una contingencia. S es una tautología. 15. Deducir el 

p

q



valor

de

verdad de

p, q y

p



r

p

r



(c)



p 4



q



r  , se

en el siguiente esquema:

r 5

p(1) p(3)



r

p  sea falsa.

s

17. Si p x : x2 16 0 ; q x : x 12 0 ; r x Hallar el valor de verdad de: r 4 (a) p 2  q 2 (b)

p

q  si es falso.

r

16. Sean p,q  y r   proposiciones tal que: r q Hallar los valores de: r q (a) p  q (b) q

r   

q r

x2

9

q 4

r(2) p(3)



p(2) q(2)

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Página 49

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 18. Si p x : x3 27 ; q x : x 2 Hallar el valor de verdad de: q 12 r 3 (a) p 1 (b) (c)

p 0

q

p(3)

1

r

p(2)

p s

r 2

(b)

p

(c)

(p q)

q t

q

q (r

q

Evaluar:





r

r 0 q(3)

q r



p(

s

t

3)

u . Hallar el valor de verdad de:

u r

w) 

s

6

3

p



10

r 3 r

s

20. Si p 0 , q 1 , r



5

19. Admitiendo la falsedad de: (a)

9; r x :x

( q

u 

u)

p

q

q

s

V 



q

p

s p

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Página 50

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA

EQUIVALENCIAS LÓGICAS L as matemáti cas pueden ser defin idas como aquel tema del cual no sabemos nun ca lo que decimos ni si lo qu e decimos es verdadero. BERTRAND RU SSEL L

Introducción Todos los números naturales pueden ser escritos empleando únicamente el 1. Por ejemplo, si queremos escribir el 9, sólo tenemos que escribir 1+1+1+1+1+1+1+1+1. Claramente salta a la vista el hecho de que esto no es práctico para números muy grandes. Felizmente, para nosotros, nuestra sistema de numeración contempla abreviaturas de estas sumas. Así, 2 = 1+1, 5 = 1+1+1+1+1 y así sucesivamente.

 Algo similar sucede en lógica. Una de las reglas de formalización era colocar la fórmula tal y como aparece en el lenguaje. Así, una doble negación como p debe ser escrita como tal, aunque intuitivamente veamos que esto equivale a una afirmación. Queda no obstante una duda válida: y ¿si esa equivalencia que intuimos no es válida para alguna proposición p ? Es ahí donde sirven de mucha utilidad las tablas de verdad. De eso nos ocuparemos en esta sección.

1.7

Leyes de Equivalencia La equivalencia lógica entre fórmulas lógicas se refiere a la igualdad entre los valores de verdad finales de su matriz principal. Todas las equivalencias son del tipo tautológico. Las leyes de equivalencia son esquemas con una estructura característica que permiten simplificar esquemas más complejos sin recurrir a la comprobación por tablas de verdad. Cada equivalencia recibe un nombre particular. En la tabla 1.18 se enlista cada una. Los conectivos que aparecen al costado del nombre de la ley, indica los conectores a los que se aplica dicha ley. Si no aparece ninguno, la ley es aplicable a aquellos conectivos que aparecen en la definición.

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Página 51

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA Observemos la definición del implicador p

q . Es verdadera si y sólo si la

p q   es falsa. Relacionemos p q   también lo es, es decir, si esto con la implicación material: es falso que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso.

disyunción

La ley de complemento  A  A V   se denomina la l e y d e l t e r c i o e x c l u i d o  : una proposición es verdadera o falsa, pero debe ser una de ellas.

Nombre de la equivalencia 01

02

03

04

05

DEFINICIÓN  A

Doble Negación



Leyes de Morgan

, ,

,

07

08

09

Definición del Biimplicador

10

Definición del disyuntor excluyente

11

Exportación

12

Mutación

A



 A

B





A



B



 A B



A



B

 A B





A



B

 A

B

B

A

 A

B

B

A

 A  A

 A

B



B



A

 A

B



B



A

 A

 A

B

B

B

B

A 

B



B

B



B

 A

B C

A

B

C

A

B C

 A

B C

A

B

C

A

B C

 A

B

 A

C B

D

A

D

A

C

B

C

B

C

B C

A

B

A

C

 A

B C

A

B

A

C

 A

B C

A

B

B

A

 A

B C

A

B

B

A

 A

B

B

A

A

B A

B

 A

B

A

 A

B

A

A B





A B

B

B

 A

B

B

A B



 A  A



B 

A

A

A 

B

B 

A



B

B

C

B

C

DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN GENERAL ÁREA DE MATEMÁTICA

A

 A

B

B







A

B



 A

B

A

B

A

A

A

 A

B



A

B A

 A

A

D

 A

 A

A

D

 A

 A

 A

 A

B

 A

Definición del Implicador





Distribución





A

A

,

 Absorción



 A



 A

06

A





B

 Asociación , ,





 A

,

Contraposición



A





Conmutación , ,

 A



B

A B



A







A

B B



B

A

B B

C C

Página 52

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA 13 14

Idempotencia Complemento

15

Identidad

16

Ley de Expansión

 A

A

 A



 A

 A

A F

A 

A

A

V

 A

V

A

 A

V

V

 A

F

F

 A

F

A

p

p

p

A

s

q



p

s

p

p q

p

p

t

q



q

t

p q

Tabla 1.18. Leyes de equivalencia lógica.

Ejemplo 1.23 (a) Dado el esquema molecular p a.1

p



p

a.2

q q

q



q



q , el esquema equivalente es:

p



p



a.3



p

q



q



p

a.4



p

q



q



p

a.5



p

q



q p

 Aplicamos la siguientes leyes lógicas: p

q

p









Definición

q

p

q

p

q

p

q

q 



q p 

la

disyunción

excluyente Definición del biimplicador

p

q

de

Definición del implicador p

Ley de Morgan

Por lo tanto a.2  sería equivalente a  p  q (b) Hallar un equivalente a proposición: “Dado que la combinación de colores influye en el comportamiento es obvio que, si los niños pasan muchas horas mirando la televisión entonces tendrá un comportamiento autista”.

p : La combinación de colores influye en el comportamiento q : Los niños pasan muchas horas mirando la televisión r : Los niños tendrán un comportamiento autista Dado que…………..es obvio que, si……………entonces………. Fórmula lógica: p

q

r 

 Aplicando la ley de mutación, obtenemos el equivalente q

p

r 

Que traducido al lenguaje natural es: “Puesto que los niños pasan muchas horas mirando la televisión se infiere que , si la combinación de colores influye en el comportamiento entonces los niños tendrán un comportamiento autista”.

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Página 53

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA (c) Demostrar que la ley exportación es una ley de equivalencia Lo haremos por los dos métodos Método de tablas de verdad p

q

r 

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

p

q

r 

1 1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 1 1 1

p

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 0 0 0 0

r 

q

1 0 1 1 1 1 1 1

1

1 0 1 1 1 0 1 1

1 2

2 3

La fórmula es una tautología, por lo tanto es una ley de equivalencia lógica. Método abreviado Para esto, suponemos que la fórmula es falsa. Este método también se conoce como reducción al absurdo (aplicado a las implicaciones por supuesto). Procedemos a calcular los valores de verdad de las variables.

p

q

r

p

q









1

1

0



1

   

1

r   

0 1  0

   

   

0

0

   

1

   

0

Observamos que al suponer la falsedad de la fórmula, obtenemos en el lado izquierdo los valores v p v q 1,v r 0 , pero estos valores generan una contradicción en el lado derecho. Por lo tanto, no puede ser falsa, en consecuencia es verdadera.

1.8

Simplificación de esquemas moleculares Las leyes de equivalencia demuestran su utilidad al simplificar expresiones extensas. Ejemplo 1.24 (a) Simplificar p q q

q p



p

q

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Página 54

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA

p

q

q

q p

p

q p

q

q

p q p



q

p



p

q 

q

q

q  



p

 

p p q



q

p

q

q

p

q

q

Asociativa

Absorción

q  (b) Simplificar 

 Absorción

Absorción

p

p 

Definición del implicador

q p

q q p q  p

Doble negación Idempotencia Definición del implicador



19/01/2012

TALLER DE EJERCICIOS Subtítulo

1.

Relaciona correctamente los números con las letras respectivas: 1. 2.

p

q q

p

3.

p

4.

 

5.

p

p

p

q

r

p

q

r

p

q q

r

Asociativa. Conmutativa.

C. Ley de Involución. D. Ley distributiva.

q r



r  

p p

q

p



r   E.

p

2. Simplificar la siguiente fórmula: 3. Simplificar:  q

r  

 A. B.





p



Exportación.

q

p

p

4. Simplificar la siguiente fórmula: 5. Evaluar el esquema siguiente: 6. Simplificar la fórmula siguiente:

p



 





p



q

q

q 

p

p 

q





p

q



p

q p

7. De la proposición “ p q ”, señalar podemos afirmar que. a) La proposición recíproca es “ q p ” b) La proposición contradirecta es “  q p ” c) La recíproca de la contradirecta es “  p  q ” d) La contrarecíproca es “  q  p ”

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Página 55